LAPORAN BERTULIS: MENEROKA APLIKASI DAN HUBUNGAN DENGAN KALKULUS.ii. Penentuan luas bulatan Archimedes.

Archimedes merupakan salah seorang ahli matematik berbangsa Yunani yang paling terkenal semasa zaman purba. Banyak hasil kerja beliau telah hilang seperti penyelidikannya dan penciptaan hebat beliau. Akan tetapi masih ada yang berjaya ditinggal iaitu salah satunya tentang pengukuran luas bulatan yang dikaitkan dengan .

Dalam proses menentukan luas bulatan yang tepat, Archimedes telah menetapkan 3 prinsip asas iaitu:

a) Luas poligon dengan sisi n (n-gon) yang dilukis dalam unit bulatan menghampiri suatu nilai iaitu pi () apabila nilai n meningkat.b) Luas poligon yang dilukis dalam bulatan menghampiri luas bulatan apabila bilangan sisi poligon meningkat.c) Perimeter poligon semakin menghampiri lilitan bulatan apabila bilangan sisi poligon meningkat.Dengan memenuhi ketiga-tiga prinsip asas ini, luas bulatan yang dicari akan menjadi lebih relevan dan tepat. Selain itu, Archimedes memastikan penentuan luas bulatan tidak terpesong dengan formula asas bulatan iaitu . Beliau menyimpulkan bahawa luas bulatan merupakan had kepada luas poligon dalam bulatan dengan bilangan sisi kepada infiniti (). Proses penentuan luas bulatan Archimedes ini dinamakan sebagai exhaustion. Proses penentuan luas bulatan ini menggunakan kaedah squaring the circle iaitu mengenalpasti poligon yang menyamai luas bulatan dengan jejari (r).Dalam usaha menentukan luas bulatan, Archimedes melakukan sebanyak tiga kali percubaan sehinggalah percubaannya mendapat hasil yang semakin menghampiri nilai pi ().

PERCUBAAN PERTAMA

1. Archimedes menggunakan segi empat sama yang dilukis dalam bulatan. Beliau memastikan segi empat tersebut sepadan dan bucu menyentuh bulatan seperti dalam rajah 1.

Rajah 1: Lakaran segi empat sama pada bulatan

2. Archimedes melabelkan AC sebagai diameter iaitu (2r). manakala panjang AB dan BC sama kerana ABC membentuk segi tiga sama kaki.

3. Archimedes meneruskan penyelidikannya dengan menggunakan teorem Phytagoras bagi menyelesaikan pengiraan tersebut.

4. Berikut adalah hukum asas bagi teorem Phytagoras:

5. Jadikan AB = BC = a manakala BC = 2r. Nilai a dicari menggunakan teorem Phytagoras.

6. Di dapati panjang AB dan BC ialah . Maka luas segi empat pada bulatan tersebut ialah:

7. Archimedes mendapati bahawa nilai yang diperoleh masih lagi belum menghampiri luas bulatan yang sebenar. Maka percubaan keduanya akan diperkemaskan lagi.

PERCUBAAN KEDUA

1. Untuk kali kedua, Archimedes membuat penambahbaikan dengan menggantikan segi empat sama dengan poligon bersisi enam iaitu heksagon. Penambahbaikan ini relevan dengan prinsip kedua Archimedes tentang luas bulatan yang menyatakan Luas poligon yang dilukis dalam bulatan menghampiri luas bulatan apabila bilangan sisi poligon meningkat.

Rajah 2: Lakaran heksagon yang dibahagi kepada segi tiga.

2. Untuk menentukan penghampiran luas bulatan dengan heksagon, Archimedes telah membahagikan heksagon kepada enam bahagian segi tiga. Luas heksagon hanya boleh dikira apabila luas segi tiga berjaya diperolehi.3. Merujuk kepada Rajah 2, panjang AB = r. Untuk mengira luas heksagon, luas segi tiga perlu dicari terlebih dahulu. Jadikan tinggi sebagai h.

4. Jalan pengiraan ini masih lagi menggunakan teorem Phytagoras seperti dalam percubaan pertama.

5. Setelah mendapat nilai tinggi segi tiga iaitu , maka luas heksagon dalam bulatan dapat ditentukan:

Gantikan ke dalam persamaan:

6. Nilai yang peroleh menggunakan heksagon ialah 2.59r2 dan ini lebih baik berbanding luas segi empat sama dalam percubaan pertama. Akan tetapi nilai tersebut masih lagi belum menghampiri luas sebenar bulatan iaitu 3.142r2.

7. Maka, Archimedes meneruskan kajiannya dengan membuat penambahbaikan pada percubaan ketiga.PERCUBAAN KETIGA

1. Bagi percubaan ketiga, Archimedes membuat penambahbaikan dengan meningkatkan lagi sisi poligon. Ini relevan dengan prinsip Archimedes yang menyatakan Luas poligon dengan sisi n (n-gon) yang dilukis dalam unit bulatan menghampiri suatu nilai iaitu pi () apabila nilai n meningkat.2. Beliau menentukan luas bulatan menggunakan poligon dengan bilangan sisinya ditingkatkan sehingga menjadi sisi n.3. Contoh gambaran percubaan ketiga Archimedes seperti dalam Rajah 3.

Rajah 3: Lakaran sisi poligon yang ditingkatkan

4. Seperti dalam percubaan kedua, luas poligon ini boleh dikira apabila nilai segi tiga berjaya diperoleh. Maka, Archimedes membahagikan lakaran poligon tersebut kepada segi tiga seperti dalam Rajah 4.

Rajah 4: Segi tiga hasil daripada poligon pada bulatan

5. Luas bagi poligon bersisi n adalah n kali luas satu segi tiga. Ia dirumuskan seperti berikut:

6. Rumus bagi luas poligon bersisi n ini berlaku sedikit perubahan apabila bilangan n-sisi bertambah. Perubahannya adalah seperti berikut:

7. Bagi memudahkan proses penggantian nilai pada n apabila bilangan n-sisi bertambah, ia diasingkan bersama b iaitu panjang n-sisi.

8. Archimedes kemudiannya merumuskan bahawa (nb) adalah perimeter poligon kerana jumlah nilai tersebut merupakan ukur lilit bagi poligon. Apabila n semakin meningkat, ia dengan sendirinya menghampiri lilitan bulatan iaitu circumference of circle (2).9. Selain itu, Archimedes juga membuat pencerapan bahawa sekiranya poligon tersebut mempunyai sisi n, maka setiap segi tiga dikira sebagai daripada lilitan bulatan. Tambahan daripada itu, tinggi segi tiga, h, juga menghampiri jejari bulatan, r.10. Hasil daripada pencerapan tersebut, Archimedes telah dapat menentukan luas bulatan seperti berikut:

11. Dalam penentuan luas bulatan, Archimedes melibatkan nilai tetap yang mana wujud sebagai nisbah lilitan bulatan kepada diameter bulatan iaitu .Hasil daripada ketiga-tiga percubaan yang dilakukan oleh Archimedes ini, beliau dapat menyimpulkan bahawa semakin bertambah bilangan segi tiga, luas poligon akan menghampiri dan memenuhi luas bulatan. Selain itu juga, kita dapat tahu bahawa penggunaan pi dalam menentukan luas bulatan sangat berkait rapat di samping penggunaan poligon dan segi tiga. Semakin meningkat sisi poligon pada bulatan, maka nilai luas semakin menghampiri nilai sebenar luas bulatan iaitu 3.142r2.