toÁn cao cẤp b2 -...

BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM

GVC ThS NGUYỄN THỊ MINH THƯ Chủ biên

ThS DƯƠNG THỊ XUÂN AN; ThS NGUYỄN THỊ THU THỦY

GIÁO TRÌNH

TOÁN CAO CẤP B2 PHẦN ĐẠI SỐ

KHỐI KINH TẾ

(LƯU HÀNH NỘI BỘ )

TP HỒ CHÍ MINH 2013

TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN

2

Hoan nghênh bạn đọc góp ý phê bình Chân thành cảm ơn


3

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập và giảng dạy môn Toán

trong trường, Bộ môn Toán Trường Cao Đẳng Công Nghệ Thông Tin TPHCM đã tổ chức biên soạn và ấn hành cuốn TOÁN CAO CẤP B2 dành cho sinh viên khối ngành kinh tế. Cuốn sách do các giảng viên thuộc bộ môn Toán biên soạn, trên cơ sở đề cương môn học theo tín chỉ đã được Hội Đồng Khoa học trường phê duyệt. Nội dung cuốn sách phần là Đại số tuyến tính và các bài toán ứng dụng trong kinh tế.Cuốn sách giải quyết hầu hết các vấn đề trọng yếu của môn học, giúp sinh viên có nền tảng về toán để tiếp cận các môn học khác trong chương trình đào tạo hệ cao đẳng khối ngành kinh tế. Phần lý thuyết được trình bày logic, ngắn gọn, dễ hiểu, với nhiều ví dụ phù hợp với đối tượng là sinh viên hệ cao đẳng. Ngoài ra, còn có phần cho sinh viên tự nghiên cứu, sau mỗi chương đều có bài tập để sinh viên rèn luyện. Đây là tài liệu được sử dụng chính thức trong trường giúp sinh viên học tập và thi kết thúc học phần có hiệu quả tốt theo chương trình đào tạo tín chỉ. Trong quá trình giảng dạy, giáo trình sẽ được cập nhật, chỉnh lý để ngày càng hoàn thiện và đầy đủ hơn. Do khả năng có hạn, thời gian ngắn và cũng là lần đầu biên soạn theo hướng đào tạo tín chỉ nên giáo trình không tránh khỏi sai sót.Tập thể giáo viên bộ môn Toán rất mong nhận được các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc trong và ngoài trường. Các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc xin gửi về chủ biên: NGUYỄN THỊ MINH THƯ - Trưởng bộ môn TOÁN Trường Cao đẳng Công nghệ Thông tin TP HCM. Địa chỉ [email protected] Xin chân thành cảm ơn. BỘ MÔN TOÁN


4


5

MỤC LỤC

PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG I

MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 7

1. 1 KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN 7 I. Định nghĩa ma trận II. Phân loại ma trận III. Các phép toán về ma trận IV. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

1. 2 ĐỊNH THỨC 14 I. Định nghĩa định thức của ma trận vuông II. Tính chất của định thức III. Khai triển định thức theo một hàng hoặc cột IV. Cách tính định thức bằng phép biến đổi sơ cấp 21

1. 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO I. Định nghĩa II. Các định lý III. Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo

1. 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 26 I. Định nghĩa II. Phương pháp tìm hạng của ma trận BÀI TẬP CHƯƠNG I 29 CHƯƠNG II

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 33

2.1 KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 33 I. Các khái niệm về hệ phương trình tuyến tính II. Định lí tồn tại nghiệm Kronecker-Capelli

2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

37

I. Phương pháp Cramer II. Phuơng pháp Gauss-Jordan III. Hệ thuần nhất


6

2.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG MA TRẬN 45 BÀI TẬP CHƯƠNG II 49 CHƯƠNG III

CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ 52

3.1 Ý NGHĨA KINH TẾ CỦA ĐẠO HÀM 52 I. Biên tế II. Hệ số co giãn

3.2 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM MỘT BIẾN TRONG KINH TẾ

63

I. Bài toán tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa

II. Bài toán xác định mức thuế doanh thu III. Bài toán định mức thuế nhập khẩu IV. Bài toán định mức thuế xuất khẩu

3.3 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM 2 BIẾN TRONG KINH TẾ

73

I. Bài toán tìm mức sản lượngtrong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo

II. Bài toán tìm mức sản lượng trong điều kiện sản xuất độc quyền

III. Bài toán lựa chọn đầu vào cho sản xuất 3.4 TÌM ĐIỂM CÂN BẰNG THỊ TRƯỜNG 80

I Mô hình điểm cân bằng thị trường II. Tìm điểm cân bằng thị trường 3.5 MÔ HÌNH INPUT-OUPUT 85

I. Mô hình input – ouput mở II. Mô hình input – ouput đóng

BÀI TẬP CHƯƠNG III 90 ĐỀ THI THAM KHẢO 94 TÀI LIỆU THAM KHẢO 95


7

CHƯƠNG I MA TRẬN - ĐỊNH THỨC

1.1 KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN I. Định nghĩa về ma trận Ma trận cấp m×n là một bảng số hình chữ nhật có m hàng n cột. Ký hiệu: A, B, C,...

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

… …… …

… … … … … …… …

… … … … … …… …

11 11 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

m m mj mn

a a a a

a a a a

Aa a a a

a a a a

aij là phần tử nằm ở dòng i, cột j của ma trận A Có thể viết gọn ma trận ở dạng A = (aij)mxn hoặc A=[aij]mxn Tập tất cả các ma trận cấp m n× , có các phần tử là số thực thì ký hiệu là: ( ) ( ) { |mxn ij ijmxn

a a ∈ M A= = }

II. Phân loại ma trận 1. Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng không, kí hiệu θ . 2. Ma trận hàng là ma trận có dạng 1 hàng và n cột (còn gọi là véctơ hàng).

( ) ( )11 12 1 1n ij nA a a a a

×= =…

3. Ma trận cột là ma trận có dạng m hàng và 1 cột (còn gọi là véctơ cột)


8

( )×

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

11

21

1

1

ij m

m

aa

A a

a

4. Ma trận vuông cấp n là ma trận cấp n có số dòng bằng số cột.

( )×

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

… …… …

… … … … … …… …

… … … … … …… …

11 11 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

ij n ni i ij in

n n nj nn

a a a a

a a a a

A aa a a a

a a a a

Các phần tử a11, a22, a33, ….aii,…... ann được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính. Các phần tử an1, an-1 2, an-2 3, ….aii,….. a1n. được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo phụ. 5. Ma trận đường chéo (ma trận chéo) là ma trận vuông cấp n, trong đó aij = 0; ∀ ≠i j

0

, tức là các phần tử không nằm trên đường chéo chính đều bằng không.

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

… …… …

… … … … … …… …

… … … … … …… …

11

22

0 0 00 0

0 0 0

0 0 0

ii

nn

aa

Aa

a


9

6. Ma trận đơn vị là ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1. Kí hiệu: I; E

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

… …… …

… … … … … …… …

… … … … … …… …

1 0 0 00 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I

7. Ma trận tam giác trên, tam giác dưới

a) Ma trận tam giác trên là ma trận vuông, trong đó = 0ija

∀ > =____

; , 1,i j i j n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

… …… …

… … … … … …… …

… … … … … …… …

11 11 1 1

22 2 20

0 0

0 0 0

j n

j n

ii in

nn

a a a a

a a a

Aa a

a

b) Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông, trong đó = 0ija

∀ < =____

; , 1,i j i j n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

… …… …

… … … … … …… …

… … … … … …… …

11

21 22

1 2

1 2

0 00 0

0i i ii

n n nj nn

aa a

Aa a a

a a a a

0


10

8. Ma trận bằng nhau Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cỡ và các phần tử cùng vị trí phải bằng nhau. Tức là: cho ( )ij m n

A a×

= và ( )ij m nB b

×= thì A B= nếu và chỉ

nếu ija b= ij ,i j∀ ; 1,i m= ; 1,j n= . 9. Ma trận chuyển vị (transposition = sự chuyển vị, sự đảo ngược Cho ma trận ( )ij m n

A a×

= , ta đổi hàng thành cột và cột

thành hàng thì được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A. Ký hiệu: AT, Ac, A' ; ( )T

ji n mA a

×=

VÍ DỤ 1 Cho thì 1 2 34 5 6

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 42 53 6

TA⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

VÍ DỤ 2 Cho

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 -2 3 -1 4-2 2 5 4 -73 5 -1 2 6

-1 4 2 -3 84 -7 6 8 1

A

thì . Khi đó ta nói ma trận A là ma trận đối xứng. TA=A10. Ma trận bậc thang và bậc thang chính tắc a) Ma trận bậc thang là ma trận luôn thoả mãn hai tính chất

i) Các hàng khác không luôn ở trên các hàng bằng không ii) Phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới luôn ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của hàng trên.

Chú ý: hàng khác không là hàng có ít nhất một phần tử khác không. VÍ DỤ 3 Các ma trận sau là ma trận bậc thang:


11

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 0 -1 30 1 3 -40 0 0 10 0 0 0

A ;

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 0 -2 40 -2 9 1

B =0 0 6 50 0 0 0

b) Ma trận bậc thang chính tắc là ma trận bậc thang có các phần tử khác không đầu tiên của mỗi hàng đều bằng 1, phần tử này gọi là phần tử chính, mỗi cột có phần tử chính thì các phần tử khác sẽ bằng không. VÍ DỤ 4 Các ma trận sau là ma trận bậc thang chính tắc

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 0 0 0 50 1 0 0 60 0 1 0 -40 0 0 1 7

C ;

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 0 4 0 50 1 3 0 60 0 0 1 -40 0 0 0 0

D

II. Các phép toán về ma trận 1. Phép cộng hai ma trận a) Định nghĩa: cho ( )ij m n

A a×

= và ( )ij m nB b

×= .

Khi đó, ma trận ( )ij m nA B C c

×± = =

trong đó , ij ij ijc a b= ± ,i j∀ ; 1,i m= ; 1,j n= .

VÍ DỤ 5 1 2 5 6 1 5 2 6 6 83 4 8 7 3 8 4 7 11 11

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

⎞⎟⎠

VÍ DỤ 6 1 2 5 6 1 5 2 6 4 43 4 8 7 3 8 4 7 5 3

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛− = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

b) Tính chất A +B = B + A

A + θ = θ + A = A Nếu gọi - A = (-aij)mxn thì A + (-A) = θ (A + B) + C = A + (B + C)


12

2. Phép nhân ma trận với một số thực a) Định nghĩa: cho ma trận A = (aij)mxn và số thực k ma trận

( )ij m nkA B b

×= = trong đó .ij ijb k a= , ; ,i j∀ 1,i m= ; 1,j n= .

Ví DỤ 7 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛8642

4321

2

b) Tính chất: k(A +B) = kA + kB; k R∈ (k + h)A = kA + hA; k, h R∈ k(hA) = khA; k,h R∈

3. Phép nhân hai ma trận a) Điều kiện để thực hiện phép nhân ma trận A với ma trận B là số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B. b) Định nghĩa: cho ( )ij m p

A a×

= và ( )ij p nB b

×= .

Khi đó, ma trận tích ( ). ij m nA B C c

×= = trong đó

1 1 2 21

n

ij i j i j in nj ik kjk

c a b a b a b a b=

= + + + =∑… , 1,i m∀ = ; 1,j n=

Nghĩa là lấy các phần tử ở hàng i của ma trận A nhân tương ứng với các phần tử ở cột j của ma trận B rồi cộng lại. VÍ DỤ 8

+ + − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛= =⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− − − + − + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

1 3 2.1 3.2 2.3 3.( 5) 8 9.

1 4 2 5 ( 1).1 4.2 ( 1).3 4.( 5) 7 23 ⎛

⎜⎞2 3 ⎞

⎟− ⎠VÍ DỤ 9

−⎛ ⎞

⎞ ⎜ ⎟−⎛− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 3 13

. 3 4 64 4 0

2 1 0

1 2 −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

11 14 138 28 28

Vì =(-1).1+2.3+3.2=11; =4.1+(-4).3+0.2=-8 11c 21c


13

=(-1).3+2.(-4)+3.(-1)=-14; =4.3+(-4).(-4)+0.(-1)12c 22c =28

c) Tín =(-1).(-1)+2.6+3.0=13; =4.(-1)+(-4).6+0.0=-28 13c 23c

h chất B là 2 ma trận vuông cùng cấp thì A.B Cho A, ≠ B.A

kB) ;

A(B + C) = AB + AC (B + C) A = BA + CA

k (AB) = (kA) B = A( k R∈ (AB) = B A T T T

AI=IA=A IV ổi sơ c. Các phép biến đ ấp trên ma trận

đối với ma trận Có 3 phép biến đổi sơ cấp cho hàng (hoặc cột) 1. Nhân 1 hàng với 1 số 0.k ≠

a . 2. Đổi chỗ 2 hàng cho nh u 3. Nhân 1 hàng với 1 số 0k ≠ rồi cộng vào hàng khác.

i trên

VÍ DỤ 11

VÍ DỤ 12 ⎞⎟

Nhận xét: Giống như biến đổ hệ phương trình

VÍ DỤ 10 121 2 3 2 4 6h⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟

4 5 6 4 5 6⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 21 2 3 4 5 64 5 6 1 2 3

h h↔⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 241 2 3 1 2 34 5 6 0 3 6

h h− +⎛ ⎞ ⎛⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

VÍ DỤ 13 ⎞⎟1 331 2 3 1 2 0

4 5 6 4 5 6− +⎛ ⎞ ⎛

⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ −⎝ ⎠ ⎝c c

⎠


14

1.2. ĐỊNH THỨC

a trận vuông I. Định nghĩa định thức của m1. Ma trận con của ma trận vuông Cho ma trận

( )×

⎛⎜

11 11a a ⎞a a⎟

Xét phần tử aij, ma trận thu được khi bỏ dòng i cột j được gọi

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

… …… …

… … … … … …… …

… … … … … …… …

1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

ij n ni i ij in

n n nj nn

a a a a

A aa a a a

a a a a

là ma trận con cấp (n-1)× (n-1) tương ứng với phần tử aij. Ký hiệu: Mij

Định thức ủa ma trận A vuông là một số, 2. Định thức cký hiệu det(A) hoặc |A|, được định nghĩa như sau: a) Định thức cấp 1: ( )11A a= 11det A a⇒ =

VÍ DỤ 1 ( )5A = − et d 5A⇒ = −c cấp 2: b) Định thứ

⎛ ⎞= ⇒11 12 deta a

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

11 22 21 1221 22

A A a a a aa a

VÍ DỤ 2 2 1 2

A det A 1.4 2.33 4⎛ ⎞

= ⇒ = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

−

c) Định thức cấp 3: Cho thì ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a= + + − − −11 22 33 12 23 31 21 32 13 31 22 13 21 12 33 23 32 11det A a a a a a a a a a a a a a a a a a a


15

VÍ DỤ 3 −

= − = − + − −−

3 4 6det 2 2 3 0 12 60 12 45 9

1 5 0A = −

Cách nhớ: dùng hình sao hoặc các đường thẳng song song

ủa một định thức cho nhau thì

II. Tính chất của định thức T1. Tính chất 1: det detA A=

Đổi chỗ 2 hàng c2. Tính chất 2: định thức đổi dấu. 3. Tính chất 3: Định thức có 1 hàng là số 0 thì định thức bằng không. 4. Tính chất 4: Định thức có 2 hàng giống nhau thì định thức bằng không. 5. Tính chất 5: Định thức có 2 hàng tỷ lệ (phụ thuộc tuyến tính) thì bằng không

= −11 12 13a a a

21 22 23

31 32 33

a a aa a a

21 22 23

11 12 13

31 32 33

a a aa a aa a a

; =11 12 13

11 12 13

31 32 33

0a a aka ka kaa a a

6. Tính chất 6: Định thức có 1 hàng là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác thì bằng không.

− − − =13

11 31 12 32 13 33

31 32 33

0ka ta ka ta ka taa a a

7. Tính chất 7: Khi nhân tất cả các phần tử của 1 hàng với số k

11 12a a a

thì định thức đó được nhân lên k lần.

=11 12 13 11 12a a a a a 13

21 22 23 21 22 23

31 32 3331 32 33

aka ka ka k a a a

a a aa a a


16

8. Tính chất 8: Khi tất cả các phần tử của 1 hàng của 1 định thức có dạng tổng của 2 số hạng thì có thể phân tích thành 2 định thức.

+= +

+21 22 22 21 22 21 22' '' ' ''a a a a a a a9. Tính chất 9: Khi ta nhân một hàng với một số k khác không rồi cộng và

11 12 12 11 12 11 12' '' ' ''a a a a a a a

o hàng khác thì định thức không thay đổi

= + + +11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 11 22 12 23 13

31 32 33 31 32 33a a a a a a10. Tính chất 10: Ma trận có dạng tam giác thì định

a a a a a aa a a a ka a ka a ka

thức bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính

= =… …

10 nn m mna a aIII. Khai triển định thức theo hàng hoặc theo c

11 1 11

11 22 11 22

0... ; ...

n

nn nn

a a aa a a a a a

ột 1. Khai triển định thức theo hàng thứ nhất

( ) ( )( )

1 1 1 211 11 12 12

11 1

det 1 det 1 det

1 detnn n

A a M a M

a M

+ +

+

= − + − +

+ −

…

2. Khai triển định thức theo hàng thứ i

( ) ( )1 2det 1 det 1i iA a M a+ += − + −

( )1 1 2 2det

1 deti i i i

i nin in

M

a M+

+

+ −

…

3. Khai triển định thức theo cột thứ j


17

( ) ( )( )

1 21 1 2 2det 1 det 1 det

1 det

j jj j j j

n jnj nj

A a M a M

a M

+ +

+

= − + − +

+ −

…

Chú ý: ( )1 detij iji jA M= − được gọi là ph

hần tử

+

ija . ần phụ đại số của

VÍ DỤ 4 Tính định thức của ma trận sau bằng cách khai triển àng một:

BÀI GIẢI

p

theo h2 1 3 023 1 2 2

A

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜=⎜ ⎟−⎜ ⎟

0 0 3 ⎟

0 2 1 4−⎝ ⎠

( ) ( ) ( )+ + +

− −= − − + − − + − −

− −

1 1 1 2 1 30 0 3 2 0 3 2 0 3

1 2 1 2 2 1 1 3 2 2 1 3 3 1 22 1 4 0 1 4 0 2 4

A

+ 0 = - 3

Nếu đề bài chỉ yêu cầu tính định thức thì ta chọn khai triển theo hàng 2 vì hàng 2 có nhiều số không nhất. IV. Cách tính định thức bằng phép biến đổi sơ cấp

Cơ sở Biến đổi sơ cấp Tác dụng

Chú ý:

Lý thuyết Tính chất 7 Nhân một hàng với số

k≠ 0 lần Định thức nhân lên k

Tính chất 2 Đổi chỗ 2 hàng cho nhau Định thức đổi dấu Tí 9 Nhân rồi

cộngĐịnh t i nh chất hàng r với số k

vào hàng s hức không đổ


18

Chú ý: Dựa vào ĩa và tính chất trên thì thông thường để tính định thức ta có những cách sau:

i ó i t ặ

Í DỤ 5 Tính

định ngh

1. Nên biến đổi về dạng đường chéo rồ tính định thức của n 2. Biến đổnhất rồi khai

cho một hàng hoặc một criển định thức theo hàng ho

định thức sau

ột có nhiều số không c cột đó.

V

1 2 3 42 3 4 1

3 4 1 24 1 2 3

BÀI GIẢI

1 2 12 ; 32 3 4 1 h h h− + − 3

1 44

1 2 3 4 1 2 3 40 1 2 7

3 4 1 2 0 2 8 104 1 2 3 0 7 10 13

h

h h

+

− +

− − −− − −− − −

( )( )

− +

− +2 3

2 4

2

7

1 2 3 4 1 2 3 40 -1 -2 -7 0 -1 -8 -10

= 0 0 -4 4 0 0 -4 0 0 4 36

h h

h h 40 0 0 40

=160.

VÍ DỤ 6 Tính định thức sau bằng cách khai triển theo hàng thứ 3

1 0 1 10 1 1 1

1 1 1 0a b c d

− −− −

− −

BÀI GIẢI


19

( ) ( )3 11a b c d

+ 3 2

1 0 1 10 1 1 1 1 1

0 1 1 11 1 1 1 0 1 11 1 0 1 1 0

1 1 1 0

a b+

− −− − − −

− −− − + −− −

− −

= − −

( ) ( )3 3 3 41 0 1 1 0 1

1 0 1 1 1 0 1 1 3 21 1 0 1 1 1

c d a+ +

− −+ − − + − − − = − + +

− − − −b c d

VÍ DỤ 7 Tính định thức sau

5 2 2 22 5 2 22 2 5 22 2 2 5

BÀI GIẢI

caùc haøng vaø

2 2 5 2

coän taát caû

o haøng 1

5 2 2 2 11 11 11 112 5 2 2 2 5 2 2

2 2 5 22 2 2 5 2 2

g

2 5

( ) += 1-1 laàn löôït

vaøo caùc haøng coøn laïi

2 2 2 2 2 2 2 22 5 2 2 0 3 0 011 11

22 5 2 0 0 3 02 2 2 5 0

h

2 2 0 0 3

= =311.2.3 2972


20


1 0 1 10 1 12 1 2 51 1 1 0

−− −

−− −

1

BÀI GIẢI

1 3

1 42 1 2 5 0+− h h

2

1 0 1 1 1 0 1 10 1 1 1 0 1 1 1

1 0 31 1 1 0 0 1 0 1

− +

− −− − − −

− − −

h h

( )1 11 1 1

+

− −1 1 1 0 3 4

1 0 1= − =

−


2 1 3 02 0 0 3

3 1 2 20 2 1 4

−−

−

BÀI GIẢI 2 1 3 0 2 1 3 02 0 0 3 2 0 0 3

3 1 2 2 1 0 1 20 2 1 4 4 0 7 4

− −=

− − −− − −

1 21( 1) 1 1+

2 0 32 3

4 7 4

−= − − − = −

− −


21

1.3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO I. Định nghĩa ma trận nghịch đảo 1. Định nghĩa 1 Ma trận suy biến là ma trận có định thức bằng không 2. Định nghĩa 2 Xét ma trận vuông không suy biến A cấp n×n, nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n×n sao cho AB BA= = I thì ta nói A khả nghịch (khả đảo) và gọi B là ma trận nghịch đảo của A. Ký hiệu: 1A− .Vậy 1 1AA A A− − I= = VÍ DỤ 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛

= =⎜ ⎟ ⎜-1 1 3 71 khi ñoù AA

⎞= ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

7 3- - 3 8 8-8 -5 1 5 1

⎝ ⎠ 5 7

⎜ ⎟⎝ ⎠

-8 8

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

-1 - 1 3 1 08 8thaät vaäy AA

5 7 5 1 0 1 -

⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

7 3

8 8nh lý

1. Định lý 1 Nếu A khả nghịch thì ma trận nghịch đảo II. Các đị

1A− tồn tại và duy nhất.

hứng minh Thật vậy

C( )∈

⎧ = =⎪⎨

= =⎪⎩= = = = =

-1

1 2

1 1

2 2

1 1 1 2 1 2 2 2

( ) ( ) . (

mxn

n

n

n n )

Laáy A M khaû ñaûo thì toàn taïi A theo ÑN

Giaû söû A coù hai ma traän nghòch ñaûo laø B vaø BAB B A I

khi ñoùAB B A I

maø B B I B AB B A B I B B ñfcm


22

2. Định lý 2 (Điều kiện để ma trận vuông khả nghịch) Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi

( ) ( ) ( ) ( )−

−≠ = 1

1

1det( ) 0 vaø ta coù det A hay det A .det 1det

A AA

=

lý 3 Giả sử A, B 3. Định

∈Mnxn khả nghịch khi đó ma trận tích AB cũng khả nghịch và (AB) = B-1 A-1 Chứng minh ật vậy

( ) -1

Th( )( )1 1 1 1 1 1( ) n nAB B A A BB A AI A AA I− − − − − −= = = =

Và ( )( ) ( )1 1 1 1B A AB B A A B− − − − 1 1n nB I B B B I− −= = = =

4. Định lý 4 Giả sử A khả nghịch. Khi đó

-1 cũng khả nghịch và a) A ( ) 11A−− = A

hịch b) Am cũng khả ng và ( ) ( )1 1 mmA A− −= ; m N∈

c) kA cũng khả nghịch và ( ) 1kA −= 11 Ak

− ; k R∈

III. Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 1. Phương pháp 1

ìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp phần phụ đ ố T ại s

( ) ( )i+j

ij-1 det M laø phaàn phuï ñaïi soá cuûa phaàn töû aij ij A =Goïi

( )⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥

≠⎢* 12 22 2Ñaët A =

..........................n ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦1 2

vaø neáu det A 0.

. . .n n nnA A A

11 21 1

. . .n

A A A A . . .A A


23

( )=-1 * A A

-1 eo co thöù1

VÍ DỤ 2 Cho ma trận . Tìm

ñaûo A th âng cThì ma traän nghòch

det A

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

801852321

A 1A− ?

Vì

Nên A có ma trận nghịch đảo

40 0 16 15 0 32 9 0detA = + + − − − = ≠

1A− =

⎡ ⎤⎢ ⎥∗ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

11 21 31

12 22 32

13 23 33

A1 1

det det

A AA A A A

A AA A A

11

5 840

0 8= =A ; 12

2 88

1 8= − =A − ; 13

2 55

1 0= = −A

21

2 316

0 8= − = −A ; 22

1 35

1 8= =A ; 23

1 22

1 0= − =A

31

2 31= =A ;

5 8 32

1 32

2 8= −A = − ; 33

1 21

2 5= =A

1

40 16 11 8 5 29

5 2 1

−

−⎛ ⎞⎜ ⎟⇒ = − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

A


24

2. Phương pháp 2 Phương pháp Gauss-Jordan

Bước 1: Từ A ∈Mnxn

ét ma trận mở rộng

( )

X ( )∈nA I Mnx2n

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng để

a ma trận

( )

đư ( )nA I về dạng ma trận ( )n n I B khi đó ma trậ

nghịch đảo của ma trận A là A-1 = B

VÍ DỤ 3 Cho . Tìm1 -1 20 3 12 3 5

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1A− (nếu có)

ÀI GIẢI

B

( ) 1 323| 0 0A I ⎜= ⎜

1 1 2 1 0 0 13 1

− −⎛ ⎞ ⎛ 1 2 1 0 03 1 1 0 0 0 1 0

0 0

h h− +

⎞⎟ ⎜ ⎟⎯⎯⎯→⎟ ⎜ ⎟

2 3 5 1 0 5 1 2 0 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22 3

3

131

1 1 0 0 1 2 1 01 1 10 1 0 0 0 13 3 3

h h h

h

− +

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎯⎯→ ⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜

5

1 2 1 010 03

1 2 1 2 2 1 105 5 5 5 3 5

⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎟⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

0 1 0 015

⎜ ⎟⎝ ⎠

3 1

3 3 3

731

2 3

7 1 11 71 0 63 3 2 21 0 01 1 1 10 1 0 0 0 1 0 13 3 2 2

0 0 1 5 30 0 1 5 3 332 22 2

h h

h h h

−+

+

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

−⎟ ⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

2 115

1 0

h h+− −

⎜⎯⎯⎯→

−−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠


25

Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là

1

11 762 21 11

2 25 332 2

A−

−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟

−⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

VÍ DỤ 4 Cho

1 0 0 01 1 0 01 1 1 01 1 1 1

A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Tìm 1A− ?

Tương tự như trên, ta có:

⎟

VÍ DỤ 5 Cho . Tìm

1

1 0 0 01 1 0 0

0 1 1 00 0 1 1

A−

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟−

−⎝ ⎠

⎜

1 1 1 10 1 1 10 0 1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟

A

0 0 0 1⎝ ⎠

1A− ?


26

1.4 HẠNG CỦA MA TRẬN

a trận 1. Định nghĩa Xét ma trận A = (aij) , A

I. Định nghĩa hạng của m

∈Mmx .

ọi n ( )

G k { } sao cho 1 k min ; m n∈ ≤ ≤ B là ma trận vuông cấp k trích từ ma trận A bằng cách lấy phần giao của k hàng và k cột bất kỳ của A. Ma trận B được gọi là

của ma trận A. det(B) gọi là định thức con cấp k của ma trận A. Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không của A,

ý hiệu: Rank(A) hoặc R(A) ếu A = Onxm thì Rank(A) = 0

Í DỤ 1 Tìm hạng của ma trận A =

⎠

Min(m,n)= min{3,4} = 3

ma trận con cấp k

KN

V

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

1 0 -1 00 1 1 21 1 0 2⎝

Các định thức con cấp 3 của A là:

= = = = 0 0 1 -1 0 0 -1 0

; 2 ; 1 1 2 0

b) Phép biến đổi sơ cấp trên hàng hay trên cột của ma trận A không làm thay đổi hạng của ma trận A

≠

1 1 0 1 1 2 1 0 2 1 0 2

1 0 con caáp 2 cuûa laø =1 0 vaäy Rank( ) =

0 1ñònh thöùc A A 2

1 0 -1 1 0 1 1 0; 0 1 2 0 0 1 0

2. Các tính chất về hạng của ma trận Định lý a) Rank(AT) = Rank(A)


27

c) Gạch bỏ hàng toàn số không, hoặc hàng là tổ hợp tuyến tính của những hàng khác thì hạng của nó không thay

II. Cách tìm hạng của ma trận Nhận xét:

g bằng số hàng khác không của nó bất kỳ ta thực hiện các phép

biến đổi sơ cấp đưa ma trận về dạng bậc thang, khi đó hạng của nó bằng số hàng khác không của ma trận bậc thang VÍ DỤ 2 Tìm hạng của ma trận sau:

⎞

⎞

đổi.

Hạng của ma trận bậc thanVì vậy muốn tìm hạng của ma trận

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟

4 1 -1 3 2-2 2 3 0 12 3 2 3 3

A⎜ ⎟⎝ ⎠4 1 3 1 1

+ →+ →+ →

⎜ ⎟⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→

2 1 12 3 3

2 4 4

2

2 -2 2 3 0 1h h hh h hh h h

⎛ 0 5 5

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0 5 5 3 40 5 9 1 3

3 4

− + → ⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→3

1 4 4h h h − + →1 3h h h

⎛⎜ ⎟

0 5 5 3 4

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0 0 0 0 00 0 4 -2 -1

-2 2 3 0 1

↔↔

⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 1

3 4

h 0 5 5 3 40 0 4 -2 -10 0 0 0 0

ñoåi choã hñoåi choã h h

⎛ ⎞−⎜ ⎟

2 2 3 0 1

( )Vaäy rank A = 3


28

VÍ DỤ 3 Biện luận theo λ hạng của ma trận sau

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 -1 1 2 -1-1 -1 1 -1 1 1 0 11 -1 2 2 1

Aλ

λ

+ →− + →− + →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 21 3 3

1 4 4

1 -1 1 2 -10 -2 2 1 -10 2 -1 -2 20 0 1 0 2

h h hh h hh h h

λλ

+ →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

1 -1 1 2 -10 -2 2 1 -10 0 1 -1 +10 0 1 0 2

h h h λλ λ

− + →⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟+⎝ ⎠

1 -1 1 2 -10 -2 2 1 -1

0 0 0 1- - 1

h h h λ

λ λ

3 4 4

0 0 1 -1 +1λ λ

( )( )

λ λ

λ

⇒ = =

≠ =

=0 1 thì rank A 3

* 1 4

* 1-Neáu

Neáu thì rank A


29

VÍ DỤ 4 Biện luận theo m hạng của ma trận sau

…

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

-1 0 2 1 0 2 1 -1 2 2 1 1 1 3 2 -2 -1 1 m -2

A

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 0 2 1 0 0 1 3 4 2 0 0 0 m+2 00 0 0 0 0

( )( )

⇒ = − =

≠ − =

* m+2=0 2 thì rank A 2

* m 2 3

Neáu m

Neáu thì rank A

BÀI TẬP CHƯƠNG I

.1. Thực hiện phép toán trên ma trận và tính các yêu cầu đã hỉ ra

a) Cho

1c

5 24 7

A−⎛ ⎞ 1 2⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

và 6 3

B = ⎜ ⎟−⎝ ⎠. Tính B3 2C A= −

b) 2 1

30 4 ?

21 3

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠


30

c) Cho và . Tính 1 2 12 3 21 4 3

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0 0 10 1 01 0 0

B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

AB và BA

d) Cho 2 13 2

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠. Tính ( ) 3 2

22 2f A A A A I= + + +

1.2. Tính định thức của các ma trận sau

a) 0 4A1 2 2

65 3 7

−⎡ ⎤

⎢ ⎥−⎣ ⎦

⎢= ⎢⎥⎥ b)

11

1

a aB a a

a a

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

c) x y x y

C y x y xx y x y

+⎡ ⎤

⎢ ⎥+⎣ ⎦

⎢ ⎥= +⎢ ⎥ d) 2 4 7D m

1 2 3

3 3 10m

⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

e)

f)

3 1 1 11 3 1 11 1 3 11 1 1 3

E

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20

F

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1.3. Giải các phương trình sau

a) 0 1

4 0 41 2 1

xx

x

−− −− −

0=

b)

32 1 3

3 1 1

x x

x

−0− =

+


31

c) 1 1 22 2 5 01 1 2

xx x+ =+ +

.4. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau (nếu có) 1

a) 1 2 30 1 20 0 1

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b)

1 2 12 3 21 3 1

B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

c)

1 3 5 70 1 2 30 0 1 20 0 0 1

C

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

d)

1 2 3 42 1 1 03 0 2 14 1 0 3

D

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

1.5. Tìm hạng của các ma trận sau

a)

1 3 5 12 1 3 45 1 1 77 7 9 5

A

−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

b)

0 2 41 4 5

3 1 70 5 102 3 0

B

−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

c)

1 2 1 01 2 4 23 2 6 2

C−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

1 2 3 2 62 1 2 3 8

)3 2 1 2 42 3 2 1 8

−⎛ ⎞⎜ ⎟− − −⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟

− −

d D

⎝

⎠


32

1.6. Tìm λ để hạng của các ma trận sau bằng 2

a) b) 1 1 5 11 1 2 33 1 8 2

Aλ

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠

1 1 3 33 2 8 83 2 8 32 1 5

Bλλ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

1.7. Tìm để hạng của ma trận sau bằng 3

. Biện luận theo tham số h của các ma trận sau

a) 2

b)

m

2 2 5 61 3 2 23 1 8 105 1 12m

−⎛ ⎞⎜ ⎟−

⎜ ⎟−⎝ ⎠

A ⎜ ⎟=⎜ ⎟−

1.8 ạng m

1 12 1 51 10 6

mA m

m

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 1 32 11 3

B mm

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 1

d)

1.9. Cho ma trận

1 1 11 11 1 11 1 1

mm

Cm

m

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3 1 1 44 10 1

1 7 17 32 2 4 3

mD

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 3 42 3 4 53 4 5 64 5 6 2

X

a3

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Tìm giá trị của để hạng c a trận là nhỏ nhất.

a ủa m X


33

CHƯƠNG II HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

2.1 KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I. Các khái niệm 1. Định nghĩa. Cho h ương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn có dạng:

ệ ph

+ + + =⎧⎪ + + +⎪

⎪⎪

=⎨

+ + +⎩

11 1 12 2 1 1

1 1 2 2

. . .. . .

. . .

n n

m m mn n

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b= m

I)

ng đó:

21 1 22 2 2 2

..................................................n n (

Tro

= =_____

( 1, ; 1, ) laø caùc heä soá thöïc; ija i m j n

1 2, , . . ., laø aån soán ,x x x n 1 2b , , . . ., caùc haèng soá.mb b laø

=* Khi thì ta coù heä phöông trình n aån soám n n

( )= ∀ =hi 0 ( 1, ) thì heä I ñö goïi laø he* K ôïc ä PTTT hua nhaátib i n t àn phương trình tuy

à ma trận hệ2. Dạng ma trận của hệ ến tính Từ hệ (I) nếu ta đặt: A l số; B là ma trận tự do; X là ma trận ẩn số

⎟⎟

n

⎜= ⎜A⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

…11 1

1

n

m m

a a

a a


34

(=⎜ ⎟.

B= .b b ) ( )⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

T

nx

⎛ ⎞⎜

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1b

. .

m

b

b

b

⎟ ⎜ ⎟1

x⎜ ⎟⎜ ⎟

2

⎜ ⎟⎜ ⎟

1 2..

m =⎜ ⎟⎜ ⎟

1 2X= . . . . nx x x

T

⎜ ⎟⎜ ⎟

2

.

⎛ ⎞x

( ) ( )ä I ñöôïc vieát döôùi daïngma traän laø: II Khi ñoù he AX=B

( )

⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

…11 1 1

1

. b traän A

.

goïi laø ma traän heä soá môû roäng

n

m mn

a aMa A B

a a b

m

3. Định nghĩa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

Bộ n số thực ( nααα ,..., 21 ) gọi là nghiệm của hệ nếu thỏa các

gọi là tập

ương trình tương đương

Hai hệ phương trình có cùng số phương trình và cùng số ẩn

c gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Các phép biến đổi sau đây chuyển một hệ phương trình

thành một hệ phương trình tương đương

+ Đổi vị trí 2 phương trình

+ Nhân 1 phương trình nào đó với 1 số khác 0

đẳng thức trong hệ. Tập tất cả các nghiệm của hệ

nghiệm

4. Định nghĩa hệ ph

đượ


35

+ Cộng vào 1 phương trình nào đó 1 phương trình khác

đã được nhân với 1 số khác 0

ghiệm N ( )= 0,0, . . .,0X được gọi là nghiệm tầm thường II. Định lý Kronecker_Capelli (về sự tồn tại nghiệm của hệ) Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng có hạng bằng nhau: R(A)=R( A ) VÍ DỤ 1 Hệ phương trình sau có nghiệm hay không?

48

4

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 32 5 7

3 4

x x xx x x

x x x

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

BÀI GIẢI Xét ma trận mở rộng

3 1 32 1

3 1

2

1

1 2 3 4 1 2 3 4=−=−

⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎯⎯⎯h h

h h

2

3

1 2 3 4

3 4 4

0 1 1 0 0 1 1 00 0 0

=− +++

⎛ ⎞

⎯→ ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎠

h h hhh

2 5 7 8⎜ ⎟= = ⎜ ⎟A A B

0 1 1 0 0⎝ ⎠ ⎝Suy ra ( )A A Br r= =2 vậy hệ phương trình có nghiệm.

VÍ DỤ 2 Hệ phương trình sau có nghiệm hay không ?

⎧ + + =⎪

+ + =⎨⎪ + + =⎩ 1 2 34 8 3 x x x

1 2 3

1 2 3

2 12 4 3x x xx x x

7BÀI GIXét ma

ẢI trận mở rộng


36

− + →− + →

⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎯⎯⎯⎜ ⎟1 22

4

2 1 1 1 2 1 1A 2 4 1 3 h h

h h

⎛⎜ ⎟

⎯→⎜ ⎟2

1 3 3

10 0 -1 1

8 3 7

hh

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠4 0 0 -1 3

+ →

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟2 3 3-h

1 2 1 10 0 -1 1h h ⎜ ⎟⎝ ⎠0 0 0 2

Ta thấy: ( ) ( )= < = ⇒ [R A 2] 3 heä voâ nghieämR A

VÍ DỤ 3 Cho hệ phương trình

7

1 2 32 1x x x+ − =⎧⎪

1 2 3

1 2 3

2 5 2 43 2

x x xx x x m

+ − =⎨⎪ + + − = +⎩

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm . BÀI GIẢI

Xét ma trận mở rộng

− + →⎜ ⎟ ⎜= ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜− + →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎟⎟⎜ ⎟ ⎜+ + ⎠

1 2 -1 1 1 2 -1 1 4 2

6

⎝ ⎠ ⎝1 3 3

1 3 -2 7 0 1 -1m m

1 2 22A 2 -3 4 0 1 -1h h hh h h

− + →

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

1 3 3

1 2 -1 10 1 -1 20 0 0 4

h h h

m

Để hệ phương trình có nghiệm thì R(A)=R( A ) suy ra m= -4


37

2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH. I. Giải hệ bằng phương pháp Cramer 1. Định nghĩa hệ Cramer: là hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn và có định thức của ma trận hệ số khác không: det(A) 0 2. Định lý Cramer: Hệ Cramer có nghiệm duy nhất và nghiệm được tính theo công thức:

≠

det( )

; 1,det( )

jj

Ax j n

A= =

Trong đó

j Aởi cộ

là ma trận tạo thành từ ma trận A bằng cách thay

đổi cột j b t hằng số j(b ) CHỨNG MINH

( ) ( )−≠ ⇒ =1 *det A 0

det1A AA

Ta chứng minh là nghiệm của hệ phương trình

Thật vậy:

-1X=A BAX=B

( ) = = =-1 -1A A (AA ) (ñuùng)B B I BB

( )

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

11 21 n1 1

-1 12 22 2 2

1 2

A . . . A. . .1A

det ............................... . .

n

nn n nn

A bA A A b

BA

bA A A

⎜ ⎟


38

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

+1 11 +

+ + +

⎤⎦

11 1 21 2 1

1

n n

n

ức

⇒ =1

1 . . . det

x A b A b A bA

⎡= − + +⎣ 11 1 11 det . . . -1 det

det

det

n nM b M bA

A= 1

det ATương tự ta có công th 2 3x , , . . . , nx x Ta chứng minh sự duy nhất nghiệm:

= =Giaû söû heä coù vaø ' khi ñoù: ; vaø '2 nghieäm X X AX B AX

(= '

A

B

) ( )− −⇒ = ⇒ − = =

⇒ − = ⇒

1 1- ' 0 ' 0 0

' 0

X X A A X X A

X X X

X3. Giải và biện lu

pháp Cramerận hệ phương trình tuyến tính theo phương

* Nếu detA≠ 0 thì hệ có nghiệm uy nhất

* Nếu detA= 0 và

d

∃ ít nhất detA j ≠ 0 , =1,j n thì hệ

etA = 0 vàvô nghiệm

d * Nếu detA j = 0, 1,j n∀ = thì hệ có thể có vô số nghiệm

Í DỤ 1 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

BÀI GIẢI Ta thấy

V

⎧ − + = ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟− + = − = =⎨ ⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟− + = ⎝ ⎠⎩

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 9 1 -1 3 93 5 4 3 - 5 1 ; -4

4 - 7 1 04 7 0

x x xx x x ta coù A Bx x x

( ) = − ≠det 2 0;A


39

= 98

= 53

= - 21

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

9 -1 3detA det 4 -5 1

0 -7 1

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2

1 9 3detA det 3 -4 1

4 0 1

⎛ ⎞1 -1 9⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3detA det 3 -5 -44 -7 0

Suy ra

( )( )( )( )( )( )

⎧= =⎪

−⎪⎪⎪ = =⎨ −⎪⎪

−⎪ =⎪

=−⎩

11

det 98d

Ax

22

det 53x

3

2et

2det

2t

A

A

A

DỤ 2 Tìm a để hệ phương trình không có nghiệm duy nhất?

3

det 21de

Ax

A

VÍ

+ =⎧⎪ + =⎨⎪ + =

- 62 3 - 4 2

- 5

ax y zx y zx y ax⎩7

a

BÀI GIẢI


40

Ta có ma trận hệ số 1 1

2 37 1

aA

a

−⎛ ⎞⎜ ⎟4= −

Để

⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

hệ phương trình không có nghiệm duy nhất thì

= ⇔ − − =2det 0 3 6 5 0A a a Suy ra: ±

=3 2 6

3a

VÍ DỤ 3 Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm

I GIẢI

Ta có ma trận hệ số

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−+−=++−=+−

5)12(424

732

zmyxzyxzyx

−1

BÀ

2 3 11 4 21 4 2 1

Am

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

9det 22 9 det 022

A m A m= − ⇒ = ⇔ = và ta có

− ≠

ậy hệ phương trình vô nghiệm khi

3

2 3 7det det 1 4 1 4 0A

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= − =⎜ ⎟

1 4 5⎜ ⎟− −⎝ ⎠

V 922

m =

Chú ý: P ỉ dhương pháp Cramer ch ùng được a) Hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn, khi số phương trình bằng số ẩn lớn hơn 3 thì khối lượng tính toán khá

b) Định thức của ma trận hệ số khác không: det(A) lớn.

≠ 0


41

c) Khi det(A) = 0 hoặc số phương trình khác số ẩn thì không áp Cramer.Khắc p ục nhược điểm này ta s-Jordan

II. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss-Jordan

Xét hệ

dùng được phương ph hcó phương pháp Gaus

⎪

+ + + =⎧+ + +⎪

⎨⎪

=

⎪ + + + =. . .a x a x a x b⎩

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...................................................

n n

m m mn n

a x a x a x b

11 1 12 2 1 1. . .. .

n na x a x a x b

m

ập ma trận mở rộng Bước 1: L ( )A A B= Bước 2: Dùng các p ơhép biến đổi s cấp trên hàng đưa ma trận A về dạng ma trận bậc thang hoặc tam giác .

ăn cứ vào hạng của A và Bước 3: C A mà kết luận số nghiệm của hệ phương trình, cụ thể:

) * Nếu rank(A ≠ rank( A ) thì hệ vô nghiệm * Nếu rank(A) = rank( A ) = n thì hệ có 1 nghiệm duy nhất

* Nếu rank(A) = rank( A ) = r < n thì hệ có vô số nghiệm, trong đó có n - r nghiệm tự do và r nghiệm phụ thuộc tuyến tính vào n – r ẩn tự do đó.

VÍ DỤ 4 Giải hệ phương trình

48

4

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 32 5 7

3 4

x x xx x x

x x x

+ + =⎪⎧

+ + =⎨⎪ + + =

⎩BÀI GIẢI

Ta có ma trận hệ số 1 2 32 5 7A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟

mà det A=0 1 3 4⎝ ⎠


42

Xét ma trận mở r ng ộ

3 1 32 1 2

3 1 3

22 5 7 8 0 1 1 0 0 1 1h h hh h hh h hA B =− +=− +=− +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3⎛ ⎞ ⎛ 40

1 3 4 4 0 1 1 0 0 0 0 0

⎞ ⎛ ⎞⎟⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Vì ( )A A Br r=

h

=2 nên hệ có nghiệm. Từ ma trận bậc thang ta

có g trình đã cho tương đương với hệ: ệ phươn1 2 3 1 3

2 3 2 3 3

2 3 4 40 ;

+ + = = −⎧ ⎧→⎨ ⎨+ = = − ∈⎩ ⎩

x x x x xx x x x x R

VÍ DỤ 5 Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số a

+ + =⎧

⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩4 8 3

1 2 3

1 2 3

2 12 4

1 2 3

3

x x xx x xx x x a

BÀI GIẢI

Xét ma trận mở rộng

− + →− + →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠4 8 3 a ⎝ ⎠

1 2 2

1 3 3

24

2 1 1A 2 4 1 3 0 0 -1 1

0 0 -1 4

h h hh h h

a

1 2 1 1 1

+ →

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝0 0 0 ⎠

2 3 3-h

1 2 1 10 0 -1 1

5

h h

a

Từ ma trận bậc thang ta có


43

( ) ( )≠* Neáu a 5 thì [r A = < = ⇒2] 3 heä voâ nghieämr A

( )

( )⎧ ⎧= − − = −⎪ ⎪

⇒ ⇒⎨ ⎨⎪ ⎪

1 2 3 1

2

x 1 2 2 2

heä coù voâ soá nghieäm = tuyø yù

x x xx x

α

α

II

( )

=

=

= − = −⎩⎩

2

3 3

* Neáu a=5 thì r(A)= 2

tuyø yù

x 1 1

r A

x

α

I. HỆ THUẦN NHẤT

Xét hệ thuần nhất n phương trình và n ẩn có dạng

Dạng ma trận

Hệ thuần nhất có nghiệm

1. Định nghĩa

( )

+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨

+ =

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

. . . 0. . . 0

.................................... 0

n n

n n

nn n

a x a x a xa x a x a x

III

a x⎪...............⎪ + +⎩ 1 1 2 2 . .n na x a x

AX=0

(0 0 0 . . .0)TX = được gọi là nghiệm tầm thường của hệ.

Định lý

Hệ thuần nhất (III) có nghiệm tầm thường

2.

⇔ ≠det 0A .

Hệ quả

I) có nghiệm không tầm thường khi Hệ thuần nhất (II=det 0A .


44

VÍ DỤ 6 Giải hệ phương trình + − =⎧

⎪ + + =⎨⎪− − + =⎩

2 4 02 0

4 5 2

x y zx y zx y z 0

BÀI GIẢI

Ta có

V

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 1 -4A= 1 2 1

-4 -5 2

à ( ) =det 0A nên hệ có vô số nghiệm,muốn tìm nghiệm Gauss

⎞⎟

⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎠

Ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:

thì phải dùng phương pháp

↔⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟1 2A= 1 2 1 2 1 -4h h

⎛ 2 1 -4⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜

⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

1 2 1

-4 -5 2 -4 -5 2

+− ++

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

2 31 2

1 3

24

1 2 1 1 2 10 -3 -6 0 -3 -60 3 6 0 0 0

h hh hh h

2 03 6 0

x y zy z

+ + =⎧⎨ − − =⎩

⎪⇒ ⎨

⎪

⎧ =

= −= ∈⎩

32;

xyz R

αα

α α

Vậy hệ có nghiệm là 3 , , );2( Rα α α α ∈−

Hệ phương trình thuần nhất mà có số phương trình nhỏ hơn số nghiệm không tầm thường.

Chú ý:

ẩn thì sẽ có


45

2.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG MA TRẬN Cho 3 ma trận A, B, X ∈M nxn( )

Nếu det(A)≠

I. Hệ phương trình ma trận có dạng AX = B (IV) CÁCH GIẢI

0 thì có ma trận A-1 Từ AX = B ta có A-1 AX = A-1B hay IX = A-1B nên X = A-1B

det(AVậy nếu )≠ 0 thì nghiệm của hệ (IV) là X = A-1B ương trình ma ận có dạng XA = B (V)

CÁCH GIẢI Nếu det(A) 0 thì có ma trận A-1

XA = B ta có X

II. Hệ ph tr

≠Từ AA-1 = B A-1 hay XI =B A-1 nên X =B A-1 Vậy nếu det(A)≠ 0 thì nghiệm của hệ (V) là X = B A-1 VÍ DỤ 7 Giải hệ phương trình ma trận sau

⎞⎟⎟⎟⎠

BÀI GIẢI Ta có

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜= = =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

1 2 - 5 1 - 2 3 4 0 5 , 4 0 5

1 1 - 2 -1 2 3AX B trong ñoù A B

= − − + =10 20 5 16 1A 0≠ ⇒ −

−⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠

1

5 -1 1025

4 1 -8 = ⎜

⎜ ⎟13 3 -

A ⎟

−

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜

⎟⎜ ⎟ ⎜⎠⎝ ⎠ ⎝

1

5 -1 10 1 -2 3 -19 30 1013 3 -25 4 0 5 = 50 -76 -21

-8 -1 2 3 16 -24 -7X A B

⎞⎟⎟⎟⎠

⎜⎝4 1

VÍ DỤ 8 Giải hệ phương trình sau


46

⎧ − + = ⎛3 9 1 -1 3x x x ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

9-4

4 - 7 1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

có

⎪1 2 3

− + = − = =⎨ ⎜ ⎟1 2 33 5 4 3 - 5 1 ; x x x ta coù A B⎪ − +4 7x x x =⎩ 1 2 3 0BÀI GIẢI

Từ hệ phương trình ta đưa về dạng ma trận là AX=B và

( ) = − ≠det 2 0A ⇒ -1X=A B

mà ⎛ ⎞−2 20 14⎜ ⎟= ⎜

-1 1A 1 -11 8 nên ⎟− ⎟2 ⎜

⎝ ⎠-1 3 -2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

=

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

2

49x 2 20 14 9 531X= 1 - 11 8 4 22

-1 3 -2 0 212

laø nghieäm cuûa heä phöông

trình

x

VÍ DỤ 9 Giải phương trình ma tr n sau

⎞⎟⎠

BÀI GIẢI

ặt ;

⎞⎟⎠

⎜ ⎟⎝ ⎠3x

ậ

⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

1 3 1 22 5 3 4

X

Đ1 32 5

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 23 4

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Ta có

1 1 2 5 3 1 13 4 2 1 7 5

XA B X BA− − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛= ⇒ = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝


47

Chú ý: Có thể xác định cấp của ma trận, rồi thực hiện phép nhân ma trận đưa về giải hệ phương trình tuyến tính. Từ đầu bài suy ra X là ma trận vuông cấp 2 ta có ⎛ ⎞⎜ ⎟

1 2

⎝ ⎠3 4 x xx x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 32 5

=

2 và 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 23 4

⇒ 1 2

1 2

2 13 5x xx x+ =⎧

⎨ + =⎩

3 4

3 4

2 33 5x xx x+ =⎧

⎨ + =⎩

Nên X=

VÍ DỤ 10 Tìm X từ hệ sau

⎞⎟⎠

BÀI GIẢI

Đặ ; ;

Nếu det(A) 0 thì có ma trận A

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1-7 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛−=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

1 -2 1 3 15 6 5 8 2 7 9 4

X

t 1 2

5 8A

− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 32 7

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

15 69 4

C ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Ta có AXB=C ≠ -1

Và nếu det(B)≠ 0 thì có ma trận B-1 -1AXB B-1= A-1C B-1 Nên X= A-1C B-1 Khi đó A

Vậy 8 2 15 6 7 31X5 1 9 4 2 12

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

=

138 56

7 3 427 179184 34 2 1 328 1432

− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠


48

VÍ DỤ 11 Cho các ma trận 1 2 1−⎛ ⎞

( )⎜ ⎟3 1 2 ; B = 4 3 7 1

= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Am

2

a) Với giá trị nào của m thì ma trận A khả nghịch? b) Với m = 1, hãy tìm ma trận X sao cho XA =B.

ÀI IẢI a) Ma trận A khả nghịch khi B G

det 0A ≠ .

và 13det A = 5 13 det 05

m A m− + ⇒ ≠ ⇔ ≠

b) Với m = 1 thì 1 2 13 1 22 1 1

A−⎛

⎜⎞⎟ det 10A= ⎜ ⎟

⎜ ⎟−⎝ ⎠

⇒ =

ận nghịch đảo Ta có ma tr 1

3 1 51 1 3 5

105 5 5

A−

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜−⎝

⎟− ⎠

Từ 1XA B X BA−= ⇔ =

Vậy ( )3 1−⎛ 5 20 2

1 45 5 5 0 3

− −⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

T T

Y

14 3 7 1 3 5⎜= −X 4010 10

3=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −

HA ( )2 4 3= − −X

ý: Nếu det(A)= 0 thì A KHÔNG có ma trận A-1

Có thể xác định cấp của ma trận, rồi thực hiện phép nhân ma ận đưa về giải hệ phương trình tuyến tính bằng PP GAUSS.

Chú

tr


49

BÀI TẬP CHƯƠNG II 2.1. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau

1a) 2 3 7 16x y z+ − =⎨

⎪b) 1 2 32 3 1

1x x x

2 6x y z+ − =⎧⎪

5 2 16x y z+ + =⎩ 1 2 32 3x x x

1 2 33 2 5x x x+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

c) ⎪

1 2 3 42 4 2 2x x x x+ − + =⎧

2 3 4

3 4

4

2 6 2 3 1 1

x x xx x

x

+ + =⎪⎨ + = −⎪⎪ = −⎩ 4

d)

6848

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3

22 2 33 2 22 3 2

x x x xx x x xx x x xx x x x

+ + − =⎧⎪

2 3− − − =⎪

⎨ + − + =⎪⎪ − + + =⎩

2.2. Tìm để hệ phương trình sau vô nghiệm

a)

b) 1

m

( )4 2 14 2 1

x y zx y m z

⎪+ + = −⎨− + − = −

2 3 7x y z⎧ − + = − =

5⎪⎩

22 5 2 2 23 7 3 3 1

x y z t mx y z t mx y z t

+ − +⎧⎪ + − + = +⎨⎪ + − + =⎩

để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

1

2.3. Tìm a

a) 2 2

x y 2 33

z

3 3 4x a y− +⎨

⎪z

=⎧

=x y z+ + =⎩ ( ) (2x a y a− + + + −⎩

− +⎪ b)

0( )

)

2 3 02 4 7 0

1

x y zx a y z

z

⎧ − + =⎪

+ − + =⎨⎪ =


50

2.4. Cho hệ phương trình

3( )

)3

1 2 3

2 5 2 4

1

x m x x

m x m

⎪+ + − =⎨

( ) (1 2

3x m x⎪

1 2 32 1x x x⎧ + − =

+ + + − = +⎩

a) Tìm t. iệ

m để hệ phương trình có nghiệm duy nhấ b) Tìm để hệ phương trình có vô số ngh m. Tìm

nghiệm tổng quát trong trường hợp đó. .5. Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau

3

b)

m

2

a) ( )

( )( )

1 2 3

1 2

1 2 3

1 1

1 1

1 1

a x x x

x a x x

x x a x

+ + + =⎧⎪

+ + + =⎨⎪ + + + =⎩

2

1x y zx y zx y z

λλ λ

λ λ

⎧ + + =⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

2.6. Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau

0

a)

b) 1 2 3

1 2 3

1 2 3

02 2 0

10 6 0

x x xx x x

x x x

+ − =⎧⎪ − + =⎨⎪ + − =⎩

1 2 3 4

1 3 4

1 2 3 4

2 2 0 3 5 0

4 6 9 7

x x x xx x x

x x x x

+ + + =⎧⎪ − − =⎨⎪ + + + =⎩

2.7. 2 0 0⎛ ⎞

Tìm ma trận sao cho

2.8. Cho hệ phương trình

3 0

X0 0

X = ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( ) ( )

1 2 3

2 3

1 2

3 02 5 7 0

2 1

x x xm x x

x m x m x

⎧ + =⎪

+ − + =⎨⎪

1

2x−

− + + + − =⎩

a) Tìm để hệ có nghiệm duy nhất. b) Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ khi

m 0m =


51

2.9. Giải các phương trình ma trận sau

⎠ b)

⎞⎟⎠

a) 1 2 6 4

X⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟3 4 4 2⎝ ⎠ ⎝

1 3 1 22 5 3 4

X ⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

c) 1 0 1 1 20 1 1 3 1X⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ d)

1 2 1 0 1 12X

1 1 0 2 4⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 7 1 1 1

3 3 2 1 12

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ = −⎟ ⎜ ⎟

⎟⎠

2.10. Giải các phương trình ma trận sau

a) ⎞

c)

⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

9 10⎟⎠b) X

3 1 5 6 14 165 2 7 8

X−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝( )

2 07 3

3 1−⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

( )0 3 3

5 1 61 3 4

X−⎛ ⎞

= −⎜ ⎟−⎝ ⎠ d)

213

2 4 21 2 1

3 6 3X

−⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜− = − −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜

⎞⎟⎟⎟−⎝ ⎠ ⎝

⎠

.11. Hãy xác định k để phương trình ma trận XA=B có

m. k= đó

2nghiệTìm ma trận X với 14 trong

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟

1 3 -21 3 5

A= 2 k 3 vaø B=1 2 3

⎝ ⎠4 k 1


52

CHƯƠNG III ÁC BÀI TOÁN ỨNG D NG TRONG KINH TẾ

Trong nền kinh tế thị trường, các doanh nghiệp luôn luôn

ng hoạt động của mình sao cho lợi nhuận đạt được là cao

nhất. Nhà nước lãnh đạo tế thông qua các chính sách

inh tế của mình, chứ không phải bằng mệnh lệnh, như trong

h. Thông thường nhà

ước điều hành nền kinh tế kế hoạch. Khi đó nhà nước điều

h nền kinh tế thông qua các ch h sách về thuế và lãi suất

Sau đây chúng ta xét một số bài toán thường gặp trong kinh

nh và điều hành kinh tế.

3.1 Ý NGHĨA KINH TẾ CỦA O HÀM Biên tế

là các quan hệ hàm. đại lượng kinh tế x và y được liên hệ với nhau

bằng quan hệ hàm y=f(x). Quan hệ trên cho phép chúng ta nghiên cứu sự th đổi của đại lượng y khi đại lượng x thay đổi. Ta sẽ luôn giả thuyết rằng hàm số f(x) có đạo hàm tại m i điểm. Ta xét tại trạng thái

)

C Ụ

hướ

nền kinh

k

nền kinh tế tập trung, nền kinh tế kế hoạc

n

hàn ín .

doa

ĐẠI.

Khi xét đến các mô hình kinh tế, chúng ta luôn luôn quan tâm đến quan hệ giữa các đại lượng kinh tế. Đặc biệt khi các quan hệ giữa các đại lượng kinh tế1.Giả sử các

ay

ọ0 0,x( y , trong đó 0 0( )y f x= . Chúng ta muốn biết tại trạng

ái đó , khi x tăng lên 1 đơn vị, thì đại lượng y thay đổi bao nhiêu. Điều đó dẫn chúng ta đ một khái niệm trong kinh tế: đại lượng biên tế.

thến


53

a) Định nghĩa: Biên t đại lượng x tại , ế của đại lượng y theo 0xkí hiệu là 0M ( )x y x là độ biến đổi của đại lượng y khi đại lượ x tăng lên 1 đơn vị. b) Biểu thức toán học của biên tế

ng

Giả sử tại 0x ta cho x tăng lên 0x x xΔ = − đơn vị. Khi đó độ biến đổi tương ứng của đại lượng y sẽ là

0 0 0( ) ( ) ( ) ( )y f x f x f x x f xΔ = − = + Δ − . Vậy khi x tăng lên 1 đơn vị độ biến đổi trung bình của đại

lương y sẽ là 0

0

( ) ( )f x f xyx x x

−Δ=

Δ −

Để biết được chính xác độ biến đổi của đại lượng y khi x tăng lên 1 đơn vị, tại trạng thái 0 0( , )x y ta phải chuyển qua giới hạn khi x tiến tới 0x tức là

0M ( )x y x0

0( ) ( )lim

x x 0

f x f xx→ x−

=− 0

limx

yxΔ →

Δ=

Δ.=f’( 0x )

Như vậy biên tế của đại lượng y theo đại lượng x tại là

i, nếu không sợ nhầm lẫn ta viết

0xđạo hàm của hàm số f(x) tại điểm 0x .

Đôi kh 0M ( )y x thay cho

0M ( )x y x . VÍ DỤ 1 Nếu ta xét mô hình sản xuất một loại sản phẩm, trong mô hình này tổng chi phí C có thể coi như một hàm của tổng sản lượng Q là ( )C C Q= Vậy chi phí biên tế ( )MC Q là đạo hàm của hàm ( )C Q .

( ) '( )MC Q C Q= VÍ DỤ 2 Chi phí C(Q) phụ thuộc vào sản lượng Q và có mô

g chi phí sản xu oanh nghiệp là:

hình tổn ất của d

= − + + >3 2C(Q) Q 5Q 14Q 144; (Q 0)


54

Chi phí biên của C theo Q (chi phí cận biên), kí hiệu

2) 3Q 10Q 14= − + MC(Q

Xét tại mức 0Q 100= thì MC(100) 29014=

Ý nghĩa

= Đang sản xuất với tổng sản lượng 0 nếu tăng sản

lượn vị. Như í tăng thêm là

hàm :

0Q 10

ực tế chi phQ

y, , ,x x

ng lên một đơn vị thành Q 101= thì tổng chi phí tăng thêm 29014 đơ

1ng trong th

ế

− = = ∫ 1

01 0 Q

C(Q ) C(Q ) 29310 MC(Q)dQ

2. Giả sử ta có các đại lượng kinh t , x… liên hệ với nhau bằng quan hệ

1 2 n

1 2( , , , )ny f x x x= … .

Như vậy j j

y fx x∂ ∂

=∂ ∂

với 1 j n≤ ≤ là tỉ số của ến i

ị tại trạng thái :

của đại

độ bi đổ

của đại lượng y khi jx tăng lên 1 đơn v

( 1x

theo đại lư j

)2, , , ,j nx x x… … .Đó là đại lượng biên tế lượng y

ợng x tại trạng thái ( ), , , nx…1 2x x và ta kí hiệu :

jxj

fM yx∂

=∂

( )1 2, , , nx x x… .

VÍ DỤ 3 Ta xét hàm sản xuấ trong ó K là vốn ; L là

lao động ; Q là khối lượ đầu ra). Đây là hàm hai

thể lấy các đạo hàm riêng

t Q=Q(K,L)ng sản phẩm (

đ

biến. Giả thiết hàm này có các đạo hàm riêng liên tục. Ta có QK∂∂

và QL

∂∂

.


55

Đạo hàm riêng QK∂∂

là tỉ số của sự thay đổi của đại lượng Q

đổi vô cùng bé của đại lượng K trong khi lao

hay đổi. V

đối với sự thay

động không t ậy QK∂∂

tượng trưng cho hiệu suất biên

tế của vốn.

Tương tự QL

∂∂

là tỉ số của sự thay đổi ng Q đối với

sự thay đổi vô cùng bé của đại hi vốn không thay đổi.

Vậy

của đại lượ

lượng L kQK∂∂

chính là năng suất lao động biên tế.

II. Hệ số co giãn được liên hệ u

a) Độ i tuyệt đối và thay đổi t T đại lượng x. Khi ta lấy

1.Giả sử các đại lượng kinh tế x và y với nhabằng quan hệ hàm y=f(x).

thay đổ độ ương đối a xét một x x xΔ = − thì 0 xΔ được

gọi là độ thay đổi tuy đối của đại lượng x.

x. Ví dụ, đại lượng x diễn tả trọng lượngcủa sản phẩm ch ng hạn. Ta hãy ta chọn đơn vịđể đo trọng lượ là kilôgam thì

ệt Độ thay đổi tuyệt đối của đại lượng x phụ thuộc vào đơn vị chọn để đo đại lượng

ẳ hình dung, nếu ng 2 ( )x kgΔ = .

ì khi đó x V

đơn vị để đo trọng lượng là tấậy khi ta chọn

n, th 0,002Δ =i người của đạ

(tấn). Vì vậy trong kinh tế, ngoài độ biến i ta còn xét

i tương đối. Độ biến i lượng x tạ hư tỷ số a

đổi tuyệt đốđổi tương đố giữ

độ biến đổi 0x được định nghĩa n a độ biến đổi tuyệt đối củ

x với 0x tức là bằng 0

xxΔ .

Độ biến đổi tương đối củ ại lượa đ ng x không phụ thuộc vào đơn vị chúng ta chọn để đo.


56

VÍ D ọ

à:

Ụ 4 Nếu ta ch n đơn vị để đo là kilôgam, xét tại =100.000.000(kg) và độ biến đổi tuyệt đối

5.000.000xΔ = (kg) thì độ biến đổi tương đối sẽ l0x

0

5100

xxΔ

= =(5%).

Nếu ta chọn đơn vị để đo trọng lượng là tấn thì :

(t0x =100.000 (tấn) và khi đó độ biến đổi tuyệt đối của x

5.000xΔ = ấn) và độ biến đổi tương đối của x vẫn bằng

0 0.000 100xĐộ ến đổi tương đối thường đo bằng phầ

5.000 5xΔ= = (=5%).

10 bi n trăm (%).

ại trạng thái )

Nếu ta lặp lại việc xét sự phụ thuộc của đại lượng kinh tế y

vào đại lượng kinh tế x t 0 0( ,x y với

0 0( )y f x= cũng giống như khi ta xét biên tế, nhưng b ờ

thay cho độ biến đổi tuyệt đối của x và y là

ấy gi

) ( ,x yΔ Δ bằng độ

biến đổi tương đối của chúng 0 0

,x yx y

⎛ ⎞Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠

thì ta sẽ được một đại

lượng mới, mà trong kinh tế gọi là hệ số co n.

b) Định nghĩa

Hệ số co giãn của đại lượng y theo đại lượng x tại 0x , ta kí

0yx

giã

hiệu là ( )xε là độ biến đổi tương đối của đại lượng y (tính

ra %) khi đại lượng x tăng tương đối lên 1(%).


57

c) Biểu thức toán học của hệ số co giãn

Ta xét ( )y f x= tại điểm 0x . Ta cho ăng lên xx t Δ đơn vị

tăng tuy( xΔ là độ đối) th ng tương đối ệt ì x tă0

100× (%)xxΔ .

Khi đó, độ biến đổi tuyệt đối tương ứng của đại lượng y sẽ là

0 0 0( ) ( ) ( )( )y f x f x f x x f x− = + Δ − . Độ biến đổi tương

ẽ là:

Δ =

đối của đại lượng y s 0 )

0 0

( ) (100% 100%

f x f xy yy −Δ× = ×

Vậy khi x tăng tương đối lên 1% thì độ biến đổi tương đối

trung bình của đại lượng y sẽ là :

0

0

100

100

yx

×

Δ×

Để biết được chính xác độ bi ơng đối của đại lượng

y tại 0x khi x tăng lên 1% ta phải chuyển qua gi

(%)

y

x

Δ

ến đổi tư

ới hạn khi

0xΔ → .

Tức là chúng ta có: 0 00 0

0 0( ) lim . '( )yx

x xyx f x0

.x x y y

ε Δ= = Δ → Δ

VÍ DỤ 5 Ta xét khối lượng cầu DQ v

( )p

ề một loại hàng nào đó

ô hình thị

ường một loại hàng:

phụ thuộc vào giá bán p của loại hàng đó. Trong m

tr DQ Q= .Nói chung khối lượng cầu


58

DQ nghịch biến với giá bán của nó (p). Tức là khi p tăng thì

cầu sẽ gi ể khối lượng ảm. Để th hiện được tính chất trên ta giả

thuyết '( ) 0Q p < với mọi p>0.

(giảm đi bao nhiêu %) khi giá bán p tăng lên 1%. Như vậy ta

Chúng ta muố

số co giãn c

n biết độ thay đổi tương đối của lượng cầu

ệ ủa hàm cầu xét h ( )Q pε .

ệ

Th

u

ông thường hệ số co

giãn của hàm cầu người ta kí hi Dε thay cho kí hiệu

QPε .V o giãn của hà được tính theo công thức: ậy hệ số c m cầu

'( ).DpQ pQ

ε = .

Vì giá p và khối lượng cầu Q là dương và '( ) 0Q p < nên

0Dε <

Chú ý:

.

Trong một số sách kinh tế người ta còn định nghĩa hệ

số co giãn của hàm cầu: '( ). 0DpQ pQ

ε = >

VÍ DỤ 6 Cho hàm cầu PDQ 1000 5= − , hệ số co giãn Dε là

: D Q (P)′ε =P 5PQ 1000 5⋅ = −

−

P

Tại P 120= , D 0(P ) 1,5(%)ε = − hĩa là khi đang bán với đơn giá 0P 120= , nếu ta tăng giá lên 1%, thì lượng cầu sẽ giảm đi khoảng 1,5%.

, ng


59

VÍ DỤ 7 Lượng cầu DQ của một loại hàng phụ thuộc vào giá

bán p của nó như sau: 6000 2DQ p= − .

a) co giãn của hàmTìm hệ số cầu.

b) Xét tại giá bán p=2000 và p=1200 thì hàm cầu sẽ thay

đổi bao nhiêu?

BÀI GIẢI

a) Hệ số co giãn của hàm cầu: 2.Dp p

ε−

= = '6000 2

QQ p−

b) Nếu thì 2000p = 2Dε = − tức là tại đó khi giá bán p tăng

lên 1% thì khối ợng cầu giảm đi 2%. lư

Nếu 1200p = thì 4 26 3Dε− −

tăng lên ợng cầu giảm đi 2%.

= = , tức là khi giá bán p

3% thì lư

d) Phân loại điểm trạng thái: Dựa vào hệ số co giãn người ta

phân loại điểm trạng thái ( )0 0,x y của hai đ ượng x và y.

Trong kinh tế người ta định nghĩa như sau:

ại l

• Nếu 0( ) 1yx xε > thì điểm ( )0 0,x y được gọi là điể co

giãn.

m

ếu • N 0( ) 1yx xε = thì điểm ( )0 0,x y được gọi là điểm

đẳng co g hi còn gọi là điểm co giãn đơn vị). iãn (đôi k


60

• Nếu 0( ) 1yx xε < thì điểm ( )0 0,x y được gọi là điểm

không co giãn.

Quay lại ví dụ 7:- Nếu giá bán 200p 0= thì 2 1Dε = > . Do

-Còn nếu giá bán

đó trạng thái đang xét ở điểm co giãn.

1200p = thì 2 13Dε = < ,

trạng thái đang xét ở điểm không co giãn.

Còn tại điểm đẳng co giãn, giá bán p được tính như sau

2 1 2 6000 2 4 6000 15006000 2D p p

p−p p pε = = ⇒ = − ⇒ = ⇒ =

giãn viế ạng vi phân

Như chúng ta đã biết hệ số co giãn

e) Hệ số co t dưới d

yxε được viết dưới

dạng ' .yxxyy

ε = và ta lại biết vi phân ' .dy y dx= suy ra

: ' dyydx

= . Thay biểu thức vừa tìm được vào biểu thức của hệ

, ta số co giãn sẽ có : .yxdy xdx y

ε =

Biểu thức trên ta có thể biến đổi đưa về dưới dạng sau đây:

(ln ).yx yx

dyd

(ln )y x d yy

dxdx y d xx

ε ε= = ⇒ = .


61

2. Trường ợp tổng quát: Xét mối quan hệ kinh tế h= 1 2 nY f (x , x ,..., x )

Ta có Δ ix

: % sự thay đổi của xi

xi ;

YYΔ : đổi củ% sự thay a Y

Hệ số co giãn riêng của Y theo biến xi

Δ

Δε = =

Δ ΔiY xi

Y

x x Y⋅ i

i

xYY

Nếu khả vi theo biến , ta có

ix

= 1 2 nY f (x , x ,..., x ) ix

∂ε = ⋅

∂i

i iY X

i ix Y=

x Mf(x )fAf (x )

Ý n

i 1% thì Y

ghĩa: Trong điều kiện các yếu tố khác không đổi, nếu

thay đổ thay đổi

ix

εiY x %.

p sau Khi tất cả các biến cùng thay đổi 1%, ta có hệ số co giãn toàn hần như

VÍ hàm Cobb Douglas như sau

DỤ 8 Xét mối quan hệ giữa các biến được biểu diễn qua

321Q f (L,K) L Kββ= = β

Tìm hệ số co giãn của Q

=

ε = ε∑ i

n

Y X Y Xi 1


62

BÀI GIẢI

Hệ số co giãn riêng của Q theo L

32

32

11 2 2Q L

1

Q L LL KL Q L K

ββ −ββ

∂ε = ⋅ = β β ⋅ = β

∂ β

Hệ số co giãn riêng của Q theo K

32

32

11 3 3Q K

1L Kβ

Q K KL KK Q

β −βββ

∂ε = ⋅ = β β ⋅ = β

∂

Hệ số co giãn của Q theo L và K

2 3Q L,Kε = β + β


63

3.2 CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM MỘT BIẾN TRONKINH TẾ

G

I. Bài toán tìm sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa

n xuất độc quyền một loại sản phẩm.

u của xí nghiệp xét trong một đơn vị thời gian là :

1. Bài toán

Giả sử một xí nghiệp sả

Biết hàm cầ

( )DQ D P= . Trong đó, DQ là lượ

b

ng hàng cầu, P là đơn giá

tổng chi pán.Và hàm hí: ( )C C Q= , trong đó C là tổng chi

ng một đơn vị thời gian.

Hãy tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa.

. Lược đồ giải bài toán

sản phẩm trong một đơn vị

ết số sản phẩm trên, xí nghiệp chỉ có

thể bán với giá cao nhất p sao cho .

Từ đó ta suy ra

phí, Q là tổng sản lượng sản xuất tro

2

Giả sử xí nghiệp sản xuất ra Q

thời gian. Khi đó để bán h

( )DQ Q D P= =

1( ) ( )P P Q D P−= =

(D có hàm ngược vì D là hàm giảm).

Vậy doanh thu của xí nghiệp sẽ là ( ) ( ) .R Q P Q Q=

Lợi nhuận của xí nghiệp: ( ) ( ) ( )Q R Q C Qπ = −

a 0Q > để

và mức sản

ng Q chính là giá trị củlượ π đạt cực đại tại Q.

rước hết chúng ta hãy xét điều kiện cần. Ta giả thiết tất cả các

àm đều có đạo hàm liên tục đến cấp 2.

Để

T

h

π đạt cực đại tại Q thì '( ) '( ) '( ) 0Q R Q C Qπ = − =


64

hay: ( ) ( ) 0MR Q MC Q− = ( ) ( )MR Q MC Q⇔ =

Vậy qua điều kiện trên ta rút ra một kết luận quen thuộc trong

hân tích kinh tế: Muốn cho xí nghiệp có lợi nhuận tối đa, thì

phí biên tế. Tất nhiên đó chỉ là điều kiện cần chứ

ả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại

gian là

p

xí nghiệp phải sản xuất mức sản lượng sao cho doanh thu biên

tế bằng chi

không phải là đủ.

VÍ DỤ 1 Gi

sản phẩm. Biết hàm cầu của xí nghiệp xét trong một đơn vị thời

1600 .2

P= − và hàm tổng chi phí

3 261,25 ,5 2000C Q Q= − +


DQ

BÀất Q sản phẩm thì để bán hết số sản

phẩ

1528Q +

I GIẢI Nếu xí nghiệp sản xum trên, xí nghiệp chỉ có thể bán với giá tối đa là p sao cho:

1600 hay 1200 22

Q P P Q= − = −

Doanh thu của xí nghiệp sẽ là: (1200 2 )R Q Q= −

Lợi hiệp: nhuận của xí ng π =R-C 2 3 2

3 2

1528,5 2000

2000

Q− −

1200 2 61,25Q Q Q Qπ = − − +

59,25 328,5Q Q Q= − + − −Đạo hàm bậc nhất, bậc hai của π ta có


65

2' 3 118,5 328,5d Q QdQ

2''d

2 6 118,5QdQ

π π= = − + −

π π= = − +

Giải phương trình 2' 0 3 118,5 328,5 0Q Qπ = ⇒ − + − =

Ta được 1 23, 36,5.Q Q= =

Tại điểm 1 3Q = ta có: 2

2 (3) 6 3 118,5 0ddQπ

= − × + >

Vậy π đạt cực tiểu tại 1 3Q = (loại) Tại điểm 2 36,5Q = ta có:

2d π2 (36,5) 6 36,5 118,5 90,5 0

dQ= − × + = − <

Vậy π đạt cực đại tại 2 36,5Q = . Khi đó max 16.318,44π = đơn vị tiền tệ.

ột xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biế

thờ

II. Bài toán thuế doanh thu 1. Bài toán Giả sử m

t hàm cầu của xí nghiệp trong một đơn vị thời gian: ( )DQ D P= và hàm chi phí sản xuất trong một đơn vị

i gian: C C( )Q= Hãy xác định mức thuế địn

nghiệp để thu được của xí nghih trên 1 đơn vị sản phẩm của xí ệp nhiều thu nhất.

1 đơn vị sản phẩm của xí nghiệp là . Khi đó xí nghiệp sẽ điều chỉnh mức sản lượng sao cho lợi nhuận của xí nghiệp lớn nhất.

ế 2. Lược đồ giải bài toán

Giả sử ta định mức thuế trên0t >


66

Trước hết ta hãy tìm hiểu quy luật để xí nghiệp điều chỉnh mức sản lượng của mình.

Nếu xí nghiệp sản xuất ra sản phẩm trong một đơn vị thờ u t số sản phẩm, xí nghiệp chỉ có thể bán vớ tối đa là p sao cho

. Từ phương trình trên ta tìm được

Q

i giái gian, khi xí nghiệp muốn tiê thụ hế

( )DQ Q D P= =( )P P Q= .

Doanh thu của xí nghiệp sẽ là ệp là t

hiệp là

( ) .R P Q Q= Thuế thu được từ xí nghiLợi nhuận của xí ng

.T Q= ( ) . ( ) .P Q Q C Q Q tπ = − −

Vậy xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức sản lượng ( )Q Q t= để π đạt

Khi đó thuế thu được từ xí nghiệp là: cực đại.

( ) .T Q t t= Để thu đư a xí ngh i ợc củ iệp nhiều thuế nhất thì phả định

mức thu t sao cho T c i. ý: àmế ực đạ

Chú Thông thường h ( )Q t Q = xác định ở trên là một hàm o t, và m ác định theo hai cách trên thường rất cao. Với mức thuế như vậy, xí nghiệp sản xuất cầm chừng, không tận dụng hết khả năng sản xuất của họ. Do đó sẽ dẫn đến một số hậu quả xã hội như thất nghiệp, … Vì lý do đó, nhà ức thuế t p hơn để khuyến khích sản sẽ nói rõ hơn tron au

ền một loại sản ghiệp trong một đơn vị thời gian

Hãy xác địnể thu đượ ủa xí nghiệp nhiều thuế nhất.

rên một đơn

giảm the ức thuế x

nước thường định ở m hấ xuất. Ta g ví dụ cụ thể s

ản xuất độc quyVÍ DỤ 2 Giả sử một xí nghiệp shàm cầu của xí nphẩm. Biết

2800DQ P= − và hàm chi phí sản xuất trong thời gian ấy là 2( ) 1000 120C Q Q Q= + + .

a) h mức thuế t định trên 1 đơn vị sản phẩm của xí nghiệp đ c c

b) Nếu muốn xí nghiệp sản xuất không ít hơn 400 sản phẩm trong một đơn vị thời gian thì mức thuế t định ra tvị sản phẩm là bao nhiêu?


67

BÀử x

iá cao nhất xí nghiệp có t

I GIẢI a) Giả s í nghiệp sản xuất ra Q sản phẩm trong một đơn

vị thời gian khi đó để bán hết sản phẩm, ghể bán là p sao cho: 2800 hay 2800Q P P Q= − = − . Doanh thu của xí nghiệp sẽ là: Q

là(2800 ).R Q= −

Thuế thu được của xí nghiệp : .T Q t= Lợi nhuận của xí nghiệp π =R-C-T

2 2− − − − −

22 (1800 ) 120Q t Q= − + − −

2800 1000 120 .Q Q Q Q t Qπ =

Lấy đạo hàm cấp 1, cấp 2 của π ta có

' 4 1800QdQdπ π t= = − + − ;

2

2 '' 4 0ddQπ π= = − <

Vậy π đạt cực đại khi và chỉ khi ' 0 4 1800 0Q tπ = ⇒ − + − = Từ đó ta suy ra xí nghiệp luôn luôn điề ức su chỉnh m ản

lượng theo công thức 1800 tQ4−

=

Vậy thuế thu được từ xí ngh iệp sẽ là 21 1(1800 ) (1800 )

4 4T t t t t= − = −

Lấy đạo hàm cấp 1, cấp 2 của T ta có 1 1' (1800 2 ); '' 04 2

T t T −= − = <

Vậy để thu được nhiều thuế nhất ta phải định mức thuế t

sao cho 1' (1800 2 ) 0T t= − = hay 900t =

ất 4

Khi đó xí nghiệp sản xu ở mức

01800 900

4Q −

= =225 sản phẩm / 1 đơn vị thời gian


68

b) Nếu ta muốn xí nghiệp sản xuất không ít hơn 400 sản phẩm trong một đơn vị thời gian thì mức thuế t trên 1 sản phẩm sẽ là

1800 4004

≥ 200t⇒ ≤

Từ đó ta suy ra kết luận: Để thu được nhiều i đị

t−

thuế nhất của xí nghiệp thì phả nh mứ n vị tiền). Muốn xí nghiệp sản đ n vị thời gian thì mứ n 00 (đơn vị tiền). III. Bài toán định mức thuế nhập khẩu 1. Bài toán G sử biết hàm cung và hàm cầu về 1 loại sản phẩm cho thị trườ

c thuế trên 1 sản phẩm là 900 (đơ xuất không ít hơn 400 sản phẩm trong 1 ơc thuế tối đa định trên 1 sả phẩm là 2

iảng nội địa là ( )SQ S P= và ( )Q D P=D

c tế cộng vớ.Biết rằng giá bán

sản phẩm đó trên ố i chi phí nhập khẩu (chưa kể thuế) là

thị trường quP nhỏ hơn giá 0P tại điểm cân bằng c a thị

trườ i c độc quyền nhập loại hàng trên. Hãy định mức thuế t trên 1 sản phẩm để thu được của hập khẩ ng

2. Lược đồ giải bài toán ị sản phẩm, tất nhiên

và

ủng nộ địa. Giả sử một công ty đượ

công ty nhiều thuế nhất (giả thiết rằng, khối lượng nu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trườ

quốc tế)

Giả sử t là mức thuế định trên 1 đơn v0t > 0P t p+ < . Khi đó công ty nhập về bán với giá P:

0t P p< < thì khối lượng công ty có P + thể nhập về là Q sao cho

( ) ( ) ( ) ( )Q S P D P Q D P S P+ = ⇒ = − Khi đó lợi nhuận của xí nghiệp sẽ là

[ ] [ ] [ ]( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ].

. ( )

P D P S P D P S P P D P S P

p

π = − − − − −

= −

t

P P t D p S− −


69

Ta tìm ( )P P t= để π đạt cực đại. Khi đó thuế nhập khẩu thu được sẽ là [ ]. ( ( )) ( ( ))D P t S P t− T t=

Mức thuế t định trên 1 sản phẩm để thu được nhiều thuế nhất là 0t > sao cho T đạt cực đại. VÍ DỤ 3 Giả sử biết hàm cung và hàm cầu về 1 loại sản phẩm cho thị trường nội địa và giá bán ẩm đó trên thị trường quố í khẩu (chưa kể thuế) là

sản phc tế cộng với chi ph nhập p :

( ) 4200 ; ( ) 200 ; 1600D P P S P P P= − = − + = Giả sử một công ty được độc quyền nhập loại hàng trên. a) Hãy định mức thuế t trên 1 sản phẩm để thu được của

công ty nhiều thuế nhất (giả thiết rằng, khối lượng nhập khẩu trên thị trường quốc

ẩu t là bao nhiêu?

ng chính là khối lượng hàng mà công ty sẽ nhập. Nếu sản phẩm thì số thuế thu được sẽ là

Lợi n của công

của công ty không ảnh hưởng đến giá bántế). b) Muốn giá bán tại thị trường nội địa không dưới 2100 thì mức thuế nhập kh

BÀI GIẢI

a)Nếu công ty nhập hàng về và bán với giá p thì khối lượng bán được sẽ là:

Đó cũ

t là mức thuế định trên 102( )p p t−

huận ty T =

0 0 0( ) 2( ) 2( )p p p p p p p p t− − − − −2

0 0 0

2

2 2( ) 2 2p p p t p p P p t

π =

= − + + + − −

2' 4 2( );p P p tπ π= = − − + + =0 2 '' 4 0d d

dp dpπ π

= − <

0 0( ) ( ) 4400 2 2( ); ( 2200)Q D p S p p P P P= − = − = − =


70

Vậy công ty thu được lợi nhuận cao nhất khi bán với giá để: ( )p p t= 0' 0 4 2( ) 0p p p tπ = ⇒ − + + + =

Tức làmm 0 119002

tp t+

Vậy khi đó thuế2

p p+ += =

thu được sẽ là 2

01 1 11900 2 300 600T p t t t t⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = − = − +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

2 2 2 ⎠

'( ) 2 600T t t

= ⎟

= − + ; ''( ) 2 0T t = − < Vậy T đạt cực đại khi '( ) 2 600 0 300T t t t= − + = ⇒ = Khi đó giá bán tại thị trường nội địa sẽ là

1900 150 2050P = + = hì b) Muốn giá bán tại thị trường nội địa không dưới 2100 t

mức thuế nhập khẩu là t sao cho 11900 21002

t+ ≥

Từ bất phương trình trên ta suy ra 400t ≥ Do đó, thuế nhập khẩu tối thiểu phải là 400 đơn vị tiền tệ trên 1 sản phẩm. Vậy nếu muốn bảo trợ cho hàng sản xuất nội địa thì nhà nước

huế nhập khẩu để sao cho giá bán không được thấp

G sử hàm cung và hàm cầu tại thị trường nội địa là:

phải đánh tquá. IV. Bài toán định mức thuế xuất khẩu

. Bài toán 1 iả

( )S P= và ( )DQ D pSQ = .Biết rằng giá bán sản phẩm trên thị

trường quốc tế là 0 0;p p p> là đơn giá bán tại điểm cân bằng ộcủa thị trường n i địa. Một công ty được phép độc quyền xuất

y định mức thuế xuất khẩu t trên 1 đơn vị sản phẩm để thu được nhiều thuế nhất (với giả thiết rằng lượng hàng xuất khẩu không làm thay đổi giá bán sả ẩm đó trên thị trường quốc tế).

khẩu mặt hàng trên. Hã

n ph


71

2. Lược đồ giải bài toán Giả sử t là mức thuế định trên 1 sản phẩm. Kh đó công ty i

sẽ thu mua với giá bán ( )0( )p p t p p p t= < < − sao cho l

u về t

ợi

nhuận th là lớn nhất. Với giá p, công ty sẽ hu mua được với khối lượng hàng là: ( )( ) ( )S p D p−

Lợi nhuận công ty sẽ có [ ] [ ] [ ][ ]( )

0

0

) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) . (S p D p p S pπ = − − D p p S p D p t

S p D p p p t

− − −

= − − −

Công ty sẽ thu mua với giá ( )p p t= để π đạt cực đại. Khi ó thuế xuất khẩu thu đượ đ c sẽ là

( ) ( )) .( ) (T S p t D p t⎡= −⎣ t

c t

⎤⎦Ta tìm 0t > để T đạt cực đại.

VÍ DỤ 4 Giả sử hàm cung và hàm cầu tại thị trường nội địa và giá bán sản phẩm trên thị trường quố ế là p

( ) 200S p p= − + ; ( )D p 4200 ; 3200p p= − = xuất kh u mặt hàng trên.

Nếu ta muốn giá tiêu dùng tại thị trường trong nước ẩu phải là bao nhiêu

với giá p thì số lượng slà

Một công ty được phép độc quyền ẩ a) Hãy định mức thuế xuất khẩu t trên 1 đơn vị sản phẩm để thu được nhiều thuế nhất (với giả thiết rằng lượng hàng xuất khẩu không làm thay đổi giá bán sản phẩm đó trên thị trường quốc tế). b)không vượt quá 2400 thì mức thuế xuất khBÀI GIẢI a) Giả sử thuế xuất khẩu là t trên 1 sản phẩm và công ty thu mua ản phẩm công ty thu mua được sẽ

0( ) ( ) 2 4400 2( 2200) 2( )S p D p p p p p− = − = − = − ( 0 2200p = giá tại điểm cân bằng tại thị trường nội địa khi chưa xuất khẩu)

Lợi nhuận công ty thu được sẽ là


72

( )t0 0 0 02( ). 2( ). 2( ). 2( ).p p p p p p p p t p p p pπ = − − − − − = − − −

( )20 02 2 2 2p p p t p p p pπ = − + + − − + 0t

( )0' 4 2p P p tdp

π= = − + + − ; dπ 2

'' 0d ππ2 4

dp= = − <

Vậy π đạt cực đại khi ( )0' 0 4 2 0p p p tπ = ⇒ − + + − =

Từ đó suy ra 0( )2 2

p t =12700

p tt= −

Thuế thu được sẽ là

p + −

212 2700 2200 10002⎝ ⎠

Ta có

T t t t t⎛ ⎞= − − = − +⎜ ⎟

22 1000;d T d Tt

dt2 2 0dt

= − + = − <

c đạT đạt cự i khi 2dT t 1000 0dt

= − + = , tức khi 500t = .

Khi đó giá tại thị trường nội địa sẽ là ( ) 2700 250 2450p t = − = b) Ta cần tìm mức thuế xuất khẩu để giá tiêu dùng tại thị trường trong nước không vượt quá 2400

Gọi mức thuế là t ta có giá tiêu dùng tại thị trường nội địa

sẽ là 1 1( ) 2700 2400 300 6002 2

p t t t t= − ≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥

Vậy muốn giá tiêu dùng tại thị trường nội địa không vquá 2400 thì mức thuế xuất khẩu không ít hơn 600 đơn vị tiền

sản phẩm.

ượt

tệ trên một


73

3.3 CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM 2 BIẾN TRON

KINH TẾ

G

ưu thường gặp trong kinh tế. Trước hết ta xét bài toán tìm mức sản lượng để thu được lợi nhuận lớn nhất cho xí nghiệp sản xuất nhiều loại sản phẩm.

Ta sẽ xét trong hai điều kiện; cạnh tranh hoàn hảo và sản xuất độc quyền. I. Bài toán 1 Xí nghiệp sản xuất nhiều sản phẩm trong điều kiện cạnh

1. Bài toán ghiệp sản xuất n loại sản phẩm điều kiện

cạnh tranh hoàn hảo (trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo nhà sản m với giá do thị trường quyết định). Biết giá bán của các sản phẩm trên là

Sau đây ta xét một số bài toán tối

tranh hoàn hảo.

Xét một xí n trong

xuất phải bán sản phẩ1 2, , , nP P P…

i gian là n lượng

và hàm tổng chi phí xét trong một đơn vị thờ

) . Tìm mức sả1 2( , , , nC C Q Q Q= … ( 1. )jQ j n của các phẩm trên trong một đơn vị thời gian để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa. 2. L

của các loại sản phẩm ian. Khi đó doanh thu sẽ à :

=

loại sản

ược đồ giải Giả sử 1 2, , , nQ Q Q… là sản lượng

được sản xuất trong 1 đơn vị thời g l1 1 2 2 n nR P Q P Q P Q= + + +

Lợi nhuận thu được :

1 2 1 21

( , , , ) ( , , ,n j jj

)n

nR C Q Q Q P Q C Q Q Qπ=

= − = −∑… …

Mức sản lượng 1 2, , , nQ Q Q… phải tìm là các giá trị dương để hàm π đạt cực đại. VÍ DỤ 5 Giả sử một xí nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo, bán với giá 1 2,P P .


74

Hàm tổng chi phí : ìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa.

BÀI GIẢI

i. Theo đầu bài doanh thu của xí nghiệp là

2 21 2 1 1 2 2( , ) 2 2C Q Q Q Q Q Q= + +

T 1 2,Q Q

Giả sử xí nghiệp sản xuất 1Q sản phẩm thứ nhất ; 2Q sản phẩm thứ ha

1 1 2 2R P Q P Q= + Lợi nhuận của xí nghiệp

( )2 21 1 2 2 1 1 2 22 2P Q P Q Q Q Q Qπ = + − + +

Tính các đạo hàm riêng cấp 1

1 1 2 2 1 21 2

4 ; 4Q Q

P Q Q P Q Qπ π∂− = − −

nghiệm của hệ

∂= −

∂ ∂

Điểm dừng là

1

2

0

0

Q

Qπ

=⎪∂⎪⎨ ∂⎪ =⎪∂⎩

1 2 1

1 2 2

44

Q Q PQ Q P

+ =⎧⇒ ⎨ + =⎩

Dùng phương pháp Cramer ta được

π∂⎧

11 1 2 2

2 2

14 ; 4

1 4 4 1P 1

2 144 1

15;P

D D P D P= = = − P PP P

= = − =

Suy ra 1 2 2 12

4;

1514

15P P P P

QQ− −

=

u kiện đủ ta

=

Để xét đề tính đạo hàm riêng cấp 2 của π 2 2 2

2 21 2

4 ; 1 ;1 2

4A B CQ Q

= − = = − = = − =∂

=15>0 VÀ A < 0.

Vậy

Q Q∂ ∂ ∂2

π π π∂ ∂ ∂

Δ = −AC Bπ đạt giá trị lớn nhất tại ( )1 2,Q Q .


75

II. hi hiều sản phẩm trong điều kiện sản

n n sản phẩm. Biết hàm n loại sản phẩm trên trong một ơn

Bài toán 2 Xí ng ệp sản xuất nxuất độc quyền. 1. Bài toán

Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyề cầu của xí nghiệp về đ

vị thời gian là : ( )1 1 2, , ,

1D nP P P… Q D=

( )2 2 1 2, , ,D nQ D P P P= …

( ), , ,1 2nD n n

và hàm tổng chi phí của xí nghi

Q D P P P= …

ệp là 1 2( , , , )nC C Q Q Q= … Tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa.

Giả sử là sản lượng của các loại sản phẩm mà xí nghiệ một đơn vị thời gian. Để bán hết các hải bán với giá

2. Lược đồ giải 1 2, , , nQ Q Q…p sản xuất trong

loại sản phẩm trên xí nghiệp p 1 2, , , nP P P… sao cho

( )1 1 2 1, , , nD P P P Q=…

( )2 1 2 2, , , nD P P P Q=…

( )1 2, , ,n n nD P P P Q=… Từ hệ phương trình trên ta tìm được

( )1 1 1 2, , , nP P Q Q Q= …

( )2 2 1 2, , , nP P Q Q Q= …

( )1 2, , ,n n nP P Q Q Q= … Doanh thu của xí nghiệp sẽ là


76

j( )1 2

1, , , .

nj n

jR P Q Q Q Q

== ∑ …

Lợi nhuận của xí nghiệp ( ) ( )1 2, , , , , ,1 2 n nR Q Q Q C Q Q Qπ = −… …

Mức sản lượng 1 2, , , nQ Q Q… phải tìm là giá trị dương để π đạt cực đại.

VÍ DỤ 6 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản àm cầphẩm. Biết h

mộtu về hai loại sản phẩm của xí nghiệp trong

đơn vị thời gian

1 1 240 2DQ P P= − + ; 2 1 215DQ P P= + −

và hàm tổng chi phí xét trong một đơn vị thời gian

Tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa. BÀI GIẢI

Giả sử là sản lượng của sản phẩm thứ nhất và thứ hai củ p trong một đơ ị thời gian. Để bán hết số sản phẩ

2 21 2 1 1 2 2( , )C Q Q Q Q Q= + + Q

1 2,Q Qa xí nghiệ n v

m trên xí nghiệp phải bán với giá 1, 2P P sao cho

1⎧⎨

1 2 1 1 240 2 55Q P P P Q Q= − + = − −⎧

2 115 P⇒ ⎨= + −

2 2 1 270 2Q P P Q Q= − −⎩ ⎩

Doanh thu của xí nghiệp ( ) (1 2 1 155 . 70 2 )2 . 2R Q Q Q Q Q= − − + − −

Lợi nhuận của xí nQ

ghiệp

2

nh các đạo hàm riêng cấp 1

( ) ( ) 2 21 2 1 1 2 2 1 1 2

2 21 2 1 2 1 2

55 . 0 2 .

2 3 3 55 70

Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q

Q Q Q Q Q Q

= − − + − − − − −

= − − − +

7π

+Tí

1 21 2

4 3 55;Q QQ Q 1 23 6 70Q Qπ π

− + ∂ ∂= − − + = −

∂ ∂


77

Điểm dừng là nghiệm của hệ

1

2Q∂

0

0

Qπ

π

∂⎧ =⎪∂⎪⎨ ∂⎪ =⎪⎩

50

1 2

1 2

4 3 53 6 7Q QQ Q

+ =⎧⇒ ⎨ + =⎩

Ta có ( )1 22, 8,73

Q Q ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Tính các o hàm riêng cấp 2 cđạ ủa π ta có

2 2 2

2 21 2 1 2

4 ; 3 ; 6A B CQ

π π π∂ ∂ ∂= − = = − = = − =

∂

=15>0 VÀ A<0 .

Q Q Q∂ ∂ ∂

Δ = − 2AC B

Vậy π đạt cực đại tại ( )1 2,3

Q Q⎝ ⎠

III.

ề lãi suất ghép liên tục. ta gửi ngân hàng số ền

28,7⎛ ⎞= ⎜ ⎟

Bài toán 3 Lựa chọn đầu vào cho sản xuất Trước khi trình bày bài toán lựa chọn đầu vào cho sản xuất,

chúng ta hãy trình bày vGiả sử ti 0P với lãi suất trong 1 đơn

vị thời gian là s. Nếu thời gian gửi là 1 đơn vị thời gian

n thì

ngân hàng cho ta hưởng lãi suất là sn

. Như vậy sau một đơn vị

thờ sẽ có i gian ta 0(1 )P s+ nhưng nếu cứ sau 1n

đơn vị thời

gian ta rút cả vốn lẫn lãi rồi lại gửi tiếp thì tổng cộng sau một

đơn vị thời gian ta sẽ có 0P 1 sn

+ và sau t đơn vị thờ

ta s

n⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

i gian

ẽ có : 0 1ntsP ⎛ ⎞+⎜ ⎟

n⎝ ⎠Nếu ta tăng số lần gửi lên vô hạn ta sẽ có số tiền sau t đơn

vị thời gian là


78

0 0( ) lim 1 .nt

stn

sP t P Pn→+∞

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

e

để ý rằng giá trị tiền tệ thay đổi theo th ực tế. Như vậy, trong điều kiện ghép liên tục, với lãi suất 1 đơn vị thời gian là s, nếu ta có số v

Trong kinh doanh ta luôn luôn ời gian tuỳ theo lãi suất th

ốn 0P thì sau t đơn vị thời gian giá trị của nó sẽ là 0 . stP e . ản xuất.

1. Bài toán Giả sử 1 công ty sản suất mộ n phẩm phải dùng 2

loại nguyên liệu có thể thay thế được cho nhau và có hàm sản xuất

Trở lại bài toán lựa chọn đầu vào cho s

t loại sả

( , )Q Q x y=

ả thiết rằ

tức là muốn sản xuất ra Q sản phẩm phải dùn y ệu thứ 2. Gi ng giá nguyên liệu

g x đơn vị nguyên liệu thứ nhất và đơn vị nguyên li1 2,P P và giá bán sản phẩm

củ đổi. Quá trình gia công kéo dài một thời t ghép liên tục là s, chi phí gia công

a công ty là P không gian là t và lãi suấ

( , )C C x y= . Hãy lựa chọn khối lượng nguyên liệu 1 và 2 sao cho lợi

nhu đ 2. Lược đồ giải

y về thời điểm t là

ận thu ược là lớn nhất.

Ta tính tất cả các giá trị tại thời điểm cuối t của quá trình gia công. Nếu ta dùng x đơn vị nguyên liệu thứ nhất; y đơn vị nguyên liệu thứ hai thì chi phí về nguyên liệu qu

( )1 2stP x P y e+ .

Vậy lợi nhuận tính tại thời điểm t sẽ là :

1 2( ). ( , ) ( , )stP Q x y P x P y e C x yπ = − + −

Ta tìm (x,y) để π đạt cực đại. VÍ DỤ 7 Giả sử 1 công ty sản suất một loại sả ẩm phải dùng 2 loại nguyên thể thay thế được cho nhau và có hàm sản xuất, giá nguyên liệu 1 2,

n ph liệu có

P P và giá bán sản phẩm của


79

công ty là P. Quá trình gia công kéo dài một thời gian là t và

; lãi suất ghép liên tục là s, chi phí gia công là C cho như sau:

( , ) 2 3Q x y x y= + 2 2( , ) 10 15C x y x y xy x y= + + + + ; ; % / năm; t=1 quý

Hãy lựa chọn khối lượng nguyên liệu 1 và 2 sao cho lợi nhu

Với những số liệu trên ta có :

1 2100P P= ; 200; 10.000P = = 10s =

ận thu được là lớn nhất. BÀI GIẢI

12 24010.000(2 3 ) (100 200 ) 10 15x y x y e x y xy xπ = + − + − − − − y−

Tính

14020.000 100 10 2e y x

xπ∂= − − − −

∂

14030.000 200 15 2e x y

y∂π∂= − − − −

Điểm dừng là nghiệm của hệ 140

40

02 19.990 100.

02 29985 200.

x1

y ex

x y ey

π

π

∂⎧ ⎧=⎪ ⎪ + = −∂⎪ ⎪⇔⎨ ⎨∂⎪ ⎪=+ = −⎪ ⎪∂ ⎩⎩

Ta được

1403331 ; y 13326 100e

3 3= −

2 2x =

2 2 21 ; 22 22 ;A B C

x yπ∂

= − = = − =∂ ∂

y x∂ ∂

Δ = − 2AC B =3>0 VÀ A<0. Vậy

π∂ ∂= − =

π

π đạt cực đại tại ( ),x y .

14 02 2

3 3 3 1 ; 1 3 . 3 2 6 1 0 03 3

x y e= = −


80

3.4 NG Trong kinh t p 3 hàm s m cung ký hiệu Qs, hàm cầu ký u C(Q). Môn kinh tế vi mô-

. TÌM ĐIỂM CÂN BẰNG THỊ TRƯỜ

ế ta gặ ố: hàhiệu Qd, hàm tổng chi phí ký hiệ

vĩ mô sẽ phân tích kỹ các hàm số này. I. Bài toán Giả sử các hàm cung 1 2( , , , )si si nq q p p p= … và các hàm

cầu 1 2( , , , ) 1,di di nq q p p p i= ∀…

1 2, , , np p p… của n loại hàng hóa. n= là các hàm bậc n ủa

ương pháp giải

hất ccác giá

II. Ph Để tìm điểm cân bằng thị trường, ta giải hệ si diq q=

hay

( )

( )

1 1 2

2 1 2

1 2

, , , 0

, , , 0

n

n

n n

p p p

E p p p

( ), , , 0E p p p

E⎧ =⎪

=⎪⎨⎪⎪ =⎩

…

…

… (1)

c điểm của các hàm cung và cầu và ý nghĩa của các giá trong các hàm và , h (1) được đưa về

dạng

n

(2)

Trong đó :

Do đặhệ số của ệ ip diq siq

11 1 12 2 1 1

2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n nn n

a p a p a p ba p a p a p b

a p a p a p b

− − − =⎪− + − − =

⎪⎪− − − + =⎩

21 1 22 2⎪⎨

⎧

0, , 0, 1ij ia pj b i≥ > ∀ = n

Để tìm giá cả các mặt hàng tại điểm cân bằng thị trường ta ệ (2). phải giải h


81

Lời giải của (2) có ý nghĩa kinh tế khi các thành phần của nghiệm phải dương và khi thay nhữ giá trị đó vào các hàm cung và cầu, giá trị các hàm đó cũng phải dương. Hệ (2) được viết dưới dạng

ng

.A P B= (2’) Kí hiệu :

1

n

b

b

⎟⎟⎟⎠

Ụ 1 Thị trường có 3 loại hàng ho

Giải hệ thống phương trình này, nhưng chỉ chấp nhận nếu: (có một trong ba số , ta không có

11

21 22 2n

aa a

A

⎛⎜ − −⎜ ⎟=⎜ ⎟

;

12 1na aa

− − ⎞⎟

1pp b

⎛ ⎞ ⎞⎜ ⎟ ⎟

1 2n n nna a a⎜ ⎟− −⎝ ⎠ np⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 2;P B

⎛⎜

⎜ ⎟ ⎜= =⎜ ⎟ ⎜

⎜⎝

… …

Giải hệ (2) bằng một trong hai phương pháp đã nêu ở phần hệ phương trình.

VÍ D á. Hàm cung và hàm cầu của n là : 3 loại hàng trê

ường.

Xét hệ 1 1 1 1 2 30 24 3 17

0 3 20 2 230s DE Q Q p p p

E Q Q p p p= − = − − =⎧ ⎧

⎪ ⎪= − = ⇔ − + − =

Tìm điểm cân bằng thị trBÀI GIẢI

2 2 2 1 2 3

3 3 3 2 3

5

0 15 230s D

s DE Q Q p p⎨ ⎨

= − = + =

1 4p⎪ ⎪− −⎩ ⎩

1 2 30, 0, 0P P P> > >điể

0iP >m cân bằng thị trường) và 1 2 3, ,S S SQ Q Q phải là những số

dương Gi

ải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer Ta có :

2 3 1 1 2

2 1

1 2 3 3

18 45; 6 2 13010; 2 715; 3 5

D

D

P P Q P PQ P PQ P P

= − − − = − + +

− = −

− = −

1 1s DQ P= − +2 1 2 3 2 3

3 2 3

13 22010 215

s

s

P P PQ P P P

− + +

= − − + +

Q P


82

24 3 1det( ) 3 20 2 6835 0

1 4 15A

− −= − − = ≠− −

1( ) 230 20 2 68350;230 4 15

A = − =−

175 3 1

det− −

2

24 175 1det( ) 3 230 2 102525A

−= − − =

1 230 15−

3

24 3 175det( ) 3 20 230 136700

1 4 230A

−= − =− −

Vậy nghiệm của hệ là

31 21 2

det( )det( ) det( ) AA A

cân bằng thị trường là (10,15,20). VÍ DỤ 2 Xét thị trường có 3 loại hàng biết hàm cung và hàm cầu 3 loại hàng trên theo giá là :

3P

ng. gười ta xuất đi 10 đơn vị hàng

đơn vị hàng thứ ba và nhập về 8 đơn vị hàng thứ hai, tìm điểm cân bằng mới. BÀI GIẢI

310; 15; 20det( ) det( ) det( )

pA A A

= = = = = = .

Do đó điểm

p p

1 1 2 1 1 2

2 2 3 2 1 2

10 30, 143 912 13, 80 10

s D

s D

Q P P Q P PQ P P Q P P

= − − = − + +

= − − = + −

3 1 3 3 2 39 20, 79 2 8s DQ P P Q P P= − + − = + − a) Tìm điểm cân bằng thị trườ

ứ 1 đơn vị thời gian n b) Nếu cthứ nhất, 15


83

a) Điểm cân bằng thị trường là trường hợp giá cả các mặt cho lượng cung hàng sao SQ và lượng cầu của hàng hoá DQ

bằng nhau hay : 0S DQ Q− =

Ta có: 9

ệ thống phương trình trên với điều kiện chấp nhận là

1 2 3

2 3

1 2 3

19 2 17393

2 17

P P PP P

P P P

− − =⎧⎪ − =⎪− − +⎩

Giải h

1 229

P− +⎨=

1P 2 30, 0, 0P P> > > : 19 2 1

det 1 22 1 70081 2 17

A− −

= − − =− −

;

1

173 2 1det( ) 93 22 1 70080

99 2 17A

− −= − =

−

2

19 173 1det 1 93 1 35040

1 99 17A

−= − − =−

;

3

19 2 173det 1 22 93 49056

1 2 99A

−= − =− −

Vậy điểm cân bằng với hệ thống giá

31 10;det deA

= = = 21 2 3

detdet det5; 7

t detAA A

p p pA A

= = = .

. 1 1 2 2 3 3

65; 40; 33S D S D S DQ Q Q Q Q Q= = = = = =


84

b) Nếu ta xuất đi A đơn vị hàng loại I thì lượng cung SiQ giảm đi A đơn vị, nếu nhập về thì lượng cầu DiQ tăđơn vị.

Nên : hàng thứ nhất xuất đi 10 đơn vị hàng thứ ba xuất đi 15 đơn vị hàng thứ hai nhập về 8 đơn vị

ng lên A

lúc đó : ' 10 10 40Q Q P P= − = − −1 1 1 2'

2 2 1 2'

3 3 1

8 10 88

15D D

S S

Q Q P P

Q Q P

= + = − +

= − = − +

39 35

S S

P −

Ta có: ' ' '1 1 2 2 3 3; ;S D S D S DQ Q Q Q Q Q= = =

1 2 3

1 2 3

1

19 2 18322 12

P P PP P PP P

− − =⎧⎪⇒ − + − =⎨⎪− −⎩

2 3

1017 114P+ =

Giải hệ thống phương trình này, nhưng chỉ chấp nhận nếu (có một trong ba số , ta không có ng) và

1 2 30, 0, 0P P P> > >điểm ằng thị trườ

0iP >

3 cân b 1 2, ,S S SQ cũQ Q ng phải là những số dương.

Điểm cân bằng mới :

1 27008; det 74448; det 38096;A A A= = =

3

detdet 55856A =

1 2 310,62; 5,44; 7,97P P P= = =


85

3.5. MÔ HÌNH INPUT-OUPUT Mô hình này nhằm xác định u ra của mỗi ngành trong n

ngành kinh tế sao cho vừa đủ để thỏa mãn toàn bộ nhu cầu về loại sản phẩm đó. I. Mô hình mở

Giả sử các hệ số là hệ số đầu vào đối với nền kinh tế n- ngành, được xếp trong ma trận

đó mỗi cột cho biết những yêu cầu của đầu vào ể sản xuất ra một lượng hàng hoá của đầu ra trị giá một đơn vị tiền tệ.

c ập u

hụ thuộc như đầu vào) của n- ngành kinh tế. Bản thân o ngành kinh tế mở

cun ngành kinh tế nào tron

của n- ngành kinh tế là và các yêu cầu cuối cùng về các loại hàng hóa c ế mở là

Hệ phương trình tuyến tính xác đị ức độ “chính xác” của đầu ra là :

nNếu viết dạng ma trận ta có

đầ

ija

11 12 1

1 2

n

n n nn

a a a

a a a

⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

…

…

21 22 2na a aA

⎜ ⎟⎜ ⎟…

Trong đ

Trong mô hình mở, nền kinh tế xác định một cách độ lnhững nhu cầu cuối cùng về các loại hàng hoá (những nhu cầkhông pnó lại cung ứng những đầu vào đặc biệt d

ỳg cấp không được sản xuất bởi bất kg số n ngành kể trên.

độ “chính xác” của các đầu raGọi mức1 2, , , nx x x… ủa ngành kinh t 1 2, , , nd d d… .

nh m

11a x⎪− +

1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

(1 )(1 )

(1 )

n n

n n

n n nn n

a x a x a x da x a x d

a x a x x d

− − − − =⎧− − − =⎪

⎨⎪⎪− − − + − =⎩

a( ).I A X D− = (3)


86

Trong đó I là ma trận đơn vị, A là ma trận của các hệ số xác định các yếu tố đ viết dưới dạng

cột, D là vectơ yêu cầu cuối cù . Nếu ( )

đầu vào, X là ma trận ầu ra ng ở dạng cột

I A− là ma trận không suy bi ì ta tìm được 1

ến th

phương trình (3) có nghiệm ( )I A− − và hệ 1( ) .X I A D−= − . VÍ DỤ 3 Trong mô hình input - output mở biết ma trận đầu

⎞

a) Nêu ý nghĩa kinh tế của hệ số

vào 0, 3 0,1 0,⎛ 10,1 0,2 0,30, 2 0,3 0,2

A ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

23 0,3a = . b) Tìm mức sản lượng của 3 ngành kinh tế, nếu ngành kinh mở yêu cầu 3 ngành trên phải cung cấp cho nó những lượng ản phẩm trị giá tương ứng (35, 45, 15).

a

ể sản xuất một lượng hàng hóa thứ 3 trị giá 1

b ận vectơ ở dạng cột.

tếsBÀI GIẢI

) Ý nghĩa kinh tế của hệ số 23 0,3a = Cần một lượng hàng hoá thứ 2 (nguyên liệu thứ 2) trị giá

0,3 (đơn vị tiền), đ(đơn vị tiền).

) Ta gọi I là ma tr đơn vị cấp 3, A là ma trận đầu vào và D là nhu cầu cuối cùng với X là Ta có : ( )I A X D− =

1

2

3

0,7 0,1 0,1 350,1 0,8 0,3 450,2 0,3 0,8 15

xxx

− − ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Đặt 0,7 0,1 0,1 7 1 1

10,1 0,8 0,3 1 8 3B− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

−⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟10⎜ ⎟ ⎜ ⎟0,2 0,3 0,8 2 3 8− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠


87

3

3

7 1 11 352det 1 8 3

10 102 3 8B

−−⎛ ⎞= − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ −

11 12 132 21 1 1.14; .19;

10 10 10B B B= = 2 .55;=

21 22 232 2 21 1.11; .54; .23,

10B B B= = = 1

10 10

31 32 332 21 1.11; .22; .55;

10 10 10B B B= = = 2

1

31 *

551 10 1−

⎛ ⎞⎜ ⎟

2. 14 54 22det 352 10 19 23 55

BB

= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

11 11B

55 11 1154 22

35219 23 55

⎞⎟= ⎜ ⎟

⎜ ⎟ 10 14⎜

⎛

⎝ ⎠

155 11 11 35

10 14 54 22 45352

15X B D−

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎠

19 23 55⎝ ⎠ ⎝

1925 495 165 2585

10 100 2430 330 3250+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + + =73,4⎛ ⎞

49352

665⎜⎜ 352

1035 825 2525⎟⎟+ +⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

92,371,7

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


88

VÍ DỤ 4 Trong mô hình input m - output ở gồm 3 ngành kinh tế v

mức sản lư ở đối với 3 ế trên là (110, 52, 90).

b) Tìm mức sản lượng của 3 ngành với điều kiện bổ sung : do cải tiến kỹ thuật ở ngành 1 tiết kiệm được 25% nguyên liệu của ngành 2, còn yêu cầu của ngành kinh tế mở đối với 3 ngành kinh tế trên là (124, 66, 100). BÀI GIẢI a) ơ sản lượng của 3 ngành kinh tế viết theo cột ta có:

ới ma trận hệ số đầu vào là

0,1 0,3 0,2

A⎛ ⎞⎜ ⎟= 0,4 0,2 0,1

0, 2 0,3 0,3⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ủa 3 ngành kinh tế m a) Tìm ợng cngành kinh t

Gọi X là vect( )I A X D− = Hay

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜⎜⎝ ⎠

Đặ Ta tìm được

1

2

3

0,9 0, 3 0, 2 1100,4 0,8 0,1 520, 2 0, 3 0,7 90

xxx

− − ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠⎟⎟

t 0,9 0,3 0,20,4 0,8 0,10,2 0,3 0,7

B− −⎛ ⎞

⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

1X B D−=

b) Do cải tiến kỹ thuật ngành 1 nên nguyên liệu ngành thứ 2 giảm 25%. Như vậy 21 0,4a = lúc đầu chưa cải tiến, sau khi cải tiến kỹ thuật 21a 0,3= .

Ta có ma trận các hệ số đầu vào

áp dụng cách như trên để tìm X.

0,1 0,3 0,20, 3 0,2 0,10, 2 0,3 0,3

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


89

II. Mô hình đóng Trong mô hình đóng, ngành kinh tế mở được xét trong hệ

thống giống như những ngành kinh tế khác (tức là những yêu g không phải được xác định một

ch độc lập, mà chúng được xác định dựa vào đầu ra của các ành kinh tế khác và các yếu tố kỹ thuật). Trong mô hình đóng, nhu cầu cuối cùng và đầu vào đặc

biệt không còn nữa, thay vào đó là những yêu cầu đầu vào và đầu ra của ngành kinh tế mở. Tất cả các loại hàng hóa bây giờ

g mối liên hệ khắng khít với nhau, bởi vì tất cả những ci đượ sản xuất chỉ nhằm thoả mãn những nhu cầu đầu vào của (n+1) ngành kinh tế trong mô hình.

Giả sử có (n+1) ngành kinh tế (kể cả ngành kinh mở mà ta kí hiệu bằng chỉ số 0) thì mức độ “chính xác” của đầu ra

cầu cuối cùn 1 2, , , nd d d… cáng

ở tronc

tế

0,ix i n∀ = sẽ là nghiệm của hệ

00 01 01 a a a− − −⎛ 0

10 11 1 1

0 1

01 0

1 0

n

n

n n nn n

xa a a x

a a a x

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟=

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

(4) ⎜

⎝ ⎠ Giải hệ phương trình thuần nhất, ta tìm được ix trong mô

hình đóng thì ta luôn có ( ) 0I A X− = do đó hệ (4) luôn luôn có nghiệm không tầm thường nghĩa là có vô số nghiệm. Điều đó có nghĩa trong mô hình đóng, thì hệ phương trình tuyến tính

ẽ không có mức “chính xác” duy nhất của đầu ra.

thuần nhất s


90

BÀI TẬP CHƯƠNG III

3. 1. Cho hàm doanh thu

2TR(Q) 1200Q Q ,(Q 0)= − ≥ . a) Tìm hàm doanh thu biên. b) Tại 0Q 590= , khi Q tăng một đơn vị thì doanh thusẽ thay đổi bao nhiêu đ c) Tính gi

ơn vị?

á trị doanh thu biên tại 00Q 61= và giải thích ý n3. 2. Cho hàm tổng chi phí

ghĩa.

2TC(Q) 0.1Q 0 100, (Q 0).3Q= + + ≥ a) Tìm hàm chi phí biên n lượng

MC(Q) b) Tính chi phí biên tại mức sả 0Q 120= và giải

n

thích ý nghĩa kết quả nhận được

3. 3. Cho hàm sản xuất 1/4 3/4Q 20K L= . Hãy tìm sản lượng cậ

biên tại K 16,L 81= = . Giải thích ý nghĩa

3. 4 0.2 0.3−. Cho hàm cầu D 0.4Y p= . Hãy tính DYε và DPε

3. 5. Tính hệ số co dãn của các hàm sau tại điểm cho trước

a) 2 21 2 1 2

5Q(P ,P ) 6300 2P P3

= − − , tại (20,30) .

b) 1/3 2/3Q(K, L) 120K L=

3. 6. Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản

àm cầu của xí nghiệp phẩm. Biết h xét trong một đơn vị thời

gian là và hàm tổng chi phí

.

100DQ P= −

3 263 120Q= − + 250C Q Q +


91


3. 7. Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền phẩm. Biết hàm cầu của xí nghiệp trong một đơn v

và hàm chi phí sản xuất trong thời gian đó là

. Hãy xác định mức thuế t định trên 1 đơn

một loại sản ị thời gian

2400DQ P= −2( ) 120C Q Q= + 60Q +

vị sản phẩm của xí nghiệp để thu được của xí nghiệp nhiềuthuế nhất. 3. 8. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần lượt là SQ P 200= − và

P− (P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản DQ 1800=phẩm đó trênnhưng chưa

thị trtính

ường quốc tế cộ ập khẩu thuế nhập khẩ

ng với chi phí nhu) là 1P 500( = . Một công ty

ược độc quyền nhập loại sản phẩm trên. Hãy xác định mức ế nhập khẩu t trên một đơn vị sàn phẩm để thu được từ công

ẩu của công ty uốc tế).

ất ngắn hạn

đthuty nhiều thuế nhất. (Giả sử khối lượng nhập khkhông ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường q3. 9. Cho biết hàm sản xu 5 3Q 100 L , L 0= > và giá của sản phẩm là P 5USD= , giá thuê lao động là

ại sản p

cạnh tranh hoàn hảo, bán với giá

L 3U ao động để lợi nhuận tối đa. 3.10.

P SD . Hãy tìm mức sử dụng l=

Giả sử một xí nghiệp sản xuất 2 lo hẩm trong

điều kiện 1 260; 75P P= =

2 21 2 2Q Q+

.

ìm mứ nghiệp có lợi nhuận tối đa.

Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm. ủa xí nghiệp trong một đơn

Hàm tổng chi phí : 1 2 1( , )C Q Q Q Q= +

T c sản lượng 1 2,Q Q để xí

3.11.Biết hàm cầu về hai loại sản phẩm c


92

vị thời gian : 1

40DQ 14 2P 2P= −2 1 215 2 2P+ ; DQ P= + − v

hàm tổng chi phí xét trong một đơn vị thời gian

à

để n tối đa.

. ầu về hai loại sản phẩm của xí nghiệp trong một đơn là:

:

ức sản lượng 1 2,Q Q 2 21 2 2Q Q Q Q= + + .Tìm m1 2 1( ,

xí nghiệp có lợi nhuậ

)C Q Q

3.12. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩmBiết hàm cvị thời gian

1 1 2Q 280 4 2D P P= − + ; 2 1 2Q 402 2 4D PP= + − .

chi phí cho bởi biểu thức:

Một xí nghi hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu về hai loại sản phẩm của xí nghiệp trong một đơn vị thời gian là:

Hàm tổng ( ) 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2C Q ,Q = 40Q +180Q + Q Q + Q + Q .

Tìm mức sản lượng để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. 3.13. ệp sản xuất độc quyền

1 1 2Q 1200 2D P P= − + ; 2 1 2Q 1440D P P= + −

c:

.

Hàm

3.14. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền 1 lọai sản phẩm nhưng tiêu thụ trên 2 thị

– 2P và hàm tổng chi phí của xí nghi p trong một

Tìm mức sản lư

tổng chi phí cho bởi biểu thứ( 1 2 1 2C Q ,Q = 480Q + 720Q + 400 .

Tìm mức sản lượng để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa

trường tách biệt. Biết hàm cầu của lọai sản phẩm này trên các thị trường lần lượt là Q

1D = 360 – P1; 620

)

Q2D = 2

đơn vị thời gian là C = Q2 + 20Q + 20.

ợng phân phối trên từng thị trường để xí nghiệp đạt lợi nhuận cao nhất.

ệ


93

3. 15. Doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất 2 2Q 2K 3KL 3L 30K 20L; K, L 0= − + − + + >

Biết giá thuê một đơn vị tư bản K bằng 4, giá thuê m đơn vị lao động bằng 22, giá sản phẩm địnhmức sử dụng K, L để được lợi nhuận tối đa.

3.16. Xét mô

ột bằng 2. Hãy xác

hãng thu

hình cân bằng thị trường gồm 3 loại hàng hóa,

1 2 3 1 2 3

8 P2 + 2P3 + 1000 – 270 Q = 2P1 + 2P2 – 7P3 + 900

Hãy tìm điểm cân bằng thị trường.

A= ( =

a) Nêu ý nghĩa kinh tế của số

biết hàm cung và hàm cầu của các loại hàng hóa đó là: Q

1 = 9P – P – 2P – 120 Q

1 = –6P + P + P + 800

Q S = – 2P1 + 10P2 – 2P3 – 200 Q D = P1 –Q

3S = – P1 – P2 + 8P3

S D

2 2

3D

3.17 Xét mô hình input – Out mở gồm 3 ngành kinh tế choma trận hệ số đầu vào:

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

2,02,04,0,0

1,02,03,0

0,4 trong ma trận A. b) Biết yêu cầu cuối cùng của ngành kinh tế mở đối với ba ngành là D= (369, 205, 246). Tìm sản lượng ba ngành kinh

a ij ) 33x ⎥⎥

⎢⎢ 1,012,0

tế sản xuất.


94

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Môn thi: Toán Cao Cấp khối kinh tế Thời g (Sinh viên không sử dụng tài liệu) Câu 1 ủa ma trận sau

ian: 60 phút

Tìm hạng c

3 2 0 5 124 3 5 0 5

0 1 3 4 51 0 2 3 4

A

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟= ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

Câu 2 Trong mô hình input - output mở gồ ba ngành kinh tế, cho ma trận hệ số đầu vào

0, 2

m

A = 0,10,3 0,10,1 0, 4

0, 2 0, 2 0,3

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Biết yêu cầu cuối cùng của ngành kinh tế mở đối với g ba ngành

1 2c sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa.

ba ngành là D= (90, 126, 162). Tìm sản lượninh tế sản xuất. k

Câu 3 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm.Biết hàm cầu hai loại sản phẩm trên :

QD1=720-2P1+P2; QD2=660+P1-P2 à hàm tổng chi phí C=780Q +1040Q +200 v

Tìm mứ


95

1.Đại số tuyến tính dùng trong kinh tế -GS. TS Trần Văn Hạo

ọc Kinh tế TP HCM

3. Toán cao cấp cho nhà kinh tế Lê Đình Thúy

Trường đại học Kinh tế quốc dân Hà nội

4. Toán cao c

p B ội

TÀI LIỆU THAM KHẢO

2. Toán cao cấp -chủ biên PGS. TS Lê Văn Hốt

Trường đại h

-

ấp -chủ biên Ngu n Đình Trí yễ

5. Giáo trình Toán cao c và C -chủ biên TS Trần Ngọc Hấ

Trường đại học Mở TPHCM

toÁn cao cẤp b2 -...

Documents