torsion offener profile

Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile TM 2 5.3-1

07.12.15

3. Torsion offener Profile

● Dünnwandige offene Profile werden hauptsächlich für Balken verwendet, die überwiegend auf Biegung bean-sprucht werden.

● Wenn die Wirkungslinie der äußeren Last nicht durch den Schubmittelpunkt geht, tritt auch eine Torsionsbelastung auf.

● Im Folgenden wird wieder vorausgesetzt, dass sich die Querschnitte frei verwölben können (Saint-Venantsche Torsionstheorie).


07.12.15


● Dünnwandige Rechteckprofile:

– Annahmen:

● Die Schubspannung τsx verläuft parallel zur Langseite und ist über die Länge kon-stant. Die Umlenkung am oberen und un-teren Rand erfolgt in einem schmalen Be-reich.

● Die Schubspannung hat über die Wand-stärke einen linearen Verlauf:

L

t

z

y

τmax

τ sx(y)=τmaxy

t /2=2 τmax

yt


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– Modellvorstellung:● Der Querschnitt ist aus infinitesimalen

rechteckigen Kastenprofilen der Wandstärke dy zusammengesetzt, für die die Bredtschen Formeln gelten.

● Für ein infinitesimales Kastenprofil gilt:

● Der Beitrag zum Torsionsmoment ist:

y

≈ L

z

y

dyAm≈2 L y , ∮ dsdy

≈2 Ldy

dM x=2 Am q sx≈2⋅2 L y τ sx dy

=4 L y⋅2 τmaxyt

dy=8 τmaxLt

y2 dy


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3.Torsion offener Profile

● Der Beitrag zum Torsionsträgheitsmoment berechnet sich zu

● Integration über alle infinitesimalen Profile ergibt:

● Daraus folgt für die Schubspannung:

● D

dI T=4 Am

2

∮ dsdy

≈4⋅4 L2 y2⋅

dy2 L

=8 L y2 dy

M x=8 τmaxLt ∫0

t /2

y2 dy=13

τmax L t 2 , I T=8 L∫0

t /2

y2 dy=13

L t 3

τmax=3 M x

L t 2 =M x

W T

mit W T=13

L t 2


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– Ergebnis:

– Anmerkungen:● Bei veränderlicher

Wandstärke muss inte-griert werden:

I T=13

L t 3 , W T=13

L t 2

L t

● Die Formeln gelten nä-herungsweise auch für Profile mit gekrümmter Mittellinie. Dabei ist L die entlang der Mittelli-nie gemessene Bogen-länge.

I T=13∫0

L

t 3 ds


07.12.15


● Beispiel: Offener Kreisring

– Für den offenen Kreisring gilt:

R

t

z

y

I TO=

23

π R t 3 , W TO=

23

π R t 2

τmaxO

=M x

W TO =

3 M x

2 π R t 2

θO=M x L

G I TO =

M x LG

32 π R t3


07.12.15


– Bei gleichen Abmessungen gilt für den geschlossenen Kreisring:

– Für das Verhältnis der Größen folgt:

I TG=2 π R3 t , τmax

G=

M x

2 π R2 t=

M x

W TG → W T

G=2 π R2 t

θG=

M x L

G I TG =

M x LG

12 π R3 t

τmaxG

τmaxO =

2 π R t 2

6π R2 t=

13

tR

, θG

θO =

2 π R t 3

6 π R3 t=

13 ( t

R )2


07.12.15


– Für t/R = 1/10 ist die Schubspannung beim geschlossenen Kreisring 30-mal und die Verdrehung 300-mal kleiner als beim offenen Kreisring.

● Zusammengesetzte Profile:

– Bei zusammengesetzten offenen Profilen können die ein-zelnen Torsionsträgheitsmomente näherungsweise addiert werden:

– Die größte Schubspannung tritt in dem Segment mit der größten Wandstärke auf. Für das Torsionswiderstandsmo-ment gilt näherungsweise:

I T≈13∑ L i t i

3

W T≈I T

t max


07.12.15


– Genauere Ergebnisse ergeben sich mit einem von A. Föppl experimentell ermittelten Korrekturfaktor η:

I T=η

3 ∑ L i t i3

η 1,00 0,99 1,12 1,12 1,12 1,30


07.12.15


● Beispiel: L-Profil

– L 50 x 40 x 5 DIN 1029:● a = 50 mm, b = 40 mm, t = 5 mm

– Torsionsträgheitsmoment:

– Torsionswiderstandsmoment:

ey

a

ez

b

z

y

t

I T=0,99

3t 3 ( a+b )

=0,33⋅53 mm3⋅90 mm=3713 mm4

W T=I T

t=

3713mm3

5mm=742,5 mm3


07.12.15


● Wölbfreie Profile:

– Bei Querschnitten, die aus dünnwandigen Rechtecken zu-sammengesetzt sind, tritt keine Verwölbung auf, wenn sich die Mittellinien in einem Punkt schneiden.

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