tÓpicos especiais de matemÁtica
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TOacutePICOS
ESPECIAIS DE
MATEMAacuteTICA
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TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
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SUMAacuteRIO
Introduccedilatildeo 3
1 Teoria dos conjuntos 4
11 Conceitos essenciais 6
12 Notaccedilatildeo dos conjuntos 8
13 Exemplos de conjuntos compostos por nuacutemeros 8
2 Loacutegica 12
21) Uma Classificaccedilatildeo da Loacutegica 12
22) Desenvolvimento da Loacutegica 12
23) Caacutelculo Proposicional 14
231) Os Siacutembolos da Linguagem do Caacutelculo Proposicional 14
232) SIacuteMBOLOS AUXILIARES 15
233) Definiccedilatildeo de foacutermula 15
24) Tabela verdade 16
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos 23
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias 25
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana 28
271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos 30
3 Teoria dos Grafos 31
31 Definiccedilotildees baacutesicas 31
32 Problemas que envolvem grafos 38
4 Referecircncias bibliograacuteficas 45
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INTRODUCcedilAtildeO
Frequentemente o aluno de Ciecircncias Aplicadas possui uma forte
expectativa de estudos tecnoloacutegicos jaacute no iniacutecio do Curso De fato ateacute o seu
ingresso na universidade poucos alunos tecircm uma noccedilatildeo clara da carga de
disciplinas com ecircnfase teoacuterico-formal Assim quando se deparam com um
conjunto consideraacutevel de disciplinas com esta ecircnfase tendem a considerar os
estudos matemaacuteticos como algo secundaacuterio ou de menor importacircncia Nessa
apostila abordaremos alguns toacutepicos de uma disciplina muito importante
Matemaacutetica Discreta
A Matemaacutetica Discreta aplica-se a vaacuterias disciplinas de cursos como
Computaccedilatildeo Informaacutetica Matemaacutetica Sistemas de Informaccedilatildeo entre outros
O conteuacutedo dessa disciplina eacute relativamente extenso e eacute desenvolvido com
abrangecircncia e profundidade Tal fato tende a levar o aluno a centrar seu estudo
no conteuacutedo dando pouca atenccedilatildeo aos niacuteveis mais elevados de raciociacutenio A
consequecircncia eacute que no meio do semestre letivo (ou ateacute antes) muitos alunos
se sentem perdidos natildeo acompanhando mais o desenvolvimento da disciplina
A questatildeo fundamental eacute o entendimento de que tatildeo importante quanto o
conteuacutedo eacute o desenvolvimento da capacidade de raciociacutenio abstrato (loacutegico-
matemaacutetico) o qual eacute fortemente explorado junto com o conteuacutedo Ou seja de
certa forma o conteuacutedo eacute usado como um meio para o desenvolvimento de um
raciociacutenio abstrato Eacute importante observar que o desenvolvimento do raciociacutenio
eacute obtido gradualmente ao longo do tempo como consequumlecircncia de estudos
regulares e sistemaacuteticos preferencialmente apoacutes cada aula ou toacutepico estudado
Alguns conteuacutedos seratildeo abordados aqui como conjuntos Loacutegica e
Grafos
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1 TEORIA DOS CONJUNTOS
Teoria dos conjuntos eacute a teoria matemaacutetica que trata das propriedades dos
conjuntos Ela tem sua origem nos trabalhos do matemaacutetico russo Georg Cantor
(1845ndash1918) e se baseia na ideacuteia de definir conjunto como uma noccedilatildeo primitiva
Tambeacutem chamada de teoria ingecircnua ou intuitiva devido agrave descoberta de vaacuterios
paradoxos relacionados agrave definiccedilatildeo de conjunto Estes paradoxos na teoria dos
conjuntos conduziram a Matemaacutetica a axiomatizar as teorias matemaacuteticas com
influecircncias profundas sobre a loacutegica e os fundamentos da matemaacutetica Essa
teoria teve seu iniacutecio com a publicaccedilatildeo em 1874 de um trabalho de Cantor que
tratava sobre a comparaccedilatildeo de coleccedilotildees infinitas O trabalho apresentava uma
forma de comparar conjuntos infinitos pelo casamento 1-1 entre os elementos
destes conjuntos
Fig 1 George Kantor
Esta aplicaccedilatildeo da correspondecircncia 1-1 permitiu a Cantor introduzir um
meacutetodo de diagonalizaccedilatildeo que por contradiccedilatildeo permitia provar que o conjunto
dos nuacutemeros reais natildeo tinha correspondecircncia 1-1 com o conjunto dos nuacutemeros
inteiros Isto mais tarde levou ao desenvolvimento do conceito de contiacutenuo por
Richard Dedekind
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Fig 2 Richard Dedekind
Iniciando com estas descobertas Cantor acabou desenvolvendo uma
teoria dos conjuntos abstratos que constitui-se em uma generalizaccedilatildeo do
conceito de conjunto
Conjunto
Um conjunto eacute uma coleccedilatildeo de entidades chamadas de elementos A
notaccedilatildeo padratildeo lista os elementos separados por viacutergulas e delimitados por
chaves (o uso de parecircnteses ou colchetes eacute incomum e em determinados
contextos considerado incorreto) como os seguintes exemplos
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Eacute possiacutevel descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras listando os
seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma
propriedade de seus elementos (o que se for feito de forma descuidada pode
gerar problemas tais como o paradoxo de Russell)
Dizemos que dois conjuntos satildeo iguais se e somente se cada elemento de
um eacute tambeacutem elemento do outro
11 Conceitos essenciais
bull Conjunto representa uma coleccedilatildeo de objetos sempre representado por
letras maiuacutesculas
bull Elemento qualquer um dos componentes de um conjunto geralmente
representado por letras minuacutesculas
bull Pertinecircncia eacute a caracteriacutestica associada a um elemento que faz parte de
um conjunto
Pertence ou natildeo pertence
Se a eacute um elemento de A noacutes podemos dizer que o elemento a pertence
ao conjunto A e podemos escrever a A Se a natildeo eacute um elemento de A noacutes
podemos dizer que o elemento a natildeo pertence ao conjunto A e podemos
escrever aA
Subconjuntos proacuteprios e improacuteprios
Se A e B satildeo conjuntos e todo o elemento x pertencente a A tambeacutem
pertence a B entatildeo o conjunto A eacute dito um subconjunto do conjunto B denotado
por BA Note que esta definiccedilatildeo inclui o caso em que A e B possuem os
mesmos elementos isto eacute satildeo o mesmo conjunto (A = B)
Se ao menos um elemento pertencente a B natildeo pertence a A entatildeo A eacute
chamado de subconjunto proacuteprio de B denotado por BA Todo conjunto eacute
subconjunto dele proacuteprio chamado de subconjunto improacuteprio
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Conjunto vazio
Todo conjunto tambeacutem possui como subconjunto o conjunto vazio
representado por ou Supondo que o conjunto vazio natildeo pertence ao
conjunto em questatildeo entatildeo o conjunto vazio deve possuir um elemento ao
menos que natildeo pertenccedila a este conjunto Como o conjunto vazio natildeo possui
elementos isto natildeo eacute possiacutevel Como todos os conjuntos vazios satildeo iguais uns
aos outros eacute permissiacutevel falar de um uacutenico conjunto sem elementos
Uniatildeo interseccedilatildeo e diferenccedila
A uniatildeo (ou reuniatildeo) de dois conjuntos A e B eacute o conjunto A composto dos
elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos A eB
A uniatildeo de N conjuntos N
i
iN SSSSSS1
321 =
== eacute o conjunto formado
pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos S i
A interseccedilatildeo de dois conjuntos A e B eacute o conjunto composto dos elementos
que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos A e B
A diferenccedila entre dois conjuntos A e B eacute o conjunto de todos os elementos de A
que natildeo estatildeo de B
Cardinalidade
Se um conjunto tem n elementos onde n eacute um nuacutemero natural entatildeo diz-
se que o conjunto eacute um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou nuacutemero
cardinal n
Mesmo se o conjunto natildeo possui um nuacutemero finito de elementos pode-se
definir a cardinalidade graccedilas ao trabalho desenvolvido pelo matemaacutetico Georg
Cantor Neste caso a cardinalidade poderaacute ser (aleph-0)
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Em teoria dos conjuntos Aleph (א) eacute uma letra usada para representar
cardinais infinitos A cardinalidade dos conjunto dos nuacutemeros inteiros eacute o
cardinal seguinte eacute etc
Usando o Axioma da escolha pode-se demonstrar que qualquer conjunto
natildeo-vazio de nuacutemeros cardinais tem um elemento miacutenimo assim a classe dos
nuacutemeros cardinais eacute bem ordenada e pode ser indexada pelos nuacutemeros ordinais
Esta indexaccedilatildeo gera a notaccedilatildeo para os nuacutemeros cardinais
Produto cartesiano
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B eacute o conjunto de pares ordenados
A soma ou uniatildeo disjunta de dois conjuntos A e B eacute o conjunto
12 Notaccedilatildeo dos conjuntos
Os conjuntos satildeo representados de diversas formas
bull A forma mais usual eacute a que apresenta os elementos entre duas chaves
()
bull As propriedades ou descriccedilotildees de um conjunto satildeo representadas dentro
das apoacutes os elementos e separadas destes por
bull Diagrama de Venn-Euler eacute a representaccedilatildeo graacutefica dos conjuntos
atraveacutes de entidades geomeacutetricas
13 Exemplos de conjuntos compostos por nuacutemeros
Nota Nesta seccedilatildeo a b e c satildeo nuacutemeros naturais enquanto r e s satildeo nuacutemeros
reais
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1 Nuacutemeros naturais satildeo usados para contar O siacutembolo usualmente
representa este conjunto Na literatura matemaacutetica eacute possiacutevel encontrar
textos que incluem o zero como nuacutemero natural e textos que natildeo incluem
2 Nuacutemeros inteiros aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como x + a = b O
siacutembolo usualmente representa este conjunto (do termo alematildeo Zahlen que
significa nuacutemeros)
3 Nuacutemeros racionais aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como a + bx =
c O siacutembolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente)
4 Nuacutemeros algeacutebricos aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees polinomiais
(com coeficientes inteiros) e envolvem raiacutezes e alguns outros nuacutemeros
irracionais O siacutembolo ou usualmente representa este conjunto
Um nuacutemero algeacutebrico eacute qualquer nuacutemero real ou complexo que eacute soluccedilatildeo
de alguma equaccedilatildeo polinomial com coeficientes inteiros Em um sentido mais
amplo diz-se que um nuacutemero eacute algeacutebrico sobre um corpo quando ele eacute raiz de
um polinocircmio com coeficientes neste corpo
Todos os nuacutemeros racionais satildeo algeacutebricos porque qualquer fraccedilatildeo do tipo a
b eacute soluccedilatildeo de
bx minus a = 0 Alguns nuacutemeros irracionais como radic2 e 31 3 2 satildeo tambeacutem
algeacutebricos porque satildeo as soluccedilotildees de x2 minus 2 = 0 e 8x3 minus 3 = 0 respectivamente
Mas nem todos os reais satildeo algeacutebricos ndash como exemplo refiram-se π e ldquoerdquo
A um nuacutemero complexo natildeo algeacutebrico daacute-se o nome de nuacutemero
transcendente
Se um nuacutemero algeacutebrico for soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo de grau n com
coeficientes inteiros e de nenhuma de grau inferior diz-se que eacute um nuacutemero
algeacutebrico de grau n
5 Nuacutemeros reais incluem os nuacutemeros algeacutebricos e os nuacutemeros
transcendentais O siacutembolo usualmente representa este conjunto
6 Nuacutemeros imaginaacuterios aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como x 2 + r
= 0 onde r gt 0 O siacutembolo usualmente representa este conjunto
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7 Nuacutemeros complexos eacute a soma dos nuacutemeros reais e dos imaginaacuterios
Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero entatildeo os conjuntos dos
nuacutemeros reais e o dos imaginaacuterios satildeo subconjuntos do conjunto dos
nuacutemeros complexos O siacutembolo usualmente representa este conjunto
Exerciacutecio resolvido 1
(USP) Depois de n dias de feacuterias um estudante observa que
- choveu 7 vezes de manhatilde ou agrave tarde
- quando chove de manhatilde natildeo chove agrave tarde
- houve cinco tardes sem chuva
- houve seis manhatildes sem chuva
Calcule o valor de n
Soluccedilatildeo
Seja M o conjunto dos dias que choveu pela manhatilde e T o conjunto dos dias que
choveu agrave tarde Chamando de M e T os conjuntos complementares de M e T
respectivamente teremos
n(T) = 5 (cinco tardes sem chuva) e n(M) = 6 (seis manhatildes sem chuva)
n(M T) = 0 ( quando chove pela manhatilde natildeo chove agrave tarde)
Assim
n(M T) = n(M) + n(T) ndash n(M T)
7 = n(M) + n(T) ndash 0
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Jaacute sabemos que
n(M) + n(T) = 5 + 6 = 11
Entatildeo teremos
n(M) + n(T) = 11
n(M) + N(T) = 7
Somando membro a membro as duas igualdades vem
n(M) + n(M) + n(T) + n(T) = 11 + 7 = 18
Mas jaacute temos que perceber n (M) + n(M) = total dos dias de feacuterias = n
E que n(T) + n(T) = total dos dias de feacuterias = n
Portanto substituindo vem
n + n = 18
2n = 18
n = 9
Resposta Foram nove dias de feacuterias ou seja n = 9 dias
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2 LOacuteGICA
O aprendizado da Loacutegica auxilia os estudantes no raciociacutenio na
compreensatildeo de conceitos baacutesicos na verificaccedilatildeo formal de programas e melhor
os prepara para o entendimento do conteuacutedo de toacutepicos mais avanccedilados
Esta unidade constitui uma introduccedilatildeo agrave Loacutegica elementar claacutessica
procurando alcanccedilar os objetivos gerais e especiacuteficos propostos pela disciplina
Loacutegica Matemaacutetica
21) Uma Classificaccedilatildeo da Loacutegica
Alguns autores dividem o estudo da Loacutegica em
bull LOacuteGICA INDUTIVA uacutetil no estudo da teoria da probabilidade
bull LOacuteGICA DEDUTIVA que pode ser dividida em
- LOacuteGICA CLAacuteSSICA- Considerada como o nuacutecleo da loacutegica
dedutiva Eacute o que chamamos hoje de caacutelculo de predicados de 1a
ordem com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas
Trecircs Princiacutepios (entre outros) regem a Loacutegica Claacutessica da
IDENTIDADE da CONTRADICcedilAtildeO e do TERCEIRO EXCLUIacuteDO os
quais seratildeo abordados mais adiante
- LOacuteGICAS COMPLEMENTARES DA CLAacuteSSICA
Complementam de algum modo a loacutegica claacutessica estendendo o seu
domiacutenio Exemplos loacutegicas modal deocircntica epistecircmica etc
- LOacuteGICAS NAtildeO - CLAacuteSSICAS Assim caracterizadas por
ldquoduvidarrdquo de algum ou alguns dos princiacutepios da loacutegica claacutessica
22) Desenvolvimento da Loacutegica
middot PERIacuteODO ARISTOTEacuteLICO (plusmn 390 aC a plusmn 1840 dC)
A histoacuteria da Loacutegica tem iniacutecio com o filoacutesofo grego ARISTOacuteTELES (384 -
322aC) de Estagira (hoje Estavo) na Macedocircnia Aristoacuteteles criou a ciecircncia da
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Loacutegica cuja essecircncia era a teoria do silogismo (certa forma de argumento vaacutelido)
Seus escritos foram reunidos na obra denominada Organon ou Instrumento da
Ciecircncia
Na Greacutecia distinguiram-se duas grandes escolas de Loacutegica a
PERIPATEacuteTICA (que derivava de Aristoacuteteles) e a ESTOacuteICA fundada por Zenatildeo
(326-264aC) A escola ESTOacuteICA foi desenvolvida por Crisipo (280-250aC) a
partir da escola MEGAacuteRIA (fundada por Euclides um seguidor de Soacutecrates)
Segundo Kneale e Kneale (O Desenvolvimento da Loacutegica) houve durante muitos
anos uma certa rivalidade entre os Peripateacuteticos e os Megaacuterios e que isto talvez
tenha prejudicado o desenvolvimento da loacutegica embora na verdade as teorias
destas escolas fossem complementares
middot PERIacuteODO BOOLEANO (plusmn 1840 a plusmn 1910)
Inicia-se com George Boole (1815-1864) e Augustus de Morgan (1806-
1871) publicaram os fundamentos da chamada aacutelgebra da loacutegica
respectivamente com Mathematical Analysis of Logic e formal Logic
Gotlob Frege (1848-1925) deu um grande passo no desenvolvimento da
loacutegica com a obra Begriffsschrift de 1879 as ideacuteias de Frege soacute foram
reconhecidas pelos outros matemaacuteticos partir de 1905 eacute devido a Frege o
desenvolvimento da loacutegica que se seguiu
Giuseppe Peano (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti Vacca Pieri
Paacutedoa Vailati etc quase toda simbologia da matemaacutetica se deve a essa escola
italiana
middotOutro periacuteodo importante
Com Bertrand Russell (1872-1970) E Alfred North Whitehead (1861-1947)
Inicia-se o Periacuteodo Atual da Loacutegica com a obra Principia Mathematica
David Hilbert (1862-1943) e sua escola alematilde com Von Neuman Bernays
Ackerman e Outros
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Kurt Goumldel (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983) com suas importantes
contribuiccedilotildees
Surgem as loacutegicas natildeo-claacutessicas NCA da Costa com as loacutegicas
paraconsistentes L A Zadeh com a loacutegica fuzzy e as contribuiccedilotildees dessas
loacutegicas para a informaacutetica no campo da inteligecircncia artificial com os sistemas
especialistas
Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Loacutegica englobam
muitas aacutereas do conhecimento
23) Caacutelculo Proposicional
Como primeira e indispensaacutevel parte da loacutegica matemaacutetica temos o caacutelculo
proposicional ou caacutelculo sentencial ou ainda caacutelculo das sentenccedilas
PROPOSICcedilAtildeO sentenccedilas declarativas afirmativas (expressatildeo de uma
linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa
middot A lua eacute um sateacutelite da Terra
middot Esse limatildeo eacute verde
middot Matemaacutetica eacute uma ciecircncia
231) Os Siacutembolos da Linguagem do Caacutelculo Proposicional
middot
VARIAacuteVEIS PROPOSICIONAIS letras latinas minuacutesculas pqrs para indicar
as proposiccedilotildees (foacutermulas atocircmicas)
Exemplos A lua eacute um sateacutelite da Terra p
Esse limatildeo eacute verde q
middot CONECTIVOS LOacuteGICOS As foacutermulas atocircmicas podem ser combinadas entre
si e para representar tais combinaccedilotildees usaremos os conectivos loacutegicos
^ e ou rarr seentatildeo se e somente se ~ natildeo
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Exemplos
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde p ^ q (p e q satildeo chamados
conjuntos)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra ou esse limatildeo eacute verde p q ( p e q satildeo chamados
disjuntos)
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra entatildeo esse limatildeo eacute verde p rarrq ( p eacute o
antecedente e q o consequente)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra se e somente se esse limatildeo eacute verde p q
middot A lua natildeo eacute o sateacutelite da Terra ~p
232) SIacuteMBOLOS AUXILIARES
( ) parecircnteses que servem para denotar o alcance dos conectivos
Exemplos
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde entatildeo a lua natildeo eacute o sateacutelite
da Terra
((p ^ q) rarr ~ p)
233) Definiccedilatildeo de foacutermula
1 Toda foacutermula atocircmica eacute uma foacutermula
2 Se A e B satildeo foacutermulas entatildeo
(A ^ B) (A B) (A rarr B) (A B) e (~ A) tambeacutem satildeo foacutermulas
3 Satildeo foacutermulas apenas as obtidas por 1 e 2
Os parecircnteses seratildeo usados segundo a seguinte ordem dos conectivos ~ ^
rarr
Com o mesmo conectivo adotaremos a convenccedilatildeo pela direita
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Exemplo a foacutermula p ^ q ~ rrarr p ~ q deve ser entendida como
(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))
24) Tabela verdade
A loacutegica claacutessica eacute governada por trecircs princiacutepios (entre outros) que podem ser
formulados como segue
I Princiacutepio da Identidade Todo objeto eacute idecircntico a si mesmo
II Princiacutepio da Contradiccedilatildeo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias (uma eacute
negaccedilatildeo da outra) uma delas eacute falsa
III Princiacutepio do Terceiro Excluiacutedo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias uma
delas eacute verdadeira
Com base nesses princiacutepios as proposiccedilotildees simples satildeo ou verdadeiras ou
falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos daiacute dizer que a loacutegica
claacutessica eacute bivalente
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposiccedilotildees compostas
(moleculares) conhecidos os valores das proposiccedilotildees simples (atocircmicas) que
as compotildeem usaremos tabelas-verdade
1Tabela verdade da negaccedilatildeo ~p eacute verdadeira (falsa) se e somente se p
eacute falsa (verdadeira)
p ~p
V F
F V
2 Tabela verdade da conjunccedilatildeo a conjunccedilatildeo eacute verdadeira se e somente
os conjunctos satildeo verdadeiros
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p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
3 Tabela verdade da disjunccedilatildeo a disjunccedilatildeo eacute falsa se e somente os
disjuntos satildeo falsos
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
4 Tabela verdade da implicaccedilatildeo a implicaccedilatildeo eacute falsa se e somente se
o antecedente eacute verdadeiro e o consequumlente eacute falso
p q p rarr q
V V V
V F F
F V V
F F V
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5 Tabela verdade da bi-implicaccedilatildeo a bi-implicaccedilatildeo eacute verdadeira se e
somente se seus componentes satildeo ou ambos verdadeiros ou ambos falsos
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
6 A disjunccedilatildeo exclusiva (escrito como ou ne) eacute uma operaccedilatildeo sobre dois
ou mais valores loacutegicos tipicamente os valores de duas proposiccedilotildees que produz
um valor verdadeiro apenas se V(p) V(q)
Ou exclusivo chamada tambeacutem disjunccedilatildeo exclusiva conhecido geralmente
por XOR ou por EOR (tambeacutem XOU ou EOU) eacute uma operaccedilatildeo loacutegica em dois
operandos que resulta em um valor loacutegico verdadeiro se e somente se
exactamente um dos operandos tem um valor verdadeiro
Denotaremos a disjunccedilatildeo exclusiva de p e q por p q
E leremos ldquop ou q mas natildeo ambasrdquo
Ou exclusivo
p q
F F F
F V V
V F V
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V V F
Exemplo 1 Construir a tabela verdade da foacutermula ((p q) ~p) rarr (q ^p)
uma maneira mais faacutecil de construir a tabela verdade eacute colocar os valores
loacutegicos como segue abaixo
Apoacutes vamos
resolvendo de acordo
com os operadores loacutegicos
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V V
V V F V F V
F V V F V F
F F F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V
V V F F V F V
F V V V F V F
F F F V F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V
V F V F V
F V F V F
F F F F F
Resolver
primeiramente
depois
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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V V
V V F F V F F V
F V V V F V F F
F F F V F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V
V V F F F V F F V
F V V V V F V F F
F F F F V F F F F
e por uacuteltimo
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V V
V V F F F V V F F V
F V V V V F F V F F
F F F F V F V F F F
NUacuteMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
agora este
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Cada proposiccedilatildeo simples (atocircmica) tem dois valores V ou F que se
excluem Para n atocircmicas distintas haacute tantas possibilidades quantos satildeo os
arranjos com repeticcedilatildeo de 2 (V e F) elementos n a n Segue-se que o nuacutemero de
linhas da tabela verdade eacute 2n
Assim para duas proposiccedilotildees satildeo 22
= 4 linhas
para 3 proposiccedilotildees satildeo 23 = 8 etc
Exemplo a tabela - verdade da foacutermula ((p ^ q) rarr r) teraacute 8 linhas como segue
p q r ((p ^ q) rarr r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
A Ou Exclusivo (XOR) goza das propriedades da associatividade e
comutatividade conforme podemos relembrar
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Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a
Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades
As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital
A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade
Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais
Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O
Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute
mostrado na Figura a seguir
A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por
Figura 3 Desenho esquemaacutetico
Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
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GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
RJ LTC (2001)
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Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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(1981)
PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta
httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
aprender Porto Alegre ArtMed (1998) 177 p ISBN 85-7307-356-X
SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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SUMAacuteRIO
Introduccedilatildeo 3
1 Teoria dos conjuntos 4
11 Conceitos essenciais 6
12 Notaccedilatildeo dos conjuntos 8
13 Exemplos de conjuntos compostos por nuacutemeros 8
2 Loacutegica 12
21) Uma Classificaccedilatildeo da Loacutegica 12
22) Desenvolvimento da Loacutegica 12
23) Caacutelculo Proposicional 14
231) Os Siacutembolos da Linguagem do Caacutelculo Proposicional 14
232) SIacuteMBOLOS AUXILIARES 15
233) Definiccedilatildeo de foacutermula 15
24) Tabela verdade 16
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos 23
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias 25
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana 28
271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos 30
3 Teoria dos Grafos 31
31 Definiccedilotildees baacutesicas 31
32 Problemas que envolvem grafos 38
4 Referecircncias bibliograacuteficas 45
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INTRODUCcedilAtildeO
Frequentemente o aluno de Ciecircncias Aplicadas possui uma forte
expectativa de estudos tecnoloacutegicos jaacute no iniacutecio do Curso De fato ateacute o seu
ingresso na universidade poucos alunos tecircm uma noccedilatildeo clara da carga de
disciplinas com ecircnfase teoacuterico-formal Assim quando se deparam com um
conjunto consideraacutevel de disciplinas com esta ecircnfase tendem a considerar os
estudos matemaacuteticos como algo secundaacuterio ou de menor importacircncia Nessa
apostila abordaremos alguns toacutepicos de uma disciplina muito importante
Matemaacutetica Discreta
A Matemaacutetica Discreta aplica-se a vaacuterias disciplinas de cursos como
Computaccedilatildeo Informaacutetica Matemaacutetica Sistemas de Informaccedilatildeo entre outros
O conteuacutedo dessa disciplina eacute relativamente extenso e eacute desenvolvido com
abrangecircncia e profundidade Tal fato tende a levar o aluno a centrar seu estudo
no conteuacutedo dando pouca atenccedilatildeo aos niacuteveis mais elevados de raciociacutenio A
consequecircncia eacute que no meio do semestre letivo (ou ateacute antes) muitos alunos
se sentem perdidos natildeo acompanhando mais o desenvolvimento da disciplina
A questatildeo fundamental eacute o entendimento de que tatildeo importante quanto o
conteuacutedo eacute o desenvolvimento da capacidade de raciociacutenio abstrato (loacutegico-
matemaacutetico) o qual eacute fortemente explorado junto com o conteuacutedo Ou seja de
certa forma o conteuacutedo eacute usado como um meio para o desenvolvimento de um
raciociacutenio abstrato Eacute importante observar que o desenvolvimento do raciociacutenio
eacute obtido gradualmente ao longo do tempo como consequumlecircncia de estudos
regulares e sistemaacuteticos preferencialmente apoacutes cada aula ou toacutepico estudado
Alguns conteuacutedos seratildeo abordados aqui como conjuntos Loacutegica e
Grafos
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1 TEORIA DOS CONJUNTOS
Teoria dos conjuntos eacute a teoria matemaacutetica que trata das propriedades dos
conjuntos Ela tem sua origem nos trabalhos do matemaacutetico russo Georg Cantor
(1845ndash1918) e se baseia na ideacuteia de definir conjunto como uma noccedilatildeo primitiva
Tambeacutem chamada de teoria ingecircnua ou intuitiva devido agrave descoberta de vaacuterios
paradoxos relacionados agrave definiccedilatildeo de conjunto Estes paradoxos na teoria dos
conjuntos conduziram a Matemaacutetica a axiomatizar as teorias matemaacuteticas com
influecircncias profundas sobre a loacutegica e os fundamentos da matemaacutetica Essa
teoria teve seu iniacutecio com a publicaccedilatildeo em 1874 de um trabalho de Cantor que
tratava sobre a comparaccedilatildeo de coleccedilotildees infinitas O trabalho apresentava uma
forma de comparar conjuntos infinitos pelo casamento 1-1 entre os elementos
destes conjuntos
Fig 1 George Kantor
Esta aplicaccedilatildeo da correspondecircncia 1-1 permitiu a Cantor introduzir um
meacutetodo de diagonalizaccedilatildeo que por contradiccedilatildeo permitia provar que o conjunto
dos nuacutemeros reais natildeo tinha correspondecircncia 1-1 com o conjunto dos nuacutemeros
inteiros Isto mais tarde levou ao desenvolvimento do conceito de contiacutenuo por
Richard Dedekind
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Fig 2 Richard Dedekind
Iniciando com estas descobertas Cantor acabou desenvolvendo uma
teoria dos conjuntos abstratos que constitui-se em uma generalizaccedilatildeo do
conceito de conjunto
Conjunto
Um conjunto eacute uma coleccedilatildeo de entidades chamadas de elementos A
notaccedilatildeo padratildeo lista os elementos separados por viacutergulas e delimitados por
chaves (o uso de parecircnteses ou colchetes eacute incomum e em determinados
contextos considerado incorreto) como os seguintes exemplos
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Eacute possiacutevel descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras listando os
seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma
propriedade de seus elementos (o que se for feito de forma descuidada pode
gerar problemas tais como o paradoxo de Russell)
Dizemos que dois conjuntos satildeo iguais se e somente se cada elemento de
um eacute tambeacutem elemento do outro
11 Conceitos essenciais
bull Conjunto representa uma coleccedilatildeo de objetos sempre representado por
letras maiuacutesculas
bull Elemento qualquer um dos componentes de um conjunto geralmente
representado por letras minuacutesculas
bull Pertinecircncia eacute a caracteriacutestica associada a um elemento que faz parte de
um conjunto
Pertence ou natildeo pertence
Se a eacute um elemento de A noacutes podemos dizer que o elemento a pertence
ao conjunto A e podemos escrever a A Se a natildeo eacute um elemento de A noacutes
podemos dizer que o elemento a natildeo pertence ao conjunto A e podemos
escrever aA
Subconjuntos proacuteprios e improacuteprios
Se A e B satildeo conjuntos e todo o elemento x pertencente a A tambeacutem
pertence a B entatildeo o conjunto A eacute dito um subconjunto do conjunto B denotado
por BA Note que esta definiccedilatildeo inclui o caso em que A e B possuem os
mesmos elementos isto eacute satildeo o mesmo conjunto (A = B)
Se ao menos um elemento pertencente a B natildeo pertence a A entatildeo A eacute
chamado de subconjunto proacuteprio de B denotado por BA Todo conjunto eacute
subconjunto dele proacuteprio chamado de subconjunto improacuteprio
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Conjunto vazio
Todo conjunto tambeacutem possui como subconjunto o conjunto vazio
representado por ou Supondo que o conjunto vazio natildeo pertence ao
conjunto em questatildeo entatildeo o conjunto vazio deve possuir um elemento ao
menos que natildeo pertenccedila a este conjunto Como o conjunto vazio natildeo possui
elementos isto natildeo eacute possiacutevel Como todos os conjuntos vazios satildeo iguais uns
aos outros eacute permissiacutevel falar de um uacutenico conjunto sem elementos
Uniatildeo interseccedilatildeo e diferenccedila
A uniatildeo (ou reuniatildeo) de dois conjuntos A e B eacute o conjunto A composto dos
elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos A eB
A uniatildeo de N conjuntos N
i
iN SSSSSS1
321 =
== eacute o conjunto formado
pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos S i
A interseccedilatildeo de dois conjuntos A e B eacute o conjunto composto dos elementos
que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos A e B
A diferenccedila entre dois conjuntos A e B eacute o conjunto de todos os elementos de A
que natildeo estatildeo de B
Cardinalidade
Se um conjunto tem n elementos onde n eacute um nuacutemero natural entatildeo diz-
se que o conjunto eacute um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou nuacutemero
cardinal n
Mesmo se o conjunto natildeo possui um nuacutemero finito de elementos pode-se
definir a cardinalidade graccedilas ao trabalho desenvolvido pelo matemaacutetico Georg
Cantor Neste caso a cardinalidade poderaacute ser (aleph-0)
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Em teoria dos conjuntos Aleph (א) eacute uma letra usada para representar
cardinais infinitos A cardinalidade dos conjunto dos nuacutemeros inteiros eacute o
cardinal seguinte eacute etc
Usando o Axioma da escolha pode-se demonstrar que qualquer conjunto
natildeo-vazio de nuacutemeros cardinais tem um elemento miacutenimo assim a classe dos
nuacutemeros cardinais eacute bem ordenada e pode ser indexada pelos nuacutemeros ordinais
Esta indexaccedilatildeo gera a notaccedilatildeo para os nuacutemeros cardinais
Produto cartesiano
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B eacute o conjunto de pares ordenados
A soma ou uniatildeo disjunta de dois conjuntos A e B eacute o conjunto
12 Notaccedilatildeo dos conjuntos
Os conjuntos satildeo representados de diversas formas
bull A forma mais usual eacute a que apresenta os elementos entre duas chaves
()
bull As propriedades ou descriccedilotildees de um conjunto satildeo representadas dentro
das apoacutes os elementos e separadas destes por
bull Diagrama de Venn-Euler eacute a representaccedilatildeo graacutefica dos conjuntos
atraveacutes de entidades geomeacutetricas
13 Exemplos de conjuntos compostos por nuacutemeros
Nota Nesta seccedilatildeo a b e c satildeo nuacutemeros naturais enquanto r e s satildeo nuacutemeros
reais
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1 Nuacutemeros naturais satildeo usados para contar O siacutembolo usualmente
representa este conjunto Na literatura matemaacutetica eacute possiacutevel encontrar
textos que incluem o zero como nuacutemero natural e textos que natildeo incluem
2 Nuacutemeros inteiros aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como x + a = b O
siacutembolo usualmente representa este conjunto (do termo alematildeo Zahlen que
significa nuacutemeros)
3 Nuacutemeros racionais aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como a + bx =
c O siacutembolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente)
4 Nuacutemeros algeacutebricos aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees polinomiais
(com coeficientes inteiros) e envolvem raiacutezes e alguns outros nuacutemeros
irracionais O siacutembolo ou usualmente representa este conjunto
Um nuacutemero algeacutebrico eacute qualquer nuacutemero real ou complexo que eacute soluccedilatildeo
de alguma equaccedilatildeo polinomial com coeficientes inteiros Em um sentido mais
amplo diz-se que um nuacutemero eacute algeacutebrico sobre um corpo quando ele eacute raiz de
um polinocircmio com coeficientes neste corpo
Todos os nuacutemeros racionais satildeo algeacutebricos porque qualquer fraccedilatildeo do tipo a
b eacute soluccedilatildeo de
bx minus a = 0 Alguns nuacutemeros irracionais como radic2 e 31 3 2 satildeo tambeacutem
algeacutebricos porque satildeo as soluccedilotildees de x2 minus 2 = 0 e 8x3 minus 3 = 0 respectivamente
Mas nem todos os reais satildeo algeacutebricos ndash como exemplo refiram-se π e ldquoerdquo
A um nuacutemero complexo natildeo algeacutebrico daacute-se o nome de nuacutemero
transcendente
Se um nuacutemero algeacutebrico for soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo de grau n com
coeficientes inteiros e de nenhuma de grau inferior diz-se que eacute um nuacutemero
algeacutebrico de grau n
5 Nuacutemeros reais incluem os nuacutemeros algeacutebricos e os nuacutemeros
transcendentais O siacutembolo usualmente representa este conjunto
6 Nuacutemeros imaginaacuterios aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como x 2 + r
= 0 onde r gt 0 O siacutembolo usualmente representa este conjunto
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7 Nuacutemeros complexos eacute a soma dos nuacutemeros reais e dos imaginaacuterios
Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero entatildeo os conjuntos dos
nuacutemeros reais e o dos imaginaacuterios satildeo subconjuntos do conjunto dos
nuacutemeros complexos O siacutembolo usualmente representa este conjunto
Exerciacutecio resolvido 1
(USP) Depois de n dias de feacuterias um estudante observa que
- choveu 7 vezes de manhatilde ou agrave tarde
- quando chove de manhatilde natildeo chove agrave tarde
- houve cinco tardes sem chuva
- houve seis manhatildes sem chuva
Calcule o valor de n
Soluccedilatildeo
Seja M o conjunto dos dias que choveu pela manhatilde e T o conjunto dos dias que
choveu agrave tarde Chamando de M e T os conjuntos complementares de M e T
respectivamente teremos
n(T) = 5 (cinco tardes sem chuva) e n(M) = 6 (seis manhatildes sem chuva)
n(M T) = 0 ( quando chove pela manhatilde natildeo chove agrave tarde)
Assim
n(M T) = n(M) + n(T) ndash n(M T)
7 = n(M) + n(T) ndash 0
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Jaacute sabemos que
n(M) + n(T) = 5 + 6 = 11
Entatildeo teremos
n(M) + n(T) = 11
n(M) + N(T) = 7
Somando membro a membro as duas igualdades vem
n(M) + n(M) + n(T) + n(T) = 11 + 7 = 18
Mas jaacute temos que perceber n (M) + n(M) = total dos dias de feacuterias = n
E que n(T) + n(T) = total dos dias de feacuterias = n
Portanto substituindo vem
n + n = 18
2n = 18
n = 9
Resposta Foram nove dias de feacuterias ou seja n = 9 dias
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2 LOacuteGICA
O aprendizado da Loacutegica auxilia os estudantes no raciociacutenio na
compreensatildeo de conceitos baacutesicos na verificaccedilatildeo formal de programas e melhor
os prepara para o entendimento do conteuacutedo de toacutepicos mais avanccedilados
Esta unidade constitui uma introduccedilatildeo agrave Loacutegica elementar claacutessica
procurando alcanccedilar os objetivos gerais e especiacuteficos propostos pela disciplina
Loacutegica Matemaacutetica
21) Uma Classificaccedilatildeo da Loacutegica
Alguns autores dividem o estudo da Loacutegica em
bull LOacuteGICA INDUTIVA uacutetil no estudo da teoria da probabilidade
bull LOacuteGICA DEDUTIVA que pode ser dividida em
- LOacuteGICA CLAacuteSSICA- Considerada como o nuacutecleo da loacutegica
dedutiva Eacute o que chamamos hoje de caacutelculo de predicados de 1a
ordem com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas
Trecircs Princiacutepios (entre outros) regem a Loacutegica Claacutessica da
IDENTIDADE da CONTRADICcedilAtildeO e do TERCEIRO EXCLUIacuteDO os
quais seratildeo abordados mais adiante
- LOacuteGICAS COMPLEMENTARES DA CLAacuteSSICA
Complementam de algum modo a loacutegica claacutessica estendendo o seu
domiacutenio Exemplos loacutegicas modal deocircntica epistecircmica etc
- LOacuteGICAS NAtildeO - CLAacuteSSICAS Assim caracterizadas por
ldquoduvidarrdquo de algum ou alguns dos princiacutepios da loacutegica claacutessica
22) Desenvolvimento da Loacutegica
middot PERIacuteODO ARISTOTEacuteLICO (plusmn 390 aC a plusmn 1840 dC)
A histoacuteria da Loacutegica tem iniacutecio com o filoacutesofo grego ARISTOacuteTELES (384 -
322aC) de Estagira (hoje Estavo) na Macedocircnia Aristoacuteteles criou a ciecircncia da
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Loacutegica cuja essecircncia era a teoria do silogismo (certa forma de argumento vaacutelido)
Seus escritos foram reunidos na obra denominada Organon ou Instrumento da
Ciecircncia
Na Greacutecia distinguiram-se duas grandes escolas de Loacutegica a
PERIPATEacuteTICA (que derivava de Aristoacuteteles) e a ESTOacuteICA fundada por Zenatildeo
(326-264aC) A escola ESTOacuteICA foi desenvolvida por Crisipo (280-250aC) a
partir da escola MEGAacuteRIA (fundada por Euclides um seguidor de Soacutecrates)
Segundo Kneale e Kneale (O Desenvolvimento da Loacutegica) houve durante muitos
anos uma certa rivalidade entre os Peripateacuteticos e os Megaacuterios e que isto talvez
tenha prejudicado o desenvolvimento da loacutegica embora na verdade as teorias
destas escolas fossem complementares
middot PERIacuteODO BOOLEANO (plusmn 1840 a plusmn 1910)
Inicia-se com George Boole (1815-1864) e Augustus de Morgan (1806-
1871) publicaram os fundamentos da chamada aacutelgebra da loacutegica
respectivamente com Mathematical Analysis of Logic e formal Logic
Gotlob Frege (1848-1925) deu um grande passo no desenvolvimento da
loacutegica com a obra Begriffsschrift de 1879 as ideacuteias de Frege soacute foram
reconhecidas pelos outros matemaacuteticos partir de 1905 eacute devido a Frege o
desenvolvimento da loacutegica que se seguiu
Giuseppe Peano (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti Vacca Pieri
Paacutedoa Vailati etc quase toda simbologia da matemaacutetica se deve a essa escola
italiana
middotOutro periacuteodo importante
Com Bertrand Russell (1872-1970) E Alfred North Whitehead (1861-1947)
Inicia-se o Periacuteodo Atual da Loacutegica com a obra Principia Mathematica
David Hilbert (1862-1943) e sua escola alematilde com Von Neuman Bernays
Ackerman e Outros
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Kurt Goumldel (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983) com suas importantes
contribuiccedilotildees
Surgem as loacutegicas natildeo-claacutessicas NCA da Costa com as loacutegicas
paraconsistentes L A Zadeh com a loacutegica fuzzy e as contribuiccedilotildees dessas
loacutegicas para a informaacutetica no campo da inteligecircncia artificial com os sistemas
especialistas
Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Loacutegica englobam
muitas aacutereas do conhecimento
23) Caacutelculo Proposicional
Como primeira e indispensaacutevel parte da loacutegica matemaacutetica temos o caacutelculo
proposicional ou caacutelculo sentencial ou ainda caacutelculo das sentenccedilas
PROPOSICcedilAtildeO sentenccedilas declarativas afirmativas (expressatildeo de uma
linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa
middot A lua eacute um sateacutelite da Terra
middot Esse limatildeo eacute verde
middot Matemaacutetica eacute uma ciecircncia
231) Os Siacutembolos da Linguagem do Caacutelculo Proposicional
middot
VARIAacuteVEIS PROPOSICIONAIS letras latinas minuacutesculas pqrs para indicar
as proposiccedilotildees (foacutermulas atocircmicas)
Exemplos A lua eacute um sateacutelite da Terra p
Esse limatildeo eacute verde q
middot CONECTIVOS LOacuteGICOS As foacutermulas atocircmicas podem ser combinadas entre
si e para representar tais combinaccedilotildees usaremos os conectivos loacutegicos
^ e ou rarr seentatildeo se e somente se ~ natildeo
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Exemplos
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde p ^ q (p e q satildeo chamados
conjuntos)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra ou esse limatildeo eacute verde p q ( p e q satildeo chamados
disjuntos)
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra entatildeo esse limatildeo eacute verde p rarrq ( p eacute o
antecedente e q o consequente)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra se e somente se esse limatildeo eacute verde p q
middot A lua natildeo eacute o sateacutelite da Terra ~p
232) SIacuteMBOLOS AUXILIARES
( ) parecircnteses que servem para denotar o alcance dos conectivos
Exemplos
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde entatildeo a lua natildeo eacute o sateacutelite
da Terra
((p ^ q) rarr ~ p)
233) Definiccedilatildeo de foacutermula
1 Toda foacutermula atocircmica eacute uma foacutermula
2 Se A e B satildeo foacutermulas entatildeo
(A ^ B) (A B) (A rarr B) (A B) e (~ A) tambeacutem satildeo foacutermulas
3 Satildeo foacutermulas apenas as obtidas por 1 e 2
Os parecircnteses seratildeo usados segundo a seguinte ordem dos conectivos ~ ^
rarr
Com o mesmo conectivo adotaremos a convenccedilatildeo pela direita
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Exemplo a foacutermula p ^ q ~ rrarr p ~ q deve ser entendida como
(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))
24) Tabela verdade
A loacutegica claacutessica eacute governada por trecircs princiacutepios (entre outros) que podem ser
formulados como segue
I Princiacutepio da Identidade Todo objeto eacute idecircntico a si mesmo
II Princiacutepio da Contradiccedilatildeo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias (uma eacute
negaccedilatildeo da outra) uma delas eacute falsa
III Princiacutepio do Terceiro Excluiacutedo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias uma
delas eacute verdadeira
Com base nesses princiacutepios as proposiccedilotildees simples satildeo ou verdadeiras ou
falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos daiacute dizer que a loacutegica
claacutessica eacute bivalente
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposiccedilotildees compostas
(moleculares) conhecidos os valores das proposiccedilotildees simples (atocircmicas) que
as compotildeem usaremos tabelas-verdade
1Tabela verdade da negaccedilatildeo ~p eacute verdadeira (falsa) se e somente se p
eacute falsa (verdadeira)
p ~p
V F
F V
2 Tabela verdade da conjunccedilatildeo a conjunccedilatildeo eacute verdadeira se e somente
os conjunctos satildeo verdadeiros
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p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
3 Tabela verdade da disjunccedilatildeo a disjunccedilatildeo eacute falsa se e somente os
disjuntos satildeo falsos
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
4 Tabela verdade da implicaccedilatildeo a implicaccedilatildeo eacute falsa se e somente se
o antecedente eacute verdadeiro e o consequumlente eacute falso
p q p rarr q
V V V
V F F
F V V
F F V
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5 Tabela verdade da bi-implicaccedilatildeo a bi-implicaccedilatildeo eacute verdadeira se e
somente se seus componentes satildeo ou ambos verdadeiros ou ambos falsos
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
6 A disjunccedilatildeo exclusiva (escrito como ou ne) eacute uma operaccedilatildeo sobre dois
ou mais valores loacutegicos tipicamente os valores de duas proposiccedilotildees que produz
um valor verdadeiro apenas se V(p) V(q)
Ou exclusivo chamada tambeacutem disjunccedilatildeo exclusiva conhecido geralmente
por XOR ou por EOR (tambeacutem XOU ou EOU) eacute uma operaccedilatildeo loacutegica em dois
operandos que resulta em um valor loacutegico verdadeiro se e somente se
exactamente um dos operandos tem um valor verdadeiro
Denotaremos a disjunccedilatildeo exclusiva de p e q por p q
E leremos ldquop ou q mas natildeo ambasrdquo
Ou exclusivo
p q
F F F
F V V
V F V
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V V F
Exemplo 1 Construir a tabela verdade da foacutermula ((p q) ~p) rarr (q ^p)
uma maneira mais faacutecil de construir a tabela verdade eacute colocar os valores
loacutegicos como segue abaixo
Apoacutes vamos
resolvendo de acordo
com os operadores loacutegicos
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V V
V V F V F V
F V V F V F
F F F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V
V V F F V F V
F V V V F V F
F F F V F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V
V F V F V
F V F V F
F F F F F
Resolver
primeiramente
depois
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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V V
V V F F V F F V
F V V V F V F F
F F F V F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V
V V F F F V F F V
F V V V V F V F F
F F F F V F F F F
e por uacuteltimo
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V V
V V F F F V V F F V
F V V V V F F V F F
F F F F V F V F F F
NUacuteMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
agora este
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Cada proposiccedilatildeo simples (atocircmica) tem dois valores V ou F que se
excluem Para n atocircmicas distintas haacute tantas possibilidades quantos satildeo os
arranjos com repeticcedilatildeo de 2 (V e F) elementos n a n Segue-se que o nuacutemero de
linhas da tabela verdade eacute 2n
Assim para duas proposiccedilotildees satildeo 22
= 4 linhas
para 3 proposiccedilotildees satildeo 23 = 8 etc
Exemplo a tabela - verdade da foacutermula ((p ^ q) rarr r) teraacute 8 linhas como segue
p q r ((p ^ q) rarr r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
A Ou Exclusivo (XOR) goza das propriedades da associatividade e
comutatividade conforme podemos relembrar
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Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a
Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades
As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital
A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade
Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais
Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O
Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute
mostrado na Figura a seguir
A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por
Figura 3 Desenho esquemaacutetico
Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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INTRODUCcedilAtildeO
Frequentemente o aluno de Ciecircncias Aplicadas possui uma forte
expectativa de estudos tecnoloacutegicos jaacute no iniacutecio do Curso De fato ateacute o seu
ingresso na universidade poucos alunos tecircm uma noccedilatildeo clara da carga de
disciplinas com ecircnfase teoacuterico-formal Assim quando se deparam com um
conjunto consideraacutevel de disciplinas com esta ecircnfase tendem a considerar os
estudos matemaacuteticos como algo secundaacuterio ou de menor importacircncia Nessa
apostila abordaremos alguns toacutepicos de uma disciplina muito importante
Matemaacutetica Discreta
A Matemaacutetica Discreta aplica-se a vaacuterias disciplinas de cursos como
Computaccedilatildeo Informaacutetica Matemaacutetica Sistemas de Informaccedilatildeo entre outros
O conteuacutedo dessa disciplina eacute relativamente extenso e eacute desenvolvido com
abrangecircncia e profundidade Tal fato tende a levar o aluno a centrar seu estudo
no conteuacutedo dando pouca atenccedilatildeo aos niacuteveis mais elevados de raciociacutenio A
consequecircncia eacute que no meio do semestre letivo (ou ateacute antes) muitos alunos
se sentem perdidos natildeo acompanhando mais o desenvolvimento da disciplina
A questatildeo fundamental eacute o entendimento de que tatildeo importante quanto o
conteuacutedo eacute o desenvolvimento da capacidade de raciociacutenio abstrato (loacutegico-
matemaacutetico) o qual eacute fortemente explorado junto com o conteuacutedo Ou seja de
certa forma o conteuacutedo eacute usado como um meio para o desenvolvimento de um
raciociacutenio abstrato Eacute importante observar que o desenvolvimento do raciociacutenio
eacute obtido gradualmente ao longo do tempo como consequumlecircncia de estudos
regulares e sistemaacuteticos preferencialmente apoacutes cada aula ou toacutepico estudado
Alguns conteuacutedos seratildeo abordados aqui como conjuntos Loacutegica e
Grafos
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1 TEORIA DOS CONJUNTOS
Teoria dos conjuntos eacute a teoria matemaacutetica que trata das propriedades dos
conjuntos Ela tem sua origem nos trabalhos do matemaacutetico russo Georg Cantor
(1845ndash1918) e se baseia na ideacuteia de definir conjunto como uma noccedilatildeo primitiva
Tambeacutem chamada de teoria ingecircnua ou intuitiva devido agrave descoberta de vaacuterios
paradoxos relacionados agrave definiccedilatildeo de conjunto Estes paradoxos na teoria dos
conjuntos conduziram a Matemaacutetica a axiomatizar as teorias matemaacuteticas com
influecircncias profundas sobre a loacutegica e os fundamentos da matemaacutetica Essa
teoria teve seu iniacutecio com a publicaccedilatildeo em 1874 de um trabalho de Cantor que
tratava sobre a comparaccedilatildeo de coleccedilotildees infinitas O trabalho apresentava uma
forma de comparar conjuntos infinitos pelo casamento 1-1 entre os elementos
destes conjuntos
Fig 1 George Kantor
Esta aplicaccedilatildeo da correspondecircncia 1-1 permitiu a Cantor introduzir um
meacutetodo de diagonalizaccedilatildeo que por contradiccedilatildeo permitia provar que o conjunto
dos nuacutemeros reais natildeo tinha correspondecircncia 1-1 com o conjunto dos nuacutemeros
inteiros Isto mais tarde levou ao desenvolvimento do conceito de contiacutenuo por
Richard Dedekind
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Fig 2 Richard Dedekind
Iniciando com estas descobertas Cantor acabou desenvolvendo uma
teoria dos conjuntos abstratos que constitui-se em uma generalizaccedilatildeo do
conceito de conjunto
Conjunto
Um conjunto eacute uma coleccedilatildeo de entidades chamadas de elementos A
notaccedilatildeo padratildeo lista os elementos separados por viacutergulas e delimitados por
chaves (o uso de parecircnteses ou colchetes eacute incomum e em determinados
contextos considerado incorreto) como os seguintes exemplos
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Eacute possiacutevel descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras listando os
seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma
propriedade de seus elementos (o que se for feito de forma descuidada pode
gerar problemas tais como o paradoxo de Russell)
Dizemos que dois conjuntos satildeo iguais se e somente se cada elemento de
um eacute tambeacutem elemento do outro
11 Conceitos essenciais
bull Conjunto representa uma coleccedilatildeo de objetos sempre representado por
letras maiuacutesculas
bull Elemento qualquer um dos componentes de um conjunto geralmente
representado por letras minuacutesculas
bull Pertinecircncia eacute a caracteriacutestica associada a um elemento que faz parte de
um conjunto
Pertence ou natildeo pertence
Se a eacute um elemento de A noacutes podemos dizer que o elemento a pertence
ao conjunto A e podemos escrever a A Se a natildeo eacute um elemento de A noacutes
podemos dizer que o elemento a natildeo pertence ao conjunto A e podemos
escrever aA
Subconjuntos proacuteprios e improacuteprios
Se A e B satildeo conjuntos e todo o elemento x pertencente a A tambeacutem
pertence a B entatildeo o conjunto A eacute dito um subconjunto do conjunto B denotado
por BA Note que esta definiccedilatildeo inclui o caso em que A e B possuem os
mesmos elementos isto eacute satildeo o mesmo conjunto (A = B)
Se ao menos um elemento pertencente a B natildeo pertence a A entatildeo A eacute
chamado de subconjunto proacuteprio de B denotado por BA Todo conjunto eacute
subconjunto dele proacuteprio chamado de subconjunto improacuteprio
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Conjunto vazio
Todo conjunto tambeacutem possui como subconjunto o conjunto vazio
representado por ou Supondo que o conjunto vazio natildeo pertence ao
conjunto em questatildeo entatildeo o conjunto vazio deve possuir um elemento ao
menos que natildeo pertenccedila a este conjunto Como o conjunto vazio natildeo possui
elementos isto natildeo eacute possiacutevel Como todos os conjuntos vazios satildeo iguais uns
aos outros eacute permissiacutevel falar de um uacutenico conjunto sem elementos
Uniatildeo interseccedilatildeo e diferenccedila
A uniatildeo (ou reuniatildeo) de dois conjuntos A e B eacute o conjunto A composto dos
elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos A eB
A uniatildeo de N conjuntos N
i
iN SSSSSS1
321 =
== eacute o conjunto formado
pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos S i
A interseccedilatildeo de dois conjuntos A e B eacute o conjunto composto dos elementos
que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos A e B
A diferenccedila entre dois conjuntos A e B eacute o conjunto de todos os elementos de A
que natildeo estatildeo de B
Cardinalidade
Se um conjunto tem n elementos onde n eacute um nuacutemero natural entatildeo diz-
se que o conjunto eacute um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou nuacutemero
cardinal n
Mesmo se o conjunto natildeo possui um nuacutemero finito de elementos pode-se
definir a cardinalidade graccedilas ao trabalho desenvolvido pelo matemaacutetico Georg
Cantor Neste caso a cardinalidade poderaacute ser (aleph-0)
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Em teoria dos conjuntos Aleph (א) eacute uma letra usada para representar
cardinais infinitos A cardinalidade dos conjunto dos nuacutemeros inteiros eacute o
cardinal seguinte eacute etc
Usando o Axioma da escolha pode-se demonstrar que qualquer conjunto
natildeo-vazio de nuacutemeros cardinais tem um elemento miacutenimo assim a classe dos
nuacutemeros cardinais eacute bem ordenada e pode ser indexada pelos nuacutemeros ordinais
Esta indexaccedilatildeo gera a notaccedilatildeo para os nuacutemeros cardinais
Produto cartesiano
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B eacute o conjunto de pares ordenados
A soma ou uniatildeo disjunta de dois conjuntos A e B eacute o conjunto
12 Notaccedilatildeo dos conjuntos
Os conjuntos satildeo representados de diversas formas
bull A forma mais usual eacute a que apresenta os elementos entre duas chaves
()
bull As propriedades ou descriccedilotildees de um conjunto satildeo representadas dentro
das apoacutes os elementos e separadas destes por
bull Diagrama de Venn-Euler eacute a representaccedilatildeo graacutefica dos conjuntos
atraveacutes de entidades geomeacutetricas
13 Exemplos de conjuntos compostos por nuacutemeros
Nota Nesta seccedilatildeo a b e c satildeo nuacutemeros naturais enquanto r e s satildeo nuacutemeros
reais
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1 Nuacutemeros naturais satildeo usados para contar O siacutembolo usualmente
representa este conjunto Na literatura matemaacutetica eacute possiacutevel encontrar
textos que incluem o zero como nuacutemero natural e textos que natildeo incluem
2 Nuacutemeros inteiros aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como x + a = b O
siacutembolo usualmente representa este conjunto (do termo alematildeo Zahlen que
significa nuacutemeros)
3 Nuacutemeros racionais aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como a + bx =
c O siacutembolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente)
4 Nuacutemeros algeacutebricos aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees polinomiais
(com coeficientes inteiros) e envolvem raiacutezes e alguns outros nuacutemeros
irracionais O siacutembolo ou usualmente representa este conjunto
Um nuacutemero algeacutebrico eacute qualquer nuacutemero real ou complexo que eacute soluccedilatildeo
de alguma equaccedilatildeo polinomial com coeficientes inteiros Em um sentido mais
amplo diz-se que um nuacutemero eacute algeacutebrico sobre um corpo quando ele eacute raiz de
um polinocircmio com coeficientes neste corpo
Todos os nuacutemeros racionais satildeo algeacutebricos porque qualquer fraccedilatildeo do tipo a
b eacute soluccedilatildeo de
bx minus a = 0 Alguns nuacutemeros irracionais como radic2 e 31 3 2 satildeo tambeacutem
algeacutebricos porque satildeo as soluccedilotildees de x2 minus 2 = 0 e 8x3 minus 3 = 0 respectivamente
Mas nem todos os reais satildeo algeacutebricos ndash como exemplo refiram-se π e ldquoerdquo
A um nuacutemero complexo natildeo algeacutebrico daacute-se o nome de nuacutemero
transcendente
Se um nuacutemero algeacutebrico for soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo de grau n com
coeficientes inteiros e de nenhuma de grau inferior diz-se que eacute um nuacutemero
algeacutebrico de grau n
5 Nuacutemeros reais incluem os nuacutemeros algeacutebricos e os nuacutemeros
transcendentais O siacutembolo usualmente representa este conjunto
6 Nuacutemeros imaginaacuterios aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como x 2 + r
= 0 onde r gt 0 O siacutembolo usualmente representa este conjunto
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7 Nuacutemeros complexos eacute a soma dos nuacutemeros reais e dos imaginaacuterios
Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero entatildeo os conjuntos dos
nuacutemeros reais e o dos imaginaacuterios satildeo subconjuntos do conjunto dos
nuacutemeros complexos O siacutembolo usualmente representa este conjunto
Exerciacutecio resolvido 1
(USP) Depois de n dias de feacuterias um estudante observa que
- choveu 7 vezes de manhatilde ou agrave tarde
- quando chove de manhatilde natildeo chove agrave tarde
- houve cinco tardes sem chuva
- houve seis manhatildes sem chuva
Calcule o valor de n
Soluccedilatildeo
Seja M o conjunto dos dias que choveu pela manhatilde e T o conjunto dos dias que
choveu agrave tarde Chamando de M e T os conjuntos complementares de M e T
respectivamente teremos
n(T) = 5 (cinco tardes sem chuva) e n(M) = 6 (seis manhatildes sem chuva)
n(M T) = 0 ( quando chove pela manhatilde natildeo chove agrave tarde)
Assim
n(M T) = n(M) + n(T) ndash n(M T)
7 = n(M) + n(T) ndash 0
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Jaacute sabemos que
n(M) + n(T) = 5 + 6 = 11
Entatildeo teremos
n(M) + n(T) = 11
n(M) + N(T) = 7
Somando membro a membro as duas igualdades vem
n(M) + n(M) + n(T) + n(T) = 11 + 7 = 18
Mas jaacute temos que perceber n (M) + n(M) = total dos dias de feacuterias = n
E que n(T) + n(T) = total dos dias de feacuterias = n
Portanto substituindo vem
n + n = 18
2n = 18
n = 9
Resposta Foram nove dias de feacuterias ou seja n = 9 dias
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2 LOacuteGICA
O aprendizado da Loacutegica auxilia os estudantes no raciociacutenio na
compreensatildeo de conceitos baacutesicos na verificaccedilatildeo formal de programas e melhor
os prepara para o entendimento do conteuacutedo de toacutepicos mais avanccedilados
Esta unidade constitui uma introduccedilatildeo agrave Loacutegica elementar claacutessica
procurando alcanccedilar os objetivos gerais e especiacuteficos propostos pela disciplina
Loacutegica Matemaacutetica
21) Uma Classificaccedilatildeo da Loacutegica
Alguns autores dividem o estudo da Loacutegica em
bull LOacuteGICA INDUTIVA uacutetil no estudo da teoria da probabilidade
bull LOacuteGICA DEDUTIVA que pode ser dividida em
- LOacuteGICA CLAacuteSSICA- Considerada como o nuacutecleo da loacutegica
dedutiva Eacute o que chamamos hoje de caacutelculo de predicados de 1a
ordem com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas
Trecircs Princiacutepios (entre outros) regem a Loacutegica Claacutessica da
IDENTIDADE da CONTRADICcedilAtildeO e do TERCEIRO EXCLUIacuteDO os
quais seratildeo abordados mais adiante
- LOacuteGICAS COMPLEMENTARES DA CLAacuteSSICA
Complementam de algum modo a loacutegica claacutessica estendendo o seu
domiacutenio Exemplos loacutegicas modal deocircntica epistecircmica etc
- LOacuteGICAS NAtildeO - CLAacuteSSICAS Assim caracterizadas por
ldquoduvidarrdquo de algum ou alguns dos princiacutepios da loacutegica claacutessica
22) Desenvolvimento da Loacutegica
middot PERIacuteODO ARISTOTEacuteLICO (plusmn 390 aC a plusmn 1840 dC)
A histoacuteria da Loacutegica tem iniacutecio com o filoacutesofo grego ARISTOacuteTELES (384 -
322aC) de Estagira (hoje Estavo) na Macedocircnia Aristoacuteteles criou a ciecircncia da
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Loacutegica cuja essecircncia era a teoria do silogismo (certa forma de argumento vaacutelido)
Seus escritos foram reunidos na obra denominada Organon ou Instrumento da
Ciecircncia
Na Greacutecia distinguiram-se duas grandes escolas de Loacutegica a
PERIPATEacuteTICA (que derivava de Aristoacuteteles) e a ESTOacuteICA fundada por Zenatildeo
(326-264aC) A escola ESTOacuteICA foi desenvolvida por Crisipo (280-250aC) a
partir da escola MEGAacuteRIA (fundada por Euclides um seguidor de Soacutecrates)
Segundo Kneale e Kneale (O Desenvolvimento da Loacutegica) houve durante muitos
anos uma certa rivalidade entre os Peripateacuteticos e os Megaacuterios e que isto talvez
tenha prejudicado o desenvolvimento da loacutegica embora na verdade as teorias
destas escolas fossem complementares
middot PERIacuteODO BOOLEANO (plusmn 1840 a plusmn 1910)
Inicia-se com George Boole (1815-1864) e Augustus de Morgan (1806-
1871) publicaram os fundamentos da chamada aacutelgebra da loacutegica
respectivamente com Mathematical Analysis of Logic e formal Logic
Gotlob Frege (1848-1925) deu um grande passo no desenvolvimento da
loacutegica com a obra Begriffsschrift de 1879 as ideacuteias de Frege soacute foram
reconhecidas pelos outros matemaacuteticos partir de 1905 eacute devido a Frege o
desenvolvimento da loacutegica que se seguiu
Giuseppe Peano (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti Vacca Pieri
Paacutedoa Vailati etc quase toda simbologia da matemaacutetica se deve a essa escola
italiana
middotOutro periacuteodo importante
Com Bertrand Russell (1872-1970) E Alfred North Whitehead (1861-1947)
Inicia-se o Periacuteodo Atual da Loacutegica com a obra Principia Mathematica
David Hilbert (1862-1943) e sua escola alematilde com Von Neuman Bernays
Ackerman e Outros
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Kurt Goumldel (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983) com suas importantes
contribuiccedilotildees
Surgem as loacutegicas natildeo-claacutessicas NCA da Costa com as loacutegicas
paraconsistentes L A Zadeh com a loacutegica fuzzy e as contribuiccedilotildees dessas
loacutegicas para a informaacutetica no campo da inteligecircncia artificial com os sistemas
especialistas
Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Loacutegica englobam
muitas aacutereas do conhecimento
23) Caacutelculo Proposicional
Como primeira e indispensaacutevel parte da loacutegica matemaacutetica temos o caacutelculo
proposicional ou caacutelculo sentencial ou ainda caacutelculo das sentenccedilas
PROPOSICcedilAtildeO sentenccedilas declarativas afirmativas (expressatildeo de uma
linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa
middot A lua eacute um sateacutelite da Terra
middot Esse limatildeo eacute verde
middot Matemaacutetica eacute uma ciecircncia
231) Os Siacutembolos da Linguagem do Caacutelculo Proposicional
middot
VARIAacuteVEIS PROPOSICIONAIS letras latinas minuacutesculas pqrs para indicar
as proposiccedilotildees (foacutermulas atocircmicas)
Exemplos A lua eacute um sateacutelite da Terra p
Esse limatildeo eacute verde q
middot CONECTIVOS LOacuteGICOS As foacutermulas atocircmicas podem ser combinadas entre
si e para representar tais combinaccedilotildees usaremos os conectivos loacutegicos
^ e ou rarr seentatildeo se e somente se ~ natildeo
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Exemplos
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde p ^ q (p e q satildeo chamados
conjuntos)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra ou esse limatildeo eacute verde p q ( p e q satildeo chamados
disjuntos)
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra entatildeo esse limatildeo eacute verde p rarrq ( p eacute o
antecedente e q o consequente)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra se e somente se esse limatildeo eacute verde p q
middot A lua natildeo eacute o sateacutelite da Terra ~p
232) SIacuteMBOLOS AUXILIARES
( ) parecircnteses que servem para denotar o alcance dos conectivos
Exemplos
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde entatildeo a lua natildeo eacute o sateacutelite
da Terra
((p ^ q) rarr ~ p)
233) Definiccedilatildeo de foacutermula
1 Toda foacutermula atocircmica eacute uma foacutermula
2 Se A e B satildeo foacutermulas entatildeo
(A ^ B) (A B) (A rarr B) (A B) e (~ A) tambeacutem satildeo foacutermulas
3 Satildeo foacutermulas apenas as obtidas por 1 e 2
Os parecircnteses seratildeo usados segundo a seguinte ordem dos conectivos ~ ^
rarr
Com o mesmo conectivo adotaremos a convenccedilatildeo pela direita
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Exemplo a foacutermula p ^ q ~ rrarr p ~ q deve ser entendida como
(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))
24) Tabela verdade
A loacutegica claacutessica eacute governada por trecircs princiacutepios (entre outros) que podem ser
formulados como segue
I Princiacutepio da Identidade Todo objeto eacute idecircntico a si mesmo
II Princiacutepio da Contradiccedilatildeo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias (uma eacute
negaccedilatildeo da outra) uma delas eacute falsa
III Princiacutepio do Terceiro Excluiacutedo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias uma
delas eacute verdadeira
Com base nesses princiacutepios as proposiccedilotildees simples satildeo ou verdadeiras ou
falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos daiacute dizer que a loacutegica
claacutessica eacute bivalente
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposiccedilotildees compostas
(moleculares) conhecidos os valores das proposiccedilotildees simples (atocircmicas) que
as compotildeem usaremos tabelas-verdade
1Tabela verdade da negaccedilatildeo ~p eacute verdadeira (falsa) se e somente se p
eacute falsa (verdadeira)
p ~p
V F
F V
2 Tabela verdade da conjunccedilatildeo a conjunccedilatildeo eacute verdadeira se e somente
os conjunctos satildeo verdadeiros
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p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
3 Tabela verdade da disjunccedilatildeo a disjunccedilatildeo eacute falsa se e somente os
disjuntos satildeo falsos
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
4 Tabela verdade da implicaccedilatildeo a implicaccedilatildeo eacute falsa se e somente se
o antecedente eacute verdadeiro e o consequumlente eacute falso
p q p rarr q
V V V
V F F
F V V
F F V
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5 Tabela verdade da bi-implicaccedilatildeo a bi-implicaccedilatildeo eacute verdadeira se e
somente se seus componentes satildeo ou ambos verdadeiros ou ambos falsos
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
6 A disjunccedilatildeo exclusiva (escrito como ou ne) eacute uma operaccedilatildeo sobre dois
ou mais valores loacutegicos tipicamente os valores de duas proposiccedilotildees que produz
um valor verdadeiro apenas se V(p) V(q)
Ou exclusivo chamada tambeacutem disjunccedilatildeo exclusiva conhecido geralmente
por XOR ou por EOR (tambeacutem XOU ou EOU) eacute uma operaccedilatildeo loacutegica em dois
operandos que resulta em um valor loacutegico verdadeiro se e somente se
exactamente um dos operandos tem um valor verdadeiro
Denotaremos a disjunccedilatildeo exclusiva de p e q por p q
E leremos ldquop ou q mas natildeo ambasrdquo
Ou exclusivo
p q
F F F
F V V
V F V
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V V F
Exemplo 1 Construir a tabela verdade da foacutermula ((p q) ~p) rarr (q ^p)
uma maneira mais faacutecil de construir a tabela verdade eacute colocar os valores
loacutegicos como segue abaixo
Apoacutes vamos
resolvendo de acordo
com os operadores loacutegicos
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V V
V V F V F V
F V V F V F
F F F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V
V V F F V F V
F V V V F V F
F F F V F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V
V F V F V
F V F V F
F F F F F
Resolver
primeiramente
depois
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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V V
V V F F V F F V
F V V V F V F F
F F F V F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V
V V F F F V F F V
F V V V V F V F F
F F F F V F F F F
e por uacuteltimo
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V V
V V F F F V V F F V
F V V V V F F V F F
F F F F V F V F F F
NUacuteMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
agora este
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Cada proposiccedilatildeo simples (atocircmica) tem dois valores V ou F que se
excluem Para n atocircmicas distintas haacute tantas possibilidades quantos satildeo os
arranjos com repeticcedilatildeo de 2 (V e F) elementos n a n Segue-se que o nuacutemero de
linhas da tabela verdade eacute 2n
Assim para duas proposiccedilotildees satildeo 22
= 4 linhas
para 3 proposiccedilotildees satildeo 23 = 8 etc
Exemplo a tabela - verdade da foacutermula ((p ^ q) rarr r) teraacute 8 linhas como segue
p q r ((p ^ q) rarr r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
A Ou Exclusivo (XOR) goza das propriedades da associatividade e
comutatividade conforme podemos relembrar
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Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a
Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades
As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital
A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade
Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais
Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O
Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute
mostrado na Figura a seguir
A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por
Figura 3 Desenho esquemaacutetico
Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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1 TEORIA DOS CONJUNTOS
Teoria dos conjuntos eacute a teoria matemaacutetica que trata das propriedades dos
conjuntos Ela tem sua origem nos trabalhos do matemaacutetico russo Georg Cantor
(1845ndash1918) e se baseia na ideacuteia de definir conjunto como uma noccedilatildeo primitiva
Tambeacutem chamada de teoria ingecircnua ou intuitiva devido agrave descoberta de vaacuterios
paradoxos relacionados agrave definiccedilatildeo de conjunto Estes paradoxos na teoria dos
conjuntos conduziram a Matemaacutetica a axiomatizar as teorias matemaacuteticas com
influecircncias profundas sobre a loacutegica e os fundamentos da matemaacutetica Essa
teoria teve seu iniacutecio com a publicaccedilatildeo em 1874 de um trabalho de Cantor que
tratava sobre a comparaccedilatildeo de coleccedilotildees infinitas O trabalho apresentava uma
forma de comparar conjuntos infinitos pelo casamento 1-1 entre os elementos
destes conjuntos
Fig 1 George Kantor
Esta aplicaccedilatildeo da correspondecircncia 1-1 permitiu a Cantor introduzir um
meacutetodo de diagonalizaccedilatildeo que por contradiccedilatildeo permitia provar que o conjunto
dos nuacutemeros reais natildeo tinha correspondecircncia 1-1 com o conjunto dos nuacutemeros
inteiros Isto mais tarde levou ao desenvolvimento do conceito de contiacutenuo por
Richard Dedekind
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Fig 2 Richard Dedekind
Iniciando com estas descobertas Cantor acabou desenvolvendo uma
teoria dos conjuntos abstratos que constitui-se em uma generalizaccedilatildeo do
conceito de conjunto
Conjunto
Um conjunto eacute uma coleccedilatildeo de entidades chamadas de elementos A
notaccedilatildeo padratildeo lista os elementos separados por viacutergulas e delimitados por
chaves (o uso de parecircnteses ou colchetes eacute incomum e em determinados
contextos considerado incorreto) como os seguintes exemplos
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Eacute possiacutevel descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras listando os
seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma
propriedade de seus elementos (o que se for feito de forma descuidada pode
gerar problemas tais como o paradoxo de Russell)
Dizemos que dois conjuntos satildeo iguais se e somente se cada elemento de
um eacute tambeacutem elemento do outro
11 Conceitos essenciais
bull Conjunto representa uma coleccedilatildeo de objetos sempre representado por
letras maiuacutesculas
bull Elemento qualquer um dos componentes de um conjunto geralmente
representado por letras minuacutesculas
bull Pertinecircncia eacute a caracteriacutestica associada a um elemento que faz parte de
um conjunto
Pertence ou natildeo pertence
Se a eacute um elemento de A noacutes podemos dizer que o elemento a pertence
ao conjunto A e podemos escrever a A Se a natildeo eacute um elemento de A noacutes
podemos dizer que o elemento a natildeo pertence ao conjunto A e podemos
escrever aA
Subconjuntos proacuteprios e improacuteprios
Se A e B satildeo conjuntos e todo o elemento x pertencente a A tambeacutem
pertence a B entatildeo o conjunto A eacute dito um subconjunto do conjunto B denotado
por BA Note que esta definiccedilatildeo inclui o caso em que A e B possuem os
mesmos elementos isto eacute satildeo o mesmo conjunto (A = B)
Se ao menos um elemento pertencente a B natildeo pertence a A entatildeo A eacute
chamado de subconjunto proacuteprio de B denotado por BA Todo conjunto eacute
subconjunto dele proacuteprio chamado de subconjunto improacuteprio
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Conjunto vazio
Todo conjunto tambeacutem possui como subconjunto o conjunto vazio
representado por ou Supondo que o conjunto vazio natildeo pertence ao
conjunto em questatildeo entatildeo o conjunto vazio deve possuir um elemento ao
menos que natildeo pertenccedila a este conjunto Como o conjunto vazio natildeo possui
elementos isto natildeo eacute possiacutevel Como todos os conjuntos vazios satildeo iguais uns
aos outros eacute permissiacutevel falar de um uacutenico conjunto sem elementos
Uniatildeo interseccedilatildeo e diferenccedila
A uniatildeo (ou reuniatildeo) de dois conjuntos A e B eacute o conjunto A composto dos
elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos A eB
A uniatildeo de N conjuntos N
i
iN SSSSSS1
321 =
== eacute o conjunto formado
pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos S i
A interseccedilatildeo de dois conjuntos A e B eacute o conjunto composto dos elementos
que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos A e B
A diferenccedila entre dois conjuntos A e B eacute o conjunto de todos os elementos de A
que natildeo estatildeo de B
Cardinalidade
Se um conjunto tem n elementos onde n eacute um nuacutemero natural entatildeo diz-
se que o conjunto eacute um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou nuacutemero
cardinal n
Mesmo se o conjunto natildeo possui um nuacutemero finito de elementos pode-se
definir a cardinalidade graccedilas ao trabalho desenvolvido pelo matemaacutetico Georg
Cantor Neste caso a cardinalidade poderaacute ser (aleph-0)
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Em teoria dos conjuntos Aleph (א) eacute uma letra usada para representar
cardinais infinitos A cardinalidade dos conjunto dos nuacutemeros inteiros eacute o
cardinal seguinte eacute etc
Usando o Axioma da escolha pode-se demonstrar que qualquer conjunto
natildeo-vazio de nuacutemeros cardinais tem um elemento miacutenimo assim a classe dos
nuacutemeros cardinais eacute bem ordenada e pode ser indexada pelos nuacutemeros ordinais
Esta indexaccedilatildeo gera a notaccedilatildeo para os nuacutemeros cardinais
Produto cartesiano
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B eacute o conjunto de pares ordenados
A soma ou uniatildeo disjunta de dois conjuntos A e B eacute o conjunto
12 Notaccedilatildeo dos conjuntos
Os conjuntos satildeo representados de diversas formas
bull A forma mais usual eacute a que apresenta os elementos entre duas chaves
()
bull As propriedades ou descriccedilotildees de um conjunto satildeo representadas dentro
das apoacutes os elementos e separadas destes por
bull Diagrama de Venn-Euler eacute a representaccedilatildeo graacutefica dos conjuntos
atraveacutes de entidades geomeacutetricas
13 Exemplos de conjuntos compostos por nuacutemeros
Nota Nesta seccedilatildeo a b e c satildeo nuacutemeros naturais enquanto r e s satildeo nuacutemeros
reais
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1 Nuacutemeros naturais satildeo usados para contar O siacutembolo usualmente
representa este conjunto Na literatura matemaacutetica eacute possiacutevel encontrar
textos que incluem o zero como nuacutemero natural e textos que natildeo incluem
2 Nuacutemeros inteiros aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como x + a = b O
siacutembolo usualmente representa este conjunto (do termo alematildeo Zahlen que
significa nuacutemeros)
3 Nuacutemeros racionais aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como a + bx =
c O siacutembolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente)
4 Nuacutemeros algeacutebricos aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees polinomiais
(com coeficientes inteiros) e envolvem raiacutezes e alguns outros nuacutemeros
irracionais O siacutembolo ou usualmente representa este conjunto
Um nuacutemero algeacutebrico eacute qualquer nuacutemero real ou complexo que eacute soluccedilatildeo
de alguma equaccedilatildeo polinomial com coeficientes inteiros Em um sentido mais
amplo diz-se que um nuacutemero eacute algeacutebrico sobre um corpo quando ele eacute raiz de
um polinocircmio com coeficientes neste corpo
Todos os nuacutemeros racionais satildeo algeacutebricos porque qualquer fraccedilatildeo do tipo a
b eacute soluccedilatildeo de
bx minus a = 0 Alguns nuacutemeros irracionais como radic2 e 31 3 2 satildeo tambeacutem
algeacutebricos porque satildeo as soluccedilotildees de x2 minus 2 = 0 e 8x3 minus 3 = 0 respectivamente
Mas nem todos os reais satildeo algeacutebricos ndash como exemplo refiram-se π e ldquoerdquo
A um nuacutemero complexo natildeo algeacutebrico daacute-se o nome de nuacutemero
transcendente
Se um nuacutemero algeacutebrico for soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo de grau n com
coeficientes inteiros e de nenhuma de grau inferior diz-se que eacute um nuacutemero
algeacutebrico de grau n
5 Nuacutemeros reais incluem os nuacutemeros algeacutebricos e os nuacutemeros
transcendentais O siacutembolo usualmente representa este conjunto
6 Nuacutemeros imaginaacuterios aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como x 2 + r
= 0 onde r gt 0 O siacutembolo usualmente representa este conjunto
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7 Nuacutemeros complexos eacute a soma dos nuacutemeros reais e dos imaginaacuterios
Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero entatildeo os conjuntos dos
nuacutemeros reais e o dos imaginaacuterios satildeo subconjuntos do conjunto dos
nuacutemeros complexos O siacutembolo usualmente representa este conjunto
Exerciacutecio resolvido 1
(USP) Depois de n dias de feacuterias um estudante observa que
- choveu 7 vezes de manhatilde ou agrave tarde
- quando chove de manhatilde natildeo chove agrave tarde
- houve cinco tardes sem chuva
- houve seis manhatildes sem chuva
Calcule o valor de n
Soluccedilatildeo
Seja M o conjunto dos dias que choveu pela manhatilde e T o conjunto dos dias que
choveu agrave tarde Chamando de M e T os conjuntos complementares de M e T
respectivamente teremos
n(T) = 5 (cinco tardes sem chuva) e n(M) = 6 (seis manhatildes sem chuva)
n(M T) = 0 ( quando chove pela manhatilde natildeo chove agrave tarde)
Assim
n(M T) = n(M) + n(T) ndash n(M T)
7 = n(M) + n(T) ndash 0
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Jaacute sabemos que
n(M) + n(T) = 5 + 6 = 11
Entatildeo teremos
n(M) + n(T) = 11
n(M) + N(T) = 7
Somando membro a membro as duas igualdades vem
n(M) + n(M) + n(T) + n(T) = 11 + 7 = 18
Mas jaacute temos que perceber n (M) + n(M) = total dos dias de feacuterias = n
E que n(T) + n(T) = total dos dias de feacuterias = n
Portanto substituindo vem
n + n = 18
2n = 18
n = 9
Resposta Foram nove dias de feacuterias ou seja n = 9 dias
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2 LOacuteGICA
O aprendizado da Loacutegica auxilia os estudantes no raciociacutenio na
compreensatildeo de conceitos baacutesicos na verificaccedilatildeo formal de programas e melhor
os prepara para o entendimento do conteuacutedo de toacutepicos mais avanccedilados
Esta unidade constitui uma introduccedilatildeo agrave Loacutegica elementar claacutessica
procurando alcanccedilar os objetivos gerais e especiacuteficos propostos pela disciplina
Loacutegica Matemaacutetica
21) Uma Classificaccedilatildeo da Loacutegica
Alguns autores dividem o estudo da Loacutegica em
bull LOacuteGICA INDUTIVA uacutetil no estudo da teoria da probabilidade
bull LOacuteGICA DEDUTIVA que pode ser dividida em
- LOacuteGICA CLAacuteSSICA- Considerada como o nuacutecleo da loacutegica
dedutiva Eacute o que chamamos hoje de caacutelculo de predicados de 1a
ordem com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas
Trecircs Princiacutepios (entre outros) regem a Loacutegica Claacutessica da
IDENTIDADE da CONTRADICcedilAtildeO e do TERCEIRO EXCLUIacuteDO os
quais seratildeo abordados mais adiante
- LOacuteGICAS COMPLEMENTARES DA CLAacuteSSICA
Complementam de algum modo a loacutegica claacutessica estendendo o seu
domiacutenio Exemplos loacutegicas modal deocircntica epistecircmica etc
- LOacuteGICAS NAtildeO - CLAacuteSSICAS Assim caracterizadas por
ldquoduvidarrdquo de algum ou alguns dos princiacutepios da loacutegica claacutessica
22) Desenvolvimento da Loacutegica
middot PERIacuteODO ARISTOTEacuteLICO (plusmn 390 aC a plusmn 1840 dC)
A histoacuteria da Loacutegica tem iniacutecio com o filoacutesofo grego ARISTOacuteTELES (384 -
322aC) de Estagira (hoje Estavo) na Macedocircnia Aristoacuteteles criou a ciecircncia da
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Loacutegica cuja essecircncia era a teoria do silogismo (certa forma de argumento vaacutelido)
Seus escritos foram reunidos na obra denominada Organon ou Instrumento da
Ciecircncia
Na Greacutecia distinguiram-se duas grandes escolas de Loacutegica a
PERIPATEacuteTICA (que derivava de Aristoacuteteles) e a ESTOacuteICA fundada por Zenatildeo
(326-264aC) A escola ESTOacuteICA foi desenvolvida por Crisipo (280-250aC) a
partir da escola MEGAacuteRIA (fundada por Euclides um seguidor de Soacutecrates)
Segundo Kneale e Kneale (O Desenvolvimento da Loacutegica) houve durante muitos
anos uma certa rivalidade entre os Peripateacuteticos e os Megaacuterios e que isto talvez
tenha prejudicado o desenvolvimento da loacutegica embora na verdade as teorias
destas escolas fossem complementares
middot PERIacuteODO BOOLEANO (plusmn 1840 a plusmn 1910)
Inicia-se com George Boole (1815-1864) e Augustus de Morgan (1806-
1871) publicaram os fundamentos da chamada aacutelgebra da loacutegica
respectivamente com Mathematical Analysis of Logic e formal Logic
Gotlob Frege (1848-1925) deu um grande passo no desenvolvimento da
loacutegica com a obra Begriffsschrift de 1879 as ideacuteias de Frege soacute foram
reconhecidas pelos outros matemaacuteticos partir de 1905 eacute devido a Frege o
desenvolvimento da loacutegica que se seguiu
Giuseppe Peano (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti Vacca Pieri
Paacutedoa Vailati etc quase toda simbologia da matemaacutetica se deve a essa escola
italiana
middotOutro periacuteodo importante
Com Bertrand Russell (1872-1970) E Alfred North Whitehead (1861-1947)
Inicia-se o Periacuteodo Atual da Loacutegica com a obra Principia Mathematica
David Hilbert (1862-1943) e sua escola alematilde com Von Neuman Bernays
Ackerman e Outros
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Kurt Goumldel (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983) com suas importantes
contribuiccedilotildees
Surgem as loacutegicas natildeo-claacutessicas NCA da Costa com as loacutegicas
paraconsistentes L A Zadeh com a loacutegica fuzzy e as contribuiccedilotildees dessas
loacutegicas para a informaacutetica no campo da inteligecircncia artificial com os sistemas
especialistas
Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Loacutegica englobam
muitas aacutereas do conhecimento
23) Caacutelculo Proposicional
Como primeira e indispensaacutevel parte da loacutegica matemaacutetica temos o caacutelculo
proposicional ou caacutelculo sentencial ou ainda caacutelculo das sentenccedilas
PROPOSICcedilAtildeO sentenccedilas declarativas afirmativas (expressatildeo de uma
linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa
middot A lua eacute um sateacutelite da Terra
middot Esse limatildeo eacute verde
middot Matemaacutetica eacute uma ciecircncia
231) Os Siacutembolos da Linguagem do Caacutelculo Proposicional
middot
VARIAacuteVEIS PROPOSICIONAIS letras latinas minuacutesculas pqrs para indicar
as proposiccedilotildees (foacutermulas atocircmicas)
Exemplos A lua eacute um sateacutelite da Terra p
Esse limatildeo eacute verde q
middot CONECTIVOS LOacuteGICOS As foacutermulas atocircmicas podem ser combinadas entre
si e para representar tais combinaccedilotildees usaremos os conectivos loacutegicos
^ e ou rarr seentatildeo se e somente se ~ natildeo
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Exemplos
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde p ^ q (p e q satildeo chamados
conjuntos)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra ou esse limatildeo eacute verde p q ( p e q satildeo chamados
disjuntos)
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra entatildeo esse limatildeo eacute verde p rarrq ( p eacute o
antecedente e q o consequente)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra se e somente se esse limatildeo eacute verde p q
middot A lua natildeo eacute o sateacutelite da Terra ~p
232) SIacuteMBOLOS AUXILIARES
( ) parecircnteses que servem para denotar o alcance dos conectivos
Exemplos
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde entatildeo a lua natildeo eacute o sateacutelite
da Terra
((p ^ q) rarr ~ p)
233) Definiccedilatildeo de foacutermula
1 Toda foacutermula atocircmica eacute uma foacutermula
2 Se A e B satildeo foacutermulas entatildeo
(A ^ B) (A B) (A rarr B) (A B) e (~ A) tambeacutem satildeo foacutermulas
3 Satildeo foacutermulas apenas as obtidas por 1 e 2
Os parecircnteses seratildeo usados segundo a seguinte ordem dos conectivos ~ ^
rarr
Com o mesmo conectivo adotaremos a convenccedilatildeo pela direita
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Exemplo a foacutermula p ^ q ~ rrarr p ~ q deve ser entendida como
(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))
24) Tabela verdade
A loacutegica claacutessica eacute governada por trecircs princiacutepios (entre outros) que podem ser
formulados como segue
I Princiacutepio da Identidade Todo objeto eacute idecircntico a si mesmo
II Princiacutepio da Contradiccedilatildeo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias (uma eacute
negaccedilatildeo da outra) uma delas eacute falsa
III Princiacutepio do Terceiro Excluiacutedo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias uma
delas eacute verdadeira
Com base nesses princiacutepios as proposiccedilotildees simples satildeo ou verdadeiras ou
falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos daiacute dizer que a loacutegica
claacutessica eacute bivalente
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposiccedilotildees compostas
(moleculares) conhecidos os valores das proposiccedilotildees simples (atocircmicas) que
as compotildeem usaremos tabelas-verdade
1Tabela verdade da negaccedilatildeo ~p eacute verdadeira (falsa) se e somente se p
eacute falsa (verdadeira)
p ~p
V F
F V
2 Tabela verdade da conjunccedilatildeo a conjunccedilatildeo eacute verdadeira se e somente
os conjunctos satildeo verdadeiros
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p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
3 Tabela verdade da disjunccedilatildeo a disjunccedilatildeo eacute falsa se e somente os
disjuntos satildeo falsos
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
4 Tabela verdade da implicaccedilatildeo a implicaccedilatildeo eacute falsa se e somente se
o antecedente eacute verdadeiro e o consequumlente eacute falso
p q p rarr q
V V V
V F F
F V V
F F V
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5 Tabela verdade da bi-implicaccedilatildeo a bi-implicaccedilatildeo eacute verdadeira se e
somente se seus componentes satildeo ou ambos verdadeiros ou ambos falsos
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
6 A disjunccedilatildeo exclusiva (escrito como ou ne) eacute uma operaccedilatildeo sobre dois
ou mais valores loacutegicos tipicamente os valores de duas proposiccedilotildees que produz
um valor verdadeiro apenas se V(p) V(q)
Ou exclusivo chamada tambeacutem disjunccedilatildeo exclusiva conhecido geralmente
por XOR ou por EOR (tambeacutem XOU ou EOU) eacute uma operaccedilatildeo loacutegica em dois
operandos que resulta em um valor loacutegico verdadeiro se e somente se
exactamente um dos operandos tem um valor verdadeiro
Denotaremos a disjunccedilatildeo exclusiva de p e q por p q
E leremos ldquop ou q mas natildeo ambasrdquo
Ou exclusivo
p q
F F F
F V V
V F V
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V V F
Exemplo 1 Construir a tabela verdade da foacutermula ((p q) ~p) rarr (q ^p)
uma maneira mais faacutecil de construir a tabela verdade eacute colocar os valores
loacutegicos como segue abaixo
Apoacutes vamos
resolvendo de acordo
com os operadores loacutegicos
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V V
V V F V F V
F V V F V F
F F F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V
V V F F V F V
F V V V F V F
F F F V F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V
V F V F V
F V F V F
F F F F F
Resolver
primeiramente
depois
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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V V
V V F F V F F V
F V V V F V F F
F F F V F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V
V V F F F V F F V
F V V V V F V F F
F F F F V F F F F
e por uacuteltimo
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V V
V V F F F V V F F V
F V V V V F F V F F
F F F F V F V F F F
NUacuteMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
agora este
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Cada proposiccedilatildeo simples (atocircmica) tem dois valores V ou F que se
excluem Para n atocircmicas distintas haacute tantas possibilidades quantos satildeo os
arranjos com repeticcedilatildeo de 2 (V e F) elementos n a n Segue-se que o nuacutemero de
linhas da tabela verdade eacute 2n
Assim para duas proposiccedilotildees satildeo 22
= 4 linhas
para 3 proposiccedilotildees satildeo 23 = 8 etc
Exemplo a tabela - verdade da foacutermula ((p ^ q) rarr r) teraacute 8 linhas como segue
p q r ((p ^ q) rarr r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
A Ou Exclusivo (XOR) goza das propriedades da associatividade e
comutatividade conforme podemos relembrar
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Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a
Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades
As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital
A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade
Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais
Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O
Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute
mostrado na Figura a seguir
A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por
Figura 3 Desenho esquemaacutetico
Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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Fig 2 Richard Dedekind
Iniciando com estas descobertas Cantor acabou desenvolvendo uma
teoria dos conjuntos abstratos que constitui-se em uma generalizaccedilatildeo do
conceito de conjunto
Conjunto
Um conjunto eacute uma coleccedilatildeo de entidades chamadas de elementos A
notaccedilatildeo padratildeo lista os elementos separados por viacutergulas e delimitados por
chaves (o uso de parecircnteses ou colchetes eacute incomum e em determinados
contextos considerado incorreto) como os seguintes exemplos
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Eacute possiacutevel descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras listando os
seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma
propriedade de seus elementos (o que se for feito de forma descuidada pode
gerar problemas tais como o paradoxo de Russell)
Dizemos que dois conjuntos satildeo iguais se e somente se cada elemento de
um eacute tambeacutem elemento do outro
11 Conceitos essenciais
bull Conjunto representa uma coleccedilatildeo de objetos sempre representado por
letras maiuacutesculas
bull Elemento qualquer um dos componentes de um conjunto geralmente
representado por letras minuacutesculas
bull Pertinecircncia eacute a caracteriacutestica associada a um elemento que faz parte de
um conjunto
Pertence ou natildeo pertence
Se a eacute um elemento de A noacutes podemos dizer que o elemento a pertence
ao conjunto A e podemos escrever a A Se a natildeo eacute um elemento de A noacutes
podemos dizer que o elemento a natildeo pertence ao conjunto A e podemos
escrever aA
Subconjuntos proacuteprios e improacuteprios
Se A e B satildeo conjuntos e todo o elemento x pertencente a A tambeacutem
pertence a B entatildeo o conjunto A eacute dito um subconjunto do conjunto B denotado
por BA Note que esta definiccedilatildeo inclui o caso em que A e B possuem os
mesmos elementos isto eacute satildeo o mesmo conjunto (A = B)
Se ao menos um elemento pertencente a B natildeo pertence a A entatildeo A eacute
chamado de subconjunto proacuteprio de B denotado por BA Todo conjunto eacute
subconjunto dele proacuteprio chamado de subconjunto improacuteprio
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Conjunto vazio
Todo conjunto tambeacutem possui como subconjunto o conjunto vazio
representado por ou Supondo que o conjunto vazio natildeo pertence ao
conjunto em questatildeo entatildeo o conjunto vazio deve possuir um elemento ao
menos que natildeo pertenccedila a este conjunto Como o conjunto vazio natildeo possui
elementos isto natildeo eacute possiacutevel Como todos os conjuntos vazios satildeo iguais uns
aos outros eacute permissiacutevel falar de um uacutenico conjunto sem elementos
Uniatildeo interseccedilatildeo e diferenccedila
A uniatildeo (ou reuniatildeo) de dois conjuntos A e B eacute o conjunto A composto dos
elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos A eB
A uniatildeo de N conjuntos N
i
iN SSSSSS1
321 =
== eacute o conjunto formado
pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos S i
A interseccedilatildeo de dois conjuntos A e B eacute o conjunto composto dos elementos
que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos A e B
A diferenccedila entre dois conjuntos A e B eacute o conjunto de todos os elementos de A
que natildeo estatildeo de B
Cardinalidade
Se um conjunto tem n elementos onde n eacute um nuacutemero natural entatildeo diz-
se que o conjunto eacute um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou nuacutemero
cardinal n
Mesmo se o conjunto natildeo possui um nuacutemero finito de elementos pode-se
definir a cardinalidade graccedilas ao trabalho desenvolvido pelo matemaacutetico Georg
Cantor Neste caso a cardinalidade poderaacute ser (aleph-0)
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Em teoria dos conjuntos Aleph (א) eacute uma letra usada para representar
cardinais infinitos A cardinalidade dos conjunto dos nuacutemeros inteiros eacute o
cardinal seguinte eacute etc
Usando o Axioma da escolha pode-se demonstrar que qualquer conjunto
natildeo-vazio de nuacutemeros cardinais tem um elemento miacutenimo assim a classe dos
nuacutemeros cardinais eacute bem ordenada e pode ser indexada pelos nuacutemeros ordinais
Esta indexaccedilatildeo gera a notaccedilatildeo para os nuacutemeros cardinais
Produto cartesiano
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B eacute o conjunto de pares ordenados
A soma ou uniatildeo disjunta de dois conjuntos A e B eacute o conjunto
12 Notaccedilatildeo dos conjuntos
Os conjuntos satildeo representados de diversas formas
bull A forma mais usual eacute a que apresenta os elementos entre duas chaves
()
bull As propriedades ou descriccedilotildees de um conjunto satildeo representadas dentro
das apoacutes os elementos e separadas destes por
bull Diagrama de Venn-Euler eacute a representaccedilatildeo graacutefica dos conjuntos
atraveacutes de entidades geomeacutetricas
13 Exemplos de conjuntos compostos por nuacutemeros
Nota Nesta seccedilatildeo a b e c satildeo nuacutemeros naturais enquanto r e s satildeo nuacutemeros
reais
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1 Nuacutemeros naturais satildeo usados para contar O siacutembolo usualmente
representa este conjunto Na literatura matemaacutetica eacute possiacutevel encontrar
textos que incluem o zero como nuacutemero natural e textos que natildeo incluem
2 Nuacutemeros inteiros aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como x + a = b O
siacutembolo usualmente representa este conjunto (do termo alematildeo Zahlen que
significa nuacutemeros)
3 Nuacutemeros racionais aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como a + bx =
c O siacutembolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente)
4 Nuacutemeros algeacutebricos aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees polinomiais
(com coeficientes inteiros) e envolvem raiacutezes e alguns outros nuacutemeros
irracionais O siacutembolo ou usualmente representa este conjunto
Um nuacutemero algeacutebrico eacute qualquer nuacutemero real ou complexo que eacute soluccedilatildeo
de alguma equaccedilatildeo polinomial com coeficientes inteiros Em um sentido mais
amplo diz-se que um nuacutemero eacute algeacutebrico sobre um corpo quando ele eacute raiz de
um polinocircmio com coeficientes neste corpo
Todos os nuacutemeros racionais satildeo algeacutebricos porque qualquer fraccedilatildeo do tipo a
b eacute soluccedilatildeo de
bx minus a = 0 Alguns nuacutemeros irracionais como radic2 e 31 3 2 satildeo tambeacutem
algeacutebricos porque satildeo as soluccedilotildees de x2 minus 2 = 0 e 8x3 minus 3 = 0 respectivamente
Mas nem todos os reais satildeo algeacutebricos ndash como exemplo refiram-se π e ldquoerdquo
A um nuacutemero complexo natildeo algeacutebrico daacute-se o nome de nuacutemero
transcendente
Se um nuacutemero algeacutebrico for soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo de grau n com
coeficientes inteiros e de nenhuma de grau inferior diz-se que eacute um nuacutemero
algeacutebrico de grau n
5 Nuacutemeros reais incluem os nuacutemeros algeacutebricos e os nuacutemeros
transcendentais O siacutembolo usualmente representa este conjunto
6 Nuacutemeros imaginaacuterios aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como x 2 + r
= 0 onde r gt 0 O siacutembolo usualmente representa este conjunto
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7 Nuacutemeros complexos eacute a soma dos nuacutemeros reais e dos imaginaacuterios
Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero entatildeo os conjuntos dos
nuacutemeros reais e o dos imaginaacuterios satildeo subconjuntos do conjunto dos
nuacutemeros complexos O siacutembolo usualmente representa este conjunto
Exerciacutecio resolvido 1
(USP) Depois de n dias de feacuterias um estudante observa que
- choveu 7 vezes de manhatilde ou agrave tarde
- quando chove de manhatilde natildeo chove agrave tarde
- houve cinco tardes sem chuva
- houve seis manhatildes sem chuva
Calcule o valor de n
Soluccedilatildeo
Seja M o conjunto dos dias que choveu pela manhatilde e T o conjunto dos dias que
choveu agrave tarde Chamando de M e T os conjuntos complementares de M e T
respectivamente teremos
n(T) = 5 (cinco tardes sem chuva) e n(M) = 6 (seis manhatildes sem chuva)
n(M T) = 0 ( quando chove pela manhatilde natildeo chove agrave tarde)
Assim
n(M T) = n(M) + n(T) ndash n(M T)
7 = n(M) + n(T) ndash 0
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Jaacute sabemos que
n(M) + n(T) = 5 + 6 = 11
Entatildeo teremos
n(M) + n(T) = 11
n(M) + N(T) = 7
Somando membro a membro as duas igualdades vem
n(M) + n(M) + n(T) + n(T) = 11 + 7 = 18
Mas jaacute temos que perceber n (M) + n(M) = total dos dias de feacuterias = n
E que n(T) + n(T) = total dos dias de feacuterias = n
Portanto substituindo vem
n + n = 18
2n = 18
n = 9
Resposta Foram nove dias de feacuterias ou seja n = 9 dias
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2 LOacuteGICA
O aprendizado da Loacutegica auxilia os estudantes no raciociacutenio na
compreensatildeo de conceitos baacutesicos na verificaccedilatildeo formal de programas e melhor
os prepara para o entendimento do conteuacutedo de toacutepicos mais avanccedilados
Esta unidade constitui uma introduccedilatildeo agrave Loacutegica elementar claacutessica
procurando alcanccedilar os objetivos gerais e especiacuteficos propostos pela disciplina
Loacutegica Matemaacutetica
21) Uma Classificaccedilatildeo da Loacutegica
Alguns autores dividem o estudo da Loacutegica em
bull LOacuteGICA INDUTIVA uacutetil no estudo da teoria da probabilidade
bull LOacuteGICA DEDUTIVA que pode ser dividida em
- LOacuteGICA CLAacuteSSICA- Considerada como o nuacutecleo da loacutegica
dedutiva Eacute o que chamamos hoje de caacutelculo de predicados de 1a
ordem com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas
Trecircs Princiacutepios (entre outros) regem a Loacutegica Claacutessica da
IDENTIDADE da CONTRADICcedilAtildeO e do TERCEIRO EXCLUIacuteDO os
quais seratildeo abordados mais adiante
- LOacuteGICAS COMPLEMENTARES DA CLAacuteSSICA
Complementam de algum modo a loacutegica claacutessica estendendo o seu
domiacutenio Exemplos loacutegicas modal deocircntica epistecircmica etc
- LOacuteGICAS NAtildeO - CLAacuteSSICAS Assim caracterizadas por
ldquoduvidarrdquo de algum ou alguns dos princiacutepios da loacutegica claacutessica
22) Desenvolvimento da Loacutegica
middot PERIacuteODO ARISTOTEacuteLICO (plusmn 390 aC a plusmn 1840 dC)
A histoacuteria da Loacutegica tem iniacutecio com o filoacutesofo grego ARISTOacuteTELES (384 -
322aC) de Estagira (hoje Estavo) na Macedocircnia Aristoacuteteles criou a ciecircncia da
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Loacutegica cuja essecircncia era a teoria do silogismo (certa forma de argumento vaacutelido)
Seus escritos foram reunidos na obra denominada Organon ou Instrumento da
Ciecircncia
Na Greacutecia distinguiram-se duas grandes escolas de Loacutegica a
PERIPATEacuteTICA (que derivava de Aristoacuteteles) e a ESTOacuteICA fundada por Zenatildeo
(326-264aC) A escola ESTOacuteICA foi desenvolvida por Crisipo (280-250aC) a
partir da escola MEGAacuteRIA (fundada por Euclides um seguidor de Soacutecrates)
Segundo Kneale e Kneale (O Desenvolvimento da Loacutegica) houve durante muitos
anos uma certa rivalidade entre os Peripateacuteticos e os Megaacuterios e que isto talvez
tenha prejudicado o desenvolvimento da loacutegica embora na verdade as teorias
destas escolas fossem complementares
middot PERIacuteODO BOOLEANO (plusmn 1840 a plusmn 1910)
Inicia-se com George Boole (1815-1864) e Augustus de Morgan (1806-
1871) publicaram os fundamentos da chamada aacutelgebra da loacutegica
respectivamente com Mathematical Analysis of Logic e formal Logic
Gotlob Frege (1848-1925) deu um grande passo no desenvolvimento da
loacutegica com a obra Begriffsschrift de 1879 as ideacuteias de Frege soacute foram
reconhecidas pelos outros matemaacuteticos partir de 1905 eacute devido a Frege o
desenvolvimento da loacutegica que se seguiu
Giuseppe Peano (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti Vacca Pieri
Paacutedoa Vailati etc quase toda simbologia da matemaacutetica se deve a essa escola
italiana
middotOutro periacuteodo importante
Com Bertrand Russell (1872-1970) E Alfred North Whitehead (1861-1947)
Inicia-se o Periacuteodo Atual da Loacutegica com a obra Principia Mathematica
David Hilbert (1862-1943) e sua escola alematilde com Von Neuman Bernays
Ackerman e Outros
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Kurt Goumldel (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983) com suas importantes
contribuiccedilotildees
Surgem as loacutegicas natildeo-claacutessicas NCA da Costa com as loacutegicas
paraconsistentes L A Zadeh com a loacutegica fuzzy e as contribuiccedilotildees dessas
loacutegicas para a informaacutetica no campo da inteligecircncia artificial com os sistemas
especialistas
Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Loacutegica englobam
muitas aacutereas do conhecimento
23) Caacutelculo Proposicional
Como primeira e indispensaacutevel parte da loacutegica matemaacutetica temos o caacutelculo
proposicional ou caacutelculo sentencial ou ainda caacutelculo das sentenccedilas
PROPOSICcedilAtildeO sentenccedilas declarativas afirmativas (expressatildeo de uma
linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa
middot A lua eacute um sateacutelite da Terra
middot Esse limatildeo eacute verde
middot Matemaacutetica eacute uma ciecircncia
231) Os Siacutembolos da Linguagem do Caacutelculo Proposicional
middot
VARIAacuteVEIS PROPOSICIONAIS letras latinas minuacutesculas pqrs para indicar
as proposiccedilotildees (foacutermulas atocircmicas)
Exemplos A lua eacute um sateacutelite da Terra p
Esse limatildeo eacute verde q
middot CONECTIVOS LOacuteGICOS As foacutermulas atocircmicas podem ser combinadas entre
si e para representar tais combinaccedilotildees usaremos os conectivos loacutegicos
^ e ou rarr seentatildeo se e somente se ~ natildeo
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Exemplos
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde p ^ q (p e q satildeo chamados
conjuntos)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra ou esse limatildeo eacute verde p q ( p e q satildeo chamados
disjuntos)
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra entatildeo esse limatildeo eacute verde p rarrq ( p eacute o
antecedente e q o consequente)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra se e somente se esse limatildeo eacute verde p q
middot A lua natildeo eacute o sateacutelite da Terra ~p
232) SIacuteMBOLOS AUXILIARES
( ) parecircnteses que servem para denotar o alcance dos conectivos
Exemplos
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde entatildeo a lua natildeo eacute o sateacutelite
da Terra
((p ^ q) rarr ~ p)
233) Definiccedilatildeo de foacutermula
1 Toda foacutermula atocircmica eacute uma foacutermula
2 Se A e B satildeo foacutermulas entatildeo
(A ^ B) (A B) (A rarr B) (A B) e (~ A) tambeacutem satildeo foacutermulas
3 Satildeo foacutermulas apenas as obtidas por 1 e 2
Os parecircnteses seratildeo usados segundo a seguinte ordem dos conectivos ~ ^
rarr
Com o mesmo conectivo adotaremos a convenccedilatildeo pela direita
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Exemplo a foacutermula p ^ q ~ rrarr p ~ q deve ser entendida como
(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))
24) Tabela verdade
A loacutegica claacutessica eacute governada por trecircs princiacutepios (entre outros) que podem ser
formulados como segue
I Princiacutepio da Identidade Todo objeto eacute idecircntico a si mesmo
II Princiacutepio da Contradiccedilatildeo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias (uma eacute
negaccedilatildeo da outra) uma delas eacute falsa
III Princiacutepio do Terceiro Excluiacutedo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias uma
delas eacute verdadeira
Com base nesses princiacutepios as proposiccedilotildees simples satildeo ou verdadeiras ou
falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos daiacute dizer que a loacutegica
claacutessica eacute bivalente
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposiccedilotildees compostas
(moleculares) conhecidos os valores das proposiccedilotildees simples (atocircmicas) que
as compotildeem usaremos tabelas-verdade
1Tabela verdade da negaccedilatildeo ~p eacute verdadeira (falsa) se e somente se p
eacute falsa (verdadeira)
p ~p
V F
F V
2 Tabela verdade da conjunccedilatildeo a conjunccedilatildeo eacute verdadeira se e somente
os conjunctos satildeo verdadeiros
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p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
3 Tabela verdade da disjunccedilatildeo a disjunccedilatildeo eacute falsa se e somente os
disjuntos satildeo falsos
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
4 Tabela verdade da implicaccedilatildeo a implicaccedilatildeo eacute falsa se e somente se
o antecedente eacute verdadeiro e o consequumlente eacute falso
p q p rarr q
V V V
V F F
F V V
F F V
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5 Tabela verdade da bi-implicaccedilatildeo a bi-implicaccedilatildeo eacute verdadeira se e
somente se seus componentes satildeo ou ambos verdadeiros ou ambos falsos
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
6 A disjunccedilatildeo exclusiva (escrito como ou ne) eacute uma operaccedilatildeo sobre dois
ou mais valores loacutegicos tipicamente os valores de duas proposiccedilotildees que produz
um valor verdadeiro apenas se V(p) V(q)
Ou exclusivo chamada tambeacutem disjunccedilatildeo exclusiva conhecido geralmente
por XOR ou por EOR (tambeacutem XOU ou EOU) eacute uma operaccedilatildeo loacutegica em dois
operandos que resulta em um valor loacutegico verdadeiro se e somente se
exactamente um dos operandos tem um valor verdadeiro
Denotaremos a disjunccedilatildeo exclusiva de p e q por p q
E leremos ldquop ou q mas natildeo ambasrdquo
Ou exclusivo
p q
F F F
F V V
V F V
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V V F
Exemplo 1 Construir a tabela verdade da foacutermula ((p q) ~p) rarr (q ^p)
uma maneira mais faacutecil de construir a tabela verdade eacute colocar os valores
loacutegicos como segue abaixo
Apoacutes vamos
resolvendo de acordo
com os operadores loacutegicos
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V V
V V F V F V
F V V F V F
F F F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V
V V F F V F V
F V V V F V F
F F F V F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V
V F V F V
F V F V F
F F F F F
Resolver
primeiramente
depois
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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V V
V V F F V F F V
F V V V F V F F
F F F V F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V
V V F F F V F F V
F V V V V F V F F
F F F F V F F F F
e por uacuteltimo
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V V
V V F F F V V F F V
F V V V V F F V F F
F F F F V F V F F F
NUacuteMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
agora este
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Cada proposiccedilatildeo simples (atocircmica) tem dois valores V ou F que se
excluem Para n atocircmicas distintas haacute tantas possibilidades quantos satildeo os
arranjos com repeticcedilatildeo de 2 (V e F) elementos n a n Segue-se que o nuacutemero de
linhas da tabela verdade eacute 2n
Assim para duas proposiccedilotildees satildeo 22
= 4 linhas
para 3 proposiccedilotildees satildeo 23 = 8 etc
Exemplo a tabela - verdade da foacutermula ((p ^ q) rarr r) teraacute 8 linhas como segue
p q r ((p ^ q) rarr r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
A Ou Exclusivo (XOR) goza das propriedades da associatividade e
comutatividade conforme podemos relembrar
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Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a
Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades
As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital
A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade
Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais
Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O
Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute
mostrado na Figura a seguir
A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por
Figura 3 Desenho esquemaacutetico
Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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Eacute possiacutevel descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras listando os
seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma
propriedade de seus elementos (o que se for feito de forma descuidada pode
gerar problemas tais como o paradoxo de Russell)
Dizemos que dois conjuntos satildeo iguais se e somente se cada elemento de
um eacute tambeacutem elemento do outro
11 Conceitos essenciais
bull Conjunto representa uma coleccedilatildeo de objetos sempre representado por
letras maiuacutesculas
bull Elemento qualquer um dos componentes de um conjunto geralmente
representado por letras minuacutesculas
bull Pertinecircncia eacute a caracteriacutestica associada a um elemento que faz parte de
um conjunto
Pertence ou natildeo pertence
Se a eacute um elemento de A noacutes podemos dizer que o elemento a pertence
ao conjunto A e podemos escrever a A Se a natildeo eacute um elemento de A noacutes
podemos dizer que o elemento a natildeo pertence ao conjunto A e podemos
escrever aA
Subconjuntos proacuteprios e improacuteprios
Se A e B satildeo conjuntos e todo o elemento x pertencente a A tambeacutem
pertence a B entatildeo o conjunto A eacute dito um subconjunto do conjunto B denotado
por BA Note que esta definiccedilatildeo inclui o caso em que A e B possuem os
mesmos elementos isto eacute satildeo o mesmo conjunto (A = B)
Se ao menos um elemento pertencente a B natildeo pertence a A entatildeo A eacute
chamado de subconjunto proacuteprio de B denotado por BA Todo conjunto eacute
subconjunto dele proacuteprio chamado de subconjunto improacuteprio
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Conjunto vazio
Todo conjunto tambeacutem possui como subconjunto o conjunto vazio
representado por ou Supondo que o conjunto vazio natildeo pertence ao
conjunto em questatildeo entatildeo o conjunto vazio deve possuir um elemento ao
menos que natildeo pertenccedila a este conjunto Como o conjunto vazio natildeo possui
elementos isto natildeo eacute possiacutevel Como todos os conjuntos vazios satildeo iguais uns
aos outros eacute permissiacutevel falar de um uacutenico conjunto sem elementos
Uniatildeo interseccedilatildeo e diferenccedila
A uniatildeo (ou reuniatildeo) de dois conjuntos A e B eacute o conjunto A composto dos
elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos A eB
A uniatildeo de N conjuntos N
i
iN SSSSSS1
321 =
== eacute o conjunto formado
pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos S i
A interseccedilatildeo de dois conjuntos A e B eacute o conjunto composto dos elementos
que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos A e B
A diferenccedila entre dois conjuntos A e B eacute o conjunto de todos os elementos de A
que natildeo estatildeo de B
Cardinalidade
Se um conjunto tem n elementos onde n eacute um nuacutemero natural entatildeo diz-
se que o conjunto eacute um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou nuacutemero
cardinal n
Mesmo se o conjunto natildeo possui um nuacutemero finito de elementos pode-se
definir a cardinalidade graccedilas ao trabalho desenvolvido pelo matemaacutetico Georg
Cantor Neste caso a cardinalidade poderaacute ser (aleph-0)
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Em teoria dos conjuntos Aleph (א) eacute uma letra usada para representar
cardinais infinitos A cardinalidade dos conjunto dos nuacutemeros inteiros eacute o
cardinal seguinte eacute etc
Usando o Axioma da escolha pode-se demonstrar que qualquer conjunto
natildeo-vazio de nuacutemeros cardinais tem um elemento miacutenimo assim a classe dos
nuacutemeros cardinais eacute bem ordenada e pode ser indexada pelos nuacutemeros ordinais
Esta indexaccedilatildeo gera a notaccedilatildeo para os nuacutemeros cardinais
Produto cartesiano
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B eacute o conjunto de pares ordenados
A soma ou uniatildeo disjunta de dois conjuntos A e B eacute o conjunto
12 Notaccedilatildeo dos conjuntos
Os conjuntos satildeo representados de diversas formas
bull A forma mais usual eacute a que apresenta os elementos entre duas chaves
()
bull As propriedades ou descriccedilotildees de um conjunto satildeo representadas dentro
das apoacutes os elementos e separadas destes por
bull Diagrama de Venn-Euler eacute a representaccedilatildeo graacutefica dos conjuntos
atraveacutes de entidades geomeacutetricas
13 Exemplos de conjuntos compostos por nuacutemeros
Nota Nesta seccedilatildeo a b e c satildeo nuacutemeros naturais enquanto r e s satildeo nuacutemeros
reais
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1 Nuacutemeros naturais satildeo usados para contar O siacutembolo usualmente
representa este conjunto Na literatura matemaacutetica eacute possiacutevel encontrar
textos que incluem o zero como nuacutemero natural e textos que natildeo incluem
2 Nuacutemeros inteiros aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como x + a = b O
siacutembolo usualmente representa este conjunto (do termo alematildeo Zahlen que
significa nuacutemeros)
3 Nuacutemeros racionais aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como a + bx =
c O siacutembolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente)
4 Nuacutemeros algeacutebricos aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees polinomiais
(com coeficientes inteiros) e envolvem raiacutezes e alguns outros nuacutemeros
irracionais O siacutembolo ou usualmente representa este conjunto
Um nuacutemero algeacutebrico eacute qualquer nuacutemero real ou complexo que eacute soluccedilatildeo
de alguma equaccedilatildeo polinomial com coeficientes inteiros Em um sentido mais
amplo diz-se que um nuacutemero eacute algeacutebrico sobre um corpo quando ele eacute raiz de
um polinocircmio com coeficientes neste corpo
Todos os nuacutemeros racionais satildeo algeacutebricos porque qualquer fraccedilatildeo do tipo a
b eacute soluccedilatildeo de
bx minus a = 0 Alguns nuacutemeros irracionais como radic2 e 31 3 2 satildeo tambeacutem
algeacutebricos porque satildeo as soluccedilotildees de x2 minus 2 = 0 e 8x3 minus 3 = 0 respectivamente
Mas nem todos os reais satildeo algeacutebricos ndash como exemplo refiram-se π e ldquoerdquo
A um nuacutemero complexo natildeo algeacutebrico daacute-se o nome de nuacutemero
transcendente
Se um nuacutemero algeacutebrico for soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo de grau n com
coeficientes inteiros e de nenhuma de grau inferior diz-se que eacute um nuacutemero
algeacutebrico de grau n
5 Nuacutemeros reais incluem os nuacutemeros algeacutebricos e os nuacutemeros
transcendentais O siacutembolo usualmente representa este conjunto
6 Nuacutemeros imaginaacuterios aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como x 2 + r
= 0 onde r gt 0 O siacutembolo usualmente representa este conjunto
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7 Nuacutemeros complexos eacute a soma dos nuacutemeros reais e dos imaginaacuterios
Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero entatildeo os conjuntos dos
nuacutemeros reais e o dos imaginaacuterios satildeo subconjuntos do conjunto dos
nuacutemeros complexos O siacutembolo usualmente representa este conjunto
Exerciacutecio resolvido 1
(USP) Depois de n dias de feacuterias um estudante observa que
- choveu 7 vezes de manhatilde ou agrave tarde
- quando chove de manhatilde natildeo chove agrave tarde
- houve cinco tardes sem chuva
- houve seis manhatildes sem chuva
Calcule o valor de n
Soluccedilatildeo
Seja M o conjunto dos dias que choveu pela manhatilde e T o conjunto dos dias que
choveu agrave tarde Chamando de M e T os conjuntos complementares de M e T
respectivamente teremos
n(T) = 5 (cinco tardes sem chuva) e n(M) = 6 (seis manhatildes sem chuva)
n(M T) = 0 ( quando chove pela manhatilde natildeo chove agrave tarde)
Assim
n(M T) = n(M) + n(T) ndash n(M T)
7 = n(M) + n(T) ndash 0
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Jaacute sabemos que
n(M) + n(T) = 5 + 6 = 11
Entatildeo teremos
n(M) + n(T) = 11
n(M) + N(T) = 7
Somando membro a membro as duas igualdades vem
n(M) + n(M) + n(T) + n(T) = 11 + 7 = 18
Mas jaacute temos que perceber n (M) + n(M) = total dos dias de feacuterias = n
E que n(T) + n(T) = total dos dias de feacuterias = n
Portanto substituindo vem
n + n = 18
2n = 18
n = 9
Resposta Foram nove dias de feacuterias ou seja n = 9 dias
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2 LOacuteGICA
O aprendizado da Loacutegica auxilia os estudantes no raciociacutenio na
compreensatildeo de conceitos baacutesicos na verificaccedilatildeo formal de programas e melhor
os prepara para o entendimento do conteuacutedo de toacutepicos mais avanccedilados
Esta unidade constitui uma introduccedilatildeo agrave Loacutegica elementar claacutessica
procurando alcanccedilar os objetivos gerais e especiacuteficos propostos pela disciplina
Loacutegica Matemaacutetica
21) Uma Classificaccedilatildeo da Loacutegica
Alguns autores dividem o estudo da Loacutegica em
bull LOacuteGICA INDUTIVA uacutetil no estudo da teoria da probabilidade
bull LOacuteGICA DEDUTIVA que pode ser dividida em
- LOacuteGICA CLAacuteSSICA- Considerada como o nuacutecleo da loacutegica
dedutiva Eacute o que chamamos hoje de caacutelculo de predicados de 1a
ordem com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas
Trecircs Princiacutepios (entre outros) regem a Loacutegica Claacutessica da
IDENTIDADE da CONTRADICcedilAtildeO e do TERCEIRO EXCLUIacuteDO os
quais seratildeo abordados mais adiante
- LOacuteGICAS COMPLEMENTARES DA CLAacuteSSICA
Complementam de algum modo a loacutegica claacutessica estendendo o seu
domiacutenio Exemplos loacutegicas modal deocircntica epistecircmica etc
- LOacuteGICAS NAtildeO - CLAacuteSSICAS Assim caracterizadas por
ldquoduvidarrdquo de algum ou alguns dos princiacutepios da loacutegica claacutessica
22) Desenvolvimento da Loacutegica
middot PERIacuteODO ARISTOTEacuteLICO (plusmn 390 aC a plusmn 1840 dC)
A histoacuteria da Loacutegica tem iniacutecio com o filoacutesofo grego ARISTOacuteTELES (384 -
322aC) de Estagira (hoje Estavo) na Macedocircnia Aristoacuteteles criou a ciecircncia da
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Loacutegica cuja essecircncia era a teoria do silogismo (certa forma de argumento vaacutelido)
Seus escritos foram reunidos na obra denominada Organon ou Instrumento da
Ciecircncia
Na Greacutecia distinguiram-se duas grandes escolas de Loacutegica a
PERIPATEacuteTICA (que derivava de Aristoacuteteles) e a ESTOacuteICA fundada por Zenatildeo
(326-264aC) A escola ESTOacuteICA foi desenvolvida por Crisipo (280-250aC) a
partir da escola MEGAacuteRIA (fundada por Euclides um seguidor de Soacutecrates)
Segundo Kneale e Kneale (O Desenvolvimento da Loacutegica) houve durante muitos
anos uma certa rivalidade entre os Peripateacuteticos e os Megaacuterios e que isto talvez
tenha prejudicado o desenvolvimento da loacutegica embora na verdade as teorias
destas escolas fossem complementares
middot PERIacuteODO BOOLEANO (plusmn 1840 a plusmn 1910)
Inicia-se com George Boole (1815-1864) e Augustus de Morgan (1806-
1871) publicaram os fundamentos da chamada aacutelgebra da loacutegica
respectivamente com Mathematical Analysis of Logic e formal Logic
Gotlob Frege (1848-1925) deu um grande passo no desenvolvimento da
loacutegica com a obra Begriffsschrift de 1879 as ideacuteias de Frege soacute foram
reconhecidas pelos outros matemaacuteticos partir de 1905 eacute devido a Frege o
desenvolvimento da loacutegica que se seguiu
Giuseppe Peano (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti Vacca Pieri
Paacutedoa Vailati etc quase toda simbologia da matemaacutetica se deve a essa escola
italiana
middotOutro periacuteodo importante
Com Bertrand Russell (1872-1970) E Alfred North Whitehead (1861-1947)
Inicia-se o Periacuteodo Atual da Loacutegica com a obra Principia Mathematica
David Hilbert (1862-1943) e sua escola alematilde com Von Neuman Bernays
Ackerman e Outros
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Kurt Goumldel (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983) com suas importantes
contribuiccedilotildees
Surgem as loacutegicas natildeo-claacutessicas NCA da Costa com as loacutegicas
paraconsistentes L A Zadeh com a loacutegica fuzzy e as contribuiccedilotildees dessas
loacutegicas para a informaacutetica no campo da inteligecircncia artificial com os sistemas
especialistas
Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Loacutegica englobam
muitas aacutereas do conhecimento
23) Caacutelculo Proposicional
Como primeira e indispensaacutevel parte da loacutegica matemaacutetica temos o caacutelculo
proposicional ou caacutelculo sentencial ou ainda caacutelculo das sentenccedilas
PROPOSICcedilAtildeO sentenccedilas declarativas afirmativas (expressatildeo de uma
linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa
middot A lua eacute um sateacutelite da Terra
middot Esse limatildeo eacute verde
middot Matemaacutetica eacute uma ciecircncia
231) Os Siacutembolos da Linguagem do Caacutelculo Proposicional
middot
VARIAacuteVEIS PROPOSICIONAIS letras latinas minuacutesculas pqrs para indicar
as proposiccedilotildees (foacutermulas atocircmicas)
Exemplos A lua eacute um sateacutelite da Terra p
Esse limatildeo eacute verde q
middot CONECTIVOS LOacuteGICOS As foacutermulas atocircmicas podem ser combinadas entre
si e para representar tais combinaccedilotildees usaremos os conectivos loacutegicos
^ e ou rarr seentatildeo se e somente se ~ natildeo
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Exemplos
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde p ^ q (p e q satildeo chamados
conjuntos)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra ou esse limatildeo eacute verde p q ( p e q satildeo chamados
disjuntos)
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra entatildeo esse limatildeo eacute verde p rarrq ( p eacute o
antecedente e q o consequente)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra se e somente se esse limatildeo eacute verde p q
middot A lua natildeo eacute o sateacutelite da Terra ~p
232) SIacuteMBOLOS AUXILIARES
( ) parecircnteses que servem para denotar o alcance dos conectivos
Exemplos
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde entatildeo a lua natildeo eacute o sateacutelite
da Terra
((p ^ q) rarr ~ p)
233) Definiccedilatildeo de foacutermula
1 Toda foacutermula atocircmica eacute uma foacutermula
2 Se A e B satildeo foacutermulas entatildeo
(A ^ B) (A B) (A rarr B) (A B) e (~ A) tambeacutem satildeo foacutermulas
3 Satildeo foacutermulas apenas as obtidas por 1 e 2
Os parecircnteses seratildeo usados segundo a seguinte ordem dos conectivos ~ ^
rarr
Com o mesmo conectivo adotaremos a convenccedilatildeo pela direita
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Exemplo a foacutermula p ^ q ~ rrarr p ~ q deve ser entendida como
(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))
24) Tabela verdade
A loacutegica claacutessica eacute governada por trecircs princiacutepios (entre outros) que podem ser
formulados como segue
I Princiacutepio da Identidade Todo objeto eacute idecircntico a si mesmo
II Princiacutepio da Contradiccedilatildeo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias (uma eacute
negaccedilatildeo da outra) uma delas eacute falsa
III Princiacutepio do Terceiro Excluiacutedo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias uma
delas eacute verdadeira
Com base nesses princiacutepios as proposiccedilotildees simples satildeo ou verdadeiras ou
falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos daiacute dizer que a loacutegica
claacutessica eacute bivalente
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposiccedilotildees compostas
(moleculares) conhecidos os valores das proposiccedilotildees simples (atocircmicas) que
as compotildeem usaremos tabelas-verdade
1Tabela verdade da negaccedilatildeo ~p eacute verdadeira (falsa) se e somente se p
eacute falsa (verdadeira)
p ~p
V F
F V
2 Tabela verdade da conjunccedilatildeo a conjunccedilatildeo eacute verdadeira se e somente
os conjunctos satildeo verdadeiros
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p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
3 Tabela verdade da disjunccedilatildeo a disjunccedilatildeo eacute falsa se e somente os
disjuntos satildeo falsos
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
4 Tabela verdade da implicaccedilatildeo a implicaccedilatildeo eacute falsa se e somente se
o antecedente eacute verdadeiro e o consequumlente eacute falso
p q p rarr q
V V V
V F F
F V V
F F V
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5 Tabela verdade da bi-implicaccedilatildeo a bi-implicaccedilatildeo eacute verdadeira se e
somente se seus componentes satildeo ou ambos verdadeiros ou ambos falsos
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
6 A disjunccedilatildeo exclusiva (escrito como ou ne) eacute uma operaccedilatildeo sobre dois
ou mais valores loacutegicos tipicamente os valores de duas proposiccedilotildees que produz
um valor verdadeiro apenas se V(p) V(q)
Ou exclusivo chamada tambeacutem disjunccedilatildeo exclusiva conhecido geralmente
por XOR ou por EOR (tambeacutem XOU ou EOU) eacute uma operaccedilatildeo loacutegica em dois
operandos que resulta em um valor loacutegico verdadeiro se e somente se
exactamente um dos operandos tem um valor verdadeiro
Denotaremos a disjunccedilatildeo exclusiva de p e q por p q
E leremos ldquop ou q mas natildeo ambasrdquo
Ou exclusivo
p q
F F F
F V V
V F V
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V V F
Exemplo 1 Construir a tabela verdade da foacutermula ((p q) ~p) rarr (q ^p)
uma maneira mais faacutecil de construir a tabela verdade eacute colocar os valores
loacutegicos como segue abaixo
Apoacutes vamos
resolvendo de acordo
com os operadores loacutegicos
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V V
V V F V F V
F V V F V F
F F F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V
V V F F V F V
F V V V F V F
F F F V F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V
V F V F V
F V F V F
F F F F F
Resolver
primeiramente
depois
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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V V
V V F F V F F V
F V V V F V F F
F F F V F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V
V V F F F V F F V
F V V V V F V F F
F F F F V F F F F
e por uacuteltimo
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V V
V V F F F V V F F V
F V V V V F F V F F
F F F F V F V F F F
NUacuteMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
agora este
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Cada proposiccedilatildeo simples (atocircmica) tem dois valores V ou F que se
excluem Para n atocircmicas distintas haacute tantas possibilidades quantos satildeo os
arranjos com repeticcedilatildeo de 2 (V e F) elementos n a n Segue-se que o nuacutemero de
linhas da tabela verdade eacute 2n
Assim para duas proposiccedilotildees satildeo 22
= 4 linhas
para 3 proposiccedilotildees satildeo 23 = 8 etc
Exemplo a tabela - verdade da foacutermula ((p ^ q) rarr r) teraacute 8 linhas como segue
p q r ((p ^ q) rarr r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
A Ou Exclusivo (XOR) goza das propriedades da associatividade e
comutatividade conforme podemos relembrar
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Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a
Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades
As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital
A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade
Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais
Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O
Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute
mostrado na Figura a seguir
A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por
Figura 3 Desenho esquemaacutetico
Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
FRANK AYRES JR - Aacutelgebra Moderna - - Mcgraw-Hill do Brasil Ltda - 1971
GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
RJ LTC (2001)
MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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MORETTIN PA Meacutetodos quantitativos para economistas e administradores
(1981)
PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta
httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
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SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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Conjunto vazio
Todo conjunto tambeacutem possui como subconjunto o conjunto vazio
representado por ou Supondo que o conjunto vazio natildeo pertence ao
conjunto em questatildeo entatildeo o conjunto vazio deve possuir um elemento ao
menos que natildeo pertenccedila a este conjunto Como o conjunto vazio natildeo possui
elementos isto natildeo eacute possiacutevel Como todos os conjuntos vazios satildeo iguais uns
aos outros eacute permissiacutevel falar de um uacutenico conjunto sem elementos
Uniatildeo interseccedilatildeo e diferenccedila
A uniatildeo (ou reuniatildeo) de dois conjuntos A e B eacute o conjunto A composto dos
elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos A eB
A uniatildeo de N conjuntos N
i
iN SSSSSS1
321 =
== eacute o conjunto formado
pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos S i
A interseccedilatildeo de dois conjuntos A e B eacute o conjunto composto dos elementos
que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos A e B
A diferenccedila entre dois conjuntos A e B eacute o conjunto de todos os elementos de A
que natildeo estatildeo de B
Cardinalidade
Se um conjunto tem n elementos onde n eacute um nuacutemero natural entatildeo diz-
se que o conjunto eacute um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou nuacutemero
cardinal n
Mesmo se o conjunto natildeo possui um nuacutemero finito de elementos pode-se
definir a cardinalidade graccedilas ao trabalho desenvolvido pelo matemaacutetico Georg
Cantor Neste caso a cardinalidade poderaacute ser (aleph-0)
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Em teoria dos conjuntos Aleph (א) eacute uma letra usada para representar
cardinais infinitos A cardinalidade dos conjunto dos nuacutemeros inteiros eacute o
cardinal seguinte eacute etc
Usando o Axioma da escolha pode-se demonstrar que qualquer conjunto
natildeo-vazio de nuacutemeros cardinais tem um elemento miacutenimo assim a classe dos
nuacutemeros cardinais eacute bem ordenada e pode ser indexada pelos nuacutemeros ordinais
Esta indexaccedilatildeo gera a notaccedilatildeo para os nuacutemeros cardinais
Produto cartesiano
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B eacute o conjunto de pares ordenados
A soma ou uniatildeo disjunta de dois conjuntos A e B eacute o conjunto
12 Notaccedilatildeo dos conjuntos
Os conjuntos satildeo representados de diversas formas
bull A forma mais usual eacute a que apresenta os elementos entre duas chaves
()
bull As propriedades ou descriccedilotildees de um conjunto satildeo representadas dentro
das apoacutes os elementos e separadas destes por
bull Diagrama de Venn-Euler eacute a representaccedilatildeo graacutefica dos conjuntos
atraveacutes de entidades geomeacutetricas
13 Exemplos de conjuntos compostos por nuacutemeros
Nota Nesta seccedilatildeo a b e c satildeo nuacutemeros naturais enquanto r e s satildeo nuacutemeros
reais
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1 Nuacutemeros naturais satildeo usados para contar O siacutembolo usualmente
representa este conjunto Na literatura matemaacutetica eacute possiacutevel encontrar
textos que incluem o zero como nuacutemero natural e textos que natildeo incluem
2 Nuacutemeros inteiros aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como x + a = b O
siacutembolo usualmente representa este conjunto (do termo alematildeo Zahlen que
significa nuacutemeros)
3 Nuacutemeros racionais aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como a + bx =
c O siacutembolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente)
4 Nuacutemeros algeacutebricos aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees polinomiais
(com coeficientes inteiros) e envolvem raiacutezes e alguns outros nuacutemeros
irracionais O siacutembolo ou usualmente representa este conjunto
Um nuacutemero algeacutebrico eacute qualquer nuacutemero real ou complexo que eacute soluccedilatildeo
de alguma equaccedilatildeo polinomial com coeficientes inteiros Em um sentido mais
amplo diz-se que um nuacutemero eacute algeacutebrico sobre um corpo quando ele eacute raiz de
um polinocircmio com coeficientes neste corpo
Todos os nuacutemeros racionais satildeo algeacutebricos porque qualquer fraccedilatildeo do tipo a
b eacute soluccedilatildeo de
bx minus a = 0 Alguns nuacutemeros irracionais como radic2 e 31 3 2 satildeo tambeacutem
algeacutebricos porque satildeo as soluccedilotildees de x2 minus 2 = 0 e 8x3 minus 3 = 0 respectivamente
Mas nem todos os reais satildeo algeacutebricos ndash como exemplo refiram-se π e ldquoerdquo
A um nuacutemero complexo natildeo algeacutebrico daacute-se o nome de nuacutemero
transcendente
Se um nuacutemero algeacutebrico for soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo de grau n com
coeficientes inteiros e de nenhuma de grau inferior diz-se que eacute um nuacutemero
algeacutebrico de grau n
5 Nuacutemeros reais incluem os nuacutemeros algeacutebricos e os nuacutemeros
transcendentais O siacutembolo usualmente representa este conjunto
6 Nuacutemeros imaginaacuterios aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como x 2 + r
= 0 onde r gt 0 O siacutembolo usualmente representa este conjunto
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7 Nuacutemeros complexos eacute a soma dos nuacutemeros reais e dos imaginaacuterios
Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero entatildeo os conjuntos dos
nuacutemeros reais e o dos imaginaacuterios satildeo subconjuntos do conjunto dos
nuacutemeros complexos O siacutembolo usualmente representa este conjunto
Exerciacutecio resolvido 1
(USP) Depois de n dias de feacuterias um estudante observa que
- choveu 7 vezes de manhatilde ou agrave tarde
- quando chove de manhatilde natildeo chove agrave tarde
- houve cinco tardes sem chuva
- houve seis manhatildes sem chuva
Calcule o valor de n
Soluccedilatildeo
Seja M o conjunto dos dias que choveu pela manhatilde e T o conjunto dos dias que
choveu agrave tarde Chamando de M e T os conjuntos complementares de M e T
respectivamente teremos
n(T) = 5 (cinco tardes sem chuva) e n(M) = 6 (seis manhatildes sem chuva)
n(M T) = 0 ( quando chove pela manhatilde natildeo chove agrave tarde)
Assim
n(M T) = n(M) + n(T) ndash n(M T)
7 = n(M) + n(T) ndash 0
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Jaacute sabemos que
n(M) + n(T) = 5 + 6 = 11
Entatildeo teremos
n(M) + n(T) = 11
n(M) + N(T) = 7
Somando membro a membro as duas igualdades vem
n(M) + n(M) + n(T) + n(T) = 11 + 7 = 18
Mas jaacute temos que perceber n (M) + n(M) = total dos dias de feacuterias = n
E que n(T) + n(T) = total dos dias de feacuterias = n
Portanto substituindo vem
n + n = 18
2n = 18
n = 9
Resposta Foram nove dias de feacuterias ou seja n = 9 dias
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2 LOacuteGICA
O aprendizado da Loacutegica auxilia os estudantes no raciociacutenio na
compreensatildeo de conceitos baacutesicos na verificaccedilatildeo formal de programas e melhor
os prepara para o entendimento do conteuacutedo de toacutepicos mais avanccedilados
Esta unidade constitui uma introduccedilatildeo agrave Loacutegica elementar claacutessica
procurando alcanccedilar os objetivos gerais e especiacuteficos propostos pela disciplina
Loacutegica Matemaacutetica
21) Uma Classificaccedilatildeo da Loacutegica
Alguns autores dividem o estudo da Loacutegica em
bull LOacuteGICA INDUTIVA uacutetil no estudo da teoria da probabilidade
bull LOacuteGICA DEDUTIVA que pode ser dividida em
- LOacuteGICA CLAacuteSSICA- Considerada como o nuacutecleo da loacutegica
dedutiva Eacute o que chamamos hoje de caacutelculo de predicados de 1a
ordem com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas
Trecircs Princiacutepios (entre outros) regem a Loacutegica Claacutessica da
IDENTIDADE da CONTRADICcedilAtildeO e do TERCEIRO EXCLUIacuteDO os
quais seratildeo abordados mais adiante
- LOacuteGICAS COMPLEMENTARES DA CLAacuteSSICA
Complementam de algum modo a loacutegica claacutessica estendendo o seu
domiacutenio Exemplos loacutegicas modal deocircntica epistecircmica etc
- LOacuteGICAS NAtildeO - CLAacuteSSICAS Assim caracterizadas por
ldquoduvidarrdquo de algum ou alguns dos princiacutepios da loacutegica claacutessica
22) Desenvolvimento da Loacutegica
middot PERIacuteODO ARISTOTEacuteLICO (plusmn 390 aC a plusmn 1840 dC)
A histoacuteria da Loacutegica tem iniacutecio com o filoacutesofo grego ARISTOacuteTELES (384 -
322aC) de Estagira (hoje Estavo) na Macedocircnia Aristoacuteteles criou a ciecircncia da
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Loacutegica cuja essecircncia era a teoria do silogismo (certa forma de argumento vaacutelido)
Seus escritos foram reunidos na obra denominada Organon ou Instrumento da
Ciecircncia
Na Greacutecia distinguiram-se duas grandes escolas de Loacutegica a
PERIPATEacuteTICA (que derivava de Aristoacuteteles) e a ESTOacuteICA fundada por Zenatildeo
(326-264aC) A escola ESTOacuteICA foi desenvolvida por Crisipo (280-250aC) a
partir da escola MEGAacuteRIA (fundada por Euclides um seguidor de Soacutecrates)
Segundo Kneale e Kneale (O Desenvolvimento da Loacutegica) houve durante muitos
anos uma certa rivalidade entre os Peripateacuteticos e os Megaacuterios e que isto talvez
tenha prejudicado o desenvolvimento da loacutegica embora na verdade as teorias
destas escolas fossem complementares
middot PERIacuteODO BOOLEANO (plusmn 1840 a plusmn 1910)
Inicia-se com George Boole (1815-1864) e Augustus de Morgan (1806-
1871) publicaram os fundamentos da chamada aacutelgebra da loacutegica
respectivamente com Mathematical Analysis of Logic e formal Logic
Gotlob Frege (1848-1925) deu um grande passo no desenvolvimento da
loacutegica com a obra Begriffsschrift de 1879 as ideacuteias de Frege soacute foram
reconhecidas pelos outros matemaacuteticos partir de 1905 eacute devido a Frege o
desenvolvimento da loacutegica que se seguiu
Giuseppe Peano (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti Vacca Pieri
Paacutedoa Vailati etc quase toda simbologia da matemaacutetica se deve a essa escola
italiana
middotOutro periacuteodo importante
Com Bertrand Russell (1872-1970) E Alfred North Whitehead (1861-1947)
Inicia-se o Periacuteodo Atual da Loacutegica com a obra Principia Mathematica
David Hilbert (1862-1943) e sua escola alematilde com Von Neuman Bernays
Ackerman e Outros
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Kurt Goumldel (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983) com suas importantes
contribuiccedilotildees
Surgem as loacutegicas natildeo-claacutessicas NCA da Costa com as loacutegicas
paraconsistentes L A Zadeh com a loacutegica fuzzy e as contribuiccedilotildees dessas
loacutegicas para a informaacutetica no campo da inteligecircncia artificial com os sistemas
especialistas
Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Loacutegica englobam
muitas aacutereas do conhecimento
23) Caacutelculo Proposicional
Como primeira e indispensaacutevel parte da loacutegica matemaacutetica temos o caacutelculo
proposicional ou caacutelculo sentencial ou ainda caacutelculo das sentenccedilas
PROPOSICcedilAtildeO sentenccedilas declarativas afirmativas (expressatildeo de uma
linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa
middot A lua eacute um sateacutelite da Terra
middot Esse limatildeo eacute verde
middot Matemaacutetica eacute uma ciecircncia
231) Os Siacutembolos da Linguagem do Caacutelculo Proposicional
middot
VARIAacuteVEIS PROPOSICIONAIS letras latinas minuacutesculas pqrs para indicar
as proposiccedilotildees (foacutermulas atocircmicas)
Exemplos A lua eacute um sateacutelite da Terra p
Esse limatildeo eacute verde q
middot CONECTIVOS LOacuteGICOS As foacutermulas atocircmicas podem ser combinadas entre
si e para representar tais combinaccedilotildees usaremos os conectivos loacutegicos
^ e ou rarr seentatildeo se e somente se ~ natildeo
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Exemplos
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde p ^ q (p e q satildeo chamados
conjuntos)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra ou esse limatildeo eacute verde p q ( p e q satildeo chamados
disjuntos)
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra entatildeo esse limatildeo eacute verde p rarrq ( p eacute o
antecedente e q o consequente)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra se e somente se esse limatildeo eacute verde p q
middot A lua natildeo eacute o sateacutelite da Terra ~p
232) SIacuteMBOLOS AUXILIARES
( ) parecircnteses que servem para denotar o alcance dos conectivos
Exemplos
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde entatildeo a lua natildeo eacute o sateacutelite
da Terra
((p ^ q) rarr ~ p)
233) Definiccedilatildeo de foacutermula
1 Toda foacutermula atocircmica eacute uma foacutermula
2 Se A e B satildeo foacutermulas entatildeo
(A ^ B) (A B) (A rarr B) (A B) e (~ A) tambeacutem satildeo foacutermulas
3 Satildeo foacutermulas apenas as obtidas por 1 e 2
Os parecircnteses seratildeo usados segundo a seguinte ordem dos conectivos ~ ^
rarr
Com o mesmo conectivo adotaremos a convenccedilatildeo pela direita
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Exemplo a foacutermula p ^ q ~ rrarr p ~ q deve ser entendida como
(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))
24) Tabela verdade
A loacutegica claacutessica eacute governada por trecircs princiacutepios (entre outros) que podem ser
formulados como segue
I Princiacutepio da Identidade Todo objeto eacute idecircntico a si mesmo
II Princiacutepio da Contradiccedilatildeo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias (uma eacute
negaccedilatildeo da outra) uma delas eacute falsa
III Princiacutepio do Terceiro Excluiacutedo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias uma
delas eacute verdadeira
Com base nesses princiacutepios as proposiccedilotildees simples satildeo ou verdadeiras ou
falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos daiacute dizer que a loacutegica
claacutessica eacute bivalente
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposiccedilotildees compostas
(moleculares) conhecidos os valores das proposiccedilotildees simples (atocircmicas) que
as compotildeem usaremos tabelas-verdade
1Tabela verdade da negaccedilatildeo ~p eacute verdadeira (falsa) se e somente se p
eacute falsa (verdadeira)
p ~p
V F
F V
2 Tabela verdade da conjunccedilatildeo a conjunccedilatildeo eacute verdadeira se e somente
os conjunctos satildeo verdadeiros
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p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
3 Tabela verdade da disjunccedilatildeo a disjunccedilatildeo eacute falsa se e somente os
disjuntos satildeo falsos
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
4 Tabela verdade da implicaccedilatildeo a implicaccedilatildeo eacute falsa se e somente se
o antecedente eacute verdadeiro e o consequumlente eacute falso
p q p rarr q
V V V
V F F
F V V
F F V
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5 Tabela verdade da bi-implicaccedilatildeo a bi-implicaccedilatildeo eacute verdadeira se e
somente se seus componentes satildeo ou ambos verdadeiros ou ambos falsos
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
6 A disjunccedilatildeo exclusiva (escrito como ou ne) eacute uma operaccedilatildeo sobre dois
ou mais valores loacutegicos tipicamente os valores de duas proposiccedilotildees que produz
um valor verdadeiro apenas se V(p) V(q)
Ou exclusivo chamada tambeacutem disjunccedilatildeo exclusiva conhecido geralmente
por XOR ou por EOR (tambeacutem XOU ou EOU) eacute uma operaccedilatildeo loacutegica em dois
operandos que resulta em um valor loacutegico verdadeiro se e somente se
exactamente um dos operandos tem um valor verdadeiro
Denotaremos a disjunccedilatildeo exclusiva de p e q por p q
E leremos ldquop ou q mas natildeo ambasrdquo
Ou exclusivo
p q
F F F
F V V
V F V
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V V F
Exemplo 1 Construir a tabela verdade da foacutermula ((p q) ~p) rarr (q ^p)
uma maneira mais faacutecil de construir a tabela verdade eacute colocar os valores
loacutegicos como segue abaixo
Apoacutes vamos
resolvendo de acordo
com os operadores loacutegicos
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V V
V V F V F V
F V V F V F
F F F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V
V V F F V F V
F V V V F V F
F F F V F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V
V F V F V
F V F V F
F F F F F
Resolver
primeiramente
depois
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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V V
V V F F V F F V
F V V V F V F F
F F F V F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V
V V F F F V F F V
F V V V V F V F F
F F F F V F F F F
e por uacuteltimo
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V V
V V F F F V V F F V
F V V V V F F V F F
F F F F V F V F F F
NUacuteMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
agora este
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Cada proposiccedilatildeo simples (atocircmica) tem dois valores V ou F que se
excluem Para n atocircmicas distintas haacute tantas possibilidades quantos satildeo os
arranjos com repeticcedilatildeo de 2 (V e F) elementos n a n Segue-se que o nuacutemero de
linhas da tabela verdade eacute 2n
Assim para duas proposiccedilotildees satildeo 22
= 4 linhas
para 3 proposiccedilotildees satildeo 23 = 8 etc
Exemplo a tabela - verdade da foacutermula ((p ^ q) rarr r) teraacute 8 linhas como segue
p q r ((p ^ q) rarr r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
A Ou Exclusivo (XOR) goza das propriedades da associatividade e
comutatividade conforme podemos relembrar
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Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a
Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades
As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital
A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade
Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais
Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O
Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute
mostrado na Figura a seguir
A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por
Figura 3 Desenho esquemaacutetico
Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
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3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
FRANK AYRES JR - Aacutelgebra Moderna - - Mcgraw-Hill do Brasil Ltda - 1971
GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
RJ LTC (2001)
MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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MORETTIN PA Meacutetodos quantitativos para economistas e administradores
(1981)
PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta
httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
aprender Porto Alegre ArtMed (1998) 177 p ISBN 85-7307-356-X
SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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Em teoria dos conjuntos Aleph (א) eacute uma letra usada para representar
cardinais infinitos A cardinalidade dos conjunto dos nuacutemeros inteiros eacute o
cardinal seguinte eacute etc
Usando o Axioma da escolha pode-se demonstrar que qualquer conjunto
natildeo-vazio de nuacutemeros cardinais tem um elemento miacutenimo assim a classe dos
nuacutemeros cardinais eacute bem ordenada e pode ser indexada pelos nuacutemeros ordinais
Esta indexaccedilatildeo gera a notaccedilatildeo para os nuacutemeros cardinais
Produto cartesiano
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B eacute o conjunto de pares ordenados
A soma ou uniatildeo disjunta de dois conjuntos A e B eacute o conjunto
12 Notaccedilatildeo dos conjuntos
Os conjuntos satildeo representados de diversas formas
bull A forma mais usual eacute a que apresenta os elementos entre duas chaves
()
bull As propriedades ou descriccedilotildees de um conjunto satildeo representadas dentro
das apoacutes os elementos e separadas destes por
bull Diagrama de Venn-Euler eacute a representaccedilatildeo graacutefica dos conjuntos
atraveacutes de entidades geomeacutetricas
13 Exemplos de conjuntos compostos por nuacutemeros
Nota Nesta seccedilatildeo a b e c satildeo nuacutemeros naturais enquanto r e s satildeo nuacutemeros
reais
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1 Nuacutemeros naturais satildeo usados para contar O siacutembolo usualmente
representa este conjunto Na literatura matemaacutetica eacute possiacutevel encontrar
textos que incluem o zero como nuacutemero natural e textos que natildeo incluem
2 Nuacutemeros inteiros aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como x + a = b O
siacutembolo usualmente representa este conjunto (do termo alematildeo Zahlen que
significa nuacutemeros)
3 Nuacutemeros racionais aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como a + bx =
c O siacutembolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente)
4 Nuacutemeros algeacutebricos aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees polinomiais
(com coeficientes inteiros) e envolvem raiacutezes e alguns outros nuacutemeros
irracionais O siacutembolo ou usualmente representa este conjunto
Um nuacutemero algeacutebrico eacute qualquer nuacutemero real ou complexo que eacute soluccedilatildeo
de alguma equaccedilatildeo polinomial com coeficientes inteiros Em um sentido mais
amplo diz-se que um nuacutemero eacute algeacutebrico sobre um corpo quando ele eacute raiz de
um polinocircmio com coeficientes neste corpo
Todos os nuacutemeros racionais satildeo algeacutebricos porque qualquer fraccedilatildeo do tipo a
b eacute soluccedilatildeo de
bx minus a = 0 Alguns nuacutemeros irracionais como radic2 e 31 3 2 satildeo tambeacutem
algeacutebricos porque satildeo as soluccedilotildees de x2 minus 2 = 0 e 8x3 minus 3 = 0 respectivamente
Mas nem todos os reais satildeo algeacutebricos ndash como exemplo refiram-se π e ldquoerdquo
A um nuacutemero complexo natildeo algeacutebrico daacute-se o nome de nuacutemero
transcendente
Se um nuacutemero algeacutebrico for soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo de grau n com
coeficientes inteiros e de nenhuma de grau inferior diz-se que eacute um nuacutemero
algeacutebrico de grau n
5 Nuacutemeros reais incluem os nuacutemeros algeacutebricos e os nuacutemeros
transcendentais O siacutembolo usualmente representa este conjunto
6 Nuacutemeros imaginaacuterios aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como x 2 + r
= 0 onde r gt 0 O siacutembolo usualmente representa este conjunto
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7 Nuacutemeros complexos eacute a soma dos nuacutemeros reais e dos imaginaacuterios
Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero entatildeo os conjuntos dos
nuacutemeros reais e o dos imaginaacuterios satildeo subconjuntos do conjunto dos
nuacutemeros complexos O siacutembolo usualmente representa este conjunto
Exerciacutecio resolvido 1
(USP) Depois de n dias de feacuterias um estudante observa que
- choveu 7 vezes de manhatilde ou agrave tarde
- quando chove de manhatilde natildeo chove agrave tarde
- houve cinco tardes sem chuva
- houve seis manhatildes sem chuva
Calcule o valor de n
Soluccedilatildeo
Seja M o conjunto dos dias que choveu pela manhatilde e T o conjunto dos dias que
choveu agrave tarde Chamando de M e T os conjuntos complementares de M e T
respectivamente teremos
n(T) = 5 (cinco tardes sem chuva) e n(M) = 6 (seis manhatildes sem chuva)
n(M T) = 0 ( quando chove pela manhatilde natildeo chove agrave tarde)
Assim
n(M T) = n(M) + n(T) ndash n(M T)
7 = n(M) + n(T) ndash 0
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Jaacute sabemos que
n(M) + n(T) = 5 + 6 = 11
Entatildeo teremos
n(M) + n(T) = 11
n(M) + N(T) = 7
Somando membro a membro as duas igualdades vem
n(M) + n(M) + n(T) + n(T) = 11 + 7 = 18
Mas jaacute temos que perceber n (M) + n(M) = total dos dias de feacuterias = n
E que n(T) + n(T) = total dos dias de feacuterias = n
Portanto substituindo vem
n + n = 18
2n = 18
n = 9
Resposta Foram nove dias de feacuterias ou seja n = 9 dias
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2 LOacuteGICA
O aprendizado da Loacutegica auxilia os estudantes no raciociacutenio na
compreensatildeo de conceitos baacutesicos na verificaccedilatildeo formal de programas e melhor
os prepara para o entendimento do conteuacutedo de toacutepicos mais avanccedilados
Esta unidade constitui uma introduccedilatildeo agrave Loacutegica elementar claacutessica
procurando alcanccedilar os objetivos gerais e especiacuteficos propostos pela disciplina
Loacutegica Matemaacutetica
21) Uma Classificaccedilatildeo da Loacutegica
Alguns autores dividem o estudo da Loacutegica em
bull LOacuteGICA INDUTIVA uacutetil no estudo da teoria da probabilidade
bull LOacuteGICA DEDUTIVA que pode ser dividida em
- LOacuteGICA CLAacuteSSICA- Considerada como o nuacutecleo da loacutegica
dedutiva Eacute o que chamamos hoje de caacutelculo de predicados de 1a
ordem com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas
Trecircs Princiacutepios (entre outros) regem a Loacutegica Claacutessica da
IDENTIDADE da CONTRADICcedilAtildeO e do TERCEIRO EXCLUIacuteDO os
quais seratildeo abordados mais adiante
- LOacuteGICAS COMPLEMENTARES DA CLAacuteSSICA
Complementam de algum modo a loacutegica claacutessica estendendo o seu
domiacutenio Exemplos loacutegicas modal deocircntica epistecircmica etc
- LOacuteGICAS NAtildeO - CLAacuteSSICAS Assim caracterizadas por
ldquoduvidarrdquo de algum ou alguns dos princiacutepios da loacutegica claacutessica
22) Desenvolvimento da Loacutegica
middot PERIacuteODO ARISTOTEacuteLICO (plusmn 390 aC a plusmn 1840 dC)
A histoacuteria da Loacutegica tem iniacutecio com o filoacutesofo grego ARISTOacuteTELES (384 -
322aC) de Estagira (hoje Estavo) na Macedocircnia Aristoacuteteles criou a ciecircncia da
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Loacutegica cuja essecircncia era a teoria do silogismo (certa forma de argumento vaacutelido)
Seus escritos foram reunidos na obra denominada Organon ou Instrumento da
Ciecircncia
Na Greacutecia distinguiram-se duas grandes escolas de Loacutegica a
PERIPATEacuteTICA (que derivava de Aristoacuteteles) e a ESTOacuteICA fundada por Zenatildeo
(326-264aC) A escola ESTOacuteICA foi desenvolvida por Crisipo (280-250aC) a
partir da escola MEGAacuteRIA (fundada por Euclides um seguidor de Soacutecrates)
Segundo Kneale e Kneale (O Desenvolvimento da Loacutegica) houve durante muitos
anos uma certa rivalidade entre os Peripateacuteticos e os Megaacuterios e que isto talvez
tenha prejudicado o desenvolvimento da loacutegica embora na verdade as teorias
destas escolas fossem complementares
middot PERIacuteODO BOOLEANO (plusmn 1840 a plusmn 1910)
Inicia-se com George Boole (1815-1864) e Augustus de Morgan (1806-
1871) publicaram os fundamentos da chamada aacutelgebra da loacutegica
respectivamente com Mathematical Analysis of Logic e formal Logic
Gotlob Frege (1848-1925) deu um grande passo no desenvolvimento da
loacutegica com a obra Begriffsschrift de 1879 as ideacuteias de Frege soacute foram
reconhecidas pelos outros matemaacuteticos partir de 1905 eacute devido a Frege o
desenvolvimento da loacutegica que se seguiu
Giuseppe Peano (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti Vacca Pieri
Paacutedoa Vailati etc quase toda simbologia da matemaacutetica se deve a essa escola
italiana
middotOutro periacuteodo importante
Com Bertrand Russell (1872-1970) E Alfred North Whitehead (1861-1947)
Inicia-se o Periacuteodo Atual da Loacutegica com a obra Principia Mathematica
David Hilbert (1862-1943) e sua escola alematilde com Von Neuman Bernays
Ackerman e Outros
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Kurt Goumldel (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983) com suas importantes
contribuiccedilotildees
Surgem as loacutegicas natildeo-claacutessicas NCA da Costa com as loacutegicas
paraconsistentes L A Zadeh com a loacutegica fuzzy e as contribuiccedilotildees dessas
loacutegicas para a informaacutetica no campo da inteligecircncia artificial com os sistemas
especialistas
Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Loacutegica englobam
muitas aacutereas do conhecimento
23) Caacutelculo Proposicional
Como primeira e indispensaacutevel parte da loacutegica matemaacutetica temos o caacutelculo
proposicional ou caacutelculo sentencial ou ainda caacutelculo das sentenccedilas
PROPOSICcedilAtildeO sentenccedilas declarativas afirmativas (expressatildeo de uma
linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa
middot A lua eacute um sateacutelite da Terra
middot Esse limatildeo eacute verde
middot Matemaacutetica eacute uma ciecircncia
231) Os Siacutembolos da Linguagem do Caacutelculo Proposicional
middot
VARIAacuteVEIS PROPOSICIONAIS letras latinas minuacutesculas pqrs para indicar
as proposiccedilotildees (foacutermulas atocircmicas)
Exemplos A lua eacute um sateacutelite da Terra p
Esse limatildeo eacute verde q
middot CONECTIVOS LOacuteGICOS As foacutermulas atocircmicas podem ser combinadas entre
si e para representar tais combinaccedilotildees usaremos os conectivos loacutegicos
^ e ou rarr seentatildeo se e somente se ~ natildeo
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Exemplos
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde p ^ q (p e q satildeo chamados
conjuntos)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra ou esse limatildeo eacute verde p q ( p e q satildeo chamados
disjuntos)
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra entatildeo esse limatildeo eacute verde p rarrq ( p eacute o
antecedente e q o consequente)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra se e somente se esse limatildeo eacute verde p q
middot A lua natildeo eacute o sateacutelite da Terra ~p
232) SIacuteMBOLOS AUXILIARES
( ) parecircnteses que servem para denotar o alcance dos conectivos
Exemplos
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde entatildeo a lua natildeo eacute o sateacutelite
da Terra
((p ^ q) rarr ~ p)
233) Definiccedilatildeo de foacutermula
1 Toda foacutermula atocircmica eacute uma foacutermula
2 Se A e B satildeo foacutermulas entatildeo
(A ^ B) (A B) (A rarr B) (A B) e (~ A) tambeacutem satildeo foacutermulas
3 Satildeo foacutermulas apenas as obtidas por 1 e 2
Os parecircnteses seratildeo usados segundo a seguinte ordem dos conectivos ~ ^
rarr
Com o mesmo conectivo adotaremos a convenccedilatildeo pela direita
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Exemplo a foacutermula p ^ q ~ rrarr p ~ q deve ser entendida como
(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))
24) Tabela verdade
A loacutegica claacutessica eacute governada por trecircs princiacutepios (entre outros) que podem ser
formulados como segue
I Princiacutepio da Identidade Todo objeto eacute idecircntico a si mesmo
II Princiacutepio da Contradiccedilatildeo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias (uma eacute
negaccedilatildeo da outra) uma delas eacute falsa
III Princiacutepio do Terceiro Excluiacutedo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias uma
delas eacute verdadeira
Com base nesses princiacutepios as proposiccedilotildees simples satildeo ou verdadeiras ou
falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos daiacute dizer que a loacutegica
claacutessica eacute bivalente
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposiccedilotildees compostas
(moleculares) conhecidos os valores das proposiccedilotildees simples (atocircmicas) que
as compotildeem usaremos tabelas-verdade
1Tabela verdade da negaccedilatildeo ~p eacute verdadeira (falsa) se e somente se p
eacute falsa (verdadeira)
p ~p
V F
F V
2 Tabela verdade da conjunccedilatildeo a conjunccedilatildeo eacute verdadeira se e somente
os conjunctos satildeo verdadeiros
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p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
3 Tabela verdade da disjunccedilatildeo a disjunccedilatildeo eacute falsa se e somente os
disjuntos satildeo falsos
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
4 Tabela verdade da implicaccedilatildeo a implicaccedilatildeo eacute falsa se e somente se
o antecedente eacute verdadeiro e o consequumlente eacute falso
p q p rarr q
V V V
V F F
F V V
F F V
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5 Tabela verdade da bi-implicaccedilatildeo a bi-implicaccedilatildeo eacute verdadeira se e
somente se seus componentes satildeo ou ambos verdadeiros ou ambos falsos
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
6 A disjunccedilatildeo exclusiva (escrito como ou ne) eacute uma operaccedilatildeo sobre dois
ou mais valores loacutegicos tipicamente os valores de duas proposiccedilotildees que produz
um valor verdadeiro apenas se V(p) V(q)
Ou exclusivo chamada tambeacutem disjunccedilatildeo exclusiva conhecido geralmente
por XOR ou por EOR (tambeacutem XOU ou EOU) eacute uma operaccedilatildeo loacutegica em dois
operandos que resulta em um valor loacutegico verdadeiro se e somente se
exactamente um dos operandos tem um valor verdadeiro
Denotaremos a disjunccedilatildeo exclusiva de p e q por p q
E leremos ldquop ou q mas natildeo ambasrdquo
Ou exclusivo
p q
F F F
F V V
V F V
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V V F
Exemplo 1 Construir a tabela verdade da foacutermula ((p q) ~p) rarr (q ^p)
uma maneira mais faacutecil de construir a tabela verdade eacute colocar os valores
loacutegicos como segue abaixo
Apoacutes vamos
resolvendo de acordo
com os operadores loacutegicos
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V V
V V F V F V
F V V F V F
F F F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V
V V F F V F V
F V V V F V F
F F F V F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V
V F V F V
F V F V F
F F F F F
Resolver
primeiramente
depois
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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V V
V V F F V F F V
F V V V F V F F
F F F V F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V
V V F F F V F F V
F V V V V F V F F
F F F F V F F F F
e por uacuteltimo
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V V
V V F F F V V F F V
F V V V V F F V F F
F F F F V F V F F F
NUacuteMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
agora este
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Cada proposiccedilatildeo simples (atocircmica) tem dois valores V ou F que se
excluem Para n atocircmicas distintas haacute tantas possibilidades quantos satildeo os
arranjos com repeticcedilatildeo de 2 (V e F) elementos n a n Segue-se que o nuacutemero de
linhas da tabela verdade eacute 2n
Assim para duas proposiccedilotildees satildeo 22
= 4 linhas
para 3 proposiccedilotildees satildeo 23 = 8 etc
Exemplo a tabela - verdade da foacutermula ((p ^ q) rarr r) teraacute 8 linhas como segue
p q r ((p ^ q) rarr r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
A Ou Exclusivo (XOR) goza das propriedades da associatividade e
comutatividade conforme podemos relembrar
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Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a
Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades
As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital
A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade
Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais
Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O
Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute
mostrado na Figura a seguir
A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por
Figura 3 Desenho esquemaacutetico
Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
aprender Porto Alegre ArtMed (1998) 177 p ISBN 85-7307-356-X
SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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1 Nuacutemeros naturais satildeo usados para contar O siacutembolo usualmente
representa este conjunto Na literatura matemaacutetica eacute possiacutevel encontrar
textos que incluem o zero como nuacutemero natural e textos que natildeo incluem
2 Nuacutemeros inteiros aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como x + a = b O
siacutembolo usualmente representa este conjunto (do termo alematildeo Zahlen que
significa nuacutemeros)
3 Nuacutemeros racionais aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como a + bx =
c O siacutembolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente)
4 Nuacutemeros algeacutebricos aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees polinomiais
(com coeficientes inteiros) e envolvem raiacutezes e alguns outros nuacutemeros
irracionais O siacutembolo ou usualmente representa este conjunto
Um nuacutemero algeacutebrico eacute qualquer nuacutemero real ou complexo que eacute soluccedilatildeo
de alguma equaccedilatildeo polinomial com coeficientes inteiros Em um sentido mais
amplo diz-se que um nuacutemero eacute algeacutebrico sobre um corpo quando ele eacute raiz de
um polinocircmio com coeficientes neste corpo
Todos os nuacutemeros racionais satildeo algeacutebricos porque qualquer fraccedilatildeo do tipo a
b eacute soluccedilatildeo de
bx minus a = 0 Alguns nuacutemeros irracionais como radic2 e 31 3 2 satildeo tambeacutem
algeacutebricos porque satildeo as soluccedilotildees de x2 minus 2 = 0 e 8x3 minus 3 = 0 respectivamente
Mas nem todos os reais satildeo algeacutebricos ndash como exemplo refiram-se π e ldquoerdquo
A um nuacutemero complexo natildeo algeacutebrico daacute-se o nome de nuacutemero
transcendente
Se um nuacutemero algeacutebrico for soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo de grau n com
coeficientes inteiros e de nenhuma de grau inferior diz-se que eacute um nuacutemero
algeacutebrico de grau n
5 Nuacutemeros reais incluem os nuacutemeros algeacutebricos e os nuacutemeros
transcendentais O siacutembolo usualmente representa este conjunto
6 Nuacutemeros imaginaacuterios aparecem como soluccedilotildees de equaccedilotildees como x 2 + r
= 0 onde r gt 0 O siacutembolo usualmente representa este conjunto
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7 Nuacutemeros complexos eacute a soma dos nuacutemeros reais e dos imaginaacuterios
Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero entatildeo os conjuntos dos
nuacutemeros reais e o dos imaginaacuterios satildeo subconjuntos do conjunto dos
nuacutemeros complexos O siacutembolo usualmente representa este conjunto
Exerciacutecio resolvido 1
(USP) Depois de n dias de feacuterias um estudante observa que
- choveu 7 vezes de manhatilde ou agrave tarde
- quando chove de manhatilde natildeo chove agrave tarde
- houve cinco tardes sem chuva
- houve seis manhatildes sem chuva
Calcule o valor de n
Soluccedilatildeo
Seja M o conjunto dos dias que choveu pela manhatilde e T o conjunto dos dias que
choveu agrave tarde Chamando de M e T os conjuntos complementares de M e T
respectivamente teremos
n(T) = 5 (cinco tardes sem chuva) e n(M) = 6 (seis manhatildes sem chuva)
n(M T) = 0 ( quando chove pela manhatilde natildeo chove agrave tarde)
Assim
n(M T) = n(M) + n(T) ndash n(M T)
7 = n(M) + n(T) ndash 0
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Jaacute sabemos que
n(M) + n(T) = 5 + 6 = 11
Entatildeo teremos
n(M) + n(T) = 11
n(M) + N(T) = 7
Somando membro a membro as duas igualdades vem
n(M) + n(M) + n(T) + n(T) = 11 + 7 = 18
Mas jaacute temos que perceber n (M) + n(M) = total dos dias de feacuterias = n
E que n(T) + n(T) = total dos dias de feacuterias = n
Portanto substituindo vem
n + n = 18
2n = 18
n = 9
Resposta Foram nove dias de feacuterias ou seja n = 9 dias
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2 LOacuteGICA
O aprendizado da Loacutegica auxilia os estudantes no raciociacutenio na
compreensatildeo de conceitos baacutesicos na verificaccedilatildeo formal de programas e melhor
os prepara para o entendimento do conteuacutedo de toacutepicos mais avanccedilados
Esta unidade constitui uma introduccedilatildeo agrave Loacutegica elementar claacutessica
procurando alcanccedilar os objetivos gerais e especiacuteficos propostos pela disciplina
Loacutegica Matemaacutetica
21) Uma Classificaccedilatildeo da Loacutegica
Alguns autores dividem o estudo da Loacutegica em
bull LOacuteGICA INDUTIVA uacutetil no estudo da teoria da probabilidade
bull LOacuteGICA DEDUTIVA que pode ser dividida em
- LOacuteGICA CLAacuteSSICA- Considerada como o nuacutecleo da loacutegica
dedutiva Eacute o que chamamos hoje de caacutelculo de predicados de 1a
ordem com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas
Trecircs Princiacutepios (entre outros) regem a Loacutegica Claacutessica da
IDENTIDADE da CONTRADICcedilAtildeO e do TERCEIRO EXCLUIacuteDO os
quais seratildeo abordados mais adiante
- LOacuteGICAS COMPLEMENTARES DA CLAacuteSSICA
Complementam de algum modo a loacutegica claacutessica estendendo o seu
domiacutenio Exemplos loacutegicas modal deocircntica epistecircmica etc
- LOacuteGICAS NAtildeO - CLAacuteSSICAS Assim caracterizadas por
ldquoduvidarrdquo de algum ou alguns dos princiacutepios da loacutegica claacutessica
22) Desenvolvimento da Loacutegica
middot PERIacuteODO ARISTOTEacuteLICO (plusmn 390 aC a plusmn 1840 dC)
A histoacuteria da Loacutegica tem iniacutecio com o filoacutesofo grego ARISTOacuteTELES (384 -
322aC) de Estagira (hoje Estavo) na Macedocircnia Aristoacuteteles criou a ciecircncia da
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Loacutegica cuja essecircncia era a teoria do silogismo (certa forma de argumento vaacutelido)
Seus escritos foram reunidos na obra denominada Organon ou Instrumento da
Ciecircncia
Na Greacutecia distinguiram-se duas grandes escolas de Loacutegica a
PERIPATEacuteTICA (que derivava de Aristoacuteteles) e a ESTOacuteICA fundada por Zenatildeo
(326-264aC) A escola ESTOacuteICA foi desenvolvida por Crisipo (280-250aC) a
partir da escola MEGAacuteRIA (fundada por Euclides um seguidor de Soacutecrates)
Segundo Kneale e Kneale (O Desenvolvimento da Loacutegica) houve durante muitos
anos uma certa rivalidade entre os Peripateacuteticos e os Megaacuterios e que isto talvez
tenha prejudicado o desenvolvimento da loacutegica embora na verdade as teorias
destas escolas fossem complementares
middot PERIacuteODO BOOLEANO (plusmn 1840 a plusmn 1910)
Inicia-se com George Boole (1815-1864) e Augustus de Morgan (1806-
1871) publicaram os fundamentos da chamada aacutelgebra da loacutegica
respectivamente com Mathematical Analysis of Logic e formal Logic
Gotlob Frege (1848-1925) deu um grande passo no desenvolvimento da
loacutegica com a obra Begriffsschrift de 1879 as ideacuteias de Frege soacute foram
reconhecidas pelos outros matemaacuteticos partir de 1905 eacute devido a Frege o
desenvolvimento da loacutegica que se seguiu
Giuseppe Peano (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti Vacca Pieri
Paacutedoa Vailati etc quase toda simbologia da matemaacutetica se deve a essa escola
italiana
middotOutro periacuteodo importante
Com Bertrand Russell (1872-1970) E Alfred North Whitehead (1861-1947)
Inicia-se o Periacuteodo Atual da Loacutegica com a obra Principia Mathematica
David Hilbert (1862-1943) e sua escola alematilde com Von Neuman Bernays
Ackerman e Outros
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Kurt Goumldel (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983) com suas importantes
contribuiccedilotildees
Surgem as loacutegicas natildeo-claacutessicas NCA da Costa com as loacutegicas
paraconsistentes L A Zadeh com a loacutegica fuzzy e as contribuiccedilotildees dessas
loacutegicas para a informaacutetica no campo da inteligecircncia artificial com os sistemas
especialistas
Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Loacutegica englobam
muitas aacutereas do conhecimento
23) Caacutelculo Proposicional
Como primeira e indispensaacutevel parte da loacutegica matemaacutetica temos o caacutelculo
proposicional ou caacutelculo sentencial ou ainda caacutelculo das sentenccedilas
PROPOSICcedilAtildeO sentenccedilas declarativas afirmativas (expressatildeo de uma
linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa
middot A lua eacute um sateacutelite da Terra
middot Esse limatildeo eacute verde
middot Matemaacutetica eacute uma ciecircncia
231) Os Siacutembolos da Linguagem do Caacutelculo Proposicional
middot
VARIAacuteVEIS PROPOSICIONAIS letras latinas minuacutesculas pqrs para indicar
as proposiccedilotildees (foacutermulas atocircmicas)
Exemplos A lua eacute um sateacutelite da Terra p
Esse limatildeo eacute verde q
middot CONECTIVOS LOacuteGICOS As foacutermulas atocircmicas podem ser combinadas entre
si e para representar tais combinaccedilotildees usaremos os conectivos loacutegicos
^ e ou rarr seentatildeo se e somente se ~ natildeo
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Exemplos
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde p ^ q (p e q satildeo chamados
conjuntos)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra ou esse limatildeo eacute verde p q ( p e q satildeo chamados
disjuntos)
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra entatildeo esse limatildeo eacute verde p rarrq ( p eacute o
antecedente e q o consequente)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra se e somente se esse limatildeo eacute verde p q
middot A lua natildeo eacute o sateacutelite da Terra ~p
232) SIacuteMBOLOS AUXILIARES
( ) parecircnteses que servem para denotar o alcance dos conectivos
Exemplos
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde entatildeo a lua natildeo eacute o sateacutelite
da Terra
((p ^ q) rarr ~ p)
233) Definiccedilatildeo de foacutermula
1 Toda foacutermula atocircmica eacute uma foacutermula
2 Se A e B satildeo foacutermulas entatildeo
(A ^ B) (A B) (A rarr B) (A B) e (~ A) tambeacutem satildeo foacutermulas
3 Satildeo foacutermulas apenas as obtidas por 1 e 2
Os parecircnteses seratildeo usados segundo a seguinte ordem dos conectivos ~ ^
rarr
Com o mesmo conectivo adotaremos a convenccedilatildeo pela direita
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Exemplo a foacutermula p ^ q ~ rrarr p ~ q deve ser entendida como
(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))
24) Tabela verdade
A loacutegica claacutessica eacute governada por trecircs princiacutepios (entre outros) que podem ser
formulados como segue
I Princiacutepio da Identidade Todo objeto eacute idecircntico a si mesmo
II Princiacutepio da Contradiccedilatildeo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias (uma eacute
negaccedilatildeo da outra) uma delas eacute falsa
III Princiacutepio do Terceiro Excluiacutedo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias uma
delas eacute verdadeira
Com base nesses princiacutepios as proposiccedilotildees simples satildeo ou verdadeiras ou
falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos daiacute dizer que a loacutegica
claacutessica eacute bivalente
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposiccedilotildees compostas
(moleculares) conhecidos os valores das proposiccedilotildees simples (atocircmicas) que
as compotildeem usaremos tabelas-verdade
1Tabela verdade da negaccedilatildeo ~p eacute verdadeira (falsa) se e somente se p
eacute falsa (verdadeira)
p ~p
V F
F V
2 Tabela verdade da conjunccedilatildeo a conjunccedilatildeo eacute verdadeira se e somente
os conjunctos satildeo verdadeiros
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p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
3 Tabela verdade da disjunccedilatildeo a disjunccedilatildeo eacute falsa se e somente os
disjuntos satildeo falsos
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
4 Tabela verdade da implicaccedilatildeo a implicaccedilatildeo eacute falsa se e somente se
o antecedente eacute verdadeiro e o consequumlente eacute falso
p q p rarr q
V V V
V F F
F V V
F F V
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5 Tabela verdade da bi-implicaccedilatildeo a bi-implicaccedilatildeo eacute verdadeira se e
somente se seus componentes satildeo ou ambos verdadeiros ou ambos falsos
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
6 A disjunccedilatildeo exclusiva (escrito como ou ne) eacute uma operaccedilatildeo sobre dois
ou mais valores loacutegicos tipicamente os valores de duas proposiccedilotildees que produz
um valor verdadeiro apenas se V(p) V(q)
Ou exclusivo chamada tambeacutem disjunccedilatildeo exclusiva conhecido geralmente
por XOR ou por EOR (tambeacutem XOU ou EOU) eacute uma operaccedilatildeo loacutegica em dois
operandos que resulta em um valor loacutegico verdadeiro se e somente se
exactamente um dos operandos tem um valor verdadeiro
Denotaremos a disjunccedilatildeo exclusiva de p e q por p q
E leremos ldquop ou q mas natildeo ambasrdquo
Ou exclusivo
p q
F F F
F V V
V F V
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V V F
Exemplo 1 Construir a tabela verdade da foacutermula ((p q) ~p) rarr (q ^p)
uma maneira mais faacutecil de construir a tabela verdade eacute colocar os valores
loacutegicos como segue abaixo
Apoacutes vamos
resolvendo de acordo
com os operadores loacutegicos
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V V
V V F V F V
F V V F V F
F F F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V
V V F F V F V
F V V V F V F
F F F V F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V
V F V F V
F V F V F
F F F F F
Resolver
primeiramente
depois
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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V V
V V F F V F F V
F V V V F V F F
F F F V F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V
V V F F F V F F V
F V V V V F V F F
F F F F V F F F F
e por uacuteltimo
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V V
V V F F F V V F F V
F V V V V F F V F F
F F F F V F V F F F
NUacuteMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
agora este
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Cada proposiccedilatildeo simples (atocircmica) tem dois valores V ou F que se
excluem Para n atocircmicas distintas haacute tantas possibilidades quantos satildeo os
arranjos com repeticcedilatildeo de 2 (V e F) elementos n a n Segue-se que o nuacutemero de
linhas da tabela verdade eacute 2n
Assim para duas proposiccedilotildees satildeo 22
= 4 linhas
para 3 proposiccedilotildees satildeo 23 = 8 etc
Exemplo a tabela - verdade da foacutermula ((p ^ q) rarr r) teraacute 8 linhas como segue
p q r ((p ^ q) rarr r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
A Ou Exclusivo (XOR) goza das propriedades da associatividade e
comutatividade conforme podemos relembrar
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Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a
Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades
As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital
A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade
Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais
Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O
Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute
mostrado na Figura a seguir
A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por
Figura 3 Desenho esquemaacutetico
Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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7 Nuacutemeros complexos eacute a soma dos nuacutemeros reais e dos imaginaacuterios
Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero entatildeo os conjuntos dos
nuacutemeros reais e o dos imaginaacuterios satildeo subconjuntos do conjunto dos
nuacutemeros complexos O siacutembolo usualmente representa este conjunto
Exerciacutecio resolvido 1
(USP) Depois de n dias de feacuterias um estudante observa que
- choveu 7 vezes de manhatilde ou agrave tarde
- quando chove de manhatilde natildeo chove agrave tarde
- houve cinco tardes sem chuva
- houve seis manhatildes sem chuva
Calcule o valor de n
Soluccedilatildeo
Seja M o conjunto dos dias que choveu pela manhatilde e T o conjunto dos dias que
choveu agrave tarde Chamando de M e T os conjuntos complementares de M e T
respectivamente teremos
n(T) = 5 (cinco tardes sem chuva) e n(M) = 6 (seis manhatildes sem chuva)
n(M T) = 0 ( quando chove pela manhatilde natildeo chove agrave tarde)
Assim
n(M T) = n(M) + n(T) ndash n(M T)
7 = n(M) + n(T) ndash 0
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Jaacute sabemos que
n(M) + n(T) = 5 + 6 = 11
Entatildeo teremos
n(M) + n(T) = 11
n(M) + N(T) = 7
Somando membro a membro as duas igualdades vem
n(M) + n(M) + n(T) + n(T) = 11 + 7 = 18
Mas jaacute temos que perceber n (M) + n(M) = total dos dias de feacuterias = n
E que n(T) + n(T) = total dos dias de feacuterias = n
Portanto substituindo vem
n + n = 18
2n = 18
n = 9
Resposta Foram nove dias de feacuterias ou seja n = 9 dias
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2 LOacuteGICA
O aprendizado da Loacutegica auxilia os estudantes no raciociacutenio na
compreensatildeo de conceitos baacutesicos na verificaccedilatildeo formal de programas e melhor
os prepara para o entendimento do conteuacutedo de toacutepicos mais avanccedilados
Esta unidade constitui uma introduccedilatildeo agrave Loacutegica elementar claacutessica
procurando alcanccedilar os objetivos gerais e especiacuteficos propostos pela disciplina
Loacutegica Matemaacutetica
21) Uma Classificaccedilatildeo da Loacutegica
Alguns autores dividem o estudo da Loacutegica em
bull LOacuteGICA INDUTIVA uacutetil no estudo da teoria da probabilidade
bull LOacuteGICA DEDUTIVA que pode ser dividida em
- LOacuteGICA CLAacuteSSICA- Considerada como o nuacutecleo da loacutegica
dedutiva Eacute o que chamamos hoje de caacutelculo de predicados de 1a
ordem com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas
Trecircs Princiacutepios (entre outros) regem a Loacutegica Claacutessica da
IDENTIDADE da CONTRADICcedilAtildeO e do TERCEIRO EXCLUIacuteDO os
quais seratildeo abordados mais adiante
- LOacuteGICAS COMPLEMENTARES DA CLAacuteSSICA
Complementam de algum modo a loacutegica claacutessica estendendo o seu
domiacutenio Exemplos loacutegicas modal deocircntica epistecircmica etc
- LOacuteGICAS NAtildeO - CLAacuteSSICAS Assim caracterizadas por
ldquoduvidarrdquo de algum ou alguns dos princiacutepios da loacutegica claacutessica
22) Desenvolvimento da Loacutegica
middot PERIacuteODO ARISTOTEacuteLICO (plusmn 390 aC a plusmn 1840 dC)
A histoacuteria da Loacutegica tem iniacutecio com o filoacutesofo grego ARISTOacuteTELES (384 -
322aC) de Estagira (hoje Estavo) na Macedocircnia Aristoacuteteles criou a ciecircncia da
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Loacutegica cuja essecircncia era a teoria do silogismo (certa forma de argumento vaacutelido)
Seus escritos foram reunidos na obra denominada Organon ou Instrumento da
Ciecircncia
Na Greacutecia distinguiram-se duas grandes escolas de Loacutegica a
PERIPATEacuteTICA (que derivava de Aristoacuteteles) e a ESTOacuteICA fundada por Zenatildeo
(326-264aC) A escola ESTOacuteICA foi desenvolvida por Crisipo (280-250aC) a
partir da escola MEGAacuteRIA (fundada por Euclides um seguidor de Soacutecrates)
Segundo Kneale e Kneale (O Desenvolvimento da Loacutegica) houve durante muitos
anos uma certa rivalidade entre os Peripateacuteticos e os Megaacuterios e que isto talvez
tenha prejudicado o desenvolvimento da loacutegica embora na verdade as teorias
destas escolas fossem complementares
middot PERIacuteODO BOOLEANO (plusmn 1840 a plusmn 1910)
Inicia-se com George Boole (1815-1864) e Augustus de Morgan (1806-
1871) publicaram os fundamentos da chamada aacutelgebra da loacutegica
respectivamente com Mathematical Analysis of Logic e formal Logic
Gotlob Frege (1848-1925) deu um grande passo no desenvolvimento da
loacutegica com a obra Begriffsschrift de 1879 as ideacuteias de Frege soacute foram
reconhecidas pelos outros matemaacuteticos partir de 1905 eacute devido a Frege o
desenvolvimento da loacutegica que se seguiu
Giuseppe Peano (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti Vacca Pieri
Paacutedoa Vailati etc quase toda simbologia da matemaacutetica se deve a essa escola
italiana
middotOutro periacuteodo importante
Com Bertrand Russell (1872-1970) E Alfred North Whitehead (1861-1947)
Inicia-se o Periacuteodo Atual da Loacutegica com a obra Principia Mathematica
David Hilbert (1862-1943) e sua escola alematilde com Von Neuman Bernays
Ackerman e Outros
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Kurt Goumldel (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983) com suas importantes
contribuiccedilotildees
Surgem as loacutegicas natildeo-claacutessicas NCA da Costa com as loacutegicas
paraconsistentes L A Zadeh com a loacutegica fuzzy e as contribuiccedilotildees dessas
loacutegicas para a informaacutetica no campo da inteligecircncia artificial com os sistemas
especialistas
Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Loacutegica englobam
muitas aacutereas do conhecimento
23) Caacutelculo Proposicional
Como primeira e indispensaacutevel parte da loacutegica matemaacutetica temos o caacutelculo
proposicional ou caacutelculo sentencial ou ainda caacutelculo das sentenccedilas
PROPOSICcedilAtildeO sentenccedilas declarativas afirmativas (expressatildeo de uma
linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa
middot A lua eacute um sateacutelite da Terra
middot Esse limatildeo eacute verde
middot Matemaacutetica eacute uma ciecircncia
231) Os Siacutembolos da Linguagem do Caacutelculo Proposicional
middot
VARIAacuteVEIS PROPOSICIONAIS letras latinas minuacutesculas pqrs para indicar
as proposiccedilotildees (foacutermulas atocircmicas)
Exemplos A lua eacute um sateacutelite da Terra p
Esse limatildeo eacute verde q
middot CONECTIVOS LOacuteGICOS As foacutermulas atocircmicas podem ser combinadas entre
si e para representar tais combinaccedilotildees usaremos os conectivos loacutegicos
^ e ou rarr seentatildeo se e somente se ~ natildeo
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Exemplos
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde p ^ q (p e q satildeo chamados
conjuntos)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra ou esse limatildeo eacute verde p q ( p e q satildeo chamados
disjuntos)
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra entatildeo esse limatildeo eacute verde p rarrq ( p eacute o
antecedente e q o consequente)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra se e somente se esse limatildeo eacute verde p q
middot A lua natildeo eacute o sateacutelite da Terra ~p
232) SIacuteMBOLOS AUXILIARES
( ) parecircnteses que servem para denotar o alcance dos conectivos
Exemplos
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde entatildeo a lua natildeo eacute o sateacutelite
da Terra
((p ^ q) rarr ~ p)
233) Definiccedilatildeo de foacutermula
1 Toda foacutermula atocircmica eacute uma foacutermula
2 Se A e B satildeo foacutermulas entatildeo
(A ^ B) (A B) (A rarr B) (A B) e (~ A) tambeacutem satildeo foacutermulas
3 Satildeo foacutermulas apenas as obtidas por 1 e 2
Os parecircnteses seratildeo usados segundo a seguinte ordem dos conectivos ~ ^
rarr
Com o mesmo conectivo adotaremos a convenccedilatildeo pela direita
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Exemplo a foacutermula p ^ q ~ rrarr p ~ q deve ser entendida como
(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))
24) Tabela verdade
A loacutegica claacutessica eacute governada por trecircs princiacutepios (entre outros) que podem ser
formulados como segue
I Princiacutepio da Identidade Todo objeto eacute idecircntico a si mesmo
II Princiacutepio da Contradiccedilatildeo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias (uma eacute
negaccedilatildeo da outra) uma delas eacute falsa
III Princiacutepio do Terceiro Excluiacutedo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias uma
delas eacute verdadeira
Com base nesses princiacutepios as proposiccedilotildees simples satildeo ou verdadeiras ou
falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos daiacute dizer que a loacutegica
claacutessica eacute bivalente
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposiccedilotildees compostas
(moleculares) conhecidos os valores das proposiccedilotildees simples (atocircmicas) que
as compotildeem usaremos tabelas-verdade
1Tabela verdade da negaccedilatildeo ~p eacute verdadeira (falsa) se e somente se p
eacute falsa (verdadeira)
p ~p
V F
F V
2 Tabela verdade da conjunccedilatildeo a conjunccedilatildeo eacute verdadeira se e somente
os conjunctos satildeo verdadeiros
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p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
3 Tabela verdade da disjunccedilatildeo a disjunccedilatildeo eacute falsa se e somente os
disjuntos satildeo falsos
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
4 Tabela verdade da implicaccedilatildeo a implicaccedilatildeo eacute falsa se e somente se
o antecedente eacute verdadeiro e o consequumlente eacute falso
p q p rarr q
V V V
V F F
F V V
F F V
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5 Tabela verdade da bi-implicaccedilatildeo a bi-implicaccedilatildeo eacute verdadeira se e
somente se seus componentes satildeo ou ambos verdadeiros ou ambos falsos
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
6 A disjunccedilatildeo exclusiva (escrito como ou ne) eacute uma operaccedilatildeo sobre dois
ou mais valores loacutegicos tipicamente os valores de duas proposiccedilotildees que produz
um valor verdadeiro apenas se V(p) V(q)
Ou exclusivo chamada tambeacutem disjunccedilatildeo exclusiva conhecido geralmente
por XOR ou por EOR (tambeacutem XOU ou EOU) eacute uma operaccedilatildeo loacutegica em dois
operandos que resulta em um valor loacutegico verdadeiro se e somente se
exactamente um dos operandos tem um valor verdadeiro
Denotaremos a disjunccedilatildeo exclusiva de p e q por p q
E leremos ldquop ou q mas natildeo ambasrdquo
Ou exclusivo
p q
F F F
F V V
V F V
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V V F
Exemplo 1 Construir a tabela verdade da foacutermula ((p q) ~p) rarr (q ^p)
uma maneira mais faacutecil de construir a tabela verdade eacute colocar os valores
loacutegicos como segue abaixo
Apoacutes vamos
resolvendo de acordo
com os operadores loacutegicos
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V V
V V F V F V
F V V F V F
F F F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V
V V F F V F V
F V V V F V F
F F F V F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V
V F V F V
F V F V F
F F F F F
Resolver
primeiramente
depois
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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V V
V V F F V F F V
F V V V F V F F
F F F V F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V
V V F F F V F F V
F V V V V F V F F
F F F F V F F F F
e por uacuteltimo
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V V
V V F F F V V F F V
F V V V V F F V F F
F F F F V F V F F F
NUacuteMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
agora este
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Cada proposiccedilatildeo simples (atocircmica) tem dois valores V ou F que se
excluem Para n atocircmicas distintas haacute tantas possibilidades quantos satildeo os
arranjos com repeticcedilatildeo de 2 (V e F) elementos n a n Segue-se que o nuacutemero de
linhas da tabela verdade eacute 2n
Assim para duas proposiccedilotildees satildeo 22
= 4 linhas
para 3 proposiccedilotildees satildeo 23 = 8 etc
Exemplo a tabela - verdade da foacutermula ((p ^ q) rarr r) teraacute 8 linhas como segue
p q r ((p ^ q) rarr r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
A Ou Exclusivo (XOR) goza das propriedades da associatividade e
comutatividade conforme podemos relembrar
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Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a
Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades
As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital
A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade
Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais
Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O
Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute
mostrado na Figura a seguir
A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por
Figura 3 Desenho esquemaacutetico
Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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Jaacute sabemos que
n(M) + n(T) = 5 + 6 = 11
Entatildeo teremos
n(M) + n(T) = 11
n(M) + N(T) = 7
Somando membro a membro as duas igualdades vem
n(M) + n(M) + n(T) + n(T) = 11 + 7 = 18
Mas jaacute temos que perceber n (M) + n(M) = total dos dias de feacuterias = n
E que n(T) + n(T) = total dos dias de feacuterias = n
Portanto substituindo vem
n + n = 18
2n = 18
n = 9
Resposta Foram nove dias de feacuterias ou seja n = 9 dias
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2 LOacuteGICA
O aprendizado da Loacutegica auxilia os estudantes no raciociacutenio na
compreensatildeo de conceitos baacutesicos na verificaccedilatildeo formal de programas e melhor
os prepara para o entendimento do conteuacutedo de toacutepicos mais avanccedilados
Esta unidade constitui uma introduccedilatildeo agrave Loacutegica elementar claacutessica
procurando alcanccedilar os objetivos gerais e especiacuteficos propostos pela disciplina
Loacutegica Matemaacutetica
21) Uma Classificaccedilatildeo da Loacutegica
Alguns autores dividem o estudo da Loacutegica em
bull LOacuteGICA INDUTIVA uacutetil no estudo da teoria da probabilidade
bull LOacuteGICA DEDUTIVA que pode ser dividida em
- LOacuteGICA CLAacuteSSICA- Considerada como o nuacutecleo da loacutegica
dedutiva Eacute o que chamamos hoje de caacutelculo de predicados de 1a
ordem com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas
Trecircs Princiacutepios (entre outros) regem a Loacutegica Claacutessica da
IDENTIDADE da CONTRADICcedilAtildeO e do TERCEIRO EXCLUIacuteDO os
quais seratildeo abordados mais adiante
- LOacuteGICAS COMPLEMENTARES DA CLAacuteSSICA
Complementam de algum modo a loacutegica claacutessica estendendo o seu
domiacutenio Exemplos loacutegicas modal deocircntica epistecircmica etc
- LOacuteGICAS NAtildeO - CLAacuteSSICAS Assim caracterizadas por
ldquoduvidarrdquo de algum ou alguns dos princiacutepios da loacutegica claacutessica
22) Desenvolvimento da Loacutegica
middot PERIacuteODO ARISTOTEacuteLICO (plusmn 390 aC a plusmn 1840 dC)
A histoacuteria da Loacutegica tem iniacutecio com o filoacutesofo grego ARISTOacuteTELES (384 -
322aC) de Estagira (hoje Estavo) na Macedocircnia Aristoacuteteles criou a ciecircncia da
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Loacutegica cuja essecircncia era a teoria do silogismo (certa forma de argumento vaacutelido)
Seus escritos foram reunidos na obra denominada Organon ou Instrumento da
Ciecircncia
Na Greacutecia distinguiram-se duas grandes escolas de Loacutegica a
PERIPATEacuteTICA (que derivava de Aristoacuteteles) e a ESTOacuteICA fundada por Zenatildeo
(326-264aC) A escola ESTOacuteICA foi desenvolvida por Crisipo (280-250aC) a
partir da escola MEGAacuteRIA (fundada por Euclides um seguidor de Soacutecrates)
Segundo Kneale e Kneale (O Desenvolvimento da Loacutegica) houve durante muitos
anos uma certa rivalidade entre os Peripateacuteticos e os Megaacuterios e que isto talvez
tenha prejudicado o desenvolvimento da loacutegica embora na verdade as teorias
destas escolas fossem complementares
middot PERIacuteODO BOOLEANO (plusmn 1840 a plusmn 1910)
Inicia-se com George Boole (1815-1864) e Augustus de Morgan (1806-
1871) publicaram os fundamentos da chamada aacutelgebra da loacutegica
respectivamente com Mathematical Analysis of Logic e formal Logic
Gotlob Frege (1848-1925) deu um grande passo no desenvolvimento da
loacutegica com a obra Begriffsschrift de 1879 as ideacuteias de Frege soacute foram
reconhecidas pelos outros matemaacuteticos partir de 1905 eacute devido a Frege o
desenvolvimento da loacutegica que se seguiu
Giuseppe Peano (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti Vacca Pieri
Paacutedoa Vailati etc quase toda simbologia da matemaacutetica se deve a essa escola
italiana
middotOutro periacuteodo importante
Com Bertrand Russell (1872-1970) E Alfred North Whitehead (1861-1947)
Inicia-se o Periacuteodo Atual da Loacutegica com a obra Principia Mathematica
David Hilbert (1862-1943) e sua escola alematilde com Von Neuman Bernays
Ackerman e Outros
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Kurt Goumldel (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983) com suas importantes
contribuiccedilotildees
Surgem as loacutegicas natildeo-claacutessicas NCA da Costa com as loacutegicas
paraconsistentes L A Zadeh com a loacutegica fuzzy e as contribuiccedilotildees dessas
loacutegicas para a informaacutetica no campo da inteligecircncia artificial com os sistemas
especialistas
Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Loacutegica englobam
muitas aacutereas do conhecimento
23) Caacutelculo Proposicional
Como primeira e indispensaacutevel parte da loacutegica matemaacutetica temos o caacutelculo
proposicional ou caacutelculo sentencial ou ainda caacutelculo das sentenccedilas
PROPOSICcedilAtildeO sentenccedilas declarativas afirmativas (expressatildeo de uma
linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa
middot A lua eacute um sateacutelite da Terra
middot Esse limatildeo eacute verde
middot Matemaacutetica eacute uma ciecircncia
231) Os Siacutembolos da Linguagem do Caacutelculo Proposicional
middot
VARIAacuteVEIS PROPOSICIONAIS letras latinas minuacutesculas pqrs para indicar
as proposiccedilotildees (foacutermulas atocircmicas)
Exemplos A lua eacute um sateacutelite da Terra p
Esse limatildeo eacute verde q
middot CONECTIVOS LOacuteGICOS As foacutermulas atocircmicas podem ser combinadas entre
si e para representar tais combinaccedilotildees usaremos os conectivos loacutegicos
^ e ou rarr seentatildeo se e somente se ~ natildeo
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Exemplos
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde p ^ q (p e q satildeo chamados
conjuntos)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra ou esse limatildeo eacute verde p q ( p e q satildeo chamados
disjuntos)
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra entatildeo esse limatildeo eacute verde p rarrq ( p eacute o
antecedente e q o consequente)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra se e somente se esse limatildeo eacute verde p q
middot A lua natildeo eacute o sateacutelite da Terra ~p
232) SIacuteMBOLOS AUXILIARES
( ) parecircnteses que servem para denotar o alcance dos conectivos
Exemplos
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde entatildeo a lua natildeo eacute o sateacutelite
da Terra
((p ^ q) rarr ~ p)
233) Definiccedilatildeo de foacutermula
1 Toda foacutermula atocircmica eacute uma foacutermula
2 Se A e B satildeo foacutermulas entatildeo
(A ^ B) (A B) (A rarr B) (A B) e (~ A) tambeacutem satildeo foacutermulas
3 Satildeo foacutermulas apenas as obtidas por 1 e 2
Os parecircnteses seratildeo usados segundo a seguinte ordem dos conectivos ~ ^
rarr
Com o mesmo conectivo adotaremos a convenccedilatildeo pela direita
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Exemplo a foacutermula p ^ q ~ rrarr p ~ q deve ser entendida como
(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))
24) Tabela verdade
A loacutegica claacutessica eacute governada por trecircs princiacutepios (entre outros) que podem ser
formulados como segue
I Princiacutepio da Identidade Todo objeto eacute idecircntico a si mesmo
II Princiacutepio da Contradiccedilatildeo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias (uma eacute
negaccedilatildeo da outra) uma delas eacute falsa
III Princiacutepio do Terceiro Excluiacutedo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias uma
delas eacute verdadeira
Com base nesses princiacutepios as proposiccedilotildees simples satildeo ou verdadeiras ou
falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos daiacute dizer que a loacutegica
claacutessica eacute bivalente
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposiccedilotildees compostas
(moleculares) conhecidos os valores das proposiccedilotildees simples (atocircmicas) que
as compotildeem usaremos tabelas-verdade
1Tabela verdade da negaccedilatildeo ~p eacute verdadeira (falsa) se e somente se p
eacute falsa (verdadeira)
p ~p
V F
F V
2 Tabela verdade da conjunccedilatildeo a conjunccedilatildeo eacute verdadeira se e somente
os conjunctos satildeo verdadeiros
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p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
3 Tabela verdade da disjunccedilatildeo a disjunccedilatildeo eacute falsa se e somente os
disjuntos satildeo falsos
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
4 Tabela verdade da implicaccedilatildeo a implicaccedilatildeo eacute falsa se e somente se
o antecedente eacute verdadeiro e o consequumlente eacute falso
p q p rarr q
V V V
V F F
F V V
F F V
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5 Tabela verdade da bi-implicaccedilatildeo a bi-implicaccedilatildeo eacute verdadeira se e
somente se seus componentes satildeo ou ambos verdadeiros ou ambos falsos
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
6 A disjunccedilatildeo exclusiva (escrito como ou ne) eacute uma operaccedilatildeo sobre dois
ou mais valores loacutegicos tipicamente os valores de duas proposiccedilotildees que produz
um valor verdadeiro apenas se V(p) V(q)
Ou exclusivo chamada tambeacutem disjunccedilatildeo exclusiva conhecido geralmente
por XOR ou por EOR (tambeacutem XOU ou EOU) eacute uma operaccedilatildeo loacutegica em dois
operandos que resulta em um valor loacutegico verdadeiro se e somente se
exactamente um dos operandos tem um valor verdadeiro
Denotaremos a disjunccedilatildeo exclusiva de p e q por p q
E leremos ldquop ou q mas natildeo ambasrdquo
Ou exclusivo
p q
F F F
F V V
V F V
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V V F
Exemplo 1 Construir a tabela verdade da foacutermula ((p q) ~p) rarr (q ^p)
uma maneira mais faacutecil de construir a tabela verdade eacute colocar os valores
loacutegicos como segue abaixo
Apoacutes vamos
resolvendo de acordo
com os operadores loacutegicos
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V V
V V F V F V
F V V F V F
F F F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V
V V F F V F V
F V V V F V F
F F F V F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V
V F V F V
F V F V F
F F F F F
Resolver
primeiramente
depois
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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V V
V V F F V F F V
F V V V F V F F
F F F V F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V
V V F F F V F F V
F V V V V F V F F
F F F F V F F F F
e por uacuteltimo
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V V
V V F F F V V F F V
F V V V V F F V F F
F F F F V F V F F F
NUacuteMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
agora este
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Cada proposiccedilatildeo simples (atocircmica) tem dois valores V ou F que se
excluem Para n atocircmicas distintas haacute tantas possibilidades quantos satildeo os
arranjos com repeticcedilatildeo de 2 (V e F) elementos n a n Segue-se que o nuacutemero de
linhas da tabela verdade eacute 2n
Assim para duas proposiccedilotildees satildeo 22
= 4 linhas
para 3 proposiccedilotildees satildeo 23 = 8 etc
Exemplo a tabela - verdade da foacutermula ((p ^ q) rarr r) teraacute 8 linhas como segue
p q r ((p ^ q) rarr r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
A Ou Exclusivo (XOR) goza das propriedades da associatividade e
comutatividade conforme podemos relembrar
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Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a
Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades
As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital
A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade
Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais
Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O
Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute
mostrado na Figura a seguir
A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por
Figura 3 Desenho esquemaacutetico
Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
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GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
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MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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(1981)
PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta
httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
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SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
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2 LOacuteGICA
O aprendizado da Loacutegica auxilia os estudantes no raciociacutenio na
compreensatildeo de conceitos baacutesicos na verificaccedilatildeo formal de programas e melhor
os prepara para o entendimento do conteuacutedo de toacutepicos mais avanccedilados
Esta unidade constitui uma introduccedilatildeo agrave Loacutegica elementar claacutessica
procurando alcanccedilar os objetivos gerais e especiacuteficos propostos pela disciplina
Loacutegica Matemaacutetica
21) Uma Classificaccedilatildeo da Loacutegica
Alguns autores dividem o estudo da Loacutegica em
bull LOacuteGICA INDUTIVA uacutetil no estudo da teoria da probabilidade
bull LOacuteGICA DEDUTIVA que pode ser dividida em
- LOacuteGICA CLAacuteSSICA- Considerada como o nuacutecleo da loacutegica
dedutiva Eacute o que chamamos hoje de caacutelculo de predicados de 1a
ordem com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas
Trecircs Princiacutepios (entre outros) regem a Loacutegica Claacutessica da
IDENTIDADE da CONTRADICcedilAtildeO e do TERCEIRO EXCLUIacuteDO os
quais seratildeo abordados mais adiante
- LOacuteGICAS COMPLEMENTARES DA CLAacuteSSICA
Complementam de algum modo a loacutegica claacutessica estendendo o seu
domiacutenio Exemplos loacutegicas modal deocircntica epistecircmica etc
- LOacuteGICAS NAtildeO - CLAacuteSSICAS Assim caracterizadas por
ldquoduvidarrdquo de algum ou alguns dos princiacutepios da loacutegica claacutessica
22) Desenvolvimento da Loacutegica
middot PERIacuteODO ARISTOTEacuteLICO (plusmn 390 aC a plusmn 1840 dC)
A histoacuteria da Loacutegica tem iniacutecio com o filoacutesofo grego ARISTOacuteTELES (384 -
322aC) de Estagira (hoje Estavo) na Macedocircnia Aristoacuteteles criou a ciecircncia da
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Loacutegica cuja essecircncia era a teoria do silogismo (certa forma de argumento vaacutelido)
Seus escritos foram reunidos na obra denominada Organon ou Instrumento da
Ciecircncia
Na Greacutecia distinguiram-se duas grandes escolas de Loacutegica a
PERIPATEacuteTICA (que derivava de Aristoacuteteles) e a ESTOacuteICA fundada por Zenatildeo
(326-264aC) A escola ESTOacuteICA foi desenvolvida por Crisipo (280-250aC) a
partir da escola MEGAacuteRIA (fundada por Euclides um seguidor de Soacutecrates)
Segundo Kneale e Kneale (O Desenvolvimento da Loacutegica) houve durante muitos
anos uma certa rivalidade entre os Peripateacuteticos e os Megaacuterios e que isto talvez
tenha prejudicado o desenvolvimento da loacutegica embora na verdade as teorias
destas escolas fossem complementares
middot PERIacuteODO BOOLEANO (plusmn 1840 a plusmn 1910)
Inicia-se com George Boole (1815-1864) e Augustus de Morgan (1806-
1871) publicaram os fundamentos da chamada aacutelgebra da loacutegica
respectivamente com Mathematical Analysis of Logic e formal Logic
Gotlob Frege (1848-1925) deu um grande passo no desenvolvimento da
loacutegica com a obra Begriffsschrift de 1879 as ideacuteias de Frege soacute foram
reconhecidas pelos outros matemaacuteticos partir de 1905 eacute devido a Frege o
desenvolvimento da loacutegica que se seguiu
Giuseppe Peano (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti Vacca Pieri
Paacutedoa Vailati etc quase toda simbologia da matemaacutetica se deve a essa escola
italiana
middotOutro periacuteodo importante
Com Bertrand Russell (1872-1970) E Alfred North Whitehead (1861-1947)
Inicia-se o Periacuteodo Atual da Loacutegica com a obra Principia Mathematica
David Hilbert (1862-1943) e sua escola alematilde com Von Neuman Bernays
Ackerman e Outros
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Kurt Goumldel (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983) com suas importantes
contribuiccedilotildees
Surgem as loacutegicas natildeo-claacutessicas NCA da Costa com as loacutegicas
paraconsistentes L A Zadeh com a loacutegica fuzzy e as contribuiccedilotildees dessas
loacutegicas para a informaacutetica no campo da inteligecircncia artificial com os sistemas
especialistas
Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Loacutegica englobam
muitas aacutereas do conhecimento
23) Caacutelculo Proposicional
Como primeira e indispensaacutevel parte da loacutegica matemaacutetica temos o caacutelculo
proposicional ou caacutelculo sentencial ou ainda caacutelculo das sentenccedilas
PROPOSICcedilAtildeO sentenccedilas declarativas afirmativas (expressatildeo de uma
linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa
middot A lua eacute um sateacutelite da Terra
middot Esse limatildeo eacute verde
middot Matemaacutetica eacute uma ciecircncia
231) Os Siacutembolos da Linguagem do Caacutelculo Proposicional
middot
VARIAacuteVEIS PROPOSICIONAIS letras latinas minuacutesculas pqrs para indicar
as proposiccedilotildees (foacutermulas atocircmicas)
Exemplos A lua eacute um sateacutelite da Terra p
Esse limatildeo eacute verde q
middot CONECTIVOS LOacuteGICOS As foacutermulas atocircmicas podem ser combinadas entre
si e para representar tais combinaccedilotildees usaremos os conectivos loacutegicos
^ e ou rarr seentatildeo se e somente se ~ natildeo
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Exemplos
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde p ^ q (p e q satildeo chamados
conjuntos)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra ou esse limatildeo eacute verde p q ( p e q satildeo chamados
disjuntos)
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra entatildeo esse limatildeo eacute verde p rarrq ( p eacute o
antecedente e q o consequente)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra se e somente se esse limatildeo eacute verde p q
middot A lua natildeo eacute o sateacutelite da Terra ~p
232) SIacuteMBOLOS AUXILIARES
( ) parecircnteses que servem para denotar o alcance dos conectivos
Exemplos
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde entatildeo a lua natildeo eacute o sateacutelite
da Terra
((p ^ q) rarr ~ p)
233) Definiccedilatildeo de foacutermula
1 Toda foacutermula atocircmica eacute uma foacutermula
2 Se A e B satildeo foacutermulas entatildeo
(A ^ B) (A B) (A rarr B) (A B) e (~ A) tambeacutem satildeo foacutermulas
3 Satildeo foacutermulas apenas as obtidas por 1 e 2
Os parecircnteses seratildeo usados segundo a seguinte ordem dos conectivos ~ ^
rarr
Com o mesmo conectivo adotaremos a convenccedilatildeo pela direita
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Exemplo a foacutermula p ^ q ~ rrarr p ~ q deve ser entendida como
(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))
24) Tabela verdade
A loacutegica claacutessica eacute governada por trecircs princiacutepios (entre outros) que podem ser
formulados como segue
I Princiacutepio da Identidade Todo objeto eacute idecircntico a si mesmo
II Princiacutepio da Contradiccedilatildeo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias (uma eacute
negaccedilatildeo da outra) uma delas eacute falsa
III Princiacutepio do Terceiro Excluiacutedo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias uma
delas eacute verdadeira
Com base nesses princiacutepios as proposiccedilotildees simples satildeo ou verdadeiras ou
falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos daiacute dizer que a loacutegica
claacutessica eacute bivalente
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposiccedilotildees compostas
(moleculares) conhecidos os valores das proposiccedilotildees simples (atocircmicas) que
as compotildeem usaremos tabelas-verdade
1Tabela verdade da negaccedilatildeo ~p eacute verdadeira (falsa) se e somente se p
eacute falsa (verdadeira)
p ~p
V F
F V
2 Tabela verdade da conjunccedilatildeo a conjunccedilatildeo eacute verdadeira se e somente
os conjunctos satildeo verdadeiros
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p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
3 Tabela verdade da disjunccedilatildeo a disjunccedilatildeo eacute falsa se e somente os
disjuntos satildeo falsos
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
4 Tabela verdade da implicaccedilatildeo a implicaccedilatildeo eacute falsa se e somente se
o antecedente eacute verdadeiro e o consequumlente eacute falso
p q p rarr q
V V V
V F F
F V V
F F V
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5 Tabela verdade da bi-implicaccedilatildeo a bi-implicaccedilatildeo eacute verdadeira se e
somente se seus componentes satildeo ou ambos verdadeiros ou ambos falsos
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
6 A disjunccedilatildeo exclusiva (escrito como ou ne) eacute uma operaccedilatildeo sobre dois
ou mais valores loacutegicos tipicamente os valores de duas proposiccedilotildees que produz
um valor verdadeiro apenas se V(p) V(q)
Ou exclusivo chamada tambeacutem disjunccedilatildeo exclusiva conhecido geralmente
por XOR ou por EOR (tambeacutem XOU ou EOU) eacute uma operaccedilatildeo loacutegica em dois
operandos que resulta em um valor loacutegico verdadeiro se e somente se
exactamente um dos operandos tem um valor verdadeiro
Denotaremos a disjunccedilatildeo exclusiva de p e q por p q
E leremos ldquop ou q mas natildeo ambasrdquo
Ou exclusivo
p q
F F F
F V V
V F V
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V V F
Exemplo 1 Construir a tabela verdade da foacutermula ((p q) ~p) rarr (q ^p)
uma maneira mais faacutecil de construir a tabela verdade eacute colocar os valores
loacutegicos como segue abaixo
Apoacutes vamos
resolvendo de acordo
com os operadores loacutegicos
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V V
V V F V F V
F V V F V F
F F F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V
V V F F V F V
F V V V F V F
F F F V F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V
V F V F V
F V F V F
F F F F F
Resolver
primeiramente
depois
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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V V
V V F F V F F V
F V V V F V F F
F F F V F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V
V V F F F V F F V
F V V V V F V F F
F F F F V F F F F
e por uacuteltimo
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V V
V V F F F V V F F V
F V V V V F F V F F
F F F F V F V F F F
NUacuteMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
agora este
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Cada proposiccedilatildeo simples (atocircmica) tem dois valores V ou F que se
excluem Para n atocircmicas distintas haacute tantas possibilidades quantos satildeo os
arranjos com repeticcedilatildeo de 2 (V e F) elementos n a n Segue-se que o nuacutemero de
linhas da tabela verdade eacute 2n
Assim para duas proposiccedilotildees satildeo 22
= 4 linhas
para 3 proposiccedilotildees satildeo 23 = 8 etc
Exemplo a tabela - verdade da foacutermula ((p ^ q) rarr r) teraacute 8 linhas como segue
p q r ((p ^ q) rarr r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
A Ou Exclusivo (XOR) goza das propriedades da associatividade e
comutatividade conforme podemos relembrar
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Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a
Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades
As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital
A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade
Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais
Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O
Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute
mostrado na Figura a seguir
A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por
Figura 3 Desenho esquemaacutetico
Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
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GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
RJ LTC (2001)
MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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MORETTIN PA Meacutetodos quantitativos para economistas e administradores
(1981)
PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta
httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
aprender Porto Alegre ArtMed (1998) 177 p ISBN 85-7307-356-X
SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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Loacutegica cuja essecircncia era a teoria do silogismo (certa forma de argumento vaacutelido)
Seus escritos foram reunidos na obra denominada Organon ou Instrumento da
Ciecircncia
Na Greacutecia distinguiram-se duas grandes escolas de Loacutegica a
PERIPATEacuteTICA (que derivava de Aristoacuteteles) e a ESTOacuteICA fundada por Zenatildeo
(326-264aC) A escola ESTOacuteICA foi desenvolvida por Crisipo (280-250aC) a
partir da escola MEGAacuteRIA (fundada por Euclides um seguidor de Soacutecrates)
Segundo Kneale e Kneale (O Desenvolvimento da Loacutegica) houve durante muitos
anos uma certa rivalidade entre os Peripateacuteticos e os Megaacuterios e que isto talvez
tenha prejudicado o desenvolvimento da loacutegica embora na verdade as teorias
destas escolas fossem complementares
middot PERIacuteODO BOOLEANO (plusmn 1840 a plusmn 1910)
Inicia-se com George Boole (1815-1864) e Augustus de Morgan (1806-
1871) publicaram os fundamentos da chamada aacutelgebra da loacutegica
respectivamente com Mathematical Analysis of Logic e formal Logic
Gotlob Frege (1848-1925) deu um grande passo no desenvolvimento da
loacutegica com a obra Begriffsschrift de 1879 as ideacuteias de Frege soacute foram
reconhecidas pelos outros matemaacuteticos partir de 1905 eacute devido a Frege o
desenvolvimento da loacutegica que se seguiu
Giuseppe Peano (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti Vacca Pieri
Paacutedoa Vailati etc quase toda simbologia da matemaacutetica se deve a essa escola
italiana
middotOutro periacuteodo importante
Com Bertrand Russell (1872-1970) E Alfred North Whitehead (1861-1947)
Inicia-se o Periacuteodo Atual da Loacutegica com a obra Principia Mathematica
David Hilbert (1862-1943) e sua escola alematilde com Von Neuman Bernays
Ackerman e Outros
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Kurt Goumldel (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983) com suas importantes
contribuiccedilotildees
Surgem as loacutegicas natildeo-claacutessicas NCA da Costa com as loacutegicas
paraconsistentes L A Zadeh com a loacutegica fuzzy e as contribuiccedilotildees dessas
loacutegicas para a informaacutetica no campo da inteligecircncia artificial com os sistemas
especialistas
Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Loacutegica englobam
muitas aacutereas do conhecimento
23) Caacutelculo Proposicional
Como primeira e indispensaacutevel parte da loacutegica matemaacutetica temos o caacutelculo
proposicional ou caacutelculo sentencial ou ainda caacutelculo das sentenccedilas
PROPOSICcedilAtildeO sentenccedilas declarativas afirmativas (expressatildeo de uma
linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa
middot A lua eacute um sateacutelite da Terra
middot Esse limatildeo eacute verde
middot Matemaacutetica eacute uma ciecircncia
231) Os Siacutembolos da Linguagem do Caacutelculo Proposicional
middot
VARIAacuteVEIS PROPOSICIONAIS letras latinas minuacutesculas pqrs para indicar
as proposiccedilotildees (foacutermulas atocircmicas)
Exemplos A lua eacute um sateacutelite da Terra p
Esse limatildeo eacute verde q
middot CONECTIVOS LOacuteGICOS As foacutermulas atocircmicas podem ser combinadas entre
si e para representar tais combinaccedilotildees usaremos os conectivos loacutegicos
^ e ou rarr seentatildeo se e somente se ~ natildeo
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Exemplos
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde p ^ q (p e q satildeo chamados
conjuntos)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra ou esse limatildeo eacute verde p q ( p e q satildeo chamados
disjuntos)
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra entatildeo esse limatildeo eacute verde p rarrq ( p eacute o
antecedente e q o consequente)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra se e somente se esse limatildeo eacute verde p q
middot A lua natildeo eacute o sateacutelite da Terra ~p
232) SIacuteMBOLOS AUXILIARES
( ) parecircnteses que servem para denotar o alcance dos conectivos
Exemplos
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde entatildeo a lua natildeo eacute o sateacutelite
da Terra
((p ^ q) rarr ~ p)
233) Definiccedilatildeo de foacutermula
1 Toda foacutermula atocircmica eacute uma foacutermula
2 Se A e B satildeo foacutermulas entatildeo
(A ^ B) (A B) (A rarr B) (A B) e (~ A) tambeacutem satildeo foacutermulas
3 Satildeo foacutermulas apenas as obtidas por 1 e 2
Os parecircnteses seratildeo usados segundo a seguinte ordem dos conectivos ~ ^
rarr
Com o mesmo conectivo adotaremos a convenccedilatildeo pela direita
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Exemplo a foacutermula p ^ q ~ rrarr p ~ q deve ser entendida como
(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))
24) Tabela verdade
A loacutegica claacutessica eacute governada por trecircs princiacutepios (entre outros) que podem ser
formulados como segue
I Princiacutepio da Identidade Todo objeto eacute idecircntico a si mesmo
II Princiacutepio da Contradiccedilatildeo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias (uma eacute
negaccedilatildeo da outra) uma delas eacute falsa
III Princiacutepio do Terceiro Excluiacutedo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias uma
delas eacute verdadeira
Com base nesses princiacutepios as proposiccedilotildees simples satildeo ou verdadeiras ou
falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos daiacute dizer que a loacutegica
claacutessica eacute bivalente
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposiccedilotildees compostas
(moleculares) conhecidos os valores das proposiccedilotildees simples (atocircmicas) que
as compotildeem usaremos tabelas-verdade
1Tabela verdade da negaccedilatildeo ~p eacute verdadeira (falsa) se e somente se p
eacute falsa (verdadeira)
p ~p
V F
F V
2 Tabela verdade da conjunccedilatildeo a conjunccedilatildeo eacute verdadeira se e somente
os conjunctos satildeo verdadeiros
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p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
3 Tabela verdade da disjunccedilatildeo a disjunccedilatildeo eacute falsa se e somente os
disjuntos satildeo falsos
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
4 Tabela verdade da implicaccedilatildeo a implicaccedilatildeo eacute falsa se e somente se
o antecedente eacute verdadeiro e o consequumlente eacute falso
p q p rarr q
V V V
V F F
F V V
F F V
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5 Tabela verdade da bi-implicaccedilatildeo a bi-implicaccedilatildeo eacute verdadeira se e
somente se seus componentes satildeo ou ambos verdadeiros ou ambos falsos
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
6 A disjunccedilatildeo exclusiva (escrito como ou ne) eacute uma operaccedilatildeo sobre dois
ou mais valores loacutegicos tipicamente os valores de duas proposiccedilotildees que produz
um valor verdadeiro apenas se V(p) V(q)
Ou exclusivo chamada tambeacutem disjunccedilatildeo exclusiva conhecido geralmente
por XOR ou por EOR (tambeacutem XOU ou EOU) eacute uma operaccedilatildeo loacutegica em dois
operandos que resulta em um valor loacutegico verdadeiro se e somente se
exactamente um dos operandos tem um valor verdadeiro
Denotaremos a disjunccedilatildeo exclusiva de p e q por p q
E leremos ldquop ou q mas natildeo ambasrdquo
Ou exclusivo
p q
F F F
F V V
V F V
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V V F
Exemplo 1 Construir a tabela verdade da foacutermula ((p q) ~p) rarr (q ^p)
uma maneira mais faacutecil de construir a tabela verdade eacute colocar os valores
loacutegicos como segue abaixo
Apoacutes vamos
resolvendo de acordo
com os operadores loacutegicos
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V V
V V F V F V
F V V F V F
F F F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V
V V F F V F V
F V V V F V F
F F F V F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V
V F V F V
F V F V F
F F F F F
Resolver
primeiramente
depois
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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V V
V V F F V F F V
F V V V F V F F
F F F V F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V
V V F F F V F F V
F V V V V F V F F
F F F F V F F F F
e por uacuteltimo
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V V
V V F F F V V F F V
F V V V V F F V F F
F F F F V F V F F F
NUacuteMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
agora este
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Cada proposiccedilatildeo simples (atocircmica) tem dois valores V ou F que se
excluem Para n atocircmicas distintas haacute tantas possibilidades quantos satildeo os
arranjos com repeticcedilatildeo de 2 (V e F) elementos n a n Segue-se que o nuacutemero de
linhas da tabela verdade eacute 2n
Assim para duas proposiccedilotildees satildeo 22
= 4 linhas
para 3 proposiccedilotildees satildeo 23 = 8 etc
Exemplo a tabela - verdade da foacutermula ((p ^ q) rarr r) teraacute 8 linhas como segue
p q r ((p ^ q) rarr r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
A Ou Exclusivo (XOR) goza das propriedades da associatividade e
comutatividade conforme podemos relembrar
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Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a
Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades
As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital
A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade
Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais
Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O
Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute
mostrado na Figura a seguir
A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por
Figura 3 Desenho esquemaacutetico
Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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Kurt Goumldel (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983) com suas importantes
contribuiccedilotildees
Surgem as loacutegicas natildeo-claacutessicas NCA da Costa com as loacutegicas
paraconsistentes L A Zadeh com a loacutegica fuzzy e as contribuiccedilotildees dessas
loacutegicas para a informaacutetica no campo da inteligecircncia artificial com os sistemas
especialistas
Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Loacutegica englobam
muitas aacutereas do conhecimento
23) Caacutelculo Proposicional
Como primeira e indispensaacutevel parte da loacutegica matemaacutetica temos o caacutelculo
proposicional ou caacutelculo sentencial ou ainda caacutelculo das sentenccedilas
PROPOSICcedilAtildeO sentenccedilas declarativas afirmativas (expressatildeo de uma
linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa
middot A lua eacute um sateacutelite da Terra
middot Esse limatildeo eacute verde
middot Matemaacutetica eacute uma ciecircncia
231) Os Siacutembolos da Linguagem do Caacutelculo Proposicional
middot
VARIAacuteVEIS PROPOSICIONAIS letras latinas minuacutesculas pqrs para indicar
as proposiccedilotildees (foacutermulas atocircmicas)
Exemplos A lua eacute um sateacutelite da Terra p
Esse limatildeo eacute verde q
middot CONECTIVOS LOacuteGICOS As foacutermulas atocircmicas podem ser combinadas entre
si e para representar tais combinaccedilotildees usaremos os conectivos loacutegicos
^ e ou rarr seentatildeo se e somente se ~ natildeo
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Exemplos
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde p ^ q (p e q satildeo chamados
conjuntos)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra ou esse limatildeo eacute verde p q ( p e q satildeo chamados
disjuntos)
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra entatildeo esse limatildeo eacute verde p rarrq ( p eacute o
antecedente e q o consequente)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra se e somente se esse limatildeo eacute verde p q
middot A lua natildeo eacute o sateacutelite da Terra ~p
232) SIacuteMBOLOS AUXILIARES
( ) parecircnteses que servem para denotar o alcance dos conectivos
Exemplos
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde entatildeo a lua natildeo eacute o sateacutelite
da Terra
((p ^ q) rarr ~ p)
233) Definiccedilatildeo de foacutermula
1 Toda foacutermula atocircmica eacute uma foacutermula
2 Se A e B satildeo foacutermulas entatildeo
(A ^ B) (A B) (A rarr B) (A B) e (~ A) tambeacutem satildeo foacutermulas
3 Satildeo foacutermulas apenas as obtidas por 1 e 2
Os parecircnteses seratildeo usados segundo a seguinte ordem dos conectivos ~ ^
rarr
Com o mesmo conectivo adotaremos a convenccedilatildeo pela direita
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Exemplo a foacutermula p ^ q ~ rrarr p ~ q deve ser entendida como
(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))
24) Tabela verdade
A loacutegica claacutessica eacute governada por trecircs princiacutepios (entre outros) que podem ser
formulados como segue
I Princiacutepio da Identidade Todo objeto eacute idecircntico a si mesmo
II Princiacutepio da Contradiccedilatildeo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias (uma eacute
negaccedilatildeo da outra) uma delas eacute falsa
III Princiacutepio do Terceiro Excluiacutedo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias uma
delas eacute verdadeira
Com base nesses princiacutepios as proposiccedilotildees simples satildeo ou verdadeiras ou
falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos daiacute dizer que a loacutegica
claacutessica eacute bivalente
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposiccedilotildees compostas
(moleculares) conhecidos os valores das proposiccedilotildees simples (atocircmicas) que
as compotildeem usaremos tabelas-verdade
1Tabela verdade da negaccedilatildeo ~p eacute verdadeira (falsa) se e somente se p
eacute falsa (verdadeira)
p ~p
V F
F V
2 Tabela verdade da conjunccedilatildeo a conjunccedilatildeo eacute verdadeira se e somente
os conjunctos satildeo verdadeiros
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p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
3 Tabela verdade da disjunccedilatildeo a disjunccedilatildeo eacute falsa se e somente os
disjuntos satildeo falsos
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
4 Tabela verdade da implicaccedilatildeo a implicaccedilatildeo eacute falsa se e somente se
o antecedente eacute verdadeiro e o consequumlente eacute falso
p q p rarr q
V V V
V F F
F V V
F F V
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5 Tabela verdade da bi-implicaccedilatildeo a bi-implicaccedilatildeo eacute verdadeira se e
somente se seus componentes satildeo ou ambos verdadeiros ou ambos falsos
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
6 A disjunccedilatildeo exclusiva (escrito como ou ne) eacute uma operaccedilatildeo sobre dois
ou mais valores loacutegicos tipicamente os valores de duas proposiccedilotildees que produz
um valor verdadeiro apenas se V(p) V(q)
Ou exclusivo chamada tambeacutem disjunccedilatildeo exclusiva conhecido geralmente
por XOR ou por EOR (tambeacutem XOU ou EOU) eacute uma operaccedilatildeo loacutegica em dois
operandos que resulta em um valor loacutegico verdadeiro se e somente se
exactamente um dos operandos tem um valor verdadeiro
Denotaremos a disjunccedilatildeo exclusiva de p e q por p q
E leremos ldquop ou q mas natildeo ambasrdquo
Ou exclusivo
p q
F F F
F V V
V F V
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V V F
Exemplo 1 Construir a tabela verdade da foacutermula ((p q) ~p) rarr (q ^p)
uma maneira mais faacutecil de construir a tabela verdade eacute colocar os valores
loacutegicos como segue abaixo
Apoacutes vamos
resolvendo de acordo
com os operadores loacutegicos
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V V
V V F V F V
F V V F V F
F F F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V
V V F F V F V
F V V V F V F
F F F V F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V
V F V F V
F V F V F
F F F F F
Resolver
primeiramente
depois
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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V V
V V F F V F F V
F V V V F V F F
F F F V F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V
V V F F F V F F V
F V V V V F V F F
F F F F V F F F F
e por uacuteltimo
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V V
V V F F F V V F F V
F V V V V F F V F F
F F F F V F V F F F
NUacuteMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
agora este
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Cada proposiccedilatildeo simples (atocircmica) tem dois valores V ou F que se
excluem Para n atocircmicas distintas haacute tantas possibilidades quantos satildeo os
arranjos com repeticcedilatildeo de 2 (V e F) elementos n a n Segue-se que o nuacutemero de
linhas da tabela verdade eacute 2n
Assim para duas proposiccedilotildees satildeo 22
= 4 linhas
para 3 proposiccedilotildees satildeo 23 = 8 etc
Exemplo a tabela - verdade da foacutermula ((p ^ q) rarr r) teraacute 8 linhas como segue
p q r ((p ^ q) rarr r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
A Ou Exclusivo (XOR) goza das propriedades da associatividade e
comutatividade conforme podemos relembrar
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Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a
Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades
As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital
A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade
Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais
Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O
Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute
mostrado na Figura a seguir
A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por
Figura 3 Desenho esquemaacutetico
Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
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MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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(1981)
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httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
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SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
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Exemplos
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde p ^ q (p e q satildeo chamados
conjuntos)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra ou esse limatildeo eacute verde p q ( p e q satildeo chamados
disjuntos)
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra entatildeo esse limatildeo eacute verde p rarrq ( p eacute o
antecedente e q o consequente)
middot A lua eacute o sateacutelite da Terra se e somente se esse limatildeo eacute verde p q
middot A lua natildeo eacute o sateacutelite da Terra ~p
232) SIacuteMBOLOS AUXILIARES
( ) parecircnteses que servem para denotar o alcance dos conectivos
Exemplos
middot Se a lua eacute o sateacutelite da Terra e esse limatildeo eacute verde entatildeo a lua natildeo eacute o sateacutelite
da Terra
((p ^ q) rarr ~ p)
233) Definiccedilatildeo de foacutermula
1 Toda foacutermula atocircmica eacute uma foacutermula
2 Se A e B satildeo foacutermulas entatildeo
(A ^ B) (A B) (A rarr B) (A B) e (~ A) tambeacutem satildeo foacutermulas
3 Satildeo foacutermulas apenas as obtidas por 1 e 2
Os parecircnteses seratildeo usados segundo a seguinte ordem dos conectivos ~ ^
rarr
Com o mesmo conectivo adotaremos a convenccedilatildeo pela direita
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Exemplo a foacutermula p ^ q ~ rrarr p ~ q deve ser entendida como
(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))
24) Tabela verdade
A loacutegica claacutessica eacute governada por trecircs princiacutepios (entre outros) que podem ser
formulados como segue
I Princiacutepio da Identidade Todo objeto eacute idecircntico a si mesmo
II Princiacutepio da Contradiccedilatildeo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias (uma eacute
negaccedilatildeo da outra) uma delas eacute falsa
III Princiacutepio do Terceiro Excluiacutedo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias uma
delas eacute verdadeira
Com base nesses princiacutepios as proposiccedilotildees simples satildeo ou verdadeiras ou
falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos daiacute dizer que a loacutegica
claacutessica eacute bivalente
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposiccedilotildees compostas
(moleculares) conhecidos os valores das proposiccedilotildees simples (atocircmicas) que
as compotildeem usaremos tabelas-verdade
1Tabela verdade da negaccedilatildeo ~p eacute verdadeira (falsa) se e somente se p
eacute falsa (verdadeira)
p ~p
V F
F V
2 Tabela verdade da conjunccedilatildeo a conjunccedilatildeo eacute verdadeira se e somente
os conjunctos satildeo verdadeiros
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p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
3 Tabela verdade da disjunccedilatildeo a disjunccedilatildeo eacute falsa se e somente os
disjuntos satildeo falsos
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
4 Tabela verdade da implicaccedilatildeo a implicaccedilatildeo eacute falsa se e somente se
o antecedente eacute verdadeiro e o consequumlente eacute falso
p q p rarr q
V V V
V F F
F V V
F F V
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5 Tabela verdade da bi-implicaccedilatildeo a bi-implicaccedilatildeo eacute verdadeira se e
somente se seus componentes satildeo ou ambos verdadeiros ou ambos falsos
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
6 A disjunccedilatildeo exclusiva (escrito como ou ne) eacute uma operaccedilatildeo sobre dois
ou mais valores loacutegicos tipicamente os valores de duas proposiccedilotildees que produz
um valor verdadeiro apenas se V(p) V(q)
Ou exclusivo chamada tambeacutem disjunccedilatildeo exclusiva conhecido geralmente
por XOR ou por EOR (tambeacutem XOU ou EOU) eacute uma operaccedilatildeo loacutegica em dois
operandos que resulta em um valor loacutegico verdadeiro se e somente se
exactamente um dos operandos tem um valor verdadeiro
Denotaremos a disjunccedilatildeo exclusiva de p e q por p q
E leremos ldquop ou q mas natildeo ambasrdquo
Ou exclusivo
p q
F F F
F V V
V F V
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V V F
Exemplo 1 Construir a tabela verdade da foacutermula ((p q) ~p) rarr (q ^p)
uma maneira mais faacutecil de construir a tabela verdade eacute colocar os valores
loacutegicos como segue abaixo
Apoacutes vamos
resolvendo de acordo
com os operadores loacutegicos
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V V
V V F V F V
F V V F V F
F F F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V
V V F F V F V
F V V V F V F
F F F V F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V
V F V F V
F V F V F
F F F F F
Resolver
primeiramente
depois
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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V V
V V F F V F F V
F V V V F V F F
F F F V F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V
V V F F F V F F V
F V V V V F V F F
F F F F V F F F F
e por uacuteltimo
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V V
V V F F F V V F F V
F V V V V F F V F F
F F F F V F V F F F
NUacuteMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
agora este
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Cada proposiccedilatildeo simples (atocircmica) tem dois valores V ou F que se
excluem Para n atocircmicas distintas haacute tantas possibilidades quantos satildeo os
arranjos com repeticcedilatildeo de 2 (V e F) elementos n a n Segue-se que o nuacutemero de
linhas da tabela verdade eacute 2n
Assim para duas proposiccedilotildees satildeo 22
= 4 linhas
para 3 proposiccedilotildees satildeo 23 = 8 etc
Exemplo a tabela - verdade da foacutermula ((p ^ q) rarr r) teraacute 8 linhas como segue
p q r ((p ^ q) rarr r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
A Ou Exclusivo (XOR) goza das propriedades da associatividade e
comutatividade conforme podemos relembrar
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Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a
Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades
As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital
A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade
Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais
Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O
Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute
mostrado na Figura a seguir
A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por
Figura 3 Desenho esquemaacutetico
Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
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3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
FRANK AYRES JR - Aacutelgebra Moderna - - Mcgraw-Hill do Brasil Ltda - 1971
GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
RJ LTC (2001)
MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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MORETTIN PA Meacutetodos quantitativos para economistas e administradores
(1981)
PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta
httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
aprender Porto Alegre ArtMed (1998) 177 p ISBN 85-7307-356-X
SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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Exemplo a foacutermula p ^ q ~ rrarr p ~ q deve ser entendida como
(((p ^ q) (~ r)) rarr ( p (~ q)))
24) Tabela verdade
A loacutegica claacutessica eacute governada por trecircs princiacutepios (entre outros) que podem ser
formulados como segue
I Princiacutepio da Identidade Todo objeto eacute idecircntico a si mesmo
II Princiacutepio da Contradiccedilatildeo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias (uma eacute
negaccedilatildeo da outra) uma delas eacute falsa
III Princiacutepio do Terceiro Excluiacutedo Dadas duas proposiccedilotildees contraditoacuterias uma
delas eacute verdadeira
Com base nesses princiacutepios as proposiccedilotildees simples satildeo ou verdadeiras ou
falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos daiacute dizer que a loacutegica
claacutessica eacute bivalente
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposiccedilotildees compostas
(moleculares) conhecidos os valores das proposiccedilotildees simples (atocircmicas) que
as compotildeem usaremos tabelas-verdade
1Tabela verdade da negaccedilatildeo ~p eacute verdadeira (falsa) se e somente se p
eacute falsa (verdadeira)
p ~p
V F
F V
2 Tabela verdade da conjunccedilatildeo a conjunccedilatildeo eacute verdadeira se e somente
os conjunctos satildeo verdadeiros
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p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
3 Tabela verdade da disjunccedilatildeo a disjunccedilatildeo eacute falsa se e somente os
disjuntos satildeo falsos
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
4 Tabela verdade da implicaccedilatildeo a implicaccedilatildeo eacute falsa se e somente se
o antecedente eacute verdadeiro e o consequumlente eacute falso
p q p rarr q
V V V
V F F
F V V
F F V
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5 Tabela verdade da bi-implicaccedilatildeo a bi-implicaccedilatildeo eacute verdadeira se e
somente se seus componentes satildeo ou ambos verdadeiros ou ambos falsos
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
6 A disjunccedilatildeo exclusiva (escrito como ou ne) eacute uma operaccedilatildeo sobre dois
ou mais valores loacutegicos tipicamente os valores de duas proposiccedilotildees que produz
um valor verdadeiro apenas se V(p) V(q)
Ou exclusivo chamada tambeacutem disjunccedilatildeo exclusiva conhecido geralmente
por XOR ou por EOR (tambeacutem XOU ou EOU) eacute uma operaccedilatildeo loacutegica em dois
operandos que resulta em um valor loacutegico verdadeiro se e somente se
exactamente um dos operandos tem um valor verdadeiro
Denotaremos a disjunccedilatildeo exclusiva de p e q por p q
E leremos ldquop ou q mas natildeo ambasrdquo
Ou exclusivo
p q
F F F
F V V
V F V
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V V F
Exemplo 1 Construir a tabela verdade da foacutermula ((p q) ~p) rarr (q ^p)
uma maneira mais faacutecil de construir a tabela verdade eacute colocar os valores
loacutegicos como segue abaixo
Apoacutes vamos
resolvendo de acordo
com os operadores loacutegicos
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V V
V V F V F V
F V V F V F
F F F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V
V V F F V F V
F V V V F V F
F F F V F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V
V F V F V
F V F V F
F F F F F
Resolver
primeiramente
depois
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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V V
V V F F V F F V
F V V V F V F F
F F F V F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V
V V F F F V F F V
F V V V V F V F F
F F F F V F F F F
e por uacuteltimo
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V V
V V F F F V V F F V
F V V V V F F V F F
F F F F V F V F F F
NUacuteMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
agora este
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Cada proposiccedilatildeo simples (atocircmica) tem dois valores V ou F que se
excluem Para n atocircmicas distintas haacute tantas possibilidades quantos satildeo os
arranjos com repeticcedilatildeo de 2 (V e F) elementos n a n Segue-se que o nuacutemero de
linhas da tabela verdade eacute 2n
Assim para duas proposiccedilotildees satildeo 22
= 4 linhas
para 3 proposiccedilotildees satildeo 23 = 8 etc
Exemplo a tabela - verdade da foacutermula ((p ^ q) rarr r) teraacute 8 linhas como segue
p q r ((p ^ q) rarr r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
A Ou Exclusivo (XOR) goza das propriedades da associatividade e
comutatividade conforme podemos relembrar
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Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a
Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades
As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital
A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade
Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais
Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O
Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute
mostrado na Figura a seguir
A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por
Figura 3 Desenho esquemaacutetico
Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
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SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
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p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
3 Tabela verdade da disjunccedilatildeo a disjunccedilatildeo eacute falsa se e somente os
disjuntos satildeo falsos
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
4 Tabela verdade da implicaccedilatildeo a implicaccedilatildeo eacute falsa se e somente se
o antecedente eacute verdadeiro e o consequumlente eacute falso
p q p rarr q
V V V
V F F
F V V
F F V
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5 Tabela verdade da bi-implicaccedilatildeo a bi-implicaccedilatildeo eacute verdadeira se e
somente se seus componentes satildeo ou ambos verdadeiros ou ambos falsos
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
6 A disjunccedilatildeo exclusiva (escrito como ou ne) eacute uma operaccedilatildeo sobre dois
ou mais valores loacutegicos tipicamente os valores de duas proposiccedilotildees que produz
um valor verdadeiro apenas se V(p) V(q)
Ou exclusivo chamada tambeacutem disjunccedilatildeo exclusiva conhecido geralmente
por XOR ou por EOR (tambeacutem XOU ou EOU) eacute uma operaccedilatildeo loacutegica em dois
operandos que resulta em um valor loacutegico verdadeiro se e somente se
exactamente um dos operandos tem um valor verdadeiro
Denotaremos a disjunccedilatildeo exclusiva de p e q por p q
E leremos ldquop ou q mas natildeo ambasrdquo
Ou exclusivo
p q
F F F
F V V
V F V
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V V F
Exemplo 1 Construir a tabela verdade da foacutermula ((p q) ~p) rarr (q ^p)
uma maneira mais faacutecil de construir a tabela verdade eacute colocar os valores
loacutegicos como segue abaixo
Apoacutes vamos
resolvendo de acordo
com os operadores loacutegicos
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V V
V V F V F V
F V V F V F
F F F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V
V V F F V F V
F V V V F V F
F F F V F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V
V F V F V
F V F V F
F F F F F
Resolver
primeiramente
depois
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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V V
V V F F V F F V
F V V V F V F F
F F F V F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V
V V F F F V F F V
F V V V V F V F F
F F F F V F F F F
e por uacuteltimo
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V V
V V F F F V V F F V
F V V V V F F V F F
F F F F V F V F F F
NUacuteMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
agora este
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Cada proposiccedilatildeo simples (atocircmica) tem dois valores V ou F que se
excluem Para n atocircmicas distintas haacute tantas possibilidades quantos satildeo os
arranjos com repeticcedilatildeo de 2 (V e F) elementos n a n Segue-se que o nuacutemero de
linhas da tabela verdade eacute 2n
Assim para duas proposiccedilotildees satildeo 22
= 4 linhas
para 3 proposiccedilotildees satildeo 23 = 8 etc
Exemplo a tabela - verdade da foacutermula ((p ^ q) rarr r) teraacute 8 linhas como segue
p q r ((p ^ q) rarr r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
A Ou Exclusivo (XOR) goza das propriedades da associatividade e
comutatividade conforme podemos relembrar
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Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a
Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades
As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital
A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade
Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais
Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O
Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute
mostrado na Figura a seguir
A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por
Figura 3 Desenho esquemaacutetico
Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 Tabela verdade da bi-implicaccedilatildeo a bi-implicaccedilatildeo eacute verdadeira se e
somente se seus componentes satildeo ou ambos verdadeiros ou ambos falsos
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
6 A disjunccedilatildeo exclusiva (escrito como ou ne) eacute uma operaccedilatildeo sobre dois
ou mais valores loacutegicos tipicamente os valores de duas proposiccedilotildees que produz
um valor verdadeiro apenas se V(p) V(q)
Ou exclusivo chamada tambeacutem disjunccedilatildeo exclusiva conhecido geralmente
por XOR ou por EOR (tambeacutem XOU ou EOU) eacute uma operaccedilatildeo loacutegica em dois
operandos que resulta em um valor loacutegico verdadeiro se e somente se
exactamente um dos operandos tem um valor verdadeiro
Denotaremos a disjunccedilatildeo exclusiva de p e q por p q
E leremos ldquop ou q mas natildeo ambasrdquo
Ou exclusivo
p q
F F F
F V V
V F V
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V V F
Exemplo 1 Construir a tabela verdade da foacutermula ((p q) ~p) rarr (q ^p)
uma maneira mais faacutecil de construir a tabela verdade eacute colocar os valores
loacutegicos como segue abaixo
Apoacutes vamos
resolvendo de acordo
com os operadores loacutegicos
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V V
V V F V F V
F V V F V F
F F F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V
V V F F V F V
F V V V F V F
F F F V F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V
V F V F V
F V F V F
F F F F F
Resolver
primeiramente
depois
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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V V
V V F F V F F V
F V V V F V F F
F F F V F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V
V V F F F V F F V
F V V V V F V F F
F F F F V F F F F
e por uacuteltimo
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V V
V V F F F V V F F V
F V V V V F F V F F
F F F F V F V F F F
NUacuteMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
agora este
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Cada proposiccedilatildeo simples (atocircmica) tem dois valores V ou F que se
excluem Para n atocircmicas distintas haacute tantas possibilidades quantos satildeo os
arranjos com repeticcedilatildeo de 2 (V e F) elementos n a n Segue-se que o nuacutemero de
linhas da tabela verdade eacute 2n
Assim para duas proposiccedilotildees satildeo 22
= 4 linhas
para 3 proposiccedilotildees satildeo 23 = 8 etc
Exemplo a tabela - verdade da foacutermula ((p ^ q) rarr r) teraacute 8 linhas como segue
p q r ((p ^ q) rarr r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
A Ou Exclusivo (XOR) goza das propriedades da associatividade e
comutatividade conforme podemos relembrar
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Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a
Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades
As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital
A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade
Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais
Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O
Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute
mostrado na Figura a seguir
A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por
Figura 3 Desenho esquemaacutetico
Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
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GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
RJ LTC (2001)
MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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MORETTIN PA Meacutetodos quantitativos para economistas e administradores
(1981)
PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta
httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
aprender Porto Alegre ArtMed (1998) 177 p ISBN 85-7307-356-X
SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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V V F
Exemplo 1 Construir a tabela verdade da foacutermula ((p q) ~p) rarr (q ^p)
uma maneira mais faacutecil de construir a tabela verdade eacute colocar os valores
loacutegicos como segue abaixo
Apoacutes vamos
resolvendo de acordo
com os operadores loacutegicos
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V V
V V F V F V
F V V F V F
F F F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V
V V F F V F V
F V V V F V F
F F F V F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V V V
V F V F V
F V F V F
F F F F F
Resolver
primeiramente
depois
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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V V
V V F F V F F V
F V V V F V F F
F F F V F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V
V V F F F V F F V
F V V V V F V F F
F F F F V F F F F
e por uacuteltimo
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V V
V V F F F V V F F V
F V V V V F F V F F
F F F F V F V F F F
NUacuteMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
agora este
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Cada proposiccedilatildeo simples (atocircmica) tem dois valores V ou F que se
excluem Para n atocircmicas distintas haacute tantas possibilidades quantos satildeo os
arranjos com repeticcedilatildeo de 2 (V e F) elementos n a n Segue-se que o nuacutemero de
linhas da tabela verdade eacute 2n
Assim para duas proposiccedilotildees satildeo 22
= 4 linhas
para 3 proposiccedilotildees satildeo 23 = 8 etc
Exemplo a tabela - verdade da foacutermula ((p ^ q) rarr r) teraacute 8 linhas como segue
p q r ((p ^ q) rarr r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
A Ou Exclusivo (XOR) goza das propriedades da associatividade e
comutatividade conforme podemos relembrar
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Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a
Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades
As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital
A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade
Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais
Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O
Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute
mostrado na Figura a seguir
A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por
Figura 3 Desenho esquemaacutetico
Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F V V V V
V V F F V F F V
F V V V F V F F
F F F V F F F F
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V
V V F F F V F F V
F V V V V F V F F
F F F F V F F F F
e por uacuteltimo
((p V q) ~ p) rarr (q ^ p)
V V V F F V V V V V
V V F F F V V F F V
F V V V V F F V F F
F F F F V F V F F F
NUacuteMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
agora este
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Cada proposiccedilatildeo simples (atocircmica) tem dois valores V ou F que se
excluem Para n atocircmicas distintas haacute tantas possibilidades quantos satildeo os
arranjos com repeticcedilatildeo de 2 (V e F) elementos n a n Segue-se que o nuacutemero de
linhas da tabela verdade eacute 2n
Assim para duas proposiccedilotildees satildeo 22
= 4 linhas
para 3 proposiccedilotildees satildeo 23 = 8 etc
Exemplo a tabela - verdade da foacutermula ((p ^ q) rarr r) teraacute 8 linhas como segue
p q r ((p ^ q) rarr r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
A Ou Exclusivo (XOR) goza das propriedades da associatividade e
comutatividade conforme podemos relembrar
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Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a
Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades
As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital
A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade
Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais
Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O
Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute
mostrado na Figura a seguir
A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por
Figura 3 Desenho esquemaacutetico
Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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Cada proposiccedilatildeo simples (atocircmica) tem dois valores V ou F que se
excluem Para n atocircmicas distintas haacute tantas possibilidades quantos satildeo os
arranjos com repeticcedilatildeo de 2 (V e F) elementos n a n Segue-se que o nuacutemero de
linhas da tabela verdade eacute 2n
Assim para duas proposiccedilotildees satildeo 22
= 4 linhas
para 3 proposiccedilotildees satildeo 23 = 8 etc
Exemplo a tabela - verdade da foacutermula ((p ^ q) rarr r) teraacute 8 linhas como segue
p q r ((p ^ q) rarr r )
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
A Ou Exclusivo (XOR) goza das propriedades da associatividade e
comutatividade conforme podemos relembrar
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Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a
Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades
As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital
A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade
Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais
Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O
Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute
mostrado na Figura a seguir
A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por
Figura 3 Desenho esquemaacutetico
Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
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GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
RJ LTC (2001)
MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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MORETTIN PA Meacutetodos quantitativos para economistas e administradores
(1981)
PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta
httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
aprender Porto Alegre ArtMed (1998) 177 p ISBN 85-7307-356-X
SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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Essa disciplina Loacutegica Matemaacutetica eacute utilizada nos cursos que envolve a
Ciecircncia da Computaccedilatildeo Por isso esclareceremos aqui algumas utilidades
As Portas Loacutegicas satildeo blocos de construccedilatildeo baacutesicos na Eletrocircnica Digital
A relaccedilatildeo entre a(s) Entrada(s) e a Saiacuteda de uma Porta Loacutegica pode ser expressa
numa Tabela de Verdade
Portas NAtildeO OU Exclusivo (XNOR) e OU Exclusivo (XOR)
Uma Porta OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou mais
Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se apenas uma das suas Entradas eacute 1 O
Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta OU EXCLUSIVO com Duas Entradas eacute
mostrado na Figura a seguir
A notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta OU EXCLUSIVO pode ser
expressa por
Figura 3 Desenho esquemaacutetico
Tabela Verdade de uma Porta OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
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Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
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Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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Uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO eacute uma Porta Loacutegica que tem duas ou
mais Entradas A sua Saiacuteda eacute 1 se e soacute se todas as Entradas estatildeo no mesmo
Estado Loacutegico O Siacutembolo Esquemaacutetico de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
com Duas Entradas eacute mostrado na Figura 2 e a Tabela 2 eacute a sua Tabela de
VerdadeA notaccedilatildeo da operaccedilatildeo loacutegica de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
pode ser expressa por
Figura 4 Siacutembolo Esquemaacutetico da Porta NAtildeO
OU EXCLUSIVO
Tabela Verdade de uma Porta NAtildeO OU EXCLUSIVO
A B Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25) O Caacutelculo Proposicional e A Aacutelgebra dos Conjuntos
O Caacutelculo Proposicional e a Aacutelgebra dos Conjuntos possuem estruturas
semelhantes
Toda foacutermula do Caacutelculo Proposicional determina uma operaccedilatildeo correspondente
entre conjuntos
a negaccedilatildeo (~ ) corresponde agrave complementaccedilatildeo ( rsquo )
a conjunccedilatildeo (^ ) corresponde agrave intersecccedilatildeo ( )
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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a disjunccedilatildeo ( ) corresponde agrave uniatildeo ( )
As variaacuteveis proposicionais podem servir como variaacuteveis simbolizando
conjuntos na nova expressatildeo Exemplo (( p q) ~ p)corresponde a (( p q )
prsquo)
Podemos expressar as operaccedilotildees entre conjuntos atraveacutes dos
DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que satildeo uacuteteis na
verificaccedilatildeo de propriedades de operaccedilotildees entre conjuntos mas natildeo devem ser
considerados instrumentos de prova matemaacutetica rigorosa
1COMPLEMENTACcedilAtildeO prsquoque corresponde agrave NEGACcedilAtildeO ~p
p ~ p
1 V F
2 F V
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) e (2) do diagrama
2 UNIAtildeO p q que corresponde agrave DISJUNCcedilAtildeO p q
p q
p
q
p q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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as linhas (1) (2) (3) e (4) da tabela correspondem agraves regiotildees (1) (2) (3) e (4)
do diagrama respectivamente
A regiatildeo hachurada no diagrama corresponde agraves linhas da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
3 INTERSECCcedilAtildeO p q que corresponde agrave CONJUNCcedilAtildeO p ^ q
p q
p q p^ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
A regiatildeo hachurada do diagrama corresponde agrave linha (1) da tabela onde a
foacutermula p q assume valor V
De acordo com o resultado final da tabela verdade essa assume nomes
especiais tautoloacutegicas contraditoacuterias ou contingenciais
26) Tautologias Contradiccedilatildeo e Contingecircncias
A) T AUTOLOGIA ou FOacuteRMULA LOGICAMENTE VAacuteLIDA Foacutermula que
possui apenas valor V em sua tabela verdade Exemplo p ~ p
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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P p~ p ~ p
1 V F V
2 F V V
Leis de De Morgan
Em loacutegica Leis de de Morgan ou Theorem de De Morgan estatildeo as reacuteguas
dentro loacutegica formal relacionando pares de duplo operadores loacutegicos em uma
maneira sistemaacutetica expressada nos termos de negaccedilatildeo O relacionamento
assim que induzido eacute chamado Duality de De Morgan
natildeo (P e Q) = (natildeo P) ou (natildeo Q)
natildeo (P ou Q) = (natildeo P) e (natildeo Q)
As leis de De Morgan satildeo baseadas nos verdade-valores equivalentes de
cada par das indicaccedilotildees
Augustus de Morgan filho de John de Morgan um tenente-coronel em
serviccedilo na Iacutendia perdeu a visatildeo do olho direito logo apoacutes o nascimento Com
sete meses de idade foi para a Inglaterra com a famiacutelia e aos 10 anos perdeu
seu pai Na escola foi muitas vezes viacutetima de piadas e brincadeiras crueacuteis de
seus companheiros devido a sua inaptidatildeo fiacutesica
De Morgan ingressou no Trinity College em Cambridge em 1823 com 16
anos Ele conseguiu seu grau de bacharel e por causa de um teste teoloacutegico foi
requerido no mestrado voltou para a sua casa em Londres em 1826 e estudou
advocacia Em 1827 ele solicitou a cadeira de Matemaacutetica no receacutem fundado
University College de Londres e apesar de natildeo ter publicaccedilotildees Matemaacuteticas ele
a conseguiu
Tornou-se em 1828 o primeiro professor de matemaacutetica no University
College Sua conferecircncia inaugural teve por tiacutetulo On the study of mathematics
Em 1831 deixou a cadeira mas em 1836 foi novamente chamado
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
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3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
FRANK AYRES JR - Aacutelgebra Moderna - - Mcgraw-Hill do Brasil Ltda - 1971
GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
RJ LTC (2001)
MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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MORETTIN PA Meacutetodos quantitativos para economistas e administradores
(1981)
PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta
httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
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SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
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permanecendo ateacute 1866 Sua segunda publicaccedilatildeo foi o livro Elements of
Arithmetic em 1830
O termo induccedilatildeo matemaacutetica foi definido e introduzido por De Morgan em
1838 e sua primeira apariccedilatildeo foi no artigo Induction (Mathematics) na Penny
Cyclopedia que era publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge
Esta mesma sociedade tambeacutem publicou um famoso trabalho de De Morgan
The Differential na Integral Calculus
Outra publicaccedilatildeo foi Trigonometry and Double Algebra em 1849 na qual
ele fez uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos De Morgan sabia
da existecircncia de aacutelgebras diferentes da aacutelgebra ordinaacuteria e contribuiu para o
desenvolvimento da aacutelgebra abstrata Uma de suas maiores contribuiccedilotildees foi agrave
reforma da loacutegica matemaacutetica De Morgan se correspondeu com Charles
Babbage escrevendo o primeiro programa de computador para ele e tambeacutem
com Hamilton
Foi co-fundador e o primeiro presidente da London Mathematical Society
em 1866 e seu filho George um bom matemaacutetico foi seu primeiro secretaacuterio
Neste mesmo ano foi eleito Fellow of the Royal Astronomical Society Mas ele
recusou este titulo assim como outro que recebeu da University of Edinburgh
Muito interessado por nuacutemeros em 1864 De Morgan notou que teve x anos
de idade no ano (43 anos no ano 1849) De Morgan faleceu em 8 de marccedilo de
1871 em Londres
B) CONTRADICcedilAtildeO Foacutermula que possui apenas valor F em sua tabela verdade
Exemplo p ^~ p
P ~ p p ^~ p
1 V F F
2 F V F
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
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3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
FRANK AYRES JR - Aacutelgebra Moderna - - Mcgraw-Hill do Brasil Ltda - 1971
GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
RJ LTC (2001)
MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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MORETTIN PA Meacutetodos quantitativos para economistas e administradores
(1981)
PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta
httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
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SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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C) CONTINGENTE ou INDETERMINADA Foacutermula que possui valores V e F em
sua tabela verdade
Exemplo p rarr q
P q p rarr q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
27) Noccedilotildees de Aacutelgebra Booleana
Vimos que o Caacutelculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos possuem
algumas propriedades em comum ou sejam satildeo estruturas matemaacuteticas que
juntamente com operaccedilotildees ou relaccedilotildees entre seus objetos obedecem certas
regras
E ao definir uma estrutura matemaacutetica Aacutelgebra Booleana que incorpora
as propriedades baacutesicas do Caacutelculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos ou
seja eacute um outro modelo de uma mesma estrutura matemaacutetica O conceito de
Aacutelgebra Booleana foi formulado pelo matemaacutetico inglecircs George Boole por volta
de 1850
Por AacuteLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B=p q r junto
com duas operaccedilotildees binaacuterias + e middot em B uma operaccedilatildeo singular rsquo em B e dois
elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes propriedades (para
todo p q r em B )
Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p bull q) bull r = p bull (q bull r)
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
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Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
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Comutativa p + q = q + p p bull q = q bull p
Idempotente p + p = p p bull p = p
Absorccedilatildeo (p bull q) + p = p (p + q) bull p = p
Distributiva p + (q bull r) = (p + q) bull (p +
r)
p bull (q + r) = (p bull q) + (p bull r)
Propriedades do 0 p + 0 = p p bull 0 = 0
Propriedades do 1 p + 1 = 1 p bull 1 = p
Quaisquer que seja p em
B existe prsquo em B tal que
p + prsquo = 1 p bull prsquo = 0
Indicamos uma Aacutelgebra Booleana por [ B + middot rsquo 0 1 ]
- A operaccedilatildeo p bullq pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o
operador bull
- Eacute normal a seguinte terminologia na Aacutelgebra Booleana
p bull q encontro de p e q
p + q junccedilatildeo de p e q
prsquo complemento de p
0 elemento zero
1 elemento unitaacuterio
Uma expressatildeo booleana uma foacutermula e uma expressatildeo na aacutelgebra dos
conjuntos satildeo correspondentes se substituimos rsquo + bull = 0 1
respectivamente por ~ F V ou ainda por rsquo = U
(considerando-se p q como elementos de B variaacuteveis proposicionais ou
conjuntos respectivamente)
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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271) Aplicaccedilotildees de Aacutelgebra Booleana Aacutelgebra dos circuitos
A introduccedilatildeo de uma Aacutelgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao
matemaacutetico americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A
Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938) De modo sucinto
mostraremos esse tipo de relacionamento com a Caacutelculo Proposicional e a
Aacutelgebra Booleana
Um interruptor eacute um dispositivo ligado a um ponto de um circuito que pode
assumir um dos dois estados fechado ou aberto No estado fechado
(que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe atraveacutes do
ponto enquanto no estado aberto (que indicaremos por 0) nenhuma corrente
pode passar pelo ponto
1Circuito com um interruptor p
p
Fig 5 Circuito com um interrruptor
A indicaccedilatildeo fechado ou aberto do interruptor seraacute conhecida com a
indicaccedilatildeo de p=1 ou p=0 respectivamente
2Circuito com dois interruptores p e q
Em paralelo indicado por p + q
p
q
Fig 6 Circuito com dois interrruptores
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
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MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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(1981)
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httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
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SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
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Neste caso natildeo passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja estatildeo
ambos abertos o que corresponde no Caacutelculo Proposicional agrave tabela verdade
da disjunccedilatildeo p q
3 TEORIA DOS GRAFOS
A teoria dos grafos tem a sua origem na necessidade de representar por
esquemas as relaccedilotildees existentes entre os elementos de um conjunto Neste
sentido constitui um ramo especiacutefico da teoria das relaccedilotildees binaacuterias definidas
num conjunto
A ligaccedilatildeo entre dois veacutertices (quando existe) faz-se sempre nos dois
sentidos podendo representar-se este fato por uma aresta uacutenica (natildeo dirigida)
Obteacutem-se assim um grafo natildeo dirigido (ou simplesmente grafo) Embora a
teoria dos grafos seja um instrumento natural para o estudo das relaccedilotildees
binaacuterias haacute atualmente muitos outros toacutepicos de Matemaacutetica quer pura quer
aplicada para os quais o recurso agrave teoria dos grafos constitui uma atitude natural
Na figura seguinte mostraremos um exemplo de um grafo (natildeo dirigido)
Fig 7 Exemplos de grafos natildeo dirigidos FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
31 Definiccedilotildees baacutesicas
Chama-se grafo G (VE) a uma estrutura constituiacuteda por um conjunto
finito V de veacutertices (tambeacutem designados por noacutes) e um conjunto finito ldquoErdquo de
arestas de tal forma que cada aresta estaacute associada a um par de veacutertices como
temos na figura V = 1 2 3 4 5 E = a b c d e f
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Fig 8 Exemplo de grafo
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Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
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Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
FRANK AYRES JR - Aacutelgebra Moderna - - Mcgraw-Hill do Brasil Ltda - 1971
GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
RJ LTC (2001)
MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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MORETTIN PA Meacutetodos quantitativos para economistas e administradores
(1981)
PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta
httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
aprender Porto Alegre ArtMed (1998) 177 p ISBN 85-7307-356-X
SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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Fig 8 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Se tivermos ldquoerdquo como uma aresta e ldquovwrdquocomo dois veacutertices escreve-se
e = vw ou e =w v dizendo-se entatildeo que ldquoerdquo eacute uma aresta entre v e w ou
que a aresta ldquoerdquo liga os veacutertices v e w que por este fato se dizem adjacentes
Uma aresta que liga um veacutertice a si proacuteprio designa-se por laccedilo
Na representaccedilatildeo de um grafo os veacutertices satildeo representados por
pequenos ciacuterculos afetados de um siacutembolo que constitui o seu nome enquanto
que as arestas satildeo representadas por linhas que ligam dois veacutertices (segmentos
de reta ou linhas curvas)
Se entre dois veacutertices existir mais que uma aresta entatildeo se for necessaacuterio
efetuar distinccedilotildees o grafo correspondente toma o nome de multigrafo e as vaacuterias
arestas que ligam os mesmos dois veacutertices tambeacutem se designam por arestas
muacuteltiplas No entanto na literatura da especialidade em geral o termo grafo eacute
empregado mesmo quando possui arestas muacuteltiplas
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
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3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
FRANK AYRES JR - Aacutelgebra Moderna - - Mcgraw-Hill do Brasil Ltda - 1971
GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
RJ LTC (2001)
MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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MORETTIN PA Meacutetodos quantitativos para economistas e administradores
(1981)
PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta
httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
aprender Porto Alegre ArtMed (1998) 177 p ISBN 85-7307-356-X
SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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Fig 9 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Neste contexto chama-se grafo orientado a uma estrutura G (VE) onde
novamente V eacute um conjunto finito de veacutertices e E um conjunto finito de arcos
dirigidos A seguir apresenta-se um exemplo de um digrafo com 6 veacutertices e 10
arcos dirigidos
Fig 10 Exemplo de grafo
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Num diacutegrafo escreve-se e (vw) para significar que e eacute um arco que liga v a
w orientado de v para w Neste caso diz-se que v eacute adjacente ao veacutertice w que
o arco e eacute incidente sobre w e emergente de vUm grafo diz-se simples quando
natildeo possui laccedilos nem arestas muacuteltiplas como se segue
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
FRANK AYRES JR - Aacutelgebra Moderna - - Mcgraw-Hill do Brasil Ltda - 1971
GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
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MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
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Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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MORETTIN PA Meacutetodos quantitativos para economistas e administradores
(1981)
PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta
httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
aprender Porto Alegre ArtMed (1998) 177 p ISBN 85-7307-356-X
SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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Fig 11 Exemplo de grafo simples
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Um tipo de grafos com muita importacircncia em problemas de
emparelhamento (casamentos distribuiccedilatildeo de grupos de tarefas por grupos de
pessoas etc) satildeo os chamados grafos bipartidos que satildeo grafos nos quais os
veacutertices podem ser separados em dois conjuntos disjuntos V e W tais que cada
aresta liga sempre um veacutertice de V a um veacutertice de W Neste caso denota-se por
G (VWE) Na figura que se segue apresenta-se um exemplo de um grafo
bipartido
Fig 12 Exemplo de grafo
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
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GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
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MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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(1981)
PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta
httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
aprender Porto Alegre ArtMed (1998) 177 p ISBN 85-7307-356-X
SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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Fonte Joseacute Sousa Pinto (1999)
Um grafo diz-se nulo se possuir apenas veacutertices sem arestas nem
laccedilos por outro lado no extremo oposto um grafo diz-se completo quando
entre cada par de veacutertices haacute uma aresta Neste uacuteltimo caso se o grafo tiver
n veacutertices eacute habitual denotaacute-lo por Kn Um diacutegrafo diz-se completo se entre
cada par de veacutertices existir pelo menos um arco Um grafo bipartido simples
G (VWE) diz-se completo se existir uma aresta entre cada veacutertice de V e
cada veacutertice de W Um grafo bipartido completo denota-se por K pq onde p
e q satildeo o nuacutemero de veacutertices de V e W respectivamente
Grafos isomorfos
Definindo grafo como um par ordenado constituiacutedo por um conjunto
de veacutertices e um conjunto de arestas o mesmo grafo pode aparecer com
representaccedilotildees pictoacutericas muito distintas Eacute por isso que eacute importante dispor
de um criteacuterio que nos permita saber quando eacute que dois grafos
(aparentemente) distintos satildeo afinal o mesmo grafo Tal criteacuterio resulta
imediatamente da noccedilatildeo de isomorfismo de grafos
Definiccedilatildeo Dois grafos G1 (V1E1) e G2 (V2E2) dir-se-atildeo isomorfos se
existir uma bijeccedilatildeo
tal que
seja uma aresta de G2 se e somente se se u v for uma aresta de G1
Exemplo Os grafos abaixo satildeo isomorfos
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
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3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
FRANK AYRES JR - Aacutelgebra Moderna - - Mcgraw-Hill do Brasil Ltda - 1971
GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
RJ LTC (2001)
MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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MORETTIN PA Meacutetodos quantitativos para economistas e administradores
(1981)
PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta
httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
aprender Porto Alegre ArtMed (1998) 177 p ISBN 85-7307-356-X
SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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Fig 13 Exemplo de grafo FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
Para mostrar que dois grafos natildeo satildeo isomorfos eacute necessaacuterio mostrar que
natildeo existe qualquer bijeccedilatildeo entre os conjuntos de veacutertices respectivos que
transformem arestas em arestas Se dois grafos natildeo tiverem o mesmo nuacutemero
de veacutertices entatildeo natildeo satildeo isomorfos se tiverem o mesmo nuacutemero de veacutertices
mas tiverem diferente nuacutemero de arestas tambeacutem natildeo podem ser isomorfos
Finalmente mesmo que dois grafos tenham o mesmo nuacutemero de veacutertices
e o mesmo nuacutemero de arestas ainda assim eles podem natildeo ser isomorfos
Por exemplo os dois grafos
Fig 14 Exemplo de grafo natildeo isomorfos
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
FRANK AYRES JR - Aacutelgebra Moderna - - Mcgraw-Hill do Brasil Ltda - 1971
GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
RJ LTC (2001)
MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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MORETTIN PA Meacutetodos quantitativos para economistas e administradores
(1981)
PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta
httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
aprender Porto Alegre ArtMed (1998) 177 p ISBN 85-7307-356-X
SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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tecircm ambos 5 veacutertices e 7 arestas No entanto natildeo satildeo isomorfos Uma forma de
mostrar eacute notar que os veacutertices a b d e de G1 formam um subgrafo completo
de G1 qualquer isomorfismo com G1 deveraacute transformar estes quatro veacutertices
noutros quatro veacutertices com a mesma propriedade
Em G2 natildeo haacute quatro veacutertices que induza um subgrafo completo de G2 e
portanto este natildeo pode ser isomorfo a G1
Caminhos de um grafo
Chama-se caminho entre dois veacutertices v1 e vr num grafo a uma sequecircncia finita
de veacutertices e arestas da forma
onde para cada j ej eacute uma aresta que liga vj a vj+1 Os veacutertices e as arestas de
um caminho podem natildeo ser todos distintos Ao nuacutemero de arestas que compotildeem
um caminho daacute-se o nome de comprimento desse caminho
Um caminho diz-se simples se natildeo tiver arestas repetidas e diz-se
elementar se todos os seus veacutertices forem distintos
Um caminho no qual o veacutertice inicial e o veacutertice terminal coincidem chama-
se circuito Um circuito diz-se simples se natildeo possuir arestas repetidas e um
circuito no qual nenhum veacutertice eacute repetido exceto o veacutertice inicial (terminal)
chama-se ciclo No grafo que se segue por exemplo
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
INE EAD ndash INSTITUTO NACIONAL DE ENSINO
TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
41 WWWINSTITUOINECOMBR ndash (31) 3272-9521
Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
FRANK AYRES JR - Aacutelgebra Moderna - - Mcgraw-Hill do Brasil Ltda - 1971
GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
RJ LTC (2001)
MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
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MORETTIN PA Meacutetodos quantitativos para economistas e administradores
(1981)
PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta
httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
aprender Porto Alegre ArtMed (1998) 177 p ISBN 85-7307-356-X
SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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Fig 15 Exemplo de grafo com circuito
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
O caminho 3e355e252e121e155e454e343 eacute um circuito simples (natildeo haacute
arestas repetidas e o veacutertice inicial e terminal coincidem) mas natildeo eacute um ciclo jaacute
que para aleacutem do veacutertice inicial (que eacute tambeacutem terminal) haacute outro veacutertice o
veacutertice 5 que estaacute repetido
Num digrafo estes conceitos podem ter em conta a orientaccedilatildeo Chama-se
caminho orientado a uma sequecircncia finita de arcos da forma v1 e1 v2 e2
er-1 vr
onde para cada j = 1 2 r - 1 se tem ej = (vj vj+1) A partir daqui define-
se caminho fechado circuito e ciclo concordantemente
Graus dos veacutertices de um grafo
Uma aresta e de um grafo diz-se incidente sobre o veacutertice v se este for um
dos seus pontos extremos Chama-se grau de um veacutertice v ao nuacutemero de arestas
que incidem sobre esse veacutertice Um veacutertice diz-se iacutempar ou par de acordo com
o seu grau seja um nuacutemero impar ou par respectivamente
Temos que lembrar que um laccedilo incide duas vezes sobre o mesmo veacutertice
pelo que conta duas vezes para efeito do caacutelculo do grau do veacutertice respectivo
Teorema Em qualquer grafo a soma dos graus dos seus veacutertices eacute igual a
duas vezes o nuacutemero das suas arestas
32 Problemas que envolvem grafos
1) Coloraccedilatildeo de grafos o Teorema das quatro cores
O Problema da Coloraccedilatildeo
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Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
40 WWWINSTITUOINECOMBR ndash (31) 3272-9521
middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
FRANK AYRES JR - Aacutelgebra Moderna - - Mcgraw-Hill do Brasil Ltda - 1971
GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
RJ LTC (2001)
MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
INE EAD ndash INSTITUTO NACIONAL DE ENSINO
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47 WWWINSTITUOINECOMBR ndash (31) 3272-9521
MORETTIN PA Meacutetodos quantitativos para economistas e administradores
(1981)
PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta
httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
aprender Porto Alegre ArtMed (1998) 177 p ISBN 85-7307-356-X
SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
39 WWWINSTITUOINECOMBR ndash (31) 3272-9521
Um problema comum que ocorre quando se trabalha com a representaccedilatildeo
de regiotildees na forma de mapas coloridos eacute como representaacute-las de forma que
cada regiatildeo fique visivelmente clara e distinta das demais A soluccedilatildeo para esse
problema se torna possiacutevel se para cada regiatildeo for atribuiacuteda uma cor e assim
cada uma das regiotildees teria uma coloraccedilatildeo distinta das demais Mas todo esse
esforccedilo em se atribuir uma cor para cada regiatildeo natildeo eacute necessaacuterio pois existe
uma teacutecnica de coloraccedilatildeo de mapas que diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa
planar utilizando-se apenas quatro cores
A teoria da coloraccedilatildeo de mapas diz ser possiacutevel colorir qualquer mapa planar
utilizando no miacutemino quatro cores sendo para isso necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma
lista de adjacecircncia de todos as regiotildees
Uma possiacutevel abordagem seria representar o problema proposto por uma
lista de adjacecircncias onde temos um vetor com as regiotildees que devem ser
coloridas e uma lista com os demais elementos que satildeo as regiotildees adjacentes a
este Para o mapa representado acima poderiamos ter a seguinte
representaccedilatildeo
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo A [B C D]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo B [A C E]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo C [A B D E F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo D [A C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo E [B C F]
Lista de Adjacecircncias para a regiatildeo F [C D E]
Essa representaccedilatildeo diz que as regiotildees B C e D satildeo adjacentes a A
as regiotildees A C e E satildeo adjacentes a B as regiotildees A B D E e F satildeo
adjacentes a C e analogamente eacute possiacutevel chegar agraves demais relaccedilotildees
Sendo assim o procedimento para se atribuir as cores certas a cada
regiatildeo eacute o seguinte
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
41 WWWINSTITUOINECOMBR ndash (31) 3272-9521
Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
43 WWWINSTITUOINECOMBR ndash (31) 3272-9521
Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
FRANK AYRES JR - Aacutelgebra Moderna - - Mcgraw-Hill do Brasil Ltda - 1971
GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
RJ LTC (2001)
MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
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MORETTIN PA Meacutetodos quantitativos para economistas e administradores
(1981)
PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta
httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
aprender Porto Alegre ArtMed (1998) 177 p ISBN 85-7307-356-X
SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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middot Escolhe-se uma regiatildeo inicial como por exemplo a regiatildeo A e
atribui-se uma cor a ela
middot para atribuir uma cor para B eacute verificado se dentre as cores
existentes existe uma que natildeo esteja colorindo nenhuma regiatildeo adjacente
a B entatildeo essa cor deveraacute ser escolhida Se todas as cores existentes
estiverem sendo utilizadas em regiotildees vizinhas a B entatildeo uma nova cor eacute
criada
middot o raciociacutenio eacute repetido analogamente para cada uma das regiotildees
subsequentes
Assim sendo pode-se dizer que todas as regiotildees foram coloridas com
a utilizaccedilatildeo de apenas quatro cores e que essas regiotildees natildeo possuem
nenhuma regiatildeo vizinha com a mesma cor que ela possui
2) Conjuntos de Grafos
Conjunto independente
Na teoria dos grafos um conjunto independente de um grafo G eacute um
conjunto S de veacutertices de G tal que natildeo existem dois veacutertices adjacentes
contidos em S Em outras palavras se a e b satildeo veacutertices quaisquer de um
conjunto independente natildeo haacute aresta entre a e b
Todo grafo tem ao menos um conjunto independente o conjunto
vazio Um grafo pode ter vaacuterios conjuntos independentes distintos
Se S eacute um conjunto independente de G e natildeo existe um conjunto
independente de G maior que S diz-se que S eacute um conjunto independente
maacuteximo de G
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
FRANK AYRES JR - Aacutelgebra Moderna - - Mcgraw-Hill do Brasil Ltda - 1971
GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
RJ LTC (2001)
MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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(1981)
PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta
httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
aprender Porto Alegre ArtMed (1998) 177 p ISBN 85-7307-356-X
SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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Fig 16 Exemplo de conjunto independente
FonteJoseacute Sousa Pinto (1999)
3) Problemas de roteamento
a )Sete pontes de Koumlnigsberg
Sete pontes de Koumlnigsberg eacute um famoso problema histoacuterico da matemaacutetica
que foi uma das principais fundaccedilotildees da teoria dos grafos
O problema eacute baseado na cidade de Koumlnigsberg (territoacuterio da Pruacutessia ateacute
1945 atual Kaliningrado na Ruacutessia) que eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia onde haacute
duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na eacutepoca continha
sete pontes Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruiacuteda em
1935 duas foram destruiacutedas durante a Segunda Guerra Mundial e outras duas
foram demolidas para dar lugar a uma uacutenica via expressa Atualmente apenas
duas pontes satildeo da eacutepoca de Leonard Euler
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Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
INE EAD ndash INSTITUTO NACIONAL DE ENSINO
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
FRANK AYRES JR - Aacutelgebra Moderna - - Mcgraw-Hill do Brasil Ltda - 1971
GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
RJ LTC (2001)
MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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MORETTIN PA Meacutetodos quantitativos para economistas e administradores
(1981)
PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta
httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
aprender Porto Alegre ArtMed (1998) 177 p ISBN 85-7307-356-X
SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
INE EAD ndash INSTITUTO NACIONAL DE ENSINO
TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
42 WWWINSTITUOINECOMBR ndash (31) 3272-9521
Fig 17 Sete pontes de Koumlnigsberg
Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as
pontes sem repetir nenhuma Havia-se tornado uma lenda popular a
possibilidade da faccedilanha quando Euler em 1736 provou que natildeo existia
caminho que possibilitasse tais restriccedilotildees
Euler usou o seguinte raciociacutenio transformou os caminhos em retas e suas
intersecccedilotildees em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da histoacuteria
Entatildeo percebeu que soacute seria possiacutevel atravessar o caminho inteiro passando
uma uacutenica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de
onde saiacutesse um nuacutemero iacutempar de caminhos A razatildeo de tal coisa eacute que de cada
ponto deve haver um nuacutemero par de caminhos pois seraacute preciso um caminho
para entrar e outro para sair Os dois pontos com caminhos iacutempares referem-
se ao iniacutecio e ao final do percurso pois estes natildeo precisam de um para entrar e
um para sair respectivamente Se natildeo houverem pontos com nuacutemero iacutempar de
caminhos pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto
podendo esse ser qualquer ponto do grafo Isso natildeo eacute possiacutevel quando temos
dois pontos com nuacutemeros iacutempares de caminhos sendo obrigatoriamente um o
iniacutecio e outro o fim
INE EAD ndash INSTITUTO NACIONAL DE ENSINO
TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
43 WWWINSTITUOINECOMBR ndash (31) 3272-9521
Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
INE EAD ndash INSTITUTO NACIONAL DE ENSINO
TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
44 WWWINSTITUOINECOMBR ndash (31) 3272-9521
Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
45 WWWINSTITUOINECOMBR ndash (31) 3272-9521
Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
FRANK AYRES JR - Aacutelgebra Moderna - - Mcgraw-Hill do Brasil Ltda - 1971
GERSTING JL Fundamentos matemaacuteticos para a Ciecircncia da Computaccedilatildeo
RJ LTC (2001)
MENEZES PB Matemaacutetica discreta para Computaccedilatildeo e Informaacutetica Porto
Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
INE EAD ndash INSTITUTO NACIONAL DE ENSINO
TOacutePICOS ESPECIAIS DE MATEMAacuteTICA
47 WWWINSTITUOINECOMBR ndash (31) 3272-9521
MORETTIN PA Meacutetodos quantitativos para economistas e administradores
(1981)
PINTO Joseacute Sousa (1999) Disponiacutevel em Toacutepicos de Matemaacutetica Discreta
httpwww2matuapttmdtelematpdf Acesso em 18 de julho de 2010
POZO JI A soluccedilatildeo de problemas aprender para resolver resolver para
aprender Porto Alegre ArtMed (1998) 177 p ISBN 85-7307-356-X
SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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Fig 18 Sete pontes de Koumlnigsberg
b) Aacutervore de extensatildeo miacutenima
Dado um grafo natildeo orientado conectado uma aacutervore de extensatildeo deste
grafo eacute um subgrafo o qual eacute uma aacutervore que conecta todos os veacutertices Um
uacutenico grafo pode ter diferentes aacutervores de extensatildeo Noacutes podemos assinalar um
peso a cada aresta que eacute um nuacutemero que representa quatildeo desfavoraacutevel ela eacute
e atribuir um peso a aacutervore de extensatildeo calculado pela soma dos pesos das
arestas que a compotildeem Uma aacutervore de extensatildeo miacutenima (tambeacutem conhecida
como aacutervore de extensatildeo de peso miacutenimo ou aacutervore geradora miacutenima) eacute entatildeo
uma aacutervore de extensatildeo com peso menor ou igual a cada uma das outras aacutervores
de extensatildeo possiacuteveis Generalizando mais qualquer grafo natildeo direcional (natildeo
necessariamente conectado) tem uma floresta de aacutervores miacutenimas que eacute uma
uniatildeo de aacutervores de extensatildeo miacutenimas de cada uma de suas componentes
conexas
Um exemplo de uso de uma aacutervore de extensatildeo miacutenima seria a instalaccedilatildeo
de fibras oacuteticas num campus de uma faculdade Cada trecho de fibra oacutetica entre
os preacutedios possui um custo associado (isto eacute o custo da fibra somado ao custo
da instalaccedilatildeo da fibra matildeo de obra etc) Com esses dados em matildeos (os preacutedios
e os custos de cada trecho de fibra oacutetica entre todos os preacutedios) podemos
construir uma aacutervore de extensatildeo que nos diria um jeito de conectarmos todos
os preacutedios sem redundacircncia Uma aacutervore geradora miacutenima desse grafo nos daria
uma aacutervore com o menor custo para fazer essa ligaccedilatildeo
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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5 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
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Alegre Sagra-Luzzatto Instituto de Informaacutetica da UFRGS Seacuterie Livros
Didaacuteticos nuacutemero 16 (2004) 258 p ISBN 85-241-0691-3
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aprender Porto Alegre ArtMed (1998) 177 p ISBN 85-7307-356-X
SCHEINERMAN ER Matemaacutetica discreta uma introduccedilatildeo Satildeo Paulo
Thomson Learning Ltda (2003) ISBN 85-221-0291-0
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Fig 18 aacutervore geradora miacutenima
c) Problema do caminho miacutenimo
Objetivo minimizaccedilatildeo do custo de percurso de um grafo entre
dois veacutertices custo este dado pela soma dos custos de cada aresta
percorrida
Existem muitos algoritmos para resolver este problema como
por exemplo o Dijkstra e Floyd
bull Algoritmo de Dijkstra determina o custo ou distacircncia miacutenima
entre uma origem e um destino
bull Algoritmo de Floyd determina os custo ou distacircncias miacutenimas
entre todos os pares de veacutertices
d) Problema da inspeccedilatildeo de Rotas (tambeacutem conhecido como o Problema
do Carteiro Chinecircs)
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Percursos Eulerianos percurso que usa cada ligaccedilatildeo exatamente uma
vez como o Problema do Carteiro Chinecircs ldquoo carteiro deseja percorrer
todas as ruas da sua rota um nuacutemero miacutenimo de vezes
e) Problema do caixeiro viajante
Percursos Hamiltonianos percurso que visita cada veacutertice uma uacutenica
vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
(Nilsson 1982)
Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
a Teorema do miacutenimo corte-maacuteximo fluxo
5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
a Rotulaccedilatildeo canocircnica
b Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos
c Maacuteximo subgrafo comum
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vez como o problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que
possua a menor distacircncia comeccedilando numa qualquer cidade entre vaacuterias
visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando agrave cidade inicial
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Fig 19 Problema do caixeiro-viajante
4) Fluxos de rede
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5) conjectura da reconstruccedilatildeo
6) Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)
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