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Tópicos Especiais do Ensino da Matemática II

• Aspectos históricos da Álgebra

• Conhecer a Evolução Histórica da Álgebra e sua importância no Ensino de Matemática.

Tema da aula:

Objetivo:

Professor: Dr. Alcides de Castro Amorim Neto

AULA

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Ementa:Aspectos históricos da Álgebra. Uso de material dourado para ensino de equações e inequações. Equações. Inequações. Expressões algébricas. Produtos Notáveis e sua representação geométrica. Polinômios. Metodologias de ensino e aprendizagem para estudo de equações como jogos e material concreto. 3

Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w’al-muqabalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm).

4

Uma tradução literal do título completo do livro é a “ciência da restauração (ou reunião) e redução”, matematicamente seria melhor “ciência da transposição e cancelamento”.

5


x2 + 5x + 4 = 4 - 2x + 5x3

6


x2 + 5x + 4 = 4 - 2x + 5x3 al-jabr fornece x2 + 7x + 4 = 4 + 5x3

7



e al-muqabalah fornece

8



e al-muqabalah fornece x2 + 7x = 5x3

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A Álgebra é um campo da matemática no qual se pode observar situações conflitantes, como alunos capazes de operar com símbolos matemáticos e, contudo, incapazes de fazer generalizações.

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Álgebra é um dos campos fundamentais da Matemática; o aluno que não tem familiaridade com a linguagem algébrica e não desenvolveu a habilidade para fazer generalizações pode estar sujeito ao fraco desempenho em atividades matemáticas que exigem a abstração.

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Álgebra Retórica “Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes contêm.”

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Álgebra Sincopada5xy + √35 – 12, era expressa da seguinte maneira (o significado é dado abaixo):

ya ka 5 bha k(a) 35 ru 12

x y 5 produto irracional 35 nº “puro” -12

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Álgebra Simbólica (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

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Cardano (1545): cubus p 6 rebus aequalis 20.x3 + 6x = 20

15


Cardano (1545): cubus p 6 rebus aequalis 20.x3 + 6x = 20

Bombelli (1572): I . p . 8 . Equale à 20x6 + 8x3 = 20

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Viete (1591): I QC – 15 QQ + 85 C – 225 Q + 274 N aequatur 120

x5 – 15x4 + 85x3 – 225x2 + 274x = 120

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x5 – 15x4 + 85x3 – 225x2 + 274x = 120

Harriot (1631): aaa – 3bba — +2 . ccc.a3 – 3b2a = 2c3

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x5 – 15x4 + 85x3 – 225x2 + 274x = 120

Harriot (1631): aaa – 3bba — +2 . ccc.a3 – 3b2a = 2c3

Descartes (1631): x3 – 6xx + 13x – 10 ∞ 0

Wallis (1693): x4 + bx3 + CXX + dx + e = 019

Curiosidades: • O símbolo de igualdade (=) foi criado por Robert Recorde

(1557);

20


(1557); • O símbolo da √ foi criado por Christoff Rudoff em seu

livro álgebra Die coss (1525).

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livro álgebra Die coss (1525). • A notação moderna que utiliza expoentes negativos e

fracionários foi introduzida por Isaac Newton.

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livro álgebra Die coss (1525). • A notação moderna que utiliza expoentes negativos e

fracionários foi introduzida por Isaac Newton. • Leonhard Euler criou os símbolos: ∑; f (x) e ( ); foi o

primeiro a utilizar a letra i na representação dos números complexos. Ainda consagrou a letra π como constante geométrica.

mn

23

Curiosidades: • Christian Kramp de Strasbourg, França, em 1808 criou o

símbolo de n! para o fatorial.

24


símbolo de n! para o fatorial. • Carl Friedrich Gauss empregou a letra Π para representar

certos produtos.

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certos produtos. • A Gottfried Wilhelm Leibniz se deve a criação do ∫ e ;dy

dx

26



certos produtos. • A Gottfried Wilhelm Leibniz se deve a criação do ∫ e ; • A representação de sucessivas derivações da função f(x)

por f’(x), f’’(x), f’’’(x) foi de Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813), que apareceu pela primeira vez em seu livro THÉORIE DES FONCTIONS ANALYTIQUES, de 1797.

dydx

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Equações e inequações

28

O conceito de equação traz consigo várias formas de resolução. Consiste basicamente em estabelecer uma igualdade entre duas expressões. Podem se encontrar diferentes tipos de equações: linear, quadrática, de primeiro, segundo e terceiro grau, etc.

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O conceito matemático de inequação tenta representar aquelas relações que não são de equivalência, se diferenciando ou sendo totalmente oposta ao conceito de equação que representa uma igualdade.a ≠ ba < ba ≤ ba > ba ≥ b

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Material Dourado

Maria Montessori (1870 a 1952)

A primeira ideia que uma criança precisa ter é a da diferença entre o

bem e o mal. E a principal função do educador é cuidar para que ela não

confunda o bem com a passividade e o mal com a atividade.

31

Sistema de Numeração Decimal

100u

32


100u 10u

33


100u 10u 1u

34

16u

Número

35

16u

Número Material Dourado

36

16u

Número Material Dourado Desenho

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Cálculo de ÁreaMontar dois retângulos e dois quadrados

utilizando os cubinhos do Material Dourado, com as quantidades de cubinhos que

desejarem. Em seguida desenhar as figuras em folhas de papel quadriculado, indicando a

medida de cada lado, calculando o perímetro e a área de cada figura.

38

Cálculo de ÁreaFigura 1

Figura 3

Figura 2

Figura 4

39

Figura 01 – Retângulo: 3u x 5u – Perímetro: 3 + 5 + 3 + 5 = 16u.p.

Área: 3 x 5 = 15 u.a.

40

Figura 02 – Retângulo: 1u x 9u – Perímetro: 1 + 9 + 1 + 9 = 20u.p.

Área 1 x 9 = 9u.a.

41

Figura 03 – Quadrado: 2u x 2u – Perímetro: 2 + 2 + 2 + 2 = 8u.p.

Área: 2 x 2 = 4u.a.

42

Figura 04 – Quadrado: 3u x 3u – Perímetro: 3 + 3 + 3 + 3 = 12u.p.

Área: 3 x 3 = 9u.a.

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Equação do 2º Grau - Aryabhata (séc. VI d.C); Brahamagupta (séc. VII d.C); Sridhara (séc. XI d. C) e Bhaskara (1114-1185). Dado:ax2 + bx + c = 0 a ≠ 0

Tem-se: X= - b ±

2a b2 -4ac

45

Exemplo:Uma praça retangular mede 12m de comprimento e 8m de largura. Aos fundos dessa praça e em uma de suas laterais, serão acrescentadas duas faixas, as quais serão plantadas grama.

8m

12m

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Exemplo:Uma praça retangular mede 12m de comprimento e 8m de largura. Aos fundos dessa praça e em uma de suas laterais, serão acrescentadas duas faixas, as quais serão plantadas grama.

8m

x

x12m

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Com essa expansão, a nova área da praça será 192m². Qual é a largura dessas faixas em que será plantada grama?

48

Resolução:De acordo com a figura e os dados do problema, podemos afirmar que as novas dimensões da praça é (x + 12) e (x + 8) e a nova área 165m2.

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Resolução:De acordo com a figura e os dados do problema, podemos afirmar que as novas dimensões da praça é (x + 12) e (x + 8) e a nova área 165m2. Sabendo que a área do retângulo é igual ao produto de suas dimensões, podemos, então, escrever:

(x + 12) . (x + 8) = 165

50

Desenvolvendo os cálculos obtemos:x2 + 8x + 12x + 96 = 165x2 + 20x + 96 – 165 = 0x2 + 20x – 69 = 0

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DefiniçãoDenomina-se equação do 2º grau na incógnita x toda equação da forma ax2 + bx + c = 0, em

que a, b e c são números reais e a ≠ 0.(GIOVANNI e CASTRUCCI, 2009, p.96)

52

Equações do 2º grau completas e incompletas, utilizando o Material Dourado

53

Material Dourado

54

Material Dourado Desenho representativo

1 1

1

55

Material Dourado

56


1x x

1 57

Material Dourado

58


x2x

x

59

Exemplosa) x² + 3x +2 = 0

60


61


x + 1

x + 2

62

b) 2x² + 4x = 0

63

b) 2x² + 4x = 0

64

b) 2x² + 4x = 0

x + 2

x + x

65

c) x² + 5x = 0

66

c) x² + 5x = 0

67

c) x² + 5x = 0

x + 5

x

68

d) 2x2 – 3x = 0

69

d) 2x2 – 3x = 0

70

d) 2x2 – 3x = 0

2x - 3

x

71

e) x2 – 2x + 1 = 0

72

e) x2 – 2x + 1 = 0

73

e) x2 – 2x + 1 = 0

x -1

x -174

Em todos os casos podemos interpretar o cálculo da área como uma fatoração de polinômio. E como temos um produto a . b = 0 por ser um anel de integridade temos que a = 0 ou b = 0. O que nos dá a solução das equações.

75

Exemplo: 2x² + 3x + 1 = 0

76

Exemplo: 2x² + 3x + 1 = 0

2x + 1

x + 1

77

Exemplo: 2x² + 3x + 1 = 0

2x + 1

x + 1

78

Solução:(2x + 1) . (x + 1) = 0

79

Solução:(2x + 1) . (x + 1) = 02x + 1 = 0 x + 1 = 0

80

Solução:(2x + 1) . (x + 1) = 02x + 1 = 0 x + 1 = 02x = -1 x = -1

81

Solução:(2x + 1) . (x + 1) = 02x + 1 = 0 x + 1 = 02x = -1 x = -1

x= -12

; -1

82

Exemplo: a) x2 + 4x = 0

83


x + 484


x + 4

x

85

Resolução x . (x + 4) = 0x = 0 x + 4 = 0 x = -4S = {0, 4}

x + 4

x

86

Exemplo: b) 3x2 + 2x = 0

3x + 2

87

Exemplo: b) 3x2 + 2x = 0

3x + 2

x

88

Resolução x . (3x + 2) = 0x = 0

3x + 2 = 03x = -2x =

S =

3x + 2

x

0 ; -23

-23

89

Exemplo: c) 2x2 – 2x = 0

90


2x + 2

x

91


2x + 2

x

92

Resolução Resoluçãox . (2x – 2) = 0x = 0 2x – 2 = 0 2x = 2 x = 2 2 x = 1 S = {0, 1} 2x + 2

x

93

Exemplo: d) x2 + 3x + 2 = 0

94

Exemplo: d) x2 + 3x + 2 = 0

x + 195

Exemplo: d) x2 + 3x + 2 = 0

x + 1

x + 2

96

Resolução (x + 1) . (x + 2) = 0x + 1 = 0 x + 2 = 0x = -1 x = -2

S = {-1, -2}

x + 1

x + 2

97

Exemplo: e) 3x2 + 7x + 4 = 0

98

Exemplo: e) 3x2 + 7x + 4 = 0

3x + 4

x + 1

99

Exemplo: e) 3x2 + 7x + 4 = 0

3x + 4

x + 1

100

Resolução (x + 1) . (3x + 4) = 0x + 1 = 0 3x + 4 = 0x = -1 3x + -4 x = S =

3x + 4

x + 1

3

3-4

-4

-1;

101

Exemplo: f) 2x2 + 8x + 8 = 0

102

Exemplo: f) 2x2 + 8x + 8 = 0

2x + 4

x + 2

103

Exemplo: f) 2x2 + 8x + 8 = 0

2x + 4

x + 2

104

Resolução(x + 2) . (2x + 4) = 0x + 2 = 0 2x + 4 = 0x = -2 2x = -4 x = -4 2 x = -2S = {-2}

2x + 4

x + 2

105

Exemplo: g) 2x2 – 3x + 1 = 0

106

Exemplo: g) 2x2 – 3x + 1 = 0

x - 1

2x + 1

2x + 4

107

Exemplo: g) 2x2 – 3x + 1 = 0

x - 1

2x - 1

2x + 4

108

Resolução(x – 1) . (2x – 1) = 0x – 1 = 0 2x – 1= 0x = 1 2x = 1 x = 1 2 S =

x - 1

2x + 1

2x + 421

1 ;

109

Exemplo: h) x2 – 3x + 2 = 0

110

Exemplo: h) x2 – 3x + 2 = 0

x - 1

x - 2 111

Resolução(x – 2) . (x – 1) = 0x – 2 = 0 x – 1 = 0x = 2 x = 1S = {1, 2}

x - 1

x - 2 112

O material construído deverá conter as seguintes peças: 18 quadrados medindo 10cm x 10cm; 35 retângulos medindo 10cm x 1 cm; 20 quadradinhos medindo 1cm x 1cm.

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Utilizando as peças representativas do Material Dourado, montar e resolver as seguintes equações:

a) x2 + 4x = 0 b) 3x2 + 2x = 0 c) 2x2 – x = 0 d) x2+ 3x +2 = 0 e) 3x2 + 7x + 4 = 0

f) 2x2 + 8x + 8 = 0 g) 2x2 – 3x + 1 = 0 h) x2 – 3x + 2 = 0

114

Para a realização dessas atividades os alunos deverão montar a equação proposta com as peças representativas feitas com o papel sulfite colorido do Material Dourado, colar as mesmas em outro papel sulfite (branco), e resolvê-las em seguida.

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