Tipos de errores Ejemplos

Error absoluto Se tienen 2,000ml de leche almacenada, pero al momento

de pasarla a un tanque de agitación para su proceso ya no

mide lo mismo tenemos 1,999, entonces el error absoluto

será de la forma 2,000-1999=1.

Error relativo Tomamos el mismo ejemplo para calcular el error

relativo: se divide el valor absoluto entre el valor exacto

quedaría así: 1,999/2,000=0,999.

Error relativo aproximado Seguimos con el mismo ejemplo:

Error por truncamiento En este caso la cifra utilizada es 1,999 utilizamos toda la

cifra después del punto decimal

Error por redondeo En este caso utilizaríamos 1,9 redondeando 1,999ml

2. Construir un cuadro comparativo de los métodos para calcular la raíz de una

ecuación; teniendo en cuenta el número de iteraciones, condiciones, aproximaciones

(formula), ilustrándolo con al menos un ejemplo.

Cuadro comparativo

MÉTODOS PARA

CALCULAR LAS

RAÍCES DE UNA

ECUACIÓN

DEFINICIÓN EJEMPLO

Método de bisección

Este es uno de los métodos de

aproximación más antiguo

método que requiere dividir

repetidamente a la mitad los

subintervalos de [a; b] y, en

cada paso, localizar la mitad

que contenga a p. Para empezar

se supone que a1=a y b1=b y

que sea p1 el punto medio de f

(a1) y f (b1). Supongamos que

f(x) es una función continúa

definida en el intervalo [a, b]

con f(a) y f (b) de signos

diferentes.

La función f(x) = xsenx – 1 tiene

un cero en el intervalo [0,2],

porque f (0) = -1 y f

(2)=0.818595.

Si se denota con entonces:

c1 = 1. Ahora f (c1) = f (1) =

= -0.158529, luego la función

tiene un cero en el intervalo [c1,

b1] = [1,2] ; se renombra

a2=c1 y b2=b1.

El de bisección nos dice que de

acuerdo al teorema del valor

intermedio existe un número p

en a, b tal que f (p)=0. Aunque

el procedimiento en el caso en

que f(a) y f (b) tengan signos

diferentes y exista más de una

raíz en el intervalo (a, b), por

razones de simplicidad

suponemos que la raíz de este

intervalo es única. el método

resumido consiste en lo

siguiente: debe existir

seguridad sobre la continuidad

de la función f(x) en el

intervalo [a,b]. A continuación

se verifica que f(a)*f(b) <0, se

calcula el punto medio m del

intervalo [a,b] y se evalúa f(m)

si ese valor es igual a cero, ya

hemos encontrado la raíz

buscada en caso de que no lo

sea, verificamos si f(m) tiene

signo opuesto con f(a) o con

f(b) se redefine el intervalo [a,

b] como [a, m] ó [m, b] según

se haya determinado en cuál de

estos intervalos ocurre un

cambio de signo, con este

nuevo intervalo se continúa

sucesivamente encerrando la

solución en un intervalo cada

vez más pequeño, hasta

alcanzar la precisión deseada

El nuevo punto medio es y

f (c2) = f (1.5) = 0.496242, el

cero está en el intervalo

[a2, c2] y se renombra como:

[a3, b3].

Método de la regla

falsa

El método de la regla falsa

combina dos métodos el de

bisección y el de la secante.

Este método consiste en

encontrar la raíz de una

ecuación. La ecuación tiene la

forma f(x), es decir, es una

función de x. Además, f(x) está

definida en el intervalo [a, b].

Este método requiere de varias

condiciones:

Este método se basa en la

siguiente ecuación

un ejemplo paso a paso en la

búsqueda de una raíz por este

método es:

1.- F(a)*f (b) < 0 Es decir, que

el producto de la función de x,

f(x), evaluada en a, f(a),

multiplicada por la función de

x, f(x), evaluada en b, f (b), sea

negativo (menor a cero). 2.-

Que la función f(x) se

aproxime por otra función

L(x).

Método de newton

raphson

Este método es un método

iterativo, es uno de los métodos

más usados y efectivos a

diferencia de los métodos

anteriores, el método de

newton raphson no trabaja con

formula si no que se basa en su

fórmula iterativa

Esta es la fórmula :

1. Expresamos la ecuación en la

forma f(x) = 0, e identificamos la

función

f. En el ejemplo es

f(x) = ex −1x

2. Calculamos la derivada

f0(x) = ex +1/

3. Construimos la fórmula de

recurrencia:

Método iterativo de

punto fijo

Este método sirve para

encontrar las raíces de una

ecuación y consiste en los

siguientes pasos: 1.- Nos deben

dar la función a la cual le

debemos encontrar la raíz, es

decir, debemos conocer f(x)=0.

Ejemplo: f(x)= 0.5*x - 4 = 0

2.- Nos deben de dar un valor

inicial . Ejemplo = 0. 3.-

De la función f(x) debemos de

despejar x de manera que

encontremos una nueva

función de x llamada ahora

g(x).

Ejemplo:

F(x) = x2 - 2x - 3 = 0, tiene dos

ceros. x = 3 y x = -1

Supóngase que se reordena para

lograr la forma equivalente:

Si se comienza con x0 = 4 y se

itera con la iteración de punto

fijo (1), los valores sucesivos de

x son:

Parece que los valores convergen

a x = 3.