trabajo colaborativo final no. 2 grupo_no_175
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ALGEBRA LINEAL
Trabajo Colaborativo No. 2
Grupo: 100408_175
Presentado Por:
MAURICIO PATIÑO CAMARGO_ 79914320
JIMMY FERNEY CHAMBO CARO_79951320 MAURICIO RAMIREZ PITA_ 79912529
TUTOR:
IVAN FERNANDO AMAYA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA- UNAD
MAYO DE 2012
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INTRODUCCIÓN
Con este trabajo se pretende que el estudiante reconozca algunos aspectos que
son fundamentales para abordar el estudio de la Algebra Lineal, por eso se
presenta a través de ejercicios prácticos el afianzamiento de dichos conceptos.
En la unidad 2 del programa de Algebra Lineal se aborda la resolución de sistemas
de ecuaciones lineales de forma gráfica y de forma analítica, viéndose en este
último caso los tres métodos conocidos de resolución de sistemas: sustitución,
igualación y reducción. Estos métodos nos permiten a la vez afrontar el
planteamiento y resolución de problemas diversos.
Se hace un reconocimiento general de la unidad 2 del curso de álgebra lineal, y se
presentan una serie de ejercicios desarrollados para aplicar dichos conocimientos.
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OBJETIVOS
- Aplicar el método de Gauss Jordan para solucionar sistemas de ecuaciones
lineales.
- Afianzar mediante ejercicios prácticos los conocimientos adquiridos en la
unidad 2 del programa de Algebra Lineal.
- Comprender los fundamentos teóricos de los sistemas lineales, rectas,
planos y los principios de espacio vectorial, a través del estudio, análisis y
solución de diferentes ejercicios.
- Conocer los sistemas de ecuaciones lineales, sus aplicaciones y solucionar
dichos sistemas a través de la práctica.
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DESARROLLO DE PROBLEMAS Y EJERCICIOS
1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:
1.1 -x -4y-7z = -12
5x – 7y -3z = -5
-8x + 5y +6z= 3
-1 -4 -7 -12
5 -7 -3 -5 , Ahora llevemos la matriz a su forma escalonada
-8 5 6 3
-1 f1 1 4 7 12
5 -7 -3 -5
-8 5 6 3
5f1-f2 1 4 7 12
0 27 38 65
-8 5 6 3
8f1+ f3 1 4 7 12
0 27 38 65
0 37 62 99
F2/ 27 1 4 7 12
0 1 38/27 65/27
0 37 62 99
4F2+ f1 1 0 37/27 64/27
0 1 38/27 65/27
0 37 62 99
-37f1+ f3 1 0 37/27 64/27
0 1 38/27 65/27
0 0 268/27 268/27
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27
268𝑓3 1 0 37/27 64/27
0 1 38/27 65/27
0 0 1 1
−38
27𝑓3 + 𝑓2 1 0 37/27 64/27
0 1 0 1
0 0 1 1
−37
27𝑓3 + 𝑓1 1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
Donde:
X= 1
Y= 1
Z = 1
1.2 3x - y - z + 4w= -10
8x –-3y -z – 2w= -18
3 -1 -1 4 10
8 -3 -1 -2 -18
F1/3 1 −1
3
−1
3
4
3
10
3
8 -3 -1 -2 -18
-8 f1+f2 1 −1
3
−1
3
4
3
10
3
0 −1
3
5
3
−38
3
−134
3
-3 f2 1 −1
3
−1
3
4
3
10
3
0 1 -5 38 134
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1
3 f2+f1 1 0 -2 14 48
0 1 -5 38 134
La ecuación quedaría de la siguiente forma:
X – 2z + 14w = 48
Y – 5z + 38w=134
Despejamos x,y respectivamente y las ecuaciones poseen múltiples soluciones:
X= 48+ 2z- 14w
Y= 134+ 5z -38w
2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el
método que prefiera para hallar 𝐴−1).
𝑥 − 𝑦 − 7𝑧 = −8 3𝑥 − 8𝑦 − 2𝑧 = −7 −5𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −2
Solución Encontremos el determinante
𝐷𝑒𝑡𝐴 = 1 − 1 − 73 − 8 − 2−5 2 1
= 227
1 − 1 − 73 − 8 − 2−5 2 1
1 0 00 1 00 0 1
𝑓2 − 3𝑓1 1 − 1 − 70 − 5 19−5 2 1
1 0 0−3 1 0 0 0 1
𝑓3 + 5𝑓1 1 − 1 − 70 − 5 190 − 3 − 34
1 0 0−3 1 0 5 0 1
−1
5 𝑓2
1 − 1 − 7
0 1 19
5
0 − 3 − 34
1 0 03
5
−1
5 0
5 0 1
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𝑓3 + 3𝑓2
1 − 1 − 7
0 1 19
5
0 0 −227
5
1 0 03
5
−1
5 0
34
5
−3
5 1
−5
227 𝑓3
1 − 1 − 7
0 1 19
5
0 0 1
1 0 03
5
−1
5 0
34
227
−3
227
−5
227
𝑓2 + 19
5 𝑓3
1 − 1 − 70 1 00 0 1
1 0 07
227
−34
227
−19
227
34
227
−3
227
−5
227
𝑓1 + 𝑓2
1 0 − 7
0 1 00 0 1
234
227
−34
227
−19
2277
227
−34
227
−19
227
34
227
−3
227
−5
227
𝑓1 + 7𝑓3
1 0 0
0 1 00 0 1
−4
227
−13
227
−54
2277
227
−34
227
−19
227
34
227
−3
227
−5
227
𝐴−1 =
−4
227
−13
227
−54
2277
227
−34
227
−19
227
34
227
−3
227
−5
227
−4
227
−13
227
−54
2277
227
−34
227
−19
227
34
227
−3
227
−5
227
231220261
𝑥 =231
227
𝑦 =220
227
𝑧 =261
227
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𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧
3.1. Las ecuaciones simétricas de la recta son:
𝑥 − 7
−8=
𝑦 + 1
6=
𝑧 − 1
−4
Las ecuaciones paramétricas de la recta son
𝑖 : 𝑥 = −8𝑡 + 7
𝑗 : 𝑦 = 6𝑡 − 1
𝑘 : 𝑧 = −4𝑡 + 1
3.2
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 5,3, −7 y el 𝑣 = 3𝑖 − 4𝑗 + 7𝑘
𝑥 = 5 + 3𝑡
𝑦 = 3 − 4𝑡
𝑧 = −7 + 7𝑡
𝐋𝐚𝐬 𝐚𝐧𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐬𝐨𝐧 𝐥𝐚𝐬 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐩𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚
𝐋𝐚𝐬 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐬𝐢𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬 𝐬𝐞 𝐨𝐛𝐭𝐢𝐞𝐧𝐞𝐧 𝐝𝐞𝐬𝐩𝐞𝐣𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐚 𝐭 𝐞 𝐢𝐠𝐮𝐚𝐥𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐥𝐨𝐬 𝐫𝐞𝐬𝐮𝐥𝐭𝐚𝐝𝐨𝐬.
𝑥 − 5
3=
𝑦 − 3
−4=
𝑧 + 7
7
4.
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Solución
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑃𝑄 𝑦 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑄𝑅
𝑃𝑄 = 5 + 8 𝑖 + −4 − 5 𝑗 + −8 − 0 𝑘
𝑃𝑄 = 13𝑖 − 9𝑗 − 8𝑘
𝑃𝑅 = −3 + 8 𝑖 + −5 − 5 𝑗 + 1 − 0 𝑘
𝑃𝑅 = 5𝑖 − 10𝑗 + 1𝑘
𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑃𝑄 𝑦 𝑃𝑅 𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒.
𝑃𝑄 𝑋𝑃𝑅 = 𝑖 𝑗 𝑘
13 −9 −85 −10 1
→ 𝑖 −9 −8−10 1
− 𝑗 13 −85 1
+ 𝑘 13 −95 −10
−89𝑖 − 53𝑗 − 85𝑘
𝑇𝑜𝑚𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (−3,−5,1)
𝜋1: −89 𝑥 + 3 − 53 𝑦 + 5 − 85 𝑧 − 1
𝜋1: −89𝑥 − 267 − 53𝑦 − 265 − 85𝑧 + 85 = 0
𝜋1: −89𝑥 − 53𝑦 − 85𝑧 = 267 + 265 − 85
𝜋1: −89𝑥 − 53𝑦 − 85𝑧 = 447
𝑆𝑒𝑎 𝜋 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒
𝜋: −5 𝑥 + 7 − 2 𝑦 + 8 + 6 𝑧 + 8 = 0
𝜋: −5𝑥 − 35 − 2𝑦 − 16 + 6𝑧 + 48 = 0
𝜋: −5𝑥 − 2𝑦 + 6𝑧 = 3
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𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙𝑙𝑜
𝐷𝑒 𝜋1 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑛 = 1𝑖 − 5𝑗 − 8𝑘
𝐷𝑒 𝜋2 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑛 = −2𝑖 − 5𝑗 − 7𝑘
𝑛 𝑋𝑛 = 𝑖 𝑗 𝑘1 −5 −8
−2 −5 −7 → 𝑖
−5 −8−5 −7
− 𝑗 1 −8
−2 −7 + 𝑘
1 −5−2 −5
−5𝑖 + 23𝑗 − 15𝑘 ≠ 0𝑖 + 0𝑗 + 0𝑘 Por lo tanto los planos no son paralelos.
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑐𝑖ó𝑛
1 −5 −8−2 −5 −7
109
2𝑓1 + 𝑓2 = 𝑓2 1 −5 −80 −15 −23
1029
−1
15𝑓2 = 𝑓2
1 −5 −8
0 123
15
10
−29
15
5𝑓2 + 𝑓1 = 𝑓1 1 0
−1
3
0 123
15
1
3−29
15
𝐷𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑥 −1
3𝑧 =
1
3 𝑦 +
23
15𝑧 =
−29
15
𝑥 =1
3+
1
3𝑧 𝑦 =
−29
15−
23
15𝑧 z=z Si hacemos z = t, se tienen las
ecuaciones paramétricas de la recta donde se interceptan los dos planos.
𝑥 =1
3+
1
3𝑡 ; 𝑦 =
−29
15−
23
15𝑡 ; z=t
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CONCLUCIONES
Con el desarrollo de este trabajo reconocimos y aplicamos los conceptos y
ejercicios de la Unidad 2, sistemas lineales, rectas, planos y espacios vectoriales.
Esta materia tiene una gran importancia, ya que nos permite resolver los diferentes enfoques empresariales en lo que respecta a su desarrollo financiero y que a través de matrices, sistemas lineales podremos evidenciar su
funcionamiento y así tomar de decisiones, respecto al rumbo que deberá tomar una compañía en determinadas situaciones.
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BIBLIOGRAFIA
ZUÑIGA, CAMILO ALBERTO. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA. MODULO ALGEBRA LINEAL. Bogotá D.C. 2010
http://intranet.iesmediterraneo.es/filesintranet
http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/matrices/index.html
http://html.rincondelvago.com/matrices-y-determinantes.html