MÉTODOS NUMÉRICOS

GRUPO: 100401_48

TRABAJO COLABORATIVO 1

ESTUDIANTE

LEIDER MARINO CAICEDO OBANDO COD. 4669370

TUTOR

MARTIN GÓMEZ ORDUZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

CALI, 9 DE MARZO DE 2016

INTRODUCCIÓN.

DESARROLLO DEL TRABAJO NO. 1

1. Desde su campo de formación plantee y de solución a dos ejemplos sobre los tipos de errores (error absoluto, relativo, error relativo aproximado, error por truncamiento y por redondeo), teniendo en cuenta la precisión y exactitud de los mismos.

1. Del siguiente ejemplo determine el error absoluto y relativo:

El área de una casa es de 18m2 y su valor exacto en un registro en 20m2. Se calculará en error absoluto y relativo y análisis de su diferencia.

Error absoluto:

V e=¿20m2¿

V a=18m2

Ea=|V e−V a|

Ea=(20−18)m2

Ea=2m2

Error relativo:

Er=EaV e

∗100

Er=2m2

20m2∗100

Er=10%

Nota: Los valores obtenidos de valor absoluto y relativo son cercanos pero son diferentes en su resultado, ya que el valor absoluto se expresa en unidades de los valores medidos y el error relativo se expresa en porcentaje.

2. Del siguiente ejemplo determine el error por truncamiento y por redondeo.

Aproximar por truncamiento y redondeo el siguiente número irracional: π ≈3,141592654

Por truncamiento: ( Se descartan las cifras menos significativas) π ≈3,141592654π ≈3,1415

Por redondeo: (Se redondea al entero siguiente de acuerdo a las cifras significativas que se deseen tomar).

π ≈3,141592654π ≈3,1416

2. Construir un cuadro comparativo de los métodos para calcular la raíz de una ecuación; teniendo en cuenta el número de iteraciones, condiciones, aproximaciones (formula), ilustrándolo con al menos un ejemplo.

Método de la bisección

Consiste en partir de un intervalo [x0,x1]tal que f(x0) f(x1) < 0, por lo que sabemos que existe, al menos, una raíz real. A partir de este punto se va reduciendo el intervalo sucesivamente hasta hacerlo tan pequeño como exija la precisión que hayamos decidido emplear.

Método de las aproximaciones sucesivas

Dada la ecuación f(x) = 0, el método de las aproximaciones sucesivas reemplaza esta ecuación por una equivalente, x=g(x), definida en la forma g(x)=f(x)+x. Para encontrar la solución, partimos de un valor inicial x0 y calculamos una nueva aproximación x1=g(x0). Reemplazamos el nuevo valor obtenido y repetimos el proceso. Esto da lugar a una sucesión

de valores , que si converge, tendrá como límite la solución del problema.

Método de Newton

Este método parte de una aproximación inicial x0 y obtiene una aproximación mejor, x1, dada por la fórmula:

  La expresión anterior puede derivarse a partir de un desarrollo en serie de Taylor. Efectivamente, sea r un cero de f y sea x una aproximación a r tal que r=x+h. Si f'' existe y es continua, por el teorema de Taylor tenemos:

0 = f(r) = f(x+h) = f(x) + hf'(x) + O(h2)En donde h=r-x. Si x está próximo a r (es decir hes pequeña), es razonable ignorar el término O(h2):

0 = f(x) + hf'(x) por lo que obtenemos la siguiente expresión para h:

 

Método de la secante

El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximación de acuerdo con la expresión:

 

Método de Steffensen

El método de Steffensen presenta una convergencia rápida y no requiere, como en el caso del método de la secante, la evaluación de derivada alguna. Presenta además, la ventaja adicional de que el proceso de iteración sólo necesita un punto inicial. Este método calcula el siguiente punto de iteración a partir de la expresión:

Método de la falsa posición

El método de la falsa posición pretende conjugar la seguridad del método de la bisección con la rapidez del método de la secante. Este método, como en el método de la bisección, parte de dos puntos que rodean a la raíz f(x) = 0, es decir, dos puntos x0 y x1tales que f(x0)f(x1) < 0. La siguiente aproximación, x2, se calcula como la intersección con el eje X de la recta que une ambos puntos. La asignación del nuevo intervalo de búsqueda se realiza como en el método de la bisección: entre ambos intervalos, [x0,x2] y [x2,x1], se toma aquel que cumpla f(x)f(x2) < 0.

3. Demostrar que f ( x )=x3+4 x2−10 tiene una raíz en [1, 2] y utilizando el Método de bisección determine una aproximación a la raíz con una precisión de al menos 10−4

x y0 -10

0,25 -9,734375

0,5 -8,8750,75 -

7,3281251 -5

1,25 -1,796875

1,5 2,3751,75 7,609375

2 14

x3+4 x2−10

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Iteración a b xr f(a) f(b) f(xr) f(a)*f(xr) error%0 2 3 2,5 14 53 30,625 428,751 2,5 3 2,75 30,625 53 41,04688 1257,061 9,0909092 2,75 3 2,875 41,04688 53 46,82617 1922,068 4,3478263 2,875 3 2,9375 46,82617 53 49,86304 2334,895 2,127664 2,9375 3 2,96875 49,86304 53 51,41891 2563,903 1,0526325 2,96875 3 2,984375 51,41891 53 52,2063 2684,391 0,523566 2,984375 3 2,992188 52,2063 53 52,60236 2746,174 0,2610977 2,992188 3 2,996094 52,60236 53 52,80098 2777,456 0,1303788 2,996094 3 2,998047 52,80098 53 52,90044 2793,195 0,0651479 2,998047 3 2,999023 52,90044 53 52,95021 2801,089 0,032563

10 2,999023 3 2,999512 52,95021 53 52,9751 2805,043 0,01627911 2,999512 3 2,999756 52,9751 53 52,98755 2807,021 0,00813912 2,999756 3 2,999878 52,98755 53 52,99377 2808,01 0,00406913 2,999878 3 2,999939 52,99377 53 52,99689 2808,505 0,00203514 2,999939 3 2,999969 52,99689 53 52,99844 2808,753 0,00101715 2,999969 3 2,999985 52,99844 53 52,99922 2808,876 0,00050916 2,999985 3 2,999992 52,99922 53 52,99961 2808,938 0,00025417 2,999992 3 2,999996 52,99961 53 52,99981 2808,969 0,000127

4. Usando el Método de la Regla Falsa aproximar la raíz de 𝑓(𝑥)= 𝑒−𝑥(3,2𝑠𝑒𝑛(𝑥)−0,5𝑐𝑜𝑠(𝑥)) en el intervalo [1, 2] con ξa = 0,001

f ( x )=e−x ¿

a=0 - xi =1

Formulas:

x i=bf (a )−af (b)f (a )−f (b)

N a xi b f(a) f(xi) f(b) Error1 0 0,35939975 1 -0,5 0,458945

690,891208

552 0 0,20625283 0,458945

69-0,5 0,135010

820,612580

330,7425202

93 0 0,1522285 0,135010

82-0,5 -

0,00769981

-0,056552

08

0,35488978

4 -0,0076998

1

0,1521049 0,13501082

-0,528679

43

-0,008044

58

-0,056552

08

0,00081257

En donde se tiene que:Error porcentual=0,08

Enuna aproximaciónde : x4=0.1521049

CONCLUSIONES.

REFERENCIAS.

https://www.youtube.com/watch?v=5e1GUYfnc9I

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100401/MODULO_2013-2/leccin_10_iteracin_o_mtodo_iterativo_de_punto_fijo_y_ejercicios_de_la_unidad.html

https://www.academia.edu/3524266/Raices_de_ecuaciones_lineales_por_el_metodos_de_punto_fijo