MECANICA COMPUTACIONAL

METODOS NUMERICOS PARA LA SOLUCION DE RAICES

INTEGRANTES:JHONNY LOZANO LEALJESSAELL STEFFAN MENDOZA PARADA

PRESENTADO A:CARLOS OCAMPO

UNIVERSIDAD DE PAMPLONAPAMPLONA2014

Mtodo de Newton-Raphson IntroduccinEl mtodo de Newton-Raphson es un mtodo iterativo que nos permite aproximar la solucin de una ecuacin del tipo f(x)=0.Partimos de una estimacin inicial de la solucin x0 y construimos una sucesin de aproximaciones de forma recurrente mediante la frmula

Por ejemplo, consideremos la ecuacin

En este caso es imposible despejar la incgnita, no obstante, si representamos las curvas y = , y = 1/x en el intervalo x [0,4], es evidente que la ecuacin tiene una solucin en este intervalo.

Para aplicar el mtodo de newton-Raphson, seguimos los siguientes pasos:1-Expresamos la ecuacin en la forma , e identificamos la funcin . En el ejemplo es

2-Calculamos la derivada

3-Construimos la frmula de recurrencia

4-Tomamos una estimacin inicial de la solucin. En este caso podemos tomar como ejemplo x0=1.0, y calculamos las siguientes aproximaciones. Desde el punto de vista prctico, si deseamos aproximar las soluciones con 6 decimales, podemos detener los clculos cuando dos aproximaciones consecutivas coincidan hasta el decimal 8. En nuestro caso obtendramosXo= 1.0

5. Podemos, entonces, tomar como solucin x=0.567143

Convergencia Para detener este mtodo se analiza si valor absoluto (f (Xj+1)) es menor al error de tolerancia que se desea manejar. Nota: Como este mtodo puede caer en un ciclo se define un nmero mximo de iteraciones para detenerlo.

ALGORITMO

EL MTODO DE LA BISECCINTeorema de BolzanoSea f: [a, b] IR IR una funcin continua en [a, b] tal que f(a) f (b) < 0, es decir, que tiene distinto signo en a y en b. Entonces, existe c (a, b) tal que f(c) = 0.El Teorema de Bolzano arma que si una funcin es continua en un intervalo cerrado y acotado y en los extremos del mismo sta toma valores con signos opuestos, entonces existe al menos una raz de la funcin en el interior del intervalo.

Demostracin:Supongamos que f(a) < 0 y f(b) > 0. Sea T el conjunto formado por todos los valores x / x [a, b] para los que f(x) < 0. El conjunto T est acotado superiormente por b y, adems, no es vaco ya que a pertenece a T. Por ello el conjunto T tiene un extremo superior c. Se cumple que f(c) = 0. Vemoslo: Si f(c) > 0, entonces por la propiedad de la conservacin del signo de las funciones continuas existira un intervalo (c , c + ) en el que la funcin sera tambin positiva. En este caso existiran valores menores que c que serviran de cota superior de T y por ello c no sera el extremo superior de T como hemos supuesto.

Si f(c) < 0, entonces existira un intervalo (c , c + ) en el que la funcin sera negativa y por tanto existiran valores de x a la derecha de c para los que la funcin sera negativa y por tanto c no sera el extremo superior de T. Por tanto f(c) tiene que tomar el valor cero: f(c) = 0.

Si f(a) > 0 y f(b) < 0 el razonamiento es similar.

De forma ms general obtenemos El Teorema del Valor Intermedio:

El Teorema del Valor IntermedioSea f: [a, b] IR IR continua en [a, b], y tal que f(a) < f(b) entonces, paraCualquier k tal que f(a) < k < f (b) existe xo (a, b) tal que f(x0) = k.

Bsicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda funcin continua en un intervalo cerrado, una vez que alcanz ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.Demostracin:Para la demostracin aplicamos el teorema de Bolzano en la funcin g(x) = f(x) k, la cual es continua, por serlo f(x), g(a) < 0 y g (b) > 0. El teorema nos permite armar que existir c (a, b) tal que g(c) = 0 y en consecuencia f(c) = k.El mtodo de la biseccin se basa en estos teoremas y se emplea para aproximar ceros de funciones. Supngase que queremos encontrar los ceros de una funcin f(x) continua. Dados dos puntos a y b tal que f(a) y f(b) tengan signos distintos, sabemos por el Teorema de Bolzano que f(x) debe tener, al menos, una raz en el intervalo [a, b]. El mtodo de biseccin divide el intervalo en dos, usando un tercer punto c =(a + b)/2. En este momento, existen dos posibilidades: f(a) y f(c), f(c) y f(b) tienen distinto signo.El mtodo de biseccin se aplica al subintervalo donde el cambio de signo ocurre. Este proceso puede aplicarse tantas veces como sea necesario para alcanzar la precisin que se requiera.

ALGORITMOPara encontrar una solucin de f(x) = 0 dada la funcin f en el intervalo [a; b] donde f(a) y f(b) tienen signos opuestos:

Entrada: extremos a y b; tolerancia TOL; nmero mximo de iteraciones No;

Salida: solucin aproximada p o mensaje de fracaso.Paso 1: tomar i = 1;

Paso 2: mientras que i