SISTEMA RESORTE MASA: MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO

3. Una masa que pesa 24 libras se sujeta al extremo de un resorte y lo estira 4 pulgadas. En

un inicio, la masa se libera del reposo desde un punto situado 3 pulgadas por encima de la

posición de equilibrio. Encuentre la ecuación de movimiento.

La ecuación diferencial de movimiento libre no amortiguado es:

𝑚 𝑑2𝑥

𝑑𝑡2 = − 𝐾 ( 𝑠 + 𝑥) + 𝑚 𝑔

Utilizando la condición de equilibrio.

𝑚𝑔 = 𝑘 𝑠 → 𝑠 = 𝑚𝑔

𝑘

𝑚𝑥´´ = − 𝐾 ( 𝑚𝑔

𝑠+ 𝑥 ) + 𝑚 𝑔

𝑚𝑥´´ = − 𝑚𝑔 + 𝑘 𝑥 + 𝑚 𝑔

𝑚𝑥´´ + 𝑘 𝑥 = 0

𝑤 = 24 𝑙𝑏

𝑆1 = 4 𝑖𝑛

𝑆2 = 3 𝑖𝑛

Primeramente convertimos las pulgadas en pies

6 𝑖𝑛 → 0.5 𝑓𝑡

4 𝑖𝑛 → 𝑆

𝑆1 = 4 𝑖𝑛 ∗ 0.5 𝑓𝑡

6 𝑖𝑛=

1

3 𝑓𝑡

6 𝑖𝑛 → 0.5𝑓𝑡

3 𝑖𝑛 → 𝑆

𝑆2 = 3 𝑖𝑛 ∗ 0.5 𝑓𝑡

6 𝑖𝑛=

1

4 𝑓𝑡

Sabemos que 𝑤 = 𝑚𝑔 se puede despejar m que es lo que necesitamos, es decir:

𝑊 = 𝑚𝑔 → 𝑚 = 𝑤

𝑔 =

24 𝑙𝑏

32 𝑓𝑡/𝑠2 =

3

4𝑘𝑔

𝐹 = 𝑘𝑠 → 24 𝑙𝑏 = 𝑘 1

3 𝑓𝑡

𝐾 = 72 𝑙𝑏/𝑓𝑡

Con toda la información anterior se puede construir nuestra ecuación

3/4 𝑥´´ + 72 𝑥 = 0

𝑋(0) = −1

4porque inicialmente se encontraba por encima de la posición de equilibrio

𝑋´(0) = 0ya que la masa se libera del reposo

Resolviendo la ecuación homogénea:

3/4 𝑚2 + 72 = 0

𝑚2 = −72

3/4 = −96

𝑚 = 4√6 𝑖

𝛼 = 0 𝛽 = 4√6

𝑥 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛(4√6𝑡) + 𝐶2𝑐𝑜𝑠(4√6𝑡)

Evaluando la primera condición inicial

𝑋(0) = −1

4

−1

4= 𝐶1𝑠𝑒𝑛(4√6(0)) + 𝐶2𝑐𝑜𝑠(4√6(0))

−1

4= 𝐶2

Derivando y evaluando la segunda condición inicial

𝑋´(0) = 0

𝑋´ = 4√6𝐶1𝑐𝑜𝑠(4√6𝑡) − 4√6𝐶2𝑠𝑒𝑛(4√6𝑡)

0 = 4√6𝐶1𝑐𝑜𝑠(4√6(0)) − 4√6𝐶2𝑠𝑒𝑛(4√6(0))

0 = 𝐶1

En conclusion la ecuación de movimiento es:

𝑥 = − 1

4𝑐𝑜𝑠(4√6𝑡)

22. Un resorte de 4 pies mide 8 pies de largo después de unirlo a una masa con peso de 8

libras. El medio a través del cual se mueve la masa ofrece una fuerza de amortiguamiento

numéricamente igual a √2 veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de

movimiento si la masa se libera inicialmente desde la posición de equilibrio con velocidad

descendente de 5 𝑓𝑡 𝑠𝑒𝑔⁄ . Encuentre el momento en el cual la masa logra su

desplazamiento extremo a partir de la posición de equilibrio ¿Cuál es la posición de la masa

en ese instante?

𝑊 = 8𝑙𝑏

𝑆 = 8 𝑓𝑡 − 4 𝑓𝑡

𝑆 = 4 𝑓𝑡

𝛽 = √2

La ecuación que describe al peso es:

𝑊 = 𝑚𝑔 ⥤ 𝑚 =𝑊

𝑔⥤ 𝑚 =

8 𝑙𝑏

32 𝑓𝑡 𝑠2⁄=

1

4𝑘𝑔

Para dar solución al problema utilizamos la ecuación de un sistema resorte masa

movimiento libre amortiguado:

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ (

𝛽

𝑚)

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ (

𝑘

𝑚) 𝑥 = 0

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 2𝜆

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑊2𝑥 = 0

A saberse que:

2𝜆 = (𝛽

𝑚) ; 𝑊2 = (

𝑘

𝑚)

𝑊 = 𝑘𝑆 ⥤ 𝑘 =𝑊

𝑠 ⥤

8 𝑙𝑏

4 𝑓𝑡= 2 𝑙𝑏 𝑓𝑡⁄

Ahora, se tiene la siguiente ecuación:

𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 𝛽

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑘𝑥 = 0

Reemplazando los valores conocidos en esta ecuación:

1

4𝑥′′ + √2𝑥′ + 2𝑥 = 0

Sabiendo que 𝑥describe la posición de masa en cualquier tiempo, así mismo 𝑥′describe

su velocidad, de este modo, se obtienen las siguientes condiciones iniciales:

𝑥′(0) = 5 𝑓𝑡 𝑠𝑒𝑔 ; 𝑥(0) = 0⁄

Ya que al liberar la masa, se encuentra inicialmente en la posición de equilibrio y en ese

punto tiene velocidad descendente de 5 𝑓𝑡 𝑠𝑒𝑔⁄

1

4𝑥′′ + √2𝑥′ + 2𝑥 = 0

1

4𝑚2 + √2𝑚 + 2 = 0

𝑚2 + 4√2𝑚 + 8 = 0

(𝑚 + 2√2)2

= 0

𝑚 = −2√2 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2

De este modo una ecuación que describe la posición de la partícula en cualquier tiempo es:

𝑥 = 𝐶1𝑒−2√2𝑡 + 𝐶2𝑡𝑒−2√2𝑡

Se tiene además, que cuando el tiempo es igual a cero segundos(𝑡 = 0) la posición de

la masa es también cero pies(𝑥 = 0). Reemplazando los valores en la

ecuación anterior:

0 = 𝐶1𝑒−2√2(0) + 𝐶2(0)𝑒−2√2(0)

𝐶1 = 0

También se sabe que cuando el tiempo es cero segundos (𝑡 = 0) la velocidad de la

masa es de 5 pies por segundo (𝑥′ = 5). Se tiene que la ecuación que describe

la velocidad de la masa en cualquier tiempo es:

𝑥′ = −2√2𝐶1𝑒−2√2𝑡 + (𝐶2𝑒−2√2𝑡 − 2√2𝐶2𝑡𝑒−2√2𝑡)

𝑥′ = −2√2𝐶1𝑒−2√2𝑡 + 𝐶2(𝑒−2√2𝑡 − 2√2𝑡𝑒−2√2𝑡)

Reemplazando los valores que ya se conocen, se obtiene:

5 = −2√2𝐶1𝑒−2√2(0) + 𝐶2(𝑒−2√2(0) − 2√2(0)𝑒−2√2(0))

5 = −2√2𝐶1 + 𝐶2

Pero 𝐶1 = 0, así que: 𝐶2 = 5

De este modo se tiene que la ecuación que describe la posición de la masa en cualquier

tiempo es:

𝑥 = 5𝑡𝑒−2√2𝑡

Por otra parte, cuando el desplazamiento es extremo, es decir, cuando es el máximo, la

velocidad se hace cero (conservando la ley de equilibrio), por tanto:

𝑥′ = 𝐶2(𝑒−2√2𝑡 − 2√2𝑡𝑒−2√2𝑡)

Se convierte en:

0 = 5𝑒−2√2𝑡 − 10√2𝑡𝑒−2√2𝑡)

0 = 5𝑒−2√2𝑡(1 − 2√2𝑡)

0 = 1 − 2√2𝑡

𝑡 =1

2√2=

√2

4 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠

Reemplazando este valor en la ecuación de desplazamiento, se tiene:

𝑥 = 5√2

4𝑒

−2√2√24

𝑥 = 5√2

4𝑒−1

El desplazamiento extremo será:

𝑥 = 5√2

4𝑒

𝑝𝑖𝑒𝑠.

31. Cuando una masa de 1 slug se sujeta a un resorte, lo estira 2 pies y después descansa en

su posición de equilibrio. Comenzando en t = 0, una fuerza externa igual f(t) = 8sen4t se

aplica al sistema. Encuentre la ecuación de movimiento si el medio circundante ofrece una

fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 8 veces la velocidad instantánea.

Resumiendo se tiene:

𝑓(𝑡) = 8𝑠𝑒𝑛4𝑡 𝑚 = 1 𝑠𝑙𝑢𝑔

𝛽 = 8 𝑆 = 2 𝑝𝑖𝑒𝑠

Para este problema, se adopta el siguiente modelo de ecuación:

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 2𝜆

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑊2𝑥 = 𝐹(𝑡)

𝐹(𝑡) =𝑓(𝑡)

𝑚; 2𝜆 =

𝛽

𝑚; 𝑊2 =

𝑘

𝑚

𝑚𝑔 = 𝑘𝑆 ⥤ 𝑘 =𝑚𝑔

𝑆⥤ 𝑘 =

1 𝑠𝑙𝑢𝑔 (32 𝑓𝑡 𝑠2)⁄

2 𝑓𝑡= 16 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑠2⁄

Acomodando los términos, se obtiene la siguiente ecuación:

𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 𝛽

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑘𝑥 = 𝑓(𝑡)

Reemplazando los valores ya conocidos en la ecuación anterior, se obtiene:

𝑥′′ + 8𝑥′ + 16𝑥 = 8𝑠𝑒𝑛4𝑡 (∗)

𝑚2 + 8𝑚 + 16 = 8𝑠𝑒𝑛4𝑡

Resolviendo la ecuación homogénea

𝑚2 + 8𝑚 + 16 = 0

(𝑚 + 4)2 = 0

𝑚 = −4 ; 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2

De este modo, una solución de la ecuación es:

𝑥𝑐 = 𝐶1𝑒−4𝑡 + 𝐶2𝑡𝑒−4𝑡

Una solución particular de la ecuación es:

𝑥𝑝 = 𝐴𝑠𝑒𝑛4𝑡 + 𝐵𝑐𝑜𝑠4𝑡

𝑥′𝑝 = 4𝐴𝑐𝑜𝑠4𝑡 − 4𝐵𝑠𝑒𝑛4𝑡

𝑥′′𝑝 = −16𝐴𝑠𝑒𝑛4𝑡 − 16𝐵𝑐𝑜𝑠4𝑡

Reemplazando en (*):

(−16𝐴𝑠𝑒𝑛4𝑡 − 16𝐵𝑐𝑜𝑠4𝑡) + 8(4𝐴𝑐𝑜𝑠4𝑡 − 4𝐵𝑠𝑒𝑛4𝑡)

+ 16(𝐴𝑠𝑒𝑛4𝑡 + 𝐵𝑐𝑜𝑠4𝑡) = 8𝑠𝑒𝑛4𝑡

(−16𝐴 − 32𝐵 + 16𝐴)𝑠𝑒𝑛4𝑡 + (−16𝐵 + 32𝐴 + 16𝐵)𝑐𝑜𝑠4𝑡 = 8𝑠𝑒𝑛4𝑡

32𝐴𝑐𝑜𝑠4𝑡 − 32𝐵𝑠𝑒𝑛4𝑡 = 8𝑠𝑒𝑛4𝑡

Igualando los coeficientes, se tiene:

−32𝐵 = 8 ⥤ 𝐵 = −8

32;

32𝐴 = 0

𝐵 = −1

4;

𝐴 = 0

Así, la solución particular estará dada por:

𝑥𝑝 = −1

4𝑐𝑜𝑠4𝑡

Y la solución general será:

𝑥 = 𝐶1𝑒−4𝑡 + 𝐶2𝑡𝑒−4𝑡 −1

4𝑐𝑜𝑠4𝑡

Para este problema, se tienen las siguientes condiciones iniciales:

𝑥(0) = 0 ; 𝑥′(0) = 0

Reemplazando en la ecuación anterior, se tiene:

0 = 𝐶1𝑒−4(0) + 𝐶2(0)𝑒−4(0) −1

4𝑐𝑜𝑠4(0)

0 = 𝐶1 −1

4⥤ 𝐶1 =

1

4

𝑥′ = −4𝐶1𝑒−4𝑡 − 4𝐶2𝑡𝑒−4𝑡 + 𝐶2𝑒−4𝑡 + 𝑠𝑒𝑛4𝑡

0 = −4𝐶1𝑒−4(0) − 4(0)𝑡𝑒−4(0) + 𝐶2𝑒−4(0) + 𝑠𝑒𝑛4(0)

0 = −4𝐶1 + 𝐶2

Reemplazando el valor de la constante 𝐶1 =1

4se tiene:

0 = −1 + 𝐶2 ⥤ 𝐶2 = 1

Así, la ecuación de movimiento será:

𝑥 =1

4𝑒−4𝑡 + 𝑡𝑒−4𝑡 −

1

4𝑐𝑜𝑠4𝑡

46. Encuentre la carga en el capacitor de un circuito LRC en serie, cuando 𝐿 =1

4ℎ ;

𝑅 = 20 𝛺 ; 𝐶 =1

300𝑓 ; 𝐸(𝑡) = 0 𝑉 ; 𝑞(0) = 4𝐶 ; 𝑖(0) = 0 𝐴. En el

capacitor, ¿La carga nunca ha sido igual a cero?

Se tiene que la ecuación que describe el problema es:

1

4𝑞′′ + 20𝑞′ + 300𝑞 = 0

1

4𝑚2 + 20𝑚 + 300 = 0

𝑚2 + 80𝑚 + 1200 = 0

(𝑚 + 60)(𝑚 + 20) = 0

𝑚 = −60 ; 𝑚 = −20

De este modo la ecuación que describe la carga será:

𝑞 = 𝐶1𝑒−60𝑡 + 𝐶2𝑒−20𝑡

Pero cuando t = 0, q = 4. De modo que:

4 = 𝐶1𝑒−60(0) + 𝐶2𝑒−20(0)

4 = 𝐶1 + 𝐶2 (1)

𝑞′ = −60𝐶1𝑒−60𝑡 − 20𝐶2𝑒−20𝑡

Pero cuando t = 0, q’= 0. De modo que:

0 = −60𝐶1𝑒−60(0) − 20𝐶2𝑒−20(0)

0 = −60𝐶1 − 20𝐶2(2)

Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

{𝐶1 + 𝐶2 = 4

−60𝐶1 − 20𝐶2 = 0

Multiplicando la primera ecuación por 60 y sumándola a la segunda, se tiene:

{𝐶1 + 𝐶2 = 4

40𝐶2 = 240⥤ 𝐶2 = 6

Reemplazando el valor de la constante 𝐶2 = 6en la primera ecuación, se obtiene:

𝐶1 + 6 = 4 ⥤ 𝐶1 = −2

De este modo, la ecuación que describe la carga del circuito LRC, en serie, para cualquier

tiempo es:

𝑞 = −2𝑒−60𝑡 + 6𝑒−20𝑡

Suponiendo que en algún momento la carga se hace cero, se tiene:

0 = −2𝑒−60𝑡 + 6𝑒−20𝑡

2𝑒−60𝑡 = 6𝑒−20𝑡

2

6=

𝑒60𝑡

𝑒20𝑡

1

3= 𝑒40𝑡 ⥤ ln (

1

3) = ln(𝑒40𝑡) ⥤ ln (

1

3) = 40𝑡 ⥤ 𝑡 = −0,0274

Como el tiempo no puede ser negativo, se concluye que la carga nunca ha sido igual a cero.

50. Demuestre que la amplitud de la corriente remanente en el circuito LRC en serie del

ejemplo 10 está dada por E0/Z donde Z es la impedancia del circuito

Se sabe que la solución de la ecuación diferencial del movimiento libre no amortiguado es

𝑥(𝑡) = 𝐶1 cos 𝑤𝑡 + 𝐶2 sin 𝑤𝑡

Donde

𝐴 = √𝐶12 + 𝐶2

2

Luego del ejemplo 10 tenemos que la corriente del circuito LRC, muestra este movimiento

𝑖𝑝(𝑡) =𝐸0

𝑍(

𝑅

𝑍𝑠𝑖𝑛 𝛾𝑡 −

𝑋

𝑍𝑐𝑜𝑠 𝛾𝑡)

Entonces

𝑖𝑝(𝑡) = (𝐸0𝑅

𝑍2sin 𝛾𝑡 −

𝐸0𝑋

𝑍2cos 𝛾𝑡)

Así

C1= 𝐸0𝑅

𝑍2 y C2= −𝐸0𝑋

𝑍2

Luego

𝐴 = √ (𝐸0𝑅

𝑍2)

2

+ (−𝐸0𝑋

𝑍2)

2

𝐴 = √𝐸02𝑅

Z4

2

+𝐸0

2𝑋2

𝑍4

𝐴 = √𝐸0

2

Z4(𝑅2 + 𝑋2)

𝐴 =𝐸0

Z2√(𝑅2 + 𝑋2)

Ahora como en el ejemplo 10 la impedancia está dada por

𝑍 = √(𝑅2 + 𝑋2)

Entonces

𝐴 =𝐸0

Z2𝑍

𝐴 =𝐸0

Z

55. Muestre que si L, R, E0 y ϒ son constantes, entonces la amplitud de la corriente

remante del ejemplo 10 es un máximo cuando la capacitancia es C=1/Lϒ2

Del ejercicio anterior tenemos que

𝐴 =𝐸0

Z Cuando 𝑍 = √(𝑅2 + 𝑋2) y 𝑋 = 𝐿𝛾 −

1

𝐶𝛾

Luego sabiendo que E0 es constante, la amplitud A se hace máximo cuando la impedancia Z

es mínima, ahora para que la impedancia Z sea mínima, sabiendo que R es constante, X= 0

así

𝑋 = 𝐿𝛾 −1

𝐶𝛾

0 = 𝐿𝛾 −1

𝐶𝛾

1

𝐶𝛾= 𝐿𝛾

1

𝐿𝛾2= 𝐶

Así cuando 1

𝐿𝛾2 = 𝐶 la amplitud A es máxima.