(66.06) Análisis de CircuitosFacultad de Ingeniería

Universidad de Buenos Aires

Trabajo práctico: Diseño de un filtro-Informe-

Zuloaga Mellino, Juan AntonioPadrón:89537Código del TP:BT194,2010

Resumen:El siguiente informe consiste en el diseño analítico de un circuito lineal que convierta la señal propuesta en el enunciado, en la correspondiente salida, cumpliendo los requisitos de amplitud, márgen de ruido y cantidad y tipo de componentes.

DOCENTES: Ing. Enrique Jorge Velo, Ing Fernando Barreiro, Ing. Gustavo Roitman

ENUNCIADO:

bt193 2010 A partir de una señal "resistor" mostrada a la izquierda se requiere diseñar un filtro que

produzca la forma mostrada a la derecha . El circuito final normalizado simulara (Pspice) la forma indicada

con armónicos de amplitudes teóricas + - 1.5% produciendo una salida de 3.082 Volt pico a pico

El nivel de residuos armonicos (ruido) debera ser menor de 7 mV RMS .

Los circuitos funcionaran con tensiones alimentación de + - 5 Volt empleando operacionales comerciales

g FFT b( ):=

bi

cosi

S2⋅ π⋅

cos 4i

S⋅ 2⋅ π⋅

+:=

Su expresión analítica se obtuvo a partir del análisis del gráfico en el enunciado, y la especificación respectivas de algunos valores.La señal esta claramente compuesta por combinaciones de señales senoidales. Dada la relativa simplicidad de la misma (tiene sólo dos componentes que no poseen desfasaje ni diferencia de amplitud), se la pudo obtener rápidamente mediante sucesivas pruebas con distintas combinaciones de armónicos, partiendo del periódo fundamental.

Señal de salida:

f FFT a( ):=

ai

S

8mod i

S

4,

−8

S⋅

1

2−

3 S⋅

16i≤

11

16S⋅<

⋅:=

Determinada siguiendo las especifiicaciones en el enunciado

Señal de entrada:

Utilizado con las señales en el dominio de la frecuenciak 0S

2..:=

Indice de uso genéricop 0 500..:=

Utilizado con las señales en el dominio del tiempoi 0 S 1−( )..:=

Índices

T1

100:=

Período de la señal (en segundos):

S 28

:=

Cantidad de muestras por período de señal:

A continuación se definen una serie de constantes e índices que se utilizaran en el tratamiento discreto de las señales de entrada y salida.

Constantes:

Parámetros Generales:

Gráficos de las señales en los dominios del tiempo y la frecuencia

0 0.01 0.020.5

0

0.5Entrada

Tiempo(s)

Tensión(v)

amod p S,( )

p T⋅

S

0 5000

0.05

0.1

Entrada

Frecuencia(Hz)

Tensión/2(v)

fk

k

T

0 0.01 0.022

0

2Salida

Tiempo(s)

Tensión(v)

bmod p S,( )

p T⋅

S

0 5000

0.2

0.4

0.6Salida

Tensión(v)

Frecuencia(Hz)

gk

k

T

Análisis de las señales y propuestas de solución:

En la descompocisión en frecuencias de ambas señales se aprecia que interesa rescatar las componentes en 100 y 400 Hz. La principal dificultad se presenta en la frecuencia de 400Hz rodeada por componentes de gran amplitud. En un primer diseño, se pensó en eliminar la frecuencia de 300Hz con un filtro de rechazo de banda y posteriormente con un filtro con frecuencia de corte a la ligeramente antes de los 400Hz atenuar esta frecuencia hasta nivelarla con la frecuencia en 100Hz y despues llevar ambas a 1v con la ganancia de los filtros, sin depender del Q de los filtros. Este diseño requería una pasabajos de orden muy elevado para cumplir con los márgenes de ruido. Variaciones de este diseño utilizando otro notch en 500Hz no estaban permitidas por la cátedra. Entre las desventajas de los filtros dde rechazo de banda se encuentran la necesdiad de mayor cantidad de componentes respecto a los filtros pasabajos, necesidad de más componente si se requiere alterar el factor de calidad y ganancia del filtro, una gran sensibilidad respecto a las variaciones (por ejemplo térmicas) de los componentes y discontinuidad en la fase de la transferenica, produciendo alteraciones costosas de compensar.Se intentó eliminar el notch en 300 utilizando pasabajos en 100 y pasabandas en 400, pero el orden de los filtros requería mayor cantidad de componentes a las especificadas por el tp. También se probo rescatar ambas frecuencias por caminos separados y después sumarlas al final. Este diseño dio resultados aceptables y requería pocos componentes adicionales a los permitidos por la cátedra. Finalmente se obtuvieron mejores resultados con pasabajos en las frecuencias interesadas y un notch en 300Hz, en la cual se diseñaron implementaciones con pasabajos de orde 4 y 6 en 400Hz.

Filtros:Funciones de transferencia de los filtros utilizados.

Pasabajos Notch

L s w, Q, H,( )H− w

2

s2 w

Qs+ w( )

2+

:= N s w, Q,( )s2

w( )2

+

s2 w

Qs⋅+ w

2+

:=

El filtro pasabajos posee un signo menos delante ya que la implementación que se utilizará será inversora.

Usando 3 pasabajos, Q alto en la cuarta frecuencia. "Solucion B,

menos etapas

q11034

100:= K

1319

1000:= q4

1495

100:=

lk

L 2i π⋅k

T⋅ 2 π⋅ 100, q1, K,

:= hk

L 2i π⋅k

T⋅ 2 π⋅ 400, q4, K,

:= nk

N 2i π⋅k

T⋅

2 π⋅ 300,

1

4,

:=

0 200 400 600 8000

0.2

0.4

Mk

k

T

Mk

hk( )2 l

k⋅ f

k⋅ n

k⋅:=

Noisek

Mkk 1≠( ) k 4≠( ):=

noise IFFT Noise( ):=

max noise( ) 0.101=

Ruido:

noiseRMSi

noisei( )2∑

S:=

M1

0.5= M4

0.5= M5

4.467 103−

×=noiseRMS 6.318 10

3−×=

Se opta por utilizar la opción B por requierir menos componentes y los valores de Q máximo requerido son menores, ya que la implementación resulta más simple y menos sensible a variaciones en los componentes.

Análisis de la salida

2 opciones:

Usando 4 pasabajos, Q alto en 100Hz. "Solucion A,

menor ruido"

q1 18:= K106

100:= q4

74

10:=

lk

L 2i π⋅k

T⋅ 2 π⋅ 100, q1, K,

:= hk

L 2i π⋅k

T⋅ 2 π⋅ 400, q4, K,

:= nk

N 2i π⋅k

T⋅

2 π⋅ 300,

1

4,

:=

Mk

hk( )3 l

k⋅ f

k⋅ n

k⋅:=

0 200 400 600 8000

0.2

0.4

Mk

k

T

Noisek

Mkk 1≠( ) k 4≠( ):=

noise IFFT Noise( ):=

max noise( ) 0.089=

Ruido:

noiseRMSi

noisei( )2∑

S:=

noiseRMS 5.549 103−

×= M1

0.51= M4

0.499= M5

3.923 103−

×=

R

5.305 104

×

6.997 104

×

3.62 104

×

=

w es la pulsaciónq factor Q de los polos complejos conjugadosK es la ganancia del filtro

R Find R1 R2, R3,( ):=

R2

R1K=

w1

q1

1

R1 C5⋅

1

R2 C5⋅+

1

R3 C5⋅+=w1( )

2 1

R2 R3⋅ C5⋅ C4⋅=

Given

Constantes a utilizarC5 1 106−

⋅:=C4 1 109−

⋅:=w1 2 π⋅ 100⋅:=

Semillas para la solución numéricaR3 10 103

⋅:=R2 1000:=R1 100:=

Búsqueda de valores:

Filtro en 100Hz

"./a.jpg"

Filtros Infinite gain

Si bien el enunciado del trabajo recomienda capacitores hasta 0,47uF y resistencias al 1%, se tuvieron que utilizar capacitores de 1uF y 2,2uF para que converja la solución y cumpla los requisitios de Rudio. De todas maneras los capacitores utilizados poseen valores típicos comerciales en poliester metalizado, de facil obtención en el mercado Argentino, auque más caros que los sugeridos, ya que el precio depende de la capacidad.

Cálculo de componentes:

"Punteada la señal buscada. Todavía falta compensar la fase"

0 0.01 0.022

0

2Salida

Tiempo(s)

Tensión(v)

b1mod p S,( )

bmod p S,( )

p T⋅

S

b1 IFFT M( ):=

Gráfico de la salida que se obtendrá idealmente mediante la implementación del filtro:

Salida esperada:

w4( )2 1

R2 R3⋅ C5⋅ C4⋅=

w4

q4

1

R1 C5⋅

1

R2 C5⋅+

1

R3 C5⋅+=

R2

R1K=

R Find R1 R2, R3,( ):=

w es la pulsaciónq factor Q de los polos complejos conjugadosK es la ganancia del filtroR

7.667 103

×

1.011 104

×

7.116 103

×

=

Normalización de Componentes:

R1 7680:= R2 10200:= R3 7150:= Normalización alternativa

R1 7870:= R2 10500:= R3 6810:= Normalización definitiva

Valor obtenido Valor esperado

H4nR2

R1:= H4n 1.334= K 1.319=

w4n1

R2 R3⋅ C5⋅ C4⋅:=

w4n

2π401.274=

w4

2π400=

q4n

1

R2 R3⋅ C5⋅ C4⋅

1

R1 C5⋅

1

R2 C5⋅+

1

R3 C5⋅+

:= q4n 15.026= q4 14.95=

Función transferencia hnk

L 2i π⋅k

T⋅ w4n, q4n, H4n,

:=

Normalización de Componentes: R1 56200:= R2 73200:= R3 34800:=

"Valores obtenidos" "Valores esperados"

H1nR2

R1:= H1n 1.302= K 1.319=

w1n1

R2 R3⋅ C5⋅ C4⋅:=

w1n

2π99.718=

w1

2π100=

q1n

1

R2 R3⋅ C5⋅ C4⋅

1

R1 C5⋅

1

R2 C5⋅+

1

R3 C5⋅+

:= q1n 10.409= q1 10.34=

lnk

L 2i π⋅k

T⋅ w1n, q1n, H1n,

:=Función transferencia

Filtro en 400 hz

Búsqueda de valores:

R1 100:= R2 10000:= R3 10000:= Semillas para la solución numérica

w4 2π 400⋅:= C4 1 109−

⋅:= C5 22 107−

⋅:= Constantes a utilizar

Given

Paralelo Rp1

1

R1

1

R2+

:=

Frecuencia Central 1

2 π⋅ Rp⋅ C⋅3 10

3×=

No fue necesario implementar esta variación del filtro para cumplir las especificaciones de nivel de residuos armónicos.

Resultado de los Filtros Normalizados

Mnk

hnk( )2 ln

k⋅ f

k⋅ nn

k⋅:=

0 200 400 600 8000

0.2

0.4

Hz

V/2 Mnk

k

T

Noisek

Mnkk 1≠( ) k 4≠( ):=

noise IFFT Noise( ):=

max noise( ) 0.105=

Ruido:

noiseRMSi

noisei( )2∑

S:= Mn

10.505= Mn

35.835 10

5−×=

noiseRMS 6.588 103−

×= Mn4

0.508= Mn5

4.657 103−

×=

Notch

"./b.JPG"

Lista de capacitores normalizados disponibles

1

R1 C1⋅2 π⋅ 300⋅=

C1

10 1010−

⋅

15 1010−

×

22 1010−

×

27 1010−

×

33 1010−

×

47 1010−

×

:=

R11

2 π⋅ 300 C1⋅:=

R1

5.305 105

×

3.537 105

×

2.411 105

×

1.965 105

×

1.608 105

×

1.129 105

×

= R1 113 103( )

×:=

C1 47 1010−( )

×:=11.3 es la mejor aproximación con reistencias al 1% >>>>>>>

Frecuencia central w3n1

R1 C1⋅:=

w3n

2π299.67= nn

kN 2i π⋅

k

T⋅

1

R1 C1⋅,

1

4,

:=

También se realizó una prueba exahustiva buscando la combinaciones posibles de resistores paralelos y capacitores disponibles intentado centrar menjor el notch en 300Hz. Se encontró que la mejor combinación era:

R1 536 103( )

×:= R2 143 103( )

×:= C 4.7 1010−( )

×:=

NOTA: No se muestran comparaciones de la fase, ya que los cálculos del phaser no se realizaron para la transferencia ideal. Al

utilizarse como criterio de corrección de fase la minimización del error en los máximos y mínimos secundarios, basar el la normalizacion

del phaser en el filtro ideal no aseguraría resultados óptimos debido al corrimiento en las frecuencias de corte de las otras etapas

debido a la normalización.

stdev diferencia( ) 3⋅ mean diferencia( )+ 0.547=

Tomando 3 desvíos estandard ubico una buena cota máxima para la diferencia de ganancia en las ceranías del notch.

stdev diferencia( ) 0.133=

mean diferencia( ) 0.149=

max diferencia( ) 6.368=

diferenciak2

20 log

MO ff2k2( )

MM ff2k2( )

⋅:=En el gráfico comparando las transferencias no se observan diferencias groseras entre el filtro ideal y el normalizado. Un análisis de los datos, discretizados para simplicidad de cálculo, permite corroborarlo.También se observa un resultado intuíble: Las mayores diferencias en la ganancia se encuentran en las frecuencias cercanas a los 300Hz, donde se encuentra ubicado el notch, que es la posición más sensible a la variación de componentes.

10 100 1 .103

50

0

Frecuencia(Hz)

Ganancia(db)

20 log MM ff2k2( )( )

20log MO ff2k2( )( )

ff2k2

MM f( ) L 2i π⋅ f⋅ w1n, q1n, H1n,( ) L 2i π⋅ f⋅ w4n, q4n, H4n,( )2⋅ N 2i π⋅ f⋅ w3n,1

4,

⋅:=

MO f( ) L 2i π⋅ f⋅ 2 π⋅ 100, q1, K,( ) L 2i π⋅ f⋅ 2 π⋅ 400, q4, K,( )2⋅ N 2i π⋅ f⋅ 2π300,1

4,

⋅:=

ff2k2

10000

k22

S2⋅

:=k2 0 S2..:=S2 10000:=

Defino nuevos indices mas grandes para los

graficos

Comparación entre las transferencias ideal y normalizada:

En la selección de componentes se intentó obtener la a mayor precicsión en los w y Q objetivos, y no tanto en la ganancia lograda.

El motivo para esto es la sensibilidad del filtro respecto a estos factores. El comportamiento del filtro cambia abruptamente en las cercanías de la frecuencia de corte, lo que produce una gran diferencia significativa en la amplitud final de la frecuencia sobre la que trabaja el filtro.

No sucede lo mismo con la ganancia del filtro que se aplica por igual para todo el espectro de frecuencias y por lo tanto las impecisiones sobre este factor podrán se compensadas entre el resto de los componentes.

Criterio de selección de los componentes:

wfasn

2π16.518=

wfasn1

R1 C1⋅:=205 es mi

mejoraproximación con reistencias al

2% >>>>>>>

R

9.582 106

×

6.388 106

×

4.355 106

×

3.549 106

×

2.904 106

×

2.039 106

×

=C1 47 10

9−( )×:=

R1

2 π⋅ Fas C1⋅:=

R1 205 103( )

×:=

Resistencias ideales

Nota: Normalización para el Orcad:La normalización para el Orcad dió un valor ligeramente diferente.Probando diferentes resistencias de la serie E96 se eligen resistencias de 232K, y un capacitor de 47nf, los cualeproducen:

Maximos secundarios:Ideal: 1.03VTolerado 1.045VObtenidos 1.0309V , 1.412V

Mínimos:Ideal: -1.72VTolerado: -1.745VObtenido: -1.719V , -1.7304V

C1

10 1010−

⋅

15 1010−

×

22 1010−

×

27 1010−

×

33 1010−

×

47 1010−

×

:=

1

R1 C1⋅2 π⋅ Fas⋅=

Fas 100 fas⋅:=Capaciores disponibles

Implementación:

Diferencia entre los mínimosc112

c173

− 8.285 103−

×=

Diferencia entre los máximos secundariosc76

c209

− 9.763− 103−

×=

c IFFT M2( ):=

M2k

MnkU 2i π⋅

k

T⋅ 2π 100⋅ fas⋅,

⋅:=Criterio: se buscó minimizar la diferencia entre los máximos secundarios y los mínimos.

"c.jpg"

fas .1661:=

Filtro pasatodo InversorU S a,( )S− a+

S a+−:=

Correción de la fase

FFTOrcad2K1⟨ ⟩

4 1−

100⋅ 0.298=

Cumple con los márgenes de error solicitados.

FFTOrcad2K1⟨ ⟩

1 1−

100⋅ 0.502=

Amplitud esperada por compontente: 1V

RuidoObtenido

1

21

30

k

FFTOrcad2K1⟨ ⟩

k

2

k 1≠( )⋅ k 4≠( )⋅∑=

⋅ 5.497 103−

×=

OrcadCuad

OrcadCuadrado.csv

:=OrcadSin

OrcadSin.csv:=OrcadEsc

OrcadEscalon.csv:=

ACswapd

ACswapd.csv:=

ACswap

ACswap.csv:=

Orcad2K

Orcad2K.csv:=

0 5000

0.5

1

1.5Simulación de la señal filtrada

Hz

V FFTOrcad2K1⟨ ⟩

FFTOrcad2K0⟨ ⟩

FFTOrcad2K

FFTOrcad2K.csv:=

Salida obtenida en Orcad:

0 0.01 0.022

0

2Salida

Tiempo(s)

Tensión(v)

cmod p S,( )

p T⋅

S

c IFFT M2( ):=

Aplico el filtro normalizadoM2k

MnkU 2i π⋅

k

T⋅ wfasn,

⋅:=

Resultados esperados con componentes normalizados:

20 log ao( )⋅ 7.304=

ao

0x

MM x( )lim

→

403515000

174042689→:=

Ganancia en continua:

Frecuencias angulares donde el notch tiene polos.WNpol0

Npol0

:=WNpol1

Npol1

:=

Npol W2 w3n

1

4

W⋅+ w3n( )2

+

solve W,

20000000−

5311

10000000

53113

1

2⋅+

20000000−

5311

10000000

53113

1

2⋅−

→:=

Polos en el notch:

Transferencia total y transferenciadel notchNN f( ) N 2i π⋅ f⋅ w3n,1

4,

:=

MM f( ) L 2i π⋅ f⋅ w1n, q1n, H1n,( ) L 2i π⋅ f⋅ w4n, q4n, H4n,( )2⋅ N 2i π⋅ f⋅ w3n,1

4,

⋅ U 2i π⋅ f⋅ wfasn,( )⋅:=

Diagrama de Amplitudes

Bode Asintótico:

Coinciden la señal buscada idealmente, la solución analítica y la simulación en orcad.

max Orcad2K1⟨ ⟩

2.012=

200 202 204 206 208 2102

0

2

Tiempo(ms)

Tensión(V

) bmod p2 rb+ S,( )

Orcad2K1⟨ ⟩

cmod p2 rc+ S,( )

p2

25610⋅ Orcad2K

0⟨ ⟩10

3⋅,

p2

25610⋅,

rb 57 71−:=rc 0:=Desplazamientos:Respuesta a la Entrada

tx 01

10000, 0.2..:=p2 200

256

10⋅ 210

256

10⋅..:=Nuevos ínidices para graficar tras

el transitorio y para mostrar más puntos

Comparación de los resultados obtenidos en Mathcad y Orcad.

targ x( ) 2 apolo x wfasn,( )⋅ apolo x WNpol0

,

+ 2 apolo x w1n,( )⋅+

2 acero x w3n,( )⋅ 4 apolo x w4n,( )⋅+ apolo x WNpol1

,

++

...:=

aproximación asintótica del

diagrama de fase de la transferencia

acero x w,( ) 45 45 logx

w

⋅+

xw

10>

⋅ x w 10⋅<( )⋅ 90 x w 10⋅≥( )⋅+:=

aproximaciones asintóticas de

polos y ceros en fase

apolo x w,( ) 45− 45 logx

w

−

xw

10>

⋅ x w 10⋅<( )⋅ 90 x w 10⋅≥( )⋅−:=

1 10 100 1 .103

1 .104

1801501209060300306090

120150180210240270300330360390420450480510540570600630660690720750780810840870900

arg L1 ff2k2( )( ) 180

π⋅

2 arg L4 ff2k2( )( )⋅

180

π⋅

arg NN ff2k2( )( ) 180

π⋅

arg U0 ff2k2( )( ) 180

π⋅

MMf ff2k2( ) 180

π⋅

ff2k2

Respuesta en fase del sistemaMMf f( ) arg L1 f( )( ) 2 arg L4 f( )( )⋅+ arg NN f( )( )+ arg U0 f( )( )+:=

PhaserU0 f( ) U 2i π⋅ f⋅ wfasn,( ):=

L1 f( ) L 2i π⋅ f⋅ w1n, q1n, H1n,( ):=

LowpassTransferencias de los otroscomponentes (el notch se definió arriba)

L4 f( ) L 2i π⋅ f⋅ w4n, q4n, H4n,( ):=

Diagrama de fases

10 100 1 .103

50

0

Frecuencia(Hz)

Ganancia(db) 20 log ACswap

1⟨ ⟩( )

20log MM ff2k2( )( )

tdb 2 π⋅ ff2k2

⋅

ACswap0⟨ ⟩

ff2k2

, ff2k2

,

Respuesta en frecuencia, Diagrama de Amplitudes

tdb x( ) 20 log ao( )⋅ 20 logx

WNpol0

⋅ x WNpol0

>

⋅− 40 logx

w1n

⋅ x w1n>( )⋅−

40 logx

w3n

⋅ x w3n>( )⋅ 80 logx

w4n

⋅ x w4n>( )⋅−+

...

20− logx

WNpol1

⋅ x WNpol1

>

⋅+

...

:=

Función asintótica de transferencia:

Respuesta en frecuencia, Diagrama de Fases

1 10 100 1 .103

1 .104

500

0

frecuencia(Hz)

grados(°)

ACswapd1⟨ ⟩

MMf ff2k2( ) 180

π⋅ 720−

targ 2 π⋅ ff2k2

⋅

ACswapd0⟨ ⟩

ff2k2

, ff2k2

,

Se restan 720° correspondientes a los desfasajes producidos por los 4 inversores: 3 filtros pasa-bajos de ganancia infinita y un filtro pasa-todo desfasador inversor, cada uno contribuyendo con 180°

Cálculo de polos y ceros del sistema:

MMP s( ) L s w1n, q1n, H1n,( ) L s w4n, q4n, H4n,( )2

⋅ N s w3n,1

4,

⋅ U s wfasn,( )⋅:= Función Transferencia del Sistema.

zeros numer MMP s( )( ) solve s,

10000000

5311i⋅

10000000−

5311i⋅

200000

1927

→:=

polos denom MMP s( )( ) solve s,

14960000−

497089

5000

1491267i⋅ 34839933674

1

2⋅+

14960000−

497089

5000

1491267i⋅ 34839933674

1

2⋅−

3462245000−

41267919

5000

41267919i⋅ 432558544422399

1

2⋅+

3462245000−

41267919

5000

41267919i⋅ 432558544422399

1

2⋅−

3462245000−

41267919

5000

41267919i⋅ 432558544422399

1

2⋅+

3462245000−

41267919

5000

41267919i⋅ 432558544422399

1

2⋅−

20000000−

5311

10000000

53113

1

2⋅+

20000000−

5311

10000000

53113

1

2⋅−

200000−

1927

→:=

Diagrama de polos y ceros del sistema:

8000 6000 4000 2000 0 2000

5000

5000

Im polos( )

Im zeros( )

Re polos( ) Re zeros( ),

Respuesta a otros tipos de entrada

Separo los polos del notch para evitar la aparición de funciones hiperbólicas en el las soluciones numéricas, evitando así posible inconvenientes de convergencia:

NR denom N s w3n,1

4,

solve s,

20000000−

5311

10000000

53113

1

2⋅+

20000000−

5311

10000000

53113

1

2⋅−

→:=

N2 s w, Q,( )s2

w( )2

+

s NR0

−

s NR1

−

:=

Función Transferencia del Sistema, polos del notch separados.MMM s( ) L s w1n, q1n, H1n,( ) L s w4n, q4n, H4n,( )

2⋅ N2 s w3n,

1

4,

⋅ U s wfasn,( )⋅:=

RESPUESTA AL IMPULSO:

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.11000

500

0

500

1000

1500

Tiempo(s)

Tensión(V

)

rimp tx( )

tx

No es posible simular la respuesta en PSpice, ya que requiere representar un impulso de amplitud infinita y duración ε.Una posible aproximación se logra con una señal en el punto correspondiente al tiempo cero una amplitud equivalente al máximo número representable en el software y utilizar un paso de simulación muy pequeño, sin embargo esto es aplicable sólo si los modelos spice de los componentes no siguen siendo válidos para la alta tensión del impulso.

RESPUESTA AL ESCALÓN:

Φ t( ) laplace t,1

s→ Transformada del escalón

0 0.05 0.1 0.150.4

0.2

0

0.2

0.4

Tiempo(s)

Tensión(V

)

resc tx( )

OrcadEsc1⟨ ⟩

tx OrcadEsc0⟨ ⟩

,

Ya que el sistema se puede reducir a un conjunto de filtros pasabajos, se obtiene el resultado predecible:

La tensión final es la combinación de las ganancias de todos los filtros:

H1n H4n2

⋅ 2.318=

El filtro arranca en tensión 0, ya que en en el salto del escalón predominan las altas frecuencias, las cuales son filtradas.

Se utilizó una señal de entrada con 0.1V pico para evitar la saturación de los operacionales.

RESPUESTA A UNA SEÑAL CUADRADA:

Se eligió una señal cuadrada de 100Hz con cilclo de trabajo de 0.5. La elección de la frecuencia se baso en que los armónicos de la señal coincidan con singularidades del filtro.

Se modela la cuadrada como una sumatoria de escalones desplazados en T/2. De esta manera, se requieren para conseguir 200ms de señal:

N0.2 2⋅

T:= N 40= T 0.01= Nota: Debido a un error no determinado en el software, hay una zona

cercana al 0 donde no se puede encontrar la solución. Esta region

aumenta con la duración de la señal cuadrada. y comienza a aparecer

a partir de señales mayores a los 0.1s., Para salvar este error se

simulan los primeros 0.1s de la señal por separado.

Más detalles del análisis del bug en la hoja debug.mcd.

Señal:

cuad t T, d,( )

0

d 2⋅

T

k

2 1−( )kΦ t k

T

2⋅−

∑

=

1−:=

0 0.05 0.1 0.152

1

0

1

2

Tiempo(s)

Tensión(V

)

rcuad tx( )

OrcadCuad1⟨ ⟩

tx OrcadCuad0⟨ ⟩

,

Análisis de la señal y la respuesta:La señal cuadrada posee armónicos cada (2k-1)f siendo f la frecuencia fundamental, k>0.Para el ejemplo seleccionado tendremos frecuencias en 100Hz, 300Hz, 500Hz...La frecuencia de 100Hz coincide con la característica del primer pasabajos y es amplificada tanto por la ganancia como por el Q del filtro. en 300Hz está el Notch y la frecuencia desaparece y en la frecuencia de 500Hz hay una atenuación de -20db. Frecuencias superiores serán despreciables.

vcuadi

rcuad iT

S⋅ 0.19+

:=

0 200 400 6000

0.5

1

Hz

V/2 FFT vcuad( )

k

k

T

Nota: Aproximación a la señal cuadrada. Antes de generar la señal cuadrada mediante funciones escalón se intentaron otras representaciones.

Por un lado se intentó aplicar el filtro a la transformada de la place de una función cuandrada de infinitos periodos, pero no se encontró solución simbólica para la antistransformada.Alternativamente se intentó expresar la señal cuadrada como sumatoria finita de sus primeros armónicos, pero el costo computacional era muy elevada para más de 4 armónicos.Como opciones no probadas quedan la aplicación del filtro en tiempo discreto, ya sea mediante la convolución o la transformada rápida de fourier.

RESPUESTA A UNA SEÑA SINUSOIDAL:

Se eligió como frecuencia 400hz

lsin s( ) sin 2 π⋅ 400⋅ t( ) laplace t, 800π

s2

640000 π2

⋅+

⋅→:= Transformada del seno

0 0.02 0.04 0.06 0.080.5

0

0.5

Tiempo(s)

Tensión(V

)

rsin tx( )

OrcadSin1⟨ ⟩

tx OrcadSin0⟨ ⟩

,

La amplitud tras el transitorio es la esperada, ya que el filtro amplifica 13.94db en 400Hz, luego la apmlitud final esperada es:

10

13.94

200.1⋅ 0.498=

CONCLUSIÓN:

Se destaca la utilidad de mathad como herramienta en el diseño de filtros, ya que mientras los componentes utilizados se comporten conforme a los modelos utilizados, la velocidad de respuesta del programa permite de manera muy comóda realizar diseños mediante aproximaciones sucesivas.Un tratamiento similar del problema en Pspice requiere correr una simulación por cada cambio, lo cual requiere mucho tiempo en comparación.

Se nota también el ahorro en cálculo computacional al realizar un tratamiento discreto de los problemas, respecto de la solución simbólica, y los excelentes resultados obtenidos con este método.

Por último, en el trabajo es marcada la incidencia que tiene la normalización de los componentes electrónicos en las fluctuaciones de los parámetros de los filtros la normalizados.