Trabajo y energíaTrabajo y energía

2

Trabajo (W). Trabajo (W).

En el caso de que la En el caso de que la fuerza sea constantefuerza sea constante

W es el producto escalar de la fuerza (W es el producto escalar de la fuerza (FF))

por el vector desplazamiento (por el vector desplazamiento (rr).). Es por tanto un Es por tanto un escalarescalar (un número). (un número).

W = W = FF · · rr =| =|FF|·||·|rr| · cos | · cos siendo “siendo “” el ángulo que forman ambos vectores.” el ángulo que forman ambos vectores.

Si Si FF y y rr tienen la misma dirección y sentido, tienen la misma dirección y sentido, entonces W = F ·entonces W = F ·r r

3

Trabajo y unidadesTrabajo y unidades En el caso de que la fuerza se aplique en la En el caso de que la fuerza se aplique en la

dirección y sentido del desplazamiento, cos dirección y sentido del desplazamiento, cos = = 11

De donde De donde W = |W = |FF| ·|| ·|rr| |

En cambio, si En cambio, si FF yy rr son perpendicularesson perpendiculares cos cos = 0 y el trabajo es nulo. = 0 y el trabajo es nulo.

La unidad de trabajo en el Sistema La unidad de trabajo en el Sistema Internacional es:Internacional es:

Joule (J) = N · m = kg · mJoule (J) = N · m = kg · m22/s/s22

4Ejemplo:Ejemplo: Se tira de un furgón de 20 kg con Se tira de un furgón de 20 kg con

una cuerda horizontal que forma un ángulo de una cuerda horizontal que forma un ángulo de 30º con la dirección de la vía, ejerciendo una 30º con la dirección de la vía, ejerciendo una fuerza F de 50 N a lo largo de una distancia de fuerza F de 50 N a lo largo de una distancia de 50 m. La fuerza de rozamiento entre la vía y 50 m. La fuerza de rozamiento entre la vía y las ruedas es una décima parte del peso. las ruedas es una décima parte del peso. Calcular el trabajo realizado por cada una de Calcular el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el furgón.las fuerzas que actúan sobre el furgón.

W = F · W = F · x ·cos 30º = 50 N · 50 m · 0,866 = x ·cos 30º = 50 N · 50 m · 0,866 = 2165 J2165 J

WWRR = F = FRR · ·x ·cos 180º = 19,6 N ·50 m ·(–1) = x ·cos 180º = 19,6 N ·50 m ·(–1) = –980 J–980 J

WWPP = P · = P · x ·cos 270º = 196 N · 50 m · (0) = x ·cos 270º = 196 N · 50 m · (0) = 00

WWNN = N · = N · x ·cos 90º = 196 N · 50 m · (0) = x ·cos 90º = 196 N · 50 m · (0) = 00

WWtotaltotal = 2165 J – 980 J = = 2165 J – 980 J = 1185 J1185 J

5Significado gráfico del Significado gráfico del

trabajo con fuerza trabajo con fuerza constanteconstante

Si representamos Si representamos “F” en ordenadas y “F” en ordenadas y “x” en abscisas, “x” en abscisas, podemos comprobar podemos comprobar que “W” es el área que “W” es el área del paralelogramo del paralelogramo cuya base es “cuya base es “x” y x” y cuya altura es la “F” cuya altura es la “F” constante.constante.

F (N)

x (m)x0 x

WWF

x

6Definición integral del Definición integral del trabajo. trabajo.

En el caso de que la fuerza no En el caso de que la fuerza no sea constante (p.e. fuerzas sea constante (p.e. fuerzas elásticas), la definición del elásticas), la definición del trabajo es más compleja.trabajo es más compleja.

Habría que considerar el trabajo Habría que considerar el trabajo como una suma de mucho como una suma de mucho trabajos en los que se pudiera trabajos en los que se pudiera considerar que al ser el considerar que al ser el desplazamiento muy pequeño F desplazamiento muy pequeño F sería constante.sería constante.

W = W = rr00 FF · · rr

F

xx0

x

El trabajo puede obte-nerse calculando el área comprendido entre la curva y el eje de abscisas, y las ordenadas que delimitan el desplazamiento.

7

Trabajo elásticoTrabajo elástico Supongamos que un resorte actúa en la Supongamos que un resorte actúa en la

dirección del eje “x” con lo que habrá dirección del eje “x” con lo que habrá que realizar una fuerza igual y de que realizar una fuerza igual y de sentido contrario a la fuerza elástica sentido contrario a la fuerza elástica para estirar el resorte (– k · para estirar el resorte (– k · xx) :) :

FF = k · = k · xx

FF depende, pues. de “depende, pues. de “xx” y no es ” y no es constante.constante.

8

Significado gráfico del Significado gráfico del trabajo elásticotrabajo elástico

Si representamos “F” Si representamos “F” en ordenadas y “x” en en ordenadas y “x” en abscisas, podemos abscisas, podemos comprobar que “W” es comprobar que “W” es el área del triángulo el área del triángulo cuya base es “x” y cuya cuya base es “x” y cuya altura es la “Faltura es la “Fmáxmáx”. ”.

W = ½ W = ½ Fmáx· x= x= ½ k ½ k · · xx22

F (N)

x (m)x

Fmáx

x

WW

9

Energía Energía

Es la capacidad que tiene un cuerpo Es la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo.para realizar un trabajo.

A su vez, el trabajo es capaz de A su vez, el trabajo es capaz de aumentar la energía de un sistema.aumentar la energía de un sistema.– Se considera W>0 aquel que aumente la Se considera W>0 aquel que aumente la

energía del sistema.energía del sistema.– Se considera W<0 aquel que disminuye Se considera W<0 aquel que disminuye

la energía del sistema.la energía del sistema.

10

Tipos de energíaTipos de energía Mecánica:Mecánica:

– Cinética.Cinética.– Potencial.Potencial.

Térmica.Térmica. Eléctrica.Eléctrica. Nuclear.Nuclear. Química.Química. Luminosa.Luminosa. ......

11

F

Trabajo y energía cinética.Trabajo y energía cinética.

Imaginemos que Imaginemos que tiramos de una caja tiramos de una caja con una fuerza con una fuerza FF constante que forma constante que forma una ángulo “una ángulo “” con el ” con el suelo.suelo.

Como consecuencia Como consecuencia de la misma la caja de la misma la caja experimenta una experimenta una aceleración.aceleración.

P

Fr

Fx

Fy

N

FF = m · = m · aa

FFxx – F – Fr r = m · a = m · axx

N + FN + Fyy – P = 0; a – P = 0; ay y =0=0

12

Trabajo y energía cinética Trabajo y energía cinética (cont).(cont).

Como el desplazamiento sucede en el eje xComo el desplazamiento sucede en el eje x

W = W = F F · · xx = (F = (Fxx – F – Fr r ))··(x – x(x – x00) = m) = m··aa··(x – x(x – x00)) Aplicando las ecuaciones x=f(t) y v= f(t) en el Aplicando las ecuaciones x=f(t) y v= f(t) en el

MRUA: xMRUA: x –x–x0 0 == (v (v0 0 +½ a +½ a ··t) t) ··t ; a = (v – vt ; a = (v – v00)) / / t t (v – v(v – v00) ) (v – v (v – v00) )

W = m W = m ·· ———— ———— · · v v0 0 + ———— + ———— ··t t ··t = t = t t 2 t 2 t

W = mW = m ·· (v – v (v – v00) ) ·· [v [v0 0 +½ (v – v+½ (v – v00)] =)] = ½ m½ m ·· (v – v (v – v00) ) ·· (v + v (v + v00) = ½ m) = ½ m vv2 2 –½ m–½ m vv00

2 2

13

Trabajo y energía cinética Trabajo y energía cinética (cont).(cont).

A la expresión ½ m vA la expresión ½ m v2 2 la llamaremos la llamaremos ““energía cinéticaenergía cinética” (” (EEcc),), con lo que el trabajo con lo que el trabajo realizado se ha invertido en aumentar realizado se ha invertido en aumentar energía cinética del sistema.energía cinética del sistema.

W = ½ mW = ½ m vv2 2 – ½ m– ½ m vv0022 = E = Ecc– E– Ecoco = = EEcc

que también se conoce comoque también se conoce como “Teorema de las fuerzas vivas” “Teorema de las fuerzas vivas”

14

Trabajo y energía Trabajo y energía potencial gravitatoria.potencial gravitatoria.

El trabajo producido por algunos tipos de El trabajo producido por algunos tipos de fuerza se emplea en variar otro tipo de energía fuerza se emplea en variar otro tipo de energía llamada “llamada “energía potencial gravitatoriaenergía potencial gravitatoria” o ” o simplemente “simplemente “energía potencialenergía potencial” . ” .

Si subimos una caja al piso de arriba Si subimos una caja al piso de arriba aplicamos una fuerza igual en módulo al peso aplicamos una fuerza igual en módulo al peso de la misma. Como de la misma. Como FF= 0 no se produce = 0 no se produce aceleración pero al realizar un trabajo se ha aceleración pero al realizar un trabajo se ha aumentado la energía del sistema. aumentado la energía del sistema.

15

Trabajo y energía Trabajo y energía potencial (cont).potencial (cont).

W=|W=|FF||··||yy| · cos 0º = m| · cos 0º = m·· g g ··(h – h(h – h00))

A la expresión “m g h” se llama “A la expresión “m g h” se llama “energía energía potencialpotencial” (EEpp)). .

W = m W = m ·· g g ·· h – m h – m ·· g g ·· h h0 0 = E= Epp– E– Ep0 p0 = = EEpp

Al soltar la caja la energía acumulada en Al soltar la caja la energía acumulada en forma de energía potencial se transforma en forma de energía potencial se transforma en cinética.cinética.

16Ejemplo:Ejemplo: Tenemos un cuerpo en lo alto de un Tenemos un cuerpo en lo alto de un

plano inclinado. Comprueba que el trabajo que plano inclinado. Comprueba que el trabajo que realiza el peso es el mismo cuando el cuerpo realiza el peso es el mismo cuando el cuerpo cae verticalmente que cuando cae cae verticalmente que cuando cae deslizándose sin rozamiento a lo largo del deslizándose sin rozamiento a lo largo del plano inclinado.plano inclinado.

WWPaPa = = ||PP|·||·|yy|| · cos 0º = m·g ·h · cos 0º = m·g ·h

WWPbPb = = ||PP||· · ||ll|| ·cos (90º – ·cos (90º – ))

Como:Como: h h cos (90º – cos (90º – ) = ) = ——

l l

WWPbPb = m ·g ·h = m ·g ·h

con lo que:con lo que: WWPa Pa = W= WPbPb

hl

90º -

17

Energía potencial elástica Energía potencial elástica (E(Epepe))

El trabajo realizado al estirar un resorte El trabajo realizado al estirar un resorte (½ k(½ k ·· x x22) se almacena en forma de ) se almacena en forma de energía potencial elástica cuyo valor es energía potencial elástica cuyo valor es precisamente:precisamente:

EEpe pe = ½ k = ½ k · · xx22

siendo “x” lo que se ha estirado el siendo “x” lo que se ha estirado el resorte.resorte.

18

Trabajo de rozamiento. Trabajo de rozamiento. Energía perdida.Energía perdida.

¿Qué ocurre si arrastramos un objeto por una ¿Qué ocurre si arrastramos un objeto por una superficie con velocidad constante?superficie con velocidad constante?

Si Si vv= cte = cte aa = 0 = 0 FF = 0= 0

de donde se deduce que la fuerza aplicada es de donde se deduce que la fuerza aplicada es igual a la de rozamiento pero de sentido igual a la de rozamiento pero de sentido opuesto.opuesto.

WWRR = – = – d d · m · g · cos · m · g · cos · · rr

La ELa Eperdida perdida = = ||WWRR||

19

Energía mecánica.Energía mecánica. Principio de conservación. Principio de conservación. Se llama “Se llama “energía mecánicaenergía mecánica” ” (EEMM)) a la suma de a la suma de

las energía cinética y potencial.las energía cinética y potencial.

EEM M = E= Ec c + E+ Ep p = ½ m= ½ m vv2 2 + m g h+ m g h

Principio de conservación de la energía Principio de conservación de la energía mecánica:mecánica: “Si no se aplica ninguna fuerza “Si no se aplica ninguna fuerza exterior y no hay rozamiento la energía mecánica exterior y no hay rozamiento la energía mecánica se conserva”.se conserva”.

Lógicamente, si hay rozamiento: Lógicamente, si hay rozamiento: EEMfinal Mfinal = E= EM0M0–– E Eperdidaperdida

20

Demostración del principio Demostración del principio de conservación de la Ede conservación de la EMM..

Dejemos caer un objeto desde una altura “hDejemos caer un objeto desde una altura “h00”. ”. La única fuerza existente es el peso.La única fuerza existente es el peso.

Inicialmente, vInicialmente, v00 = 0 = 0 E Ec0c0 = 0 = 0altura = haltura = h00 E Ep0p0 = m g h = m g h00

EEM0 M0 = E= Ec0 c0 + E+ Ep0 p0 = m= m gg hh00 Al cabo de un tiempo “t” el objeto habrá caído Al cabo de un tiempo “t” el objeto habrá caído

con MRUA y se encontrará a una altura “h” y con MRUA y se encontrará a una altura “h” y llevará una velocidad “v”:llevará una velocidad “v”:

h = hh = h0 0 – ½ g t– ½ g t22 ; v = – g t; v = – g t

21Demostración del principio Demostración del principio de conservación de la Ede conservación de la EMM. .

(cont).(cont).

h = hh = h0 0 – ½ g t– ½ g t22 ; v = – g t; v = – g t

EEMM = E = Ecc+E+Ep p = ½ m= ½ m vv2 2 + m g h =+ m g h =

½ m½ m (– g t)(– g t)2 2 + m+ m gg (h(h00 – ½ g t – ½ g t22) =) =

½ m½ m gg22 t t2 2 + m+ m gg hh00 – ½ mg – ½ mg22 t t22 = = mm gg hh00

Es decir, la energía mecánica no ha Es decir, la energía mecánica no ha variado, pues la Evariado, pues la Ecc ha aumentado lo ha aumentado lo mismo que ha disminuido Emismo que ha disminuido Epp

22Ejemplo:Ejemplo: Lanzamos verticalmente una pelota Lanzamos verticalmente una pelota

con una velocidad de 10 m/s. Demostrar cuál con una velocidad de 10 m/s. Demostrar cuál será la altura máxima usando el principio de será la altura máxima usando el principio de conservación de la energía mecánica.conservación de la energía mecánica.

EEc c = ½ = ½ mm v v2 = 2 = ½ ½ mm·(10 m/s)·(10 m/s)22 = 50 = 50 mm m m22/s/s22

Como la energía cinética se transformará en Como la energía cinética se transformará en potencialpotencial

EEp p = = mm g h = 50 g h = 50 mm m m22/s/s22

Eliminando la masa “Eliminando la masa “mm” en ambos miembros y ” en ambos miembros y despejando “h”despejando “h”

50 m50 m22/s/s22 h = ———— =h = ———— = 5,1 m5,1 m

9,8 m/s 9,8 m/s22

23Ejercicio:Ejercicio: Lanzamos una pelota con una Lanzamos una pelota con una

velocidadvelocidadde 10 m/s con un ángulo de 30º con respecto de 10 m/s con un ángulo de 30º con respecto a la horizontal. Demostrar cuál será la altura a la horizontal. Demostrar cuál será la altura máxima usando el principio de conservación máxima usando el principio de conservación de la energía mecánica.de la energía mecánica.EEc0 c0 = ½ m v= ½ m v00

2 = 2 = ½ m·(10 m/s)½ m·(10 m/s)22 = 50 = 50 mm m m22/s/s22

En el punto más alto sólo existirá “vEn el punto más alto sólo existirá “vx x = v= v00·cos 30 º”·cos 30 º” – –

EEc1 c1 = ½ m v= ½ m v112 = 2 = ½ ½ mm·[(·[(3/2)·10 m/s)]3/2)·10 m/s)]22

EEc1 c1 = 37,5 = 37,5 mm m m22/s/s22. Igualmente; E. Igualmente; Ep1 p1 = = mm ·g ·h ·g ·h

Igualando EIgualando EM0 M0 = E= EM1M1: :

50 50 mm m m22/s/s22 = 37,5 = 37,5 mm m m22/s/s2 2 + + mm ·g ·h ·g ·h

Eliminando la masa “Eliminando la masa “mm” en ambos miembros y despejando ” en ambos miembros y despejando “h”“h”

h = h = 1,28 m1,28 m