trabalho - exercícios de transformada de laplace.docx
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTEDEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
CIV0408 – MÉTODOS ANALÍTICOS E COMPUTACIONAIS – T02
DOCENTE: ANTONIO MAROZZI RIGHETTO
ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR
EXERCÍCIOS SOBRE TRANSFORMADA DE LAPLACE
NATAL
DEZEMBRO/2013
1. Determine a transformada de Laplace da seguinte função:y ( x )=e−(a+b. x ) . sen(cx)
Resposta:
Por definição, a transformada de Laplace de f(x) é:
∫0
∞
f ( x )∗e−sx dx
Portanto, a transformada de Laplace de f(x) = e−( a+b . x ) . sen (cx) será:
∫0
∞
e−(a+ b∗x )∗sen (cx )∗e−sxdx=∫0
∞
e−(a+( s+b)∗x )∗sen(cx)dx
Integrando por partes:
∫0
∞
e−(a+ (s+b)∗x )∗sen ( cx )dx=(−cos (cx )
c∗e−(a+ (s+b)∗x ))
0
∞
−(s+b)∫0
∞ cos ( cx )c
∗e−(a+(s+b )∗x )dx
Sabendo que (−cos (cx )
c∗e−(a+ (s+b)∗x ))
0
∞
= e−a
c, temos:
∫0
∞
e−(a+ (s+b)∗x )∗sen ( cx )dx= e−a
c−(s+b)∫
0
∞ cos ( cx )c
∗e− (a+(s+b )∗x )dx
Agora, integrando ∫0
∞ cos (cx )c
∗e−(a+(s+b )∗x )dx por partes, temos:
∫0
∞ cos (cx )c
∗e−(a+(s+b )∗x )dx=¿
(sen ( cx )c2 ∗e−(a+(s+b )∗x ))
0
∞
+(s+b)∫0
∞ sen (cx )c ²
∗e−(a+ ( s+b )∗x )dx
Sabendo que (sen ( cx )c2 ∗e−(a+(s+b )∗x ))
0
∞
=0, temos:
∫0
∞ cos (cx )c
∗e−(a+(s+b )∗x )dx=(s+b)∫0
∞ sen (cx )c ²
∗e−(a+( s+b )∗x )dx
Substituindo na equação anterior:
∫0
∞
e−(a+ (s+b)∗x )∗sen ( cx )dx= e−a
c−( s+b )∗[ (s+b )∫
0
∞ sen (cx )c2 ∗e−(a+( s+b)∗x )dx ]
∫0
∞
e−(a+ (s+b)∗x )∗sen ( cx )dx+ (s+b )2
c2 ∗∫0
∞
e−(a+ ( s+b)∗x )∗sen (cx )dx= e−a
c
∫0
∞
e−(a+ (s+b)∗x )∗sen ( cx )dx∗(1+(s+b )2
c2 )=e−a
c
∫0
∞
e−(a+ (s+b)∗x )∗sen ( cx )dx= e−a∗c( s+b )2+c ²
Portanto, a transformada de Laplace de y ( x )=e− (a+b. x )∗sen (cx) é:
e−a∗c(s+b )2+c ²
2. Determine a transformada de Laplace da seguinte função:y ( x )=xe−4 x
Resposta:
Sabendo que:
L {xn∗f (x ) }=(−1 )n∗F (n) ( s ) , onde:
L {xn∗f (x ) } é a transformada de laplace da função xn∗f ( x );F (n ) (s ) é a derivada de ordem n da transformada de Laplace da função f(x).
Temos:
L {x1∗e−4 x}= (−1 )1( 1( s+4 )
) 'L {x1∗e−4 x}=−1∗−1( s+4 )2
L {x e−4x }= 1( s+4 )²
3. Obtenha a transformada inversa de Laplace da seguinte função:
F ( s)= 1s2−2 s+9
Resposta:
F ( s)= 1s2−2 s+9
= 1
(s¿¿2−1) ²+8=
1√8
∗√8
(s¿¿2−1) ²+8¿¿
F ( s)=
1√8
∗√8
(s¿¿2−1) ²+8¿
Sabendo que: F−1( b(s−a)²+b ² )=eax∗sen (bx ); temos:
F−1¿
4. Obtenha a transformada inversa de Laplace da seguinte função:
F ( s)= s+3s2−s−2
Resposta:
F ( s)= s+3s2−s−2
= s+3(s−2)(s+1)
s+3(s−2 ) (s+1 )
= as−2
+ bs+1
s+3=a (s+1 )+b(s−2)
Para s=−1 , temos :
2 ¿a∗(0 )+b∗(−3 )
2=−3b
b=−23
Para s = 2, temos:
5=a∗(3 )+b∗(0 )
a=53
Portanto:
F ( s)= s+3s2−s−2
=
−23
∗1
s+1+
53∗1
s−2
F−1( s+3s2−s−2 )=−2
3∗e−x+ 5
3∗e2x
5. Obtenha por transformada de Laplace a solução da seguinte equação diferencial:
y ´ ´−3 y ´+2 y=sen ( x )sendo y (0 )=1 e y ´ (0 )=0
Resposta:
s∗(s∗Y ( s )− y (0 ) )− y ' (0 )−3 [ s∗Y ( s )− y (0 ) ]+2Y ( s )= 1s2+1
s ²∗Y (s )−s−3 s∗Y (s )+3+2Y ( s )= 1s2+1
Y (s ) ( s2−3 s+2 )= s ³−3 s2+s−2s2+1
Y (s )= s ³−3 s2+s−2(s¿¿2+1)∗(s−1 )∗(s−2)¿s3−3 s2+s−2
(s¿¿2+1)∗( s−1 )∗(s−2)=as+bs2+1
+ cs−1
+ ds−2
¿
s3−3 s2+s−2=(as+b ) ( s−1 ) ( s−2 )+c ( s2+1 ) ( s−2 )+d (s−1 ) (s2+1 )Para s=1 , temos :
−3=(a+b )∗0+c (2 ) (−1 )+d∗0−3=−2c
c=32
Para s=2 , temos :−4= (2a+b )∗0+c∗0+d∗(5 )
−4=5 d
d=−45
Para s=0 , temos :
−2=2b+ 32
(−2 )−45
(−1 )
b= 110
Para s=−1
−7=(−a+ 110 ) (6 )+c (2 ) (−3 )+d (−2 ) (2 )
a= 310
F ( s)=
110
∗s
( s2+1 )+
310
∗1
s2+1+
32∗1
s−1−
45∗1
s−2
y ( x )= 110
∗cos ( x )+ 310
∗sen ( x )+32∗ex−4
5∗e2x
6. Obtenha por transformada de Laplace a solução da seguinte equação diferencial:
y ´ ´+4 y´+8 y=e− x
sendo y (0 )=1 e y ´ (0 )=0Resposta:
s2∗Y ( s )−s+4 s∗Y (s )−4+8Y ( s )= 1s+1
Y (s ) ( s2+4 s+8 )= s2+5 s+5s+1
Y (s )= s2+5 s+5(s+1 )∗( (s+2 )2+4 )
s2+5 s+5(s+1 )∗( (s+2 )2+4 )
= as+1
+ bs+c(s+2 )2+4
s2+5 s+5=a (s2+4 s+8 )+(bs+c ) ( s+1 )Para s=(−1 ) , temos :
a=15
Para s=0 , temos :
c=175
Para s=1 , temos :
11=15
(13 )+2b+ 345
b=45
F (S )=
15∗1
s+1+
45∗s+2
( s+2 )2+4+
910
∗2
(s+2 )2+4
F (S )=
15∗1
s+1+
45∗( s+2 )
( s+2 )2+4+
910
∗2
(s+2 )2+4
y ( x )= e−x
5+ 4
5e−2 x∗cos (2 x )+ 9
10e−2x∗sen (2 x )