Análisis Sistemas y Señales

Grupo 4

Profesora : Elizabeth Fonseca Chávez

Integrantes :

García Jurado Stevenel Luis

Chávez Sandoval Gerardo

Aguilar Olín Joaquín

TRANSFORMACIONES

PARA FUNCIONES BÁSICAS

Transformada de LTransformada de LTransformada de LTransformada de Laplaceaplaceaplaceaplace

Función Impulso ó Delta Dirac

Sea ���� = ����

������ = ������� ������ ��

Como la función ���� está solamente definida 0 ≤ � ≤ 0� y en ese intervalo � �� = 1

������ = ��������� �� = 1

Funcion Pulso Rectangular

La expresamos como :

���� = � 0 ; � < 0� ; 0 ≤ � ≤ ��0 ; � > ��!

La anchura del pulso es " = �� − ��

Para saber la Transformada calculamos el área del Rectángulo con una Integral de la forma :

��� = ������

��� = ���� − ��0��

Función Escalón Unitario

La representamos de esta forma :

���� = $0, � < 01, � ≥ 0! Según los visto en clase la transformada nos da

��1 = 1'

Pero realmente nos interesa que la constante pueda tomar cualquier valor no sólo uno por lo que definimos a la constante a

��� = ��� ����� ��

= lim+→� - . � ��+� ��

= lim+→� - /�01� |�+

= lim+→� - /�03���

= 4� para s>0

La función de escalón unitario se representa :

5��� = $0, � < 01, � ≥ 0! Utilizando la definición de Transformada de Laplace para cualquier función continua

������ = . ������ ����� �� ec.(2)

las ecuaciones (1) y (2) Tenemos

��5��� = ��1� ∗ �� ����� ��

��5��� = 1'

Función Rampa Unitaria

Matemáticamente la podemos expresar de la siguiente forma :

���� $ 0 ; � < 0� ; � > 0! Por definición :

��� = ��� ����� ��

Usando integración por partes :

= −�' � �� |�� + 1' � ������

= −�' � �� |�� − 1' � ��|��

Veamos el primer termino :

lim�→�−� '��� + lim�→� −�'���

Aplicando la regla de L’HÔpital :

lim�→� � �8/01 = 0

Y el segundo limite también es cero (esto ocurrirá no importa la potencia a que se este elevada la variable t ). Por tanto :

�� � ��|�� − �

�8 � ��|�� = −0 + ��8 = �

�8

Entonces la transformada nos queda :

��� = 1'9

Función Exponencial

���� = :�;�

Por definición :

��:�;� = : ��;�� ����� ��

= : . �� �� ;����� ��

= : �� ; � �� ;�� |�� = 0 + �

� ;

Por lo tanto ��:�;� = :� �� ;) , s>a

Función Senoidal

Se representa con la ecuación :

���� = �-<'�=� + φ� Primero probaremos la transformada para la función :

���� = cos �=��

��-<'�=� � = �-<'�=��� ����� ��

= −1' � �� cos�=�� |� � − =' � ���� '�B�=����

= −1' � �� cos�=�� |� � + ='9 � ��'�B�=��|��

− C8�8 . � �� cos�=�� ����

→ D1 + =9'9 E � ���

� cos�=�� �� = − 1'��� cos �=��|��

+ ='9��� '�B�=��|�� = 1'

Por lo tanto

� ���� cos�=�� �� =

1'1 + =9'9

= ''9 + =9

Utilizando la definición de Transformada de Laplace para cualquier función continua

���-<'�=� + F� = ��-<'�=� + φ�� ����� ��

Al resolver la integral por el método de Integración por partes nos da :

Si s> 0

���-<'�=� + F� = ���GH��I� CJ/K�I��8�C8 �

Función Sinc

La podemos representar con la formula :

���� = �� ;�'�B�=� + F�

Por lo tanto

���� ;�-<'�=� + F� = ��� ;�-<'�=� + φ�� ����� ��

Al resolver la integral nos queda

L�MNOP�Q� =

A�−at Iè!!! !!w2 Cos@ϕD Sign@wD + ω Sin@ϕDM

w2+ ω2

� � � � � � � � � � � � � � � � � �Transformada de FourierTransformada de FourierTransformada de Fourier

Funcion Pulso Rectangular

La expresamos como :

���� = � 0 ; � < 0� ; 0 ≤ � ≤ ��0 ; � > ��!

Funcion Impulso o Delta Dirac

Función Escalon Unitario

La representamos de esta forma :

���� = $0, � < 01, � ≥ 0!

Sabemos que es una función no periódica por lo tanto usamos la definición de Transformada de Fourier

Función Rampa Unitaria

Funcion Exponencial

Función Senoidal

• Exposición

*Función Sinc

Transformada ZTransformada ZTransformada ZTransformada Z

*Función Pulso Rectangular

Función Impulso o Delta Dirac

Función Escalón Unitario

Función Rampa Unitaria

Ejemplo de una señal de rampa

Función Exponencial

De la definición de Transformada Z

Al usar a la función u de n como :

R�O� = S TQ

Desarrollamos la serie y simplificamos

Función Senoidal

Entonces podemos aplicar la definición de la transformada Z para funciones Exponenciales

Ahora con la ecuación :

���� = �-<'�=� + φ� Al realizar la serie de exponenciales complejas queda :

Z(w) =

• Nota no estamos tan seguros de este resultado debido a que fue hecho por el programa de MATHEMATICA

Función Sinc

Referencias :Referencias :Referencias :Referencias :

- http://www.fi.uba.ar/materias/61107/Apuntes/TZ00.pdf

- Ecuaciones Diferenciales – Carmona Editorial Pearson

� A�−�ϕ zI�2�w− �2�ϕ− ��wz+ ��Hw+2ϕL zM2Hz+ �2�w z−��w H1+ z2LL

- Teoría de Sistemas y Circuitos – Gerez

- Apuntes en clase

- http://www.terra.es/personal/igreal/fourier%20previos.1.0.PDF