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Transformadas em Sinais e Sistemas (BC1509)

Aula 2

Professor: Alain Segundo Potts

[email protected]

Sala 721-1

Bibliografia

• LATHI, B. P.; Sinais e Sistemas Lineares, Bookman, 1a Ed., 2007.

• ROBERTS, M. J.; Fundamentos em Sinais e Sistemas, McGraw-Hill, 1a Ed., 2009.

• HAYKIN, S.; VAN VEEN, B.; Sinais e Sistemas, Bookman, 1a Ed., 2001.

• OPPENHEIN, A.; WILLSKY, A.; NAWAB, S.; Sinais e Sistemas, 2ª ed., São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010

Sumário

• Descrição matemática de sinais contínuos no tempo.

• Redimensionamentos de escala e deslocamentos no tempo.

• Sinais Periódicas.

• Energia e potência dos sinais.

Funções de sinal

• Resumo de algumas das principais funções de sinal:

Redimensionamento da Escala da amplitude

• Consiste em multiplicar toda a função por uma constante:

• Esta operação varia o valor da variável dependente

(t) Ag(t)g

g

Deslocamento no tempo

• Consiste na mudança da variável independente

Onde é qualquer constante arbitraria.

Se o deslocamento é de unidades à esquerda.

Se o deslocamento é à direita.

0t t t

0t

0 0t

0t

0 0t


Exemplo


1. Obtenha a função ret(t) a partir de duas funções u(t).

2. Obtenha a função tri(t) a partir de funções r(t) deslocadas no tempo

1 1(t) u t u t

2 2ret

(t) r(t 1) 2r(t) r(t 1)tri

Redimensionamento de Escala de Tempo

• Consiste na mudança da variável independente

• Caso o fator de escala a > 1 o processo amplia a função na horizontal

tt

a


Efeito Doppler

https://youtu.be/yWIMWqkcRDU?t=42

Exemplo


• Considere agora a mudança da variável independente

• Quando o fator de escala a < 0 ocorre uma inversão no tempo. (Rotação de 180 graus em torno do eixo g(t)).

tt

a

Deslocamento e redimensionamento de Escala Simultâneos

Todas as três alterações provocadas em funções podem ser aplicadas simultaneamente:

Note que a ordem das operações altera o resultado final:

0

0

A

(t) (t) t t t t

ta

t ttg Ag Ag Ag

a a

0

00 0

A

(t) (t) tt t t

ta

t ttg Ag Ag t t Ag t Ag

a a

Deslocamento e redimensionamento de Escala Simultâneos

Diferenciação e Integração

• A derivada de uma função no instante t equivale à sua inclinação nesse mesmo instante t.

• A integral de uma função em qualquer instante t equivale à área acumulada sob a função até o referido instante t.

• Lembrando que dada uma função sua derivada é encontrada de modo não ambíguo, porém sua integral não.


• Integral contínua ou cumulativa:

Geometricamente, ela corresponde à área acumulada sob a função para todos os instantes de tempo antes do tempo t, e isso depende do valor de t.

Note que no caso que tenhamos conhecimento do valor da integral para a integral deixa de ser ambígua.

(t)

t

h g d

0t t

Funções pares e ímpares

• Uma função par de t é aquela invariante para um redimensionamento de escala no tempo do tipo .

• Uma função ímpar de t é aquela invariante para um redimensionamento da escala da amplitude e de tempo:

• Uma função pode ser par, ímpar ou nenhuma das duas.

t t

(t) g( t)g


• Qualquer função g(t) pode ser expressa como a soma de seus componentes par e ímpar:

• Se a componente ímpar de uma função é zero, a função é par; se a componente par de uma função é zero a função é ímpar.

(t) g( t)(t)

2p

gg

(t) g( t)(t)

2i

gg


• Exemplo:

Determine se a seguinte função é par ou ímpar?

Solução:

Portanto a função é ímpar.

Somas, produtos, diferenças e quocientes

Tipo de Função Soma Diferença Produto Quociente

Ambas pares Par Par Par Par

Ambas ímpares Ímpar Ímpar Par Par

Uma par e outra ímpar

Nenhum tipo Nenhum tipo

Ímpar Ímpar


Tipo de Função Derivada Integral

Par ímpar Ímpar + constante

Ímpar par par

Note que numa função par a Integral ao longo de um intervalo [-a;a] é:

0

2

a a

a

g t dt g t dt


Tipo de Função Derivada Integral

Par ímpar Ímpar + constante

Ímpar par par

No caso de uma função ímpar a Integral ao longo de um intervalo [-a;a] é:

0

a

a

g t dt

Funções Periódicas

• Uma função g(t) é periódica se satisfaz a seguinte expressão:

para qualquer valor inteiro de n.

• T é o período da função.

• As funções periódicas são invariantes a deslocamentos no tempo do tipo

(t) (t nT), g g n

t t nT


• O intervalo menor positivo sobre a qual a função se repete é denominado período fundamental T0.

• Expressões equivalentes ao período fundamental são a frequência fundamental e a frequência angular

0

0

1f

T

0

0

2

T


• Considere duas funções periódicas x1(t) e x2(t) de períodos fundamentais T01 e T02 .

• Se a relação é um número racional o mínimo múltiplo comum (T0) entre T01 e T02 é finito e a função x(t) = x1(t) + x2(t) é periódica de período fundamental T0.

• Se a relação é um número irracional, x(t) é aperiódica.

01 02T T

01 02T T


• A frequência fundamental de x(t) é o máximo divisor comum (MDC) entre as duas frequências fundamentais e é portanto o recíproco do mínimo múltiplo comum (MMC) relativo aos dos períodos fundamentais.

• Caso as funções periódicas estejam-se multiplicando o período da função resultante será igual ao maior período das funções envolvidas na multiplicação.


x(t) sen(12 t) cos(18 t)

1x (t) sen(12 t)

2x (t) cos(18 t)

Exemplo:


• O período da primeira função é:

• O período da segunda função é:

• Como

• Utilizando as frequências temos que o MCD de ambas frequências é 3. Logo o sinal x(t) terá uma frequência fundamental f0 = 3 ou T0=1/3.

01 01

01

2 112 t 6

6t T f

T

02 02

02

2 118 t 9

9t T f

T

01 02 3 2T T a função x(t) = x1(t)+x2(t) é periódica


-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-10

0

10

x1(t)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-5

0

5

x2(t)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-50

0

50

x(t)=x1(t)*x

2(t)

x(t) sen(12 t)cos(18 t)

1x (t) sen(12 t)

2x (t) cos(18 t)


• Exemplo:

Determine se a seguinte função é periódica:

Solução:

10sin 12 4cos 18g t t t

01

02

02

01 02

1

6

218

9

1 9 3

6 2

T

t t TT

T T

Logo a função não é periódica.


-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-10

0

10

x1(t)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-5

0

5

x2(t)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-20

0

20

x(t)=x1(t)+x

2(t)

Energia e Potência de Sinal

• A energia de sinal de um sinal é definida como a área sob a magnitude do sinal ao quadrado:

• Desta forma a energia de sinal é proporcional à energia física real presente em um sinal.

• Muitos sinais possuem energia infinita devido a que o sinal não é limitado no tempo (não nulo sobre apenas um tempo finito).

2

(t)xE x dt


• Exemplo:

Calcule a energia de sinal da seguinte função de sinal:

Solução:

De acordo à definição de energia de sinal:

3 1 4 , 4

0, caso contrário

t tx t

2 4

2

4

(t) 3 1 4xE x dt t dt


• Solução

-6 -4 -2 0 2 4 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3x(t)

Como o sinal é par:

3 1 4 3 1 4(t) g( t)(t)

2 2

= 3 1 4

3 1 4 3 1 4(t) g( t)(t) 0

2 2

p

i

t tgg

t

t tgg

44 4 2 2 3

2

0 0 0

2 3 1 4 18 1 18 242 16 4 48

x

t t t tE t dt dt t


• Nos casos de sistema de energia de sinal infinita trabalha-se com a potência média do sinal:

• Sinais que têm energia de sinal finita são denominados sinais de energia e sinais que têm energia de sinal infinita mas potência média finita são denominados sinais de potência.

22

2

1(t)lim

T

xT T

P x dtT


• Para sinais periódicos o calculo pode ser feito sobre qualquer período do sinal.

• Logo a expressão toma a forma:

0

0

2 21 1(t) (t)

t T

xT

t

P x dt x dtT T


• Exemplo:

Determine a potência média do seguinte sinal:

Solução:

Como o sinal é periódico temos:

0cos 2x t A f t

0

0

2 21 1(t) (t)

t T

xT

t

P x dt x dtT T


222

0

0

2

2 2 22 2 2

0 0 0 0 0

2 2 2

0

2

1 1(t) cos 2

Utilizando a seguinte identidade:

1cos cos cos cos

2

4 41 cos 2 cos 2

2 2 2

2

T

xT

T

T T T

x

T T T

x

P x dt A f t dtT T

x y x y x y

A A AP t dt dt t dt

T T T T T

AP

Note que a potência do sinal não depende nem da frequência nem da fase do sinal senoidal.

Trabalho extraclasse

Exercícios do 32 até o 59 do capítulo 2 do livro de Roberts.

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