I. Transformasi Peubah Acak Kontinu Tidak Satu-satu

T.6.5 Misalkan x peubah acak kontinu dengan sebaran peluang

f(x), misalkan y = u(x) transformasi antara nilai x dan y yang tidak

satu-satu. Bila sedang tempat x didefenisikan dapat disekat

menjadi k himpunan yang saling terpisah sedemikian rupa

sehingga masing-masing fungsi kebalikan

)(),...,(),( 112211 yvxyvxyux dari y = u(x) menyatakan hubungan

satu-satu, maka sebaran peluang x adalah

k

i

Jyvfyg1

11 )()( dengan kivJ ,...,2,1,11

Contoh :

Ditentukan x menyebar normal dengan rataan dan varians 2

yaitu :

2

2

1

2

1)(

xexf

Carilah sebaran peluang hasil transformasi y =

2

2

x

Jawab :

Misalkan

x

z, dimana peubah acak z menyebar normal baku

:

2

2

1

2

1)(

zezf

, -∞‹z‹∞

Sehingga transformasinya adalah Y = 2z . Invers dari Y = 2z

adalah

yz 1 dan yz 2 sehingga yJ

2

11

dan yJ

2

12

karena itu

yyyy

eeyg2/1

2

12/1

2

1

2

1

2

1)(

=

0,

2

1 2

1

2

1

2

1

yey

x

yi

Karena g(y) adalah fungsi padat, maka :

0

2

11

2

1

2

1

2

11 dyey

y

=

0

12

1

2

122

)2/1(2

1)2/1(dwew w

= )2/1(

Nilai integral menunjukkan luas daerah yang dibatasi sumbu x dan

kurva x besar gamma parameter ,2

1dan 2 , karena itu

)2/1( dan y menyebar

G(y) =

0,

)2/1(2

1

,0

2

11

2

1

2

1

yey

lainuntukyyang

y

II. Transformasi Dengan Teknik Fungsi Pembangkit Moment

Misalkan sebaran peluang bersama dari k peubah acak kxxx ,...,, 21

adalah h( kxxx ,...,, 21 ), dan misalkan

kkkk xxxuyxxxuy ,...,,,...,,...,, 212111 katakanlah fungsi padat

yang akan dicari g(y1) fungsi padat peluang dari y1 dan

pandanglah fungsi pembangkit moment y1 My(t) =

11 )(11 dyygeeE tyty

Dan

kkxxtu dxdxxxhe k ,...,,...,.... 11

,...,11

ada.

Untuk -h‹t‹h. akan diperkenalkan integral dengan k peubah baru

y1= u1 ( kxx ...,,1 ),…, kkk xxuy ,...,1 dengan mana memberi

transformasi satu-satu sehingga kebalikannya adalah

kkkk yyvxyyvx ,...,,...,,..., 1111

Dan determinan jacob J. transpormasi integral menjadi

121 ,...,,...,.... 1 dydydyvvhe kkty

Sehingga g(y) = kkk yyvyyvh ,...,,...,,..., 111

Contoh :

Ditentukan peubah x1 dan x2 menyebar normal, ditransformasikan

ke peubah baru .21 xxy Carilah hasil transformasi tersebut.

Jawab :

Hitung tes labih dahulu fpm sebaran normal

Mx(t) = E 2/222 tttx ee

Jadi Mx1(t) = 2/22111 tttx eeE

Mx2(t) = 2/22212121 tttx eeE

Sedangkan bila .21 xxy maka fpm y adalah

My(t) = 2121 txtxxxt eEeEeE sehingga

My(t) = 2/22

11 te

= 2/22

22 te =

2/222

2121 tte

Menunjukkan fpm dari suatu sebaran normal dengan rataan 21

dan varians 22

21

Jadi g(y) =

22

21

21

2

1

2

1

y

e

EVALUASI

Ditentukan peubah x1 dan x2 menyebar normal, ditransformasikan ke

peubah baru 321 xxxy . Carilah hasil transformasi tersebut?

Jawab :

Fpm sebaran norma

Mx(t) = 3/3322 ttttx eeE

Jadi Mx1 = 3/331

22111 ttttx eeE

Mx2 = 3/3332

222212 ttttx eeE

Mx3 = 3/333

22333 ttttx eeE

Sedangkan bila 321 xxxy , maka fpm y adalah

My(t) = 321321 txtxtxxxxt eEeEeEeE

Sehingga

My(t) = 3/33

122

11 ttte

= 3/33

222

22 ttte

= 3/33

322

33 ttte

= 33

332

31

233

22

2132 ttt

e

Menunjukkan fpm dari suatu sebaran normal dengan rataan 321

dan varians 23

22

21 Jadi g(y) =

2

23

22

21

321

3

1

3

1

y

e