transformata fourier
TRANSCRIPT
1
Transformata Fourier
Introducere
Sistemele liniare invariante în timp sunt de departe cele mai studiate și utilizate sisteme în
prelucrarea semnalelor. Un sistem se numește liniar dacă răspunsul acestuia la suma a două semnale
este identic cu suma răspunsurilor la fiecare semnal în parte. Un sistem se numește invariant în timp
dacă răspunsul său la un semnal este același indiferent de momentul când este aplicat semnalul
respectiv la intrarea sistemului. Din teoria sistemelor, se știe că funcțiile proprii ale sistemelor liniare
invariante în timp (pe scurt, SLIT) sunt (co)sinusoidele. Altfel spus, dacă la intrarea unui SLIT aplicăm
o cosinusoidă pură de frecvență ω0, atunci la ieșire vom avea tot o cosinusoidă pură ω0 (bineînțeles,
având altă amplitudine și fază). Acest fapt permite studierea comportamentului sistemului la un
semnal de intrare oarecare, cu condiția să putem scrie semnalul respectiv ca o sumă (fie și infinită) de
cosinusoide.
Semnalele periodice pot fi scrise ca o sumă numărabilă de componente sinusoidale ale căror
amplitudini și faze pot fi calculate cu ușurință din semnalul respectiv, acestea fiind seriile Fourier.
Transformata Fourier generalizează aceasta descompunere de semnal într-o sumă de sinusoide și
pentru semnalele neperiodice.
Să începem prin a studia forma spectrului semnalului periodic în funcție de perioada sa . Se observă
că pe măsură ce crește, componentele din spectrul semnalului se “îndesesc”. Acest lucru este
natural, întrucât creșterea lui este echivalentă cu scăderea frecvenței fundamentale
¸ și
deci, cu scăderea intervalului de frecvență între două componente succesive. Figura 1. ilustrează un
exemplu. Evident, la limită, când T → ∞, componentele frecvențiale se “contopesc”, iar spectrul
semnalului devine de natură continuă.
Ajungem, deci, la definiția transformatei Fourier.
Fie un semnal de modul integrabil:
Atunci, se definește transformata Fourier a semnalului
Semnalul original x(t) poate fi recuperat din transformata
Figura 1: Forma spectrului unui semnal periodic în func
perioada T. (b) Modulul coeficien
perioada T1>T. (d) Modulul coeficien
Este important, pentru înțelegerea noțiunilor, s
relațiile (2) și (3) și cele care descriu descompunerea
periodic:
ția transformatei Fourier.
un semnal de modul integrabil:
finește transformata Fourier a semnalului ca fiind semnalul obținut dup
fi recuperat din transformata sa prin aplicarea operatorului invers:
Figura 1: Forma spectrului unui semnal periodic în funcție de perioadă: (a) Semnal periodic de
perioada T. (b) Modulul coeficienților Anc pentru semnalul din figura (c) Semnal periodic de
T. (d) Modulul coeficienților Anc pentru semnalul din figura (c).
țelegerea noțiunilor, să observăm similitudinile și diferențele între
țiile (2) și (3) și cele care descriu descompunerea în serie Fourier complexă a unui semnal
2
(1)
ținut după:
(2)
lui invers:
(3)
ă: (a) Semnal periodic de
(c) Semnal periodic de
pentru semnalul din figura (c).
și diferențele între
plexă a unui semnal
3
Se observă că semnificația valorilor X(ω) este similară cu cea a coeficienților Anc, cu singura diferență
că, în cazul transformatei Fourier, numărul de cosinusoide în care se descompune semnalul devine
infinit nenumărabil. Modulul |X(ω)| ¸si faza ϕ(ω) ale cantității complexe X(ω)= |X(ω)| exp(jϕ(ω))
sunt amplitudinea, respectiv faza cosinusoidei de frecvență ω ce intră în descompunerea spectrală a
semnalului x(t). Într-adevăr, observând că, în ipoteza unui semnal x(t) cu valori reale, valorile
transformatei Fourier situate simetric față de 0 sunt complex conjugate:
(4)
Atunci (3) poate fi rescrisă ca:
(5)
În continuare, folosind faptul că , avem z+z* =2 {z} ¸si că
{X(ω) exp(jωt)} = {|X(ω)| exp(j(ωt + ϕ(ω)))} = |X(ω)| cos(ωt + ϕ(ω)), (5) devine:
, (6)
relație ce justifică afirmația despre semnificația modulului și fazei lui .
4
Proprietățile transformatei Fourier
Transformata Fourier este liniară.
Fie x(t) si y(t) două semnale de modul integrabil și fie a și b două constante complexe.
Liniaritatea transformatei Fourier se traduce prin faptul că aceasta comută
(7)
Deplasarea în timp cu o cantitate constantă t0 a unui semnal corespunde unei deviații induse în faza
spectrului:
(8)
(9)
Deplasarea spectrului unui semnal cu o frecvență constantă ω0 corespunde înmulțirii semnalului în
timp cu o cosinusoidă complexă:
(10)
5
(11)
O contracție a semnalului cu o constantă corespunde unei relaxări a spectrului cu aceeași
constantă și vice-versa.
(12)
(13)
unde
(14)
(15)
(16)
Se aplică relația precedentă.
6
Transformata Fourier conservă energia semnalului.
(17)
(18)
(19)
Se folosește simetria între relațiile care dau transformata Fourier directă și inversă.
Spectrul semnalului obținut prin convoluția temporală a două semnale se obține ca produsul
spectrelor celor două semnale. Fie x(t) și y(t) două semnale de modul integrabil, și fie z(t) produsul lor
de convoluție:
(20)
Atunci, între transformatele Fourier ale celor trei semnale ale loc relația:
(21)
7
(22)
Spectrul semnalului obținut prin produsul a două semnale se obține prin convoluția spectrelor celor
două semnale. Fie x(t) ¸si y(t) două semnale de modul integrabil, și fie z(t) semnalul obținut prin
produsul lor:
, (23)
Atunci, între transformatele Fourier ale celor trei semnale are loc relația:
(24)
Transformatele Fourier ale câtorva semnale de interes
În relația de mai sus s-a folosit proprietatea impulsului Dirac:
Figura 2: Impulsul Dirac si transformata sa Fourier
Transformatele Fourier ale câtorva semnale de interes
a folosit proprietatea impulsului Dirac:
Figura 2: Impulsul Dirac si transformata sa Fourier
8
(25)
(26)
(27)
Calculul transformatei Fourier a semnalului constant x(t)=1 nu poate
imposibilității calculului limitei
rezultatul anterior (conform căruia transformata Fourier a unui impuls Dirac este func
se aplică proprietatea simetriei transformatei Fourier, care a
unei operații de simetrizare, două func
timp și care în frecvență. Rezultatul anterior poate
de unde, aplicând relația (19), avem:
Intr-adevăr, calculând transformata Fourier inversă a semnalului
ceea ce completează demonstrația noastr
Figura 3: Semnalul constant
Având în vedere semnificația transformatei Fourier a unui semnal, era normal s
rezultat, care se interpretează în sensul că în descompunerea unui semnal constant ca o sumă de
sinusoide intră numai componenta de frecven
La fel ca și în cazul semnalului constant, calculul transformatei Fourier a funcției
poate fi abordat în mod direct, ci tot folosind rezultate deja determinate
transformatei Fourier.
Calculul transformatei Fourier a semnalului constant x(t)=1 nu poate fi făcut direct, datorită
. Pentru rezolvarea problemei, se folose
rezultatul anterior (conform căruia transformata Fourier a unui impuls Dirac este funcția constant
se aplică proprietatea simetriei transformatei Fourier, care afirmă că, cu excepția unor constante și a
ă funcții fac pereche Fourier indiferent care din ele e exprimat
ă. Rezultatul anterior poate fi scris compact ca:
adevăr, calculând transformata Fourier inversă a semnalului , avem
ția noastră.
Semnalul constant și transformata sa Fourier
ficația transformatei Fourier a unui semnal, era normal să ne aștept
rezultat, care se interpretează în sensul că în descompunerea unui semnal constant ca o sumă de
componenta de frecvență zero, adică semnalul constant!
și în cazul semnalului constant, calculul transformatei Fourier a funcției x(t) = cos(
n mod direct, ci tot folosind rezultate deja determinate și proprietăți ale
9
ăcut direct, datorită
rezolvarea problemei, se folosește
ția constantă) și
ția unor constante și a
ții fac pereche Fourier indiferent care din ele e exprimată în
(28)
(29)
, avem
(30)
șteptăm la acest
rezultat, care se interpretează în sensul că în descompunerea unui semnal constant ca o sumă de
) = cos( 0t) nu
ale
Pornind de la forma complexă a descompunerii unui semnal periodic în serii Fourier:
și folosind rezultatul anterior și teorema deplas
Figura 4: Semnalul cosinusoidal pur
Transformata Fourier a semnalului x(t) = sin(ω
pornind de la:
La fel ca în cazul transformatei Fourier a semnalului constant, rezultatul ob
întrucât arată faptul că descompunerea unui semnal co
cosinusoide este compusă dintr-o singur
Pornind de la forma complexă a descompunerii unui semnal periodic în serii Fourier:
i teorema deplasării în frecvență, avem succesiv:
Figura 4: Semnalul cosinusoidal pur și transformata sa Fourier
Transformata Fourier a semnalului x(t) = sin(ω0t) se poate deduce în mod absolut similar
La fel ca în cazul transformatei Fourier a semnalului constant, rezultatul obținut mai sus este intuitiv,
întrucât arată faptul că descompunerea unui semnal cosinusoidal pur de frecvență 0 ca o sumă de
singur cosinusoidă, și anume cea pe frecvența respectiv
10
(31)
t) se poate deduce în mod absolut similar
(32)
ținut mai sus este intuitiv,
ca o sumă de
și anume cea pe frecvența respectivă!
Fie semnalul:
Transformata Fourier a lui x(t) se calculează direct precum:
Unde cu sinc(x) am notat funcția sinus cardinal:
Figura 5: Semnalul de tip box si transformata
Aplicând rezultatului anterior teorema simetriei
transformata Fourier a unei funcții de tip sinc este o funcție box:
Rezultatul de mai sus este extrem de util în studiul fil
Transformata Fourier a lui x(t) se calculează direct precum:
ția sinus cardinal:
Figura 5: Semnalul de tip box si transformata Fourier
teorema simetriei și folosind faptul că funcția “box” e par
ții de tip sinc este o funcție box:
Rezultatul de mai sus este extrem de util în studiul filtrelor lineare.
11
(33)
(34)
(35)
ția “box” e pară, rezultă că
(36)
Figura 6: Semnalul de tip sinus cardinal
Aplicații ale transformărilor
Transformarea Fourier a unui semnal permite analiza semnalului în raport cu frecven
extrem de importantă în studiul ulterior al modului în care semnalul se
Transformata Fourier Discretă (TFD) și Transformata Fourie
care permit calculul facil al spectrului de frecven
date realizat pe baza relației
reprezintă un “alter ego” al acesteia, putând fi folosit la identificare, clasificare, comparare
să vedem acum dacă spectrul secven
s-a prelevat. Prin analogie cu teorema Fourier, care se refer
discret, trebuie menționat că, similar în cazul TFD, dacă dispunem de un spectru discret, înseamnă că
secvența de date de la care acesta provine este periodică. Deci secven
TFD, este privită ca provenind dintr-un semnal periodic, având perioada egală cu N Te unde Te
reprezintă perioada de eșantionare. Reciproc, dac
căruia îi va corespunde spectrul rezultat se ob
Cele menționate au consecințe importante. Să analizăm exemplul următor în care TFD este aplicată
inițial unei secvențe ce conține un număr
reflectată fidel în spectrul său.
Figura 6: Semnalul de tip sinus cardinal și transformata sa Fourier
transformărilor Fourier
Transformarea Fourier a unui semnal permite analiza semnalului în raport cu frecvența, analiz
extrem de importantă în studiul ulterior al modului în care semnalul se propagă prin diverse sisteme.
și Transformata Fourier Discretă Rapida (TFDR) sunt instrumente
care permit calculul facil al spectrului de frecvență al unei secvențe de date. Spectrul secvenței de
,
pentru n=0,1,2,...,N-1
un “alter ego” al acesteia, putând fi folosit la identificare, clasificare, comparare
să vedem acum dacă spectrul secvenței de date este același cu spectrul semnalului din care aceasta
a prelevat. Prin analogie cu teorema Fourier, care se referă la semnale periodice care au un spectru
ă, similar în cazul TFD, dacă dispunem de un spectru discret, înseamnă că
de date de la care acesta provine este periodică. Deci secvența de N date căreia i se aplică
un semnal periodic, având perioada egală cu N Te unde Te
șantionare. Reciproc, dacă aplicăm TFD unei secvențe de N date, semnalul
căruia îi va corespunde spectrul rezultat se obține multiplicând prin periodicitate această secven
importante. Să analizăm exemplul următor în care TFD este aplicată
număr întreg de perioade, dintr-un semnal sinusoidal, situa
12
ța, analiză
prin diverse sisteme.
Discretă Rapida (TFDR) sunt instrumente
țe de date. Spectrul secvenței de
(37)
un “alter ego” al acesteia, putând fi folosit la identificare, clasificare, comparare. Trebuie
ței de date este același cu spectrul semnalului din care aceasta
ă la semnale periodice care au un spectru
ă, similar în cazul TFD, dacă dispunem de un spectru discret, înseamnă că
ăreia i se aplică
un semnal periodic, având perioada egală cu N Te unde Te
țe de N date, semnalul
dicitate această secvență.
importante. Să analizăm exemplul următor în care TFD este aplicată
un semnal sinusoidal, situație
Figura 7: Spectrul dat de TFD pentru secven
Se observă că în al doilea caz, atunci când secven
rezultat nu este cel corect fiindcă el este în fapt spectrul semnalului rezultat prin multipl
periodicitate a secvenței , reprezentat în figura 7.b, care nu este sinusoid
determinat spectrul unui semnal folosind TFD, atunci în cazul în care
de N eșantioane “prelevată” din sem
Atunci când se preia o porțiune din N eșantioane dintr
că se preia o
dacă semnalul analizat este periodic și numai preluând o
număr întreg de perioade.
Figura 7: Spectrul dat de TFD pentru secvențele de date
Se observă că în al doilea caz, atunci când secvența nu conține un număr întreg de perioade, spectrul
rezultat nu este cel corect fiindcă el este în fapt spectrul semnalului rezultat prin multipl
ței , reprezentat în figura 7.b, care nu este sinusoidă. În concluzie, dacă trebuie
unui semnal folosind TFD, atunci în cazul în care semnalul este periodic, secven
ă” din semnal trebuie să conțină un număr întreg de perioade.
țiune din N eșantioane dintr-un semnal, fără a le schimba valoarea, se zice
. Am văzut ca prin TFD putem obține spectrul corect numai
și numai preluând o fereastră dreptunghiulară care con
13
ăr întreg de perioade, spectrul
rezultat nu este cel corect fiindcă el este în fapt spectrul semnalului rezultat prin multiplicarea prin
ă. În concluzie, dacă trebuie
este periodic, secvența
ă un număr întreg de perioade.
un semnal, fără a le schimba valoarea, se zice
ține spectrul corect numai
dreptunghiulară care conține un
Figura 8: Porțiune
În caz contrar, alterarea spectrului de frecven
ferestrei. Acestea sunt privite ca ”făcând parte din semna”, ori este evident că semnalul original nu
are astfel de salturi, precum zonele încercuite din figura 8.a.
Soluția de înlăturare a variațiilor mari
aplatizarea acestora. Acesta este obiectivul metodelor de ”ferestruire”. Algoritmul este
relația
țiune de semnal preluată cu și fără ferestruire
rar, alterarea spectrului de frecvență se datorează cu prioritate zonelor de margine ale
ferestrei. Acestea sunt privite ca ”făcând parte din semna”, ori este evident că semnalul original nu
are astfel de salturi, precum zonele încercuite din figura 8.a.
țiilor mari din zona de margine a unei porțiuni de semnal, o constituie
aplatizarea acestora. Acesta este obiectivul metodelor de ”ferestruire”. Algoritmul este
14
ă se datorează cu prioritate zonelor de margine ale
ferestrei. Acestea sunt privite ca ”făcând parte din semna”, ori este evident că semnalul original nu
țiuni de semnal, o constituie
aplatizarea acestora. Acesta este obiectivul metodelor de ”ferestruire”. Algoritmul este cel descris de
(38)
15
Se observă că porțiunea prelevată se înmulțește cu funcția , numită ”funcție fereastră”. Așa cum
este arătat în figura 8, funcția fereastră trebuie să aibă amplitudinea unitară pe toată lungimea
porțiunii de semnal prelevate, mai puțin în zonele de capete unde ea trebuie să descrească uniform
către zero. Există mai multe funcții care au această proprietate, unele dintre ele consacrate deja în
literatura de specialitate, ca de exemplu: fereastra triunghiulară (relația 39), fereastra Welch (relația
40), fereastra Hanning (relația 41).
(39)
(40)
(41)
În exemplele date, M poate fi egal cu lungimea secvenței prelevate (N), sau poate fi mai mic decât N,
și atunci algoritmii 39, 40, 41 se ”împart în două”, câte o jumătate pentru fiecare capăt al secvenței,
așa cum este ilustrat în figura 8.
În concluzie, procedeul numeric de ferestruire se aplică secvenței numerice căreia urmează să-i fie
aplicată transformarea TFD sau altă transformare. Ferestruirea are rolul de a reduce contribuția
nefastă a porțiunilor de capăt ale secvenței prelevate, în spectrul de frecvență al semnalului. Tehnica
de ferestruire mai este folosită pentru a ajusta și alți algoritmi de procesare numerică și anume pe cei
cu rolul de filtru numeric.
Spectrul unui semnal nu oferă o informație intuitivă, sub aspectul energetic, a contribuției fiecărei
armonici la alcătuirea semnalului. Pentru aceasta se folosește o altă mărime denumită
, care arată contribuția energetică a fiecărei armonici. Prin analogie cu energia
semnalelor analogice, energia totală a unei secvențe de N eșantioane se exprimă ca fiind suma
pătratelor eșantioanelor. Energia semnalului în transformata Fourier se regăsește cu ajutorul
teoremei Parseval:
(42)
Contribuția la energia totală a semnalului, corespunzătoare fiecărei armonici rezultate prin
transformarea Fourier a semnalului, este următoarea:
(43)
Unde sunt coneficienții complecși rezultați din transformarea Fourier a semnalului .