transporto priemoniŲ dinamikadspace.vgtu.lt/bitstream/1/1450/1/1393-s_bogdevicius...dinamika –...
TRANSCRIPT
Marijonas Bogdevičius
TRANSPORTO PRIEMONIŲ DINAMIKA
vilnius „Technika“ 2012
Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant
studijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus
Projekto kodas VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023
Marijonas Bogdevičius
TRANSPORTO PRIEMONIŲ DINAMIKA
VilniAUS GEDiMinO TECHniKOS UniVERSiTETAS
vilnius „Technika“ 2012
Mokomoji knyga
M. Bogdevičius. Transporto priemonių dinamika: mokomoji knyga. Vilnius: Technika, 2012, 205 p. [4,40 aut. l. 2012 09 26]
Knygoje pateikta transporto priemonių klasifikavimas, pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai bei transporto priemonių istorijos fragmentai, trumpai supažindinama su Lietuvos ir pasaulio automobilių inžinierių organizacijomis bei studentų galimybėmis įsijungti į šių organizacijų veiklas.
Pagrindinis dėmesys skiriamas transporto priemonių judėjimo tyrimų metodams, dinaminių modelių generavimui bei judėjimo lygčių išvedimo metodams, kurių žinojimas yra būtinas, norint įgyti išsamias žinias apie transporto priemonių judėjimo dėsningumus. Nemažas dėmesys skiriamas sausumos transporto kelių charakteristikoms, jų nustatymo metodams, komfortabilumo problemoms. Išsamiai išdėstomi šiuolaikiniai automobilio rato ir kelio sąveikos tyrimo metodai, pateikti šios sąveikos tyrimų rezultatai. Supažindinama su geležinkelio aširačio sąveikos su bėgiu tyrimo metodai, pateikti šios sąveikos tyrimų rezultatai. Knyga skirta transporto inžinerijos specialistams, bakalaurantams, magistrantams bei doktorantams. Ji gali būti naudinga ir kitų sričių specialistams.
Leidinį rekomendavo VGTU Transporto inžinerijos fakulteto studijų komitetas
Recenzavo: Doc. dr. Jolanta Janutėnienė, Klaipėdos universitetas Doc. Dr. Olegas Prentkovskis, Vilniaus Gedimino technikos
universitetas
Leidinys parengtas ir išleistas už Europos struktūrinių fondų lėšas, jomis finansuojant VGTU Transporto inžinerijos, Biomechanikos ir Aviacinės mechanikos inžinerijos projektą „Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant studijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus“ pagal Lietuvos 2007–2013 m. Žmogiškųjų išteklių veiksmų programos 2 prioriteto „Mokymasis visą gyvenimą“ VP1-2.2-ŠMM-07-K priemonę „Studijų kokybės gerinimas, tarptautiškumo didinimas“. Projekto kodas Nr. VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023, finansavimo ir administravimo sutartis Nr. VP1-2.2-ŠMM-07-K-01-023.
VGTU leidyklos TECHNIKA 1393-S mokomosios metodinės literatūros knygahttp://leidykla.vgtu.lt
Redaktorė Stasė SimutytėMaketuotoja Daiva Šepetauskaitė
eISBN 978-609-457-296-8doi:10.3846/1393-S
© Marijonas Bogdevičius, 2012© Vilniaus Gedimino technikos universitetas, 2012
3
Turinys
1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai. Istorijos fragmentai ........................ 51.1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai ................................................ 51.2. Transporto priemonių klasifikavimas ............................................. 81.3. Transporto priemonių istorijos fragmentai ................................... 101.4. Lietuvos ir pasaulio automobilių inžinierių organizacijos ........... 16
2. Transporto priemonių judėjimo tyrimo metodai .................................... 182.1. Koordinačių sistemos ................................................................... 182.2. Funkcijos skleidimas Furjė ir Teiloro eilute ................................. 202.3. Kūno pasukimas erdvėje ............................................................... 242.4. Matricos tikrinės reikšmės ir vektoriai ......................................... 332.5. Harmoninė analizė ........................................................................ 522.6. Atsitiktiniai stacionarūs priverstiniai virpesiai ............................. 57
3. Transporto priemonių dinaminių modelių elementai ir judėjimo lygtys 683.1. Transporto priemonės dinaminis modelis ..................................... 683.2. Kūno ir kūnų sistemos masių inercijos momentai ........................ 703.3. Jėgų klasifikacija .......................................................................... 843.4. Tamprieji elementai, standumo jėgos ir jėgų momentai ............... 883.5. Tampriųjų elementų jungimas ...................................................... 913.6. Slopinimo elementai, slopinimo jėgos ir momentai ..................... 923.7. Slopinimo elementų jungimas ...................................................... 943.8. Kūno judėjimo lygčių užrašymo būdai ......................................... 96
3.8.1. D’Alambero ir Lagranžo lygtys .......................................... 963.8.2. Niutono ir Oilerio lygčių sistema ........................................ 993.8.3. Hamiltono principas .......................................................... 1013.8.4. Dviejų kūnų sujungimo tampriuoju ir slopinimo
elementais, standumo ir slopinimo matricos ........................ 1034. Sausumos transporto kelių charakteristikos. Komfortabilumas ........... 107
4.1. Automobilių kelių nelygumai, jų charakteriskos ........................ 1074.2. Automobilio kelių nelygumų generavimo būdai ........................ 1194.3. Geležinkelio nelygumai, jų charakteristikos ir nelygumų
generavimo būdai ........................................................................ 1324.4. Virpesių poveikis žmogaus organizmui ...................................... 137
Literatūra .................................................................................................. 152
4
5. Automobilio rato sąveika su keliu ........................................................ 1555.1. Padanga ir jos sandara ................................................................ 1555.2. Padangos kontakte veikiančios jėgos ir momentai ..................... 1595.3. Padangos modeliai ...................................................................... 170
5.3.1. Lugre padangos modelis ................................................... 1705.3.2. Paceikos modelis ............................................................... 1755.3.3. HSRI modelis .................................................................... 1805.3.4. Dugofo modelis ................................................................ 1835.3.5. Elastingos padangos modelis ............................................ 1865.3.6. Kiti padangos modeliai ..................................................... 192
Penkto skyriaus literatūra ......................................................................... 1936. Geležinkelio aširačio sąveikos su bėgiu teorijos ................................. 194
6.1. Herco ir Kalkerio teorija ............................................................. 1946.2. Euristinis netiesinis modelis ...................................................... 2006.3. Miulerio modelis ....................................................................... 2016.4. Kitos aširačio sąveikos su bėgiu teorijos .................................... 202
Šešto skyriaus literatūra ........................................................................... 205
5
1. Pagrindinės sąvokos ir aPiBrėžiMai. isTorijos fragMenTai
1.1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai
analizė - analizė (kredito ir finansų įstaigos) – tyrimas, kruopštus aplinkybių bei priežastinių ryšių nustatymas.
analizė (gr.ανάλυση, iš sen. gr. veiksmaž. άναλύειν „išskaidyti“) –vieningas sistematinis tyrimas, kurio metu objektas arba subjektas skaidomas į atskiras dalis, o šios yra tiriamos, tvarkomos, rūšiuojamos.
dinamika – mechanikos dalis, kurioje nagrinėjamos kūnų judėjimo greičio kitimo priežastys. Pagrindiniai klasikinės dinamikos principai buvo suformuluoti tik 1687 m., kai pasirodė garsus Niutono dėsnių veikalas „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“ (Matematiniai gamtos filosofijos pagrindai) [Vikipedija].
dinaminė sistema – sistema, sudaryta iš materialiųjų kūnų, kurie gali keisti savo padėtį ervėje ir laike.
ratas – įrenginys, skirtas sukamąjį judesį pakeisti į slenkamąjį judėsį.
Transporto priemonė – techninis įtaisas arba gyvūnas, skirtas kroviniams (keleiviams, medžiagoms, įrenginiams, įvairioms prekėms ir kt.) vežti [Vikipedija].
dinaminis modelis – schema, kurioje nurodomos kūnų inercinės charakteristikos (masės, masių inercijos momentai), veikiančios išorinės jėgos, pagrindiniai matmenys, tamprūs ir pasipriešinimo elementai ir kiti dyždžiai, kurie padeda suprasti dinaminės sistemos judėjimo priežastis ir padeda išvesti judėjimo lygtis.
Matematinis modelis – matematinių objektų (lygtys, integralai, matricos, vektoriai ir kt.) rinkinys, kuriuo galima matematiškai aprašyti tyrimo objektą.
Transporto priemonės stabilumas – transporto priemonės gebėjimas sugrįžti į pradinę judėjimo trajektoriją, atlikus staigų nukrypimą nuo judėjimo trajektorijos.
6
ratų suvedimas – atstumas tarp ratų užpakalinių briaunų, minus atstumas tarp priekinių briaunų.
ratų išvirtimas – kampas tarp vertikalės ir automobilio rato sukimosi plokštumos, kuris laikomas neigiamu, jei ratai viršutine puse nukreipti į vidų, arba teigiamu, jei – viršutine puse į išorę.
kasteris – kampas tarp vertikalės ir rato sukimosi išilginėje automobilio plokštumoje ašies projekcijos.
Transporto priemonės (TP) dinamika nagrinėja TP pagreitėjimą, stabdymą, svyravimus veikiant išoriniams ir vidiniams veiksniams (jėgoms ir jėgų momentams), keleivių komfortabilumo sąlygas, TP atskirų mazgų dinaminius ir hidrodinaminius procesus, važiuoklės sąveiką su kelio paviršiumi, TP stabilumą. Svarbiausi TP dinamikos tyrimo atvejai pateikti 1.1 lentelėje.
1.1 lentelė. Transporto priemonės dinamikos atskiri atvejai
TP dinamikos
tipasTP judėjimo ypatumas dinaminis
procesas
1. Išilginė dinamika
Važiavimas ir stabdymas
2.
Šoninė dinamika (vingiavi
mas)
Vairavimas posūkyje,
nesimetriškas važiavimas, nesimetriškas stabdymas
7
3. Vertikali dinamika
Kelio paviršiaus
nelygumai, padangos, pakabos dinamika
4. Vertikalus svyravimas
Važiavimas per nelygų kelio pavir
šių
5. Išilginis svyravimas
Važiavimas, stabdymas, pasvirimo gradientas
6.Ratų judėjimo dina
mika
Važiavimas, stabdymas, sukinėjimas
1.1 lentelės pabaiga
8
1.2. Transporto priemonių klasifikavimas
Transporto priemonė – techninis įtaisas arba gyvūnas, skirtas kroviniams (keleiviams, medžiagoms, įrenginiams, įvairoms prekėms ir kt.) vežti [Vikipedija].
Transporto priemonės skirstomos įvairiai – pagal aplinką, kurioje keliauja, pagal variklio buvimą ir jo tipą, pagal kitus konstrukcinius ypatumus.
sausumos transporto priemonės:
naudojančios aplinkos energiją– Burinės rogės, buriniai vežimėliai naudojančios gyvūnus– Nešuliniai gyvuliai– Jojamieji gyvūnai – Gyvulių tempiami vežimai ir rogės– Arklinis tramvajus naudojančios žmogaus energijąPasispiriamos ir kitos, nenaudojančios pavarų ir pan. mechanizmų– Paspirtukai – Riedlentės– RiedučiaiNaudojančios pavaras ir pan. mechanines priemones– Dviračiai (dviračiai, triračiai) – Velomobiliai– Rankinės drezinosnaudojančios varikliusratinės bėgiųBūna su garo mašinomis, vidaus degimo varikliais, elektros va
rikliais.– Lokomotyvai (garvežys, motorvežis, elektrovežis) – Drezinos – Tramvajus
9
ratinės kelių ir bekelės– Su vidaus degimo varikliais ir pan. varikliais (turbinomis) – Motoriniai dviračiai ir mopedai – Motociklai – Automobiliai – lengvieji automobiliai – sunkvežimiai – autobusai ir mikroautobusai – vilkikai – Ratiniai traktoriai– Su elektros varikliais – Troleibusai – Elektromobiliaivikšrinės– Sniegaeigiai– Vikšriniai traktoriai – Vikšriniai visureigiai – Tankaikitokios– Aerorogės– Liftai ir keltuvai– Konvejeriai– Vamzdynai (vandentiekis, naftotiekiai, dujotiekiai ir kt.)
upių ir jūrų transporto priemonės:
naudojančios aplinkos energiją– Plaustai ir sieliai – Banglentės– Burlentės, burinės valtys ir buriniai laivai naudojančios žmogaus energiją– Irklinės valtys ir irkliniai laivai naudojančios variklius– Garlaiviai ir kitokie grimzliniai laivai– Povandeniniai laivai, batiskafai
10
– Laivai su povandeniniais sparnais – Laivai su oro pagalve – Ekranoplanai
oro transporto priemonės:
naudojančios aplinkos energiją– Oro balionai– Parašiutai– Skraidyklės– Sklandytuvainaudojančios variklius– Dirižabliai– Sraigtasparniai– Autožyrai– Lėktuvai– Raketoskosminio transporto priemonės– Kosminiai laivai – Dirbtiniai palydovai – Kosminis liftas
1.3. Transporto priemonių istorijos fragmentai
Pagrindiniai klasikinės dinamikos principai buvo suformuluoti tik 1687 m., kai pasirodė garsus Niutono dėsnių veikalas „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“ (Matematiniai gamtos filosofijos pagrindai) [Vikipedija].
Lietuvos „Niutonas“, taip galima pavadinti kazimierą simonavičių [žr. Vikipedija].
kazimieras simonavičius (kartais kazimieras semenavičius, lenkų kalba Kazimierz Siemienowicz; apie 1600 m. balandžio 18 d. – apie 1651) – artilerijos inžinierius, raketų išradėjas, Lietuvos Didžiosios Kunigaikštystės bajoras ir karininkas.
1650 m. Amsterdame kazimieras simonavičius išleido veikalą „didysis artilerijos menas“ (lot. Artis Magnae Artilleriae Pars prima),
11
kuris greitai išgarsėjo visoje Europoje. Tai pirmoji pasaulyje knyga, pateikusi daugiapakopės raketos ir raketinės artilerijos sukūrimo teoriją bei brėžinius.
Veikalą sudarė 5 skyriai (iš viso 305 puslapiai teksto ir 206 iliustracijos, brėžiniai):
– 1 skyrius skirtas patrankų kalibrui, jų konstrukcijai ir pritaikymui – 2 skyriuje nagrinėjama parako ir kitų artilerijoje naudojamų
medžiagų technologija – 3 skyrius „Apie raketas“ — įdomiausias ir vertingiausias,
aprašantis svarbiausius atradimus – raketos aukščio ir jos reak tyvinės tūtos pločio santykį, daugiapakopę raketą, raketų stabilizavimą sparneliais, raketų bateriją (lygiagrečiojo jungimo daugiapakopę raketą). Aprašoma daugiau kaip 20 paraku užtaisomų raketų pavyzdžių, jų gamyba ir savybės. Svarbu yra tai, kad K.Simonavičius aprašymuose viską grindė matematiniais skaičiavimais ir fizikos dėsniais
– 4 ir 5 skyriai, kuriuose apibendrinti karo ir pramogai skirtos pirotechnikos laimėjimai.
1.1 pav. Lietuvos banko išleista proginė 50 litų sidabrinė moneta,
skirta paminėti K. Simonavičiaus knygos „Didysis artilerijos menas“ 350-ąsias metines, ir daugiapakopė raketa
K. Simonavičiaus aprašyta daugiapakopė raketa
12
Vienas didžiausių žmonių išradimų yra rato išradimas.
13
1.2 pav. Ratų vystymosi raida [Holzspeichenräder (Benz-Viktoria-Wagen; 1893)]
14
1828 m. Hancock sukūrė transporto priemonę (naudojo garo energiją), kurią pavadino „Diligence“ (variklio galia 20 AG) (1.3 pav.). Paaiškinimas: AG arklio galia (1 AG lygi 745,7 W). Dažnai arklio galioms nusakyti vartojamas neteisingas terminas arklio jėga.
1.3 pav. Transporto priemonė „Diligence“ (Newsletter to the Members of EAEC Automotive Engineer‘s Societies, issue 4, May, 2009)
1833 m. Hancock sukūrė pirmą autobusą „Enterprise“ (garo variklis), kuris pervežė apie 4000 keleivių, vidutinis greitis 20 km/val. (1.4 pav.).
1.4 pav. Transporto priemonė „Enterprise“ (Newsletter to the Members of EAEC Automotive Engineer‘s Societies, issue 4, May, 2009)
15
1836 m. Hancock sukūrė patobulintą autobusą (garo variklis), kurio talpa 22 keleiviai, maksimalus greitis 33 km/val. Autobusas „Automation“ nuvažiavo 6758 km, pervežė apie 4000 keleivių, vidutinis greitis 20 km/val. (1.5 pav.).
1.5 pav. Patobulintas autobusas (Newsletter to the Members of EAEC Automotive Engineer‘s Societies, issue 4, Mat, 2009)
Hancocko nuosavas automobilis parodytas (1.6 pav.).
1.6 pav. Hancocko nuosavas automobilis „Phaeton“ (Newsletter to the Members of EAEC Automotive Engineer‘s Societies, issue 4, May, 2009)
16
1.7 pav. Traktorius ir triračiai automobiliai
1.4. Lietuvos ir pasaulio automobilių inžinierių organizacijos
Šiandien Lietuvos automobilių tyrėjai susijungė į automobilių inžinierių sąjungą (LAIS, www.lais.lt). LAIS yra Pasaulinės automobilių inžinierių sąjungos narė („fisiTa“ international federation of automotive engineering societies, www.fisita.com).
FISITA remia studentų veiklą. Kasmet vyksta „Formulės-1“ studentų regioninės ir pasaulinės lenktynės. 1.8 pav. parodyti Japonijos „Formulė-1“ studentiškų lenktynių fragmentai.
17
1.8 pav. Japonijos „Formulės-1“ studentiškų lenktynių fragmentai
18
2. TransPorTo PrieMonių judėjiMo TyriMo MeTodai
2.1. koordinačių sistemos
Transporto priemonių dinamikoje, nagrinėjant kūnų sistemos judėjimą, įvedama bendroji koordinačių sistema OXYZ , kurios atžvilgiu stebimas kiekvieno kūno masių centro koordinačių ir kūno pasukimo kampų kitimas. Tarptautinė standartų organizacija (ISO) standartu ISO 8855 nustato koordinačių ašių padėtį, kaip parodyta 2.1 pav. Ašis Xk nukreipiama į priekį išilgai transporto priemonės, žiūrint iš Xk viršūnės, Yk ašis nukreipta į dešinę pusę ir yra statmena Xk ašiai; Zk ašis nukreipta į viršų ir yra statmena OX Yk k plokštumai. Teigiami posūkio kampai apie Xk ,Yk ir Zk standartuose numatyti pagal dešiniojo sraigto taisyklę. Pasukimo kampas apie Xk ašį – virtimo kampas ϕ ; pasukimo kampas apie Yk – išilginio supimo kampas θ, o pasukimo kampas apie Zk – nukrypimo nuo kurso kampas ψ (2.2 pav). Amerikos Transporto inžinierių organizacija (SAE) standartu SAE J670 nustato kitokią koordinačių sistemą: ašis Xk nukreipiama į priekį išilgai transporto priemonės; žiūrint iš Xk viršūnės, Yk ašis nukreipta į kairiąją pusę ir yra statmena Xk ašiai; Zk ašis nukreipta žemyn ir yra statmena OX Yk k plokštumai.
19
2.1 pav. Kūnų koordinačių sistemos
2.2 pav. Kūno pasukimo kampai:OX Y Za a a – automobilio koordinačių sistema
Rato geometriniame centre įvedama rato koordinačių sistema X Y ZR R R , o rato ir kelio paviršiaus kontakto taške P įvedama koordinačių sistema X Y ZP P P . Kotakto taške P rato greitis yra lygus VP, kampas tarp ašies XP ir greičio VP yra lygus α (skersridės kampas). Rato plokštuma pasvirusi kampu εR (pasukimo kampas apie XP ašį).
20
Rato ir kelio kontakto taške veikianti jėga suskaidoma į dedamąsias: FXR, FYR . Apie ašis XP irYP veikia sukimo momentai MXP ir MYP (2.3 pav.).
2.3 pav. Pasvirusio rato koordinačių sistemos ir veikiančios jėgos ir momentai
2.2. funkcijos skleidimas furjė ir Teiloro eilute
Kiekvieną periodinę funkciją f t( ) galima išskleisti Furjė eilute:
f t A A kt T B kt Tkk
kk
( ) = + ( ) + ( )=
∞
=
∞∑ ∑0
1 12 2sin / cos /π π , (2.1a)
čia AT
f t kt T dtkT
T
= ( ) ( )−
∫2 2
2
2sin /π ,
BT
f t kt T dtkT
T
= ( ) ( )−
∫2 2
2
2cos /π ,
AT
f t dtT
T
0
2
21= ( )
−
∫ ,
21
T – funkcijos f t( ) periodas; A0 – funkcijos vidutinė reikšmė per T periodą.
Kiekvieną periodinę funkciją f ϕ( ) galima išskleisti Furjė eilute:
f A A k B kkk
kk
ϕ ϕ ϕ( ) = + ( ) + ( )=
∞
=
∞∑ ∑0
1 1sin cos , (2.1b)
čia
A f d00
212
= ( )∫πϕ ϕ
π,
A f k dk = ( )∫1
0
2
πϕ ϕ ϕ
πsin( ) B f k dk = ( )∫
1
0
2
πϕ ϕ ϕ
πcos( ) .
Kiekvieną periodinę funkciją f x( ), kai periodas yra L, galima išskleisti Furjė eilute:
f x A ALkx B
Lkxk
kk
k( ) = +
=
∞
=
∞∑ ∑0
1 1
2 2sin( ) cos( )π π , (2.1c)
čia
ALf x dx
L
00
12
= ( )∫ ,
ALf x
Lkx dxk
L= ( )∫
1 2
0sin( )π B
Lf x
Lkx dxk
L= ( )∫
1 2
0cos( )π .
Furjė eilutę galima užrašyti kompleksine forma:
f t c eki k t
T
k( ) =
=−∞
∞∑
2π; (2.2)
čia c A iBk k k= −( )12
, 2π
ωkT k= .
Kompleksinė amplitudė lygi:
cT
f t e dtki k t
TT
T
= ( )−
−
∫1 2
2
2 π . (2.3)
22
Dažnių ωk rinkinys vadinamas funkcijos f t( ) spektru. Šiuo atveju spektras yra diskretinis.
Įstatę ck išraišką į (2.2), gausime:
f tT
e f t e dti k t
Tk
i k tT
T
T
( ) = ( )−
=−∞
∞ −
−
∑ ∫1 2 2
2
2π π. (2.4)
Diferencijuojamą funkciją f q( ) taško q0 aplinkoje galima išskleisti Teiloro eilute:
f q f qdf qdq
q qd qdq
q q( ) = ( ) + ( )− +
( )− +0
00
20
2 021
112!
( )!
( )
....!
( )+( )
− + ( )1 00n
d qdq
q q R qn
nn
n , (2.5)
čia R qn ( ) – liekamasis narys.Tegu turime n kintamųjų diferencijuojamą funkciją
f q q qn1 2, ,...,( ). Diferencijuojamą funkciją f q q qn1 2, ,...,( ) taško q0 aplinkoje išskleisime Teiloro eilute:
f q f qf qq
q q ( ) = ( ) +∂ ( )∂ − +0
00
11!
( )
12 0
202 0!
( ) ( ) ....q qf q
qq q R xT
n − ∂ ( )∂
− + + ( ), (2.6)
čia ∂ ( )∂
202
f q
q – vadinamoji Hesės matrica.
23
a)
b)
c)
d)
24
e)
2.4 pav. Funkcijos f x x x x( ) = ( ) + ( ) ( )2 2 1 5 6 2 3sin , sin cos skleidimas Furjė eilute: a – 1 harmonika; b – 2 harmonikos; c – 3 harmonikos;
d – 5 harmonikos; e – 6 harmonikos
2.3. kūno pasukimas erdvėje
Posūkio matrica A[ ] yra kvadratinė, jos elementai yra realieji skaičiai. Be to, posūkio matrica yra ortogonalioji matrica, ir jos determinantas lygus vienetui, todėl
A AT[ ] = [ ]−1 , det A[ ]( ) =1 .Įvesime nejudančią (inercinę) koordinačių sistemą OXYZ , su
nagrinėjamu kūnu sujungtą judančia koordinačių sistema O X Y Z1 1 1 1 . Nagrinėjant kūno sukimąsi erdvėje labai svarbu, kokia eilės tvarka vyksta sukimasis apie ašis. Priminsime, kad teigiama sukimosi kryptis apie atitinkamą ašį yra prieš laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį, jeigu žiūrėsime iš šios ašies galo. Atliksime kūno sukimą apie ašis X1 , Y1 ir Z1
π2
kampu. Pirmiausia pasuksime apie X1 ašį, o paskui apie
Y1 ir Z1 ašis (2,5 pav. a). Dabar pakartosime tą patį kūno sukimą, bet pirmiausia suksime kūną apie Z1 ašį, o paskui – apie Y1 ir X1 ašis (2.5 pav. b). Palyginę sukimo rezultatus, matome, kad kūno orientacijos erdvėje yra skirtingos.
a)
25
b)2.5 pav. Kūno sukimas:
a – X1 , Y1 ir Z1 ašis π/2 kampu; b – Z1 , Y1 ir X1 ašis π/2 kampu
Įvesime pagal X , Y ir Z ašis vienetinius vektorius (ortus): i , j , k , o išilgai kūno koordinačių – pagal sistemos ašis X1 , Y1 ir
Z1 – vienetinius vektorius: i1 , j1 , k1 . Tada bet kokį vektorių r galima užrašyti XYZ ir X1 , Y1 , Z1 koordinačių sistemose (2.6 pav.):
r r i r j r kx y z = + + , (2.7)
r r i r j r kx y z = + + 1 1 1 1 1 , (2.8)
čia r r i
r r i
xT
xT
= =
;
;1 1 1
r r j
r r j
yT
yT
= =
;
;1 1 1
r r k
r r k
zT
zT
= =
;
,1 1
arba r r r rTx y z = , , ; r r r rT
x y z1 1 1 1 = , , .
2.6 pav. Dvi koordinačių sistemos:OXYZ – nejudanti (inercinė); O X Y Z1 1 1 1 – judanti
26
Užrašysime koordinačių sistemos O X Y Z1 1 1 1 ortus i1 , j1 , k1 per koordinačių sistemos OXYZ ortus i , j , k :
i a i a j a kj a i a j a kk a
1 11 21 31
1 12 22 32
1
= + + = + + =
;;
113 23 33i a j a k + + ,
(2.9)
čia a n mnm = =( )1 2 3 1 2 3, , ; , , – krypties kosinusai,a e enm n
Tm= ,
kai e i1 = ; e j2 = ; e k3 = ; e i1 1 = ; e j2 1 = ;
e k3 1 = .
Įstatę ortus iš (2.9) į (2.8), gausime
r a r a r a r i
a r a r a r j
x y z
x y z
= + +( ) ++ + +( ) ++
11 1 12 1 13 1
21 1 22 1 23 1
aa r a r a r k
r i r j r kx y z
x y z
31 1 32 1 33 1+ +( ) == + + ,
(2.10)
arba matricine forma
r A r = [ ] 1 , (2.11)
čia r ir r1 – tas pats vektorius, užrašytas OXYZ ir O X Y Z1 1 1 1 koor dinačių sistemose, atitinkamai; A[ ] – krypties kosinusų matrica, arba koordinačių transformacijos matrica:
Aa a aa a aa a a
[ ] =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
. (2.12)
Koordinačių transformacijos matrica yra posūkio matrica, kadangi ji yra kvadratinė ir ortogonalioji matrica, ir jai galioja sąlygos: A AT[ ] = [ ]−1 , det A[ ]( ) =1 , A A ET[ ] [ ] = [ ] .
27
Koordinačių sistemoje OXYZ ortai i , j , k lygūs:
i T = [ ]1 0 0, , ; jT = [ ]0 1 0, , ; k T = [ ]0 0 1, , . (2.13)
Tada pagal (2.70) išraiškas OXYZ koordinačių sistemoje užrašyti i1 , j1 , k1 yra lygūs:
i a a aT1 11 21 31 = [ ] ; j a a aT
1 21 22 32 = [ ] ,k a a aT
1 13 23 33 = [ ] . (2.14)
Iš (2.14) išraiškų matome, kad matricos A[ ] stulpeliai yra ortų i1 , j1 , k1 , užrašytų OXYZ koordinačių sistemoje, elementai, t. y.
A j k[ ] = i1 , ,1 1 . (2.15)
Taikant (2.10) išraišką, galima išreikšti vektorių r1 per vektorių r :
r A r A rT1
1 = [ ] = [ ] −. (2.16)
Tarkime, turime du vektorius r ir b , užrašytus OXYZ koordinačių sistemoje, ir du vektorius r1 ir b1 , užrašytus O X Y Z1 1 1 1 koordinačių sistemoje. Tada vektorių r ir b vektorinę sandaugą galima užrašyti tokiu pavidalu:
r b A r b[ ] = [ ] ( )1 1 . (2.17)
Bet b A b = [ ] 1 , (2.18)
tada iš (2.17) išraiškos gauname:
r A b A r b[ ][ ]( ) = [ ][ ]( ) 1 1 1 . (2.19)
Sulyginę matricas prie vektoriaus b1 (2.19) lygybės kairėje ir dešinėje pusėse, gauname:
r A A r[ ][ ] = [ ][ ]1 . (2.20)
28
Iš dešinės pusės padauginę (2.82) lygybę iš A T[ ] , gauname:
A r r A r A T[ ]
= [ ] = [ ][ ][ ]1 1
~ .
(2.21)
Analogiškai galima gauti ir kitą išraišką:
A r r A r AT T[ ]
= [ ] = [ ] [ ][ ]
~
1 . (2.22)
Tarkime, du kūnai i ir j sukasi apie bendrą ašį, kuri sutampa su kūnų X i1 ir X j1 ašimis (2.7 pav.).
2.7 pav. Dviejų kūnų sukimasis apie bendrą ašį
Pasinaudojus dviejų vektorių skaliarine ir vektorine sandaugomis, nagrinėjamu atveju galima gauti tokias išraiškas:
j jiT
j = ( )cos α , (2.23)
j j iiT
j i = ( )sin α . (2.24)
Padauginę iš kairės pusės išraišką (2.86) iš vektoriaus iiT , gau
name:
i j jiT
i j
= ( )
~sin α . (2.25)
29
Užrašius kūnų i ir j ortus šių kūnų koordinačių sistemoje X Y Zi i i iš jjj ZYX , (2.23) ir (2.25) galima perrašyti tokiu pavidalu:
j A A j
k A A j
iT
iT
j j
iT
iT
j j
1 1
1 1
[ ] = ( )
− [ ] = (
cos
sin
α
α)). (2.26)
Žinodami sin α( ) ir cos α( ) reikšmes, galime rasti kampą α :
α
π
π
π=
( ) > >> =
− ( ) > <
arctg
arctg
s c kai s ckai s c
s c kai s c
, ,, ,
, ,
0 02 0 0
0 0
++ ( ) < <
< =
− ( ) < >
arctg
arctg
s c kai s c
kai s c
s c kai s c
, ,
, ,
, ,
0 0
32
0 0
2 0
π
π 00
, (2.27)
čia s k A A jiT
iT
j j= − [ ] 1 1 ; c j A A jiT
iT
j j= [ ] 1 1 .
Nagrinėjant kūno sukimąsi, reikia žinoti posūkio (koordinačių transformacijos) matricą. Posūkio matricą galima apskaičiuoti naudojant Kardano, Oilerio kampus, Oilerio parametrus [32].
Naudojant Kardano kampus θ θ θ1 2 3, ,( ) posūkio matrica lygi:
Ac c c s s
s s c c s s s s c c s cs s c s s
θ( ) =−
+ − + −−
2 3 2 3 2
1 2 3 1 3 1 2 3 1 3 1 2
1 3 1 2 33 1 2 3 1 3 1 2c s s s c c c+
, (2.28)
čia si i= ( )sin θ ; ci i= ( )cos θ , i =1 2 3, , .
Ryšys tarp kūno kampinio greičio ω , užrašyto OXYZ koordinačių sistemoje, ir Kardano kampų vektoriaus laiko išvestinės θ yra lygus:
ω θ θ = ( ) G1 , (2.29)
30
čia ω ω ω ω = T
x y z ; θ – Kardano kampų išvestinių pagal laiką vektorius,
θθ θ θ =
T ddtddtddt
1 2 3 ; (2.30)
Gs
c c ss c c
1
2
1 2 1
1 2 1
1 000
θ( ) = −
. (2.31)
Kampinio greičio vektorių ω galima užrašyti taip:
ωϕ ϕ ϕ ϕ =
=
TT
x x zddt
ddtddtddt
, (2.32)
čia ϕ – posūkio kampų vektorius; ϕ ϕ ϕx y z, , – posūkio kampai apie X Y Z, , ašis atitinkamai.
Posūkio kampų vektoriaus ϕ variacija (variacija – be galo mažas pokytis) lygi:
δ ϕ θ θ = ( ) G1 . (2.33)
Kampinio greičio vektoriaus ω , užrašyto kūno koordinačių sistemoje O X Y Z1 1 1 1 , ryšys su Kardano kampų vektoriumi θ yra:
ω θ θ = ( ) G2 , (2.33)
čia
Gc c sc s cs
2
2 3 3
2 3 3
2
00
0 1θ( ) = −
, (2.34)
kampinio greičio vektorių ω galima užrašyti taip:
ωϕ ϕ ϕ ϕ
=
=
TT
x y zddt
d
dt
d
dtddt
, (2.35)
čia ϕ – posūkio kampai apie X Y Z1 1 1 ašis atitinkamai.
31
Posūkio kampų vektoriaus ϕ variacija lygi:
δ ϕ θ δ θ = ( ) G2 . (2.36)
Kampinių pagreičių vektoriai OXYZ ir O X Y Z1 1 1 1 koordinačių sistemose yra lygūs:
ddt
G Gωω θ θ θ θ
= = ( ) + ( )
1 1 , (2.37)
ddt
G Gωω θ θ θ θ
= = ( ) + ( )
2 2 . (2.38)
Ryšys tarp kampinių greičių vektorių ω ir ω yra lygus:
ω ω[ ] = [ ][ ][ ]A A T ; (2.39)
ω ω[ ] = [ ] [ ][ ]A AT , (2.40)
čia ω
ω ω
ω ωω ω
[ ] =−
−−
0
00
z y
z x
y x
; ω
ω ω
ω ωω ω
[ ] =−
−−
0
00
z y
z x
y x
.
Posūkio matricos A θ( ) išvestinės pagal laiką yra lygios:
A A Aθ ω θ θ ω( ) = [ ] ( ) = ( ) [ ] , (2.41)
A A A A Aθ ω ω ω ω( ) = [ ] + [ ] [ ] = [ ] + [ ][ ]2 2. (2.42)
Kūno taško P koordinačių vektorius Rp OXYZ koordinačių sistemoje yra lygus:
R R R R A rp c cp c cp = + = + ( ) θ 1 , (2.43)
32
čia Rc – kūno masių centro vektorius OXYZ koordinačių sistemoje; R A rcp cp = ( ) θ 1 – vektorius tarp kūno taškų c ir P O X Y Z1 1 1 1 koordinačių sistemoje.
Kūno taško P greičių vektorius Vp OXYZ koordinačių sistemoje yra lygus:
V R R A r R Rp p c cp c cp = = + = + [ ] = 1 ω
= + [ ][ ] == + [ ][ ]
R A r
R A r
c cp
c cp
ω
ω
1
1 .
(2.44)
Kūno taško P pagreičių vektorius Vp OXYZ koordinačių sistemoje yra lygus:
V R A r R A r
A
p c cp c cp = + = + [ ] ++[ ][
1 1ω
ω]] 21r cp .
(2.45)
Virtualūs poslinkiai ir posūkiai:
δ δ ϕ δ ϕA A A[ ] = [ ][ ] = [ ] ; δ ϕ δ = [ ] [ ]A AT ;
δ δ δ δ δ ϕR R A r R Rp c cp c cp = + [ ] = + [ ] =1
= + [ ] δ ϕR A rc cp 1 ; (2.46)
δ δ δ ϕ δ ϕR A r A A rp cp cp = [ ] = [ ] = −[ ]
1 1 .
Kūną sukant kampais ϕ ϕ ϕx y z, , apie X, Y, Z ašis, posūkio matricos turi tokias išraiškas:
A x x x
x x
ϕ ϕ ϕϕ ϕ
( ) = ( ) − ( )( ) ( )
1 0 000
cos sinsin cos
;
33
A y
y y
y y
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
( )
=
( ) ( )
− ( ) ( )
cos sin
sin cos
0
0 1 0
0 0;
A z
z z
z zϕϕ ϕϕ ϕ( ) =( ) − ( )( ) ( )
cos sinsin cos
00
0 0 1. (2.47)
Nagrinėjant kūno judėjimą, kai kūnas pasisuka mažais kampais, t. y. ϕ → 0 , posūkio matrica yra lygi:
A Eϕ ϕ( ) = [ ] + [ ] , (2.48)
arba
A E Eϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ( ) = [ ] + [ ] + [ ][ ] = [ ] + [ ] + [ ]
12
12
2 , (2.49)
arba bendruoju aveju
A Ejj
n jϕ ϕ( ) = [ ] + [ ]
=∑
11 !
. (2.50)
2.4. Matricos tikrinės reikšmės ir vektoriai
Tarkime, turime tiesinę diferencialinę lygčių sistemą:
r A r B = [ ] + . (2.51)
Homogeninės lygčių sistemos
r A r = [ ] (2.52)
sprendinį užrašysime tokiu pavidalu:
r e Xt = λ . (2.53)
34
Įstatę sprendinį (2.116) į (2.115) lygtį, gausime:
A X X[ ] = λ , (2.54)
čia A[ ] – kvadratinė matrica; X – nežinomasis vektorius; λ – nežinomasis daugiklis.
Lygčių sistemą (2.54) galima užrašyti tokiu pavidalu:
A E X[ ] − [ ]( ) =λ 0 , (2.55)
čia E[ ] – vienetinė matrica.
Homogeninė tiesinių lygčių sistema (2.55) turi nenulinį sprendinį tik tada, kai jos determinantas lygus nuliui:
det A E
a a aa a a
a a a
n n n
n
n n n n
[ ] − [ ]( ) =−
−
−
λ
λλ
λ
12
21 22 22
2 1 2 2 2 2
= 0
(2.56)
Gauta lygtis yra 2n-tojo laipsnio algebrinė lygtis, kurios kairioji pusė yra 2n-tojo laipsnio daugianaris nežinomojo parametro λ atžvilgiu:
D C C C C Cii
i
nnnλ λ λ λ λ( ) = = + + +
=∑
0
20 1 2
2
čn. (2.57)
Daugianaris D λ( ) vadinamas matricos A[ ] charakteringuoju daugianariu, o lygtis
D λ( ) = 0 (2.58)
– matricos A[ ] charakteringąja lygtimi. Bendruoju atveju 2ntojo laipsnio daugianaris turi n šaknų. Parametras λ vadinamas matricos A[ ] tikrine reikšme. Charakteringojo daugianario šaknys λi , i n=1 2 2, ,... , gali būti realiosios, kompleksinės ir kartotinės. Lygties (2.119) sprendinys X vadinamas tikriniu matricos A[ ] vektoriumi. Vektoriai X nustatomi konstantos tikslumu. Tikrinės reikšmės λi , o X i – tikriniai vektoriai, i n=1 2 2, ,... .
35
Kai A[ ] – simetrinė matrica, tai X i – ortogonalieji vektoriai.Nagrinėsime du sprendinius: λi , X i ir λ j , X j . Lygčių sis
temą (2.55) galima užrašyti:
A X Xi i i[ ] = λ , (2.59)
A X Xj j j[ ] = λ . (2.60)
Lygtį (2.59) iš kairės pusės padauginsime iš vektoriaus X jT , o
lygtį (2.60) – iš vektoriaus X iT :
X A X X XjT
i i jT
i [ ] = λ , (2.61)
X A X X XiT
j j iT
j [ ] = λ . (2.62)
Iš lygties (2.61) atimsime lygtį (2.62) ir kadangi matrica A[ ] yra simetrinė, tai gausime:
λ λi j jT
iX X−( ) = 0 . (2.63)
Iš (2.63) lygties matyti, kad dviejų vektorių X i ir X j skaliarinė sandauga yra lygi:
X Xkai i jkai i jj
Ti = ≠≠ =
00,,
,
čia X i , X j – ortogonalieji vektoriai.Sunormavus vektorius X i ir X j , t. y.
XX
Xii
i
=
;
XXXj
i
j
=
, (2.64)
čia Xi , X
j – vienetiniai vektoriai,
galima gauti tokią išraišką:
X A Xkai i jkai i ji
T
ji [ ] =
=≠
λ ,,0
. (2.65)
36
Iš ortonormuotųjų vektorių Xi i n=1 2 2, ,..., , galima sudaryti
ortogonaliąją matricą:
X X X Xn[ ] =
1 2 2
, ,..., . (2.66)
Tada (2.65) išraišką galima užrašyti tokiu pavidalu:
X A XT
n
[ ] [ ][ ] =
λλ
λ
1
2
2
0 00 0
0 0
. (2.67)
Lygčių sistemos (2.52) sprendinį galima užrašyti taip:
r t X e C X e Cii
n ti
ti( ) = = [ ] =∑
1
2 λ Λ , (2.68)
čia e diag e
e
e
e
t t
t
t
t
i
n
Λ = ( ) =
λ
λ
λ
λ
1
2
2
0 0
0 0
0 0 0
. (2.69)
Įrašykime naują vektorių:
r t X u t( ) = [ ] ( ) , (2.70)
čia u t( ) – modalinių koordinačių vektorius.Tada lygčių sistemą (2.114) galima užrašyti taip:
u X A X u X B = [ ] [ ][ ] + [ ] − −1 1 , (2.71)
ir lygčių sistema, įvertinus (2.71) išraišką, susiskaido į 2n nepriklausomų pirmosios eilės lygčių:
u u g ti i i i− = ( )λ , i n=1 2 2, ,... , (2.72)
čia g ti ( ) – vektoriaus g X B t = [ ] ( ) −1 itasis elementas.
37
Panaudojant matricos charakteringąjį daugianarį D λ( ) , galima nustatyti dinaminės sistemos stabilumą. Tam tikslui, panaudojant charakteringojo daugianario koeficientus Ci , reikia suformuoti Gurvico matricą, pavyzdžiui, kai charakteringas daugianaris yra ketvirtos eilės, tada Gurvico matrica lygi:
G
C CC C C
C CC C C
[ ] =
1 3
0 2 4
1 3
0 2 4
0 00
0 00
. (2.73)
Dinaminė sistema yra stabili, kai visi pagrindiniai Gurvico matricos minorai yra teigiami, t. y.
∆k kai k n> =0 1 2 2, , ,... . (2.74)
∆1 1=C ; ∆2 1 2 0 3= −C C C C ;∆3 1 2 3 0 32
4 12= − −C C C C C C C ir t. t.
Tegu dinaminės sistemos judėjimo lygčių sistema:
M q C q K q F t[ ] + [ ] + [ ] = ( ) , (2.75)
čia M C K[ ] [ ] [ ], , – masių, slopinimo ir standumo matricos, atitinkamai; q q q , , – pagreičių, greičių ir poslinkių vektoriai, atitinkamai;
F t( ) – išorinių jėgų vektorius. Tegu šioje lygčių sistemoje yra n nežinomųjų.
Homogeninės lygčių sistemos
M q C q K q[ ] + [ ] + [ ] = 0 (2.76)
sprendinį užrašysime tokiu pavidalu:
q X e t = λ . (2.77)
Įstatę sprendinį (2.77) į (2.76) lygtį, gausime:
λ λ2 0M C K X[ ] + [ ] + [ ]( ) = , (2.78)
38
čia X – nežinomasis vektorius, kuris vadinamas dinaminės sistemos savąja forma; λ – nežinomasis daugiklis.
Panagrinėsime atvejį, kai slopinimo matrica yra lygi nuliui, t. y. C[ ] = 0, tada lygčių sistema (2.78) yra
λ2 0M K X[ ] + [ ]( ) = . (2.79)
Teguλ ω= i t , ω – savasis kampinis dažnis; i – kompleksinis menamas skaičius, i = −1 , tada lygčių sistema (2.79) yra lygi:
− [ ] + [ ]( ) = ω2 0M K X . (2.80)
Homogeninė lygčių sistema (2.80) turi nenulinį sprendinį tik tada, kai jos determinantas lygus nuliui:
det − [ ] + [ ]( ) =ω2 0M K .Gauta lygtis yra n-tojo laipsnio algebrinė lygtis, kurios kairioji
pusė yra n-tojo laipsnio daugianaris nežinomojo savojo kampinio dažnio ω2 atžvilgiu:
D C C C C Cii
i
nn
nω ω ω ω ω2 2
00 1
22
4 2( ) = = + + +=∑
. (2. 81)
Daugianaris D ω( ) vadinamas matricos M K[ ] [ ]−1 charakteringuoju daugianariu, o lygtis
D ω( ) = 0 (2.82)– matricos M K[ ] [ ]−1 charakteringąja lygtimi.
Savieji dažniai išdėstomi didėjančia tvarka: ω ω ω ω1 2 3≤ ≤ ≤ ≤... n .Dinaminė (mechaninė) sistema esant tam tikram savajam dažniui
ωk virpa (deformuojasi) ir jos deformavimosi formą apibūdina savoji forma vektorius Xk .
Kaip savųjų formų pavyzdys, 2.8 pav. parodytos plonos plokštelės pirmos keturios savosios formos.
39
a)
b)
c)
40
d)
e)
2.8 pav. Plonos plokštelės pirmosios keturios savosios formos: a – plokštelės schema; b – pirmoji savoji forma ; c – antroji savoji forma;
d – trečioji savoji forma; e – ketvirtoji savoji forma
Normalizuosime savuosius vektorius X k nk =, , ,...,1 2 pagal masių matricą M[ ] ,
XX M X
Nk
kT
k
= [ ]
1. (2.83)
Normalizuoti savieji vektoriai turi tokias savybes:
X M X ENkT
Nk [ ] = [ ] ; X K XNkT
Nk [ ] = [ ]λ , (2.84)
41
E[ ] – vienetinė matrica;
E[ ] =
1 0 00 1 0
0 0 1
λ
ω
ω
ω
[ ] =
12
22
2
0 0
0 0
0 0
n
– savųjų dažnių kvadratų matrica.
Įvesime naują vektorių:
q t X u tN( ) = [ ] ( ) , (2.85)
čia u t( ) – modalinių koordinačių vektorius, XN[ ] – modalinė matrica sudaryta iš sistemos normalizuotų savųjų vektorių,
X X X XN N N Nn[ ] = 1 2, ,..., .Įstatę vektorių (2.85) į lygčių sistemą (2.75) ir iš kairės pusės pa
dauginę iš XNT[ ] , gausime n nepriklausomų lygčių:
u u X F tNT + [ ] = [ ] ( ) λ (2.86)
arba
u u g tk k k k+ =ω2 ( ) k n=1... (2.87)
g t X F tk jkj
nj( ) = ( )
=∑
1. (2.88)
Bendras (2.87) lygties sprendinys yra lygus:
u t g t dkk
k
t
k( ) = ( ) −( )( )∫1
0ωτ ω τ τsin .
(2.89)
42
Panagrinėsime atvejį, kai slopinimo matrica nelygi nuliui, t. y C[ ] ≠ 0 . Įstatę (2.875) į (2.76) ir iš kairės pusės padauginę iš XN
T[ ] , gausime n nepriklausomų lygčių:
u X C X u u X F tNT
N NT + [ ] [ ][ ] + [ ] = [ ] ( ) λ (2.90)
arba
u X C X u u g tk NkT
Njj
nk k k k+ [ ] + =
=∑
1
2ω ( ) k = 1...n (2.91)
Kartais slopinimo matrica išreiškiama per standumo ir masių matricas, t. y.
C K M[ ] = [ ] + [ ]α β . (2.92)
Tada narys X C X uNkT
Nj kj
n [ ]
=∑
1(2.91) lygčių sistemoje bus
lygus:X C X uNk
TNj
j
nk [ ] =
=∑
1
= α βX K X X M X uNkT
Nj NkT
Njj
nk [ ] + [ ] ( ) =
=∑
1
= αω δ βδ αω βk jk jkj
nk k ku u2
1
2+( ) = +( )=∑ ,
(2.93)
čia δ jk – Kronekerio daugiklis, δ jkkai j kkai j k
==≠
10
,,
.
Įstatę (2.93) į (2.91) lygtis, gausime:
u u u g tk k k k k k+ +( ) + =αω β ω2 2 ( ) . (2.94)
Standartinės k-osios (2.94) lygties pavidalas yra:
u u u g tk k k k k k k+ + =2 2ξ ω ω ( ) , (2.95)
čia ξk – slopinimo koeficientas, kuris lygus:
ξ αωω
βk kk
= +12
12
. (2.96)
43
Lygties (2.95) sprendinys yra:
u t g e t dkk k
k
t tk k
k k( ) =−
( ) − −( )( )∫− −( )1
11
2 0
2
ω ξτ ω ξ τ τξ ω τ sin .
(2.97)
Įvesime naują vektorių:
rqq
=
.
(2.98)
Lygčių sistemą (2.76) užrašysime kaip pirmos eilės diferencialinių lygčių sistemą, kurioje bendras lygčių skaičius bus lygus 2n :
EE
E
M K M C[ ] [ ][ ] [ ]
−
[ ] [ ]−[ ] [ ] −[ ] [ ]
− −
00
01 1
=
[ ] ( )
−
qq M F t
01
(2.99)
arba
B r A r f t[ ] − [ ] = ( ) , (2.100)
čia AE
M K M C[ ] =
[ ]−[ ] [ ] −[ ] [ ]
− −
01 1 ;
B
EE[ ] = [ ] [ ]
[ ] [ ]
00
;
f tM F t
( ) =
[ ] ( )
−
01
. (2.101)
Norėdami surasti sistemos (1.100) tikrines reikšmes ir vektorius, vektorių f t( ) prilyginsime nuliui, t. y.
44
B r A r[ ] − [ ] = 0 . (2.102)
Tegu lygčių sistemos sprendinys turi tokį pavidalą:
r r e t = λ , (2.103)
čia λ – tikrinė reikšmė; r – dešinysis tikrinis vektorius.Įstatę sprendinį (2.103) į lygčių sistemą (2.102), gausime:
A B r[ ] − [ ]( ) = λ 0 . (2.104)
Išsprendę tikrinių reikšmių uždavinį (2.104), gauname 2n tikrinių reikšmių ir tikrinių vektorių, t. y. λ j jr, , j n=1 2 2, ,..., . Be to, bendruoju atveju tikrinės reikšmės ir vektoriai yra kompleksiniai skaičiai,
λ α ωj j ji= + ; r r rj j j = + Re Im , (2.105)
čia Re , Im( ) ( ) – funkcijos, išskiriančios kompleksinio skaičiaus realiąją ir kintamąją dalis.
Įvesime naują vektorių
r r u r r r R ui ii
nN = = = [ ]
=∑
1
21 2 2... , (2.106)
čia R[ ] – dešiniųjų tikrinių vektorių matrica;
R r r r N[ ] = 1 2 2... ;
u – modalinių koordinačių vektorius.Įstatę vektorių (2.106) į lygčių sistemą (2.100), gausime
B R u A R u f t[ ][ ] − [ ][ ] = ( ) . (2.107)
Kairieji tikriniai vektoriai nustatomi išsprendus tikrinių reikšmių uždavinį:
l A BT T [ ] − [ ]( ) = ν 0 (2.108)
45
arba A B lT T[ ] − [ ]( ) = ν 0 . (2.109)
čia l – kairysis tikrinis vektorius; ν – tikrinė reikšmė.Tikrinės reikšmės apskaičiuotos išsprendus (2.104) ir (2.109) tik-
rinių reikšmių uždavinius, gausime:
λ νj j= ,
tada galioja tokia sąlyga:
det detA B A B T[ ] − [ ]( ) = [ ] − [ ]( )λ λ . (2.110)
Sudarome kairiųjų tikrinių vektorių modelinę matricą:
L l l l N[ ] = ⋅ 1 2 2, , ..., . (2.111)
Sudarysime tokią lygčių sistemą:
A B r
A B l
j j
Tk
Tk
[ ] − [ ]( ) =
[ ] − [ ]( ) =
λ
λ
0
0. (2.112)
Pirmąją lygtį padauginę iš lk , o antrąją lygtį iš rj , gausime
l A B r
r A B l
kT
j j
jT T
kT
k
[ ] − [ ]( ) = [ ] − [ ]( ) =
λ
λ
0
0.
(2.113)
Pirmąją lygtį atimsime iš antros, tada gausime:
χ λk j jT
kr B l−( ) [ ] = 0 . (2.114)
Kai galioja tokia lygybė
r B l l B rjT T
k kT
j [ ] = [ ] , (2.115)
ortogonalumo sąlyga:
r B l l B rkai j kkai j kj
T Tk k
Tj [ ] = [ ] = ≠
=
01,,
(2.116)
46
L B R ET[ ] [ ][ ] = [ ] (2.117)
arba
R B L ET T[ ] [ ]( )[ ] = [ ]
ir L R BT T[ ] = [ ] [ ]( )−1, (2.118)
bet tada
l A B rkT
j j [ ] − [ ]( ) =λ 0 (2.119)
l A rkT
j j [ ] = λ , (2.120)
nes l B rk jk jk
Tj j [ ] =
≠=
λ01
,, .
Todėl galioja tokia priklausomybė
L A RT[ ] [ ][ ] = [ ]λ , (2.121)
λ λ[ ] ≡ ( )diag j – diagonalinė matrica.
Tada lygčių sistema (2.107) yra:
B R u A R u f[ ][ ] − [ ][ ] = .
Ir gautą lygčių sistemą padauginę iš kairės transponuotą kairiųjų tikrinių vektorių modalinę, gausime:
L B R u L A R u L fT T T[ ] [ ][ ] − [ ] [ ][ ] = [ ] (2.122a)
arba
u u L fT − [ ] = [ ] λ . (2.122b)Gavome nepriklausomų lygčių sistemą:u u hj j j j− =λ ,
47
h L fj kjk
nk=
=∑
1
2j N=1 2,..., . (2.123)
Lygties (2.123) sprendinys yra:
u t u e h e dj jt
j
t tj j( ) = ( ) + ( )− − −( )∫00
λ λ ττ τ . (2.124)
Kai matrica B E[ ] = [ ] – vienetinė matrica, tada
L B R L R ET T[ ] [ ][ ] = [ ] [ ] = [ ]ir L RT[ ] = [ ]−1
, (2.125)
ortogonalumo sąlyga bus lygi:
R A R[ ] [ ][ ] = [ ]−1 λ . (2.126)
Vektorių r R q = [ ] įstatę į (2.107), gausime:
u u R f − [ ] = [ ] −λ 1 . (2.127)
Lygčių sistemą (2.76) galima užrašyti kaip pirmos eilės diferencia-linių lygčių sistemą, kurios matricos yra simetrinės matricos:
0 00
[ ] [ ][ ] [ ]
−[ ] [ ][ ] −[ ]
KK C
KM
== ( )
0F t , (2.128)
arba A r B r f[ ] − [ ] = , (2.129)
čia
AK
K C[ ] = [ ] [ ][ ] [ ]
0; B
KM F t[ ] = [ ] [ ]
[ ] −[ ]
= ( )
00
0,
r tq tq t( ) = ( )
( )
; f tF t( ) = ( )
0. (2.130)
Matricos A[ ] ir B[ ] – simetrinės matricos.
48
Modalinė matrica R[ ] lygi:
R r r rX X X
X XNn[ ] = =
1 2 2
1 2 2
1 1 2 2, ,...,
, ,...,
,λ λ
u Xn n2 2 2,...,λ
.
(2.131)
Tikrinė reikšmė, kai ji yra kompleksinė, yra lygi: λ α ωk k ki= + . (2.132)
Funkciją e tλ galima užrašyti taip: e e e et t i t i tλ α ω α ω= = +( ) .
Tegu dešiniųjų ir kairiųjų tikrinių vektorių sudėtis yra lygi:
rX
Xj
j
j j =
λ; l
Y
Yj
j
j j =
λ. (2.133)
Tada ortogonalumo sąlyga yra lygi:
l B rkai j k
kai kkT
j [ ] = ≠
=
0
1
,
,
(2.134a)
arba
L B R ET[ ] [ ][ ] = [ ] . (2.134b)
1) būdas: BE
E[ ] = [ ] [ ][ ] [ ]
00 – vienetinė matrica,
Y X Y Xkai j kkai j kk
Tj k j k
Tj + = ≠
=
λ λ01,,
Y X Y X ET T[ ] [ ] + [ ][ ] [ ] = [ ]λ (2.135)
λ λ λ λ λ[ ] = ( ) = ( )diag diagj n2
12
22
22, ,... .
49
2) būdas: BK
M[ ] = [ ] [ ][ ] −[ ]
00
– simetrinė matrica.
Y K X Y M Xkai j k
kai j kkT
j k j kT
j [ ] − [ ] == ≠
=
λ λ
0
1
,
, (2.136a)
arba matricine forma:−[ ][ ] [ ][ ] + [ ] [ ][ ] = [ ]λ Y M X Y K X ET T
. (2.136b)
Įstatę (2.136) išraišką į (2.129) lygčių sistemą ir iš kairės padauginę L T[ ] , gausime:
L A R u L B R u L fT T T[ ] [ ][ ] − [ ] [ ][ ] = [ ] (2.137)
arba γ j j j ju u h− = , (2.138)
čia h L fj kjk
nk=
=∑
1
2.
Pavyzdys. Duota trijų lygčių sistema:
M q C q K q F t[ ] + [ ] + [ ] = ( ) ,
M =
0 5 0 00 1 00 0 0 5
,
,;
C =
0 1 0 00 0 2 00 0 0 1
,,
,;
K =−
− −−
2 0 1 0 01 0 4 0 10 1 0 2 0
, ,, ,
, ,; q
qqq
=
1
2
3
.
Suformuojame A ir B matricas:
AK
K C[ ] = [ ] [ ][ ] [ ]
0; B
KM[ ] = [ ] [ ]
[ ] −[ ]
00
.
50
Pradinę lygčių sistemą užrašome kaip pirmojo laipsnio lygčių sis-temą:
A r B r f[ ] − [ ] =
r tq tq t( ) = ( )
( )
; f t F t( ) = ( )
0,
čia
A =
−− −
−−
−
0 0 0 2 0 1 0 00 0 0 1 0 4 0 1 00 0 0 0 1 0 2 0
2 0 1 0 0 0 10 0 01 0 4
, ,, , ,
, ,, , ,, ,00 1 0 0 0 2 0
0 1 0 2 0 0 0 0 10−
−
, ,, , ,
;
B =
−− −
−−
−
2 0 1 0 0 0 0 01 0 4 0 1 0 0 0 00 1 0 2 0 0 0 00 0 0 0 5 0 00 0 0 0 1 0 00 0
, ,, , ,
, ,,
,00 0 0 0 5−
,
.
Sprendžiame tikrinių reikšmių uždavinį (2.165):
A B r[ ] − [ ]( ) = λ 0 .
Dešiniųjų tikrinių reikšmių vektorius ir dešiniųjų tikrinių vekto-rių matrica yra lygūs:
51
λ[ ] =
− + ⋅− − ⋅− + ⋅− − ⋅− +
0 1 2 4470 1 2 4470 1 1 9970 1 1 9970 1
, ,, ,, ,, ,,
iiiii ⋅⋅
− − ⋅
1 4110 1 1 411
,, ,i
;
R[ ] =
− − ⋅ − + ⋅ − − ⋅ −0 00891 0 218 0 00891 0 218 0 0158 0 316 0 0158, , , , , , ,i i i ++ ⋅ − − ⋅ − + ⋅+ ⋅
i i ii
0 316 0 0236 0 332 0 0236 0 3320 00891 0 218 0 00
, , , , ,, , , 8891 0 218 0 0 0 0 0 0236 0 332 0 0236 0 3320 008
− ⋅ + ⋅ − ⋅ − − ⋅ − + ⋅−
i i i i i, , , , ,, 991 0 218 0 00891 0 218 0 0158 0 316 0 0158 0 316 0− ⋅ − + ⋅ + ⋅ − ⋅ −i i i i, , , , , , , ,00236 0 332 0 0236 0 332
0 535 0 0 535 0 0 632 0 0 6− ⋅ − + ⋅
+ ⋅ + ⋅ + ⋅i i
i i i, , ,
, , , , 332 0 0 471 0 0 471 00 535 0 0 535 0 0 0 0 0 0
+ ⋅ + ⋅ − ⋅− + ⋅ − − ⋅ − + ⋅ − − ⋅
i i ii i i i
, ,, , ,, ,
, , , , ,471 0 0 471 0
0 535 0 0 535 0 0 632 0 0 632 0 0+ ⋅ − ⋅
− ⋅ + ⋅ − + ⋅ − − ⋅i i
i i i i 4471 0 0 471 0+ ⋅ + ⋅
i i,
Sprendžiame kairiųjų tikrinių reikšmių uždavinį:
l A BT TL
T [ ] − [ ]( ) = λ 0 .
Kairiųjų tikrinių reikšmių vektorius ir kairiųjų tikrinių vektorių matrica yra lygūs:
λL =
− + ⋅− − ⋅− + ⋅− − ⋅−
0 10 2 450 10 2 450 10 2 000 10 2 000 10
, ,, ,, ,, ,,
iiii++ ⋅
− − ⋅
ii
1 410 10 1 41
,, ,
;
R[ ] =
− − ⋅ − + ⋅ − − ⋅ −0 00891 0 218 0 00891 0 218 0 0158 0 316 0 0158, , , , , , ,i i i ++ ⋅ − − ⋅ − + ⋅+ ⋅
i i ii
0 316 0 0236 0 332 0 0236 0 3320 00891 0 218 0 00
, , , , ,, , , 8891 0 218 0 0 0 0 0 0236 0 332 0 0236 0 3320 008
− ⋅ + ⋅ − ⋅ − − ⋅ − + ⋅−
i i i i i, , , , ,, 991 0 218 0 00891 0 218 0 0158 0 316 0 0158 0 316 0− ⋅ − + ⋅ + ⋅ − ⋅ −i i i i, , , , , , , ,00236 0 332 0 0236 0 332
0 535 0 0 535 0 0 632 0 0 6− ⋅ − + ⋅
+ ⋅ + ⋅ + ⋅i i
i i i, , ,
, , , , 332 0 0 471 0 0 471 00 535 0 0 535 0 0 0 0 0 0
+ ⋅ + ⋅ − ⋅− + ⋅ − − ⋅ − + ⋅ − − ⋅
i i ii i i i
, ,, , ,, ,
, , , , ,471 0 0 471 0
0 535 0 0 535 0 0 632 0 0 632 0 0+ ⋅ − ⋅
− ⋅ + ⋅ − + ⋅ − − ⋅i i
i i i i 4471 0 0 471 00 00891 0 218 0 00891 0 218 0 0158
+ ⋅ + ⋅− − ⋅ − + ⋅ − −
i ii i i
,, , , , , ⋅⋅ − + ⋅ − − ⋅ − + ⋅0 316 0 0158 0 316 0 0236 0 332 0 0236 0 332
0 0089, , , , , , ,
,i i i
11 0 218 0 00891 0 218 0 0 0 0 0 0236 0 332 0 0236+ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − − ⋅ − +i i i i i, , , , , , iii i i
⋅− − ⋅ − + ⋅ + ⋅
0 3320 00891 0 218 0 00891 0 218 0 0158 0 316 0 01
,, , , , , , , 558 0 316 0 0236 0 332 0 0236 0 332
0 535 0 0 535− ⋅ − − ⋅ − + ⋅
+ ⋅ + ⋅i i i
i i, , , , ,
, , 00 0 632 0 0 632 0 0 471 0 0 471 00 535 0 0 535 0
, , , ,, ,
+ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅− + ⋅ − − ⋅
i i i ii i −− + ⋅ − − ⋅ + ⋅ − ⋅
− ⋅ + ⋅ − + ⋅0 0 0 0 0 471 0 0 471 0
0 535 0 0 535 0 0 632i i i i
i i i, ,
, , , 00 0 632 0 0 471 0 0 471 0− − ⋅ + ⋅ + ⋅
, , ,i i i
52
Matome, kad dešiniųjų pusių tikrinių reikšmių vektorius λ ir kairiųjų tikrinių reikšmių vektorius λL yra tarpusavyje lygūs:
λ λ = L .
Dešiniųjų pusių tikrinių reikšmių matrica yra lygi:
λ[ ] =
− + ⋅− − ⋅
− + ⋅−
0 1 2 45 0 0 0 0 00 0 1 2 45 0 0 0 00 0 0 1 2 00 0 0 00 0 0 0
, ,, ,
, ,,
ii
i11 2 00 0 0
0 0 0 0 0 1 1 41 00 0 0 0 0 0 1 1 41
− ⋅− − ⋅
− − ⋅
i
ii
,, ,
, ,
Patikrinsime sąlygas, kad trijų matricų sandauga yra lygi vieneti-nei matricai ir tikrinių reikšmių matricoms, t. y.
L B R ET[ ] [ ][ ] = [ ] , L A RT[ ] [ ][ ] = [ ]λ ,
L B R
i i i i i ii i
T[ ] [ ][ ] =
− ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅ + ⋅ − − ⋅− + ⋅ + ⋅1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0,
, −− + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅+ ⋅ − − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅− ⋅
0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0
i i i ii i i i i ii −− − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅
+ ⋅ − − ⋅ + ⋅ − − ⋅ − ⋅ − +0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0i i i i i
i i i i i i ⋅⋅− ⋅ − + ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅
00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0i i i i i i
L A BT[ ] [ ][ ] =
− + ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ − − ⋅ − + ⋅− ⋅ −
0 1 2 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0
, ,,
i i i i i ii 110 2 45 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 10 2 00 0− ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − + ⋅
− ⋅ + ⋅ − + ⋅ +i i i i i
i i i,
, , ii i ii i i i i ii
⋅ − − ⋅ − + ⋅− ⋅ + ⋅ − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − + ⋅+
0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 10 2 00 0 0 0 00
, ,⋅⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − + ⋅ − ⋅
− ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 41 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0i i i i i
i i i i i, ,
00 0 1 1 41− − ⋅
, ,i
.
Kaip matyti iš gautų rezultatų, šios sąlygos yra įvykdytos.
2.5. Harmoninė analizė
Tegu sistemos judėjimo lygčių sistema yra:
M q C q K q F t[ ] + [ ] + [ ] = ( ) . (2.139)
53
Žadinimo vektorių F t( ) suskaidysime:
F t F t F tc s( ) = ( ) + ( )cos sinΩ Ω (2.140)
arba kompleksinė forma:
F t F e F ecpi t
spi t( ) = + −Ω Ω
, (2.141)čia F F i Fcp c s = − ( )1
2;
F F i Fsp c s = + ( )12
, (2.142)
nes
F t F i F e F i F ec si t
c si t( ) = − ( ) + + ( ) =−1
212
Ω Ω
12F i F t i tc s − ( ) ( ) + ( )( ) +cos sinΩ Ω
12F i F t i tc s + ( ) ( ) − ( )( ) =cos sinΩ Ω
12
12
F t F tc s ( ) + ( )
+cos sinΩ Ω
i F t F tc s12
12
( ) − ( )
+sin cosΩ Ω
12
12
F t F tc s ( ) + ( )
+cos sinΩ Ω
i F t F t F t F tc s c s− ( ) + ( )
= ( ) + (1
212
sin cos cos sinΩ Ω Ω Ω )) .
1) Atvejis:Sistemos (1) sprendinių ieškosime tokiu pavidalu:
q q t q tc s = ( ) + ( )cos sinΩ Ω . (2.143)
Įstatę (2.202) ir (2.205) išraiškas į (2.201), gausime lygčių sistemą:
− [ ] + [ ] + [ ]− [ ] − [ ] + [ ]
=
Ω Ω
Ω Ω
2
2
M K C
C M K
FF
c
s
c
s
(2.144)
54
arba H q Fcs cs[ ] = . (2.145)
Virpesių amplitudes nustatome:
q q t q t A tc s = ( ) + ( ) = −( )cos sin cosΩ Ω Ω ϕ (2.146)
A q qj cj sj= +2 2 ; ϕ jsj
cj
=
arctg . (2.147)
2) Atvejis: kompleksinė formaŽadinimo jėgų vektorių užrašome (2.141) pavidalu. Sistemos
(2.139) sprendinį užrašysime tokiu pavidalu:
q q e q ecpi t
smi t = + −Ω Ω . (2.148)
Įstatę (2.141) ir (2.148) išraiškas į (2.139) lygčių sistemą, gausime:
− [ ] + [ ] + [ ]( ) = − [ ] − [ ] + [ ]( ) =
Ω Ω
Ω Ω
2
2
M i C K q F
M i C K q F
cp cp
sm sm
. (2.149)
Sistemos (2.149) sprendimai yra lygūs:
q H Fcp p cp = , q H Fsm m sm = [ ][ ] , (2.150)
čia: H M i C Kp = − [ ] + [ ] + [ ]( )−Ω Ω2 1;
H M i C Km[ ] = − [ ] − [ ] + [ ]( )−Ω Ω2 1. (2.151)
Sistemos (2.149) sprendinys tada bus lygus:
q q e q e R q ecpi t
smi t
e cpi t = + = ( )−Ω Ω Ω2 . (2.152)
Pavyzdys. Nustatyti TP kūnų poslinkių, greičių ir pagreičių svy-ravimo amplitudes priklausomai nuo dažnio. TP dinaminis modelis pateiktas 2.9 pav.
55
2.9 pav. TP dinaminis modelis
TP kinetinė, potencinė energijos ir disipatyvinė funkcija yra lygios:
E m x m x m x I x m xk = + + + +( )12 1 1
22 2
23 3
23 4
24 5
2 ;
E k x q t k x q t k x a x xp = − ( )( ) + − −( )( ) + − −( ) +
12 1 1 1
22 2 2
23 3 1 4
21
2τ
k x a x x k x a x x4 3 2 4 22
5 3 3 4 52
+ −( ) + − −( ) ;
Φ = − ( )( ) + − −( )( ) + − −( ) +(12 1 1 1
22 2 2
23 3 1 4 1
2c x z t c x z t c x a x x τ
c x a x x c x a x x4 3 2 4 22
5 3 3 4 52
+ −( ) + − −( ) ) ,
čia q t1 ( ) , q t2 −( )τ – kinematiniai žadinimai į pirmąją ir antrąją mases.
Tegu kinematinis žadinimas į pirmąją ir antrąją ašį yra lygūs:
q t h t h tc s1 1 1( ) = +cos( ) sin( )ω ω ;
q t h t h tc s2 1 1−( ) = −( ) + −( )τ ω τ ω τcos( ) sin( ) ,
čia τ =+a av
1 2 ; v – TP judėjimo greitis.
56
Pradiniai duomenys:
m kg1 75= ;m kg2 75= ;m kg3 1000= ; I kgm3275= ;
m kg4 80= . k k N m1 253 265 10= = ⋅, / ;
k k N m3 443 165 10= = ⋅, / ; k N m5
310 0 10= ⋅, / ;
c c Ns m1 231 0 10= = ⋅, / ; c c Ns m3 4
33 0 10= = ⋅, / ;
c Ns m530 10 10= ⋅, / ; a m1 1 50= , ; a m2 1 750= , a m3 0 90= , ;
h mc1 0 010= , ; h ms1 0 010= , .
Gauti rezultatai parodyti 2.10 pav.
a)
b)
57
c)
2.10 pav. TP kūnų virpesių amplitudės: a – poslinkiai; b – greičiai; c – pagreičiai; x1 – juoda spalva; x2 – mėlyna spalva; x3 – raudona spalva;
x4 – žalia spalva; x5 – geltona spalva
2.6. atsitiktiniai stacionarūs priverstiniai virpesiai
Tegu sistemos judėjimo lygčių sistema lygi:
M q C q K q B F[ ] + [ ] + [ ] = [ ] , (2.153)
čia M C K[ ] [ ] [ ], , – masių, slopinimo ir standumo matricos;
q q q , , – poslinkių, greičių ir pagreičių vektoriai.Vektorius F t( ) atsitiktinės charakteristikos žinomas, būtent,
spektrinis tankis SF ω( ) .Funkcijos f t( ) koreliacinė funkcija lygi:
R t t M F t F t M e d eFk k k ki t
k di, , * *
1 1 1( ) = ( ) ( )
=
×
−∞
∞−
∫ Φ Φωωω ωωt1
−∞
∞
∫
=
e R d di t tk k
ω ω ω ω−( )
−∞
∞
−∞
∞
∫∫
1 11Φ Φ, * , (2.154)
čia F tk ( ) – centruota F t( ) funkcija,
58
F t F t F tk k vid( ) = ( ) − ( ). (2.155)
Centruotą funkciją F tk ( ) galima užrašyti panaudojant Furjė in-tegralą:
F t e dk ki t( ) = ( )
−∞
∞
∫ Φ ω ωω (2.156)
arba vektorine forma:
F e dti t = ( ) −∞
∞
∫ Φ ω ω . (2.157)
Pointegrinė funkcija (2.155) priklausys nuo laiko momentų skir-tumo, jeigu funkcija
R Sk k kΦ Φω ω ω δ ω ω( ) ( )
= ( ) −( )*
1 1 1 . (2.158)
Tokiu atveju integruodami (2.158) pagal ω , gausime
R t t S e dF Fi
k k, 1( ) = ( )
−∞
∞
∫ ω ωωτ , (2.159)
čia τ = −t t1 ; SFk ω( ) – spektrinis tankis.Analogiškai galima gauti tarpusavio koreliacinę funkciją:
R t t e S dF Fi
F Fk l k l, 1( ) = ( )
−∞
∞
∫ ωτ ω ω . (2.160)
Lygčių sistemos (2.153) sprendinio ieškosime tokio pavidalo:
q q e di t = −∞
∞
∫ 0ω ω . (2.161)
Įstatę (2.156) ir (2.159) į (2.153) lygtį, gausime
− [ ] + [ ] + [ ]( ) = [ ] ω ω20M i C K q B Φ (2.162)
arba
q M i C K B W i02 1
= − [ ] + [ ] + [ ]( ) [ ] = ( ) −
ω ω ωΦ Φ , (2.163)
čia W i M i C K Bω ω ω( ) = − + [ ] + [ ]( ) [ ]−2 1
.
Skaliarine forma sprendinys (2.161) lygus
59
q W iko kii
ni= ( ) ( )
=∑ ω ω
1Φ . (2.164)
Tada sprendinys (2.164) lygus:
q W i e dk kii
ni
i= ( ) ( )−∞
∞
=∫ ∑ ω ω ωωτ
1Φ . (2.165)
Sprendinio (2.1465) tarpusavio koreliacinė funkcija lygi:
R t t M q t q tq q k kk l, *
1 1( ) = ( ) ( )
=
M q q e d dk li t t
0 0 1 11 1ω ω ω ωω ω( ) ( )
=−( )
−∞
∞
−∞
∞
∫∫ *
W i W i M i ikj l jn
j
nω ω ω ωρ ρ
ρ( ) ( ) ( ) ( )
⋅
==−∞
∞
−∞
∞∑∑∫∫ * *Φ Φ 1
11
⋅ )−( )e d di t tω ω ω ω1 11 .
(2.166)
Pasinaudoję (2.166) išraiška, gausime
R M q q e d dq q k li t t
k l= ( ) ( ) =−( )
−∞
∞
−∞
∞
∫∫ 0 0 1 11 1ω ω ω ωω ω
W i W i S e dkjn
j
nl F F
ij
ω ω ω ωρ
ρωτ
ρ( ) ( ) ( )==−∞
∞∑∑∫
11
* . (2.167)
Kad sprendinys būtų stacionarus, t. y. kad kiekvienas vektoriaus q t( ) elementas būtų stacionari atsitiktinė funkcija, turi būti paten-
kinta sąlyga:
M q q Sk l qk0 0 1 1 1ω ω ω δ ω ω( ) ( )
= ( ) −( )* , (2.168)
čia Sqk ω1( ) – sprendinio vektoriaus k elemento spektrinis tankis.
Įstatę (2.168) į (2.167), gausime:
S e dqi
kω ωωτ( ) =
−∞
∞
∫ ,
W i W i S e dkjn
j
nk F F
ij
ω ω ω ωρ
ρωτ
ρ( ) ( ) ( )==−∞
∞∑∑∫
11
* (2.169)
60
arba
S W i W i S eq kj k F Fn
j
n ik jω ω ω ωρ
ρ
ωτρ( ) − ( ) ( ) ( )
=
==−∞
∞∑∑∫ *
110 . (2.170)
Iš čia plaukia:
S W i W i Sq kj k F Fn
j
n
k jω ω ω ωρ
ρρ( ) = ( ) ( ) ( )
==∑∑ *
11
. (2.171)
Analogiškai tarpusavio spektrinis tankis lygus
S W i W i Sq q kj k F Fn
j
n
k l jω ω ω ωρ
ρρ( ) = ( ) ( ) ( )
==∑∑ *
11
. (2.172)
Kai
SS kai j
kai jF F
Fj
jρω
ρ
ρ( ) =
=
≠
, ;
, ,0
gausime
S W W S W Sq kj kj Fj
nKJ F
j
n
k j jω ω ω( ) = ( ) = ( )
= =∑ ∑*
1
2
1, (2.173)
S W W Sq q kj lj F Fj
n
k l k lω ω( ) = ( )
=∑ *
1. (2.174)
Komponentės qk dispersija lygi
D S d W W S dq q kj k F Fn
j
n
k k j= ( ) =
−∞
∞
==−∞
∞
∫ ∑∑∫1
21
2 11πω ω
πωρ
ρρ
* , (2.175)
arba
SS kai j
kai jF F
Fj
jρω
ρ
ρ( ) =
=
≠
, ;
, ,0tada
D W S dq kj Fj
n
k j= ( )
=−∞
∞∑∫
12
2
1πω ω . (2.176)
61
Greičių ir pagreičių dispersijos yra lygios:
D W S dq kj Fj
n
k j
= ( )
=−∞
∞∑∫
12
2 2
1πω ω ω ; (2.178)
D W S dq kj Fj
n
k j
= ( )
=−∞
∞∑∫
12
2 4
1πω ω ω . (2.179)
Tegu sistemos judėjimo lygčių sistema lygi:
M q C q K q B F t D F t[ ] + [ ] + [ ] = [ ] ( ) + [ ] ( )
. (2.180)
Sužadinimus, veikiančius sistemą, F F Fn1 2, ,..., galima išreikšti įvertinus jų vėlinimą pirmojo sužadinimo atžvilgiu:
F t h t1 1( ) = ( ); F t h t h t t2 2 1 2( ) = ( ) = −( ); (2.181)
F t h t h t t3 3 1 3( ) = ( ) = −( ),... .
F t h t h t tn n n( ) = ( ) = −( )1 .
Tegu žinome spektrinį tankį Sh1 ω( ) . Sužadinimus galima užrašy-ti panaudojus Furjė integralą:
F h t t h e dk ki t tk= −( ) = ( )
−∞
∞−( )∫1 0 ω ωω , k n=( )1 2 3, , ,... . (2.182)
F h t t i h e dk k
i t tk= −( ) = ( )−∞
∞−( )∫1 0 ω ω ωω . (2.183)
Tegu sistemos (27) sprendinį ieškosime tokio pavidalo
q t q e di t( ) = ( )−∞
∞
∫ 0 ω ωω . (2.184)
Įstatę (2.243), (2.244) ir (2.245) į (2.241), gausime
− [ ] + [ ] + [ ]( ) = [ ][ ] + [ ][ ] ω ω ω20 0 0M i C K q B H h i D H h
(2.185)arba
62
q M i C K B i D H h02 1
0 = − [ ] + [ ] + [ ]( ) [ ] + [ ]( )[ ] −
ω ω ω , (2.186)
čia h h h hT0 0 0 0 0 0 0 = , ,... , ,...,, ;
H diag e e ei t i t i tn[ ] = ( ) =− − −1 1 1 12 3, , ,... , , ,...,ω ω ω
1
0
0 11
1
2
3
e
e
e
i t
i t
i tn
−
−
−
ω
ω
ω
.
(2.187)
Sprendinį (2.184) galima perrašyti:
q W i h0 0 = ( ) ω , (2.188)
čia W i M i C K B i D Hω ω ω ω( ) = − [ ] + [ ] + [ ]( ) [ ] + [ ]( )[ ]
−2 1, (2.189)
arba skaliarine forma
q W i h A i hk kjj
nk0
10 0= ( ) ( ) = ( ) ( )
=∑ ω ω ω ω , (2.190)
čia A W ik kjj
n= ( )
=∑ ω
1.
Sprendinio spektrinis tankis lygusS A i Sk hω ω ω( ) = ( ) ( )2 , k h=( )1 2, ,..., .
D A i S dq k hkω
πω ω ω( ) = ( ) ( )
−∞
∞
∫1
2
2
;
63
D A i S dq k hkω
πω ω ω ω( ) = ( ) ( )
−∞
∞
∫1
2
22 ;
D A i S dq k hkω
πω ω ω ω( ) = ( ) ( )
−∞
∞
∫1
2
24 .
Jeigu sprendinys pasiskirsto pagal normalinį dėsnį, tai gali-me surasti tikimybę to, kad kintamasis qk viršys žinomą ribą qkrib , q qk krib≥( ) ,
P q q e dt Xk krib
x
X≥( ) = = ∞( ) − ( )
−∞
∫1
2
2
1
21π
Φ Φ ,
čia Xqkribyk
1 = σ; myk = 0 ; X q q
Dk
y
k
yk k
= =σ
.
Pavyzdys. Priverstiniai stochastiniai virpesiai.
Nagrinėjamas ketvičio TP modelis. TP judėjimo greitis
v kmval
ms
= =72 20.
.
Kelio nelygumų spektrinis tankis lygus:
S v v vv vz =− +
+ − +
183 21 545 2 413 29 004 38 15 27 17
4 2 3 5
6 4 2 2 3, , ,, , ,
ω ω
ω ω ω vv6.
2.11 pav. TP ketvirčio dinaminis modelis
64
Kūnų sistemos judėjimo lygčių sistema:
m q c c q k k q c q k q k z t c z tm
1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1
2
+ +( ) + +( ) − − = ( ) + ( );qq c q c q k q k q2 2 2 2 1 2 2 2 1 0+ − + − =
.
mm
c c cc c
1
2
1
2
1 2 2
2 2
1
2
00
+
+ −−
+
k k kk k
k z c z1 2 2
2 2
1
2
1 1 1 1
0+ −−
=
+
M q C q K q U[ ] + [ ] + [ ] = .
Tegu q Y est = ; q s Y est = ; q s Y est = 2 ;
z zest1 = ; z szest1 = .
s M s C K Yk sc
z2 1 1
0[ ] + [ ] + [ ]( ) =
+
;
s M s C K Y s B s u2 [ ] + [ ] + [ ]( ) ( ) = ( ) ;
Bk sc[ ] = +
1 1
0; u z = .
Y s s M s C K B s u W s u( ) = [ ] + [ ] + [ ]( ) ( ) = ( ) −2 1
.
W s s M s C K B s( ) = [ ] + [ ] + [ ]( ) ( )
−2 1.
s i= ω ;
W s W i M iw C K B i( ) = ( ) = − [ ] + [ ] + [ ]( ) ( ) −
ω ω ω2 1.
S W i W i Syk kjl
nu
j
nukl ujulω ω ω ω( ) = ( ) ⋅ ( ) ( )
==∑∑
11
* ;
65
Kai k=1,
S W i W i Sy u u1 11 11 1 1ω ω ω ω( ) = ( ) ⋅ ( ) ( ) =*
W i Su u112
1 1ω ω( ) ( ) =
R W i I W i Se m u u2
112
11 1 1ω ω ω( )( ) + ( )( )( ) ( ) ;
S W i W i Sy u u2 21 21 1 1ω ω ω ω( ) = ( ) ⋅ ( ) ( ) =*
W i Su u212
1 1ω ω( ) ( ) =
R W i I W i Se m u u2
212
21 1 1ω ω ω( )( ) + ( )( )( ) ( ) ,
čia priimta, kad spektrinis tankis Su u2 2 ω( ) ir tarpusavio spektriniai tankiai Su u1 2 ω( ) ir Su u1 2 ω( ) yra lygūs nuliui.
D S dy y1 11
2ω
πω ω( ) = ( )
−∞
∞
∫ ; σy yD1 1= ;
D S dy y12
11
2ω
πω ω ω( ) = ( )
−∞
∞
∫ ; σ y yD1 1= ;
D S dy y14
11
2ω
πω ω ω( ) = ( )
−∞
∞
∫ ; σ y yD1 1= ;
D S dy y2 11
2ω
πω ω( ) = ( )
−∞
∞
∫ ; σy yD2 2= ;
D S dy y 2 221
2ω
πω ω ω( ) = ( )
−∞
∞
∫ ; σ y yD2 2= ;
D S dy y1 141
2ω
πω ω ω( ) = ( )
−∞
∞
∫ ; σ y yD2 2= .
66
Tikrinės reikšmės, λ α ω= + i Dažnis, Hzα ω
–204099 64,4226 10,2532–204099 –64,4226 10,2532–2,59007 7,3234 1,16555–2,59007 –7,3234 1,16555
Dviejų masių vidutinių kvadratinių nuokrypių priklausomybė nuo judėjimo greičio parodyta 2.12 pav.
a)
b)
67
c)
2.12 pav. Dviejų masių vidutinių kvadratinių nuokrypių priklausomybė nuo judėjimo greičio: a – poslinkis; b – greitis;
c – pagreitis; mėlyna spalva – piromoji masė; raudona spalva – antroji masė
68
3. TransPorTo PrieMonių dinaMinių ModeLių eLeMenTai ir judėjiMo LygTys
3.1. Transporto priemonės dinaminis modelis
Gamtoje visi esantys kūnai yra deformuojami (kūnas – vientisa sistema arba sistema su paskirstytais parametrais), tačiau tokių kūnų judėjimo analizė yra sudėtinga, todėl inžineriniuose skaičiavimuose transporto priemonė nagrinėjama kaip nedeformuojamų kūnų, kurie sujungti tam tikrais elementais, sistema.
Šiuo atveju turime dinaminę sistemą su sutelktais parametrais. Tokiose sistemose nedidelės masės kūnai neįvertinami, deformuojami kūnai pakeičiami tampriai deformuojamais ir neinerciniais ryšiais. Kiti kūnai, kuriems paliekamos inercinės savybės, laikomi materialiais taškais (koncentruotos masės) arba absoliučiai standžiais kūnais.
Tokių kūnų padėties kitimas erdvėje ir laike apibrėžiamas nepriklausomomis koordinatėmis. Šių koordinačių skaičius vadinamas laisvės laipsnių skaičiumi (LLs). Trimatėje erdvėje laisvojo kūno padėtis ir orientacija apibrėžiama trimis koordinatėmis ir trimis sukimo apie ašis kampais, t. y. kūnas turi šešis laisvės laipsnius (trys koordinatės ir trys kampai). Plokštumoje kūno padėtis ir orientacija apibrėžiama dviem koordinatėmis ir posūkio kampu apie ašį, statmeną nagrinėjamai plokštumai, t. y. plokštumoje kūnas turi tris laisvės laipsnius (dvi koordinatės ir kampas). Didinant laisvės laipsnių skaičių, TP dinaminių procesų tikslumas didėja.
Su laisvės laipsnio sąvoka artimai susijusi kita sąvoka – apiben-drintosios koordinatės sąvoka. Apibendrintosios koordinatės dar vadinamos apibendrintomis Lagranžo koordinatėmis.
Koordinatės – nepriklausomi parametrai, nusakantys materialiųjų taškų padėtį erdvėje. Kai ryšiai holonominiai (geometriniai), apibendrintųjų koordinačių skaičius lygus mechaninės sistemos laisvės laipsnių skaičiui. Apibendrintoji koordinatė turi tiesioginį atitikmenį – nagrinėjamąjį poslinkį arba pasisukimo kampą. Kiekvieną apibendrintąją koordinatę atitinka apibendrintoji jėga.
69
Sutelktųjų parametrų sistemos dinaminis modelis susideda iš keturių pagrindinių elementų: absoliučiai standžių kūnų, tampriųjų elementų, virpesių slopinimo elementų ir TP sistemos judesių reguliavimo elementų. Sukomponavus šiuos elementus ir sudaromas sutelktųjų parametrų sistemos dinaminis modelis.
Dinaminiame modelyje pažymimos apibendrintosios koordinatės, virpesių žadinimo jėgos ir jėgų momentai, virpesius sukeliantys poslinkiai (pavyzdžiui, kelio nelygumai, sukeliantys juo važiuojančio automobilio virpesius), pagrindinių elementų parametrai (masės, masių inercijos momentai, standumai, pasipriešinimo koeficientai) ir kiti, virpesių nagrinėjimui reikalingi, duomenys (3.1 pav.).
a)
b)
70
c)3.1 pav. TP dinaminiai modeliai: a – geležinkelio vagonas;
b – automobilis; c – dviaukštis autobusas
3.2. kūno ir kūnų sistemos masių inercijos momentai
Absoliučiai standžių (nesideformuojančių) kūnų gamtoje nėra. Tačiau tiriant TP atskiras sistemas, jų dalis, statinį ar kitokį elementą, galima išskirti tas jų dalis, kurių deformacijų leistina nepaisyti (pavyzdžiui, stovai, rėmai ir t. t.). Deformuojamąjį virpamosios sistemos elementą dinaminiame modelyje dažnai leistina aproksimuoti vienu ar keliais absoliučiai standžiais kūnais, su kitomis dalimis sujungtais tampriaisiais ir slopinimo ryšiais.
Jeigu TP kūnas juda slenkamuoju judesiu (nesisuka, bet slenka), tai jis dinaminiame modelyje apibūdinamas vienu parametru – jo mase m.
Jeigu TP dinaminiame modelyje kūnas sukasi, judantis sukamuoju judesiu kūnas dinaminiame modelyje išreiškiamas ašiniais ir išcentriniais masių inercijos momentais (masių inercijos tenzorius), judantis sukamuoju ir slenkamuoju judesiu – mase ir minėtais inercijos momentais. Visų inercijos momentų SI matavimo vienetas yra kg m⋅ 2.
71
Kūnas gali judėti tam tikra kryptimi (slenkamasis judesys), suktis apie tam tikrą ašį (sukamasis judesys) ir atlikti du judesius kartu.
Materialusis kūnas turi inercines charakteruistikas: masė ir masių inercijos momentai.
SI vienetų sistemoje kūno masė matuojama kg, o masių inercijos momentas matuojamas kg/m2.
Nagrinėjant kūno slenkamąjį judėjimą reikia žinoti kūnų mases
(pagal antrąjį Niutono dėsnį: m d qdt
F tii
n2
21
= ( )=∑ , o nagrinėjant kūno
sukimąsi apie tam tikrą ašį reikia žinoti masių inercijos momentą (pa
gal antrąjį Niutono dėsnį): I ddt
M tzz
ii
n2
21
ϕ= ( )
=∑ .
Kūno, kurio medžiagos tankis yra ρ x y z, ,( ) , kūno masė lygi:
m x y z dVV
= ( )∫ ρ , , , (3.1)
kai medžiagos tankis yra pastovus, kūno masė lygi:
m V= ρ , (3.2)
čia V – kūno tūris, ρ – kūno medžiagos tankis, kg m3 .Slenkamojo judesio kūno kinetinė energija lygi:
EkinetinėE v M vkinetinT= [ ] 1
2, (3.3)
čia v v v vTx y z = , , – kūno greičio vektorius, M[ ] – kūno masių
matrica,
Mx y z dV
x y z dVx y z dV
m[ ] =
( )( )
( )
=
∫∫
∫
ρρ
ρ
, ,, ,
, ,
0 00 00 0
0 00 mm
m0
0 0
.
(3.4)
72
Kiekvienas materialus kūnas turi šešis masių inercijos momentus:
I I I I I Ixx yy zz xy xz yz, , , , , .
Pirmieji trys masių inercijos momentai yra ašiniai masių inercijos momentai I I Ixx yy zz, , , o likusieji trys – išcentriniai masių inercijos momentai I I Ixy xz yz, , . Visi šeši kūno masių inercijos momentai sudaro kūno masių inercijos tenzorių
I
I I I
I I I
I I I
r r dVxx xy xz
yx yy yz
zx zy zzV
T[ ] =
= [ ] [ ]∫ ρ , (3.5)
čia r[ ] – antisimetrinė matrica;
r
r r
r rr r
z y
z x
y x
[ ] =−
−−
0
00
;
(3.6)r r r rT
x y z = ;
r – kūno taško vektorius, užrašytas OXYZ koordinačių sistemoje;
I r r dVxx y zV
= +( )∫ ρ 2 2 ; I r r dVyy x zV
= +( )∫ ρ 2 2 ;
I r r dVzz x yV
= +( )∫ ρ 2 2 ;
I r r dVxy x yV
= −∫ ρ ; I r r dVxz x z
V= −∫ ρ ;
I r r dVyz y z
V= −∫ ρ ;
(3.7)
I Ixy yx= ; I Ixz zx= ; I Iyz zy= . (3.8)
73
3.2 pav. Kūno koordinačių sistema OXYZ
Kūno masių inercijos tenzorius yra simetrinė matrica. Centrinių ašių atžvilgiu kūno masių išcentrinai inercijos momen
tai lygūs nuliui, būtent:
Ixy = 0 , Ixz = 0 , I yz = 0 . (3.9)
Tada kūno masių inercijos tenzorius yra:
II
I
I
xx
yy
zz
[ ] =
0 00 0
0 0
. (3.10)
Besisukančio kūno kinetinė energija lygi:
Ekinetinė E IkinetinT= [ ] 1
2ω ω , (3.11)
čia ω ω ω ω = T
x y z, , – kūno kampinio greičio vektorius.
74
3.1 lentelė. Pagrindinių kūnų masių inercijos momentai
Rutulys
I I I maxx yy zz= = =25
2
I I Ixy xz yz= = = 0
Plonas diskas
I I maxx zz= =14
2 ; I mayy =12
2
R R rc = + I I Ixy xz yz= = = 0
Cilindras
I I m a hxx zz= = +1
123 2 2( ) ;
I mayy =12
2 ;
I I Ixy xz yz= = = 0
Plona plokštelė
I maxx =1
122 ;
I m a byy = +1
122 2( );
I mbzz =1
122 ;
I I Ixy xz yz= = = 0
75
Plonas strypas
I I mLxx zz= =1
122 ; I yy = 0 ;
I I Ixy xz yz= = = 0
Kūgis
I I m a hxx zz= = +3
804 2 2( ) ;
I mayy =3
102;
I I Ixy xz yz= = = 0
Pirmas pavyzdys: rasti stačiakampio gretasienio (3.3 pav.) masių inercijos momentus ir užrašyti masių inercijos tenzorių.
3.3 pav. Stačiakampis gretasienis
I y z dV y z dx dy dz m b cxx i i i i
abc
i i i= +( ) = +( ) = +∫ ∫∫∫ρ ρ2 2 2 2
000
2 213
( ) ;
3.1 lentelės pabaiga
76
I m a cyy = +13
2 2( ) ;
I x y dV x y dx dy dz
a y dy dz
xy i i i i
abc
i i i
i
bc
i
= − = − =
−
∫ ∫∫∫
∫∫
ρ ρ
ρ
000
2
00
12 ii i
ca b dz mab= − = −∫
14
14
2 2
0ρ
;
I macxz = −14
; I mbcyz = −14
;
I
m b c mab mac
mab m a c mbc
mac m
[ ] =
+ − −
− + −
− −
13
14
14
14
13
14
14
14
2 2
2 2
( )
( )
bbc m a b13
2 2( )+
.
Bendroje koordinačių sistemoje OXYZ kūno masių centras nusakomas vektoriumi Rc (3.4 pav.). Taško P padėtis i-tojo kūno koordinačių sistemoje C X Y Zi i i i nustatoma vektoriumi r . Be to, bendrosios koordinačių sistemos OXYZ ir i-tojo kūno koordinačių sistemos C X Y Zi i i i ašys yra lygiagrečios.
3.4 pav. Kūnas bendroje koordinačių sistemoje OXYZ
77
Kūno masių centras bendroje koordinačių sistemoje OXYZ nustomas vektoriumi Rc :
Rm
R dVcV
= ∫1
ρ . (3.12)
Taško P padėtis bendroje koordinačių sistemoje OXYZ nustoma vektoriumi R :
R R rc = + . (3.13)
Kūno masių inercijos tenzorius bendroje koordinačių sistemoje OXYZ lygus:
I
I I I
I I I
I I I
R Rxx xy xz
yx yy yz
zx zy zzV
T[ ] =
= ∫ ρ = +∫dV R R dVcT
cVρ
ρ ρ ρ
r r dV R r dV r R dVT
VcT
V
Tc
V[ ] [ ] + [ ] + [ ] [ ]∫ ∫ ∫ ; (3.14)
ρ ρ R R dV R R dV m R RcT
cV
cT
cV
cT
c = = ∫ ∫ ;
ρ r r dV IT
Vcc[ ] [ ] = [ ]∫ ; (3.15)
ρ ρ R r dV R r dVcT
VcT
V [ ] = [ ] =∫ ∫ 0 ; (3.16)
ρ ρr R dV r dV RTc
V
T
Vc[ ] = [ ] =∫ ∫ 0 ,
nes ρ r dVV
=∫ 0 , kadagi kūno koordinačių sistema įvesta masių
kūno centre. Tada gauname, kad kūno masių inercijos tenzorius bendroje koor
dinačių sistemoje OXYZ lygus:
78
I I m R Rcc cT
c[ ] = [ ] + , (3.17)
arba išplėstine forma kūno masių inercijos momentai lygūs:
I I m R Rxx xcxc yc zc= + +( )2 2 ; I I m R Ryy ycyc xc zc= + +( )2 2 ;
I I m R Rzz zczc xc yc= + +( )2 2 ; (3.18)
I I mR Rxy xcyc xc yc= − ; I I mR Rxz xczc xc zc= − ;
I I mR Ryz yczc yc zc= − .
Kūno masių inercijos tenzorius masių centro atžvilgiu lygus:
I I m R Rcc cT
c[ ] = [ ] − . (3.19)
antras pavyzdys: rasti stačiakampio gretasienio masių inercijos momentus ir užrašyti masių inercijos tenzorių kūno masių centro atžvilgiu (3.5 pav).
3.5 pav. Stačiakampis gretasienis
79
Masių centro vektorius lygus:
Rxyz
m
xyzdx dy dzc
c
c
c
abc i
i
i
i i =
=
∫∫∫1
000ρ ii
abc
=
12
.
Stačiakampio gretasienio masių inercijos momentai kūno masių centro atžvilgiu lygūs:
I I m y z m b c m b cxcxc xx c c= − +( ) = +( ) −
+
2 2 2 2
2 2
3 2 2 =
m b c12
2 2+( ) ;
I I m x z m a c m a cycyc yy c c= − +( ) = +( ) −
+
2 2 2 2
2 2
3 2 2 =
m a c12
2 2+( ) ;
I I m x y m a b m a bzczc zz c c= − +( ) = +( ) −
+
2 2 2 2
2 2
3 2 2 =
m a b12
2 2+( ) ;
I I mx y m ab m abxcyc xy c c= + = − + =4 4
0 ;
I I mx z m ac m acxczc xz c c= + = − + =4 4
0 ;
I I my z m bc m bcyczc yz c c= + = − + =4 4
0 .
Stačiakampio gretasienio masių inercijos tenzorius masių centro atžvilgiu lygus:
I
m b c
m a c
m a b
cc[ ] =
+( )+( )
+( )
120 0
012
0
0 012
2 2
2 2
2 2
.
80
Panagrinėsime bedrąjį atvejį, kai i-tojo kūno koordinačių sistemos C X Y Zi i i i ašys nėra lygiargrečios bendrosios koordinačių sistemos OXYZ ašims.
Taško P padėtis bendroje koordinačių sistemoje OXYZ nustoma vektorium R (žiūrėti 3.4 pav.):
R R R R A rc cp c = + = + [ ] , (3.20)
čia A[ ] – koordinačių transformacijos matrica (posūkio matrica).Kūno masių inercijos tenzorius bendroje koordinačių sistemoje
OXYZ lygus:
I
I I I
I I I
I I I
R Rxx xy xz
yx yy yz
zx zy zzV
T[ ] =
= ∫ ρ =dV
ρ
R A r A R A r A dVcT T T
cT
V + [ ][ ] [ ]( ) + [ ][ ][ ]( ) =∫
ρ R R dVcT
cV
+∫
ρ A r A A r A dVT T
V
T[ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] +∫
ρ ρ
R A r A dV A r A R dVcT T
V
T T
Vc [ ][ ][ ] + [ ][ ] [ ] =∫ ∫
ρ ρ
R R dV A r r dV AcT
cV
T
V
T + [ ] [ ] [ ] [ ] +∫ ∫
R A r dV A A r dV A RcT
V
T T T
Vc [ ] [ ] [ ] + [ ] [ ] [ ] ∫ ∫ρ ρ . (3.21)
Kadangi kūno koordinačių sistema C X Y Zi i i i įvesta kūno masių centre, tai integralai :
ρ r dVV
[ ] =∫ 0 , ρ r dVT
V[ ] =∫ 0
yra lygūs nuliui.
81
Tada kūno masių inercijos tenzorius bendroje koordinačių sistemoje OXYZ lygus:
I m R R A r r dV A m R RcT
cT
V
TcT
c[ ] = + [ ] [ ] [ ] [ ] = ∫
ρ +
m R R A I AcT
c ccT
+ [ ][ ][ ] , (3.22)
čia: I r r dVccT
V[ ] = [ ] [ ]∫ ρ .
Iš (3.22) išraiškos galima surasti masių inercijos tenzorių Icc[ ] masių centro ašių atžvilgiu, t. y.
I A I A m A R R AccT T
cT
c[ ] = [ ] [ ][ ] − [ ] [ ] . (3.23)
Kiekviena transporto priemonė (TP) sudaryta iš tam tikro skaičiaus materialiųjų kūnų. Nagrinėjant TP judėjimą reikia žinoti kūnų mases, masių inercijos tenzorius, masių centrus bendroje kordinačių sistemoje. Suradus TP masių centro vektorių, galima nustatyti TP masių inercijos tenzorių masių centro atžvilgiu.
3.7 pav. Transporto priemonė kaip tam tikrų kūnų sistema
Tegu žinome bendroje koordinačių sistemoje OXYZ kiekvieno kūno masių centro vektorius Rci .
82
3.7 pav. Kūnų sistema
Materialiųjų kūnų sistemos masių centro koordinatės yra nustatomos taip:
Rm R
mc
i cii
n
ii
n =
=
=
∑
∑
1
1
(3.24)
arba
xm x
mc
i cii
n
ii
n= =
=
∑
∑
1
1
; ym y
mc
i cii
n
ii
n= =
=
∑
∑
1
1
; zm z
mc
i cii
n
ii
n= =
=
∑
∑
1
1
. (3.25)
Kūnų sistemos masių inercijos tenzorius bendroje koordinačių sistemoje OXYZ lygus:
I I m R Rcc ccii
nciT
ci[ ] = [ ] + =∑
1 . (3.26)
83
a)
b)3.8 pav. Transporto priemonė kaip tam tikrų kūnų sistema:
a – TP masių išdėstymo schema; b – TP masių išdėstymas erdvėje
84
3.3. jėgų klasifikacija
Išorinės jėgos, veikiančios TP, taip pat ir vidinės jėgos, atsirandančios jos ryšiuose, labai skiriasi savo prigimtimi. Jėgos klasifikuojamos taip pat skirtingai – pagal darbo proceso pobūdį, pagal kilmę ir t. t. Nagrinėsime labiausiai paplitusių jėgų klasifikavimą, t. y. jėgų klasifikavimas pagal jėgų fizinę prasmę dinaminiuose procesuose.
Veikiančios jėgos skirstomos: – Pozicinės jėgos;– Slopinimo jėgos;– Žadinimo jėgos;– Mišriosios jėgos.Pozicinės jėgos – jėgos, kurias apibrėžia sistemos momentinė
konfigūracija, t. y. nukrypimai nuo pradinės, dažniausiai pusiausvyros, padėties. Tuo atveju, kai pozicinės jėgos kryptis yra priešinga sistemos nukrypimui nuo pradinės padėties, tokia jėga vadinama atstatomąja jėga. Tokio tipo jėga yra standumo jėga, sukelta vidinių ar išorinių ryšių tamprių deformacijų. Kai galioja Huko dėsnis, standumo jėga yra lygi: F kqp = − ; čia k – standumo koeficientas. Atstatomųjų jėgų atsiradimas nebūtinai sietinas su tamprumo savybe, jos gali būti kitos kilmės, pavyzdžiui, Archimedo jėga, svorio jėga, elektromagneto traukos (atostūmio) jėga.
Dėl netiesinio ryšio su apibendrintąja koordinate q atstatomąją jėgą ne visada galima išreikšti pavidalu F kqp = − . Tada patogu naudotis standumo charakteristikomis, kurios parodytos 3.9 pav. Skiriamos standžiosios ir minkštosios netiesinės standumo charakteristikos. Standžiosiomis laikomos charakteristikos su tolydžiai didėjančiu nuolydžiu (3.9 pav. b), o minkštosiomis – su mažėjančiu nuolydžiu (3.9 pav. c). Kai kurios charakteristikos turi lūžius ir trūkius (3.9 pav. d, e).
Sudėtingesniais atvejais pozicinės jėgos analitiškai aprašomos kaip kelių apibendrintų koordinačių funkcijos. Tiesinėse TP kelių laisvės laipsnių sistemose pozicinės jėgos gali būti išreiškiamos lygčių sistema:
85
F K qp = −[ ] , (3.27)
čia F qp , – apibendrintų jėgų ir apibendrintų koordinačių vektoriai;
F
F
F
F
p
p
p
p n
=
,
,
,
...
1
2 ; q
qn
=
1
2
... ,
K[ ] – standumo matrica:
K
k k kk k k
k k k
n
n
n n nn
[ ] =
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...... ... ... ...
...
.
Kai Fp – potencinės (konservatyviosios jėgos), tai standumo matrica simetrinė, t. y. K KT[ ] = [ ] .
a) b) c)
d) e)3.9 pav. Standumo charakteristikos: a – tiesinė; b – netiesinė standi;
c – netiesinė minkšta; d, e – laiptuotos
86
Slopinimo jėgos. Judant TP tam tikriems elementams, be atstatymo jėgų, visada veikia pasipriešinimo jėgos Fpas , kurios dažniausiai priklauso nuo atitinkamų sistemos kūnų taškų greičių. Jos atlieka neigiamą darbą, pasireiškiantį mechaninės energijos išsklaidymu. Prie tokių jėgų priklauso trinties jėgos (kūnų sujungimuose), aplinkos pasipriešinimo jėgos, vidinės trinties jėgos sistemos elementų medžiagoje ir jėgos, atsirandančios deformuojant specialius slopintuvus (dempferiai, amortizatoriai).
Slopinimo jėgų krytis bet kuriuo sistemos elementų judėjimo momentu yra priešinga judėjimo greičiui.
Vieno laisvės laipsnio sistemai slopinimo jėgos charakteristika aprašoma funkcija F qpas ( ) . Pasipriešinimo jėgos priklausomybė nuo greičio gali būti ir netiesinė (3.10 pav.). Sausosios trinties charakteristikos yra trūkaus pavidalo. Kaip parodyta 3.10 pav. c, trinties charakteristika, atitinkanti Amontovo ir Kulono dėsnį, priklauso ne nuo greičio didumo, o tik nuo jo krypties, 3.10 pav. d, e parodytos patikslintos sausos trinties charakteristikos.
a) b) c)
d) e)3.10 pav. Slopinimo jėgų charakteristikos:
a – tiesinė; b – netiesinė; c – Amontovo ir Kulono trinties jėgos charakteristika; d, e – patikslintos sausos trinties charakteristikos
87
Slopinimo jėgų tiesinės charakteristikos matematinė išraiška yra lygi:F cqsl = , (3.27)
netiesinės charakteristikos galima išraiška gali būti tokia:
F c q c qsl = +1 33
, (3.28)
patikslintos sausos trinties charakteristikos gali būti:F F sign q c qsl = ( ) +0 1 , (3.29)
F F sign q c q c qsl = ( ) − +0 1 33
, (3.30)
čia c c1 3, – koeficientai; F0 – rimties trinties jėga; qdqdt
≡ – greitis. Sausos trinties jėgos priklausomybę, atitinkančią paprasčiausią
Amontovo ir Kulono dėsnį, galima užrašyti keliais būdais:
1 būdas
F F qq
F sign qtr tr tr= = ( ), ,0 0
, (3.31)
čia Ftr ,0 – trinties jėgos reikšmė;
sign q
kai q
kai q
kai q
( ) =>
=
− <
1 0
0 0
1 0
,
,
,
.
2 būdas
F F qtr tr=
, arctan0
2π
πε
, kai ε ≤
14qmax , (3.32)
čia ε – mažas parametras, ε < 0 05, .
Trin
ties j
ėga,
N
3.11 pav. Trinties jėgos funkcijos: ε = 0 (juoda spalva); ε = 0 02, (mėlyna spalva); ε = 0 05, (raudona); ε = 0 2, (žalia spalva);
88
Kelių laisvės laipsnių TP sistemose tiesinio slopinimo jėgos, kaip ir pozicinės jėgos, gali būti pateiktos matricine forma:
F C qpas = −[ ] , (3.33)
čia F qpas , – slopinimo jėgų vektorius ir greičių vektorius; C[ ] – slopinimo matrica,
C
c c cc c c
c c c
n
n
n n nn
[ ] =
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...... ... ... ...
...
. (3.34)
Žadinimo jėgos. Atstatymo ir slopinimo jėgų charakteristikos priklauso tik nuo TP mechaninės sistemos savybių, o pačios jėgos yra vienokios poslinkių ir greičių funkcijos, tuo tarpu žadinimo jėgos yra išreikštinės laiko funkcijos, nepriklausomos nuo sistemos savybių. Kaip žadinimo jėgų pavyzdžius galima nurodyti neatsvertų rotorių išcentrines jėgas (inercinis žadinimas); jėgas, sukuriamas periodiškai kintančio slėgio vidaus degimo variklių cilindruose; periodines elektromagnetines jėgas ir kt.
Žadinimo jėgų kitimų dėsniai gali būti labai įvairūs. Labiausiai paplitę yra tokie:
– Harmoninė jėga;– Periodinė jėga;– Periodiniai mažos trukmės impulsai;– Neperiodinės jėgos;– Atsitiktinės jėgos (procesai).
3.4. Tamprieji elementai, standumo jėgos ir jėgų momentai
TP dinaminį modelį sudaro tamprieji elementai, kurie deformuojasi, ir kadangi jų masė yra gana maža, jų masė prilyginta nuliui (bemasiai elementai). Juos deformuojant atsiranda atstatomosios jėgos ir momentai. Tamprūs elementai stengiasi grąžinti kūną į pradinę padėtį, kurioje tos jėgos ir jėgų momentai jau neveiktų (statinė pusiausvyra). Paprasčiausias tokio elemento pavyzdys yra spyruoklė.
89
Cilindrinę spyruoklę dažniausiai galima aproksimuoti tempiamu (gniuždomu) tampriuoju elementu (3.12 pav.).
3.12 pav. Tamprusis elementas
Atstatomosios jėgos ir atstatomųjų jėgų momentai, kylantys deformuojamuose tampriuosiuose elementuose, vadinami tamprumo jėgomis ir tamprumo jėgų momentais.
Tampriųjų elementų tampriaisiais poslinkiais (tiesiniais ir kampiniais) vadinami tampriųjų elementų deformaciniai poslinkiai, sukeliantys tamprumo jėgas arba momentus.
Tamprumo jėgų ir momentų veikimo kryptys yra priešingos tampriųjų poslinkių kryptims; jėgų ir momentų moduliai (dydžiai) yra tampriųjų elementų poslinkių funkcijos:
F F qt t= ( ) , M M qt t= ( ) ,
čia Ft , Mt – tamprumo jėgos ir tamprumo jėgų momentas; q – tampriojo elemento tiesinis ar kampinis poslinkis.
Priešingo ženklo tamprumo jėgos tamprumo jėgos projekcijos į tampriojo tiesinio poslinkio kryptį priklausomybė nuo to poslinkio vadinama jėgine tamprumo charakteristika. Paprasčiausia yra tiesinė jėginė charakteristika:
F kqt = ; M kt = ϕ ; (3.35)
arba
F k q qt = −( )2 1 ; M kt = −( )ϕ ϕ2 1 . (3.35)
90
Tamprusis elementas, kurio jėginė tamprumo charakteristika tiesinė, vadinamas tiesiniu; visi kiti – netiesiniais.
Koeficientas k vadinamas tempiamo (gniuždomo) arba sukamo elemento standumo koeficientu.
Netiesines jėgines charakteristikas galima linearizuoti tam tikro taško aplinkoje. Tarkime, kad tamprųjį poslinkį q galima išreikšti taip:
q q q= +0 1 , (3.36)
čia q0 – pastovioji poslinkio dedamoji; q1 – kintamoji poslinkio dedamoji, kurios didžiausia reikšmė yra daug kartų mažesnė už pastovųjį dydį q0 , t. y. q q1 0<< . Tada galima teigti, kad nedideli virpesiai vyksta didelių tampriųjų poslinkių q0 aplinkoje. Šiuo atveju netiesinę tolydinę funkciją F qt ( ) galima linearizuoti poslinkio q0 aplinkoje.
Tolydinė funkcija F q F q qt t( ) = +( )0 1 skleidžiama Teiloro eilute apie pastovųjį dydį q0 :
F q q F qdF qdq
qd F qdq
qt tt
q q
t
q q0 1 0 1
2
2 12
0 0
12
+( ) = ( ) + ( )+
( )+
= =
+ +=
d Fdt
qt
q q
3
3 13
0
.... (3.36)
Kadangi q1 yra mažas dydis, tai dydžiai q12 , q1
3 , … yra daug mažesnis už jį ir, apytiksliai interpretuojant funkciją F q F qt t( ) − ( )0 , jų galima nepaisyti. Tada (3.36) lygybėje palikus narį su q1 , gaunama linearizuota poslinkio q0 aplinkoje jėginė tamprumo charakteristika:
F q F qdF qdq
q kqt tt
q q( ) − ( ) ≅ ( )
==
0 1 10
, (3.37)
čia kdF qdqt
q q
=( )
= 0
– standumo koeficientas.
Pavyzdys. Linearizuoti funkciją F q aqt ( ) = 3 taško q0 aplinkoje.
91
Tada kdF qdq
aqt
q q
=( )
== 0
3 02 ;
F q F q F q aqdF qdq
q aq q kqt t tt
q q( ) − ( ) = ( ) − ≅
( )= ( ) =
=0 0
31 0
21 1
0
3 .
3.5. Tampriųjų elementų jungimas
Sudarant TP dinaminius modelius dažnai tenka jungti keletą tampriųjų elementų į vieną ir rasti tokio redukuoto elemento standumo koeficientą.
Lygiagrečiai sujungtus tampriuosius elementus (3.13 pav.), kurių standumo koeficientai k k kn1 2, ,..., , galima pakeisti vienu ekvivalentiniu (redukuotuoju) tampriuoju elementu, kurio standumo koeficientas k.
3.13 pav. Lygiagrečiai sujungtų tampriųjų elementų redukavimas vienu tampriuoju elementu
k k k k k kii
nn= = + + + +
=∑
11 2 3 ... . (3.38)
Tampraus elemento jėginė tamprumo charakteristika (jėga) yra lygi:
F k q q= −( )2 1 . (3.39)
Nuosekliai tarp savęs sujungtų tampriųjų elementų ekvivalentinio (redukuotojo) tampriojo elemento standumo koeficientas k nustatomas (3.14 pav.):
92
3.14 pav. Nuosekliai sujungtų tampriųjų elementų redukavimas vienu tampriuoju elementu
1 1 1 1 1 11 1 2 3k k k k k kii
n
n= = + + + +
=∑ ... (3.40a)
arba
k k k k kk k k k k k k k k
n
n n n=
+ + + −
1 2 3
2 3 1 3 1 2 1
...... ... ... ...
. (3.40b)
Redukuoto tampriojo elemento jėginė tamprumo charakteristika (jėga) yra lygi:
F k q q= −( )2 1 . (3.41)Tampriojo elemento potencinė energija lygi:Π = −( )1
2 2 12k q q . (3.42)
3.6. slopinimo elementai, slopinimo jėgos ir momentai
TP dinaminį modelį sudaro be masės slopinimo elementai, kurie deformuojasi. Juos deformuojant, atsiranda atstatomosios jėgos ir momentai, kurie priklauso nuo deformavimosi greičio. Paprasčiausias tokio elemento pavyzdys yra hidraulinis cilindras ir stūmoklis (3.15 pav.)
3.15 pav. Slopinimo elementas
93
Atstatomosios jėgos ir atstatomųjų jėgų momentai, kylantys slopinimo elementuose, vadinami slopinimo jėgomis ir slopinimo jėgų momentais.
Slopinimo jėgų ir momentų veikimo kryptys yra priešingos greičių kryptims; jėgų modulis (ir momentų dydis) yra slopinimo elementų greičių funkcijos:
F F qs s= ( ) , M M qs s= ( ) ,
čia Fs , Ms – slopinimo jėgos ir slopinim jėgų momentas; q – slopinimo elemento tiesinis ar kampinis greitis.
Priešingo ženklo slopinimo jėgos projekcijos į slopinimo tiesinio greičio kryptį priklausomybė nuo to greičio vadinama jėgine slopini-mo charakteristika. Paprasčiausia yra tiesinė jėginė charakteristika:
F cqs = ; M cs = ϕ ; (3.44a)
arba F c q qs = −( ) 2 1 ; M cs = −( ) ϕ ϕ2 1 . (3.44b)
Slopinimo elementas, kurio jėginė slopinimo charakteristika tiesinė, vadinamas tiesiniu; visi kiti – netiesiniais.
Koeficientas c vadinamas tempiamo (gniuždomo) arba sukamo elemento pasipriešinimo koeficientu.
Netiesines jėgines charakteristikas galima linearizuoti tam tikro taško aplinkoje. Tarkime, kad tamprųjį poslinkį q galima išreikšti taip:
q q q= +0 1 (3.45)
čia q0 – pastovioji greičio dedamoji; q1 – kintamoji greičio dedamoji, kurios didžiausia reikšmė yra daug kartų mažesnė už pastovųjį dydį q0 , t. y. q q1 0<< . Tada galima teigti, kad nedideli virpesiai vyksta
didelių greičių q0 aplinkoje. Šiuo atveju netiesinę tolydinę funkciją F qs ( ) galima linearizuoti poslinkio q0 aplinkoje. Tolydine funkcija F q F q qs s ( ) = +( )0 1 skleidžiama Teiloro eilute apie pastovųjį dydį q0 :
F q q F qdF qdq
qd F qdqs s
s
q q
s
q q
0 1 0 1
2
20
12
+( ) = ( ) + ( )+
( )= = 00
12q +
94
+=
d Fdq
qs
q q
3
33
0
1
(3.46)
Kadangi q1 yra mažas dydis, tai dydžiai q12 , q1
3 , … yra daug mažesnis už jį ir, apytiksliai interpretuojant funkciją F q F qs s ( ) − ( )0 , jų galima nepaisyti. Tada (3.46) lygybėje palikus narį su q1 , gaunama linearizuota poslinkio q0 aplinkoje jėginė tamprumo charakteristika:
F q F qdF qdq
q cqs ss
q q
( ) − ( ) ≅ ( )=
=0 1 1
0
, (3.47)
čia cdF qdqs
q q
=( )
=
0
– pasipriešinimo koeficientas.
Pavyzdys. Linearizuoti funkciją F q aqs ( ) = 3 taško q0 aplinkoje.
Tada cdF qdq
aqs
q q
=( )
==
0
3 02 ;
F q F q F q aqdF qdq
q aq qs s ss
q q
( ) − ( ) = ( ) − ≅( )
= ( )=
0 03
1 02
10
3 == cq1 .
3.7. slopinimo elementų jungimas
Sudarant TP dinaminius modelius dažnai tenka jungti keletą slopinimo elementų į vieną ir rasti tokio redukuoto elemento pasipriešinimo koeficientą.
Tiriamus lygiagrečiai sujungtus slopinimo elementus (3.16 pav.), kurių pasipriešinimo koeficientai c c cn1 2, ,..., , galima pakeisti vienu ekvivalentiniu (redukuotuoju) slopinimo elementu, kurio pasipriešinimo koeficientas c.
95
3.16 pav. Lygiagrečiai sujungtų slopinimo elementų redukavimas vienu slopinimo elementu
c c c c c cii
nn= = + + + +
=∑
11 2 3 ... . (3.48)
Slopinimo elemento jėginė charakteristika (pasipriešinimo jėga) yra lygi:
F c q qs = −( ) 2 1 . (3.49)
Nuosekliai tarp savęs sujungtų slopinimo elementų ekvivalentinio (redukuotojo) slopinimo elemento pasipriešinimo koeficientas c nustatomas (3.17 pav.):
3.17 pav. Nuosekliai sujungtų slopinimo elementų redukavimas vienu slopinimo elementu
1 1 1 1 1 11 1 2 3c c c c c cii
n
n= = + + + +
=∑ ... , (3.50a)
arba
96
c c c c cc c c c c c c c c
n
n n n=
+ + + −
1 2 3
2 3 1 3 1 2 1
...... ... ... ...
. (3.50b)
Redukuoto slopinimo elemento jėginė charakteristika (pasipriešnimo jėga) yra lygi:
F c q qs = −( ) 2 1 . (3.51)
Slopinimo elemento disipatyvinė funkcija lygi:
Φ = −( )12 2 1
2c q q . (3.52)
3.8. kūno judėjimo lygčių užrašymo būdai
3.8.1. d’alambero ir Lagranžo lygtys
Bet kokios materialių taškų sistemos su idealiaisiais ryšiais bendroji suma aktyviųjų ir inercinių jėgų atliekamo darbo bet kuria galima kryptimi ir bet kuriuo laiko momentu lygi nuliui (D’Alambero principas). D’Alambero principo matematinę išraišką, kai materialiųjų taškų skaičius lygus N , galima užrašyti tokiu pavidalu:
F F rak i in iT
ii
N, , + ( ) =
=∑ δ 0
1, (3.53)
čia F Fak i in i, ,, – i-tąjį tašką veikiančios aktyvioji ir inercinė jėgos; δ ri – galimas poslinkių vektorius, t. y. be galo mažų poslinkių vektorius ( δ ri – poslinkių vektoriaus variacija).
Tarkime, kūno koordinačių sistema yra O X Y Z1 1 1 1, , , . Tada bet kokio kūno taško P poslinkių vektoriaus variacija lygi:
δ δ δ ϕ δ δ ϕr r r r ri i i pi i i pi = + × = + × =10 1 1 10 1 1
= − δ δ ϕr ri pi i10 1 1 , (3.54)
čia δ ϕ1i – pasukimo vektoriaus variacija; δ r i10 – kūno koordinačių pradžios (taškas O1 ) poslinkių variacija; r p1 – taško P padėties vektorius.
97
Įstatę (3.54) išraišką į (3.53) lygtį, gausime:
F F r r F Fak i in iT
i pi i ak i in i, , , , + ( ) − ( ) = +δ δ ϕ10 1 1 ( ) −
− + ( ) [ ] ===∑∑
Ti
i
N
i
N
ak i in iT
i i a
r
F F r F
δ
δ ϕ
1011
10 1, , kk i in iT
ii
N
i
N
ak i in iT
F r
M M
, ,
, ,
+ ( ) +
+ + ( )==∑∑ δ
δ ϕ
1011
10ii ∑ ,
,
(3.55)čia M Mak i in i, ,, – aktyviųjų inercinių jėgų pagrindiniai momentai:
M r Fak i pi ak i, , = 1 ;
M r Fin i pi in i, , = 1 . (3.56)
Tarkime, mechanizmas yra sudarytas iš Ng grandžių, ir jo kinematinės poros yra idealios. Tokiu atveju D’Alambero principo matematinę išraišką galima užrašyti šiuo būdu:
F F r M Mak i in iT
ii
N
ak i in ii
N Tg g
, , , , + ( ) + + ( )= =∑ ∑δ δ ϕ10
1 111 0i = .
δ ϕ1 0i = . (3.57)
Tarkime, mechanizmas turi n laisvės laipsnių; apibendrintųjų koor dinačių vektorius yra
q q q qTn = [ ]1 2, ,..., , (3.58)
tada i-tojo kūno koordinačių pradžios poslinkių ir pasukimo kampų variacijos lygios:
δ δrrq
qii
jj
nj10
10
1 =
∂ ∂=
∑ ,
δ ϕϕ
δii
jj
njqq =
∂ ∂=
∑1
. (3.59)
98
Įstatę (3.59) išraiškas į (3.57) ir įvertinę, kad variacijos δq j ≠ 0 , gauname mechanizmo judėjimo lygčių sistemą:
F Frq
M Mak i in iT i
ji
N
ak i in ii
Ng g
, , , , + ( ) ∂ ∂
+ + ( )= =∑ ∑10
1 1
TTi
jq∂ ∂
=
ϕ10 0 ,
j n=1 2, ,..., . (3.60)
Išskyrus iš veikiančių aktyviųjų jėgų apibendrintąsias jėgas Qj , kurių atliekamas darbas galimų poslinkių δq j kryptimi lygus Q qj jδ , D’Alambero ir Lagranžo lygtis bus tokia:
F F r M Mp i in iT
ii
N
p i in ii
N T
ig g
, , , , + ( ) + + ( )= =∑ ∑δ δ ϕ10
1 11 + =
=∑ Q qj jj
nδ
10 ,
(3.61)čia P Mp i p i, ,, – pasipriešinimo jėgų ir momentų pagrindiniai vektoriai.
Įvertinę, kad poslinkių, pasukimo kampų vektorių bei apibendrintųjų koordinačių variacijos nelygios nuliui, gauname:
F Frq
M Mp i in iT i
ji
N
p i in iT ig
, , , , + ( ) ∂ ∂
+ + ( ) ∂ ∂=
∑ 10
1
1ϕqq
Qji
N
jg
+ ==∑
10,
j n=1 2, ,..., . (3.62)
Lygtis (3.62) gali būti taikoma nustatant apibendrintąsias jėgas Qj .Lagranžo antrojo laipsnio lygtis apibendrintai koordinatei qk yra
lygi:
ddt
Eq
Eq q
Eq
Qk k
k k
p
kk
k
∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂
∂=
Φ, (3.63)
čia Ek , Ep – TP kinetinė, potencinė energijos, atitinkamai; – TP di-sipatyvinė funkcija; Qk – apibendrinta jėga, veikianti TP kūną apiben-drintos koordinatės qk kryptimi.
99
3.8.2. niutono ir oilerio lygčių sistema
Nagrinėsime kūno judėjimą bendroje koordinačių sistemo-je OXYZ . Tam tikrame kūno taške įvesime koordinačių sistemą O X Y Z1 1 1 1 , kuri judės kartu su kūnu. Bet kokio kūno taško P poslinkių vektorius OXYZ koordinačių sistemoje lygus:
R R R R A rp p p = + = + [ ] 01 1 01 1 , (3.64)
čia R01 – taško O1 koordinačių vektorius; R p1 – vektorius tarp taškų O1 ir P; r p1 – vektorius tarp taškų O1 ir P O X Y Z1 1 1 1 koordi-načių sistemoje; A[ ] – koordinačių transformacijos matrica (posūkio matrica) tarp OXYZ ir O X Y Z1 1 1 1 koordinačių sistemų.
Vektoriaus Rp variacija yra lygi:
δ δ δ δ δ ϕR R A r R A rp p p = + [ ] = + [ ] [ ] =01 1 01 1 1
= −[ ] δ δ ϕR A r p01 1 1 , (3.65)
arba matricine forma:
δ δϕ
δR E A rR
S xp p = [ ] −[ ]
= [ ] , 1
01
1, (3.66)
čia
S E A r p[ ] = [ ] −[ ]
, 1 ; x
R =
01
1ϕ; (3.67)
ϕ1 – kūno pasukimo apie O X Y Z1 1 1 1 ašis vektorius.
Taško P greičių ir pagreičių vektoriai lygūs:
R R A rp p = + [ ][ ] 01 1 1ω ; (3.68)
R R A r A rp p p = + [ ][ ] + [ ] 01 12
1 1 1ω ω , (3.69)
100
arba sutrumpinta forma:
R E A r
Ra Sp p = [ ] −[ ]
+ = [ ], 1
01
11
ωx a1 1 + , (3.70)
čia
x RT T T1 01 1 =
, ω ; a A r p1 12
1 = [ ][ ] ω ; (3.71)
ω1[ ] – kampinio greičio vektoriaus ω1 antisimetrinė matrica.Pagal D’Alambero principą (3.53),
δ R R F dmpT
mp − ( ) =∫ 0 , (3.72)
čia F – kūną veikianti išorinė jėga, proporcinga kūno masei (tūrinė jėga).
Įstatę (3.66) ir (3.69) išraiškas į (3.72) ir įvertinę, kad variacijų vek-torius nelygus nuliui, t. y. δ x ≠ 0 , gauname:
E A r
A r r rd
p
pT
pT
pm
−[ ]
− [ ] ( )
∫
1
1 1 1
mm x S a dm S F dmm
T
m
T1 1 0 + [ ] − [ ] =∫ ∫
(3.73)
Iš lygčių sistemos (3.73) gauname kūno slenkamojo ir sukamojo judesio judėjimo lygčių sistemas:
M R M F A S11 01 12 1 12
1[ ] − [ ] = + [ ] ω ω ;
M R M I f21 01 22 1 1 1 1[ ] + [ ] = −[ ][ ] − ω ω ω , (3.74)
čia
M E dmm
11[ ] = [ ]∫ ; M A r dmipm
12[ ] = [ ] ∫ ;
M M T21 12[ ] = [ ] ; M r dm Iip22 1[ ] = = [ ]∫ ;
f r A F dmipT T
1 = [ ] ∫ ; S r dmpm
1 1 = ∫ ;
101
I1[ ] – kūno masių inercijos tenzorius kūno taško O1 atžvilgiu:
I
y z x y x z
y x x z y z
z x
p p p p p p
p p p p p p
p p
1
12
12
1 1 1 1
1 1 12
12
1 1
1 1
[ ] =+ − −
− + −
− −− +
=∫
z y x y
dm
p p p pm
1 1 12
12
=
I I I
I I I
I I I
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
. (3.75)
Jeigu kūno koordinačių sistema O X Y Z1 1 1 1 įvesta kūno masių cen-tre, tada (3.74) lygčių sistema supaprastėja:
M R F11 01[ ] = ; (3.76)
M I f22 1 1 1 1 1[ ] = −[ ][ ] − ω ω ω .
Lygčių sistema (3.74) arba (3.76) vadinama Niutono ir Oilerio lyg-čių sistema.
3.8.3. Hamiltono principas
Mechaninės sistemos judėjimo lygtis galima užrašyti taikant Hamiltono principą, kurį patogu naudoti, jeigu žinoma mechaninės sistemos energija (kinetinė ir potencinė) ir nekonservatyviųjų jėgų darbas. Hamiltono principo matematinė išraiška yra:
δ δLdt Adtt
t
t
t+ =∫∫ 0
1
2
1
2
, (3.77)
čia δL – Lagranžo funkcijos variacija:
δ δ δL T= − Π ; (3.78)
δ δT , Π – sistemos kinetinės ir potencinės energijų variacijos; δA – nekonservatyviųjų jėgų darbo variacija:
102
δ δA F qkT= ; (3.79)
Fk – nekonservatyviųjų jėgų vektorius; δ q – apibendrintųjų koordinačių vektorius.
Nekonservatyviosios jėgos – tai jėgos, kurių darbas priklauso ne tik nuo sistemos pradinės ir galutinės būsenos. Prie nekonservatyviųjų jėgų priklauso trinties jėgos ir išorinės jėgos, kurios kinta laike.
Kai kūną veikia klampiosios trinties jėgos, patogu naudotis Relėjaus disipatyvine funkcija:
D q C qT= [ ] 12 , (3.80)
čia C[ ] – slopinimo matrica.
Tada klampiųjų trinties jėgų vektorius lygus:
F Dqc = − ∂
∂ . (3.81)
Tarkime, nagrinėjamos sistemos kinetinė ir potencinė energijos yra lygios:
T q M qT= [ ] 12 , Π = [ ] 1
2q K qT , (3.82)
čia M K[ ] [ ], – sistemos masių ir standumo matricos; q q , – apibendrintųjų koordinačių ir greičių vektoriai.
Lagranžo funkcijos variacija lygi:
δ δ δLdt q Lq
q Lq
T T
t
t+ ∂
∂
+ ∂
∂
1
2
∫∫∫ ∫= ∂∂
+
t
t T
t
tdt q L
qdt
1
2
1
2δ
+ ∂∂
− ∂
∂
∫δ δq L
qq d
dtLq
dtTtt T
t
t
12
1
2, (3.83)
čia
∂∂
=∂∂
−[ ] Lq
Tq
K q ;
ddt
Lq
ddt
M q M q∂∂
= [ ] ( ) = [ ]
.
103
Tarkime, nekonservatyviųjų jėgų darbas yra lygus:
δ δA q F C qT= −[ ] ( ) . (3.84)
Įstatę gautas išraiškas į Hamiltono principo matematinę išraišką (3.77), gauname:
δ q Tq
K q M q F C q dt qT
t
t ∂
∂ −[ ] − [ ] + −[ ]
+ ∫
3
2 TT
t
tTq
∂∂
=
1
2
0 .
(3.85)Įvertinę tai, kad apibendrintųjų poslinkių variacija nelygi nuliui ir
(3.85) lygties konstanta lygi nuliui, gauname judėjimo lygčių sistemą:
M q C q K q F Tq
[ ] + [ ] + [ ] = + ∂∂
. (3.86)
3.8.4. dviejų kūnų sujungimo tampriuoju ir slopinimo elementais, standumo ir slopinimo matricos
Nagrinėsime dviejų kūnų judėjimą bendroje OXYZ koordinačių sistemoje. Pirmojo (i-tojo) kūno masių centro padėtis apibrėžiama vektoriumi Rci , o antrojo (j-ojo) kūno padėtis apibūdinama vekto-riumi Rcj .
Tamprusis elementas prijuntas prie i-tojo ir j-ojo kūnų taškuose Pi ir Pj, atitinkamai. Taško Pi padėtis i-tojo kūno koordinačių sistemoje C X Y Zi i i i apibrėžiama vektoriumi rpi , o taško Pj padėtis j-ojo kūno koordinačių sistemoje C X Y Zj j j j apibrėžiama vektoriumi rpj .
3.18 pav. Dviejų kūnų sujungimas tampriuoju ir slopinimo elementais
104
Pradiniai kūnų pasukimo kampų vektoriai yra: ϕi0 , ϕ j0 , atitinkamai. Priimame, kad kūnų posūkio kampai yra maži, t. y. vektorų ϕi , ϕ j elementai yra maži kampai. Taškų Pi ir Pj koordinačių
vektoriai yra lygūs:
R R A r q A rpi ci i i pi ci i i pi = + ( ) + + ( ) =0 0ϕ ϕ
R q E r R rci ci i pi pi pi i0 0 + + [ ] + [ ]( ) = − = ϕ ϕ
R E rq
R B qpi pici
ipi i i0 0 + [ ] −
= + [ ],
ϕ (3.87)
R A r dV A A r dV A RcT
V
T T T
Vc [ ] [ ] [ ] + [ ] [ ] [ ] ∫ ∫ρ ρ
R q E r R q rcj cj j pj pj cj pj j0 0 + + [ ] + ( ) = + − = ϕ ϕ
R E rq
R B qpj pjcj
jpj j0 0 + [ ] −
= + ,
ϕjj , (3.88)
čia: R R A r rpi ci i i pi pi0 0 0 = + ( ) + ϕ ; (3.89)
R R A r rpj cj j j pj pj0 0 0 = + ( )
+ ϕ ; (3.90)
B E ri pi[ ] = [ ] −
, ; B E rj pj = [ ] −
, ; (3.91)
r
r
r
rpi
xpi
ypi
zpi
=
; r
r r
r r
r rpi
zpi ypi
zpi xpi
ypi xpi
=
−
−
−
0
0
0; (3.92)
r
r
r
rpj
xpj
ypj
zpj
=
; r
r r
r r
r rpj
zpj ypj
zpj xpj
ypj xpj
=
−
−
−
0
0
0. (3.93)
105
ici
i =
ϕ; q
qj
cj
j =
ϕ. (3.94)
Vektorius tarp taškų Pi ir Pj yra lygus:
R R B q R B qpji pj j j pi i i = + − −[ ] =0 0
R B q B qpji j j i i0 + − [ ] , (3.95)
R R Rpji pj pi0 0 0 = − . (3.96)
Atstumo tarp taškų Pi ir Pj pailgėjimas yra lygus:
∆LL
R B R Bq
qijij
pjiT
i pjiT
ji
j= − [ ]
1
00 0,
= D qij ij ,
(3.97)
čia: DL
R B R Bijij
pjiT
i pjiT
j = − [ ]
1
00 0, ; (3.98)
L R Rij pjiT
pji0 0 0= ; qq
qiji
j =
. (3.99)
Tampriojo elemento potencinė energija yra lygi:
E k L q D k D q q Kpij ij ij ijT
ijT
ij ij ij ijT
i= = = 12
12
12
2∆ jj ijq ,
(3.100)čia Kij – tampriojo elemento standumo matrica.
KE
q qD k Dij
pij
ij ijijT
ij ij =∂
∂ ∂ =
2. (3.101)
Atstumo tarp taškų Pi ir Pj pailgėjimo greitis yra lygus:
106
d Ldt
L D qijij ij ij
∆∆= =
. (3.102)
Slopinimo elemento disipatyvinė funkcija yra lygi:
Φ ∆ij ij ij ijT
ijTij ij ij ijc L q D c D q q= = = 1
212
12
2
TTij ijC q ,
(3.103)čia: Cij – slopinimo matrica.
Cq q
D c Dijij
ij ijijTij ij =
∂
∂ ∂ =
2Φ
. (3.104)
Nagrinėjant kūnų judėjimą plokštumoje, matrica Bi[ ] ir vektorius
qi yra lygūs:
Judėjimas plokštumoje XY:
Br
rE ri
ypi
xpipi[ ] =
− −
[ ] −
1 00 1
, , ; qqqi
xci
yci
zi
=
ϕ
. (3.105)
Judėjimas ploštumoje XZ:
Br
rE ri
zpi
xpipi[ ] =
−
−
[ ] −
1 00 1
, , ; qqqi
xci
zci
yi
=
ϕ
. (3.106)
Judėjimas ploštumoje YZ:
Br
rE ri
zpi
ypipi[ ] =
− −
[ ] −
1 00 1
, , ; q
q
qi
yci
zci
xi
=
ϕ
. (3.107)
107
4. sausuMos TransPorTo keLių cHarakTerisTikos. koMforTaBiLuMas
4.1. automobilių kelių nelygumai, jų charakteriskos
Automobilių kelių danga susideda iš kelių asfaltbetonio sluoksnių (viršutinis, apatinis ir pagrindo sluoksniai), pagrindo sluoksnio ir žemės sankasos.
Asfaltbetonis – mišinys, gaminamas iš mineralinių medžiagų ir bitumo. Kiekvienas mišinio komponentas turi skirtingas fizines mechanines savybes, kurios kinta nuo temperatūros, laiko ir slėgio. Eksploatacijos metu kelio danga veikiama transporto priemonių apkrovomo bei klimatinių faktorių.
Pagal šiuos poveikius galima skirti tris dangų defektų bei irimo rūšis:
1) šlities įtempimų atsiradimas veikiant apkrovai;2) tempimo įtempimų atsiradimas esant temperatūrų skirtumams;3) dangos irimas veikiant transporto priemonių apkrovoms kartu
su kintamomis klimatinėmis sąlygomis.Šlities įtempimai atsiranda esant aukštai aplinkos temperatūrai.
Kelio dangos paviršius įšila ir gali atsirasti pavojingi šlities įtempimai, dėl kurių atsiranda šlities deformacijos. Dėl šlities deformacijų dangos paviršiuje gali atsirasti plyšiai ir bangos. Kelio dangoje išilginės ir skersinės bangos atsiranda esant dideliam transporto priemonių judėjimui nedideliais greičiais.
Tempimo įtempimai atsiranda esant žemai aplinkos temperatūrai. Dėl šios priežasties dangoje gali atsirasti mikroplyšių, kurie eksploatacijos metu gali išvirsti į plyšius. Mikroplyšių, esant žemai aplinkos temperatūrai, atsiranda naudojant transporto priemonių ratus su dygliais. Žemoje temperatūroje asfaltbetonio danga daug trapesnė (mažėja bitumo klampis) negu normalioje temperatūroje (20 °C).
Transporto priemonės padangoje esančio dyglio kontaktinis slėgis į dangos paviršių siekia daugiau kaip 30,0 MPa. Tokio didumo normaliniai ir tangentiniai slėgiai į dangos paviršių sudaro galimybių
108
kelio dangoje atsirasti nematomiems mikroplyšiams. Patekus vandeniui į tokius mikroplyšius ir po to jam užšalus, dėl didelio ledo tūrinio plėtimosi koeficiento β≈152,1·106 1/°C vyksta mikroplyšių didėjimo procesas.
Asfaltbetonio dangos irimas pasireiškia tiek jos paviršiuje, tiek jos viduje. Veikiant kintamoms apkrovoms, dangos paviršiuje esančios smulkios dalelės atitrūksta nuo masyvo. Taip laipsniškai mažėja dangos storis. Veikiant drėgmei, šalčiui, kintamoms apkrovoms, dangos viduje vyksta mineralinių medžiagų irimas. Vykstant tokiam procesui dyla ir yra kelio danga.
Pagal kelio dangos liekamąsias deformacijas galima suskirstyti jos defektus:
– šlitis pagal visą dangos storį esant lygiam dangos paviršiui (atsiranda dėl dangos medžiagos nuovargio, keičiasi medžiagos struktūra);
– viršutinio dangos sluoksnio šlitis esant lygiam dangos paviršiui (iš apatinių dangos sluoksnių išspausto bitumo susikaupimas viršutiniame sluoksnyje);
– tam tikro dėsningumo skersinės bangos (bangos ilgis ne didesnis kaip 0,70 m; defektas atsiranda stabdymo ruožuose dėl nepakankamo stiprumo šličiai, didelių tangentinių apkrovų ir paviršiaus įšilimo);
– vienetiniai nelygumai (dėl jų atsiranda paviršiaus bangos);– vėžės paviršiuje (atsiranda veikiant didelėms transporto apkro
voms).Panagrinėsime kelio dangoje bangų ir vėžių susidarymo proce
są. Riedant transporto priemonės (TP) ratui kelio dangos paviršiumi, rato padangos kontakto su paviršiumi vietoje atsiranda normalinis pn ir tangentinis pt slėgiai (4.1 pav.). Šių slėgių pasiskirstymas kontakto plote priklauso nuo oro slėgio padangoje, nuo rato funkcijos (varantysis ar varomasis ratas), ar ratas stabdomas.
109
a) b)
c) d)
e) f)4.1 pav. Transporto priemonės rato padangos deformacijos schemos
ir slėgiai, veikiantys kontakto metu:a – normalinis slėgis, kai padangoje mažas slėgis; b – normalinis slėgis
į kelio dangą, kai padangoje nominalus slėgis; c – varančiojo rato padangos normalinis slėgis; d – varančiojo rato tangentinis slėgis; e – varomojo rato
kontakto plotas; f – varančiojo rato kontakto plotas.
Veikiant normaliniam ir tangentiniam slėgiui, kelio danga deformuojasi. Periodiškai apkraunant kelio dangą tokiais slėgiais, joje atsiranda liekamieji tangentiniai ir normaliniai įtempimai. Dėl šių įtempimų kelio dangoje atsiranda liekamosios tangentinės ir normalinės deformacijos. Veikiant tangentiniams įtempimams kelio dangos medžiaga pasislenka transporto priemonės judėjimo kryptimi ir susidaro skersinės bangos (4.2 a pav.).
Rato su kelio danga kontakto plote veikia normalinis slėgis, dėl kurio dangoje susidaro tangentiniai įtempimai, kurie išstumia kelio dangos medžiagą statmena judėjimo kryptimi (4.2 b pav.).
110
Ratas užvažiuoja ant susidariusios kelio dangos paviršiuje bangos, ją deformuoja ir ji išnyksta. Kiekvienai TP pravažiavus kelio dangos paviršiuje, statmenai judėjimo kryptimi, atsiranda liekamosios deformacijos. TP pravažiuojant tuo pačiu kelio dangos paviršiumi, mažėja dangos sluoksnis ir susidaro liekamosios deformacijos vėžių pavidalu (4.2 b pav.). Vadinasi, nuo TP rato normalinio slėgio į kelio dangos paviršių gali susidaryti vėžės.
Veikiant dideliam normaliniam slėgiui ir stabdant ratą, rato ir kelio dangos paviršiaus kontakto plote atsiranda dideli tangentiniai slėgiai. Dėl jų veikimo gali atsirasti šlitis tarp dangos sluoksnių (4.2 c pav.).
a) b) c)4.2 pav. Kelio dangos šlitis veikiant TP rato normaliniams pn
ir tangentiniams pτ slėgiams: a – rato stabdymas; b – provėžų susidarymas; c – dangos sluoksnių šlitis
Vasaros laikotarpio maksimalios ir minimalios kelio dangos temperatūros parodytos 4.3 pav.
4.3 pav. Minimalios ir maksimalios asfaltbetonio dangos temperatūros
111
Automobilių kelio paviršius, kad ir labai gero kelio, nėra idealiai lygus. Laikui bėgant kelias dėvisi, kelio nelygumai didėja. Kelio paviršiaus nusidėvėjimas ir irimas priklauso nuo kelio paviršiaus būklės ir kokybės, temperatūros pokyčių, kelio sankasos kokybės ir transporto srautų poveikio kelio paviršiui. Visi šie faktoriai veikia nevienodai, skirtingais laiko momentais, todėl automobilių kelių paviršiaus nelygumai turi stochastinį (atsitiktinį) pobūdį. Kelio paviršiaus nelygumus, stochastinius dydžius galima aprašyti tokiais parametrais: vidutiniu kvadratiniu dydžiu; tikimybės tankio funkcija; autokoreliacine funkcija; spektriniu tankiu.
Automobilių kelių klasifikacija pagal kategorijas ir reikšmes pateikta 4.1 lentelėje.
4.1 lentelė. Automobilių kelių klasifikacija pagal kategorijas ir reikšmes (http://e-stud.vgtu.lt/files/dest/2642/skersiniai%20profiliai.pdf)
Kelio paviršiaus nelygumus galima aprašyti funkcija (4.4 pav.):
z z x y= ( ), ,
112
t. y. funkcija dviejų nepriklausomų kintamųjų: x – ilgis, y – plotis. Bendruoju atveju funkcija z(x,y) – nestacionari, t. y. kelio nelygumai keičiasi kelio eksploatacijos metu. Nagrinėjant kelio paviršių pagal kelio tipą (asfaltuotas kelias, betoninis kelias, grindinys, žvirkelis ir kt.), galima neįvertinti kelio nelygumų kitimo laike (kelio nelygumai kinta lėtai). Tuomet kelio nelygumų funkciją z(x,y) galima apytiksliai nagrinėti kaip stacionarią, stochastinę, pagal normalinį skirstinį pasiskirčiusią, ergodinę su nuline vidutine reikšme funkciją. Tokią funkciją visiškai apibrėžia dvimatė koreliacinė funkcija:
Rxy
z x y z x y dxdyxy
y
y
x
xξ η ξ η, lim , ( , )( ) = ( ) + +
→∞→∞
−−∫∫
14
.
4.4 pav. Automobilių kelio nelygumų funkcija z(x, y)
Išmatuoti kelio nelygumus dviejų koordinačių (x, y) kryptimis yra sunku ir paskaičiuoti dviejų kintamųjų koreliacinę funkciją yra imlus procesas. Todėl šią problemą galima suspaprastinti. Kadangi mus domina kelio charakteristikos išilgine ir skersine kryptimis, kurios sukelia TP ratų, kėbulo ir keleivių svyravimus, todėl galima nustatyti tik tas kelio stochastines charakteristikas, kurios sukelia TP virpesius. Darant tokias prielaidas, kelio nelygumus galima nagrinėti
113
dviem stochastinėmis funkcijomis: z(x) – nelygumų aukštis kelio išilgine kryptimi ir kelio skerspjūvio pasvirimo kampas ψ x( ) . TP judėjimas keliu bus charakterizuojamas tokiais dydžiais:
z(x) 12
= ( ) + ( )( )z x z xk d ; ψ(x) 1b
= ( ) + ( )( )z x z xk d , (4.1)
čia z x z xk d( ) ( ), – kelio profilis po kairiuoju ir dešiniuoju TP ratais, atitinkamai; b – atstumas tarp TP ratų.
Statistiškai aprašyti kelio nelygumus reikia žinoti dvi koreliacines funkcijas:
R lLz x z x l dlz
L
L( ) = ( ) +( )
→∞∫lim
1
0;
R lL
x x l dlL
L
ψ ψ ψ( ) = ( ) +( )→∞
∫lim
1
0 (4.2)
arba du spektrinius tankius:
S R x x dxz zΩ Ω( ) = ( )∞
∫2
0πcos( ) ;
S R x x dxψ ψπΩ Ω( ) = ( )
∞
∫2
0cos( ) , (4.3)
Ω =2πLh
– kelio nelygumų dažnis (ciklas / m), Ω =2πLh
, Lh – kelio bangos harmoninė dedamoji, L – kelio ilgis.
Šios charakteristikos ( Rz τ( ) , Rψ τ( ) arba Sz Ω( ) , Sψ Ω( ) ) visiškai apibrėžia kelio statistines charakteristikas.
Dažnai naudojama normuota ir tarpusavio normuota koreliacinės funkcijos:
rRR
RDz
z
z
z
zτ
τ τ( ) = ( )( )
=( )
0; r
RR
RDψ
ψ
ψ
ψ
ψτ
τ τ( ) = ( )
( )=
( )0
, (4.4)
rR
R R
RD Dz
z
z
z
zψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ττ τ
( ) = ( )( ) ( )
=( )
0 0.
Koreliacinės funkcijos (4.2) ir spektriniai tankiai (4.3) yra kelio profilio charakteristikos, kurios sukelia TP virpesius. Aprašant kelio
114
nelygumų poveikį TP judėjimui įvairiu greičiu, būtina kelio profilio stochastines charakteristikas, kurios priklauso nuo išilginės koordinatės, pereiti prie laiko funkcijų. Koreliacinei funkcijai x ir l pakeičiami tokiais dydžiais:
x vt= , l v= τ , (4.5)
čia v – TP judėjimo greitis; t – laikas; τ – laiko argumentas.Tada korelicinės funkcijos (4.2) bus lygios:
RLz vt z vt dz
L
Lτ τ τ( ) = ( ) +( )
→∞∫lim
1
0;
RL
vt vt dL
L
ψ τ ψ ψ τ τ( ) = ( ) +( )→∞
∫lim
1
0. (4.6)
Ryšis erdvinių koordinačių ir laiko yra:
f vl
v= = λ ; ω π π= = =2 2vl
f vΩ ,
čiaλ =1l
– kelio nelygumų dažnis, 1/m.
Tegu duota kelio profilio spektrinis tankis:
S AzNλ λ( ) = − ,
tada šį spektrinį tankį užrašysime kaip laiko funkciją:
S f cfzN( ) = −1 ; S Dz
Nω ω( ) = − ,
čia C AvN= −1 ; D AvN N= ( )− −1 12π .
Automobilių kelių nelygumus (kelio paviršiaus kokybę) galima įvertinti pagal nelygumų spektrinį tankį:
SL
z x e dxzx
L i xΩ
Ω( ) = ( )
→∞
−∫lim
2 2
0
2π
, (4.7)
115
čia Sz Ω( ) – kelio profilio spektrinis tankis, (m ciklas3 / ) ; Ω =2πLh
– kelio nelygumų dažnis, ( ciklas m/ ); L – kelio ilgis, m; z x( ) – kelio nelygumų aukštis, m.
Automobilių kelių nelygumus galima įvertinti pagal kelio profilio spektrinį tankį Sz Ω( ) (ISO standartas1982). 4.2 lentelėje pateikta automobilių kelių kokybė įvertinant nelygumų spektrinį tankį.
4.2 lentelė. Automobilių kelių nelygumų spektrinis tankis pagal ISO
Automobilių kelių nelygumų spektrinis tankis Sz Ω( )× −10 6
Kelio būklė Intervalas Geometrinis vidurkisA (labai geras) <8 4
B (geras) 8–32 16C (vidutinis) 32–128 64D (prastas) 128–512 256
E (labai prastas) 512–2048 1024F 2048–8192 4096G 8192–32 768 16 384H 32 768<
Kai kurių automobilių kelių statistinės charakteristikos pateiktos 4.3 lentelėje.
4.3 lentelė. Automobilių kelių statistinės charakteristikos
Keliai
Tirto kelio ruožo ilgis,
m
Vidutinis nelygu
mų aukštis, cm
Normuota koreliacinė funkcija
Geros kokybės as
faltbetonio danga
10 000 0,8–1,26 r l e e ll l1
0 2 0 150 85 0 15 0 6( ) , , cos( , ), ,= +− −
Cementbe-tonis 900 0,5–1,24 r l e l
20 15( ) ,= −
116
Grindinys9003200
2,5–3,281,35–2,29
r l e l3
0 45( ) ,= −
Gruntinis kelias 500 6,34 r l e e ll l
40 08 0 150 6 0 4 0 125( ) , , cos( , ), ,= +− −
Periodiškai greiderio lyginamas
kelias
350200
5,67,4
r l e l5
0 16( ) ,= −
r l e e ll l6
0 12 0 020 65 0 35 0 18( ) , , cos( , ), ,= +− −
Skreperio lygintas kelias
350200
4,155,2 r l e l
70 11( ) ,= −
Blogos kokybės gruntinis
kelias
200 8,7 r l e e ll l8
0 17 0 050 65 0 35 0 15( ) , , cos( , ), ,= +− −
Nepage-rintas kaimo kelias
80–120 15–25 r l e ll
9 ( ) cos( )= −α βα = ÷0 014 0 11, , ; β = ÷0 025 0 14, ,
Kitas parametras, kuris įvertina kelio nekygumus, yra IRI indeksas (International Roughness Index) (ASTM). IRI indeksas matuojamas ilgio vienetais: mm/m, m/km. Jis gerai koreliuoja su TP keleivių pagreičiais (komforto kriterijus) ir rato padangos apkrovimu (TP valdymas). Įvairių šalių automobilių keliai turi skirtingus paramaterus, tačiau, panaudojant IRI indeksus, įvairių šalių tyrėjai gali tarpusavyje lyginti automobilių kelių kokybę. IRI – universalus, labai paplitęs parametras, charakterizuojantis kelio būklę ir TP judėjimo charakteristikas.
Norint išmatuoti IRI indeksą, nagrinėjamas ketvirtis TP dinaminis modelis (dar vadinamas „auksiniu automobiliu“ „golden car“ (4.5 pav.), kurio parametrai parodyti 4.3 lentelėje. „Auksinio automobilio“ dinaminį modelį sudaro: m1 – automobilio rato ir ašies masė, kg; m2 – ketvirčio automobilio kėbulo masė, kg; k1– padangos standumo koeficientas, N/m; k2 – pakabos standumo koeficientas, N/m; – pakabos slopinimo koeficientas. Matuojamu keliu TP važiuoja 80 km/val. greičiu ir matuojami masės m1 ir masės m2 pagreičiai, kelio paviršiaus
4.3 lentelės pabaiga
117
išilginė koordinatė, važiavimo greitis. Skaičiuojant IRI indeksą padangos ir kelio kontakto ilgis yra lygus Lk=0,250 m .
Matematiškai IRI indeksas skaičiuojamas taip:
IRIL
q q dtL v
= −∫1
2 10
/, (4.8)
čia IRI indeksas, matuojams m/km; q q1 2, – pirmos ir antros masės greičiai; v – judėjimo greitis, v=80 km/val.; L – matuojamo kelio ilgis, km.
4.5 pav. Ketvirčio automobilio („auksinio automobilio“) dinaminis modelis
4.4 lentelė. Ketvirčio automobilio („auksinio automobilio“) parametrai
Parametrai Reikšmė Vienetas
k m b2 2 2/ = 63,3 1 2/ s
k m b1 2 1/ = 653,0 1 2/ s
c m b2 2 3/ = 6,0 1/ s
m m1 2/ = µ 0,15 –
c1 0 kg s/
„Auksinio automobilio“ judėjimo lygčių sistema yra:
118
mm
c c cc c
1
2
1
2
1 2 2
2 2
1
2
00
+
+ −−
++
k k kk k
k z1 2 2
2 2
1
2
1
0+ −−
=
(4.9a)
arba
qq b b
b b b
b b
1
2 3 3
1
2
1 2 2
2 2
0 0
+−
+
+−
−
µ µ
=
b z1
2
1
0µ . (4.9b)
Matuojamas kelio nelygumų aukštis z x( ) yra filtruojamas. Kai išmatuotas kelio nelygumų aukštis yra diskretinis, t. y. aukštis z xi i( )matuotas tam tikruose kelio taškuose xi , tai sulygintas kelio profilio aukštis yra lygus:
z xNK
z xi jj i
i NK( ) ( )=
=
+ −∑
1 1, (4.10)
čia NK – taškų skaičius, kuriuose skaičiuojama nelygumų aukščio vidutinė reikšmė.
Apytikslės IRI indekso reikšmės priklausomai nuo kelio tipo pateiktos 4.5 lentelėje.
4.5 lentelė. IRI indekso reikšmė
Kelio tipasIRI indekso ribos,
mm/mVažiavimo greičio ribos,
km/valOro uosto kelio danga 0–2 >100Nauja kelio danga 1–3 90–110Sena kelio danga 2–6 80–100Neasfaltuotas kelias 3–10 60–90Prastos kokybė asfaltuotas kelias 4–11 55–90
Nelygus neasfaltuotas kelias 8–20 30–70
119
4.2. automobilio kelių nelygumų generavimo būdai
Nagrinėjant stochastines dinamines sistemas, kurios bendru atveju yra netiesinės, veikiant stochastiniams sužadinimams reikia mokėti generuoti stochastinius signalus (poveikius į dinaminę sistemą), kai yra žinomos statistinės charakteristikos. Tam tikslui galima panaudoti algoritmus, kurie remiasi nepriklausomų skaičių sekos ξ n[ ] tiesine transformacija, kai sekos skaičiai dažniausiai pasiskirsto pagal normalinį arba tolydinį skirstinį (diskretinis baltas triukšmas), į seką f n[ ] koreliuojantį pagal dėsnį:
R n M f k f k n R nhff ff[ ] = [ ] =[ ] = ( ) , n = 0 1 2, , ,..., (4.11)
čia h – nepriklausomo kintamojo t diskretizacijos žingsnis. Toliau norint gauti reikiamą f n[ ] dėsnį naudojama neinercinė
netiesinė transformacija. Labiausiai paplitusioms koreliacinėms funkcijoms sudaryti efektyvūs diskretinio modeliavimo algoritmai, kurie turi tokį pavidalą:
f n a n a n a n ll[ ] = [ ] + −[ ] + + −[ ] −0 1 1ξ ξ ξ...
b f n b f n b f n mm1 21 2−[ ] − −[ ] − − −[ ] =... (4.12)
a n k b f n kkk
lk
k
mξ −[ ] − −[ ]
= =∑ ∑
0 1
.
Nagrinėjant transporto priemonių (TP) dinamiką reikia vertinti sudėtingą rato ir paviršiaus sąveiką (4.6 pav.): padanga arba vikšrinė važiuoklė sulygina pradinį stochastinį kelio paviršių, kuris, veikiamas jėgų, veikiančių kontakte, deformuojasi. Mažai deformuojantiems gruntams galima vertinti tik padangos ar vikšrinės važiuoklės lyginamąsias savybes.
Padangos lyginamųjų savybių efektas pasireiškia tuo, kad aukšto dažnio paviršiaus dedamosios (harmonikos) nevertinamos.
Kelio paviršiaus mikroprofilio aukštis po padanga lygus:
z xL
z dk x
x( ) = ( )∫
1ξ ξ
min
max, (4.13)
120
čia Lk – kontakto ilgis; x x Lkmin = −
2; x x Lk
max = +2
.
L
4.6 pav. Padangos sąveika su kelio paviršiumi
Kai TP juda v greičiu, įvertinę, kad txv
= , išraišką (11) galime užrašyti:
z tL
z t dtk t
t( ) = ( )∫
1
min
max, (4.14)
čia t t Lvk
min = −2
; t t Lvk
max = +2
.
Padangos lyginamosios savybės gali nuslopinti aukšto dažnio kelio profilio virpesius iki tam tikro ribinio dažnio:
ωπ π π
ribk kT L v
vL
= = =2 2 2
. (4.15)
Iš (4.15) išraiškos matome, kad ribinis dažnis tiesiog proporcingas judėjimo greičiui ir atvirkščiai proporcingas kontakto ilgiui. Kai Lk → 0 (kontaktas – taškas), ribinis dažnis ω→∞ , t. y. padanga praleidžia visus stochastinio proceso q t( ) dažnius. Didėjant kontakto ilgiui Lk , ribinis dažnis mažėja, t. y. stochastinio proceso Sq ω( ) vis didesnė aukšto dažnio dalis yra slopinama.
121
Kelio paviršiaus mikroprofilio aukštis po padanga diskretiniu atveju yra lygus:
z nnl
z ll n k
n k( ) = ( )
= −
+∑
1 , n k k N k= + + −1 2, ,..., , (4.16)
čia k nl=12
; nl – taškų skaičius kontakte ( L nl hk = * , h – diskretizacijos žingsnis).
Padanaga nėra tokia elastinga, kad užpildytų kiekvieną kelio profilio įdubimą. Todel kelio nelygumų aukštis apskaičiuotas pagal (4.1.12) formulę yra apytikslis. Žinodami kelio nelygumų statistines charakteristikas (autokoreliacinė funkcija, spektrinis tankis) galime sužinoti, kaip šios charakteristikos pasikeis įvertinus padangos savybę lyginti kelio nelygumus.
Išdiferncijuosime (4.1.12) išraišką pagal išilginę koordinatę:
ddlz l z l
Lz l L z l L
p pk
k k( ) = ′ ( ) = +
− −
12 2
.
(4.17)
Autokoreliacinė funkcija šios verikalių nelygumų išvestinės yra lygi:
R lLL
z l L z l L z l Lz p L k
k k k′
→∞( ) = +
− −
+ +∆ lim 1
2 2 22 ∆∆ ∆l z l L dlkL
− − +
∫ 20
,
(4.18)
čia L – kelio ilgis.
Suintegravę kiekvieną narį atskirai, gauname:
R lLL
z l L z l L l dl
z l
z p L k
k
a
Lk
′→∞
( ) = +
+ +
−∫∆ ∆lim 1
2 22
−−
+ +
− +
− +
∫ ∫L z l L l dl z l L z l L lk
Lk k
Lk
2 2 2 20 0∆ ∆
+
+ −
− +
∫
dl
z l L z l L l dlkL
k2 20
∆ . (4.19)
122
Nagrinėjant stacionarę stochastinę funkciją, perkeliant koordinačių pradžią, pati autokoreliacinė funkcija nesikeičia. Todėl išraiškos (4.19) pirmas ir ketvirtas integralai yra kelio profilio autokoreliacinės funkcijos:
lim limL
kL
kL
kLz l L z l L l dl
Lz l L
→∞ →∞+
+ +
+ −
∫
12 2
120
∆ − +
=
( ) +( ) = ( )
∫
∫→∞
0
0
2
2 1 2
Lk
L
L
z
z l L l dl
Lz l z l l dl R
∆
∆ ∆lim .
(4.20)
Išraiškoje (4.19) antrą ir trečią narius galima supaprastinti:
lim
lim
Lk
Lk
Lk
Lz l L z l L l dl
Lz l L
→∞
→∞
−
+ +
=
= −
∫1
2 2
12
0∆
−
+ +( )
= +( )∫0 2
Lk
k q kz l L L l dl R l L∆ ∆
(4.21)
limL
Lk k
z kLz l L z l L l dl R l L
→∞∫ +
− +
= −( )1
2 20∆ ∆ . (4.22)
Įstatę visus rezultatus (4.20), (4.21), (4.22) į (4.19), gausime padangos sulygintų kelio vertikalių nelygumų išvestinės autokoreliacinę funkciją:
R lR l R l L R l L
Lzz z k z k
kp′ ( ) = ( ) − +( ) − −( )∆
∆ ∆ ∆22
. (4.23)
Norėdami nustatyti padangos sulygintų kelio vertikalių nelygumų išvestinės spektrinį tankį, pasinaudosime pagrindine priklausomybe tarp spektrinio tankio ir autokoreliacinės funkcijos:
S L R l l d lz k zp p′ ′
∞( ) = ( ) ( ) ( )∫λ λ, cos2
0∆ ∆ ∆ , (4.24)
čia λ – bangos dažnis.Kai kelio profilio nelygumai registruojami kaip laiko funkcija
z t( ) , spektrinis tankis priklauso nuo bangos kampinių dažnių ω .
123
Ryšis tarp bagos dažnio ir dažnio f, yra f va= λ , va – TP judėjimo greitis.
Įstatę (4.24) išraišką į (4.19), gauname:
S LL
R l l d l R l L l dzp kk
z z k' , cos cosλ λ λ( ) = ( ) ( ) − +( ) ( )
∞ ∞
∫ ∫2 22
0 0∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆
∆ ∆ ∆
l
R l L ld lz k
−
−( ) ( ) ∞
∫0
cos .λ (4.25)
Paskutinis narys (4.25) išraiškoje yra nesulyginto kelio nelygumų spektrinis tankis, t. y.
20R l l d l Sz z
∞
∫ ( ) ( ) ( ) = ( )∆ ∆ ∆cos λ λ . (4.26)
Įvedus pagalbinį pakeitimą
∆ ∆l l Lk1 = +
antras narys (4.26) išraiškoje yra lygus:
J R l L l d l R l l L d lz k z k20 0
1 1 1= +( ) ( ) = ( ) −( ) =∞ ∞
∫ ∫∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆cos cos (λ λ
R l l L L d lz k k0
1 1 1
∞
∫ ( ) −( ) ( ) +∆ ∆ ∆cos ( cosλ λ
R l l L d lz k0
1 1 1
∞
∫ ( ) ( ) +∆ ∆ ∆cos )cos(λ λ
R l l L d lz k0
1 1 1
∞
∫ ( ) ( ) ( )∆ ∆ ∆sin sinλ λ . (4.27)
Įvertinus (4.24) išraišką, galutinė (4.27) išraiškos forma:
J S L R l l l d lz k z
Lk2
01 1 1 1
12
= ( ) − ( ) ( ) −∫λ λ λ λcos( ) cos cos( )∆ ∆ ∆ ∆
R l l L d l R l l Lz k z k0
1 1 10
1 1
∞ ∞
∫ ∫( ) ( ) + ( ) ( ) (∆ ∆ ∆ ∆ ∆sin )sin( sin sinλ λ λ λ ))d l∆ 1 .
124
Išraiškoje (4.26) trečiasis narys, pakeitus Lk a į −Lk , yra lygus:
J S L R l l L d lz k z
L
kk
30
12
= ( ) − ( ) ( ) +−
∫λ λ λ λcos( ) cos cos( )∆ ∆ ∆
R l l L d l R l l L dz
L
k z kk
0 0
− ∞
∫ ∫( ) ( ) − ( ) ( ) ( )∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆sin )sin( sin sinλ λ λ λ ll .
Sudėję J2 ir J3 integralus, gausime:
J J S Lz k2 3+ = ( )λ λcos( ) . (4.28)
Įstatę (4.27) ir (4.28) išraiškas į (4.26), gausime:
S LLS Lzp k
kz k
' , cos( )λ λ λ( ) = ( ) −( )2 12 . (4.29)
Žinoma, kad stacionarinė stochastinė funkcija su normaliniu skirstiniu, o tokia funkcija yra kelio mikroprofilio nelygumai, funkcijos ir jos išvestinės spektriniai tankia skiriasi tik daugikliu, kuris lygus dažnio kvadratui λ2 , t. y.
, (4.30)
S LL
S Lz p kk
z kλλ
λ λ, cos( )( ) = ( ) −( )2 12 2 .
Kai Lk → 0 , tada
lim ,L z k zS L S
p→∞( ) = ( )λ λ .
Iš (4.30) išraiškos plaukia, kad padangos sulyginto kelio profilio nelygumų spektrinis tankis nepriklauso nuo TP važiavimo greičio.
Spektrinį tankį galima išreikšti per apskritiminį dažnį f, ( / )1 s arba kampinį dažnį ω ,
f va= λ ir ω πλ= 2 va , (4.31)
tada
125
S f L vL f
S f fvLz k
a
kz
ak, cos( )( ) = ( ) −
2 12
2 2 ; (4.32)
S L vL
SvLz k
a
kz
akω
π
ωω
ωπ
, cos( )( ) = ( ) −
8 12
2 2
2 2. (4.33)
Padangos ir kelio kontakto ploto ilgį Lk apytiksliai galima nustatyti:
L aH D aHk = −( )2 , (4.34)
čia a – parametras, kinta intervale, a = 0 1 0 11, ... , ; D – padangos išorinis skersmuo; H – padangos profilio aukštis.
Diskretinio modeliavimo algoritmai naudojant skirtingas autokoreliacines funkcijas parodyti 4.6 lentelėje.
4.6 lentelė. Autokoreliacinės funkcijos R S e dff ffiτ
πω ωωτ( ) = ( )
−∞
∞
∫1
2
Eilės Nr.
Autokoreliacinė funkcija R τ( ) Modeliavimo algoritmas
1 De−α τ
Rekurentinė išraiška:
f n a n b f n[ ] = [ ] + −[ ]0 1 1ξ
čia a021= −σ ρ ; b1 = ρ ; ρ γ= −e ;
γ α= h ; σ = D .h – diskretizacijos žingsnis nepriklausomo
kintamojo t
126
2De− ( )α τ βτcos
Rekurentinė išraiška:
f n a n b f n[ ] = [ ] + −[ ]0 1 1ξ
čia a c c c c0 1 1 024 2= = ± −( )σ σ / ;
a c c1 0= σ / ; b1 02= ( )ρ γcos ;
b22= −ρ ; c0
201= −( ) ( )ρ ρ γcos ;
ρ γ= −e ; c141= −ρ ; γ α= h ;
λ β0 = h ; σ = D .
h – diskretizacijos žingsnis nepriklausomo
kintamojo t
3
De− ( ) +(α τ βτcos
αβ
β τsin ( )
Rekurentinė išraiška:
f n a n b f n[ ] = [ ] + −[ ]0 1 1ξ
čia a c c c c0 1 1 024 2= = ± −( )σ σ / ;
a c c1 0= σ / ; b1 02= ( )ρ γcos ;
b22= −ρ ;
c02
01= −( ) ( ) +ρ ρ γcosαβ
ρ ρ γ1 20+( ) [ ]sin ;
c141= − +ρ 4 2
0 0ραβ
γ γsin cos( ) ( ) ;
ρ γ= −e ; γ α= h ; λ β0 = h ;
σ = D .
h – diskretizacijos žingsnis nepriklausomo
kintamojo t
4.6 lentelės tęsinys
127
4
De− ( ) −(α τ βτcos
αβ
β τsin ( )
Rekurentinė išraiška:
f n a n a n
b f n b f n[ ] = [ ] + −[ ] +
−[ ] + −[ ]0 1
1 2
1
1 2
ξ ξ
čia a c c c c0 1 1 024 2= = ± −( )σ σ / ;
a c c1 0= σ / ; b1 02= ( )ρ γcos ;
b22= −ρ ;
c02
01= −( ) ( ) −ρ ρ γcos
αβ
ρ ρ γ1 20+( ) ( )sin ;
c141= − +ρ 4 2
0 0ραβ
γ γsin cos( ) ( ) ;
ρ γ= −e ; γ α= h ; λ β0 = h ;
σ = D .
h – diskretizacijos žingsnis nepriklausomo
kintamojo t
5 Dsin ατατ( )
Rekurentinė išraiška:
f n c n kkk
p[ ] = −[ ]
=∑ ξ
0,
čia c ekk= ≤−σ γ
πγγ2 1
242 2 2
, ;
γ α= h ; σ = D .
h – diskretizacijos žingsnis nepriklausomo
kintamojo t
4.6 lentelės tęsinys
128
6D kai
kai
1 1
0 1
−( ) ≤
>
α τ τα
τα
,
Rekurentinė išraiška:
f n c n kk
p[ ] = −[ ]
=∑0
0ξ ,
čia cNe k
02 2 2
= −σ γ ;
N =
+
1 1γ
; γ α= h ; σ = D .
h – diskretizacijos žingsnis nepriklausomo kintamojo
1 pavyzdys. Nagrinėjamas betonis kelias, kurio nelygumų aukštis aprašomas autokoreliacine finkcija:
R e ez τ σ σ βτα τ α τ( ) = + ( )− −12
221 2 cos ,
kai: σ1310 10= ⋅ − m ; σ2
33 87 10= ⋅ −. m ; α1 20= ; α2 15= ; β = 60 .
Rato padangos kontakto ilgis Lk=0,25 m.Panaudojant duotą betoninio kelio autokoreliacinę funkcuiją,
sugeneruoto pradinio kelio profilio aukštis z(x) ir sulyginto profilio aukštis, priklausomai nuo važiavimo greičio, parodyti 4.7 pav., o aukščio kitimo greitis:
dzdt
dzdxdxdt
dzdxv= = ,
parodytas 4.8 pav.
4.6 lentelės pabaiga
129
a)
b)
c)
4.7 pav. Betoninio kelio ir sulyginto kelio nelygumų aukštis: a – v=60 km/val.; b – 90 km/val.; c – 200 km/val.
130
a)
b)
c)4.8 pav. Betoninio kelio ir sulyginto kelio nelygumų aukščio kitimo greitis:
a – v=60 km/val.; b – 90 km/val.; c – 200 km/val.
131
Vienas iš galimų kelio nelygumų spektrinis tankis (kelias yra grindinys) gali būti ( 4.9 pav.):
S v v vv vqi =− +
+ − +
183 21 545 2 413 29 004 38 15 27 1
4 2 3 5
6 4 2 2 3, , ,, , ,
ω ω
ω ω ω 77 6v,
(4.35)
čia v – judėjimo greitis, m/s; ω− kaminis dažnis, rad/s.
4.9 pav. Spektrinis tankis: kelias – grindinys
Kitas kelio paviršiaus nelygumų aukščio generavimo būdas gali būti:
z t dfvkdf
A kdftk
Nzs( ) =
( )
+=∑ 2 2
1
1 5
2 5π
π,
, ( sin ψψ π ψsk zc ckB kdft( ) + +( )cos 2
(4.36a)
arba
z x dfvkdf
A kdf xvk
Nzs( ) =
( )
=
∑ 2 21
1 5
2 5π
π,
, ( sin
+
+
+
ψ π ψsk zc ckB kd x
vcos 2 ,
(4.36b)
čia Azs , Bzs – amplitudės, m; df – dažnio žingsnis, Hz; ψsk , ψck – pradinės fazės, N – bendras narių skaičius.
Pradinė fazė – tai atsitiktinis dydis, kuris tolygiai pasiskirstęs intervale ψ π π∈ −[ ].. .
132
Pats paprasčiausias būdas sugeneruoti kelio paviršiaus profilį gali būti:
z x ALkx A
Lkxzsk
k
NHzck( ) = +
=∑ sin( ) cos( )2 2
1
π π (4.37a)
arba
z t ALkvt A
Lkvtzsk
k
NHzck( ) = +
=∑ sin( ) cos( )2 2
0
π π , (4.38b)
čia Azsk , Bzsk – koeficientai prie sinuso ir kosinuso, atitinkamai, m; v – judėjimo greitis, m/s; L – kelio makroprofilio periodas; – harmonikų skaičius.
Turėdami kelio profilio funkciją z x( ) , sulygintą kelio profilio aukštį su koordinate xi galime apskaičiuoti:
z xL
z x dxik xi L
xi L
k
k( ) = ( )
−
+
∫1
2
2
/
/. (4.39)
4.3. geležinkelio nelygumai, jų charakteristikos ir nelygumų generavimo būdai
Bėgiai yra pagrindinis laikantysis viršutinės bėgių kelio konstrukcijos elementas. Šis viršutinės bėgių kelio konstrukcijos elementas yra tiesiogiai veikiamas apkrovų, kurias sukelia riedmenų ratai, todėl bėgiai turi atlaikyti dideles dinamines apkrovas vertikalia, išilgine ir skersine kryptimi. Siekiant užtikrinti saugų traukinių eismą, bėgiai turi būti reikiamo stiprumo ir atsparūs dilimui. Bėgiai negali būti eksploatuojami, jei juose atsiranda defektų, keliančių pavojų saugiam traukinių eismui [11].
Bėgių defektai klasifikuojami pagal jų rūšį, vietą, pagal bėgio aukštį ir ilgį, pagrindinę defekto atsiradimo priežastį, o esant defektui suvirinimo siūlėje – pagal suvirinimo būdą.
Bėgių nuodyla – tai bėgių galvutės nudilimas, atsirandantis dėl riedmenų ratų ir bėgio galvutės sąveikos [12] (4.10 pav.).
133
Vagonui stabdant arba pagreitėjant, kai aširatis praslysta bėgių paviršiumi, aširatyje ir bėgio paviršiuje atsiranda iščiuožų (4.11 pav.).
4.10 pav. Bėgių defektai
Nagrinėjant vagono judėjimo dinamiką labai svarbu vertinti bėgių nelygumus išilgine, skersine kryptimis, lokalinius nelygumus (bėgių suvirinta vieta, bėgių sandūra ir kt.) ir aširačių paviršiaus nelygumus.
Dažniausiai pasitaikantys bėgių nelygumai ir jų matematinės išraiškos parodytos 4.7 ir 4.8 lentelėse.
4.11 pav. Aširačio defektas (iščiuoža)
134
4.7 lentelė. Bėgių nelygumai ir jų matematinės išraiškos
Tipas Lygtis Forma
1 Jokių pažeidimų
Nulis __________________
2 Plokštuma ant rato f x d x
L( ) = −
2
1 2cos π
3 Sinusinis gofruotumas f x d x
L( ) =
2
2sin π
4 Įlinkęs sujungimas f x d x
L( ) = ±
1 2cos π
5 Įdubęs suvirinimas f x d x
L( ) = −
2
1 2cos π
6 Iškilęs suvirinimas f x d x
L( ) = −
2
1 2cos π
7
Atsitiktinio profilio rato paviršiaus kontūras
Turi būti nustatytos rato paviršiaus x ir y koordinatės
8Atsitiktinio
profilio bėgio paviršius
Turi būti nustatytos rato paviršiaus x ir y koordinatės
Čia f (x) – pažeidimo formos funkcija; x – esamo taško bėgio koordinatė; d – pažeidimo gylis; L – visas pažeidimo ilgis.
135
4.8 lentelė. Lygtys, naudojamos nudėvėtų ratų plokštumų, bėgių įlinkimui ir suvirinimo profiliams aprašyti
Modelio pavadinimas
Nudėvėtų ratų plokštumas Bėgių įlinkimas ar suvirinti profiliai
DARTSz x d x
a( ) = −
2
1 2cos π
0 < <x a
z x d xL
x L( ) = −
< <1 0 2cos /π
z x d xL
L x L( ) = +
< <1 2cos /π
DIFFz x d x
a( ) = +
2
1 2cos π
− < <a x a/ /2 2
z x dLx d L x( ) = ( ) + − < <
2 2 0/
z x dLx d x L( ) = − ( ) + < <
2 0 2/
NU-CARS* z x d
d e e e
e e
xa
xa
xa
aa
aa
( ) = −
+ −
+ −
− − −
− −
1 2 3
2
1
3
1
2
1 2
d mm a mm a mm= = =0 38 50 52 1, ; ;
z x d
d e e e
e
Ä L
L
L Ä L
LL
L
L( ) = −
+ −
+
−
−
− −
− −
[ ] [ ]2
1
22
1
2
1
2
2 222
1 −− −−LL
Le1
2
12 2
L mm L mm2 11000 216 22= =; ,
SUBTTI
z x da r
xr
xr
( ) =− ( )
−
1 2 2cos /
cos cos
− < <a x a/ /2 2
r – rato spindulys
z x( ) = 0 0. x x Lm< −
2
z x dL
x x Lm( ) = − −
22
x L x xm m− < <2
z x dL
x x Lm( ) = − −
22
x x x Lm m< < +
2
z x( ) = 0 0. x x Lm< +
2
TRACKx d x
a( ) = −
2
1 2cos π
0 < <x a
z x L xL
x L( ) = −
< <
α2
1 0 2π
πcos /
z x L xL
L x L( ) = −
< <
α2
1 2π
πcos /
α – bėgio įlinkio kampas
VICTx d x
a( ) = −
2
1 2cos π
0 < <x a
z x d xL
( ) = −
2
1 2cos π
0 < <x L
NUCARS nudėvėtų ratų plokštumas yra imamas kaip rato spindulio variacija. Visi kiti modeliai rato nudėvėjimą aprašo kaip funkciją nuo kelio nelygumo.
136
Formulių, pateiktų 4.8 lentelėje, žymėjimai: d – rato nudėvėtos vietos gylis, sujungimo ar virintos vietos įlinkio gylis; a – nudėvėtos rato plokštumos ilgis; L – įlinkusio bėgio sudūrimo ar suvirintos įlinkusios bėgio vietos ilgis.
Kitas būdas tiksliau matematiškai aprašyti aširačių defektus (pažaidas) yra realųjį aširačių profilį skleisti Furjė eilute. Aširačio spindulys užrašomas kaip centrinio kampo α funkcija:
R ( ) = R R ( )R R0 Rα α ∆–R ( ) = R R ( )R R0 Rα α ∆ , (4.1.20)
čia RR0 – pradinis aširačio spindulys; ∆R ( )R α – aširačio spindulio pokytis.
Generuojant aširačio iščiuožas galima nurodyti centrinius kampus αi ir αi+1 , tarp kurių yra iščiuoža (4.12 pav).
4.12 pav. Aširačio profilis su keliomis iščiuožomis
Aširačio spindulio funkciją R ( )R α skleidžiame Furjė eilute:
R A A k B kR kk
NHk
kα α α( ) = + ( ) + ( )
= =
∞∑ ∑0
1 1sin cos , (4.40)
137
čia A f d00
212
= ( )∫πα α
π; A f k dk = ( )∫
1
0
2
πα α α
πsin( ) ;
B f k dk = ( )∫1
0
2
πα α α
πcos( ) ; NH – harmonikų skaičius.
4.4. virpesių poveikis žmogaus organizmui
Virpesių poveikis žmogui visų pirma susijęs su svyravimais, kurie atsiranda veikiant kintamai jėgai. Tokių svyravimų priežastys gali būti susijusios ne tik su jėginiu, bet ir kinematiniu žadinimu.
Pagrindiniai virpesių parametrai: svyravimų amplitudė A mm, , svyravimų dažnis f Hz, , svyravimų greitis v m s, ir svyravimo pagreitis a m s, 2 .
Pagal svyravimų dažnį virpesiai skirstomi:– ypač žemo dažnio – iki 11 Hz– žemo dažnio – nuo 30–250 Hz– aukšto dažnio – daugiau nei 250 Hz.
Virpesių spektro pobūdis analogiškas triukšmo spektrams. Įvertinus tai, kad absoliučios parametrų reikšmės kinta labai plačiu intervalu, vibroakustinių tyrimų praktikoje analogiškai triukšmui naudojamos parametrų lygio sąvokos.
Pagreičio lygis – tai charakteristika, lyginanti pagreičio vidutinę kvadratinę reikšmę su pagreičio etalonine reikšme:
L aaavkr= 200
lg , (4.41)
čia La – pagreičio lygis, dB; avkr – pagreičio vidutinė kvadratinė reikšmė, m/s2 m/s2; a0 – pagreičio etaloninė reikšmė, lygi 10 m/s6 2− .
Greičio lygis – tai charakteristika, lyginanti greičio vidutinę kvadratinę reikšmę su greičio etalonine reikšme:
L vvvvkr= 200
lg , (4.42)
čia Lv – greičio lygis, dB; vvkr – greičio vidutinė kvadratinė reikšmė, m/s; v0 – greičio etaloninė reikšmė, lygi m/s. v m s0
85 10= ⋅ − .
138
Fizikinio dydžio f t( ) vidutinė kvadratinė reikšmė laiko intervale t t t∈[ , ]1 2 yra lygi:
ft t
f t dtvkrt
t=
−( ) ∫
1
2 1
2
1
2. (4.43)
Pagal atsiradimo šaltinį darbo vietose virpesiai skirstomi į tris kategorijas:
– I – transporto;– II – transporto-technologinė („a“ tipo, kai žmogus yra veikia
mas vibracijos darbo vietoje prie stacionarių mašinų, „b“ tipo, kai vibracija veikia žmogų protinio darbo vietose);
– III – technologinė.
Vibracija dar skiriama į: – viso kūno – kai ji perduodama per stovinčio ar gulinčio žmogaus
atramos paviršius į jo kūną ir veikia organizmą;– rankas veikianti vibracija – kai vibracija vibruojančių įrengi
nių / priemonių perduodama į rankas.
Pagal veikimo kryptį viso kūno vibracija skirstoma ortogonalinės koordinačių sistemos ašių kryptimis (4.13 pav.) :
– vertikaliąją nuo kojų galvos link (Z ašis); – horizontaliąją, einančią nuo nugaros į krūtinę (X ašis); – horizontaliąją, einančią nuo kūno dešinės pusės į kairę (Y ašis).
139
4.13 pav. Žmogaus kūno vibracijų kryptys
Dažniausiai leidžiami pagreičio ir greičio lygiai Z ašies kryptimi didesni negu X–Y ašių kryptimis; I – kategorijos virpesiams didesni negu II kategorijos virpesiams.
Virpesių poveikis priklauso nuo svyravimo proceso galios kontakto vietoje, poveikio laiko, kontakto vietos, poveikio krypties, kūno audinių slopinimo savybių, rezonanso veiksnių ir daugelio kitų savybių. Ypač kenksmingi žmogui virpesiai, kurių dažnis artimas skirtingų kūno dalių savajam dažniui (4.14 pav.). Daugumos vidaus organų savasis dažnis – 3–9 Hz (širdies dažnis artimas 5–6 Hz), pečių juostos – 16–20 Hz. Ypač didelę reikšmę rezonansas turi regos organams. Regėjimo sutrikimai kyla veikiant 60–90 Hz virpesiams, kurie atitinka akių obuolių savąjį dažnį.
140
4.14 pav. Žmogaus kūno dalių savieji dažniai
Tarp profesinių susirgimų vibracijų patologija yra antroje vietoje (po dulkių).
Veikiant vibracijai pirmiausia nukenčia nervų sistema ir analizatoriai: vestibuliarinis, regos, jutiminis. Ilgalaikis virpesių poveikis skatina vibroligos vystimąsi, kuri pasireiškia biologinių audinių pažeidimais:
rankų drebėjimas; raumenų atrofija (baltų pirštų sindromas); kraujagyslių elastingumo sumažėjimas; 4) nervų jautrumo sumažėjimas; kaulų audinių išsigimimas.
Ligos vystimąsi skatina padidėjusi raumenų įtampa, žema temperatūra ir psichoemocinis stresas. Vibroliga priklauso prie profesinių susirgimų, kurių efektyvus gydymas galimas tik ankstyvoje stadijoje. Žmogaus kūną galima nagrinėti kaip dinaminę sistemą arba tam tikros sistemos dalį, pvz., sistemos „Žmogus – transporto priemonė“. Tokiai sistemai virpant vyksta energijos pasidalijimas tarp žmogaus ir transporto priemonės.
141
Sprendžiant gyvo organizmo dinamikos problemas visų pirma reikia parinkti dinaminį modelį. Paprastai tokiems tikslams sudaroma mechaninė sistema, susidedanti iš tam tikro skaičiaus koncentruotų masių, sujungtų tarpusavyje tampriais ir slopinimo ryšiais (4.15 pav.). Turi būti daroma prielaida, kad dinaminio modelio parametrai nekinta tyrimo metu. Kiekvienas tokios sistemos elementas paprastai turi tik vieną savybę, pavyzdžiui, kūnas turi masę, tačiau jis nedeformuojamas, idealiai tamprus; ryšiai – sukuria pasipriešinimą, proporcingą sistemos judesio greičiams, ir t. t. Tokie labai supaprastinti modeliai gali būti naudojami žemų virpesių dažnių tyrimams.
4.15 pav. Žmogaus, kaip biomechaninės sistemos, dinaminis modelis, turintis 15 laisvės laipsnių
visą kūną veikiančius virpesius (vibracijos poveikį) regla-mentuoja Hn 51:1994, rankas veikiančią vibraciją – Hn 59:1996.
LST EN ISO 5349-1:2004 Mechaniniai virpesiai. Per rankas perduodamos vibracijos matavimas ir poveikio žmogui įvertinimas.
1 dalis. Bendrieji reikalavimai LST EN ISO 5349-2:2004 Mechaniniai virpesiai. Per rankas per
duodamos vibracijos matavimas ir poveikio žmogui įvertinimas.
142
2 dalis. Praktiniai matavimo darbo vietoje nurodymai (ISO 5349-2:2001).
Higienos požiūriu virpesiai charakterizuojami: – komfortas, kai virpesiai nesukelia neigiamo erzinančio poveikio; – darbingumo išlaikymas, kai virpesiai nesukelia neigiamo po
veikio arba darbigumo galimybių praradimo; – virpesių sauga, kai virpesiai nesukelia organizmui kenksmingo
poveikio; – sužalojimas virpesiais, kai virpesių poveikis nepakenčiamas
arba atsiranda traumų pavojus.
Mašinų ar sudėtingų įrenginių higieninis virpesių normavimas apribojamas jų arba jų elementų virpesių lygiu. Galiojantys virpesių intensyvumo lygio normatyvų reikalavimai sudaryti įvertinant žmogaus subjektyvaus virpesių poveikio pojūčius, taip pat fiziologines, biochemines, funkcines ir biomechanines organizmo reakcijas.
Virpesių poveikis žmogaus organizmui nusakomas keturiomis pagrindinėmis charakteristikomis:
– intensyvumu;– spektrine sudėtimi;– poveikio trukme;– poveikio kryptimi.
Intensyvumo rodikliai: – vidutinės aritmetinės arba amplitudinės pagreičių reikšmės;– virpesių greitis arba virpesių amplitudės.
Intensyvumą galima vertinti dviem būdais: tikraisiais absoliučiais dydžiais arba virpesių dydžio logaritminiais vienetais – decibelais.
L ppp =
20
0lg , (4.44)
čia p – virpesių matuojamo parametro reikšmė; p0 – pradinė matuojamo parametro reikšmė.
143
Normuojant virpesių lygį jo spektrinė sudėtis vertinama oktavomis arba 1/3 oktavos pločio juostomis.
4.9 lentelė. Vidutiniai geometriniai dažniai ir juos atitinkančių juostų ribinės reikšmės
Vidutiniai geometriniai dažniai, Hz
Dažnių juostų ribinės reikšmės, Hz1/3 oktavos Oktava
0,8 0,7–0,89 0,7–1,41,0 0,89–1,12 0,7–1,41,25 1,12–1,40 0,7–1,41,6 1,40–1,78 1,4–2,82,0 1,78-2,24 1,4–2,82,5 2,24–2,8 1,4–2,83,15 2,8-3,5 2,8–5,64,0 3,5–4,4 2,8–5,65,0 4,4–5,6 2,8–5,66,3 5,6–7,1 5,6–11,28,0 7,1–8,9 5,6–11,210,0 8,9–11,2 5,6–11,212,5 11,2–14,1 11–2216,0 14,1–17,8 11–2220,0 17,8–22,4 11–2225,0 22,4–28,2 22–4431,5 28,2–35,5 22–4440,0 35,5–44,7 22–4450,0 44,7–56,2 44–8863,0 56,2–70,8 44–8880,0 70,8–89,1 44–88100,0 89,1–112,2 88–177125,0 112,2–141,8 88–177160,0 141,8–177,8 88–177
Vipresių poveikiui nustatyti dar galima naudoti energetinį dažninį įvertinimą. Šis vertinimas pagrįstas mechaninės virpesių energijos įvertinimu:
144
A T v Zii
nvi= ( ) ( )
=∑ 2
0ω ω , (4.45)
čia T – virpesių poveikio trukmė, v iω( ) – virpesių greičio itosios harmonikos amplitudės, Z iω( ) – įėjimo mechaninio impedanso modulio reikšmė.
Pagal žmogaus kūno sugertą vidutinį galingumą:
N T k ai ii
nvi= ( ) ( )
=∑ ω ω
0
2 ,
čia a iω( ) – virpesių pagreičio i-tosios harmonikos amplitudės; ki iω( ) – koeficientas, įvertinanatis žmogaus savybių dažnines charakteristikas.
Leistini virpesių lygiai normatyvinėje medžiagoje nustatyti vertinant, kad jų poveikio trukmė – 8 valandos, t. y. visa darbo diena. Negalima projektuoti ir eksploatuoti įrenginių, kurių virpesių lygis viršija leistinas normas. Vis dėlto, kai būtina eksploatuoti įrenginius, kurių virpesių lygis viršija leistinas normas, tuomet reikia trumpinti jų poveikio trukmę.
4.10 lentelė. Darbo laiko reikalavimai viršijant virpesių lygio normas
Normos viršijimas darbo vietoje, ne daugiau kaip
Leidžiama virpesių poveikio trukmė minutėmis, ne daugiau kaip
dB kartais dirbant su stacionariais įrenginiais
laivuose, katilų skyriuose
0 1 480 14003 1,4 120 –6 2 60 1209 2,8 30 6012 4 15 –
Tarptautinės normatyvų leistinos normos reglamentuojamos ISO standartais.
145
Virpesių poveikis priklauso nuo virpesių spektro sudėties, jų krypties, poveikio vietos, poveikio trukmės ir nuo žmogaus individua-lių savybių (4.16 pav.).
4.16 pav. Virpesių žalingas poveikis žmogaus organizmui
Automobiliu važiavimo komfortas vertinamas pagreičio vidutine kvadratine reikšme:
at t
a t dtvkrt
t=
−( )∫
1
2 1
2
1
2, (4.46)
a t( ) – svertinis pagreitis (slenkamasis judesys, m s/ 2 ar sukamasis judesys, rad s/ 2
).Pagal gautą pagreičio vidutinę kvadratinę reikšmę avkr ir virpe
sių trukmę T t t= −2 1 , panaudojant standartą ISO 2631 (1997), nustatoma leidžiama virpesių trukmė.
146
Matavimo trukmė turi būti tokia, kad būtų užtikrintas priimtas statistinis tikslumas ir virpesių metu pasireikštų tipiškas poveikis, kuris turi būti įvertintas. Matavimo trukmė turi būti registruojama.
Kai pagreičio virpesiai vyksta pagal harmoninį dėsnį:
a t A t( ) = ( )sin ω , ω π= 2 f , (4.47)
čia A – amplitudė, m s2 ; f – dažnis, Hz.Tada pagreičio vidutinė kvadratinė reikšmė lygi:
at t
a t dt Avkr
t
t=
−( ) =∫
122 1
2
1
2 . (4.48)
Vertikalių virpesių poveikis žmogaus organizmui nustatomas parametru K:
K a fvkr=10 , kai kai f1 4< ≤
K avkr= 20 , kai kai f4 8< ≤
K a fvkr=160 , kai kai f8 80< ≤ , (4.49)
o horizontalių virpesių poveikis žmogaus organizmui nustatomas:
K avkr= 28 , kai kai f1 2< ≤
K a fvkr= 56 , kai kai f2 80< ≤ . (4.50)
Funkcijos (4.49) ir (4.50) gali būti naudojamos nustatant virpesių poveikį panaudojant eksperimentų išmatuotus pagreičius (4.17 pav.).
147
4.17 pav. Virpesių poveikio įvertinimas: a – vertikalus poveikis; b – horizontalus poveikis
Iš 4 pav. matoma, kad didžiausias vertikalių virpesių poveikis žmogaus organizmui yra dažnių intervale f = −4 8 Hz. Į šį dažnių intervalą patenka kai kurių žmogaus organų savieji dažniai, pavyzdžiui, širdies savasis dažnis yra 5–6 Hz.
Kelių transporto priemonių parametras K turi tenkinti tokią sąlygą (4.18 pav.): 2 10< <K (4.51).
4.18 pav. Virpesių poveikio įvertinimas įvertinant poveikio trukmę
148
Panaudojant 4.18 pav., virpesių poveikį galima įvertinti taip:– sritis C1-C2 – tinkama;– sritis D1-D2 – netinkama;– sritis E1-E4 – labai netrinkama.
Vertikaliųjų virpesių poveikio žmogaus organizmui izolinijos pateiktos 4.19 pav.
4.19 pav. Vertikaliųjų virpesių jutimo izolinijos: a – pagreitis; f – dažnis, Hz; 1 – virpesiai nejuntami; 2 – virpesiai juntami; 3 – virpesiai
juntami aiškiai; ė – nemalonus poveikis; 5 – nepakeliamas poveikis
ISO 2631 standarto pateiktos vertikaliųjų virpesių jutimo izolinijos pateiktos 4.20 pav.
4.20 pav. Vertikaliųjų virpesių įtaka pagal ISO 2631 standartą: a –pagreitis; f – dažnis, Hz
149
Tais atvejais, kai pagrindiniame vertinimo metode gali būti nepakankamai įvertintas vibracijos poveikis (atsitiktiniai smūgiai, laikini virpesiai) m, nustatoma slenkamoji vidutinė kvadratinė vertė arba virpesių dozės vertės ketvirtasis laispnis.
Taikant slenkamosios vidutinės kvadratinės vertės įvertinimo metodą, taikomas trumpas integravimo laikas. Virpesių dydis apibrėžiamas kaip didžiausia pereinamųjų virpesių vertė (DPVV), kuri yra didžiausia a tw 0( ) vertė, kuri yra lygi:
a t a t dtwt
t
02
0
1 21 0
( ) = ( )
−∫τ τ
(4.52a)
arba
a t a t e dtw
t t t
02
1 21 0 0
( ) = ( )
−∞
−
∫ττ , (4.52 b)
čia a t( ) – momentinis svertinis pagreitis; τ – slenkamojo vidurkio integravimo laikas; t0 – stebėjimo laikas; t – laikas.
Didžiausia pereinamųjų virpesių vertė (DPVV) išreiškiama taip:
DPVV a tw= ( )( )max 0 . (4.53)
Tai reiškia didžiausią a tw 0( ) dydį, išmatuotą matavimo laiku T t t= −2 1 .
Matuojant DPVV rekomenduojama takyti τ =1 s.Virpesių dozės ketvirtuoju laipsniu metodas yra geresnis įverti
nant smailes nei nustatant pagrindiniu įvertinimo metodu, nes vidurkinimo pagrindu vietoj pagreičio laiko funkcijos antrojo laipsnio taikomas ketvirtas laipsnis. Kai TP juda nelygiu keliu (duobėtas kelias, grindinys), virpesių poveikį žmogui įvertinti labiau tinka naudoti virpesių dozės vertę VDV, kuri yra lygi:
VDVt t
a t dtt
t=
−( )
∫
1
2 1
41 4
1
2, (4.54)
čia a t( ) – momentinis svertinis pagreitis.
150
VDV parametras įvertina ne tik vidutinę signalo reikšmę, bet ir poveikio trukmę, jautrus pagreičio staigiems kitimams, tinkamesnis, kai matuojamas signalas yra statistiškai nestacionarus. VDV paramet-ro mato vienetas yra ms(–1,75).
Kai virpesių poveikis susideda iš dviejų ar daugiau skirtingos apimties laiko trukmių i, virpesių dozės vertė, apibūdinanti bendrą poveikį, turi būti apskaičiuota taip:
VDV VDVbendrai
=
∑ 1
4
14
. (4.55)
Pagal Didžiosios Britanijos standartą BS 6841, kai VDV paramet-ras pasiekia reikšmę 15 ms–1,75, važiavimo komfortas yra labai blogas. TP važiavimo laikas, kai parametras VDV pasiekia reikšmę 15 ms–1,75, yra lygus:
TVDV
tt
15
415
=
, (4.56)
čia T15 – laikas, s; t – laikas, s.Laikas T15 gali būti važiavimo diskomforto kriterijumi.Kai galima išmatuoti pagreičius X, Y ir Z ašių kryptimis, VDV
parametras nustatomas taip:
VDV VDV VDV VDVbendras x y z= + +( )4 4 41
4 . (4.57)
Laiko T15 reikšmės priklausomai nuo kelio tipo ir važiavimo greičio parodytos 4.11 lentelėje.
4.11 lentelė. Laiko T15 reikšmės priklausomai nuo kelio tipo ir važiavimo greičio
Kelio tipasGreitis, km/val
20 40 60 80Grindinys 1940 min. 770 min. 660 min. 375 min.Priemiesčio kelias 2160 min. 730 min. 540 min. 315 min.Duobėtas kelias 225 min. – – –
151
Egzistuoja ryšis tarp kelio nelygumus charakterizuojančio parametro IRI indekso ir TP bazinio vertikalaus pagreičio ab (Ahlin, K. and Granlund)
aIRI
vb =
0 16
80
2
, , (4.58)
čia v – TP važaivimo greitis, km/val.Kai kurių kelių baziniai pagreičiai parodyti 4.12 lentelėje.
4.12 lentelė. Bazinių pagreičių reikšmės
Kelių tipas
Bazinis pagreitis, m s2 IRI Indeksas,
mm/m20 km/val. 40 km/val. 60 km/val. 80 km/val.Auto-magistralė
0,14 0,24 0,30 0,35 2,08
Grindinys 0,5 0,65 0,71 0,80 5,46Priemiesčio kelias 0,51 1,0 1,08 1,3 8,65
Duobėtas kelias 0,78 – – – 9,75
Kitas parametras, kuris gali būti naudojamas įvertinti virpesių poveikį žmogui, yra ekscesasKa :
KN
a aa i vidi
N= −( )
=∑
14
1
4
σ, (4.59)
čia avid – vidutinė pagreičių reikšmė; σ – vidutinis kvadratinis pagreitis; N – matavimo taškų skaičius. Kai ekscesas lygus 3, pagreitis pasiskirsto pagal normalinį skirstinį.
Vertinant keleivių vežimo komfortabilumą geležinkeliu naudojamas Šperlingo kriterijus:
S c f afp = ( )0 893
10, , (4.60)
čia c(f) – dažnio ir virpesių krypties koeficientas; a – pagreičio amplitudė, cm s/ 2 ; f – dažnis, Hz.
152
4.13 lentelėje pateiktos Šperligo kriterijaus Sp reikšmes.
4.13 lentelė. Šperligo kriterijaus Sp reikšmės
Eilės Nr.
Būsenos pobūdis Sp reikšmė
1 Labai gera 2,02 Gera 2,0–2,53 Pakankama keleiviniams vagonams 2,5–3,04 Ribinė keleiviniams vagonams 3,0–3,255 Ribinė lokomotyvams 3,5–3,756 Ribinė atsižvelgiant į žmogaus fiziologiją 4,5
LiTeraTūraASTM Standard Practice for Computing International Roughness Index of Roads
from Longitudinal Profile Measurements, ASTM Standards 04.03, Road and Paving Materials; Vehicle-Pavement Systems, E1926-98 (2003), 2008.12. Железнодорожный транспорт: Энциклопедия / Гл. ред. Конарев Н. С. Москва: Большая Российская энциклопедия, 1994. 559 c.
Bėgių defektų ir pažeidimų klasifikatorius. 2004. Vilnius: SPAB „Lietuvos geležinkeliai“. 135 p.
Blakely, K. 1993. MSC/NASTRAN Basic Dynamic Anglysis. Vers. 68, The MacNeal-Schwendler Corp.
Bommer, A. L. G. 2005. Non-linear Car-Model for Smooth-Road Behavior. Master’s Thesis.
BS 6841 Measurement and Evaluation of Human Exposure to Whole-body Mechanical Vibration and Repeated Shock. British Standards Institution, 1987.
Causemann, P. 1999. Automotive Shock Absorbers. ZF Sachs technical paper, Verlag Moderne Industrie.
Cucuz, S. 1993. Schwingempfindung von Pkw-Insazzen. Dissertation University Braunschweig.
Dossing, O. 1988. Structural Testing. Part 1 and 2: Mechanical Mobility Measurements, Bruel and Kjear.
Fahy, F.; Walker, J. G. 1998. Fundamentals of Noise and Vibration. Routledge, New York.
153
Franklin, G. F.; Powell, J. D.; Emami-Naeini, A. 1994. Feedback Control of Dynamic Systems. Addison-Wesley Publishing Company.
French, P. J. 1997. Intelligent Dumper and Hauler Suspension System (IDHSS). ACARP Project no. C4013, Australian Coal Research Limite.
Geležinkelio kelio priežiūros taisyklės. 2000. Vilnius: SPAB „Lietuvos geležinkeliai“. 213 p.
Geluk, C. T. T. 2005. Vehicle Vibration Comfort: the Influence of Dry Friction in the Suspension. Master’s Thesis [interaktyvus]. Prieiga per internetą: http://www.mate.tue.nl/mate/pdfs/5813.pdf.
Gillespie, T. D. 1992. Fundamentals of Vehicle Dynamics. SAE-International.Heylen, W.; Lamens, S.; Sas, P. 1997. Modal Analysis Theory and Testing.
KUL Press, Leuven.ISO 2631 Mechanical Vibration and Shock-Evaluation of Human Exposure
to Whole-body Vibration. International Organization for Standardization, 1997.
ISO 2631 Mechanical Vibration and Shock – Evaluation of Human Exposure to Wholebody Vibration, ISO 2631-2:2003. International Organisation for Standardization, 2003.
ISO 8608 Mechanical Vibration, Road Surface Profiles, Reporting of Measured Data, ISO 8608:1995, International Organisation for Standardization, 1995.
ISO Reporting Vehicle Road Surface Irregularities. Technical Report, ISO, ISO/TC108/SC2/WG4 N57, 1982.
King, R.; Crolla, D.; Ash, H. 2002. Identification of Subjective-Objective Vehicle Handling Links Using Neural Networks for the Foresight Vehicle. SAE paper, 2002-01-1126.
Kolm, H.; Kudritzki, D.; Wachinger, M. 1997. Optimiering des Fahrkomforts durch betrachtung der Dampfungseigenschaften der Radaufhangung. VDI-Berichte 1350. 101–122 p.
Kreuger, H.; Neukum, A. A. 2000. Workload Approach to the Evaluation of Vehicle Handling Characteristics. SAE paper.
Leurs, W.; Gielen, L.; Brughmans, M.; Dierckx, B. 1997. Calculation of Rigid Body Properties From FRF Data: Practical Implementation and Test Case. 15th IMAC Japan.
Lewitzke, C.; Lee, P. 2001. Application of Elastomeric Components for Noise and Vibration Isolation in the Automotive Industry. Sae-paper, 2001-01-1447.
154
Milliken, W. F.; Milliken, D. L. 1995. Race Car Vehicle Dynamics. SAE-International.
Mitschke, M. 1997. Dynamik der Kraftfahrzeuge. Band B: Schwingungen, Springer Verlag.
P. v. d. Loo. 2003. The Development of the Smart Strut Improved Sliding Pillar Front Active Suspension System for Mining Trucks. Birrana Engineering Technical Paper.
Pare, C. 1998. Experimental Evaluation of Semiactive Magneto-Rheologial Suspensions for Passenger Vehicles. Master’s Thesis.
Pielemeier, W.; Greenberg, J.; Meier, R.; Jeyabalan, V.; Otto, N. 2001. Some Factors in the Subjective Evaluation of Laboratory Simulated Drive. SAE paper.
Schmechtig, K.; Lennarsson, B. A. 2000. Simple and Efficient Description of Car Body Movements for the Use in Virtual Prototyping and Ride Comfort Evaluation. SAE paper.
Shaver, R. M.; Liu, K. J. 2005. Body/Chassis Dynamic Response Under Experimental Modal Test. SAE-paper 2005-01-2463.
Singh, R. 2000. Dynamic Design of Automotive Systems: Engine Mounts and Structural Joints. Sadhana, Vol. 25, Part 3. Printed in India. 319–330 p.
VDI-2057 Einwirkungen Mechanischer Schwingungen auf denMenschen – Ganzkorperschwingungen, VDI 2057 Blatt 1:2002, Beuth Verlag GmbH, 2002.
Verver, M. 2004. Numerical Tools for Comfort Analysis of Automotive Seating. Phd-Thesis.
White, R. G.; Walker, J. G. 1982. Noise and Vibration. Ellis Horwood Limited, Chichester.
Zong, C.; Guo, K.; Guan, H. 2000. Research on Closed-loop Comprehensive Evaluation Method of Vehicle Handling and Stability. SAE paper.
155
5. auToMoBiLio raTo sąveika su keLiu
5.1. Padanga ir jos sandara
Padanga yra sudėtingas inžinerinis objektas, sudarytas iš gumos mišinio ir įvairiausių sintetinių medžiagų, sujungtų tarpusavyje karštos vulkanizacijos būdu. Gumos mišinių sudėtis, jos ingredientai, dozės ir gamybos technologijos yra kiekvieno gamintojo itin saugomos paslaptys.
Karkasas / karkaso gijos
5.1 pav. Radialinės padangos struktūros bendras vaizdas
5.2 pav. Diagonalinės padangos struktūros bendras vaizdas
156
5.3 pav. Radialinės padangos detali struktūra
Padangos struktūrinės sudedamosios dalys yra daugmaž visų gamintojų panašios ir lengviau atpažįstamos, tačiau viešai ir detaliai apie jas nėra niekur skelbiama. Padangos sudedamosios dalys yra:
– Gumos sluoksnis (angl. rubber coating) – vienalytis gumos mišinio sluoksnis, gaubiantis padangos vidinę struktūros dalį ir pasižymintis būtent tai padangai ir jos paskirčiai būdingomis charakteristikomis, leidžiančiomis išsiskirti iš kitų padangų;
– Vidinis ratas (angl. innerliner) – padangos vidinę dalį dengiantis plonas gumos mišinio sluoksnis, pasitaikantis padangose, kuriose naudojama papildoma dujų kamera ir be jos; užtikrina vidinės ertmės, užpildytos oru, hermetizavimą
– Karkaso gijų sluoksnis (angl. body ply) – padangos karkasą dengiantis plonas gumos mišinio sluoksnis ir radialinių gijų sluoksnis, apimantis briaunos lanką ir borto užpildą; suteikia padangai formą ir užtikrina jos charakteristikas
– Karkasas (angl. body plies) – karkaso gijos, gaubiančios ir jungiančios vieną ir kitą, priešais esančius, padangos kraštus; suteikia padangai formą, užtikrina struktūros stiprumą, reikalingą oro slėgiui, smūgiams ir apkrovoms atlaikyti, nulemia maksimalų padangos kam
157
pinį greitį ir valdomumo savybes. Karkasą sudaro vienas (5.1 pav.) ar keletas plonų sintetinių siūlų ar audinių sluoksnių, pagamintų iš viskozės, nailono, poliefiro, plieno ir kt medžiagų. Diagonalinės padangos karkaso gijų orientacija gali būti įstriža, o radialinės padangos – skersa padangos riedėjimo krypčiai;
– Briaunos lankas (angl. bead bundle) – bronza dengtų, pintų ir tarpusavyje supintų bei susuktų, lanką sudarančių plieninių vielų masyvas (lankas gali būti sudarytas ir iš anksčiau minėtų siūlų), įterptas į gumos mišinio sluoksnį; tvirtai laiko padangą reikiamoje padėtyje ant ratlankio ir užtikrina jos sandarumą;
– Briaunos sandarinimo paviršius (angl. abrasion gum strip) – elastingo gumos mišinio sluoksnis tarp briaunos lanko ir ratlankio; užtikrina padangos sandarumą ir sukibimą su ratlankiu, suteikia papildomą briaunos lanko standumą;
– Briaunos lanko užpildas (angl. bead filler) – ertmės užpildas tarp padangos briaunos lanko ir karkaso gijų, dėl savo formos dar vadinamas viršūne; užpildo geometriniai matmenys ir mechaninės savybės turi įtakos padangos charakteristikoms;
– Šoninė sienelė (angl. sidewall) – agresyvioms eksploatacijos sąlygoms ir ultravioletiniams saulės spinduliams atsparus gumos mišinio sluoksnis; apsaugo karkaso gijas nuo aplinkos išorinių poveikių ir mechaninių deformacijų. Šoninė sienelė dažnai turi informacinius užrašus, baltas juostas ar kt. dekoratyvus;
– Šoninės sienelės sutvirtinimai (angl. sidewall reinforcements) – papildomas, storesnis gumos mišinio sluoksnis, kartais dar vadinamas plaukmenimis; padanga gali turėti papildomus pastiprinimus šoninių sienelių apatinėje dalyje ratlankių apsaugai nuo deformacijų, maksimaliai leistinai ašinei apkrovai padidinti, padėti išlaikyti taisyklingą formą esant mažesniam už rekomenduojamą arba išvis nesant oro slėgio padangoje;
– Stabilizuojantis gijų (diržų) sluoksnis (angl. stabilizer ply skim arba belt skim) – gumos mišiniu dengtas gijų sluoksnis, kuriame gijos išdėstytos persiklojant viena kitos atžvilgiu (karkaso gijoms); apsaugo padangą nuo deformacijų ir suteikia papildomo tvirtumo;
– Stabilizuojančios gijos (diržai) (angl. stabilizer plies (belts)) – plieninių gijų arba sintetinių siūlų sluoksnis, persiklojantis vienas kito
158
atžvilgiu į skirtingas puses; sutvirtina karkasą ir suteikia papildomą padangos atsparumą smūgiams į atraminį, besiliečiantį su pagrindu, paviršių. Padangos savybes veikia gijų storis, išdėstymo tankis bei persiklojimo kampas;
– Gumos intarpai (angl. belt wedges) – elastingo gumos mišinio juostelių intarpai tarp stabilizuojančių gijų (diržų) padangos besiremiančios plokštumos kraštuose; sumažina trintį ir pažaidų atsiradimo galimybę tarp stabilizuojančių gijų (diržų) padangai riedant ir/arba deformuojantis;
– „Petukai“ (angl. shoulder inserts) – elastingo gumos mišinio juostelių intarpai tarp besiremiančios plokštumos padangos kraštuose stabilizuojančių (diržų) ir karkaso gijų; užtikrina besiremiančios plokštumos padangos vientisumą radialine kryptimi, išlaiko sluoksnių vientisumą;
– Protektorius (angl. tread) – sintetinių, kompozicinių ir natūralios gumos mišinių sluoksnis, turintis specialų raštą: griovelius, formuojančius blokelių formą ir skiriančius vieną protektoriaus blokelį nuo kito, lameles, įrėžtas į padangos protektoriaus bloką (dažniau pasitaiko žieminėse padangose); užtikrina sankibumą su atraminiu paviršiumi padangai riedant, stabdant, greitėjant, keičiant judėjimo trajektoriją. Protektorius ant padangos uždedamas karštos vulkanizacijos būdu ir yra suprojektuotas norint užtikrinti nepageidaujamų elementų šalinimą iš tarpbesiremiančių atraminio ir padangos plokštumų, sumažinti keliamą triukšmą ir užtikrinti tolygų dėvėjimąsi;
– Papildomas sluoksnis po protektoriumi (angl. undertread) – pasitaiko ne visose padangose, tačiau papildomas gumos mišinio sluoksnis po protektoriumi leidžia sumažinti padangos riedėjimo varžą, kuro sąnaudas ir pagerinti kt. padangos savybes;
– Adhezijos sluoksnis po protektoriumi (angl. subtread) – plonas rišantysis gumos mišinio sluoksnis sluoksnių sujungimui, priklijavimui vienam prie kito pagerinti; užtikrina protektoriaus sluoksnio ir papildomo sluoksnio po protektoriumi arba stabilizuojančių gijų sluoksnių pritvirtinimą prie padangos karkaso, uždengia stabilizuojančių gijų galus;
– Nailoninės gijos (nailoninė kepurė) (angl. nylon cap ply) – nailoninių gijų sluoksnis sutvirtina stabilizuojančių gijų sluoksnį arba besiremiančios plokštumos kraštuose stabilizuojančių gijų dalį; apsaugo padangą nuo deformacijų ir suteikia formos reikiamą elastingu
159
mą ir užtikrina jos stabilumą veikiant didelėms išcentrinėms jėgoms riedant maksimaliu greičiu.
5.2. Padangos kontakte veikiančios jėgos ir momentai
Viena iš pagrindinių rato charakteristikų yra išilginio sankybio koeficiento µx priklausomybė nuo išilginio santykinio slydimo sx , vadinamoji µx xs− diagrama (5.4 pav.).
5.4 pav. Charankteringa µx xs− diagrama
Kad suprastume šios diagramos esmę ir su ja susijusius fizinius procesus, vykstančius sistemoje „Ratas-kelias“, nagrinėsime judančios transporto priemonės ratą. Ratas su pneumatine padanga nagrinėjamas kaip kietas deformuojamas kūnas, kuris sąveikauja su kelio paviršiumi. Sąveikos sritis yra plotas, kuris vadinamas „kontakto pėdsaku“, kurio geometrinis centras nukrypęs tam tikru atstumu nuo vertikalios ašies, pereinančios per rato centrą.
Rato ir kelio kontakte apskritimine kryptimi atsiranda dvi zonos: padangos protektorius suspaudžiamas (kontakto pradžioje); kita zona – protektorius ištempiamas (po kontakto). Kontakto plote vyksta praslydimas arba padangos sluoksnių šlitis, kuriuose tangentiniai įtempimai didesni už sankibio jėgų įtempimus. Transporto priemonės rato linijinis greitis va rato centre nesutampa su apskritiminiu rato greičiu Rd Rω kontakte ( Rd –rato dinaminis spindulys, ωR – rato kampinis greitis). Dėl šių greičių nesutapimo atsiranda praslydimo greitis (5.5 pav.). Praslydimo greitis vs rato ir kelio kontakte yra lygus:
Pagreitėjimas: v R vs d R a= −ω , (5.2a)
160
Stabdymas: v v Rs a d R= − ω . (5.2b)
a)
b)
5.5 pav. Padangos deformacija: a – stabdymas; b – pagreitėjimas
Rato teorijoje įvedama santykinio išilginio ir skersinio slydimo koeficientų sąvokos:
s vvxs
a= , (5.3a)
svvyy
a= . (5.3b)
čia vy – rato greitis, statmenas išilginiam rato greičiui.
161
Priklausomai nuo transporto priemonės judėjimo kinematinių parametrų (greičių) galimi penki santykinio išilginio slydimo koeficiento atvejai (5.6 pav.).
Laisvai riedantis ratas Pagreitėjimas
sx = 0 su praslydimu sx <1 su praslydimu sx =1
v Rs d R= ω v Rd R< ω v = 0
sx = 0
µx
s vRx
s
d R=
ωsx =1
Stabdymassu praslydimusx <1
su praslydimusx =1
v Rd R> ω ωR = 0
v v Rs d R= − ω
s vvxs=
sx =1
5.6 pav. Rato santykinio išilginio slydimo koeficiento atvejai
162
Išilginės jėgos Fx ir vertikalios jėgos Fz ,veikiančios į ratą, santykis vadinamas santykine išilgine jėga arba išilginiu sankybio koeficientu:
µxx
z
FF
= . (5.4)
Skersinės Fy ir vertikalios jėgos Fz , veikiančios į ratą, santykis vadinamas santykine skersine jėga arba skersiniu sankybio koeficientu:
µ yy
z
FF
= . (5.5)
Iš µx xs− diagramos matoma, kad didėjant santykiniam išilginiam slydimo koeficientui sx išilginis sankybio koeficientas µx didėja beveik tiesiškai. Šioje srityje, pavyzdžiui, sx ∈[ ... , ]0 0 1 , praslydimas yra nedidelis ir jis šiek tiek turi įtakos transporto priemonės stabilumui ir jos valdymui. Kai yra tam tikra sx reikšmė ( sx = 0 10 0 20, ... , ), išilginis sankybio koeficientas pasiekia maksimalią reikšmę µx ,max . Rato santykinis išilginis slydimo koeficientas, kuriam esant pasiekiama maksimali išilginio sankybio koeficiento reikšmė, vadinamas kriziniu sx kr, . Toliau didėjant santykiniam išilginiam slydimo koeficientui sx ( sx> sx kr, ) išilginis sankybio koeficientas µx mažėja. Kai sx =1 – ratas visiškai užblokuotas (nesisuka, ωR = 0 ), o kai sx = −1 , tada ratas visiškai prasisuka ( va = 0 ). Kai s sx x kr> , , transporto priemonė praranda stabilumą, ji yra nevaldoma.
Mokslininkai bandė analitiškai aprašyti µx xs− kreivę, t. y. gauti matematines priklausomybes µ µx x xs= ( ) , tačiau iki šiol nėra gauta universaliųjų µ µx x xs= ( ) funkcijų. Diagramos µx xs− maksimumas priklauso nuo:
– vertikalios prispaudimo jėgos;– kelio paviršiaus būklės;– TP pradinio stabdymo ar pagreitėjimo greičio;– slėgio padangoje.Transporto priemonės judėjimo stabilumui įtakos turi jėga, vei
kianti rato ir kelio kontakte statmenai rato judėjimo krypčiai (skersinė jėga). Skersinė jėga atsiranda veikiant:
163
– šoniniam vėjui;– išcentrinei jėgai, kai TP daro posūkį;– TP svorio jėgos dedamajai skersine kryptimi.Skersinė jėga Fy deformuoja padangą ir rato skersine kryptimi atsi
randa papildomas slydimas, kuris apibrėžiamas skersiniu sankibio koefi-cientu sy (5.6 pav). Skersinės jėgos poveikis ratui parodytas 5.7 pav.
5.7 pav. Skersinės jėgos poveikis ratui: a – stabdymas ( v v Ra d R∑ = − ω );
b – pagreitėjimas v R vd R a∑ = − ω
Rato ir kelio kontakte kampas tarp rato sukimosi plokštumos ir rato judėjimo krypties vadinamas įstrižojo riedėjimo kampu α (arba skersridės kampas). Įstrižai riedančio rato kontakto užpakalinėje dalyje kelio reakcija į ratą yra didesnė negu priekinėje kontakto dalyje. Todėl šios reakcijos generuoja sukimos momentą apie vertikalią ašį z ir sukimos momentas Mz suka riedanti ratą taip, kad rato trajektorija sutaptų su rato sukimosi plokštuma. Toks momentas vadinamas stabilizuojamuoju rato momentu.
Reali rato ir kelio kontakte veikianti sankybio jėga Fµ yra lygi:F dAxy
Akontaktasµ τ= ∫ , (5.6)
čia τxy – kontakto plote veikiantys tangentiniai įtempimai; Akontaktas – kontakto plotas.
Vertikali kelio reakcija, veikianti kontakte, yra lygi:F dAz z
Akontaktas
= ∫ σ , (5.7)
čiaσz – kontakto plote veikiantys normaliniai įtempimai.
164
Apytiksliai normalinius įtempimusσz ir tangentinius įtempimus τxy , τxy galima išreikšti tokiu pavidalu:
σ σz zm
n nxa
ya
= −
−
12 2
, (5.8a)
τ τπ π
x xm
nxa
xa
yb
= −
+2 12
2sin cos , (5.8b)
τ τπ
y ym
nxa
yb
= −
−
2
1 sin , (5.8c)
čia σzm , τxm , τym – normalinių ir tangentinių įtempimų amplitudės, atitinkamai; 2a ir 2b – kontakto ilgis ir plotis.
Normalinių σz ir tangentinių τx , τy įtempimų pasiskirstymas kontakto plote parodyti 5.8 pav.
a)
b)
165
c)5.8 pav. Normalinių σz ir tangentinių τx , τy įtempimų pasiskirsty
mas kontakto plote: a = 0,05 m; b = 0,12 m; σzm MPa= 0 204, ,τxm MPa= 0 1021, , τym MPa= 0 613,
Realiąją sankybio jėgą, veikiančią rato ir kelio kontakte, galima nustatyti energijos balanso metodu. TP rato mechaninis darbas, atliktas per laiko vienetą , NR yra lygus pasipriešinimo jėgų galingumui NP:
N NR P= , (5.9)
čia N m v vR R a a= ; N N N NP m st= + +µ ∆ ,
mR – rato masė; va , vdvdtaa= – TP greitis ir pagreitis, atitinka
mai; Nµ – sankybio jėgų galingumas; ∆Nm – kitų pasipriešinimo jėgų (aerodinaminė jėga, trinties jėga; sunkio jėgos dedamoji ir kt.) galingumas; Nst – stabdymo jėgų galingumas:
N F vaµ µ= ; (5.10)
N M Ist st R R R= −( )ω ω . (5.11)
Todėl sankybio jėga lygi:
FvN N N
vm v v M I N
aR st m
aR a a st R R R mµ ω ω= − −( ) = − −( ) −
1 1∆ ∆
.
(5.12)
166
Kontakte veikiančią jėgą galima suskaidyti į dedamąsias
F F Fx yµ µ µ = + , (5.13)arba
µ µ µΣ = + x y . (5.14)
TP rato teorijoje naudojamas sankybio jėgų apskritimas, kuris išreiškia išilginės ir skersinės sankybio jėgų tarpusavio priklausomybes. Vienas iš pirmųjų mokslininkų, kuris nagrinėjo išilginių ir skersinių sankybio jėgų tarpusavio priklausomybes, buvo vokiečių mokslininkas V. Kamas (V. Kamm). Todėl sankybio jėgų apskritimas dar vadinamas Kamo apskritimu.
5.9 pav. Kamo sankybio jėgų apskritimas
Kamo apskritimas apibrėžia rato sankybio jėgų kraštines sąlygas:
F F F Fx y zµ µ µ µ = + ≤2 2max (5.15)
čia µmax – maksimalus sankybio koeficientas,
µ µ µµ µmax s s sx y( ) = ( ) + ( )2 2 . (5.16)
Nelygybę (5.15) galima naudoti tik apytiksliam slydimo ribų įvertinimui, kadangi µmax reikšmė priklauso nuo slydimo ir gali kisti plačiose ribose. Kartais naudojamas apytikslus sankybio koeficientas:
µ
µ
µ
µµ µx
x
y
ymax max
+
=
2 2
1, (5.17)
167
čia µx max , µ y max – sankybio koeficientai esant pilnam slydimui išilgine ir skersine kryptimis.
Įvedamas ir skersinės jėgos atsargos koeficientas:
KF
Fyy
µµ
µ
=Σ
. (5.18)
Kai K yµ → 0 , tai TP judėjimas yra stabilus, o kai K yµ →1, tai TP praranda stabilumą.
Rato ir kelio kontakte veikiančios jėgos ir momentai pagal SAE ir ISO standartus parodyti 5.1 lentelėje
5.1 lentelė. Pagal SAE ir ISO standartus rato ir kelio kontakte veikiančios jėgos ir momentai
Vx> 0 SAE Pritaikytas SAE ISO Pritaikytas
ISO
Šoninis kampas (vaizdas iš viršaus)
Išvirtimo kampas(vaizdas iš galo)
Šoninis slydimas tanα =
VVsy
x
tanα = −VVsy
x
tanα =VVsy
x
tanα = −VVsy
x
Išilginis slydimas κ = −V
Vsx
x
κ = −VVsx
x
κ = −VVsx
x
κ = −VVsx
x
Posūkio slydimas Nėra
apibrėžtaϕ
ψ= −
VxNėra
apibrėžtaϕ
ψ= −
Vx________ γ = 0 --------- γ > 0
168
Išilginės jėgos
Šoninės jėgos
Statmenos jėgos Fz< 0 Fz> 0 Fz> 0 Fz> 0
Momentas apie x ašį
Momentas apie y ašį My>0 My>0 My<0 My<0
Momentas apie z ašį
Sankybio koeficiento apytikslės reikšmės pateiktos 5.2 ir 5.3 lentelėse.
5.2 lentelė. Sankybio koeficiento ir riedėjimo varžos reikšmės važiuojant 60–80 km/h greičiu
Kelias µx f Asfaltbetonio ir cementbetonio kelias
sausas, švarus 0,7–0,9 0,012–0,015 šlapias 0,4–0,6 0,015–0,018
purvinas 0,20–0,45 0,16–0,20 apsnigtas 0,2–0,4 0,10–0,25 apledėjęs 0,09–0,30 0,012–0,020
Skaldos padengas kelias 0,50–0,65 0,04–0,07 Grindinys
sausas 0,6–0,7 0,025–0,035 šlapias 0,4–0,5 0,03–0,04
5.1 lentelės pabaiga
169
Skaldyto akmens tašeliai sausi 0,4–0,6 0,02–0,03 šlapi 0,25–0,40 0,025–0,035
Gruntkelis sausas, kietas 0,5–0,6 0,03–0,05
drėgnas 0,2–0,4 0,04–0,10 ištižęs 0,15–0,30 0,06–0,30
Smėlis sausas 0,2–0,3 0,10–0,30
drėgnas 0,4–0,5 0,06–0,20 Molis
sausas 0,4–0,5 0,03–0,05 drėgnas, plastiškas 0,2–0,4 0,20–0,35
ištižęs 0,15–0,25 0,30–0,50 natūrali pieva 0,10–0,40 0,05–0,15 sausas arimas 0,40–0,70 0,15–0,30 sausas ledas 0,06–0,15 0,015–0,020
Sniegas: sausas, purus 0,2–0,4 0,10–0,30
suplaktas 0,1–0,4 0,07–0,10
5.3 lentelė. Sankybio koeficientas, kai kelias padengtas sniegu ir ledu
Kelio danga Detalesnis dangos būklės aprašymas Sankibumo koeficientas φ
Suvažinėtas sniegas
Transporto priemonių suvažinėtas sniegas, nesudarantis sutrombuoto sniego ir ledo sluoksnio
0,24÷0,37
Nesuvažinėtas sniegas
Tik iškritęs ant asfalto sniegas, nesuvažinėtas transporto priemonių ratais – pirmasis pervažiavimas
0,15÷0,42
Sniegas ir ledas, padengtas tik iškritusiu sniegu
Suvažinėtas sniegas ir ledas, kurį dengia tik iškritęs nesuvažinėtas iki 10 cm storio sniego sluoksnis
0,18÷0,45
5.2 lentelės pabaiga
170
Sniegas ir ledas, sumaišytas su smėliu ir purvu
Suvažinėtas sniegas ir ledas, sumaišytas su smėliu ir purvu, kurių detalių skersmuo 3÷6 mm
Priklausomai nuo purvo
kiekio (mažai – daug)0,15÷0,45
Sniegas ir ledas Ištisas sniego sluoksnis, suvažinėtas iki ledinio paviršiaus pavidalo 0,12÷0,39
Sniegas ir ledas prieš sankryžas
Ištirpintas stovinčių automobilių variklių bei užšalęs glotnaus paviršiaus sniegas, nupoliruotas stabdomų automobilių ratų
0,09÷0,22
Gilus sniegas Toks gilus ir nepažeistas sniegas, kad transporto priemonė „sėda ant dugno“, bet neužstringa
0,92÷0.95
Sausas asfaltas žiemos sąlygomis
Niekuo nepadengtas sausas asfaltas žiemos sąlygomis 0,59÷0,72
Apšerkšnijęs asfaltas
Balta danga ant asfalto, matoma vairuotojui ir lengvai atpažįstama kaip šerkšnas
0,48÷0,58
Glotnus ledas Storas užšalusio vandens sluoksnis, nepažeistas dyglių ir grandinėlių 0,054÷0,19
Ledas ir padangos su grandinėmis
Storas nepažeistas užšalusio vandens sluoksnis važiuojant ratais su plieninėmis grandinėmis
0,12÷0,18
„Juodas“ ledas Storas ištisinis ledo sluoksnis, atrodantis kaip šlapia, juoda važiuojamoji dalis, sunkiai pastebimas vairuotojui
0,12÷0,26
5.3. Padangos modeliai
5.3.1. Lugre padangos modelis
Koncentruotų parametrų Lugre padangos modelisĮvertinami šie Lugre (LuGre) padangos modelio parametrai: norma
linė jėga Fz ; išilginis sankybio koeficientas statikoje µc ir sankybio koeficientas, kai prasideda slydimas µs , padangos išorinio paviršiaus standumo σ0 ir slopinimo σ1 koeficientai, protektoriaus poslinkis z (5.10 pav.).
5.3 lentelės pabaiga
171
5.10 pav. Lugre padangos modelio schema
Pagal Lugre padangos modelį padangos kontakte veikianti išilginė sankybio jėga yra lygi:
F z dzdt
v Fx s z= + +
σ σ σ0 1 2 , (5.19)
dzdt
vvg v
zss
s= −
( )σ0 ,
g v es c s c( ) = + −( )( )−θ µ µ µ δ , δ =
vvs
str
0 5,
,
čia g vs( ) – Stribeckio funkcija; θ– parametras, įvertinantis padangos viršutinių sluoksnių įtaką θ =( )0 4 1, ... , vstr – Stribeckio greitis; vs – slydimo greitis,
v R vs R d= −ω , kai vyksta rato pagreitėjimas;v v Rs R d= −ω , kai vyksta rato stabdymas.ωR – rato kampinis greitis; Rd – dinaminis ratos spindulys; v –
rato linijinis greitis.Lugre modelio parametrų reišmės parodytos į 5.4 lentelėje.
5.4 lentelė. Lugre padangos modelio parametrų reikšmės
Parametras σ0 σ1 σ2 µc µs vstrReikšmė 40 4,9487 0,0018 0,5 0,9 12,5Vienetas 1/m s/m s/m – – m/s
172
Vienmatis išskirstytų parametrų Lugre padangos modelisIšskirstytų parametrų Lugre padangos modelyje įvertinamas pa
dangos protektoriaus poslinkio z t,ξ( ) kitimas laike ir išilgai padangos ir kelio kontakto (5.11 pav.).
5.11 pav. Išskirstytų parametrų Lugre padangos modelio schema
Kontakte slydimo greitis yra lygus:
v v Rs R d= −ω .
Išilginis santykinis slydimo koeficientas lygus:
s Rv
nkai R v
kai R vx
R dn
R d
R d
= −
=
≤
− >
1
1
1ω ω
ω,
,
,kai .
Išskirstytų parametrų Lugre padangos modelio pagrindinės priklausomybės yra:
F dF tx x
L= ( )∫ ,ξ
0
, (5.20)
dF t z tdz tdt
v dF tx s z, ,,
,ξ σ ξ σξ
σ ξ( ) = ( ) + ( )+
( )0 1 2 , (5.21)
dz tdt
vvg v
z tss
s
,,
ξσ ξ
( )= −
( ) ( )0 , (5.22)
g v es c s c
vsvstr
( ) = + −( )−
µ µ µ γ , (5.23)
173
čia L – padangos ir kelio paviršiaus kontakto ilgis.Protektoriaus poslinkio z diferencialas ir greitis yra lygūs:
dzz tt
dtz t
d=∂ ( )∂
+∂ ( )∂
, ,ξ ξξ
ξ ,
dz tdt
z tt
z t ddt
, , ,ξ ξ ξξ
ξ( )=∂ ( )∂
+∂ ( )∂
. (5.24)
Nagrinėdami padangos slydimą, sakykime, kadddt
Rd Rξ
ω= . (5.25)
Tada panaudoję priklausomybes (5.4.1.4), (5.4.1.6), (5.4.1.7), gausime
∂ ( )∂
+∂ ( )∂
= −( ) ( )z t
tz t
R w vvg v
z td R ss
s
, ,,
ξ ξξ
σ ξ0 . (5.26)
Sakykime, kad kontakto zonoje vertikali jėga yra kintama, jos diferencialas lygus:
dF f dz zξ ξ ξ( ) = ( ) . (5.27)
Tada padangos kontakte veikianti išilginė sankybio jėga yra lygi:
dF t z tdz tdt
v f dx s z
L, ,
,ξ σ ξ σ
ξσ ξ ξ( ) = ( ) + ( )
+
( )∫ 0 1 2
0
. (5.28)
Praktikoje naudojamos šios prispaudimo fz ξ( ) funkcijos:• Eksponentinė priklausomybė
f f ez zLξλξ
( ) =−
0 , kai λ ≥ 0 ; (5.29)
• Parabolės priklausomybė
f FL
LLz
zξξ( ) = −−
32
1 2 2
; (5.30)
• Sinuso priklausomybė:
f FL Lzzξ
π πξ( ) =
2
sin . (5.31)
174
Kai padangos kontakte veikiantys greičiai R w v vd R s, , yra pastovūs, tada gauname, kad lokalinė koordinatės z išvestinė yra lygi
nuliui, t. y.∂ ( )∂
=z tt,ξ
0 ir lygtis, aprašanti z t,ξ( ) koordinatės kitimą
pagal išskirstytų parametrų Lugre padangos modelį, yra:
∂ ( )∂
= −( ) ( )z t
R w vvg v
z td R ss
s
,,
ξξ
σ ξ0 . (5.32)
Esant kraštinei sąlygai z t,ξ =( ) =0 0 , lygties sprendinys yra lygus:
z C eg v
sign vC ssξ
σξ( ) = −( ) ( ) ( )2
01 1 , (5.33)
čia Cg v
vR ws
s
d R2
0= −( )σ .
Nusistovėjusiam rato judėjimui dz tdt
,ξ( )= 0 , padangos kontakte
veikianti išilginė sankybio jėga Fx lygi:
F t z t v f dx s z
L( ) = ( ) +( ) ( )∫ σ ξ σ ξ ξ0 2
0, . (5.34)
Pastoviam prispaudimo jėgos pasiskirstymui, kai sumarinė vertikali jėga lygi Fz0 , padangos kontakte veikianti išilginė sankybio jėga Fx yra lygi:
F CL
e g v sign v vx
LC
s s s= − −
( ) ( ) +
−1 12
22 σ
Fz0 , (5.35)
čia Cg v R w
vs d R
s2
0=
( )σ
.
Kai prispaudimo funkcija fz ξ( )yra pasiskirsčiusi pagal eksponentės dėsnį (5.29), padangos kontakte veikianti išilginė sankybio jėga Fx yra lygi:
F LfLC
LC C v v Fxz
s s z=−( )
+( ) − +0
11 0 2 2 2 0λ λσ σ λσ
175
Lf eLC
C LC e v LCz LCs
0
10 2 1 2 1
1−
−( )− −( ) + −( )
λ
λ λσ λ λ σ λ . (5.36)
Kai prispaudimo funkcija fz ξ( ) pasiskirsto pagal sinuso dėsnį (5.31), padangos kontakte veikianti išilginė sankybio jėga Fx yra lygi:
F FL C
L C C v v C exz
s sLC=
++( ) + + −( )
2
12 2
212
0 2 22
22
0 22 2 1
πσ σ π σ π σ .
(5.37)
Kai prispaudimo funkcija fz ξ( ) pasiskirsto pagal parabolės dėsnį (5.30) , padangos kontakte veikianti išilginė sankybio jėga Fx yra lygi:
F FL C
C LC L C C e LC v L Cxz LC
s= − + −( ) + −( ) +3
13 0 2 1
313
0 2 1 23
1312 6 6 21σ σ σ
.
(5.38)
Išskirstytų parametrų Lugre modelio parametrų reikšmės parodytos 5.5 lentelėje.
5.5 lentelė. Išskirstytų parametrų Lugre padangos modelio parametrų reikšmės
Parametras σ0 σ1 σ2 µc µs vstrReikšmė 181,54 0 0,0018 0,8 1,55 12,5Vienetas 1/m s/m s/m – – m/s
5.3.2. Paceikos modelis
Mokslinkas Pacejka H.B. pasiūlė padangos modelį (Pacejka Magic Formula), kuriame įvertinami sekantys parametrai: normalinė jėga; išilginis santykinis slydimas; skersridės kampas; išvirtimo kampas. Pacejkos pateikta bedroji formulė nustatyti kontakte veikiančias jėgas priklauso nuo keturių parametrų (B, C, D, E) yra lygi:
y x Bx E Bx Bx( ) = − − ( )( )( )( )Dsin Carctg arctg , (5.39)
čia y x( ) – kontakte veikianti jėga arba momentas;
176
Y X y x Sv( ) = ( ) + , x X Sh= + , (5.40)
čia: Sv, Sh – atitinkamo parametro postumis vertikale arba horizontalia kryptimi; B, C, D, E – parametrai, kurie priklauso nuo modelio pagrindinių parametrų; X – argumentas (išilginis santykinis slydimas sx arba skersridės kampas α).
Parametrų B, C, D, E išraiškos yra lygios:
C bx= 0 ; D b F b Fz z= +( )1 2 ;
Bb F b F e
CDz z
b Fz
=+( ) −
32
45
, (5.41)
E = + +b F b F bz z62
7 8 ; S b F bh z= +9 10 ; Sv = 0.
Trijų parametrų sandaugą BCD lygi standumo koeficientui išilgine padangos kryptimi arba skersridės kampo kryptimi, atitinkamai.
Sankybio jėga veikianti išilgai padangos yra lygi:
F Bx x x x x= ( )( )D sin C arctg Φ , (5.42)
čia: Bx , Cx , Dx , Φ x parametrai nustatomi pagal tokias išraiškas:
Cx =1 65, ; D b b Fx x x z= +( )1 0 2 0Fz ;
Bb F b F e
C Dxx z x z
b F
x x
x z
=+( ) −
3 02
4 05 0
;
Ex x z x z xb F b F b= + +6 02
7 0 8 (5.43)
Φ x xx
xxE E
BB= −( ) − ( )1 σ σarctg ,
čia: σ λ=100 ; F Fz
z0 1000= ; Fz – vertikali jėga, N.
Sankybio jėgos Fx priklausomybė nuo išilginio santykinio slydimo koeficiento sx prie skirtingų vertikalių jėgų Fz parodytos 5.12 pav.
177
5.12 pav. Jėgos Fx priklausomybė nuo išilginio santykinio slydimo koeficiento λ prie skirtingų vertikalių jėgų Fz
Sankybio jėga veikianti padangos skersine kryptimi yra lygi:
F B Sy y x y y yv= ( )( ) +D sin C arctg Φ , (5.44)
čia: By , Cx, Dy, Φ y parametrai nustatomi pagal tokias išraiškas:
Cy =1 30, ; D b b Fy y y z= +( )1 0 2 0Fz ;
Bb b b F
C Dyy y y z
y y
=( )( )3 4 5 0sin arctg
; E y y z y z yb F b F b= + +6 02
7 0 8
S byh y= 9γ; S b F b Fyv y z y z= +( )102
11 γ (5.44)
Φ y y yhy
yhE S EB
B S= −( ) +( ) + +( )( )1 α αarctg
∆B b By y y= − 12 γ .
Sankybio jėgos Fy priklausomybės nuo skersridės kampo α prie skirtingų vertikalių jėgų Fz parodytos 5.13 pav. Sankybio jėgos Fy priklausomybės nuo skersridės kampo α prie skirtingų padangos išvirtimo kampo γ parodytos 5.14 pav.
178
5.13 pav. Jėgos Fy priklausomybė nuo skersridė kampo α prie skirtingų vertikalių jėgų Fz
5.14 pav. Jėgos Fy priklausomybė nuo skersridės kampo α prie skirtingų vertikalių jėgų Fz
Stabilizuojantis sukimo momentas yra lygus:
M B Sz m m m m mv= ( )( ) +D sin C arctg Φ , (5.45)
čia: Bm , Cm, Dm, Φm parametrai nustatomi pagal tokias išraiškas:
Cm = 2 40, ; D b b Fm m m z= +( )1 0 2 0Fz ;
Bb F b F e
C Dmm z m z
b F
m m
m z
=+( ) −
3 02
4 05 0
;
179
Em x z m z mb F b F b= + +6 02
7 0 8;
S bmh m= 9γ ; S b F b Fmv m z m z= +( )102
11 γ;
Φm m mhm
mm mhE S E
BB S= −( ) +( ) + +( )( )1 α αarctg
∆B b By m m= − 12 γ ; ∆E Eb
Emm
mm=
−−
1 13 γ.
Stabilizuojančio momento Mz priklausomybės nuo skersridės kampo α prie skirtingų vertikalių jėgų Fz parodytos 5.15 pav.
5.15 pav. Jėgospriklausomybė nuo skersridės kampo prie skirtingų vertikalių jėgų
Koeficientų bij (i = x, y, m; j = 0..13) reikšmės parodytos 5.6 lentelėje.
5.6 lentelė. Koeficientų bij reikšmėsbx0 bx1 bx2 bx3 bx4 bx5 bx6 bx7 bx8 bx9 bx10 bx11 bx12 bx13
1,25 –21,3 1114 49,6 226,0 0,208 –0,006 –0,056 0,486 0,0 0,0 0 0,0 0,0by0 by1 by2 by3 by4 by5 by6 by7 by8 by9 by10 by11 by12 by13
1,30 –22,1 1011 1078 1,820 0,208 0 –0,354 0,707 0,028 0 14,80 0,022 0bm0 bm1 bm2 bm3 bm4 bm5 bm6 bm7 bm8 bm9 bm10 bm11 bm12 bm13
2,40 –2,72 –2,28 –1,860 –2,73 0,110 –0,070 0,643 –4,04 0,015 –0,066 0,945 0,030 0,070
180
5.3.3. Hsri modelis
Greitkelio saugumo tyrimo instituto ( JAV) (Highway Safety Research Institute, USA) mokslininkai L. Segel, H. Dugoff, P. Favcher sukūrė padangos modelį, kuriame įvertinama: normalinė jėga; išilginis santykinis slydimas; išilginis ir kampinis kontakto standumas; sankybio koeficientas.
Išilginis santykinis slydimo koeficientas yra lygus:
s vR
kai nkai R v
kai R vx
x
R d
nR d x
R d x
= −
=
≥
− <
1
1
1ω
ω
ω,
,
,(5.46a)
s Rv
kai nkai R v
kai R vx
R d
x
nR d x
R d x
= −
=
≤
− >
1
1
1ω ω
ω,
,
,, (5.46b)
čia vx – išilgai padangos linijinis greitis; ω, Rd – padangos kampinis greitis ir dinaminis spindulys, atitinkamai.
Sankybio koeficientas išilgai padangos yra lygus:
µ µ α= − + ( )
max s x xA v s tg1 2 2
, (5.47)
čia: µmax – maksimalus sankybio koeficientas (statinis µmax = 0 83, ); As – koeficientas, įvertinantis sankybio koeficiento sumažėjimą
( As ≈ 0 0115, )Sankybio jėga, veikianti išilgai padangos, yra lygi:
FC kai H
CH H
kai H
»
»
x
z
z
F
F=
−
≥
−
−
<
112
11 1
41
2
λλ
λ
,
,22
, (5.48)
o sankybio jėga, veikianti padangos skersine kryptimi, yra lygi:
FC tg kai H
C tgH H
y
z
z
F
F=
−
( ) <
−
( ) −
∝
∝
11
12
11 1
4 2
λλ
λ
α
α
,
≥
, kai H 1
2
, (5.49)
181
čia ∝ skersridės kampas; Cs , C∝ – standumo koeficientai išilgine padangos kryptimi ir skersridės kampo kryptimi, atitinkamai
C Cs = =∝
∝
dFdS
dFd
x
x
y, ; H – modelio parametras,
H C C tgs=−( )
+
( )−( )
ss F F
x
x z z1 1
2 2
µαµ
α
λ. (5.50)
Kai H <12
, tai padangos ir kelio pavirčiaus kontakte egzistuoja
nedidelis sukibimas, o kai H ≥12
, tai kontakte egzistuoja sukibimas
(adhezija) ir slydimas.Kai išilginis santykinis slydimo koeficientas λ ir skersridės
kampas ∝ yra pakankamai dideli (vyksta didelis slydimas x ir y ašių kryptimis), tada kontakte veikiančias sankybio jėgas ( , )F Fx y galima nustatyti taip:
F s
sFx
x
x
R=( ) + ( )
C
C Cs
s2 2
αα;
Fs
Fx
R∝ =( ) + ( )
C
C Cs
α
α
α
α2 2 , (5.51)
čia F F FR x y= +02
02 , jėgos F Fx y0 0, nustatomos iš (5.48) ir (5.49)
išraiškų.
Sankybio jėgos, veikianti išilgai padangos Fx priklausomybė nuo išilginio santykinio slydimo koeficiento λ prie skirtingų skersridės kampų α parodyta 5.16 pav.
Sankybio jėgos veikianti skersai padangos Fy priklausomybė nuo išilginio santykinio slydimo koeficiento λ prie skirtingų skersridės kampų α parodyta 5.17 pav.
182
Sankybio jėgos veikianti skersai padangos Fy priklausomybė nuo sankybio jėgos, veikiančios išilgai padangos Fx prie skirtingų skersridės kampų parodyta α 5.18 pav.
5.16 pav. Sankybio jėgos veikianti išilgai padangos Fx priklausomybė nuo išilginio santykinio slydimo koeficiento sx prie skirtingų skersridės kampų
α , kai F Nz = 3000 ; Cs = 40000 N ; Cα =15000N rad/ ; v km valx = 60 /60 km/val.; As = 0 0115, ; µmax = 0 83,
5.14 pav. Sankybio jėgos veikianti skersai padangos Fy priklausomybė nuo išilginio santykinio slydimo koeficiento sx prie skirtingų skersridės kampų
α α , kai F Nz = 3000 ; Cs = 40000N ; Cα =15000N rad/ ; v km valx = 60 / 60 km/val.; As = 0 0115, ; µmax = 0 83,
183
5.15 pav. Sankybio jėgos veikianti skersai padangos Fy priklausomybė nuo sankybio jėgos veikiančios išilgai padangos Fx prie skirtingų skersridės kampų α α , kai F Nz = 3000 ; Cs = 40000 N ; Cα =15000N rad/ ;
v km valx = 60 / 60 km/val.; As = 0 0115, ; µmax = 0 83,
5.3.4. dugofo modelis
Dugofo modelis (1969) labai panašus į Pacejkos ir Šarpo padangų modelius. Dugofo modelyje priimta, kad padangos ir kelio sąveikos kontakto plote slėgis yra pastovus. Tačiau tokia priimta prielaida nesumažina šio padangos modelio efektyvumo, nes padangos standumai išilgai padangos ir skersridės kampo kryptimi yra nepriklausomi. Dugofo padangos medelyje įvertinama: normalinė jėga; išilginis santykinis slydimas; išilginis ir kampinis kontakto standumas; sankybio koeficientas.
Išilginis santykinis slydimo koeficientas yra lygus:
s
R vv
kai vyksta stabdymas
R vR
kai vyksta pagreix
d R x
x
d R x
d R
=
−
−
ω
ωω
,
, tt jimas
(5.52)
Sankybio jėga,veikianti išilgai padangos, yra lygi:
kai vyksta stabdymas
kai vyksta pagreitėjimas
184
F ss
fxx
x
=+
( )Cλ σ
1, (5.53)
o sankybio jėga, veikianti padangos skersine kryptimi,yra lygi:
Fs
fyx
=∝( )
+
( )∝C
tg1
σ , (5.54)
čia σ – parametras, kuris yra lygus:
σα
=−( )
( ) + ( )( )µF s
C s C
z x
s x
1
2 2 2α tg
, (5.55)
funkcija f σ( ) yra lygi:
f σσ σ σ
σ( ) = −( ) <
≥
2 11 1
,,
kaikai
, (5.56)
Cs , C∝ – standumo koeficientai išilgine padangos kryptimi ir skersridės kampo kryptimi, atitinkamai; µ – išilginis sankybio koeficientas; Fz normalinė jėga.
Panaudojant Dugofo padangos modelį, galima nustatyti trinties jėgų apskritimo paramatrus:
FF F
F
F Fx
x y
y
x y2 2
2
2 2
2
1+
+
+
= , (5.57)
čia Fssxx
x
=−
Cs 1
; Fsyx
=∝( )
−
∝C
tg1
. (5.58)
Sankybio koeficientas tada lygus:
µax y
z
F FF
=+2 2
. (5.59)
Kai parametras yra σ >1 , tada išilginio ir skersinio sankybio jėgos yra mažesnės už jėgą µFz / 2 ir nustomos pagal (5.58) išraiškas.
185
Kai parametras yra σ <1 , tada taškas jėgų apskritime yra už apskritimo ribų, tada išilginio ir skersinio sankybio jėgos nustatomos:
F F C s
C s Cx
z x
s xa
=( ) + ( )( )
−
µ λ
α α2 21
4tg
µµ
, (5.60)
FF C
C s Cy
z
s xa
=∝( )
( ) + ( )( )−
µ α
α α
tg
tg2 21
4µµ
. (5.61)
Jeigu µµ
< a
2, tada taškas jėgų apskritime yra už apskritimo ribų,
tada išilginio ir skersinio sankybio jėgos nustatomos:
F ssx sx
x a a
=−
−
C
11
4µµ
µµ
,
Fsyx a a
=∝( )
−
−
∝C
tg1
14
µµ
µµ
, (5.62)
Sankybio jėgos veikianti išilgai padangos Fx Fy priklausomybė nuo išilginio santykinio slydimo koeficiento λ prie skirtingų skersridės kampų α parodyta 5.19 pav. ir 5.20 pav.
5.17 pav. Jėgos Fx priklausomybė nuo išilginio santykinio slydimo koeficiento λ prie skirtingų vertikalių jėgų Fz , kai kampų α = 0 1, rad ,
kai Cλ = 40000 N ; Cα =15000N rad/ ; µ = 0 10,
186
5.17 pav. Sankybio jėgos veikianti skersai padangos Fy priklausomybė nuo skersridės kampo α prie skirtingų vertikalių jėgų Fz ,
kai Cλ = 40000 N ; Cα =15000N rad/ ; λ = 0 10, ; µ = 0 10,
5.3.5. elastingos padangos modelis
Elastingos padangos modelį sukūrė Fiala (Fiala, 1954). Detalus elastingos padangos modelio pristatymas pateiktas R. Rajamani knygoje „Transporto priemonių dinamika ir valdymas“ (Springer, 2006).
Elastingos padangos modelis vienas iš paprasčiausių padangos modelių, tačiau juo remiantis galima gauti įvairių padangos charakteristikų. Esant nedideliam skersridės kampui α, kontakte padanga deformuojasi skersine kryptimi. Kontakte padanga nagrinėjama kaip tamprus kūnas, kurio standumo koeficientas skersine kryptimi, tenkantis ilgio vienetui, yra k xy ( ) , skersinis poslinkis – γ x( ) 5 (18 pav.). Bendras kontakto ilgis yra 2a , o kontakto plotis – 2b. Kontakte skersinis poslinkis yra lygus:
γ αx sx x( ) = = ( )tg , (5.63)
čia α – skersridės kampas.Kontakte veikianti elementari skersinė jėga lygi:
dF k x dxy y= ( )γ (5.64)
ir, suintegravę pagal kontakto ilgį 2a , gausime kontakte veikiančią skersinę jėgą ir stabilizavimo momentą:
187
F k x dx k sxdx k say y
a
y
a
y= ( ) = =∫ ∫γ0
2
0
222 , (5.65)
M k x x a dx k sx x a dx k sa F az y
a
y
a
y y= ( ) −( ) = −( ) = =∫ ∫γ0
2
0
232
3 3. (5.66)
Standumo koeficientas skersridės kampo kryptimi yra lygus:
CdFd
k ayyα α
= = 2 2 . (5.67)
5.21 pav. Elstingos padangos modelio schema
Esant dideliam skersridės kampui, slėgis kontakte yra pastovus:
p x Fa b
z( ) = ( )( )µ
2 2. (5.68)
Maksimali skersridės jėga gali pasiekti dydį µFz .
188
Kontakte slydimo nėra, kai įvykdoma sąlyga:
2ak x Fy zγ µ( ) ≤ . (5.69)
Iš (5.69) sąlygos plaukia, kad maksimalus skersinis poslinkis lygus:
γµ
max =Fakz
y2. (5.70)
Nagrinėjamas atvejis, kad skersinis poslinkis yra didesnis už maksimalų poslinkį γmax (5.22 pav.):
γγ
γx x
x x
x x as
s
s
( ) =≤ ≤
≤ ≤
max
max
,
,
0
2
, (5.71)
čia xs – kontakto taškas, kuriame prasideda slydimas.
Skersridės jėga lygi:
F k x dx kx
xdx k dxy y
a
ys
yx
ax
s
s= ( ) = + =∫ ∫∫γ
γγ
0
2 2
0
maxmax
12
2γ γmax maxk x k a xy s y s+ −( ) . (5.72)
Sakykime, kad
tg αγ( ) = =sxsmax ,
xs
Fak ssz
y= =γ µmax
2. (5.73)
Tada skersridės (5.72) jėga yra lygi:
F FFa k sy zz
y= −
( )µ
µ 2
28. (5.74)
189
5.22 pav. Skersinis poslinkis ir slydimo zona
Stabilizavimo momentas yra lygus:
M k x x x dx kx
x dx k xadxz y s
a
ys
x
yx
s
s
= ( ) −
= − =∫ ∫γ
γγ
120
22
0
maxmax
22a∫
56
12
22 2k x k ay s yγ γmax max− . (5.75)
M k a x k xFk as
Fa k sz y s y s
z
y
z
y= − =
( )−
( )12
16 8 48
22 3
3 2 2γ γµ µ
max max . (5.76)
Sakykime, kad kontakte slėgis pasiskirsto pagal parabolės dėsnį
p x p ua
( ) = −
0
2
1 , u a x= − . (5.77)
Vertikali jėga, veikianti kontakte, yra lygi:
F bp u du bp aza
a= ( ) =−∫ 2 8
3 0 . (5.78)
Ir slėgio konstantą galima nustatyti iš (5.78):
p Fbaz
038
= .
Galutinė slėgio pasiskirstymo kontakte funkcija yra lygi:
190
p x Fba
a xa
Fba
x a xz z( ) = −−
= −( )( )3
81 3
82
2
3 . (5.79)
Įveskime skersinio standumo į ploto vienetą koeficientą kya N/m3:
kkbyay=
2. (5.80)
Tada galioja ryšis:
k x p xyaγ µ( ) = ( )slydimas ,
k x Fba
x a xyazγ ( ) = −( )( )slydimas
38
23 , (5.81)
θµ
=4
3
2ba kFya
z; γ
θx
ax a x( ) = −( )( )slydimas
12
2 .
Taške xs prasideda slydimas
γθ
x sxa
x a xs s s s( ) = = −( )( )12
2 ;
x a ss = −( )2 1 θ . (5.82)
Slydimo sritis yra x x as < ≤ 2 .
Skersridės jėga lygi:
F b k xxx
dx bkax a x dxy ya
s
s
xya
x
as
s
=( )
+ −( ) =∫ ∫2 22
20
2γθ
86
12
12
3 3 3bk aa
xa
F xa
ya sz
sθ
µ−
= −
,
bet x a ss = −( )2 1 θ , tada skersridės jėga lygi:
F F sy z= − −( )( )µ θ1 1 3 . (5.83)
191
Kai 0 2< ≤x as ,
tada s ≤ 1θ
ir F Fy z< µ , (5.84a)
o kai s = 1θ
, tada F Fy z= µ . (5.84b)
Kai s ≥ 1θ
, tada
F F sign sy z= µ ( ) (5.84c)
yra pilnas slydimas.Galutinės skersridės jėgos priklausomybės, kai slėgis pasiskirsto
pagal parabolės dėsnį, yra:
FF s s
F sign s sy
z
z
=− −( )( ) ≤
>
µ θθ
µθ
1 1 1
1
3 ,
( ) , (5.85)
čia θµ
=4
3
2ba kFya
z.
Stabilizavimo momentas lygus:
kai s > 0 ,
M b F a x dx F a xa
xaz y
a
a
zs s= − −( ) =
−
−∫2
21
2
3
µ , (5.86a)
Esant sąlygai F Fy z≤ µ ;
kai s > 1θ
, Mz = 0; (5.86b)
kai s ≤ 1θ
,
M F a s s s sz z= − ( ) + ( ) − ( )( )µ θ θ θ θ3 32 3 4 . (5.86c)
192
Pagal Pacejka ir Šarpa (1991), bendroji kontakte veikianti jėga yra lygi:
FF s kai
F kai
z m
z m
=− ( ) + ( ) − ( )
≤
>
µ σθ θσ θσ θ σ σ
µ σ σ
3 13
3 127
32 3 4 ,
,
čia σθm =1θ
µ=
43
2ba kFya
z; σ σ σ= +x y
2 2 , (5.87)
σm – slydimo pradžios koeficientas.Kontakte veikiančios jėgos yra lygios:
F Fxx=
σσ
; F Fyy=
σ
σ, (5.88)
čia σωωx
d R x
d R
R vR
=−
– pagreitėjimas;
σω
xd R x
x
R vv
=−
– stabdymas; (5.89)
σω
αyx
d R
vR
tg= ( ) .
5.3.6. kiti padangos modeliai
Mokslininkai M. Nagai, S. Yamatak ir Y. Hirano pasiūlė paprastą priklausomybę nustatyti padangos sankybio jėgą, veikiančią padangos skersine kryptimi:
F K FFCy x z
z
=
22π
µπµ
ααarctg , (5.90)
čia ∝ , – skersridės kampas; Kx , – koeficientas, įvertinantis išilginės jėgos įtaką; C∝ – standumo koeficientas skersridės kampo kryptimi,
atitinkamai C∝ = ∝
dFd
y ; µ – išilginis sankybio koeficientas.
Sankybio jėgosFy priklausomybės nuo skersridės kampo α prie skirtingų vertikalių jėgų Fz parodytos 5.23 pav.
193
5.23 pav. Jėgos Fy priklausomybė nuo skersridės kampo α prie skirtingų vertikalių jėgų Fz, kai Kx = 9; C∝ =103rad N/ µ = 0 1,
PenkTo skyriaus LiTeraTūraAndrejewski, R. 2010. Dynamika pneumatycznego kola jednego Naukowo-
Techniczne. Warszawa.Canudus, de Wit C.; Tsiotras, P.; Velenis, E.; Basset, M.; Gissenger, G.
Dynamic Friction Model for Road/Tire Longitudinal Interaction. Vehicle system dynamics. October 14, 2002.
Dugoff, H.; Fanchrer, P. S.; Segel, L. Tire Performance Characteristics Affecting Vehicle Response to Steering and Braking Control Inputs. Highway Safety Research Institute, University of Michigan, Ann Arhor (1969) Final Report National Bureau of Standarts Contact CST-460.
Nagai, M.; Yamatak, S.; Hirano, Y. 1996. Integrated Control Law of Active Rear Steering Control. In Proc. 3rd International Symposium on Advanced Vehicle Control. 451–469 p.
Pacejka, H. B.; Sharp, R. S. 1991. Shear Force Generation by Pneumatics Tyres in Steady State Conditions: a Review of Modeling Aspects. Vehicle system dynamics, 20, 121–176 p.
Rajesh Rajamani. 2006. Vehicle Dynamics and Control. Springer.Reza, N. Jazar. 2008. Vehicle Dynamics: Theory and Applications. Springer.
194
6. geLežinkeLio aširačio sąveikos su Bėgiu Teorijos
6.1. Herco ir kalkerio teorija
Tampriųjų kūnų tarpusavio kontakte veikiantys įtempimai nustatomi panaudojant Herco sukurtą teoriją. H. Hercas (Heinrich Hertz) (1857–1894) – vokiečių fizikas. Jis patikslino šviesos teoriją ir pirmasis įrodė elektromagnetinių bangų egzistavimą.
Dviejų tampriųjų kūnų kontakte veikia tangentiniai τ τzx zy, ir normaliniai σzz įtempimai. Kai vyksta dviejų kūnų slydimas vienas kito atžvilgiu, kontakte tam tikruose taškuose atsiranda slydimas, t. y. dviejų kūnų kontakto taške kūnų greičiai yra skirtingi. Tarp dviejų kūnų trinties jėga nelygi nuliui, kai yra tarp kūnų kontaktas, kūnų greičiai yra skirtingi ir prispaudimo jėga nelygi nuliui. Todėl kontakto plote atsiranda trinties jėgos ir šių jėgų momentas. Nagrinėjant aširačio ir bėgio paviršiaus sąveiką, panaudojant Herco teoriją, reikia žinoti kreivumo kūnų spindulius. Aširačio ir bėgio geometrija yra gana sudėtinga, t. y. kiekvieno kūno paviršiuje kreivumo spindulys yra kintamas 6.1 pav.
6.1 pav. Bėgio ir aširačio geometrija ir sąveika
195
Aširačio ir bėgio kontakto geometrija – elipsė, kurios pusašės yra a ir b. Priklausomai nuo judėjimo sąlygų, aširačio ir bėgio kontakte atsiranda sritys, kuriose nėra slydimo ir yra nedidelis slydimas 6.2 pav.
6.2 pav. Aširačio ir bėgio kontakto geometrija ir slydimo ir sukibimo sritys
Aširačio ir bėgio kontakto centre įvedama koordinačių sistema x y zk k k, , . Ašis xk nukreipta aširačio judėjimo kryptimi, zk nukreipta statmenai bėgio paviršiui, o yk – statmena plokštumai, kurią sudaro xk ir zk ašys. Iš koordianačių centro kiekvienos ašies kryptimi nukreipti vienetiniai vektoriai e e e
1 2 3, , , be to, galioja priklausomybė e e e
2 1 3= × .Įvesime kreivumo spindulius: R RR B1 1, ir R RR B2 2, . Aširačio spin
duliai: R RR R1 2, ir bėgio spinduliai: R RB B1 2, . Spinduliai su indeksu „1“ guli plokštumoje, kurią sudaro vienetiniai vektoriai e e
1 3, , spinduliai su indeksu „2“ guli plokštumoje, kurią sudaro vienetiniai vektoriai e e
1 2, .Kontakto ploto pusašių reikšmės yra lygios:
196
a mF
E A Bz=
−+( )
3 1 23 ( )ν
; b nF
E A Bz=
−+( )
3 1 23 ( )ν
, (6.1)
čia Fz – prispaudimo jėga; A B, – parametrai, kurie yra lygūs:
AR RR B
= +1 1
2 2; B
R RR B= +
1 1
1 1; (6.2)
m, n – Herco parametrai, kurie priklauso nuo kampo ϑ :
ϑ =−+
arr A BA B
cos( ) (6.3)
0 2
2
2
≤ ≤ >
= =
< ≤ <
ϑ
ϑ
ϑ π
π
π
π
,
,
,
tai a b
tai a b
tai a b
ir nustatomi iš 6.1 lentelės; E – tamprumo modulis; ν – Puasono koefi cientas.
Kai aširačio ir bėgio medžiagų mechaninės savybės yra skirtingos, tada tamprumo, šlities moduliai ir Puasono koeficiento atitinkamos išraiškos yra lygios:
G E=
+( )2 1( ν; 1 1
21 1
G G GR B= +
; G G G
G GR B
R B=
+; (6.4)
ν ν νG G G
R
R
B
B= +
12
; 1 14
1 12−=
−+
−
ν ν νE G G
R
R
B
B
.
Kontakte veikiančios sankibio jėgos ir momentas yra lygūs:
f dAxk zxA
= ∫ τ ; f dAyk zyA
= ∫ τ ; M x y dAzk zy k zx kA
= ( )−∫ τ τ . (6.5)
Pagal Herco teoriją, kontakte veikiantis slėgis pasiskirsto pagal dėsnį (6.3 pav.):
197
p x y Fab
xa
ybk k
z k k,( ) = −
−
32
12 2
π (6.6)
6.3 pav. Slėgio pasiskirstymas aširačio ir bėgio kontakte: F KNz =120
6.1 lentelė Herco kontakto teorijos parametrų reikšmės
q m n g=b/a=n/m q m n g=b/a=n/m
0 ∞ 0 0 90 1 1 10,5 61,40 0,1018 0,00166 95 0,944 1,061 0,8901 36,89 0,1314 0,00356 100 0,893 1,128 0,792
1,5 27,48 0,1522 0,00554 105 0,846 1,202 0,7042 22,26 0,1691 0,00760 110 0,802 1,284 0,6253 16,50 0,1964 0,0119 115 0,759 1,378 0,5514 13,31 0,2188 0,0164 120 0,717 1,486 0,4836 9,79 0,2552 0,0261 125 0,678 1,611 0,4218 7,86 0,2850 0,0363 130 0,641 1,754 0,36510 6,604 0,3112 0,0471 135 0,604 1,926 0,31420 3,813 0,4123 0,108 140 0,567 2,136 0,26530 2,731 0,493 0,181 145 0,530 2,397 0,22135 2,397 0,530 0,221 150 0,493 2,731 0,18140 2,136 0,567 0,265 160 0,4123 3,813 0,108
198
45 1,926 0,604 0,314 170 0,3112 6,604 0,047150 1,754 0,641 0,365 172 0,2850 7,86 0,036355 1,611 0,678 0,421 174 0,2552 9,79 0,026160 1,486 0,717 0,483 176 0,2188 13,31 0,016465 1,378 0,759 0,551 178 0,1964 16,50 0,011970 1,284 0,802 0,625 178 0,1691 22,26 0,0076075 1,202 0,846 0,704 178,5 0,1522 27,48 0,0055480 1,128 0,893 0,792 179,0 0,1314 36,89 0,0036585 1,061 0,944 0,890 179,5 0,1018 61,40 0,0016690 1,00 1,00 1 180 0 ∞ 0
Pagal Kalkerio teoriją, kontakte veikiančių jėgų vektorius yra lygus:
F H Vk s = −[ ] , (6.7)
čia F F F Mk xk yk zkT = ; Vs – slydimo greičių vektorius;
Hf
f ff f
[ ] =−
11
22 23
23 33
0 000
;
f abGCf abGC
f ab GC
f ab GC
11 11
22 22
233 2
23
332
33
==
= ( )= ( )
; (6.8)
Cij – Kalkerio parametrai, C C a bij ij= ( ),ν nustatomi iš 6.2 lentelės.
6.1 lentelės pabaiga
199
6.2 lentelė. Kalkerio Cij parametrai
C11 C22 C23 C33
g n=0 0,25 0,5 0 0,25 0,5 0 0,25 0,5 0 0,25 0,5
a/b
0,0π ν2 4 1/( ( ))− ≠2 4/ π ν
νg /( ( ))
[ ( / ln )]3 1
1 2 4 5− ⋅
+ + −Λ π ν2 16 1/( ( ) )− g
0,1 2,51 3,31 4,85 2,51 2,52 2,53 0,33 0,473 0,73 6,42 8,28 11,70,2 2,59 3,37 4,81 2,59 2,63 2,66 0,48 0,603 0,81 3,46 4,227 5,660,3 2,68 3,44 4,80 2,68 2,75 2,81 0,61 0,715 0,89 2,49 2,96 3,720,4 2,78 3,53 4,82 2,78 2,88 2,98 0,72 0,823 0,98 2,02 2,32 2,770,5 2,88 3,62 4,83 2,88 3,01 3,14 0,83 0,929 1,07 1,74 1,93 2,220,6 2,98 3,72 4,91 2,98 3,14 3,31 0,93 1,03 1,18 1,56 1,68 1,860,7 3,09 3,81 4,97 3,09 3,28 3,48 1,03 1,14 1,29 1,43 1,50 1,600,8 3,19 3,91 5,05 3,19 3,41 3,65 1,13 1,25 1,40 1,34 1,37 1,420,9 3,29 4,01 5,12 3,29 3,54 3,82 1,23 1,36 1,51 1,27 1,27 1,27
b/a
1,0 3,40 4,12 5,20 3,40 3,67 3,98 1,33 1,47 1,63 1,21 1,19 1,160,9 3,51 4,22 5,30 3,51 3,81 4,16 1,44 1,59 1,77 1,16 1,11 1,060,8 3,65 4,36 5,42 3,65 3,99 4,39 1,58 1,75 1,94 1,10 1,04 0,950,7 3,82 4,54 5,58 3,82 4,21 4,67 1,76 1,95 2,18 1,05 0,97 0,850,6 4,06 4,78 5,80 4,06 4,50 5,04 2,01 2,23 2,50 1,01 0,90 0,750,5 4,37 5,10 6,11 4,37 4,90 5,56 2,35 2,62 2,96 0,96 0,82 0,650,4 4,84 5,57 6,57 4,84 5,48 6,31 2,88 3,24 3,70 0,91 0,75 0,550,3 5,57 6,34 7,34 5,57 6,40 7,51 3,79 4,32 5,01 0,87 0,67 0,450,2 6,96 7,78 8,82 6,96 8,14 9,79 5,72 6,63 7,89 0,83 0,60 0,340,1 10,7 11,7 12,9 10,7 12,8 16,0 12,2 14,6 18,0 0,80 0,53 0,23
Aširačio ratų (kairiojo ir dešiniojo) kontakte su bėgiais slydimo greičiai lygūs:
V A V A A rskT
c cT
ck = [ ] + [ ][ ][ ] 31 31 31ω , (6.9a)
V A V A A rsdT
c cT
cd = [ ] + [ ][ ][ ] 31 31 31ω , (6.9b)
čia Vc – aširačio masių centro greičių vektorius bendroje koordinačių sistemoje; ωc[ ] – antisimetrinė matrica, sugeneruota iš aširačio masių centro kampinio greičio vektoriaus ω ϕ ϕc = −[ ] 1 3Ω ,
200
ωϕ
ϕ ϕϕ
c[ ] =− −
−
00
0
3
3 1
1
Ω
Ω; ϕ1 , , ϕ3 – aširačio kampiniai greičiai
apie Xc , Yc ir Zc ašis, atitikamai;
A31[ ] – koordinačių transformacijos matrica,
A A A31 3 3 1 1
3 3
3 3
00[ ] = ( ) ( ) =
( ) − ( )( ) ( )ϕ ϕϕ ϕϕ ϕ
cos sinsin cos
00 0 1
1 0 000
1 1
1 1
( ) − ( )( ) ( )
cos sinsin cos
ϕ ϕϕ ϕ
;
rck , rd – aširačio kairiojo ir dešiniojo ratų kontakto vektoriai užrašyti aširačio koordinačių sistemoje,
r a Rck Rk = − −[ ]0 ; r a Rcd Rd = −[ ]0 .
6.2. euristinis netiesinis modelis
Euristinis netiesinis aširačio ir bėgio sąveikos modelis buvo sukurtas mokslininkų Z. Shen, J. Hendrick, J. Elkins (1983). Pirmu priartėjimu sankybio jėgos skaičiuojamos panaudojant tiesinį Kalkerio modelį (6.7), t. y.
FFF
M
H Vk
xk
yk
zk
s =
= −[ ] .
Po to skaičiuojama atstojamoji jėga:
F F Fxk ykΣ = +2 2 . (6.10)
Slydimo jėga yra lygi:
FF F
FFF
FF
F F
sz
z z z
z
=−
+
>
µµ µ µ
µ
Σ Σ Σ
Σ
13
127
3
2 3
, µµ
µ
F
kai F F
z
z
≤, Σ 3 , (6.11)
201
čia µ – trinties koeficientas,
µ µ ε= −( ) −
−0 1 A e AB , (6.12)
čia µ0 – statinis trinties koeficientas, ε – kontakto taško bendras santykinis slydimas, ε = 0 0 2... , ; A B, – parametrai,
A = ∞µµ0
, ( A B= = =0 4 0 60 0 550, ; , ; ,µ , kai sausa trintis;
A B= = =0 4 0 20 0 300, ; , ; ,µ , kai drėgnas paviršius).
Pagal euristinį netiesinį modelį sankybio jėgos lygios:
F FFFxkN
sxk=
Σ; F
FFFykN
syk=
Σ. (6.13)
6.3. Miulerio modelis
Pagal Miulerio modelį sankybio jėgos lygios:
F Fx x xy= −ξ ; F Fy y xy= −ξ , (6.14)
čia ξx , ξy – santykiniai slydimai x ir y ašių kryptimis,
ξxx
cx
VV
= ; ξyy
cx
VV
= ; (6.15)
Vcx – aširačio masių centro judėjimo greitis ; Vx , Vy – greičiai kontakto taške;
F K
KP
xyc
cm m
=
+
1000
1
1ξ
µ
; P Fz= −10 3 ; (6.16)
K P P Pc = − −( ( , , ))235 2 4 0 01 .
202
6.4. kitos aširačio sąveikos su bėgiu teorijos
Kairysis ir dešinysis bėgių paviršiai suskaidyti į tam tikrą skaičių erdvinių devynių mazgų izoparametrinių baigtinių elementų (6.4 pav.).
6.4 pav. Bėgio R65 paviršius
Aširačio rato profilis aproksimuojamas tam tikrų taškų skaičiumi. Priklausomai nuo aširačio padėties geležinkelyje ieškoma kiekvieno rato profilio penetracija ∆P į bėgio paviršių (6.5 pav.).
203
6.5 pav. Aširačių ir bėgio R65 sąveika
Suradus rato profilio taško P penetraciją ∆P , normalinė bėgio profiliui jėga, veikianti aširatį, lygi:
F kN Pn= ∆ , (6.17)
čia k – bėgio standumas; n – laipsnio rodiklis, n=3/2 (pagal Herco teoriją). Kairiojo kontakto jėgos dedamosios, užrašytos aširačio koordinačių sistemoje, yra lygios:
204
F FYK N N= cos( )α ; F FZK N N= sin( )α , (6.18)
čia αN – kampas tarp normalės, pravestos bėgio paviršiui, ir aširačio rato Y ašies.
Aširačio kairiojo rato ir bėgio kontakto taške P veikiančios trinties jėgos yra lygios:
FT sign kai
kaiTRXK
KK K=
− ( ) ≠
=
εε
ε ε
ε
11 0
0 0
,
,, (6.19)
FT sign kai
kaiTRYK
KK K=
− ( ) ≠
=
εε
ε ε
ε
22 0
0 0
,
,, (6.20)
čia ε ε1 2K K, – kontakto taško santykinis slydimas X ir Y ašimis
ε11
KXK
C
vv
= ; ε21
KYK
C
vv
= ; ε ε ε= +iK K2
22 ; (6.21)
vC1 – aširačio masių centro greitis; v vXK YK, – kontakto taške P aširačio greičiai.
i-ojo aširačio kairiojo rato kontakto su bėgiu taške P greičio vektorius lygus:
vvvv
q A rP
XK
YK
ZK
Vi Vi KP =
= + ( )
ϕ , (6.22)
čia rKP – vektorius nuo aširačio masių centro iki kontakto taško P.
Kontakto taške veikianti trinties jėga lygi
T F
FF
K
z
=
( )+
+
εεµ
1
1 14
1 4/
, (6.23)
205
čia F F F Fz z z= − ⋅ + ⋅− −235 2 40 10 0 01 103 2 6 3, , ; µ – trinties koeficientas.
šešTo skyriaus LiTeraTūraPolach, O. 2005. Creep Forces in Simulations of Traction Vehicles Running
on Adhesion Limit. Wear, 258. 992–1000 p.Popp, K.; Schiehlen, W. 1993. Ground Vehicle Dynamics.