TRIGONOMETRI I (ursäkta att formlerna är fula, beror på inkompatibla program)

14a–g Förenkla (om det går): a sin(180°–v) = …! b cos(180+v) = …! c sin–v = d cos–v = …! e tan–v = …! f cot (1/x) = …! g tan(90°+z).14h –k Ersätt ? med en spetsig vinkel (0 < ? < 90°) och välj rätt tecken: h sin145° = ±cos? i cos179° = ±cos? = ±sin?? j sin220° = ±sin ? = ±cos?? k tan91° = ±tan? = ±cot??

15 Bestäm u och v: a

€

sin 3x ⋅ cos2x = sin u + sin v2 ! b

€

sin 3x ⋅ sin 2x = ?u…?v2 .

Nedanstående (16 och 17) är lånat ur Croft et al: Engineering Mathematics:

16 Förenkla! a

€

cos A tan A !b

€

sinθ cotθ ! c

€

tanBsinB ! d

€

cot 2xcos2x !

e

€

tanθ tan(90° + θ) ! ! f

€

sin 2tcost ! g

€

sin2 A + 2cos2 A! h

€

2cos2 B− 1

i

€

(1+ cot2 X) tan2 X ! ! j

€

sin2 A + cos2 A( )2

! k

€

sin 2A tan A2 ! l

€

1cos2 t

− 1⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ cos2 t

m

€

sin 2Acos2A ! n

€

sin Asin 2A ! o

€

(tan2 θ + 1)cot2 θ ! ! p

€

cos2A + 2sin2 A

17a–d Förenkla a sin110°–sin70°!b cos20°–cos80°! c sin40°+sin20°!

d

€

cos50° + cos40°

2 ! e Visa att

€

sin60° + sin 30°sin 50°− sin 40° =

€

cos15°sin 5° .

Derivator

Vi har en gång lärt oss följande om derivator:

(i)

€

( f ⋅ g ʹ′ ) = ʹ′ f ⋅ g + f ⋅ ʹ′ g ! ! (ii)

€

TN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ʹ′ = N ⋅ ʹ′ T −T ⋅ ʹ′ N

(N)2

(iii) Om

€

y = f (g(x)) så

€

dydx

= dfdg

⋅dgdx

= ʹ′ f (g) ⋅ ʹ′ g (x)

Ex. (i) Derivatan av

€

x10 = derivatan av

€

x7 ⋅ x3( ) = 7x6 ⋅ x3 + x7 ⋅ 3x2 = … (kolla!)

(ii) Derivatan av

€

x10 = derivatan av

€

x18

x8

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = …

(iii) Derivatan av

€

x10 = derivatan av

€

x5( )2

 = 

€

2 x5( )1⋅ 5x4

= …!! !

€

•

Dessutom kanske vi minns att

€

d(sin x)dx

= cosx och att

€

d(cosx)dx

= − sin x.

18 Derivera med avseende på x:! ! a tanx

€

= sin xcosx

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ! ! b cotx!

c

€

cos2 x ! d

€

sin2 x ! e

€

sin x ⋅ cosx –

€

sin 2x2 ! f

€

sin4 3x ! g

€

1cosx

h

€

cos2 (tan 3x) ! i

€

sin 4x ⋅ cos3x − cos4x ⋅ sin 3x ! ! j

€

cos2 5x − sin2 5x

k

€

1tan x ! l

€

sin 3x ⋅ sin 5x − cos5x ⋅ cos3x ! m

€

π 4

tan3 cos2 7x + sin2 7x( )

n

€

sin4 xcos3 x ! o

€

sin5 2xtan5 2x ! p

€

cosx ⋅ cos π2− x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ !q

€

sin(sin(cosx))r

€

x3 sin2 4x! s

€

4sin 5x ⋅ cos7x ! ! t

€

tan 3x ⋅ cot 3x ! u

€

cos(−3x)v

€

1− 2sin2 4x! w tan(tanx)! ! x

€

2cos2 4x − 1 ! y

€

sin3 2x ⋅ cos3 2x! !

z

€

cos2 3x − sin2 3xcos3x ⋅ sin 3x ! ! å

€

tan 4xtan 3x ! ! ä

€

tan7πtan7x ! ! ö

€

2 tan x1+ tan2 x

facit (OBS! Jag använder ibland sec x =

€

1cosx och cosec x =

€

1sin x . Dessa kommer ej på

tenta men kan vara bra att känna till eftersom de är vanliga i engelsk och amerikansk litteratur.)14a) sinv b) –cosv c) –sinv d) cosv e) –tanv f) —! g) –cotz h) cos55° i) –cos1° eller –sin89° j) –sin40° eller –cos50°

k) –tan89° eller –cot1°! ! 15a) u = 5x, v = x, b)

€

−cos5x − cosx

2

16a) sinA ! b)

€

cosθ ! c) secB!d) cosec2x! e) –1! f) 2sint! g)

€

1+ cos2 A

h) cos2B ! i)

€

sec2 X ! j) 1! k)

€

sin2 A! l)

€

sin2 t ! m) tan2A! n)

€

sec A2

o) cosec

€

2θ ! p) 1

17a) 0! ! b) sin50°! c) cos10°! d) cos5°

18a)

€

1cos2 x

= 1+ tan2 x( )! ! b)

€

−1

sin2 x ! c) –sin2x! d) sin2x! e) 0!

f)

€

12sin3 3xcos3x (= 6sin2 3xsin6x) ! g)

€

sin xcos2 x (= tanxsecx)! h)

€

−3sin(2 tan 3x)

cos2 3x

i) cosx! j) –10sin10x! ! k)

€

−1

sin2 x ! l) 8sin8x! m) 0!

n)

€

4sin3 xcos2 x + 3sin5 xcos4 x ! ! o)

€

−10cos4 2xsin 2x!p) cos2x!

q)

€

−cos sin(cosx)( ) ⋅ cos(cosx) ⋅ sin x! r)

€

x2 (4xsin8x + 3sin2 4x) !s)

€

24cos12x − 4cos2x ! t) 0! u)

€

−3sin 3x ! ! v)

€

−8sin8x ! w)

€

sec2 (tan x) ⋅ sec2 x

x)

€

−8sin8x ! ! y)

€

3sin2 4xcos4x2 ! ! z)

€

−12

sin2 6x ! ! å)

€

4sin6x − 3sin 8x2sin3 3xcos2 4x

ä) 0! ! ö) 2cos2x OBS 18å fel i facit skall vara sinkvadrat i nämnaren, inte kubik!