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UNIVERSIT�A DEGLI STUDI DI BARIFACOLT�A DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALICORSO DI LAUREA IN FISICATESI DI LAUREA IN FISICAMetastabilit�a e nucleazione:studio rigoroso di alcunedinamiche microscopiche.Relatori:Chiar.mo Prof. Enzo OlivieriChiar.mo Prof. Matteo Villani Laureando:Emilio CirilloANNO ACCADEMICO 1992/931

IntroduzioneNello studio delle transizioni di fase del primo ordine emerge il problemadegli stati metastabili, di cui l'esempio pi�u noto si riferisce alla transizione di faseliquido{vapore. In Fig.0.1 viene riportata l'isoterma di un gas reale relativa ad unatemperatura inferiore a quella critica: la curva descrive gli stati di vapore puro neltratto v > vB, quelli di liquido puro nel tratto v < vA; negli stati corrispondenti aipunti del tratto orizzontale sono presenti entrambe le fasi in equilibrio. �E propriol'esistenza di stati, in cui due diverse fasi termodinamiche dello stesso sistemacoesistono, che di�erenzia le transizioni del prim'ordine da quelle del secondo.Si consideri il sistema "gas reale" e si supponga che la pressione e la tempera-tura siano tali che il sistema si trova nella fase di vapore puro; si comprima il gasisotermicamente, il sistema si avvicina al punto B del gra�co in Fig.0.1. Quando lapressione �e tale che il volume speci�co vale vB, nel sistema ha inizio la transizionedi fase; ma sotto opportune condizioni sperimentali il sistema permane nella fasedi vapore. Si dice, allora, che il vapore �e sovrasaturo.Per piccole variazioni della pressione il sistema si comporta in accordo conle leggi della termodinamica, come se lo stato di vapore sovrasaturo fosse unostato di equilibrio termodinamico. Ma se, per e�etto di perturbazioni esterne odi uttuazioni spontanee, ha inizio la transizione di fase, il sistema fuoriesce inmodo irreversibile dalla fase di vapore sovrasaturo; si dice che la fase di vaporesovrasaturo di un gas reale �e una fase metastabile.Un secondo esempio di fase metastabile lo si ritrova studiando il comporta-mento dei materiali ferromagnetici al di sotto della temperatura di Curie: l'iste-resi magnetica di uno qualsiasi di questi materiali prevede stati in cui il campoi

v

P

ABFig.0.1 Isoterma di un gas reale a temperatura inferiore al valore critico.magnetico esterno e la magnetizzazione del ferromagnete hanno verso opposto. Latermodinamica non li prevede come stati stabili di un ferromagnete; si tratta distati metastabili.La Meccanica Statistica ha sviluppato un ben de�nito formalismo che per-mette di studiare le propriet�a di un sistema all'equilibrio; manca, invece, unaformulazione teorica organica che permetta di studiare gli stati di non-equilibrio.Anche per il problema della metastabilit�a non esiste un formalismo generale ana-logo a quello gibbsiano. In altre parole non esiste una teoria universalmente ac-cettata che permetta di calcolare grandezze relative ad uno stato metastabile diun sistema, come la sua vita media, a partire dalle interazioni elementari fra i suoicostituenti microscopici (atomi, molecole, ioni,ecc.).Nell'a�rontare una simile tematica di �sica fondamentale, particolare impor-tanza �e rivestita dall'analisi rigorosa di alcuni modelli quali le dinamiche sto-castiche di tipo Glauber. Nell'ambito di questi modelli �e possibile porre problemimatematicamente ben de�niti e stabilire dei risultati certi. La chiari�cazione con-cettuale che ne deriva �e certamente di grande utilit�a in un campo in cui esistonosolo teorie semi{fenomenologiche, ricche di assunzioni "ad hoc" e di approssima-ii

zioni incontrollate.�E in questa logica che va inserito il presente lavoro di tesi, in cui viene ana-lizzato il comportamento del modello di Blume{Capel, un particolare modello dispin, supponendo che la sua evoluzione sia descritta dalla dinamica di Metropolis,che �e un particolare esempio di dinamica di Glauber.Il primo capitolo �e dedicato ad una breve introduzione storica al problemadella metastabilit�a; in esso si illustrano i primi tentativi di descrizione degli statimetastabili e si mette in luce la necessit�a di un approccio dinamico al problema. Inparticolare vengono descritti gli aspetti principali della teoria classica della nucle-azione e se ne evidenziano i limiti: in essa si dice che il meccanismo di uscita dallafase metastabile �e quello della nucleazione, ma non si chiarisce per quale motivo,a bassa temperatura, si pu�o trascurare la coalescenza; inoltre la descrizione cheviene fornita della nucleazione �e molto parziale, nulla viene detto sulla geometriadel fenomeno, e l'unico parametro che viene introdotto per caratterizzare le goccedi liquido, che si formano all'interno del vapore, �e il numero di particelle da cuiesse sono costituite. In altri termini la teoria classica della nucleazione spiega chel'uscita del vapore dalla fase metastabile non avviene mediante una lenta crescitadelle gocce di liquido, bens�� con il realizzarsi dell'evento raro costituito dalla for-mazione di una goccia supercritica, cio�e di una goccia che in un tempo rapido rag-giunge dimensioni comparabili con quelle di tutto il sistema; ma nulla dice sullaforma della goccia e non chiarisce per quale motivo si pu�o trascurare il fenomenodella coalescenza, cio�e della "fusione" delle gocce di liquido.Un altro approccio al problema della metastabilit�a che viene brevementedescritto nel primo capitolo, �e quello che si basa sulla nozione di ensemble sta-tistico ristretto; ma anche questa teoria fornisce una descrizione non soddisfacenteiii

della fase metastabile. Suo grande difetto �e l'arbitrariet�a nella scelta dell'ensemblestesso.Nel secondo capitolo si introduce il pathwise approach e nel caso particolare delmodello di Ising stocastico si mostra come pu�o essere discusso il comportamentometastabile del sistema. In sostanza vengono riportati i risultati ottenuti da R.Schonmann e J. Neves con una serie di argomenti "ad hoc" applicabili esclusiva-mente al modello di Ising [NS] [S]; ma parte di tali risultati viene ricavata in modooriginale seguendo uno schema, proposto da E. Olivieri e R. Koteckzi nei loro la-vori sul comportamento dinamico di modelli di Ising asimmetrici [KO1] [KO2], checerca di essere indipendente dal particolare modello in esame.Di importanza chiave, in questo approccio al problema, �e la reversibilit�a delladinamica di Glauber rispetto alla misura di Gibbs (cio�e la validit�a del principiodel bilancio dettagliato): essa viene sfruttata per stimare il tempo che il sistemaimpiega per giungere in una qualsiasi con�gurazione dello spazio delle fasi, suppo-nendo nota la condizione iniziale; ci�o viene fatto applicando il lemma 2.2, la cuidimostrazione viene fornita nell'appendice A.Nei capitoli successivi viene introdotto un nuovo modello di spin, quello diBlume{Capel, che, tra l'altro, riveste notevole interesse perch�e permette di stu-diare il comportamento di una miscela He3{He4 a bassa temperatura. Le propriet�astatiche a bassa temperatura di tale modello sono state studiate facendo uso dellateoria di Pirogov e Sinai; di tali propriet�a si d�a un rapido cenno nel primo paragrafodel capitolo 3. La descrizione del comportamento dinamico di tale modello, su cuinon esistono risultati in letteratura, viene poi e�ettuata seguendo lo schema intro-dotto nel capitolo 2; in sostanza ci si chiede se vi pu�o essere uno stato metastabilecaratterizzato da magnetizzazione negativa, in presenza di un campo magneticoiv

esterno piccolo e positivo. Nel modello di Blume{Capel le variabili di spin as-sociate ai siti reticolari possono assumere i tre valori +1; 0 e �1. Ci si porr�a ilproblema di descrivere la formazione di gocce di spin +1 e 0, a partire dalla con-�gurazione in cui tutti gli spin valgono �1. Lo studio della dinamica del modellodi Blume{Capel risulta interessante, tra l'altro, perch�e coinvolge il moto dei tretipi di interfacce +�, +0 e �0, mentre nel caso del modello di Ising, e delle suegeneralizzazioni non simmetriche, l'unica interfaccia coinvolta �e �+.Il capitolo 3 viene dedicato alla caratterizzazione del pi�u generale minimolocale dell'hamiltoniana del modello di Blume{Capel, cio�e all'individuazione dellageometria delle gocce (forma e posizione relativa), e ad uno studio intuitivo delladinamica del sistema; studio che viene e�ettuato calcolando l'energia dei minimilocali ed individuando i meccanismi di crescita e di contrazione a loro disposizione.L'analisi dei tempi tipici in cui si realizzano questi eventi di crescita e di contrazionepermette di introdurre le dimensioni critiche, che nei capitoli successivi permettonodi discriminare tra minimi locali sottocriti e supercritici.Nel capitolo 4 viene discusso in modo rigoroso il problema della criticit�a dialcuni particolari minimi locali, che vengono detti cornici ed i risultati vengonocondensati nel teorema 4.1. La dimostrazione presenta una serie di problemi stret-tamente legati al particolare modello in esame, essi vengono discussi e risolti conargomenti originali, che non si ritrovano in lavori precedenti dedicati al problemadella metastabilit�a. Ad esempio nel calcolo del minimo dell'energia sulla frontieradei bacini d'attrazione dei minimi locali e nella determinazione dei meccanismid'uscita da questi stessi bacini emergono problemi assenti nel caso del modellodi Ising, come conseguenza della maggiore complessit�a della struttura dei minimilocali. v

Nel capitolo 5 viene descritta in modo rigoroso la sorte di un generico mi-nimo locale sfruttando i metodi introdotti e sviluppati a proposito delle cornici;in sostanza viene risolto il problema di quale sia la sorte di una qualsiasi goccia dispin +1 e 0 immersa nel mare di �1.Viene, in�ne, de�nito il bacino d'attrazione allargato A della con�gurazionein cui tutti gli spin hanno valore �1, si tratta dell'insieme all'interno del quale simuove il punto rappresentativo del sistema, quando questo �e nella fase metastabile.L'insieme A riveste un ruolo di fondamentale importanza nella descrizione delcomportamento metastabile del sistema, infatti �e proprio con la sua uscita da Ache viene raggiunta la fase stabile; pertanto caratterizzare l'insieme A �e un passofondamentale che si deve compiere per poter descrivere la nucleazione della fasestabile.L'aver determinato le dimensioni critiche dei minimi locali dell'energia �e unpasso importante nella descrizione del comportamento dinamico del modello diBlume{Capel, infatti permette di capire cosa avviene prima dell'uscita dalla fasemetastabile e permette di de�nire il bacino d'attrazione allargato della con�gu-razione �1 (con�gurazione in cui tutti gli spin hanno valore �1). Lo svilupposuccessivo del lavoro consister�a nel calcolare la vita media dello stato metasta-bile e nel descrivere il raggiungimento della fase stabile. A tal �ne bisogner�adeterminare il tubo di traiettorie nello spazio delle con�gurazioni che, con grandeprobabilit�a, il sistema percorre per uscire dall'insieme A.vi

Capitolo 1.La metastabilit�a.1.1 Teoria di van der Waals{Maxwell.La teoria di van der Waals{Maxwell cerca di descrivere la transizione di faseliquido{vapore con argomenti termodinamico-cinetici; nel 1873 van der Waals pro-pose una equazione di stato per descrivere il comportamento di una mole di gasreale; tale equazione, detta di van der Waals, viene generalmente scritta nellaforma seguente (v � vo)�p+ �2v2� = kT (1:1)ove v �e il volume speci�co e p la pressione del gas, k �e la costante di Boltzmann,T la temperatura assoluta alla quale si trova il gas; vo e � sono due costanticaratteristiche del gas in esame, che vanno scelte in modo da riprodurre al meglioi risultati sperimentali.La (1.1) permette di ricavare le isoterme del gas reale, il loro andamento �e ri-portato nella Fig.1.1; l'andamento di tali curve dipende fortemente dal valore dellatemperatura che le caratterizza. Si pu�o de�nire la temperatura critica Tc come{ 1 {

Fig.1.1 Isoterme del gas reale.quella temperatura al di sopra della quale le isoterme sono funzioni decrescenti. Atemperature T � Tc la teoria di van der Waals prevede per il gas reale un compor-tamento analogo a quello del gas ideale; mentre a T < Tc nell'isoterma compareuna "gobba" di non immediata interpretazione �sica.Il problema �e che a temperature minori del valore critico vi �e un tratto del-l'isoterma cui corrisponde una compressibilit�a negativa, cio�e�1v @v@p < 0 ; (1:2)ci�o �e evidentemente inaccettabile; in altri termini si pu�o dire che gli stati checadono sul tratto crescente dell'isoterma sono meccanicamente instabili.Questa instabilit�a �e legata alla concavit�a della energia libera, infatti dallarelazione @2f@v2 = �@p@v (1:3)e dal fatto che v > 0, si ottiene@2f@v2 < 0()�1v @v@p < 0: (1:4){ 2 {

Quindi dire che il gas ha compressibilit�a negativa, �e equivalente a dire che la suafunzione energia libera ha concavit�a rivolta verso il basso.Una possibile interpretazione degli stati instabili delle isoterme di van der Wa-als fu proposta da J.C. Maxwell nel 1874; la sua idea si pu�o riassumere dicendoche la (1.1) non va interpretata come equazione di stato del sistema omogeneo gasreale, bens�� come equazione che descrive la transizione di fase liquido{vapore. Taleinterpretazione pu�o essere dedotta tramite la costruzione di Maxwell [H].Si consideri l'isoterma p = p(v) caratterizzata dalla temperatura T che sisuppone �ssata; facilmente si ottiene l'energia libera lungo l'isoterma sfruttandola relazione seguente f(v) = f(T; v) = �Zisoterma p(v) dv (1:5)ove T �e la �ssata temperatura; l'andamento della funzione f(v) �e riportato nellaFig.1.2. Si osserva che al tratto crescente dell'isoterma corrisponde il tratto con-cavo dell'energia libera, ovvia conseguenza della (1.4).Si considerino gli stati 1 e 2 sull'isoterma, caratterizzati dalla stessa pressionee dalla stessa energia di Gibbs 8<: p1 = p2g1 = g2 (1:6)ove g �e l'energia libera di Gibbs per particella; si prova agevolmente che richiederela validit�a delle (1.6) �e equivalente a richiedere l' uguaglianza delle aree A e B(Fig.1.2). Sfruttando le (1.6) si pu�o facilmente provare che le rette tangenti algra�co di f(v) nei punti 1 e 2 coincidono.A questo punto si asserisce che l'esatto andamento dell'energia libera del gasreale in funzione del volume speci�co e a temperatura �ssata, lo si ottiene sostitu-endo il tratto compreso tra i punti 1 e 2 sul gra�co di f(v), con il corrispondente{ 3 {

Fig.1.2 Costruzione di Maxwell.tratto sulla retta tangente prima costruita. Inoltre tenendo presente che l'energialibera di Gibbs sul tratto rettilineo della f(v) esatta coincide con g1 = g2 e chel'energia libera di tali stati pu�o essere scritta come combinazione lineare di f1 e f2,si pu�o dare la seguente interpretazione: nello stato 1 il sistema �e nella fase liquida,nello stato 2 �e in quella di vapore, nei rimanenti stati descritti dal tratto rettilineodella curva f(v) esatta il sistema presenta le due fasi in equilibrio.1.2 Stati metastabili nella teoria di van der Waals{Maxwell.Si considera una isoterma di van der Waals con temperatura T inferiore alvalore critico Tc e su di essa gli stati A e D, corrispondenti alla stessa pressione ealla stessa energia libera di Gibbs. Con riferimento alla Fig.1.1 si nota che gli stati{ 4 {

instabili sono quelli rappresentati dai punti dell'arco BC; se su un piano T � vsi riportano i luoghi geometrici dei punti A, B, C e D, si ottengono la curva dicoesistenza e quella "spinodale" (Fig.1.3).v

T

SPQ

RFig.1.3 Curva spinodale e di coesistenza.Fissata la temperatura, sulla curva di coesistenza si possono leggere i valori delvolume speci�co delle fasi pure liquido e vapore alla pressione cui avviene la tran-sizione di fase; mentre la curva spinodale fornisce le coordinate termodinamichedegli estremi dell'arco di instabilit�a.Si supponga di considerare il sistema nello stato descritto dal punto S inFig.1.3 e di farne aumentare la pressione; ad un certo punto il sistema raggiunger�alo stato P. Sperimentalmente si osserva che possono accadere due cose: comincia latransizione di fase vapore{liquido, oppure, sotto opportune condizioni sperimen-tali, facendo aumentare la pressione il sistema permane nella fase di vapore. Inquest'ultimo caso si dice che il vapore �e sovrasaturo. Gli stati di vapore sovra-saturo sono previsti dalle isoterme di van der Waals; essi corrispondono ai puntidell'arco CD nella Fig.1.1.Gli stati descritti dai punti dell'arco CD esistono in natura, cio�e sono osservatisperimentalmente, ma non corrispondono ad un minimo dell'energia libera; questi{ 5 {

stati sono detti metastabili.1.3 Derivazione dell'equazione di van der Waals in Meccanica Statistica.La teoria di van der Waals{Maxwell si fonda su argomenti di tipo cinetico eprescinde dal formalismo gibbsiano della Meccanica Statistica. Nel 1908 Ornsteinricav�o la (1.1) nell'ambito del modello statistico descritto di seguito: si consideraun sistema costituito da N particelle nel volume V descritto dall'hamiltonianaH(~r1; :::; ~rN ; ~p1; :::~pN) = NXi=1 ~p 2i2m + X1�i<j�N �(j~ri � ~rj j) (1:7)ove m �e la massa delle particelle e � �e il potenziale che descrive l'interazione trale particelle. Il potenziale fu scelto da Ornstein nella forma seguente�(r) = q(r) � �V (� > 0) (1:8)ove r �e la distanza tra due particelle e q(r) �e la funzioneq(r) = 8<:1 se r � ro0 se r > ro (1:9)ove ro rappresenta il diametro delle particelle che vengono immaginate come sferedure. L'interazione �e a due corpi, in essa q(r) rappresenta il contributo dell'hard{core, mentre �V rappresenta il termine attrattivo costante in r.Il problema, come sempre accade in meccanica statistica, �e rappresentato dalcalcolo della funzione di partizioneZ(V;N; T ) = 1N ! ZV :::ZV d~r1:::d~rN Z :::Z d~p1:::d~pN e��H(~r1;:::;~rN ;~p1;:::~pN)(1:10){ 6 {

avendo posto � = 1kT . Con facili calcoli si trovaZ(V;N; T ) = �Ne��V N(N�1)2 Zhc(V;N) (1:11)ove � = (2�mkT ) 32 (1:12)�e stato ottenuto integrando sui momenti eZhc(V;N) = 1N ! ZV :::ZV d~r1:::d~rNe��P1�i<j�N q(j~ri�~rj j) (1:13)rappresenta la funzione di partizione di un sistema di sfere dure di diametro ro.Il calcolo della funzione Zhc(V;N) �e tutt'altro che banale, lo si sa e�ettuare inmodo esatto solo nel caso unidimensionale; questo sistema costituito da sbarretteimpenetrabili di lunghezza ro �e detto gas di Tonks. Si ottieneZd=1hc (V;N) = 1N ! [V � (N � 1)vo]N (1:14)avendo posto vo = ro. Questa espressione rappresenta un valore approssimatodella Zhc(V;N) nel caso di dimensione maggiore di uno; usando questo risultatosi pu�o scrivere la funzione di partizione del gas in modo approssimato e quindicalcolare l'energia libera per particella nel limite termodinamico.Con rapidi calcoli si ottiene l'energia libera per particella��f(v; T ) = limN;V!1 1N ln Z(V;N; T ) = 32 ln(2�mkT )+1+ ��2v +ln(v�vo) (1:15)ove il limite �e stato calcolato mantenedo v = VN costante, e quindi la pressione delgas p = �@f@v (v; T ) = kT (v � vo)�1 � �2v2 ; (1:16){ 7 {

le isoterme del modello di Ornstein hanno, quindi, lo stesso andamento di quelle divan der Waals e l'energia libera non �e una funzione convessa del volume speci�co.In meccanica statistica si prova che la funzione energia libera di un qualsiasimodello �e convessa [T], purch�e il potenziale che descrive l'interazione tra le par-ticelle del sistema soddis� a certi requisiti di decadimento a grandi distanze; peresempio un'interazione di portata �nita rientra tra quelle accettabili. La convessit�adell'energia libera implica, come abbiamo visto poc'anzi, che gli stati di equilibriodescritti dalla distribuzione di Gibbs sono stabili, cio�e quantit�a come la compressi-bilit�a isoterma, la suscettibilit�a magnetica ed il calore speci�co sono non negative.Nel caso del modello di Ornstein la funzione energia libera risulta non convessaperch�e la portata dell'interazione �e dello stesso ordine delle dimensioni del sistema.Nel 1963 Kac, Uhlenbeck e Hemmer introdussero un modello di gas reale pi�uaderente alla realt�a �sica, in cui le particelle vengono considerate come sfere dure,ma la loro interazione ha portata �nita; in una serie di tre articoli dimostrarono, nelcaso unidimensionale, che l'energia libera del loro modello ha lo stesso andamentodi quella che si ottiene con la costruzione di Maxwell [K],[U] e [HE]. Una discussionepi�u generale del problema fu fornita da Lebowitz e Penrose nel 1966 [LP] e [PL2];questi autori considerarono il solito sistema costituito da N sfere dure nel volumeV , ma come potenziale attrattivo scelsero�(~r) = � dK( j~rj) (1:17)ove d �e il numero di dimensioni, �e una costante strettamente positiva il cuiinverso rappresenta la portata dell'interazione attrattiva e K �e una funzione nonnegativa e su�cientemente regolare.Lebowitz e Penrose riuscirono a provare che nel limite !1 l'energia liberadel sistema �e convessa e coincide con quella ottenuta mediante la costruzione di{ 8 {

Maxwell con � = �Z �(~r)d~r (1:18)ove l'integrale �e esteso a tutto lo spazio di dimensione d.1.4 Stati metastabili nel modello di Ising.Il modello di Ising �e il pi�u semplice dei modelli statistici che tentano di simulareil comportamento di un materiale ferromagnetico. Si consideri il reticolo �nito d{dimensionale �N = f1; 2; ::::::Ngd � Zd, ad ognuno dei suoi j�N j = Nd vertici siassocia la variabile di spin sx con x 2 �N ; tale variabile pu�o assumere i due valori+1 e �1. Lo spazio delle con�gurazioni associato al sistema �e = f�1;+1g�Ne consta di 2j�N j elementi, in altri termini si pu�o asserire che per il sistema visono 2j�N j possibili con�gurazioni. La de�nizione del modello viene completataassegnando la funzione hamiltonianaH(S�N ) = �J X<x;y> sxsy � h Xx2�N sx (1:19)ove S�N 2 �e una qualsiasi con�gurazione del sistema, la prima delle due somme�e estesa alle coppie di siti primi vicini, sx �e il valore della variabile di spin nelsito x quando il sistema �e nella con�gurazione S�N , J �e una costante strettamentepositiva che regola l'accoppiamento tra due spin primi vicini ed h �e una costantereale che rappresenta il campo magnetico esterno.Detta T la temperatura del sistema all'equilibrio termico, il sistema �e descrittodalla distribuzione di Gibbs ��;h;�N = e��H(S�N )Z�N (�; h) (1:20){ 9 {

ove � = 1kT , k �e la costante di Boltzmann e la normalizzazione Z�N (�; h), dettafunzione di partizione, �e data daZ�N (�; h) = XS�N2 e��H(S�N ): (1:21)Tutte le propriet�a termodinamiche del sistema all'equilibrio termico possonoessere ricavate a partire dalla funzione di partizione. Ad esempio la funzioneenergia libera per sito nel limite termodinamico �e de�nita dalla relazionef(T; h) = limj�N j!1 �kT lnZ�N (�; h)j�N j (1:22)e da questa si deduce la magnetizzazione per sito nel limite termodinamicom(T; h) = ��@f@h�T : (1:23)Nel 1944 Onsager risolse il modello di Ising bidimensionale in assenza di campomagnetico esterno e mostr�o che il sistema alla temperatatura Tc data daJkTc = ln(1 +p2)2 ' 0:4406868 (1:24)presenta una transizione di fase del secondo ordine. Il sistema �e nella fase para-magnetica quando T � Tc, altrimenti �e in quella ferromagnetica. Il parametrod'ordine di tale transizione �e la magnetizzazione spontaneam(T; 0) = limh!0m(T; h) (1:25)che fu calcolata da Yang nel 1952 [Y]:m(T; 0) = � 0 T � Tc�f1� [sinh(2�J)]�4g 18 T < Tc : (1:26){ 10 {

T

m

Fig.1.4 Magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura.L'andamento della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura �eriportato in Fig.1.4.L'esistenza di una transizione di fase del secondo ordine pu�o essere evidenziataanche con un calcolo approssimato della funzione di partizione; seguendo il metododell'approssimazione di Bragg{Williams, [H], si ottiene l'equazione di campo mediom = tanh[�(4Jm+ h)] (1:27)ove m �e la magnetizzazione alla temperatura T e con il campo esterno h. Ripor-tando h in funzione di m a temperatura �ssata, si ottengono i gra�ci di Fig.1.5,dai quali risulta evidente che alla temperatura T bwc avviene la transizione dallafase ferromagnetica a quella paramagnetica. La temperatura critica T bwc �e tale cheJkT bwc = 0:25 (1:28)ed �e maggiore di quella che si ottiene risolvendo esattamente il modello.Si consideri una isoterma a temperatura T < T bwc e, con riferimento allaFig.1.6, si supponga che il sistema sia nello stato descritto dal punto F. Si suppongadi far aumentare h mantenendo T costante, il punto rappresentativo del sistema sisposter�a verso A lungo l'isoterma. Quando il campo esterno raggiunger�a il valore{ 11 {

m

h

Fig.1.5 Rappresentazione gra�ca dell'equazione di campo medio.zero, il sistema presenter�a magnetizzazione spontanea negativa, ovvero vi sar�apredominanza di spin gi�u.Si supponga, ora, di portare il campo magnetico esterno ad un valore stretta-mente positivo, ma piccolo. Il sistema si porter�a nella fase con predominanza dispin su, cio�e il suo punto rappresentativo sar�a H; ci�o avviene perch�e l'energia liberadello stato H �e inferiore a quella dello stato G, in altri termini lo stato di equilibriostabile con i �ssati valori di temperatura e di campo esterno �e rappresentato dalpunto H.-1 1

F

AG

B

C

DH m

h

Fig.1.6 Rappresentazione gra�ca dell'equazione di campo medio T < Tc.{ 12 {

Sotto opportune condizioni sperimentali, pu�o accadere che il sistema per-manga nella fase con maggioranza di spin gi�u, il suo punto rappresentativo sar�aG. In questo caso si dir�a che il sistema �e in uno stato metastabile: il sistema haraggiunto uno stato di equilibrio corrispondente ad un minimo relativo, ma non alminimo assoluto dell'energia libera.Il problema di calcolare le funzioni termodinamiche nella fase metastabile nonpu�o essere risolto con il formalismo gibbsiano: se per stato si intende una misura diprobabilit�a sullo spazio delle fasi del sistema e per stato gibbsiano si intende quelloche corrisponde alla misura di probabilit�a di Gibbs, allora gli stati di Gibbs sononecessariamente stati di equilibrio termodinamico, cio�e corrispondono al minimodell'energia libera [LR].Si supponga di aver �ssato la temperatura ad un valore T < Tc, si consi-dera la funzione energia libera f(H), con H = 2hT , il cui andamento �e riportatoin Fig.1.7; tale funzione non descrive il comportamento metastabile del sistemaperch�e �e l'energia libera associata agli stati di equilibrio stabile. Agli stati me-tastabili �e associata una funzione energia libera che in Fig.1.7 �e rappresentatadalla curva tratteggiata.H

f

Fig.1.7 Energia libera del modello di Ising a T < Tc.{ 13 {

Come ottenere questo tratto di curva? Si pu�o considerarae la funzione f(H)nella variabile reale e non positiva H e quindi considerare il suo prolungamentoanalitico F(H) a tutto il piano complesso C; la funzione F(H) per H > 0 edH piccolo sar�a l'energia libera della fase metastabile. �E evidente che in questoapproccio �e insito un problema: spiegare il motivo per cui estrapolando ad H > 0le funzioni termodinamiche ottenute per H < 0 si ottengono delle funzione chedescrivono la fase metastabile.Ma c'�e di pi�u: il teorema dimostrato da Isakov nel 1984 mette in luce l'im-possibilit�a di e�ettuare il prolungamento analitico di f(H) nella regione H > 0.Teorema 1.1Posto limH!0 1k! @kf@Hk = Ak;si ha Ak = (k!) 1d�1 [2(d� 1)(E +C�)]� kdd�1 k > Ed (1:29)ove H 2 fH 2 C : �2 +M < argH < 3�2 �Mg, M 2 R, E = 2JT eC �e una variabile reale che dipende solo dalla dimensione d � 2.Conseguenza di questo teorema �e la non sviluppabilit�a in serie di Taylor dellafunzione f(H) in un intorno del punto H = 0, infatti la serieA0 +A1H +A2H2 + ::::::::::+AkHk + ::::::: (1:30)non converge per ogni H 6= 0. Pertanto il punto H = 0 �e un punto di nonanaliticit�a per la funzione f(H), quindi non �e possibile prolungare analiticamentela funzione f(H) sul semiasse reale positivo. Si deve quindi concludere che non �epossibile ottenere le funzioni termodinamiche della fase metastabile estrapolandoquelle ottenute per la fase stabile. { 14 {

1.5 Teoria classica della nucleazione.Si �e visto come gli stati metastabili possono essere descritti nell'ambito diuna teoria di campo medio; il primo tentativo di darne una descrizione cinetica �ecostituito dalla teoria classica della nucleazione formulata da Becker e D�oring nel1935; la necessit�a di una descrizione dinamica del fenomeno era stata intuita gi�ada J.C.Maxwell [B],[BD] e [PL1].Egli sosteneva che uno stato metastabile pu�o esistere se non vi sono traccedella seconda fase; ad esempio il vapore pu�o essere sovrasaturo se al suo internonon vi sono gocce di liquido. Allora saper descrivere lo stato di vapore sovrasaturovuol dire saper descrivere la formazione di una goccia di liquido all'interno delvapore stesso; in altri termini capire perch�e un sistema permane in uno statometastabile vuol dire capire come il sistema fuoriesce da questo e si porta nellostato stabile [M].Si considera il sistema costituito da una massa M di vapore contenuta inun recipiente di volume V , si denota con Cl una goccia di liquido costituita da lparticelle (nel seguito si user�a la locuzione l{cluster) . Si considera l'energia liberaFl di una goccia di liquido di dimensione l e conmeql si indica il numero di l{clusterper unit�a di volume che si trovano all'interno della fase di vapore all' equilibriotermodinamico.Si pu�o ragionevolmente ipotizzare che l'energia libera abbia due contributi,uno di volume ed uno super�ciale; pertanto si scriveFl = lf + l d�1d s (1:31)ove f va intesa come l'energia libera per particella nella fase densa, s �e propor-zionale alla tensione super�ciale e d �e il numero di dimensioni dello spazio in cui{ 15 {

ll*

F

Fig.1.8 Energia libera di un l-cluster.si trova il gas. L'andamento di Fl dipende dai valori delle due costanti f ed s; ledue possibili situazioni sono illustrate nella Fig.1.8.Si vuole ora descrivere la dinamica delle gocce Cl, si ipotizza che un si�attocluster possa crescere e ridursi per condensazione ed evaporazione di una singolaparticella. Allora si possono scrivere le equazioni8><>: @ml@t (t) =Gl�1ml�1(t) �Glml(t) + Sl+1ml+1(t) � Slml(t) l � 2@m1@t (t) =�G1m1(t) + S2m2(t) l = 1 (1:32)ove G ed S sono i tassi di crescita e di scomparsa di un l-cluster.�E ragionevole assumere che all'equilibrio valga la condizione del bilancio det-tagliato tra il processo di crescita e di scomparsaGlmeql = Sl+1meql+1 �W (l; 1) (1:33)allora le (1:32) si riscrivono come segue@ml@t (t) =W (l � 1; 1)�ml�1(t)meql�1 � ml(t)meql �+W (l; 1)�ml+1(t)meql+1 � ml(t)meql � l � 2:(1:34)Si e�ettuano gli sviluppi in serie di Taylor troncati al second'ordineml�1(t)meql�1 =ml(t)meql � @@l �ml(t)meql �+ 12 @2@l2 �ml(t)meql �W (l � 1; 1) =W (l; 1) � @W (l; 1)@l (1:35){ 16 {

e si trasforma la (1:34) nella seguente equazione di�erenziale@ml@t (t) = @@l �W (l; 1) @@l �ml(t)meql �� : (1:36)Questa equazione di�erenziale ha la struttura di una equazione di continuit�a nellospazio delle dimensioni dei cluster ed �e l'equazione che descrive l'evoluzione di unagoccia di liquido all'interno della fase vapore.Se si suppone che la crescita e la scomparsa di una goccia possono avvenireper condensazione ed evaporazione di cluster di dimensione maggiore di 1, allorala (1:36) si generalizza nel modo seguente@ml@t (t) = @@l �meql Rl @@l �ml(t)meql ��= @@l �Rl @@lml(t) � @@l (�Fl)Rlml(t)� (1:37)ove Rl gioca il ruolo di W (l; 1) nella (1:36) e tiene in conto la possibilit�a che duecluster Cl e Cl0 coalescano. Tenendo presente la (1:37) si pu�o de�nire la correntedi cluster nello spazio delle sue dimensioniJl = � @@l �meql Rl @@l �ml(t)meql �� (1:38)che �e costituita da due termini: il termine di di�usione �Rl @@lml(t) ed il terminedi drift @@l (�Fl)Rlml(t).La soluzione generale della (1:37) non pu�o essere trovata, ciononostante si pos-sono ottenere numerose informazioni sul comportamento del sistema. Si suppongache Fl sia non monotona, allora per l < l� il termine di drift si oppone alla di�u-sione, mentre per l > l� la favorisce. Questo �e evidente anche in modo intuitivo:per l < l� la funzione Fl �e crescente, pertanto l'energia del sistema diminuiscequando scompare un cluster di dimensione inferiore a quella critica.{ 17 {

l

m

Fig.1.9 Distribuzione stazionaria degli l-cluster.�E lecito aspettarsi che il sistema, dopo un certo transiente, raggiunga unasituazione stazionaria; questa funzione mssl la si ricava come soluzione stazionariadella (1:37) con condizioni ai limitiliml!0 msslmeql = 1liml!1 msslmeql = 0 ; (1:39)l'andamento di tale funzione �e riportato in Fig.1.9.Se le coordinate termodinamiche del sistema sono tali che lo stato di equilibriostabile �e quello in cui vi �e coesistenza tra le due fasi, ma l'energia libera dei cluster�e non monotona, allora il sistema permane nella fase di vapore. Al suo internosi formano delle piccole gocce di liquido, cio�e gocce di taglia inferiore a quellacritica, che tendono a scomparire; si raggiunge una situazione stazionaria in cuila distribuzione delle gocce di liquido in funzione della loro dimensione �e costantenel tempo. Ma nello spazio delle dimensioni dei cluster vi �e una corrente Jl che�e non nulla anche per l = l�, ci�o vuol dire che nel sistema si formeranno goccesupercritiche ad una velocit�a Jl� . Queste gocce tenderanno a crescere per via deltermine di drift e saranno responsabili della fuoriuscita del sistema dallo statometastabile e dello stabilirsi della fase liquida. Il fenomeno ora descritto �e detto{ 18 {

nucleazione e la velocit�a alla quale avviene, Jl�, �e detta velocit�a di nucleazione.La teoria classica della nucleazione mette il luce gli stati metastabili delsistema liquido{vapore e permette di dare una descrizione qualitativa del suo com-portamento in tale stato e della fuoriuscita da esso. Questa teoria �e senza dubbionon soddisfacente, in essa l'energia libera dei cluster gioca un ruolo di primariaimportanza pur non essendo stata introdotta a partire dai principi della mecca-nica statistica; per�o �e interessante perch�e mette in evidenza l'importanza dellanozione di goccia critica, frutto della competizione tra energia libera di volume etensione super�ciale. Ma la teoria classica della nucleazione ha il grande limitedi fornire una descrizione troppo sempli�cata del fenomeno della nucleazione: ilproblema non viene studiato nello spazio delle con�gurazioni, che ha dimensionepraticamente in�nita, ma nello spazio dei valori delle taglie dei cluster, che �e uni-dimensionale; cos�� facendo si perde completamente la possibilit�a di una descrizionedella geometria del fenomeno, perch�e l'unico parametro che caratterizza una goccia�e il numero di particelle contenute in essa.La teoria classica della nucleazione prevede che a bassa temperatura il mecca-nismo di uscita dalla fase metastabile sia quello della nucleazione, ma non chiarisceper quale motivo si pu�o trascurare la coalescenza: all'interno del sistema, nella fasemetastabile di vapore, si potrebbero formare delle gocce di liquido, la loro "fu-sione" potrebbe essere responsabile del raggiungimento della fase stabile da partedel sistema. Ci�o pu�o essere giusti�cato in modo intuitivo osservando che a bassatemperatura la concentrazione di gocce di liquido �e estremamente bassa, pertantola loro distanza media �e elevata e quindi la probabilit�a che due cluster coalescano �etrascurabile. Ma questo argomento �e valido all'equilibrio, durante la fase di nucle-azione non �e applicabile; in sostanza manca una giusti�cazione rigorosa del fatto{ 19 {

che a bassa temperatura si pu�o trascurare il fenomeno della coalescenza quando sidescrive l'uscita del vapore dalla fase metastabile.Nel seguito l'uscita da uno stato metastabile verr�a descritta studiando in modorigoroso sistemi stocastici del tipo delle dinamiche di Glauber; lo studio verr�a ef-fettuato sempre a bassa temperatura e si dimostrer�a che in questa situazione ilfenomeno della coalescenza pu�o essere trascurato. Inoltre il fenomeno della nucle-azione verr�a descritto in modo dettagliato, tenendo presente anche la geometriadei cluster e non soltanto la loro taglia.1.6 Metodo degli ensemble statistici ristretti.Si vuole ora esaminare un primo tentativo di descrizione rigorosa degli statimetastabili; si tratta del metodo degli ensemble statistici ristretti proposto daPenrose e Lebowitz nel 1971 [PL1] [PL2].La teoria deve cercare di riprodurre le propriet�a fondamentali degli stati ter-modinamici metastabili; ci�o che emerge dalla teoria di campo medio, dalla teoriaclassica della nucleazione e dall'osservazione sperimentale pu�o essere cos�� sintetiz-zato:(i) se il sistema �e in uno stato metastabile, allora in esso �e presente una sola fase,nonostante le coordinate termodinamiche abbiano valori tali da far prevederela presenza di due o pi�u fasi in equilibrio. Per piccole variazioni delle variabilitermodinamiche il sistema si comporta in accordo con le leggi della termodi-namica, come se fosse in uno stato di equilibrio stabile; ma grandi variazionidei parametri possono causare l'uscita del sistema dallo stato metastabile.(ii) Se il sistema �e isolato, allora pu�o uscire dallo stato metastabile per e�etto di{ 20 {

grandi uttuazioni (ad esempio nel caso del vapore sovrasaturo, una grande uttuazione di densit�a pu�o condurre alla formazione di una goccia supercri-tica che nuclea la fase stabile), ma queste sono assai improbabili, pertanto ilsistema permane nella fase metastabile per tempi lunghissimi.(iii) L'uscita del sistema dallo stato metastabile �e un processo irreversibile.La prima di questa tre propriet�a riguarda il comportamento statico del sistemanello stato metastabile, mentre le altre due riguardano il suo comportamento dina-mico; una teoria rigorosa deve cercare di spiegare entrambi questi aspetti. In altritermini bisogna chiarire sia il comportamento d'equilibrio di uno stato metastabile,sia quello di non{equilibrio, ovvero l'uscita dallo stato metastabile medesimo.Nel formalismo gibbsiano della meccanica statistica un sistema a temperatura�ssata T viene descritto mediante l'ensemble canonico: si consideri un sistema�sico, sia � il relativo spazio delle fasi e sia � l'insieme delle variabili che individuanoi punti di �; si considerino in�nite copie dello stesso sistema e si supponga chequeste siano distribuite in � secondo la funzione densit�a �(�), cio�e la frazione disistemi che si trovano nel volumetto d� dello spazio delle fasi centrato sullo statoindividuato da � �e dato da �(�) d� : (1:40)L'insieme di sistemi prima considerato costituisce un ensemble statistico, perdescrivere un sistema a temperatura costante bisogna considerare l'ensemble ca-nonico, che �e caratterizzato dalla funzione densit�a di Gibbs�(�) = 1Z(T ) e��H(�) (1:41)ove H(�) �e l'hamiltoniana del sistema e Z(T ) �e la funzione di partizione Z(T ) ={ 21 {

R� d� e��H(�). Considerata una qualsiasi osservabile �sica E(�) associata al sistemain esame, il suo valore all'equilibrio termodinamico �e dato dal valor medio di E(�)calcolato sull'ensemble canonicohEi = R� d� E(�)e��H(�)R� d� e��H(�) : (1:42)Per descrivere le propriet�a statiche di uno stato metastabile, si pu�o pensaredi introdurre delle restrizioni al moto del punto rappresentativo del sistema nellospazio delle fasi; cos�� facendo si pu�o impedire al sistema la nucleazione della fasestabile. Le propriet�a di questo sistema modi�cato, potranno essere usate comeun'approssimazione del comportamento del sistema reale nella fase metastabile.In altri termini l'idea �e di precludere una regione dello spazio delle fasi al puntorappresentativo del sistema, in modo che il calcolo dei valori medi su questo en-semble ristretto fornisca uno stato di quasi equilibrio in cui �e presente una solafase.Detta R � � la regione dello spazio delle fasi in cui il punto rappresentativodel sistema viene con�nato, si de�nisce la funzione densit�a ristretta�R(�) = � 1ZR(T ) e��H(�) � 2 R0 altrimenti (1:43)ove ZR(T ), la funzione di partizione associata all'ensemble canonico ristretto, vienescelta in modo che R� d� �R(�) = 1.Perch�e l'ensemble ristretto descriva lo stato metastabile, devono essere sod-disfatte anche le propriet�a (ii) e (iii) precedentemente elencate. Una volta de�nitol'ensemble ristretto R bisogna veri�care che siano piccolela probabilit�a P (t) che il punto rappresentativo del sistema esca da R in untempo t supposto che all'istante iniziale 0 si trovava in R;{ 22 {

la probabilit�a che, una volta uscito da R, il sistema vi rientri.Per veri�care che P (t) sia piccola si de�nisce �(t) = �dP (t)dt , che rappresenta la"velocit�a" con cui i sistemi fuoriescono da R, e si dimostra che �(t) � �(0) 8t � 0;pertanto per veri�care che l'uscita dallo stato metastabile �e lenta, bisogna calcolare�(0) e mostrare che �e piccola.Quelle appena delineate sono le idee guida alla base del metodo dell'ensembleristretto per la descrizione di uno stato metastabile; a questo punto il problemadiventa dipendente dal particolare caso in esame; cio�e, dato il sistema �sico di cuisi vogliono studiare gli stati metastabili, bisogna capire come de�nire l'ensembleristretto. A titolo di esempio si mostra come pu�o essere de�nito l'ensemble ristrettoper il sistema di Van der Waals: sia V il volume all'interno del quale si trova ilgas, si suddivide questo volume in cellette ! e si impone che la densit�a all'internodi queste cellette non sia troppo alta; inoltre le cellette ! non vanno scelte troppograndi, altrimenti la separazione tra le fasi potrebbe avvenire all'interno dellecellette stesse.Il metodo dell'ensemble ristretto permette di dare una de�nizione rigorosadegli stati metastabili e di studiarne le propriet�a, ma comunque si tratta di un ap-proccio non soddisfacente, in primo luogo per l'arbitrariet�a nella scelta delle restri-zioni da imporre al moto del punto rappresentativo del sistema nello spazio dellefasi. In secondo luogo non fornisce una descrizione soddisfacente delle propriet�adinamiche del fenomeno, l'unica quantit�a che emerge �e la velocit�a di fuga �(0), ched�a indicazioni solo sulla tendenza iniziale del sistema ad abbandonare l'ensembleristretto R.Ma vi �e un problema ancora pi�u profondo: l'approccio basato sulla "evoluzione{ 23 {

degli ensembles" non permette di discriminare tra il fenomeno della nucleazioneed un meccanismo d'uscita lento dalla fase metastabile. Studiando le dinamichedi Glauber si capisce che la nucleazione avviene a causa di grandi uttuazioni, chedanno origine ad una goccia supercritica che invade rapidamente tutto il sistema.L'istante in cui si forma la goccia supercritica, cio�e l'istante in cui avviene lanucleazione, �e completamente indeterminato, il suo valore di aspettazione e loscarto quadratico medio sono dello stesso ordine di grandezza. In conclusione lanucleazione della fase stabile non �e un fenomeno di crescita lenta di "frammenti"della fase stabile all'interno di quella metastabile (ad esempio gocce di liquido checrescono lentamente nel vapore sovrasaturo), bens�� si tratta di un fenomeno cherepentinamente conduce il sistema nella fase stabile, per e�etto del manifestarsidi una goccia supercritica ad un istante di tempo imprevedibile.In contrasto con l'evoluzione brusca del singolo sistema, l'evoluzione dell'en-semble �e lenta e regolare: infatti mediando su tutto l'ensemble, per e�etto dellagrande incertezza sull'istante in cui avviene la nucleazione, si ha che grandezzemacroscopiche (come la magnetizzazione nel caso di sistemi magnetici) evolvonolentamente ed in modo regolare. Pertanto la descrizione che il metodo basato sul-l'evoluzione degli ensembles fornisce dell'uscita di un sistema dalla fase metastabile�e compatibile sia con il meccanismo della nucleazione, sia con una evoluzione lentae regolare.{ 24 {

Capitolo 2.Metastabilit�a nel modello di Ising stocastico.2.1 Dinamiche di Glauber.Nel capitolo precedente �e stata illustrata la problematica degli stati metastabilie sono stati esposti alcuni tentativi di descriverne le principali propriet�a; da quantodetto emerge l'assenza di una teoria rigorosa e generale che permetta di descriverela fase metastabile. �E quindi evidente l'importanza che riveste il tentativo distabilire risultati esatti sull'argomento, perlomeno nel caso di sistemi semplici comeil modello di Ising.Per descrivere la metastabilit�a del modello di Ising �e necessario capire come ilpunto rappresentativo del sistema si muova nello spazio delle con�gurazioni (perla notazione ci si rif�a a quella introdotta nel paragrafo 1.4), in altri termini �ssatala con�gurazione iniziale �0 2 bisogna capire qual �e la traiettoria che il sistemadescrive nello spazio . Il problema �e, quindi, de�nire una legge che permetta didedurre la dinamica del modello.In primo luogo si pu�o osservare che �e sensato richiedere che la dinamica sia{ 25 {

stocastica: �ssata la con�gurazione all'istante t, �t = � 2 , non �e possibileprevedere in modo deterministico quale sar�a la con�gurazione all'istante genericot0 > t, tutto ci�o che si pu�o dire �e con quale probabilit�a accadr�a �t0 = � 2 .Si richiede, inoltre, che la dinamica sia markoviana, cio�e nota �t = � 2 , ilcomportamento del sistema ad istanti t0 > t pu�o essere previsto indipendentementeda ci�o che �e accaduto ad istanti t0 < t. In altri termini se un sistema evolve secondouna dinamica markoviana, allora il sistema stesso non ha memoria del "passato",�e su�ciente conoscere il "presente" per prevedere il "futuro".Per descrivere l'evoluzione del sistema si considera una variabile temporalediscreta t = 0; 1; 2; :::::::::::: (2:1)e si indica con �t lo stato del sistema all'istante t; poich�e si richiede che la di-namica sia non deterministica, allora le variabili �t 8t � 0 vanno intese comevariabili stocastiche de�nite su un comune spazio di probabilit�a e questo spazio �e. L' evoluzione del sistema avviene rispetto ad una variabile temporale discreta,pertanto si dir�a che la dinamica del sistema �e costituita da una catena.Per far s�� che il sistema non abbia memoria, si impone che la dinamica soddis�alla propriet�a di MarkovP (�t+1 = �t+1j�0 = �0; :::; �t = �t) = P (�t+1 = �t+1j�t = �t) (2:2)ove �0:::�t+1 sono delle generiche con�gurazioni di . Si pu�o quindi concludereche l'evoluzione del modello di Ising �e descritta da una catena di Markov.La probabilit�a condizionale P (�t+1 = �j�t = �) 8�; � 2 �e detta probabilit�adi transizione, si suppone che essa sia indipendente dall'istante di tempo t; allorasi dir�a che il modello evolve secondo una catena di Markov stazionaria. Da quanto{ 26 {

appena detto appare evidente che per de�nire in modo completo la dinamica delsistema bisogna introdurre la funzione di transizioneP (�; �) = P (�1 = �j�0 = �) 8�; � 2 (2:3)che deve godere delle propriet�a8>><>>: P (�; �) � 0 8�; � 2 X�2P (�; �) = 1 8� 2 (2:4)e che fornisce la probabilit�a che il sistema ad un generico istante di tempo saltidallo stato � allo stato �, infatti in virt�u della stazionariet�a della probabilit�a ditransizione si pu�o scrivereP (�t+1 = �j�t = �) = P (�; �) 8�; � 2 ;8t � 1 : (2:5)Si considerino in�nite copie del sistema e si supponga che all'istante iniziale t = 0siano distribuite in in accordo con la distribuzione di probabilit�a �0(�) 8� 2 ,cio�e: �0(�) = P (�0 = �) 8� 2 ; (2:6)la funzione �0(�) �e detta distribuzione iniziale della catena, le condizioni cui devesoddisfare sono 8>><>>: �0(�) � 0 8� 2 X�2 �0(�) = 1 : (2:7)A partire da �0(�) �e possibile determinare la misura evoluta al tempo t > 0; detta�t(�) la legge di distribuzione all'istante t � 0, si ha:�t(�) =X�2 �0(�)P t(�; �) 8t � 1;8� 2 (2:8){ 27 {

avendo introdotto la funzione di transizione dopo t passiP t(�; �) = X�12 ::: X�t�12P (�; �1)P (�1; �2):::P (�t�1; �) 8�; � 2 ; 8t � 2 : (2:9)Si consideri la funzione di distribuzione �(�) soddisfacente la condizione di norma-lizzazione analoga alla (2.7), si dice che �(�) �e stazionaria rispetto alla catena diMarkov se e solo se X�2 �(�)P (�; �) = �(�) 8� 2 ; (2:10)questa de�nizione �e interessante perch�e si dimostra che se la distribuzione inizialedella catena �0(�) �e stazionaria, allora la funzione di distribuzione non dipender�adall'istante t e sar�a sempre coincidente con �0(�), cio�e�0(�) stazionaria =) �t(�) � �0(�) 8t � 1 : (2:11)Si introduce, ora, l'importante nozione di reversibilit�a di una catena di Markovrispetto ad una funzione di distribuzione: considerata la distribuzione �(�) sod-disfacente le solite condizioni di normalizzazione, si dice che la catena di Markov�e reversibile rispetto a �(�) se e solo se�(�)P (�; �) = �(�)P (�; �) : (2:12)Vale il seguente risultatocatena reversibile rispetto a �(�) =) �(�) stazionaria ; (2:13)infatti facendo uso della (2.12) si haX�2 �(�)P (�; �) =X�2 �(�)P (�; �) ;{ 28 {

e quindi X�2 �(�)P (�; �) = �(�)X�2P (�; �) = �(�) :Se la distribuzione di Gibbs ��;h;�N , de�nita dalla (1.10), �e stazionaria rispettoalla catena di Markov, allora qualunque sia la distribuzione iniziale la catena con-verge a ��;h;�N nel limite t ! 1. Pertanto �e sensato richiedere che la dinamicadel modello di Ising sia descritta da una catena di Markov reversibile rispetto aquesta distribuzione, ovvero��;h;�N (�)P (�; �) = ��;h;�N (�)P (�; �) 8�; � 2 ; (2:14)ci�o vuol dire che la funzione di transizione deve soddisfare al principio del bilanciodettagliato.Una ulteriore condizione che si impone alla dinamica del modello, �e che l'evo-luzione del sistema avvenga per singola inversione di spin, cio�e la funzione ditransizione P (�; �) deve essere uguale a zero se � non pu�o essere ottenuta a partireda � invertendo un solo spin.In conclusione si pu�o asserire che l'evoluzione del modello di Ising avviene perinversione di un singolo spin alla volta ed �e descritta da una catena di Markov ca-ratterizzata da una funzione di transizione stazionaria e soddisfacente al principiodel bilancio dettagliato; una dinamica cos�� de�nita �e detta dinamica di Glauber.2.2 Dinamica di Metropolis.Per descrivere l'evoluzione del modello di Ising nel seguito verr�a usata la dina-mica di Metropolis, si tratta di un particolare esempio di dinamica di Glauber. Percaratterizzarla in modo de�nitivo bisogna de�nire la funzione di transizione; per{ 29 {

capire in base a quali criteri questa viene de�nita, �e utile una descrizione intuitivadel moto del punto rappresentativo del sistema nello spazio delle con�gurazioni .

Fig.2.1 Panorama delle energie nel modello di Ising.Ad ogni con�gurazione � 2 �e associata l'energia H(�), in modo del tuttosimbolico si pu�o tentare di rappresentare gra�camente la funzioneH(�) riportandosu un piano lo spazio e su un asse ad esso ortogonale i valori dell'energia H(�);ci�o che si ottiene �e riportato in Fig.2.1. Il moto del punto rappresentativo delsistema va immaginato in questo tortuoso panorama delle energie fatto di valli edi picchi distribuiti in modo complicato; il sistema si muover�a saltando da unacon�gurazione all'altra cambiando, per�o, ad ogni salto il valore di un solo spin. Ilsistema, quindi, si muove nello spazio delle con�gurazioni seguendo traiettoriecostituite da con�gurazioni prime vicine:�; � 2 con�gurazioni prime vicine () 9x 2 �N : � = �x (2:15){ 30 {

essendo �x la con�gurazione di seguito de�nita�x(y) = 8<: �(y) 8y 2 �N e y 6= x��(y) y = x : (2:16)Si pu�o supporre che i salti del sistema avvengano verso con�gurazioni ad energiapi�u bassa, ma accanto a questo moto di deriva va considerata anche una compo-nente entropica, che permette al sistema di muoversi verso stati ad energia pi�ualta; in altri termini per e�etto del termine entropico il sistema pu�o scavalcarebarriere energetiche. La probabilit�a di transizioni sfavorite energeticamente deveessere piccola e deve annullarsi a temperatura zero, cio�e per T ! 0 solo gli eventifavoriti energeticamente devono essere permessi.Sulla base di quanto �e stato appena detto si de�nisce la funzione di transizionenel modo seguente: prese due con�gurazioni �; � 2 si pone P (�; �) = 0 se non sitratta di con�gurazioni prime vicine. In caso contrario 9x 2 �N : � = �x, si pone�xH(�) = H(�x)�H(�) = H(�) �H(�) (2:17)e si assume che la transizione � ! � avvenga con probabilit�a 1j�N j se �xH(�) � 0,oppure con probabilit�a e��xH(�)j�N j . In conclusione la funzione di transizione �e cos��de�nita: P (�; �) = ( e��[H(�)�H(�)]+j�N j se 9x 2 �N : �x = �0 altrimenti (2:18)avendo introdotto la notazionea+ = � a se a � 00 se a < 0 8a 2 R : (2:19)La dinamica costituita da una catena di Markov stazionaria caratterizzata dallafunzione di transizione (2.18) �e detta dinamica di Metropolis.Il signi�cato della de�nizione (2.18) risulta pi�u trasparente se il processo diaggiornamento viene immaginato nel modo seguente:{ 31 {

(i) all'istante di tempo t viene scelto in modo aleatorio un sito del reticolo �Ncon probabilit�a uniforme 1j�N j ;(ii) detto x 2 �N il sito scelto e � la con�gurazione attuale del sistema, lo spinsx viene invertito con probabilit�a e��[�xH(�)]+ .Perch�e la dinamica di Metropolis possa essere utilizzata per descrivere l' evo-luzione del modello di Ising bisogna provare che si tratta di un esempio di dinamicadi Glauber, cio�e bisogna veri�care la validit�a del principio del bilancio dettagliatoe��H(�)Z�N (�; h)P (�; �) = e��H(�)Z�N (�; h)P (�; �) 8�; � 2 : (2:20)La tesi �e del tutto ovvia se � ed � non sono prime vicine, altrimenti 9x 2 �N :�x = � e si pu�o scriveree��H(�)P (�; �) = e��H(�) e��(�xH(�))+j�N j ;con semplici passaggi si ottienee��H(�)P (�; �) = e��H(�)e��f�xH(�)+[��xH(�)]+gj�N j :Sfruttando la propriet�a a + (�a)+ = a+ 8a 2 R (2:21)si ottiene la tesi.2.3 Dinamica di Metropolis in tempo continuo.L'aver usato una variabile temporale discreta per descrivere l'evoluzione delmodello di Ising si spiega con le sempli�cazioni tecniche che ne derivano; la di-namica pu�o essere de�nita anche con una variabile temporale continua ed ora simostra come ci�o possa essere realizzato.{ 32 {

Si supponga di associare ad ogni sito reticolare una sorta di "orologio" costi-tuito da una variabile temporale aleatoria � � 0 caratterizzata dalla distribuzionedi Poisson con valor medio uguale ad 1; cio�e detta P (� � t) la probabilit�a che �sia maggiore o uguale a t � 0 si deve avereP (� � t) = e�t t � 0 : (2:22)L'orologio viene scelto "poissoniano" per far s�� che la dinamica non abbia memoria,infatti si dimostra P (� > t+ sj� > s) = P (� > t) 8s; t � 0 : (2:23)Si supponga che all'istante di tempo t l'orologio �x associato al sito reticolarex 2 �N "suoni", allora il sistema cambier�a con�gurazione aggiornando lo spin sx;l'inversione dello spin avverr�a con probabilit�ae��[�xH(�)]+ (2:24)ove � �e la con�gurazione del sistema prima dell'inversione; ovviamente la proba-bilit�a che lo spin non venga invertito �e 1 � e��[�xH(�)]+. In questo caso si diceche l'evoluzione del sistema �e descritta da un processo di Markov di puro salto; sidimostraP (�" = �j�0 = �) = � c(x; �)" + o(") se 9 x 2 �N : � = �xo(") altrimenti ; (2:25)la quantit�a c(x; �), che nel caso in esame vale proprio e��[�xH(�)]+, �e detta tassodi aggiornamento.�E interessante notare che il processo di Markov pu�o essere ottenuto dallacatena di Markov nel limite j�N j ! 1, purch�e si supponga che l'aggiornamentodella catena avvenga agli istanti di tempotk = k 1j�Nj k = 0; 1; 2; ::: ; (2:26){ 33 {

tale scelta �e necessaria perch�e e� = minf�xgx2�N �e una variabile aleatoria condistribuzione poissoniana e con valor medio 1j�N j , pertanto nel processo di Markovl'aggiornamento del sistema avviene ad intervalli di tempo approssimativamenteuguali a 1j�N j .Se si tiene presente che il rate di aggiornamento nel caso a tempo continuo�e stato de�nito come la funzione di transizione nel caso discreto, allora bisognaprovare che la probabilit�a Pj�N j(x; t) che un sito x 2 �N nel caso discreto vengaselezionato ad un istante di tempo t0 < t �e tale chelimj�N j!1Pj�N j(x; t) = 1� e�t ; (2:27)in sostanza si dimostra che l'orologio associato al sito x 2 �N �e di tipo poissoniano.Nell'intervallo di tempo [0; t] avvengono tj�N j aggiornamenti, la probabilit�ache all'istante tk il sito x non venga scelto �e 1 � 1j�N j ; allora la probabilit�a chenell'intervallo [0; t] il sito x non venga mai scelto �e (1 � 1j�N j)tj�N j, pertantoPj�N j(x; t) = 1��1� 1j�N j�tj�N j : (2:28)Calcolando il limite j�N j ! 1 si ottiene facilmente la tesi.2.4 Il pathwise approach.Nel presente paragrafo e nel seguito di questo capitolo verranno illustrati irisultati ottenuti con metodi "ad hoc" da R. Schonmann e J. Neves sulla metasta-bilit�a nel modello di Ising [NS] [S]. Tali risultati verranno discussi e, in un certosenso, ricavati seguendo lo schema alternativo proposto da E. Olivieri e R. Ko-tecky nei loro lavori sui modelli di Ising non simmetrici [KO1] [KO2]; tale schema{ 34 {

cerca di essere il pi�u possibile indipendente dal particolare modello in esame eper molti versi riesce nel suo intento. In questo capitolo viene, quindi, presen-tato questo schema con riferimento al modello di Ising, nei capitoli successivi sicercher�a di applicarlo ad un altro modello che sar�a introdotto in seguito, il modellodi Blume{Capel.Lo stato fondamentale dell'hamiltoniana del modello di Ising H(�) �e di faciledeterminazione: nel caso h = 0 �e doppiamente degenere e le due con�gurazioniche minimizzano l'energia sono �1 e +1 (con i simboli �1 e +1 vengono indicatele con�gurazioni in cui tutti gli spin hanno valore rispettivamente �1 e +1). Nelcaso h = 0 la funzione H(�) pu�o essere grossolanamente vista come una doppiabuca di potenziale simmetrica; questa simmetria si perde se h 6= 0, ma non siperde la struttura a doppia buca se il modulo di h resta piccolo: per h > 0 ilminimo assoluto sar�a la con�gurazione +1, mentre sar�a la con�gurazione �1 nelcaso h < 0.Si supponga che il campo magnetico esterno sia piccolo e positivo, il pano-rama delle energie apparir�a al sistema come in Fig.2.2: la pi�u profonda delle duebuche corrisponde allo stato fondamentale +1, l'altra alla con�gurazione �1; daun punto di vista intuitivo risulta chiaro che lo stato di equilibrio stabile avr�amagnetizzazione positiva. Si immagini, ora, che all'istante iniziale t = 0 il sistemavenga preparato nello stato �1 e che poi lo si lasci libero di evolvere sotto l'azionedel campo magnetico esterno positivo e piccolo; per giungere all'equilibrio stabileil sistema deve invertire la sua magnetizzazione, ma per fare ci�o deve uscire dallabuca centrata sulla con�gurazione �1, ovvero dal bacino di attrazione dello stato�1. Perch�e questo avvenga si devono veri�care una serie di transizioni sfavoriteenergeticamente, ma a bassa temperatura questi eventi sono caratterizzati da una{ 35 {

probabilit�a piccola; allora se la temperatura T �e bassa, il sistema pu�o impiegareun tempo molto lungo per uscire dal bacino di attrazione di �1 e raggiungerela fase stabile. Questo spiega per quale motivo a bassa temperatura il sistemapu�o presentare per un tempo lunghissimo, praticamente in�nito, magnetizzazionenegativa anche in presenza di un campo magnetico positivo: a�rontando dinami-camente lo studio di un sistema statistico appare subito chiara, almeno a livellointuitivo, la natura del suo comportamento metastabile; il problema �e darne unade�nizione rigorosa.Fig.2.2 Panorama delle energie nel caso h > 0.Si de�nisce il tempo di primo arrivo nello stato +1�+1 = infft > 0 : �t = +1g (2:29)e con E�+1 si indica il suo valor medio, ottenuto mediando su tutte le possibilitraiettorie. L'aggiornamento microscopico del sistema, il cambio di con�gura-zione, avviene sulla scala del tempo unitario; ma i comportamenti macroscopici{ 36 {

del sistema vanno visti su una scala di tempo pi�u grande. Allora a partire dal pro-cesso di Markov �t con condizione iniziale �0 = �1, si considera la nuova catena�u ove u = t E�+1, cio�e si �e e�ettuato un riscalamento del tempo adottando comenuova unit�a di misura il valor medio del tempo di primo arrivo nello stato +1.Osservato che il processo �u dipende dalla temperatura T perch�e il tempoE�+1 dipende da T , si stabilisce un criterio per de�nire il comportamento me-tastabile del sistema:il sistema ha un comportamento metastabile alla temperatura T , seil processo riscalato �u �e un processo di salto dallo stato �1 allostato +1 con la variabile temporale u distribuita esponenzialmentee con valor medio 1.Questo criterio �e intuitivamente sensato, infatti se si veri�ca la condizione daesso richiesta, il processo riscalato passa un tempo u nello stato �1 per poi saltarein quello +1 e questo tempo u ha valor medio uguale ad 1; questa situazione �eillustrata in Fig.2.3. In questo modo di de�nire la metastabilit�a consiste il pathwiseapproach [CGOV]. +1 �� 1 � �� 0 uFig.2.3 Comportamento metastabile nel senso del pathwise approach.Nel caso del modello di Ising si dimostra che il sistema ha comportamentometastabile nel limite � ! 1, cio�e solo in questo limite il processo riscalatosi comporta come un processo di salto dallo stato �1 allo stato +1 [NS]. Nel{ 37 {

seguito il comportamento metastabile del sistema verr�a caratterizzato in modomolto pi�u preciso, in particolare verr�a de�nito il bacino d'attrazione dello stato�1, verr�a calcolata la vita media dello stato metastabile e verr�a determinato iltubo di traiettorie che il sistema percorre per uscire dalla fase metastabile.2.5 Minimi locali e loro dimensioni critiche.In analogia con la nozione di minimo relativo di una funzione di variabile reale,si pu�o de�nire la nozione di minimo locale per la funzione H(�):� minimo locale di H(�) ()8<: 8� 2 prima vicina di �si ha H(�) > H(�) ; (2:30)Per semplicit�a si suppone che i parametri J ed h vengano scelti in modo tale chedue con�gurazioni prime vicine abbiano sempre diversa energia; inoltre si osservache la de�nizione dell' hamiltoniana �e stata lievemente modi�cata:H(�) = �J2 X<x;y> sxsy � h2 Xx2�N sx 8� 2 (2:31)con 0 < h < 2, valori pi�u elevati del campo magnetico esterno renderebberoil problema poco interessante; si dimostra che h = 2 si comporta come campocoercitivo: per h 2 (2; 4) il "bacino d'attrazione" di �1 coincide con l'unica con�-gurazione �1; per h � 4 lo stato �1 diventa addirittura instabile.Si vogliono ora caratterizzare questi minimi locali, considerando, per�o, soloquelle con�gurazioni in cui gli spin +1 sono immersi in un mare di spin �1. Conil simbolo R(l1; l2) 2 � l1; l2 � N � 1 si indica l'insieme delle con�gurazioni incui gli spin +1 sono precisamente quelli associati ai siti che si trovano all'internodi un rettangolo di lati l1 ed l2 tracciato sul reticolo duale; ovviamente queste{ 38 {

con�gurazioni sono ottenute l'una dall'altra per traslazione. Si denota con <l'insieme di tutte le con�gurazioni R(l1; l2) al variare di l1 ed l2 su tutti i possibilivalori. � � � � � � � � � � � �� + + + + + + + + + + + � � � � � l2 � � � � �� l1Fig.2.4 Con�gurazioneR(l1; l2).Non �e di�cile dimostrare che tutti gli elementi di < sono minimi locali, bastatener presente che da un punto di vista energetico �e conveniente (diminuisce l'ener-gia) invertire uno spin +1 se questo ha tre o pi�u spin �1 primi vicini, mentre �econveniente invertire uno spin �1 se questo ha due o pi�u spin +1 primi vicini;tutti questi possibili casi sono illustrati in Fig.2.5. - + + - - - - + - - + + - + + + - - + - + + + - -Fig.2.5 Situazioni in cui risulta conveniente invertire uno spin.Ma gli elementi dell'insieme < non esauriscono tutti i possibili minimi lo-cali, infatti sono minimi locali anche quelle con�gurazioni in cui sono presenti pi�urettangoli di spin +1, purch�e siano su�cientemente lontani. Considerata una con-�gurazione in cui tutti gli spin +1 siano racchiusi nei due rettangoli R1 ed R2, sidice che R1 ed R2 sono interagenti, se e solo se �e veri�cata almeno una delle duecondizioni seguenti { 39 {

�� Fig.2.6 In alto rettangoli interagenti, in basso rettangoli non interagenti.(i) R1 ed R2, visti come rettangoli disegnati sul reticolo duale, hanno almenoun punto di intersezione,(ii) esiste un quadrato unitario con un lato appartenente ad R1 ed un altroad R2 .In sostanza due rettangoli interagenti possono coalescere tramite eventi favoritienergeticamente, pertanto la loro coalescenza avviene in un tempo tipico dell'or-dine dell'unit�a. �E quindi evidente che sono minimi locali anche quelle con�gura-zioni in cui tutti gli spin +1 sono racchiusi in rettangoli tra loro non interagenti.Limitandosi a considerare gli elementi dell'insieme <, i minimi locali sonocostituiti da un rettangolo di spin +1 in un mare di spin �1, queste con�gurazioniricordano le gocce, gli l-cluster, introdotte nella teoria classica della nucleazione.In quel caso si riusciva a de�nire la nozione di goccia critica, cio�e di goccia chetendeva ad invadere tutto lo spazio; anche nel caso del modello di Ising si vorrebbe{ 40 {

dare una de�nizione analoga: bisogna quindi studiare il comportamento del sistemasupponendo che lo stato iniziale sia un minimo locale e capire se il sistema evolveverso �1 oppure verso +1.Si considerino le con�gurazioni Q(l) = R(l; l) 2 � l � N � 1, si tratta dicon�gurazioni in cui tutti gli spin +1 sono racchiusi all'interno di un quadratodi lato l disegnato sul reticolo duale; �e facile calcolare l' energia associata a talicon�gurazioni: e(h; l) := H(Q(l)) �H(�1) = 4Jl� hl2 : (2:32)Il termine 4Jl pu�o essere visto come contributo super�ciale all'energia della goccia,mentre il termine �hl2 �e il contributo di volume. Si pu�o rappresentare l'energiae(h; l) in funzione di l e si ottiene il gra�co riportato in Fig.2.7; si pone l� = [2Jh ]+1,ove con il simbolo [2Jh ] si intende la parte intera di 2Jh , avendo supposto che 2Jhnon �e un numero naturale; si osserva chee(h; l) crescente per l < l�e(h; l) decrescente per l > l�.�E quindi lecito aspettarsi che il quadrato di lato l tenda a scomparire se l < l�, adinvadere tutto il reticolo se l � l�, pertanto si dir�a che il quadrato �e sottocriticonel primo caso, supercritico nel secondo; la lunghezza l� �e detta dimensione criticadei quadrati.Per capire meglio il comportamento critico dei minimi locali �e necessario ana-lizzare i loro meccanismi di crescita e di contrazione; si consideri la con�gurazione� = R(l1; l2) e si ponga l(�) := min(l1; l2) : (2:33){ 41 {

l

e

2J-hFig.2.7 Energia dei minimi locali Q(l).Si supponga di voler descrivere l'evoluzione del sistema con condizione iniziale�0 = �, poich�e si tratta di un minimo locale tutte le con�gurazioni prime vicinesono ad energia pi�u elevata, allora l'evoluzione del sistema deve necessariamentepassare attarverso eventi sfavoriti energeticamente.L'evento di crescita meno sconveniente, cio�e quello che costa meno dal puntodi vista energetico, �e la crescita di una protuberanza costituita da un quadratounitario; il prezzo che il sistema deve pagare in energia �e �H1 = 2J � h . Dopola crescita della protuberanza il sistema pu�o giungere in un nuovo minimo locale,un rettangolo pi�u grande di quello di partenza, con una successione di spin{ ipenergeticamente convenienti; il tutto �e illustrato in Fig.2.8. �� > � �� > � � � � � �� R(l1; l2) R(l1 + 1; l2) Fig.2.8 Crescita di una protuberanza.Il meccanismo di contrazione che costa meno dal punto di vista energetico �e{ 42 {

l'erosione d'angolo, il costo energetico �e �H2 = h; ma per giungere in un nuovominimo locale la goccia deve perdere un'intera "striscia" di lunghezza l. Il nu-mero di eventi sfavoriti energeticamente che si devono succedere �e l � 1, infattil'inversione dell'ultimo spin della striscia �e favorita energeticamente. �� > � � ��> � � � � � � � � � � � �� R(l1; l2) R(l1�1; l2) Fig.2.9 Scomparsa di una striscia.Da quanto detto appare chiaro che il tempo tipico per la crescita di una pro-tuberanza �e e�(2J�h), mentre il tempo tipico per la scomparsa di una striscia dilunghezza l �e e�h(l�1); per capire in quale direzione evolver�a il sistema bisognaconfrontare questi due tempi, infatti la sottocriticit�a o la supercriticit�a di unacon�gurazione �e frutto della competizione tra il processo di crescita di una protu-beranza e quello di scomparsa di una striscia unitaria. Facilmente si ottienee�(2J�h) < e�h(l�1) () l > 2Jh ; (2:34)pertanto anche dall'analisi dei meccanismi di crescita e di scomparsa si evinceche l� gioca il ruolo di dimensione critica; l'argomento appena illustrato �e nuovorispetto a quello basato sulla semplice analisi delle energie dei quadrati, si trattadi un argomento dinamico.Fino ad ora la criticit�a dei minimi locali �e stata discussa in modo intuitivo,si possono stabilire dei risultati rigorosi che chiari�cano il ruolo giocato da l�. Sia� = R(l1; l2) 2 < la con�gurazione iniziale del sistema, preso " > 0 si dice che siveri�ca l'evento S"(�), se si realizzano le seguenti tre circostanze{ 43 {

(i) ��1 < ��+1;(ii) nell'intervallo [0; ��1] non si veri�cano inversioni degli spin che valevano�1 all'istante iniziale ed inoltre tutti gli spin +1 formano un unico cluster;(iii) 8" > 0 e per valori di � su�cientemente elevati si hae�h(l�1)��" < ��1 < e�h(l�1)+�" ; (2:35)ove con ��1 e ��+1 sono stati indicati i tempi di primo arrivo in �1 ed in +1,ed inoltre con la locuzione cluster di spin +1 si intende un insieme di siti i cuispin relativi hanno valore +1 e comunque se ne scelgano due di essi �e possibiledeterminare una successione di siti primi vicini che li congiunge; l'evento S"(�) �edetto contrazione regolare. Traducendo le tre condizioni precedentemente elencate,si pu�o dire che se l'evento S"(�) si realizza, allora la goccia di spin +1 scompareprima che il sistema raggiunga la con�gurazione +1, e la scomparsa avviene in untempo stimato da e�h(l�1).In modo del tutto analogo si de�nisce l'evento di crescita regolare G"(�)richiedendo che siano veri�cate le seguenti tre condizioni(i) ��+1 < ��1;(ii) nell'intervallo [0; ��+1] il numero di spin +1 non scende mai al di sotto delvalore l1l2 � (l � 1), ed inoltre tali spin formano un singolo cluster il cuirettangolo circoscritto contiene il rettangolo di partenza l1 � l2;(iii) 8" > 0 e per valori di � su�cientemente elevati si hae�(2J�h)��" < ��+1 < e�(2J�h)+�" ; (2:36)per rettangolo circoscritto ad un cluster si intende il pi�u piccolo tra i rettangoliche contengono il cluster. { 44 {

Si pu�o ora enunciare il seguente lemma che chiarisce il problema della criticit�adei minimi locali ed in particolare asserisce che l� �e la dimensione critica dellecon�gurazioni R(l1; l2):Lemma 2.1 l(�) < l� =) lim�!1P (S"(�)) = 1l(�) > l� =) lim�!1P (G"(�)) = 1 :Per la dimostrazione di questo lemma si rimanda al lavoro di Schonmann e Neves[NS], va per�o sottolineato che una prova alternativa pu�o essere data seguendo loschema dimostrativo che si vedr�a quando verr�a a�rontato il problema analogo peril modello di Blume{Capel (Cap. 4).2.6 Bacino di attrazione allargato della con�gurazione �1.Dalla descrizione intuitiva del comportamento del modello di Ising, emerge ilruolo decisivo che viene giocato dal bacino di attrazione allargato A della con�gu-razione �1, pertanto �e strettamente necessario darne una de�nizione rigorosa; siosserva che A non va confuso con il bacino d'attrazione stretto di �1, cosituito datutte le con�gurazioni � tali che eseguendo una qualsiasi successione di inversionidi spin favorite energeticamente si giunge necessariamente in �1. Vengono oraillustrate le idee fondamentali che stanno alla base della de�nizione del bacino A.Le con�gurazione � 2 A devono essere tali che se il sistema ha una di esse comestato iniziale, allora con grande probabilit�a giunger�a in �1 prima che in +1; cio�e se{ 45 {

� 2 A, allora deve accadere P�(��1 < �+1) �! 1 nel limite � !1. Caratterizzarele con�gurazioni che godano di questa propriet�a non �e impresa banale, infattiuna generica � 2 pu�o essere estremamente complicata. Si costruisce allorauna applicazione che ad ogni � 2 associ un minimo locale �̂, la condizione diappartenenza al bacinoA viene quindi data su �̂; ci�o non comporta di�colt�a perch�ela criticit�a dei minimi locali �e nota dal lemma 2.1. L'applicazione S : � �! �̂,viene de�nita costruendo il pi�u grande minimo locale partendo da � ed e�ettuandouna serie di singoli spin ip favoriti energeticamente; la locuzione "pi�u grande" vaintesa nel senso della relazione di ordine parziale de�nita su nel modo seguente� � � () �(x) � �(x) 8x 2 �N : (2:37)Si illustra ora in dettaglio la de�nizione dell'insieme A: sia � 2 , si de�niscec(�) = 8<:unione di tutti i quadrati unitari chiusicentrati sui siti x 2 �N : �(x) = +1 ; (2:38)evidentemente c(�) �e un sottoinsieme del piano su cui giace il reticolo. Assegnare lacon�gurazione � �e del tutto equivalente ad assegnare l'insieme c(�). Si de�niscono,quindi, i contorni di c(�) come le componenti connesse massimali della frontieradi c(�); la Fig.2.10 illustra le nozioni appena introdotte. In sostanza un contorno �e una poligonale chiusa sul reticolo duale Z2 + (12 ; 12 ).Si introducono le componenti connesse massimali c1; c2; :::; ck dell'insieme c(�),tali oggetti sono degli ?{cluster, nel senso che i siti appartenenti ad essi possonoessere connessi per siti primi o secondi vicini. Una con�gurazione � 2 pu�oessere identi�cata con la collezione fc1; :::ckg. Ad ognuno degli ?{cluster cj vieneassociato il rettangolo circoscrittoR(cj) := 8<: il pi�u piccolo rettangolo chiuso contenente cj;tracciato sul reticolo duale : (2:39){ 46 {

Si dice che una con�gurazione � �e ammissibile se e solo se tutti i rettangoliR(c1); :::; R(ck) hanno i lati minori o uguali ad N � 1; cio�e nelle con�gurazioniammissibili gli ?{cluster di spin +1 non devono estendersi su tutto il reticolo. �� Fig.2.10 Insieme c(�) e suoi contorni. �� Fig.2.11 Rettangolo circoscritto ad uno ?{cluster.Il sottospazio di costituito da tutte le con�gurazioni ammissibili viene indicatocon �. Se � 2 � allora si possono de�nire i contorni esterni degli ?{clustercj; infatti se � 2 �, esiste un'unica componente di spin �1 che invade tutto ilreticolo, allora si dir�a contorno esterno j di cj il sottoinsieme della frontiera di cjcostituito da tutti i segmenti unitari del reticolo duale, che separano uno spin +1di cj da uno spin �1 della componente che invade tutto il reticolo. Si osserva cheogni lato di R(cj) contiene almeno un segmento appartenente a j .Si considerino i rettangoli R1; :::; Rm, si dice che costituiscono una catena� = fR1; :::; Rmg se e solo se comunque si scelgano due di essi Rn ed Rp con{ 47 {

n; p 2 f1; :::;mg, si possa determinare una sequenza di rettangoli Ri1 ; :::; Rik 2 �tale che Ri1 = Rn ed Rik = RmRil ed Ril+1 interagenti 8l = 1; :::k � 1 : (2:40)A questo punto possono considerarsi esauriti tutti i preliminari e si pu�o quindidare la de�nizione dell'applicazione S(i) presa � 2 � si considerano c(�), le sue componenti massimali c1; :::ck edi rettangoli R(c1); :::; R(ck);(ii) vengono trasformati in +1 tutti gli spin �1 che si trovano all'interno deirettangoli R(c1); :::; R(ck), in modo che questi ultimi contengano solo spin+1;(iii) a partire dai rettangoli R(c1); :::; R(ck) vengono costruite tutte le possibilicatene massimali �(1)1 ; :::; �(1)k1 ;dette catene di prima generazione; la generica catena �(1)j �e massimale nelsenso che aggiungendo ad essa uno qualsiasi dei rettangoli R(c1); :::; R(ck)che non le appartiene, l'insieme di rettangoli cos�� ottenuto non costituisceuna catena.(iv) Si de�nisce una legge che permette di passare dalle catene di r{esimagenerazione, a quelle di (r + 1){esima generazione: si considera l'oggetto[R 2 �(r)j R ;che non �e necessariamente uno ?{cluster, ed il suo inviluppo rettangolareR(r)j 8j = 1; :::; kr; a partire da questi kr rettangoli si ottengono le catene{ 48 {

di (r+1){esima generazione �(r+1)1 ; :::; �(r+1)kr+1 costruendo tutte le possibilicatene massimali.(v) La procedura illustrata al punto precedente viene iterata �no a quellagenerazione f{esima, in cui ogni catena consta di un singolo rettangolo�(f)1 = f �R1g ; :::; �(f)kf = f �Rkf g ;tali rettangoli sono non interagenti per costruzione.(vi) L'applicazione S associa ad ogni con�gurazione � 2 � la con�gurazione�̂ in cui gli spin +1 sono precisamente quelli racchiusi nei rettangoli �Rjcon j 2 f1; :::; kfg.L'applicazione S appena de�nita gode delle seguenti notevoli propriet�a8>>>><>>>>: � � �̂ 8� 2 �H(�) � H(�̂) 8� 2 �� =) �̂ � �̂ 8�; � 2 � ; (2:41)l'ultima delle tre propriet�a si pu�o esprimere dicendo che l'applicazione S �e crescentenel senso della relazione d'ordine parziale de�nita su �. La prima e la terzadelle (2.41) sono di dimostrazione immediata se si tiene presente che durante lacostruzione della con�gurazione �̂ non vengono mai invertiti spin +1; mentre perla seconda bisogna tener presente che tutte le operazioni che si fanno sono favoriteenergeticamente.Si de�nisce il bacino d'attrazione A della con�gurazione �1:A := f� 2 � : �R1; :::; �Rkf sono sottocriticig ; (2:42)cio�e A �e l'insieme di tutte le con�gurazioni ammissibili, che per e�etto di S ven-gono trasformate in con�gurazioni in cui tutti gli spin +1 si trovano in rettangoli{ 49 {

non interagenti e sottocritici. Si osserva, in�ne, che A costituisce solo una stimadel bacino d'attrazione generalizzato di �1, infatti si possono determinare con�gu-razioni che non appartengono ad A, ma tali che a partire da esse il sistema giungecon grande probabilit�a in �1 prima che in +1.2.7 Uscita del sistema dalla fase metastabile.Si vuole ora illustrare come il sistema esca dalla fase metastabile, per fare ci�overrano discusse cinque propriet�a fondamentali dell'insieme A.Si dimostra che comunque si prenda � 2 A, con grande probabilit�a il sistema,partendo da �, giunge prima in �1 che in +1; cio�elim�!1P�(��1 < �+1) = 1 8� 2 A ; (2:43)si tratta di una caratterizzazione dinamica del bacino di attrazione. Inoltre si pu�oanche stimare dall'alto il tempo necessario al sistema per giungere in �1, infattipreso " > 0 si ha lim�!1P�(��1 < e�(l��2)h+�") = 1 8� 2 A : (2:44)Considerato un generico insieme di con�gurazioni ! � , si de�nisce la suafrontiera nel modo seguente:@! := f� 2 : � 62! e 9x 2 �N : �x 2 !g ; (2:45)cio�e la frontiera di ! �e costituita da tutte le con�gurazioni che non appartengono ad!, ma che per inversione di un singolo spin vengono trasformate in suoi elementi. Sesi tiene presente che l'evoluzione del sistema avviene per inversione di uno spin alla{ 50 {

volta, risulta evidente che per uscire dall'insieme A il sistema deve necessariamenteattraversarne la frontiera. Questa �e la seconda importante propriet�a del bacino diattrazione di �1.�E ovvio chiedersi quale sia il minimo dell'energia su @A, infatti c'�e da aspet-tarsi che dovendo il sistema attraversare @A per giungere nella fase stabile, lofaccia sfruttando il valico alla quota pi�u bassa. Allora si introduce la con�gura-zione protocritica P, in cui gli (l� � 1)l� +1 spin positivi si trovano all'interno delrettangolo di lati l�� 1 ed l� con una protuberanza su uno dei due lati pi�u lunghi. �� l� � �� l��1Fig.2.12 Con�gurazione protocritica.P �e un elemento di @A, infatti invertendo lo spin +1 esterno al rettangolo (l��1)�l�, cio�e eliminando la protuberanza, si ottiene una con�gurazione di A; inoltre siosserva che P non �e un elemento di A, infatti SP �e una con�gurazione supercritica.si dimostra che min�2@AH(�) = H(P)min�2@AnfPg[H(�) �H(P)] � h > 0 ; (2:46)ovvero P �e un punto di minimo stretto per l'energia sulla frontiera di A. Questorisultato �e di grande importanza perch�e permette di stimare dal basso il tempodi uscita del sistema da A, facendo uso della reversibilit�a della catena di Markovrispetto alla misura di Gibbs. Si pu�o infatti dimostrare che il tempo che il sistema{ 51 {

impiega, partendo da �, per giungere in una con�gurazione � tale che H(�) >H(�) �e senz'altro maggiore di e�[H(�)�H(�)]; �e questo il contenuto del lemma direversibilit�aLemma 2.2Considerate �; � 2 tali che H(�) > H(�) e preso � > 0, si halim�!1P�(�� > e�[H(�)�H(�)]��) = 1 ; (2:47)per la dimostrazione si rimanda all'appendice A.Come conseguenza del lemma 2.2 si ha che, �ssata la condizione iniziale �0 =�1, il sistema giunge sulla frontiera di A in un tempo "non troppo piccolo", cio�epreso " > 0 lim�!1P�1(�@A > e�(��")) = 1 ; (2:48)avendo posto � = H(P) �H(�1) = 4l�J � h[(l� � 1)l� + 1] : (2:49)La (2.48), del tutto ovvia da un punto di vista intuitivo, viene provata nel modoseguente: si supponga che la prima volta che il sistema giunge in @A vi giunga nellacon�gurazione �, allora �� = �@A. Dal lemma di reversibilit�a si ha che per ogni" > 0 P�1(�@A > expf�[H(�)�H(�1)]��"g) �! 1 nel limite � !1; l'evento(�@A > expf�[� � "]g) contiene l'evento (�@A > expf�[H(�) � H(�1)] � �"g)perch�e H(�) �H(�1) � � 8� 2 @A, alloraP�1(�@A > ef�[��"]g) � P�1(�@A > ef�[H(�)�H(�1)]��"g) �!1�! 1 ;da cui si ha immediatamente la tesi. { 52 {

La quarta propriet�a dell'insieme A consiste in una stima dall'alto del tempodi primo arrivo sulla frontiera del bacino di attrazione di �1, cio�e preso " > 0 siha P�1(�@A < e�(�+")) = 1 ; (2:50)la precedente, assieme alla (2.48), permette di concludere che il tempo impiegatodal sistema per giungere in @A pu�o essere stimato con e��.Per provare la (2.50) �e su�ciente esibire un evento E� con � 2 A, che godadelle seguenti propriet�a:(i) avvenga nel tempo T1(") < T2(") = e�(�+") con " > 0;(ii) se si realizza, il sistema parte da � e giunge in @A in un tempo inferiorea T1;(iii) deve avere una probabilit�a non troppo piccola, cio�e deve valere una stimadal basso del tipo inf�2AP (E�) � �(T1) ; (2:51)con �(T1): lim�!1(1� �(T1))T2T1 = 0 : (2:52)Viene ora descritta l'idea intuitiva alla base della dimostrazione della (2.50): esisteun particolare evento, chiamato E�, che in un tempo inferiore a T1 conduce ilsistema su @A, allora la probabilit�a che il sistema non giunga sulla frontiera di Anel tempo T1 �e minore di (1��(T1)); se il sistema all'istante T1 non �e giunto in @A,allora �e ancora in A e pu�o ripartire con un altro tentativo di uscita nell'intervallo[T1; 2T1]. Questo argomento pu�o essere ripetuto T2T1 volte, in modo da considerarel'intervallo di tempo complessivo [0; T2]; applicando la propriet�a di Markov si ha{ 53 {

che la probabilit�a che per T2T1 volte il sistema non sia riuscito a raggiungere lafrontiera @A �e minore di (1��(T1))T2T1 , che per ipotesi si annulla nel limite � !1.In sostanza per provare la validit�a della (2.50) si sfrutta la ricorrenza, la propriet�adi Markov forte e l'aver determinato un evento di uscita la cui probabilit�a va azero non troppo rapidamente nel limite � !1.Si tralascia la de�nizione rigorosa dell'evento E�, ma se ne illustrano gli aspettipeculiari, �sicamente interessanti, con riferimento alla Fig.2.13; in quest'ultimaviene rappresentato in modo schematico il bacino d'attrazione di �1: si trattadi una buca di potenziale con pareti decorate per la presenza dei minimi locali;ognuna delle buche tracciate in Fig.2.13 rappresenta il bacino di attrazione di unminimo locale.R(l-1,l)

Q(l)

R(l+1,l)

Fig.2.13 Rappresentazione schematica dell'insiemeA.L'evento E� viene costruito supponendo che il sistema nella sua escursione da{ 54 {

�1 alla frontiera @A, passi per i minimi locali di seguito elencati�1! Q(2)! R(2; 3)! Q(3)! :::! R(l�1; l) ! Q(l) ! :::! R(l��1; l�)! Pcio�e la crescita della goccia di spin +1 avviene attraverso una successione di ret-tangoli, tali che la di�erenza tra due lati non paralleli di ognuno di essi valgaal pi�u uno. Inoltre l'evento E� viene costruito considerando tutte quelle traiet-torie che prevedano, per il sistema, una sorta di "periodo di riposo" all'internodei bacini di attrazione dei minimi locali visitati durante l'escursione. Concederequeste "pause" al sistema �e necessario per costruire un evento, la cui probabilit�apossa essere stimata dal basso con una quantit�a che non vada a zero troppo ra-pidamente e che quindi soddis� la (2.52); questa incertezza sull'istante in cui ilsistema riprende la sua corsa verso la frontiera, dopo aver trascorso un certo temponel bacino d'attrazione di un minimo locale, �e collegata ad una sorta di entropiatemporale.L'insieme A gode di una ulteriore importante propriet�a: supposto che ilsistema sia giunto in P, se � �e su�cientemente grande vi �e una probabilit�a �-nita che il sistema giunga in +1 prima che in �1; cio�e 9�0 tale che se � > �0allora PP (�+1 < ��1) > 12j�N j : (2:53)Inoltre se si suppone che �+1 < ��1, allora �e possibile stimare dall'alto il temponecessario perch�e il sistema giunga in +1; infatti preso " > 0 si halim�!1PP (�+1 < e�(2J�h)+�"j�+1 < ��1) = 1 : (2:54)La (2.53) permette di descrivere in modo completo l'uscita dallo stato me-tastabile: gi�a in precedenza si era concluso che in un tempo dell'ordine di e�� il{ 55 {

sistema raggiunge la frontiera @A, a questo punto vi �e una probabilit�a non nullache termini in +1; ma se ci�o non avviene rientra in A e riparte. Sfruttando laricorrenza, come in precedenza, e tenendo presente che e�� > e�(2J�h) si dimostrache il sistema giunge in +1 nel tempo e��, questo tempo �e la vita media dellostato metastabile.Vengono ora riassunte le cinque propriet�a dell'insieme A illustrate in prece-denza:(i) presa � 2 A: lim�!1P�(��1 < �+1) = 1 ;(ii) per uscire da A il sistema deve necessariamente attraversarne la frontiera@A;(iii) H(P) �e il minimo valore che l'energia assume su @A:min�2@AH(�) = H(P) ;(iv) il sistema esce da A in un tempo non "troppo lungo", cio�e preso " > 0 siha: P�1(�@A < e�(�+")) = 1 ;(v) a partire da P vi �e una probabilit�a �nita che il sistema visiti +1 prima di�1: PP (�+1 < ��1) > 12j�N j :Da un punto di vista rigoroso, gli aspetti salienti dell'uscita del sistema dalla fasemetastabile, sono condensati nel seguente teorema{ 56 {

Teorema 2.1Preso " > 0 si ha(i) lim�!1P�1(e�(��") < �+1 < e�(�+")) = 1(ii) lim�!1P�1(��P < �+1) = 1 ; (2:55)ove ��P �e il tempo di primo arrivo in P dopo che il sistema ha visitato�1 per l'ultima volta prima di toccare +1, cio�e��1 = supft > 0 : ��1t = �1 e t < �+1g��P = infft > 0 : ��1t = P e t > ��1g : (2:56)In questo paragrafo �e stato illustrato il modo in cui il sistema abbandona lafase metastabile e raggiunge quella stabile; lo scopo era quello di mostrare come,nell'ambito di un modello di Ising stocastico, si possano stabilire dei risultatirigorosi. Ma �e interessante chiudere il capitolo con alcune osservazioni di tipo�sico: dallo studio precedente sono emersi tre tempi tipicie�(l��2)h tempo massimo di rilassamento del sistema da � 2 A in �1;e�� tempo necessario per giungere sulla frontiera;e�(2J�h) tempo che il sistema impiega per arrivare in +1 partendo dallafrontiera di A .�E facile veri�care la validit�a delle seguenti disuguaglianzee�� > e�(l��2)he�� > e�(2J�h) ; (2:57)da cui si deduce la seguente descrizione intuitiva del comportamento del sistema:supposto che all'istante iniziale il sistema sia in A, per e�etto delle uttuazioni ter-miche si muover�a all'interno di A; potr�a capitargli di avvicinarsi alla frontiera @A,{ 57 {

ma se non la raggiunger�a vi sar�a un rapido rilassamento di durata e�(l��2)h. Solonel tempo e��, molto maggiore del precedente, il sistema riuscir�a a raggiungere@A; pertanto in questo tempo lo stato �1 verr�a visitato un elevatissimo numerodi volte ed il sistema presenter�a magnetizzazione negativa. Raggiunta, per�o, lafrontiera dell'insieme A il sistema nucleer�a nel breve tempo e�(2J�h) la fase sta-bile; pertanto ci si aspetta che l'andamento della magnetizzazione in funzione deltempo sia a gradino.Risultati in accordo con queste previsioni vengono trovati sia con simulazionisu macchine dedicate [TM], infatti il valore elevatissimo della vita media degli statimetastabili rende inutili gli usuali calcolatori, sia con misure sperimentali [GR];in quest'ultimo caso l'uscita dalla fase metastabile viene forzata con perturbazioniesterne, perch�e tipicamente la vita media di uno stato metastabile �e cos�� grandeda precludere la nucleazione spontanea all'osservazione sperimentale.

{ 58 {

Capitolo 3.Studio dinamico del modello di Blume{Capel.3.1 Diagramma di fase del modello di Blume{Capel a bassa tempera-tura.Il modello di Blume{Capel nasce dall'idea di costruire un sistema di spin sureticolo contemplando la possibilit�a che alcuni siti reticolari siano vacanti, ovveronon occupati da particelle [C]. Si tratta quindi di un modello di materiale ferro-magnetico pi�u complesso del modello di Ising; ma questa non �e l'unica ragione diinteresse, infatti il modello permette anche di studiare il comportamento di unamiscela He3{He4 a bassa temperatura [BEG].Il modello di Blume{Capel viene de�nito sul reticolo bidimensionale �N gi�aintrodotto nel caso del modello di Ising; ad ogni sito reticolare x 2 �N viene,per�o, associata una variabile di spin �x che pu�o assumere i tre valori �1; 0 e +1;il valore �x = 0 viene interpretato come assenza di particelle sul sito x. Pertantolo spazio delle con�gurazioni �e = f�1; 0;+1g�N (3:1){ 59 {

e consta di 3j�N j elementi; vengono, inoltre, imposte condizioni al contorno pe-riodiche sulle con�gurazioni, per cui il modello risulta de�nito su un toro. In�nesi introduce l'hamiltoniana del sistemaH(�) = J X<x;y>(�x � �y)2 � � Xx2�N �2x � h Xx2�N �x 8� 2 ; (3:2)ove � ed h sono due parametri reali, mentre J �e una costante reale e positiva.Pensando al sistema come ad un modello di materiale ferromagnetico, i tretermini che costituiscono l'hamiltoniana possono essere interpretati nel modo se-guente:�hPx2�N �x descrive l'interazione tra gli spin delle particelle ed il campomagnetico esterno h;��Px2�N �2x �e il contributo all'energia del sistema fornito dal potenziale chi-mico �; infatti Px2�N �2x �e il numero di particelle che occupano il reticolo qu-ando il sistema si trova nello stato �, allora se � > 0 viene favorito l'aumentodel numero di particelle, viceversa se � < 0 l'energia decresce al diminuire delnumero di particelle.JP<x;y>(�x � �y)2 �e il contributo all'energia dovuto all'interazione di scam-bio tra spin primi vicini, infatti sviluppando il quadrato si ottiene il termine�2J�x�y; pertanto l'aver scelto J > 0 assicura che l' accoppiamento �e di tipoferromagnetico.La maggiore complessit�a di questo modello rispetto a quello di Ising emergegi�a dall'analisi dello stato fondamentale al variare dei parametri � ed h; non �e{ 60 {

di�cile dimostrare che� = h = 0 lo stato fondamentale �e tre voltedegenere; le con�gurazioni che minimizzano l;energia sono � 1; 0 e + 1 ;h > 0 e h > �� lo stato fondamentale �e + 1 ;h < 0 e h < � lo stato fondamentale �e � 1 ;� > 0 e � < h < �� lo stato fondamentale �e 0 ;questi risultati sono riassunti in Fig.3.1.h

0

0

+

-

+

-Fig.3.1 Stato fondamentale nel modello di Blume{Capel.Il problema assolutamente non banale �e capire cosa accade a temperaturastrettamente positiva, o meglio capire come �e fatto il diagramma di fase del sistemaquando T > 0; ovviamente ci si aspetta che a bassa temperatura il diagramma difase sia simile a quello a temperatura zero. La teoria di Pirogov{Sinai permette didimostrare che a bassa temperatura esistono tre fasi distinte, che si di�erenzianoper il valore della magnetizzazione, ed inoltre permette di calcolare l'andamentoasintotico del diagramma nel limite T ! 0; tale andamento �e riportato in Fig.3.2,si sottolinea che il punto triplo si sposta nella regione � > 0 [SL].{ 61 {

h

0

0

+

-

+

-Fig.3.2 Diagramma di fase del modello di Blume{Capel a bassa temperatura.Ogni linea del diagramma di fase separa due fasi distinte del sistema, su di essavi �e coesistenza tra le due fasi; il sistema passa da una fase all' altra tramite unatransizione del primo ordine. �E interessante osservare che per � > �t(T ), ove �t(T )�e il potenziale chimico del punto triplo alla temperatura T , la transizione dalla fasea magnetizzazione negativa a quella a magnetizzazione positiva �e diretta; viceversaper � < �t(T ) il sistema per invertire il segno della magnetizzazione deve passareattraverso la fase con prevalenza di 0. Questo risultato �e �sicamente sensato,infatti al crescere di � risulta favorita la presenza di particelle.Ogniqualvolta un sistema presenta transizioni di fase del primo ordine, �e le-cito chiedersi se esistono stati metastabili; nel caso del modello di Blume{Capelil problema �e analogo a quello a�rontato nel caso del modello di Ising. Si sup-ponga, infatti, di preparare il sistema nella fase con magnetizzazione negativa edi sottoporlo all'azione di un campo magnetico esterno h > 0; evidentemente ilsistema non si trova all'equilibrio stabile, che �e caratterizzato da magnetizzazionenulla o positiva a seconda del valore del potenziale chimico �. �E lecito chiedersi,per�o, se la fase a magnetizzazione negativa presenta le caratteristiche di una fasemetastabile. { 62 {

Il problema �e analogo a quello studiato nel caso del modello di Ising, ma cisi aspetta che il comportamento del sistema presenti delle peculiarit�a del tuttonuove; a livello microscopico non �e su�ciente porsi il problema di come una gocciadi spin +1 cresca all'interno di un mare di spin �1, ci si aspetta, invece, che ancheil comportamento delle interfacce 0� e 0+ rivesta un ruolo importante.Nel caso � < 0, la Fig.3.1 suggerisce che nel limite T ! 0 il sistema e�ettuil'escursione �1! +1 attraversando lo stato 0; inoltre c'�e da aspettarsi che il tuttoavvenga con meccanismi analoghi a quelli visti per il modello di Ising: dapprimauna goccia di 0 cresce all'interno del mare di �1, poi con lo stesso meccanismo unagoccia di +1 cresce nel mare di 0. Il modello di Blume{Capel presenta in questaregione dello spazio dei parametri la novit�a dell'attraversamento di una terza fasedurante la nucleazione della fase stabile; ma dal un punto di vista dei meccanismielementari non emerge nulla di nuovo, infatti la crescita di una goccia di 0 nelmare di �1 e di una goccia di +1 nel mare di 0 viene descritta come la crescitadi una goccia di +1 nel mare di �1 nel caso del modello di Ising. Anche nellaregione � � J non ci si aspettano comportamenti non previsti: a grandi valoridel potenziale chimico la presenza di lacune risulta fortemente inibita, pertantoci si aspetta che il comportamento del sistema sia del tutto analogo a quello delmodello di Ising.Da quanto detto risulta che la regione dello spazio dei parametri che presentadelle novit�a �e quella in cui � �e maggiore di 0, �e piccolo ed �e minore di h; �e proprioin questa regione intermedia che bisogna capire in che modo si comportano le trepossibili interfacce 0+, 0� e +�. In conclusione nel seguito si cercher�a di chiarirel'evoluzione del modello di Blume{Capel, supponendo che all'istante iniziale si{ 63 {

trovi nello stato microscopico �1 e che i parametri soddis�no alla condizione0 < � < h� J ; (3:3)si pu�o assumere che J valga uno.3.2 Dinamica di Metropolis per il modello di Blume{Capel.Per studiare il problema posto nel paragrafo precedente �e necessario de�nireuna dinamica per il modello di Blume{Capel, la cosa viene fatta generalizzando lade�nizione di dinamica di Metropolis data nel caso del modello di Ising.Considerate �; � 2 si dice che si tratta di due con�gurazioni prime vicine see solo se 9x 2 �N : �(x) 6= �(x) ed inoltre �(y) = �(y) 8y 2 �N n fxg ; (3:4)il modo di scrivere la de�nizione di�erisce da quello usato nel caso del modello diIsing, perch�e uno spin pu�o essere modi�cato in due modi di�erenti. L'algoritmodi Metropolis viene de�nito nel modo seguente(i) ad istanti discreti t = 1; 2; 3; ::: viene scelto a caso, con probabilit�a uniforme1j�N j , un sito x 2 ;(ii) dette �(1) e �(2) le con�gurazioni prime vicine della con�gurazione attuale �,che vengono ottenute modi�cando lo spin �(x), se ne sceglie una a caso, conprobabilit�a uniforme 12 ;(iii) indicata con e� la con�gurazione scelta al punto precedente e posto �H(�) =H(e�) �H(�), si prescrive che il sistema salta da � a e� con probabilit�ae��[�H(�)]+ ;{ 64 {

in de�nitiva si sta supponendo che l'evoluzione del sistema venga descritta da unacatena di Markov con funzione di transizioneP (�; �) = � 12j�N je��[H(�)�H(�)]+ �; � prime vicine0 altrimenti : (3:5)Si prova che la dinamica appena de�nita �e reversibile rispetto alla misura di Gibbs,pertanto si tratta di una dinamica di Glauber; la dimostrazione �e analoga a quellavista nel caso del modello di Ising.Fig.3.3 Panorama delle energie del modello di Blume{Capel.Il moto del punto rappresentativo del sistema nello spazio delle con�gurazioni, pu�o essere descritto in modo intuitivo cos�� come �e stato fatto per il modello diIsing; ma in questo caso cambia la struttura del panorama delle energie: �e presenteuna terza buca, si veda la Fig.3.3, che �e centrata sulla con�gurazione 0. Chiarirneil ruolo, sar�a uno dei problemi da a�rontare per fare luce sul comportamentometastabile del modello di Blume{Capel.{ 65 {

3.3 Minimi locali dell'hamiltoniana H(�).Si vogliono caratterizzare i minimi locali dell'hamiltoniana del modello diBlume{Capel, la ricerca verr�a e�ettuata tra le con�gurazioni in cui gli spin 0e gli spin +1 sono immersi in un mare di spin �1; queste con�gurazioni vengonodette ammissibili e costituiscono l'insieme � � .Presa � 2 , vengono de�niti gli oggetti c+(�), c�(�) e c0(�) come l'unionedi tutti i quadrati unitari tracciati sul reticolo duale Z2 + (12 ; 12) e centrati sui sitix 2 �N tali che �(x) valga rispettivamente +1, �1 e 0. In analogia con quantofatto per il modello di Ising si introducono gli ?{cluster c�;oj j = 1; 2; :::; k�;0de�niti come le componenti massimali rispettivamente di c+(�), c�(�) e c0(�).Indicati con R(c�;oj ) gli inviluppi rettangolari degli ?{cluster c�;oj e conl�;oj;i j = 1; 2:::; k�;0 e i = 1; 2 le lunghezze dei loro lati, si dice che la con�-gurazione � �e ammissibile se e solo se sono veri�cate le due seguenti condizioni8<: 1) maxi2f1;2g l+;oj;i � N � 1 8j 2 f1; :::; k+;0g2)9j0 2 f1; :::; k�g : R(c�j0 ) = �N : (3:6)Si osserva che se � �e ammissibile, allora il cluster di spin �1, il cui invilupporettangolare ricopre tutto il reticolo, �e unico.Detto � il sottoinsieme dello spazio costituito da tutte le con�gurazioniammissibili, considerata � 2 �, considerati gli ?{cluster c+;0j , si denota con +;0j 8j 2 f1; :::; k+;0g la loro frontiera e si de�nisce la sua componente interna� +;0j nel modo seguente: sia s un segmento unitario del reticolo duale e sia s 2 +;0j(i contorni, come del resto tutte le curve tracciate sul reticolo duale, possono essereviste come insiemi di segmenti unitari), si dice che s 2 � +;0j se e solo se tutti icammini, che uniscono siti primi vicini di �N e che partono dal sito adiacente ads e non appartenente a c+;0j , giungono necessariamente su un sito di c+;0j prima di{ 66 {

toccare un sito di c�j0 . Si pu�o, poi, de�nire il contorno esterno ̂+;0j di c+;0j come +;0j n � +;0j e quindi scrivere +;0j = ̂+;0j [ � +;0j ; (3:7)si osserva che � +;0j pu�o essere costituita da pi�u di una componente connessa.A questo punto si pu�o procedere nel tentativo di individuare i minimi localidel'hamiltoniana fra le con�gurazioni amissibili; in primo luogo si pu�o osservare chenei minimi locali non possono esservi interfacce +�. Per vederlo basta osservareche comunque vengano scelti gli altri tre spin primi vicini dello spin �1, �e possibilecostruire una con�gurazione con energia pi�u bassa cambiando questo spin. 0 0 + - 0 � 0 �6J�(h��)+ �4J�2h + - 0 � 0 �8J�(h��)+ �8J�2h 0 + 0 0 + - 0 � 0 �4J�(h��)+ �3J�2h + - + � 0 �10J�(h��)+ �12J�2h - + 0 0 + - + � 0 �6J�(h��)+ �4J�2h + - - � 0 �2J�(h��)+ +4J�2h - - + + + - + � 0 �12J�(h��)+ �16J�2h + - + � 0 �8J�(h��)+ �8J�2h + - + - + - - � 0 �4J�(h��)+ �2h + - - � 0 �(h��)+ +8J�2h - -Fig.3.4 Modi�ca dello spin �1 in una interfaccia +�.In Fig.3.4 viene esaminata la casistica completa, ma �e chiaro che i casi dubbi sonoquelli in cui lo spin �1 dell'interfaccia ha altri spin �1 come primi vicini. Infatti{ 67 {

calcolare la variazione di energia dovuta alla modi�ca di un solo spin, vuol dire te-ner presente due contributi: quello di volume, frutto dei termini dell'hamiltonianain cui sono presenti il potenziale chimico ed il campo magnetico esterno, e quellodovuto alla variazione delle interfacce. Nel caso in esame il contributo di volume�e sempre negativo, infatti �1! 0 �(h� �) < 0�1! +1 �2h < 0 ;invece il contributo della modi�ca delle interfacce, per e�etto del cambiamentodello spin �1, �e positivo solo quando viene rotto un legame ��! � �0 +J�+ +4J �+! �++ �4J0+ �3J � 0! �+0 000 �J ;�e chiaro, quindi, che nel caso in esame l'energia pu�o aumentare solo se ci sonolegami �� che vengono rotti.Si consideri una con�gurazione � 2 � in cui esiste un unico ?{cluster di spin0 immerso in un mare di �1, cio�e8>>>><>>>>: 1) 8x 2 �N �(x) 6= +12) 9 un cluster c0 di spin 03) 8x 2 �N : �(x) = 0) x 2 c0 ; (3:8)l'ultima delle tre condizioni assicura l'unicit�a del cluster di 0. Indicato, secondol'usuale notazione, con 0 la frontiera del cluster c0, si ha� minimo locale di H(�) () 8<: 0 = ̂0 �e un rettangolo i cuilati misurano almeno due ; (3:9)cio�e il cluster c0 ha forma rettangolare ed �e "pieno", ovvero al suo interno non visono spin diversi da 0. { 68 {

�� 0 +4J�(h��)+ +16J�2h � � �� 0 +2J�(h��)+ +12J�2h � �� +(h��)+ +8J�(h+ �) � � � � �� +2J + (h��)+ +6J�(h+ �) � �� +4J + (h��)+ +4J�(h+ �) � �� Fig.3.5 Un cluster rettangolare di spin 0 �e minimo locale di H(�).La prova dell'implicazione ( �e in Fig.3.5, ove si esaminano tutte le con�gu-razioni prime vicine di � e si mostra che hanno tutte energia pi�u elevata; in �guraviene indicato con un quadrato unitario lo spin che viene modi�cato ed accantoviene riportata la relativa variazione di energia; si osserva che se uno dei due latidi c0 fosse uguale ad uno, allora � non sarebbe un minimo locale, infatti - - 0 0 �� 2J + (h��) < 0+ 10J�(h+ �) - { 69 {

Si prova, ora, la validit�a dell'implicazione ) : in primo luogo si osserva che � 0 =f;g, cio�e all'interno del cluster c0 non vi possono essere spin �1; infatti se perassurdo quest'ultima condizione non fosse vera, allora esisterebbe almeno uno spin�1 con due spin 0 primi vicini. Infatti si consideri � 0, se ne individui un trattorettilineo e lo si percorra lungo un verso pre�ssato; il fatto che c0 non possaavvolgersi attorno al toro �N , permette di asserire che ad un certo punto � 0presenter�a un angolo retto. I due segmenti unitari, costituenti questo angolo retto,separano uno stesso spin �1 da due diversi spin 0 di c0; �� 0 � �� 0 � - - - - �� 0 �modi�cando lo spin �1 appena determinato si pu�o ottenere una con�gurazione adenergia pi�u bassa, infatti si prova che l'energia pu�o essere diminuita cambiando inmodo opportuno il valore di uno spin �1 che abbia almeno due spin 0 primi vicini.Ci�o consegue dalle prime tre situazioni analizzate in Fig.3.4 e dagli ulteriori duecasi illustrati di seguito; 0 0 0 - 0 � 0 �4J�(h��)+ �2h - - 0 � 0 �(h��)+ +8J�2h 0 -si deve quindi concludere che � 0 = f;g.Si prova, ora, che il contorno esterno ̂0 del cluster c0 �e un rettangolo: infattise per assurdo non lo fosse si potrebbe determinare, ragionando in modo analogoa prima, uno spin �1 con due spin 0 primi vicini, e pertanto la con�gurazione nonsarebbe un minimo locale.Da quanto detto in precedenza �e evidente che all'interno del cluster di 0 non{ 70 {

vi possano essere spin �1, ma nulla vieta che vi siano spin +1. Si consideri � 2 �tale che: in � vi �e un unico cluster c0 di spin 0 ed il suo contorno esterno �erettangolare, tutti gli spin +1 formano un unico cluster c+ e questo �e "contenuto"in c0, cio�e ̂+ = � 0; il signi�cato di quanto appena detto �e illustrato nella �guraseguente. �� 0 � � �� 0 �� + �� + � � � � �� 0 � �� - � � � � �� 0 � � - �� + + �� 0 � � �� 0 � � �� Fig.3.6Si dimostra che� minimo locale di H(�) () 8<: + = ̂+ �e un rettangolo i cuilati misurano almeno due ; (3:10)cio�e il cluster c+ ha forma rettangolare ed �e "pieno". Infatti all'interno del clusterc+ non vi possono essere spin �1, perch�e le interfacce +� sono proibite in unminimo locale; non vi possone essere cluster di spin 0, perch�e si pu�o ottenere unacon�gurazione ad energia pi�u bassa trasformando in +1 uno spin 0 che tra i suoiprimi vicini abbia almeno due spin +1 e nessuno spin �1 (si veda Fig.3.7). Sidimostra, poi, con ragionamenti analoghi a i precedenti che ̂+ deve essere unrettangolo. { 71 {

+ + 0 0 + �� 8J + (h��)+ �(h+ �) 0 0 + �� 10J + (h��)+ �2J�(h+ �) 0 + + + 0 + �� 12J + (h��)+ �4J�(h+ �) +Fig.3.7 Modi�ca di uno spin 0 con almeno due spin +1 primi vicini.Si introduce, allora, l'insieme dei birettangoli <, costituito da tutte quellecon�gurazioniR(L1; L2;M1;M2) 2 � con �M1 � L1 + 2;M2 � L2 + 2 seL1; L2 � 2M1;M2 � 2 se L1 = L2 = 0 ;(3:11)da quanto detto risulta che tutti i birettangoli sono minimi locali dell' hamiltonianaH(�). �� L1 � � �� M2 � � � � � � � L2 � � � � � � �� M1Fig.3.8 Esempio di birettangolo.Ma i birettangoli non esauriscono tutti i possibili minimi locali, bisogna con-templare, infatti, la possibilit�a che nel mare di spin �1 vi siano pi�u cluster dispin 0 e che all'interno di questi vi possa essere pi�u di un cluster di spin +1. Non �edi�cile dimostare che il pi�u generale minimo locale di H(�) �e una con�gurazione{ 72 {

� 2 �, in cui sono presenti k0 cluster di spin 0, c01; :::; c0k0, tali che i relativi con-torni esterni ̂01 ; :::; ̂0k0 sono rettangoli con lati maggiori o uguali a due, le curve ̂01 ; :::; ̂0k0 non hanno punti di intersezione e non esiste uno spin �1 il cui quadratocircoscritto abbia due lati in comune con due dei contorni ̂0j ; tale condizione �eanaloga a quella usata nel caso del modello di Ising per de�nire i rettangoli noninteragenti. Inoltre all'interno di ogni c0j vi possono essere cluster di spin +1, chehanno le stesse caratteristiche dei cluster c0j . Il pi�u generale dei minimi locali diH(�) con � 2 � �e rappresentato in Fig.3.9. �� - � � � � � � � �� 0 � �� + � � + � � � 0 � � � � � � � � � � � � � � � � �� - � � � � � � � � � 0 � + � � �� + � � � � � � � � � � - � �� Fig.3.9 Il pi�u generale minimo locale di H(�).3.4 Energia dei minimi locali dell'hamiltoniana H(�).Si vuole calcolare l'energia del generico birettangolo R(L1; L2;M1;M2){ 73 {

rispetto alla con�gurazione �1; per fare ci�o si osserva cheH(R(0; 0;M1;M2)) �H(�1) = (2M1 + 2M2)J �M1M2(h� �) ; (3:12)allora si pu�o scrivere H(R(L1; L2;M1;M2)) == [H(R(L1; L2;M1;M2))�H(R(0; 0;M1;M2))]+[H(R(0; 0;M1;M2))�H(�1)] == [(2L1 + 2L2)J � L1L2(h+ �)] + [(2M1 + 2M2)J �M1M2(h� �)] ;da cui H(R(L1; L2;M1;M2)) �H(�1) == (2M1 + 2M2)J + (2L1 + 2L2)J �M1M2(h� �)� L1L2(h+ �) : (3:13)La formula precedente pu�o essere generalizzata per un generico minimo locale �, incui sono presenti i rettangoli di spin 0, c0j 8j 2 f1; :::; k0g, ed all'interno di ognunodi questi vi sono i rettangoli di spin +1, c+j;i 8j 2 f1; :::; k0g e 8i 2 f1; :::; k+j g; siha H(�) �H(�1) = k0Xj=1�(2M1;j + 2M2;j)J �M1;jM2;j(h� �)++ k+jXi=1[(2L1;j;i+2L2;j;i)J � L1;j;iL2;j;i(h+ �)] ; (3:14)con ovvio signi�cato dei simboli M1;j ;M2;j ; L1;j;i e L2;j;i 8j 2 f1; :::; k0g e 8i 2f1; :::; k+j g.Un birettangolo di forma quadrata Q(L;M) = R(L;L;M;M) con M � L+2ha energiae(L;M) := H(Q(L;M))�H(�1) = 4MJ+4LJ�M2(h��)�L2(h+�) ; (3:15){ 74 {

MM

L

L

E EFig.3.10 Curve di livello per il gra�co dell'energia di un birettangolo.il gra�co di questa funzione �e un paraboloide con concavit�a verso il basso. Il puntodi massimo ha coordinate eL = 2Jh+ � fM = 2Jh� � (3:16)e il massimo valore dell'energia �eeE = 8hJ2(h� �)(h+ �) ; (3:17)si nota, in�ne, che eL < fM .Il paraboloide �e a sezione ellittica, �ssato il valore E < eE dell' energia, l'ellissecorrispondente ha semiassiSL(E) =s eE �Eh+ � SM (E) =s eE �Eh� � ; (3:18)i valori dell'energia, in corrispondenza dei quali l'ellisse �e tangente ai piani L = 0ed M = 0, sono rispettivamente��E = 4J2h� � �E = 4J2h+ � ; (3:19)la Fig.3.10 chiarisce la notazione. Si nota, in�ne che �E < ��E, ci�o vuol dire chepartendo dal picco eE e scendendo in energia, si incontra prima l'ellisse tangenteal piano L = 0 e poi quella tangente al piano M = 0.{ 75 {

Si supponga che il sistema sia in una con�gurazione Q(L;M) con L < eL eM < fM , �e lecito ritenere che la goccia tenda a scomparire, infatti l'energia crescesia all'aumentare di L che all'aumentare diM . Perch�e sia energeticamente favoritala crescita del cluster di spin 0, deve accadereM > fM ; ruolo analogo viene giocatoda eL per il cluster interno di spin +1. Supposto che 2Jh+� e 2Jh�� non sono numeriinteri, si pone L� =[eL] + 1 = � 2Jh+ ��+ 1M� =[fM ] + 1 = � 2Jh� ��+ 1 ; (3:20)si deve ritenere che tali oggetti siano le dimensioni critiche per la con�gurazioneQ(L;M). Se M >M� nel sistema verr�a nucleata la fase a spin 0, avvenuto ci�o seL > L� verr�a nucleata la fase a spin +1; �e evidente che i due processi non possonoavvenire in ordine inverso, infatti le gocce di spin +1 possono "vivere" soltantoall'interno di gocce di spin 0.Ma nulla vieta che la fase con maggioranza di spin +1 venga nucleata di-rettamente, ci�o avviene se la goccia Q(L;M) cresce muovendosi lungo la rettaM = L + 2; in questo caso la fase stabile viene raggiunta attraverso una succes-sione di cornici C(l; l) = R(l; l; l + 2; l + 2). Per cornice va inteso un particolareesempio di birettangolo, in cui il cluster interno di spin +1 �e separato dal mare dimeno da uno strato di spin 0 di larghezza unitaria,C(l1; l2) = R(l1; l2; l1 + 2; l2 + 2) : (3:21)Si considera la restrizione della funzione e(L;M) alla retta M = L + 2, cio�esi calcola l'energia delle cornici C(l; l)eC(l) := e(l; l + 2) = �2hl2 + l[8J � 4(h� �)] + [8J � 4(h� �)] ; (3:22){ 76 {

�� 0� �0� � � + � � � � � � � � � � � �� Fig.3.11 Esempio di cornice.il gra�co della funzione eC(l) �e una parabola con concavit�a rivolta verso il basso ecoordinata del vertice data da el = 2J � (h� �)h : (3:23)Sembra, quindi, che una cornice C(l; l) tenda a crescere quando l > l�, ovel� = [el] + 1 = �2J � (h� �)h � + 1 ; (3:24)pertanto l� �e la dimensione critica delle cornici.Il sistema ha due strade per raggiungere la fase stabile, una delle quali prevedeil passaggio attraverso la fase a spin 0; per stabilire quale sar�a la via seguita dalsistema bisogna confrontare i picchi energetici che incontra lungo i due cammini;cio�e si deve studiare la disequazione eC(el) � ��E. Con un po' di algebra la precedenteviene ridotta alla disequazione di terzo grado�h3 + �h2 + [(� + 2J)2 � 2J2]h� �(�+ 2J)2 � 0 ; (3:25)che a meno di correzioni del secondo ordine in � �e soddisfatta quando h � 2�.Allora per piccoli valori di h e � si concludeh < 2�: eC(el) < ��E, l'uscita del sistema dalla fase metastabile avviene mediante ilmeccanismo delle cornici; { 77 {

h > 2�: eC(el) > ��E, durante la nucleazione della fase stabile il sistema passa per lafase con prevalenza di spin 0.In conclusione dallo studio dell'energia dei minimi locali �e emerso un fenomenointeressante: la retta h = 2�, per piccoli valori di h e �, separa due regioni dellospazio dei parametri in cui il comportamento del sistema �e diverso. Il ruolo giocatoda tale retta �e assolutamente non prevedibile da un punto di vista statico, si trattadi un fenomeno essenzialmente dinamico; ci�o pu�o essere capito anche a livello in-tuitivo: nel panorama dell'energia �e presente la buca centrata sulla con�gurazione0, che staticamente non �e rilevante, infatti nella distribuzione di Gibbs gli stati chehanno un peso maggiore sono quelli che si trovano nella buca centrata su +1. Bendiversa �e la situazione quando si studia dinamicamente la metastabilit�a dello stato�1: nella migrazione da �1 a +1 il sistema pu�o attraversare la buca centrata su0, e trascorrere un certo tempo in essa, oppure giungere direttamente nel bacinod'attrazione di +1. Dallo studio dell'energia dei minimi locali si pu�o dedurre checi�o che discrimina tra questi due comportamenti �e il rapporto h� , la prova rigorosadi ci�o �e uno dei problemi connessi con lo studio della metastabilit�a del modello diBlume{Capel.3.5 Meccanismi di crescita e di contrazione.Nel modello di Blume{Capel i meccanismi di crescita e di contrazione di unminimo locale sono, cos�� come nel caso del modello di Ising, la formazione di unaprotuberanza e l'erosione d'angolo; ma in questo caso la casistica dei fenomeniche possono accadere �e molto pi�u ricca. Questi meccanismi sono illustrati per unbirettangolo R(L1; L2;M1;M2) in Fig.3.12 e, con riferimento ad essa, vengono di{ 78 {

seguito riportati i loro tempi tipici:t1 = e�[2J�(h+�)] t2 = e�[2J�(h��)]t3 = e�(h+�)(L�1) t4 = e�(h��)(M�1) ; (3:26)ove L edM sono le minime lunghezze dei lati rispettivamente del rettangolo internoe di quello esterno, cio�eL := minfL1; L2g M := minfM1;M2g : (3:27) �� | � �� | � � � �� 4 � | � � � 2 � � � � | � 3 � �� | � �� | � � � 1 � � �� | � � � � � � �� Fig.3.12 Erosione d'angolo e crescita di una protuberanza.�E importante confrontare i quattro tempi tipici precedentemente elencati: inprimo luogo si osserva che la crescita di una protuberanza per un rettangolo interno�e pi�u rapida della crescita di una protuberanza all'esterno, infatti2J � (h+ �) < 2J � (h� �) ) t1 < t2 ; (3:28)mentre nulla si pu�o dire a priori per quel che riguarda i tempi di contrazione delrettangolo interno e di quello esterno, infatti pu�o capitare (h + �)(L � 1)>< (h ��)(M �1) a seconda dei valori di L edM . Il confronto tra i tempi tipici di crescita{ 79 {

e di contrazione permette di introdurre in modo del tutto naturale le seguentiquattro dimensioni criticheL� = � 2Jh+ �� + 1 eL� = �2J + 2�h+ � � + 1M� = � 2Jh� �� + 1 fM� = �2J � 2�h� � � + 1 ; (3:29)il cui signi�cato �e di seguito illustrato:L < L� , (h + �)(L � 1) < 2J � (h + �): la contrazione dell'interno �e pi�urapida della sua crescita, cio�e l' interno �e sottocritico;L < eL� , (h + �)(L � 1) < 2J � (h � �): la contrazione dell'interno �e pi�urapida della crescita dell'esterno;M < fM� , (h��)(M � 1) < 2J � (h+�): la contrazione dell'esterno �e pi�urapida della crescita dell'interno;M < M� , (h��)(M � 1) < 2J � (h��): la contrazione dell'esterno �e pi�urapida della sua crescita, cio�e l'esterno �e sottocritico.Si suppone di scegliere i parametri in modo tale che 2Jh+� , 2J+2�h+� , 2Jh�� , 2J�2�h�� e2J�(h��)h non sono numeri interi, altrimenti non sarebbe possibile stabilire la sortedi alcuni minimi locali; ad esempio se 2Jh+� fosse un numero intero, non si potrebbedire se l'interno di un birettangolo con L = 2Jh+� �e sottocritico o supercritico. Siosserva, inoltre, che nella regione dello spazio dei parametri in cui si sta studiandoil modello, L� ed eL� possono di�erire al pi�u di una unit�a.�E evidente che il comportamento di un generico birettangolo dipende dallarelazione che esiste tra le sue dimensioni e le lunghezze critiche appena introdotte;infatti sono queste relazioni che permetteranno di stabilire quali dei meccanismi�e il pi�u rapido e quindi qual �e quello che prevale. Ma la situazione �e decisamente{ 80 {

pi�u complicata di quella che si incontra nel caso del modello di Ising; infatti incerte circostanze la tendenza del rettangolo esterno pu�o essere in contrasto conquella dell'interno, ad esempio l' interno pu�o crescere mentre l'esterno si contrae.Delle dimensioni critiche introdotte in precedenza quella poco utile �e eL�, infattila crescita dell'esterno e la contrazione dell'interno possono avvenire indipenden-temente, stabilire quale delle due sia pi�u rapida �e decisamente poco interessante.Si analizzano, ora, tutti i possibili casi che si possono presentare e, per ognunodi essi, si cerca di stabilire in modo intuitivo qual �e la sorte del birettangolo:L < L� eM < M�: sia l'interno che l'esterno sono sottocritici, il birettangolonon pu�o far altro che scomparire;L < L� eM > M�: l'interno �e sottocritico, mentre l' esterno �e supercritico, ilbirettangolo �e supercritico e tende alla con�gurazione 0;L > L� eM > M�: l'interno e l'esterno sono supercritici, ma l'interno crescepi�u in fretta dell'esterno, allora dopo che l'interno avr�a raggiunto l'esterno, lacornice cos�� ottenuta invader�a tutto il reticolo: il birettangolo �e supercritico;L > L� e M < M�: l'interno tende a crescere, l' esterno a contrarsi, il com-portamento del birettangolo dipender�a fortemente dalla condizione M ><fM�che permette di stabilire quale delle due tendenze prevale; ma in entrambi icasi si raggiunger�a una cornice caratterizzata da un cluster interno supercri-tico ed uno esterno sottocritico, quale sia la sorte di una tale con�gurazionepotr�a essere stabilito confrontando la dimensione del rettangolo interno conl�.La casistica �e decisamente ricca, per�o l'unico caso che sembra di�cile da analizzare�e il quarto, per fare luce su questo �e necessario stabilire dei risultati rigorosi sulla{ 81 {

criticit�a delle cornici; questo problema verr�a a�rontato nel prossimo capitolo.�E utile stabilire come siano ordinate le dimensioni critiche, precedentementeintrodotte, nella regione dei parametri in cui si sta studiando il comportamentodel modello. In modo del tutto banale si veri�ca cheL� � eL� � L� + 1 ; (3:30)altre relazioni non possono essere stabilite senza precisare ulteriormente la regionedei parametri in cui si opera. Si dimostra che, �ssato il rapporto a = h� > 1, se sisuppone � � 2Ja2+2a�1 , allora si ha eL� � l� e l� + 2 � fM�.h

a=1

a>1

2J/(a +2a-1)Fig.3.13 Regione dello spazio dei parametri in cui si studia il modello di Blume{Capel.In conclusione si pu�o de�nire la regione dello spazio dei parametri in cui sivuole studiare il comportamento del modello di Blume{Capel, richiedendo � �2Ja2+2a�1 , ove a = h� > 1; con questa condizione ci si assicuraL� � eL� � l� < l� + 2 � fM� �M� ; (3:31)ci�o permette maggiore chiarezza nell'esposizione dei risultati, senza uscire dallaregione dello spazio dei parametri interessante, cio�e quella in cui � ed h sonomolto piccoli rispetto a J . { 82 {

3.6 Crescita e contrazione delle cornici.La crescita e la contrazione di una cornice si basa sui due meccanismi elemen-tari di crescita di una protuberanza e di erosione di un angolo, ma descriverle indettaglio non �e immediato: bisogna capire come il rettangolo esterno ostacola lacrescita di quello interno e come quello interno ostacola la contrazione di quelloesterno.Si consideri la cornice quadrata C(l; l), perch�e la cornice possa contrarsi �eevidente che il rettangolo interno deve ridursi; il meccanismo pi�u conveniente �el'erosione d'angolo. Dapprima il sistema raggiunge la con�gurazione Sl;l, cio�eperde l � 1 spin 0 di uno dei quattro lati del rettangolo interno, incrementandol'energia della quantit�a H(Sl;l)�H(C(l; l)) = (h+�)(l� 1); poi viene perso anchel'ultimo spin, il sistema giunge nella con�gurazione Rsl;l e l'energia diminuisce dellaquantit�a H(Rsl;l)�H(Sl;l) = �[2J � (h+ �)]; il tutto �e illustrato in Fig.3.14.�� ! � � � � ! � � � �� C(l; l) Sl;l Rsl;l Fig.3.14 Prima fase della contrazione di una cornice.Non �e facile capire come si comporter�a il sistema a partire da Rsl;l, infatti potr�acontinuare a contrarsi il rettangolo interno, oppure potr�a iniziare la contrazionedell'esterno, in quest'ultimo caso il sitema giungerebbe in una nuova cornice; inogni caso �e chiaro che perch�e la contrazione abbia inizio il sistema deve superare{ 83 {

una barriera energetica di altezza (h+ �)(l � 1).La crescita della cornice ha inizio con la crescita di una protuberanza su unodei quattro lati del rettangolo esterno, il sistema giunge nella con�gurazione Gl;lsuperando la barriera H(Gl;l) �H(C(l; l)) = 2J � (h � �); poi giunge nel nuovominimo locale Rgl;l = R(l; l + 1; l + 3; l + 2) e l'energia diminuisce della quantit�aH(Rgl;l) �H(Gl;l) = �(h � �)(l + 1); nella de�nizione di Rgl;l si �e supposto che lacrescita avvenga in direzione orizzontale, si tratta di un'assunzione che non limitala generalit�a della discussione.�� > � � � �� > � � � �� C(l; l) Gl;l Rgl;l Fig.3.15 Prima fase della crescita di una cornice.La crescita della cornice continuer�a con la crescita del rettangolo interno, �estato gi�a osservato, infatti, che la velocit�a di crescita dell'interno �e maggiore diquella dell'esterno. La crescit�a di una protuberanza sul lato libero del rettangolointerno condurr�a il sistema nella con�gurazione Sl+1;l ed il costo energetico sar�aH(Sl+1;l)�H(Rgl;l) = 2J � (h+�); poi il sistema giunger�a nella cornice C(l+1; l)con un guadagno energetico pari a H(C(l + 1; l)) �H(Sl+1;l) = �(h+ �)(l � 1).Il panorama delle energie nei pressi di una cornice C(l; l) pu�o essere schema-ticamente rappresentato come in Fig.3.16; per stabilire la sorte della cornice �eimportante capire come variano le altezze relative dei vari picchi al variare della{ 84 {

dimensione della cornice stessa. In Fig.3.16 non vengono riportate ulteriori selle asinistra di Sl;l, perch�e nel caso l < l� queste sono ad energia pi�u bassa rispetto adSl;l.C(l,l)

S G

R

S

Fig.3.16 Panorama delle energie nei pressi di una cornice.Si possono realizzare quattro casi a seconda del valore della lunghezza l del latodel quadrato interno,l < eL� ) H(Sl;l) �H(C(l; l)) < H(Gl;l)�H(C(l; l))eL� < l < l� ) 8<:H(Gl;l)�H(C(l; l)) < H(Sl;l) �H(C(l; l))H(Sl;l)�H(C(l; l)) < H(Sl+1;l)�H(C(l; l))l� < l; l + 2 < fM� ) 8<: H(Gl;l) �H(C(l; l)) < H(Sl+1;l)�H(C(l; l))H(Sl+1;l) �H(C(l; l)) < H(Sl;l) �H(C(l; l))l� < l; fM� < l + 2) 8><>:H(Gl;l)�H(C(l; l)) < H(Sl;l) �H(C(l; l))H(Sl+1;l)�H(Rgl;l) < H(Gl;l)�H(Rgl;l) ;(3:32)questi quattro casi sono illustrati in Fig.3.17.L'analisi dei meccanismi di crescita e di contrazione di una cornice conducea ritenere l� la dimensione critica per le cornici, la stessa conclusione era stataraggiunta analizzando l'andamento della loro energia; a questo punto il problema{ 85 {

l < eL� eL� < l < l�C(l,l)

SG

R

S

C(l,l)

SG

R

S

C(l,l)

S

G

R

S

C(l,l)

S

G

R

Sl� < l; l + 2 < fM� l� < l; fM� < l + 2Fig.3.17 Panorama delle energie al variare delle dimensioni della cornice.consiste nello stabilire risultati rigorosi sulla criticit�a delle cornici e dei minimilocali in generale.{ 86 {

Capitolo 4.Risultati rigorosi sulla criticit�a delle cornici.4.1 Teorema sulla criticit�a delle cornici.Si consideri un minimo locale � dell'hamiltoniana H(�) con � 2 � e lacatena di Markov �t, con t numero naturale, che descrive l'evoluzione del sistemacon condizione iniziale �0 = �; ci si chiede se la con�gurazione �1 viene visitatadal sistema prima o dopo la con�gurazione +1; in altri termini bisogna valutare laprobabilit�a P�(��1 < �+1), ove con ��1 e �+1 sono stati indicati i tempi di primoarrivo rispettivamente in �1 ed in +1. Se si prova che a partire da � il sistemavisita �1 prima di +1 con probabilit�a uno, allora si dice che � �e un minimo localesottocritico, altrimenti si dice che �e supercritico.Viene di seguito enunciato un teorema che chiarisce il problema della criticit�aper quei particolari minimi locali che sono stati chiamati cornici:{ 87 {

Teorema 4.1Si consideri la con�gurazione C(l1; l2), si ponga l = minfl1; l2g e m = maxfl1; l2g,allora preso " > 0 si hal < l� e m < m�(l) )8<: lim�!1PC(l1;l2)(��1 < �+1) = 1lim�!1PC(l1;l2)(T s�(") < ��1 < T s+(")) = 1 ;avendo posto T s�(") = � e�(h��)(l+1)��" l < [h� ] + 1e�(h+�)(l�1)��" l � [h� ] + 1e m�(l) = � 2hh� � 2J � (h� �)h � h+ �h� �l�+ 1 :Inoltrel < l� e fM� � 2 > m � m�(l) )8<: lim�!1PC(l1;l2)(�+1 < ��1) = 1lim�!1PC(l1;l2)(T g;1� (") < �+1 < T g;1+ (")) = 1avendo posto T g;1� (") = e�f[2J�(h��)]�(h��)(m+1)+[2J�(h+�)]g��"g :In�ne l � l� )8<: lim�!1PC(l1;l2)(�+1 < ��1) = 1lim�!1PC(l1;l2)(T g;2� (") < ��1 < T g;2+ (")) = 1 ;avendo postoT g;2� (") = � e�f[2J�(h��)]�(h��)(m+1)+[2J�(h+�)]g��"g l + 2 < fM�e�[2J�(h��)]��" l + 2 � fM�In sostanza il teorema permette di stabilire in modo rigoroso che l� giocail ruolo di dimensione critica per le cornici nel limite � ! 1. In altri terminiconsiderata la con�gurazione C(l1; l2) con l = minfl1; l2g e m = maxfl1; l2g, ilteorema assicura che nel limite � !1 tale cornice �e sottocritica quando m < l�,{ 88 {

viceversa �e supercritica se l � l�. Emerge un fatto nuovo: per stabilire se unacornice �e sottocritica non �e su�ciente guardare il pi�u piccolo dei suoi lati; perch�euna cornice sia sottocritica entrambi i lati devono essere su�cientemente corti.Il primo passo nella dimostrazione del teorema consiste nella de�nizione delbacino d'attrazione di un generico minimo locale �: si vogliono individuare tuttequelle con�gurazioni a partire dalle quali, scendendo in energia ad ogni singolocambiamento di spin, si pu�o giungere nel solo minimo locale �. Si de�nisce sequenzastandard una sequenza di con�gurazioni di S = f�0�1�2:::::�Tg con T numero naturaletale che siano soddisfatte le tre seguenti propriet�a8<: H(�i) > H(�i+1) 8i 2 f0; 1; :::; T � 1g�i prima vicina di �i+1 8i 2 f0; 1; :::; T � 1g�T minimo locale ; (4:1)si pone, inoltre, S�0 = �T : (4:2)Si osserva che una sequenza standard converge necessariamente in un minimolocale in un tempo minore o al pi�u uguale aT = max�2H(�) �min�2H(�)h� � ; (4:3)infatti h � � rappresenta il "quanto di energia", cio�e �e la minima variazione dienergia che si pu�o realizzare cambiando il valore di un solo spin.Si pu�o quindi de�nire il bacino d'attrazione stretto del minimo locale �B(�) := f� 2 : 8sequenza standard S S� = �g ; (4:4)inoltre si de�nisce il bacino d'attrazione largo di �B̂(�) := f� 2 : 9una sequenza standard S : S� = �g ; (4:5){ 89 {

nel seguito con la locuzione bacino d'attrazione di un minimo locale si far�a riferi-mento a quello stretto. Si introduce la frontiera del bacino d'attrazione di �@B(�) := f� 2 : � 62B(�) e 9 una sua prima vicina �0 2 B(�)g ; (4:6)e si prova la validit�a delle seguenti tre propriet�a1)B(�) \B(�0) = f;g2)B(�) � B̂(�)3)@B(�) � B̂(�) ; (4:7)ove � ed �0 sono generici minimi locali di H(�).Le prime due delle (4.7) sono del tutto ovvie, segue la prova della terza: sia �un minimo locale e sia � 2 @B(�), esiste � prima vicina di � tale che � 2 B(�). Siha H(�) < H(�), infatti se per assurdo fosse vero il contrario si potrebbe costruire,sfruttando il fatto che � 62B(�), una sequenza standard che ha con�gurzione iniziale� e con�gurazione �nale un minimo locale diverso da �. Allora � non appartienea B(�) e ci�o �e assurdo. Poich�e H(�) < H(�) �e possibile costruire una sequenzastandard che parte da � e giunge in �, pertanto � 2 B̂(�).Si osserva che nella dimostrazione precedente si �e implicitamente supposto chedue con�gurazioni prime vicine non possano avere la stessa energia, questo �e veronella regione dello spazio dei parametri in cui si sta studiando il comportamento delmodello di Blume{Capel. Infatti cambiando il valore di un solo spin la variazionedi energia dovuta al termine di interazione pu�o anche essere zero; ma il contributodovuto ai termini di volume pu�o valere �(h+ �); �(h� �) oppure �2h; nessunodi questi si annulla nella regione dello spazio dei parametri de�nita dalla (3.3).{ 90 {

4.2 Minimo dell'energia sulla frontiera del bacino d'attrazione di unacornice nel caso l < eL�.Si consideri una cornice C = C(l1; l2) con l = minfl1; l2g < eL�, si indichicon B = B(C(l1; l2)) il suo bacino d'attrazione stretto e con @B la sua frontiera.Supposto che all'istante iniziale il sistema sia nella con�gurazione C(l1; l2), perch�equesta cornice possa crescere o contrarsi, il sistema deve uscire dal bacino B attra-versandone la frontiera @B; �e quindi evidente che il primo problema da a�rontare �eil calcolo del minimo di H(�) sulla frontiera @B, in modo da individuare la stradapi�u conveniente, a disposizione del sistema, per fuoriuscire dal bacino B.Si considera la con�gurazione P1, che si ottiene a partire da C(l1; l2) trasfor-mando l � 1 spin +1 di uno dei due lati pi�u piccoli del rettangolo interno in 0, siveda la Fig.4.1; si prova che questa con�gurazione rappresenta il punto di minimodell'hamiltoniana sulla frontiera del bacino d'attrazione B, cio�emin�2@BH(�) = H(P1) : (4:8) �� l + 2 � � �� P1 � � �� m+ 2 Fig.4.1 Minimo dell'energia su @B.Per provare la precedente a�ermazione sembrerebbe necessario caratterizzarein modo dettagliato le con�gurazioni che appartengono a @B, in modo da poter poideterminare qual �e quella ad energia minima; in realt�a ci�o non �e vero. Si consideri{ 91 {

infatti una generica � 2 @B, a partire da essa �e possibile costruire una sequenzastandard che giunge in C, allora esaminando tutti i cammini che partono dal fondodel bacino d'attrazione, cio�e da C, e che sono crescenti in energia vengono passatein rassegna tutte le con�gurazioni della frontiera di B; per cammino si intende unasequenza di con�gurazioni di tali che due con�gurazioni successive siano primevicine.Nella Fig.4.2 vengono analizzati tutti i possibili primi passi dei cammini sud-detti; ognuno di questi viene individuato con una coppia di numeri naturali, ilgenerico passo �e (i; j), in �gura viene indicato con un quadrato unitario lo spinmodi�cato e al lato vengono riportate le relative variazioni di energia.Si indicano con C1ij le con�gurazioni che vengono raggiunte dopo il primo passo(i; j), �e ovvio che si tratta di elementi dell'insieme B[@B. Si osserva che C122 2 @B,infatti esiste una sua con�gurazione prima vicina, C, che appartiene al bacino B,inoltre esiste una sequenza standard S tale che SC122 = B(l1; l2; l1 + 3; l2 + 2),avendo supposto, senza perdita di generalit�a, che l = l1; allora a partire dal fondodel bacino la frontiera pu�o essere raggiunta superando la barriera energetica �H22.Si osserva ora che �Hij > �H22 8(i; j) 62f(5; 1); (3; 2); (2; 2)g ; (4:9)pertanto nella ricerca del minimo su @B vanno analizzati tutti i cammini che hannocome primo passo (5; 1) oppure (3; 2), tutti gli altri, infatti, condurranno ad unacon�gurazione di frontiera la cui energia �e strettamente maggiore di quella di C122.A partire dalle con�gurazioni C132 e C151 i cammini possono proseguire seguendouna delle strade illustrate in Fig.4.2, ma si pu�o anche veri�care la nuova situazioneillustrata in Fig.4.3; ragionando come in precedenza si deduce che anche questocaso �e non interessante, infatti se il secondo passo di uno dei cammini considerati{ 92 {

�� + �H11 = 16J�2h0 �H12 = 4J�(h��) � � � � � �� + �H21 = 12J�2h0 �H22 = 2J�(h��) � � � � � �� + �H31 = 8J�(h+ �)� �H32 = (h��) � � � � � �� + �H41 = 4J�(h+ �)� �H42 = 4J + (h��) � � � � � �� 0 �H51 = +(h+ �)� �H52 = 8J + 2h � � � � � �� 0 �H61 = 2J + (h + �)� �H62 = 12J + 2h � � �� 0 �H71 = 4J + (h + �)� �H72 = 16J + 2h � � �� Fig.4.2 Primo passo dei cammini (i; j).{ 93 {

fosse (8; j) con j = 1; 2, allora lo stesso cammino condurrebbe ad una con�gura-zione di frontiera ad energia pi�u elevata di quella di C122. In conclusione i camminida analizzare sono quelli in cui i singoli passi sone di tipo (3; 2) oppure di tipo(5; 1). �� + �H81 = 6J�(h+ �)� �H82 = 2J + (h��) � � � � � �� Fig.4.3 Nuove situazioni che si possono presentare dopo il primo passo.Si consideri � 2 � in cui vi �e il solo cluster c0 di spin 0 ed al suo interno vi �el'unico cluster c+ di spin +1 presente in �; con la solita notazione si pu�o scrivere� 0 = ̂+. Condizione necessaria perch�e una si�atta con�gurazione appartenga aB �e che siano soddisfatte le seguenti quattro condizioni:1) il rettangolo R0 circoscritto al cluster c0 deve coincidere con il rettangolo(l1 + 2) � (l2 + 2) in cui sono racchiusi gli spin 0 della cornice C;2) l'intersezione tra il contorno del cluster c0 ed ognuno dei quattro lati delrettangolo ad esso circoscritto deve misurare almeno due unit�a;3) il rettangolo R+ circoscritto al cluster c+ deve coincidere con il rettangolol1 � l2 in cui sono racchiusi gli spin +1 della cornice C;4) l'intersezione tra il contorno del cluster c+ ed ognuno dei quattro lati delrettangolo ad esso circoscritto deve misurare almeno due unit�a.In primo luogo si prova la necessit�a della condizione (1) a�nch�e � 2 B: siaR0 diverso dal rettangolo (l1+2)�(l2+2) e il cluster c+ sia un rettangolo, allora �e{ 94 {

possibile determinare una sequenza standard che conduce alla con�gurazione in cuitutti gli spin associati ai siti interni a R0 valgono 0. Infatti se c0 non ha contornorettangolare esiste almeno uno spin �1 interno ad R0 con due spin 0 primi vicini;trasformando questo spin �1 in 0 l'energia diminuisce. Questo argomento pu�oessere iterato �no a quando tutti gli spin �1 interni al rettangolo R0 vengonotrasformati in 0; pertanto scendendo in energia, cambiando uno spin alla volta,viene raggiunto un minimo locale diverso da C; ci�o implica che � non appartieneal bacino d'attrazione B.Per provare la necessit�a della condizione (2) si suppone che la (1) sia sod-disfatta e che l'intersezione tra il contorno di c0 ed un lato di R0 misuri una unit�a(Fig.4.4); allora esiste uno spin 0 del cluster c0 con tre spin �1 primi vicini e taleche trasformandolo in �1 il rettangolo circoscritto al nuovo cluster di spin 0 noncoincide con il rettangolo (l1 + 2)� (l2 + 2). Trasformando in �1 lo spin 0 indivi-duato in precedenza l'energia diminuisce e si ottiene una con�gurazione che non �ein B; allora �e possibile determinare una sequenza standard con punto iniziale � epunto �nale un minimo locale diverso da C; si pu�o pertanto concludere che se la(2) non �e soddisfatta, allora � non appartiene al bacino B. �� - � � - �� 0 � - � � 0 �� - � 0 � � � � � �� - � 0 � - � ��Fig.4.4 Necessit�a della condizione (2) perch�e � 2 B.{ 95 {

Tenendo presente le condizioni necessarie per l'appartenenza di una con�gu-razione al bacino d'attrazione dell cornice C, risulta evidente che il cammino pi�urapido, cio�e che si svolge nel minor numero di passi, per giungere sulla frontiera@B, partendo da C e sfruttando solo il meccanismo (5; 1), consiste nel trasformarel � 1 spin +1 di uno dei due lati pi�u piccoli del rettangolo interno in 0. Per-tanto l'elemento di @B a pi�u bassa energia che pu�o essere raggiunto con il solomeccanismo (5; 1) �e la con�gurazione P1.Il meccanismo (3; 2) non permette, da solo, di giungere sulla frontiera @B,infatti dopo aver trasformato in �1 i quattro spin 0 che si trovano agli angoli delrettangolo (l1+2)�(l2+2), il cammino pu�o proseguire solo sfruttando meccanismialternativi.Un cammino costituito da passi di tipo (3; 2) misti a passi di tipo (5; 1) nonpu�o condurre ad una con�gurazione di frontiera che abbia energia pi�u bassa di P1,infatti un cammino si�atto deve preveder almeno l passi di tipo (5; 1); pertantol'energia della con�gurazione di frontiera raggiunta �e maggiore dell'energia di P1,che viene raggiunta con un cammino costituito da l � 1 passi di tipo (5; 1).In conclusione per determinare la con�gurazione appartenente alla frontieradel bacino d'attrazione di C che ha energia minima, bisogna confrontare H(P1)con H(C122); tenendo presente che l < eL�, H(P1) � H(C) = (h + �)(l � 1) eH(C122) = 2J � (h� �) si ha la (4:8).Nel caso del modello di Ising �e stato enunciato e dimostrato il lemma direversibilit�a, esso resta valido anche nel caso del modello di Blume{Capel, perch�esi sta facendo uso di una dinamica di Glauber, cio�e di una dinamica reversibilerispetto alla misura di Gibbs. Questo lemma pu�o essere sfruttato, assieme alla(4:8), per stimare dal basso il tempo di primo arrivo sulla frontiera di B; con{ 96 {

ragionamenti analoghi a quelli illustrati nel caso del modello di Ising si prova cheper ogni " > 0 lim�!1PC(�@B > e�(h+�)(l�1)��") = 1 ; (4:10)ove �@B �e il tempo di primo arrivo in @B.4.3 Stima dall'alto sul tempo �@B.Nel paragrafo precedente si �e sfruttatta la reversibilit�a dell'algoritmo di Metro-polis per mostrare che il sistema, partendo da C, giunge sulla sua frontiera in untempo stimato dal basso da e(h+�)(l�1); ora si vuole sfruttare la ricorrenza perstimare dall'alto, con la stessa quantit�a, il tempo �@B; cio�e si vuole provare chepreso " > 0 si ha lim�!1P�(�@B < e�(h+�)(l�1)+�") = 1 ; (4:11)ove � �e una qualsiasi con�gurazione di B.In primo luogo si determina un evento d'uscita E�;T , con � 2 B e T de�nitodalla (4:3), che soddisfa alle due seguenti propriet�a:1) se si veri�ca l'evento E�;T , allora esiste T0 � 2T tale che�T0 2 @B ;avendo supposto �0 = �, e l'evento viene considerato concluso in T0;2) vale la seguente stima dal basso sulla probabilit�a dell'evento E�;T , preso" > 0 se � �e su�cientemente grande si ha:inf�2B P (E�;T ) � e��(h+�)(l�1)��" : (4:12){ 97 {

Per costruire l'evento E�;T si considera una qualsiasi con�gurazione � 2 B esi osserva che esiste una sequenza strettamente decrescente in energia�0 �1 ::: �T1tale che �0 = �, �T1 = C e T1 �e un numero naturale minore di T indipendente da�, ma dipendente dalla con�gurazione iniziale �. Per quanto detto nel paragrafopecedente si pu�o determinare una sequenza strettamente crescente in energia�00 �01 ::: �0T2tale che �00 = C, �0T2 = P1 e T2 �e un numero naturale minore di T ed indipendentesia da � che dalla con�gurazione iniziale �.Si de�nisce, quindi, l'evento E�;T come la singola traiettoriaE�;T := f� �1 ::: �T1 �01 ::: �0T2g ; (4:13)la condizione (1) �e soddisfatta in modo ovvio, infatti T1 + T2 � 2T . Si calcola poila probabilit�a associata a tale evento:P (E�;T ) =� 12j�N j 12j�N j � � � 12j�N j�� 12j�N je��[H(�01)�H(�T1)] � � � 12j�N je��[H(�0T2)�H(�T2�1)]� ==� 12j�N j�T1+T2 e��[H(�0T2)�H(�T1)] )) P (E�;T ) = � 12j�N j�T1+T2 e��(h+�)(l�1) ;preso " > 0 se si prende � su�cientemente grande si haP (E�;T ) = � 12j�N j�T1+T2 e��(h+�)(l�1) � e��(h+�)(l�1)��" ; (4:14)da questa si ha immediatamente che la (4:12) �e veri�cata.{ 98 {

Si considera l'intervallo [0; T (")] con T (") = e�(h+�)(l�1)+�", avendo �ssato" > 0; si suddivide [0; T (")] negli M intervalli [ti; ti+1] di ampiezza �nita T (")M coni = 0; 1; :::;M � 1, t0 = 0 e tM = T ("). La probabilit�a che il sistema giunga su @Bin un tempo maggiore di T (") partendo da un generica con�gurazione � 2 B, pu�oessere stimata nel modo seguente:P�(�@B > T (")) = X��1:::��M�12B P�(�@B > T ("); �t1 = ��1; :::; �tM�1 = ��M�1) == X��1:::��M�12B P�(8t 2 [0; tM�1] �t 2 B;�t1 = ��1; :::; �tM�1 = ��M�1)��P�(8t 2 [tM�1; T (")] �t 2 Bj�tM�1 = ��M�1) ;avendo fatto uso della propriet�a di Markov e della legge delle probabilit�a condi-zionali.Il termine P�(8t 2 [tM�1; T (")] �t 2 Bj�tM�1 = ��M�1) �e la probabilit�a che siveri�chi l'eventoF��M�1;T (")M = 8<:partendo dalla con�gurazione ��M�1 2 B ilsistema rimane in B per il tempo T (")M 9=; ; (4:15)se si prende T (")M = 2T allora si ha che E��M�1;T �e contenuto nel complementare diF��M�1;T (")M , infatti E��M�1;T �e un particolare meccanismo d'uscita da B. AlloraP (F��M�1;T (")M ) � 1� P (E��M�1;T ) � 1� inf�2B P (E��M�1;T ) ;pertanto preso � > 0 si ha che per � su�cientemente grandeP (F��M�1;T (")M ) � 1� e��(h+�)(l�1)�� : (4:16)Iterando il ragionamento precedente si ha che �ssato " > 0 e per ogni � > 0P�(�@B > T (")) � [1� e��(h+�)(l�1)��]M ;{ 99 {

cio�e P�(�@B > T (")) � [1� e��(h+�)(l�1)��] e+�(h+�)(l�1)+�"2T ; (4:17)dalla (4:17) si deduce facilmente la validit�a della (4:11), purch�e si scelga � < ".La (4:10) e la (4:11) permettono di asserire che il tempo e�(h+�)(l�1) costitu-isce una stima del tempo necessario al sistema per giungere su @B supposto cheall'istante iniziale si trovi in C; si pu�o scriverelim�!1PC(e�(h+�)(l�1)��" < �@B < e�(h+�)(l�1)+�") = 1 ; (4:18)con " > 0 arbitrario. Ma la (4:11) ed il lemma di reversibilit�a permettono anchedi dimostarare che quando il sistema attraversa @B per la prima volta, vi giungecon grande probabilit�a nella con�gurazione P1, cio�elim�!1PC(��@B 2 S) = 1 ; (4:19)avendo introdotto l'insieme dei minimi sulla frontieraS := f� 2 @B : H(�) = H(P1)g ; (4:20)gli elementi di S sono tutte quelle con�gurazioni che possono essere trasformatein P1 e�ettuando una traslazione della cornice, una rotazione, oppure spostandola protuberanza lungo il lato minimo del rettangolo interno.Si supponga che �0 = C e che per assurdo ��@B = �� 2 @B n S, allora�@B = �� ; in virt�u del lemma di reversibilit�a si ha8� > 0 PC(�@B > e�[H(��)�H(C)]��) = 1 ; (4:21)inoltre la (4:11) permette di scrivere8" > 0 PC(�@B < e�(h+�)(l�1)��") = 1 : (4:22){ 100 {

�� <� � � �� > � � � � � � � � � � � � � � �� Fig.4.5 Comportamento del sistema a partire dalla con�gurazione P1.Si possono scegliere " e � in modo tale chee�(h+�)(l�1)+�" < e�[H(��)�H(C)]�� ;infatti �e su�ciente richiedere che " < H(��) �H(P1) � �; ci�o �e possibile perch�eH(��) > H(P1). Con questa scelta di " e di � le (4:21) e (4:22) risultano incontraddizione, l'assurdo deriva dall'aver supposto �� 2 @B nS, pertanto la (4:19)risulta dimostrata.�E stato provato che la prima volta che il sistema giunge sulla frontiera @B,vi giunge in P1; il problema �e stabilire qual �e la sorte del sistema a partire datale con�gurazione. Indicato con R1 il minimo locale che si ottiene togliendo laprotuberanza al rettangolo interno, si haPP1(�R1 < �C) � 12j�N j PP1(�C < �R1) � 12j�N j ; (4:23)quindi vi �e una probabilit�a �nita che il sistema, a partire da P1 giunga in R1 primache il C, ma vi �e anche una probabilit�a �nita che avvenga il viceversa. Questedue situazioni si spiegano con la possibilit�a che il sistema perda la protuberanzapresente su un lato del rettangolo interno, oppure muti in +1 un spin 0 adiacentea tale protuberanza; il tutto �e illustrato in Fig.4.5. In realt�a il sistema pu�o seguireanche altre strade, ma eventi diversi da quelli appena illustrati hanno probabilit�aesponenzialmente piccola di veri�carsi.{ 101 {

Le (4:23) possono essere sfruttate per provare che il sistema a partire daC giunge in R1 prima che in +1 e per ottenere una stima dall'alto del temponecessario perch�e ci�o avvenga:lim�!1PC(�R1 < �+1) = 1lim�!1PC(�R1 < e�(h+�)(l�1)+�") = 1 ; (4:24)con " > 0 arbitrario; la dimostrazione delle precedenti, pur presentando notevolidi�colt�a tecniche, risulta chiarissima a livello intuitivo: ogniqualvolta il sistemagiunge in P1 ha una probabilit�a �nita di perdere la protuberanza, se ci�o non avvieneallora rientra in B, infatti ogni altro evento ha probabilit�a esponzialmente piccola.Dopo un tempo stimato da e�(h+�)(l�1) il sistema torner�a in P1 e si ripresenterannole alternative analizzate in precedenza; prima o poi dovr�a veri�carsi l'evento chepermette al sistema di giungere in R1.4.4 Scomparsa della cornice nel caso l < eL�.In precedenza �e stato descritto come il sistema migri dalla cornice C al bi-rettangolo R1, inoltre �e stato stimato il tempo necessario perch�e ci�o avvenga. Ladescrizione dell'evoluzione successiva del sistema procede in modo del tutto ana-logo, infatti si pu�o sfruttare la propriet�a di Markov e considerare una nuova catenache abbia R1 come condizione iniziale. L'unico problema da a�rontare �e determi-nare il minimo dell'energia sulla frontiera @B(R1) del bacino d'attrazione B(R1);per sempli�care la notazione il bacino d'attrazione viene indicato con B1 e la suafrontiera con @B1.Si suppone che il minimo tra le lunghezze dei lati del rettangolo interno sia l,cio�e si suppone che C non sia quadrata. Si indica con P2 la con�gurazione che si{ 102 {

ottiene trasformando l+1 degli spin 0 del lato libero del rettangolo esterno in �1,mentre con P3 si indica la con�gurazione che si ottiene trasformando l � 1 deglispin +1 di uno dei due lati pi�u piccoli del rettangolo interno in 0 ; si prova chemin�2@B1H(�) = 8>><>>:H(P3) se l < �h��+ 1H(P2) se l � �h��+ 1 : (4:25) �� P2 � � � � P3 � � � � � � � � � � � � � � �� Fig.4.6 Possibili minimi dell'energia su @B(R1).Per provare la (4:25) si pu�o adottare la stessa strategia dimostrativa usata inprecedenza: si cerca di analizzare tutti i cammini crescenti in energia che partonodal fondo del bacino. I possibili primi passi da aggiungere a quelli gi�a elencatisono illustrati in Fig.4.7; si osserva che il meccanismo (10; 1) conduce gi�a al primopasso su @B1 e la variazione di energia �e �H10 1 = 2J � (h + �). Ragionandocome in precedenza si scopre che gli unici cammini da tener presente sono quelliin cui i vari passi sono di tipo (3; 2) oppure di tipo (5; 1); i cammini che fanno usodel solo meccanismo (3; 2) conducono alla con�gurazione di frontiera P2, mentrequelli che fanno uso del solo meccanismo (5; 1) conducono alla in P3. Pertanto perdeterminare il minimo dell'energia su @B1 bisogna confrontare tra loro H(P1) �H(R1) = �H10 1 = 2J � (h + �), H(P2) � H(R1) = (h � �)(l + 1) e H(P3) �H(R1) = (h + �)(l � 1); in primo luogo si osserva che l + 2 < fM� implica che{ 103 {

H(P2)�H(R1) < H(P1)�H(R1). Confrontando l'energia di P2 con quella di P3si ha H(P2)�H(R1) < H(P3)�H(R1), l > h� ;da cui si ha la (4:25). �� + �H91 = 6J�(h+ �)� �H82 = 2J + (h��) � � � � � �� + �H10 1 = 2J�(h + �)� �H10 2 = 6J + (h��) � � � � � �� Fig.4.7 Possibili meccanismi per la costruzione dei cammini che partono da R1.Determinato il minimo dell'energia su @B1 la descrizione del comportamentodel sistema procede come nei paragra� precedenti: il sistema raggiunge la frontierain un punto di minimo in un tempo che �e stimato da e�[min�2@B1 H(�)�H(R1)]; ci�oche �e importante osservare, aldil�a della descrizione dettagliata del meccanismo, �eche la cornice continua a contrarsi. Il sistema giunger�a in un nuovo minimo localeR2 contenuto strettamente in R1, cio�eR2 � R1 � C ; (4:26)avendo introdotto su la relazione d'ordine parziale� � �, �(x) � �(x) 8x 2 �N ; (4:27){ 104 {

ove � ed � sono due elementi di . Il tempo che il sistema impiega per giungerein R2 �e stimato dall'alto da e�[min�2@B1 H(�)�H(R1)]+�" con " > 0.Il sistema continuer�a a contrarsi visitando minimi locali sempre pi�u piccoli,�no a quando verr�a raggiunta la con�gurazione �1; pertanto resta provato chenel caso l < eL� la con�gurazione �1 viene raggiunta, con probabilit�a tendente aduno nel limite � ! 1, prima di +1. Il tempo che il sistema impiega per usciredal bacino d'attrazione di ognuno di questi minimi locali viene stimato come inprecedenza. Si tratta di tempi sempre pi�u piccoli, perch�e vi �e dipendenza dalledimensioni della goccia; tenendo presente la propriet�a di Markov si pu�o asserireche il tempo che domina �e quello pi�u lungo; allora in virt�u della (4:25) si pu�oritenere completa la dimostrazione del teorema 4.1 nel caso l < eL�.Nulla cambia se si suppone che C sia quadrata, infatti il punto di frontiera P3sar�a tale che H(P3) �H(R1) = (h + �)(l � 2); la condizione perch�e il minimo su@B sia P3 diventa l < [3h�+12 ] + 1. Ma dal punto di vista della stima sul tempodi scomparsa della cornice C non cambia nulla, infatti per e�ettuarla bisognaconfrontare (h� �)(l+ 1) con (h+ �)(l � 1); il fatto che la perdita di una strisciadel rettangolo esterno sia il secondo passo del cammino di contrazione, oppureavvenga dopo la scomparsa del rettangolo interno non �e rilevante.4.5 Scomparsa della cornice nel caso eL� < l < l� e m < m�(l).Si vuole studiare il comportamento del sistema supponendo che all'istanteiniziale sia �0 = C(l1; l2) con eL� < l = minfl1; l2g < l� e m = maxfl1; l2g <m�(l); si indica con C la cornice, con B0 il suo bacino d'attrazione stretto e con@B0 la relativa frontiera. Il primo problema da a�rontare �e il calcolo del minimo{ 105 {

dell'energia su @B0, ragionando come nel caso precedente si prova chemin�2@B0H(�) = H(P4) ; (4:28)avendo indicato con P4 quella con�gurazione che si ottiene aggiungendo una pro-tuberanza al rettangolo esterno di C; si trova H(P4) �H(C) = 2J � (h� �). �� l + 2 � � � � � � � � � �� m+ 2 m+ 2 �� l + 2 � � � � � � � � � �� m+ 2 m+ 2 Fig.4.8 Con�gurazioni P4.Senza perdita di generalit�a si pu�o supporre che il lato pi�u lungo della cornicesia orizzontale, cio�e l1 = m e l2 = l; allora nel tempo T0 = e�[2J�(h��)] il sistemagiunge nella con�gurazione R2;? oppure in R2;k, avendo posto R2;? = R(l1; l2; l1+3; l2+2) e R2;k = R(l1; l2; l1+2; l2+3) (Fig.4.9); il pedice ? indica che la crescitaavviene in direzione ortogonale al lato pi�u corto.Indicati con B2;? e B2;k i bacini d'attrazione stretti rispettivamente di R2;?e di R2;k e con con @B2;? e @B2;k le loro frontiere si hamin�2@B2;?H(�) = H(P4)min�2@B2;kH(�) = H(P4) ; (4:29){ 106 {

�� l + 2 � � � � � � � � � �� m+ 3 m+ 3 �� l + 3 � � � � � � � � � �� m+ 2 m+ 2 Fig.4.9 Con�gurazioniR2;? in alto ed R2;k in basso.osservato che H(P4) �H(R2;?) = (h� �)(l + 1), la prima vale perch�el � eL� ) (h+ �)(l � 1) > 2J � (h� �)l + 2 < fM� ) 2J � (h + �) > (h� �)(l + 1) ;pertanto(h + �)(l � 1) > 2J � (h� �) > 2J � (h+ �) > (h� �)(l + 1) : (4:30)Osservato che H(P4) �H(R2;k) = (h� �)(m + 1), la validit�a della seconda delle(4:29) �e assicurata dal fatto che:l � eL� ) m�(l) + 2 � fM�per cui m < m�(l) ) m+ 2 < fM� ) (h� �)(m+ 1) < 2J � (h+ �) ;tenendo presente che l � eL� si ha(h + �)(l � 1) > 2J � (h� �) > 2J � (h+ �) > (h� �)(m+ 1) : (4:31){ 107 {

A partire da R2;? il sistema torner�a in C nel tempo e�(h��)(l+1), mentre a partireda R2;k il ritorno in C durer�a e�(h��)(m+1).Sembra, quindi, che il sistema oscilli tra i bacini d'attrazione di C, di R2;? edi di R2;k; per capire se la cornice tenda a contrarsi o a crescere bisogna guardareil comportamento del sistema in un bacino pi�u largo che comprenda B0, B2;? eB2;k. Si de�nisceD :=8<: � 2 : 8sequenza S S� = C; oppureS� �e uno dei quattro birettangoli R2;? R2;k9=; ; (4:32)si tratta di una sorta di bacino d'attrazione allargato della cornice C. Non �edi�cile dimostrare che D contiene strettamente i bacini d'attrazione stretti di C edei quattro birettangoli R2; ; intuitivamente ci�o vuol dire che in D sono contenuteanche le "selle" tra questi bacini.Analizzando, come al solito, tutti i cammini strettamente crescenti in energiache partono dai cinque minimi locali C, R2;? ed R2;k, si passano in rassegna tuttele con�gurazioni della frontiera @D e si pu�o quindi stabilire quale sia quella in cuil'energia H(�) assume il valore minimo. Le disuguagliaze di importanza chiavesono le seguentil < l� ) (h+ �)(l� 1) < [2J � (h� �)]� (h� �)(l+1) + [2J � (h+ �)] ; (4:33)che assicura che la con�gurazione di frontiera P5;?, riportata in Fig.4.10, ha energiamaggiore di quella di P1;m < m�(l)) (h+�)(l�1) < [2J�(h��)]�(h��)(m+1)+[2J�(h+�)] ; (4:34)che assicura che anche P5;k ha energia maggiore di P1; pertanto si conclude chemin�2@DH(�) = H(P1) : (4:35){ 108 {

Applicando il lemma di reversibilit�a si pu�o e�ettuare una stima dal basso sul tempodi primo arrivo sulla frontiera di D, supposto che all'istante iniziale il sistema siain C; preso " > 0 si ha lim�!1PC(�@D > e�(h+�)(l�1)��") = 1 : (4:36) �� l + 2 � � �� m+ 3 m+ 3 �� l + 3 � �� m+ 2 m+ 2 Fig.4.10 Con�gurazioni P5;? in alto e P5;k in basso.Per completare la descrizione dell'uscita del sistema da D �e necessario stimaredall'alto il tempo di primo arrivo sulla sua frontiera; si dimostra che per ogni " > 0lim�!1PC(�@D < e�(h+�)(l�1)+�") = 1 ; (4:37)da questa si deduce, come nel caso l < eL�, che la prima volta che il sistema giungesu @D, con grande probabilit�a vi giunge in P1. Quanto detto completa la descri-zione del primo passo della contrazione della cornice nel caso in esame; la successivaevoluzione del sistema la si discute come nel caso analizzato in precedenza, per-tanto si pu�o concludere che il teorema 4.1 resta dimostrato anche quando l � eL�e m < m�(l). { 109 {

Per dimostrare la (4:37) si ragiona come nel caso precedente, ma vi �e unadi�colt�a: presa � 2 D non �e detto che esista un cammino strettamente decrescentein energia che conduca il sistema da � a C; infatti se � appartiene al bacinod'attrazione stretto di uno dei birettangoli R2;? o R2;k, allora per giungere in C ilsistema deve superare una barriera energetica, cio�e deve raggiungere la frontieradel bacino stretto in questione. Allora l'evento d'uscita da D, la cui probabilit�aandr�a stimata dal basso, non deve essere de�nito su un tempo "�nito", bens�� suun tempo esponenzialmente lungo, in modo da permettere al sistema di compierele oscillazioni che precedono il raggiungimento di @D.Bisogna quindi de�nire un evento E�;T1("1) con � 2 D e T1("1) =e�[2J�(h��)]+�"1, ove "1 > 0 arbitrario, tale che siano soddisfatte le due seguentipropriet�a1) se si veri�ca l'evento E�;T1("1), allora esiste T0 � T1("1) tale che�T0 2 @D ;avendo supposto �0 = �, e l'evento viene considerato concluso in T0;2) vale la seguente stima dal basso sulla probabilit�a dell'evento E�;T1("1),preso � > 0 se � �e su�cientemente grande si ha:inf�2D P (E�;T1("1)) � e��[(h+�)(l�1)�(2J�(h��))]�� : (4:38)L'evento E�;T1("1) deve essere de�nito sul tempo T1("1), perch�e le disugu-aglianze (h� �)(m+ 1) < 2J � (h+ �) < 2J � (h� �)(h� �)(l + 1) < 2J � (h+ �) < 2J � (h� �){ 110 {

assicurano che nel tempo T1("1) il sistema a partire da una qualsiasi con�gurazionedi D giunge in C. Presa � 2 D, l'evento E�;T1("1) viene de�nito nel modo seguente:E�;T1("1) := ftraiettorie tali che �0 = �; in un tempo minoredi T1("1)2 il sistema giunge in C;poi nel tempo T1("1)2 giunge su @D in P1g ; (4:39)la condizione (1) �e soddisfatta in modo ovvio, per quanto riguarda la (2) �e chiaroche con grande probabilit�a in un tempo T1("1)2 il sistema giunge in C a partireda una qualsiasi con�gurazione di D; a partire da alcune con�gurazioni di D ilsistema deve superare una barriera energetica, ma il tempo T1("1)2 �e ampiamentesu�ciente. Il problema �e far vedere che partendo da C il sistema giunge in P1nel tempo T1("1)2 con probabilit�a non troppo piccola; la novit�a sta nel fatto che ilsistema deve raggiungere la frontiera del bacino d'attrazione stretto di C in unacon�gurazione che non fa parte dell'insieme dei minimi dell'energia sulla frontiera;si prova che preso � > 0 se � �e su�cientemente grande si haPC(�@B(C) < T1("1)2 ; ��@B(C) = P1) � e��[(h+�)(l�1)�(2J�(h��))]�� ; (4:40)da cui si deduce in modo immediato che E�;T1("1) soddisfa la condizione (2).Per dimostrare la (4:40) si a�anca alla catena di Markov �t con condizioneiniziale �0 = C, che descrive l'evoluzione del sistema, una seconda catena di Markov�n con n numero naturale, che si ottiene considerando solo gli istanti in cui ilsistema si trova in C oppure in @B(C). Per de�nirla in modo rigoroso, si consideranoi tempi 0 = v0 < u0 � v1 < ::: < un � vn+1 < :::{ 111 {

de�niti come segue 8>>>><>>>>: v0 = 0un = infft > vn : �t 6= �t�1gvn = infft � un�1 : �t 2 Xg ; (4:41)avendo posto X = fCg [ @B(C) : (4:42)A questo punto si de�nisce la catena�n = �vn 8n � 1 e �0 = �0 = C ; (4:43)si osserva che n � vn 8n � 0.Si indica con � l'istante in cui questa seconda catena di Markov giunge per laprima volta su @B(C): � := inffn naturali : �n 2 @B(C)g ; (4:44)e si de�niscono gli eventi E :=f�� = P1gG :=f�@BC < T1("1)gF :=E \ G ; (4:45)la tesi consiste nel provare la stima di probabilit�a (4.40) per l'evento F . Si de�-niscono le quantit�a P (C ! P1) = P (�1 = P1j�0 = C)P (C ! @B(C)) = P (�1 2 @B(C)j�0 = C) ; (4:46)il cui signi�cato �sico �e pi�u che trasparente. Valgono le seguenti stimeP (C ! P1) � � 12j�N j�l�1 e��(h+�)(l�1)P (C ! @B(C)) � e��[2J�(h��)]+�� ; (4:47){ 112 {

ove � > 0 �e arbitrario, mentre � va scelto su�cientemente grande. La prima �eimmediata, la seconda viene provata di seguito:P (C ! @B(C)) = X�2@B(C)P (�1 = �j�0 = C)= X�2@B(C) 1Xs0=0 1Xs=1 X��1;:::;��s�12B(C)fCgP (�0 = C; �1 = C; ::::::; �s0 = C; �s0+1 = ��1; ::::; �s0+(s�1) = ��s�1; �s0+s = �)sfruttando la reversibilit�a della catena di Markov rispetto alla misura di Gibbs siha P (C ! @B(C)) = X�2@B(C) 1Xs0=0 1Xs=1 X��1;:::;��s�12B(C)fCg e��[H(�)�H(C)��P (�0 = �; �1 = ��s�1; ::::::; �s�1 = ��1; �s = C; ::::; �s+s0 = C) :Si osserva, ora, che P4 �e un punto di minimo per l'energia sulla frontiera di B(C),allora P (C ! @B(C)) � e��[2J�(h��)] X�2@B(C)�� 1Xs0=0 1Xs=1P�(�t 2 B(C) n fCg 8t < s; �t = C 8t 2 [s; s + s0])=e��[2J�(h��)] X�2@B(C)P�(�C � 1) ;da cui si haP (C ! @B(C)) � e��[2J�(h��)]j@B(C)j max�2@B(C)P�(�C � 1) :Da cui si ottiene banalmente la seconda delle (4:47).Facendo uso delle (4:47) e sfruttando la seguente espressione della probabilit�adell'evento EP (E) = 1Xn=0[1� P (C ! @B(C)]nP (C ! P1) = P (C ! P1)P (C ! @B(C)) ;{ 113 {

si ha che preso � > 0 se � �e su�cientemente grande, alloraP (E) � e��[(h+�)(l�1)�(2J�(h��))]�� : (4:48)D'altro canto presi "1; "2 > 0 e tali che "1 > "2 si haPC(�@B(C) > e�[2J�(h��)]+�"1) � �1� e��[2J�(h��)]��"2�e�[2J�(h��)]+�"1 ;osservato che Gc = (�C@B(C) > e�[2J�(h��)]+�"1), si pu�o concludere che la probabi-lit�a del complementare di G si annulla in modo superesponenziale; pertanto si pu�odeterminare � su�cientemente grande tale che P (Gc) < 12P (E).In modo del tutto generale si dimostra che presi gli eventi A;B e C di ungenerico spazio di probabilit�a, tali che A = B \ C, si ha P (A) � P (B) � P (Cc);allora si pu�o scrivere P (F) � P (E) � P (Gc) ;allora per � su�cientemente grande si haP (F) � 12P (E) ;in de�nitiva preso " > 0 9�0 > 0 tale che se � > �0, alloraP (F) � e��[(h+�)(l�1)�(2J�(h��))]��" ; (4:49)ci�o completa la dimostrazione della (4:40).4.6 Crescita della cornice.Si considera la solita cornice C e si suppone eL� < l < l�, m�(l) � m em+2 < fM�, la sua criticit�a viene analizzata con argomenti perfettamente analoghi{ 114 {

a quelli illustrati nel paragrafo precedente. La di�erenza fondamentale sta nel fattoche il minimo dell'energia sulla frontiera @D, non �e costituito dalla con�gurazioneP1, bens�� da P5;k; pertanto la cornice tende a crescere. Con i soliti argomenti sidimostra che il tempo necessario al sistema perch�e raggiunga la con�gurazione +1�e dell'ordine di e�f[2J�(h��)]�(h��)(m+1)+[2J�(h+�)]g :Nel caso l � l� e m + 2 < fM� la disuguaglianza di importanza chiave �e laseguente(h+ �)(l � 1) >[2J � (h� �)] � (h� �)(l + 1) + [2J � (h+ �)] >>[2J � (h� �)] � (h� �)(m + 1) + [2J � (h+ �)] ; (4:50)pertanto anche in questo caso il minimo dell'energia sulla frontiera @D �e costituitodalla con�gurazione P5;k, quindi la goccia cresce in direzione parallela al suo latopi�u corto, il sistema cerca di riportarsi nella situazione in cui la goccia �e quadrata.�E interessante osservare che nei due casi appena esaminati esiste una direzionepreferenziale per la crescita della goccia, si tratta della direzione ortogonale al latopi�u lungo della cornice; in altri termini il fenomeno di crescita non �e simmetricorispetto allo scambio dei due assi del reticolo. Si tratta di un fenomeno allo stessotempo interessante e sorprendente: lo studio dinamico del sistema, mette in luceun fenomeno che non soddisfa ad una propriet�a di simmetria dell'hamiltoniana delsistema stesso.La simmetria nella crescita viene ripristinata quando si considerano cornicisu�cientemente grandi, cio�e quando l+2 � fM�; in questo caso, infatti, il compor-tamento del sistema pu�o essere studiato considerando il bacino d'attrazione strettodi C. Il minimo dell'energia sulla sua frontiera �e costituito dalla con�gurazione P4,in un tempo dell'ordine di e�[2J�(h��)] il sistema giunge in R2;? oppure in R2k;{ 115 {

ma a questo punto non torna indietro, perch�e il minimo dell'energia sulle frontieredi questi bacini �e costituito rispettivamente da P5;? e P5;k, pertanto la crescitacontinua ed il sistema raggiunge una nuova cornice, pi�u grande della precedente.

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Capitolo 5.Criticit�a di un generico minimo locale e bacinod'attrazione di -1.5.1 Teorema sulla criticit�a di un generico birettangolo.Nel capitolo precedente �e stata studiata l'evoluzione del modello di Blume{Capel a partire da una generica cornice, il risultato �e costituito dal teorema 4.1che chiarisce quali debbano essere le dimensioni di una cornice perch�e questa siasottocritica o supercritica; �e necessario stabilire risultati analoghi per un genericominimo locale, cio�e bisogna analizzare il comportamento del sistema a partire daun generico plurirettangolo.Si considera il birettangolo R := R(L1; L2;M1;M2), individuato a meno diuna traslazione, e si pone L := minfL1; L2g e M := minfM1;M2g; per stabilirequando questa con�gurazione �e sottocritica bisogna tener presente anche il latopi�u lungo del rettangolo interno, pertanto si pone L̂ := maxfL1; L2g.Il risultato che emerge pu�o essere illustrato a livello intuitivo come segue: lasottocriticit�a del birettangolo �e assicurata se sia il rettangolo interno che quello{ 117 {

esterno sono sottocritici, cio�e se L < L� edM <M�; ma se l'interno �e supercriticonon �e detto che anche il birettangolo lo sia, infatti se l'esterno �e su�cientementepiccolo, M < fM�, la con�gurazione pu�o risultare sottocritica nel suo complesso.Teorema 5.1Si consideri il birettangolo R := R(L1; L2;M1;M2) e si de�niscanocome in precedenza le dimensioni L, L̂ edM ; se �e veri�cata una delleseguenti cinque condizioni1)L < L�; M < M�2)L � L�; M < fM�; L̂+ 2 < fM�; L < eL�3)L � L�; M < fM�; L̂+ 2 < fM�; eL� � L < l�; L̂ < m�(L)4)L � L�; M < fM�; L̂+ 2 � fM�; M � 2 < eL�5)L � L�; M < fM�; L̂+ 2 � fM�; eL� �M � 2 < l�; L̂ < m�(L)allora si ha lim�!1PR(��1 < �+1) = 1 :Il signi�cato delle quattro possibili situazioni, in cui il birettangolo �e sottocriticopur essendo L � L�, verr�a chiarito nell'ambito della dimostrazione del teorema.Come nel caso delle cornici per capire quale sia la sorte di un birettangolo �enecessario calcolare il minimo dell'energia sulla frontiera @B del suo bacino d'at-trazione stretto B := B(R). Per fare ci�o si ragiona come al solito considerandotutti i cammini strettamente crescenti in energia che partono dal fondo della buca,ma da quanto detto in precedenza �e chiaro che i soli casi rilevanti sono i camminicostituiti da passi di tipo (2; 2); (3; 2); (5; 2) e (10; 1); si vedano le �gure 4.2 e 4.7.Considerato, allora, un lato del rettangolo esterno che disti almeno due unit�adal corrispondente lato del rettangolo interno, le quattro con�gurazioni di frontierada tener presente sono quelle in Fig.5.1; in tale �gura viene anche riportata la{ 118 {

di�erenza di energia �Hi i = 1; :::; 4 fra ognuna di queste con�gurazioni ed ilbirettangolo. Va osservato che la de�nizione delle con�gurazioni P1;P2;P3 e P4non �e univoca; vi �e libert�a nella scelta del lato libero del rettangolo esterno e nellaposizione delle protuberanze. - - �� - - �� P1 �H1 = 2J�(h��) � �� - - �� - - �� - - �� - - �� P2 �H2 = (M�1)(h��) � � � � - - �� - - �� - - �� - - �� P3 �H3 = (L�1)(h+ �) � � �� - - �� - - �� - - �� - - �� P4 �H4 = 2J�(h+ �) �� - - �� - - ��Fig.5.1 Con�gurazioni rilevanti della frontiera del bacino d'attrazione di R.Il caso pi�u semplice da analizzare �e quello in cui L < L� e M < M�: la{ 119 {

sottocriticit�a dell'interno assicura che(L� 1)(h + �) < 2J � (h+ �) < 2J � (h� �) ; (5:1)mentre dalla sottocriticit�a dell'esterno consegue(M � 1)(h � �) < 2J � (h � �) ; (5:2)ma nulla si pu�o dire, senza speci�care ulteriori condizioni sulle dimensioni delbirettangolo, sulla disuguaglianza (L � 1)(h + �)>< (M � 1)(h � �). Pertanto ilminimo dell'energia su @B �e costituito da P2 oppure da P3 a seconda del valore diL e diM ; ma ci�o non �e un problema perch�e in ogni caso la goccia tende a contrarsi,quindi il birettangolo �e sottocritico. Con i soliti argomenti si pu�o dimostrare cheil tempo impiegato dal sistema per giungere nella con�gurazione �1 �e dell'ordinedi maxfe�(L�1)(h+�); e�(M�1)(h��)g.Un altro caso abbastanza semplice �e quello in cui l'esterno �e supercritico: lacondizione M � M� assicura che 2J � (h � �) < (M � 1)(h � �). Se l'interno �esottocritico si ha(L� 1)(h+ �) < 2J � (h+ �) < 2J � (h� �) < (M � 1)(h � �) ; (5:3)dapprima scompare l'interno, ma poi l'esterno invade tutto il reticolo ed il sistemagiunge nella con�gurazione 0. Se l'interno �e supercritico, allora viene raggiunta lacornice C(M1 � 2;M2 � 2) in un tempo dell'ordine di e�[2J�(h+�)]; tale cornice hal = M � 2 � l�, pertanto �e supercritica e tenendo presente che l + 2 � fM� si hache il sistema giunge in �1 in un tempo dell'ordine di e�[2J�(h��)]. In conclusionese M �M� allora il birettangolo �e sicuramente supercritico.Un birettangolo cha abbia l'esterno supercritico e l'interno sottocritico giungenella con�gurazione 0 con probabilit�a uno nel limite � ! 1, inoltre ci�o avviene{ 120 {

in un tempo dell'ordine di e�[2J�(h��)]; si �e detto che tale con�gurazione �e su-percritica, infatti a partire da 0 il sistema giunge in +1 in un tempo dell'ordine die�f4L�J�[L�(L��1)+1](h+�)g.Per provare quest'ultimo risultato si osserva che il modello di Blume{Capelpu�o essere ricondotto al modello di Ising se si suppone che gli spin possano assu-mere soltanto i valori +1 e 0; infatti se si introducono le variabili�(x) = 2��(x) � 12� 8x 2 �N ; (5:4)che assumono i valori �1 e +1, l'hamiltoniana diventa quella del modello di Isingcon costante di accoppiamento �J2 e campo magnetico esterno h+�2 . Allora ilcomportamento dinamico del sistema pu�o essere descritto come nel capitolo 2 e siottengono i risultati annunciati in precedenza.5.2 Birettangolo con interno supercritico ed esterno sottocritico.Si vuole studiare il comportamento del birettangolo R, introdotto nel pa-ragrafo precedente, nel caso in cui l'interno �e supercritico e l'esterno sottocritico;ci si aspetta che questo sia il caso pi�u complicato da analizzare perch�e il motodell'interno si oppone a quello dell'esterno e viceversa.Si considera il caso in cui L � L� e fM� � M < M�: la sottocriticit�a del-l'esterno e la supercriticit�a dell'interno permettono di scrivere le seguenti disugu-aglianze (M � 1)(h� �) < 2J � (h� �)2J�(h+ �) < (L� 1)(h + �) : (5:5)Inoltre la condizione fM� �M implica che2J � (h+ �) < (M � 1)(h � �) ; (5:6){ 121 {

cio�e la crescita del rettangolo interno �e pi�u rapida della contrazione di quelloesterno. Dalle disuguaglianze precedenti si ha che il minimo sulla frontiera delbacino d'attrazione di R �e costituito dalla con�gurazione P4, pertanto il sistemagiunge nella cornice C(M1 � 2;M2 � 2) che �e supercritica. La supercriticit�a ditale cornice �e assicurata dal fatto che minfM1 � 2;M2 � 2g � l�. Si pu�o quindiconcludere che il birettangolo �e supercritico e che il tempo necessario al sistemaper giungere in �1 �e dell'ordine di e�[2J�(h��)].In precedenza si �e tacitamente supposto che il lato libero del rettangolo esternosia quello pi�u corto, non cambia nulla se il lato libero �e quello pi�u lungo; infattiposto M̂ = maxfM1;M2g si ha (M̂ � 1)(h � �) > (M � 1)(h � �), pertanto ilminimo su @B �e P4 anche in questo caso. �� Fig.5.2La situazione si complica se l'esterno �e tanto piccolo che la crescita dell'interno�e pi�u lenta della contrazione dell'esterno, cio�e se si suppone cheM < fM�; in questocaso (M � 1)(h � �) < 2J � (h + �) : (5:7)Per capire l'evoluzione del sistema bisogna distinguere due casi: L̂ � M � 2 e{ 122 {

L̂ > M � 2. Nel primo caso, illustrato in Fig.5.2, il rettangolo esterno si contraelungo la direzione ortogonale al suo lato pi�u corto �no a raggiungere la formaquadrata; a questo punto la contrazione procede in entrambe le direzioni �no alraggiungimento della cornice C(L1; L2) in un tempo dell'ordine di e�(M�1)(h��).Nel secondo caso il lato pi�u lungo del rettangolo interno e quello pi�u lungodell'esterno sono necessariamente paralleli, si veda la Fig.5.3; l'esterno si contraein direzione ortogonale al suo lato pi�u corto, �no a quando �e costretto ad arrestarsiper aver raggiunto l'interno, questa contrazione avviene nel tempo e�(M�1)(h��). �� > � � � � L̂+ 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� M M Fig.5.3Se l'esterno ha ancora un lato libero, questo misurer�a L̂+ 2; allora si distin-guono i due casi seguentiL̂ + 2 < fM�: la contrazione dell'esterno �e pi�u rapida della crescita del-l'interno, pertanto il sistema giunge nella cornice C(L1; L2) nel tempoe�(L̂+1)(h��), che �e maggiore di e�(M�1)(h��) perch�e L̂+ 2 >M ;L̂ + 2 � fM�: la crescita dell'interno �e pi�u rapida della contrazione del-{ 123 {

l'esterno, pertanto il sistema raggiunge la con�gurazione C(M � 2; L̂) op-pure C(L̂;M � 2) nel tempo e�[2J�(h+�)].Si pu�o quindi concludere che nel caso in esame il destino del sistema �e quellodi giungere su una cornice, quale sia questa cornice dipende dalle dimensioni delbirettangolo iniziale; i risultati possono essere cos�� riassunti:L̂+ 2 �M < fM�: il sistema raggiunge la cornice C(L1; L2) in un tempodell'ordine di e�(M�1)(h��);M < L̂+ 2 < fM�: il sistema raggiunge la cornice C(L1; L2) in un tempodell'ordine di e�(L̂+1)(h��);fM� � L̂+2: il sistema raggiunge la cornice C(M�2; L̂) oppure C(L̂;M�2)in un tempo dell'ordine di e�[2J�(h+�)].A questo punto ci si �e ricondotti a studiare il comportamento di una cornice, ilteorema 4.1 permette di concludere la dimostrazione del 5.1.Si osserva l'emergere di un fenomeno del tutto nuovo rispetto al modello diIsing ed alle sue generalizzazioni non simmetriche: vi sono casi in cui una gocciasupercritica, prima di invadere tutto il reticolo, si contrae. Il sistema nel camminoche lo conduce dalla goccia supercritica alla con�gurazione +1 passa per minimilocali dell'energia pi�u piccoli della goccia di partenza, nel senso della relazioned'ordine parziale (4.27). Questa vera e propria "pulsazione" del sistema avviene,ad esempio, nel caso di un birettangolo tale che L � L�, M < fM�, L̂+ 2 < fM� eL � l�; il sistema si contrae �no a raggiungere la cornice supercritica C(L; L̂), poitale cornice cresce �no ad invadere tutto lo spazio.{ 124 {

5.3 Criticit�a di un plurirettangolo.Per completare l'analisi della criticit�a di tutti i minimi locali dell'energia bi-sogna studiare il comportamento del sistema a partire da un birettangolo, cio�e dauna con�gurazione de�nita come segue: tutti gli spin 0 sono contenuti all'internodi un rettangolo di lati M1 edM2, nel suo interno vi sono k+ rettangoli di spin +1di lati L1;i e L2;i 8i 2 f1; 2; :::; k+g, questi rettangoli devono soddisfare alle dueseguenti propriet�acomunque si prendano due di essi, le loro frontiere devono avere interse-zione vuota;non esiste un sito x 2 �N tale che �(x) = 0 e tale che due dei lati delquadrato unitario centrato su di esso appartengano a due dei k+ rettangolidi spin +1.Si de�nisce M := minfM1;M2g e Li := minfL1;i; L2;ig 8i 2 f1; 2; :::; k+g; ilproblema consiste nello stabilire quali condizioni queste dimensioni devono sod-disfare per assicurare la sottocriticit�a del plurirettangolo.Nel caso in cui sia il rettangolo esterno sia tutti i rettangoli interni sono sot-tocritici �e facile intuire che la con�gurazione �e sottocritica; se, invece, almeno unodei rettangoli interni �e supercritico, allora per stabilire dei risultati sul comporta-mento del sistema �e necessario introdurre il rettangolo R, de�nito come l'invilupporettangolare dell'unione di tutti i rettangoli supercritici interni. Dette LR;1 ed LR;2le lunghezze dei lati di R, si pone LR := minfLR;1; LR;2g e L̂R := maxfLR;1; LR;2g;si pu�o quindi enunciare il seguente teorema.{ 125 {

Teorema 5.2Il plurirettangolo introdotto in precedenza �e sottocritico nei due casiseguenti:1) Li < L� 8i 2 f1; 2; :::; k+g e M < M�;2) 9 almeno un i 2 f1; 2; :::; k+g tale che Li � L� e il biret-tangolo che si ottiene sostituendo i rettangoli interni con R �esottocritico.In primo luogo si mostra che il plurirettangolo �e sottocritico se �e soddisfatta lacondizione (1), il risultato �e molto intuitivo, ma l'argomento viene illustrato indettaglio perch�e nel seguito verr�a sfruttato in un caso ben pi�u complicato. Lascomparsa della goccia viene suddivisa in varie fasi successive: la prima fase �ecostituita dalla scomparsa di tutti i rettangoli interni che soddisfano la disugu-aglianza seguente (Li � 1)(h + �) < (M � 1)(h� �) : (5:8)Si denota con R(1) l'inviluppo rettangolare dell'unione dei rettangoli interni chenon soddisfano la (5.8), cio�e dell'unione dei rettangoli interni tanto grandi dasopravvivere alla prima fase della contrazione; inoltre viene indicato con I(1) �f1; 2; :::; k+g l'insieme di tutti gli indici che individuano uno di questi rettangoli.A questo punto ha inizio la seconda fase della scomparsa della goccia conla contrazione del rettangolo esterno: si considerano i due casi L̂(1) � M � 2 eL̂(1) > M � 2, avendo indicato con L̂(1) la lunghezza del pi�u lungo dei lati diR(1). Nel primo caso la contrazione procede �no a quando il rettangolo esternosi addossa su R(1) ed il sistema giunge in una con�gurazione il cui prototipo �eillustrato in Fig.5.4.Fra tutti i rettangoli interni si individua quello cha ha il lato minimo pi�ucorto, cio�e si calcola Lmin := mini2I(1)fLig; trasformando in 0 (Lmin � 1) spin{ 126 {

�� Fig.5.4+1 di uno dei lati pi�u corti del rettangolo appena determinato, si ottiene un mi-nimo dell'energia sulla frontiera del bacino d'attrazione stretto della con�gurazioneraggiunta dal sistema dopo la seconda fase della contrazione. Tipicamente si pos-sono realizzare i due casi illustrati in Fig.5.5: dopo questa ulteriore contrazioneil rettangolo esterno ha nuovamente un lato libero, oppure il rettangolo internocoinvolto nella contrazione �e lontano dal bordo. �� Fig.5.5Nel primo caso l'evoluzione del sistema continua con la scomparsa di unastriscia del rettangolo esterno ed il raggiungimento di una con�gurazione che �e{ 127 {

ancora del tipo illustrato in Fig.5.4; mentre nel secondo caso il rettangolo esternonon ha lati liberi, quindi il processo di scomparsa continua con la contrazione diuno dei rettangoli interni. La goccia continuer�a a contrarsi con il meccanismodescritto in precedenza �no alla sua totale scomparsa, pertanto il plurirettangolo�e sottocritico.Nel caso L̂(1) > M � 2 durante la seconda fase della scomparsa della gocciail sistema giunge in una con�gurazione caratterizzata da un rettangolo esterno didimensioniM ed L̂(1)+2; l'eventuale lato libero di tale rettangolo misura L̂(1)+2.Se 8i 2 I(1) si ha (L̂(1) + 1)(h � �) < (Li � 1)(h+ �), allora il rettangolo esternocontinua a contrarsi in direzione ortogonale al lato libero, �no ad addossarsi alrettangolo R(1); poi la contrazione della goccia continua come nel caso precedente.Se, invece, esiste almeno un rettangolo interno la cui velocit�a di contrazione�e pi�u rapida di quella del rettangolo esterno, sar�a questo a contrarsi perdendouna striscia di spin +1. Se per e�etto di ci�o uno dei due lati corti del rettangoloesterno risulta libero, allora riprende la contrazione del rettangolo esterno; in casocontrario continua la contrazione dell'interno. �E evidente che i fenomeni appenadescritti continuano �no alla scomparsa totale della goccia, pertanto anche inquesto caso il plurirettangolo �e sottocritico.Si dimostra facilmente che il plurirettangolo �e supercritico seM �M� oppurese fM� � M < M� e vi �e almeno un rettangolo interno supercritico; si considera,ora, il caso in cui M < fM� ed almeno uno dei rettangoli interni �e supercritico.In primo luogo si considerano tutti i rettangoli interni le cui dimensioni sonotali che la (5:8) �e soddisfatta; questi scompaiono prima che avvenga qualsiasialtra cosa. Si salvano i rettangoli interni supercritici e quelli sottocritici che nonsoddisfano alla (5:8); si indica con R(1) l'inviluppo rettangolare all'unione di tutti{ 128 {

- - �� - - - - �� - - - - �� - - � � � � � � � � �� > �� > �� - - �� - - - - �� - - - - �� - -Fig.5.6 Coalescenza tra i rettangoli interni.questi rettangoli di spin +1.A questo punto ha inizio la contrazione del rettangolo esterno: si denotacon L̂(1) il pi�u lungo dei lati di R(1), ragionando come nel caso in cui tutti irettangoli interni sono sottocritici, si prova che se L̂(1) �M�2 il sistema raggiungel'inviluppo rettangolare R dell'unione di tutti i rettangoli interni supercritici. Poiavviene la scomparsa di tutti i rettangoli interni sottocritici ancora presenti equindi ha inizio la crescita dei rettangoli interni supercritici: questa avviene conil solito meccanismo di comparsa di una protuberanza, a�ancato dal fenomenodella coalescenza. Infatti quando la comparsa di una protuberanza fa s�� che duecluster di spin +1 si trovano a distanza unitaria, questi coalescono in un tempodell'ordine dell'unit�a; si veda la Fig.5.6. Pertanto il sistema giunge nella corniceC(LR;1; LR;2).Nel caso in cui L̂(1) > M � 2 la descrizione del comportamento del sistema �epi�u complicata, ma con i soliti argomenti si dimostra cheL̂R + 2 < fM� ) il sistema giunge in C(LR;1; LR;2);L̂R + 2 � fM� ) il sistema giunge in C(M � 2; L̂R).Si osserva che nel caso in cui M < fM� ed almeno uno dei rettangoli interni�e supercritico, il sistema si comporta esattamente come se la con�gurazione dipartenza fosse quel birettangolo che si ottiene sostituendo i rettangoli di spin +1{ 129 {

con R; pertanto la dimostrazione del teorema 5.2 pu�o ritenersi completa.5.4 De�nizione del bacino d'attrazione di -1.Lo studio rigoroso di sistemi stocastici, come le dinamiche di Glauber, ha ilpregio di dare un'idea intuitiva molto chiara del comportamento di un sistema inuna fase metastabile: nel caso di sistemi di spin viene individuato un sottospaziodello spazio delle con�gurazioni, i cui stati sono caratterizzati da un valore negativodella magnetizzazione ed in cui il sistema rimane con�nato per un tempo moltolungo, anche in presenza di un campo magnetico esterno positivo.Il problema �e de�nire questo sottospazio per il modello di Blume{Capel, cio�ede�nire il bacino d'attrazione allargato della con�gurazione �1; a tal propositorisulta di importanza chiave aver stabilito quali siano i requisiti che un minimolocale deve soddisfare per essere sottocritico. Le idee guida nella de�nizione ditale bacino, che viene denotato con A, sono quelle illustrate nel caso del modellodi Ising: a partire da una qualsiasi con�gurazione � 2 A il sistema deve giungerecon grande probabilit�a in �1 prima che in +1; cio�e se � 2 A, allora deve accadereP�(��1 < �+1) �! 1 nel limite � !1.Per caratterizzare le con�gurazioni che godono di questa propriet�a si costruisceun'applicazione S : � ! �̂ che ad ogni � 2 � associa un minimo locale �̂ tale che:H(�̂) � H(�)� � �̂ ; (5:9)cio�e �̂ deve avere energia pi�u bassa di � e deve essere pi�u grande di questa; insostanza �̂ �e il minimo locale pi�u grande, quindi potenzialmente "pi�u supercri-tico", che il sistema pu�o raggiungere diminuedo la sua energia. La condizione di{ 130 {

appartenenza di � al bacino A viene data su �̂, cio�e A �e costituito da tutte quellecon�gurazioni � tali che �̂ �e sottocritico.Si consideri una con�gurazione � 2 �: si denota con c� il cluster di spin�1 tale che il suo inviluppo rettangolare R(c�) coincide con l'intero reticolo �N ,con c+;0i 8i 2 f1; 2; :::; k+;0g i cluster di spin +1 e 0 e con c�i 8i 2 f1; 2; :::; k�g icluster di spin �1 che non invadono tutto il reticolo; vengono, quindi, de�nite unaserie di operazioni che permettono di costruire il minimo locale �̂ a partire dallacon�gurazione �.In primo luogo si considerano tutti gli spin �1 che hanno tra i loro primi vicinialmeno uno spin +1 e si indica con �1 quella con�gurazione che si ottiene trasfor-mando in 0 tutti gli spin �1 appena determinati. In precedenza si �e dimostratoche trasformando in 0 lo spin �1 di una interfaccia �+ l'energia del sistema di-minuisce, si veda la Fig.3.4, pertanto H(�1) � H(�); �e, inoltre, ovvio che � � �1,infatti l'unica operazione che �e stata e�ettuata �e la trasformazione in 0 di spin �1.Si osserva che nulla assicura �1 2 �, infatti trasformando spin �1 in 0, pu�oaccadere che la nuova con�gurazione non abbia un cluster di �1 che invade tutto lospazio, cio�e non sia de�nito il "mare" di �1. Allora si de�nisce l'insieme �� come l'insieme di tutte quelle con�gurazioni � tali che �1 �e un elemento di �; lade�nizione dell'applicazione S : � ! �̂ viene data a partire da una con�gurazione� 2 ��.La con�gurazione �1 �e caratterizzata da un cluster c�1 di spin �1 che invadetutto il reticolo; l'assenza di interfacce �+ assicura che ulteriori spin �1 formanocluster che si trovano all'interno di cluster di spin 0, si veda la Fig.5.7. Si costruiscela con�gurazione �2 trasformando in 0 tutti gli spin �1 che non fanno parte delcluster c�1 ; ovviamente si ha �1 � �2. Inoltre H(�2) � H(�1), infatti �2 pu�o essere{ 131 {

�� 0 �� 0 � � 0 � � 0 �� - � �� 0 � �� 0 �� - � 0 �� - �� 0 �� - - � � � �� - �� 0 �� 0 � �� 0 �� Fig.5.7 Cluster di spin �1 nella con�gurazione �1.costruita a partire da �1 nel modo seguente: si individua un cluster di spin �1 chesia contenuto all'interno di un cluster di spin 0, almeno uno dei suoi spin �1 ha dueo pi�u spin 0 primi vicini, l'energia diminuisce se questo spin �1 viene trasformatoin 0; l'argomento pu�o essere iterato �no ad eliminare dall'interno del cluster dispin 0 in questione tutti gli spin �1. Ripetendo il ragionamento precedente pertutti i cluster di spin �1 diversi da c�1 , si costruisce �2 a partire da �1 tramiteuna successione di singoli cambiamenti di spin, ognuno dei quali comporta unadiminuzione dell'energia.Tutti gli spin +1 della con�gurazione �2 si trovano in cluster contenuti al-l'interno di cluster di spin 0, questo �e ovvio perch�e non vi sono interfacce �+;ma all'interno dei cluster di spin +1 vi possono essere cluster di 0 (si veda laFig.5.8): si denota con �3 la con�gurazione che si ottiene trasformando in +1 tuttigli spin 0 di �2 che si trovano all'interno di cluster di spin +1. Ragionando comein precedenza si dimostra che H(�3) � H(�2) e che �2 � �3.Tutti gli spin �1 della con�gurazione �3 sono quelli appartenenti al clusterc�1 che invade tutto il reticolo. I cluster di spin 0 vengono indicati con c03;i 8i 2{ 132 {

�� 0 �� 0 � � 0 �� + � � �� + �� 0 � �� 0 �� + �� 0 �� 0 � �� 0� � 0 � � �� + �� 0 �� 0 � �� 0 �� Fig.5.8 Cluster di spin 0 nella con�gurazione �2.f1; 2; :::; k03g, all'interno di ognuno di questi vi possono essere cluster di spin +1, chevengono denotati con c+3;i;j 8i 2 f1; 2; :::; k03g e 8j 2 f1; 2; :::; k+3;ig. Si consideranogli inviluppi rettangolari ai cluster di spin 0R03;i = R(c03;i) 8i 2 f1; 2; :::; k03g ; (5:10)si tratta di rettangoli di spin 0 immersi in un mare di spin �1; come nel caso delmodello di Ising si introduce la nozione di rettangoli non interagenti e si costru-iscono le catene massimali di prima generazione. Con l'usuale procedimento sicostruiscono le catene massimali di f{esima generazione, ognuna delle quali �ecostituita da un solo rettangolo�0;(f)1 = f �R01g ; :::; �0;(f)k0f = f �R0k0f g ; (5:11)si osserva che i rettangoli �R0i 8i 2 f1; 2; :::; k0fg sono a due a due non interagenti.Si denota con �4 la con�gurazione in cui tutti e soli gli spin +1 sono nei clusterc+3;i;j 8i 2 f1; 2; :::; k03g e 8j 2 f1; 2; :::; k+3;ig, gli spin 0 occupano i siti che appar-tengono ai rettangoli �R0i 8i 2 f1; 2; :::; k0fg e che non sono occupati da spin +1,{ 133 {

tutti i siti restanti sono occupati da spin �1. Potrebbe accadere che �4 non siaun elemento di �, pertanto l'applicazione S : � ! �̂ viene de�nita per quellecon�gurazioni che appartengono all'insieme �� := f� 2 � : �1; �4 2 �g. �� > � �� Fig.5.9 Coalescenza di due cluster di spin 0 interagenti e con intersezione vuota.In modo del tutto banale si ha �3 � �4; si dimostra, ora, che H(�4) � H(�3).Per costruire �4 vengono e�ettuate due operazioni: "riempimento" del rettangolocircoscritto ad un cluster di spin 0 immerso in un mare di �1, e "riempimento"dell'inviluppo rettangolare dell'unione di due rettangoli interagenti. La prima ope-razione pu�o essere e�ettuata abbassando l'energia, infatti preso un cluster di spin0 immerso nel mare di �1 e supposto che non sia rettangolare, si pu�o determinareuno spin �1 che ha almeno due spin 0 primi vicini. Trasformando tale spin �1 in0 l'energia diminuisce, questo procedimento pu�o essere ripetuto �no a trasformarein 0 tutti gli spin �1 che si trovano all'interno dell'inviluppo rettangolare. Laseconda operazione coincide con la prima nel caso in cui le frontiere dei due ret-tangoli interagenti si intersecano, in caso contrario esiste uno spin �1 con due spin0 primi vicini (Fig.5.9), trasformandolo in 0 l'energia diminuisce e si ottiene ununico cluster di 0 il cui inviluppo rettangolare pu�o essere riempito con diminuzionedell'energia.Nella con�gurazione �4 sono presenti tutti i cluster di spin +1 che eranopresenti anche in �3, questi vengono ora classi�cati tenendo presente il rettangolo{ 134 {

�R0i con i 2 f1; 2; :::; k0fg all'interno del quale si trovano; cio�e tutti i cluster dispin +1 che si trovano all'interno di �R0i vengono denotati con il simbolo c+4;i;j coni 2 f1; 2; :::; k0fg e 8j 2 f1; 2; :::; k+4;ig.I cluster di spin +1 che si trovano all'interno di ognuno dei rettangoli �R0i pos-sono essere sottoposti alla stessa sequenza di trasformazioni cui sono stati sotto-posti i cluster di 0, formando catene di rettangoli di spin +1 immersi in un "mare"di spin 0. All'interno di ognuno dei rettangoli �R0i si ottengono k+f;i rettangoli dispin +1, che vengono denotati con �R+i;j con i 2 f1; 2; :::; k0fg e 8j 2 f1; 2; :::; k+f;ig;tali rettangoli sono a due a due non interagenti per costruzione. La con�gura-zione cos�� ottenuta viene denotata con �̂, come al solito si prova che �4 � �̂ e cheH(�̂) � H(�4).Si osserva che �̂ �e un minimo locale, ci�o �e assicurato dal fatto che i rettangolidi spin 0 sono a due a due non interagenti, e dal fatto che i rettangoli di spin+1 che si trovano all'interno di ognuno di essi sono anche loro a due a due noninteragenti. L'applicazione S : � ! �̂ gode delle due propriet�a (5:9) ed inoltre �e"monotona", nel senso che � � � ) �̂ � �̂ : (5:12)L'applicazione S e i teoremi sulla criticit�a dei minimi locali possono essere sfruttatiper de�nire l'insieme AA := f� 2 �� : �̂ �e sottocriticog : (5:13)Sono state quindi caratterizzate le con�gurazioni del bacino d'attrazione al-largato di �1: quando il sistema �e nella fase metastabile il moto del suo puntorappresentativo nello spazio delle con�gurazioni �e con�nato in A. Di tanto intanto si formano delle gocce di spin 0 ed all'interno di queste gocce di spin +1,{ 135 {

ma si tratta di con�gurazioni sottocritche che scompaiono presto, nel senso che ilsistema torna nella con�gurazione �1 in un tempo molto pi�u breve di quello chetrascorre in A.Per stimare quest'ultimo, cio�e per ottenere una stima della vita media dellostato metastabile, bisogna calcolare il minimo dell'energia sulla frontiera di A;infatti l'uscita dal bacino avverr�a con il veri�carsi dell'evento raro costituito dalformarsi della goccia protocritica P, ove con P si indica il minimo dell'energiasulla frontiera di A. Pertanto il passo successivo nello studio del comportamentometastabile del modello di Blume{Capel consister�a nella determinazione della con-�gurazione protocritica.

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Appendice A.Si dimostra il lemma 2.2, ovvero il lemma di reversibilit�a: sia " > 0 e �; � 2 ,si pone � (") = e�[H(�)�H(�)]��" :Bisogna calcolareP�(�� < � (")) = �(")Xt=1 P�(�t = �; �t0 6= � 8t0 < t) � �(")Xt=1 P�(�t = �) ;tenendo presente la de�nizione di funzione di transizione dopo t passi si pu�o scri-vere P�(�t = �) = P t(�; �) = X��1;:::;��t�12P (�; ��1) ::: P (��t�1; �) :Applicando la reversibilit�a della dinamica di Metropolis rispetto alla misura diGibbs, si ha P�(�t = �) == X��1;:::;��t�12P (��1; �)e��[H(��1)�H(�)] ::: P (�; ��t�1)e��[H(�)�H(��t�1)] ;e quindiP�(�t = �) = e��[H(�)�H(�)]P t(�; �) = e��[H(�)�H(�)]P�(�t = �) :Si pu�o quindi concludereP�(�� < � (")) � �(")Xt=1 e��[H(�)�H(�)]P�(�t = �) � �(")Xt=1 e��[H(�)�H(�)] ;in virt�u del fatto che P�(�t = �) � 1 :{ 137 {

Ricordando l'espressione di � (")P�(�� < � (")) � e�[H(�)�H(�)]��" e��[H(�)�H(�)] == e��" �!1�! 0 ;questo completa la prova del lemma di reversibilit�a.

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IndiceIntroduzione : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : iCapitolo 1: La metastabilit�a.1.1 Teoria di van der Waals{Maxwell : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :11.2 Stati metastabili nella teoria di van der Waals{Maxwell : : : : : : : : : : : : : : : : : : :41.3 Derivazione dell'equazione di van der Waals in Meccanica Statistica : : : : : : :61.4 Stati metastabili nel modello di Ising : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 91.5 Teoria classica della nucleazione : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :151.6 Metodo degli ensemble statistici ristretti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20Capitolo 2: Metastabilit�a nel modello di Ising stocastico.2.1 Dinamiche di Glauber : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 252.2 Dinamica di Metropolis : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :292.3 Dinamica di Metropolis in tempo continuo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 322.4 Il pathwise approach : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :34{ 142 {

2.5 Minimi locali e loro dimensioni critiche: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :382.6 Bacino di attrazione allargato della con�gurazione �1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 452.7 Uscita del sistema dalla fase metastabile : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 50Capitolo 3: Studio dinamico del modello di Blume{Capel.3.1 Diagramma di fase del modello di Blume{Capela bassa temperatura : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 593.2 Dinamica di Metropolis per il modello di Blume{Capel : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 643.3 Minimi locali dell'hamiltoniana H(�) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 663.4 Energia dei minimi locali dell'hamiltoniana H(�) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 733.5 Meccanismi di crescita e di contrazione : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 783.6 Crescita e contrazione delle cornici : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 82Capitolo 4: Risultati rigorosi sulla criticit�a delle cornici4.1 Teorema sulla criticit�a delle cornici : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 874.2 Minimo dell'energia sulla frontiera del bacino d'attrazionedi una cornice nel caso l < eL� : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 914.3 Stima dall'alto sul tempo �@B : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :974.4 Scomparsa della cornice nel caso l < eL� : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1024.5 Scomparsa della cornice nel caso eL� < l < l� e m < m�(l) : : : : : : : : : : : : : : : 1054.6 Crescita della cornice : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 114{ 143 {

Capitolo 5: Criticit�a di un generico minimo localee bacino d'attrazione di �1.5.1 Teorema sulla criticit�a di un generico birettangolo: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :1175.2 Birettangolo con interno supercritico ed esterno sottocritico : : : : : : : : : : : : 1215.3 Criticit�a di un plurirettangolo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1255.4 De�nizione del bacino d'attrazione di �1: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :130Appendice A : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 137Bibliogra�a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 139Indice : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 142

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