tubitak 1512 destek program 2014 - ii. d onem teknik...
TRANSCRIPT
Tubitak 1512 Destek Programı2014 - II. Donem Teknik Ilerleme Raporu:
Kompleks Arazilerde Ruzgar AnaliziyleTurbinlere Verimli Yer Bulan Yazılım
Proje No: 2130278
Fatih ERTINAZFertınaz Yazılım Danısmanlık Hizmetleri Ltd. Sti. - Istanbul
March 23, 2015
Contents
1 Giris 4
2 Denklemler 62.1 Ruzgar Akısı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Turbulans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Turbulans modeli: k - epsilon . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2 Turbulans modeli: RNG k - epsilon . . . . . . . . . . . 92.2.3 Turbulans modeli: k - omega . . . . . . . . . . . . . . 92.2.4 Turbulans modeli: k - omega SST . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Ek Fizik Modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.1 Turbin modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 Zamana baglı model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.3 Coriolis kuvvetleri ve Ekman tabakası . . . . . . . . . . 132.3.4 Orman modelleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.5 Isı stabilite modeli, nem ve yuzey ısınma etkisi . . . . . 152.3.6 Akustik etkiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.7 Uzun donem analizleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.8 Belirsizlik hesapları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Sayısal Yontemler 213.1 SIMPLE Algoritması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1 Hız tahmini - (Velocity predictor) . . . . . . . . . . . . 223.1.2 Dogrulama dongusu - (Corrector loop) . . . . . . . . . 24
3.2 Baslangıc Kosulları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Sınır Kosulları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.1 Duvar fonksiyonlari - (Wall functions) . . . . . . . . . 283.4 Puruzluluk Etkisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.1 nutRoughWallFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5 Turbin Etkisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Sonuclar 314.1 Cozum Agı Uretimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Ayrıklastırma Yontemleri ve Lineer Cozuculer . . . . . . . . . 324.3 Simulasyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3.1 Ideal sinus tepesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.2 Bolund adası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3.3 Kırklareli arazisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4 Turbulans Etkisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5 Performans Testleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.5.1 Isletim sistemi testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.5.2 Cozum agı uretme performansı . . . . . . . . . . . . . 554.5.3 Paralel kosturma performansı . . . . . . . . . . . . . . 554.5.4 Turbulans model performansları . . . . . . . . . . . . . 56
5 Olcum ve Sonuc Verilerinin Raporlanması 57
6 Ekler: Programın Formları 58
1 Giris
Bu projenin amacı kompleks arazilerde hesaplamalı akıskanlar dinamigi (HAD)prensipleri kullanılarak turbulanslı ruzgar akıslarının analiz edilmesiyle ruzgarturbinlerinden daha verimli faydalanılmasını saglayacak lokasyonları ongorenbir yazılım uretmektir. Arka planda OpenFOAM kullanarak HAD analiz-lerini gerceklestiren bu yazılım, kullanıcıların OpenFOAM ve numerik analizkonusunda uzman olmalarını gerektirmeden akıs simulasyonu yapmalarınısaglayan bir grafik arayuz (GUI) ile desteklenecektir.
Yukarıda verilen tanımda gecen kompleks arazi ifadesinde herhangi bir kısıtlamabulunmamaktadır. Analizin yapılacagı bolgeler ani yukselti farklılıklarınınbulundugu daglık alanlardan, derin vadilerden ve orman arazilerinden olusabilir.Bu projede uretilecek yazılıma girdi olarak verilecek arazi haritası, uzerindesimulasyon kosturulabilecek formata (cozum agı - mesh) donusturulduktensonra kullanıcı tarafından belirlenen referans hız ve yukseklik parametreleriile kullanılacak olan fizik model secilir ve ardından analiz baslatılır. Simulasyoncalısırken es zamanlı guncellenen cesitli fiziksel parametrelerin (ruzgar hızı,yuzey basıncı, turbulans yogunlugu, hata payları) grafiklerle gorsellestirilmesisayesinde kullanıcı baslangıc degerlerinin simulasyon sonuclarına olan etkisinigorebilir ve bazı parametreleri (toplam iterasyon sayısı, hata tolerans degeri)degistirebilir.
HAD prensiplerine dayalı bir analiz, turbulanslı akıs denklemlerinin sayısalanaliz yontemleri yardımıyla ruzgar akıslarının cesitli baslangıc degerleri kul-lanılarak simule edilmesini kapsamaktadır. Bu analizlerin sonucunda eldeedilecek fiziksel parametreler sayesinde. kompleks arazilerin ruzgar turbinleriicin daha verimli olan noktalarının belirlenmesi mumkun olacaktır. Simulasy-onların baslatılabilmesi icin arazilerde olcum yapılmıs olmasına gerek yok-tur ancak olcumler simulasyon sonuclarının iyilestirilmesinde kullanılabilir.Ayrıca, arazilerin her noktasında olcum yapmanın mumkun olmamasındanoturu bu tip bir analiz programı sayesinde deneme olcumleri icin de daha fay-dalı konumlar belirlenebilir. Bu sayede hem arazinin olcum yapılmamıs nok-taları icin yeniden olcum maliyetlerinin onune gecilebilir hem de hesaplanmıssonucların olcumlerle olan korelasyonu kullanılarak simulasyon cıktılarınıngercek degerlere daha fazla yakınsaması saglanmıs olur.
Tanımlanan projeye benzer bir yazılım Turkiye’de gerceklestirilmemis olup,yurtdısında rakibi konumunda olan yazılım projeleri bulunmaktadır. Buprojeyi yurtdısı rekabetinde de tercih edilebilir kılacak onemli yenilikci yan-larından biri homojen olmayan cozum agları ile calısabilmesi olacaktır.
HAD uygulamalarında homojen yapılandırılmıs cozum aglarının genel olarakbazı avantajları olmasına ragmen [15] kompleks arazi uygulamalarında ho-mojen olmayan cozum agları ile calısmak analizlerin suresi ve hassasiyetiacısından avantajlar saglamaktadır. Cunku kompleks arazilerde bazı bolgelerarazinin diger kısımlarına nazaran daha onemlidir; ani yukseltilerin (steepgradient) oldugu ya da turbin konulmasının planlandıgı yerler ornek olarakverilebilir. Kritik bolgelerde detaylı analiz yapabilmek icin o bolgelerdekihucre sayısını arttırmak gerekir. Diger bir deyisle, o bolgelerde daha kucukhucreler kullanılmalıdır. Daha fazla hucre kullanılması o bolge icin gerekenhesaplama suresini arttıracaktır. Eger bir arazide onem arz etmeyen bolgel-erdeki noktalar da onemli yerdekiler kadar kucultulurse, her noktada detaylıhesaplar yapılacagı icin simulasyon sureleri gereksiz yere uzayacaktır. Bu dakaynak, zaman ve dolayısıyla maddi kayıp anlamına gelir. Bu sureyi azalt-mak icin onemli bolgelerde de yeterince kucuk olmayan hucreler kullanılır isesimulasyon sonucları hassas olmayacaktır.
Ruzgar enerjisi sektorunde butun yatırımcı sirketler yeni bir ruzgar ciftligiinsa edilecegi zaman ihaleye acılan olan arazide bir analiz calısması yap-maktalar. Ozellikle son yıllarda ruzgar enerjisine yonelik yatırımların art-masıyla beraber ulkemizde ve hatta dunyanın bircok bolgesinde ruzgar ciftligihaline getirilebilecek duz arazi sayısı oldukca azalmıstır. Bundan dolayıyakın gelecekte sirketler kompleks analize onem verme durumundadırlar. Buproje de kompleks arazilerde yapılması gereken analize yonelik artan ihtiyacıkarsılamayı amaclamaktadır.
Bu rapor, Turkiye Bilimsel ve Teknolojik Arastırma Kurumu (Tubitak) tarafındandesteklenen “Kompleks Arazilerde Ruzgar Analiziyle Turbinlere Verimli YerBulan Yazılım”projesinin teorik altyapısını ve bu proje dahilinde gelistirilenprogramın beta versiyon gorsellerini icermektedir. Bunlara ek olarak, pro-gramın validasyonu icin gereken testler de bu raporda paylasılmıstır. Ra-por, gelistirilmeye devam etmekte olan bir yazılıma ait oldugu icin verilenmatematik modeller ve elde edilen sonuclar herhangi bir ticari garanti sunma-maktadır. Burada kullanılan yontemlerin ve algoritmaların dogrulanmasınadevam edilmektedir ve sonuclar guncellendikce bu rapor da guncellenecektir.
2 Denklemler
Akıs problemlerinin cozumunde en sık kullanılan denklem seti Navier-Stokesdenklemleridir. Bu denklem setinin genel halinde 7 adet kısmi diferansiyeldenklem ve bilinmeyen vardır. Bu denklemlerin genel matematik temellerinive fiziksel anlamlarını literaturde pek cok kaynak anlatmaktadır. Bu raporunamacının dısında kaldıgı icin bu detaylara girmeyecegiz ancak okuyular [17]ve [18] numaralı kaynaklarda daha detaylı bilgiye ulasabilirler.
Bu denklem setindeki denklemlerin sayısı bazı basitlestirici kabuller kulla-narak 2’ye indirilebilir. Biz bu projede aksini belirtmedigimiz muddetcebutun cozuculerin zamandan bagımsız, sıkıstırılamaz ve izotermik oldugunukabul etmekteyiz. OpenFOAM kullanarak gelistirilen butun cozuculerin matem-atiksel altyapıları bu teknik raporda ilerleyen bolumlerde verilmistir. Once-likle en basit model anlatılmaktadır.
Akıskanın sıkıstırılamaz ve izotermik oldugu kabulleri Navier-Stokes denklemsetini 1 boyutta 2 denklemli bir sete donusturur:
∂ui∂t
+ uj∂ui∂xj
= −1
ρ
∂p
∂xi+ ν∇2ui (1)
∂ui∂xi
= 0 (2)
Denklem 1 Newton’un 2. yasası kullanılarak olusturulabilir ve bu denklemmomentum denklemi olarak bilinir. 2. denklem ise kutle korunum yasasındanturetilmistir ve 1 numaralı denklemden basınc teriminin bulunması icin kul-lanılır. Bu iki denklem boyutsuz olarak yazılırsa:
∂ui∂t
+ uj∂ui∂xj
= − ∂p
∂xi+
1
Re∇2ui (3)
∂ui∂xi
= 0 (4)
Burada Re Reynold’s sayısıdır:
Re =U0L
ν(5)
Boyutsuz Navier-Stokes denklemlerinin turetilmesi bu raporun amaclarınındısında kaldıgı icin, burada denklemlerin nasıl cıkarıldıgı gosterilmemistir.Ancak ilgili okuyucular Henningsson tarafından yazılan notlarda bu konuylailgili detaylı bilgiye ulasabilirler ([1], s. 23).
2.1 Ruzgar Akısı
Atmosferik sınır tabaka, atmosferin dunya yuzeyindeki kosullardan direk etkialtında kaldıgı kısım olarak tanımlanır. 1 numaralı resimde bu yapı gorulmek-tedir. Yuzeydeki sıcaklık degisimleri, surtunme kuvveti, yuzey puruzlugu at-mosferik sınır tabaka akıslarını etkileyen faktorlerdir. Turbulanslı olan buakıslarda, girdap (eddy) buyuklukleri cok buyuk farklılıklar gosterebilir. Bufarklılıkların aralıgı yaklasık 10−3 ile 103 m. arasında degismektedir ve bu daruzgar akıslarının modellenmesini oldukca zorlastırmaktadır ([2], s. 5).
Modeli basitlestirmek amacıyla kullanılan yontemlerden ilki akısların ısılolarak notr ve sıkıstırılamaz oldugunu kabul etmektir. Bu durumda akısıngiris yonundeki ortalama hızı icin logaritmik bir yaklasım yapılabilir ([2], s.6):
u =u∗
κ+ ln
(z
z0
)(6)
Burada κ von Karman sabiti, u∗ surtunme hızı, z dikey yondeki lokasyon, z0
ise giris yuzeyindeki puruzluluk degeri olup su anda projede 0.01’e esitlenmistir.
Figure 1: Atmosferik sınır tabaka yapısı
2.2 Turbulans
Dunyanın yuzey puruzlulugunun (roughness) ruzgar akıslarındaki turbulansolusumunda etkisi vardır. Bu sebeple biz de modellerimizde endustride stan-dard haline gelmis ve muhendislik uygulamalarında sıklıkla kullanılan 2 den-klemli turbulans modellerini kullanmaktayız. Bu modeller ile akısın turbulansozellikleri Navier-Stokes denklemine ek olarak gelen 2 adet transport den-klemi ile ifade edilir. Bizim projemizde kullandıgımız turbulans modeli k −ε’dur. Bu modele ek olarak programda kullanıcı isterse turbulanslı olmayan(laminar) model de secebilir, ancak kompleks arazi analizlerinde laminarmodellerin secilmesinin bir faydası olmayacaktır. Bu durumda kullanıcılaricin WAsP benzeri, HAD analizi yerine lineer modeller ve istatistiksel fonksiy-onlar kullanan yazılımlardan faydalanmak daha uygundur.
2.2.1 Turbulans modeli: k - epsilon
Endustriyel uygulamalarda sık kullanılan k-ε modeli bizim uygulamamızdada mevcuttur ([5], s. 174). Bu modeldeki k turbulans kinetik enerjisi, ε iseenerjinin yayılımıdır (dissipation). Bu denklemler su sekilde yazılabilir:
∂ (ujk)
∂t= µt
∂ui∂xj
(∂ui∂xj
+∂uj∂xi
)+
∂
∂xj
(µtσk
∂k
∂xj
)− ρε (7)
∂ (ujε)
∂t= Cε1
ε
kµt∂ui∂xj
(∂ui∂xj
+∂uj∂xi
)+
∂
∂xj
(µtσk
∂ε
∂xj
)− ρCε2
ε2
k(8)
ve ayrıca turbulans eddy viskozitesi su sekilde yazılabilir:
µt = Cµk2
ε(9)
Denklemlerdeki Cµ, Cε1 ve Cε2 degerleri model katsayıları olup asagıda verilenesitliklerle ifade edilirler:
Cµ =
(u2∗k
)2
(10)
Cε1 = Cε2 −κ√Cµσε
(11)
Burada u∗ surtunme hızı, k turbulans kinetik enerjisi, σk turbulans Prandtlsayısı ve σε model sabitidir. Ticari ruzgar uygulamalarında σk 1, σε ise 1.3alınır ([2], s. 7).
2.2.2 Turbulans modeli: RNG k - epsilon
RNG k− ε modeli, akıs hareketlerinin daha kucuk olcekler icin de hesaplan-abilmesi icin Navier-Stokes denklemleri ile Re-Normalization Group metodukullanılarak gelistirilmistir [16]. Bir onceki bolumde detayları anlatılan k− εmodelinde turbulanslı eddy viskozitesi 9 numaralı denklemde verilmis olup,turbulans uzunluk olceklerinden (turbulent length scale) secilmis olanındangelen etkiyi hesaplara katar. Ancak gercekte birden fazla uzunluk olcegimevcuttur. Standart k − ε modelinin matematiksel bir turevi sayılabilecekbu model birden fazla olcekten gelen katkıyı ele almaktadır. Bunun icinturbulans yayılım (epsilon) denklemi degistirilmistir:
∂ (ρk)
∂t+∂ (ρkui)
∂xi=
∂
∂xj
[(µ+
µtσk
)∂k
∂xj
]+ Pk − ρε (12)
∂ (ρε)
∂t+∂ (ρεui)
∂xi=
∂
∂xj
[(µ+
µtσε
)∂ε
∂xj
]+ C1ε
ε
kPk − C∗2ερ
ε2
k(13)
Bu denklemde:
C∗2ε = C2ε +Cµη
3(1− η
η0
)1 + βη3
(14)
Ayrıca:
η = Sk
εve S = (2SijSij)
2 (local strain rate) (15)
Raporun 4.4 numaralı sonuc bolumunde de paylasıldıgı uzere bu turbulansmodeli ile yapılan testlerde daha yumusak (smoother) residual grafikleri ilekarsılastık. Ancak genel bir cıkarıma varmak icin daha fazla test yapmamızgerekir. Ayrıca buna benzer bir sonuc Tapia tarafından yazılmıs yukseklisans tezinde de raporlanmıstır [21]. Konuyla ilgili daha detaylı yorumlarıilgili bolumde bulabilirsiniz.
2.2.3 Turbulans modeli: k - omega
k − ε modeline benzer bir sekilde k − ω modeli de 2 denklemli bir modelolmakla beraber endustriyel uygulamalarda sıklıkla kullanılmaktadır. Yinebenzer sekilde bu modeldeki k turbulans kinetik enerjisi, ω ise enerjininyayılımının farklı bir ifadesidir (specific dissipation). Bu denklemler su sekildeyazılabilir:
∂k
∂t+ uj
∂k
∂xj= τij
∂ui∂xj− β∗kω +
∂
∂xj
[(ν + σ∗νT )
∂k
∂xj
](16)
∂ω
∂t+ uj
∂ω
∂xj= α
ω
kτij∂ui∂xj− βω2 +
∂
∂xj
[(ν + σνT )
∂ω
∂xj
](17)
ve ayrıca kinematik eddy viskozitesi su sekilde yazılabilir:
νT =k
ω(18)
Denklemlerdeki α, β, β∗, σ ve σ∗ model katsayıları olup sırayla 5/9, 3/40,9/100, 1/2 ve 1/2 degerlerine esittirler. Bu model ile ilgili daha detaylı bilgi[19] numaralı referansta mevcuttur.
Bu modelin programa entegrasyonu icin calısmalar k−εmodelinin gelistirilmesininardından baslamıstır. Bu calısmalar devam etmektedir.
2.2.4 Turbulans modeli: k - omega SST
Bu turbulans modeli, k − ω SST (shear stress transport), k − ω ile k − εmodellerinin matematiksel bir kombinasyonudur. Sınır tabakaya (boundarylayer) yakın bolgelerde k−ω modelini kullanırken, serbest akıs (free stream)bolgelerinde k− ε modelini kullanır. Okuyucular bu model ile detaylı bilgiye[20] numaralı kaynaktan ulasabilir.
Bu modelin programa entegrasyonu icin calısmalar k−εmodelinin gelistirilmesininardından baslamıstır. Bu calısmalar devam etmektedir.
2.3 Ek Fizik Modeller
Bu bolumde ruzgar akıslarının dogada gerceklesen akıslara benzerligini arttırmakicin gelistirilmesi planlanan matematik modellerin tanımını yapacagız. Bu-rada bahsedilen modellerden, turbinlerin etkisini akıs hesaplarına ekleyenmodel haric diger modeller henuz projede desteklenmemektedir. Bu mod-ellerin bir kısmına ait literatur, gelistirilmis teorik altyapı acısından kısıtlıoldugu icin, bir kısmına dair calısmalar ise fiziksel kaynakların sınırlı olmasısebebiyle uygulamalarda sıklıkla kullanılmamaktadırlar.
Bolum 2.3.5 ve 2.3.7 anlatıldıgı uzere ısıl stabilite modelleri, matematiktanımları herkes tarafından kabul edilen ve sonucları farklı arastırmacılarınelde ettigi sonuclarla dogrulanmıs modeller degildir. Bu modeller stabiliteacısından daha zayıftırlar, baslangıc degerleri sonucların yakınsaklıgına di-rekt etki eder. Fiziksel kısıtlamalar (computational resources) bakımından iseendustride oncelik verilmeyen, hızlı sonuc almanın simulasyon sonuclarının
hassaslıgından daha onemli oldugu dusunulen durumlarda kullanılmayan mod-eller de 2.3.2, 2.3.3 ve 2.3.8 numaralı bolumlerde anlatılmıstır.
2.3.1 Turbin modeli
Bu projede turbinlerin etkisini modellemek icin kullandıgımız yaklasım (ac-tuator line) bir dogru boyunca akıstan kaynaklanan kuvvetleri hesaplar ([36],s. 18). Buna gore yazılımda, ruzgar analizinin gerceklestirildigi arazideyatırımcı tarafından turbin yerlestirilmesi planlanan lokasyonlarda, turbininrotor merkezinden kanatlarına uzanan bir dogru boyunca noktalar olusturupkuvvetleri bu noktalar uzerinde hesaplanıyoruz. Bu kuvvetlerin hesaplanmasıicin Navier-Stokes momentum denkleminin sag tarafına bir kuvvet terimi ek-lenir:
∂ui∂t
+ uj∂ui∂xj
= −1
ρ
∂p
∂xi+ ν∇2ui + fi (19)
Bu denklemde fi terimi govde kuvvetlerini (body force) modelleyen terimdir.Bu kuvvetler bir dogru boyunca esit aralıklı belirlenen noktalarda hesaplanır.2 boyutlu uzayda bu kuvvet:
f2d =dF
dr=
1
2ρU2
relc (CLeL, CDeD) (20)
olarak verilmistir. Burada eL ve eD sırayla kaldırma (lift) ve cekme (drag)yonlerindeki birim vektorlerdir. c ise kord boyu (chord length) olarak tanımlanır([36], s. 21). Kanatların rotasyonel hızı Urel:
Urel =√U2z + (ωr − Uθ)2 (21)
burada da ω turbine ait rotasyonel hız ve r kanat yarıcapıdır.
Bu modele ek olarak akıs yonunde bir disk olusturularak da (actuator disk)turbinlerin akıs uzerindeki etkisi incelenebilmektedir. Yukarıda verilen model(actuator line) baz alınarak gelistirilmis bu model de akıs uzerinde turbin etk-isi hesaplayabilmek icin yapabilecegimiz yaklasımlardan biridir. Bu yaklasımile ilgili daha detaylı bilgi almak isteyen okuyucu [37] numaralı kaynaga bak-abilir.
Bu teoriye gore ince ve katı bir disk hacmi akıs bolgesi icinde tanımlanır.Akıskanın icinden gecmesine izin vermeyen bu diskin etrafinda momentumve basınc degisiklikleri meydana gelir. Ancak bu degisiklikler disk uzerindehomojen bir dagılıma sahiptir. Bir diger onemli husus, bu modelin uygu-lanabilmesi icin cozum agının turbin etraflarında iyi sıklastırılmıs olması
gerekmektedir. Bu da modelin pratik uygulamalarda kullanılırlılıgını azalt-maktadır. Biz bu projede otomatik olarak, girisi yapılan turbin lokasyonlarıcivarına 4 adet sıklastırma uyguluyoruz.
Her iki model icin de daha detaylı teorik bilgiler edinmek isteyen okuyucu[38] ve [39] numaralı kaynaklardan arastırabilir.
2.3.2 Zamana baglı model
Zamana baglı (transient) model buyuk gradyene (steep gradient) sahip yersekilleri etrafında olusma ihtimali olan girdap (wake) analizlerinin daha de-taylı kosturulabilmesi icin oldukca onemli olmakla beraber simulasyon sureleriniuzattıgı icin sektordeki kullanıcılar tarafından pek tercih edilmemektedir.
Zamana baglı cozumlerde simulasyon stabilitesini belirleyen CFL kosulunusaglamak gerektigi icin analiz sureleri uzamaktadır. CFL kosulu kısaca,cozum agındaki en kucuk hucre buyuklugu (cell size) ile zaman adımı (time-step) arasındaki oranın bir ifadesidir:∣∣∣∣u∆t
∆x
∣∣∣∣ ≤ 1 (22)
Bundan oturu OpenFOAM yeni zaman adımı degerlerini hesaplarken eskidegerlere ek olarak hesaplanmakta olan zaman adımı degerlerini de kullananyontemler (implicit) sunmaktadır. Boylece simulasyon stabilitesinin zamanadımına baglılıgı azalır ve daha buyuk zaman adımları secilebilir. Bu yontemstabiliteyi arttırdıgı gibi simulasyon surelerini de azaltır. Ancak bu durumdada sonuc hassasiyetinden kaybedebiliriz. Gorulen sonucların dogrulugundanemin olunamayacagı icin buyuk zaman adımları secmek her durumda faydalıolmayacaktır. Bundan oturu yine de CFL kosulunu goz onune alarak zamanadımı belirlemek gerekecektir.
Fiziksel olarak CFL kosulu, akıskanın bir hucreden gecis suresini tanımlayanbir kısıtlama olarak yorumlanabilir. Bu durumda sonlu hacimler yonte-mindeki zaman integrali aralıgı bu zaman adımıyla belirlenmis olur. Im-plicit bir yontemde zaman adımını buyuk almak stabilite acısından bir sorunyaratmayacagı halde verilen bu tanımdan oturu alınan sonucların fizikselolmamasına sebep olacagı icin uzun analiz sureleri problemine cozum olma-maktadır. Bu sureyi azaltmak icin sık kullanılan bir yontem zamana baglıanalizden evvel zamandan bagımsız (steady) analizleri yaparak yakınsamısbir sonuc elde etmektir. Daha sonra bu sonuclar, zamana baglı cozucu icinbaslangıc kosulu olarak kullanılırsa yakınsama surelerinin azaldıgı gorulebilir.
Zamana baglı olmayan modellerin cozumu icin 3.1 numaralı bolumde detay-ları anlatılan SIMPLE isimli kullanılır. Zamana baglı matematik modellerdeise Issa tarafından onerilen PISO algoritması kullanılır. Bu konuyla ilgilidaha detaylı bilgiye [45] numaralı kaynaktan ulasılabilir.
2.3.3 Coriolis kuvvetleri ve Ekman tabakası
Coriolis kuvvetleri, atmosferik sınır tabaka akısları ele alındıgında ilk bakıstaihmal edilebilir ([21], s. 64). Bunun sebebi Coriolis kuvvetlerinin globalolcekte etkili olmasıdır. Kısıtlı bir arazide yapılan ruzgar analizlerinde Cori-olis kuvvetlerinin mertebesi (order of magnitude) 10−4 civarında oldugundanbu kuvvetler hesaplara eklenmemistir. Ancak ideal bir ruzgar analizindeCoriolis kuvvetleri ihmal edilmemelidir. Dunyanın donme hareketinden kay-naklanan bu kuvvet, momentum denkleminin sagına eklenen bir terim ilemodellenebilir ([22], s. 6):
fi = −2εijkΩjuk (23)
Analizi gerceklestirilen arazi alanı buyudukce onemi artan bu terimde, Ωj
dunyanın dairesel hızına ait bilesendir. uk ise referans alınan sistemin icindekihız bilesenidir. Ayrıca ruzgar akıslarında sonuclar yuzey puruzlulugune baglıolmakla beraber sınır tabakayı belirleyen bolge olan Ekman tabakası, akıskanlardinamiginde karsılasılan diger problemlere nazaran farklılık gostermektedir([23], s. 63).
Bu modelin bir diger dezavantajı, Coriolis kuvvetinin momentum denklemineeklendigi zaman k− ε turbulans modelinin de modifiye edilmesi gerekecektir.Bunun sebebi izotropik bir model olan k − ε modelinin akısın anizotropikkatkısını ihmal etmesidir. Dogası geregi anizotropik bir model olan Corioliscozucusunun verimli bir sekilde kullanılması icin EASM (Explicit AlgebraicStress Model) ya da RSM (Reynolds Stress Model) gibi turbulans modelleritercih edilmelidir ([2], s. 9).
2.3.4 Orman modelleri
Kompleks arazi tanımında bir kısıtlama yapmadıgımızı bu proje onerisinihazırlarken belirtmistik. Buna gore analizin yapılacagı arazide ormanlıkalanların bulunması pratikte sık karsılasılan bir durum oldugundan, arazi veruzgar analizleri icin farklı arastırmacılar tarafından onerilmis orman mod-elleri literaturde bulunmaktadır.
Bu modeli analizlerde kullanabilmek icin 3 ve 4 numaralı cozucu denklem-lerinin sag tarafına kuvvet terimleri eklenmektedir. Ek olarak turbulans mod-eli de modifiye edilmektedir. Bu ek terimler:
Fi = −CDa(z)ρ|u|ui (24)
Sk = ρCDa(z)[βp|u|3 − βd|u|k
](25)
Sε = ρCDa(z)[Cε4βp
ε
k|u|3 − Cε5βd|u|3ε
](26)
Bu denklemler ile ormanlık arazinin gozenekli (porous) yapısı simule edilebilmek-tedir. Bu modellerdeki katsayılar icin farklı arastırmacılar tarafından farklıdegerler onerilmistir. Bizim su anda bu modelin entegrasyonu ve testleriile ile ilgili calısmalarımız devam etmekle beraber bu onerilen degerlerdenher arazi tipi icin en iyi sonucu veren bir set belirlenememistir. 1 numaralıtabloda bu oneriler paylasılmıstır.
Bu modulun programa entegrasyonu henuz tamamlanmamıstır. Ilgili matem-atik modeller gelistirildikten sonra yapılması gereken hangi yuzeylerin kul-lanıcılar tarafından ormanlık arazi olarak belirlenecegine dair bir stratejigelistirilmesidir. Bu amacla girisimci kullanıcılardan referans degerler al-mayı planlamaktadır. Bu gore kullanıcılar programda ormanlık bolge olaraktanımlanmasını istedikleri yerlerin puruzluluk degerlerini referans olarak gire-cekler ve program da bu degere yakın olan bolgeleri orman arazisi olaraketiketleyecektir.
Islevi 3.4.1 numaralı bolumde anlatılan Ks degerleri uzerinden yurutulecekolan bu islem sonucunda, alınan referans degerin asagıda verilen esitsizligisagladıgı her bir kontrol hucresi (control volume) orman arazisi icerisindekalınan bir hucre olarak indekslenir ve yukarıda verilen 24, 26 ve 25 nu-maralı terimlerin eklendigi denklemler kullanılarak cozumler hesaplanır. Buesitsizligin dısında kalan Ks degerlerine sahip hucreler ise orman arazisidısında olarak varsayılır ve bu terimler cozucu denkleminden duserler.
Model βp βd Cε4 Cε5
Svensson ve Haeggkvist (1990) 1.0 0.0 1.95 0.0Green (1992) 1.0 4.0 1.5 1.5Liu (1998) 1.0 4.0 1.5 0.6Sanz (2003) 1.0 5.1 0.9 0.9Lopes Da Costa (2007) 0.17 3.37 0.9 0.9
Table 1: Orman modelleri katsayı setleri
2.3.5 Isı stabilite modeli, nem ve yuzey ısınma etkisi
Dogada gerceklesen ruzgar akısları ısı degisimlerinden etkilenirler. Bu etki-lerin hesaplanabilmesi icin momentum denkleminin sag tarafına terim eklen-mesi gerekir. Isıl akıslar (thermally stratified) 3 farklı kategoriye ayrılırlar;1- Stabil akıslar, 2- Notr akıslar ve 3- Stabil olmayan akıslar. Bazı ticari pro-gramlar bu kategori sayısını ara kosullar ekleyerek 9’a kadar cıkarmaktalar.Bu etkiler icin kullanılan matematik model verilmistir:
∂ui∂t
+ uj∂ui∂xj
= −1
ρ
∂p
∂xi+
(ρ
ρ0
− 1
)gi −
∂
∂xj
[−ν
(∂ui∂xj
+∂uj∂xi
)− u′iu
′j
](27)
∂ui∂xi
= 0 (28)
Bu denklemde ρρ0
teriminin matematiksel ifadesi asagıdaki gibidir. Bu kuvvetterimi, ozkutle farkından oturu akıskanın dikey yonde hareket etmesine sebepolan terimdir (buoyancy):
ρ
ρ0
= 1− Θ−Θ0
Θ0
(29)
burada Θ potansiyel sıcaklık ve Θ0 referans degerdir. Potansiyel sıcaklıkifadesi asagıda verilmistir:
Θ = T
(p0
p
) γ−1γ
(30)
Burada onemli nokta, yukarıda verilen etkilerin hava ozkutlesine baglı degisimlerolmasına ragmen modelin sıkıstırılamaz akıs kabulleri kullanılarak gelistirilmisolmasıdır (Bousinessq yaklasımı [41]). Bunun sebebi ise sıkıstırılabilir (com-pressible) cozuculer kullanıldıgında yakınsama sureleri (slower convergence)
ve problemin karmasıklıgı (computationally expensive) artmakta ve ayrıcadusuk Mach sayısı problemleri icin stabilite azalmaktadır.
Atmosfer stabilitesi, atmosferin dikey yondeki akıskan hareketine karsı sergiledigidirenc olarak tanımlanır [24]. Burada stabiliteyi belirleyen fiziksel parametreise potansiyel sıcaklıktır. Potansiyel sıcaklıgın diverjansı dikey yonde pozitifise stabil atmosfer kabulu yapılabilir. Notr atmosfer icin bu deger 0’dır. Budegerin negatif oldugu durumlar ise stabil olmayan atmosfer kosullarına denkgelir.
Stabil bir atmosferik akısta turbulans kinetik enerji kısmen dikey hareketlerdeharcanmaktadır. Buna baglı olarak stabil akıs arazi yuzeyini takip etmeegilimi gosterir. Bu harekete dair gorseli 2 numaralı resimde gorebilirsiniz.
Notr akısta ise enerji yuzeye yakın kısımlarda ruzgarın yarattıgı (shear)kuvveti sayesinde olusur. Bu durumda lineer olmayan (convection) terim-inden bir katki yoktur.
Stabil olmayan akıslar ise matematik modelleme asısından, stabil ve notrproblemlere kıyasla daha zor problemlerdir. Bu modeller zamana baglı olaraksimule edilir, bundan oturu pratik cozumlerin tercih edildigi durumlarda kul-lanılmazlar.
Potansiyel sıcaklık icin hareket (transport) denklemi:
∂Θ
∂t+∂ujΘ
∂xj= − ∂
∂xj
(−κ ∂Θ
∂xj
)(31)
Bu denklemde κ = νPrt
ve Prt turbulans Prandtl sayısıdır.
Bu modelin analizlere dogru bir sekilde entegre edilebilmesi icin ayrıca turbulansmodeli de incelenmelidir. Isı degisimine baglı faktorler turbulans olusumundada etkilidir. Buna baglı olarak standart k−ε turbulans modeline bir ek terimgetirilir:
∂ε
∂t+∂uiε
∂xi=
∂
∂xi
(νtσε
∂ε
∂xi
)+ cε1
ε
k(Pk + cε3Pb)− cε2
ε2
k(32)
∂k
∂t+∂uik
∂xi=
∂
∂xi
(νtσk
∂k
∂xi
)+ Pk + Pb − ε (33)
Pb = −g νtσΘ
1
Θ
∂Θ
∂xi(34)
Burada Pb ısıl degisim etkilerine baglı (buoyancy) turbulans uretim (produc-tion) terimidir ([25], s. 5).
Daha once ruzgar akısı icin giris profilini verdik. 6 numaralı denklemde bufonksiyonu gorebilirsiniz. Sıcaklık stabilitesinin onemli oldugu durumlardabu profile bir terim eklenir ([8], s. 44):
u(z) =u∗κ
[ln(z
z0
)− ψ(z, z0, L)
](35)
Burada κ von Karman sabiti, z0 puruzluluk uzunlugu ve ψ atmoferik stabilitefonksiyonudur. Bu fonksiyon asagida verilmistir:
ψ =
−4.7
(zL− z0
L
)if z
L> 0 stabil
0 if zL
= 0 notr
2 ln(
1+x1+x0
)+ ln
(1+x2
1+x20
)− 2 arctan(x) + 2 arctan(x0) if z
L< 0 instabil
(36)
Bu denklemde x =(1− 15 z
L
) 14 ve x0 =
(1− 15 z0
L
) 14 olmakla beraber L
ile gosterilen Monin-Obukhov uzunlugu, mekanik olarak ortaya cıkan en-erjinin termal sebeplerle ortaya cıkan enerjiye esit oldugu yukseklik olaraktanımlanmıstır [26].
Yuzey sıcaklıkları ve hava nemliligi ise atmosferik akıs analizlerinde hesaplaragenellikle katılmazlar. Bunun nedeni, etkilerinin orta ve yuksek hızlı ruzgarakıslarında kucuk kalmasıdır. Bu konuyla ilgili daha detaylı bilgi [27] nu-maralı calısmada bulunabilir.
Figure 2: Atmosferik stabiliteye baglı ruzgar akısı
2.3.6 Akustik etkiler
Turbinlerin calısırken sebep olacagı sesin etkisi endustriyel uygulamalardaonem tasımaktadır. Ruzgar ciftligi olarak kullanılan arazilerin yakın cevresindedogal yasam alanları olması durumunda, gurultu seviyelerini ongormek icincalısmalar yapılması gerekir.
Akustik modelleme icin farklı analojiler literaturde bulunmaktadır. Kısacadeginmek gerekirse bu modeller; Lighthill, Curle ve Ffowcks Williams-Hawkings(FWH) modelleridir. Bu analojiler ile ilgili daha detaylı bilgilere [14] ve [12]numaralı kaynaklardan ulasılabilir. Bu modellerle yapılmıs cesitli uygulamasonuclarının paylasıldıgı makaleler ise [10], [11] ve [13] numaralı referanslardaverlismistir.
Literaturde sıklıkla belirtildigi uzere aeroakustik akıslarda FWH denklemikullanılmaktadır ([14], s. 227). Bu denklem turbulanslı bir akıskan icindekikatı cismin varlıgından oturu olusan sesin matematiksel bir ifadesidir. Buifadenin onerildigi makaleye okuyucular [12] numaralı kaynaktan ulasabilirler.Buna gore:
D2p′(x, y) = +∂
∂t[ρ0νN + ρ (uN − νN) δ(f)]
− ∂
∂x[∆Pijnj + ρui (uN − νN) δ(f)]
+∂2
∂xi∂xj[TijH(f)] (37)
bu denklemde D terimi D’Alembert operatorudur:
D2 =1
c20
∂2
∂t2−∇2 (38)
ayrıca Pij stress tensorudur:
Pij = pδij + µ
(−∂ui∂xj− ∂uj∂xi
+2
3
∂uk∂xk
)δij (39)
Bu denklemi olusturan 3 farklı kaynak terimi, 3 farklı fiziksel ses kaynagınadenk gelmektedir. Ilk terim hareketli yuzeylerin olusturdugu deplasman (dis-placement) etkisine karsılık gelmektedir. Ikinci terim ise rotasyonel etk-ilerden olusan sesi modeller. Ucuncu terim ise lineer olmayan terim olupaeroakustik literaturunde akısların yuksek hızlı durumlarda sesi domine et-mektedir [33], [32].
Sıkıstırılamaz akıslarda birinci ve ikinci terimlerdeki akıskan ve yuzey hızları(uN ve νN) birbirlerine denktir. Bu durumda bu terimler denklemden cıkarılabilir.Projede akustik modul icin yapılan calısmalarda ilk asama olarak bu islemuygulanmıs ve 37 numaralı denklemden, sıkıstırılamazlık ve zamandan bagımsızlıkvarsayımları ile 40 numaralı denkleme gecis yapılmıstır:
1
c20
∂2p′
∂t2−∇2p′ =
∂2
∂xi∂xj(ρuiuj) (40)
Verilen bu denklem OpenFOAM kutuphanesi ile kodlanarak ilk testler basarıylatamamlanmıstır. Buna gore yazılan akustik cozucu acousticFoam asagıdakikodları icermektedir:
const vo lTensorF ie ld UU( ”UU” , U∗U) ;
fvSca la rMatr ix pPrimeEqn(
1/( sqr ( c0 ) ) ∗fvm : : d2dt2 ( pPrime )− fvm : : l a p l a c i a n ( pPrime )==
fvc : : d iv ( fvc : : d iv (UU) )) ;
2.3.7 Uzun donem analizleri
Esasında HAD analizi olmayan yontemlerle yapılan uzun donem analizler(aylık, mevsimsel) ticari bir ruzgar analizi programında olması beklenen birozellik oldugu icin yapılacaklar listesine dahil edildi. Konuyla ilgili calısmalardevam etmekle beraber oncelik sırası diger modellere atanmıstır.
2.3.8 Belirsizlik hesapları
HAD problemlerinde belirsizlik hesapları, alınan sonucların hassaslıgını arttırmakicin kullanılan bir yontemdir. Boylece ayrıklastırma yontemleri uygulanırkenhesaplamalarımızda olusacak engellenemeyen hataların azaltılması mumkunolacaktır.
Bu projede uygulanan iyilestirme yontemi icin Dakota isimli bir yazılım kul-lanılmıstır. Amerikan Sandia Ulusal Arastırma Kurumu (U.S. Sandia Na-tional Labs) tarafından gelistirilen bu yazılım, aynı test haritası icin birdenfazla konfigurasyonda simulasyonlar calıstırıp sonucları baslangıc parame-trelerinin aldıgı degerlere gore analiz ederek belirsizlik hesabı yapmaktadır.
Proje sahibinin bu konudaki calısmaları devam etmekle beraber Dakota yazılımınınmevcut programa entegrasyonu da arastırılmaktadır.
3 Sayısal Yontemler
Bu bolumde teorik arka planı verilen akıs denklemlerinin cozumu icin kul-lanılan matematik yontemleri ve bu yontemlerin OpenFOAM kutuphanesikullanılarak implementasyonunu anlatacagız.
3.1 SIMPLE Algoritması
OpenFOAM’da implemente edilen SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pres-sure Linked Equations) algoritması Navier-Stokes denkleminin zamandanbagımsız halinin cozulmesinde sıklıkla kullanılan bir algoritmadır. Bu al-goritma ile ilgili daha detaylı bilgi edinmek icin Patankar tarafından yazılankitap incelenebilir ([3], s. 128). SIMPLE algoritmasının asamaları asagıdaverilmektedir:
1. Sınır kosullarını belirle.
2. Ayrıklastırılmıs momentum denklemini coz ve hız icin bir tahmin degeribul.
3. Hucre yuzeylerinde kutle akısını hesapla.
4. Basınc denklemini coz ve kısıtlama faktorlerini (under relaxation) uygula.
5. Kutle akı degerlerini yeni basınc degerlerini kullanarak yeniden hesapla.
6. Hız degerlerini yeni basınc ve akı degerlerini kullanarak hesapla.
7. Sınır kosullarını guncelle.
8. Bu adımları yakınsama yakalayana kadar tekrarla.
Bu algoritmadaki tahmin / dogrulama (predictor / corrector) adımları Open-FOAM kodları takip edilerek anlatılacaktır. Bu anlatım projedeki en sadecozucu olan simpleFoam uzerinden giderek yapılacaktır. simpleFoam isimlicozucunun kodları asagıdaki klasorde bulunabilir:OpenFOAM/OpenFOAM-2.3.x/applications/solvers/incompressible/simpleFoam.
Bu bolume benzeyen detaylı bir anlatımı Churchfield’ın makalesinde bulun-abilir [4].
3.1.1 Hız tahmini - (Velocity predictor)
Yeni zaman adımı degerlerini hesaplarken eski degerlere ek olarak hesaplan-makta olan zaman adımı degerlerini de kullanan yontemler (implicit) stabiliteacısından daha verimli oldukları icin (zaman adımlarına baglılıkları dahaazdır) hız degeri icin ilk deger ataması implicit bir sekilde yapılır. Asagıdaverilen UEqn kodu OpenFOAM altyapısında momentum denklemine karsılıkgelir. Bu ifadedeki ilk terim konvektif (convective) terimdir. Ikinci terimianlamak icin ise OpenFOAM kodlarını takip etmemiz gerekir. Biz oncelikleasagıdaki koda denk gelen denklemi butunuyle yazacagız, daha sonra butunterimleri implementasyonlarıyla birlikte acıklayacagız.
UEqn = uj∂ρui∂xj
− ∂
∂xj
(µeff
[(uixj
+ujxi
)− 1
3
(ukxk
)δij
])(41)
// Momentum pr ed i c t o r
tmp<fvVectorMatrix> UEqn(
fvm : : div ( phi , U)+ turbulence−>divDevReff (U)==
fvOptions (U)) ;
UEqn( ) . r e l a x ( ) ;
fvOptions . c on s t r a i n (UEqn( ) ) ;
s o l v e (UEqn( ) == −f v c : : grad (p) ) ;
fvOptions . c o r r e c t (U) ;
Yukarıdaki kod blogundan 41 numaralı denklemin nasıl cıkarıldıgını anlamakicin oncelikle divDevReff(U) terimini anlamak gerekir. Bu kod asagıda ver-ilmistir:src/turbulenceModels/incompressible/RAS/kOmegaSST/kOmegaSST.C:
tmp<fvVectorMatrix> kOmega : : divDevReff ( vo lVec to rF i e ld& U)const
return(− fvm : : l a p l a c i a n ( nuEff ( ) , U)− f v c : : d iv ( nuEff ( ) ∗dev (T( fvc : : grad (U) ) ) )
) ;
Yukarıda verilen kod bloguna denk gelen matematiksel ifade:
divDevReff(U) = −∇νeff∇ui −∇ · [νeffdev(T(fvc::grad(U)))] (42)
Denklemin sag tarafındaki 2. terimi anlamak icinsrc/OpenFOAM/primitives/Tensor/TensorI.H dosyasında tanımlı dev op-eratorune bakmamız gerekmektedir:
//− Return the d e v i a t o r i c par t o f a t ensortemplate<class Cmpt>inl ine Tensor<Cmpt> dev ( const Tensor<Cmpt>& t )
return t − Spher ica lTensor<Cmpt> : : oneThirdI ∗ t r ( t ) ;
Churchfield’a gore bu kodun denk geldigi matematiksel ifade [4]:
dev(A ) = A− 1
3trace(A) I (43)
burada I birim matristir.
Buna gore denklem 42, hız teriminin diverjansını alıp ve deviatoric terimyerine yazılarak su sekilde yeniden duzenlenebilir:
divDevReff(U) = −∇νeff∇ui −∇ ·(νeff
[(∇ui)T −
1
3trace
[(∇ui)T
]I])
Bu ifadenin yeniden duzenlenmesiyle Churchfield ([4], s. 7) asagıdaki den-klemi elde etmektedir. Bu denklem aynı zamanda 41 numaralı denklemdeucuncu terimdir:
divDevReff(U) = − ∂
∂xj
(νeff
[(uixj
+ujxi
)− 1
3
(ukxk
)δij
])(44)
Yukarıda goruldugu uzere stress terimindeki hız diverjansı sıkıstırılamaz akıslardasıfır oldugu halde denkleme yazılmaktadır. Bunun sebebi, hız dogrulama(velocity correction) iterasyonunda hız vektorunun diverjansının sıfır olma-masıdır ([4], s. 8).
44 numaralı denklem ile konvektif tasıma (convective transport) terimi birarada yazılıp sag taraftaki (RHS) basınc gradyeninin de ifadeye eklenmesiyleasagıdaki denkleme ulasılır:
uj∂ui∂xj
+∂
∂xj
(νeff
[(uixj
+ujxi
)− 1
3
(ukxk
)δij
])= − ∂p
∂xi(45)
3.1.2 Dogrulama dongusu - (Corrector loop)
Dogrulama dongusu pEqn.H dosyasında yer almaktadır ve asagıda verilenkod blogu ile baslar:
vo l S c a l a rF i e l d rAU(1 . 0/UEqn( ) .A( ) ) ;vo lVec to rF i e ld HbyA( ”HbyA” , U) ;HbyA = rAU∗UEqn( ) .H( ) ;UEqn . c l e a r ( ) ;
s u r f a c e S c a l a rF i e l d phiHbyA( ”phiHbyA” , fvc : : i n t e r p o l a t e (HbyA)& mesh . Sf ( ) ) ;
Ilk satırdaki kod 45 numaralı denklemin ayrıklastırılmıs formunun cozumu icingerekli olan A matrisinin tersini hesaplar. Burada A matrisi diagonal vetersinir (invertable) bir matristir. Bu matrisin tersinirligini gostermek icindenklemi ayrık formda yazmamız gerekir. Churchfield’a gore zamana baglı,sıkıstırılamaz ve tek fazlı momentum denklemi su sekilde yazılabilir [4]: 1
∆t+
uni+ 12
− uni− 1
2
2∆x
u∗∗i +
uni+ 12
2∆x
u∗i+1 −
uni− 12
2∆x
u∗i−1 =uni∆t−(∂p
∂x
)∣∣∣∣∣∗
i
+ (ρkg)|ni (46)
Bu denklemde n notasyonu zaman adımları, i notasyonu ise uzaydaki nok-taların indisleri icin kullanılmıstır. Ek olarak u∗∗ terimi ilk dogrulanmıs hız(first corrected velocity) degeridir ve bu deger tahmini hız degeri u∗, bironceki zaman iterasyonunda bulunmus un ve ilk dogrulanmıs basınc (firstcorrected pressure) p∗ kullanarak hesaplanır. Bu denklemi matris vektorformunda yazarsak:
Au∗∗ + H′u∗ = r−∇p∗ + ρkgn (47)
Goruldugu uzere A matrisi ilk dogrulanmıs u∗∗ teriminin katsayı matri-sidir. Matrisi olusturan katsayı dagılımı (pattern) 46 numaralı denklemdegorulebilir. Katsayı matrisi A bu durumda diagonal ve seyrek (sparse) ma-tristir. Bu durumda tersinir de olmaktadır (invertable). Denklem 47 yenidenduzenlenerek asagıdaki form elde edilir:
u∗∗ = A−1H−A−1∇p∗ + A−1ρkgn (48)
burada H = r−H′u∗’dir. Ikinci dogrulanmıs hız (second corrected velocity)degerini bulmak icin kutle korunum denkleminden yararlanarak asagıdakidenklemi elde edebiliriz:
u∗∗∗ = A−1H−A−1∇p∗∗ + A−1ρkgn (49)
burada p∗∗ ve u∗∗∗ sırasıyla ikinci dogrulanmıs basınc ve hız degerleridir.
Yukarıda A matrisinin diagonal ve tersinir oldugunu gosterdik. Bu matrisiolusturan elemanlar cozum agındaki kontrol hacim degerlerine denk gelmek-tedir. Bu yuzden akı hesabıicin yuzey alanlarına interpolasyon yapılmasıgerekmektedir. Buna gore 49 numaralı denklemin sag tarafı (RHS) HbyA =
rAU*UEqn.H() kodu ile hesaplanır. Son kısımda ise hız akısı interpolasyonile hesaplanmaktadır (OpenFOAM ’da phi akı degerlerini belirtmek icin kul-lanılır):fvc::interpolate(HbyA) & mesh.Sf()
Poisson basınc dogrulama denklemi, yukarıda belirtilen hesaplar tamam-landıktan sonra sınır kosullarının guncellenmesiyle beraber cozulur. Bu al-goritmanın implementasyonu asagıdaki kod blogunda verilmistir. Buna goreilk adım olarak Poisson denklemi olusturulur ve daha sonra butun cozumagı elemanları icin cozulur.
// Non−or thogona l pre s sure co r r e c t o r loopwhile ( s imple . correctNonOrthogonal ( ) )
f vSca la rMatr ix pEqn(
fvm : : l a p l a c i a n (rAU, p) == fvc : : d iv (phiHbyA)) ;
pEqn . s e tRe f e r ence ( pRefCel l , pRefValue ) ;
pEqn . s o l v e ( ) ;
i f ( s imple . f ina lNonOrthogona l I t e r ( ) )
phi = phiHbyA − pEqn . f l u x ( ) ;
// E x p l i c i t l y r e l a x pre s sure f o r momentum cor r e c t o rp . r e l a x ( ) ;
Bu kod blogunun ardından asagıda verildigi uzere hesaplanmıs basınc akısınınilk dogrulanmıs hız akı degerinden cıkarılır. Bu yaklasımı 49 numaralı den-klemle karsılastırdıgımız takdirde tutarlı bir yontem oldugu gorulur. Sonolarak algoritma hızın sınır kosulları hesaplayarak iterasyonu sonlandırır.
// Momentum cor r e c t o rU = HbyA − rAU∗ f v c : : grad (p) ;U. correctBoundaryCondit ions ( ) ;
fvOptions . c o r r e c t (U) ;
3.2 Baslangıc Kosulları
Literaturde yaygın olarak kabul edilen logaritmik hız profili, akıs hacminingiris yuzundeki hızı baslangıc kosulunun uretilmesinde kullanılmaktadır. Buprofil 6 numaralı denklemde verilmistir. Gunes ısınlarının akıstaki etkisininonemli oldugu durumlarda bu profile bir ek terim gelmektedir:
u =u∗
κ+ ln
(z
z0
− C)
(50)
burada C terimi atmosfer stabilite terimidir. Atmosferin stabil, notr ya dastabil olmama durumuna gore farklı degerler almaktadır. Bu konuyla ilgilidetaylı inceleme 2.3.5 numaralı bolumde yapılmıstır.
Secilen turbulans modeline gore, su anda program sadece k − ε modelinidesteklemektedir, uretilmesi gereken turbulans kinetik enerjisi ve turbulanskinetik enerji yayılması (dissipation) degiskenleri de mevcuttur. Bu degiskenlerkarsılık geldikleri fiziksel parametrele gore isimlendirilirler ve zaman klasorler-ine bu isimlerle kopyalanırlar. Buna gore kullanıcı k − ε modelini sectigindeU ve p isimli dosyalara ek olarak k ve ε isimli dosyalar da olusturulur.
U dosyasının baslangıc kosulu icin kullandıgı denklem 50 numaralı den-klemde verilmistir. Bu denklemdeki C terimi 0 alınmaktadır. Cunku suanda kullanmakta oldugumuz cozucude akıskanın ısıya baglı olan etkiler yoksayılmaktadır. Notr bir akısta bu terim dusmektedir.
p dosyası ise basınc verilerini tutmaktadır. Cozumler hesaplanırken basıncgiris yuzeyinde sıfır turevli (zero gradient), cıkısta ise sabit 0’a esitlenmektedir.
k ve ε ise:
k =u2∗√Cmu
(51)
ε =u3∗
κ (y + y0)(52)
denklemlerine gore hesaplanmaktadır.Bu denklemde κ model katsayısı ol-makla beraber sabit 0.4’e esittir. Ayrıca y0 puruzluluk degeri olarak tanımlanır
ve su an yazılımda 0.01 olarak sabitlenmistir. Bu veri projenin ilerleyenasamalarında haritadan alınacaktır. Ek olarak bu denklemlerdeki surtunmehızı, u∗, asagıdaki esitlik kullanılarak hesaplanmaktadır:
u∗ =κU
log(y+y0y
) (53)
Martinez de tezinde ([2], s. 7-8,14-15) bu denklemleri acıklamıstır. Ticariruzgar yazılımlarında bu denklemler sıklıkla kullanılmakla beraber farklı kat-sayı degerlerinin sonuclara etki ettigi arastırmacılar tarafından rapor edilmistir.Daha detaylı bir inceleme icin okuyucu [6], [7] ve [8] numaralı referanslarabasvurabilir.
3.3 Sınır Kosulları
Sıkıstırılamaz Navier-Stokes denklemlerinin cozumu icin, OpenFOAM basıncPoisson denklemini kullanmaktadır. Bu yaklasım kutle korunum denkleminisaglamayan sonuclar bulunmasına sebep olabilir. Hızın diverjansının zamanturevi (evolution of divergence) asagıdaki denklem ile ifade edilir ([1], s. 27):
∂
∂t
(∂ui∂xi
)=
1
Re∇2
(∂ui∂xi
)(54)
Bu denklem bir ısı denklemidir. Denklem 54 ifadesinde zamandan bagımsızproblemin cozumu sadece sınırlardaki diverjans degerleri sıfır ise sıfır olmak-tadır (harmonik fonksiyonlar icin maksimum prensibi). Buna baglı olarakbasıncın sınırlarda hızın diverjansını sıfır yapacak sekilde secilmesi gerek-mektedir.
Onemli sınır kosullarından biri de ust yuzeydeki tabakadır. Yeterince yuksekbir hacim tanımlandıgında, haritanın en yuksek noktasının yaklasık 5-6 katıyapılan simulasyon deneylerinde uygun gozukmustur, bu sınır icin ruzgar akısalanlarından U, k ve ε degerlerinin giris yuzeyindeki profillerine esitlenmeleriolumlu sonuclar alınmasını saglamıstır. Buna benzer bir yaklasımı ([2], s.14) numaralı arastırma tezinde de bulabilirsiniz.
Asagıda 2 numaralı tabloda analizlerde kullandıgımız sınır kosullarını gore-bilirsiniz. Bu tabloda belirtilen Dirichlet kosulu sabit degere denk gelmek-tedir. Uygulamadaki sınır kosullarında Dirichlet kosulunun kullanıldıgı yer-lerde degerler 0’a atanmıstır. Benzer sekilde Neumann kosulu kullanıldıgındada degiskenin sınıra olan normalinin gradyeni sıfıra esitlenmistir.
Bunların dısında bazı kaynaklarda kaygan (slip) olarak belirtilen diger birkosulda ise vektorel degiskenlerin normal yonundeki bilesenleri sıfıra esitlenirkendiger komponentlerin gradyeni sıfıra esitlenmektedir. Atmosfer sınır kosuluicin kullanılan bu ifade ile biz testlerimizde yakınsayan sonuclar elde edemedik.
Duvar fonksiyonları ise sonraki bolumde daha detaylı incelenecektir.
Ruzgar alanı Giris yuzeyi Cıkıs yuzeyi Atmosfer Arazi
U Denklem 6 Neumann Denklem 6 Dirichletp Neumann Dirichlet Neumann Neumannk Denklem 51 Neumann Denklem 51 Duvar fonksiyonlarıε Denklem 52 Neumann Denklem 52 Duvar fonksiyonları
Table 2: Uygulamada kullanılan sınır kosulları
3.3.1 Duvar fonksiyonlari - (Wall functions)
Oncelikle turbulans kinetik enerjisi icin kullanılan kqRWallFunction fonksiy-onuna bakacagız. Fonksiyonun kodları detaylı incelendiginde:src/OpenFOAM/turbulenceModels/incompressible/RAS/
derivedFvPatcheFields/wallFunctions/kqRWallFunctions bu fonksiyonunNeumann kosulunu uyguladıgını goruyoruz. Farklı olarak sadece k icin birilk deger belirlemek gerekli olmakla beraber, baslangıc kosulu olarak hesa-planmıs degeri kullanmak uygulamalarda sıklıkla kullanımaktadır ([2], s. 15).
epsilonWallFunction fonksiyonu duvar yuzeylerde turbulansın yayılımınıhesaplarken kinetik enerjiden de faydalanır:
ε =C
34µ k
34
κyp(55)
3.4 Puruzluluk Etkisi
Atmosferik sınır tabaka akıslarında yuzey puruzlulugunun turbulans olusumunaetkisi buyuktur. Referans puruzluluk degeri akıs hızının sıfıra esit olduguyukseklik olarak tanımlanmıstır ve bizim programımızda 0.01’e esittir. Gercekteakısa baglı olan bu deger icin sayısal verimlilik goz onunde bulundurularaksabit bir deger secilmistir. Bu veri projenin ilerleyen asamalarında haritadanalınacaktır.
3.4.1 nutRoughWallFunction
Arazi haritalarından okunduktan sonra bu deger yuzey etrafında yapılancozumlemelerde nutRoughWallFunction isimli duvar fonksiyonunu kullanacaktır.Bu fonksiyon ile hesaplanan kuvvet (wall shear stress) momentum denklem-ine eklenmektedir. Burada puruzluluk karakteristikleri iki parametre ile be-lirlenmektedir, Ks ve Cs. OpenFOAM tarafından sınır tabaka etrafında kul-lanılan denklem:
upu∗
=1
κln
(Ey+
p
1 + CsK+s
)(56)
Bu denklemde E bir sabit deger olup eκB ifadesiyle hesaplanmaktadır. Bu-rada B ticari uygulamalarda 5.2 degerine esittir. Ayrıca Cs puruzlulukturu icin farklı degerler literaturde verilmektedir [31], [2].
Bu denklem kullanılarak cesitli sadelestirmelerden sonra ([2], s. 17) asagıdakiesitlik elde edilir:
Ks =Ey0
Cs≈ 19.58y0 (57)
Bu denklemde y0 puruzluluk uzunlugudur.
3.5 Turbin Etkisi
Bu cozucu ile arazi uzerine konumlandırılmıs turbinlerin akıs uzerindeki etk-isinin hesaplara katılması amaclandı. Projenin ilgili formunda, kullanıcılardanturbin lokasyonu degerleri haricinde 20 numaralı denklemde verilen itme vecekme katsayı degerleri alınmaktadır.
Bu cozucunun etkili calısabilmesi icin programda eklenen turbin etrafındakihucrelerin yeterince kucuk olması gerektigi gozlemlendi. Yaklasık 0.5 metremertebesine inmemiz gerektigi icin, hacim cozum agı olusturulurken eger birturbin girisi yapılmıssa otomatik olarak bu hacmin etrafına daha sık cozumagı atılmasına yonelik bir rutin olusturuldu. Bu rutine dair ornek bir gorseli3 numaralı resimde gorebilirsiniz.
Bir diger onemli nokta ise yuzey ile turbin kanatlarının merkezi (hub) arasındayeterince mesafe olmasıdır. Test simulasyonlarımız sonucunda yaklasık 10metrelik bir alana sahip diskin en az 60 metre yukarıda konumlanmasi gerektigiyargısına vardık. Eger bu kosul saglanamazsa OpenFOAM bu hacim icindekihucreleri disk alanı olarak tanımlayamadıgı gozlemlendi. Elbette turbin
etrafında sık cozum agı elde etme zorunlulugu HAD yonteminin gerektirdigibir kıstas olmakla beraber simulasyon surelerinin uzamasına sebep olmaktave endustriyel uygulamalarda kullanıcıların bazı durumlarda bu cozucuyu ter-cih etmemesine sebep olmaktadır.
Turbin etrafındaki hucrelerde islem yapılırken momentum denkleminde sagtarafa eklenen bir kuvvet terimi ile ifade edilen bu fizik model projede destek-lenmektedir. 2.3.1 numaralı bolumde detaylı olarak anlatılan bu yontem ileturbinlerin ruzgar akıslarına olan etkisi basit bir algoritmayla da olsa hesa-planabilmektedir. Bu modelin zamana baglı versiyonu ilerleyen aylarda pro-grama eklenecektir.
Figure 3: Turbin sıklastırma rutini
4 Sonuclar
Bu bolumde ruzgar simulasyonları yapabilmek icin gerekli olan parametrelerindetayları ve bu parametrelerin farklı degerleri icin simulasyon sonuclarınaolan etkilerini inceleyecegiz. Bu kısıma ilk olarak on islem (pre-processing)asamalarını anlatarak baslayacagız.
4.1 Cozum Agı Uretimi
Cozum agı uretimi (mesh generation) OpenFOAM kurulumu ile gelen fonksiy-onlar kullanılarak yapılmıstır. Bu fonksiyonlar blockMesh ve snappyHexMeshile bizim bu fonksiyonları kullanabilmemiz icin gerekli yuzey cozum agınıuretmek icin yazdıgımız ParaView yazılımının Delaunay algoritmasını kul-lanan fonksiyondur. Su anda ParaView isimli yazılımdan bagımsız calısmayanbu fonksiyon ilerleyen calısmalarla bagımsız hale getirilecektir.
4.3.2 numaralı bolumde detayları verilen blockMesh fonksiyonu temel olarakprogramda akıs hacmini belirler. Bu hacmi belirleyen parametreler kullanıcıtarafından Geometri formunda alınır. Harita dosyasının orta noktası ile kul-lanıcının analiz etmek istedigi bolge uzunluguna bazı ek parametreler ilaveedilerek (smoothing distance ve distance with constant z-level) sınırlar be-lirlenir ve yuzey cozum agı hazırlanır. 4 numaralı resimde ornek bir haritakullanılarak uretilmis yuzey cozum agı ve akısın giris yuzeyi (inlet patch)gorulmektedir. Bu gorselde yumusatma mesafesi (smoothing distance) etk-isi gozlemlenebilmektedir. Arazinin kompleks sınırlarından sonra baslayanve hız profilini olusturabilmek icin eklenen bu mesafe ile simulasyonlarınbaslaması icin gerekli kosullar olusturulur.
Biz testlerimizde cozum agı yapısının sonuclara olan etkisini gormek icinfarklı sıklıkta (coarse - fine) cozum agları ile calıstık.
Figure 4: Arazi uzerinde yuzey cozum agı
4.2 Ayrıklastırma Yontemleri ve Lineer Cozuculer
Bir HAD analiz programının calısması icin gereken en temel asamalardan ik-isi, akıs modelinde kullanılan kısmi turevli diferansiyel denklemlerin ayrıklastırmayontemleri (discretization schemes) kullanılarak fark denklemleri haline ge-tirilmesi ve bu fark denklemlerinin matris vektor sistemi halinde yazıldıktansonra lineer bir cozucu yardımıyla sistemin cozulmesidir.
OpenFOAM sonlu hacimler yontemini baz alarak yazılmıs bir kutuphanedir.Ve biz de sıkıstırılamaz Navier-Stokes denklemini cozmekteyiz. Problemimizdezamana baglılık yoktur ve ısı degisimleri yoktur. Momentum denklemindekilineer olmayan terim (convection) icin Upwind ayrıklastırma metodunu kul-lanmaktayız. Buna ek olarak gradient ve laplacian operatorlerini iceren ter-imler icin Gauss linear yontemi kullanılmaktadır. Ayrıklastırma yontemleriile ilgili genis bilgi [44] numaralı kaynaktan edinilebilir.
Matris vektor sistemlerinde ise p terimi icin Multigrid, U icin Gauss Seidelyontemleri uygulanmaktadır. Bu noktada verimlilik on plandadır. Poissonbasınc denklemi hesaplamalar anlamında cozulmesi pahalı bir denklemdirve Multigrid metodu daha verimli (computational complexity) bir algoritmaoldugu icin bu asamada tercih edilmistir. Gauss Seidel ise diagonal dom-inantlıgı saglayan ve positif tanımlı (positive definite) bir matrise uygu-landıgından U icin uygun bir cozucudur. Okuyucular iteratif yontemler ve
dogrusal cozuculer ile ilgili daha detaylı bilgiye [42] ve [43] numaralı kay-naklardan ulasabilir.
Asagıda verilen 3 numaralı tabloda her bir ruzgar alanı (wind field) icin kul-lanılan dogrusal cozuculer, bu iteratif cozuculerin toleransları ve proje sahib-inin Turkce’ye stabilite faktoru olarak cevirdigi under-relaxation degerleribelirtilmistir.
Ruzgar alanı Lineer Cozucu Tolerans Stabilite faktorleri
U Gauss Seidel 1e-8 0.7p GAMG 1e-7 0.3k Gauss Seidel 1e-8 0.7ε Gauss Seidel 1e-8 0.7
Table 3: Analizlerde kullanılan lineer cozuculer ve parametreleri
4.3 Simulasyonlar
Yaptıgımız testlerde turbulans modeli olarak k−ε secilmistir. 6 numaralı den-klemde verilen giris hız dagılım formulune uygun olarak referans hız 10 m/s vereferans yukselik 50 metre alınmıstır. 2 farklı arazi yapısı icin incelemelerdebulunduk ve bu parametreleri kullanarak elde ettigimiz sonucları literaturdeverilen sonuclarla karsılastırdık. Ayrıca benzer arazi yapılarında farklı paketprogramları kullanarak literatur sonucları dısında farklı yazılım sonuclarınıda kendimiz gozlemleme imkanı bulduk. Bu calısmaları genisletmek, daha fa-zla test yapmak ve ayrıca olcum verisi elde etmek icin potansiyel musterilerlegorusmeler devam etmektedir.
4.3.1 Ideal sinus tepesi
Testlerin ilki bir sinus tepesi uzerinde gerceklestirilmistir. Herhangi bir keskinkosesi bulunmayan bu 3 boyutlu tepe icin kullanılan fonksiyon:
r =(x2 + y2
)1/2(58)
bu denklemde r cap olarak tanımlanmaktadır. Bu denklem sonucu olusturulanaraziyi 5 numaralı resimde gorebilirsiniz. Bu yuzeyi kapsayan x ve y yonlerinde-1500 ile 1500, z yonunde ise 2000 koordinatları arasında kalan bolge akıs
hacmi olarak tanımlandı. Bu hacim icerisinde uretilen cozum agı gorsel-lerini 6 ve 7 numaralı resimlerde bulabilirsiniz. Bu gorseller tepe civarındaolusturulan sıklastırma bolgelerini ve arazi yuzeyi civarındaki sınır tabakayıgostermektedir.
3.3 numaralı bolumde verilen sınır kosulları ve 4.2 numaralı bolumde ver-ilen ayrıklastırma yontemleri kullanılarak yapılan bu test sonucunda eldeedilen cozumler ParaView kullanılarak kaydedilmis ve 8 numaralı gorseldepaylasılmıstır. Bu sonuclar 2000 iterasyon sonucunda elde edilmistir. Ancakyaklasık 200 iterasyon sonunda yakınsaklık elde edilmistir. Residual grafigini9 numaralı resimde gorebilirsiniz.
Bu sonuclara gore tepenin arkasında kalan bolumde bir girdap bolgesi (wakeregion, recirculation zone) gozlemlemedik. 8 numaralı resimde tepenin ruzgaralmayan bolumlerinde (lee) hızların azaldıgını gormekteyiz. Benzer sonuclarıliteraturde raporlayan arastırmacılar bulunmaktadır, dileyen okuyucu refer-anslarda bulunan ([2], s. 41) tezi inceleyebilir.
Figure 5: 3 boyutlu ideal arazi
Figure 6: 3 boyutlu ideal arazi cozum agı
Figure 7: 3 boyutlu ideal arazi sınır tabaka
Figure 8: 3 boyutlu ideal arazi etrafında hız dagılımı
Figure 9: 3 boyutlu ideal arazi testi residual grafigi
4.3.2 Bolund adası
Yaptıgımız testlerde Danimarka’da bulunan ve ruzgar akısları testleri icinsıklıkla kullanılan yapay bir ada olan Bolund arazisini kullandık. Hem lit-eraturde ornek sonucları bulunabilen hem de basit denebilecek arazi yapısındanoturu testlerin hızlı yapılabilmesini saglayan bu adaya ait gorseller 10 ve 11numaralı resimlerde verilmistir.
10 numaralı resimde adanın arazi haritasının nokta bulutu formatlı goruntusu ver-ilmistir. Programın ilk asaması kullanıcılar bu arazi haritasını programayuklemeleridir. Bundan sonraki asamalarda kullanıcılar istedikleri akıs hacmininsınırlarını belirlerler. Daha sonra program nokta bulutu formatından yuzeycozum agını olusturur. Bu asamada Delaunay algoritması kullanılmaktadır.Projemizde VTK isimli program kutuphanesinden yararlanarak Delaunayucgenlestirme (triangulation) fonksiyonu sayesinde arazi yuzeyini olusturmaktayız.Buna dair gorseli 11 gorebilirsiniz.
Yuzey cozum agı olusturulduktan programın akısında ruzgar akıslarının simuleedilecegi hacim olusturulmaktadır. Bu asamada homojen dagılımlı (struc-tured) bir cozum agı olusturulmaktadır. Bu cozum aglarına iliskin gorsel 12numaralı resimler gorulebilir.
Bu asamadan sonra kullanıcılar isterlerse mevcut hucreleri daha kucuk hucrelerebolerek akıs hacminden cozum agının son halini uretirler. Eger arazide aniyukseklik degisimleri veya buyuk gradyenlerin bulundugu noktalar varsa yada kullanıcılar belirli bolgelerde daha detaylı hesaplar yapmak istiyorlarsaboyle bolgeler tanımlayabilirler (refinement region). Daha kucuk hucrelerinolusturuldugu bir ornek gorsel 13 numaralı resimde gorulebilir. Bu asama3 alt asamalardan olusmaktadır. Oncelik cozum agı ureticisi programda be-lirlenmis parametreyi kullanarak cozum agı hucreleri kucuk hucrelere boler.Sonraki asamada yuzey cozum agı akıs hacminden cıkarır ve son asamadaarazi etrafına sınır tabaka elemanlarını ekler. Biz bu testte yuzeye en yakınelemanın yuksekligini yaklasık 1 metre olarak hesapladık (0.951).
Cozum agı uretildikten sonra simulasyonun baslatılması icin gereken parame-trelerin kullanıcıdan alınması gerekir. Ancak cozum agı kalitesi simulasyonsonucları uzerinde etken oldugu icin kullanıcının bazı kalite kriterlerini kon-trol edebilecegi bir ozelligi programımıza ekledik. Buna gore hucrelerin calıklıgı(skewness) ve daha da onemlisi komsu hucrelerin diklik oranı (nonOrthog-onality) gibi verilere bu kalite kontrolu sayesinde ulasabilirler ve gerekirsecozum agı uretimini bastan baslatabilirler. Dileyen okuyucu bu kalite kriter-
lerinin matematiksel tanımlarının detayları icin [9] numaralı kaynaga baka-bilir.
Bu projenin yapılma amaclarından biri de hesaplamalı akıskanlar dinamigibilmeyen kullanıcıların da bu analizleri yapabilmesini saglamak oldugundanprogram bazı ayarları kendisi yapmaktadır. Buna gore cozum agındaki diklikoranını baz alarak cozucunun uyguladıgı dogrulama dongusunu kendi ayarla-maktadır. Bu parametrenin etkisini, yukarıda kodun anlatıldıgı Non-orthogonalpressure corrector loop ile baslayan blokta Poisson basınc dogrulamadenkleminin detaylarının verildigi bolumde gorulebilir. Buna gore Open-FOAM kutuphanesinin uyguladıgı olcekte diklik oranı 0 ile 90 arasında birdeger almaktadır ve 90’a yaklastıkca bu kotu bir cozum agı olduguna isaretetmektedir. Yaptıgımız bu testte 2km x 2km x 2km’lik bir hacimde yaklasık5 milyon (4865227) elemanlı bir cozum agı olusturduk ve kalite kriterimizOpenFOAM tarafından 64.71 olarak rapor edildi. Biz bu dogrulama dongusu sayısınıkalite kriterinin 50’den kucuk olması durumunda 0 olarak atıyoruz. Bu du-rumda algoritma ek dogrulama dongusu calıstırmıyor. Poisson basınc den-klemi cozumu Navier-Stokes denklem setini cozerken hesaplama anlamındaen pahalı asama oldugu icin yeterince iyi denebilecek bir cozum agında ekdonguler yaparak cozucuyu yavaslatmak istemedik. 50 ile 60 arasında budeger 1 olarak atandı. 60 ile 70 arasında 2, 70 ile 80 arasında ise 4 olarakbelirlendi. 80 ile 90 arasında olması durumunda yine 4 olarak degiskeninataması yapılır ancak kullanıcıya ”Cozum agı kalitesi cok dusuk” uyarısı ver-ilir ve cozum agını yeniden uretmesi istenir. Eger buna ragmen kullanıcısimulasyonunu bu cozum agında kosturmak isterse kosturabilir.
Cozum agı kalite kriterleri saglandıktan sonra kullanıcı simulasyon parame-trelerini girer. Bu testte daha once de belirtildigi uzere turbulans modeliolarak k− ε, ruzgar giris profili icin de referans hız 10 m/s referans yukseklikde 50 metre girilmistir.
Bu degerler kullanılarak hesaplanan baslangıc kosulları ile 0 klasoru pro-gram tarafından uretilir. Baslangıc degerleri bu klasorde, cozum agına aitdosyalar polyMesh isimli klasorde, simulasyon parametrelerine dair ayarlarise, ornegin: ayrıklastırma yontemleri, algoritma katsayıları (underrelax-ation), dogrusal cozucu ayarları (Gauss-Seidel, GAMG) ve maksimum it-erasyon sayısı vb. system isimli klasorde kaydedilmektedir.
Gelistirmekte oldugumuz yazılımın bu parametreleri kullanarak urettigi sonucları14 numaralı gorselde gorebilirsiniz. Bu sonuclar rastgele secilmis iki noktada(probe) programın urettigi hız sonuclarının interpolasyonu ile elde edilmekle
beraber program calısırken es zamanlı olarak (run time) grafik de guncellen-mektedir. 15 ve 16 numaralı resimlerde simulasyona ait residual ve sureklilikgrafikleri gorulmektedir. Kullanıcıların kosmakta olan bir analizi incele-mek icin onemli bir parametre olan sureklilik ve residual degerleri su andaprogramdan bagımsız bir sekilde calıstırılabilmektedir. Bu konuyla ilgiligelistirmeler tamamlanmıstır ve programa entegrasyon icin calısmalar devametmektedir.
Figure 10: Bolund arazi haritasının nokta bulutu formatında gorunusu
Figure 11: Bolund adasının yukarıdan gorunusu
Figure 12: Akıs hacmini olusturan homojen cozum agı
Figure 13: Cozum agı bolgeleri
Figure 14: Secilen noktalar etrafında hız grafigi
Figure 15: Sureklilik grafigi
Figure 16: Residual grafigi
4.3.3 Kırklareli arazisi
Programın diger ticari ruzgar analizi programları ile mukayese edilebilmesiadına yapılan calısmalar dogrultusunda Kırklareli’nde bulunan Vize ilcesinebaglı Sergen kasabasının incelemesi yapıldı. Bu analizin gerceklestirilebilmesiicin gerekli arazi verisi Sancak Enerji’den elde edildi. Ayrıca Sancak En-erji tarafından kullanılan MeteoDyn programı ile kendi projemizden eldeettigimiz degerler karsılastırıldı.
Arazi yuzeyi 17 numaralı resimde verilmistir. Bu arazide olcum verisininbulundugu ve turbin konması planlanan noktalar asagıdaki tabloda 4 ver-ilmistir. Biz de simulasyonlarımızda bu noktaları dikkate alarak calıstırdık.Bu noktaların arazi uzerindeki konumlanma bicimini 19 numaralı resimdegorebilirsiniz.
Yaklasık 40km. × 30km.’lik bir alana sahip olan bu arazi oldukca genis
Nokta tipi Lokasyon
Olcum istasyonu 559812 4617811Turbin noktası 558176 4622143Turbin noktası 558410 4621896Turbin noktası 557692 4622612Turbin noktası 557436 4622805Turbin noktası 561117 4621618
Table 4: Sergen arazisindeki olcum istasyonu ve ruzgar turbini noktaları
olup kalite kriterlerini saglayan bir cozum agı elde etmek icin farklı yontem-ler denedik. 5 numaralı tabloda bu yontemleri, uretilen cozum aglarınıneleman sayılarını ve cozum agı uretim surelerini bulabilirsiniz.
5 numaralı tabloda bahsedilen buyuk hacmi kapsayan koordinatlar x yonunde548000-572000 ve y yonunde 4605000-4625000 iken kucuk hacmi kapsayan ko-ordinatlar x yonunde 555000-565000 ve y yonunde 4615000-4625000 olarakbelirlenmistir. Bu bolgere ait gorseli 18 numaralı resimde gorebilirsiniz.Tabloda belirtildigi uzere buyuk hacim icin her yonde olmak uzere 1 defa,kucuk hacimde ise 2 defa sıklastırma proseduru uygulandı.
Bu tablonun en alt satırında bulunan parametreler kullanılarak uretilmiscozum agına dair gorselleri 20 ve 21 resimlerde bulabilirsiniz (bu iki resimarazinin farkli bolgelerine aittir. Bu cozum agına ait maxNonOrthogonality
degeri 65 olup simulasyonların calıstırabilmesi icin uygun bir kalitede bircozum agı elde edilmis oldugunu gostermektedir.
Bu parametreler kullanılarak elde edilen sonuclar 22 numaralı resimde ver-ilmistir. Sonuclar fiziksel gozukse de, kullanılan yaklasık 6 milyon elemanlıcozum agı yerine daha buyuk bir cozum agı ile testin tekrarlanması faydalıolacaktır. Cunku tepe noktalarının arkasında kalan bolgelerde girdap (wake,swirl, recirculation) benzeri olusumlar gozlemlenmemistir. Bu degerler kul-lanılarak hesaplanan turbulans yogunlugu ve hız artım (speed-up) faktorleriise 23 ve 24 numaralı resimlerde gorulebilir.
25 ve 26 numaralı resimlerde goruldugu uzere olcum noktası uzerinde farklıyuksekliklerde hesaplanan hız degerleri belirli bir yakınsaklıga ulasmıstır.Sancak Enerji de aynı arazide MeteoDyn ile benzer testler yaparak mukayesesonucları uretecektir. Ayrıca kendileri bu noktadaki olcum verilerini depaylasarak tam bir kıyaslama yapmamıza yardım edecektir.
Blok cozum agı Final cozum agı sıklastırma seviyeleri Hucre Sure (s.)
20 × 20 × 10 Yuzey: 1 - Buyuk hacim: 0 - Kucuk hacim: 0 13306 6.2220 × 20 × 10 Yuzey: 2 - Buyuk hacim: 1 - Kucuk hacim: 2 55878 1440 × 40 × 20 Yuzey: 2 - Buyuk hacim: 1 - Kucuk hacim: 2 280394 54.980 × 80 × 40 Yuzey: 2 - Buyuk hacim: 1 - Kucuk hacim: 2 1632266 27180 × 80 × 40 Yuzey: 3 - Buyuk hacim: 1 - Kucuk hacim: 2 4125626 898
100 × 100 × 60 Yuzey: 3 - Buyuk hacim: 1 - Kucuk hacim: 2 5916668 1450
Table 5: Cozum agı uretme yaklasımları ve elde edilen sonuclar
Figure 17: Sergen arazi yuzeyi
Figure 18: Sergen arazisi cozum agı sıklastırma bolgeleri
Figure 19: Sergen arazisi uzerindeki turbin lokasyonları
Figure 20: Sergen arazisi cozum agı
Figure 21: Sergen arazisi cozum agı
Figure 22: Sergen arazisi uzerinde hız dagılımı
Figure 23: Sergen arazisi uzerinde turbulans yogunlugu dagılımı
Figure 24: Sergen arazisi uzerinde hız artım dagılımı
Figure 25: Sergen arazisi olcum noktası uzerinde hız grafigi
Figure 26: Sergen arazisi olcum noktası uzerinde hız grafigi
4.4 Turbulans Etkisi
Su anda programa entegre olan sadece k− ε turbulans modeli oldugu icin butestleri, gelistirilen programdan bagımsız olarak Linux ortamında gerceklestirdik.Uygulanan calısma metodu, dogrulaması Linux kullanılarak yapılan yontem-lerin daha sonra programa entegrasyonunu icerdiginden bu testler de gele-cekte programda kullanılacak olan turbulans modellerinin belirlenmesi acısındanonemlidir.
Bu testler icin Sfanta-Elena isimli bir arazi haritası kullanıldı. Bu arazininve uretilen cozum agına ait gorselleri 27 ve 28 numaralı resimlerde bula-bilirsiniz. Bu testlerde farklı arastırmacıların onerdigi katsayılar ile beraberfarklı turbulans modelleri test edilmistir.
6 numaralı tabloda verilen turbulans modelleri aynı test arazisi icin kul-lanılmıstır. Bu sonuclara gore biz 1. ve 2. modeller arasında buyuk bir farkgozlemlemedik. Bu sonuclar 29 ve numaralı 30 resimlerde gorulmektedir.Martinez [2] 2. model seti ile en iyi sonucları elde etmis oldugunu raporla-masına ragmen biz testlerimizde boyle bir veriye ulasamadık. 31 numaralıresimde de gorulecegi uzere 3. model ise bizim testlerimizde en kotu sonuclarıaldıgımız model oldu. Sorensen [6] tarafından onerilen bu model WAsP isimliyazılımın HAD modulunde kullanılmaktadır.
Bizim testlerde en iyi sonucları elde ettigimiz model RNG k− ε modeli oldu.Yaptıkları calısmalar ile bizdekilere benzer sonuclar elde eden arastırmacılarınraporlarını, daha detaylı bilgi edinmek isteyen okuyucular [21] ve [28] nu-maralı kaynaklarda inceleyebilir. Aldıgı bu sonucları, resim 32, akademik birkonferansta paylasmayı dusunen girisimci, modelin daha az perturbe edenbir davranısı oldugunu gozlemlemis ancak bu model kullanıldıgı takdirdesimulasyon sureclerinin arttıgını da gormustur (bolum 4.5.4). Bu da RNGk − ε modelinin ilk tercih olmamasına sebep olmaktadır.
Realisable k − ε modeli ise hem hesaplama anlamında daha pahalı bir mod-eldir hem de buna karsılık sonuclara olumlu bir etkisi oldugu gozlemlene-memistir. Bu testin sonucları da 33 numaralı gorselde paylasılmıstır.
Turbulans modeli Acıklama
Klasik k − ε Projede kullandıgımız modelFarklı Cµ ile k − ε Cµ = 0.03Sorensen k − ε Detaylar icin [6]Realisable k − ε cfd-online.com/Wiki/Realisable k-epsilon modelRNG k − ε cfd-online.com/Wiki/RNG k-epsilon model
Table 6: Test edilen farklı turbulans modelleri
Figure 27: Sfanta-Elena arazi yapısı
Figure 28: Sfanta-Elena cozum agı
Figure 29: Klasik k − ε modeli ile elde edilen test sonucları
Figure 30: Cµ = 0.03 yapılmıs k − ε modeli ile elde edilen test sonucları
Figure 31: Sorensen tarafından onerilen k − ε modeli ile elde edilen testsonucları
Figure 32: RNG k − ε modeli ile yapılan test sonucları
Figure 33: Realisable k − ε modeli ile yapılan test sonucları
4.5 Performans Testleri
Bu bolumde yapılan testlerin calıstırılma surelerine dair parametreleri in-celeyecegiz. Endustriyel uygulamalarda sonucların hassasiyetine ek olarakbu sonucların elde edilme zamanları da oldukca onemlidir. Biz testlerim-izi 2 farklı isletim sistemi ortamında yaptık, Windows ve Linux. HADanalizleri icin kullandıgımız OpenFOAM kutuphanesi esas olarak Linux or-tamında calısan bir yazılım oldugu icin Windows kurulu bilgisayarımızdayapılan testler daha uzun surdu. Burada ayrıca kullandıgımız Windows ku-rulu bilgisayarın daha hızlı bir bilgisayar oldugunu belirtmemizde fayda var.Bu bilgisayarların ozelliklerini 7 numaralı tabloda gorebilirsiniz (iki bilgisa-yar da Tubitak 1512 destek programı kapsamında alınmıslardır).
Bilgisayar modeli Isletim sistemi CPU RAM Cache
HP Z230 Windows 8 cekirdekli 3.50GHz 16 GB 8 MBDell M4800 Linux 8 cekirdekli 2.70GHz 8 GB 6 MB
Table 7: Test icin kullanılan bilgisayarlar
4.5.1 Isletim sistemi testi
Oncelikle belirtildigi gibi 2 farklı isletim sistemi icin cozum agı uretme testiyaptık. Burada farklı isletim sistemlerinde aynı isin ne kadar farklı calısabileceginigormus olduk. 8 numaralı tabloda Kırklareli testinin Windows ve Linux or-tamlarında simulasyon sureleri verilmistir. Bu degerler aynı cozum agınasahip iki test icin de 2000 iterasyon yapıldıgında gecen suredir.
Test arazisi Bilgisayar Cozum agı Sure (s.)
Kırklareli HP Z230 2369218 20500Kırklareli Dell M4800 2369218 17300
Table 8: Kırklareli arazi test sureleri
4.5.2 Cozum agı uretme performansı
Cozum agı uretme rutini icin test sureleri 4.3.3 numaralı bolumde bulu-nan 5 numaralı tabloda verilmisti. Bu testlerin tamamı Linux kullanılarakyapıldı ve goruldugu uzere 1.5 milyon civarından 6 milyon eleman sayısınayaklasıldıkca cozum agı uretmek icin gereken sure yaklasık 7 katına cıkmaktadır.
4.5.3 Paralel kosturma performansı
10 numaralı tabloda OpenFOAM kutuphanesinin sagladıgı paralel calıstırmaopsiyonu test edildi. Boylece birden fazla sayıda cekirdek bulunduran bilgisa-yarlarda performans artısı saglanabildigi goruldu.
Bu aynı zamanda gelistirilen proje icin piyasada stratejik bir avantaj dasaglamaktadır. Mevcut ticari yazılımlar birden fazla islemci kullanılması icinmusterilerden ek lisans ucreti talep etmektedirler. OpenFOAM tarafındansaglanan MPI tabanlı paralel calıstırma sayesinde bu programı kullanıcılarsahip oldukları bilgisayar altyapısına baglı olarak istedikleri sayıda islemcidecalıstırabilecekler. Ilerleyen donemlerde projenin internet tabanlı versiyonuda tamamlandıgında bu avantaj daha da onemli hale gelecektir.
Bu testler 10 numaralı tabloda belirtdigi gibi Kırklareli ili Sergen arazisiicin uretilen cozum agı kullanılarak yapıldı. Her test icin aynı parametreseti ve cozum agı kullanıldı. Yaklasık 3 milyon hucre bulunan bu cozum agıicin 200 iterasyon islem yapıldı ve islem sureleri (execution time) kaydedildi.4 islemciden 8 islemciye gecildiginde kapasite artısı bir avantaj saglamamısolsa da ilk 3 sıradaki testlerde performans artısı gorulmustur.
Ideal bir durumda islemci sayısı 2 katına cıktıgında calısma suresinin yarıyainmesi beklenir, ancak bu ideal hızlanmanın yakalanabilmesi icin probleminve dolayısıyla algoritmanın ideal paralellestirilebilir (embarassingly parallel)olması gerekir. Hem akıs problemleri boyle paralel bir yapıda olmadıgından,hem de paralel islemler yapılırken islemciler arasında beklemeler (overhead)olabilecegi icin biz boyle bir hızlanma grafigi elde edemedik. Ancak yine detek cekirdekte 1500 saniye suren bir problem cozumu, 4 cekirdek ile 1000saniye civarına indirilmis oldu.
Windows isletim sistemi ile Linux arasında paralel calıstırma arasında farklılıklaroldugu icin bu opsiyon henuz programa entegre edilmedi. Testler Linux kul-lanılarak yapıldı, ancak bu testler sonucunda paralel calıstırma opsiyonununonemli bir ozellik oldugu ve projeye eklenmesi gereken bir fonksiyon oldugu
goruldu.
Test arazisi Bilgisayar Cozum agı CPU Sure (s.)
Kırklareli Dell M4800 2369218 1 1416Kırklareli Dell M4800 2369218 2 1125Kırklareli Dell M4800 2369218 4 1087Kırklareli Dell M4800 2369218 8 1133
Table 9: Kırklareli arazi testi paralel calıstırma performansı
4.5.4 Turbulans model performansları
Bu bolumde aynı test arazisini kullanarak iki farklı turbulans modeli ileyapılmıs analizleri inceleyecegiz. Bu testlerde kullanılan modeller, k − ε veRNG k − ε olarak belirlendi.
Arada cıkması beklenen muhtemelen farkların daha belirgin olması icin butestlerde daha buyuk bir cozum agı kullanıldı. Yaklasık 7 milyon (6983096)elemandan olusan bu cozum agı 1220 saniyede olusturuldu. Belirlenen kalitekriterini (maxNonOrthogonality: 60.86) de saglayan bu cozum agı uzerinde1000 iterasyonluk analizler kosturuldu ve sonuclar kaydedildi. Buna goredaha once 4.4 numaralı bolumde de soylendigi uzere RNG k − ε modelinincalısma sureleri bakımından daha verimsiz oldugu gozlendi. Gozlemlenen bufark cozum agı buyuyup, iterasyon sayısı da arttırılırsa daha da artacaktır.
Test arazisi Bilgisayar Cozum agı Turbulans modeli Sure (s.)
Kırklareli Dell M4800 6983096 k − ε 2951Kırklareli Dell M4800 6983096 RNG k − ε 3160
Table 10: Kırklareli arazi testi turbulans model performansı
5 Olcum ve Sonuc Verilerinin Raporlanması
Analizi tamamlanmıs bir testin sonucunda, cozum agı buyuklugune baglı ol-makla beraber elde edilen veri boyutu 100 mb ile 100 gb arasında degismektedir.Bu kadar buyuk veri icinden kullanıcının kendisine uygun sonuclara ulasmasıpek kolay degildir. Bundan dolayı sonucların uygun bir formatta kullanıcılaraverilmesi gerekmektedir.
Su anda program kullanıcının sectigi bolgelerdeki hız verilerini analizler kosturulmayadevam ederken gosterebilmektedir. Bu kullanıcının simulasyon sonuclarınıanlık olarak takip edebilmesi icin oldukca faydalıdır. Buna ek olarak analiztamamlandıktan sonra turbulans yogunlugu (turbulent intensity), hız artısfaktoru (speed-up factor) gibi ruzgar analizinde onem tasıyan verilerin uretilmeside mumkundur. Programın cıktılarını okuyabilen ParaView isimli yazılımsayesinde bu veriler gorsellestirilebilmektedir. 2015 icin hedeflenen fonksiyon-lardan biri de bu gorsellestirme modullerini programımıza entegre etmektir.
Figure 34: Bolund adası etrafında hız dagılımı
6 Ekler: Programın Formları
Bu raporda anlatılan asamaların gerceklestiridigi formlar burada gosterilmek-tedir. 35 numaralı gorselde verildigi uzere bu formda kullanıcı yeni biranaliz klasoru yaratır veya isterse onceki projelerinden birini acabilir. Son-raki gorselde 36 geometri uretme formu verilmistir. Kullanıcı burada araziharitasını yukler ve yuzey cozum agı olusturur. Simulasyonu hangi acılardakosturacagını da bu formda belirler. 37 numaralı resimde ise yuzey cozumagından hacim cozum agına gecis yapılır. Cozum agı kalite kontrol butonuyine bu formda yer almaktadır. 38 numaralı gorselde analiz parametreleri veturbulans modeli belirlenir. Kullanıcı isterse arazi uzerinde noktalar belir-leyip daha sonra analiz asamasında bu noktalardaki sonucları takip edebilir.Bir sonraki asama, analiz asamasıdır ve 39 numaralı gorselde verilmistir.Kullanıcı burada maksimum iterasyon sayısını belirler ve analizi baslatır.Grafik gosterme fonksiyonu da bu forma eklenmistir. Son asama olan veriisleme (post process) asaması 40 numaralı gorselde paylasılmıstır. Bu formdakullanıcılar HAD verisinin interpolasyonunu istedikleri noktalar uzerinde al-abilmektedirler. Ayrıca turbulans yogunlugu ve hız artıs faktorunu de buasamada hesaplatmaktadırlar. Olcum verilerine dair henuz dogrulanmıs birentegrasyon yapılmamıstır ancak bu ozellik test asamasında olup, girisimcitarafından konuyla ilgili calısmalara devam edilmektedir.
Figure 35: Proje yaratma formu
Figure 36: Yuzey cozum agı uretme formu
Figure 37: Hacim cozum agı uretme formu
Figure 38: Analiz modellerini secme formu
Figure 39: Analiz baslatma formu
Figure 40: Veri uretme formu
References
[1] D. Henningson and M. Berggren, Fluid Dynamics: Theory and Compu-tation. Lecture Notes in CFD, KTH. 2005.
[2] B. Martinez, Wind resource in complex terrain with OpenFOAM . RisoDTU, National Laboratory for Sustainable Energy. 2011.
[3] V. Patankar, Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. Series in Com-putational Methods in Mechanics and Thermal Sciences, McGraw-Hill.1980.
[4] M. Churchfield, A Description of the OpenFOAM Solver buoyantBoussi-nesqPisoFoam. National Renewable Energy Laboratory, National WindTechnology Center. 2010.
[5] D.C. Wilcox, Turbulence Modeling for CFD. 2nd edition. Anaheim:DCW Industries, 1998.
[6] N. Sorensen, General Purpose Solver Applied to Flow over Hills. PhDThesis, Riso National Laboratory, Roskilde, 2003.
[7] D. Apsley, Numerical Modelling of Neutral and Stably Stratified Flowand Dispersion In Complex Terrain. PhD Thesis, University of Surrey,1995.
[8] P. Stangroom, CFD Modelling of Wind Flow Over Terrain. PhD Thesis,University of Nottingham, 2004.
[9] H. Jasak, Error Analysis and Estimation for the Finite Volume Methodwith Applications to Fluid Flows. PhD Thesis, Imperial College of Lon-don, 1996.
[10] P. Ghadimi and S. Kermani and S. Razughi and R. Zamanian, Aerody-namic and Acoustical Analysis of Flow around a Circular Cylinder ina Channel and Parametric Study on the Effects of a Splitter Plate onthe Generated Vibration and Noise. Applied Mathematics and Physics,2013, Vol. 1, No. 1, 1-5.
[11] C.J. Doolan, Flow and Noise Simulation of the NASA Tandem CylinderExperiment using OpenFOAM. American Institute of Aeronautics andAstronautics Paper AIAA-2009-3157.
[12] J.E.F. Williams and D.L. Hawkings, Sound Generation by Turbulenceand Surfaces in Arbitrary Motion. Department of Mathematics, ImperialCollege. 1968.
[13] M.V. Kraposhin and S.V. Strizhak, How to Implement Simple AcousticAnalogy in OpenFOAM. National Research Center, Kurchatov Institute.2013.
[14] C.A. Wagner and T. Huttl and P. Sagaut, Large-Eddy Simulation inAcoustics. Cambridge University Press. 2007.
[15] J. Chawner, Quality and Control Two Reasons Why Structured GridsAren’t Going Away. The Connector, Pointwise. Mar/Apr 2013.
[16] V. Yakhot and S.A. Orszag and S. Thangam and T.B. Gatski andC.G. Speziale, Development of Turbulence Models for Shear Flows bya Double Expansion Technique. Physics of Fluids A, Vol. 4, No. 7,pp1510-1520. 1992.
[17] P.K. Kundu and I.M. Cohen and D.R. Dowling, Fluid Mechanics. Aca-demic Press. 2011.
[18] H.K. Versteeg and W. Malalasekera, An Introduction to ComputationalFluid Dynamics. Longman Scientific & Technical. 1995.
[19] D.C. Wilcox, Re-Assessment of the Scale-Determining Equation for Ad-vanced Turbulence Models. AIAA Journal, vol. 26, no. 11, pp. 1299-1310.1988.
[20] F.R. Menter, Two-Equation Eddy-Viscosity Turbulence Models for En-gineering Applications. AIAA Journal, vol. 32, no 8. pp. 1598-1605.1994.
[21] X.P. Tapia, Modelling of Wind Flow over Complex Terrain using Open-FOAM. Master Thesis in Energy Systems, University of Gavle. 2009.
[22] A. Bechmann, Large-Eddy Simulation of Atmospheric Flow over Com-plex Terrain. PhD Thesis, Riso National Laboratory, Roskilde, 2006.
[23] B.C. Roisin and J.M. Beckers, Introduction to Geophysical Fluid Dy-namics. Elsevier B.V. 2011.
[24] S. Clarke, ATM2022 Large-Scale Weather and Climate. Lecture Notes,Monash University. 2002.
[25] C. Meissner, A. Gravdahl, and B. Steenson, Including Thermal Effectsin CFD Simulations. Technical Report, WindSim. 2009.
[26] J. Businger and J. Wyngaard and Y. Izumi and E. Bradley, Flux-ProfileRelationships in the Atmospheric Surface Layer. J. Atmos. Sci.; 28:181189. 1971.
[27] G. DeMoor, La Couche Limite Atmosferique. Technical Report, EcoleNationale de la Meteorologie. 1993.
[28] H.G. Kim and V.C. Patel and C.M. Lee, Numerical Simulation of aWind Flow Over Hilly Terrain. Journal of Wind Engineering and In-dustrial Aerodynamics 87, 16 March 2000.
[29] M. Bahari and K. Henjazi, Investigation of Buoyant Parameters of k−εTurbulence Model in Gravity Stratified Flows. World Academy of Sci-ence, no 55. 2009.
[30] M.J. Churchfield and S. Lee and P.J. Moriarty, Adding Complex Terrainand Stable Atmospheric Condition Capability to the OpenFOAM-basedFlow Solver of the Simulator for On/Offshore Wind Farm Applications(SOWFA). Presented at the 1st Symposium on OpenFOAM in WindEnergy Oldenburg, Germany. March 20-21, 2013.
[31] B. Blocken and T. Stathopoulos and J. Carmeliet, CFD Simulationof the Atmospheric Boundary Layer: Wall Function Problems. Atmo-spheric Environment 41(2): 238-252. Elsevier 2007.
[32] F. Salvatore and S. Ianniello, Preliminary Results on Acoustic Modellingof Cavitating Propellers. INSEAN, Italy. 2002.
[33] S. Ianniello and R. Muscari and A. DiMascio, Hydroacoustic Charac-terization of a Marine Propeller Through Acoustics Analogy. CNR-INSEAN, Italy. 2012.
[34] S.E. Norris and P.J. Richards, Appropriate Boundary Conditions forComputational Wind Engineering Models Revisited. The Fifth Interna-tional Symposium on Computational Wind Engineering. Chapel Hill,North Carolina, USA May 23-27 2010.
[35] D.M. Hargreaves and N.G. Wright, On the Use of the k − ε Model inCommercial CFD Software to Model the Neutral Atmospheric BoundaryLayer. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics 95(2007) 355369. Elsevier 12 September 2006.
[36] A.M.I. Nodeland, Wake Modelling Using an Actuator Disk Model inOpenFOAM. Master of Energy and Environmental Engineering, Norwe-gian University of Science and Technology. June 2013.
[37] W.Z. Shen and J.N. Sorensen and J. Zhang, Actuator Surface Modelfor Wind Turbine Flow Computations. Proceedings of European WindEnergy Conference 2007.
[38] N. Troldborg, Actuator Line Modeling of Wind Turbine Wakes. PhDThesis, Technical University of Denmark, 2008.
[39] T. Stovall and G. Pawlas, Wind Farm Wake Simulations in OpenFOAM.48th AIAA Aerospace Sciences Meeting Including the New HorizonsForum and Aerospace Exposition, 4 - 7 January 2010, Orlando, Florida.2010.
[40] D.M. Hargreaves and N.G. Wright, Improved k − ε Model andWall Function Formulation for the RANS Simulation of ABL Flows.Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics (2011),doi:10.1016/j.jweia.2010.12.017.
[41] E.A. Spiegel and G. Veronis, On the Boussinesq Approximation for aCompressible Fluid. Woods Hole Oceanographic Institution, September1959.
[42] J.R. Shewchuk, An Introduction to the Conjugate Gradient MethodWithout the Agonizing Pain. School of Computer Science, CarnegieMellon University 1994.
[43] A. Borzi, Introduction to Multigrid Methods. Lecture Notes, KarlFranzens Universitaet Graz.
[44] R. LeVeque, Finite Volume Methods For Hyperbolic Problems. Cam-bridge Texts in Applied Mathematics, 2004.
[45] R. Issa, Solution of the Implicitly Discretised Fluid Flow Equations byOperator-Splitting. Journal of Computational Physics, Volume 62 Issue1. 1986.