türev 07
DESCRIPTION
TürevTRANSCRIPT
İÇİNDEKİLER:
•TÜREV KAVRAMI
•TÜREV ALMA KURALLARI
•FONKSİYON TÜREVLERİ
•TÜREV UYGULAMALARI
TÜREV KAVRAMI:
Tanım:f:A B , y=f(x) fonksiyonu ve sürekli olmak üzere,
limiti bir reel sayı ise;bu değere f fonksiyonunun
x=a noktasındaki türevi denir.
Bu f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi, veya
sembolleri ile gösterilir.
Aa
ax
afxf
ax
)()(lim
)(' af )(adx
df
)(' af
Dolayısıyla f fonksiyonunun a noktasındaki türevi; ( h>0 )
h
afhaf
ax
afxfaf
hax
)()(lim
)()(lim)(
0
'
‘dır
ÖRNEK:f:R R fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevini bulalım.
2)( xxf
bulunur.
ÇÖZÜM: fonksiyonu x =2 de süreklidir.
Türev tanımından, dir.
2)( xxf
2
)2()(lim)2(
2
'
x
fxff
x
42
)2)(2(lim
2
4lim)2(
2
2
2
'
x
xx
x
xf
xx
O halde, tür.4)2()2(' dx
dff
SOLDAN VE SAĞDAN TÜREV:
Tanım:A R,a A da sürekli ve f:A R fonksiyonunda:
1. limitinin bir reel sayı değeri varsa bu değere, f
fonksiyonunun a noktasındaki soldan türevi denir ve şeklinde
gösterilir.
2. limitinin bir reel sayı değeri varsa bu değere, f
fonksiyonunun a noktasındaki sağdan türevi denir ve şeklinde
gösterilir.
ise, f fonksiyonu a noktasında türevlidir ve
dır. ise a noktasında türevi yoktur.
ax
afxfax
)()(lim
)(' af
ax
afxfax
)()(lim
)(' af
)()( '' afaf
)()()( ''' afafaf )()( '! afaf
TÜREVİN SÜREKLİLİKLE İLİŞKİSİ:
Teorem:AB ,aA olmak üzere; f:A B fonksiyonu a noktasında
türevli ise ,bu noktada süreklidir.Bu teoremin tersi olarak f fonksiyonu
a noktasında sürekli değilse,türevsizdir de diyebiliriz.
ÖRNEK: fonksiyonu hangi noktalarda türevsizdir?
ÇÖZÜM:f fonksiyonu paydanın sıfır olduğu noktalarda tanımsız,
dolayısıyla süreksizdir.
x = -1 ve x = 2 noktalarında süreksiz olduğundan
f fonksiyonu bu noktalarda türevsizdir.
2
2)(
2
2
xx
xxf
022 xx
TÜREV ALMA KURALLARI:Sabit fonksiyonun türevi:A B, f:A B, f(x) = c ile tanımlanan
sabit fonksiyonun türevi f ’(x) = 0 dır.Örneğin;
f (x) = 5 ise, f ‘(x) =0
f (x) = -3 ise, f ‘(x) = 0 dır.
n N+ için Fonksiyonunun Türevi:
n N+ için f:R R , fonksiyonunun türevi;
dir.Bu kural n negatif olsa da geçerlidir.Örneğin;
dır.
nxxf )(
nxxf )(
1' .)( nxnxf
1)()( ' xfxxf 3'4 4)()( xxfxxf
Bir Sabitle Bir Fonksiyonun Çarpımının Türevi:
c R ve f fonksiyonu , x noktasında türevli bir fonksiyon ise ,
dır.Örneğin; )(.)(. '' xfcxfc
xxxfxxf 10.2.5)(.5)( '2
İki Fonksiyonun Toplamının Türevi:
f :R R, g :R R türevlenebilen iki fonksiyon ise f+g fonksiyonunun
türevi, [f(x) +g(x)] ’=f ’(x)+g’(x) dır.yani her fonksiyonun ayrı ayrı
türevi alınarak bulunur.Örneğin;
ise, dır.452)( 23 xxxf xxxf 106)(' 2
İki Fonksiyonun Çarpımının Türevi:
f :R R, g :R R türevlenebilen iki fonksiyon ise f.g fonksiyonunun
türevi, [f(x).g(x)]‘ =f ‘(x).g(x)+g ‘(x).f(x) dır.Örneğin;
fonksiyonu veriliyor.
dır.
Ikı Fonksiyonun Bölümünün Türevi:
f :R R, g :R R türevlenebilen iki fonksiyon ve g0 ise f/g
fonksiyonunun türevi, dır.
)1)(1()(;: 32 xxxfRRf
xxxxxxxxf 235)1.(3)1.(2)(' 24223
2)(
)().(')().('
)(
)(
xg
xfxgxgxf
xg
xf
FONKSİYON TÜREVLERİBileşke Fonksiyonun Türevi:
g ,x te türevlenebilen; f , g(x) te türevlenebilen birer fonksiyon olmak
üzere fog fonksiyonu x te türevlenebilir ve
dır.
Bu işleme türevde zincir kuralı denir.Sonuç olarak,
biçiminde verilen üslü fonksiyonun türevi, bileşke
fonksiyonun türev kuralı uygulanarak
şeklinde bulunur.
xgxgfxgfxfog .)(
nxgxf )()(
xgxgnxf n '1..
ÖRNEK:1- fonksiyonunun türevini,
şeklinde buluruz.
199823 1 xxxf
xxxxxf 23.1.1998 2199723
2- fonksiyonuna göre f ´(1) nedir?
türevinde x terine 1 yazarsak;
buluruz.
523 32 xxxf
xxxxxf 43.32.5 223
12804.51 4 f
Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri:
f:R R ,f(x) = sin x fonksiyonunun türevi f´(x) = cos x dir.
f:R R ,f(x) = cos x fonksiyonunun türevi f´(x) = -sin x dir.
u x’e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;
f(x) = tan u dur.
f(x) = cot u dur.
)tan1.(sec.cos
)( 222
uuuuu
uxf
)cot1.(cos.sin
)( 222
uuuecuu
uxf
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVLERİMUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ:
f:A R , y=|f(x)| verilsin.aA , f(a)0 olmak üzere fonksiyonunun türevi;
y`= f `(x)= -f `(x) , f(a) <0
f `(x) , f(a) >0
f(a)=0 ise ,fonksiyonun bu noktadaki türevi olmayabilir.Bunu araştırmak için ,fonksiyonun sağdan ve soldan türevine bakılır.Soldan ve sağdan türevler eşitse ,fonksiyon bu noktada türevlidir.Aksi halde türevi yoktur.
ÖRNEK:1)( 2 xxf fonksiyonu veriliyor.
f``(-2) ve f``(1) değerleri varsa hesaplayalım.
x=-2 için fonksiyon sıfırdan büyük olduğundan aynen çıkar yani,
dır.
x=1 için fonksiyon sıfıra eşittir.Dolayısıyla sağdan ve soldan
türevlere bakılır.
olduğundan f `(1) yoktur.
ÇÖZÜM:
4)2(2)( fxxf
)1()1( ff
TAM DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ:
f:A R, verilsin.Eğer fonksiyonu aA
nokyasında sürekli ise ,fonksiyonun bu noktadaki türevi sıfırdır.
Sürekli değilse türevi yoktur.
fonksiyonunda f(x)Z ise süreklidir ve türevi
sıfırdır.Fakat f(x)Z ise sürekli olup olmadığına bakılır.
Süreksizse türev yoktur.
)(xfy )(xfy
)(xfy
İŞARET FONKSİYONUNUN TÜREVİ:
f:A R ,y = sgn f(x) fonksiyonu verlsin.Eğer a A noktasında
sürekli ise ,bu noktada türevi sıfırdır.Süreksizse türevi yoktur.
y´= 0 ,f(a)0 ise
Yoktur , f(a)= ise dır.Örneğin;
fonksiyonu veriliyor.f´(1) değerini bulalım.
x=1 için ifadesinin değeri -6 0 olduğundan f´(1)=0
dır.
)6sgn()( 2 xxxf
62 xx
KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ:
Tanım:x ve y değişken olmak üzere ,F(x,y)=0 denklemiyle verilen
Bağıntılara kapalı fonksiyon denir.Kapalı fonksiyonların türevi
hesaplanırken önce x sonra da y sabit alınarak türev bulunur.
),(
),(0).,(),(
yxF
yxF
dx
dyyyyxFyxF
y
xyx
bulunur.
ÖRNEK: bağıntısı veriliyor.
Bunun türevini bulalım.
0242),( 22 xyxyxF
ÇÖZÜM:Bu bağıntının türevini bulurken önce x’e daha sonra da
y’ye göre türev alıp ,birbirine böleriz.
y
x
y
x
yxF
yxFy
y
x
1
2
22
),(
),(buluruz.
PARAMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ:
Bu tür fonksiyonlarda, x ile y birbirine t parametresi ile bağlıdır.
x=h(t) ve y=g(t) denklemlerinden t parametresi yok edilerek , x ile
y arasında y=f(x) bağıntısı elde edilir.Buradan y nin x e göre türevi
bulunur.
)(
)(
th
tg
dtdxdtdy
dx
dt
dt
dy
dx
dy
ÖRNEK: parametrik fonksiyonunun türevini bulalım.
3
22
tty
tx
ÇÖZÜM:
x= t – 2 t = x+2 değeri türevde yerine konulursa
y´= 2(x+2) – 1= 2x+3 bulunur.
121
12
t
t
dtdxdtdy
y
TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ:
u x e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;
21).(arcsin1
u
uu
21).(arctan3
u
u
21).(arccos2
u
u
21)cot.(4
u
uuarc
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TÜREVİ:
Bileşke fonksiyonda yazdığımız teoremden de yararlanarak
logaritmik fonksiyonlar için şu sonuca varabiliriz;
u,x’e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;
1-
2-
eu
uxfuxf aa log)(log)(
u
uxfuxf
)(ln)(
ÖRNEK:
1-f(x)=ln(sin x) fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm: buluruz.
2-ln(sin y)+ln(cos x)-1= 0 ise dydx değerini bulunuz.
Çözüm: buluruz.
xx
x
x
xxf cot
sin
cos
sin
)(sin)(
yxy
y
yyxx
yF
xF
dx
dytan.tan
cot
tan
sincoscossin
ÜSTEL FONKSİYONUN TÜREVİ:
u, x’e bağlı türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere;
1-
2- Örneğin;
fonksiyonunun türevini bulalım.
uuaxfaxf uu ln..)()(
uexfexf uu .)()( xxf tan3)(
3ln.).(tan3)(3)( tantan xxfxf xx
3ln.sec.3)( 2tan xxf x bulunur.
A. Artan Ve Azalan Fonksiyonlar
1) Her x1, x2 A için, x1<x2 iken, f(x1)< f(x2)
ise, fonksiyonu, A kümesinde, artandır.
2) Her x1, x2 A için, x1<x2 iken, f(x1)> f(x2)
ise, f fonksiyonu, A kümesinde, azalandır.
SONUÇ:f:[a,b]R fonksiyonu, (a,b) aralığında artan ve türevli ise,
fonksiyonun bu aralıktaki türevi pozitiftir
Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında artan bir fonksiyon ise bu aralığın her elemanı için f’(x)>0’dır.
a b
f’(x)
f(x)
+ + + + + artan
Sonuç:f:[a,b]R, fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi negatiftir.
Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan fonksiyon ise bu aralığın her elemanı için, f’(x)<0’dır.
f’(x)
f(x)
a b
- - - - -
azalan
B) YEREL MAKSİMUM NOKTASI:
Tanım: f:[a,b]R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0(a,b) ve > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ,xo+ ) aralığında en büyük değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir yerel maksimumu vardır.f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel maksimum değeri denir.
x0- xo+ x0
f(x0)
a b
Y=f(x)
f ’(x)
f(x)
a x0 b
+ -
f(x0)
Maksimum
C)YEREL MİNİMUM NOKTASI:
Tanım: f:[a,b]R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0(a,b) ve > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ,xo+ ) aralığında en küçük değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir yerel minimumu vardır.
f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel minimum değeri denir.
Y=f(x)x0- xo+ x0
a b
f(x0)
f ’(x)
f(x)
a x0 b
+-
f(x0)
Minimum
SONUÇ:
a
f(a)
b
f(b)
c
f(c)
d
f(d)
+
++
+++ - -
---
--
-- +
++++
++
y=f(x)
f ’(x)>0 f ’(x)<0
Yerel maksimum
f ’(x)>0
Yerel minimum
f:[a,b] R fonksiyonu, (a,b) aralığında ikinci basamaktan türevli olsun:
a b
y=f(x)
A
B
x1 x2
Eğrinin çukurluk yönü yukarı doğru bakmaktadır.
a’dan b’ye, teğetlerin eğim açılarının büyüdüğüne dikkat edelim.
y=f(x)
a b
A
B
x1 x2
Bu teğetlerin eğimleri;
m1= tan=f’(x1) ve m2=tan=f’(x2)
tan< tan f’(x1) < f’(x2) ‘dir. Yani;
x1< x2 için, f’(x1) < f’(x2) olduğundan, f’ fonksiyonu artan’dır. f’ fonksiyonu artan olduğundan, türevi, f’’(x) > 0 ‘dır.
Şimdi de, eğrilik yönü aşağı doğru olan bir eğri inceleyelim:
a b
A
B
x1 x2
a’dan b’ye , teğetlerin eğim açılarının küçüldüğüne dikkat!
Bu teğetlerin eğimleri;
m1= tan=f’(x1) ve m2= tan =f’(x2) ‘dir.
a b
A
B
x1 x2
tan> tan f’(x1) > f’(x2) ‘dir.
Yani;
x1< x2 için, f’(x1) > f’(x2) olduğundan, f’ fonksiyonu azalan’dır. f’ fonksiyonu azalan olduğundan, türevi, f’’(x) < 0 ‘dır.
SONUÇ: Bir f fonksiyonu için, aralığın her noktasında, f’’(x)<0 oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü aşağı doğrudur.
f’’(x)< 0 Konkav(İç bükey)
Bir f fonksiyonu için, aralığın her noktasında, f’’(x)>0 oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü yukarı doğrudur.
f’’(x)> 0 Konveks(Dış bükey)