tugas kelompok meh
TRANSCRIPT
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
1/28
METODE ELEMEN HINGGA
“PENYEBARAN ALIRAN PANAS 2-DIMENSI DENGAN KONDISI
TENGAH BERLUBANG MENGGUNAKAN ELEMEN SEGIEMPAT
LINEAR ”
Dibuat oleh :
Kelompok 5
Resi Arumin Sani 1212100039
Muhammad Samsul Ma’arif 1212100064
Nihaya Alivia Coraima Dewi 1212100068
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
SURABAYA
2015
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
2/28
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
3/28
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Model Persamaan Penyebaran Aliran Panas
Perpindahan panas adalah ilmu yang mempelajari tentang laju perpindahan panas diantaramaterial/benda karena adanya perbedaan suhu (panas dan dingin). Perpindahan panas terjadi
karena adanya perbedaan suhu. Panas akan mengalir dari tempat yang suhunya tinggi ke tempat
yang suhunya lebih rendah. Perpindahan panas terjadi menurut tiga mekanisme yaitu konduksi
(hantaran), konveksi, radiasi (sinaran).
Perpindahan panas konduksi adalah proses perpindahan panas jika panas mengalir dari
tempat suhunya tinggi ke tempat yang suhunya lebih rendah, tetapi media untuk perpindahan
panas tetap.
Persamaan dasar dari konsep perpindahan panas konduksi adalah Hukum Fourier. Hukum
Fourier dinyatakan dengan :
= atau = Dimana : ∶ suhu ℃ ∶ jarak/tebal dinding ∶ luas penampang
∶ konduktivitas termal
. ⁄
∶ laju perpindahan panas konduksi ⁄ Nilai konduktivitas termal menunjukkan seberapa cepat panas mengalir dalam bahantertentu. Jika suatu bahan memiliki nilai konduktivitas termal yang besar, maka bahan tersebutmerupakan penghantar panas yang baik, sedangkan jika nilai konduktivitas termalnya kecil,
maka bahan itu merupakan penghantar yang buruk atau isolator.
Perpindahan panas konduksi pada dinding homogen dua dimensi seperti pada gambar
dibawah ini:
Gambar 2.1. Struktur perpindahan panas konduksi pada dinding homogen
(2.1)
(2.2)
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
4/28
Apabila suhu berubah terhadap waktu dan terdapat pula sumber panas dalam zat padat itu,
maka dapat dibuat neraca energi untuk bagian yang tebalnya sebagai berikut :- Dari arah yang masuk → = -
Dari arah
yang masuk
→ =
-
Dari arah yang keluar → +∆ = + - Dari arah yang keluar → +∆ = + - Energi yang dibangkitkan → = - Perubahan energi dalam → Dengan konsep Hukum Energi :
Energi yang masuk + Energi generasi (yang dibangkitkan) = Energi yang keluar + perubahan
energi dalam
= + + | | = |+ |+ = () ()
() ()= () () = Sehingga, persamaan umum konduksi panas adalah () () = Pada kasus perpindahan panas pada dinding homogen dalam kondisi steady state sehingga
persamaan diatas menjadi,
( ) ( ) = 0 2.2 Konsep Dasar Metode Elemen Hingga
Metode elemen hingga adalah metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan teknik dan masalah matematis dari suatu gejala fisis. Tipe masalah teknis dan
matematis fisis yang dapat diselesaikan dengan metode elemen hingga terbagi menjadi dua
kelompok, yaitu kelompok masalah analisis struktur dan kelompok masalah analisis non
struktur.
Konsep dasar metode elemen hingga didasarkan pada suatu konsep dimana fungsi kontinu
didekati dengan suatu model persamaan yang didefinisikan untuk sebagai sub domain yang
disebut elemen hingga. Konsep metode elemen hingga bisa diterapkan pada berbagai dimensi
(2.4)
(2.3)
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
5/28
sesuai kebutuhan. Langkah-langkah yang diterapkan dalam metode hingga secara umum,
antara lain :
Diskritisasi domain
Penentuan bentuk fungsi aproksimasi
Perhitungan properti elemen
Pembentukan sistem persamaan linear
Penyelesaian sistem persamaan linear
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
6/28
BAB III
PEMBAHASAN
Diberikan suatu dinding dengan ukuran 20 cm x 20 cm x 20 cm dengan konstanta
konduktivitas termal = 0.5 /. dan sumber panas yang dibangkitkan = 1000 /. Apabila panas di A adalah 100 ℃ dan B 200 ℃ dengan diasumsikan hanya di titik x dany saja (dua dimensi). Bagaimana penyebaran aliran panas pada kondisi steady state.Persamaan umum perpindahan panas dua dimensi pada dinding homogen adalah ( ) ( ) = Dalam kondisi steady state sehingga persamaan menjadi ( ) ( ) = 0
Gambar 3.1. Perpindahan panas konduksi dari titik A ke titik B dengan kondisi tengah
berlubang
3.1 Diskritisasi Domain
Pada kasus ini dinding homogen dibagi menggunakan elemen segiempat linear sebanyak
25 elemen dengan 36 node. Ditunjukkan oleh gambar dibawah ini
Gambar 3.2. Permukaan dinding yang didiskritisasi menjadi 25 elemen dengan 36 node
Keterangan Gambar 3.2:
(3.1)
(3.2)
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
7/28
a. Angka dengan warna hitam melambangkan elemen.
b.
Angka dengan warna merah melambangkan node.
c. = 20 dan = 20 untuk sisi depan dinding homogen.d. Panjang tiap elemen yaitu 2 = 4 dan 2a = 4 .
3.2
Fungsi Bentuk AproksimasiFungsi bentuk aproksimasi yang digunakan adalah fungsi interpolasi elemen segiempat
linier. Elemen segiempat linier ini memiliki panjang 2 dan lebar 2.Gambar dibawah ini menunjukkan bentuk elemen segi empat linear dan sistem koordinat
yang digunakan. Koordinat dan untuk sistem koordinat global, koordinat dan untuksistem koordinat lokal dan koordinat dan untuk sistem koordinat natural.
Fungsi interpolasi dinyatakan pada koordinat lokal dan sebagai berikut : =
Gambar 3.3. Parameter untuk elemen segiempatPada Gambar 3.3, nilai pada masing-masing titik adalah = pada saat = 0 dan = 0 = pada saat = 2 dan = 0 = pada saat = 2 dan = 2 = pada saat = 0 dan = 2 Sehingga diperoleh nilai pada masing-masing titik adalah = = 2
= 2 2 4
= 2 maka menghasilkan koefisien-koesfisien sebagai berikut : = = 12 = 12 = 14 Subtitusi persamaan (3.4) ke persamaan (3.3) maka diperoleh fungsi bentuk untuk elemen
segiempat linear yang dapat dinyatakan sebagai pendekatan nilai distribusi yaitu =
(3.3)
(3.4)
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
8/28
=
=
dimana = 1 21 2 = 2 1 2 = 4 = 2 1 2 Persamaan (3.6) tersebut merupakan fungsi bentuk yang berlaku untuk sistem koordinat
lokal. Untuk fungsi bentuk pada sistem koordinat natural diperlukan transformasi persamaan
antara sistem koordinat dan yang dinyatakan dengan = dan = Subtitusi persamaan (3.7) ke persamaan (3.6) sehingga diperoleh fungsi bentuk yaitu = 14 1 1 = 14 1 1 = 1
41
1
= 14 1 1 3.3 Perhitungan Properti Elemen
Pada makalah ini akan mencari governing equation dengan menggunakan pendekatan
residu berbobot (weighted residue). Formulasi Galerkin merupakan metode residual yang
digunakan agar residual menjadi minimal yaitu mengalikan integrasi residual dengan suatu
fungsi bobot
∫
Ω = 0
dimana fungsi bobot diganti dengan fungsi bentuk dan digantikan dengan governingequation perpindahan panas pada persamaan (3.2). Sedangkan notasi Ω melambangkan batasanintegral pada luasan maupun volume. Sehingga persamaan menjadi
∫ = 0
∫
∫
∫ = 0
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
9/28
Untuk suku pertama dan kedua dari persamaan (3.10) merupakan persamaan derivatif
tingkat dua disederhanakan menjadi persamaan derivatif tingkat satu dengan menggunakan
Teorema Green.
∫ = ∫ ∫
= ∫ |
∫
= ∫ |
∫ ∫
= ∫ |
∫ |
∫
= ∫ ⃗ ∫ ∫ = ∫ ∫
= ∫ |
∫
= ∫ | ∫ ∫
= ∫ |
∫ |
∫
= ∫ ⃗ ∫
Terlihat bahwa terdapat dua integral dengan derivatif tingkat satu. Salah satunya
merupakan integral garis. Kemudian subtitusi persamaan (3.11) dan (3.12) ke persamaan (3.10)
∫ ⃗ ∫ ∫ ⃗ ∫ ∫
= 0
(3.11)
(3.12)
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
10/28
∫ ⃗ ∫ ∫ ⃗ ∫
∫ = 0
∫ ( ⃗ ⃗ ) ∫ ∫
∫ = 0 ∫ ⃗ ∫
∫ ∫ = 0
dengan ⃗ adalah vektor satuan. Suku adalah flux yang berfungsi pada permukaan .Dimana kondisi batas konduksi pada permukaan
diberikan sebagai berikut :
= 3.4 Pembentukan Sistem Persamaan Linear
Untuk membentuk sistem persamaan linear secara keseluruhan maka subtitusi persamaan
(3.5) dan (3.14) ke persamaan (3.13) sehingga diperoleh,
∫ ∫
∫
∫ = 0
∫ ∫ ∫
∫ = 0 ∫ = ∫ ∫
Persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi
=
dimana
= ∫ = {} { } {} = ∫
{} = ∫
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.18)
(3.19)
(3.13)
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
11/28
3.5 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Untuk mencari matriks kekakuan dan vektor kekakuan konduksi denganmengubah fungsi bentuk pada persamaan (3.6) pada koordinat . Variabel digantikandengan
dimana batas integral yang berlaku untuk koordinat lokal
adalah
0 < < 2 0 < < 2 Sehingga dapat didefinisikan
∫ . = ∫ , = ∫ ∫ ,
Sedangkan untuk mendapatkan vektor kekakuan konduksi digunakan fungsi bentuk pada persamaan (3.8) yang menggunakan koordinat . Batas integral yang berlaku untukkoordinat
yaitu
< < < < Sehingga dapat didefinisikan menjadi
∫ = ∫
− ∫ = ∫
−
Menghitung Matriks Kekakuan
Untuk mendapatkan integral dari persamaan (3.16) dengan mengubah fungsi bentuk pada
koordinat dan didefinisikan : = 00 = 1 00 1 Gradien vektor :
=
=
{} = {} Sedangkan = , sehingga diperoleh : = ∫
= ∫
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
12/28
= ∫ [
] 1 00 1
Diperoleh turunan pertama dari persamaan (3.6) yang digunakan untuk memperoleh
matriks kekakuan , yaitu ; = 14 2 dan = 14 2
= 1
42 dan
= 1
4
= 14 dan = 14 = 14 dan = 14 2 Sehingga diperoleh = 14 22 2 2
= 14 22
2 2
Maka persamaan (3.16) diperoleh
= ∫ 16 22
2 2 1 00 1 22 2 2
= ∫ 16
[
2 2 22
2 2 2
2
22
22
]
16 ∫ [ 2 2 22 2 2 22 2 22 2 ]
Untuk mendapatkan nilai integral pada matriks pertama tersebut diperoleh dengan
melakukan perhitungan pada masing-masing elemen.16 ∫2 = 16 ∫ ∫ 2
= 16 ∫ ∫ 4 4
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
13/28
= 16 ∫8 8 83
= 16 ∫ 83
= 16 823 = 26 Untuk elemen yang lain,16 ∫2 = 16 ∫ ∫ 2
= 16 ∫ ∫ 2 = 16 ∫ ( 4 83 )
= 16 ∫ (43 )
= 16 4
23
= 6 Untuk elemen yang lain,16 ∫ = 16 ∫ ∫
= 16 ∫ 83
= 16 823 = 26 Untuk mendapatkan nilai integral pada matriks pertama tersebut diperoleh dengan
melakukan perhitungan pada masing-masing elemen.16 ∫2 = 16 ∫ ∫ 2
= 16 ∫ ∫ 4 4
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
14/28
= 16 ∫8 82
= 16 16
16
163
= 16 163 = 26 Untuk elemen yang lain,16 ∫2 = 16 ∫ ∫ 2
= 16 ∫ ∫ 2
= 16 ∫ 42 = 16 (8 163 ) = 16 (83 )
=6
Untuk elemen yang lain,16 ∫ = 16 ∫ ∫
= 16 ∫ 2 =
16
16
3
= 26 Sehingga diperoleh = 6 2211
2211 1122
1122 6
2112 1221
1221 2112
Menghitung Vektor Kekakuan Konduksi
Untuk mendapatkan integral dari persamaan (3.18) dengan mengubah fungsi bentuk dalam
koordinat
, sehingga
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
15/28
= ∫
= ∫
= ∫ ∫
[
1 21 22 1 242 1
2 ]
Untuk memperoleh nilai integral pada matriks tersebut diperoleh dengan melakukan perhitungan pada masing-masing elemen.
∫ ∫ 1 2 ( 1 2)
= ∫ ∫ ( 1 2 2 4)
= ∫ 2 22 44 48
= ∫ 2
= 2 = Untuk elemen yang lain,
∫ ∫ 2 (1 2)
= ∫ ∫ ( 2 4)
= ∫ 2
2 4
8
= ∫ 2 = ∫ 2
= 44
=4
4
= Untuk elemen yang lain,
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
16/28
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
17/28
Menghitung integral dari koefisien matriks menggunakan persamaan (3.8) dengan = ∫ −
= ∫ 14
1
1
−
= ∫ 2 1 − = ∫ 2 2 − = 2 4
= (2 4 ) ( 2 4 )
=
∫ − = ∫ 14 1 1 − = ∫ 2 1 − = ∫ 2 2 − = 2 4
= (2 4 ) ( 2 4 ) = Sehingga diperoleh, = 1100
Jika menghitung sisi maka = = 0. Sehingga persamaan diatas menjadi
= ∫ 0
0
−
Menghitung integral dari koefisien matriks menggunakan persamaan (3.8) dengan = ∫ − = ∫ 14 1 1 − = ∫ 2 1 − = ∫ 2 2 −
= 2
4
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
18/28
= 2 4 2 4 =
∫
− = ∫ 14 1
1
−
= ∫ 2 1 − = ∫ 2 2 − = 2 4
= 2 4 2 4 =
Sehingga diperoleh, = 0110 Jika menghitung sisi maka = = 0. Sehingga persamaan diatas menjadi
= ∫ 00
− Menghitung integral dari koefisien matriks menggunakan persamaan (3.8) dengan
=
∫ − = ∫ 14 1 1 − = ∫ 2 1 − = ∫ 2 2 − = 2 4
= (2 4 ) ( 2 4 ) = ∫ − = ∫ 14 1 1 − = ∫ 2 1 − = ∫ 2 2 − = 2 4
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
19/28
= (2 4 ) ( 2 4 ) = Sehingga diperoleh,
= 0011 Jika menghitung sisi maka = = 0. Sehingga persamaan diatas menjadi
= ∫ 00
− Menghitung integral dari koefisien matriks menggunakan persamaan (3.8) dengan =
∫ − = ∫ 14 1 1 − = ∫ 2 1 − = ∫ 2 2 − = 2 4
= 2 4 2 4
= ∫ − = ∫ 14 1 1 − = ∫ 2 1 − = ∫ 2 2 −
= 2
4
= 2 4 2 4 = Sehingga diperoleh,
= 1001 Jadi, persamaan akhir diperoleh
= −
= −
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
20/28
3.6 Simulasi dan Analisis Hasil
Berdasarkan hasil perhitungan tampak terlihat titik-titik suhu setiap nodenya. Semakin
besar mempartisi elemen semakin pula tampak terlihat jelas penyebaran aliran panas pada
dinding homogen. Artinya, diskritisasi domain diperbanyak menjadi elemen-elemen yang
sangat kecil.
Berikut listing program penyebaran aliran panas 2-dimensi pada dinding homogen dengan
kondisi tengah berlubang menggunakan elemen segiempat, sebagai berikut :
clear all;
clc;
disp('--------------------------------------------------------------
---------------------------------------');
disp('--------------------------------------------------------------
---------------------------------------');
disp(' TUGAS METODE ELEMENHINGGA' );
disp('"Penyebaran Aliran Panas 2-Dimensi dengan Kondisi Tengah
Berlubang Menggunakan Elemen Segiempat Linear"');
disp('Nama Kelompok : 1. Resi Arumin Sani
1212100039 ');
disp(' 2. Muhammad Samsul Maarif
1212100064 ');
disp(' 3. Nihaya Alivia Coraima Dewi
1212100064 ');
disp('--------------------------------------------------------------
---------------------------------------');
disp('-----------------------------------------------------------------------------------------------------');
% PARAMETER-PARAMETER
Ktermal = 0.5;
q = 1000;
p = 25;
Tawal = 100;
Takhir = 200;
l = 20;
% MATRIKS DAN VEKTOR PEMBANGUN
M1 = [2 -2 -1 1;-2 2 1 -1;-1 1 2 -2;1 -1 -2 2];M2 = [2 1 -1 -2;1 2 -2 -1;-1 -2 2 1;-2 -1 1 2];
f = [1;1;1;1];
f1 = [1;1;0;0];
f2 = [0;1;1;0];
f3 = [0;0;1;1];
f4 = [1;0;0;1];
% ALGORITMA PROGRAM
bagiX=input('Masukkan nilai domain sumbu-x : ');
bagiY=input('Masukkan nilai domain sumbu-y : ');
a = l/(2*bagiX);b = l/(2*bagiY);
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
21/28
jum.nodel = 4;
jum.elemen = bagiX*bagiY;
jum.node = (bagiX+1)*(bagiY+1);
K = zeros(jum.node);
FQ = zeros(jum.node,1);
FP = zeros(jum.node,1);
k = Ktermal*(b/a)*(1/6)*M1+Ktermal*(a/b)*(1/6)*M2;
fq = q*a*b*f;
fp1 = p*b*f1;
fp2 = p*a*f2;
fp3 = p*b*f3;
fp4 = p*a*f4;
for i=1:bagiY
for j=1:bagiX
elemen = bagiX*(i-1)+j;
node(elemen,1) = elemen+(i-1);
node(elemen,2) = node(elemen,1)+1;
node(elemen,3) = node(elemen,2)+bagiX+1;
node(elemen,4) = node(elemen,3)-1;
for p=1:4
m = node(elemen,p);
for q=1:4
n = node(elemen,q);
K(m,n)=K(m,n)+k(p,q);
end
end
end
end
KG=K;
for i=1:bagiY
for j=1:bagiX
elemen=bagiX*(i-1)+j;
if i==1 && (j>=1 && j=2 && i
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
22/28
KG(s,s)=1;
FQ(s,1)=Takhir;
end
end
if i==bagiY && (j>=1 && j
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
23/28
end
end
end
TT
figure(1)
contourf(x,y,TT);
figure(2)
surf(x,y,TT);
xlabel('x');
ylabel('y');
colormap(jet);
colorbar;
beta = 0.05;
brighten(beta);
Hasil runningnya adalah
Jika untuk domain 5 × 5 (25 elemen 36 node):
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
24/28
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
25/28
Jika untuk domain 50× 50 (2500 elemen 2601 node):
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
26/28
Jika ditampilkan dalam bentuk GUI, sebagai berikut :
Hasil suhu diatas merupakan penyebaran aliran panas dari suhu 100 ℃ sampai 200 ℃ dengan diskiritisasi domain 5 × 5 menjadi 25 elemen dengan 36 node dengan masukkan
parameter-parameter yang sesuai.
Dan bentuk grafiknya dengan menekan tombol Tampil pada tampilan GUI tersebut, hasilnya
seperti berikut :
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
27/28
BAB IV
KESIMPULAN
Perpindahan panas adalah ilmu yang mempelajari tentang laju perpindahan panas diantara
material/benda karena adanya perbedaan suhu (panas dan dingin). Perpindahan panas terjadi
karena adanya perbedaan suhu. Panas akan mengalir dari tempat yang suhunya tinggi ke tempat
yang suhunya lebih rendah. Berdasarkan dari hasil simulasi dan analisis bahwa semakin banyak
mempartisi atau membagi domain menjadi elemen segiempat yang lebih banyak maka akan
tampak terlihat jelas proses aliran penyebaran panas pada setiap nodenya. Begitu juga
sebaliknya, semakin kecil atau semakin sedikit membagi domain maka akan tampak proses
aliran penyebaran panas agak kasar. Untuk kasus penyebaran aliran panas 2-dimensi pada
dinding homogen dengan kondisi tengah berlubang dengan diberikan suhu awal 100 ℃ hingga200 ℃ dan suhu ditengah bernilai 0 ℃ sehingga penyebaran suhu fluktuatif yaitu penyebaransuhu disekitar tengah dinding akan cenderung turun menuju 0 ℃ dan selanjutnya akan kembalinaik ke suhu 200 ℃.
Dalam diskritisasi domain menjadi 25 elemen dengan 36 node, diperoleh nilai-nilai suhu
pada setiap elemen nodenya sebagai berikut : = 100100100100100150
10078.6964.7574.59117.39200
10064.7500114.54200
10074.5900124.38200
100117.39114.54124.38156.09200
150200200200200200
-
8/17/2019 Tugas Kelompok MEH
28/28
BAB V
DAFTAR PUSTAKA
[1] Segerlind, L.J. 1984. Applied Finite Element Analysis, 2th ed. Canada: John Wiley andSons, Inc.
[2] Rachmawati, V. 2015. “ Simulasi Perpindahan Panas pada Lapisan Tengah Pelat
Menggunakan Metode Elemen Hingga”. Jurnal Sains dan Seni ITS Vol.4. Jurusan
Matematika ITS. Surabaya
[3] Haqqul, M.N. 2015. “Simulasi Aliran Air pada Pintu Air Menggunakan Metode Elemen
Hingga”. Jurnal Sains dan Seni ITS Vol.4. Jurusan Matematika ITS. Surabaya
[4] Buchori, L. 2004. Perpindahan Panas Bagian I. Semarang
[5] Versteeg, H.K. dan Malalasekera, W. 2006. An Introduction to Computational Fluid
Dynamics. USA