VEKTOR 1. SKALAR dan VEKTOR Besaran-besaran Fisika ditinjau dari pengaruh arah terhadap besaran tersebut dapat dikelompokkan menjadi : a. Skalar : besaran yang cukup dinyatakan besarnya saja (tidak ter-gantung pada arah). Misalnya : massa, waktu, energi dsb. b. Vektor : besaran yang tergantung pada arah. Misalnya : kecepatan, gaya, momentum dsb.

2. NOTASI VEKTOR. 2.1. Notasi Geometris. 2.1.a. Penamaan sebuah vektor : dalam cetakan : dengan huruf tebal : a, B, d. dalam tulisan tangan : dengan tanda atau diatas huruf : a , B, d. 2.1.b.Penggambaran vektor : vektor digambar dengan anak panah : B a panjang anak panah : besar vektor. arah anak panah 2.2. Notasi Analitis Notasi analitis digunakan untuk menganalisa vektor tanpa menggunakan gambar. Sebuah vektor a dapat dinyatakan dalam komponen-komponennya sebagai berikut : : arah vektor d

z y k

ay a x ax x ay : besar komponen vektor a dalam arah sumbu y ax : besar komponen vektor a dalam arah sumbu x Dalam koordinat kartesian :

I

j

y

vektor arah /vektor satuan : adalah vektor yang besarnya 1 dan arahnya sesuai dengan yang didefinisikan. Misalnya dalam koordinat kartesian : i, j, k. yang masing masing menyatakan vektor dengan arah sejajar sumbu x, sumbu y dan sumbu z. Sehingga vektor a dapat ditulis : a = ax i + ay j dan besar vektor a adalah : a = ax 2 + ay 2

Cross ProductKita tahu bahwa dot vektor sangat berperan dalam perhitungan sudut dan vektor proyeksi. Keistimewaan dot terletak pada yang membuat perkalian vektor bersudut 900akan bernilai nol, sehingga mempermudah perhitungan. Lalu, bagaimana dengan cross product? Cross ( ) Product adalah bentuk perkalian antara 2 vektor yang akan menghasilkan vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor itu di dalam dimensi 3, yang didefinisikan dalam rumus: = . . . .

di sini adalah vektor satuan yang tegak lurus dengan vektor dan tegak lurus dengan vektor

5

Apa hasil dari cross product itu? Hasil dari cross product adalah vektor yang tegak lurus dengan vektor dan vektor . Kenapa bisa begitu? Ini karena pengaruh perkalian vektor-vektor satuan dan . Untuk lebih jelasnya, bisa dilihat di bagian karakteristik cross product. Sementara, jika kita ingin meng*skalar*kan cross product, maka unsur dapat kita hilangkan, maka rumusnya menjadi:

= Di sini, kita tahu bahwa . .

.

.

adalah rumus Luas jajargenjang. Wah, ternyata kita bisa mencari luas jajargenjang dari sudut pandang vektor! ^^

Mengapa cross product dapat menghasilkan vektor sedangkan Dot Product tidak? Sebetulnya dot product bisa menghasilkan vektor jika dikalikan lagi dengan vektor satuan. Namun, dot product sengaja tidak menghasilkan vektor karena di sinilah aplikasi dot vektor yang banyak digunakan (mencari sudut dan vektor proyeksi). Lalu, jika ingin memberi arah, kita tinggal mengalikannya dengan vektor satuan yang arahnya terserah kita (di sini dot vektor bersifat dinamis).

Sementara itu, cross vektor juga sebenarnya bisa jika didefinisikan sebagai ini saja:

.

.

karena bisa diaplikasikan dalam mencari luas jajargenjang. Namun, fungsi ini masih terlalu sederhana (bagaimana kita mendefinisikan dengan , tentunya nilai keduanya harus berbeda dan tidak pada cross

mungkin kita mendefinisikan keduanya adalah 1 meskipun keduanya tegak lurus). Unsur

vektor sungguh *mempesona*. Pada saat sudut yang dibentuk adalah 900 (yang berarti hasil sin-nya adalah 1), maka kita dapat memodifikasinya dengan pemberian arah vektor yang saling ortoghonal (tegak lurus) kedua vektor, berbeda jika kita menggunakan cos pada dot product. Ini juga bisa memberikan solusi bagi nilai dengan (sebagai contoh) supaya tidak sama. 5

Mengapa Cross Product hanya berlaku di dimensi 3 saja? Untuk membuat vektor yang tegak lurus diperlukan vektor basis yang saling tegak lurus juga. Lalu, di dimensi 4, bisakah kita menemukan 4 vektor yang saling tegak lurus? Sebenarnya di dimensi 2, cross product bisa saja kita gunakan karena dimensi 2 adalah bagian dari dimensi 3. Namun, mungkin hasil yang dipakai hanyalah sebatas digunakan di dimensi 2. Karakteristik Cross Product Di dimensi 3 terdapat 3 vektor basis sebagai berikut. , karena tidak dapat

=

, =

, dan =

Vektor yang tegak lurus ada 2 arah (berlawanan). Supaya konsisten, maka kita tentukan arahnya dengan aturan tangan kanan. Ini dilakukan supaya hasilnya **konsisten** dan **universal**. Jadi, ini semacam aturan umum saja. (Sebenarnya jika kita memakai aturan tangan kiri, kita akan mendapatkan hasil yang tegak lurus juga, namun hasilnya negatif. Sebenarnya, ini boleh saja dilakukan).

Sesuai dengan definisi di atas, maka didapat karakteristik sebagai berikut.

=

(karena sudutnya 00)

5

= = = = = = = =

-----

----

Terlihat bahwa perkalian cross product tidak bersifat komutatif.. Sekarang kita coba mengoperasikan = = + + + + =( = + ( + )+ ( ( ) ( ( )+ )+ . + ( . + ) )+ ( ( + )+ ( ( ( . + )+ )+ ( ) + ( )+ )+ )+ . + ) )+ ( ( )+ )

===== ===== = . +

===== ===== = (

(Supaya dapat lebih mudah dibaca *dan dihapal*, kita gunakan konsep determinan)

= (gunakan cara Sarrus untuk mencari determinan ordo 3x3) Maka, akan didapat vektor yang tegak lurus dan . Contoh Soal: Di , terdapat vektor dan .

4

= Jawab:

dan =

. Tentukan

dan

.

=

=

=

(Determinan 3x3 di atas dapat diselesaikan dengan cara Sarrus biasa..)

= dapat kita lihat bahwa: Contoh Soal 16:

= = -( ).

=

Dari contoh soal 15, berikan 5 contoh vektor yang tegak lurus dengan vektor dan vektor ! Jawab:

Kita sudah menemukan 2 vektor yang tegak lurus, yaitu: mengalikan konstanta sesuka apapun yang kita mau. Misalnya:

, dan

.

Berikutnya, kita tinggal menemukan vektor-vektor yang sejajar dengan vektor itu. Jadi, kita hanya

Kalikan

dengan , maka hasilnya:

==> ini contoh yg ke-3

Kalikan

dengan 3, maka hasilnya:

==> ini contoh ke-4

5

Kalikan

dengan 2, maka hasilnya

==> ini contoh ke-5 dengan konstanta apapun... ^^

Tentunya, akan ada banyak jawab. Intinya, kita cukup mengalikan Contoh Soal 17:

Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (0,1,2) dan terdapat vektor itu! Jawab: Pertama, tentukan dulu (kita sudah mendapatkannya di soal nomor 15)

dan

di bidang

Nah, itulah yang disebut dengan vektor normal. Vektor normal adalah karakteristik yang dimiliki oleh bidang. (kalau karakteristik gradien dimiliki oleh garis). Nah, kita tinggal mengikuti rumus persamaan bidang berikut: pers. bidang:

Kita sudah mendapat salah 1 contoh vektor normal di contoh nomor 16, yaitu Substitusikan nilai 3 di n1, 6 di n2, dan -5 di n3. Maka, persamaan bidangnya menjadi:

.

Bidang itu melalui titik (0,1,2). Oleh karena itu, substitusikan nilai 0 di x1, 1 di x2 dan 2 di x3. Maka persamaannya menjadi: pers. bidang: Contoh soal 18: Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(0,1,-3), B (2,4,-1), dan C(-2,3,5)! Jawab:

6

Tentukan 2 vektor yang terletak pada bidang. Di sini, kita mencari vektor yang lain).

dan

. (Boleh mencari

=

=

= product!!

=

Sekarang kita cari vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor ini. Caranya? Ya, menggunakan cross

=

=

=

Sekarang tinggal memasukkan nilai-nilai itu ke persamaan bidang: Masukkan n1=20 , n2=-20, n3 = 10 Bagi persamaan dengan 10, supaya lebih sederhana.

4

Nah, sekarang masukkan titik yang terletak pada bidang. Terserah kalian ingin memasukkan titik A, atau B, ataupun C, karena semua titik akan menghasilkan hasil yang sama. Di sini, kita masukkan titik A (0,1,-3). Berarti x1=0.x2=1. x3=-3. pers bidang:

Cross product dari 2 buah vektor adala suatu vektor Hasilkali titik dua buah vektor menghasilkan skalar, sedangkan hasilkali silang atau cross product antara dua buah vektor menghasilkan sebuah vektor yang Perkalian silangPerkalian silang dari dua vektor, misalnya vektor A dan B ditulis sebagai A x B (A silang B). Perkalian silang dikenal dengan julukan perkalian vektor, karena hasil perkalian ini menghasilkan besaran vektor. Misalnya vektor A dan vektor B tampak seperti gambar di bawah.

Untuk mendefinisikan perkalian silang antara vektor A dan B (A x B), kita gambarkan vektor A dan B seperti gambar di atas, dan digambarkan juga komponen vektor B yang tegak lurus pada A (lihat gambar di bawah), yang besarnya sama dengan B sin teta

Dengan demikian, kita dapat mendefinisikan besar perkalian silang vektor A dan B (A x B) sebagai hasil kali besar vektor A dengan komponen vektor B yang tegak lurus pada vektor A.

Bagaimana jika A x B kita balik menjadi B x A ? Terlebih dahulu kita gambarkan vektor B dan A serta komponen vektor A yang tegak lurus pada B (amati gambar di bawah)

5

Berdasarkan gambar ini, kita dapat mendefinisikan perkalian silang antara vektor B dan A (B x A) sebagai hasil kali besar vektor B dengan komponen vektor A yang tegak lurus pada vektor B. Secara matematis ditulis :

Arah Perkalian Silang A x B Perkalian silang adalah perkalian vektor, sehingga hasil perkaliannya memiliki besar dan arah. Besar hasil perkalian vektor telah kita turunkan di atas, sekarang kita menentukan arahnya. Untuk menentukan arah A x B, terlebih dahulu kita gambarkan vektor A dan B seperti gambar di bawah. Kedua vektor ini kita letakan pada suatu bidang (sambil lihat gambar di bawah ya.)

Kita definisikan perkalian silang A x B sebagai suatu vektor yang tegak lurus bidang di mana vektor A dan B berada. Besarnya sama dengan AB sin teta. Jika C = A x B maka C = AB sin teta Arah C tegak lurus bidang di mana vektor A dan B berada. Kita dapat menggunakan kaidah tangan kanan untuk menentukan arah C. Jika kita menggenggam jari tangan di mana arahnya berlawanan dengan arah putaran jarum jam, maka arah C searah dengan arah ibu jari menuju ke atas. Arah Perkalian Silang B x A Untuk menentukan arah B x A, terlebih dahulu kita gambarkan vektor B dan A seperti gambar di bawah. Kedua vektor ini kita letakan pada suatu bidang (sambil lihat gambar di bawah ya.)

Jika C = B x A maka C = BA sin teta. Arah C tegak lurus bidang di mana vektor B dan A berada. Kita dapat menggunakan kaidah tangan kanan untuk menentukan arah C. Jika kita menggenggam jari tangan di mana arahnya searah dengan arah putaran jarum jam, maka arah C sama dengan arah ibu jari menuju ke bawah. A x B tidak sama dengan B x A. Hasil perkalian silang menghasilkan besaran vektor, di mana selain mempunyai besar, juga mempunyai arah. Pada penurunan di atas, arah A x B berlawanan arah dengan B x A. Beberapa hal dalam perkalian silang yang perlu anda ketahui : 1. Perkalian silang bersifat anti komutatif. AxB=BxA Tanda negatif menunjukkan bahwa arah B pada A x B berlawanan dengan arah B pada B x A. 5

2. Jika kedua vektor saling tegak lurus maka sudut yang dibentuk adalah 90o. Sin 90o = 1. Dengan demikian, besar hasil perkalian silang antara vektor A dan B akan tampak sebagai berikut : A x B = AB sin teta = AB sin 90o = AB B x A = BA sin teta = BA sin 90o = BA Ingat ya, ini adalah besar hasil perkalian silang. 3. Jika kedua vektor searah, maka sudut yang dibentuk adalah 0o. Namanya juga segaris Sin 0o = 0. Dengan demikian, nilai alias besar hasil perkalian silang antara vektor A dan B akan tampak sebagai berikut. A x B = AB sin teta = AB sin 0o = 0 B x A = BA sin teta = BA sin 0o = 0 Hasil perkalian silang antara dua vektor yang searah alias segaris kerja sama dengan n0L.

r tersebut. Perkalian silang antara dua buah vektor hanya berlaku untuk

vektor-vektor di ruang

.

5