tugas metode numerik golden ratio pendidikan matematika umt

1. Metode Golden Ratio 2. Algoritma Golden Ratio 3. Contoh soal

Metode Numerik Golden Ratio

Dian Marlina (1384202085)

Hatikah (1384202054)

Irisa Fauziyah (1384202026)

Riko Deprianto (1384202131)

Fakultas Keguruan Dan Ilmu PendidikanProgram Studi Pendidikan Matematika

Universitas Muhammadiyah Tangerang

March 18, 2016

Dian Marlina (1384202085) Hatikah (1384202054) Irisa Fauziyah (1384202026) Riko Deprianto (1384202131) FKIP

Metode Golden Ratio

1 1. Metode Golden Ratio

2 2. Algoritma Golden Ratio

3 3. Contoh soal

Metode Golden Ratio

Metode Golden Ratio memberikan alternatif perhitungan numerikmenentukan x yang meminimumkan atau memaksimumkan suatufungsi f (x) dari metode-metode numerik lainnya seperti Fibonaccidan Biseksi.

Karaktiristik Metode Golden RatioKarakteristik metode numerik Golden Ratio ditandai oleh beberapahal seperti:

Memulai dengan selang ak dan bk

Mencari λk+1 dan µk+1

Konsekuensi dari mencari λk+1 dan µk+1 adalah mencari f (λk +1)dan f (µk + 1)

Algoritma Golden Ratio

Pertama Tentukan ak dan bk , dan δ

Kedua Tentukan λk dan µk

λk = ak + (1− α)(bk − ak)

danµk = ak + α(bk − ak)

Ketiga Tentukan f (λk) dan f (µk)

KeempatKondisi 1: Jika f (µk) > f (λk), µk = bk+1 dan ak = ak+1

Kondisi 2: Jika f (λk) > f (µk), λk = ak+1 dan bk = bk+1

Kelima Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ

λk = ak + (1− α)(bk − ak)

Contoh soal

Carilah nilai x yang meminimalkan

f (x) = x2 − 4x

dengan δ = 0.1 dan selang [1, 3]

Contoh soal

Carilah nilai x yang meminimalkan

f (x) = x2 − 4x

dengan δ = 0.1 dan selang [1, 3]

Penyelesaian

Meminimalkanf (x) = x2 − 4x

dengan δ = 0, 1

Dengan cara analitik, diperoleh nilai x yang meminimalkanf (x) adalah x = 2

Penyelesaian

dengan δ = 0, 1

Penyelesaian

dengan δ = 0, 1

Iterasi I

a1 = 1, b1 = 3λ1 = a1 + (1− α)(b1 − a1)λ1 = 1 + (1− 0, 618)(3− 1)λ1 = 1, 764

µ1 = a1 + α(b1 − a1)µ1 = 1 + 0, 618(3− 1)µ1 = 2, 236

Substitusikan λ1 pada persamaan f (λ1) = λ12 − 4λ1

sehingga f (1, 764) = (1, 764)2 − 4(1, 764) = −3, 945

Substitusikan µ1 pada persamaan f (µ1) = µ12 − 4µ1

sehingga f (2, 236) = (2, 236)2 − 4(2, 236) = −3, 945

Iterasi I

a1 = 1, b1 = 3λ1 = a1 + (1− α)(b1 − a1)λ1 = 1 + (1− 0, 618)(3− 1)λ1 = 1, 764

µ1 = a1 + α(b1 − a1)µ1 = 1 + 0, 618(3− 1)µ1 = 2, 236

sehingga f (1, 764) = (1, 764)2 − 4(1, 764) = −3, 945

sehingga f (2, 236) = (2, 236)2 − 4(2, 236) = −3, 945

Iterasi I

a1 = 1, b1 = 3λ1 = a1 + (1− α)(b1 − a1)λ1 = 1 + (1− 0, 618)(3− 1)λ1 = 1, 764

µ1 = a1 + α(b1 − a1)µ1 = 1 + 0, 618(3− 1)µ1 = 2, 236

sehingga f (1, 764) = (1, 764)2 − 4(1, 764) = −3, 945

sehingga f (2, 236) = (2, 236)2 − 4(2, 236) = −3, 945

Iterasi I

a1 = 1, b1 = 3λ1 = a1 + (1− α)(b1 − a1)λ1 = 1 + (1− 0, 618)(3− 1)λ1 = 1, 764

µ1 = a1 + α(b1 − a1)µ1 = 1 + 0, 618(3− 1)µ1 = 2, 236

sehingga f (1, 764) = (1, 764)2 − 4(1, 764) = −3, 945

sehingga f (2, 236) = (2, 236)2 − 4(2, 236) = −3, 945

Iterasi I

a1 = 1, b1 = 3λ1 = a1 + (1− α)(b1 − a1)λ1 = 1 + (1− 0, 618)(3− 1)λ1 = 1, 764

µ1 = a1 + α(b1 − a1)µ1 = 1 + 0, 618(3− 1)µ1 = 2, 236

sehingga f (1, 764) = (1, 764)2 − 4(1, 764) = −3, 945

sehingga f (2, 236) = (2, 236)2 − 4(2, 236) = −3, 945

Lanjutan Iterasi I

Karena f (λ1) = f (µ1) pilih salah satu dari dua kondisi

Maka akan digunakan kondisi 1 dimana

µ1 = b2 = 2, 236

dana1 = a2 = 1

Lanjutan Iterasi I

µ1 = b2 = 2, 236

dana1 = a2 = 1

Iterasi II

a2 = 1, b2 = 2, 236λ2 = a2 + (1− α)(b2 − a2)λ2 = 1 + (1− 0, 618)(2, 236− 1)λ2 = 1, 472

µ2 = a2 + α(b2 − a2)µ2 = 1 + 0, 618(2, 236− 1)µ2 = 1, 764

sehingga f (1, 472) = (1, 472)2 − 4(1, 472) = −3, 721

sehingga f (1, 764) = (1, 764)2 − 4(1, 764) = −3, 939

Iterasi II

a2 = 1, b2 = 2, 236λ2 = a2 + (1− α)(b2 − a2)λ2 = 1 + (1− 0, 618)(2, 236− 1)λ2 = 1, 472

µ2 = a2 + α(b2 − a2)µ2 = 1 + 0, 618(2, 236− 1)µ2 = 1, 764

sehingga f (1, 472) = (1, 472)2 − 4(1, 472) = −3, 721

sehingga f (1, 764) = (1, 764)2 − 4(1, 764) = −3, 939

Iterasi II

a2 = 1, b2 = 2, 236λ2 = a2 + (1− α)(b2 − a2)λ2 = 1 + (1− 0, 618)(2, 236− 1)λ2 = 1, 472

µ2 = a2 + α(b2 − a2)µ2 = 1 + 0, 618(2, 236− 1)µ2 = 1, 764

sehingga f (1, 472) = (1, 472)2 − 4(1, 472) = −3, 721

sehingga f (1, 764) = (1, 764)2 − 4(1, 764) = −3, 939

Iterasi II

a2 = 1, b2 = 2, 236λ2 = a2 + (1− α)(b2 − a2)λ2 = 1 + (1− 0, 618)(2, 236− 1)λ2 = 1, 472

µ2 = a2 + α(b2 − a2)µ2 = 1 + 0, 618(2, 236− 1)µ2 = 1, 764

sehingga f (1, 472) = (1, 472)2 − 4(1, 472) = −3, 721

sehingga f (1, 764) = (1, 764)2 − 4(1, 764) = −3, 939

Iterasi II

a2 = 1, b2 = 2, 236λ2 = a2 + (1− α)(b2 − a2)λ2 = 1 + (1− 0, 618)(2, 236− 1)λ2 = 1, 472

µ2 = a2 + α(b2 − a2)µ2 = 1 + 0, 618(2, 236− 1)µ2 = 1, 764

sehingga f (1, 472) = (1, 472)2 − 4(1, 472) = −3, 721

sehingga f (1, 764) = (1, 764)2 − 4(1, 764) = −3, 939

Lanjutan Iterasi II

Karena f (λ2) > f (µ2)

α2 = a3 = 1, 472

danb2 = b3 = 2, 236

Lanjutan Iterasi II

α2 = a3 = 1, 472

danb2 = b3 = 2, 236

Iterasi III

a3 = 1, 472, b3 = 2, 236λ3 = a3 + (1− α)(b3 − a3)λ3 = 1, 472 + (1− 0, 618)(2, 236− 1, 472)λ3 = 1, 764

µ3 = a3 + α(b3 − a3)µ3 = 1, 472 + 0, 618(2, 236− 1, 472)µ3 = 1, 944

sehingga f (1, 764) = (1, 764)2 − 4(1, 764) = −3, 944

sehingga f (1, 944) = (1, 944)2 − 4(1, 944) = −3, 997

Iterasi III

a3 = 1, 472, b3 = 2, 236λ3 = a3 + (1− α)(b3 − a3)λ3 = 1, 472 + (1− 0, 618)(2, 236− 1, 472)λ3 = 1, 764

µ3 = a3 + α(b3 − a3)µ3 = 1, 472 + 0, 618(2, 236− 1, 472)µ3 = 1, 944

sehingga f (1, 764) = (1, 764)2 − 4(1, 764) = −3, 944

sehingga f (1, 944) = (1, 944)2 − 4(1, 944) = −3, 997

Iterasi III

a3 = 1, 472, b3 = 2, 236λ3 = a3 + (1− α)(b3 − a3)λ3 = 1, 472 + (1− 0, 618)(2, 236− 1, 472)λ3 = 1, 764

µ3 = a3 + α(b3 − a3)µ3 = 1, 472 + 0, 618(2, 236− 1, 472)µ3 = 1, 944

sehingga f (1, 764) = (1, 764)2 − 4(1, 764) = −3, 944

sehingga f (1, 944) = (1, 944)2 − 4(1, 944) = −3, 997

Iterasi III

a3 = 1, 472, b3 = 2, 236λ3 = a3 + (1− α)(b3 − a3)λ3 = 1, 472 + (1− 0, 618)(2, 236− 1, 472)λ3 = 1, 764

µ3 = a3 + α(b3 − a3)µ3 = 1, 472 + 0, 618(2, 236− 1, 472)µ3 = 1, 944

sehingga f (1, 764) = (1, 764)2 − 4(1, 764) = −3, 944

sehingga f (1, 944) = (1, 944)2 − 4(1, 944) = −3, 997

Iterasi III

a3 = 1, 472, b3 = 2, 236λ3 = a3 + (1− α)(b3 − a3)λ3 = 1, 472 + (1− 0, 618)(2, 236− 1, 472)λ3 = 1, 764

µ3 = a3 + α(b3 − a3)µ3 = 1, 472 + 0, 618(2, 236− 1, 472)µ3 = 1, 944

sehingga f (1, 764) = (1, 764)2 − 4(1, 764) = −3, 944

sehingga f (1, 944) = (1, 944)2 − 4(1, 944) = −3, 997

Lanjutan Iterasi III

α3 = a4 = 1, 764

danb3 = b4 = 2, 236

Lanjutan Iterasi III

α3 = a4 = 1, 764

danb3 = b4 = 2, 236

Iterasi IV

a4 = 1, 764, b4 = 2, 236λ4 = a4 + (1− α)(b4 − a4)λ4 = 1, 764 + (1− 0, 618)(2, 236− 1, 764)λ4 = 1, 944

µ4 = a4 + α(b4 − a4)µ4 = 1, 764 + 0, 618(2, 236− 1, 764)µ4 = 2, 055

sehingga f (1, 944) = (1, 944)2 − 4(1, 944) = −3, 997

sehingga f (2, 055) = (2, 055)2 − 4(2, 055) = −3, 997

Iterasi IV

a4 = 1, 764, b4 = 2, 236λ4 = a4 + (1− α)(b4 − a4)λ4 = 1, 764 + (1− 0, 618)(2, 236− 1, 764)λ4 = 1, 944

µ4 = a4 + α(b4 − a4)µ4 = 1, 764 + 0, 618(2, 236− 1, 764)µ4 = 2, 055

sehingga f (1, 944) = (1, 944)2 − 4(1, 944) = −3, 997

sehingga f (2, 055) = (2, 055)2 − 4(2, 055) = −3, 997

Iterasi IV

a4 = 1, 764, b4 = 2, 236λ4 = a4 + (1− α)(b4 − a4)λ4 = 1, 764 + (1− 0, 618)(2, 236− 1, 764)λ4 = 1, 944

µ4 = a4 + α(b4 − a4)µ4 = 1, 764 + 0, 618(2, 236− 1, 764)µ4 = 2, 055

sehingga f (1, 944) = (1, 944)2 − 4(1, 944) = −3, 997

sehingga f (2, 055) = (2, 055)2 − 4(2, 055) = −3, 997

Iterasi IV

a4 = 1, 764, b4 = 2, 236λ4 = a4 + (1− α)(b4 − a4)λ4 = 1, 764 + (1− 0, 618)(2, 236− 1, 764)λ4 = 1, 944

µ4 = a4 + α(b4 − a4)µ4 = 1, 764 + 0, 618(2, 236− 1, 764)µ4 = 2, 055

sehingga f (1, 944) = (1, 944)2 − 4(1, 944) = −3, 997

sehingga f (2, 055) = (2, 055)2 − 4(2, 055) = −3, 997

Iterasi IV

a4 = 1, 764, b4 = 2, 236λ4 = a4 + (1− α)(b4 − a4)λ4 = 1, 764 + (1− 0, 618)(2, 236− 1, 764)λ4 = 1, 944

µ4 = a4 + α(b4 − a4)µ4 = 1, 764 + 0, 618(2, 236− 1, 764)µ4 = 2, 055

sehingga f (1, 944) = (1, 944)2 − 4(1, 944) = −3, 997

sehingga f (2, 055) = (2, 055)2 − 4(2, 055) = −3, 997

Lanjutan Iterasi IV

α4 = a5 = 1, 944

danb4 = b5 = 2, 236

Lanjutan Iterasi IV

α4 = a5 = 1, 944

danb4 = b5 = 2, 236

Iterasi V

a5 = 1, 944, b5 = 2, 236λ5 = a5 + (1− α)(b5 − a5)λ5 = 1, 944 + (1− 0, 618)(2, 236− 1, 944)λ5 = 2, 055

µ5 = a5 + α(b5 − a5)µ5 = 1, 944 + 0, 618(2, 236− 1, 944)µ5 = 2, 124

sehingga f (2, 055) = (2, 055)2 − 4(2, 055) = −3, 997

sehingga f (2, 124) = (2, 124)2 − 4(2, 124) = −3, 985

Iterasi V

a5 = 1, 944, b5 = 2, 236λ5 = a5 + (1− α)(b5 − a5)λ5 = 1, 944 + (1− 0, 618)(2, 236− 1, 944)λ5 = 2, 055

µ5 = a5 + α(b5 − a5)µ5 = 1, 944 + 0, 618(2, 236− 1, 944)µ5 = 2, 124

sehingga f (2, 055) = (2, 055)2 − 4(2, 055) = −3, 997

sehingga f (2, 124) = (2, 124)2 − 4(2, 124) = −3, 985

Iterasi V

a5 = 1, 944, b5 = 2, 236λ5 = a5 + (1− α)(b5 − a5)λ5 = 1, 944 + (1− 0, 618)(2, 236− 1, 944)λ5 = 2, 055

µ5 = a5 + α(b5 − a5)µ5 = 1, 944 + 0, 618(2, 236− 1, 944)µ5 = 2, 124

sehingga f (2, 055) = (2, 055)2 − 4(2, 055) = −3, 997

sehingga f (2, 124) = (2, 124)2 − 4(2, 124) = −3, 985

Iterasi V

a5 = 1, 944, b5 = 2, 236λ5 = a5 + (1− α)(b5 − a5)λ5 = 1, 944 + (1− 0, 618)(2, 236− 1, 944)λ5 = 2, 055

µ5 = a5 + α(b5 − a5)µ5 = 1, 944 + 0, 618(2, 236− 1, 944)µ5 = 2, 124

sehingga f (2, 055) = (2, 055)2 − 4(2, 055) = −3, 997

sehingga f (2, 124) = (2, 124)2 − 4(2, 124) = −3, 985

Iterasi V

a5 = 1, 944, b5 = 2, 236λ5 = a5 + (1− α)(b5 − a5)λ5 = 1, 944 + (1− 0, 618)(2, 236− 1, 944)λ5 = 2, 055

µ5 = a5 + α(b5 − a5)µ5 = 1, 944 + 0, 618(2, 236− 1, 944)µ5 = 2, 124

sehingga f (2, 055) = (2, 055)2 − 4(2, 055) = −3, 997

sehingga f (2, 124) = (2, 124)2 − 4(2, 124) = −3, 985

Lanjutan Iterasi V

Karena f (µ5) > f (λ5)

µ5 = b6 = 2, 124

dana5 = a6 = 1, 944

Lanjutan Iterasi V

Karena f (µ5) > f (λ5)

µ5 = b6 = 2, 124

dana5 = a6 = 1, 944

Iterasi VI

a6 = 1, 944, b5 = 2, 124λ6 = a6 + (1− α)(b6 − a6)λ6 = 1, 944 + (1− 0, 618)(2, 124− 1, 944)λ6 = 2, 013

µ6 = a6 + α(b6 − a6)µ6 = 1, 944 + 0, 618(2, 124− 1, 944)µ6 = 2, 055

sehingga f (2, 013) = (2, 013)2 − 4(2, 013) = −4

sehingga f (2, 055) = (2, 055)2 − 4(2, 055) = −3, 997

Iterasi VI

a6 = 1, 944, b5 = 2, 124λ6 = a6 + (1− α)(b6 − a6)λ6 = 1, 944 + (1− 0, 618)(2, 124− 1, 944)λ6 = 2, 013

µ6 = a6 + α(b6 − a6)µ6 = 1, 944 + 0, 618(2, 124− 1, 944)µ6 = 2, 055

sehingga f (2, 013) = (2, 013)2 − 4(2, 013) = −4

sehingga f (2, 055) = (2, 055)2 − 4(2, 055) = −3, 997

Iterasi VI

a6 = 1, 944, b5 = 2, 124λ6 = a6 + (1− α)(b6 − a6)λ6 = 1, 944 + (1− 0, 618)(2, 124− 1, 944)λ6 = 2, 013

µ6 = a6 + α(b6 − a6)µ6 = 1, 944 + 0, 618(2, 124− 1, 944)µ6 = 2, 055

sehingga f (2, 013) = (2, 013)2 − 4(2, 013) = −4

sehingga f (2, 055) = (2, 055)2 − 4(2, 055) = −3, 997

Iterasi VI

a6 = 1, 944, b5 = 2, 124λ6 = a6 + (1− α)(b6 − a6)λ6 = 1, 944 + (1− 0, 618)(2, 124− 1, 944)λ6 = 2, 013

µ6 = a6 + α(b6 − a6)µ6 = 1, 944 + 0, 618(2, 124− 1, 944)µ6 = 2, 055

sehingga f (2, 013) = (2, 013)2 − 4(2, 013) = −4

sehingga f (2, 055) = (2, 055)2 − 4(2, 055) = −3, 997

Iterasi VI

a6 = 1, 944, b5 = 2, 124λ6 = a6 + (1− α)(b6 − a6)λ6 = 1, 944 + (1− 0, 618)(2, 124− 1, 944)λ6 = 2, 013

µ6 = a6 + α(b6 − a6)µ6 = 1, 944 + 0, 618(2, 124− 1, 944)µ6 = 2, 055

sehingga f (2, 013) = (2, 013)2 − 4(2, 013) = −4

sehingga f (2, 055) = (2, 055)2 − 4(2, 055) = −3, 997

Tabel:

Interval dimana x∗ terletak [1, 944, 2, 124]Estimasi x∗

x∗ = ak +

(bk − ak

)= 1, 944 +

(0, 18

)= 2, 034 ≈ 2

Tabel:

x∗ = ak +

(bk − ak

)= 1, 944 +

(0, 18

)= 2, 034 ≈ 2

Tabel:

x∗ = ak +

(bk − ak

)= 1, 944 +

(0, 18

)= 2, 034 ≈ 2

Tabel:

x∗ = ak +

(bk − ak

)= 1, 944 +

(0, 18

)= 2, 034 ≈ 2

tugas metode numerik golden ratio pendidikan matematika umt

Science