turunan parsial - dwipurnomoikipbu's blog · web viewjika x = 0, z = 0 maka y = 3, hal ini...
TRANSCRIPT
BAB ITURUNAN PARSIAL
1.1 Fungsi dua peubah atau lebih Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk
eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam
bentuk eksplisit, maka penulisannya secara umum dinyatakan
dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dua peubah
dinyatakan dalam bentuk implisit, maka penulisannya dinyatakan
dalam bentuk F(x,y,z) = 0.
Contoh:1. z = 2x + y2. z = ln
3. z = 1 – 2
4. xy + xz – yz = 05. xy - e = 0
6. ln = 0
7. arc tan - 2z = 0
Pada contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit adalah pada contoh 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan tetapi tidak semua fungsi dalam bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit.
Untuk menggambar fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x, sumbu y, dan
Kalkulus Peubah Banyak- 1
sumbu z, sehingga pada sumbu tersebut membentuk ruang dan masing-masing ruang disebut oktan .Oktan I adalah ruang dengan x>0, y>, dan z>0Oktan II adalah ruang dengan x>0, y<0, dan z>0Oktan III adalah ruang denganx<0, y<0, dan z>0Oktan IV adalah ruang dengan x<0, y>0, dan z>0Oktan V adalah ruang dengan x>0, y>, dan z<0Oktan VI adalah ruang dengan x>0, y<0, dan z<0Oktan VII adalah ruang denganx<0, y<0, dan z<0Oktan VIII adalah ruang dengan x<0, y>0, dan z<0Berdasarkan oktan-oktan tersebut, dapat digambarkan sebarang titik P(x ,y ,z ) atau kurva ruang dengan persamaan z =F(x,y)Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas P(x ,y ,z ) adalah sebarang titik pada oktan I, dengan menggunakan kaidah dan teorema Pythagoras dapat ditentukan panjang OP sebagai
Kalkulus Peubah Banyak- 2
OP = Dengan cara yang sama, jika P(x ,y ,z ) dan Q(x2,y2,z2) maka panjang PQ dinyatakan dengan PQ = Selanjutnya, misal z = F(x,y) maka dapat ditentukan gambar kurva ruang. ContohDalam ruang dimensi tiga (R ) gambarlah kurva ruang z = 12 – 3x –4yUntuk menggambar kurva ruang dengan persamaan z =F(x,y) langkah yang ditempuh adalah menentukan titik potong kurva dengan masing-masing sumbu.Jika x = 0 dan y = 0 maka z = 12, hal ini berarti kurva ruang memotong sumbu z di titik (0,0.12)Jika y = 0, z = 0 maka x = 4, hal ini berarti kurva ruang memotong sumbu x dititik (4,0,0).Jika x = 0, z = 0 maka y = 3, hal ini berarti kurva ruang memotong sumbu y dititik (0,3,0).Sehingga diperoleh:
Kalkulus Peubah Banyak- 3
Gambar tampak di atas, adalah kurva ruang di oktan I. Kurva ruang di oktan yang lain dibayangkan sebagai ruang maya.Sebagai latihan bagi pembaca, gambarlah kurva ruang dengan persamaan:1) z = 1- x2 – y2
2) z = 1 – y3) z = 2 – x 4) 3z + 3y + 4z = 365) z = 1 – x2
6) z = 4 – y2
1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua atau lebih Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y.
Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:
1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.
Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.Definisi Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y
dinotasikan dengan dan dan didefinisikan oleh
=
dan
Kalkulus Peubah Banyak- 4
=
Asalkan limitnya ada.
Contoh :Tentukan turunan parsial pertama dari a. z = Jawab
=
= = .
= = =
= =
=
Kalkulus Peubah Banyak- 5
= = .
=
= =
= =
b. z = Sin (x+y)Jawab
=
=
=
= 2
= cos (x+y+ )
= cos (x+y+ )
Kalkulus Peubah Banyak- 6
= 2 cos (x+y)(1)(1/2) = cos (x+y)
=
=
=
= 2
= cos (x+y+ )
= cos (x+ )
= 2 cos (x+y)(1)(1/2) = cos (x+y)
Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat dilakukan dengan menggunakan metode sederhana sebagai
berikut. Andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan sama
artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk
menentukan sama artinya dengan menurukan variable y dan
variable x dianggap konstant lalu diturunkan.
Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan
Kalkulus Peubah Banyak- 7
parsial pertama dinyatakan dengan , dan yang secara
berturut didefinisikan oleh:
Asalkan limitnya ada.Contoh:
1. Ditentukan F(x,y,z) = xyz + 2 tan
Carilah turunan parsial pertamanya. Dengan metode sederhana didapat
a. +
= yz -
b. +
= xz -
c.
Untuk latihan para pembaca tentukan turunan persial fungsi-fungsi di bawah ini:1. z = ln 2. z = 36 – x2 – y2
Kalkulus Peubah Banyak- 8
3. z = 3 -
4. z = xy2 – 2x2 + 3y3
5. z = arc tan
6. F(x,y,z) = xy – yz + xz7. F(x,y,z) = 8. F(x,y,z) = sin (xy) – 2e
9. F(x,y,z) = arc sin
Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n, untuk n 2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi.Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya.Jadi andaikan z = F(x,y) maka:
Turunan parsial tingkat dua adalah
Demikian pula, jika W = F(x,y,z)Turunan parsial tingkat dua adalah
Demikian seterusnya. Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus m , dimana m banyaknya variabel dan n menunjukkan turunan ke-nContoh
Tentukan dan dari fungsi berikut:
1. z =
Jawab
Kalkulus Peubah Banyak- 9
Dari z = , diperoleh
=
=
Sehingga
=
=
=
Dan =
=
=
2. z =
3. z = sin 3x cos 4y 4. z = ln 5. z = 36 – x2 – y2
6. z = 3 -
7. z = xy2 – 2x2 + 3y3
Kalkulus Peubah Banyak- 10
8. z = arc tan
9. F(x,y,z) = sin (xy) – 2e
10. F(x,y,z) = arc sin
d. Differensial TotalMisal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan
terhadap variable x dan y, maka diperoleh turunan parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-turut dinotasikan dengan
------------- (1) dan
------------- (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
dan
Jumlah diferensialnya diperoleh:
+
Bentuk di atas disebut diferensial total.Dengan demikian jika z = F(x,y), maka diferencial totalnya hádala
dz = +
AnalogJika W = F(x,y,z) maka turunan parsialnya hádala
dW =
Contoh.1. Dengan menggunakan diferensial total, hitunglah
Kalkulus Peubah Banyak- 11
a)JawabLangkah pertama yang harus ditetapkan fungsinya, dalam hal W = Pilih x = 2, y = 2 dan z = 1 sehingga W = = 3 Karena akan dihitung maka: x + = 2,01 sehingga x + = 1,99 sehingga x + = 0,97 sehingga dengan menggunakan definisi diferensial total W = F(x,y,z) maka
dw =
=
=
= -0,01Akhirnya diperoleh = 3 + (-0,01) = 2,99
b)c) Suatu tempat berbentuk kotak dengan dimensi 2,02 m,
1,97 m, dan 0,99 m. Dengan menggunakan differensial tentukan panjang diagonal ruang kotak tersebut.
2. Jika r = dengan x = panjang sisi yang pendek, y = panjang sisi yang panjang
Differensial total
dr =
dimana dr , dx , dx
Kalkulus Peubah Banyak- 12
didapat
=
=
=
= cm
e. Turunan Total Misal z = F(x,y) dan F dapat diturunkan (differensiable), dan
misalkan x = x(t) dan y = y(t), x dan y juga fungsi-fungsi yang dapat diturunkan dengan satu peubah, Maka z = F(x,y) adalah fungsi satu peubah, sehingga:
dz = +
karena x =x(t) dan y=y(t) dapat diturunkan maka dapat ditentukan
sehingga
= +
Bentuk di atas dinamakan turunan total z = F(x,y) dengan x = x(t) dan y = y(t).Catatan
Pengertian ganda z, x, dan y pada = +
Kalkulus Peubah Banyak- 13
Pada , z berarti F(x(t),y(t)). Sedangkan , z berarti
f(x,y). Pada .
Andaikan z = F(x,y) adalah fungsi yang dapat diturunkan, dan misalkan x = x (r,s) dan y = y(r,s) adalah fungsi dua peubah dan dapat diturunkan,
maka diferencial totalnya adalah dz = +
Karena x = x(r,s) dan y = y(r,s) dan dapat diturunkan, maka dapat
ditentukan dan
Sehingga turunan total z = F(x,y) dengan x = x(r,s), dan y = y(r,s) adalah
Contoh1. Suatu tempat berbentuk silinder (tabung) dengan jari-jari
alasnya 15 cm dan tingginya 20 cm. Karena pemuaian, tinggi slinder bertambah 0,5 cm/det dan jari-jarinya berkurang 1 cm/det. Hitunglah perubahan yang terjadi terhadap volume dan luas permukaan silinder.
Jawab. Misal jari-jari tabung r, tinggi h dan volume I, maka I = I = I(r,h)
Diketahui r = 15 cm, h = 20, ,
Dengan definisi turunan totalI = I(r,h) dengan r dan h bergantung pada waktu t, maka diperoleh
Kalkulus Peubah Banyak- 14
= 2
f. Turunan Parsial Fungsi ImplisitTurunan parsial fungsi juga dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan fungsi implisit. Misal f(x,y) = 0 adalah fungsi implisit maka untuk menentukan turunan parsialnya dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah diferensial total.Karena F(x,y) = 0, maka dF(x,y) = d(0)Sehingga
= 0
Dengan membagi masing-masing bagian dengan dx, diperoleh:
Contoh
1. Tentukan f(x,y) = xy-ex sin y = 0
akan dicari , menurut definisi turunan total
=
=
Kalkulus Peubah Banyak- 15
= -
1. Tentukan f(x,y) = ln(x - arc tan = 0
=
=
=
=
= -
Sebagaimana telah dibahas sebelumnya bahwa fungsi dua peubah secara implisit dinyatakan dengan F(x,y,z) = 0.Contoh lah 1. xy + yz + xz = 0
2. exy – sin
3. x2 + y2 + z2 – 25 = 0
Turunan Fungsi Implisit 2 Peubah Fungsi Implisit 2 peubah secara umum dinyatakan dalam bentuk f(x,y,z) =0
Kalkulus Peubah Banyak- 16
Dengan menggunakan diferensial total Andaikan W = F(x,y,z) maka dF(x,y,z) = d(0)
Dengan menurunkan terhadap x dan menentukan diperoleh
Dengan menurunkan terhadap z dan menentukan diperoleh
Dengan menurunkan terhadap y dan menentukan diperoleh
Kalkulus Peubah Banyak- 17
Sehingga turunan pertama fungsi implisit f(x,y,z) = 0 adalah
Contoh
1. Tentukan dari xy + yz + xz = 0
Jawab Karena f(x,y,z) = xy + yz + xz
Maka dan , sehingga menurut
definisi turunan fungsi implisit 3 peubah
= -
2. Tentukan dari exyz – zsin
Jawab
Karena f(x,y,z) = exyz – zsin
Maka dan
, sehingga menurut definisi turunan
fungsi implisit 3 peubah
Kalkulus Peubah Banyak- 18
= -
3. Tentukan dari x2 + y2 + z2 – 25 = 0
Jawab Karena f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 – 25 = 0
Maka dan , sehingga menurut
definisi turunan fungsi implisit 3 peubah
= -
= -
Turunan parsial fungsi 4 peubahBentuk umum fungsi 4 peubah dinyatakan dengan
Atau ditulis dalam bentuk F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v) = 0Dimana variable x sejenis dengan y (berpasangan) dan variable u sejenis dengan v dan F(x,y,u,v) = 0 serta G(x,y,u,v) = 0 tidak dapat berdiri sendiri. Karena u dan v sejenis maka tidak dapat
dicari atau dan tidak dapat pula dicari atau
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.
Kalkulus Peubah Banyak- 19
Contoh 1.Atau ditulis dengan x+y + 2uv = 0, x2.3. dan seterusnya.Turunan Parsial dilakukan dengan menggunakan metode substitusi.Dalam F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v)= 0, u,v variabel sejenis, x,y
variabel sejenis sehingga tidak dapat ditentukan .
Sehingga turunan parsialnya adalah dan seterusnya.
Untuk menentukan turunan parsial 4 peubah, langkah ditempuh adalah menurunkan fungsi terhadap peubah yang dimaksud.Contoh:
1. Tentukan dari
x+y2 +2uv = 0 dan x2-xy+y2+u2+v2 = 0 didapat
1 -----à 1
atau
2x ----à 2
2x-0-y+0+2u atau 2u
Setelah di eliminasi didapat
=
x+y2 +2uv = 0 dan x2-xy+y2+u2+v2 = 0 didapat
Kalkulus Peubah Banyak- 20
diturunkan terhadap (yang tidak boleh
1 atau
1 ----- (1)
2x atau
------- (2)
Berdasarkan persamaan (1) dan (2), dengan metode eliminasi diperoleh
1 ................................... . (2y-x)
…………. (2y)
Didapat
(2y-x) 1
--------------------------------------------------------------- -
[(2y-x)-(2x-y)(2y)] = -2v(2y-x)+2u(2y)
Diperoleh
=
2. Cari turunan parsial pertama dari dan dari persamaan
, dan
Kalkulus Peubah Banyak- 21
1) Mencari Persamaan 1)
….(1)
Persamaan 2)
.... (2)
dikali
dikali
Maka,
Kalkulus Peubah Banyak- 22
2) Mencari Persamaan 1)
….(1)
Persamaan 2)
…(2)
dikali
dikali
Maka,
Kalkulus Peubah Banyak- 23
Jadi, , dan
Turunan Parsial Fungsi 6 peubah.Bentuk Umumnya
u,v,dan w variable sejenis, sehingga tidak dapat ditentukan hasil
dstnya.
x,y, dan z variable sejenis, sehingga tidak dapat ditentukan hasil
dstnya
Contoh fungsi 6 peubah:
Atau
1. Tentukan dari
JawabPersamaan diturunkan terhadap u dan diperoleh
1 - ............................(1)
Kalkulus Peubah Banyak- 24
0 – 2x – 2y – 2z = 0 ..............(2)
0 – 3x – 3y – 3z = 0 ...........................(3)
Karena akan dicari maka eliminasikan dari
persamaan (1), (2) dan (3)
Dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi diperoleh:
1 - x 2y 2y – 2y - 2y -2y =
0
– 2x – 2y – 2z = 0 x 1 – 2x – 2y – 2z =
0
(2x-2y) + (2z-2y)
= -2y ........(4)
Dari (1) dan (3) dengan mengeliminasi diperoleh:
1 - x 3y 3y - 3y
– 3x – 3y – 3z = 0 x 1 – 3x – 3y – 3z
= 0
(3x + (3z2-
3y2) = -3y2 ..(5)
Selanjutnya eliminasi dari persamaan (4) dan (5) diperoleh:
Kalkulus Peubah Banyak- 25
(2x-2y) + (2z-2y) = -2y x 3(z+y)
(3x + (3z2-3y2) = -3y2 x 2
6(x-y)(z+y) + (2z-2y)(3z+3y) = -6y(z+y)
2(3x + 2(3z2-3y2) = -6y2
{6(x-y)(z+y)}-{ 2(3x } = -6y(z+y) + 6y2
Sehingga:
=
=
2. Tentukan dari
JawabPersamaan diturunkan terhadap w dan diperoleh
0- ............................(1)
0 – 2x – 2y – 2z = 0 ..............(2)
1 – 3x – 3y – 3z = 0 ...........................(3)
Karena akan dicari maka eliminasikan dari
persamaan (1), (2) dan (3)
Dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi diperoleh:
- --------------- x (2x) -2x
Kalkulus Peubah Banyak- 26
– 2x – 2y – 2z = 0 ----- x (1) – 2x – 2y – 2z =
0
(2y-2x) +(2z-2x)
= 0 ......(4)
Selanjutnya dari (1) dan (3) dengan mengeliminasi diperoleh:
- ....................... x (3x ) -3x
1 – 3x – 3y – 3z = 0 .. x (1) – 3x – 3y – 3z
=-1
(3y + (3z -3x
) = 1 ...(5)
Selanjutnya eliminasi dari persamaan (4) dan (5) diperoleh:
(2y-2x) +(2z-2x) = 0 ........... x 3(y+x)
(3y + (3z -3x ) = 1....x 1
3(y+x)(2y-2x) +3(y+x)(2z-2x) = 0
(3y + (3z -3x ) = 1
{3(y+x)(2z-2x)}-{ (3z -3x )} = -1
Kalkulus Peubah Banyak- 27
Sehingga:
=
=
Soal-soal.cari
1. Carilah dari fungsi
2. Carilah
3.4.5.6.7.8.9.10.
11.
Kalkulus Peubah Banyak- 28
Kalkulus Peubah Banyak- 29