BAB II FUNGSI DAN LIMITNYA

2.1 Fungsi dan Grafiknya Misal A = {a1,a2, a3, a4, a5}, B = {b1, b2, b3, b4, b5} adalah dua

himpunan yang anggotanya berhingga, maka dapat dibuat hubungan (relasi) antara himpunan A dan B, seperti gambar berikut.

Andaikan A dan B anggotanya tidak berhingga, maka dapat dibuat garis real dalam bentuk sumbu koordinat X dan Y. Semua titik pada sumbu X disebut domain (daerah asal alamiah) sedang semua titik pada sumbu Y yang mempunyai pra peta di A disebut renge.

Definisi:Fungsi adalah suatu aturan korespondensi satu-satu yang menghubungkan setiap objek x dalam suatu himpunan, yang disebut daerah asal (domain) dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan yang kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (range).Untuk memberi nama suatu fungsi digunakan simbol berupa f atau F. Maka f(x) dibaca “fungsi f pada x”. Hal ini menunjukkan nilai yang diberikan oleh fungsi f terhadap nilai x.Jadi secara umum jika f : A -> B adalah fungsi f dari disebut Range.Untuk menentukan daerah asal dan daerah hasil statu fungsi secara lengkap kita harus menyatakan, disamping aturan yang bersesuian daerah asal fungsi. Misalnya jika f adalah fungsi dengan aturan f(x) = x + 1 maka daerah asal alamiah (domain) f(x) adalah semua bilangan real dan daerah hasil (range) adalah semua bilangan real. f(x) = x + 1 daerah asal alamiahnya semua bilangan real karena untuk setiap x bilangan real f(x) mempunyai nilai. Contoh Tentukan daerah asal alamiah dan Range dari:1. f(x) =

Jawab Daerah asal alamiah (D) = {x|x < 1} = (-Daerah hasil (R) = {y|x 0 } = [0,

2. f(x) =

Jawab Daerah asal alamiah (D) = R – {-1,1}Daerah hasil (R) = R – {0}

3. f(x) = Jawab Daerah asal alamiah (D) = [-1,1]

Daerah hasil (R) = [0,1]

4. f(x)

Jawab Daerah asal alamiah (D) = (1, )Daerah hasil (R) = (0,1)

Catatan Misal f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang terdefinisi pada interval tertentu dalam R, 1. Jika f(x) = f(-x) maka f(x) disebut fungsi genapContoha. f(x) = x adalah fungsi ganjil karena f(-x) = (-x) -(-x) = x

b. f(x) = adalah fungsi genap

c. f(x) = 6 adalah fungsi genap

2. Jika –f(x) = f(-x) maka f(x) disebut fungsi ganjilContoh a. f(x) = x adalah fungsi ganjil

b. f(x) = adalah fungsi ganjil

3. jika f(x) = f(-x) = -f(x) maka f(x) disebut fungsi genap dan ganjilContoh a. f(x) = 0 fungsi genap dan ganjil karena f(x) = 0, -f(x) = -0 = 0 dan

f(-x) = 0 sehingga f(x) = f(-x) = -f(x)

4. jika f(x) maka f(x) disebut fungsi tidak genap tidak ganjil.Contoh a. f(x) = 1 – x adalah fungsi bukan genap dan bukan ganjilb. f(x) = x - x adalah fungsi bukan genap bukan ganjil

c. f(x) = adalah bukan fungsi genap bukan fungsi ganjil.

2.2 Operasi Pada Fungsi

Sepertihalnya dengan bilangan, fungsi dapat dioperasikan

dengan tanda operasi pada bilangan. Operasi tersebut adalah +

(jumlah), - (selisih), : (pembagian), dan . (perkalian).

Misal f(x) dan g(x) dua fungsi yang terdefinisi pada suatu selang,

maka operasinya adalah:

1. f(x) + g(x) = (f+g)(x)

2. f(x) – g(x) = (f-g)(x)

3. f(x) x g(x) = (fxg)(x)

4.

5. = = f (x)

Selain operasi di atas, dua fungsi atau lebih dapat

dikomposisikan. Jika fungsi f mempunyai daerah hasil f(x) dan fungsi

g mempunyai daerah definisi g(f(x)). Maka dapat dikatakan kita telah

mengkomposisikan g(x) dengan f(x). Fungsi yang dihasilkan disebut

komposisi fungsi g dengan fungsi f dan dinotasikan dengan gof,

sehingga

(gof)(x) = g(f(x)).

Dengan cara yang sama kita juga dapat melakukan komposisi

f(x) dengan g(x). Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi fungsi f

dengan fungsi g dan dinotasikan dengan fog, sehingga

(fog)(x) = f(g(x)).

Contoh

1. f(x) = , g(x) = 2 +

a. f(x) + g(x) = + (2 + )

b. f(x) - g(x) = - (2 + )

c. f(x). g(x) = ( )(2 + )

d. f(x) : g(x) = ( ):(2 + )

2. f(x) = 1- x , g(x) = 1 -

a. (fog)(x) = f(g(x))

= 1 – ( 1 - )

=

b. (gof)(x) = g(f(x))

= 1-

Berdasarkan a dan b (fog)(x) (gof)(x)

3. f(x) = , g(x) =

a. (fog)(x) = f(g(x))

=

b. (gof)(x) = g(f(x))

=

=

=

Berdasarkan a dan b (fog)(x)

Soal-soal 1. Tentukan daerah definisi dan daerah hasil dari fungsi berikut:

a) f(x) = 1- ,

b) g(x) =

c) f(x) = ,

d) g(x) = 1- x

e) f(x) = ,

f) (x) = x

g) f(x) = x2 + 4,

e. g(x) =

2. Tentukan daerah definisi (f+g)(x), (f-g)(x), (f.g)(x), dan ) jika:

a. f(x) = 1- , g(x) =

b. f(x) = , g(x) = 1- x

c. f(x) = , g(x) = x

d. f(x) = x2 + 4, g(x) =

e. f(x) = , g(x) =

3. Tentukan (fog)(x) dan (gof)(x) jika

a. f(x) = 1- , g(x) =

b. f(x) = , g(x) = 1- x

c. f(x) = , g(x) = x

d. f(x) = x2 + 4, g(x) =

e. f(x) = , g(x) =

2.3 Fungsi Trigonometri

Pada gambar di atas, ABC adalah sebarang segitiga yang salah satu sudutnya dan siku-siku pada CBA. Dengan memisalkan AB = x, BC = y dan AC = r. maka berdasarkan segitiga tersebut terdapat 6 perbandingan sisi-sisi segitiga (goniometri) yaitu:

Karena = maka perbandingan tersebut dinyatakan dengan:

1. sin =

2. cos =

3. tan = y

4. cot =

5. sec

6. csc

Karena ABC salah satu sudutnya siku-siku, maka menurut teorema Pitágoras berlaku:

Selanjutnya secara berurutan membagi persamaan dengan r2, x2 dan y2 diperoleh persamaan baru

1.

2.

3.

Persamaan (1), (2), dan (3) di atas dinamakan rumus identitas. Selanjutnya berdasarkans perbandingan tersebut dapat dibuat beberapa humus tentang fungsi trigonometri.Perhatikan gambar berikut ini.

Pada gambar di atas terdapat 4 segitiga siku-siku, yaitu

dan diketahui . sehingga

Berdasarkan diperoleh perbandingan panjang sisi

Sin dengan UP = PS + SU

Karena maka SU = UT cos Karena PS = QT dan karena siku-siku di maka OQ = OT cos dan QT = OT sin Karena siku-siku di maka OT = OU cos dan UT = OU sin

Karena

Sin

sin ( =

=

=

=

= .

Sehingga diperoleh rumus sin ( + ) = ............ (4)

Dengan cara yang sama diperoleh:

cos , OP = OQ – PQ

Karena maka SU = UT cos Karena PQ = ST dan karena siku-siku di maka ST = SU sin Karena siku-siku di maka OT = OU cos dan UT = OU sin Karena siku-siku di maka OQ = OT cos dan QT = OT sin

Karena

cos

cos ( =

=

=

=

=

Sehinggda diperoleh rumus cos ( + ) = ............ (5)Berdasarkan (4) dan (5) dapat ditentukan rumus lainSin ( = sin ( = = = ...........(6)Cos ( = cos ( = = = ...........(7)

=

Persamaan di atas dibagi dengan cos , diperoleh:

=

=

=

Sehingga tan = .................... (8)

=

Persamaan di atas dibagi dengan cos , diperoleh:

=

=

=

Sehingga tan = .................... (9)

Beberapa rumus fungsi trigonometri yang lain adalah:1.2.3.

4.

5.

6.7.

8.

9.

10.

11.

12.

Bukti rumus di atas ditinggalkan oleh penulis untuk menjadi latihan bagi pembaca. Soal-soal1. Selidiki fungsi berikut genap, ganjil, bukan genap ataupun ganjil

a. f(x) = cos x + sin xb. f(x) = sec xc. f(x) = cos (sin t) d. f(x) = sine. f(x) = xf. f(x) =

2. Buktikan kesamaan berikut.

a. (1+ sinx)(1- sinx) =

b. (sec x-1)(sec x +1) = tanc. sec x – sin x cos x = cos x

d.

e. sin

f. cos 3y = 4 cosg. sin 4s = 8 sin s cosh. (1+ cos x)(1- cos x) = sin

i.

j. (1 - cosk. sin t(csc t – sin t) = cos

l.

.

2.4 Limit Fungsi 1 Teorema

1. 4.

2. 5.

dengan 3. , c = konstanta 6.

2 Bentuk Tak Tentu

Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu :1. Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya

ada dan tertentu, misalnya : 63

04, .

2. Bentuk tak terdefinisi : yaitu bentuk yang tidak mempunyai nilai, misalnya : 5

0

3. Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarang, misalnya : 0

0 1, , ,

Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentuk menjadi bentuk tertentu.

3 Limit Fungsi Aljabar

Jika diketahui fungsi f(x) dan nilai f(a) terdefinisi, maka lim ( ) ( )x a

f x f a

Contoh : 1. lim( ) ( ( ))x

x x

3

2 22 3 2 3 9 6 15

2. lim ( )x

x xx

0 5 70 0

5 0 707

2 2 0Berikut ini akan dibahas limit Limit Fungsi Aljabar Bentuk Tak Tentu yaitu : 0

0 1, ,

dan .

3.1 Bentuk 00

Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya, kemudian “mencoret” faktor yang sama, lalu substitusikan nilai x = a.

Catatan :1. Karena xa, maka (xa) 0 sehingga pembilang dan

penyebut boleh dibagi dengan (x a)2. Nilai limitnya ada dengan syarat : Q(a) 03. Jika pembilang atau penyebutnya memuat bentuk akar,

maka sebelum difaktorkan dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya.

Contoh :1. lim lim lim( )( )

( )( )x

x xx x

x xx x x

xx

3

5 69 3

3 23 3 3

23

3 23 3

16

2

2

2. lim lim( )( ) ( )x

x x xx x x

x x xx x x x

x xx x

0

54 2

54 2 0

54 2

0 0 50 4 0 2

52

3 2

3 2

2

2

2

2

2

2

3.

lim lim lim ( ) ( )

( )x

x xx x x

x xx

x x

x x x

x x

x x x

1

3 5 1

1

3 5 11

3 5 1

3 5 1 1

3 5 1

1 3 5 1

2

2

2

2

2

2

2

2 2

lim lim lim( )

( )( )

( )( )

( )

( )x

x x

x x x x

x x

x x x x x

x

x x x

1

5 4

1 3 5 1 1

1 4

1 1 3 5 1 1

4

1 3 5 1

2

2 2 2 2

1 4

1 1 4 43

2 2 23

838

( ) ( )

3.2 Limit Bentuk

Limit ini dapat diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi, kemuadian digunakan rumus : lim

x

ax 0 .

Contoh :1.

2.

3.

Kesimpulan:Jika f x a x a x an n

n( ) ..... 0 1

1

g x b x b x bm mm( ) .....

0 11

maka: 1. lim ( )( )x

f xg x

ab

0

0 untuk n = m

2. lim ( )( )x

f xg x

0 untuk n < m 3. lim ( )

( )x

f xg x

atau - untuk n > m

4. limx

x x xx x x

2 76 2 8

26

13

5 4 3

5 3 2 (kesimpulan (1))

5. limx

x x xx x x

10 8 7

12 5 22 312

0 (kesimpulan (2))

6. limx

x xx x x

3 6 22 7

7 4

6 4 3 (kesimpulan (3))

3.3 Limit Bentuk

Limit ini umumnya memuat bentuk akar:

Cara Penyelesaian :1. Kalikan dengan bentuk sekawannya !

2. Bentuknya berubah menjadi

3. Selesaikan seperti pada (2.4.2)

Contoh:1.

2.

Secara umum:

1) b qa

2 jika a = p

2) jika a > p 3) - jika a < p

3.4.5.

3.4 Limit Bentuk 1

Definisi :

Dari definisi dapat dibuktikan teorema berikut :1.

pangkat tertinggi pembilang 1, pangkat tertinggi penyebut 1, sebab

pangkat tertinggi pembilang 2, pangkat tertinggi penyebut 1.

x bilangan real

2.

Contoh :

1.

2.

3.

4 Limit Fungsi Trigonometri

Teorema : 1. lim limsin

sinx

xx x

xx

0 0

1

2. lim limtantanx

xx x

xx

0 0

1

Untuk keperluan praktis teorema tersebut dapat dikembangkan menjadi:

Seperti pada fungsi aljabar, maka pada fungsi trigonometri juga berlaku bahwa jika f(a) terdefinisi, maka: lim ( ) ( )

x af x f a

Contoh :1. lim sin cos sin cos

xx x

02 0 0 0 1 1

2.Berikut ini akan dibahas limit Fungsi Trigonometri bentuk tak tentu yaitu : 0

0 0, , . .4.1 Limit Bentuk 0

0

1.

2.

3.

4.2 Limit Bentuk Limit bentuk dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk 0

0 .Contoh :

4.3 Limit Bentuk 0.

Limit bentuk 0. dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk 0

0 .Contoh :

5 Limit Deret Konvergen

Definisi : Deret Geometri Konvergen adalah deret geometri dengan rasio (pembanding) : 1 < r < 1.Teorema :

S : jumlah tak hingga suku deret geometri konvergena : U1 : suku pertamar : rasio, yaitu r U

U 2

1

Contoh :1. Hitung jumlah tak hingga deret geometri berikut :

a) 2 1 12

14 ..... b) 3 1 1

319 .....

Jawab : a) S ar 1

21

212

12

4 b) S ar 1

31

3 941

343

( )

2. Hitung limit berikut :a) b)

Jawab : a) lim ...n

arn

1 1

41

161

4 11

1431

4

b)

3. Ubahlah menjadi pecahan biasa !a) 0,6666 ..... b) 0,242424 .....Jawab : a) 0,6666 ..... = 0,6 + 0,06 + 0,006 + .....

b)0,242424 ..... = 0,24 + 0,0024 + 0,000024 +

4. Jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 12, jumlah suku-suku bernomor genap adalah 4. Tentukan rasio dan suku pertama deret itu !Jawab : S a

r 12 121 ...... (1)U2 + U4 + U6 + ... = 4ar + ar3 + ar5 + ... = 4

arr

ar

rr1 1 12 4 4

...... (2)

Persamaan (1) : ar

a a1 112 12 61

2

Rasio = 12 dan suku pertama = 6

5. Diketahui sebuah bujursangkar dengan sisi 10 cm. Titik tengah keempat sisinya dihubungkan sehingga terbentuk bujursangkar kedua. Titik tengah keempat sisibujursangkar kedua dihubungkan lagi sehingga terbentuk bujursangkar ketiga, demikian seterusnya. Hitunglah jumlah luas semua bujursangkar itu !

Jawab : RD C

S Q

52

52

55 P BA

Luas bujursangkar I = AB x AD = 10 x 10 = 100 cm2.Luas bujursangkar II = PQ x PS = 52 x 52 = 50 cm2.Rasio luas = 50

10012

6 Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi

Definisi : Fungsi f(x) dikatakan kontinu (sinambung) di x = a jika dan hanya jika lim ( ) ( )

x af x f a

.

Dari definisi terlihat ada tiga syarat fungsi f(x) kontinu di x = a, yaitu :1. f(a) terdefinisi (ada)2. lim ( )

x af x

terdefinisi ada3. lim ( ) ( )

x af x f a

Apabila satu di antara ketiga syarat itu tidak dipenuhi, maka fungsi f(x) diskontinu (tak sinambung) di x =a.

Perhatikan gambar berikut :

Contoh :1. Tunjukkan bahwa fungsi kontinu di x = 1

Jawab : 1) f ( )1 1 1 3 12 f(1) terdefinisi2) lim ( )

xf x

1 terdefinisi

y

f(a)f(x)

xa

f(x) kontinu di x = a, sebab

1.

y

f(a)

f(x)

xa

f(x) diskontinu di x = a,sebab tidak ada

2.

f(x) diskontinu di x = a, sebab f(a)

y

f(a)f(x)

xa

3.

3) lim ( ) ( )xf x f

11 Jadi fungsi f x x x( ) 2 3 kontinu di x =1.

2. Selidiki apakah fungsi f x xx( )

2 93

kontinu di x = 3

Jawab : 1) f ( )3 3 93 3

00

2

(tidak terdefinisi)

Karena f(3) tak terdefinisi, maka f(x) diskontinu di x = 3

3. Selidiki apakah fungsi

kontinu di x = 2

Jawab : 1) f(1) = 4 (terdefinisi)2)

(terdefinisi)3) , berarti f(x) disko

2.5 Teorema Limit

2.6 Limit di Tak Hingga dan Limit Tak Hingga

2.7 Kekontinuan Fungsi

2.8 Soal-soal