tutorijal_14_-u_15._sedm.-_iz_im1_-2014_-2015-

Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu

Labor omnia facit. [Rad čini sve.]

(Latinska izreka)

Tutorijal 14 (u petnaestoj sedmici u akademskoj 2014/2015. godini)

G L A V A 9

PRIMJENE INTEGRALNOG RAČUNA

G L A V A 10

REDOVI FUNKCIJA

Predviđeno je da se kroz tutorijal iz Inženjerske matematike 1 (IM1), pod vođenjem i pratnjom

tutora, rješavaju i drugi zadaci u odnosu na one čija je izrada data kroz predavanja predmetnog nastavnika

(s ciljem da studenti ovladaju pojmovima, instrumentima i metodama uvedenim tokom predavanja),

uključujući i određene zadatke s prethodnih ispitnih rokova. Ove aktivnosti organizuju se tako da se već

tokom izvođenja programskih sadržaja, kroz domaće zadaće i parcijalne ispite, kontinuirano provjerava

stepen pripremljenosti svakog od studenata koji slušaju kurs IM1 da ovlada znanjima i vještinama koje

treba postići u okviru ovog kursa.

U smislu realizacije cilja i zadataka Tutorijala 14 (za petnaestu sedmicu) izvođenja kursa IM1,

određeni su zadaci (koji se preporučuju za preradu prije i/ili u vrijeme časova tog tutorijala):

Zad. 1. Izračunajte površinu lika ograničenog krivom xey x sin ( 0x ) i njenom asimptotom.

(Zadatak 1.16. na str. 125 i rješenje na str. 125 i 126 u [Dragičević, V. - Fatkić, H., Određeni i

višestruki integrali, II glava].)

Zad. 2.* U presječnim tačkama prave 1 xy i parabole 542 xxy povučene su tangente

na parabolu. Odredite površinu lika ograničenog parabolom i tangentama.

(Zadatak 1.19. (i rješenje) na str. 128 u [Dragičević, V. - Fatkić, H., Određeni i viš. int., II glava].)

Zad. 3. U tačkama presjeka prave 0y i parabole 42 xy povučene su normale na parabolu.

Nađite površinu lika omeđenog parabolom i dobivenim normalama.



Zad. 4. Izračunajte površinu lika ograničenog krivim čije su jednačine u polarnim koordinatama:

a) 3 2cos ; b) 2 (jednačina kružnice), odnosno 3cos ;

c) 1

, odnosno 1

sin

, ( 0

2

); d) sin odnosno .

(Zadatak 1.25. na str. 131 i 132 i rješenje na str. 132-135 u [Dragičević, V. - Fatkić, H., Određeni i


Zad. 5. Nađite površinu lika ograničenog krivom, zadanom u parametarskom obliku:

a) 22x t t , 2 32y t t ; b) 2cos cos2x t t , 2sin sin 2y t t .



1 od 5

Zad. 6. Izračunajte dužinu luka krivih linija:

a) 21 1ln

4 2x y y , (1 y e ); b) ln cosy x , ( 0

2x a

);

c) 4cosx t , 4siny t ; d) 5sin5

r a

, ( 0a ); gdje su i r polarne koordinate.

(Zadatak 2.14. na str. 148 i rješenje na str. 148-150 u [Dragičević, V. - Fatkić, H., Određeni i


Zad. 7. Zadana je jednačina kružnice 2 2 2( ) ( )x a y b r . Odredite površinu obrtne površi koja

nastaje rotacijom zadane kružnice oko ose Ox.

(Zadatak 3.7. na str. 158 i rješenje na str. 158-160 u [Dragičević, V. - Fatkić, H., Određeni i


Zad. 8.* Izračunajte površine obrtnih površi koje nastaju rotacijom krivih datih analitički sa:

a) ( sin )x a t t , (1 cos )y a t oko prave 2y a ;

b)* 2 2y x , (luk između presječnih tačaka sa pravom 2y x ) oko prave 2y x ;

(Zadatak 9.4.1. na str. 14 u [Predavanje 14 iz IM1]; zad. 9.4.2. na str. 301 u [Fatkić, univ. udžb.];

c) 2 2 cos2a oko ose 4

.


višestruki integrali, II glava];)

Zad. 9. Izračunajte zapreminu obrtnog tijela koje nastaje obrtanjem lika ograničenog krivim datim

analitički sa:

a) 3 2y x , 0y , 1x oko: 1° ose Ox; 2° ose Oy;

b)* 21 y

yx

(x između apscise prevojne tačke i xmax), oko ose Oy.

(Zadatak 4.1. b) i h) na str. 370 i rješenje na str. 371 i 373 u [Dragičević, V. - Fatkić, H., Određeni i


Zad. 10. Izračunajte zapreminu obrtnog tijela koje nastaje obrtanjem lika:

a) xyxyxS 24:),( oko prave : 0l x y ;

b) )20()cos1(0)sin(:),( ttayttaxyxS oko prave : 2l y a ;

(Zadatak 4.2. (i rješenje) na str. 374 u [Dragičević, V. - Fatkić, H., Određeni i višestruki integrali, II

glava].)

Zad. 11. Funkcija ( )x zadana je formulom

22 1

0

2( ) (1 cos )(1 cos cos )x x x t dt

.

a) Skicirajte grafike funkcija: ( )x , 1( ( ) )x i ( )x .

b) Nađite zapreminu tijela koje nastaje rotacijom luka krive ( )x oko x -ose na segmentu

0, / 2 .

(Zadatak 2. na str. 251 i 252 i rez. na str. 265 u [Fatkić, H. - Dragičević, V., Dif. račun funk. dviju i

više promjenljivih].)

2 od 5

Zad. 12. Kriva C dana je jednačinom )2(4 22 xaaxy , gdje je a R . Izračunajte:

1) Zapreminu tijela koje nastaje rotacijom oko x -ose luka krive C od prevojne tačke do

tačke presjeka sa x -osom,

2) površinu ograničenu lukom krive C i tetivom koja spaja prevojne tačke.

(Zadatak 3. na str. 252, sa ispita od 2. IX 1989. i dr., i uputa na str. 266 u [Fatkić, H. - Dragičević, V.,

Dif. račun funk. dviju i više promjenljivih].)

* * * * * * * * * *

Zad. 13. Ispitajte ravnomjernu konvergenciju reda

1

2

1

))12(1(3n

n xn ,

a zatim odredite nN tako da bude 01,0)( xRn

za svako 0x ( ( )nR x ostatak datog reda).

(Zadatak 6. na str. 246 i rješenje na str. 260 u [Fatkić, H. - Dragičević, V., Dif. račun funk. dviju i


Zad. 14. Zad ana je funkcija

2 1

1

( ) ( )n

n

f t t n

.

a) Nađite oblast definiranosti zadane funkcije.

b) Ispitajte neprekidnost zadane funkcije.

(Zadatak 6. na str. 248 i rješenje na str. 262 u [Fatkić, H. - Dragičević, V., Dif. račun funk. dviju i


Zad. 15. Koristeći osobinu integriranja stepenog/potencijalnog reda član po član, nađite sumu reda

1 2 2

1

( 1) ( )

2 1

n n

n

x

n

.

(Zadatak 5. na str. 252 i uputa na str. 265 u [Fatkić, H. - Dragičević, V., Dif. račun funk. dviju i više

promjenljivih].)

Zad. 16. Zadana je funkcija f formulom

5 2 1

1

( ) (1 )n

f x nx n x

.

Ispitajte integrabilnost zadane funkcije f , a zatim nađite funkciju F iz R u R za koju je

0

( ) ( )

x

F x f t dt .

(Zadatak 10.3.1. na str. 21 u [Predavanje 14 iz IM1]; zad. 10.3.1. na str. 311 u [Fatkić, univ. udžb.];

zad. 6. na str. 253, sa ispita od 3. IX 1989. i dr.; (Uputa na str. 267), u [Fatkić, H. - Dragičević, V.,

Dif. račun funk. dviju i više promjenljivih].)

Zad. 17.* Funkcija f iz R u R zadana je formulom

2

1

1( )

n

n

f x xn

.

1) Odredite domen i ispitajte neprekidnost zadane funkcije f.

2) Ispitajte ograničenost i integrabilnost zadane funkcije f (na njenom domenu).

3 od 5

(Zadatak 6. na str. 258, sa ispita od 12. V 1990, u [Fatkić, H. - Dragičević, V., Dif. račun funk. dviju

i više promjenljivih]; Uputa: Dio po 1) je Zad. 6. sa ispita od 1.IV 1989, čije je rješenje urađeno na str. 262.).

Zad. 18. Ispitajte običnu i uniformnu konvergenciju niza (un) funkcija zadanih formulom

( )1

n

nxu x

n x

za 0,1x . (Zadatak 178. na str. 16 u [Miličić – Ušćumlić, II].)

Zad. 19. Koristeći Cauchyev kriterijum ispitajte uniformnu konvergenciju reda 2

1

( 1)( )n x n x n

,

0,x a . (Zadatak 186. na str. 17 u [Miličić – Ušćumlić, II].)

Zad. 20. Koristeći Weierstrassov test pokažite da red 4 2

1 1n

nx

n x

uniformno konvergira na intervalu

( , )x . (Zadatak 195. na str. 17 u [Miličić – Ušćumlić, II].)

Zad. 21. Da li se može diferencirati član po član red 2

1

sin

n

nx

n

, ( ,2 )x .

(Zadatak 217. na str. 18 i odgovor na str. 458 u [Miličić – Ušćumlić, II].)

Zad. 22. * Nađite oblast definisanosti funkcije

12

0 1

1

12

)1()(

n

n

n

x

x

nxf .

(Zadatak 239. na str. 20 i rezultat na str. 458 u [Miličić – Ušćumlić, II].)

Zad. 23. Nađite oblast definisanosti funkcije 2

1

!( ) tgn

nn

nf x x

a

( 1a ).

(Zadatak 241. na str. 20 i rezultat na str.458 u [Miličić – Ušćumlić, II].)

Zad. 24. Razložite funkciju xa

xf

1

)( ( 0a ) u red po: 1° stepenima od x ; 2° stepenima od

( x b ), ( a b ); 3° stepenima od x

1. U svim slučajevima odredite oblast konvergencije dobijenih

redova. (Zadatak 246. na str. 21 i rezultat na str. 458 u [Miličić – Ušćumlić, II].)

Zad. 25.* Razlaganjem podintegralne funkcije u stepeni red po x izračunajte integral

1

0

ln(1 )xdx

x

,

znajući da je 2

21

1

6n n

. (Mod. zad.10.4.1. na str. 23 u [Predavanje 14 iz IM1]; zad. 10.4.1. na str.

313 u [Fatkić, univ. udžb.]; zad. 301. na str. 23 i rezultat na str.460 u [Miličić – Ušćumlić, II].)

Zad. 26. Neka je 1

1

( ) n

n

f x n x

( R ).

1° Odredite interval konvergencije zadanog reda i ispitajte njegovu konvergenciju na

krajevima intervala.

2° Dokažite da je 1( ) ( )d

f x xf xdx

.

(Zadatak 309. na str. 24 i rezultat na str 462 u [Miličić – Ušćumlić, II].)

4 od 5

Napomene: 1. Predviđeno je da tutor provjeri da li studenti znaju: definicije sljedećih pojmova: površina figure (lika) u

ravni, dužina luka krive, zapremina obrtnog tijela, površina obrtne površi; funkcionalni niz,

funkcionalni red, uniformna konvergencija funkcionalnog niza i reda, stepeni red, poluprečnik i interval

konvergencije stepenog reda i Taylorov red, kao i formulacije formula za izračunavanje površine lika,

dužine luka, zapremine obrtnog tijela i površine obrtne površi, te da provjeri da li su studenti ovladali

osnovnim tehnikama iz oblasti: Primjene određenih integrala u geometriji i Redovi funkcija.

2.

2. Predviđeno je da tutor izradi pred studentima (na tabli) gore navedene zadatke koji su označeni

zvjezdicom (*) a koje studenti nisu mogli samostalno riješiti (koristeći upute i rezultate u naznačenoj

referenci i uz pomoć ostale preporučene literature i materijala za predavanja iz IM1 u akademskoj

2014/2015. godini). Ostali ovdje formulirani zadaci su za samostalno vježbanje.

3. Za rješenja zadataka ili neke dodatne informacije studenti i tutori za predmet IM1 mogu kontaktirati

Predmetnog nastavnika.

………………………………………………..@.....................................................................

5 od 5

tutorijal_14_-u_15._sedm.-_iz_im1_-2014_-2015-

Documents