två löst kopplade system
DESCRIPTION
A. B. Två löst kopplade system. Två system, isolerade från omgivningen , sluten mot varandra , Energi (vibrationsquanter) kan transfereras , men inte materie (oscillatörer). Vi antar att systemen har samma N. Energi. = 0 när q A =q. = 0 när q A =q/2.TRANSCRIPT
![Page 1: Två löst kopplade system](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813b6f550346895da476fb/html5/thumbnails/1.jpg)
Två löst kopplade system
A BEnergi
Två system, isolerade från omgivningen, sluten mot varandra, Energi (vibrationsquanter) kan transfereras, men inte materie(oscillatörer). Vi antar att systemen har samma N.
N
AA
eqN,q
N
N
BB
eqN,q
N
![Page 2: Två löst kopplade system](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813b6f550346895da476fb/html5/thumbnails/2.jpg)
N N
A BA B
A B
A B
2N 2N 2N 2N
N N N 2 N
A B A B A A A A
2N
2 N 1
A A A
A
A
A
eq eqN,q N,q
N N
q q q
N,q N,q
e e e e(q q ) (q q ) (q (q q )) ( q q q ))
N N N N
eN,q max 0 N( q q q )) ( 2q q) 0
q N
q q min
q
q
max2
= 0 när qA=q = 0 när qA=q/2
![Page 3: Två löst kopplade system](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813b6f550346895da476fb/html5/thumbnails/3.jpg)
2NN
A B
A B max
N2N 2
2
N 2 22 2 2
2
22
e(q q )
Nq q
q x q x at : x 02 2
e qx
N 2
q q 2x q 2xln x N ln 1 N ln N ln 1
2 2 q 2 q
q 2xN ln
2 q
2N
2 2 2N ln(q / 2) N(2x / q) N(2x / q)
max
ee e e
N
<1
![Page 4: Två löst kopplade system](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813b6f550346895da476fb/html5/thumbnails/4.jpg)
2N(2x / q)
max A
2N
max
qe q x
2
qx
2
e
När alla quantor finns i System A gäller:
1.) Exponentialfaktorn är mycket hög avtar snabb med x
2.) Troligheten att alla quanter finns i system A är nästan oförställ- bar liten.
3.) Det är mycket troligt att ett system finns i tillståndet med högsta multiplicitet.
Med N = 6 1023 ?
Det är möjlig att värmen (mängden av quanter) transfereras från kylan till hettan fast det är väldigt mycket otroligt. Multipliciten tenderar att öka.
Därifrån följer :
![Page 5: Två löst kopplade system](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813b6f550346895da476fb/html5/thumbnails/5.jpg)
x
L
Lp
p
Multiplicitet av en monoatomisk ideal gas
Hur många skiljbara positioner och rörelsemängd (0<mv<mvmax)kan jag har för en gasatom i en bestämd volym och maximal rörelse-mängd i en monodimensional box ?
x p
p
x p
p p
3
LL
x p
x p h
LL VV
h h
I 3 dimensioner
![Page 6: Två löst kopplade system](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813b6f550346895da476fb/html5/thumbnails/6.jpg)
2 2 2 2 2 2
x y z x y z
2 2 2
x y z
3
N
N 3N
1 1U m(v v v ) (p p p )
2 2mp p p 2mU
V(hypersphere area with R 2mU )
h1 V
(hypersphere area A)N! h
px
pz
py
R 2mU )
Faktor från utbyte av partikler
1
2 1
2
=
3
34
4
Med N partikler
2
( N 1)
3N 1
(3N) (3N)
A 4R
A C R
![Page 7: Två löst kopplade system](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813b6f550346895da476fb/html5/thumbnails/7.jpg)
N3N 1
N (3N)3N
R R R R
3N 1
p 1 2 3N (3N)
R R R 0
R R3N2 2 2 2p p ....p 3N 1 R1 2 3N
1 (3N)
0 R 0
3N2 2p 3N 1 RN
N (3N)
0 0
3N / 2
(3N) (3N)
1 VA A C R
N! h
V dp dp ...... dp C R dR
dp e C R e dR
R e dp C R e dR
1 3N 2C 1 ! C
2 2
3N / 2
3N1 !
2
Multiplicera bådasidor med
2 2 2 2p p ... p R1 2 Ne e
![Page 8: Två löst kopplade system](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813b6f550346895da476fb/html5/thumbnails/8.jpg)
N
N 3N
3N / 23N 1
N 3N / 2 N 3N / 23N 1 3N
N 3N 3N
N 3N / 2
N
1 VA
N! h2
A R och R 2muU3N
1 !2
1 V 2 1 V 22mU 2mU
3NN! h N! h 3N / 2 !1 !
2
f (N)V U
![Page 9: Två löst kopplade system](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813b6f550346895da476fb/html5/thumbnails/9.jpg)
Expansion av en ideal gasi vakuum
Vi låter en gas expandera till en dubbelt så stor volym
V 2V
Hur stor är sannolikheten att gasen komprimera sig frivilligttill volym V ?
![Page 10: Två löst kopplade system](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813b6f550346895da476fb/html5/thumbnails/10.jpg)
V2V?
Med N = 6 1023 ?
N 3N / 2NV
N 3N / 2
2V
f (N)V UW 2
f (N)(2V) U
![Page 11: Två löst kopplade system](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813b6f550346895da476fb/html5/thumbnails/11.jpg)
0.99VV?
Uppgift(Schroeder 2.27)
Hur stor är troligheten att en gas med volym V ockuperar bara 99 %av volymen som står till sitt förfogande, om gasen har 100, 1000 och10000 atomer ?
![Page 12: Två löst kopplade system](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813b6f550346895da476fb/html5/thumbnails/12.jpg)
Lösning(Schroeder 2.27)
N 3N / 2NV
N 3N / 2
2V
5
44
f (N)(0.99V) UW 0.99
f (N)V U
N 100, W 0.367
N 1000, W 4,3 10
N 10000, W 2,2 10
![Page 13: Två löst kopplade system](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813b6f550346895da476fb/html5/thumbnails/13.jpg)
Entropi
Vi har sett att både fastakropp och gaser sträver efter ett tillståndmed högsta multiplicitet. Som mått för multiplicitet definieras entropi (S) efter Boltzmanns formel:
S = k lnBoltzmanns grav i Wien
![Page 14: Två löst kopplade system](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813b6f550346895da476fb/html5/thumbnails/14.jpg)
Egenskaper av entropi
S = k ln
1.) Om multipliciteten är 1 (vi tillåter bara en konfiguration i systemet), är entropin 0
2.) Entropin för två olika system är summan av entropin av delsystemen.
A B A B
A B A B A B A BS k ln k ln k ln S S
3.) Entropin är aldrig negativ
![Page 15: Två löst kopplade system](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813b6f550346895da476fb/html5/thumbnails/15.jpg)
Entropi av fast kropp
Neq
N
eq qS k ln kNln Nk 1 ln
N N
Gäller för q>>N
Vi vet från Einsteinmodellen:
![Page 16: Två löst kopplade system](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813b6f550346895da476fb/html5/thumbnails/16.jpg)
N 3N / 2 3N
3N
N 3N3N / 2
3N
3 / 23 / 2
2 3 / 2
3 / 2 3 / 2
2
3 / 2
2
1 V 22mU
N! h 3N / 2 !
3N Vln ln N! ln( )! ln 2 ln 2mU
2 h
3N 3N 3N 1N ln N N ln( ) N ln V N ln 2mU
2 2 2 (h )
V 5N 3N 2mUN ln N ln N ln
N 2 2 h
5 V 4 mUN ln
2 N 3Nh
3 / 2
2
5 V 4 mUS k ln Nk ln
2 N 3Nh
Entropi av en ideal gas
det skiter vi i
Sackur-Tetrodeekvation
![Page 17: Två löst kopplade system](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813b6f550346895da476fb/html5/thumbnails/17.jpg)
mix ( N in mixture) (CO in mix ) ( N2) (CO)2
( N ) (CO)2
( N ) (CO)2
S S S m m
N xN N (1 x)N
U xU U (1 x)U
CO
Entropi av gasblandning
N2
VxV
(1-x)V
N2 + CO
Vi antar:
![Page 18: Två löst kopplade system](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813b6f550346895da476fb/html5/thumbnails/18.jpg)
3 / 23 / 2
före 2 2
(CO)
3 / 2
före 2
5 xV 4 mxU 5 (1 x)V 4 m(1 x)US Nxk ln N(1 x)k ln
2 xN 3xNh 2 (1 x)N (1 x)3Nh
5 V 4 mxU 5S Nxk ln x ln N(1 x)k ln(1 x)
2 Nx 3Nxh 2
3 / 2
2
(CO)
3 / 2
före 2
3 / 2
2
mix
V 4 m(1 x)Uln
N(1 x) 3N(1 x)h
5 V 4 mxUS Nkx ln x Nk(1 x) ln(1 x) Nxk ln
2 Nx 3Nxh
5 V 4 m(1 x)UN(1 x)k ln
2 N(1 x) 3N(1 x)h
S Nx
3 / 23 / 2
2 2
mix före
5 V 4 mxU 5 V 4 m(1 x)Uk ln N(1 x)k ln
2 Nx 3Nxh 2 N(1 x) 3N(1 x)h
S S S Nkx ln x Nk(1 x) ln(1 x) Nk x ln x (1 x) ln(1 x)
Vid blandning gäller 0<x<1, därför är S alltid positiv.
=
![Page 19: Två löst kopplade system](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813b6f550346895da476fb/html5/thumbnails/19.jpg)
Blandningar med flera komponenter
1 1 2 2
K
i i
i
S Nk x ln x (1 x)ln(1 x)
Nk(x ln x x ln x )
S Nk x ln x
Utvidning till flera komponenter:
![Page 20: Två löst kopplade system](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813b6f550346895da476fb/html5/thumbnails/20.jpg)
N2 N2
2VV V
Blandning av identiska gaser
Vid blandning av olikagaser växer totala entropin
Blandning av identiska gaser leder inte tillentropitillväxt.
Entropin ökar medoordningen.
3 / 2
mixture 2
3 / 2
2
5 2V 4 m2US 2Nk ln
2 2N 3 2Nh
5 V 4 mU2Nk ln
2 N 3Nh
2S(gas before mixing)
![Page 21: Två löst kopplade system](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062517/56813b6f550346895da476fb/html5/thumbnails/21.jpg)
Gibbs paradoxon
Vid blandning av olika gaser växer totala entropin
Blandning av identiska gaser leder inte till entropitillväxt.
Vid identiska gaser kan man återställa termodynamiska tillståndet
före blandning: Partikler är oskiljbara, utbyte gör ingen ändring av
system.
Om man inte dividerar genom N !funkar det inte, då leder blandningav identiska gaser vid sammatryck till entropiökning
J.W. Gibbs