Kapitola R2

Typy rotačných plôch

Priamkové, cyklické a kvadratické rotačné plochy

1

Podľa druhu čiary, ktorá rotuje okolo osi rotácie, môžeme vytvoriť nasledujúce typy

rotačných plôch:

1) Priamkové rotačné plochy – čiara je priamka.

2) Cyklické rotačné plochy – čiara je kružnica.

3) Kvadratické rotačné plochy – čiara je kužeľosečka a otáča sa okolo svojej osi.

4) Všeobecné rotačné plochy – čiara je ľubovoľná krivka.

V tejto kapitole sa venujeme priamkovým, cyklickým a kvadratickým rotačným plochám.

2

1) Priamkové rotačné plochy

3

1) Priamkové rotačné plochy

Priamková rotačná plocha vznikne rotáciou priamky p okolo osi rotácie o,

pričom priamky p a o nie sú totožné ani navzájom kolmé.

Ak je priamka p rovnobežná s osou o, tak rotáciou vznikne rotačná valcová plocha.

Ak je priamka p rôznobežná s osou o, tak rotáciou vznikne rotačná kužeľová plocha.

Ak je priamka p mimobežná s osou o, tak rotáciou vznikne jednodielny rotačný hyperboloid.

o o o

p p

p

Rotačná valcová plocha Rotačná kužeľová plocha Jednodielny rotačný hyperboloid

Mészárosová,Tereňová

4

DWFx

Shin Takamatsu

Kunibiki Messe

Shimane, Japonsko

1993

http://ojisanjake.blogspot.com/2010/06/atrium-at-kunibiki-messe.html

Valcová a kužeľová plocha

5

http://xahlee.org/surface/hyperboloid1/hyperboloid1.html

Jednodielny rotačný hyperboloid – aplikácie v dizajne

Poznámka: Jednodielny rotačný hyperboloid vznikne aj

rotáciou hyperboly okolo svojej vedľajšej osi (pozri v ďalšej

časti tejto kapitoly).

6

http://www.momastore.org/museum/moma/ProductDisplay_Satell

ite%20Bowl_10451_10001_49586_-1_26669_26673_47604

http://www.archispass.org/index.php?s=mre

Jednodielny rotačný hyperboloid

Gerber Architekten

Burj Al-Taqa – Energy Tower

Návrh stavby

7

2) Cyklické rotačné plochy

8

2) Cyklické rotačné plochy

Cyklická rotačná plocha vzniká rotáciou kružnice k so stredom S okolo osi rotácie o,

pričom kružnica k neleží v rovine kolmej na os rotácie o.

Ak os rotácie leží v rovine kružnice k a prechádza bodom S, tak rotáciou vznikne guľová plocha.

Ak os rotácie leží v rovine kružnice k a neprechádza bodom S, tak rotáciou vznikne anuloid.

Ak os rotácie neleží v rovine kružnice k, tak rotáciou vznikne globoid.

o

k S

Guľová plocha

Anuloid

Globoid

o = z

k

S

x

y o = z

k

S

x

y

Tereňová

9

DWFx

Shin Takamatsu

Business center

Tbilisi

http://www.takamatsu.co.jp/en/project_detail.php?id=109

Guľová plocha

10

Miroslav Hrdý

Práca študenta odboru Dizajn 2009

Guľová plocha – aplikácia v dizajne

11

Renzo Piano

Columbus International Exposition

Aquarium and Congress Hall

Janov, Taliansko

Guľová plocha

http://top-people.starmedia.com/art/renzo-piano_17206.html 12

Guľová plocha

http://bydleni.idnes.cz/naomi-campbellove-se-splnil-sen-bude-bydlet-v-oku-boha

-hora-pn3-/architektura.aspx?c=A110926_152223_architektura_web

Luis De Garrido

Eye Of Horus, Eco-House

Sedir Adasi Island, Turkey

13

Anuloid je plocha, ktorá je v technickej praxi často používaná.

Anuloid môže vzniknúť dvoma spôsobmi:

a) Anuloid vzniká rotáciou kružnice k okolo osi rotácie o, ktorá leží v rovine kružnice k, ale

neprechádza stredom S kružnice k. Stred kružnice k rotuje po kružnici s.

b) Anuloid je obalová plocha systému guľových plôch, ktoré vzniknú rotáciou guľovej

plochy G so stredom S okolo osi rotácie o, pričom S o. To znamená, že všetky guľové

plochy majú rovnaký polomer a ich stredy ležia na kružnici s.

a) b) o

k

S

o

G

s s S

Tereňová

14

Obidva spôsoby vytvorenia anuloidu spolu súvisia:

Anuloid vytvorený ako obalová plocha systému guľových plôch sa dotýka každej guľovej

plochy G práve pozdĺž tvoriacej (rotovanej) kružnice k. Guľová plocha G a kružnica k majú

spoločný stred S.

12 polôh rotovanej guľovej plochy G

a 12 polôh rotovanej kružnice k

Anuloid ako obalová plocha

a 12 dotykových kružníc k

Poznámka: Obalové plochy pozri aj v kapitole K2 Plochy.

x

z = o

y

k

x

z = o

y

k

G

Tereňová

15

DWFx

o o o

Tereňová Toroid Melonoid Axoid

a) Anuloid vzniká rotáciou kružnice k okolo osi rotácie o, ktorá leží v rovine kružnice k, ale

neprechádza stredom kružnice k.

Podľa vzájomnej polohy kružnice k a osi rotácie o rozlišujeme tri typy anuloidov:

Toroid – ak tvoriaca kružnica k nepretína os rotácie o.

Axoid – ak sa tvoriaca kružnica k dotýka osi rotácie o.

Melonoid – ak tvoriaca kružnica k pretína os rotácie o.

x1,2

o2 o2 o2 k2

k1 k1 k1

k2 k2

o1 o1 o1

x1,2 x1,2

16 DWFx

Takasaki Masaharu

Astronomical Museum

Kihoku-cho, Japan

http://binarysimulacra.files.wordpress.com/2011/01/masaharu_big.jpg

Časť anuloidu (melonoidu) – os rotácie je v šikmej polohe.

17

Mészárosová, Tereňová Poznámka: Pozri príklad R10 v kapitole R4.

x

z = o

y

x

z = o

y

Ak chceme zobraziť anuloid v kolmom premietaní, napríklad v kolmej axonometrii, výhodné je

použiť druhú možnosť vytvorenia anuloidu:

b) Anuloid je obalová plocha systému guľových plôch, ktoré majú rovnaký polomer a ich

stredy ležia na kružnici s.

x

z = o

y

S = S1

So

k

S

O

Oo

s

xo

18

o

Kráterové kružnice rozdeľujú anuloid na dve časti: vonkajšiu a vnútornú. Poznámka: Na obrázku je vonkajšia časť anuloidu znázornená fialovou farbou, vnútorná časť modrou farbou.

Body ležiace na vonkajšej časti anuloidu sú eliptické. To znamená, že dotyková rovina

anuloidu v eliptickom bode neobsahuje žiadny iný bod anuloidu. Anuloid leží v jednom

polpriestore určenom touto dotykovou rovinou.

Body ležiace na vnútornej časti anuloidu sú hyperbolické. To znamená, že dotyková rovina

anuloidu v hyperbolickom bode pretína anuloid v krivke, pre ktorú je tento bod dvojnásobným

bodom. Anuloid leží v oboch polpriestoroch určených touto dotykovou rovinou. Poznámka: Pozri príklady 2, 4 , 5 a 10 v časti R5.3 Rovinné rezy anuloidu.

Body kráterových kružníc sú parabolické. To znamená, že dotyková rovina anuloidu

v parabolickom bode obsahuje čiaru anuloidu – kráterovú kružnicu a dotýka sa anuloidu

v bodoch tejto kráterovej kružnice.

Tereňová

Poznámka: Eliptické, hyperbolické a parabolické body pozri aj v kapitole K2 Plochy. 19

http://www.factoriaurbana.com/ciudades/torres.php?id=2&ciudadd=Barcelona

Santiago Calatrava

Telekominikačná veža Montjuic

Barcelona, Španielsko

Olypiáda 1992

Časť anuloidu

20

ŠACHOVÁ FIGÚRKA

Strelec na E5

Jana Haluzová,

Hana Matoušková,

František Roztočil

Použité plochy: rotačná valcová plocha, jednodielny rotačný hyperboloid, anuloid, rotačný

elipsoid, guľová plocha.

http://mat.fsv.cvut.cz/geometrie/galerie02.html

21

http://www.foylearts.net/ahutton/mobile/wp-content/uploads/2007/10/torus.gif

Anuloid nakreslený v perspektíve

22

3) Kvadratické rotačné plochy

23

3) Kvadratické rotačné plochy

Kvadratická rotačná plocha vzniká rotáciou kužeľosečky k okolo svojej osi.

Poznámka: Kužeľosečky sú rovinné rezy rotačnej kužeľovej plochy:

– Ak rovina rezu prechádza vrcholom kužeľovej plochy, tak rezom je singulárna kužeľosečka

(bod, priamka alebo dvojica priamok).

– Ak rezová rovina neprechádza vrcholom kužeľovej plochy, tak rezom je regulárna kužeľosečka

(kružnica, elipsa, parabola alebo hyperbola).

Kvadratické rotačné plochy rozdeľujeme na singulárne a regulárne.

Singulárne kvadratické rotačné plochy:

– Rotáciou priamky rovnobežnej s osou rotácie vznikne rotačná valcová plocha.

– Rotáciou priamky rôznobežnej s osou rotácie vznikne rotačná kužeľová plocha.

Regulárne kvadratické rotačné plochy:

– Rotáciou kružnice okolo svojej osi vznikne guľová plocha.

– Rotáciou elipsy okolo svojej hlavnej osi vznikne rotačný elipsoid predĺžený.

– Rotáciou elipsy okolo svojej vedľajšej osi vznikne rotačný elipsoid sploštený.

– Rotáciou paraboly okolo svojej osi vznikne rotačný paraboloid.

– Rotáciou hyperboly okolo svojej hlavnej osi vznikne rotačný hyperboloid dvojdielny.

– Rotáciou hyperboly okolo svojej vedľajšej osi vznikne rotačný hyperboloid jednodielny.

Poznámka: Singulárne kvadratické rotačné plochy sú priamkové plochy. Teraz sa budeme venovať

regulárnym kvadratickým rotačným plochám. 24

Guľová plocha – vznikne rotáciou kružnice k okolo svojej osi, ktorá je totožná s osou rotácie o.

Guľová plocha má jeden rovník kr, nemá hrdlovú, ani kráterovú kružnicu.

Rotáciou ľubovoľného bodu A kružnice k (A o) vznikne rovnobežková kružnica kA.

– v kolmej axonometrii

Body S a J sú priesečníky osi rotácie o s guľovou plochou.

z = o

k

kr

x

y

kA

A

z = o

k

kr

x

y

S

J

S

J

Tereňová

25

DWFx

Rotačný elipsoid predĺžený – vznikne rotáciou elipsy e okolo svojej hlavnej osi o.

z = o

e

e kr

kr

x

y

Plocha má jeden rovník kr, nemá hrdlovú, ani kráterovú kružnicu.

Rotáciou ľubovoľného bodu A elipsy e (A o) vznikne rovnobežková kružnica kA.

kA

x

y

– v kolmej axonometrii

– v Mongeovej projekcii

z = o

z2 = o2

e2

x1

y1

x2

e1

A2

A

k2 A

k2 r

k1 r

k1 A

A1

o1

Tereňová

26

DWFx

Rotačný elipsoid sploštený – vznikne rotáciou elipsy e okolo svojej vedľajšej osi o.

– v kolmej axonometrii

z = o

e

e

kr

kr

x y

kA

x y

z = o

A

z2 = o2

e2

x1

y1

x2

e1

A2

k2 A

k2 r

k1 r

k1 A

A1

o1

– v Mongeovej projekcii

Tereňová

Plocha má jeden rovník kr, nemá hrdlovú, ani kráterovú kružnicu.

Rotáciou ľubovoľného bodu A elipsy e (A o) vznikne rovnobežková kružnica kA.

27 DWFx

Rotačný paraboloid – vznikne rotáciou paraboly p okolo svojej osi o.

Poznámka: Na obrázkoch je znázornená časť rotačného paraboloidu nad pôdorysňou.

– v kolmej axonometrii

z2 = o2

p2

x1

y1

x2

p1

A2

k2 A

k1 A

A1

o1

B2

k2 B

k1 B

B1

– v Mongeovej projekcii

p

kB

kA

x

y

z = o

A

B

p

kB

x

y

z = o

B

Tereňová

Plocha nemá rovník, nemá hrdlovú, ani kráterovú kružnicu.

Rotáciou ľubovoľného bodu A paraboly p (A o) vznikne rovnobežková kružnica kA.

28

DWFx

Rotačný hyperboloid jednodielny – vznikne rotáciou hyperboly h okolo svojej vedľajšej osi o,

ale aj rotáciou priamky p, ktorá je mimobežná s osou rotácie o.

Plocha má jednu hrdlovú kružnicu kh, nemá rovník, ani kráterovú kružnicu.

Rotáciou ľubovoľného bodu A hyperboly h vznikne rovnobežková kružnica kA.

Poznámka: Na obrázkoch je znázornená časť rotačného hyperboloidu.

– v kolmej axonometrii

p

kB x y

z = o

B

kh

kC C

h q

kB x y

z = o

B

kh

kC C

h

kA A

kB x y

z = o

B

kh

kC

p q

Na ploche sa nachádzajú dve sústavy priamok. Jednu sústavu tvoria priamky, ktoré vzniknú

rotáciou priamky p. Druhú sústavu tvoria priamky súmerné s priamkami z prvej sústavy podľa

roviny hrdlovej kružnice. 29

DWFx

Rotačný hyperboloid jednodielny – vznikne rotáciou hyperboly h okolo svojej vedľajšej osi o,

ale aj rotáciou priamky p, ktorá je mimobežná s osou rotácie o.

– v Mongeovej projekcii

z2 = o2

h2

x1

y1

x2

h1

A2 k2 A

k1 A

A1

o1

B2 k2 B

k1 = B

B1 = C1

C2

k1 C

k2 C

k1 h

k2 h

z2 = o2

x1

y1

x2

o1

p2

p1 = q1

q2

k1 h

k2 h

Tereňová

30

Rotačný hyperboloid dvojdielny – vznikne rotáciou hyperboly h okolo svojej hlavnej osi o.

Plocha nemá rovník, nemá hrdlovú, ani kráterovú kružnicu.

Rotáciou ľubovoľného bodu A hyperboly h (A o) vznikne rovnobežková kružnica kA.

Poznámka: Na obrázkoch je znázornená časť rotačného hyperboloidu.

kB

x

y

z = o

B

kC

C

h

kB

x y

z = o

B

kC

C

h

A

kA

– v kolmej axonometrii – v Mongeovej projekcii z2 = o2

h2

x1

y1

x2

h1

A2 k2 A

k1 A

A1

B2 k2 B

B1 = C1

C2 k2 C

o1

k1 = B k1

C Tereňová

31

DWFx

PAUL ANDREU

National Theatre

Peking, Čína

Rotačný elipsoid sploštený

http://images.businessweek.com/ss/05/12/china_wonders/source/11.htm

32

http://www.jameslawcybertecture.com/html5/

Rotačný elipsoid predĺžený so šikmou osou

33

http://www.hodderandpartners.com/projects/corporation-street-bridge-manchester

Corporation Street Footbridge

Manchester

Jednodielny rotačný hyperboloid

s vodorovnou osou

34

http://0.tqn.com/d/architecture/1/0/1/x/MetropolitanCathedral.jpg

Oscar Niemeyer

Katedrála v Brazílii

Jednodielny rotačný hyperboloid

35

http://www.takamatsu.co.jp/en/project_detail.php?id=199

Shin Takamatsu

Meteor Plaza

Shimane, Japan

Rotačný elipsoid predĺžený s vodorovnou osou

36

http://www.takamatsu.co.jp/en/project_detail.php?id=199

Shin Takamatsu

Tamayu health spa

Shimane, Japan

Rotačný paraboloid

37

Takasaki Masaharu

Nanohanakan Senior Center

The Kagosima Community

http://backnumber.japan-architect.co.jp/english/2maga/ja/ja0065/works/047.html

Časť anuloidu (melonoidu) – os rotácie je v šikmej polohe.

Rotačný elipsoid predĺžený – os rotácie je vo vodorovnej polohe.

38