Comunicacin de datosUnidad 2. Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo (SLIT)Actividad 1. Modelos de respuestas (Introduccin)

Introduccin. Este documento contiene informacin esencial, preliminar a los ejercicios de la actividad 1 Unidad 2. En esta primera parte se realiza la introduccin a las propiedades de un sistema LTIS(Linear Time-Invariant System) o SistemaLinear e Invariante en el Tiempo. Primero se hace presentan las representaciones de sistemas de entrada libre y forzada, posteriormente, se ejemplifican con diagramas los trminos: respuesta transitoria y respuesta permanente. Se presentan ejemplos de los conceptos y finalmente se analizan grficas de entradas comunes al sistema, los cuales transforman un sistema determinado.

Respuesta de entrada cero (libre) y respuesta de estado cero (forzada) La respuesta de un sistema lineal invariante en el tiempo se puede expresar mediante una ecuacin diferencial. y(t) = yh(t) + yp(t) Donde: yh(t) Es la respuesta a entrada cero (libre) y yp(t) es la respuesta de estado cero (forzada). yh(t)yp(t)

Estructura de un sistema incremental lineal. Aqu yh(t) es la respuesta a entrada cero del sistema. Consideraremos al sistema como un modelo matemtico donde se aplican modificaciones a la seal de entrada libre o cero. yp(t) sera la solucin particular de una ecuacin que puede ser una suma o multiplicacin de ecuaciones.La respuesta de entrada cero tambin es conocida como entrada natural o solucin homognea, la cual depende de las condiciones iniciales y no de la entrada. Y la respuesta de estado cero depende de la entrada y no de las condiciones iniciales y es conocida como respuesta a estado forzada o solucin particular. Si podemos representar la entrada a un sistema LTI en trminos de una combinacin lineal de un conjunto de seales bsicas, entonces podemos utilizar la superposicin para calcular la salida del sistema en trminos de sus respuestas a estas seales bsicas.En el ejemplo 1 del documento Unidad 2. Sistemas lineales.pdf (descargable desde la plataforma) se explica parcialmente un sistema que consta de una suma de ecuaciones de diferente orden (3er, 2do y primer orden). Se describe cmo ir aproximando a la solucin, primero para obtener la solucin homognea o entrada 0, a travs de ecuaciones auxiliare; de la anterior, se encuentran sus races. En el siguiente paso es, generar nmeros imaginarios; cuando resultan races negativas, obteniendo soluciones complejas (nmeros reales e imaginarios). El siguiente diagrama demuestra un ejemplo de entrada cero (libre). Donde la funcin por s sola es la que tiene programado el sistema. Observe que despus de la igualdad es 0yh(t)

Otra variante de sistema es el de entrada cero forzada. Observe (abajo) que despus de la igualdad existe otra expresin (x2), que se interpreta como solucin particular. Cambiando al sistema y dando como resultado un yp(t)Salida+yp(t)yh(t)

2

Para encontrar la solucin al sistema de ecuaciones, depender de si el modelo es homogneo o no.Un ejemplo de ecuacin diferencial de tercer orden y homogneo (que tiene 0) sera: Zill (pg. 122)Solucin: Por inspeccin de m3 + 3m2 -4 = 0, debe resultar evidente que una raz es m1 = 1 y, por lo tanto, m -1 es un factor de m3 + 3m2 4. Al dividir encontramosm3 + 3m2 4 = (m 1) ( m2 + 4m + 4) = (m 1) (m + 2)2, As que las dems races son m2 = m3 = -2. En consecuencia, la solucin general es:y = c1ex + c2e-2x + c3xe-2xEn el caso de que la ecuacin diferencial no sea homognea, los clculos resultan de varios pasos en los que se aplican mtodos para llegar a una solucin compleja, pudiendo obtener nmeros reales, imaginarios o/y exponenciales.

Clasificacin de entradas comunes de seales para control segn el orden:1er. Orden.- son aquellas en las que el orden mayor de derivadas es uno 2do. Orden.- son aquellas en las que el orden mayor de derivadas es 2 Orden Superior.- son aquellas que tienen un orden de derivadas n siempre y cuando sea mayor a 2.Ejemplos: Notaciones vlidas:

Respuesta transitoria y respuesta permanenteLa respuesta transitoria y la respuesta permanente te van a ayudar a analizar sistemas de control, recuerda que los sistemas de control son capaces de controlar su conducta con la finalidad de lograr su objetivo. Estas respuestas forman lo que llamamos respuesta temporal de un sistema de control. La respuesta transitoria va desde el estado inicial del sistema de control hasta su estado final y la respuesta permanente representa como se va a comportar la salida del sistema. En este caso no vas a conocer la seal de entrada, pero si vas a saber cul es el objetivo que se quiere lograr con el sistema de control, por lo que debes saber cules seales de entrada pudieran ser las ms comunes para hacer el estudio de la respuesta temporal. Esto va a dar las posibles opciones de respuesta del sistema segn las variaciones de la seal de entrada.Para obtener esta respuesta vas a estar a prueba y error, ya que de acuerdo a la seal de entrada va a ser la seal que obtengamos de salida; entonces, esto nos va a permitir reconocer cul va a ser la mejor respuesta. Para identificar cul es el intervalo de una seal transitoria y cul el permanente ver siguientes ejemplos:

TransitorioPermanente Transitorio Permanente

La respuesta transitoria se refiere al comportamiento del sistema que va del estado inicial al estado final. La respuesta de estado estacionario (permanente) se refiere a la manera en la cual se comporta la salida del sistema conforme el tiempo, cuando ste tiende al infinito.La caracterstica ms importante del comportamiento dinmico de un sistema de control es la estabilidad absoluta, es decir, si el sistema es estable o inestable.

Tipos de seales ms comunes:Impulso unitarioEs el resultado de dos funciones escaln encontrado. Es una seal en un determinado punto en el tiempo. Est definida slo en un conjunto particular de instantes de tiempo.

Esta funcin corresponde a una seal aplicada a partir de que el tiempo empieza a correr por ejemplo pudiera ser la llave de paso en una instalacin de agua. Se va a activar en determinado momento y as se va a mantener. Tambin se le conoce como funcin Heaviside (en honor al matemtico Oliver Heaviside).

Escaln unitarioEsta funcin toma el valor de 0 para cualquier argumento negativo y el valor de 1 para los argumentos positivos. Tal como se ilustra en la ecuacin anterior. La magnitud de esta seal est presente constante en el tiempo como se puede observar en la siguiente imagen. Ejemplos:0, cuando t est entre 0 y a1, cuando t es igual o mayor a a

Rampa unitariaEsta funcin se utiliza para interpretar fenmenos fsicos como el llenado de una cisterna. Donde se necesita un tiempo para que la seal vaya incrementndose desde cero a su valor ajustado, en este caso uno.Una caracterstica de esta funcin es que es nula en tiempo antes de cero y comienza a crecer a partir de ese momento de forma lineal. La amplitud de esta seal vara respecto al tiempo.

ParbolaEsta funcin es resultado de la integracin de la funcin rampa, es decir si derivo la funcin parbola voy a obtener la funcin rampa y si hago una doble derivacin tendr la funcin escaln unitario, esto nos lleva a que si conozco el comportamiento de un sistema frente a la funcin escaln fcilmente poder obtener la funcin rampa y parbola.Esta seal varia tambin respecto al tiempo pero de forma cuadrtica, es decir que segn la grfica va a tomar valor en los dos ejes.

Los ejemplos de seales anteriores se pueden representar en Winplot u otro graficador, como funciones a trozos, es decir. Ver siguientes ejemplos:Ejemplo de pulso unitario:

Ejemplo de escaln unitario:

Ejemplo de seal rampa (en trozos). En el siguiente ejemplo, se inicia la funcin en 0, luego comienza la rampa hasta llegar a 1 (se convertirse en respuesta permanente). La pendiente de la funcin que hace la rampa se ver reflejada en el tiempo que le tome a la seal, llegar a 1. Por ejemplo la pendiente de la siguiente grfica es (1/2) medio y se aprecia que el tiempo que le toma llegar a 1 es 2.

Nota: En la pendiente, entre ms pequeo sea su valor, tardar ms tiempo en llegar a 1. Experimente con y=(1/3) y podr corroborar que la rampa se prolonga hasta 3.

Parbola, ejemplos:Ntese que en siempre la funcin principal x es elevada al cuadrado. Se puede agregar antes o despus valores, lo que modifica la seal, desplazndola.

12