u.3 forces gravitatÒries...sistema solar i els planetes orbiten en trajectòries circulars al...

3.1

U.3 FORCES GRAVITATÒRIES

Per tal d'il·lustrar les idees bàsiques sobre les forces estudiarem ara el cas de la primera interacció fonamental descrita en la història de la ciència: la gravetat. Es tracta d'una força universal, és a dir, present pertot arreu, a la Terra, al Sistema Solar i a tot l'Univers. Desenrotllarem els punts següents:

1. L'Univers que ens envolta 2. Models que expliquen l'Univers 3. Les lleis de Kepler 4. La llei de la Gravitació Universal de Newton 5. L'experiment de Cavendish i la massa de la Terra 6. Conseqüències de la Gravitació Universal 7. Activitats complementàries

Applets de física de la universitat de Colorado que es poden descarregar d'aquest enllaç:

https://phet.colorado.edu/es/simulations/category/physics


3.2

1. L'UNIVERS QUE ENS ENVOLTA

L'Univers és tot el que ens envolta, el que els grecs anomenaven cosmos . En el segle XXI tenim la sort de comprendre un poc millor l'Univers que ens envolta, però no sempre ha estat així. Les nostres generacions són de les primeres que han comprés la immensitat del cosmos i la gran dificultat d'entendre en el seu conjunt com es comporta i com evolucionarà. Paradoxalment som els humans actuals els qui més hem arribat a saber de l'Univers i, alhora, els qui més misteris per descobrir tenim. Tot l'Univers és en si un gran enigma. Però vegem què tenim clar, ara com ara. Per començar, repassem què sabem del nostre veïnat més pròxim: el Sistema Solar.

A.1 Exposeu les idees que tingueu sobre el Sistema Solar. Si mirem el cel nocturn podem veure diferents cossos celestes, com ara el Sol, la Lluna,

algunes estrelles (Sírius, Vega, Arcturus), alguns planetes (Venus, Mart)…

Amb l’ajut de telescopis de diferent abast i potència podem ampliar el nombre i varietat d'astres visibles des de la Terra: satèl·lits (Ganimedes, Tità…), galàxies (la Via Làctia, Andròmeda), nebuloses, planetes nans (Plutó, Eris), asteroides (Gaspra) i cometes (Halley). Finalment, els nous telescopis espacials (Hubble, Kepler) ens han informat de l'existència d'exoplanetes (Kepler-452b), planetes d'un altre sistema estel·lar fora del nostre.

Un viatge a través de l s p lanetes de l Sis t ema Solar

Fem una ullada més acurada a aquests objectes i explorem... Els p lanetes , per mitjà de la presentació següent:

http://www.slideshare.net/NeloTraver/els-planetes-2016

Després de veure la presentació potser tenim algunes preguntes per fer-nos.

A.2 Quants planetes té actualment el Sistema Solar? Des de quan s'ha establit el nombre actual de planetes i per què?

A.3 ¿Només hi ha planetes coneguts en el nostre Sistema Solar? Quina importància pot tenir saber-ho del cert?

2. MODELS QUE EXPLIQUEN L'UNIVERS

Al llarg de la història les diferents cultures han elaborat models que explicaren fenòmens tan quotidians com la repetició de les fases de la Lluna, l'aparició diària del Sol, els cicles climàtics o estacions, etc., i es va fer necessari establir patrons de mesura del temps, com el calendari, fonamental per a organitzar la vida de les persones, predir les èpoques adequades per a obtenir bones collites i controlar altres esdeveniments.

Models d 'Univers a la Grèc ia ant iga

A la Grècia antiga alguns filòsofs intentaren establir models per explicar les seues observacions del cel. Es coneixien set astres: e l Sol , la Lluna, Mercur i , Venus, Mart , Júpi t er i Saturn, i es suposava que es movien en esferes sobre la resta d’estrelles fixes. Per això pensaren que nosaltres ens trobàvem immòbils en la Terra, mentre les esferes giraven en el cel. Els dos models més coneguts eren:

Model de Ptolemeu: la Terra és el centre de l’univers (geocèntric).

Model d’Aristarc de Samos: el Sol és el centre de l’univers (heliocèntric).


3.3

Model geocèntr i c

En la Grècia clàssica predominà el model pto l emaic , proposat per l'astrònom Claudi Ptolemeu que visqué a Alexandria (Egipte) entre els anys 85 i 165 AD (~90-~168). Aquest model es basava en les observacions immediates, com que el Sol ix i es pon cada dia, que les estrelles van rodant pel cel durant tota la nit i la Terra sembla restar immòbil sota els nostres peus.

Segons el seu model geocèntric de l’Univers, la Terra es troba al centre i és un cos esfèric immòbil mentre que la resta d’estrelles giren en es f eres concèntr iques centrades en la Terra harmònicament.

Els altres cossos celestes giren al voltant de la Terra. El Sol i la Lluna descriuen trajectòries circulars però els planetes descriuen òrbites més complexes.

Aquest model explicava aproximadament el curiós moviment dels planetes, anomenat re trògrad , perquè semblava que el planeta de vegades avançava però d’altres retrocedia.

Ptolemeu imaginà que els planetes descrivien petites esferes al voltant d’un centre que a la vegada es trobava en una esfera major centrada en la Terra. Les petites esferes dels planetes s’anomenaven epi c i c l e s i l’esfera global descrita pel planeta de ferent .

Tot el sistema estava cobert per la darrera esfera, la de les estrelles fixes, que també girava al voltant de la Terra.

Resumidament podem dir que es tracta d'un model que descriu el comportament dels diferents astres situant el punt de referència en la Terra, amb la qual cosa el model resulta complex i no s'adapta exactament a observacions astronòmiques més precises.

Models he l iocèntr i c s

Segons Aristarc de Samos (310-230 AC), el Sol es troba en el centre de l’Univers, i la Terra, la Lluna i els cinc planetes giren al seu voltant a diferents velocitats en òrbites de radis diferents. Aquest antic model no tingué suficient divulgació a la seua època i fou superat pel model ptolemaic.

Nicolau Copèrnic (1473-1543) també posà el Sol al centre. La Terra i la resta de planetes giraven al seu voltant i descrivien òrbites circulars, únicament la Lluna girava al voltant de la Terra.


3.4

El segle XVI, cap al 1543, es divulga a Europa l'anomenat model copernicà , que s'anomena també model hel iocèntr i c , ja que considera que el Sol està immòbil al centre del Sistema Solar i els planetes orbiten en trajectòries circulars al voltant del Sol. La novetat fonamental rau en què la Terra es considera un planeta més que també descriu una òrbita circumsolar i la Lluna es considera un satèl·lit terrestre.

Aquest model, per tant, situa el sistema de referència en el Sol, amb la qual cosa la relació entre els planetes i el Sol apareix molt més clara i com veurem, permet aprofundir en la naturalesa de la interacció que explica el comportament planetari.

Contr ibuc ions de Gali l eu

Galileo Galilei (1564-1642) fou un científic italià molt destacat. Va resoldre molts problemes importants de Física, Matemàtiques i Astronomia.

Galileu va emprar un telescopi per a verificar les seues recerques i obtingué nombroses proves per recolzar el model de Copèrnic.

Entre les seues principals descobertes va demostrar que la Lluna tenia val l s i muntanyes , per tant no era un cos perfecte, tot contradient Aristòtil.

Venus mostrava fases com la Lluna, cosa que només es podia explicar si feia voltes al voltant del Sol.

La Via Làct ia està constituïda per nombrosos estels.

El Sol té taques fosques , en contrast amb la seua superfície brillant.


3.5

Júpiter t é nombrosos satè l· l i t s al seu voltant. Aquesta fou la primera prova directa que no tots els cossos celestes giraven al voltant de la Terra.

També va descobrir els anel l s de Saturn, encara que no els va identificar com a tals i els anomenà protuberàncies.

Va publicar les seues conclusions més importants en dos llibres El Missatger Celes te (1610) i Diàleg e l s dos s i s t emes de l món (1632).

Sempre va defensar que les òrbites eren circulars i no va acceptar la proposta de Kepler d’òrbites el·líptiques per als planetes.

A.4 Assenyaleu les principals diferències entre el model de Ptolemeu i el model de Copèrnic.

A.5 Quin és el major avantatge del model copernicà comparat amb el model ptolemaic? Quin era el gran inconvenient que plantejava aquest nou model?

A.6 Com explicava Copèrnic el moviment retrògrad dels planetes?

A.7 Respecte al model de Ptolemeu, el rei castellà Alfons X el Savi (1221-1284) va dir que… “Si Déu m’hagués demanat consell, li hauria proposat una cosa més senzilla”. Expliqueu el comentari.

Efectivament, el problema bàsic que es planteja ara és explicar com es manté l'estructura de l'Univers, per què els planetes descriuen inexorablement òrbites que els lliguen al Sol i com és que no se'n poden escapar. Cal tenir present que apareixen molts altres problemes, com explicar què són els cometes o com és que Júpiter té també satèl·lits, descrits per Galileo, i també d'altres planetes tenen satèl·lits.

3. LES LLEIS DE KEPLER

L’astrònom i matemàtic alemany Johannes Kepler (1571-1630) va fer nombrosos estudis que el menaren a establir les lleis que descriuen el moviment dels planetes. Va tenir accés a les dades força precises del seu mestre Tycho Brahe (1546-1601), el gran astrònom danès.

El model copernicà fou corregit per Johannes Kepler en l'aspecte concret de les òrbites, que segons ell han de ser el·líptiques per a que les dades astronòmiques més exactes de l'època, proporcionades per Brahe, s'hi corresponguen amb les posicions planetàries.

Kepler va considerar un sistema heliocèntric, com Copèrnic, però va descobrir que les posicions de Mart s’ajustaven millor a una òrbita el·líptica que a una de circular.

Així va proposar les tres lleis del moviment planetari:

PRIMERA LLEI: Tot planeta es mou descrivint una òrbita el·líptica amb el Sol en un focus.

SEGONA LLEI : La línia que va del Sol a cada planeta cobreix àrees iguals en els mateixos intervals de temps.


3.6

TERCERA LLEI : Els quadrats dels temps de revolució (períodes) dels planetes són proporcionals als cubs de les seues distàncies mitjanes al Sol (T2 ≈ r3 per a tots els planetes).

Tycho Brahe Johannes Kepler

A.8 Al voltant de Júpiter giren quatre grans satèl·lits de manera semblant a com ho fan els planetes al voltant del Sol. En la taula adjunta apareixen les dades de les distàncies a Júpiter i els seus períodes orbitals. Calculeu i completeu les columnes buides i representeu una gràfica de T2 en front de r3.

Satèl·lit de Júpiter

Radi orbital (m)

Període (dies)

T2 (s2)

r3 (m3)

T2/r3 (s2/m3)

Io 421,6·106 1,769

Europa 670,9·106 3,551

Ganimedes 1070·106 7,152

Cal·listo 1882·106 16,689

4. LA LLEI DE LA GRAVITACIÓ UNIVERSAL DE NEWTON

Diversos científics de l'època abordaren la solució del problema del moviment planetari, com Newton, Halley, Hooke i d'altres, a partir dels principis de la dinàmica que ja hem exposat. Bàsicament la solució calia buscar-la a partir del fet que els planetes, com descriuen un moviment curvilini, tenen una acceleració normal que corba les seues trajectòries i això significa, segons hem vist, que hi ha alguna força actuant sobre el planeta. Ja que els planetes orbiten el Sol, suposem que existeix una interacció entre cada planeta i el Sol de forma semblant a com sabem que hi ha una interacció entre la Terra i els objectes que li són pròxims. De forma general, la proposta és l'existència d'una atracció universal entre tots els cossos celestes: la Gravitació Universal. Tractarem de precisar un poc més aquestes idees.

Fins ara hem estat parlant de forces i hem tractat d'aclarir que tota força procedeix d'una interacció entre cossos, però encara no hem explicat d'on ixen aquestes forces o interaccions, és a dir, ¿per què els cossos "fan" forces o poden participar de certes interaccions? La veritat és que la capac i tat d ' interacc ió és una propietat fonamental de la matèria i no té un únic


3.7

origen. Més aviat podem dir que les diferents propietats bàsiques de la matèria són l'origen d'uns pocs tipus d'interaccions fonamentals a què podem reduir totes les altres forces.

A.9 Esmenteu diferents tipus d'interacció que conegueu.

A.10 Intenteu donar una explicació al fet que els cossos tendesquen a caure cap al centre de la Terra quan els deixem anar lliurement. Anem a estudiar amb detall la primera interacció que es va descriure i caracteritzar en la

història de la física: la gravetat, que afecta tots els cossos perquè tenen massa. L'establiment d'un primer model satisfactori per a explicar-ne els orígens fou el fruit de molts anys d'observació detallada dels moviments planetaris i l'elaboració de diferents models astronòmics per a explicar el comportament dels astres més familiars com el Sol, la Lluna o els planetes. La pregunta crucial fou tractar d'aclarir com es manté tot l'Univers estructurat en moviments continus i de diversos tipus. Això va portar, com hem vist, a l'elaboració de diferents models cosmològics, però no fou possible trobar una explicació satisfactòria fins a la generació de científics que recollí els treballs de Galileu, Copèrnic i Kepler, entre d'altres.

Aquesta generació va produir el científic més famós de tots els temps: Isaac Newton. Tanmateix, ell sempre reconegué que tot el que va fer fou gràcies a que pogué caminar sobre les espatles de gegants: Galileu, Copèrnic, Kepler, Brahe... mostrant així que la ciència és fruit del treball col·lectiu.

Isaac Newton nasqué un dia de Nadal el 1642 a Woolsthorpe Manor en Lincolnshire i va morir el 1727 a Londres. El seu cos està enterrat a l’Abadia de Westminster amb tots els herois nacionals d’Anglaterra.

La seua principal contribució a la física va ser la seua Teoria de la Gravi tac ió Universa l , on construí una sòlida estructura per explicar perquè els planetes es mouen al voltant del Sol.

Els planetes giren al voltant del Sol i descriuen òrbites el·líptiques. Això és possible perquè el Sol atrau els planetes amb una força anomenada gravetat que obliga els planetes a girar al seu voltant.


3.8

A.11 Indiqueu les semblances i diferències entre l'estat de moviment d'un as-tronauta fora de la seua nau en òrbita al voltant de la Terra i el d'una per-sona que s'ha llançat des d'un avió.

A.12 S'afirma que la Terra atrau tots els cossos. Segons això, si llancem una pedra horitzontalment des de certa altura, és atreta per la Terra, igual que la Lluna. Si la pedra cau ¿per què no passa el mateix amb la Lluna?

A.13 Si de sobte desapareguera el pes de tots els cossos, és a dir, la gravetat, digueu com es veurien afectats els moviments següents: a) Una pedra llançada verticalment cap amunt. b) Un objecte en caiguda lliure. c) Un satèl·lit artificial en òrbita al voltant de la Terra. d) El moviment de la Lluna al voltant de la Terra.

A.14 Indiqueu la direcció i sentit de la força que ha d'actuar sobre la Lluna per tal que puga descriure òrbites aproximadament circulars amb rapidesa constant al voltant de la Terra. Identifiqueu-hi el parell acció-reacció.

A.15 Feu el mateix que a l'activitat anterior per a un cos en caiguda lliure.

A.16 Assenyaleu, a tall d'hipòtesi, de quins factors pot dependre el valor de la força gravitatòria entre dos cossos i proposeu alguna manera de verificar-ho experimentalment. Els treballs de Newton sobre la interacció entre els cossos el dugueren a enunciar la

coneguda llei de la Gravitació Universal, basant-se principalment en les Lleis de Kepler.

La llei de la Gravitació Universal es pot enunciar de forma precisa així:

Qualsevol parell d’objectes de l'Univers s’atrauen mútuament amb una força que és directament proporcional al producte de les seues masses i inversament proporcional al quadrat de la distància que els separa. La força actua en la direcció que uneix els cossos i sempre en sentit atractiu. La constant de proporcionalitat té un valor universal (G = 6,67· 10-11 N· m2· kg-2) i no depèn del medi que separa els cossos.

Per a donar una expressió matemàtica correcta d'aquesta llei hem de considerar els cossos com a objectes puntuals, és a dir, sense volum o -el que és equivalent- situats a una distància tan gran que el seu volum el podem menysprear. Així la distància (r) entre els cossos queda ben definida. Per a la figura següent tindríem, doncs:

F1 i F2 són les forces respectives sobre cada cos. Seguint la nomenclatura de la 3a llei de Newton, caldria anomenar-les: F21 i F12

Els cossos haurien de ser "puntuals", però es representen com a esferes voluminoses de masses respectives m1 i m2

r és la distància entre els centres dels dos cossos, cosa que si foren puntuals no caldria aclarir

En aquesta simulació podem experimentar amb la llei de la Gravitació:

https://phet.colorado.edu/es/simulation/gravity-force-lab


3.9

A.17 Demostreu, a partir de la llei de la gravitació universal, que l'acceleració de caiguda lliure és la mateixa per a tots els cossos, independentment de la massa que tinguen, tal com ja hem vist en cinemàtica.

A.18 Expliqueu com variarà el pes d'una persona que s'allunye de la superfície terrestre i calculeu concretament el pes d'una persona de 70 kg a 100, 500 i 36000 km d'altura sobre la Terra.

A.19 Calculeu la força entre la Terra i la Lluna. Busqueu les dades necessàries més endavant.

5. L'EXPERIMENT DE CAVENDISH I LA MASSA DE LA TERRA

A.20 La llei de la Gravitació implica conèixer dades com la massa de la Terra. Ideeu un mètode per a determinar-la. ¿Seria un resultat fiable? Com ho podríem saber?

Hi ha tres dades fonamentals obtingudes al llarg de la història de la ciència que ens permeten de creure que la mesura que va fer Henry Cavendish de la constant G és correcta. Responen a aquesta pregunta: Què val la dens i tat de la terra? El nombre obt ingut correspon a un resul tat lòg i c?

La primera dada fou obtinguda a l’Antiguitat: el radi de la Terra . El coneixem aproximadament des d’Eratòstenes (276-195 aC) que va ser director de la Biblioteca d’Alexandria a l’Antic Egipte. Va mesurar la grandària de la Terra aproximadament el 235 aC. En unitats actuals el radi val R = 6370 km.

Eratòstenes va mesurar l'ombra d'un pal situat en Alexandria al migdia del solstici d'estiu (cap al 21 de juny), en el mateix moment que li havien dit que un altre pal situat a Assuan no feia cap ombra. Això és perquè Assuan està aproximadament en el Tròpic de Càncer i, aqueix dia i hora, els rajos del Sol hi incideixen perpendicularment. Coincideix també el fet que ambdues ciutats estan pràcticament en el mateix meridià. Per això, si perllonguem els rajos del Sol cap al centre de la Terra, com es veu a la figura, podem comprovar que l'angle que fan els rajos del Sol amb el pal d'Alexandria és el mateix que l'angle a l'interior de la Terra. Si mesurem la distància entre ambdues ciutats (uns 800 km) és ben senzill traure la circumferència de la Terra: L = 800·360/7 = 41143 km, aproximadament, per tant RT = 6548 km. Resultat molt acceptable!!!

La segona referència és el valor de la gravetat , l’acceleració de caiguda lliure dels cossos. Des de Galileu i Newton sabem que tots els cossos cauen amb la mateixa acceleració en absència de fricció, és a dir, en el buit, independentment de la seua massa.

El resultat dóna: g = 9,8 m/s2, en la proximitat del nivell del mar.

La tercera referència és la més sorprenent de totes, es tracta de verificar la mesura de la constant universal de la gravitació. La llei de Newton fou verificada per les experiències de Henry Cavendish (1731-1810), a qui devem la primera mesura f iable de la constant universa l de gravi tac ió G = 6,67· 10-11 N·m2·kg-2, feta mitjançant una balança de torsió com la de les figures.


3.10

Segons les lleis de la Gravitació Universal i de la Dinàmica, podem calcular un valor per a la massa de la Terra , si suposem que la força gravitacional accelera una massa “m”:

FG = G· M· m / r2 = m· g → G· M / r2 = g → M = g· r2 / G

llavors calculem: M = 9,8· (6370· 103)2 / 6,67· 10-11 = 5,96· 1024 kg

¿El resultat té sentit? Calculem la dens i tat de la Terra , considerada com una esfera:

densitat = massa/volum → ρ = M/(4· π· R3/3)

ρ = 5,96·1024/(4· π· (6370·103)3/3) = 5505 kg/m3 = 5,505 g/cm3

Arribem a la conclusió que hem obtingut la densitat de materials sòlids que perfectament podrien formar part de la composició del nostre planeta. Per tant els nostres càlculs haurien de ser correctes.

A.21 Si hi ha una força atractiva entre tots els objectes, per què no ens notem a nosaltres gravitant cap als edificis massius dels nostres voltants?

A.22 En quant disminueix la força gravitatòria entre dos objectes quan la distància entre ells es duplica? I quan es triplica? I si augmenta deu vegades?

A.23 Considereu una poma penjant de dalt d’un arbre que és atreta per la gravetat terrestre amb una força d’1 N. Si l’arbre fóra el doble d’alt, la força de la gravetat només seria ¼ d’intensa? Raoneu la resposta.

6. CONSEQÜÈNCIES DE LA GRAVITACIÓ UNIVERSAL

EL PES DELS COSSOS

El pes és la força d’atracció entre la Terra i tots els cossos que es troben a prop de la seua superfície.

La llei de la Gravitació de Newton diu que: FG = GMm/r2. Quan l’emprem per calcular el nostre pes al nivell del mar mateix, la distància “r” coincideix amb el radi de la Terra: r = RT, per tant: FP = GMTm/RT

2

Per als cossos que es troben per damunt del nivell del mar i lluny d’ell: r = RT + h, on “h” mesura l’altura sobre el nivell del mar, per tant: FP = GMTm/(RT + h)2

Què hi va l e l nostre pes en un al tre p laneta?

Atès que la llei de la Gravitació de Newton és universa l podem usar-la per explicar fets arreu del Sistema Solar i més enllà i tot. De fet podem emprar-la en tot l’Univers, car totes les estrelles, galàxies i altres cossos celestes s’atrauen mútuament tal com fan el Sol i els seus planetes. Si ens centrem en el nostre veïnat planetari, ens adonarem que planetes, com Mart,


3.11

Venus o Júpiter, i satèl·lits, com la Lluna, també s’atrauen entre ells i si viatjàvem cap a qualsevol d’ells notaríem la seua atracció gravitatòria.

Com calcularíem el nostre pes en un altre planeta, com ara Mart? Substituint els seus valors de massa i radi en l'equació de la llei de Newton:

FP = GMMm/RM2 (MM massa de Mart, RM radi de Mart)

QUÈ SÓN LES MAREES I COM TENEN LLOC?

Les marees són un fenomen quotidià habitual a les costes dels oceans. Com tenen lloc?

Les marees consisteixen en les pujades i baixades de l n ive l l de l mar que tenen lloc de manera cíclica dues vegades a l d ia . Les marees altes o baixes ocorren cada 12 hores i 26 minuts de mitjana.

Els treballadors del mar han conegut de sempre la connexió que hi havia entre les

marees oceàniques i la Lluna, però ningú no sabia donar-ne una hipòtesi satisfactòria per a explicar les dues marees altes al dia.

Newton va demostrar que les marees oceàniques són provocades per les diferències en l’atracció gravitacional entre la Lluna i la Terra en els costats oposats de la Terra.

La l l e i de la Gravi tac ió expl i ca l e s marees

La forca gravitacional entre la Lluna i la Terra és més forta al costat de la Terra més pròxim a la Lluna i és més feble al costat de la Terra més allunyat de la Lluna. Això és així simplement perquè la força gravitacional és més feble a mesura que augmenta la distància (FG≈1/r2).

Marees espec ia ls : marees v ives i marees mortes

El Sol també contribueix a les marees oceàniques. Quan es troba exactament en línia amb la Lluna i la Terra, en lluna plena, la marea és la més alta i s’anomena marea v iva . Quan hi ha un quart de lluna, les marees provocades pel Sol i la Lluna es cancel·len parcialment entre si, per tant hi ha la marea més baixa, la marea morta .


3.12

Algunes línies de costa amb la forma especial de V, com ara la Badia de Fundy a Canada, produeixen marees extraordinàriament elevades de fins a 15 m

A.24 Hi hauria a la Lluna crestes de marea si estiguera coberta d’aigua? Quantes? Amb quina freqüència tindrien lloc les marees alta i baixa?

A.25 Qui atrau amb una força major les aigües de la Terra, el Sol o la Lluna?

A.26 Hi ha algun altre efecte que puga contribuir a les marees?

EL MOVIMENT DELS COMETES I SATÈL·LITS

Els càlculs de Kepler ens mostren les lleis del moviment planetari al voltant del Sol.

Però el cel és farcit de sistemes semblants, com els mateixos planetes i els seus satèl·lits, i la llei de la Gravitació Universal de Newton és una bona eina per a estudiar el moviment dels cossos celestes i fer prediccions sobre la rapidesa, posició i temps que triguen en fer una volta completa, el que s’anomena per íode orbi ta l (T).

De la mateixa manera que una pedra pega voltes al voltant de la nostra mà nugada a una corda, a causa de la força centrípeta que proporciona la corda tensa, igualment fa el Sol en estirar la Terra amb la força gravitacional que actua com si “lligara” tots dos cossos i manté la Terra i els altres planetes “nugats” al Sol. També així atrau la Terra els seus satèl·lits.

La llei de Newton va explicar per primera vegada de forma satisfactòria fenòmens abans

ignorats o inexplicables com l'aparició periòdica de cometes. El cometa més famós va ser predit per Edmund Halley (1656-1742) i ja havia estat vist i registrat almenys en els segles XI i XIV. Ací tenim la bonica pintura que en va fer el pintor italià Giotto di Bondone (1267-1337) com si fóra l'estel que assenyala als Mags el camí de Betlem. A la dreta, una imatge real de Halley.


3.13

Algunes aparicions recents del cometa Halley (T = uns 76 anys)

Data del periheli Esdeveniment o registre Designació tècnica

20 març 1066 Teixit al Tapís de Bayeux il·lustrant la batalla de Hastings 1P/1066 G1, 1066

25 octubre 1301 Pintat per Giotto a l'Adoració dels Mags 1P/1301 R1, 1301

13 març 1759 Predit per Edmund Halley 1P/1758 Y1, 1759 I

9 febrer 1986 Darrera aparició per ara 1P/1982 U1, 1986 III

28 juliol 2061 Predicció de la propera aparició Sense designar

Els satè l· l i t s ar t i f i c ia l s

Comprendre la gravitació ens ha permès de construir els nostres propis satèl·lits destinats a diferents propòsits científics, militars i comercials, i els hem enviat molt lluny de la superfície terrestre a diferents tipus d’òrbites al voltant de la Terra.

El 1957 l’antiga Unió Soviètica va enviar el primer satèl·lit artificial de la història a l’espai, el Sputnik 1 , i poc després els EUA enviaren el seu Explorer 1 (1958). Ambdós països iniciaren una “cursa espacial” per ser els primers en assolir nous reptes espacials.


3.14

Hi ha diferents tipus de satèl·lits segons les seues òrbites: geostacionària, polar, el·líptica, òrbita baixa, etc. Els satèl·lits acompleixen diferents missions: comunicacions, cartografia de la terra, clima, GPS, navegació, recerca científica, astronomia, entre d'altres.

A.27 Quins satèl·lits triguen menys temps en fer una volta a la Terra, els que giren en òrbites altes o baixes?

A.28 Quin és el període de revolució d’un satèl·lit geostacionari?

A.29 Indiqueu quin és l’avantatge d’usar satèl·lits per a cartografiar la superfície de la Terra.

A.30 Per què els astrònoms envien satèl·lits equipats amb telescopis, com el telescopi espacial Hubble, si són més cars que els terrestres? Quin és l’avantatge d’observar el cel des de fora de l’atmosfera?

En aquesta simulació podem recrear el nostre propi sistema solar:

https://phet.colorado.edu/es/simulation/legacy/my-solar-system


3.15

APÈNDIX INFORMATIU : HI HA PLANETES MÉS ENLLÀ DEL SISTEMA SOLAR?

Exoplanetes

Un dels descobriments astronòmics més destacats de fa uns anys respon lapregunta sobre l’existència d’objectes planetaris que orbiten d'altres estrelles, elsanomenatsexoplanetes.

Novestècniqueshanpermèsladetecciód’aquestspetitsobjectesmentregirenalvoltantde laseuaestrella ieclipsenparcialment laseua llum.Els telescopisespacialstambé han estat essencials per a la detecció d'uns objectes tan petits i allunyats delnostreSistemaSolar.

Fins al 2016 (2-07-2016) s’han detectat 3443 exoplanetes, formant part de 2571sistemesplanetaris i588sistemesplanetarismúltiples,ésadir,estrellesqueentenenmésd'un.Noméseltelescopiespacial"Kepler"n'hatrobatmésdedosmildesdel'any2009. Però s’estima que només a la Via Làctia podria haver fins a 17000milions deplanetes de grandària comparable a la de la Terra, encara que no tots ells serienhabitables.

Júpiterscalents

Algunsdelsprimersplanetesdetectatserenmoltgrans,s’assemblavenaJúpiter,el nostre gegant del Sistema Solar, però es troben tan a prop de la seua estrella quetenen una temperaturamoltmés alta que el nostre veí per això s'anomenen Júpiterscalents.

Aquests planetes són interessants per investigar-los, però difícilment podrienalbergarvidacomlaTerra,nosóndeltipusterra,sónmassagransiprobablementnotinguenlacomposicióquímicaadequada.

L'esquemapermetcompararlesgrandàriesrelativesdelaTerra,Júpiterialtres

Júpiterscalents,ambradisdefinsaunes16vegadeselraditerrestre.

Planeteshabitables:Kepler-452b,una“novaTerra”

Elmajor interès es centraara en trobarplaneteshabitables, cosaquedemanacondicionsmoltespecífiquesenlesseuescaracterístiques,lamassadelaseuaestrellailadistànciaaella,afiquelatemperaturamitjanaalaseuasuperfícienosiganimassafredanimassacalentaipermetal'existènciad'aiguaenestatlíquid,condicióbàsicaperal'existènciadevidatalcomlaconeixemalaTerra.

!


3.16

Elsplaneteshabitabless’anomenenplanetestipusterraiestrobenaunafranjadedistànciamitjanadelaseuaestrellacommostralagràficaadjunta.

Un exoplaneta queha estat detectat pel telescopi espacialKeplerhadespertatmoltd'interèsentrelacomunitatcientífica.LadescobertafouanunciadaperlaNASAel23 de juliol de 2015. Es tracta d'un planeta que orbita l’estrella Kepler 452 (a laconstel·laciódeCygnus)situadaa1400anysllumdelSistemaSolar.Alavelocitatdelasonda"NewHorizons",quefapocs’acostàaPlutóianavaa58536km/h,tardaríem25,8milionsd’anysperarribar-hi.

Aquestnouplanetaésmésgranimésvellque laTerra,peròorbitaen lazonahabitabledelaseuaestrella,ques’assemblaproualnostreSol.Elplanetapodriatenirentornshabitablesiseriaunamenadesúper-Terra.


3.17

7. ACTIVITATS COMPLEMENTÀRIES

LLEI DE LA GRAVITACIÓ UNIVERSAL

Per a tots els exercicis podeu agafar les dades astronòmiques que necessiteu d'aquesta taula:

ALGUNES DADES ASTRONÒMIQUES D'INTERÈS radi de la Terra 6378 km

massa de la Terra 5,98·1024 kg distància Terra-Lluna 384399 km

radi de la Lluna 1738 km massa de la Lluna 7,35·1022 kg

G 6,67·10-11 N·m2·kg-2

A.31 Determineu les unitats de la constant de gravitació universal (G) en el S.I.

A.32 Calculeu la força amb què s’atrauen dos cossos que tenen unes masses respectives de 100 i 150 kg, situats a una distància de 5 m.

(R: 4·10-8 N)

A.33 Comenteu les principals característiques del model del Sistema Solar proposat per Copèrnic i afegiu quins arguments i proves experimentals aportà Galileu per a la seua defensa.

A.34 Determineu la força amb què s’atrauen dos cossos de 60 kg de massa cadascun, separats una distància d’1 m.

(R: 2,4·10-7 N)

A.35 Atesa la forma irregular de la Terra, raoneu on pesarà més un cos situat al nivell del mar, ¿al pol Nord o a l’equador? Indiqueu si seria possible detectar la diferència amb una balança i/o amb un dinamòmetre.

A.36 Determineu el valor de la gravetat en el planeta Venus si sabem que la seua massa és 0,82 vegades la massa de la Terra i el seu radi 0,95 vegades el radi terrestre.

(R: 8,91 N/kg)

A.37 Calculeu el que pesa una persona de 75 kg de massa quan està en òrbita al voltant de la Terra a una altura sobre la superfície terrestre de 650 km i compareu-ho amb el seu pes al nivell del mar.

(R: 606 N ; a nivell del mar pesa més: 735 N)

A.38 Calculeu a quina altura sobre la superfície terrestre un objecte pesa la meitat que quan es troba sobre la superfície.

(R: h = RT·0,414, 2642 km ; o bé a una distància del centre de la Terra equivalent a RT·1,414, 9020 km)

A.39 Calculeu el pes d'un astronauta de 60 kg en la superfície de la Terra i a 400 km d'altura sobre ella i també l'acceleració que tindria en caiguda lliure en cada cas.

(R: superfície: a) 588 N ; 9,8 N/kg ; a 400 km d'altura: b) 521 N ; 8,68 N/kg)


3.18

A.40 La Lluna és un satèl·lit situat a 384 000 km de distància de la Terra. a) Per què es manté en òrbita al voltant de la Terra i no s’escapa? b) Calculeu la força d’atracció entre ambdós cossos. c) A què s’anomena el costat ocult de la Lluna?

(R: b) 1,99·1020 N)

A.41 Un estudiant pesa a la Terra 550 N i 621 N en un altre planeta desconegut. a) Quina serà la massa de l’estudiant? b) Calculeu l’acceleració de la gravetat a la superfície del planeta. c) Observeu la taula i contesteu: quin podria ser el planeta desconegut? (R: a) 56 kg ; b) 11,07 m/s2)

Taula d’acceleracions de gravetat per als planetes del Sistema Solar i la Lluna Planeta Mercuri Venus Terra Lluna Mart Júpiter Saturn Urà Neptú g (m/s2) 3,70 8,85 9,81 1,62 3,72 26,39 10,5 9,0 11,07

UN TAST D'HISTÒRIA DE LA CIÈNCIA

A.42 Llegiu i comenteu aquest text amb l'ajut de les qüestions proposades.

DonesastrònomesdetotselstempsElpaperde lesdonesenelmónde laciènciapermetde reflexionar sobre la

igualtatdegènereal llargdel temps.Al llargde lahistòria trobemmajoritàriamentnomsd'homesquesemprehanostentatelpoderipertanthanprotagonitzatelsfetsmés destacats. Però és evident que les dones també han participat de formamoltactivaentotselsàmbitsde lasocietat.Araenspreocupad'esbrinarquinpaperhantingut lesdonesenunadisciplinacientíficaquepotsemblartanpocfemeninacoml'astronomia. Farem una breu referència a tres dones astrònomes de diferentsèpoques:Hipàtia(Antiguitat),CarolineHerschel(s.XVIII) iHenriettaSwanLeawitt(s. XX). Una de les astrònomes i matemàtiques més famoses de l'antiguitat fouHipàtiad'Alexandria (c. 370-415).Va treballar a la llegendàriaBibliotecad'aquellaciutat,quedirigia sonpare, elmatemàticTeó.Vaescriurediversesobresque s'hanperdut i es coneixennomésperquè les esmentenaltres autors. Fouassassinadaperuna colla de fanàtics cristians que li retreien la seua influència sobre el prefecteimperialOrestesenelseuenfrontamentambelpatriarcaCiril.Elseureconeixementposterior fou tal que fins i tot el pintor renaixentista Rafael la va situar entre lesmentsmésprivilegiadesenunapinturafamosaqueestrobaalesestancesvaticanes.


3.19

Durant el segle XVIII l'astronomia experimentà un impuls enorme amb lafabricació de telescopis més potents per tal d'observar les prediccions que se'nderivavendel desenvolupamentde la físicanewtoniana.Entre els protagonistesdelmoment hi havia els germans Wilhelm i Caroline Herschel, que treballaren alRegne Unit tot i el seu origen alemany. Tothom coneix les proeses deWilhelmHerschel (1738-1822) però, en canvi, s'ignoren les contribucions importants deCarolineHerschel(1750-1848)iquans'esmentaelcognomdel'autord'unimportantdescobrimenttothomdónaperfetqueestractadeWilhelm,queadquirífamaperlaprimera observació i, per tant, descobriment del planetaUrà (1781). S'atribueix alsgermansWilhelm i Caroline un primermodel de galàxia fet a partir de recomptesd'estelsentoteslesdireccions.Desprésdelamortdelseugermà,ellacontinuàmoltstreballs ja iniciats per tots dos. Caroline va descobrir fins a huit cometes i fouguardonadaamblaMedallad'OrdelaRoyalAstronomicalSociety i laMedallad'OrperlesCiènciesdePrússia.

AcomençamentdelsegleXXvadestacarunaaltradonaastrònoma, lanord-americanaHenriettaSwanLeawitt(1868-1921)quetreballavaalHarvardCollege,onpertanyiaalgrupdedonescalculadores,anomenadesaixíperlaseuadedicacióafernombrososcàlculsastronòmicsquanelsordinadorsencaranoerenniunproductedela imaginació. Les contribucions més importants de Henrietta corresponen aldescobriment en 1912 de la relació període-lluminositat per als estels variablesCefeides, dada essencial que permetia de mesurar la distància dels estels variablesnomésmesurantelseuperíodedevariabilitatendies.Latècnicavapermetreallargarladistànciaimesurarestelssituatsfinsa80milionsd'anysllum,ésadir,pertanyentsa d'altres galàxies. De fet, Henrietta va descobrir i catalogar estrelles variables delGran Núvol deMagalhaes i del Petit Núvol deMagalhaes, galàxies petites que sónsatèl·litsdelaViaLàctia.


3.20

Q1. Tracteu de localitzar en quina pintura famosa del Renaixement apareix la representació de la imatge d'Hipàtia que apareix en el text.

Q2. Caroline Herschel apareix en la imatge servint-li alguna beguda al seu germà Wilhelm mentre ell poleix una lent per a fer un telescopi. ¿Sabeu si era aquesta la seua única funció, la de servir el seu germà, astrònom de fama?

Q3. Per què coneixem poques dones que es dediquen a la ciència? Potser no n'hi ha massa?

Q4. Busqueu el nom i una mínima referència biogràfica d'almenys altres cinc dones científiques de tots els temps.

Q5. Valoreu críticament la opinió que les dones, tot i ser igual de capacitades intel·lectualment que els homes, estan millor dotades per a activitats com l'educació o l'atenció als malalts, mentre que els coneixements tècnics són més propis dels hòmens.

B

u.3 forces gravitatÒries...sistema solar i els planetes orbiten en trajectòries circulars al...

Documents