uendelighedensdiakroneaspekter.2006

8/18/2019 UendelighedensDiakroneAspekter.2006

1/7

1Per Nørgårds skrifter. Udgivet af Ivan Hansen. Dansk Center for Musikudgivelse - www.kb.dk/dcm

Det var én af de ting ved verden – (der var jo

mange andre) – som virkede provokerendeubegribelig på mig som barn: at uendelighe-

den kunne suppleres! Umiddelbart skulle man

synes at intet kunne overgå det uendelige i

mængde! (jvf. Det berømte bevis: “sig det stør-

ste tal du kan finde på! Så føjer jeg bare én til”),

men da min geometrilærer fastslog at der var

et uendeligt antal punkter på en begrænset

længde, fx 1 cm, kunne jeg naturligvis se uen-

deligheden “suppleret” med fx endnu en cen-

timeter… osv. Svimlende! – Siden hørte jeg, framin absolut a-matematiske sidelinie, hvorle-

des specialister fx i “stjernetal” (som intet har

med himmellegemer at gøre, men titulært

hidrører fra den velkendte asterix: *) jong-

lere med at dynge uendelighed på uendelig-

hed – med fraktalerne som anskuelighedens

triumf. Som det viste sig skulle mine anstren-

gelser i tyverårene for at finde et musikalsk in-

tegrationsprincip (der helst skulle lade alle to-

ner udspringe af én motivisk kerne) føre mig

til at opdage uendelighedsrækken – uden at

“uendelighed” som sådan var et mål i sig selv.

Jørgen I. Jensen har redegjort for den årelange

proces gennem værker og “studier” op til ræk-

kens opdukken1 på et folie-nodepapir, hvor

de uendelige konsekvenser af min nyfundne

fremgangsmåde blev indlysende for mit blik

og min tanke – for første gang. Svimlende.

Dette var i 1959 – og siden er der jo løbet

meget vand i stranden – og hældt meget vand

ud af ørerne i forbindelse med uendeligheds-rækken; men et par håndgribelige stadier

undervejs kan anføres: Mens den uendelig-

hedsrække jeg fandt var fuldt udfoldet, dvs.

i et uafgrænset, evt. kromatisk, skalafelt kan

under former deduceres herudaf, som kun

rummer fire eller to toner2 . Disse reducere-

de versioner kan genereres udfra den basale

og uafgrænsede (men ikke omvendt: uende-

lighedsrækken kan ikke afledes af to-tone-

rækken)3. Dette opdagede jeg først 12 år efter(under kompositionen af Lila). Fra 1976 blev

i øvrigt den to-tonige hierarkiske uendelig-

U E N D E L I G H E D E N S D I A K R O N E A S P E K T E R ( 2 0 0 6 )

Af Per Nørgård

hedsrække grundlaget for de fleste af de man-

ge slagtøjsværker jeg siden komponerede. Videre: i midten af 1980’erne opdagede

jeg at der kunne konstrueres uendeligheds-

række-baserede uforudsigelige melodier,

som “bed sig selv i halen” og lukkede forlø-

bene til at omfatte et begrænset antal toner

(12*36*108*324 osv), hvorfor jeg kaldte dem

“tonesøer” – (hvor uendelighedsrækken vel

nærmere associerer til en tonestrøm?).

Konsekvenserne var igen uoverskuelige;

trods det begrænsede antal toner i en “tone-

sø” er der jo til gengæld et uendeligt antal

“tonesøer” – alle med tre gange så mange to-

ner som den forrige. “Tonesøer” er indgået

i en del værker mellem 1985 og 1995, fx i 6.

strygekvartet , 5. symfoni, Night-Symphonies,

Day Breaks for sinfonietta-ensemble, nogle

orgelværker mv.4

Endelig (nu kommer jeg til sagen): i august

2001 modtog jeg en forsendelse fra en for

mig, indtil da, ubekendt musiklærer, Ane

Dorthe L. Roel.

Lidet anede jeg, at dette brev skulle åbne for

den vel nok største udvidelse til dato af mine

forestillinger om u-rækkens potentiale siden

hin dag i 1959, da jeg første gang fik et svim-

melsug i maven ved at se uendeligheds-orde-nerne tårne sig op for mit indre blik, stimule-

ret af folio-arkets toneguirlander. Siden har

jeg i samarbejde med hende og en lille gruppe

trængt en smule ind i det udvidede netværks

lovmæssigheder. Det var en sær proces at af-

kode Ane Dorthe Roels brev, for hendes argu-

mentation var mig ikke begribelig; jeg forstod

dog, at hun havde forsøgt at besvare en opga-

ve stillet læserne af “Dansk Sang” vedr. u-ræk-

ken; jeg forstod også at det drejede sig om den(uendelige) mængde af tonerækker, der op-

står via udeladelse af mellemliggende toner i


2/7


3/7


melodier bag den næste, uundersøgte, ulige

bølgelængde – for ikke at sige bag de ekstremt

høje bølgelængder og disses tilknyttede (eks-

tremt mange) melodier, alle med intrikate ind-

byrdes relationer – så synes dog ét enkelt træk

at være så konsistent at jeg, uden at kunne be-

vise det, påstår at der med de følgende eksem-pler, fra den lavere del af de ulige bølgelæng-

der, repræsenteres en lovmæssighed for “alle”

– et misvisende ord for det uendelige antal?

Den følgende redegørelse præsenteres

uden at skele til stadierne i forståelsespro-

cessen, hvorfor det endnu en gang skal præ-

ciseres, at der er flere hoveder bag denne end

Dorthes og den skrivendes – om jeg så må sige.

Altså: den for enhver ulige bølgelængde

givne “basismelodi” (fremefter betegnelsenfor den første positions melodi) spejles i de

følgende rækker med højere positionscifre

således:

Det ses at ved et hvert bølgelængdeskift (til

den dobbelte længde) ombyttes rækkefølgen

af ret- og omvendingsspejlinger, hvorimod

der indenfor hver bølgelængde skiftes (mel-

lem ret- og omvendings spejling) i overens-

stemmelse med u-rækkens to-toneversion;

her genfindes det basale, afledede mønster

AbbaBaabBaabAbba (alias “Thue-Morse).

Det tilsvarende er gyldigt for den umiddel-

bare tonefølge fra 2. position (altså at denne

spejles på hver anden tone fra 3. position, om-

vendt, også på hver anden i 4. position men

retvendt i 5. position, på hver fjerde tone (se

planche 1 og 2), mens der endnu ikke er fun-

det konsistente sammenhænge fra og med

melodierne (dvs. den umiddelbare toneræk-

kefølge) på 3. position og videre, men impo-nerende tilløb dertil.

Derimod kan der peges på mange mere

løsrevne sammenhænge, hvor det vil være na-

turligt at forfølge sporet med basismelodiens

lovmæssige potensering af bølgelængde led-

saget af to-tonerækkens ret-omvendings-ryt-

me: Abba osv.

Herved vil den strenge lovmæssighed i for-

bindelse med 1. og 2. position ses at “smuld-

re”, når de højere becifrede positioners melo-di forsøges fulgt i de følgende positioneringer:

position 3 (se fx BL93: 1 tone op, ½ ned, 1 ned)

findes slet ikke spejlet i position 4, men som

omvending i position 5 og retvendt i positi-

on 6. Derpå glimrer den ved sit fravær i 7. og

8. position, men dukker på hver fjerde tone i

9., 10., 11. og 12. position (se BL17-planchen)

som hhv. ret-, om-, om- og retvendt, altså igen

analog med to-tonerækken. Derpå er den fra-

værende i 13.-16. position, men genopdukker

i 17. position, omvendt og, man kan nu for-

udse, at de næste 7 positioner på hver 8. tone

fortsætter det anslåede motiv, således:

Således kan der “botaniseres” – afdækkes

flere lovmæssigheder – i dette spor, men det

er vær at notere, at det også er muligt at for-

følge visse positioners melodier “baglæns”,

altså finde højere becifrede spejlinger før me-

lodiens direkte optræden (“melodien” her

anvendt som betegnelse for den umiddelbart

aflæselige tonefølge). Således kan melodienBL96 ses anteciperet (eks. 4) i BL93 tonenum-

re 3, 7, 11, 15.

Basismelodi (BL 31, 51, 7

1, etc.) 1. position, retvendt

Basismelodi indeholdt i 2. position hver 2. tone, retvendt

Basismelodi indeholdt i 3. position hver 4. tone, omvendt















17. position, bølgelængde 8, omvendt

18. position, bølgelængde 8, retvendt








4/7

Per Nørgårds skrifter. Udgivet af Ivan Hansen. Dansk Center for Musikudgivelse - www.kb.dk/dcm4

Ligeledes (eks. 5) kan BL76-melodien ses an-

teciperet i BL73

, men her transponeret op påtone 4, 8, 12 osv.

Som det fremgår af ovenstående har jeg fo-

kuseret udelukkende på (én bølgelængdes)

indbyrdes positionsrelationer – mens en un-

dersøgelse af de interne hierarkiske forhold

indenfor én position (én “melodi”) kun er i sin

vorden. Jeg skal summere hvad der forekom-

mer at være gennemgående træk for de suc-

cessive positioner i et vilkårligt ulige becifret

bølgelængderepertoire: 1. position, basisme-

lodien, opviser konsekvent retvendingsfor-

hold mellem tonefølgen 1, 2, 3, osv. og 1, 5,

9, osv. samt omvending på 1, 3, 5, osv. og 1,

9, 17, osv., se eks. 6. (Transposition, retvendt,

ses mellem 2., 6., 10. osv.).

Videre: 2. position viser i BL3 retvending ud-

gående fra 2. tone og derpå hver fjerde (samt

fra 3. tone, da hver fire-tonegruppes 2. og 3.

tone er “låste” i et opadgående stor-sekund-forhold (se eks. 7).

2. position viser i BL5(2), derimod om ven-

ding fra 2. tone og derefter på hver fjerde 2, 6,

10 osv. (se eks. 8). Hvad angår BL72 og BL92,

fremstår omvendingen fra 2. tone med 8 to-

ners mellemrum (BL7’s tone 2, 10, 18 osv., jf.

BL92, se eks. 9a og 9b).

3. position rummer i BL33 A.D. Roels fund:

retvending i halvt tempo fra 2. tone (se eks.

Visde2), en hierarkisk “tour de force”, der alt-

så synes at forekomme udfra den sidste posi-

tion i hver bølgelængde (BL33, BL55, BL77,

BL99 osv.) – som vist i eks. 10 for BL55.

(Videre ‘botanisering’ i den enkelte positions

interne hierarkier overlades venligst til det in-

dividuelle studium...)

(BL5-2)

BL52

BL9-6 BL9-3

BL7-6 BL7-3

BL76 BL73

(BL3-1)

BL31

(BL3-2)BL32

Eks. 4

Eks. 8

Eks. 5

Eks. 9a

Eks. 6

Eks. 9b

Eks. 7

Eks. 10

BL7-2

BL72

BL9-2

BL92

(BL5-2)

BL55


5/7


(basismelodi)

BL91

BL92

BL93

BL94

BL95

BL96

BL97

BL98

BL99

Planche 1 (BL3, BL5, BL7).

NB: Det lille potenstal ef-

ter bølgelængdeangivel-

sen angiver positionen fx

BL32 = den BL3, der frem-

kommer ud fra uendelig-

hedsrækkens 2. tone.

Planche 2 (BL9).


6/7

Per Nørgårds skrifter. Udgivet af Ivan Hansen. Dansk Center for Musikudgivelse - www.kb.dk/dcm6

AFSLUTTENDE, ”KOMPOSITORISK”,

KOMMENTAR

Der er alt i det foregående kun søgt at for-

midle et par af de rent strukturelle iagttagel-

ser – der i sig selv forekommer mig dybt fa-

scinerende i deres mangfoldige relationer

indenfor selv korte stræk. Hvad komponisteni mig angår, er jeg dog taknemmelig over at

disse sammenhænges uendeligheder ikke

gik op for mig allerede i 1959-60. Hvad de uli-

ge bølgelængder angår, dukkede de jo først

op for mit indre blik, efter 2. symfoni, 12 år ef-

ter. Jeg kunne mistænke at jeg var gået i stå, i

lammelse over de i sig selv grænseløse rækker

af uendelige antal bølgetog af uendelige me-

lodier – såsom tusindbenet, der pludselig be-

gyndte at tænke sig om, før det satte sit førsteskridt med det udvalgte ben. Det kom aldrig

ud af stedet. Blot halter lignelsen (undskyld!)

fordi ethvert tusindben – i det mindste forin-

den dog havde oplevet de tusind bens blom-

strende gang-uden-besvær, hvorimod jeg ville

have stået uden nogen erfaring.

I dag – sidder jeg med 40 års erfaringer og

ser heldigvis med større undren end skræk

på det nye skue. Alligevel er det med yderste

mådehold, jeg er begyndt at inddrage det nye

revir til kompositorisk arbejde: Tre Stadier for

klaver og en Intonation for slagtøjsensemble.

Og i begge tilfælde har jeg kun vovet mig ud i

BL3’s (tre) positioner med korte tangeringer

af (enkelte af) BL5’s (fem) positioner.

Lad mig til sidst præsentere to af de lande-

vindinger, der – men endnu kun potentielt –

forekommer mig særligt lovende. På den ene

side allestedsnærværet på enhver tone, på et-

hvert vilkårligt valgt fragment af uendelig-

hedsrækken, startende fra ethvert vilkårligthøjt tonenummer, af motiver, én gran præ-

ciseret – vilkårligt – som fx en tone fra BL3;

det gælder så bare at manifestere alle følgen-

de “hver-tredie”, og straks vil afsløres et for-

finet netværk af relationer. Denne frihed var

faktisk utænkelig i det præ-roelske uendelig-

hedssystem; trods dets store potentiale måtte

den nøgterne vurdering af de fundne melo-

dier (jvf. 3. symfoni) fastslå, at hvad den basa-

le u-række angår er dens mønster-dannelser yderst modul-artede og forudsigelige blot ved

enkelte hierarkiske markeringer. Ligeledes er

∞ tonerækken

∞ tonerækken ('Thue-Morse')

∞

de talrige ulige bølgelængders temaer (BL25,

135 osv.) i kraft af deres bundethed (som om-

talt) til lutter “førstepositioner” låst til en

række fælles knudepunkter – og derved truet

af rytmisk monotoni (foruden at deres gestal-

ter synes at begrænse sig til to typer: “savtak”

og “3 toners tilløb”).Med de nye syn kan ikke blot en hvilken

som helst tone anses for muligt arnepunkt

for en rigdom af melodier; hvis man fokuse-

rer på den ekstremt fleksible polyrytmik/-me-

trik der åbner sig, bliver også nye rytmiske

kombinationer sigtbare.

Betragt kolonnerne (Planche 1) med BL3,

5 og 7 under hinanden. Trods deres pæne op-

stillen over hinanden, afviger deres tempi jo

radikalt fra hverandre, dvs. er uden bundne(poly)rytmiske knudepunkter.

Mest umiddelbart kompositorisk incite-

rende er dog nok de nye melodier i sig selv:

Hver af deres initial synes at indvarsle en ejen-

dommelig stilkonsekvens i de følgende ud-

viklinger (så langt man orker at følge dem…);

nogle er kromatisk krøllede, andre diatonisk

åbne, med karakteristiske spring eller tone-

gentagelser. Små verdener, hver for sig.

Dog: små?

Noter

1 Jørgen I. Jensen: Per Nørgårds Musik – Et

verdensbillede i forandring (Amadeus, Kbh.

1986), s. 62-66.

2 I 1996 gjorde Michael Nyvang mig op-

mærksom på at den to-tonige afledning

allerede i første halvdel af 1900-tallet blev

fundet og beskrevet af to matematikere,

Thue og Morse, uafhængigt af hinanden.

Da jeg var lige så uafhængig af dem ved ataflede den (kun) to-skalatonige version af

den “-tonige, “uendelighedsrækken”, vil

jeg fortsætte med at kalde den “to-tone-

rækken”, fx i forbindelse med de mange

slagtøjsværker baseret på denne (eller på

fire-tonerækken).

3 “-rækken “oversættes” til to-tonerækken

således:


7/7


Enhver tone på en linie overføres på linien,

enhver i mellemrum placeres over linien.

Det forekommer mig ikke indlysende at

den modsatte vej skulle være mulig, altså

med to-tonerækken som udgangspunkt at

imposere den på et mangelinjet system, så

som det diatoniske femlinje-system.4 Jørgen Mortensen har foretaget en inten-

siv undersøgelse af fænomenet og aflæst

adskillige lovmæssigheder i sin bog Per

Nørgårds Tonesøer (Vestjysk Musikkonser-

vatorium, Esbjerg, 1992).

5 Aflæsningen af en vilkårlig bølgelængdes

n-tallige positionslinier har vist sig op-

timal i den på de to plancher viste form:

uendelighedsrækken afsættes (kromatisk

sædvanligvis) lodret på et n-talligt linie-system, fx 3-liniet. 4. tone bryder den lod-

rette linie ved at placere sig til højre for 1.

tone – og således fortsat.

■

Artiklen er skrevet som en indledning til an-

tologi-samlingen med undersøgelser af de

nye perspektiver ved uendelighedsrækken

som Ane Dorte Roels (her omtalte) opda-

gelse i 2001 af uendelighedsrække-struktu-

rer afstedkom, og er trykt i Ane Dorthe Roel &

Per Nørgård: Nye aspekter i uendelighedsræk-ken. Med yderligere bidrag af Svend Hvidtfelt

Nielsen, Ivan Hansen., Søren H. Schauser, Trine

Boye Mortensen (cd-interview), red. og med et

forord af Jørgen I. Jensen (Edition Wilhelm

Hansen, 2006) – med følgende indhold:

Jørgen I. Jensen: Forord , Ane Dorthe Roel:

Opdagelsen, Per Nørgård: Uendelighedens

diakrone aspekter , Ane Dorthe Roel: De hie-

rarkiske forhold i uendelighedsrækken, Svend

Hvidtfelt Nielsen: Motiviske aspekter af uen-delighedsrækken, Ivan Hansen: Nørgårds to-

tone-uendelighedsrække (”Trommerækken”)

før og efter Roel/Nørgård-opdagelserne, Søren

H. Schauser: Uendelighder – bye historier, nye

kontekster , Trine Boye Mortensen & Per Nør-

gård (cd-interview): En uendelig historie.

uendelighedensdiakroneaspekter.2006

Documents