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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Maria do Carmo da Silva Rodrigues Miranda
Uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem:
Leitura e Interpretação de Gráficos e Tabelas e Medidas
de Tendência Central em uma Perspectiva Construtivista
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
São Paulo
2011
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Maria do Carmo da Silva Rodrigues Miranda
Uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem:
Leitura e Interpretação de Gráficos e Tabelas e Medidas
de Tendência Central em uma Perspectiva Construtivista
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como
exigência parcial para obtenção do título de MESTRE
PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a
orientação do Professor Doutor Armando Traldi Junior.
São Paulo
2011
Banca Examinadora
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
O mestre tem a responsabilidade de fazer com que o aluno
descubra não o caminho propriamente dito, mas as vias de acesso
a esse caminho, que devem conduzir à meta última.
Eugen Herrigel (1989)
Dedico este trabalho a meus pais, esposo,
filha e neto, pois com muito carinho e
incentivo colaboraram, para que eu
alcançasse mais este objetivo em minha vida.
AGRADECIMENTOS
A Deus, o maior de todos os Mestres, pelos
ensinamentos de vida, por todas as conquistas
alcançadas e barreiras ultrapassadas.
A meus pais José e Celestina (in memória), minha filha Luana,
meu neto Pedro e o meu esposo Leonardo, que sempre me
acompanharam, participando de meus objetivos, envolvendo-me
com amor, atenção e carinho.
Ào professor orientador Doutor Armando Traldi Júnior,
pela competência e sabedoria na orientação e execução
deste trabalho.
Aos professores do curso, que com toda sabedoria souberam
transmitir e me fazer entender tudo aquilo que se propuseram a
ensinar.
À professora, amiga e irmã de coração Viviane, pela
preciosa atenção, receptividade, sabedoria e dedicação na
correção da redação de meu trabalho durante todo seu
desenvolvimento, sempre me apoiando e incentivando
com carinho amor e dedicação.
As amigas de curso Luciane Mendonça e Luciane Rosenbaum,
no decorrer do curso, aprendi a tê-las como irmãs de coração, por
me apoiarem sempre e aceitarem como sou, ouvindo-me nos
momentos de desânimo e ajudando a prosseguir nesta
caminhada sempre com carinho e dedicação.
A meu amigo de curso Mitchell, que me apoiou nos
momentos difíceis e respeitou-me como sou, incentivando
e ouvindo-me com calma e sabedoria para me orientar
sempre que necessário.
Aos demais colegas do curso, que me aceitaram, permitindo-me
viver em liberdade para que pudesse ser eu mesma,
compreendendo minhas falhas e estimulando-me ao êxito: tenho
certeza de que nunca estaremos sós, pois cada um de nós leva
um pouco do outro e deixa um pouco de si mesmo...
Aos professores e alunos sujeitos desta pesquisa, sem os
quais não seria possível sua efetiva realização.
A todos que, de alguma forma, contribuíram para a realização
deste trabalho.
A Autora
RESUMO
Este estudo teve como objetivo verificar como desenvolver uma trajetória hipotética de
aprendizagem (THA), de acordo com as perspectivas construtivistas, contemplando a
leitura e a interpretação de gráficos, tabelas e medidas de média, moda e mediana.
Assim, analisou-se a atuação do professor de Matemática, no que se refere ao
planejamento e desenvolvimento de uma trajetória hipotética de aprendizagem, de forma
compatível com a perspectiva construtivista de aprendizagem. Para a fundamentação
teórica, a teoria de Simon (1995) foi usada, pois defende a formulação de modelos de
ensino, baseados em uma perspectiva construtivista. O estudo faz parte de um projeto de
pesquisa denominado “Construção de Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem e
Implementação de Inovações Curriculares em Matemática no Ensino Médio”. Com a
finalidade de responder às questões de pesquisa, realizou-se um estudo de natureza
qualitativa, contando com a participação de três professores em regime de colaboração
da rede pública do Estado de São Paulo e 90 alunos da 3.ª série do Ensino Médio. A THA
foi elaborada pela pesquisadora com base nos resultados de pesquisas já realizadas
sobre leitura e interpretação de gráficos e tabelas estatísticas, medidas de média, moda e
mediana que contemplam tarefas, contendo tabelas de dados brutos, situações-
problema, representações gráficas e tarefas que envolveram a análise exploratória dos
dados. Apoiada nos resultados obtidos, inferiu-se, que o uso dos resultados de pesquisa
contribui de forma relevante para o planejamento de situações de ensino e
aprendizagem, porém, é necessário rever como estas poderão chegar aos professores.
Considera-se que, apesar do uso das THAs ser relevantes e servir realmente de ponto de
referência para o planejamento das atividades de ensino, sua elaboração é uma tarefa
difícil dentro do âmbito de uma aprendizagem, segundo os pressupostos de uma
perspectiva construtivista. Ressalta-se ainda que apenas a THA não é suficiente, para
que ocorra uma aprendizagem significativa.
Palavras-chave: Estatística. Leitura e Interpretação de Gráficos e Tabelas. Trajetória
Hipotética de Aprendizagem. Educação Matemática. Ensino Médio. Perspectiva
Construtivista.
ABSTRACT
This study aimed to determine how to develop a Hypothetical Learning Trajectory (HLT),
according to constructivist perspectives, considering the reading and interpreting of
figures, charts and measures of mean, median and mode. Thus, It was analyzed the
performance of the mathematics teachers in relation to the planning and development of a
hypothetical learning trajectory, consistent with the constructivist perspective of learning.
For the theoretical background, it was used the theory of Simon (1995), because it
defends the formulation of models of teaching based on a constructivist perspective. The
study is part of a research project entitled "Construction of Hypothetical Learning
Trajectories and Implementation of Curriculum Innovation in Mathematics Teaching in
High School." In order to answer the research questions, It was carried out a qualitative
study, with the participation of three teachers under cooperation of the State of São Paulo
and 90 students of the 3rd Grade of high school. The (HLT) was established by the
researcher based on the results of researches conducted about reading and interpreting
graphs and statistical charts, measures of mean, median and mode which includes tasks,
containing charts of gross data, problem-situations, graphics representations and tasks
involved in exploratory data analysis. Supported by the results found, we inferred that the
use of research results contributes to the planning of teaching and learning situations,
however, it is necessary to review how they could reach the teachers. It is considered
that, despite the use of (HLT) be relevant and truly important as a reference point for
planning teaching activities; its development is a difficult task within the framework of a
learning process, according to the assumptions of a constructivist perspective. In addition
to, it was noticed that only the (HLT) is not enough to happen a meaningful learning.
Keywords: Statistics. Reading and Interpreting Graphs and Charts. Hypothetical Learning
Trajectory. Mathematics Education. High School. Constructivist Perspective.
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO DA PESQUISA ....................................................................... 13
Projeto de Pesquisa no qual o Trabalho está Inserido ......................................... 13
Relevância e Motivação do Estudo Realizado com base no Projeto de Pesquisa 14
III Estrutura do trabalho ........................................................................................ 18
CAPÍTULO 1 ............................................................................................................ 19
Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem (THA) .............................................. 19
1.1 Pressuposto Teórico: Construtivismo ............................................................ 19
1.2 Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem (THA) - MARTIM SIMON ............. 24
1.2.1 Aspectos da Perspectiva Construtivista ............................................... 25
1.2.2 Caracterizações de uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem ........ 27
1.3 Outras Concepções sobre THA Pesquisadas por Gómez e Lupiañez .......... 36
1.4 Revisão bibliográfica ...................................................................................... 39
1.4.1 Estudos de THA ................................................................................... 39
1.4.2 Leitura e Interpretação de Gráficos e Tabelas e Conceitos Básicos
de Estatística .......................................................................................
44
1.4.3 Analise Exploratória dos Dados ........................................................... 56
1.4.4 Letramento Estatístico .......................................................................... 58
1.5 A Estatística nos Documentos Oficiais .......................................................... 60
CAPÍTULO 2 ............................................................................................................ 67
Metodologia de Pesquisa ................................................................................... 67
2.1 Metodologia .................................................................................................... 67
2.2 Procedimentos Metodológicos ....................................................................... 67
2.3 Cenário de Pesquisa ...................................................................................... 70
2.3.1 Caracterização das Escolas ................................................................ 70
2.3.2 Caracterização dos Professores Colaboradores ................................. 72
2.3.3 Caracterização dos Alunos .................................................................. 75
2.4 Primeiro Contato dos Professores com o Projeto .......................................... 77
CAPÍTULO 3 ............................................................................................................ 79
Primeira versão da THA ...................................................................................... 79
3.1 Motivação para Elaboração da Primeira Versão da THA .............................. 79
3.2 Objetivos da Pesquisadora ............................................................................ 80
3.3 Hipótese da Professora Pesquisadora em Relação à Aprendizagem dos
Alunos ............................................................................................................
82
3.4 Primeira Versão da THA e Objetivos de Cada Etapa de Aprendizagem ....... 83
CAPÍTULO 4 ............................................................................................................ 105
A THA em sala de aula ........................................................................................ 105
Desenvolvimento da Trajetória Hipotética de Aprendizagem em Sala de Aula .... 105
4.1 Desenvolvimento da THA pelos Professores ................................................. 105
4.2 Desenvolvimento da THA pelos Alunos ......................................................... 108
4.3 Análise da primeira versão da THA ............................................................... 110
4.4 Sugestões e Modificações para a Segunda Versão da THA ......................... 143
CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 158
REFERÊNCIAS ........................................................................................................ 166
SITES ........................................................................................................................ 170
ANEXOS ................................................................................................................... 172
Roteiro para Entrevista ......................................................................................... 172
Encontros com P1e P2 ......................................................................................... 174
Observações das aulas de P1 e P2 - Resolução da THA em sala de aula .......... 176
Encontros com P3 ................................................................................................. 194
Observações das aulas de P3 - Resolução da THA em sala de aula .................. 195
Segunda Versão da THA ...................................................................................... 209
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Ciclo de ensino de Matemática abreviado (Simon, 1995, p. 136) ............... 30
Figura 2: Os componentes da THA de Simon (1995) ................................................ 31
Figura 3: Domínios do conhecimento do professor, trajetória hipotética de
aprendizagem e interações com os alunos ..................................................
33
Figura 4: Diagrama das diferentes concepções de THA, conforme Gómez e
Lupiáñez (2007) ...........................................................................................
38
Figura 5: Gráfico de distribuição de frequência das formas de tempo gasto na
utilização do computador .............................................................................
84
Figura 6: Resolução errônea dos alunos de P3 da seleção dos sujeitos de
pesquisa .......................................................................................................
111
Figura 7: Representação do aluno A de P3 para o gráfico de colunas ...................... 113
Figura 8: Representação do aluno B de P3 para o gráfico de colunas ...................... 113
Figura 9: Tabela elaborada pelo aluno A de P1 ......................................................... 117
Figura 10: Representação gráfica dos dados da tabela pelo aluno A de P1 ............. 118
Figura 11: Tabela elaborada pelo aluno A de P2 ....................................................... 119
Figura 12: Representação gráfica dos dados da tabela pelo aluno A de P2 ............. 120
Figura 13: Organização dos dados apresentada pelo aluno B de P3 ........................ 122
Figura 14: Organização dos dados em uma tabela elaborada pelo aluno B de P3 ... 123
Figura 15: Tabela desenvolvida pelo aluno C de P1 .................................................. 125
Figura 16: O cálculo das medidas e construção do histograma pelo aluno C de P1 . 126
Figura 17: Tarefa realizada pelo aluno C de P2 ......................................................... 128
Figura 18: Histograma construido pelo aluno C de P2 ............................................... 128
Figura 19: Tarefa realizada pelo aluno D de P3 ......................................................... 129
Figura 20: Tarefa realizada pelo aluno D de P1 ......................................................... 131
Figura 21: Tarefa realizada pelo aluno de P2 ............................................................ 131
Figura 22: Tarefa realizada pelo aluno de P3 ............................................................ 132
Figura 23: Representação relizada pelo aluno E dos dados quanto ao gosto pela
Matemática dos alunos da turma de P1 ...................................................
134
Figura 24: Texto apresentando o perfil da turma de P1 realizado pelo aluno E com
base na análise dos dados .......................................................................
134
Figura 25: Tarefa realizada pelo aluno de P2, relacionando gosto pela Matemática
e gênero e descrição da turma á partir da análise dos dados ..................
135
Figura 26: Tarefa realizada pelo aluno de P3 ............................................................ 137
Figura 27: Representação gráfica referente à tabela anterior realizada pelo aluno
de P3 ........................................................................................................
137
Figura 28: Texto redigido pelo aluno de P3 para descrever o perfil da turma a partir
da análise dos dados ................................................................................
138
Figura 29: Evolução do IPCA nos últimos 12 meses (Foto: Editoria de Arte/G1) ...... 154
Figura 30: Gráfico do índice do custo de vida ............................................................ 155
Figura 31 Gráfico investimento público na Educação ................................................ 155
Figura 32: Gráfico da evolução da população residente em Portugal ........................ 156
Figura 33: Gráfico de distribuição de frequência das formas de tempo gasto na
utilização do computador ..........................................................................
210
Figura 34: Evolução do IPCA nos últimos 12 meses (Foto: Editoria de Arte/G1) ...... 222
Figura 35: Gráfico do índice do custo de vida ............................................................ 223
Figura 36 Gráfico investimento público na Educação ................................................ 224
Figura 37: Gráfico da evolução da população residente em Portugal ........................ 224
13
APRESENTAÇÃO DA PESQUISA
Projeto de Pesquisa no qual o Trabalho está Inserido
Este estudo está inserido em um projeto de pesquisa intitulado “Construção
de trajetórias hipotéticas de aprendizagem e inovações curriculares em
Matemática no Ensino Médio”, coordenado pelos Professores Doutores Célia
Maria Carolino Pires e Armando Traldi Júnior. O projeto iniciou-se no segundo
semestre de 2007, na Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC/SP), e
faz parte do grupo de pesquisa, cuja linha de investigação é “Matemática na
Estrutura Curricular e Formação de Professores”.
A pesquisa “Construção de trajetórias hipotéticas de aprendizagem e
inovações curriculares em Matemática no Ensino Médio” é um trabalho
colaborativo, entre professores da rede pública do Estado de São Paulo e os
pesquisadores, foi motivado pela necessidade de desenvolver materiais de base e
inovação no currículo de Matemática, levando em conta os princípios presentes
nos Parâmetros Curriculares do Ensino Médio.
Seus objetivos são construir, avaliar e desenvolver trajetórias hipotéticas de
aprendizagem (THA), conforme os pressupostos apresentados por Simon (1995),
que visam à aprendizagem dos alunos e levantamento de hipóteses sobre como
elas ocorrem. Para a aprendizagem dos estudantes, consiste dos objetivos as
tarefas matemáticas que serão usadas na promoção da aprendizagem e o
levantamento de hipóteses a respeito do processo de aprendizagem para
diferentes conteúdos do currículo do Ensino Médio.
O projeto tem a pretensão de contribuir com o conhecimento da
aprendizagem dos alunos do Ensino Médio por meio de tarefas, envolvendo a
resolução de problemas do cotidiano e interdisciplinar, o uso da tecnologia,
14
utilização dos conceitos e procedimentos matemáticos em situações variadas do
cotidiano.
Relevância e Motivação do Estudo Realizado com base no Projeto de
Pesquisa
De acordo com Pires (2009), apesar dos documentos oficiais1 proporem
em sua estrutura a organização do conhecimento em três grandes blocos
(Códigos, Linguagens e suas Tecnologias; Ciências da Natureza, Matemática e
suas Tecnologias, Ciências Humanas e suas Tecnologias), disposição esta
riquíssima para a integração e conexão entre as áreas do conhecimento, parte
dos professores não faz uso destes direcionamentos, o que nos remete à
necessidade de uma implementação mais clara do currículo.
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNEM), outro ponto destacado é
a importância do ensino e da aprendizagem da Matemática serem propostos por
intermédio de situações contextualizadas, interdisciplinares e com aplicabilidades
na vida cotidiana.
Os PCNEM apontam que o papel da Matemática não se restringe apenas à
formação ou à instrumentação, mas, sim, a uma ciência com características
próprias e úteis a toda e qualquer área social, cultural e econômica. Defendem
ainda que a Matemática deva ser apresentada aos alunos de tal forma que os
conduza a uma aprendizagem contínua, buscando novas informações e outras
formas de aprender.
Conforme descreve Pires (2009) diferentes estudos em Educação
Matemática têm atentado para o problema da desarticulação entre conteúdos,
metodologias, avaliação e organização curricular. Também alerta sobre a falta de
comunicação entre os formadores de professores com os estudantes de
Licenciatura, e ausência de oportunidade desses estudantes para utilizarem a
tecnologia da informação e da comunicação durante sua formação.
1 Parâmetros Curriculares Nacional do Ensino Médio e Parâmetros Curriculares Nacional +.
15
De acordo com a autora, em geral, os cursos de licenciatura ou de
formação continuada mantêm um distanciamento visível entre os conteúdos
específicos e pedagógicos, assim como o distanciamento entre teoria e prática.
Além destes fatores, a maioria dos professores possui uma formação baseada na
transmissão do conhecimento e guiada por livros-texto ou outras fontes de
informação.
Em função dos fatos acima mencionados, Pires (2009) justifica a
importância da elaboração do projeto de pesquisa que envolve docentes dos
cursos de formação inicial e continuada e professores da rede pública, visando à
implementação da proposta curricular do Ensino Médio na prática.
A presente proposta teve sua motivação na necessidade do
desenvolvimento de materiais de apoio à inovação curricular na área de
Matemática do Ensino Médio. Os materiais devem contemplar a expansão dos
recursos didáticos e materiais de divulgação, destacando a abordagem dos
conteúdos de forma contextualizada e interdisciplinar por meio da resolução de
situações-problema.
Com base nas motivações e objetivos dos coordenadores de projeto
“Construção de trajetórias hipotéticas de aprendizagem e inovações curriculares
em Matemática no Ensino Médio”, buscamos elaborar nossa trajetória hipotética
de aprendizagem envolvendo leitura e interpretação de gráficos e tabelas e
medidas de tendência central (a média, a moda e a mediana). A trajetória tem a
pretensão de amenizar as dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos
alunos destacadas em diferentes pesquisas, envolvendo os conteúdos de leitura e
interpretação de gráficos e tabelas estatísticas e interpretações errôneas em
relação às medidas de tendência central que referenciamos.
A proposta de pesquisa do grupo ao qual pertencemos, é motivada pela
necessidade do desenvolvimento de materiais de apoio à inovação curricular na
área de Matemática no Ensino Médio. Pretendemos priorizar nesta trajetória o
desenvolvimento de habilidades, como selecionar e analisar as informações
obtidas para tomar decisões que exijam linguagem, métodos e formas de pensar
matemáticos, conforme alguns princípios apresentados nos PCNEM.
16
Para tanto, contemplaremos as situações de aprendizagem que viabilizem
o contato do aluno com algumas etapas do desenvolvimento de conhecimentos
relacionados à Estatística. Elaboramos a THA inspirados na “Análise Exploratória
dos Dados” (Batanero, Godino e Estepa, 1991) e nos conceitos de Raciocínio e
Letramento Estatísticos baseados em Borim, 2007.
Verificamos ainda que vários estudos realizados no ensino de Estatística
objetivavam verificar em que nível de leitura e interpretação de gráficos e tabelas
encontravam-se seus sujeitos de pesquisa. Os trabalhos que fundamentam nossa
pesquisa buscaram subsídios de apoio nos três níveis de leitura e interpretação
de gráficos idealizados por Curcio (1989):
Leitura dos dados: o leitor simplesmente levanta os fatos atestados nos
gráficos ou informações encontradas nas etiquetas dos eixos,
diretamente dos eixos (compreensão de nível cognitivo muito baixo);
Leitura entre os dados: este nível inclui interpretação e integração do
dado do gráfico, requer habilidade de comparar quantidades e o uso de
outros conceitos matemáticos e habilidades (nível encontrado em testes
padronizados); e
Leitura além dos dados: este nível de compreensão requer uma
predição ou inferência a partir dos dados, extraindo os esquemas
existentes para a informação que não é explícita nem implicitamente
apresentada no gráfico.
Os trabalhos ainda buscaram ou se apoiaram nos níveis de leitura dos
dados das tabelas apresentados por Wainer (1992);
Nível básico – é o nível em que as questões somente extraem da tabela
os dados que estão explícitos;
Nível intermediário – é o nível em que as questões exigem a
interpolação ou a percepção da relação existente entre os dados de uma
tabela; e
Nível avançado – é o nível em que as questões abordam um maior
entendimento das estruturas dos dados em sua totalidade, comparando
17
tendências, analisando questões implícitas e privilegiando a visão global
da tabela.
Com o intuito de responder nossas questões de pesquisa e que os alunos
desenvolvam habilidades que contemplem em parte estes níveis, elaboramos a
THA, utilizando a análise exploratória dos dados de Batanero, Godino e Estepa
(1991), e em tarefas baseadas no material de Novaes e Coutinho (2008), já que
consideramos que estes se aproximam de uma trajetória de ensino e
aprendizagem dentro de uma concepção construtivista.
Amparados em nossas leituras e baseados na Teoria de Simon (1995), que
consiste na elaboração e desenvolvimento de THA, temos o objetivo de verificar
como os professores colaboradores de nossa pesquisa desenvolvem uma THA,
contemplando situações de ensino e aprendizagem sob uma perspectiva
construtivista. Além disso, nosso estudo visa a investigar como estes professores
podem contribuir para a elaboração e/ou possíveis mudanças da THA. Desta
maneira, averiguaremos também a atuação de nossos colaboradores no decorrer
das aulas, diante de uma THA. Com base nestes objetivos, pretendemos
responder às seguintes questões:
Quais são as possibilidades e dificuldades de desenvolver uma trajetória
hipotética de aprendizagem (THA) em uma perspectiva construtivista,
envolvendo os conhecimentos de leitura, interpretação de gráficos e
tabelas e medidas, como a média, a moda e a mediana para alunos do
Ensino Médio?
Quais são as contribuições do professor na elaboração de trajetória
hipotética de aprendizagem?
Que atuação pode ter um professor de Matemática no que se refere ao
desenvolvimento da trajetória hipotética de aprendizagem de uma forma
compatível com uma perspectiva construtivista de aprendizagem?
III Estrutura do trabalho
18
Nosso trabalho está organizado em quatro capítulos:
No capítulo 1, apresentaremos o pressuposto teórico referente ao
construtivismo; as Formulações de Martin Simon (1995); o estudo da concepção
de THA, segundo a visão de outros pesquisadores; estudos realizados para
fundamentar a elaboração da THA, a análise dos Parâmetros Curriculares
Nacionais do Ensino Médio, focando o ensino de estatística, os temas e os
principais resultados dos trabalhos de THA desenvolvidos e concluídos por
pesquisadores do grupo ao qual estamos inseridos.
No capítulo 2, discorreremos sobre a fundamentação metodológica, os
procedimentos metodológicos, o cenário de pesquisa, a caracterização das
escolas, dos professores colaboradores e dos alunos destes professores, além do
primeiro contato dos professores colaboradores com o projeto.
No capítulo 3, abordaremos a motivação para a elaboração da primeira
versão da THA, os objetivos da professora-pesquisadora em relação à leitura e
interpretação de gráficos e tabelas e aos conteúdos básicos de estatística, as
hipóteses da professora pesquisadora em relação à aprendizagem dos alunos, a
primeira versão da THA e os objetivos de cada tarefa.
No capítulo 4, apresentaremos o desenvolvimento da THA em sala de aula.
Para tanto, descreveremos como ocorreu o desenvolvimento da THA pelos
professores e alunos, faremos uma análise da primeira versão da THA e
relataremos sugestões e modificações das tarefas para elaboração de uma
segunda versão.
Por fim, apresentaremos as considerações, nas quais procuramos
responder nossas questões de pesquisa e apresentar suas principais
contribuições para a Educação Matemática e aquisição de novos conhecimentos
e o crescimento profissional da pesquisadora e dos professores colaboradores.
19
CAPÍTULO 1
Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem (THA)
Neste capítulo, apresentaremos o pressuposto teórico referente ao
construtivismo; as formulações de Martin Simon (1995); o estudo da concepção
de THA, segundo a visão de outros pesquisadores; e estudos realizados para
fundamentar a elaboração da THA e a análise dos Parâmetros Curriculares
Nacionais do Ensino Médio, focando o ensino de estatística.
1.1 Pressuposto Teórico: Construtivismo
O construtivismo demonstra toda sua potencialidade de ensino, quando
usado como instrumento para análise de situações educativas e de ferramenta
utilizada na tomada de decisões inteligentes, de acordo com o planejamento,
aplicação e avaliação de ensino. Não pode ser considerado como salvação da
educação e/ou como um receituário a ser seguido, mas, um conjunto de princípios
possíveis de diagnosticar, julgar e tomar decisões sobre o ensino. (COOL et al.,
2009)
Os autores citados não consideram a concepção construtivista uma teoria,
porém um referencial para utilização de pesquisas e teorias, como marco inicial
para o planejamento das ações de situações de ensino e aprendizagem, o que
20
não significam ações de exclusividade do professor, pois a ação é realizada pelos
alunos.
Partindo deste pressuposto, podemos inferir que o professor precisa de
teorias que sirvam de referencial para priorizar e contextualizar metas de
finalidades; planejar, analisar e modificar situações de ensino em função do que
ocorre em sala de aula, para tomar decisões e adaptar situações de
aprendizagem, ou seja, teorias que forneçam instrumentos de análise e reflexão
sobre práticas, requisitos estes presentes na THA idealizada por Simon (1995).
Para Coll et al. (2009) a concepção construtivista da aprendizagem e do
ensino parte do principio de que a escola deve propiciar aos alunos aspectos
culturais imprescindíveis, para o desenvolvimento do cognitivo e das capacidades
de equilíbrio pessoal, de inserção pessoal, de relações intrapessoais e motoras.
Aceitando que a aprendizagem é feita da construção pessoal, ponto este comum
à teoria de Simon (1995) que buscou articular duas concepções do
construtivismo: a radical e a cultural.
Estruturados nesta concepção, temos arraigados o fato de que
aprendemos quando somos capazes de elaborar a representação pessoal sobre
um objeto da realidade ou do conteúdo que pretendemos aprender. Sendo assim,
aprendemos com base nas experiências, interesse e conhecimentos prévios;
quando isso ocorre, não só modificamos o que já sabemos, mas interpretamos o
novo de forma a integrá-lo e interiorizá-lo.
Para que o aluno atinja esta etapa da aprendizagem, precisamos ter
discernimento que tal fato não ocorre isoladamente, assim, a promoção da
aprendizagem significativa é necessária e, para tal, é de suma importância a
intervenção do professor, variando em quantidade e qualidade contínua e
transitória, ajustando as necessidades do aluno, para que parta de suas
responsabilidades, progredindo, conforme a finalidade educativa.
É preciso ter consciência de que a escola é o ambiente onde o aluno
aprende a se desenvolver, quando constrói significados adequados dos
conteúdos que compõem o currículo escolar. Esta construção é possível, desde
que haja a participação ativa e global do aluno, além de sua disponibilidade e
21
conhecimentos prévios no desenvolvimento das situações de aprendizagem,
sendo o professor mediador e orientador entre aluno e cultura.
Concordamos com Coll et al. (2009), que o construtivismo é um ótimo
referencial para o trabalho do professor, pois é útil para reflexão sobre como se
ensina, o que se ensina, quando se ensina e como se avalia, atuando como ponto
de partida para a tomada de decisão e justificativa no planejamento de uma
intenção de ensino. Podemos ainda deduzir com base nos pressupostos de
Simon (1995) que, além do planejamento, este possibilita a implementação de
mais dois elementos, os objetivos destas intenções de ensino e as hipóteses dos
professores sobre a aprendizagem dos alunos com estas intenções de ensino.
(...) a concepção construtivista oferece ao professor um referencial para
analisar e fundamentar muitas decisões que tomam no planejamento e
no decorrer do ensino, pois é no domínio da situação de ensino
aprendizagem seja na sala de aula, seja em sua abordagem na própria
equipe que a concepção construtivista mostra a sua maior potencialidade
para converter-se em fonte de reflexão e inovação para o ensino. (COLL
et al., 2009, p. 35)
Vale ressaltar com base nos autores, que a disponibilidade para a
aprendizagem e o significado que lhe é dado, envolvem aspectos afetivos
relacionais, pois, quando aprendemos, atribuímos nossos valores e sentidos. O
processo e seu resultado também provêm de nosso entendimento da situação ou
do objeto de estudo. Deste modo, o aprender implica uma necessidade ou
interesse pelo saber. Para que ocorra aprendizagem, o ser humano leva em conta
vários aspectos afetivos e emocionais. A aprendizagem e o sucesso são
fundamentais na construção de nosso autoconceito2 e autoestima.
Para a realização de aprendizagens significativas, o aluno deve manifestar
disposição para aprender significativamente, isto é, dar um enfoque profundo ao
que se pretende aprender, pois, neste enfoque, a intenção dos alunos é
compreender os significados dos objetos de estudo, relacionando conhecimentos
prévios com o novo conteúdo, com a própria experiência ou outros temas,
2 O autoconceito Fierro, (1990) apud Coll et al. (2009) inclui um amplo conjunto de representações que temos
de nós mesmos. O autoconceito refere-se ao conhecimento de si mesmo e inclui juízos valorativos chamados de autoestima.
22
avaliando, o que vai realizando até chegar a um grau aceitável de compreensão.
(COLL et al., 2009)
De acordo com os autores, vale ressaltar que o enfoque dado à tarefa
depende do interesse pelo conteúdo, das características das tarefas e dos
requisitos da avaliação. Mas, para sentir interesse, é preciso saber, o que se
pretende e verificar se a tarefa preenche alguma necessidade. Para obtenção de
um enfoque profundo, é preciso considerar que:
...a elaboração do conhecimento requer tempo, esforço e envolvimento
pessoal, bem como ajuda especializada, incentivo e afeto, pode
contribuir para modificar em certo grau um processo para ajustá-lo mais
aquilo que esperamos: que os alunos aprendam e ficam contentes por
aprender; que os professores comprovem que os seus esforços são uteis
e sintam-se gratificados.(COLL et al., 2009, p. 37)
Os autores citados ressaltam que uma tarefa de aprendizagem ou de
qualquer tipo tem sentido quando contempla fatores como: “saber o que é para
fazer, a que responde, qual a finalidade perseguida com isso, com quais outras
coisas pode relacionar-se, em que projeto geral pode ser inserido”.
O sentido para envolver-se em uma tarefa ocorre, quando ela nos é
atraente, interessante e necessária, que irá funcionar como motor que move a
ação. Logo, quando uma tarefa é apresentada aos alunos como algo, que permite
preencher determinadas necessidades (aprender, saber, influir, mudar) e quando
eles têm a oportunidade de desenvolvê-la ativamente, criam condições de torná-la
interessante.
A concepção construtivista pressupõe os conhecimentos prévios, como
ponto de partida para a aprendizagem de novos conteúdos, sendo este um
elemento central para elucidar os processos de aprendizagem e ensino na sala de
aula, pois oferece subsídios de como o professor pode ou deve ensinar coisas
novas ao aluno com base no que já conhecem. (COLL et al., 2009)
Para os autores citados, o enfoque ou disposição da abordagem das
situações de aprendizagem de novos conteúdos surge como resultado de
numerosos fatores de índole pessoal e interpessoal. Então, devemos considerar
23
que os alunos dispõem de um conjunto de instrumentos, estratégias e habilidades
gerais adquiridos em contextos diferentes para completar o processo ao longo de
seu desenvolvimento e, de maneira especial, no contexto escolar. Para isto, há
níveis de inteligência que lhe permitirão certo grau de compreensão e a
concretização da tarefa.
Graças aos conhecimentos prévios dos alunos, percebemos os
fundamentos da construção de novos significados, que podem fazer a primeira
leitura de novos conteúdos, atribuindo-lhes significado e sentido para iniciar o
processo de aprendizagem. A tarefa é mais significativa, quando o aluno é capaz
de estabelecer relações significativas entre o que já sabe, ou seja, seus
conhecimentos prévios e o novo conteúdo. (COLL et al., 2009)
Em determinados níveis e áreas do conteúdo, a prática docente ininterrupta
pode proporcionar indicações confiáveis sobre as dificuldades mais habituais dos
alunos na aprendizagem de um novo conteúdo, sobre as atitudes, conceitos e
procedimentos que eles têm de pôr em jogo para realizar esta aprendizagem,
sobre os erros sistemáticos que costumam cometer ou as lacunas que
detectamos. (COLL et al., 2009)
Concordamos com os autores, que não é fácil determinar quais são os
conhecimentos prévios necessários. Diante desta dificuldade, pode ser
conveniente uma exploração global para saber em que estágio de aprendizagem
os alunos se encontram, antes de iniciar a situação de ensino. Deixando para
avaliar aspectos mais específicos ou pontuais, ao iniciar ou no decorrer das lições
concretas. Sendo assim, esta exploração pode ser realizada por meio de um
diálogo entre professor e aluno, pois este é mais flexível e pode ser mais rico e
ainda permite a dinâmica de sala de aula, evitando que a exploração do
conhecimento prévio seja vista como um exame.
Na concepção construtivista, pressupomos, baseados em Coll et al. (2009),
que os conteúdos não são um fim em si mesmo, mas um meio para a
transformação dos alunos. Sendo assim, para que estes desenvolvam um
conhecimento profundo e significativo, os professores devem planejar o ensino
contemplando a determinação do objetivo para ajudar a orientar melhor a
24
atividade dos alunos no processo de construção de conhecimentos, decidindo
qual o tipo e grau de ajuda que devem oferecer.
Para os autores, o aluno considera a aprendizagem escolar um processo
ativo, em que constrói, modifica e elabora o conhecimento de diferentes
conteúdos, apoiado no significado e no sentido que pode atribuir aos mesmos e
ao próprio fato de aprendê-los.
Coll et al. (2009) relatam que, necessariamente, na concepção
construtivista, o ensino deve ser entendido, como suporte ao processo de
aprendizagem. Os autores relacionam três elementos básicos como eixos da
tarefa do professor: o planejamento do ensino, a observação e reflexão constante
sobre o que ocorre na aula e a atuação mobilizada em função dos objetivos, do
planejamento, da observação e da análise que vão sendo realizadas.
A ajuda não depende daquilo que cada professor individual pode fazer
na sala de aula, mas também tem a ver com decisões tomadas a nível
de ciclo, de etapa, de seminário sobre questões como materiais
curriculares a serem usados pelos alunos, livros didáticos, agrupamentos
de alunos, distribuição e uso de espaços, estruturação de horários
etc.(COOL et al., 2009, p. 43)
Baseados nos pressupostos dos autores, compreendemos que a
concepção construtivista não determina formas de ensino, mas, oferece
elementos para análise e reflexão sobre a prática, possibilitando a compreensão
dos processos que nela intervêm e a avaliação de sua conexão educativa,
oferecendo, ainda, critérios valiosos para o planejamento, a concretização e a
avaliação do ensino.
1.2 Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem (THA) - MARTIM SIMON
Para Simon (1995), embora o construtivismo apresente indícios de trajetos
proveitosos aos professores de como se processam a aprendizagem dos alunos,
a tarefa da reconstrução de uma “pedagogia da Matemática”, baseada em uma
25
perspectiva construtivista de ensino, é um tabu a ser vencido, pois pode oferecer
importantes contribuições às reformas do ensino de Matemática em sala de aula.
O autor citado descreve apenas o termo Pedagogia, como sendo a
intenção de significar todas as contribuições para a Educação Matemática na sala
de aula. Destacando a inclusão, não apenas um trabalho multifacetado do
professor, mas também contribuições para o ensino em sala de aula com um
currículo construído, desenvolvendo materiais e pesquisas educacionais.
Em seu trabalho, Simon (1995) buscou estabelecer uma relação específica
entre os conteúdos de ensino, o modo como os alunos adquirem conhecimentos e
os métodos utilizados para se alcançar este aprendizado, buscando descrever a
pedagogia da Matemática. Sendo assim, o construtivismo destaca-se como
proposta pedagógica, baseado na construção do conhecimento e apoiado em
situações atreladas à realidade, nas quais os conteúdos são importantes, mas o
foco principal é pautado em como o aluno aprende esses conteúdos e qual o
caminho percorrido, para que ocorra a apropriação do conteúdo de forma
significativa.
O autor citado desenvolveu um trabalho3 que contribuiu para o ensino em
sala de aula, mostrando que o currículo pode ser construído, assim como também
podem ser desenvolvidos materiais de ensino, justificando o fato de que o ensino
realizado deriva de uma perspectiva da construção do conhecimento.
Pires (2009) relata que o foco do trabalho de Simon está na tomada de
decisão a respeito dos conteúdos e nas tarefas de ensino a serem desenvolvidas
em sala de aula.
1.2.1 Aspectos da Perspectiva Construtivista
Conforme relatado por Simon (1995), “teóricos da Educação Matemática,
pesquisadores e praticantes” têm discursos diferentes no que diz respeito às
3 Dados coletados em sala de aula experimental com 25 alunos, onde o pesquisador acompanhou o
professor de Matemática.
26
aspirações do construtivismo, desde expressões: “Construtivismo Radical” e
“Construtivismo Social”. Assim, em uma perspectiva construtivista, edificamos
nosso conhecimento de mundo, utilizando nossas astúcias e experiências,
baseados em nosso conhecimento prévio. Em conformidade com os princípios
apresentados por Simon (1995), acreditamos que o processo de aprendizagem
inicia-se, quando a experiência adia nossas expectativas, sendo resultante da
reflexão continua de intervenções adaptativas, induzindo a novos conceitos.
Para o autor, o construtivismo radical é uma visão particular dos alcances
do conhecimento, caracterizando apenas uma expansão da verdade que nos
permite a vantagem da “construção sobre nosso senso de experiência”. Esta
posição em relação ao construtivismo relaciona-o, como construção individual,
mesmo apresentando a importância da interação social.
Já o construtivismo social, de acordo com Simon (1995), caracteriza-se
como uma construção mental derivada de um processo, no qual o conhecimento
individual é oriundo da dimensão social, ou seja, baseado na cultura.
Apoiado em Cobb, Yackel, e Wood (in press, Wood, Cobb, e Yackel; in
press; cobb, 1989) e Bauersfeld (1988), objetivando evitar os extremos Simon
(1995) faz a conexão das duas perspectivas, condição esta necessária para
entender como se processa a aprendizagem em sala de aula, tendo em vista que
esta não se dá apenas na perspectiva social ou em uma dimensão cognitiva, mas,
na conexão das duas.
De acordo com Simon (1995), a análise psicológica (cognitiva) está focada
no conhecimento individual da aprendizagem Matemática, em seu entrosamento
com o outro e no discernimento do funcionamento da aula de Matemática. Já a
análise sociológica tem como alavanca “o conhecimento e as normas sociais da
sala de aula”.
As “normas sociais” referem-se àquilo que está entendido como a
construção do conhecimento com a efetiva participação dos alunos nas
aulas de Matemática. Incluem também as expectativas que os membros
da comunidade têm sobre os professores e os alunos, conceitos dos
meios utilizados para a elaboração da aula de Matemática e o caminho
utilizado para validar a aula de Matemática. (SIMON, 1995, p. 7)
27
Concordamos com o autor, ser de grande valia enxergar a Matemática
como atividade cognitiva, pois deve ser vista como uma atividade apreendida por
processos e fenômenos culturais e sociais estabelecidos por uma comunidade
conscientizada.
Embasado nestes presupostos, o autor propõe a estruturação de um
trabalho, no qual se compreenda que a aprendizagem dos alunos é estabelecida,
quando é proveniente de um processo de construção individual e social mediado
pelo professor. O fato é fundamental, para que o construtivismo possa contribuir
com “a reconstrução de uma Pedagogia da Matemática”.
Nesta reconstrução, o autor considera o fato dos professores determinarem
como finalidade para a aprendizagem da Matemática, a construção de uma
prática que habilite seus alunos a percorrerem o caminho desta aprendizagem,
reconstruindo “meios para fazer conhecer a Matemática na escola e, deste modo,
meios para ensinar Matemática”.
Simon (1995) chama atenção para o fato de que não é simples mapear a
metodologia de ensino dentro de uma concepção construtivista, ou seja, esta não
determina estratégias para apropriação ou não do ensino. Sendo assim, para
entrelaçar cognição e social, esta metodologia não pode ser proveniente de
instruções de ensino.
Para o autor, não é possível acionar a perspectiva construtivista social sem
contradizê-la, usando a denominação de “ensino construtivista”, mas alerta para o
fato de que o construtivismo por si só não é a tábua de salvação para os
problemas de ensino.
1.2.3 Caracterizações de uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem
Simon (1995) concebe que a elaboração das trajetórias hipotéticas de
aprendizagem deve considerar os seguintes aspectos: o objetivo da
aprendizagem, o planejamento e a elaboração das atividades ou tarefas a serem
realizadas pelos alunos e o conhecimento destes. No entanto, além das hipóteses
28
sobre a aprendizagem dos alunos e o conhecimento Matemático do professor,
esta deve incluir o conhecimento das teorias e pesquisas do ensino de
Matemática.
Pires (2009) destaca que no conhecimento dos professores, além das
hipóteses do conhecimento dos alunos, outros fatores profissionais interferem na
elaboração de uma THA. Entre eles, enfatiza o conhecimento das teorias do
ensino da Matemática, os materiais didáticos, a teoria de como os alunos
aprendem, as representações matemáticas, o conhecimento dos conteúdos
derivados de pesquisas ou da própria experiência, entre outros.
No decorrer do desenvolvimento de uma atividade proposta pelo professor,
o objetivo pode mudar várias vezes, pois, à medida que os alunos vão se
comprometendo com a realização das atividades planejadas, cabe ao docente
inserir novas ideias sobre o conteúdo com base nas observações de como se dá
a aprendizagem dos alunos (SIMON, 1995).
Sendo assim, podemos inferir que é na escola e, sobretudo, na sala de
aula que aparecem os resultados da interação professor-aluno, assim como o
envolvimento destes com o conteúdo matemático. No entanto, o autor chama a
atenção para o fato de que qualquer modificação do conceito não é de
responsabilidade do professor, ele apenas contribui com a tarefa, porém, os
alunos constroem as tarefas e as experiências, determinando assim seu potencial
de aprendizagem.
Apoiados nos relatos acima e para melhor esclarecimento, utilizaremos
como exemplo uma tarefa referente ao conteúdo de Estatística, na qual o aluno
dá uma resposta inadequada sobre o conceito de média, no momento que o
professor verifica que está mal formulado, traça um novo objetivo de ensino sobre
“média”; que substituirá o anterior.
Entretanto, o professor levanta a hipótese dos possíveis métodos que os
alunos proporão para determinar a média e inicia uma discussão com eles sobre
os métodos estratégicos que conhecem para solucionar o problema. Após a
29
averiguação das estratégias propostas e, somente a partir daí, baseado nas
estratégias e interesses da turma, o docente deverá rever seus objetivos,
buscando novos objetivos, cuja finalidade será facilitar a compreensão de todos
em relação ao conteúdo de ensino, pois, no momento que consegue visualizar as
dificuldades de seus alunos, este se compromete de fato com a questão de
ensino.
As constantes idas e vindas durante a interação professor-aluno e as
mudanças continuas nas trajetórias, de acordo com Simon (1995), contribuem
para o processo de aprendizagem e desenvolvimento de trajetórias de
aprendizagem.
Pires (2009) descreve o fato como ambiente de aprendizagem resultante
da interação entre professor-aluno, e o modo como se empenham na realização
de uma tarefa.
A passar por estas etapas da elaboração e reelaboração de uma atividade
de ensino, o professor acaba por desenvolver-se melhor profissionalmente, visto
que seu entendimento sobre o conteúdo matemático também aumenta, à medida
que as discussões exigem a reformulação de seu conhecimento.
Quando as hipóteses listadas pelo professor no desenvolvimento de uma
tarefa mudam sua trajetória, ou seja, redefinem as perspectivas do conhecimento
dos alunos e a perspectiva das concepções matemáticas envolvidas, a
reorganização das perspectivas colabora com a modificação dos objetivos, planos
para as atividades de ensino e aprendizagem antecipadas. Estes apontamentos
permitiram a Simon apresentar o Ciclo do Ensino Matemático, esquematizado a
seguir, “um modelo de inter-relações cíclicas dos aspectos do conhecimento do
professor, pensamento, tomada de atitudes” (SIMON, 1995, p. 136).
30
Figura 1: Ciclo de ensino de Matemática abreviado (Simon, 1995, p. 136)
Para o autor, o ensino é direcionado pelos objetivos conceituais
apresentados aos alunos, que estão em contínua e constante modificação. As
atividades são basicamente elaboradas e embasadas no conhecimento do
professor e nas hipóteses que ele tem dos conhecimentos dos alunos, ficando
subentendido que o professor pode confrontar seu conhecimento sobre
determinado conteúdo, para a construção do conhecimento dos alunos.
A concepção de conhecimento matemático dos alunos é estruturada pelo
conhecimento matemático do professor, estes fatos são interessantes no campo
do ensino. Sendo assim, as metas de aprendizagem traçadas pelo docente serão
direcionadas para uma “trajetória hipotética de aprendizagem”.
Simon (1995) utiliza o termo trajetória hipotética de aprendizagem, tanto
para fazer referência ao prognóstico do professor como ao caminho que
31
possibilitará o processamento da aprendizagem. Segundo o autor, é hipotética,
pois não oferece um conhecimento avançado, e sim uma expectativa de
aprendizagem. Sendo assim, a trajetória hipotética de aprendizagem (THA)
instrumenta o professor na construção de seu projeto de decisões, baseado em
suposições de como se processa a aprendizagem.
A THA é composta por três componentes: o objetivo do ensino com
direções definidas (1); as atividades de ensino (2) e o processamento hipotético
de aprendizagem e as possibilidades de modificações da THA (3), sendo este
último a parte central do modelo desenvolvido por Simon, pois, nesta parte, o
professor poderá redefinir toda sua trajetória, conforme as necessidades dos
alunos. (SIMON, 1995)
Figura 2: Os componentes da THA de Simon (1995)
Nos dados da figura, o autor relata que uma trajetória hipotética de
aprendizagem implica a seriedade, com a qual se relaciona a meta pretendida
com o raciocínio das decisões de ensino e a hipótese desse percurso da
aprendizagem. É importante salientar que o desenvolvimento de uma THA, assim
como o das atividades de aprendizagem apresenta uma relação simbólica. A
32
origem das ideias para a elaboração ou construção das atividades de
aprendizagem está atrelada à hipótese do professor sobre o desenvolvimento do
pensamento e da aprendizagem do aluno. A antecipação dessas idéias beneficia
a origem dessas hipóteses, para o desenvolvimento do conceito do aluno.
Para Simon (1995), a escolha do termo “trajetória” é expressiva para
indicar um caminho, o autor faz a seguinte analogia para exemplificar o
significado do termo.
(...) considere que você tenha decidido viajar ao redor do mundo para
visitar, na seqüência, lugares que você nunca tinha visto. Ir para a
França, depois Havaí, depois Inglaterra, sem uma série de itinerário a
seguir. Antes, você adquire conhecimento relevante para planejar sua
possível jornada. Você faz um plano. Você pode inicialmente planejar
toda a viagem ou uma única parte dela. Você estabelece sua viagem de
acordo com seu plano. No entanto, você deve fazer constantes ajustes,
por causa das condições que irá encontrar. Você continua a adquirir
conhecimento sobre a viagem e sobre as regiões que você deseja visitar.
Você muda seus planos a respeito da seqüência do seu destino. Você
modifica o tamanho e a natureza de sua visita, de acordo com o
resultado da interação com as pessoas no decorrer do caminho. Você
adiciona os destinos à sua viagem e que não eram de seu
conhecimento. O caminho que você utilizará para viajar é sua “trajetória”.
O caminho que você antecipa em algum ponto é a sua “trajetória
hipotética. (SIMON, 1995, p. 35)
Simon (1995) destaca que a geração de uma THA tende a priorizar
instrumentos pelos quais o professor planeja suas atividades para a sala de aula
e sua interação com seus alunos. Com base nas observações que o professor faz
dos alunos, constitui-se sua experiência, que é a essência de sua construção
social, sendo diferente das primeiras antecipações dos professores, pois apoiados
nestas experiências os professores podem modificar toda sua trajetória de ensino.
Ainda afirma que, tanto a construção social das atividades como a
modificação das ideias do conhecimento do professor em sala de aula ocorrem de
forma simultânea. Às vezes, a avaliação do pensamento do aluno apresenta
várias adaptações, considerando o conhecimento do professor, retornando
reformulada como uma “nova ou modificada trajetória hipotética de
aprendizagem”.
33
O conhecimento matemático do professor contribui para a identificação
de um objetivo de ensino. Estes domínios de conhecimento, a meta de
ensino e o conhecimento da representação das atividades Matemáticas
para o professor, seu conhecimento sobre a aprendizagem individual do
aluno bem como a concepção de aprendizagem e ensino (ambos em
geral dentro da Matemática) contribuem para o desenvolvimento de
atividades de aprendizagem e processos de aprendizagens hipotéticas.
(SIMON, 1995, p. 36)
De acordo com o autor, a modificação da trajetória hipotética de
aprendizagem não ocorre durante o planejamento entre aulas, mas é ajustada
constantemente, quando o professor está comprometido com a trajetória da
aprendizagem. Os ajustes ou transformações podem ser realizados por um ou
todos os componentes da trajetória hipotética de aprendizagem: o método, as
atividades e o processamento hipotético da aprendizagem.
Em suma, o diagrama a seguir, baseado em Pires (2009), representa a
relação entre os domínios do conhecimento do professor, a trajetória de
aprendizagem e a interação com os alunos.
Figura 3: Domínios do conhecimento do professor, trajetória hipotética de aprendizagem e interações com os alunos
Fonte: Pires (2009) (adaptado)
34
O ponto inicial do diagrama é o conhecimento do professor, pressupõe-se
que este tenha em mãos uma variedade de situações-problema desafiadoras para
apresentar aos alunos, assim como o conhecimento das dificuldades mostradas
pelos alunos e a hipótese das estratégias que estes mobilizarão na resolução das
atividades. Desta forma, há possibilidade de serem eficientes na promoção da
aprendizagem e, ainda, existe a oportunidade de aprender mais sobre, o que
significa a aprendizagem e os conceitos embutidos.
Portanto, ao prever as dificuldades potenciais dos alunos, o professor terá
subsídios favoráveis para encontrar e desenvolver ideias mais poderosas na
construção das atividades que envolvam competências, mas o aumento de
dificuldades deve ser gradativo. As dificuldades conceituais são desafios
característicos, quando são superados pelos estudantes, derivam como
consequência do crescimento do conhecimento.
Em síntese, Simon (1995) considera que a interação de pequenos grupos,
a ausência de situações-problema rotineiras e a manipulação de materiais podem
ser instrumentos valiosos nas mãos dos professores de Matemática. No entanto,
não são suficientes para tornar os professores produtores de situações de
aprendizagens que resultem em um crescimento conceitual.
O modelo desenvolvido por Simon (1995) destaca a importância do
intercâmbio entre o planejamento do professor e a construção das atividades
provenientes das interações entre professores e alunos. Seu modelo é um
método instrucional e hipotético de como os alunos poderiam desenvolver o
conhecimento de forma significativa com base nos objetivos traçados. As
hipóteses e metas dos professores sobre aprendizagem e a construção de
atividades mudam continuamente o conhecimento dos professores, resultante de
seu “envolvimento na cultura Matemática em sala de aula”.
A estrutura do método para a Educação Matemática é indispensável,
quando é possível o envolvimento dos professores. As possibilidades dependem
das experiências interceptadas que constituem o desenvolvimento da
aprendizagem. Sendo assim, a Educação Matemática não se baseia em métodos,
como ideias fixas ou plataformas de experiências docentes; mas suas estruturas
35
metodológicas serão estabelecidas inicialmente pelas vivências e também serão
provenientes de transformações experimentais da aprendizagem atual e nos
episódios de ensino descritos por Simon (1995) a seguir:
“o pensamento/entendimento é um processo contínuo do conjunto de
dados e hipóteses construídas”.
“o conhecimento do professor envolve-se simultaneamente com o
crescimento do conhecimento do aluno”.
“a transformação continuada do conhecimento do professor”, ou seja, a
criação de mudanças contínuas na trajetória hipotética de
aprendizagem.
O Planejamento das instruções é parecido com a inclusão, a criação de
uma trajetória hipotética de aprendizagem. Esta visão reconhece e valida
o método do professor pela instrução e a importância de hipóteses sobre
o processamento da aprendizagem dos alunos. (SIMON, 1995, p. 42)
Para o autor, apesar da literatura no entorno da Educação Matemática ser
poderosa, no montante referente à importância de ouvir os alunos e avaliar suas
aprendizagens, pouca ênfase se dá à antecipação do processamento da
aprendizagem.
Em seu estudo, Simon (1995) demonstrou que o ensino matemático
envolve uma série de diferentes recursos, destacando que a dependência dos
fenômenos observados resultou em um modelo, cujos objetivos podem encorajar
outras pesquisas para examinar “teoremas em ação” para construir suposições
explícitas e convicções. Enfatiza a necessidade de novos modelos de ensino
matemático que sejam consistentes e construídos para surgimento de distintas
teorias.
O autor, ao considerar o “Ciclo de Ensino Matemático como um caminho
para pensar sobre o ensino matemático significativo”, refere que é importante ter
em mente a necessidade dos professores desenvolverem habilidades para gerar
hipóteses sobre o conhecimento dos alunos, habilidades para gerar trajetórias
hipotéticas de aprendizagem e habilidades para se comprometer com as análises
conceituais relatadas.
36
1.3 Outras Concepções sobre THA Pesquisadas por Gómez e
Lupiañez
Gómez e Lupiañez (2007) realizaram um trabalho e buscaram explorar as
diferentes concepções sobre THA, inspirado na necessidade de averiguar como
se dá a apresentação de THA aos alunos e de que forma contribui com o ensino e
aprendizagem. Primeiramente, ressaltam o ciclo criado por Simon (1995) para o
ensino da Matemática, como proposta de uma nova pedagogia da Matemática e,
em seguida, analisam os trabalhos de outros pesquisadores.
O interesse de Gómez e Lupiañez (2007) pelas THAs deu-se, após uma
edição de Mathematics Thinking and Learning, dedicado à discussão realizada
por Clements e Sarama, em 2004. De acordo com os autores, Steffe (2004)
declara o quanto é relevante a noção de THA dentro da Educação, pois,
atualmente, a construção de THA para os alunos é um dos maiores desafios à
Educação Matemática, sendo considerado também um problema apaixonante,
pois este caminho nos conduz à compreensão da Matemática que os alunos
conhecem e leva o professor para que possa interferir nesse conhecimento
matemático.
Para Gómez e Lupiañez (2007), vários pesquisadores reconhecem os três
elementos fundamentais para elaboração de uma THA. No entanto, de forma
diferenciada, pois uns a tem como ferramenta de investigação e outros para o
planejamento.
De acordo com Gómez e Lupiañez (2007) os trabalhos de Steffe (2004),
Lesh e Yoon (2004) e Clements, Wilson e Sarama (2004) estão relacionados à
investigação, e suas THAs exploram apenas aprendizagem de temas concretos.
Em contrapartida, Gravemeijer (2004) e Simon e Tzur (2004) preocupam-se mais
com a exploração das THA quanto ao uso que o professor faz delas. Um trabalho
diferenciado foi o de Battista (2004) centrado na avaliação. Gómez e Lupiañez
(2007) ressaltam que todos os trabalhos trazem exemplos de trajetórias de
37
aprendizagem, contemplando temas concretos, nos quais os pesquisadores
assumem o papel de professores em aulas concretas.
Gómez e Lupiañez (2007) ressaltam que alguns professores que
participaram desses projetos, são os que produzem os resultados. Já em outros,
como por exemplo, os trabalhos de Steffe (2004) e de Gravemeijer (2004), veem
as THAs como um trabalho do investigador, cujos resultados servem como apoio
ao trabalho dos professores. Apontam também as principais diferenças dessa
concepção, que alguns a defendem, como sendo o planejamento de várias
sessões para a sala de aula, e outros como trabalho com atividades especificas.
Para Gómez e Lupiañez (2007), o trabalho de Gravemeijer (2004) é uma
proposta baseada em teorias de instrução, ou seja, uma coleção de atividades
sobre determinado tema, de forma análoga. Já os desenvolvidos por Steffe (2004)
e Lesh e Yoon (2004) utilizam esta noção para descrever a aprendizagem dos
alunos ao longo de várias sessões de ensino sobre determinado tema, e Simon e
Tzur (2004) defendem as trajetórias hipotéticas de aprendizagem como
ferramenta para o planejamento de atividades e instrução no dia a dia da sala de
aula. Ao fim, apresentam ainda as concepções de Baroody, Cibulskis, Lai e Li
(2004), que sugerem que as trajetórias hipotéticas de aprendizagem servem para
o desenvolvimento microconceitual - atividade central da instrução em sala de
aula.
Gómez e Lupiañez (2007) encontraram pontos de discordância entre as
propostas de alguns pesquisadores como Gravemeijer, Cobb, Bowers e
Whitenack, (2000), na qual a trajetória é considerada a transformação de juízos e
decisões locais que, por sua vez, modificam as trajetórias hipotéticas de
aprendizagem, ou seja, têm caráter reflexivo; em contrapartida, Simon e Tzur
(2004) enfatizam que o papel do professor é a construção e a revisão constante
da trajetória hipotética de aprendizagem.
No entanto, as trajetórias que Gómez e Lupiañez (2007) vêm encontrando,
foram elaboradas por pesquisadores. Estes ainda discorrem que algumas
propostas, como as de Steffe (2004) e Lesh e Yoon (2004) são complexas e
38
técnicas, o que dificulta sua utilização pelo professor. Mas as apresentadas por
Simon e Tzur (2004) e Gravemeijer (2004), ainda segundo os autores, mostram
apenas prescrições.
Finalmente, Gómez e Lupiañez (2007) afirmam que Baroody, Cibulskis, Lai
e Li (2004) fazem inferência sobre a falta da universalidade, verificando-se que a
THA é válida em uma circunstância particular. Gravemeijer (2004), segundo
Gómez e Lupiañez (2007), reconhece as dificuldades dos professores na
construção das trajetórias, como as produzidas pelos pesquisadores. Os autores
ressaltam que não basta apenas entregar listas de instruções, mas, sequências
de instrução e sugerem que estas devam contemplar dois elementos úteis,
servindo como marco de referências e sequências de atividades que lhes sirvam
de exemplo.
Com a finalidade de melhor apresentarmos os estudos realizados por
Gómez e Lupiañez (2007) sobre as diferentes concepções da THA, elaboramos o
diagrama a seguir.
Figura 4: Diagrama das diferentes concepções de THA, conforme Gómez e Lupiáñez (2007)
39
Desse modo, Gómez e Lupiañez (2007) concluem que as THAs são
importantes na prática docente no que diz respeito ao desenvolvimento de
situações de ensino e aprendizagem. Assim, as recentes pesquisas em Educação
Matemática demonstram a importância desta noção na atuação dos professores
de Matemática, quando desenvolvem atividades de ensino e aprendizagem. No
entanto, as pesquisas realizadas recentemente mostram que estas são propostas
elaboradas por pesquisadores que assumem o papel de professores, não
apresentando indicações de como o professor pode utilizá-las em seu trabalho
diário em sala de aula.
Os autores referidos apresentam o trabalho realizado em um curso inicial
de formação de professores para exemplificar a noção de THA. Baseados no
desenvolvimento e seleção das tarefas de ensino e aprendizagem em um
processo reflexivo e cíclico que, para uma determinada tarefa, se apresentam as
capacidades necessárias, para que estas sejam concretizadas e, apoiados nestas
realizam as análises e os objetivos impostos para poderem modificar e analisar de
novo. Neste processo, o professor deve ter ideia das possibilidades de
aprendizagem no estágio inicial dos alunos para, então, apresentar seus objetivos
de aprendizagem, ou seja, as capacidades a serem desenvolvidas. Para tanto,
devem desenvolver uma lista contendo as capacidades que consideram
relevantes para atingir seus objetivos de aprendizagem.
A identificação, a caracterização e a seleção destas capacidades surgem
com as análises dos conteúdos matemáticos que se referem a estes objetivos.
Sendo assim, os autores propõem que o desenvolvimento de atividades de ensino
e aprendizagem determina-se em um processo sistemático, aberto a criticas e
discussões e que abordem o planejamento sugerido por Simon (1995).
1.4 Revisão bibliográfica
1.4.1 Estudos de THA
40
Antes de iniciarmos nossa revisão bibliográfica para o tema diretamente
ligado aos estudos de Estatística, buscamos analisar as pesquisas realizadas
pelo grupo em que estamos inseridos, assim, apontaremos os conteúdos
específicos em cada uma das THAs e seus principais resultados.
Os trabalhos foram realizados em sala de aula e tinham como foco os
alunos do Ensino Médio com seus respectivos professores de Matemática. Mas,
dos oito já desenvolvidos por nosso grupo, verificamos que apenas dois
pesquisadores conseguiram desenvolver a THA, contando com a participação de
três professores colaboradores, pois os demais tiveram a colaboração de apenas
dois professores. Com base nesse fato, podemos inferir que não é realmente fácil
desenvolver projetos colaborativos dentro das instituições escolares, talvez por
insegurança do professor em relação a seu próprio conhecimento. Verificamos
também que não foi fácil para os pesquisadores desenvolverem a THA,
provavelmente, pela escassez de material adequado e/ ou concomitante com uma
perspectiva construtivista para o Ensino Médio.
Angiolin (2009) desenvolveu uma THA abordando conteúdos relativos ao
estudo de funções exponenciais. A pesquisadora concluiu que não importa o
quanto o material seja bem elaborado, já que a aprendizagem dos alunos
depende em grande parte do ensino concebido pelo professor, pois, embora a
THA apresentada aos professores tenha sido a mesma, os resultados foram
diferentes, à medida que um interagiu mais que o outro, exercendo papel de
mediador no decorrer das tarefas, possibilitando aos alunos maior confiança no
que estavam fazendo, e que tivessem participação ativa no processo. A
pesquisadora chama a atenção para o fato de que não foi fácil apresentar aos
professores as intenções de ensino, mesmo com as trajetórias de aprendizagem
já elaboradas, em razão da concepção que o professor já tem sobre a melhor
forma de ensinar.
Assim, os professores têm dificuldade para trabalhar de forma
contextualizada, relacionando outras áreas, tecnologia, investigação e resolução
de problemas, pois preferem acreditar que os alunos aprendem mais por
explicações e/ou exposição dos conteúdos.
41
Barbosa (2009) elaborou e desenvolveu uma THA contemplando razões e
funções trigonométricas. Durante o desenvolvimento de sua THA, concluiu que,
embora os professores tivessem o conhecimento do conteúdo, apenas um
conseguiu desenvolver com seus alunos os conteúdos de forma significativa, pois
realizava intervenções o tempo todo, tirando dúvidas e motivando-os com
situações desafiadoras pertinentes, de forma a interagirem entre eles e o
professor.
O autor concluiu que não importam quais e como as tarefas sejam
propostas, pois o ensino depende da forma como o professor ensina. Acrescenta
baseado em Simon (1995), que não adianta apenas o professor ter conhecimento
do conteúdo para desenvolver uma aprendizagem em uma concepção
construtivista, deve também ter um repertório de estratégias e/ou instrumentos.
Mesquita (2009) teve sua trajetória hipotética de aprendizagem elaborada e
desenvolvida sobre ensinar e aprender funções polinomiais de 2º grau. Ao final da
elaboração da THA, ressalta o quanto é difícil elaborar uma trajetória de
aprendizagem, considerando os apontamentos das pesquisas, objetivos e
hipóteses sobre a aprendizagem dos alunos.
Durante o desenvolvimento da THA, a pesquisadora observou que os
professores colaboradores atuaram como transmissores de informação, pois
houve pouca intervenção durante a realização das tarefas e estavam mais
preocupados com seu comportamento do que com a aprendizagem. Verificou
também que o professor mais interessado pelo trabalho, acabou intervindo e
motivando mais seus alunos, justificando que o interesse do professor pela THA,
possivelmente, trouxe aos alunos também um interesse diferenciado dos demais
para desenvolverem as tarefas. Por fim, destaca o quanto a etapa da tarefa
desenvolvida com o uso da tecnologia foi motivadora para alunos e professores,
mas poderia ter sido mais bem explorada.
A autora revelou que, por várias vezes, teve vontade de interferir nas
tarefas com os alunos, pois, por diversas vezes, não concordava com a forma
como eram conduzidas. Alerta para o fato de que não importa o quanto sejam
boas as THAs, pois deve-se levar em conta que o professor é quem desenvolve,
42
e este não pode ser considerado, como mero aplicador de boas situações de
ensino.
Luna (2009) elaborou e desenvolveu a THA, envolvendo geometria
espacial, concluiu que, apesar da teoria construtivista não estipular um caminho
para a aprendizagem dos alunos, suas contribuições podem ser significativas
desde que os professores investiguem o pensamento dos alunos durante a
realização das atividades, buscando enriquecer e reformular suas expectativas de
aprendizagem redirecionando o planejamento das aulas. A pesquisadora ainda
relatou que, embora os colaboradores não tenham indicado modificações
significativas na THA, houve a promoção da reflexão sobre a prática dos
envolvidos e, consequentemente, sobre as hipóteses de aprendizagem dos
alunos.
Lima (2009) explorou conteúdos relativos à função logarítmica. O
pesquisador alega ter observado que o professor é o diferencial para o
desenvolvimento da THA, pois professores diferentes podem deduzir de forma
também distinta o desenvolvimento de uma mesma THA, ou seja, o professor já
tem uma concepção definida sobre o ensino e aprendizagem de determinado
conteúdo, pois, mesmo depois das reuniões, foi difícil explicitar-lhes, o que se
pretendia com a THA.
Desse modo, a forma como desenvolveram a trajetória possibilitou ao
pesquisador concluir que o professor é o principal responsável pelo sucesso ou
não de uma trajetória de ensino, pois um dos colaboradores direcionava e
mediava as tarefas, proporcionando um clima de trocas, discussões e
experimentação, no qual, ao final, o próprio professor se surpreendeu com os
resultados, e o outro deixou seus alunos à vontade, por muitas vezes, o que fez
que os alunos se desinteressem pelo desenvolvimento das tarefas.
Cabral Júnior (2009) abordou conteúdos relativos à noção inicial de
probabilidade em sua THA. Em suas considerações, ressalta as dificuldades
verificadas desde a própria elaboração até a apresentação da THA aos
professores colaboradores. Segundo o autor, a dificuldade de elaboração foi pela
43
escassez de material e/ou autores que contemplem atividades desenvolvidas em
uma concepção construtivista.
O pesquisador refere que os professores tiveram dificuldade para
apresentar modificações para a THA pela insegurança em relação ao
conhecimento do conteúdo. Pelos questionários, constatou que o tema é muito
complexo para os professores, e estes o deixam para o final do ano letivo, caso
haja tempo de desenvolvê-lo. Deduziu ainda que as condições de trabalho
constitue obstáculo no desenvolvimento de trajetórias de aprendizagem.
Tonneti (2010) contemplou em sua THA o ensino de estatística, em
especial, utilizou textos retirados de jornais. O pesquisador depreendeu que a
THA idealizada por Simon (1995) funciona como ponto de partida para a
reconstrução de uma pedagogia da Matemática, pois possibilitou que todos os
participantes enriquecessem seus conhecimentos. Concluiu que a tarefa de
elaborar uma THA não é de fácil execução, ressalta o quanto foi difícil convencer
o professor colaborador das razões e objetivos da intervenção de ensino, pois,
durante as reuniões, estes demonstravam desconfiança e resistência em aceitar o
novo. O pesquisador percebeu que a turma mais participativa foi justamente a do
professor que mais intervinha com os alunos, pois os outros não se interessaram
muito pelas atividades.
Freitas (2010) realizou um trabalho relacionado ao tema “ensinar e
aprender transformações isométricas no ensino médio”. A pesquisadora verificou
que, quando os professores recebem direcionamento e possíveis espaços para
discutir e modificar situações de ensino, sentem-se mais seguros para ensinar,
enxergando ainda possibilidades de ampliarem seus conhecimentos. Após suas
análises, esta ainda depreende, baseada em Gomez e Lupianez (2007), que a
elaboração da primeira versão de uma THA é mais condizente para o pesquisador
e, ao professor compete, apenas as alterações necessárias, de acordo com suas
necessidades.
Segundo Freitas (2010), o comprometimento do professor é o diferencial
para o sucesso ou não do desenvolvimento de uma THA, pois, inicialmente, os
44
professores mostraram-se bem motivados e apresentaram várias propostas de
modificação e de metodologias, antes do desenvolvimento. Mas, no decorrer das
aulas, a pesquisadora percebeu que um dos colaboradores não tinha o hábito de
preparar suas aulas, muitas vezes, não sabia nem o que fazer em sala de aula,
fato que acabou por desmotivar os alunos. Isto lhe possibilitou concluir que, de
acordo com uma perspectiva construtivista, não importam boas situações de
ensino para ensinar, pois o fato depende do professor, não apenas de sua
concepção de ensino, mas, de vários fatores para o sucesso ou não de uma
trajetória hipotética de aprendizagem.
Com base nos trabalhos apresentados, destacamos que todos salientam a
importância do professor para mediar e fazer funcionar a THA, pois são eles os
responsáveis por motivarem e/ou direcionarem os rumos que a aprendizagem do
aluno deve tomar.
1.4.2 Leitura e Interpretação de Gráficos e Tabelas e Conceitos Básicos de
Estatistica
Para auxiliar na elaboração de nossa trajetória hipotética de aprendizagem,
buscamos estudos realizados sobre o ensino e aprendizagem que abordam
conceitos básicos de estatística, referentes à leitura e interpretação de gráficos e
tabelas, medidas de tendência central, como média e moda e mediana.
Procuramos verificar ainda se estes conceitos influenciam o bom
rendimento dos alunos na resolução de questões e/ou situações-problema
envolvendo os conceitos básicos de estatística em avaliações externas ou se os
conceitos aprendidos auxiliam os estudantes a interpretar as informações
apresentadas em diferentes gráficos e tabelas que aparecem na mídia e nos
distintos meios de comunicação.
Além destes estudos, exploraremos um pouco mais o trabalho realizado
por Batanero, Godino e Estepa (1991) e Borim (2007), principais fontes
45
inspiradoras para elaboração de nossa trajetória de aprendizagem, por
considerarmos condizentes com a perspectiva construtivista de ensino.
Para tanto, fizemos uma pesquisa no Banco de Teses da Capes,
bibliotecas de Universidades e em sites recomendados por professores do
programa de Pós-Graduação da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
Nssa busca, utilizamos como palavras-chave as expressões: estatística, medidas
de tendência central, gráficos e tabelas estatísticas e leitura e interpretação de
dados. Mas, não verificamos muitos trabalhos direcionados ao Ensino Médio, foco
principal de nossa pesquisa. Sendo assim, optamos por escolher determinados
trabalhos de pesquisa sobre os assuntos já mencionados, independente do nível
escolar, para o qual foram desenvolvidos, por considerarmos importantes na
elaboração da THA. Em sua maioria, os trabalhos pertencem à instituição onde
estamos inseridos, tendo em vista o grande número de pesquisas sobre o assunto
que esta já elaborou.
Rodrigues (2009) realizou um trabalho de pesquisa que consistiu em uma
análise comparativa do desempenho dos alunos de Licenciatura em Matemática,
Pedagogia e Bacharelado em Administração, no qual pressupõe que os alunos de
Administração se sairiam melhores na leitura e interpretação de gráficos e
tabelas, envolvendo conceitos básicos de estatística.
A autora justificou o fato de sua escolha, por alunos desses cursos, por
serem os de Administração, consumidores de Estatística, utilizam a estatística de
serviço e, portanto, sairiam-se melhores que os outros. Sua escolha para os
alunos de licenciatura e pedagogia foi por serem estes os futuros professores,
responsáveis por ensinar os conceitos básicos, e os de pedagogia por poderem
introduzir os conceitos básicos.
A pesquisadora fundamentou seu estudo pautado nos níveis de leitura e
interpretação de gráficos e tabelas de Curcio e Wainer e nos registros de
representação semiótica da teoria de Duval. O trabalho contou com a participação
de 174 sujeitos, cujo material recolhido para análise foi composto de um caderno
com seis páginas, dividido em duas partes: a primeira, contemplou questões de
cunho pessoal; e a segunda, tinha nove questões, variando os níveis de
46
conhecimentos básicos que os alunos deveriam mobilizar para responder sua
questão de pesquisa sobre leitura e interpretação de gráficos e tabelas.
Em suas análises, a pesquisadora refutou a hipótese de que os alunos de
administração se sairiam melhor, justificando como fator que o trabalho realizado
para a apreensão dos conceitos não tenha sido de muita importância para os
mesmos, ou seja, o trabalho seria significativo se os temas de pesquisa tivessem
sido sugeridos pelos próprios alunos, o que não deve ter ocorrido. Concluiu que
os alunos de licenciatura encontram-se no nível intermediário, definido por Wainer
para leitura e interpretação de tabelas, e os outros dois grupos, no nível básico.
Em relação aos níveis de leitura e interpretação de gráficos, os grupos realizaram
apenas a leitura dos dados, conforme descrito nos níveis de Curcio.
Ribeiro (2007) desenvolveu um trabalho, cujo tema foi “leitura e
interpretação de gráficos e tabelas um estudo exploratório com professores”. O
autor considerou os níveis de interpretação gráfica idealizados por Curcio e os
níveis de interpretação de tabelas por Wainer, tendo como objetivo identificar que
os níveis de leitura e interpretação de gráficos e tabelas têm seu diferencial,
conforme o nível que os profissionais ensinam. Assim como a distinção entre
especialistas em Matemática ou não especialistas, o autor definiu como
especialistas, os professores de ensino fundamental II que frequentaram um
curso de Matemática e não especialistas os profissionais do ensino fundamental I,
inferindo que os especialistas possuem maior aptidão para lidar com a leitura e a
interpretação de gráficos e tabelas.
A pesquisa teve como público 40 professores da rede estadual de ensino
por serem estes, segundo o autor, os responsáveis pelo ensino e aprendizagem
da maioria, e pela facilidade de acesso aos mesmos. Os professores foram
divididos em dois grupos, sendo 20 de 1ª a 4ª séries e 20 de 5ª a 8ª séries. O
instrumento de pesquisa foi composto de cinco questões, envolvendo gráficos e
tabelas, contendo cada uma quatro itens contemplando os níveis de leitura e
interpretação de Curcio e Wainer. Além de ler e interpretar, os sujeitos que
participaram da pesquisa, realizaram a mudança de registro que, de acordo com o
47
autor, é um dos requisitos para o desenvolvimento de habilidades de leitura e
interpretação, ou seja, o da transcrição de tabelas para o registro gráfico e textual.
Após seus estudos, o pesquisador chegou à conclusão que os professores
que fizeram a graduação em Matemática, estão melhores preparados para
ensinar e desenvolver as atividades relacionadas ao ensino de estatística. No
entanto, apesar dos resultados apresentados, ainda precisam ser melhores
preparados, pois mostraram dificuldades relativas à leitura e interpretação dos
dados nos gráficos de linhas.
Embora o autor tenha direcionado sua pesquisa para as competências e
habilidades dos professores, trouxe como justificativa o fato de serem os
responsáveis pelo desenvolvimento de tais competências e habilidades no nível
de Educação Básica, pois os professores só têm condições de ensinar se
dominarem o assunto.
Durante o estudo de pesquisas relativas à leitura e interpretação de
gráficos e tabelas, podemos ainda ressaltar o trabalho realizado por Vasconcelos
(2007) que fez um estudo exploratório com alunos da 8ª série do Ensino
Fundamental, cujo objetivo foi investigar os conceitos estatísticos com a finalidade
de observar os efeitos de uma intervenção de ensino por intermédio de uma
abordagem não tradicional, voltada à resolução de problemas, envolvendo
conteúdos de estatística para o letramento estatístico de alunos da 8ª série.
O autor partiu das análises realizadas sobre o desempenho dos alunos nas
avaliações do SAEB4 e do SARESP5, ressaltando as dificuldades apontadas por
algumas pesquisas na leitura e interpretação de gráficos e tabelas. Assim,
realizou um estudo experimental fazendo um pré-teste com cinco atividades
subsidiadas de quatro itens cada, cuja finalidade foi direcionar as atividades a
serem aplicadas baseadas nos níveis de interpretação gráfica de Curcio e nos
campos conceituais de Vergnoud, para um posterior pós-teste também com cinco
atividades semelhantes ao pré-teste, aplicados a 33 alunos da 8ª série do ensino
fundamental.
4 Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica.
5 Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo.
48
Em seu trabalho, o autor alerta sobre os índices das pesquisas do INAF6 a
respeito do número de analfabetos funcionais, assim como os níveis de
alfabetização e um esquema de ensino dos conceitos de estatística, relacionando-
os aos campos conceituais de Vergnoud.
Analisando o pós-teste, Vasconcelos (2007) considerou, em seus estudos,
que os alunos tiveram um nível de aproveitamento satisfatório, após sua
intervenção de estudo. Em relação ao pré-teste, observou que não houve
dificuldades na leitura dos dados, que não constituiu maiores problemas aos
alunos nos pré e pós-testes. Verificou que houve uma melhora considerável na
leitura entre os dados, além destes, conforme os níveis de leitura e interpretação
de gráficos indicados por Curcio.
Desse modo, concluiu que a abordagem não tradicional contribui para a
aprendizagem de conceitos elementares de estatística quando é oferecida aos
alunos a possibilidade de resolverem diferentes situações-problema, envolvendo
variadas representações gráficas e exigindo sua participação em todas as fases
de desenvolvimento das atividades.
A dissertação de Cardoso (2007) teve por objetivo verificar como os
professores de Matemática mobilizam os conhecimentos estatísticos frente às
situações-problema, envolvendo medidas de tendência central, variabilidade e
representação gráfica dos dados.
Em seu trabalho, considerou duas questões de pesquisa: o professor, ao
trabalhar um conjunto de dados, utiliza os princípios da análise exploratória? Que
elementos dessa análise, ele mobiliza na resolução de problemas? Na busca
pelas respostas, apresenta um quadro teórico fundamentado no nível de
alfabetização dos professores pesquisados que, segundo Shamos (1995, apud
CARDOSO, 2007), está estruturado em três níveis:
Nível cultural – este é considerado básico: as pessoas entendem os
conceitos básicos apresentados nos meios de comunicação;
6 Indicador de Alfabetismo Funcional.
49
Nível funcional: o sujeito apresenta capacidade de conversão, leitura e
escrita de informação, utilizando termos científicos; e
Nível científico, nesta fase, o sujeito demonstra autonomia e segurança
ao escolher os métodos e as representações estatísticas, sendo ainda
capaz de realizar a análise dos dados, considerando a variabilidade.
Para responder sua questão, aplicou um questionário para 29 professores
de Matemática do Ensino Médio, atuantes em escolas públicas do Estado de São
Paulo (SP). A escolha dos mesmos não obedeceu a nenhum critério, pois a
participação foi voluntária, e o pesquisador já havia estabelecido vínculos
profissionais, segundo o autor, o fato evitaria que os sujeitos de pesquisa se
sentissem constrangidos e não tivessem a sensação de estarem sendo avaliados
ao responderem à atividade proposta, que foi dividida em três etapas e baseada
nas atividades propostas (BIFI, 2006).
Cardoso (2007) propõe diferentes níveis de complexidade às questões,
objetivando verificar em que nível de alfabetização os professores encontram-se.
Para tanto, o instrumento foi dividido em três partes: a primeira, composta por
dados fictícios; a segunda, por duas tabelas de distribuição de frequência e a
terceira, pela representação gráfica das tabelas apresentadas na segunda parte.
Em suas conclusões, Cardoso (2007) verificou que os professores não
apresentaram dificuldades quanto aos cálculos das medidas pedidas nas
primeiras etapas das atividades, porém não conseguem justificá-los ou dar
significados aos cálculos realizados. O fato levou o autor a deduzir que, se existe
o conhecimento, ficou implícito, pois os professores permaneceram ligados
apenas aos valores numéricos, o que os classifica em um nível cultural. Concluiu
que os professores têm um entendimento equivocado dos conceitos de média e
mediana, pois, para qualquer banco de dados, eles atribuíram a noção de
simetria.
Apoiado nisto, o pesquisador alerta para o fato dos livros didáticos
trabalharem com dados da forma simétrica e, assim, o professor não tem a
50
oportunidade de questionar a respeito de outros tipos de distribuição, o que lhe
possibilitaria a passagem para um nível funcional.
De acordo com as conclusões de Cardoso (2007), ao se depararem com as
situações apresentadas, os professores buscaram, de imediato, cálculos
algébricos de média ou desvio-padrão sem a preocupação de analisar se tais
cálculos seriam mesmo necessários.
Pereira (2007) realizou um estudo baseado em estudos preliminares sobre
a importância dada à Estatística, por ser um dos ramos da Matemática que vem
tomando espaço de destaque na Educação. Em seu trabalho, procurou identificar
como os professores de Matemática do Ensino Médio ensinam Estatística a seus
alunos, se ocorrem mudanças na maneira de ensinarem, após passarem por uma
formação Estatística e ainda verificar em que níveis os alunos desses professores
se enquadram, após esta formação. Em seu trabalho, o foco é o professor, pois o
autor buscou assessorar o professor nos conceitos de Estatística, para que este
realizasse o trabalho de formação com seus alunos.
Partindo do princípio de que todo cidadão deve receber uma formação
adequada sobre os conceitos básicos de Estatística, para que, de forma
autônoma, construa seu conhecimento perante a mediação do professor, o autor
subdivide sua questão de pesquisa em três partes: primeira, “Como o professor
de Ensino Médio lida com os conteúdos de estatística?”, segunda, “Qual a opinião
que esse professor tem sobre a proposta de trabalhar com tais conteúdos no
Ensino Médio” e a terceira, ”Como os alunos resolverão as questões?”.
Para responder à questão de pesquisa, Pereira (2007) realizou cinco
encontros para sanar as dificuldades do professor sobre os conceitos estatísticos.
Além disso, houve um encontro em sala de aula com os alunos desse professor,
que foi assessorado pelo próprio pesquisador, o que enquadra sua pesquisa em
um estudo de caso. Ao final dos encontros, marcou-se um teste para responder à
sua questão de pesquisa, no qual os alunos comunicaram os resultados,
defenderam suas opções para resolução e discutiram as interpretações que
fizeram ao desenvolverem os testes.
51
De forma análoga a Cardoso (2007), Pereira também propõe diferentes
níveis de complexidade às questões dos testes, sendo estes divididos em três
partes: a primeira, composta por dados fictícios; a segunda, por duas tabelas de
distribuição de frequência e a terceira, contemplando a representação gráfica das
tabelas apresentadas na segunda parte.
Pereira (2007) analisou a produção dos alunos, de acordo com os níveis de
conhecimento defendidos por Robert (1998): mobilizável, técnico e disponível.
Em suas conclusões, não identificou as dificuldades dos alunos, pois estes
calcularam até mesmo o que não foi pedido. No entanto, ao desenvolverem os
relatórios de justificativa para as opções e interpretações, verificou que apenas
um grupo conseguiu relacionar os conceitos apresentados de forma coerente –
grupo este que o autor classifica, de acordo com a visão de Robert (1998), no
nível mobilizável de conhecimentos, e os demais, apesar de apresentarem todos
os cálculos corretos, não conseguiram justificar. Fato este que levou o
pesquisador a concluir que, se o conhecimento existir, o mesmo estará implícito,
pois os alunos ligam-se apenas aos valores numéricos, o que classifica estes
grupos dentro do nível técnico de Robert (1998).
Pereira (2007) ainda concluiu que os alunos investigados confundiram
média com mediana, pois atribuíram a noção de simetria a qualquer banco de
dados.
Da mesma forma que Cardoso (2007), Pereira também concluiu que,
mesmo em questões que exigem apenas uma interpretação visual do gráfico para
explicar o comportamento dos dados apresentados, os alunos realizaram uma
série de cálculos, buscando uma justificativa para a questão, evidenciando assim
a necessidade de realização de um trabalho de alfabetização estatística que
contemple sua totalidade nas propostas de Gal, (2002) apud, Cardoso (2007): “A
análise critica e global dos dados coletados”.
...o professor, quando recebe uma ajuda (tanto conceitual como
pedagógica) tem condições de trabalhar os temas em questão com seus
alunos. O que ficou evidente neste trabalho é que os alunos terão as
52
mesmas dificuldades que seus mestres. No caso, a análise interpretativa
dos resultados obtidos com os cálculos. (PEREIRA 2007, p. 106).
Simone Neto (2008) analisou os conteúdos de Estatística nos livros
didáticos do Ensino Médio de acordo com a visão Praxeológica de Chevallard
(2002), com o objetivo de verificar se estes apresentam conteúdos que propiciem
a construção do letramento estatístico e, ainda, analisar o nível exigido de
letramento para a resolução dos exercícios contidos nos mesmos, pois, de acordo
com o autor, embasado nos trabalhos de Lajolo (1996) e Dante (1996), o papel do
professor é fundamental para o ensino e aprendizagem, assim como a relação
professor / livro didático – sendo este na maioria das vezes o único suporte
pedagógico do professor. A análise realizada teve a finalidade de verificar se as
abordagens didáticas e a organização dos conceitos estatísticos citados
possibilitam a construção do letramento estatístico ou apenas a aplicação e
memorização de fórmulas.
Simone Neto (2008) justifica que em razão da atual importância dada à
Estatística, para que o aluno se desenvolva plenamente como cidadão, faz-se
necessário verificar se os livros, como aliados pedagógicos do professor,
fornecem subsídios para o desenvolvimento do pensamento estatístico, de modo
a prepará-lo para o futuro mercado de trabalho ou como pessoa em constante
construção de aprendizado.
Para fundamentar seu trabalho, o autor realizou um estudo da Organização
Praxeológica de Chevallard (2002), cuja teoria divide-se em: tarefa (ação do
sujeito sobre as categorias de um problema que pode ser resolvido por uma
técnica), técnica (método de resolução) e tecnologia (justificativa da técnica).
Quando uma tarefa está ligada a uma ou mais técnicas, forma-se o bloco “prático-
técnico”, mais conhecido como saber fazer.
Quanto aos níveis de letramento, Simone Neto (2008) atém-se nas
definições para letramento estatístico, baseadas nos estudos de Gal, (2002),
apud, Simone Neto (2008) e em seu modelo de letramento estatístico, composto
de cinco elementos cognitivos (conhecimento procedimental, conhecimento
estatístico, conhecimento matemático, conhecimento do contexto e habilidade
53
crítica; e dois elementos de disposição: crenças e atitudes e postura crítica).
Baseou-se, nos níveis de letramento de Shamos (1995) (cultural, funcional e
cientifico).
Com base na fundamentação, Simone Neto (2008) define um cidadão
letrado estatisticamente como o sujeito que consegue ler e reconhecer
informações, classificando-as quanto ao tipo de gráficos ou tabelas; utilizar
adequadamente o gráfico, tabela ou tipos de medidas, de acordo com os dados
informados, sendo estes requisitos, para que o sujeito assimile a grande
variedade de informações divulgadas nos meios de comunicação, capacitando-o
a tomar decisões.
O referido pesquisador analisou seis coleções de livros didáticos do Ensino
Médio aprovados pelo PNLD7, com finalidade de responder duas questões de
pesquisa “Que Organização Matemática e Didática os livros didáticos do Ensino
Médio de 1º ao 3º anos selecionados apresentam em relação aos conteúdos
estatísticos?” e “A construção do letramento estatístico é favorecida pelo
desenvolvimento da organização apresentada nos livros didáticos?”. Estas
questões tinham como objetivo contribuir para a melhoria dos livros, no que diz
respeito ao tema Análise de Dados.
Das seis coleções analisadas, o pesquisador concluiu que apenas uma
promove atividades propícias para o desenvolvimento do letramento no nível
funcional. Uma, está no nível cultural mais próximo do nível funcional, e as
demais, no nível cultural.
Segundo Simone Neto, das duas coleções que propõem atividades no nível
funcional resta apenas complementá-las com atividades, envolvendo a coleta de
dados para descrição e a escolha do instrumento adequado na representação dos
mesmos, bem como desenvolver exercícios para compreensão e variabilidade
dos dados: e ainda há necessidade de se complementar uma delas com a
inserção de sugestão do uso de planilhas eletrônicas. De modo geral, as coleções
7 Programa Nacional do Livro Didático.
54
concentram os conteúdos de Estatística em um único volume e capítulo, mas
deveriam ser distribuídos em diferentes capítulos nos três volumes.
Cazorla (2002) realizou um estudo com o objetivo de verificar os fatores
que interferem na leitura de gráficos estatísticos, conforme a teoria das
habilidades matemáticas de Krutetskii e a teoria de compreensão gráfica de
Pinker. Os sujeitos de sua pesquisa foram 814 estudantes universitários do curso
de Estatística, foram utilizados seis instrumentos de pesquisa: um questionário,
duas escalas de atitudes, uma prova de Matemática, uma de Estatística e uma de
Aptidão verbal.
Para a autora, o avanço tecnológico tem colocado a Estatística em um
plano privilegiado, alertando para a necessidade da inclusão da Educação
Estatística em todos os níveis de escolaridade, pois os cidadãos, de modo geral,
ficam expostos às informações vinculadas pelos vários meios de comunicação
que podem influenciar nas tomadas de decisão. Além disto, chama a atenção
para o fato de que a ausência de conhecimento pode levar o cidadão a tomar
decisões erradas, tornando-o vulnerável a interpretações que não condizem com
a realidade. A autora, partindo desse pressuposto, parafraseia que “para uma
cidadania plena, o pensamento estatístico é tão necessário quanto a capacidade
de ler e escrever”.
Foi realizado um amplo estudo sobre a importância da leitura de gráficos,
de acordo com a visão de vários autores. Desse modo, selecionou a teoria de
Pinker por considerá-la a mais elaborada, porque existem dois fatores para o
sucesso na leitura de gráficos: o primeiro, ligado à ideia de que a capacidade do
leitor depende de sua capacidade de processar as informações e a segunda,
ligada à eficácia do gráfico em transmitir as informações (CAZORLA, 2002).
Ainda, segundo a autora, conforme a visão de Pinker (1990), ao ler um
gráfico aciona-se uma série de processos ligados à capacidade cognitiva do leitor:
o processo de reconhecimento, o de montagem, o de interrogação e o inferencial.
Mas, para adquirir as habilidades de interpretação de gráfico, a prática exerce um
papel importante, visto que os fatores que interferem na habilidade de
interpretação de gráficos são a habilidade verbal, a habilidade matemática, o
55
conhecimento matemático anterior, o conhecimento estatístico e os fatores
ligados aos gráficos.
Para Cazorla (2002), a eficácia de um gráfico depende dos conceitos
estatísticos envolvidos em sua construção; supõe que, quanto maior o domínio do
leitor sobre os procedimentos e conceitos estatísticos maior será sua habilidade
de leitura de gráficos e, ainda, que o aspecto afetivo pode interferir na
aprendizagem da estatística. Com base nestas suposições, buscou responder ao
seguinte problema de pesquisa: “Quais as relações entre a habilidade viso-
pictórica, o domínio de conceitos estatísticos e as atitudes em relação à
Estatística e leitura de gráficos?”. Com isso, propôs-se a responder duas
questões: quanta informação consegue ser extraída durante a leitura de gráficos e
quais são os fatores que determinam o sucesso dessa tarefa. Pela abrangência
do tema, limitou-se ao estudo do conceito de média aritmética, gráficos de barras
e de linhas.
O Ensino Superior foi o nível escolhido para a coleta de dados, justificando
que é neste nível de ensino que se estuda a disciplina Estatística. Os sujeitos
escolhidos para participarem da pesquisa foram 814 alunos, todos matriculados
no segundo semestre de 1999 e primeiro semestre de 2000 de um curso de
Estatística que, segundo a autora, compõem um censo populacional, fato este
que não a impediu de fazer relações entre as variáveis. O instrumento de
pesquisa foi composto de seis etapas:
Questionário informativo, contendo variáveis demográficas;
Escala de atitudes em relação à Estatística adaptada e validada por Brito
(1998), composta por 20 itens, sendo dez de negativas e dez positivas;
Prova de Estatística dividida em duas partes: a primeira, envolvendo
conceito de média e a segunda, leitura de gráficos;
Escala de atitudes em relação à Matemática e validada por Brito (1998);
Prova de Matemática com questões agrupadas em três provas: figural,
de geometria plana e de geometria espacial; e
Prova do raciocínio verbal do teste de aptidões especificas.
56
O instrumento foi aplicado em duas etapas: primeiro, um pré-teste e depois
o pós-teste, com exceção da prova verbal que só ocorreu no pós-teste. A análise
dos dados ocorreu em duas etapas: sendo a primeira de cunho descritivo, utilizou
as técnicas de estatística; e a segunda, realizada com o objetivo de validar as
hipóteses da pesquisadora, assim, consistiu em duas partes: a verificação das
relações entre as variáveis nos pré e no pós-testes.
Em suas considerações, a autora ressalta que, dos 814 alunos, apenas
757 realizaram o pré-teste; e o pós-teste, apenas 366. Outro fato relevante foi que
apenas 309 sujeitos participaram das duas etapas.
Cazorla (2002) concluiu que os sujeitos estão em um nível fraco de leitura
de gráficos para alunos do nível superior, pois conseguiram extrair informações
de nível elementar e tendências quando explícitas e, ainda, fazer projeções se
existia um padrão regular. Os indivíduos falharam na linguagem gráfica,
apresentaram baixa flexibilidade de pensamento em situações diferentes e não
perceberam a necessidade de conceitos elaborados para uma análise mais
consistente. A leitura dos gráficos foi dificultada pela ausência de conhecimento
do conceito de média e algumas propriedades.
A pesquisadora concluiu que, mesmo no ensino superior, os alunos não
estão no nível desejável, pois, em relação ao conceito de média, demonstraram
entendimento razoável e, na leitura de gráficos, apresentaram um baixo
desempenho, classificando-os como fracos. Ainda, atenta para o fato que há
muito trabalho a ser feito. As instituições devem elevar estas habilidades a um
nível bem mais avançado, buscando alcançar os pensamentos estatísticos
compatíveis com o mundo permeado de informações. Há necessidade de
desenvolver um trabalho mais significativo em relação à leitura de gráficos por ser
um instrumento cada vez mais usado para transmitir informação. Apesar de
cursarem o nível superior, os sujeitos apresentam graves lacunas na leitura de
gráficos. Portanto, a comunidade estatística deve dar mais atenção a conceitos
básicos que podem contribuir substancialmente para o desenvolvimento da
cidadania. A autora salientou que muitos dos resultados encontrados no presente
57
estudo são peculiares da instituição onde a pesquisa foi realizada, precisando de
estudos similares em outras instituições.
Com base nas pesquisas, verificamos que estas se justificam e concluem
que os alunos, independente do nível de ensino em que se encontram,
desenvolvem melhores competências e habilidades relativas à leitura e
interpretação de gráficos e tabelas, quando lhe são apresentadas situações-
problema significativas e ligadas ao meio em que estão inseridos.
1.4.3 Análise Exploratória dos Dados
Batanero, Godino e Estepa (1991) ressaltam que o desenvolvimento
tecnológico trouxe uma nova forma de se pensar o currículo do Ensino Médio,
sendo os conteúdos divididos em cinco blocos, dos quais dois estão relacionados
ao estudo de Estatística: o quarto, denominado ”Interpretação, representação e
tratamento da informação” e o quinto, “Tratamento do acaso”.
O momento é ideal, deve-se aproveitar esta inovação curricular para
introduzir o conceito da Análise Exploratória dos Dados no contato inicial do
Estudo de Estatística, pois esta metodologia leva em conta duas partes: a
primeira, refere-se à regularidade e aos desvios, e a segunda, às diferenças dos
dados relacionados a essa estrutura, buscando assim separar as regularidades
das observações. Com o uso desta metodologia, é possível extrair toda
informação, gerando novas hipóteses e fazendo conjecturas sobre as mesmas,
possibilitando ainda a apropriação dos temas de estudo no Ensino Médio.
(BATANERO, GODINO e ESTEPA, 1991)
Isso sugere um trabalho bem diferente do que se faz atualmente, no qual
são considerados apenas o levantamento dos cálculos e a representação visual
dos dados ajustados a um modelo preestabelecido, contemplando duas
alternativas: a confirmação ou não das hipóteses, o que não permite a
possibilidade de explorar outra informação em que se busca a junção entre
observações e regularidades.
58
Os autores citados apresentam as técnicas básicas da Análise Exploratória
dos Dados, justificando que, geralmente, se trabalha com computadores, porém,
muitas dessas técnicas são facilmente desenvolvidas manualmente por serem
bem simples, exemplificam com um conjunto de dados supostamente feito em
sala de aula pelos alunos sobre a massa em quilogramas de cada um.
A primeira representação citada por Batanero, Godino e Estepa (1991) é o
Diagrama de Ramos e Folhas (no caso em estudo, as dezenas indicam o tronco e
as unidades, as folhas), com o qual é possível visualizar a construção gráfica e os
valores dos dados estudados. Na concepção dos autores, na prática, temos um
histograma de amplitude igual a um, pois além de mostrar a forma de distribuição,
apresenta os dados ordenados. Esta representação pode ser reduzida ou
ampliada. Quando ampliada, recebe o nome Gráfico de Tronco Ampliado, tendo a
construção semelhante ao anterior, diferenciando-se apenas por ter duas linhas
para representar cada dezena, marcando um asterisco para representar as
unidades que variam de zero a quatro e um ponto quando variam de cinco a nove.
Batanero, Godino e Estepa (1991) relatam ainda as vantagens em se
trabalhar com as representações citadas em relação ao histograma: fácil
construção, precisão na observação dos dados, levantamento de ordem (máximo,
mínimo, mediana, moda, quartis, percentis e suas classes). Além disto, é muito
útil para o estudo da variável isolada, serve para estabelecer comparações entre
duas diferenças, entre duas distribuições. No caso exemplificado, observa-se
facilmente a noção intuitiva para o estudo da hipótese.
Outra representação é o Gráfico de Caixa ou Box-Plot, no qual os autores
também descrevem os procedimentos de construção, que não contemplaremos
em nosso trabalho, assim, não iremos nos estender neste ponto.
Segundo Batanero, Godino e Estepa (1991), a maior parte das técnicas
pode ser utilizada, tanto para análise clássica como no enfoque exploratório.
Concordamos com os autores que novos tempos requerem mudanças e
novas metodologias de ensino, assim como um novo olhar para o Estudo de
Estatística. Em uma das coleções de livros didáticos do Ensino Médio
“Matemática Aula por Aula” (Cláudio Xavier da Silva e Benigno Barreto Filho),
59
utilizada por dois de nossos colaboradores. Verificamos que embora explorem os
conteúdos de Estatística nas três séries do Ensino Médio e apresentem situações
contextualizadas, ainda trazem exercícios prontos e com resultados
predeterminados, utilizando representações clássicas, apresentando um
tratamento superficial dos dados e fazendo uso de tabelas e gráficos do mesmo
tipo (gráficos de barras, coluna, setor e segmento), nos três volumes.
Após analisarmos os livros, inferimos que estes trazem atividades sem
caráter exploratório, contemplando apenas a visualização de dados e o
levantamento de cálculos.
1.4.4 Letramento Estatístico
Consideramos importante discorrer sobre o termo letramento estatítico,
pois algumas pesquisas que fazem uso deste vocábulo, como, Cazorla (2002),
Vasconcelos (2007) e Simone Neto (2008) foram utilizadas em nossa revisão
bibliográfica.
Com base em Soares (2004), Borim (2007) faz a seguinte observação: no
Brasil, o termo alfabetização está relacionado a ler e escrever, e letramento é a
aplicação da leitura e da escrita. Ainda, segundo Borim (2007), outro termo
utilizado é literacia (aquisição e mobilização do conhecimento), termo este que
para Soares (2004) é sinônimo de letramento.
Borim (2007) ao definir letramento estatístico concorda com a definição
apresentada por Gal (2002), na qual o letramento auxilia o indivíduo a entender
fenômenos de relevância social e pessoal, evidenciando ainda os conceitos que o
ativam. Nesta definição, os adultos são considerados consumidores da produção
de informação estatística.
Borim (2007) destaca a importância em se desenvolver competências,
como: compreender, interpretar e avaliar os dados da pesquisa. Mas, ressalta que
isso depende do contexto cultural. Para tanto, é preciso conhecer conceitos
básicos de Estatística (investigação Estatística e as ideias-chave), de modo que
60
se compreenda e interprete criticamente os dados, desenvolvendo-se primeiro o
pensamento estatístico8, que é fundamental para o letramento estatístico do
cidadão, depois o conhecimento matemático propriamente dito. Mas, não se deve
deixar de lado a articulação entre conceitos e algoritmos. A construção do campo
conceitual ocorre de várias formas, no entanto, só será possível letrar
estatisticamente o aluno, se o professor for letrado antes.
Para Watson e Callingham (2003) apud Borim (2007), há seis níveis de
sofisticação para o letramento estatístico, e estes devem seguir uma sequência
hierárquica do letramento estatístico: Idiossincrático, Informal, Inconsistente,
Consistente e Não Crítico, Crítico e Matematicamente Crítico. A pesquisadora
ressalta que os autores alertam sobre a importância do contexto nos dois
primeiros níveis, sobre os diferentes conceitos estatísticos nos terceiro e quarto e,
só nos dois últimos, sobre o trabalho com relatórios apresentando postura crítica.
Borim (2007) aponta que o letramento estatístico depende tanto do
raciocínio estatístico9 como do pensamento estatístico, uma vez que estão
diretamente ligados. Quando o indivíduo é letrado estatisticamente, ultrapassa a
leitura das informações, refletindo de modo crítico em seus significados, que vai,
além de simples descrições e representações de dados, atingindo a investigação
e a tomada de decisão (BRASIL,2002). Ser letrado estatisticamente é ter
condições de aplicar os conteúdos estatísticos nas soluções e interpretações de
problemas do mundo real, entendendo fenômenos culturais e sociais.
A sobrevivência na sociedade depende cada vez mais do conhecimento,
pois diante da complexidade da organização social, a falta de recursos
para obter e interpretar informações impede a participação efetiva e
tomada de decisões em relação aos problemas sociais. (BRASIL, 1998,
p. 26/27)
(...) a tomada de decisões diante de questões políticas e sociais
dependem da leitura critica e interpretações de informações complexas
(...). (BRASIL, 1998, p. 27)
8 (...) estratégias mentais utilizadas pelo indivíduo para tomar decisões em todas as etapas do ciclo
investigativo (problema, planejamento, dados, análise e conclusão). (BORIM, 2007 p. 30) 9 (...) é um processo interno, mental, cujo argumento (ou o entendimento de uma explicação, ou uma ação
numa situação) permite inferi-lo. (BORIM, 2007 p. 32) Borim (2007) apresenta raciocínio como sinônimo de argumento: é interno e mental, uma elaboração que permite a resolução de problemas, que para ser desenvolvido é necessário que o aluno compare conceitos, avaliando-os e analisando-os de maneira adequada. Quanto mais o aluno tiver oportunidade de vivenciar situações envolvendo conceitos estatísticos, mais refinado ficará seu raciocínio, baseado em suas experiências.
61
A contextualização das ciências no âmbito sócio-cultural na forma de
analise crítica das idéias e dos recursos da área e das gestões do
mundo... (BRASIL, 2002, p. 133)
Sendo assim, o letramento estatístico deve inter-relacionar competências e
cidadania. Com base nas análises feitas no PCN do Ensino Fundamental e no PCN+, o
Letramento Estatístico deve ser desenvolvido na escola básica (EF e EM) de forma
contextualizada, tendo como princípio desenvolver competências básicas e primordiais
direcionadas ao ensino de Estatística.
1.5 A Estatística nos Documentos Oficiais
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM)
(BRASIL, 1998), no bloco Ciências da Natureza Matemática e suas Tecnologias, a
Matemática, pela sua posição de destaque e sua universalização, trabalha as
competências e habilidades de forma interligada, com o objetivo de orientar o
professor a realizar um trabalho integrado, pois, em outras áreas, quando existe a
necessidade de uma linguagem mais elaborada e abstrata, é de suma importância
o uso dos objetos matemáticos. Com o objetivo de direcionar a integração entre as
áreas, no documento é apresentado um quadro com o resumo das competências
e habilidades. Portanto, vamos destacar apenas às que se referem a nosso objeto
de pesquisa: leitura e interpretação de gráficos e tabelas Estatísticas:
Para o desenvolvimento da competência “Desenvolver a Capacidade de
Comunicação”, as habilidades são:
Interpretar e utilizar diferentes formas de representação (tabelas,
gráficos, expressões, ícones...).
Identificar variáveis relevantes e selecionar os procedimentos
necessários para a produção, análise e interpretação de resultados
de processos e experimentos científicos e tecnológicos.
Identificar, analisar e aplicar conhecimentos sobre valores de
variáveis, representados em gráficos, diagramas ou expressões
algébricas, realizando previsão de tendências, extrapolações e
interpolações e interpretações.
Analisar qualitativamente dados quantitativos representados gráfica
ou algebricamente relacionados a contextos sócio-econômicos,
científicos ou cotidianos. (BRASIL, 1998, p. 13)
62
Apoiados nas nove habilidades listadas para o desenvolvimento desta
competência, podemos verificar a importância que se deve dar ao estudo dos
conceitos de Estatística, pois quatro delas estão diretamente ligadas a este bloco
de conteúdo do Ensino Médio. Com o intuito de continuar justificando o porquê do
tema escolhido, veremos as habilidades do quadro de resumo para o
desenvolvimento da competência “Desenvolver a capacidade de questionar
processos naturais e tecnológicos, identificando regularidades, apresentando
interpretações e prevendo evoluções. Desenvolver o raciocínio e a capacidade de
aprender”
Formular questões a partir de situações reais e compreender aquelas
já enunciadas.
Procurar e sistematizar informações relevantes para a compreensão
da situação-problema.
Formular hipóteses e prever resultados.
Interpretar e criticar resultados a partir de experimentos e
demonstrações.
Articular o conhecimento científico e tecnológico numa perspectiva
interdisciplinar.
Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos
naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas,
determinação de amostras e cálculo de probabilidades. (BRASIL,
1998, p. 12)
Para esta competência, também se verifica a importância dada ao tema
escolhido, pois, das 12 habilidades, seis estão diretamente ligadas aos conceitos
de estatística.
Conforme prescrito no documento, no Ensino Médio, a organização do
currículo de Matemática deve possibilitar o desenvolvimento dos alunos com
diferentes motivações, interesses, capacidades e condições necessárias para sua
inserção no mundo em constante mudança em que as necessidades sociais,
culturais e profissionais.
[...] necessitam de alguma competência em Matemática e a possibilidade
de compreender conceitos e procedimentos matemáticos é necessária
tanto para tirar conclusões e fazer argumentações, quanto para o
63
cidadão agir como consumidor prudente ou tomar decisões em sua vida
pessoal e profissional. (BRASIL, 1998, p. 41).
Ainda relacionando a Matemática a outras áreas, podemos ressaltar sua
potencialidade integradora conforme as competências relativas ao ensino dos
conteúdos estatísticos listados no documento, pois seus instrumentos possibilitam
o desenvolvimento de competências fundamentais de utilidade prática para
diversas áreas, fato este facilmente verificado no trecho citado a seguir.
[...] contribuem para o desenvolvimento de processos de pensamento e a
aquisição de atitudes, cuja utilidade e alcance transcendem o âmbito da
própria Matemática, podendo formar no aluno a capacidade de resolver
problemas genuínos, gerando hábitos de investigação, proporcionando
confiança e desprendimento para analisar e enfrentar situações novas,
propiciando a formação de uma visão ampla e científica da realidade, a
percepção da beleza e da harmonia, o desenvolvimento da criatividade e
de outras capacidades pessoais.
No que diz respeito ao caráter instrumental da Matemática no Ensino
Médio, ela deve ser vista pelo aluno como um conjunto de técnicas e
estratégias para serem aplicadas a outras áreas do conhecimento, assim
como para a atividade profissional. (BRASIL, 1998, p. 40)
No Ensino Médio, a Matemática deve ser vista pelo aluno, como um
conjunto de regras e estratégias de comunicação de ideias, permitindo a este
modelar e interpretar a realidade. Mas, não é necessário que o aluno adquira
estratégias rebuscadas e complexas, e sim que consiga adaptá-las e utilizá-las
como meios para se inserirem em uma sociedade cada vez mais “bombardeada”
por informação nos mais variados modos de representação e meios diversos de
comunicação. Para tanto, é no Ensino Médio que se devem consolidar as
habilidades referentes a selecionar e analisar as informações obtidas e, a partir
daí, tomar decisões. As finalidades para o Ensino Médio em relação ao tema de
pesquisa, para que se desenvolvam tais habilidades é levar o aluno a:
aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas,
utilizando-os na interpretação da ciência, na atividade tecnológica e
nas atividades cotidianas;
analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes,
utilizando ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria
que lhe permita expressar-se criticamente sobre problemas da
Matemática, das outras áreas do conhecimento e da atualidade;
64
desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas,
de comunicação, bem como o espírito crítico e criativo;
expressar-se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas e
valorizar a precisão da linguagem e as demonstrações em
Matemática;
estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre
esses temas e o conhecimento de outras áreas do currículo;
reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito,
relacionando procedimentos associados às diferentes
representações. (BRASIL, 1998, p. 43)
No PCNEM, entre as habilidades descritas estão as de descrever e
analisar um grande número de dados, realizar inferências e fazer predições com
base em uma amostra de população, aplicar as ideias de probabilidade e
combinatória a fenômenos naturais e do cotidiano, são aplicações da Matemática
em questões do mundo real. Para o desenvolvimento de tal habilidade, no que
está explícito no documento, podemos verificar o quanto é importante o ensino e
a aprendizagem das técnicas em estatística e probabilidade, que são
imprescindíveis, para que haja a ampliação da aprendizagem em Matemática,
relacionando-a com as demais áreas do conhecimento. (BRASIL, 1998)
As habilidades indicadas para a área de Matemática, em específico, para o
Tema Estatístico, estão relacionadas a seguir e são concomitantes com as
habilidades gerais indicadas para a Área Ciências da Natureza Matemática e suas
Tecnologias.
Ler, interpretar e utilizar representações matemáticas (tabelas,
gráficos, expressões, etc);
Transcrever mensagens matemáticas da linguagem para linguagem
simbólica (equações, gráficos, diagramas, fórmulas, tabelas, etc.) e
vice-versa;
Procurar, selecionar e interpretar informações relativas ao problema;
Formular hipóteses e prever resultados;
Interpretar e criticar resultados numa situação concreta;
Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e
intervenção no real; e
Aplicar conhecimentos e métodos matemáticos em situações reais,
em especial em outras áreas do conhecimento. (BRASIL, 1998, p.46)
65
Nos Parâmetros Curriculares do Ensino Médio (PCN+), o estudo de
Estatística aparece detalhando as competências que devem ser desenvolvidas
pelo aluno e a que está mais diretamente ligada ao ensino da Estatística é:
“A competência que está diretamente ligada ao estudo da estatística no
ensino médio e a “contextualização das ciências no âmbito sócio-cultural,
na forma de análise crítica das idéias e dos recursos da área e das
questões do mundo que podem ser respondidas ou transformadas por
meio do pensar e do conhecimento científico...” (BRASIL, 2002, p.
133)”.
O estudo da Estatística é justificado no PCN+ por ser de grande
importância para a leitura de forma crítica da informação que circula na mídia e
em outras áreas do conhecimento. Logo, o que se espera é que, ao término do
Ensino Médio, o aluno ultrapasse as leituras simples, adquirindo a competência
de formular um pensamento crítico diante delas, aplicando a Matemática em
questões do mundo real, mas, especificamente, aquelas provenientes de outras
áreas, quantificando e interpretando o conjunto de dados ou informações que não
pode ser quantificada direto ou exatamente. Cabe à Estatística, analisar e inferir
situações por meio de pesquisas que envolvem amostras, levantamento de dados
e outras informações.
O PCN+ detalha da seguinte forma as habilidades a serem desenvolvidas
ao se trabalhar com o conteúdo estatístico:
“... Descrição de dados; representações gráficas, análise de dados:
média, moda e mediana, variância e desvio-padrão”;
Identificar formas adequadas para descrever e representar dados
numéricos e informações de natureza social, econômica, política,
científico-tecnológica ou abstrata;
Ler e interpretar dados e informações de caráter estatístico apresentado
em diferentes linguagens e representações, na mídia ou em outros
textos e meios de comunicação;
Obter médias e avaliar desvios de conjuntos de dados ou informações de
diferentes naturezas; e
Compreender e emitir juízos sobre informações estatísticas de natureza
social, econômica, política ou cientifica apresentadas em textos, notícias,
propagandas, censos, pesquisas e outros meios... ”(BRASIL, 2002, p.
127).
66
Observamos a importância apresentada para o ensino dos conteúdos
relativos ao Ensino de Estatística, assim, podemos referenciar e reforçar o quanto
o trabalho significativo envolvendo conteúdos do Tema Estatístico é fundamental
para o desenvolvimento do estudante, como ser inserido em uma sociedade em
constante desenvolvimento. As orientações curriculares dão destaque às
construções do pensamento estatístico, valorizando ainda os conceitos e os
procedimentos estatísticos na resolução de situações-problema, na leitura, na
compreensão e na ação sobre a realidade.
68
CAPÍTULO 2
Metodologia de Pesquisa
Neste capitulo, apresentaremos a fundamentação metodológica, os
procedimentos metodológicos e o cenário de pesquisa.
2.1 Metodologia
A pesquisa realizada enquadra-se no que é proposto por Bogdan e Biklen
(1994), apud Júnior (2006) sobre os conceitos de uma pesquisa qualitativa, pois
contempla as seguintes características: a fonte direta para aquisição dos dados e
o ambiente natural; a investigação é descritiva; o interesse está mais focado no
processo do que no produto.
Acrescentamos, ainda, que nossa pesquisa denomina-se qualitativa do tipo
estudo de caso, pois procuramos “descrever os fenômenos educativos e observá-
los com pretensão de obter um produto descritivo e analítico”.
2.2 Procedimentos Metodológicos
69
Segundo Pires (2008), tanto professores como alunos desempenham
papéis de agentes passivos em situações de ensino e aprendizagem, nas quais
os processos de avaliação dizem respeito apenas ao desempenho dos alunos
diante dos resultados de provas. Com o objetivo de possibilitar que, na prática,
ocorra a implementação de propostas curriculares inovadoras, a realização de
projetos de pesquisa envolvendo professores de diversos níveis de formação,
com professores do Ensino Médio da rede pública são de extrema importância.
Desta forma, elaboramos uma trajetória hipotética de aprendizagem (THA)
com o objetivo de desenvolvê-la com professores e alunos do Ensino Médio da
rede pública de São Paulo, cujos conteúdos contemplados fazem parte da
Proposta Curricular do 3º ano do Ensino Médio.
No desenvolvimento de nossa trajetória hipotética de aprendizagem, a
participação colaborativa dos professores do Ensino Médio nos remeteu a um
trabalho conjunto entre pesquisadora, professores e alunos, buscando objetivos
comuns em que todos os participantes se beneficiassem. Estas características
são próprias da descrição de pesquisa colaborativa de Boavida e Ponte (2002).
De acordo com os autores, esta colaboração pode ser entre pares que tenham o
mesmo papel ou entre pares com papéis diferentes, como no caso de nossa
pesquisa entre professores e pesquisadores.
Segundo Boavida e Ponte (2002), este tipo de pesquisa apresenta recursos
importantes para o trabalho de investigação sobre a prática, unindo, assim, mais
elementos para promover mudanças e inovações, pois, de acordo com os
autores, unindo pessoas empenhadas em um objetivo em comum, concentra-se
mais energia e fortalece a determinação para agir. A junção de pessoas com
experiências e competências diversificadas determina também a junção de mais
recursos para realizar um trabalho mais plausível de sucesso na promoção de
mudanças e inovações e, além disso, diversas pessoas dialogando e refletindo
em conjunto criam uma sinergia que possibilita a aprendizagem mútua, permitindo
ir mais além, dando condições para enfrentar as incertezas e obstáculos que
surgem.
70
Com o intuito de atingir nossos objetivos, visitamos unidades escolares
diferentes, convidando professores atuantes no 3º ano do Ensino Médio que
tivessem interesse em participar de nosso projeto de pesquisa.
Inicialmente, teríamos três escolas diferentes onde desenvolveríamos o
projeto. No entanto, ficamos apenas com duas, pois uma não deu certo por falta
de professor. Não tivemos muitos critérios para a escolha dos professores, pois
não dispúnhamos de muitas opções. Assim, a única exigência foi a assiduidade e
a atuação do professor na série onde o conteúdo desenvolvido na THA estivesse
prescrito. Já em relação à escola, buscamos aquelas mais próximas à casa da
pesquisadora.
A proposta do projeto, elaborada pela pesquisadora, foi apresentada,
primeiro, ao professor coordenador e ao diretor da unidade escolar, pois teriam de
concordar com a antecipação do conteúdo, tendo em vista que as atividades
apresentadas na THA estão prescritas na Proposta Curricular do Estado de São
Paulo10 para o 4º bimestre e, com o projeto, seriam desenvolvidas no 2º bimestre.
Em seguida, apresentamos a THA e seus objetivos aos professores
colaboradores, que eram o foco principal da pesquisa.
A pesquisa contou com a participação de três professores que foram
denominados P1, P2 e P3, sendo P1 e P2 professores da escola E1 e P3 da
escola E2; P1 contava com uma turma de 28 alunos; P2 com 30 alunos e P3 com
32, totalizando 90 alunos em quase todo desenvolvimento, pois, nem sempre
todos estiveram presentes.
No caso de P1, iniciamos o desenvolvimento da THA na semana posterior
ao primeiro encontro em que esta foi apresentada, e em que foi aplicado o
questionário investigativo para a coleta de dados profissionais de P1 e P2, pois a
mesma resolveu estudar a THA antes, com o intuito de se apropriar melhor dos
conteúdos envolvidos. No caso de P3, começamos após 15 dias do primeiro
encontro, pois este começaria, após o término do conteúdo sugerido pela
proposta curricular já iniciado. Vale ressaltar que P2 iniciou o desenvolvimento da
10
Destacamos que apesar e estar prescrito no documento o conteúdo Medidas de Dispersão não fizemos
nenhuma referência ao mesmo, pois não estamos explorando na THA desenvolvida.
71
THA 6 dias depois de P1, porque, esta se demorou a decidir se participaria ou
não do projeto.
Cada professor colaborador recebeu um bloco, contendo todas as etapas
da THA com seus objetivos e respectivas tarefas. Já os alunos receberam os
blocos separadamente, de acordo com os objetivos a serem alcançados, ou seja,
estes só poderiam resolver a etapa seguinte, após todos concluírem a anterior.
Os dados apresentados foram coletados diretamente na sala de aula por
observação da pesquisadora, anotações e gravações, estas realizadas com o
consentimento de todos os sujeitos envolvidos na pesquisa, sob a condição de
serem mantidos em sigilo seus nomes e, inclusive, o nome da instituição. Além da
sala de aula, mantivemos encontros semanais com os professores colaboradores
para dialogar sobre o acompanhamento dos alunos e possíveis mudanças na
THA, assim como tirar algumas dúvidas apresentadas por P1 relativas ao
conteúdo.
Aula a aula foram elaborados relatórios a respeito do comportamento dos
alunos e professores, problemas de cunho metodológico e/ou falta de
conhecimentos prévios e possíveis erros de interpretação quanto aos enunciados
das tarefas.
2.3 Cenário de Pesquisa
2.3.1 Caracterização das Escolas
As escolas envolvidas na pesquisa foram enunciadas por E1 e E2, com a
finalidade de preservar seu anonimato.
A primeira escola (E1), localizada na periferia da cidade de Santo André, é
considerada de difícil acesso em razão da própria localização e de sua clientela,
possui 16 salas de aula, todas ocupadas durante os três períodos de aula; recebe
alunos do Ensino Fundamental I, Ensino Fundamental II e do Ensino Médio. Não
conta com materiais diversificados, tendo em vista a precariedade, não tem sala
72
de informática e/ou vídeo nem biblioteca. A maioria dos professores tem cargo
efetivo e grande parte dos alunos que inicia, completa a escolaridade básica na
mesma, segundo a direção.
Durante o período que estivemos na escola, observamos que a relação
entre professor e direção e coordenação é quase escassa, pois os componentes
da direção e/ou coordenação pouco frequentam a escola no período noturno e
quase não acompanham o andamento das tarefas do período.
A segunda escola E2, também localizada na periferia da cidade de Santo
André, é próxima de E1 e atende a uma clientela com características já descritas
em E1, mas é voltada apenas a alunos do Ensino Fundamental II e do Ensino
Médio. Nesta, funcionam 16 salas de aulas ocupadas nos três períodos, porém
difere da primeira, pois conta com um acervo melhor de materiais didáticos, tem
biblioteca, sala de vídeo e sala de informática, apesar de estar em reforma. A
escola conta com um número considerável de professores efetivos e, segundo a
professora colaboradora, a diretora faz questão de acompanhar todas as tarefas
desenvolvidas na escola com a professora coordenadora.
Coll et al.(2009) descrevem que o professor desenvolve situações de
ensino significativas com qualidade em sala de aula, a partir do momento que a
escola também seja de qualidade, e esta só o será, à medida que considerar
simultaneamente o caráter socializador do ensino e sua função no
desenvolvimento individual. Sendo assim, uma escola de qualidade, segundo o
autor, deve conter, no mínimo, um pouco de cada uma das seguintes
características:
É proporcionada uma atmosfera favorável para a aprendizagem. Em
que há um compromisso com normas e finalidades claras e
compartilhadas;
Os professores trabalham em equipe, colaboram no planejamento,
cooparticipam da tomada de decisões, estão comprometidos com a
inovação e responsabilizam-se pela avaliação da própria pratica. Isso
só pode ser feito seriamente no contexto de um currículo flexível o
bastante;
Há uma direção eficiente, assumida, que não se contrapões as
necessárias participação e colegialidade;
Há considerável estabilidade no corpo docente;
73
Há oportunidades de formações permanentes relacionadas com as
necessidades da escola;
O currículo é cuidadosamente planejado e incluem tanto as matérias
que permitam que os alunos adquiram os conhecimentos e
habilidades básicas quanto às indicações para uma avaliação
continua e, ao mesmo tempo refletindo os valores adotados pela
escola;
Os pais apóiam a tarefa educacional da escola, esta se encontra
aberta para eles;
Há certos valores próprios da escola, reflexo da sua identidade e
propósitos, que são compartilhados por seus componentes;
Racionaliza-se o emprego no tempo de aprendizagem, articulando as
matérias e as sequências didáticas de modo a evitar duplicidades e
repetições desnecessárias; e
Existe o apoio ativo das autoridades educativas responsáveis, cuja
missão é facilitar as mudanças necessárias da direção das
características assinaladas. (COLL et al., 2009, p. 16)
Portanto, o que compete aos professores nada mais é que a atuação no
ensino e a reflexão sobre esta atuação, o que, por sua vez, são necessários
alguns referenciais que permitam a análise e a melhoria do ensino e, para tanto,
este deve estar inserido em um ambiente escolar propício.
Sendo assim, podemos inferir que estas escolas, segundo a visão de Coll
et al., (2009), contempla, em parte, algumas das características de uma escola de
qualidade, o que nos remete a pressupor que a concepção construtivista de
ensino será obtida por um trabalho um tanto sofrível, baseado nas informações
dadas pelos próprios professores colaboradores.
2.3.2 Caracterização dos Professores Colaboradores
A caracterização dos professores foi realizada por um questionário anexo a
esta pesquisa, no qual indagamos a formação profissional, o tempo de magistério,
a metodologia e as estratégias utilizadas para desenvolver o conteúdo específico
no tema da THA, as expectativas do professor quanto à aprendizagem dos
alunos, os livros didáticos e/ou materiais utilizados para desenvolvimento do
conteúdo, a influência das pesquisas e sua utilização ao preparar as tarefas.
74
A Professora P1
A professora P1 possui Licenciatura Plena em Matemática e curso de
extensão em Administração de Empresa. É professora contratada da rede
estadual de ensino há 13 anos e, na escola, onde desenvolvemos a THA, leciona
há 2 anos.
As aulas ministradas, segundo a própria, são de cunho expositivo por meio
de trabalhos e pesquisas em grupo e individuais. A professora relatou que nunca
participou dos cursos ministrados pela Secretaria da Educação.
Quando questionada a respeito dos livros didáticos utilizados, informou que
não existe um livro em especial, pois se utiliza de diversos na preparação das
aulas.
Quanto ao emprego dos cadernos propostos pelo Estado de São Paulo, P1
afirmou que faz uso das situações de aprendizagem contidas no caderno, mas
sempre fazendo as alterações necessárias, conforme as turmas que trabalha.
Embora nunca tenha trabalhado com os conteúdos de Estatística
contemplados na THA, P1 relatou que trabalharia por intermédio de pesquisa e
interpretação de gráficos e tabelas. Ainda quando questionada quanto às
possíveis dificuldades dos alunos sobre o tema tratado, relatou que as
dificuldades possivelmente fossem de interpretação e falta de organização.
P1 afirmou que trabalharia com resolução de problemas para desenvolver
os conteúdos envolvidos no tema e ainda buscaria apoio em pesquisas para
elaborar suas aulas.
A professora P2
A professora P2 é formada em Administração de Empresas, está fazendo
um curso de complementação pedagógica em Matemática. Leciona há 3 anos na
instituição de ensino onde desenvolvemos a THA, como professora temporária,
pois é eventual.
75
As aulas ministradas são no Ensino Fundamental II e no Ensino Médio.
Segundo a própria, as estratégias e/ou metodologias são de cunho expositivo, por
meio de trabalhos em grupo, giz e lousa.
A professora relatou que nunca participou dos cursos ministrados pela
Secretaria da Educação.
Quando questionada a respeito dos livros didáticos utilizados, informou que
utiliza os livros da Coleção Aula por Aula por serem os adotados pela escola.
Quanto ao uso dos cadernos propostos pelo Estado de São Paulo, P1
afirmou que faz uso das situações de aprendizagem contidas no caderno. Além
do caderno, usa o livro didático.
Considerando nunca ter trabalhado com os conteúdos de Estatística
contemplados na THA, P2 relatou não saber como desenvolveria o tema. No
entanto, quando questionada quanto às possíveis dificuldades dos alunos sobre o
tema tratado, P2 afirmou que as dificuldades seriam de interpretação.
De acordo com o questionário, P2 ressaltou trabalhar com resolução de
problemas para desenvolver os conteúdos envolvidos no tema e ainda buscou
apoio em pesquisas para elaborar suas aulas.
A professora P3
A professora P3 é formada em Licenciatura Plena em Matemática. Atua no
magistério há 6 anos e está há 3 anos e 4 meses como professora efetiva na
unidade escolar onde o projeto foi desenvolvido. Possui curso de Especialização
e já participou de três cursos oferecidos pela Secretaria da Educação, como:
Rede Aprende com a Rede, Ensino Médio em Rede e Curso Especial de
Matemática (em desenvolvimento).
P3 ministra aulas no Ensino Fundamental II e no Ensino Médio. Quanto à
questão de especulação sobre as estratégias e/ou metodologias utilizadas em
76
sala de aula não respondeu, porém, pelo que observamos, estas provavelmente
sejam expositivas, com desenvolvimento de atividades realizadas em grupo.
Quanto à questão referente ao(s) livro(s) didático(s), P3 afirmou utilizá-los
para preparar as aulas, mas também não informou e não foi possível constatar,
tendo em vista que em momento algum a vimos portando ou manuseando
nenhum livro.
Em relação ao uso dos cadernos propostos pelo Estado de São Paulo, P3
afirmou que faz uso. No entanto, sempre faz adaptações e alterações para utilizar
o material. A professora relatou ainda que, além do material da proposta
curricular, utiliza recursos de ilustrações concretas que, segundo ela, são
materiais manipuláveis.
Mesmo não tendo trabalhado com os conteúdos de Estatística
contemplados na THA, P3 apontou algumas formas que trabalharia com a
finalidade de desenvolver os conteúdos relativos ao assunto, como por exemplo,
o uso de várias fontes de informação (revistas, jornais e livros) para análise dos
dados e a promoção de discussões em sala de aula.
Como P3 nunca desenvolveu este conteúdo em sala de aula, não
respondeu à questão relacionada às dificuldades apresentadas pelos alunos ao
estudarem o assunto, mas, afirmou trabalhar com resolução de problemas para
desenvolver os conceitos envolvidos em Estatística. Quanto ao questionamento
sobre o hábito de buscar resultados de pesquisas para auxiliá-la na elaboração
das aulas, não obtivemos resposta.
2.3.3 Caracterização dos Alunos
Um total de 90 alunos do 3º ano do Ensino Médio de duas escolas
estaduais localizadas em Santo André participou da pesquisa. Os alunos das
professoras P1 e P2 estudavam no período noturno e os da professora P3 eram
do período matutino. Inicialmente, verificamos separadamente as características
dos alunos envolvidos em nosso projeto de pesquisa, pois partimos do
77
pressuposto de que a diferenciação de período, de professores e/ou escolas pode
influenciar no comportamento e desenvolvimento dos alunos. Vale ressaltar que
P2 estava substituindo a professora titular da classe, já que esta se ausentou das
aulas, para acompanhar o desenvolvimento do projeto.
Os alunos de P1 são classificados pelos demais professores, de um modo
geral, como de péssimo desempenho escolar e com pouco interesse pelo ensino
que lhes é oferecido, informação esta verificada pelos comentários realizados
pelo próprio grupo de professores na reunião de HTPC (hora de trabalho
pedagógico coletivo) e na sala dos professores.
Inicialmente, esta turma mostrou-se, conforme descrito pelos professores,
pois, ao iniciarem o desenvolvimento da THA, demonstrou pouco interesse pelas
tarefas, apesar dos objetivos do trabalho serem esclarecidos pela professora e de
ficar acordado que a realização das tarefas seria utilizada, como instrumento de
avaliação.O número máximo de alunos participantes desta turma era em torno de
25, apesar de haver matriculados 34 alunos, conforme registrados no diário da
classe. Desta forma, inferimos, que não tinham o compromisso de frequentar às
aulas com a regularidade devida.
Com relação aos conteúdos da THA, apresentavam pouco ou nenhum
conhecimento prévio necessário para realização das tarefas, o que exigiu da
professora uma intervenção maior durante seu desenvolvimento. No decorrer das
aulas, os alunos foram superando as expectativas de P1, pois, à medida que iam
desenvolvendo as tarefas, foi aumentando o grau de interesse pela sua
realização.
Os alunos de P2, segundo os professores, eram de desempenho regular,
em sua maioria interessava-se pelo ensino oferecido; eram considerados
questionadores, o que incomodava alguns professores e conversavam
demasiadamente. Inicialmente, P2 definiu os objetivos e as tarefas que deveriam
desenvolver para participarem do projeto desenvolvido pela professora-titular das
aulas, que estes seriam o instrumento de avaliação utilizado por ela. A turma era
composta por 35 alunos registrados no diário de classe, dos quais em torno de 28
participavam ativamente das aulas. Estes não tinham o hábito de faltar e iniciaram
78
as tarefas demonstrando interesse e responsabilidade para desenvolvê-las. Como
já foi mencionado anteriormente, é uma turma bem falante, porém, bastante
produtiva e, em sua maioria apresentou os conhecimentos prévios necessários
para o desenvolvimento das tarefas.
Entre os alunos de P3, não foi possível verificar as opiniões dos outros
professores em relação à turma. No entanto, apropriamo-nos das expectativas da
professora coordenadora pedagógica e de P3. Ambas relataram que os alunos
tinham um péssimo nível escolar pelo baixo rendimento nas avaliações internas
(simulados, por exemplos).
No entanto, verificamos que a turma diferia bem das outras duas: eram
alunos bem interessados, apesar do baixo rendimento escolar, rendimento que
pode ser justificado pelo pouco conhecimento prévio adquirido ao longo dos anos
de estudo. P3 iniciou as tarefas com eles, após ter ressaltado os objetivos e que
estas fariam parte de um projeto desenvolvido por uma aluna mestranda da
PUCSP. Salientou que a realização das tarefas seria parte das avaliações
desenvolvidas para o bimestre. Ao iniciarem as atividades, ficou claro que, apesar
do pouco conhecimento, a vontade de aprender era grande. A turma era
composta por 40 alunos registrados em diário de classe, dos quais 35
participavam efetivamente das aulas.
2.4 Primeiro Contato dos Professores com o Projeto
Antes de descrevermos os primeiros contatos com os professores
colaboradores, acreditamos ser conveniente justificar como estes ocorreram.
Inicialmente, buscamos falar diretamente com os professores de algumas escolas
perto da residência da pesquisadora, em razão da facilidade que esta teria para
acompanhar as aulas; buscamos escolas diferentes da que esta leciona por
pressupormos que a mesma escola e colegas de trabalho pudessem interferir nos
resultados.
79
Dentre os professores indagados sobre o desejo de participar no projeto,
verificamos que alguns até aceitavam; no entanto, quando eram informados de
que a pesquisadora atuaria como observadora das aulas, desistiam, alegando
não terem tempo para se preparar ou mesmo para se encontrarem com a
pesquisadora para discutir a THA. Supomos que este fato tenha ocorrido pela
falta de hábito em participar desse tipo de projeto ou talvez por insegurança do
próprio nível de conhecimento, ou ainda, em relação ao medo de expor suas
estratégias ou metodologias de ensino, ou talvez medo de ser avaliado.
Pelas dificuldades apresentadas para encontrarmos professores dispostos
a colaborar, optamos por aceitar a colaboração de dois professores atuantes na
mesma escola onde a pesquisadora ministra aula e outra professora de outra
unidade escolar. No primeiro encontro, a pesquisadora firmou um acordo com P1
de que se reuniria sempre que esta tivesse dificuldade para realizar alguma tarefa
e também para auxiliá-la com o uso do material manipulativo (compasso e
transferidor), pois, segundo P1, em momento algum trabalhou com os conteúdos
de Estatística nem com o material necessário para construção dos gráficos.
Com o objetivo de estudar a primeira versão da THA, foram realizados
alguns encontros entre a pesquisadora e os professores colaboradores.
No decorrer desses encontros, as tarefas e seus objetivos foram
apresentadas, buscamos esclarecer ainda dúvidas de cunho matemático
principalmente com os colaboradores P1 e P2 e trazer a fundamentação da
pesquisa para justificar o uso das estratégias a serem exploradas durante a
elaboração de cada uma das etapas da THA. Com a finalidade de estreitar os
laços com os professores colaboradores e estabelecer uma relação dialógica de
confiança, durante os encontros, sempre nos colocávamos como pesquisadores,
mas buscávamos salientar que éramos professores atuantes da rede estadual de
ensino.
Vale ressaltar que sempre que os professores colaboradores foram
questionados sobre o fator de concordância ou não das tarefas e/ou estratégias,
estes, em momento algum, discordavam ou davam novas sugestões. Portanto, os
professores não opinaram nem sugeriram qualquer mudança inicial da THA, pois,
80
consideraram a sequência adequada a seus alunos e não conseguiram identificar
a maior parte das dificuldades que os alunos poderiam encontrar.
81
CAPÍTULO 3
Primeira versão da THA
Neste capítulo, apresentaremos: a motivação para a elaboração da
primeira versão da THA, os objetivos da professora-pesquisadora em relação à
leitura e interpretação de gráficos e tabelas e os conteúdos básicos de estatística,
as hipóteses da professora pesquisadora em relação à aprendizagem dos alunos,
a primeira versão da THA e os objetivos de cada tarefa.
3.1 Motivação para Elaboração da Primeira Versão da THA
O desenvolvimento tecnológico traz uma grande variedade de informações,
fator determinante para se repensar o currículo em relação ao conteúdo e
metodologia sobre o estudo de Estatística. Este conteúdo está cada vez mais
presente no contexto social das várias áreas do conhecimento e ocupações, que
trazem informações para os cidadãos, representadas por uma grande variedade
de gráficos e tabelas, tendo sua presença imposta em avaliações externas pelo
sistema educacional.
Embasada no conhecimento adquirido em minha prática docente, como
professora do Ensino Médio, desde 1998 e, em especial, nos últimos 4 anos
ministrando aulas no 3º ano do Ensino Médio e nas leituras realizadas sobre o
82
ensino de Estatística, verifiquei que uma das grandes problemáticas em relação
ao ensino e aprendizagem deste conteúdo é a maneira como é apresentado aos
alunos e se é desenvolvido nas aulas da rede pública de ensino.
Elaborar uma trajetória hipotética de aprendizagem, contemplando a
construção de conhecimentos para aquisição de ferramentas mínimas, para
auxiliar na leitura e interpretação de gráficos e tabelas e diferenciar média de
mediana e/ou determinar medidas de tendência central, tornou-se um desafio, à
medida que esses conteúdos são imprescindíveis para a vida cidadã em razão da
diversidade das informações que circulam pelos mais variados meios de
comunicação.
Com base nestes pressupostos, procuramos elaborar uma THA que fosse
ao encontro da problemática listada pelos pesquisadores e as indicações dos
PCNEM e do PCN+, como atividades de ensino motivadoras, interessantes,
contextualizadas e de aplicabilidade no cotidiano dos alunos, buscando, desta
forma, um trabalho no qual o aluno haja como agente de sua própria
aprendizagem, e o professor possa interagir com seu aluno, despertando nele
habilidades investigativas.
3.2 Objetivos da Pesquisadora
À medida que a tecnologia se faz cada vez mais presente na sociedade, os
indivíduos são “bombardeados” por informações representadas por tabelas e
gráficos, sendo necessário um profundo conhecimento da leitura e interpretação
dos mesmos, retirando-se deles todas as informações necessárias para uma
tomada de decisão em diversos campos onde estas circulam, desenvolvendo,
assim, a capacidade de transformar a realidade e contribuir para o bem da
comunidade.
No entanto, para que isso ocorra, é preciso que o trabalho nas aulas de
Matemática seja integrado e não restrito ao livro didático, que traz conceitos de
Estatística com resultados preestabelecidos e soluções já determinadas.
83
Chamamos a atenção para uma reflexão sobre os principais objetivos na seleção
dos conteúdos e abordagens, já que existe uma vida fora dos muros da escola.
Pautados nas dificuldades apresentadas pelos alunos, e apoiados nas
leituras realizadas, e o que nos é proposto nos documentos oficiais, as tarefas
propostas na THA elaborada devem contemplar os conteúdos sugeridos para o 3º
ano do Ensino Médio, no 4º bimestre, conforme sugerido no Caderno do Estado
de São Paulo (gráficos estatísticos: cálculo e interpretação de índices estatísticos,
medidas de tendência central: média, mediana e moda e elementos de
amostragem). Após o desenvolvimento desta, pretendemos atingir os seguintes
objetivos listados nos documentos:
Identificar, analisar e aplicar conhecimentos sobre valores de variáveis,
representados em gráficos, realizando previsão de tendências, e
interpretações;
Analisar qualitativamente dados quantitativos, representados gráfica ou
algebricamente relacionados a contextos sócioeconômicos, científicos
ou cotidianos;
Analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes,
utilizando ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria que
lhe permita expressar-se criticamente sobre problemas da Matemática,
das outras áreas do conhecimento e da atualidade;
Expressar-se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas e
valorizar a precisão da linguagem em Matemática;
Ler, interpretar e utilizar representações matemáticas, como gráficos e
tabelas;
Formular hipóteses e prever resultado;
Interpretar e criticar resultados de pesquisas em uma situação concreta;
Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e
intervenção no real; e
Aplicar conhecimentos e métodos matemáticos em situações reais, em
especial, em outras áreas do conhecimento.
84
3.3 Hipótese da Professora Pesquisadora em Relação à Aprendizagem
dos Alunos
Embasados nas leituras realizadas, nos apontamentos dos pesquisadores
com relação aos erros mais comuns dos estudantes quanto à leitura e
interpretação de gráficos e tabelas e medidas de tendência central e, ainda, na
própria experiência como professora do Ensino Fundamental II e Médio, partimos
do pressuposto que os possíveis obstáculos e erros cometidos para apreensão
destes conteúdos são causados ou pela apresentação bastante rudimentar do
conteúdo ou mesmo por falta de seu desenvolvimento nos anos de escolaridade
básica, tendo em vista que as dificuldades apresentadas nas pesquisas estão
presentes em todos os níveis de ensino.
Por meio da análise exploratória dos dados de Batanero, Godino e Estepa
(1991), as indicações apontadas para o ensino de estatística, de forma prática e
contextualizada foram de fundamental importância para a elaboração da THA.
Partimos da hipótese de que a aprendizagem dos alunos, após o
desenvolvimento da THA ocorrerá de forma:
Motivadora, encaminhando o aluno a buscar soluções próprias para as
tarefas, com base em seu conhecimento de mundo;
A apresentar aos alunos caminhos de validação ou não de uma
pesquisa Estatística;
A utilizar variadas maneiras de apresentar um objeto matemático;
A apresentar o tema como objeto de estudo e como ferramenta para
outros elementos da Matemática e de outras áreas do conhecimento;
A utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer
inferências;
A resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos; e
85
A analisar informações expressas em gráficos ou tabelas, como recurso
para a construção de argumentos.
3.4 Primeira Versão da THA e Objetivos de cada Etapa de Aprendizagem
Apoiados em nosso levantamento bibliográfico, verificamos que as
dificuldades dos alunos em relação às habilidades de leitura e interpretação de
gráficos e tabelas envolvendo conceitos estatísticos independem do nível de
escolaridade. Nos Parâmetros Curriculares, os conceitos referentes ao
desenvolvimento destas habilidades são destaque no bloco de conteúdos
referentes ao estudo de Estatística. Para aquisição de tais habilidades, é
necessária a prática aliada à teoria. Logo a THA foi elaborada, buscando
relacionar teoria e prática, pois conforme descrito nas pesquisas referenciadas, os
alunos encontram-se em um nível fraco de leitura e interpretação de gráficos e
tabelas e apresentam conceitos errôneos não diferenciando média de mediana.
Primeira etapa: Tarefas referentes à diferenciação entre amostragem e
população para a coleta e validade dos dados de uma pesquisa.
Objetivo: Tratar termos utilizados em Estatística: população e amostra e
desenvolver habilidade para tomada de decisão sobre a validade de uma
pesquisa, de acordo com a amostra usada para seleção dos dados.
A seguir, a situação foi elaborada com dados fictícios.
1. Em uma escola de periferia, estudam cerca de 1.800 alunos distribuídos
em três períodos, onde foi realizada uma pesquisa com a finalidade de
prever o resultado da votação para chapa do grêmio estudantil. A escola
conta com a participação de duas chapas por período, compostas por
cinco participantes cada. Com base na população, responda:
a) De que modo poderíamos selecionar uma amostra contendo 60
eleitores para determinar as intenções de voto?
86
b) Se os entrevistados forem apenas de um dos períodos a pesquisa
terá validade? Justifique sua resposta.
2. Em uma indústria, é muito comum realizar o controle de qualidade de
seus produtos. Será que uma indústria que fornece pneus para as
montadoras testa todos os seus pneus?
a) A amostra para análise da qualidade dos pneus, pode ser retirada de
apenas uma das muitas máquinas que os fabricam? Justifique sua
resposta.
b) Se a escolha pudesse ser realizada desta forma, o controle de
qualidade da indústria teria validade?
3. (Adaptada do Projeto Escola e Cidadania Ed do Brasil 2000) Foram
entrevistadas 500 crianças de 8 a 13 anos nas cidades de São Paulo,
Porto Alegre, Recife e Belo Horizonte, cujo objetivo foi apurar como cada
criança gasta seu tempo quando utiliza o computador, fazendo trabalhos
escolares, navegando na internet, jogando, etc.
Figura 5: Gráfico de distribuição de frequência das formas de tempo gasto na utilização do computador.
Com base na representação gráfica dos dados colhidos, responda:
a) Qual a população e a amostra desta pesquisa?
87
b) As crianças de 8 a13 anos que moram nessas capitais, utilizam muito ou
pouco a internet?
c) Se você fabricasse jogos de computador, investiria no mercado
consumidor formado por estas crianças? Por quê?
d) Segundo a pesquisa que porcentagem do tempo de utilização do
computador é destinada a trabalhos escolares?
e) Você acredita que essas porcentagens tendem a mudar no futuro? Que
setor deverá crescer? Discuta com seus colegas e justifique sua
resposta.
f) Observe que, a cada 1 hora de uso do computador, 64%, que
correspondem a, aproximadamente, 38 minutos, são gastos jogando;
29% do tempo são gastos para realização de trabalhos escolares; 2%
com a internet e 5%, outros. Com base nestas informações, complete a
tabela de distribuição de frequência e represente os dados em um
gráfico de colunas.
Tabela de distribuição de frequência quanto ao tempo gasto na utilização do computador
Categorias Tempo em
(min.) Porcentagem
(%)
Jogos 38 64
Trabalhos escolares
Internet
Outros
Total 100
Segunda etapa: Tarefas envolvendo planilhas com dados brutos,
contendo variáveis estatísticas diversas: variáveis contínuas e discretas.
Objetivo: Desenvolver habilidades de representar diferentes dados em
tabelas e gráficos, construir o “diagrama de ramos e folhas”, determinar
medidas de tendência central (média, moda e mediana), interpretar e
inferir sobre os dados apresentados.
88
1. Ao verificar que alguns alunos tinham frequentemente apresentado
sintomas de embriaguez durante o período de aula, os alunos do 3º ano
do Ensino Médio realizaram uma pesquisa envolvendo uma amostra
com 50 sujeitos da região. Com o objetivo de diagnosticar e apresentar
possíveis propostas de soluções ao problema relacionado ao consumo
de bebidas alcoólicas, foi gerado o seguinte banco de dados:
Gênero Idade Grau de
escolaridade
Idade de
iniciação no
consumo de
álcool
Sensação ao
consumir o álcool
Motivos que o
levaram a
consumir
Masculino 22 EF II Completo 13 Euforia Amigos
Masculino 16 EM Incompleto 12 Euforia Diversão
Feminino 15 EF II Completo 12 Euforia Amigos
Masculino 15 EM Incompleto 14 Poder Amigos
Masculino 16 EM Incompleto 16 Euforia Diversão
Masculino 18 EF II Completo 14 Euforia Balada
Feminino 16 EF II Completo 12 Euforia Diversão
Masculino 32 EF II Incompleto 14 Euforia Amigos
Feminino 21 EM Completo 15 Euforia Balada
Masculino 27 EM Completo 21 Euforia Outros
Masculino 22 EM Incompleto 16 Euforia Diversão
Masculino 28 EF II Completo 14 Euforia Outros
Masculino 42 EF I Completo 14 Euforia Amigos
Masculino 22 EM Incompleto 14 Poder Amigos
Masculino 17 EM Incompleto 15 Outros Diversão
Feminino 45 EM Completo 14 Euforia Curiosidade
Feminino 23 EM Completo 18 Euforia Diversão
Feminino 34 EM Incompleto 13 Euforia Amigos
Masculino 48 EM Incompleto 19 Euforia Outros
Masculino 18 EM Completo 13 Outros Balada
Masculino 29 EM Completo 17 Euforia Diversão
Masculino 17 EM Incompleto 14 Outros Amigos
Masculino 24 EF II Completo 16 Euforia Curiosidade
Masculino 39 EF I Completo 13 Desinibido Outros
Feminino 17 EM Incompleto 16 Euforia Balada
Feminino 20 EM Completo 14 Depressivo Balada
Feminino 38 EM Incompleto 15 Poder Outros
Masculino 16 EM Incompleto 14 Euforia Amigos
Masculino 21 EF II Completo 12 Euforia Amigos
Masculino 31 EM Completo 15 Euforia Diversão
Masculino 19 EM Incompleto 14 Outros Balada
Feminino 22 EF II Completo 15 Euforia Balada
Feminino 49 EF I Completo 14 Depressivo Outros
89
Feminino 23 EM Completo 18 Euforia Amigos
Masculino 16 EM Incompleto 14 Euforia Amigos
Masculino 18 EM Incompleto 17 Outros Curiosidade
Masculino 26 EF II Completo 13 Euforia Curiosidade
Masculino 48 EF II Incompleto 16 Desinibido Outros
Feminino 15 EM Incompleto 14 Euforia Amigos
Masculino 23 EM Completo 17 Euforia Amigos
Masculino 19 EF II Incompleto 13 Euforia Balada
Feminino 15 EM Incompleto 15 Outros Amigos
Feminino 16 EM Incompleto 16 Euforia Diversão
Feminino 37 ES 18 Euforia Diversão
Masculino 15 EF II Completo 12 Euforia Amigos
Masculino 33 ES 21 Euforia Balada
Feminino 36 EM Completo 14 Poder Outros
Feminino 16 EF II Incompleto 15 Euforia Balada
Masculino 35 EF I Completo 13 Euforia Amigos
Masculino 27 EF II Incompleto 14 Euforia Curiosidade
Total:
* EF I - Ensino Fundamental I
* EF II - Ensino Fundamental II
* EM - Ensino Médio
* ES - Ensino Superior
Com base nos dados apresentados, faça uma análise, utilizando uma
coluna de cada vez, ou seja, uma variável por vez:
1.1. Observe as colunas com variáveis qualitativas.
a) Organize uma tabela de distribuição de frequência para as variáveis
qualitativas (gênero, nível de escolaridade, sensação e motivo),
contendo três colunas; na primeira use a categoria; na segunda, o
número de observação (frequência absoluta) e na terceira, a taxa
percentual (frequência relativa);
b) Construa um gráfico circular ou de setores para cada variável
qualitativa. Se não lembram, sigam os seguintes passos:
Com o compasso, desenhe um círculo;
90
Calcule o número de graus correspondente a cada categoria
representada, como por exemplo, para M (masculino) e F
(feminino). Para tal, utilize a regra de três simples;
Com o transferidor, meça os ângulos correspondentes aos graus
encontrados.
c) Construa um gráfico de barra ou coluna para cada variável
qualitativa. Lembrando-se que: no eixo horizontal das abscissas
devem estar localizadas as categorias, como por exemplo, M
(masculino) e F (feminino); no eixo vertical das ordenadas, a
frequência relativa. Cuidado com a escala (utilize um centímetro
para cada 5 unidades)
d) Redija algumas linhas para explicar as variáveis, a partir dos
gráficos e tabelas construídas.
e) Com base na representação gráfica, você poderá observar qual
delas representa melhor cada variável. No caso do grau de
escolaridade, em que tipo de gráfico fica mais fácil a visualização?
1.2. Organize os dados referentes às variáveis quantitativas contínuas:
idade e idade de iniciação do consumo de álcool, em ordem crescente
separadamente.
Com base nos dados apresentados, determine as medidas de
tendência central, ou seja, que descrevem a posição central dos dados
para cada uma das variáveis.
a) Média – Somatório de todas as idades, dividido pela quantidade de
entrevistados.
b) Moda – O valor que se repete com maior frequência.
c) Mediana – O valor que divide o conjunto de dados em duas partes
iguais.
91
d) Quais são as idades, mínima e máxima dos dados apresentados?
Uma boa maneira para determinar as medidas de tendência central,
valores máximo e mínimo, é a representação de dados em um diagrama de ramo
e folhas. Portanto, vamos construir um.
Ao verificar que as idades variam de 15 a 49 anos, as dezenas
representam o ramo e as unidades, as folhas. A vantagem em se trabalhar com
esta representação é que não se perde nenhuma informação, sendo possível
saber exatamente quantos alunos têm 16 anos, o que não ocorre com a tabela de
distribuição de frequência, quando se trabalha com intervalo de classes.
1.3. Com base nas informações, continue o diagrama de ramo e folhas
relativo à idade do sujeito de pesquisa. Construa um para a idade
que iniciou o consumo de bebidas alcoólicas.
1 5 5 5 5 5 6 6
2
3
4
5
a) Qual posição indica a mediana em cada diagrama? Lembre-se,
este valor encontra-se no meio dos dados.
b) Quantos alunos têm 16 anos? E 33 anos?
c) Qual a idade que mais aparece em cada diagrama, ou seja, a
moda?
d) Elabore a tabela de distribuição de frequência para as duas
variáveis quantitativas discretas, agrupando a idade em classe de
5 anos. Por exemplo, de 15 a 20 anos, qual é a frequência?
Neste caso, é importante observar que 20 anos não entra na
contagem, pois fará parte da classe de 20 a 25 anos, e assim por
diante.
92
e) Construa um histograma para representar os dados agrupados na
tabela de frequência. Este gráfico é formado por retângulos
congruentes “colados” uns aos outros. No eixo das abscissas,
escreva o intervalo das idades (base do retângulo) e no eixo das
ordenadas, a freqüência (altura do retângulo).
f) Redija algumas linhas explicativas para as variáveis apresentadas
nos gráficos e tabelas.
g) Com base na situação apresentada após a análise dos dados, o
que se pode concluir? O que pode ser feito para amenizar o
problema?
2. A seguir, a planilha apresentada descreve alguns dados relativos ao
perfil de alguns alunos de um 7º ano do Ensino Fundamental recolhidos
durante a aula de Matemática. Com base nestes dados, vamos estudar
alguns conceitos relativos ao tratamento e à organização dos dados.
Nome do
Aluno Gênero
Idade
(em anos)
Gosto pela
Matemática
Horas de estudo
extraclasse
Esporte
Preferido
Airton M 12 Muito 3 Futebol
Alessandro M 13 Regular 1 Vôlei
Aline F 12 Pouco 0,5 Basquete
Andre M 14 Pouco 1,5 Natação
Bruno M 12 Muito 4 Futebol
Daniel M 14 Regular 2 Basquete
Diego M 15 Pouco 0,5 Futebol
Eduardo M 13 Não 0 Futebol
Erick M 12 Não 0,5 Basquete
Fabiana F 12 Regular 1 Futebol
Gabriel M 11 Pouco 2 Vôlei
Gabriela F 13 Regular 1 Natação
Grazielle F 12 Regular 0,5 Vôlei
Guilherme M 14 Pouco 2 Vôlei
Henrique M 15 Muito 4 Futebol
Jaqueline F 12 Pouco 1,5 Futebol
Jeferson M 11 Não 0 Natação
John M 14 Não 0 Futebol
Jonatas M 13 Pouco 1 Vôlei
Jucivania F 12 Muito 3 Futebol
Kauê M 12 Não 0,5 Natação
93
Luana F 12 Muito 4 Vôlei
Lucélia F 13 Pouco 1 Vôlei
Luiz M 12 Muito 3 Basquete
Maria F 13 Não 0 Vôlei
Mayara F 12 Regular 1,5 Natação
Mike M 12 Regular 2,5 Natação
Natalia F 13 Pouco 0,5 Futebol
Pedro M 14 Muito 3,5 Futebol
Raisa F 12 Regular 1,5 Vôlei
Roger M 12 Não 0 Futebol
Tatiane F 13 Não 0 Natação
Vinicius M 12 Muito 2 Vôlei
2.1. Realize agora uma análise unidimensional, ou seja, estude uma coluna
de cada vez para cada opção da variável observada. Anote o número
de vezes que cada opção aparece.
a) Na coluna da variável “gosto pela Matemática”, quantas vezes
aparece a opção muito? E a regular? Cada opção está associada a
um valor, que recebe o nome de distribuição de frequências.
b) Quantas vezes podemos observar o “M”? e o “F”?
a. Elabore uma tabela de distribuição de frequência para cada uma
das variáveis observadas na tabela.
b. Em média, são gastas quantas horas por dia com estudo
extraclasse?
c. Qual é a idade média dos alunos?
d. Como você classifica o gosto desta turma pela disciplina de
Matemática? Existe alguma relação entre gosto pela Matemática e
gênero? Para tal análise, complete os dados da tabela abaixo.
Tabela: de distribuição de frequência de relação entre gosto pela Matemática e Gênero.
Gosto pela matemática Masculino Feminino Total
Nº % Nº %
Não 6 18 2 6,7 24,7
Pouco
94
Regular
Muito
Total
g) Construa um gráfico de setores ou de colunas para as seguintes
variáveis: gênero, gosto pela Matemática e esporte preferido.
h) Construa um gráfico de colunas, representando as informações da
tabela do item f.
i) Após a representação, faça uma análise da situação e redija um
texto de três linhas, no mínimo, no qual esteja descrito o perfil dos
alunos da turma.
j) Construa um histograma para a variável idade e tempo gasto com
estudo extraclasse. Este tipo de variável é contínua, pois seu valor
pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo real.
k) Para as variáveis idade e hora de estudo extraclasse, organize os
dados em ordem crescente, construa o diagrama de ramos e folhas
e determine a mediana e a moda.
Terceira etapa: Tarefas envolvendo amostras para o cálculo de
medidas de tendência central e escolha de instrumentos
adequados para sua representação.
Objetivo: Organizar, representar e analisar os dados com base na
construção do diagrama de ramos e folhas e histograma,
determinar média, moda, mediana, valores máximo e mínimo.
1. (Situação adaptada Novaes, Coutinho – 2008): Uma pesquisa realizada
com uma amostra do diâmetro de 60 eixos produzidos por uma máquina,
que tinha por objetivo verificar a variabilidade existente, apresentou os
seguintes resultados:
83,2 81,5 83 82,4 85,2 80,7 80,2 83,5 82,8 83
93,1 84 83,7 84,1 85,8 84 84,5 83,9 83,2 84,1
82,7 95,9 82,8 83,4 84 80,2 81,1 82,9 83,5 82,5
95
82,3 82,4 82,1 83,1 82,5 83,4 85,7 85,6 81,9 82,6
84,1 84,4 83,6 83 85 82 84,1 83,9 83,4 82,5
81,1 82,3 84,7 81,3 82,4 82,9 82,8 82,3 82,4 82,1
a) Agrupe os dados em uma tabela de frequência;
b) Construa o diagrama de ramos e folhas;
c) A partir do diagrama, determine a média, a mediana, a moda, as
medidas mínima e máxima;
d) Construa o histograma; e
e) Redija algumas linhas explicando a distribuição representada.
2. Todos os dias, em uma Unidade de Saúde são registradas, as idades
das pessoas que recebem atendimento, com a finalidade de propor
melhorias, tendo em vista que idades diferentes requerem tratamento
diferenciado. Vamos supor que, em um determinado dia da semana,
deram entrada nessa unidade de Saúde 56 pessoas, cujas referidas
idades estão dispostas a seguir:
2 meses 23 dias 3 anos 35 anos 1 ano 23 anos 20 anos
23 anos 48 anos 5 anos 37 anos 2 ano 38 anos 27 anos
22 dias 24 anos 2 anos 7 anos 6 meses 71 anos 47 anos
35 anos 13 anos 2 meses 6 meses 7 anos 8 anos 5 meses
45 anos 24 dias 34 anos 8 anos 4 meses 73anos 9 meses
77 anos 12 anos 17 anos 5 anos 7 meses 23 anos 4 anos
28 dias 13 dias 23 anos 4 anos 2 meses 56 anos 9 anos
3 meses 68 anos 39 anos 30 anos 10 anos 9 meses 36 anos
a) Do jeito que os dados estão dispostos, fica difícil relatar a incidência
das idades. Com base neste fato, organize os dados da maneira que
sua leitura seja mais fácil;
b) Construa uma tabela de frequências;
c) Quais as idades, mínima e máxima dos pacientes que foram
atendidos nesse dia?
96
d) Qual é a moda (idade que mais aparece)?
e) A idade é que tipo de variável? e
f) Qual é o gráfico que melhor representa essa variável? Construa.
Quarta etapa: Tarefas envolvendo o cálculo de medidas de
tendência central e a decisão de escolha da medida que melhor
representa os dados apresentados.
Objetivo: Calcular as média e mediana, determinar a moda e
diferenciar moda de mediana.
1. (Situação adaptada Cazorla, Santana – 2006) Calcular as alturas média
e mediana de um grupo de alunos, cujas alturas estão definidas abaixo.
Joana
149cm.
Bruna
140cm.
José
155cm.
Ana
160cm.
João
148cm.
Beatriz
153cm.
a. Ordene os dados em ordem crescente;
b. Calcule a média das estaturas; e
c. Qual o valor da mediana?
d. Este é Pedro, ele possui 175 cm de altura. Suponha que ele faça
parte do grupo, no lugar da Beatriz. Agora
determine a média e a mediana, utilizando esta
informação. Qual medida representou a melhor
altura do grupo?
97
2. Em um escritório de advocacia trabalham, dez funcionários, cujos
salários estão informados a seguir:
Maria / Paula /Jacinto – R$ 560,00 João – R$ 850,00
Pedro / Joaquim – R$ 1.235,00 Mariana – R$ 656,00
Luiz / Pedro – R$ 3.875,00
a) Ordene os dados;
b) Determine a moda, a média e a mediana; e
c) Com base nos dados, quem representa melhor os salários dos
funcionários dessa empresa, a média ou a mediana? Justifique.
Quinta etapa: Tarefas envolvendo a participação dos alunos em
todas as etapas de uma pesquisa estatística.
98
Objetivos: Desenvolver habilidade para a coleta, organização,
análise e a interpretação dos dados. Fornecer ferramentas em que
o aluno desenvolva a habilidade de selecionar o tipo de tratamento
(gráfico/tabela) adequado a cada uma das variáveis envolvidas,
com base nos dados reais levantados na própria sala de aula
Parte 1
Elabore o instrumento para coleta dos dados:
Com a participação dos alunos, elabore questões para apresentação do
perfil da turma da sala (em média seis questões), selecionando-as de modo que
contenham variáveis qualitativas e quantitativas contínuas e discretas.
Parte 2
a) Organize os dados em tabelas de distribuição de freqüências;
b) Represente graficamente os dados; e
c) Redija um texto descrevendo as características de sua turma, de acordo
com os dados observados.
Sexta etapa: Tarefas envolvendo a resolução de situações-problema
do SARESP e do ENEM.
Objetivo: Aplicar os conceitos aprendidos nas atividades anteriores na
resolução de questões que aparecem em avaliações externas do
SARESP e do ENEM.
1. (ENEM, 2009) Cinco equipes A, B, C, D e E disputaram uma prova de
gincana na qual as pontuações recebidas podiam ser 0, 1, 2 ou 3. A
média das cinco equipes foi de 2 pontos.
As notas das equipes foram colocadas no gráfico a seguir, entretanto,
esqueceram de representar as notas da equipe E.
Mesmo sem aparecer as notas
das equipes D e E, pode-se
concluir que os valores da
moda e da mediana são,
respectivamente:
99
a. 1,5 e 2,0.
b. 2,0 e 1,5.
c. 2,0 e 2,0.
d. 2,0 e 3,0.
e. 3,0 e 2,0.
2. (ENEM, 2008) Considere que as médias finais dos alunos de um curso
foram representadas no gráfico a seguir.
Sabendo que a média para a aprovação nesse curso era maior ou igual
a 6,0, qual foi a porcentagem de alunos aprovados?
a. 18%.
b. 21%.
c. 36%.
d. 50%.
e. 72%.
Gráfico para as questões 3 e 4.
(ENEM, 2008) No gráfico a seguir, estão especificados a produção
brasileira de café, em toneladas; a área plantada, em hectares (ha); e o
rendimento meio do plantio, em kg/h, no período de 2001 a 2008.
100
3. A análise dos dados mostrados no gráfico revela que:
a) A produção em 2003n foi superior a 2.100.000 toneladas de grãos.
b) A produção brasileira foi crescente ao longo de todo período
observado.
c) A área plantada decresceu a cada ano no período de 2001 a 2008.
d) Os aumentos na produção correspondem a aumentos no rendimento
médio do plantio.
e) A área plantada em 2007 foi maior que a de 2001.
4. Se a tendência de rendimento observado no gráfico, no período de 2001
a 2008, for mantida nos próximos anos, então o rendimento médio do
plantio do café, em 2012, será aproximadamente de:
a. 500 kg/h
b. 750 kg/h
c. 850 kg/h
d. 950 kg/h
e. 1250 kg/h
5. (ENEM, 2008) Uma pesquisa da ONU estima que, já em 2008, pela
primeira vez na história das civilizações, a maioria das pessoas viverá na
zona urbana. O gráfico a seguir mostra o crescimento da população
urbana desde 1950, quando essa população era de 700 milhões de
101
pessoas, e apresenta uma previsão para 2030, baseada em crescimento
linear no período de 2008 a 2030.
De acordo com o gráfico, a população urbana mundial em 2020
corresponderá, aproximadamente, a quantos bilhões de pessoas?
a. 4,00.
b. 4,10.
c. 4,15.
d. 4,25.
e. 4,50.
6. (ENEM, 2007) O gráfico abaixo, obtido a partir de dados do Ministério do
Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna
brasileira ameaçadas de extinção.
102
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada no
gráfico, o número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a:
a. 465.
b. 493.
c. 498.
d. 538.
e. 699.
Texto utilizado para as questões 7 e 8.
(ENEM, 2006) Nos últimos anos, ocorreu redução gradativa da taxa de
crescimento populacional em quase todos os continentes. A seguir, são
apresentados dados relativos aos países mais populosos, em 2000, e também as
projeções para 2050.
103
7. Com base nas informações acima, é correto afirmar que, no período de
2000 a 2050:
a. A taxa de crescimento populacional da China será negativa.
b. A população do Brasil duplicará.
c. A taxa de crescimento da população da Indonésia será menor que a
dos EUA.
d. A população do Paquistão crescerá mais de 100%.
e. A China será o país com maior taxa de crescimento populacional do
mundo.
8. Com base nas informações dos gráficos mostrados, suponha que, no
período 2050-2100, a taxa de crescimento populacional da Índia seja a
104
mesma projetada para o período 2000-2050. Sendo assim, no início do
século XXII, a população da Índia, em bilhões de habitantes, será:
a. Inferior a 2,0.
b. Superior a 2,0 e inferior a 2,1.
c. Superior a 2,1 e inferior a 2,2.
d. Superior a 2,2 e inferior a 2,3.
e. Superior a 2,3.
9. (ENEM, 2006) Uma cooperativa de radio-táxi tem como meta atender,
em no máximo 15 minutos, a pelo menos 95% das chamadas que
recebe. O controle dessa meta é feito ininterruptamente por um
funcionário que utiliza um equipamento de rádio para monitoramento. A
cada 100 chamadas, ele registra o número acumulado de chamadas que
não foram atendidas em 15 minutos. Ao final de um dia, a cooperativa
apresentou o seguinte desempenho:
Total acumulado de chamadas 100 200 300 400 482
Número acumulado de camadas não atendidas 6 11 17 21 24
Esse desempenho mostra que, nesse dia, a meta estabelecida foi
atingida:
a. Nas primeiras 100 chamadas.
b. Nas primeiras 200 chamadas.
c. Nas primeiras 300 chamadas.
d. Nas primeiras 400 chamadas.
e. No final do dia.
10. (SARESP, 2007) Numa determinada cidade, pesquisou-se durante um
ano a ocorrência do número de casos de certa doença, encontrando-se
os dados apresentados no gráfico abaixo.
105
É verdade que:
a. O total de casos registrados no 2ºsemestre foi de 4.000.
b. A maior variação entre 2 meses consecutivos ocorreu de agosto e
setembro.
c. No último trimestre, o número de casos registrados foi de 2.500.
d. Os períodos de crescimento e os de decrescimento do número de
casos registrados foram sempre crescentes.
11. (SARESP, 2007) Os vendedores de uma grande loja de
eletrodomésticos venderam, no segundo bimestre de 2007, uma
quantidade de geladeiras especificada na tabela ao lado.
Nessa loja, a venda bimestral
por vendedor foi, em média, de:
a. 12 geladeiras.
b. 10 geladeiras.
c. 8 geladeiras.
106
d. 6 geladeiras.
12. (SARESP, 2007) Num determinado dia do mês de setembro, o Centro
de Gerenciamento de Emergência da Prefeitura de São Paulo registrou
umidade do ar nas quatro regiões da capital.
O índice médio da umidade do ar nesse dia foi de:
a. 20%.
b. 19%.
c. 18%.
d. 17%.
13. (SARESP, 2007) Suponha que o gráfico abaixo ilustra o resultado de
uma pesquisa realizada sobre a aprovação em Matemática do Ensino
Médio – 3ª série em que 60 000 estudantes fizeram a prova.
107
Se os homens representam 50% entre os aprovados e 80% entre os
reprovados, então, o número de estudantes mulheres era:
a. Mais de 28.000.
b. Entre 25.000 e 30.000.
c. 24.800.
d. Menos de 24.800.
14. (SARESP, 2007) Na tabela seguinte, foram registradas as qualidades
de livros vendidos por uma livraria nos três primeiros meses deste ano,
e também os livros vendidos na primeira quinzena de abril.
Para que a média de livros vendidos nos três primeiros meses seja
mantida durante o mês de abril, quantos livros ainda precisam ser
vendidos na 2ª quinzena deste mês?
a. 110.
b. 170.
c. 210.
d. 250.
108
CAPÍTULO 4
A THA em sala de aula
Neste capítulo, descreveremos o desenvolvimento da THA em sala de
aula. Foram retirados apenas os objetivos de cada etapa, antes de entregar o
material aos alunos, tendo em vista que os professores não fizeram nenhuma
alteração inicial por considerá-la adequada para desenvolver com seus alunos da
forma que estava. No entanto, foram realizadas poucas modificações na THA,
depois de iniciado o desenvolvimento. Sendo assim, optamos por apresentar
apenas os itens ou tarefas alteradas.
Desenvolvimento da Trajetória Hipotética de Aprendizagem em Sala de Aula
4.1 Desenvolvimento da THA pelos Professores
O desenvolvimento da THA foi acompanhado em todas as aulas de
Matemática de P1, P2 e P3. Vale ressaltar que, em períodos distintos, pois P1 e
P2 eram do período noturno e P3, do perído da manhã. O início da THA não
ocorreu simultaneamente, pois P3 não trabalhava na mesma unidade escolar das
demais, e P2 demorou a decidir se iria ou não colaborar com o projeto, já que era
professora eventual em substituição à professora titular da sala, que estava em
licença para o desenvolvimento do projeto, como já foi mencionado anteriormente.
109
Sendo assim, iniciamos o trabalho com a turma de P1 no dia 18 de maio de
2010, com previsão de término para 18 de junho de 2010; a turma de P2 no dia
24 de maio de 2010, com finalização prevista para 24 de junho de 2010, e P3 deu
início dia 2 de junho de 2010, com previsão para término em 2 de julho de 2010.
As observações foram realizadas com o objetivo de acompanhar a atuação
dos professores, a aprendizagem dos estudantes e as possíveis dificuldades dos
professores e alunos com relação ao tema Leitura e Interpretação de Gráficos e
Tabelas e Medidas de Tendência Central. Nas análises preliminares, inferimos
que a professora P1 estava bem comprometida com o projeto, pois lia as
atividades anteriormente à aplicação e realizava as resoluções, antes dos alunos,
com a finalidade de retirar possíveis dúvidas com a pesquisadora em horários fora
de aula. A professora reconhecia suas limitações em relação ao conteúdo
apresentado, já que se propôs a colaborar, desde que a pesquisadora se
dispusesse a ajudá-la em suas dúvidas em horário distinto ao das aulas.
Em relação à professora P2, podemos inferir que não demonstrou a
mesma dedicação e interesse pelo desenvolvimento da THA, pois, não se
preocupava em ler e/ou desenvolver as atividades antes. Por vezes, entrava em
sala de aula sem ao menos saber, o que deveria ser trabalhado e/ou qual
atividade seria desenvolvida. Deduzimos ainda que P2 não era muito aceita pelos
alunos, pois estes se queixavam de sua falta de experiência ou mesmo de sua
falta de conhecimento matemático.
No entanto, para definir os motivos de tal atuação, talvez seja necessário
outro estudo para averiguar se existe influência entre a formação profissional e o
conhecimento do professor na aprendizagem dos alunos. Apesar da disposição
da pesquisadora para compartilhar e resolver as atividades antes com a
professora, esta não demonstrou interesse em aprender e/ou tirar dúvidas.
Em contrapartida, P3, além do interesse e disposição para desenvolver a
THA com seus alunos, demonstrou ter conhecimento do conteúdo, pois, leu e
resolveu todas as atividades, antes de apresentar aos alunos. Foi possível
observar que aparentemente tem o hábito de preparar suas aulas. Diferente das
demais, antes de iniciar suas aulas, sempre organiza a sala e faz uma leitura
110
compartilhada das atividades, determinando metas a serem atingidas na aula
(“nesta aula, vocês vão terminar o item 2.3 da atividade”).
P3 realmente participou ativamente da aprendizagem de seus alunos, pois
esteve o tempo todo entre os grupos, tirando dúvidas e mediando o
conhecimento. Verificamos ainda que P3 sempre levantava questionamentos
quanto às supostas soluções dos alunos, indagando sempre, para que se
certificassem da veracidade da resposta. Apesar de saber das limitações de sua
turma, buscava levantar questionamentos, com o objetivo de torná-los um pouco
independentes.
Com a finalidade de apresentar melhor nossos colaboradores, buscamos
verificar se estes apresentam algumas das características necessárias, para que
possam conceber um ensino dentro de perspectivas construtivistas. Para tanto,
utilizamos as indicações de Coll et al. (2009) de que entre os professores existem
algumas concepções de aprendizagem e ensino. Entre elas, destacam que:
Na primeira concepção, a aprendizagem escolar consiste em conhecer
respostas corretas para as perguntas formuladas pelos professores. De acordo
com os autores, estes professores não têm o hábito de explicar o conteúdo e, por
vezes, nem mesmo leem em voz alta as tarefas; a única finalidade é obter
resposta corretas e reprimir as erradas.
Na segunda concepção, a aprendizagem escolar está baseada em adquirir
os conhecimentos proeminentes de uma cultura. Nesta, o ensino nada mais é do
que a transmissão da informação necessária aos alunos, insistindo em ter os
alunos como processadores de informação. Neste tipo de ensino, a aquisição do
conhecimento é identificada por intermédio de cópias, ou seja, reproduz-se, sem
modificações, a informação recebida, usa-se a repetição.
Na terceira concepção, a aprendizagem escolar consiste em construir
conhecimentos. Os conhecimentos culturais dos alunos são elaborados com base
em sua atividade pessoal, o ensino consiste em dar ajuda necessária, para que
os alunos possam construí-lo. No caso, o professor é um participante ativo no
processo de construção do conhecimento, focado no aluno e não na matéria, o
111
que importa é ensinar o aluno a aprender e ajudá-lo a compreender que, quando
se aprende, não é importante apenas o conteúdo de aprendizagem, mas também
como o aluno se organiza e age para aprender.
Segundo Coll et al. (2009), professores dispostos a ensinar conceitos aos
alunos para a construção do próprio conhecimento apresentam características
como:
1. Intervir para ativar as ideias prévias dos alunos – atividades de
aprendizagem, selecionadas e apresentadas adequadamente, podem
ajudar os alunos a se conscientizarem das suas próprias
representações, ideias e crenças, a averiguar algumas das suas
limitações e se predisporem positivamente a modificá-las.
2. Possibilitar que os alunos consigam orientar sua atividade e seu
esforço no processo de ensino aprendizagem e que ajustem as
próprias expectativas de realização da tarefa as expectativas do
professor. Assim, é função do professor permitir que os alunos
aprendam o objetivo da tarefa de aprendizagem, os materiais e as
condições de trabalho.
3. Os professores levarão em conta uma série de critérios de
apresentação da informação e de organização e funcionamento das
atividades. (COLL et al., 2009, p. 108)
Durante o desenvolvimento da THA, verificamos que os nossos
colaboradores possuem algumas das características citadas por Coll et al. (2009).
No entanto, abordaremos melhor este fato nas considerações finais desta
pesquisa.
4.2 Desenvolvimento da THA pelos Alunos
Os alunos de P1 resolviam as atividades inicialmente em duplas, porém, a
todo o momento solicitavam ajuda e intervenção da professora, sem se
preocuparem em validar suas respostas e/ou discutirem antes com os colegas.
Apresentavam muita insegurança em relação a seus conhecimentos e à
veracidade da resolução correta da atividade, o que pressupomos serem alunos
extremamente dependentes do professor. Nos primeiros dias, os alunos estavam
organizados em duplas e a maioria demonstrava certo nível de desinteresse.
112
Após o segundo dia, eles se dispuseram em grupos mesmo contra a vontade da
professora, e foi possível observar que houve um visível aumento de interesse
pela maioria na execução das atividades. Demonstraram também estarem mais
confiantes na busca de soluções das tarefas.
Durante o desenvolvimento das atividades, os alunos do professor P2
apresentaram um comportamento bem diferenciado dos alunos de P1, pois
demonstraram interesse na realização das atividades desde o inicio. Durante as
aulas, estavam sempre organizados em grupos determinados por eles mesmos.
A todo momento, discutiam as resoluções das atividades e quase não
solicitavam a ajuda da professora, porém, por várias vezes, apesar de já terem
sido orientados que a pesquisadora não pode interferir na aula, esta foi solicitada
para tirar dúvidas, pois alegavam que a professora não sabia nada de
Matemática. No entanto, no decorrer das aulas, foi possível observar que, apesar
do comprometimento dos alunos na realização das atividades, estavam
construindo conceitos errôneos sobre o conteúdo, tendo em vista o pouco
conhecimento apresentado pela professora e seu pouco interesse em
desenvolver as atividades.
Apesar do descaso apresentado por P2, os alunos seguiram
desenvolvendo as atividades, discutindo e trocando entre eles respostas das
possíveis soluções e ajudando-se mutuamente. Com este comportamento,
observamos que os alunos apresentaram interesse para realizar as atividades.
Pressupomos que o fato tenha se dado em virtude da relação estabelecida entre
a pesquisadora e os alunos da turma, tendo em vista que a pesquisadora é
professora titular da turma desde a 7ª série (8º ano) do Ensino Fundamental II.
Os alunos da professora P3 iniciaram as atividades demonstrando o
mesmo interesse apresentado pelos alunos de P2. No primeiro momento, foi
possível verificar o vínculo de amizade e respeito estabelecido entre alunos e
professor, pois o clima dominante na sala era amistoso, clima este que durou todo
tempo de acompanhamento da turma.
113
Assim, foi possível comprovar que as expectativas sobre o nível de
conhecimento da turma, segundo a professora coordenadora e P3, estavam
corretas, pois apresentaram poucos ou quase nenhum conhecimento prévio
necessário para realização das tarefas, fator que, possivelmente, justifique a
dependência que os alunos tinham das opiniões e intervenções constantes de P3.
Os alunos sentiam necessidade da presença de P3 na realização de todas as
tarefas, até mesmo nas que eram meras aplicações de conteúdos vistos
anteriormente em outras tarefas similares.
4.3 Análise da primeira versão da THA
A análise da THA foi realizada com base nas observações das aulas, nos
conhecimentos apresentados pelos professores durante a explicação dada a cada
tarefa e nas resoluções das atividades desenvolvidas pelos alunos. Nesta análise,
buscamos explicitar as principais dificuldades apresentadas pelos alunos e as
possíveis causas.
Apresentaremos algumas resoluções das tarefas realizadas pelos próprios
alunos, pois verificamos que, em alguns momentos, determinados alunos
apresentavam resoluções totalmente erradas, o que nos conduz a pressupor que
tenham aprendido dessa forma, tendo em vista que praticamente todos
apresentaram o mesmo erro.
Primeira etapa
A realização das tarefas desta etapa deu-se em três aulas aos alunos de
P1, em duas aulas pelos alunos de P2 e em seis aulas aos alunos de P3. O maior
tempo utilizado pelos alunos de P3 talvez se justifique porque não foram
realizadas intervenções na execução das tarefas. Durante o desenvolvimento
destas tarefas, verificamos que os alunos não tinham o hábito de ler e, se o
faziam, não dispensavam a atenção necessária para compreender seus
enunciados. Apenas P1 e P2 realizaram a leitura compartilhada com os alunos;
nesta etapa, P3 não fez quase nenhuma intervenção, talvez por se sentir
114
constrangida com a presença da pesquisadora, mas o comportamento foi
mudando, à medida que avançamos no desenvolvimento da THA.
As professoras P1 e P2 iniciaram a primeira tarefa, fazendo uma leitura
compartilhada com um breve relato sobre a aplicação dos conteúdos que os
alunos iriam aprender em pesquisas eleitorais e como eram realizadas. A
professora P3 não fez a leitura ou qualquer comentário sobre a tarefa, preferiu
entregar as cópias, deixando-os à vontade, para que resolvessem. Esta atitude
talvez se dê pelo fato de se sentir insegura com a presença da observadora, mas
vale ressaltar que optou por atendimento individual aos grupos, fator este que
causou certa dependência da presença de P3 pelos alunos para concretização
desta etapa.
Os alunos de P3 tiveram dificuldade para identificar a maneira correta de
selecionar os sujeitos de pesquisa da tarefa 1 (um), “item a”, e, quanto ao “item
b”, não conseguiram justificar quanto à veracidade da pesquisa (vide Figura 6).
Acreditamos que estes erros ocorreram porque a professora não direcionou e/ou
fez nenhum comentário sobre os termos “amostra” e “população”, pois nas turmas
em que as professoras exemplificaram e explicaram o significado dos termos, os
alunos quase não apresentaram respostas erradas. Nas três turmas, foi possível
perceber que o texto não ficou muito claro, pois a informação relativa ao número
de participantes era irrelevante e poderia conduzir ao erro.
115
Figura 6: Resolução errônea dos alunos de P3 da seleção dos sujeitos de pesquisa.
Apenas P1 sugeriu que esta informação fosse excluída. As dificuldades
apresentadas pelos alunos de P3 podem ser verificadas na resolução das tarefas
2 (dois) e 3 (três), pois esta só realizou as correções quando todos lhe
entregaram as atividades, mas, verificamos que, à medida que esta ia se
relacionando com a pesquisadora, sua prática mudava e, ao final das tarefas, já
estava realizando algumas intervenções com os alunos sem se preocupar muito
com a observadora.
O arredondamento no valor da tabela do “item f”, da tarefa 3 (três), causou
dúvidas; neste caso, P1 e P3 sugeriram aos alunos o uso de uma casa depois da
vírgula. Os alunos de P3 mostraram dificuldades para relacionar 1 hora a 60
minutos e, quanto ao gráfico de colunas, verificamos que sentiam necessidade de
utilizar todas as informações da tabela em sua representação e, mostraram um
conceito errôneo do tipo de gráfico, pois todos apresentaram um gráfico diferente
das demais turmas (vide Figuras 7 e 8). Destacamos também que, em relação ao
gráfico, todos tinham dúvidas quanto ao uso das escalas e dos cálculos que
deveriam ser feitos, para completarem a tabela. Com o objetivo de explicitar
116
melhor as dificuldades e conhecimentos prévios mobilizados para a realização
das tarefas, selecionamos algumas resoluções realizadas pelos alunos.
Figura 7: Representação do aluno A de P3 para o gráfico de colunas.
117
Figura 8: Representação do aluno B de P3 para o gráfico de colunas.
Conhecimentos mobilizados na realização desta etapa:
Regra de três simples;
Gráficos de colunas;
Leitura de dados em gráfico de setores;
Representação de dados em um gráfico de colunas; e
Diferenciação entre amostra e população, validade de uma pesquisa de
controle de qualidade.
Contrariando as expectativas dos professores P1 e P3 de que os alunos
não apresentariam dificuldades para realizar as tarefas referentes a esta etapa,
percebemos que os termos “população” e “amostra” não faziam parte de seu
cotidiano e, ainda, que a maioria não mobilizou os conhecimentos prévios
necessários para calcular porcentagem, localizar informações no gráfico de
setores nem construir o gráfico de barras. No entanto, os alunos de P1 foram
118
orientados durante a realização das tarefas, o que viabilizou sua realização
correta. O mesmo não ocorreu com os alunos de P3, que só foram orientados
depois da realização das mesmas, quando esta foi discutida e as dúvidas
esclarecidas.
Os professores P1 e P2 foram atenciosos com os alunos e prestaram
atendimento individual, quando solicitados. Nas primeiras aulas, pudemos deduzir
que tal comportamento pode ter sido influenciado pela presença da pesquisadora,
que era estranha ao ambiente, mas, nas aulas subsequentes, verificamos que o
comportamento de P2 mudou, pois deixou de mediar as aulas, e P3 assumiu, em
alguns momentos, a postura de mediadora, depois de ter sido orientada pela
pesquisadora que poderia, pois esta tinha como concepção que no construtivismo
os alunos constroem sozinhos o conhecimento.
Percebemos que as turmas de P1 e P3 solicitavam atendimento individual.
Os alunos eram extremamente dependentes dos professores. No entanto, não
vamos nos estender nesta análise, mas vale ressaltar que a adaptação ao método
construtivista demanda tempo e uma série de fatores, que vão desde condições
físicas às características pessoais de professores e alunos.
Segunda etapa
Para a realização das tarefas desta etapa, foram destinadas dez aulas aos
alunos de P1, nove aos de P2 e doze aos de P3. Apenas P1 e P3 realizaram a
leitura compartilhada com os alunos. Nesta etapa, P2 não fez quase nenhuma
intervenção, talvez por se sentir rejeitada pelos alunos, pois estes deixaram
transparecer que não se sentiam seguros em relação ao conhecimento
disponibilizado por ela quanto ao conteúdo. Por sua vez, P2 deixou claro aos
alunos que não gostava de dar aula para o Ensino Médio.
Com relação a segunda tarefa desta etapa, as três professoras envolvidas
sugeriram que fosse retirada, pois alegaram o pouco tempo disponível em razão
da extensão da tarefa 1, ressaltando que poderiam explorar na quinta etapa, o
que estava descrito na tarefa 2. Com base na extensão desta etapa, optamos por
fazer análise individual de cada turma.
119
Antes dos alunos iniciarem as tarefas, P1 fez a leitura compartilhada da
situação-problema e explicou o significado das variáveis apresentadas na tabela.
Além disto, ao ser questionada novamente sobre o significado de variável, explica
o termo individualmente para cada dupla que solicita. A professora iniciou a tabela
reforçando a contagem da variável gênero. Neste momento, demonstrando
impaciência, propôs-se a fazer a primeira tabela com eles. Algumas duplas tinham
dúvidas quanto à utilização de cem por cento para representar os sujeitos de
pesquisa e para realizar os cálculos. A professora explicou que era o número total
de pesquisados.
Quando questionada sobre o significado de variável qualitativa, a
professora respondeu com exemplos. No entanto, não conseguiu explicar a
contento o significado aos alunos, talvez por não ter muito conhecimento do tema.
Após o término da aula, P1 solicitou que talvez fosse necessário um texto
explicativo, ou seja, apresentar algo que explicasse o significado da palavra
variável e distinções. Apesar das dificuldades, P1 procurou dar atenção a todos
individualmente, esclarecendo dúvidas. Os alunos pareciam mais motivados e
demonstraram maior interesse em desenvolver as tarefas.
Os termos como EF I e EF II foram motivos de dúvida por parte dos alunos.
A hipótese da professora de que os alunos não teriam dúvidas sobre a construção
do gráfico de setores foi descartada, pois a dúvida foi geral, levando-a por várias
vezes à lousa para explicar a construção.
Contrariando o que foi dito pela professora, antes de iniciar o
desenvolvimento da THA, foi visível o interesse crescente dos alunos para realizá-
la. A professora mostrou-se surpresa com o crescente interesse da turma e o
trabalho que se iniciou em dupla, tornou-se em grupo de quatro ou cinco, eles
dialogavam a respeito das tarefas enquanto as realizavam.
Aluno: “Nossa! Que interessante! Aprendemos sem saber que estamos
aprendendo, vai ser útil para o ENEM”.
A turma apresentou muitas dificuldades quanto ao uso do transferidor,
como instrumento para construir o gráfico, a utilizar escalas na construção dos
120
gráficos de colunas e histograma. Um fato que chamou muita atenção, foi quanto
ao desconhecimento quase que total do uso de regra de três para o cálculo de
porcentagem e a elaboração de tabelas e ainda podemos inferir que uma parte
considerável não sabia quantos graus possui um círculo.
A moda também foi motivo de dúvidas, mesmo com perguntas simples que
direcionavam sobre a idade que mais aparecia. Verificamos que termos ou
mesmo medidas como média, moda e mediana não faziam parte da vida escolar
desta turma.
Quanto à construção do histograma, também mostraram muitas
dificuldades em razão da representação dos dados nos eixos, como intervalos
contínuos. Um agravante deu-se no momento que apresentaram o histograma,
pois foi possível verificar que, quando o intervalo apresentava a informação 0% de
frequência, este simplesmente desaparecia, o que nos levou a inferir que
receberam orientação errada por parte de P1, pois, apesar de ter sido orientada
pela pesquisadora sobre o fato, insistiu em explicar errado aos alunos. Outro fator
de dificuldade foi justamente a organização dos dados em ordem crescente “rol”,
porque aparentemente não havia realizado nenhuma atividade semelhante a esta
até o momento.
A professora passou pelos grupos tirando dúvidas sobre as tarefas, sempre
questionando a resposta correta, mas ainda era notória a relação de dependência
dos alunos, já que apenas três não solicitaram muito a presença da professora,
talvez por serem oriundos de outras escolas e não terem estabelecido maiores
vínculos com ela ainda. O “rol” foi o maior problema, aparentemente, os alunos
apresentaram muitas dificuldades para organizar os dados. Em razão de sua
impaciência, a professora deu início ao “rol” na lousa, pedindo para que os alunos
dessem continuidade à organização.
Com o objetivo de apresentar melhor o desenvolvimento desta etapa por
essa turma, apresentaremos algumas resoluções realizadas pelos alunos, pois
acreditamos que tiveram uma boa participação e um bom desenvolvimento,
superando as expectativas de P1 e do grupo de professores.
121
Figura 9: Tabela elaborada pelo aluno A de P1.
Figura 10: Representação gráfica dos dados da tabela pelo aluno A de P1.
A professora P2 iniciou a segunda etapa, realizando a leitura
compartilhada. Apareceram as dúvidas entre variáveis qualitativas e quantitativas
que a professora, seguindo as orientações da pesquisadora em momentos
122
anteriores à aula, esclareceu comentando ainda sobre a variável quantitativa
discreta.
Aluno: “Professora, deveria ter uma coluna com variável quantitativa
discreta, então!”
P2: “Tudo bem, podemos acrescentar esta variável na quinta etapa.”
Os alunos discutiam e tentavam resolver as atividades e a professora não
intervinha, dialogavam o tempo todo, tirando dúvidas. Em alguns momentos,
reclamavam que a atividade era muito longa. A maioria apresentava dúvidas
quanto ao uso do transferidor e nomeação dos eixos dos gráficos. Nesse
momento, a professora pesquisadora precisou intervir e explicar, pois P2 também
não sabia. Apesar das dificuldades de aceitação da professora por parte dos
alunos, esta procurava ir de carteira em carteira, observando se havia dúvidas.
Aluna1: “Qual gráfico dá para ver melhor?”
Aluna2: “É o de pizza, pois tem mais impacto, ao olhar dá para ver tudo,
parece ser mais exato.”
Aluna1: “O legal seria fazer misturado, separar, fazer duas variáveis de
colunas e duas de setores.”
Aluna2: “É, mas não daria pra fazer a comparação.”
Ao montar o “rol”, alguns alunos demonstraram dificuldades que logo foram
esclarecidas pela professora. A turma era mais independente, apesar das
dificuldades, realizou as tarefas sem solicitar muito a ajuda da professora, pois
alegava que ela explicava tudo errado.
Para determinar a mediana, apresentaram dificuldades pelo fato da
amostra ter um número par de participantes. Outro obstáculo ocorreu quando
tiveram de representar no histograma a presença de intervalos com frequência
zero. Ao questionarem P2, esta também não soube explicar e, novamente, houve
intervenção da pesquisadora com a autorização de P2, pois, em momento algum,
queríamos tirar sua autoridade em sala de aula.
123
A seguir, inserimos a resolução realizada por alguns alunos da turma, cujo
intuito é apresentar ao leitor a organização e a preocupação depreendidas por
eles na realização das tarefas.
Figura 11: Tabela elaborada pelo aluno A de P2.
Figura 12: Representação gráfica dos dados da tabela pelo aluno A de P2.
A professora P3 determinou que, iria dispor de quatro aulas para o término
da Etapa. Sem dúvida, por sua fala fica claro que um dos fatores imprescindíveis,
para que ocorra aprendizagem significativa, seja o fator tempo. Inicialmente, P3
124
avisou aos alunos sobre a importância do uso da folha de atividades, ressaltando
que todas as anotações deveriam ser feitas na própria folha.
Verificamos que P3 foi a única professora que se preocupou em determinar
o tempo que as tarefas deveriam ser desenvolvidas e, podemos inferir ainda, que
P3, diferente da postura assumida durante a realização da primeira etapa, agora
transitava mais entre os grupos e tirava dúvidas. O direcionamento é importante,
pois podemos observar que, nesta etapa, os alunos cobram muito a atenção da
professora. No entanto, esta mesmo vendo os erros, parece não enxergar, o que
nos leva a inferir que a disposição das tabelas em estatística é nova para ela
também.
Grupo 1: A tarefa de contagem foi dividida para agilizar o processo – “eu
conto masculino e você conta feminino”. Em sua maioria, os alunos
demonstraram dificuldades para enxergar as variáveis separadamente.
Inicialmente, montaram uma única tabela envolvendo todas as variáveis. A
professora não se preocupou em corrigi-los no momento, deixou que tentassem,
mesmo estando errados. Verificamos que a elaboração das tabelas não é um
hábito constante, tendo em vista os erros apresentados. Apenas um grupo
começou certo, analisando uma variável de cada vez e, antes de montar as
tabelas, fez a contagem separadamente.
Neste momento, a grande maioria dos alunos mostrou muita dificuldade,
alguns grupos não sabiam, o que fazer com os dados, ou seja, não sabiam nem
como separá-los e misturaram todos em uma única tabela. Um dos grupos fez
todas as tabelas com as mesmas informações, em todas representaram a variável
gênero. Em certo momento, P3 propôs metas quanto ao tempo de realização de
alguns itens. Diferente de P1 e P2, P3 tinha todo o material que utilizaria, em uma
caixa que levava à sala de aula: transferidor, régua, compasso e calculadora, o
que a diferia das demais. Quem dispunha do material para uso dos alunos de P1
e P2 era a pesquisadora.
Apareceram dificuldades na construção dos gráficos, como por exemplo,
quantos graus têm uma circunferência; como encontrar cada grau correspondente
a cada porcentagem a ser representada no gráfico.
125
Apesar das dificuldades, eles realizaram as tarefas, pareciam bem
comprometidos. A professora passava por todos os grupos, disponibilizando
ajuda, sempre perguntando e indagando sobre as resoluções, mas não oferecia a
resposta, apenas direcionava.
Com a finalidade de terminar no tempo por ela estabelecido, P3 instruiu os
alunos:
P3: “Pessoal, para agilizar o processo, aproveitem a disponibilidade em
grupo e dividam as tarefas”. Neste momento, um aluno pede ajuda para usar o
transferidor:
Aluno: “Professora, me ajuda, eu não sei usar o transferidor inteiro, só a
metade.”
Mesmo após a intervenção de P3, apareceram erros frequentes, alguns
alunos insistiam em construir o gráfico de setores sem critérios de separação de
ângulos, utilizando apenas a régua graduada para dividir o ângulo.
Apesar da disposição em grupo, interagiam pouco com os colegas, pois,
sempre que surgiam dificuldades, solicitavam a ajuda da professora. Para esta
turma, também a organização dos dados em rol foi de extrema dificuldade.
Mesmo tendo estabelecido tempo, para que concluíssem as tarefas, P3 solicitou
que um colega lhe cedesse duas aulas, pois estava próximo do recesso escolar e
temia que parassem de ir sem concluir as tarefas da segunda etapa.
Ao término da etapa, após a análise das tarefas concretizadas, P3
dedicava duas aulas à correção e esclarecimento de dúvidas, a fim de socializar e
corrigir as concepções errôneas apresentadas pelos alunos. Para avaliar o
desenvolvimento das tarefas desta etapa, verificamos que P3 pediu aos alunos
uma autoavaliação, assim, os componentes do grupo eram chamados à sua
mesa, e ela lhes fazia algumas perguntas sobre sua participação e quanto à nota
na escala de 1 a 10 que mereciam. Com esta atitude, foi possível verificar que
eles se autoavaliaram de forma crítica, pois as notas variaram entre 5 e 8,
justificando-se pelas faltas e/ou conversas paralelas durante a realização das
tarefas.
126
No que se refere ao atraso na realização das tarefas, P3 justificou que foi
por falta de prática do uso do material manipulativo. Em conversa com a
pesquisadora, sugeriu que a tarefa fosse composta de duas partes, separando as
variáveis quantitativas das qualitativas, segundo ela, isto facilitaria a compreensão
dos alunos quanto ao tratamento de cada uma.
Abaixo apresentamos algumas resoluções desenvolvidas pelos alunos de
P3.
Figura 13: Organização dos dados apresentada pelo aluno B de P3.
Figura 14: Organização dos dados em uma tabela elaborada pelo aluno B de P3
Terceira etapa
127
Na realização desta etapa, foram destinadas quatro aulas aos alunos dos
três professores colaboradores. Vale ressaltar que nenhum dos três realizou a
leitura compartilhada ou deu qualquer instrução, antes dos alunos iniciarem o
desenvolvimento. Ainda inferimos que os alunos, apesar dos obstáculos ou pouco
conhecimento prévio, realizaram as tarefas com empenho e determinação. Para
não nos estendermos muito ou evitar que a leitura se torne muito cansativa,
apresentaremos apenas os relatos imprescindíveis, para situar os leitores no
acompanhamento do desenvolvimento das tarefas destinadas a esta etapa.
O desenvolvimento das tarefas foi em grupo, porém cada aluno recebeu os
protocolos para realizá-las.
As professoras deram poucas instruções para sua resolução. A orientação
foi adequada, pois os alunos haviam feito tarefas similares nas etapas anteriores.
Nestas aulas, percebemos que as professoras resgataram em parte a concepção
construtivista, e os alunos fizeram sem muitas orientações, mesmo com alguma
dificuldade.
A única que utilizou a estratégia de socializar o conhecimento, após o
desenvolvimento das etapas, foi P3, pois as demais apenas acompanharam o
desenvolvimento individualmente pelos grupos. Sendo assim, os que não
solicitaram ajuda se tinham interpretações errôneas, continuaram com elas. Esta
foi uma postura positiva apresentada por P3. Depois de acompanhar os alunos na
resolução das atividades, sempre se dirigia à lousa para fazer a correção coletiva.
Assim, propiciou que os alunos participassem da aula, socializando as dúvidas e
conjecturas levantadas durante a resolução. P1 e P2 mantinham o atendimento
individual, poucas vezes, faziam a orientação coletiva.
Prosseguiremos, destacando os fatos pontuais das aulas.
P1, demonstrando impaciência, resolveu iniciar a organização dos dados
na lousa para os alunos, pois, segundo ela, estes eram muito devagar e
demoravam em razão das conversas paralelas e ainda estava preocupada com a
chegada do recesso, temendo que desaparecessem sem cumprir as tarefas.
128
Verificamos que P1 não se incomodava muito com as conversas nem impor
limites à turma, deixava-os sempre bem à vontade. Durante a realização das
tarefas, verificamos que os alunos tinham dificuldades para lidar com a contagem
dos números, envolvendo valores decimais, ou seja, diferenciar sua ordem de
grandeza.
P1 procedeu passando de grupo em grupo, buscando ajudar os alunos e
intervindo sempre quando necessário. A esta altura, eles já demonstravam mais
segurança para utilizar a calculadora de forma a facilitar os cálculos.
Consideramos que, se P1 fosse mais exigente e cobrasse uma postura mais
adequada de seus alunos, talvez eles se saíssem melhor.
Embora P1 tenha combinado que a participação no desenvolvimento das
tarefas seria parte da nota bimestral, alguns alunos ainda não demonstravam
muito interesse, porém, vale ressaltar que apenas quatro alunos dispuseram-se a
trabalhar inicialmente e, neste momento, apenas três não estavam fazendo as
tarefas.
Foi possível verificar que mesmo já tendo construído alguns diagramas, os
alunos tinham muitas dúvidas, necessitando que P1 explicasse como fazer.
Inicialmente, esta foi de grupo em grupo, mas demonstrava impaciência para
deixá-los tentar fazer, P1 foi à lousa e iniciou o diagrama. Por algumas vezes,
surgiam falas demonstrando desânimo, insegurança e dependência dos alunos:
Aluno: “Não sei fazer.”
Aluno: “Ah, sou muito burro.”
Aluno: “Nem vou tentar, sei que não vou conseguir mesmo.”
Aluna: “Professora, me ajuda?”
Aluna: “Professora, o que é histograma?”
P1: “Histograma é o gráfico que tem os “predinhos” juntos um do lado do
outro. Ah, e não se esqueçam de usar a escala, pois vocês têm que usar medidas
iguais para representar os intervalos.”
No entanto, a professora fez um comentário errôneo em relação ao dado
com 0% de frequência, pois disse que este não precisaria aparecer, mas, após
129
conversar com a pesquisadora, foi orientada a falar que se enganou e que este
deveria aparecer na escala dos eixos.
Resoluções dos alunos de P1.
Figura 15: Tabela desenvolvida pelo aluno C de P1.
Figura 16: O cálculo das medidas e construção do histograma pelo aluno C de P1.
130
Em relação aos alunos de P2, verificamos que, apesar da quantidade de
tabelas construídas na segunda etapa, alguns alunos faziam errado, sobretudo
um que criou uma relação de dependência tão grande com a professora que esta
se sentava ao lado dele, realizando quase toda a tarefa para ele.
A interação entre esta turma foi bem visível, pois, assim que um grupo
associou a ideia de agrupamentos em classe para a primeira atividade,
compartilhou com os demais. Esta característica demonstra a independência
deles e a disponibilidade para uma aprendizagem coletiva.
A turma concentrava-se para resolver as tarefas, interagindo com os
colegas e quase não solicitava a ajuda da professora, apresentando poucas
dúvidas em relação a esta etapa. Verificamos que poucos alunos questionaram:
Aluna: “Professora, o que faço com as porcentagens que estão
apresentando dízimas.”
P2: “Utiliza duas casas depois da vírgula. Só não se esqueçam de
arredondar.”
Aluna: “Como assim?”
P2: “Se for um número maior que cinco, arredonda para mais e, se for
abaixo de cinco, arredonda para menos”.
Neste momento, P2 vai à lousa e dá dois exemplos de arredondamento.
Assim como ocorreu com os alunos de P1, eles tiveram dúvida em relação
a dados com 0% de frequência, não sabiam como representar no gráfico, ou
mesmo se precisava aparecer. No entanto, a professora também não soube
responder e perguntou à pesquisadora para, posteriormente lhes explicar.
No dia em que P2 faltou, o desenvolvimento das tarefas foi acompanhado
pela pesquisadora, e isto lhe possibilitou confirmar algumas de suas suspeitas
que os alunos tinham autonomia para caminharem sozinhos, pois, mesmo sem
sua presença, continuaram a desenvolver as tarefas interagindo entre eles, o que
facilitou a realização.
131
Alguns estavam mais adiantados e explicavam aos que estavam mais
atrasados.
Aluna: “O que tenho que fazer agora com esses números?”
Aluno: “Ué, organizar! Pois está uma bagunça.”
Os alunos demonstraram muita eficiência na realização das tarefas desta
etapa e podemos inferir que interagiram com os colegas.
A seguir, apresentaremos algumas tarefas desenvolvidas pelos alunos.
132
Figura 17: Tarefa realizada pelo aluno C de P2.
133
Figura 18: Histograma construido pelo aluno C de P2.
P3 entregou-lhes as tarefas, sem maiores explicações, apenas informou o
tempo que teriam para desenvolvê-las. Os alunos foram organizados e iniciaram
os trabalhos; apresentaram algumas dúvidas quanto à organização, solicitando
ajuda da professora. P3 seguia, conforme o habitual, mediando sempre que
solicitada, porém, sempre questionando quanto à forma correta.
Vale destacar que P3 estava nos últimos meses de gestação e, por isso, os
alunos deslocavam-se mais até sua mesa para esclarecer as dúvidas que
surgiam no decorrer das aulas. Diferente das demais, esta, ao ser questionada
quanto à representação do zero, orientou-os corretamente. Em suma, foi
direcionando os alunos, tendo em vista que eles já estavam mais autoconfiantes e
não solicitavam tanto a professora como inicialmente.
Esta etapa para a turma de P3 foi desenvolvida mais rapidamente, em
razão do tempo estipulado pela professora, já que estes geralmente demoravam
mais para se apropriarem das tarefas, o que nos leva a pressupor ter interferido
negativamente quanto ao fato da aprendizagem significativa. Outro fator que pode
ser considerado como ponto negativo foi a socialização ser realizada sempre
após o término de todas as tarefas.
Ao término da aula, durante uma conversa, a professora ressaltou que:
P3: “Os alunos estão mais autônomos, pois estão trabalhando mais
individualmente e discutindo mais as dúvidas entre eles”.
134
Figura 19: Tarefa realizada pelo aluno D de P3.
Sendo assim, apoiados nas observações do desenvolvimento desta
etapa, verificamos que as principais dificuldades apresentadas
pelos alunos das três professoras foram: organizar grandes
números; pouca atenção e concentração na contagem; representar
0% de frequência no gráfico (neste caso, foram dificuldades de P1
e P2 também); enxergar a mediana como valor que divide o
conjunto de dados em duas partes iguais; o hábito de separar
tabelas por linhas e colunas e contar duas vezes o mesmo valor
nos dados agrupados.
A representação dos dados em um diagrama de ramos e folhas foi um
ponto facilitador para localização das medidas.
Quarta etapa
Para realização das tarefas desta etapa, foi destinada apenas uma aula
aos alunos das três professoras colaboradoras. Durante sua realização, foram
poucas as dificuldades apresentadas no conteúdo em si; o maior problema foi
quanto à justificativa entre a melhor medida para representar os dados, visto que
apesar deles terem consciência da melhor medida, escrever, justificando,
mostrou-se um grande obstáculo, sobretudo aos alunos de P1 e P3.
135
A aula de P1 iniciou com os alunos já organizados, pois estavam ansiosos
pelo recesso, e fez um acordo com eles na aula anterior, se iniciassem e
terminassem as tarefas da quarta etapa na próxima aula, não precisariam mais vir
às suas aulas durante o mês de julho, pois, as quinta e sexta etapas ficariam para
o inicio do 3º bimestre, após o recesso. Como sempre, a professora foi de grupo
em grupo, ajudando-os nas tarefas, sempre tirando dúvidas e/ou dando a
resposta, dependendo do grupo, o fato dificultou visualizar as principais
dificuldades.
Figura 20: Tarefa realizada pelo aluno D de P1.
Os alunos de P2 realizaram esta etapa sem maiores problemas. Assim
como nas outras, não solicitaram ajuda de P2 e terminaram rapidamente. Alguns,
quando questionados quanto à melhor medida para representar os dados, deram
a resposta para P2 em voz alta, o que facilitou a justificativa dos demais.
136
Figura 21: Tarefa realizada pelo aluno de P2.
Na realização desta etapa, os alunos de P3 não apresentaram muitas
dúvidas ou quase nenhuma, a não ser quanto à escolha das medidas média ou
mediana que melhor representariam a amostra das idades e dos salários
apresentados nas tarefas; porém a professora fez a seguinte observação na
busca do esclarecimento da dúvida em geral.
P3: “Então, é conveniente dizer que a média salarial é 1.500 reais quando
tenho mais pessoas recebendo 560 e apenas dois recebendo 3.500 reais”. A
resposta foi unânime.
Alunos: “Não, “prô”. Então, com certeza a mediana representa melhor,
neste caso, para a idade também, pois tenho só uma pessoa bem maior que as
outras”.
A principal dificuldade da turma foi redigir o texto diferenciando média de
mediana. O fato deu-se, provavelmente, pela falta de hábito de justificar
resultados encontrados para as tarefas, pois percebemos que não fazia parte do
cotidiano da maioria dos alunos.
137
Figura 22: Tarefa realizada pelo aluno de P3.
Podemos ressaltar que a realização desta etapa foi a mais tranquila e bem
mais rápida.
Quinta etapa
Para a realização das tarefas desta etapa, foram destinadas seis aulas aos
alunos de P1 e quatro aos de P2 e P3. Durante a realização desta tarefa, tanto P1
como P2 precisaram das orientações da pesquisadora, pois não sabiam como
iniciá-la. As professoras foram orientadas a discutir com os alunos, quais as
questões necessárias para apresentar o perfil da sala aos demais integrantes da
escola e da Diretoria de Ensino e, assim, fizeram.
O comportamento das três foi bem semelhante: foram à lousa e anotaram
as questões apresentadas pelos alunos e depois fizeram a seleção com a ajuda
deles. As questões selecionadas foram bem parecidas, tendo em vista que
decidiram direcionar de tal forma que pudessem apresentar o perfil da turma no
geral, tendo como base as questões contempladas na tarefa 2 da segunda etapa.
Assim, como foi acordado, os alunos de P2, de P1 e de P3 também foram
orientados a inserir uma questão contemplando a variável quantitativa discreta.
138
Na lousa, P1 anotou os dados para agilizar o processo, e seus alunos
foram direcionados o tempo todo, desde a elaboração das tabelas até a
representação dos dados nos gráficos, pois, apesar do interesse crescente para
desenvolver as tarefas, estes ainda se mostravam muito dependentes da
professora, que fazia o acompanhamento individual, sem se preocupar em
socializar o conteúdo. Quando se disponibilizava a ir à lousa, era para iniciar a
tarefa, demonstrando impaciência ou interesse em terminá-las o quanto antes.
Figura 23: Representação relizada pelo aluno E dos dados quanto ao gosto pela Matemática dos alunos da turma de P1.
139
Figura 24: Texto apresentando o perfil da turma de P1 realizada pelo aluno E com base na análise dos dados.
P2 pediu para que uma aluna anotasse os dados brutos na lousa também
com o objetivo de agilizar o processo. Verificamos que os alunos acharam esta
etapa muito interessante, embora já estivessem cansados. O tratamento dos
dados deu-se de forma rápida, pois acreditamos que já tinham familiaridade com
o conteúdo. Conforme foi sugerido pela pesquisadora, a professora pediu para
que elaborassem também uma tabela, relacionando o gosto pela Matemática e o
gênero.
Todos os alunos de P2 trabalhavam tranquilamente, discutiam e
desenvolviam as atividades. No entanto, quanto à questão da elaboração da
tabela de dupla entrada e sua representação gráfica, a pesquisadora precisou
intervir e orientá-los, pois monstravam dificuldade, já que P2 era insegurança no
assunto. Ao final desta etapa, os alunos foram comunicados que a professora
titular das aulas voltaria e terminaria o desenvolvimento das tarefas da etapa final
com eles.
140
Figura 25: Tarefa realizada pelo aluno de P2, relacionando gosto pela Matemática, gênero e descrição da turma a partir da análise dos dados.
Após a seleção das questões, P3 foi à lousa e anotou os resultados em
uma tabela, apresentando os dados brutos. Esta parte da tarefa deu-se de forma
muito descontraída, pois os alunos mostravam empolgação e interesse.
Diferente das demais, ao finalizar as anotações, orientou os alunos quanto
ao fato de estarem se apresentando a pessoas que, provavelmente, não os
conheciam. Logo, seria necessário um cuidado muito especial na elaboração das
tabelas e dos gráficos, ou seja, deveriam conter informações cruciais, para que
quem os visse, conseguisse descrevê-los com clareza e precisão.
Orientou também quanto à redação do texto, ressaltando que esta deveria
ser clara, esclarecendo que, para tanto, seria interessante que calculassem
141
também a média, a moda e a mediana, porque facilitariam na hora da descrição
do perfil.
A etapa foi tranquila, pois os alunos desenvolveram-na praticamente
sozinhos, quase não precisaram da intervenção da professora, e todos
demonstraram muito empenho e interesse em sua realização.
Assim que P3 verificava que as dúvidas eram comuns, dirigia-se
imediatamente à lousa, para socializar e orientar os alunos, o podemos considerar
um fato inusitado na realização desta etapa. Isto se deu porque ela percebeu que
não teria tempo para dar a devolutiva das tarefas que considerava de suma
importância. Assim foi possível verificar que a turma havia se tornado mais
autônoma.
Figura 26: Tarefa realizada pelo aluno de P3.
142
Figura 27: Representação gráfica referente à tabela anterior realizada pelo aluno de P3.
Figura 28: Texto redigido pelo aluno de P3 para descrever o perfil da turma a partir da análise dos dados.
143
Mesmo durante a finalização do desenvolvimento da THA, foi possível
verificar que alguns alunos ainda trocavam frequência relativa por absoluta, e o
uso da calculadora era visto como algo errado por parte deles, apesar das
professoras colaboradoras liberarem seu uso. Em alguns momentos, observamos
que a usavam escondido, como se fosse errado ou considerado crime.
Quanto à redação dos textos, estes ainda o faziam de forma tímida (vide
Figura 28). Talvez fosse necessário um trabalho mais intenso nesse aspecto,
solicitando que se justifiquem mais por escrito, quando solucionam uma situação-
problema, descrevem e expressam mais suas trajetórias na solução de uma
tarefa.
Ao término desta etapa, durante uma conversa com a professora, ela
relatou-me os seguintes fatos:
P3: “Os alunos gostaram muito do projeto, pois alegaram que aprenderam
muito e o quanto se desevolveram trabalhando em grupo, pediram até que os
demais professores os deixassem trabalhar desta forma”.
Ainda no decorrer da conversa disse que:
P3: “Confesso que no começo fiquei apreensiva em trabalhar com a THA,
mas, no decorrer das aulas, isso mudou, pois gostei muito da experiência, tanto
que, para o próximo ano, procurarei elaborar minhas aulas desta forma, montando
trajetórias de ensino baseadas nas dificuldades dos alunos”.
Sexta etapa
Esta estapa foi realizada de forma diferente das demais, pois as
professoras colaboradoras P1 e P3 resolveram utilizá-la como avaliação, o que
dificultou um pouco a observação. No entanto, diferente de P1, que fez a
avaliação individual, os alunos de P3 realizaram-na em grupos de quatro alunos,
pois, como explicado anteriormente, esta foi desenvolvida por um professor
eventual, já que a professora havia se afastado por licença-maternidade. A turma
de P2 desenvolveu a etapa com o professor titular.
144
A análise desta etapa foi realizada diretamente pelos protocolos dos
alunos, tendo em vista seu caráter avaliativo, houve dificuldade na observação, já
que não existiu a socialização entre os alunos.
Apesar da turma de P1 ter apresentado muita dificuldade na realização das
tarefas, verificamos que se empenhou em sua resolução. Podemos deduzir que
esta turma necessitaria de um tempo maior na construção da aprendizagem, pela
falta de hábito de estudo e compromisso com a escola, pois faltava em demasia
às aulas.
Após o encerramento das tarefas, durante nossa conversa, a professora
disse:
P1: “Gostei muito da experiência, apesar de ter ficado apreensiva no
início”. Ressaltou ainda que:
“Este tipo de trabalho deveria ocorrer com mais frequência, pois aprendi
demais. Projetos deste tipo realmente auxiliam o trabalho do professor em sala de
aula, ou seja, me possibilitou a aprender muita coisa e ainda a diversificar minha
aula, tornando-a interessante e mais produtiva. Sem contar que até me
desacostumei a usar a lousa com tanta frequência”.
Conforme o combinado com P3, os alunos permaneceram nos grupos que
iniciaram o desenvolvimento da THA para a realização da útima etapa.
O professor substituto entregou as instruções e, assim como a professora
P3, não fez nenhuma leitura inicial com eles. Durante as observações, percebi
que os alunos mantiveram o acordo firmado com P3, concentrando-se na
resolução das tarefas. Inferimos que os conceitos de média, moda e mediana
ficaram claros, assim como a leitura dos gráficos mais simples, porém, as
questões envolvendo dados temporais, apresentaram mais dificuldades.
A turma mostrou muita dificuldade em relação à mobilização dos
conhecimentos prévios, mas vale ressaltar que o interesse em aprender se fez
presente em todas as etapas da THA. Entendemos que o fato ocorreu pelo
incentivo dado pela professora em todos os momentos e, ainda, pelo clima
145
amistoso no ambiente de sala de aula que sempre esteve presente. Os alunos
fizeram-se presentes todo tempo, quase não faltaram às aulas, apesar da
socialização do conteúdo ser realizado sempre ao final de cada tarefa, foi possível
constatar que gostaram muito da THA.
Salientamos que o foco de nossa pesquisa foi a observação da atuação do
professor em sala de aula, portanto, não desenvolvemos nenhuma atividade
diagnóstica para levantar dados sobre os conhecimentos prévios dos alunos,
poorque acreditamos, conforme descrito em Coll et al. (2009), que o diálogo é o
melhor caminho investigativo para saber o que os alunos conhecem sobre o
assunto.
Vale ressaltar que a sexta etapa foi desenvolvida pelos alunos de forma
avaliativa por opção das professoras colaboradoras e, por isso, buscamos apenas
verificar se apresentava indicativos de aprendizagem dos novos conhecimentos
por parte dos alunos e ainda se contribuiu para a diminuição de suas dificuldades
nos conteúdos específicos das tarefas.
Nas questões envolvendo as tabelas e os conteúdos de média, moda ou
mediana, percebemos que a maioria dos alunos, que estive comprometido com a
realização das tarefas, acertou, ou seja, superaram as dificuldades apresentadas
inicialmente.
Portanto, as tarefas propostas na THA exploraram estas variáveis de
maneiras diferenciadas, permitindo aos alunos construir o conhecimento de forma
mais ampla e significativa.
Houve um baixo índice de acerto para a questão 4, porque a THA
desenvolvida não supriu as necessidade dos alunos, logo, esta deveria ter sido
melhor explorada, já que o erro foi verificado para ambas as turmas.
Após a avaliação, optamos por retirar as questões de número 5 e 6 da
segunda versão da THA, verificamos com os professores colaboradores, que
estas contemplavam basicamente conteúdos relativos à função polinomial de
primeiro grau, assim como a questão de número 13 por apresentar mais a
exploração de conceitos matemáticos, como: razão, proporção e porcentagem.
146
Como P1 encontrou dificuldades na resolução da questão 7, optou por
desconsiderá-la. Aos alunos de P2 e P3, as dificuldades para relacionar as
informações apoiadas na análise de dois gráficos, quando estas não vêm
explícitas foi considerado um grande obstáculo, talvez por falta de hábito em lidar
com várias informações em um mesmo gráfico, visto que entre os alunos de P2
só três acertaram, dentre os 27 que realizaram a avaliação. Dos alunos de P3,
nenhum acertou a referida questão.
Inferimos que os conhecimentos que adquirimos na elaboração e
desenvolvimento das tarefas de nossa THA, não foram suficientes para a
apreensão dos conteúdos contemplados na questão 7.
Com relação à avaliação dos alunos de P1, a professora corrigiu a questão
8 errada, desconsiderando as corretas e optando por outra resposta. Vale
ressaltar que este engano foi verificado com os alunos, após o encontro em que
discutimos a questão.
P1 atribuiu o alto índice de erro ao tempo destinado à avaliação, pois, estes
já não estavam mais lendo e/ou concentrados no que estavam fazendo. Ainda,
conforme a professora a maioria mostrou-se bem interessada na resolução das
questões.
Pelas avaliações, notamos que o fator tempo é decisivo para a
interpretação desse tipo de questão. Outro fato observado é que apoiados nesta
avaliação devemos reformular as tarefas da THA, visto que algumas questões
tiveram um índice de erro muito grande para as três turmas acompanhadas. Em
relação à questão gráfica, com mais de uma informação ou mais de uma
representação gráfica, os alunos tiveram muita dificuldade para interpretar e
solucioná-la, como por exemplo, no caso do gráfico apresentando o crescimento
populacional de alguns países.
Outro fator em que mostraram dificuldades, foi justamente a questão 3 por
apresentar informações implícitas nos eixos gráficos. Destacamos que as
questões envolvendo média foram facilmente resolvidas, o que nos leva a inferir
que estes conteúdos ficaram claros.
147
Com base nas tarefas realizadas na avaliação, observamos que os alunos
de P3 destacaram-se muito em relação aos de P1. Verificamos que este ocorrido
teve influência por parte da professora P1, porque sua forma de trabalhar tornava
os alunos sempre muito dependentes dela. Mas, não podemos deixar de discorrer
sobre a postura dos alunos de P1 que, muitas vezes, demonstraram desinteresse
em aprender, além da falta de compromisso ao frequentarem as aulas com
regularidade, problema que não foi apresentado pelos alunos de P3.
Quanto ao desempenho dos alunos de P2, este já era esperado, eles se
saíram razoavelmente bem, tendo em vista que a avaliação só foi desenvolvida,
após muitos dias do desenvolvimento da THA.
Voltando ao artigo de Simon (1995), verificamos que a situação vai ao
encontro do Ciclo de Ensino Matemático proposto por Simon (1995),
comprovando que as interações realizadas nas atividades em sala de aula trazem
novos conhecimentos para o professor, possibilitando-lhe retomar à THA sempre
que haja necessidade, a fim de modificá-la para atingir seus objetivos de
aprendizagem.
De acordo com Simon (1995), o professor comprometido deve se
preocupar em ajustar a THA, pois as modificações realizadas podem também
modificar os métodos e os caminhos traçados para o processo da aprendizagem,
as tarefas propostas ou as três simultaneamente.
4.4 Sugestões e Modificações para a Segunda Versão da THA
Como já salientamos, os professores quase não deram sugestões de
alteração para as tarefas da THA, já que alegaram não terem tido a oportunidade
de desenvolver o conteúdo específico da THA e, no caso de P1 e P2 por falta de
familiaridade com o mesmo.
148
Apresentaremos algumas modificações sugeridas por nossos
colaboradores e outras que consideramos convenientes com base nas
observações em sala de aula e pelos protocolos apresentados pelos alunos,
sujeitos de nossa pesquisa, destacando que estas são apenas sugestões que
podem e devem ser alteradas, conforme a necessidade de aprendizagem de cada
grupo em que serão desenvolvidas.
Na primeira etapa, foi sugerida apenas uma mudança no texto da tarefa 1 e
na apresentação dos números da tabela, ficando da seguinte forma:
1. Em uma escola de periferia, estudam cerca de 1.800 alunos distribuídos
em três períodos, na qual foi realizada uma pesquisa com a finalidade de
prever o resultado da votação para a chapa do grêmio estudantil. Sabe-
se ainda que as chapas são compostas por alunos dos três períodos.
Com base nestas informações, responda:
a) De que modo poderíamos selecionar uma amostra contendo 60
eleitores para determinar as intenções de voto?
b) Se os entrevistados forem apenas de um dos períodos, a pesquisa
terá validade? Justifique sua resposta.
Durante o desenvolvimento da tarefa, verificamos que seria mais bem
explorada se fosse apresentada da seguinte maneira:
A seguir, a tabela apresenta como os alunos de uma escola estão
distribuídos nos períodos de aula.
Período da Manhã Período da Tarde Período Noturno
800 alunos 600 alunos 400 alunos
Com base nos dados, responda:
a) Qual é a população?
b) Durante uma disputa eleitoral para compor o grêmio estudantil, de que
modo pode ser selecionada uma amostra de 72 alunos para investigar
149
as intenções de voto, sabendo que haverá participantes dos três
períodos?
c) Os alunos decidem distribuir questionários para realizar a previsão das
intenções de votos da seguinte maneira: 32 para o período da manhã,
24 para o período da tarde e 16 para o período noturno. Está é uma boa
amostra? Justifique.
d) Se fossem distribuídos 24 questionários por período, a amostra teria
validade? Justifique.
2. Duas indústrias dispõem de cinco máquinas: A, B, C, D e E e lotes de
borracha diferentes para confecção de pneus. Uma montadora pretende
comprar pneus de uma das duas. Mas, exige que lhes enviem uma
amostra para teste. Com base nas exigências, Gustavo, funcionário da
empresa X, enviou 100 pneus retirados de uma única máquina; já
Roberto, que trabalha na indústria Y, pediu o prazo de uma semana para
selecionar as amostras das cinco máquinas e dos diferentes lotes de
borracha. Com base nas informações, responda:
a) Qual dos dois fez a melhor escolha? Justifique.
b) Quais as vantagens e desvantagenas nas escolhas feitas por
Roberto e Gustavo?
c) Você poderia descrever outra solução para a retirada das amostras?
Qual?
A alteração no valor do tempo da tabela de 38 para 38,4, foi sugerida por
ter induzido ao erro por causa do arredondamento. Mesmo após verificar que
contemplava apenas a aplicação do conteúdo matemático regra de três,
resolvemos deixá-la, porém retiramos o item (e), pois poderia induzir ao erro,
dando ao aluno a impressão da possibilidade de se fazer previsões futuras, a
partir de um gráfico de setores.
Tabela: de distribuição de frequência quanto ao tempo gasto na utilização do computador
Categorias Tempo em Porcentagem
150
(min.) (%)
Jogos 38,4 64
Trabalhos escolares
Internet
Outros
Total 100
Por opção dos professores colaboradores, não foi realizado o
desenvolvimento da tarefa dois, referente a segunda etapa, pois estes justificaram
não disporem de tempo suficiente. No entanto, vale ressaltar que, na etapa de
número cinco, os alunos relacionariam as variáveis: gosto pela Matemática e
gênero com a finalidade de contemplar a habilidade de representação das duas
relações por tabela e graficamente.
Para uma segunda versão, decidimos inserir uma coluna com variável
quantitativa discreta na primeira tarefa e um item contemplando a comparação de
grupos. Optamos ainda por trocar a ordem dos itens da tarefa dois da segunda
etapa e inserimos uma coluna variável quantitativa discreta, ficando assim a nova
tarefa:
Segunda etapa
1. Ao verificar que alguns alunos tinham frequentemente apresentado
sintomas de embriaguez durante o período de aula, os alunos do 3º ano
do Ensino Médio realizaram uma pesquisa envolvendo uma amostra
com 50 sujeitos da região. Com o objetivo de diagnosticar e apresentar
possíveis propostas de soluções do problema relacionado ao consumo
de bebidas alcoólicas foi gerado o seguinte banco de dados:
Gênero Idade Quantidade de pessoas
na residência
Grau de escolaridade
Idade que iniciaram a
consumo de álcool
Sensação ao consumir o
álcool
Motivos que o levaram a
consumir
Masculino 22 6 EF II Completo 13 Euforia Amigos
151
Masculino 16 4 EM Incompleto 12 Euforia Diversão
Feminino 15 6 EF II Completo 12 Euforia Amigos
Masculino 15 8 EM Incompleto 14 Poder Amigos
Masculino 16 5 EM Incompleto 16 Euforia Diversão
Masculino 18 7 EF II Completo 14 Euforia Balada
Feminino 16 4 EF II Completo 12 Euforia Diversão
Masculino 32 6 EF II Incompleto 14 Euforia Amigos
Feminino 21 4 EM Completo 15 Euforia Balada
Masculino 27 3 EM Completo 21 Euforia Outros
Masculino 22 5 EM Incompleto 16 Euforia Diversão
Masculino 28 4 EF II Completo 14 Euforia Outros
Masculino 42 9 EF I Completo 14 Euforia Amigos
Masculino 22 4 EM Incompleto 14 Poder Amigos
Masculino 17 8 EM Incompleto 15 Outros Diversão
Feminino 45 4 EM Completo 14 Euforia Curiosidade
Feminino 23 4 EM Completo 18 Euforia Diversão
Feminino 34 5 EM Incompleto 13 Euforia Amigos
Masculino 48 3 EM Incompleto 19 Euforia Outros
Masculino 18 4 EM Completo 13 Outros Balada
Masculino 29 3 EM Completo 17 Euforia Diversão
Masculino 17 3 EM Incompleto 14 Outros Amigos
Masculino 24 5 EF II Completo 16 Euforia Curiosidade
Masculino 39 6 EF I Completo 13 Desinibido Outros
Feminino 17 4 EM Incompleto 16 Euforia Balada
Feminino 20 2 EM Completo 14 Depressivo Balada
Feminino 38 5 EM Incompleto 15 Poder Outros
Masculino 16 3 EM Incompleto 14 Euforia Amigos
Masculino 21 4 EF II Completo 12 Euforia Amigos
Masculino 31 2 EM Completo 15 Euforia Diversão
Masculino 19 5 EM Incompleto 14 Outros Balada
Feminino 22 6 EF II Completo 15 Euforia Balada
Feminino 49 5 EF I Completo 14 Depressivo Outros
Feminino 23 4 EM Completo 18 Euforia Amigos
Masculino 16 3 EM Incompleto 14 Euforia Amigos
Masculino 18 6 EM Incompleto 17 Outros Curiosidade
Masculino 26 5 EF II Completo 13 Euforia Curiosidade
Masculino 48 4 EF II Incompleto 16 Desinibido Outros
Feminino 15 6 EM Incompleto 14 Euforia Amigos
Masculino 23 5 EM Completo 17 Euforia Amigos
Masculino 19 8 EF II Incompleto 13 Euforia Balada
Feminino 15 4 EM Incompleto 15 Outros Amigos
152
Feminino 16 6 EM Incompleto 16 Euforia Diversão
Feminino 37 3 ES 18 Euforia Diversão
Masculino 15 5 EF II Completo 12 Euforia Amigos
Masculino 33 4 ES 21 Euforia Balada
Feminino 36 5 EM Completo 14 Poder Outros
Feminino 16 7 EF II Incompleto 15 Euforia Balada
Masculino 35 8 EF I Completo 13 Euforia Amigos
Masculino 27 4 EF II Incompleto 14 Euforia Curiosidade
Total:
* EF I - Ensino Fundamental I * EF II - Ensino Fundamental II * EM - Ensino Médio * ES - Ensino Superior
Pautado nos dados apresentados, faça uma análise, utilizando uma coluna
de cada vez, ou seja, uma variável por vez:
1.1. Observe as colunas com variáveis qualitativas.
a) Organize uma tabela de distribuição de frequência para as variáveis
qualitativas (gênero, nível de escolaridade, quantidade de pessoas
por residência, sensação e motivo), contendo três colunas; a
primeira, continha a categoria; a segunda, o número de observação
(frequência absoluta) e a terceira, a taxa percentual (frequência
relativa);
b) Construa um gráfico circular ou de setores para cada variável
qualitativa. Se não lembrar, siga os passos a seguir:
c) Com o compasso, desenhe um círculo;
d) Calcule o número de graus correspondente a cada categoria
representada, como por exemplo, para M (masculino) e F
(feminino). Para tal utilize a regra de três simples;
e) Com o transferidor, meça os ângulos correspondentes aos graus
encontrados;
f) Construa um gráfico de barras ou colunas para cada variável
qualitativa. Lembrando-se que: no eixo horizontal das abscissas
153
devem estar localizadas as categorias, como por exemplo, M
(masculino) e F (feminino); no eixo vertical das ordenadas, a
frequência relativa. Cuidado com a escala (utilize um centímetro
para cada 5 unidades);
g) Redija algumas linhas para explicar as variáveis baseadas nos
gráficos e tabelas construídas; e
h) A partir da representação gráfica, você pode observar qual delas
representa melhor cada variável. No caso do grau de escolaridade,
em que tipo de gráfico fica mais fácil a visualização?
1.2. Organize os dados referentes às variáveis quantitativas contínuas:
idade e idade de iniciação do consumo de álcool, em ordem crescente
separadamente.
Com base nos dados apresentados, determine as medidas de
tendência central, ou seja, que descrevem a posição central dos dados
para cada uma das variáveis.
a) Média – Somatório de todas as idades, dividido pela quantidade de
entrevistados.
b) Moda – O valor que se repete com maior frequência.
c) Mediana – O valor que divide o conjunto de dados em duas partes
de mesmo tamanho (ou mesma quantidade de observações).
d) Quais são as idades, mínima e máxima dos dados apresentados?
Uma boa maneira para determinar as medidas de tendência central, valor
máximo e mínimo, é a representação de dados em um diagrama de ramo e
folhas. Portanto, vamos construir um.
Ao verificar que as idades variam de 15 a 49 anos, as dezenas
representam o ramo, e as unidades, as folhas. A vantagem em se trabalhar com
esta representação é não se perder nenhuma informação, sendo possível saber
154
exatamente quantos alunos têm 16 anos, o que não ocorre com a tabela de
distribuição de frequência, quando se trabalha com intervalo de classes.
1.3. Com base nas informações, continue o diagrama de ramo e folhas
relativo à idade do sujeito de pesquisa. Construa um para a idade com
que iniciaram o consumo de bebidas alcoólicas.
1 5 5 5 5 5 6 6
2
3
4
5
a) Qual posição indica a mediana em cada diagrama? Lembre-se, este
valor encontra-se no meio dos dados.
b) Quantos alunos têm 16 anos? E 33 anos?
c) Qual a idade que mais aparece em cada diagrama, ou seja, a
moda?
d) Elabore a tabela de distribuição de frequência para as duas
variáveis quantitativas discretas, agrupando a idade em classe de 5
anos. Como por exemplo, de 15 a 20 anos, qual é a frequência?
Neste caso, é importante observar que 20 anos não entram na
contagem, pois fará parte da classe de 20 a 25 anos e, assim por
diante.
e) Construa um histograma para representar os dados agrupados na
tabela de frequência. Este gráfico é formado por retângulos
congruentes “colados” uns aos outros. No eixo das abscissas,
escreva o intervalo das idades (base do retângulo) e, no eixo das
ordenadas, a frequência (altura do retângulo).
f) Redija algumas linhas explicativas, para as variáveis apresentadas
nos gráficos e tabelas.
155
g) Com base na situação apresentada, após a análise dos dados, o
que se pode concluir? O que pode ser feito para amenizar o
problema?
h) Existe alguma relação entre o gênero e o grau de escolaridade?
Para tal análise, complete a tabela abaixo.
Tabela 1. Tabela: Relação entre o grau de escolaridade e o gênero
Grau de escolaridade Masculino Feminino Total
Nº % Nº %
EF I Completo 3 9,4 0 0 9,4
EF I Incompleto
EF II Completo
EF II Incompleto
EM Completo
EM Incompleto
ES
Total
i) Construa um gráfico de colunas, representando as informações da
tabela do item anterior.
j) Após a representação, faça uma análise da situação e redija um
texto de três linhas, no máximo, explicando se existe relação entre
as variáveis.
2. A seguir, a planilha apresentada descreve alguns dados relativos ao
perfil de alguns alunos de um 7º ano do Ensino Fundamental, recolhidos
durante a aula de Matemática. Com base nestes dados, vamos estudar
alguns conceitos relativos ao tratamento e organização dos dados.
156
Nome do Aluno
Gênero Idade
(em anos)
Quantidade de pessoas
por residência
Gosto pela Matemática
Horas de estudo
extra classe
Esporte Preferido
Airton M 12 9 Muito 3 Futebol
Alessandro M 13 4 Regular 1 Vôlei
Aline F 12 6 Pouco 0,5 Basquete
André M 14 3 Pouco 1,5 Natação
Bruno M 12 2 Muito 4 Futebol
Daniel M 14 4 Regular 2 Basquete
Diego M 15 6 Pouco 0,5 Futebol
Eduardo M 13 2 Não 0 Futebol
Erick M 12 9 Não 0,5 Basquete
Fabiana F 12 8 Regular 1 Futebol
Gabriel M 11 3 Pouco 2 Vôlei
Gabriela F 13 2 Regular 1 Natação
Grazielle F 12 2 Regular 0,5 Vôlei
Guilherme M 14 4 Pouco 2 Vôlei
Henrique M 15 6 Muito 4 Futebol
Jaqueline F 12 5 Pouco 1,5 Futebol
Jéferson M 11 6 Não 0 Natação
John M 14 8 Não 0 Futebol
Jonatas M 13 4 Pouco 1 Vôlei
Jucivania F 12 2 Muito 3 Futebol
Kauê M 12 2 Não 0,5 Natação
Luana F 12 4 Muito 4 Vôlei
Lucélia F 13 5 Pouco 1 Vôlei Luiz M 12 5 Muito 3 Basquete
Maria F 13 9 Não 0 Vôlei
Mayara F 12 4 Regular 1,5 Natação
Mike M 12 3 Regular 2,5 Natação
Natália F 13 5 Pouco 0,5 Futebol
Pedro M 14 6 Muito 3,5 Futebol
Raisa F 12 3 Regular 1,5 Vôlei
Roger M 12 5 Não 0 Futebol
Tatiane F 13 4 Não 0 Natação
Vinícius M 12 6 Muito 2 Vôlei
2.1. Realize agora uma análise unidimensional, ou seja, estude uma
coluna de cada vez para cada opção da variável observada. Anote
o número de vezes que cada opção aparece.
a) Na coluna da variável “gosto pela Matemática”, quantas vezes
aparece a opção muito? E a regular? Cada opção está
157
associada a um valor, que recebe o nome de distribuição de
frequências.
b) Quantas vezes podemos observar o “M”? e o “F”?
c) Elabore uma tabela de distribuição de frequência para cada uma
das variáveis observadas na tabela.
d) Construa um gráfico de setores ou de colunas para as seguintes
variáveis: gênero, quantidade de pessoas por residência, gosto
pela Matemática e esporte preferido.
e) Construa um histograma para a variável idade e tempo gasto
com estudo extraclasse. Este tipo de variável é contínua, pois
seu valor pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo
real.
f) Para as variáveis idade e hora de estudo extraclasse, organize
os dados em ordem crescente, construa o diagrama de ramos e
folhas e determine a mediana e a moda.
g) Em média, são gastas quantas horas por dia com estudo
extraclasse?
h) Qual é a idade média destes alunos?
i) Como você classifica o gosto desta turma pela disciplina de
Matemática? Existe alguma relação entre gosto pela Matemática
e gênero? Para tal análise, complete a tabela abaixo.
Tabela 2. Tabela: Relação entre o gosto pela Matemática e o Gênero
Gosto pela Matemática Masculino Feminino Total
Nº % Nº %
Não 6 30 2 20 50
Pouco
Regular
Muito
Total
j) Construa um gráfico de colunas representando as informações
da tabela do item anterior.
158
k) Após a representação, faça uma análise da situação e redija um
texto de três linhas, no mínimo, no qual esteja descrito o perfil
dos alunos dessa turma.
Após a realização das tarefas referentes à resolução de exercícios,
verificamos a necessidade de inserir outra etapa, pois os alunos demonstraram
muita dificuldade para ler e interpretar gráficos, contendo informações, quando
estas estão representadas em gráfico de linhas.
Sendo assim, nas terceira, quarta e quinta etapas não fizemos nenhuma
alteração, pois consideramos apropriadas, como foram apresentadas e
desenvolvidas, porém inserimos outra etapa, antes da de número seis, com o
objetivo de amenizar as dificuldades apresentadas. Desta maneira, a nova versão
ficou estruturada com a 6ª etapa da seguinte forma
Leia o texto abaixo:
Foi publicado no portal de notícias da Globo.com que o Índice Nacional de
Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), considerado "inflação oficial" do País,
registrou variação de 0,01% em julho, segundo a informação do Instituto Brasileiro
de Geografia e Estatística (IBGE).
O resultado é praticamente igual ao de junho, quando o IPCA não registrou
variação. Em julho do ano passado, o índice havia sido de 0,24%. O IPCA é
usado, como referência pelo Banco Central para estabelecer metas de variação
de preços no País.
No ano, o índice acumula alta de 3,10%, acima dos 2,81% referentes ao
mesmo período do ano passado. Nos últimos 12 meses, o IPCA ficou em 4,60%,
abaixo do acumulado nos 12 meses anteriores (4,84%), segundo o IBGE.
159
Destacando que esta variação é mensal com base no texto, foi elaborado o
gráfico a seguir:
Figura 29: Evolução do IPCA nos últimos 12 meses (Foto: Editoria de Arte/G1)
Fonte: http://g1.globo.com/economia-e-negocios/noticia/2010/08/inflacao-oficial-varia-001-em-julho-diz-
ibge.html
Com base nas informações, responda à questão 1:
a) De agosto a dezembro de 2009, em que mês o índice foi mais alto?
b) Em que mês, no primeiro semestre de 2010, houve o menor índice?
c) Qual foi o índice alcançado em fevereiro de 2010?
d) É possível obter, a partir do gráfico, a informação contida no texto: “No
ano, o índice acumula alta de 3,10%”? Em caso afirmativo, como?
160
e) Qual foi o índice acumulado de agosto a dezembro de 2009?
2. O gráfico de linhas indica as variações percentuais do índice de custo de
vida dos primeiros 4 meses de 2010 de três itens (alimentação,
habitação, saúde) escolhidos para pesquisa.
Figura 30: Gráfico do índice do custo de vida. Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html
Façam uma análise do gráfico e respondam:
a) Que item foi o “vilão” do aumento do custo de vida no mês de janeiro?
b) A afirmação “Por 2 meses consecutivos, observa-se queda do custo de
vida no item Habitação” está correta?
c) Em que mês, a população brasileira teve de gastar mais dinheiro para
“colocar comida na mesa”?
3. O gráfico mostra os percentuais do investimento público na Educação
Infantil, no Ensino Fundamental final e no Ensino Médio, no período de
2005 a 2007.
161
Figura 31: Gráfico investimento público na Educação.
Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html
Com base nas informações contidas no gráfico, responda:
a) Qual o percentual do investimento nos três níveis de ensino em 2005?
b) De 2005 a 2007, que percentual foi investido no Ensino Fundamental
final?
c) Em que ano, o investimento foi maior?
4. Neste gráfico de barras, está representada a evolução da população
residente em Portugal ao longo dos anos, segundo os dados estatísticos
obtidos nos recenseamentos.
Figura 32: Gráfico da evolução da população residente em Portugal.
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm24/probexerc.htm
162
a. Qual o valor aproximado da população residente em Portugal no ano de
1989?
b. Qual ou quais o(s) ano(s) em que a população residente em Portugal foi
igual a 10 milhões?
c. A partir de que ano os portugueses residentes passam a ser mais de 10
milhões?
A segunda versão da THA encontra-se anexa ao trabalho.
163
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Pautados na pesquisa realizada, verificamos e traçamos caminhos que nos
possibilitaram responder nossa primeira questão de pesquisa “Quais são as
possibilidades e dificuldades em desenvolver situações de aprendizagem em uma
perspectiva construtivista, envolvendo os conhecimentos de leitura, interpretação
de gráficos e tabelas e medidas, como a média, a moda e a mediana para alunos
do Ensino Médio?”
Para tanto, primeiro, buscamos, situar os professores colaboradores sobre
os principais resultados de pesquisa na área da Educação Matemática, a respeito
do tema escolhido para a elaboração da THA, propiciando a estes contatos com
as principais dificuldades apresentadas pelos alunos nestas investigações.
Ressaltamos a importância desses resultados para a mudança da prática
profissional. Com a finalidade de estreitar percursos traçados entre pesquisadora
e professores, realizamos reuniões periódicas para discussão da THA.
Durante o desenvolvimento do projeto, inferimos que uma das maiores
dificuldades para desenvolver situações de ensino e aprendizagem, dentro de
uma perspectiva construtivista, é justamente o distanciamento que há entre os
pesquisadores que as elaboram e a prática do professor em sala de aula,
obstáculo este em parte superado, de acordo com os relatos dos próprios
professores colaboradores. Outro fator que dificultou o desenvolvimento da THA
foi o pouco conhecimento em relação ao conteúdo específico por parte dos
professores. No entanto, em nossos encontros, procurávamos sempre tirar
dúvidas quanto ao conteúdo.
164
Vale ressaltar que a THA possibilitou aos professores realizar mediações
entre os alunos de forma contínua e transitória e ainda que ele fizesse as
intervenções necessárias para que os mesmos realizassem as tarefas. Aspectos
estes concomitantes com uma perspectiva construtivista de ensino. Destacamos
que a THA proporcionou também aos professores desenvolver trabalhos em
grupos nos quais os alunos tinham possibilidades de validar suas respostas, fazer
conjecturas e discutir as soluções.
Consideramos também que, antes da apresentação de boas situações de
aprendizagem dentro de uma perspectiva construtivista, talvez fosse necessário
investigar a seguinte questão: o que os professores colaboradores entendem por
construtivismo em sala de aula?
Este trabalho nos possibilitou, apoiados nas observações das aulas com
base nos pressupostos apresentados por Coll et al. (2009), identificar algumas
características das concepções construtivistas que nossos professores
colaboradores têm e iremos discorrer sobre elas, relacionando-as a cada um
deles.
P2 apresentou características compatíveis com a primeira concepção, pois
para ela a aprendizagem escolar consiste em conhecer respostas corretas às
perguntas formuladas. Não tem o hábito de explicar o conteúdo e, por vezes, nem
mesmo lia em voz alta as tarefas; em parte, sua finalidade consistia em obter
respostas corretas e corrigir as erradas.
P1 enquadrou-se mais na segunda concepção, já que, para esta, a
aprendizagem escolar baseia-se em adquirir os conhecimentos proeminentes de
uma cultura. Com base em sua postura em sala de aula, o ensino nada mais é do
que a transmissão da informação necessária aos alunos, insistindo em tê-los
como processadores de informação. Por várias vezes, deixou subentender que a
aquisição do conhecimento ocorre por intermédio de cópias, ou seja, reproduz
sem modificações a informação recebida, usa a repetição. Podemos reafirmar
esta concepção apoiados em sua constante preocupação com o tempo, ou
165
mesmo, os momentos em que ela foi à lousa para iniciar as tarefas para seus
alunos.
Já na colaboradora P3, encontramos traços concomitantes com a terceira
concepção, na qual a aprendizagem escolar consiste em construir
conhecimentos. Para ela, o ensino consiste em dar a ajuda necessária, para que
os alunos possam construí-lo. Neste caso, P3 foi uma participante ativa no
processo de construção do conhecimento, mostrou-se focada no aluno e não na
matéria. Assim, o importante era ensinar o aluno a aprender e ajudá-lo a
compreender que, quando se aprende, não é importante apenas o conteúdo da
aprendizagem, mas também como se organiza e age para aprender.
Embasados em Coll et al. (2009), no decorrer do processo, consideramos
que não bastam apenas THAs bem elaboradas, para que haja uma aprendizagem
significativa, pois o professor deve estar disposto a ensinar conceitos aos alunos
para construção do próprio conhecimento, intervindo sempre para ativar as ideias
prévias dos alunos, incentivando-os a averiguar algumas de suas limitações e
predispondo-se positivamente a modificá-las.
O professor deve também traçar caminhos que possibilitem aos alunos
nortear as atividades e seus esforços no processo de ensino e aprendizagem e
que adaptem suas expectativas durante a realização das tarefas às expectativas
do professor. Assim, é função do professor levar em conta uma série de critérios
de apresentação da informação, de organização e funcionamento das atividades.
Mas, vale ressaltar que, para tanto, deve conhecer um rico repertório de
atividades e trajetórias de ensino para um mesmo conteúdo, visto que uma das
características da THA, de acordo com Simon (1995), é justamente as possíveis
mudanças dessas trajetórias de ensino apoiadas no ocorrido em sala de aula.
Conseguimos indícios que nos permitem concluir uma superação na
dificuldade, tanto dos professores como dos alunos em relação à diferenciação e
utilização das medidas de média e mediana, avanços consideráveis em relação à
representação de dados estatísticos em gráficos e tabelas, assim como o
entendimento das diferentes variáveis estatísticas e sua organização de modo
geral.
166
Apoiados no desenvolvimento deste trabalho, verificamos que boa parte
dos sujeitos participantes ativos deste projeto tiveram um envolvimento direto com
as atividades, contemplando o conteúdo: Leitura e Interpretação de Gráficos e
Tabelas e medidas de Média, Moda e Mediana integraram a oportunidade de
vivenciar recursos pedagógicos, envolvendo a análise exploratória dos dados e as
variadas representações matemáticas de um mesmo conteúdo, relacionando-os
com situações reais do dia a dia. As atividades apresentaram situações que
possibilitaram aos alunos organizar, representar e analisar dados estatísticos com
o objetivo de conhecer e aprender os temas desenvolvidos.
Consideramos ter possibilitado aos professores envolvidos a utilização de
nossa THA, como marco de referência e como uma sequência de atividades que
lhes serviram de exemplo para desenvolverem em sala de aula, atendendo a uma
das concepções de THA discutida por Gómez e Lupiáñez (2007).
Em nossa pesquisa, entendemos vislumbrar o Ciclo de Ensino de
Matemática, proposto por Simon (1995), pois verificamos que alguns
componentes do ciclo proporcionaram mudanças nos professores colaboradores,
nos alunos e na pesquisadora. Ressaltamos que todos os envolvidos ativamente
no processo ampliaram seus conhecimentos matemáticos sobre Leitura e
Interpretação de Gráficos e Tabelas e medidas de Média, Moda e Mediana,
partindo do princípio que alguns itens específicos relacionados ao tema eram
desconhecidos também pelos professores, conforme relatado por eles.
Certamente, o uso de THA e o acesso às pesquisas realizadas na área da
Educação Matemática podem contribuir com a prática do professor em sala de
aula. Conforme os relatos dos professores colaboradores obtivemos indícios
diretos em relação à pretensão de utilizarem a THA nas próximas oportunidades
de desenvolver o assunto e, em especial, P3 quanto à possibilidade de utilizar
THA envolvendo outros temas, já que durante nossos encontros teve contato com
outros temas já desenvolvidos pelo grupo, ao qual o projeto está inserido.
Sendo assim, inferimos que, de acordo com o apresentado por Gómez e
Lupiáñez (2007), os professores em parte assumiram postura reflexiva essencial
à noção de THA, retroalimentando o Ciclo de Ensino da Matemática de Simon
167
(1995). Diante do fato de que foi uma aprendizagem, tanto de conteúdo como de
sequências de atividades para o professor, possivelmente, quando ele for
trabalhar novamente o tema, irá renovar as hipóteses de aprendizagem e realizar
modificações de outros elementos.
Quando nos propusermos a realizar o trabalho com o referido tema,
tínhamos a expectativa de encontrar uma nuança maior de trabalhos direcionados
ao Ensino Médio e deparamo-nos com a realidade da escassez de material
desenvolvido, especialmente, para este nível de escolaridade. No entanto,
conseguimos apresentar aos professores colaboradores as possibilidades de
desenvolverem e elaborarem situações de ensino, concomitantes com os
resultados de pesquisa.
Em suma, percebemos que as dificuldades para desenvolver situações de
aprendizagem significativas existem e que não são muitas as possibilidades de
desenvolvê-las. Contudo, encontramos indícios de que estas poderão ser
superadas e propiciadas, desde que haja engajamento de todos os envolvidos no
processo.
A segunda questão de pesquisa a que nos propusemos a responder, diz
respeito às contribuições do professor na elaboração de trajetória hipotética de
aprendizagem, pode ser justificada, apoiada em nosso aporte teórico: o
construtivismo baseado em Coll et al. (2009), as contribuições de Simon (1995) e
as concepções de THA descritas por Gómez e Lupiañez (2007).
No início do processo, destacamos que as contribuições diretas para as
mudanças da THA, por parte de nossos colaboradores, foram poucas,
contrariando nossas expectativas, porém, no decorrer do processo, mesmo que
indiretamente estas ocorreram.
Partimos do princípio que, ao elaborarmos as tarefas contempladas na
THA, realizamo-las conforme os pressupostos construtivistas, pois procuramos
propiciar aos alunos a construção do próprio conhecimento, uma vez que as
situações estavam inseridas no cotidiano. Ao final, estes deveriam comparar
168
resultados e justificar, podendo assim fazer a sistematização individual em pares
ou em grupos.
Com a intenção de atender alunos em todos os níveis de aprendizagem de
leitura e interpretação de gráficos e tabelas determinados por Curcio (1989) e
Wainer (1992), buscamos elaborar questões que despertassem o interesse
daqueles com um bom conhecimento prévio sobre o tema, até os com pouco ou
nenhum conhecimento prévio.
Para responder a terceira questão, relativa a qual atuação pode ter um
professor de Matemática no que se refere ao desenvolvimento da trajetória
hipotética de aprendizagem de uma forma compatível com uma perspectiva
construtivista de aprendizagem, buscamos indícios que permitissem sua resposta
e que contribuíssem para a pesquisa na área do Ensino da Matemática.
No momento que nos dispusemos a desenvolver a THA em sala de aula
com os professores colaboradores e seus respectivos alunos, tínhamos algumas
hipóteses em relação à atuação do professor, sobretudo quanto as mudanças de
atitudes dos professores e alunos com relação ao sucesso das tarefas escolhidas
para sua elaboração.
Deduzimos que, apesar das tarefas planejadas, estas não bastam, como
exemplos de atividades, características da THA e do construtivismo, pois não
podem ser considerados, como manuais prontos, mas, sim, como marcos de
referências para guiar o trabalho do professor na ajuda das tomadas de decisões.
Tanto as intervenções dos professores como a disponibilidade dos alunos
em aprender foram responsáveis pelos resultados. Nos momentos em que a aula
era conduzida, de acordo com a abordagem construtivista, notamos maior
autonomia dos alunos. No entanto, nos momentos que os professores auxiliavam
demais ou davam orientações inadequadas, os alunos apenas aguardavam a
resposta.
Apenas com o conhecimento matemático, verificamos ser possível ao
professor interpretar a linguagem, as dúvidas, as conjecturas e as ações dos
169
alunos, conforme destacado por Simon (1995). O docente para ter possibilidade
de modificar a THA, deve conhecer os objetivos da aprendizagem que espera
alcançar. Apoiados em nossas observações, destacamos que, para ocorrer o bom
desenvolvimento de uma THA, é necessário, entre outros fatores, que esta
aconteça em um ambiente de aprendizagem, no qual a interação entre professor
e alunos propicie o empenho de todos na construção dos conhecimentos.
A partir do desenvolvimento da THA, consideramos que a aprendizagem
verifica-se pautada em experiências, interesse e conhecimentos prévios, pois
percebemos o fato quando constatamos que os alunos não modificavam o que já
sabiam, mas interpretavam o novo de forma a integrá-lo e interiorizá-lo,
pressuposto este encontrado no material apresentado por Coll et al. (2009).
Este projeto nos propiciou inferir e concordar com o autor citado, pois, para
que o aluno atinja a aprendizagem significativa, precisamos ter discernimento que
o fato não ocorre isoladamente. Assim, é de suma importância a intervenção do
professor, variando em quantidade e qualidade contínua e transitória, ajustando
as necessidades do aluno, para que este parta de suas responsabilidades,
progredindo, conforme a finalidade educativa.
Apoiados nos discursos dos professores colaboradores, identificamos
contribuições positivas para a prática do professor, com base no trabalho
desenvolvido entre elas, como: o conhecimento de novos conteúdos, tanto aos
professores como aos alunos, a reflexão sobre a própria prática docente, o
desenvolvimento de autonomia por parte de alguns alunos e professores, a
aproximação entre as pesquisas na área educacional e a realidade da sala de
aula e ainda a conscientização da importância da interação entre alunos e
professores.
Ressaltamos ainda que, conforme descrito por Coll et al. (2009), cada
professor tem suas concepções sobre as melhores formas de ensinar, visto que a
mesma THA desenvolvida por três professores apresentou resultados diferentes.
Na turma em que o professor constantemente proporcionou um espaço maior de
comunicação em sala de aula, percebemos que se criou um ambiente de
170
interação entre professor e aluno, mostrando, assim, o caráter reflexivo do
professor em relação à aprendizagem do aluno.
No entanto, na turma do outro professor que se preocupou mais com o
tempo ou com o programa a cumprir, em alguns momentos, houve desinteresse
dos alunos para resolver as atividades, pois se sentiam inseguros e até mesmo
desmotivados para realizá-las sem o auxílio do professor.
Mas não podemos deixar de falar sobre o outro colaborador que, apesar do
pouco conhecimento ou da forma despreocupada que conduziu sua aula, pouco
influenciou no desempenho da turma, já que a série onde o trabalho foi
desenvolvido supostamente nos conduz a concluir que estes alunos já tenham
desenvolvido sua autonomia e maturidade para buscar o conhecimento de forma
significativa.
Com nosso trabalho, esperamos ter contribuído nas discussões e
pesquisas para formação e desenvolvimento profissional dos professores de
Matemática. Mas, vale ressaltar que, em nossa pesquisa, utilizamos os estudos
de Simon (1995) para apresentar uma proposta de THA, evidenciando que o
desenvolvimento de uma THA requer diversos aspectos, como o conhecimento
dos resultados de pesquisa, a preocupação para compreender como ocorre a
aprendizagem e a prática reflexiva que mantém o movimento do Ciclo de Ensino
de Matemática proposto por Simon (1995).
Entendemos que a experiência com a THA desenvolvida serviu de estímulo
aos professores colaboradores na busca por resultados de pesquisa, como
observamos nas discussões realizadas durante nossos encontros. Destacamos
que nos pressupostos apresentados por Simon (1995), a THA deve ser
desenvolvida pelo próprio professor e optamos por utilizar os defendidos por
Gómez e Lupiañez (2007), no qual a elaboração da THA seja mais adequada ao
pesquisador.
No decorrer das aulas, observamos que a aprendizagem ocorre de forma
significativa, quando o professor mostra-se preparado e compromissado com
seus alunos.
171
Pautados no relato dos professores participantes do estudo, verificamos ter
contribuído na melhoria do processo de ensino e aprendizagem das turmas
envolvidas. De acordo com estes professores, houve uma real compreensão da
abordagem construtivista e, além disto, estes se mostraram preocupados para
questionar os alunos e permitir que participem da construção de seu próprio
conhecimento.
172
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http://g1.globo.com/economia-e-negocios/noticia/2010/08/inflacao-oficial-varia-001-em-
julho-diz-ibge.htm
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm24/probexerc.htm
178
ANEXOS
Roteiro para Entrevista
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
Programa de Estudos Pós-Graduação em Educação Matemática
Escola Estadual ____________________________________________
Pesquisa: Professor colaborador da THA em Leitura e interpretação de gráficos e
tabelas e medidas de tendência central (média, moda e mediana).
Caro (a) Professor (a),
Esta pesquisa é parte integrante da dissertação de mestrado profissional
em Ensino de Matemática do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação
Matemática da PUC-SP, intitulada: UMA ABORDAGEM CONSTRUTIVISTA
PARA O ENSINO E A APRENDIZAGEM DE LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE
GRÁFICOS E TABELAS E MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL (média, moda
e mediana) e tem por objetivo traçar um perfil da opinião do professor colaborador
sobre o tema.
Antecipadamente, agradecemos sua participação e colaboração.
179
1. Nome ____________________________________________________
2. Formação _________________________________________________
(Graduação Plena em Matemática/ Complementação/ Bacharelado)
3. Localização da escola ____________________ D.E. _______________
4. Tempo de magistério.____________________________
5. Tempo que leciona nesta Unidade Escolar ___________________
6. Professor: Efetivo ( ) OFA ( )
7. Segmento que leciona: ( ) E.F. I ( ) E.F.II ( ) E.M.
8. Pós-Graduação cursada e/ou em andamento
( ) Extensão
( ) Aperfeiçoamento
( ) Especialização
( ) Mestrado
( ) Doutorado
( ) Nenhum
9. Quais estratégias ou metodologias de trabalho normalmente utiliza em
suas aulas?
10. Participou ou participa de cursos ministrados pela Secretaria da Educação?
Quais?
11. Qual (is) livro(s) didático(s) utiliza como apoio para preparar suas aulas?
12. Você utiliza (segue) o material da Proposta Curricular do Estado de São
Paulo? Se sim, faz adaptações e/ou alterações neste material, de acordo
com as turmas para as quais leciona?
13. Utiliza outros recursos, além do material da proposta curricular do Estado
de São Paulo? Quais?
180
14. Em nossa pesquisa, estamos desenvolvendo o conteúdo de leitura e
interpretação de gráficos e tabelas e medidas de tendência central (média,
moda e mediana). Considerando sua experiência e conhecimento, como
você desenvolve ou desenvolveria esse tema?
15. Quais são as dificuldades que os alunos apresentam ao estudar este
assunto?
16. Costuma trabalhar com resolução de problemas para desenvolver os
conceitos envolvidos no tema?
17. Você costuma buscar resultados de pesquisas para auxiliá-lo na
elaboração de suas aulas?
Encontros com P1e P2
1º encontro – 13/05/2010 (P1/P2), com o objetivo de pedir a colaboração das
professoras para participarem da pesquisa, solicitei autorização à coordenadora
para conversar com P1 sobre os objetivos do projeto e do questionário que
deveria responder para caracterização do professor. A professora em questão
trabalha na mesma unidade escolar que a pesquisadora, o que facilitaria os
encontros e a discussão da THA. No mesmo dia, ficou acordado que a
pesquisadora estaria à disposição da professora para o esclarecimento de
possíveis dúvidas em relação ao conteúdo. Ainda nesse dia, a coordenadora
dispôs-se a convencer P2 a participar do projeto, pois esta deveria ficar em
substituição da professora que estaria de licença prêmio, de imediato P2 recusou-
se, alegando que não gosta de dar aula para o Ensino Médio. A THA foi entregue
para P1.
2º encontro – 14/05/2010, neste dia, reunimos-nos para discutir a resolução das
tarefas e como estas seriam apresentadas dentro de cada etapa para os alunos.
Pude verificar que P1 já havia resolvido a primeira etapa e que, neste instante,
não apresentou nenhuma dúvida, a mesma ressaltou que estava muito fácil e que
181
os alunos não teriam problemas para resolvê-la, apesar das dificuldades que têm
em relação à Matemática. P1 falou de suas preocupações com o desenvolvimento
da THA por parte dos alunos, que são muito desinteressados e a maioria não
participa das aulas. Vale ressaltar que P2 também fez parte da reunião, embora
não tenha se pronunciado em nenhum momento, ficou apenas observando e
ouvindo as orientações, porém pediu uma cópia da THA para ver se conseguiria
resolver as tarefas. Nestes encontros, ficou acordado que os professores
colaboradores poderiam aproveitar para tirar dúvidas e aprender a usar os
instrumentos de Geometria para ensinarem aos alunos a construção dos gráficos.
Segue abaixo a justificativa dos professores para as dificuldades apresentadas
pelos alunos:
O vocabulário pobre, interpretação precária, falta de concentração e
interesse em aprender.
Professora P1 disse que: “Como a atividade é motivadora e diferente, talvez eles
demonstrem interesse”, ainda ressalta que terão apenas que mobilizar o
conhecimento prévio: Regra de Três Simples e sugere um texto explicativo:
amostra e população diferenciação.
3º encontro – 21/05/2010
P1 apresentou suas resoluções, pois alegou ter o hábito de preparar suas aulas e
sabe que precisa treinar o uso dos instrumentos, pois não tem hábito de usá-los
em suas aulas.
Para a atividade 1, P1 sugeriu tirar a informação cinco participantes, muita
informação confunde. “Vou pedir para que os alunos tragam calculadora para
facilitar os cálculos”. Segundo a professora, eles vão realizar o gráfico de colunas
sem problemas.
Na segunda etapa, P1 sugeriu uma mudança no texto. “Para cada uma das
variáveis qual, “organize” uma tabela de distribuição de frequência”.
Por hipótese, P1 ressaltou que os alunos já reconhecem os termos frequência
relativa e absoluta.
182
P2 decidiu participar do projeto, porém não sugeriu nada, e alegou que não teve
tempo de ler as atividades propostas na THA. A professora P2 comentou que
pretendia participar do desenvolvimento das tarefas propostas pela THA, já que
tinha muita dificuldade e pretende aprender o conteúdo envolvido, segundo ela é
uma maneira de perder o medo de dar aulas no Ensino Médio.
Além dos encontros descritos acima, durante todo o processo de desenvolvimento
da THA, uma vez por semana nos reuníamos com P1 e P2 para discutir questões
relacionadas a dúvidas de cunho matemático.
Observações das aulas de P1 e P2 – Resolução da THA em sala de aula
- Professor 1 -
Data 18/05/2010 Número de alunos presentes: 28
Primeira etapa: Tarefa 1 Tempo de duração: uma aula de 45 minutos
A aula estava turbulenta, os alunos falavam o tempo todo, não se concentravam e
pareciam desinteressados. Depois de algum tempo, a professora conseguiu
organizá-los em duplas.
Os alunos apresentavam muita dificuldade, aparentemente, não tinham o hábito
de fazer a leitura, antes de iniciar as tarefas.
A professora deu um exemplo de aplicação da tarefa 1 da 1ª etapa, utilizando
para tal as pesquisas realizadas para presidência, ressaltando que a amostra
deverá ser retirada de cada região do País para determinar as intenções de voto.
Ao término da leitura, a professora fez questionamentos sobre a situação,
induzindo os alunos à resposta correta, salientando que a opinião era pessoal.
A resolução da tarefa 2 deu-se sem a apresentação de maiores dificuldades, de
imediato, algumas duplas responderam o primeiro item da questão. No entanto, a
dupla de número 2, perguntou à professora se era para responder ou colocar xis.
A professora passou por todas as duplas com o objetivo de esclarecer as dúvidas
e orientando; no entanto, sempre questionando, repetindo a leitura, para que
tentassem descobrir a solução.
183
No inicio da situação 3, mesmo antes de ler, alguns alunos já pediram para que a
professora explicasse. “Professora explica a 3.”
“Amostra? População?” – neste momento, os alunos demonstram que esses
termos eram totalmente desconhecidos. A professora foi solicitada a todo tempo,
mesmo depois da explicação, apenas uma dupla manifesta-se quanto à
dificuldade da questão. “Não é tão difícil, não”.
Data 20/05/2010 Número de alunos presentes: 26
Primeira etapa: Tarefa 3 Tempo de duração: duas aulas de 45 minutos
Os alunos apresentaram muita dificuldade para determinar a regra de três
simples.
A professora foi de mesa em mesa, tirando as dúvidas e intervindo, o que nos
pareceu que as dificuldades, na verdade, eram em relação à leitura, pois os
alunos leem, mas não se concentram.
Ao realizar a tarefa 2, que estava atrasada, uma das duplas mostra-se muito
contente a ponto de comemorar.
Apesar de alguns alunos terem certeza de que o setor da internet tende a crescer,
sentiam-se inseguros na afirmação, o que talvez demonstre o quanto eram
dependentes da opinião da professora.
A hipótese da professora P1 de que os alunos não teriam dificuldade para realizar
a tarefa, pois seria uma simples aplicação da regra de três, foi refutada logo no
início, apesar de pedir para utilizarem a regra de três, precisou realizar o exemplo
na lousa.
A dupla nº1 embora tenha declarado que a tarefas da primeira etapa eram fáceis;
no entanto, apesar de terem demonstrado concentração e interesse em sua
realização, tiveram muita dificuldade pelo pouco ou nenhum conhecimento sobre
o tema.
“Os alunos, de um modo geral, demonstraram dificuldade para montar o gráfico
de colunas, assim, a professora precisou intervir e iniciar o gráfico na lousa.”
184
Apesar do esforço apresentado pela professora, a maioria dos alunos não se
disponibilizou a prestar atenção. Mas, a professora disse “Hoje, está bom, pois
estão se interessando em realizar as tarefas.”
Pudemos observar que alguns alunos até sabiam fazer, mas a vontade ainda não
deixava. Algumas duplas demonstravam interesse, mas, a professora não se
dava ao trabalho de se indispor com alguns alunos, para exigir que tivessem
postura adequada na sala de aula; para a maioria dos alunos, falta limite e alguns
demonstravam ainda pouca maturidade para estar no 3º ano do Ensino Médio.
Até o momento, a maior preocupação por parte dos alunos era se as gravações
seriam utilizadas na reunião de pais.
Embora, neste dia, estivessem muito barulhentos, todos realizaram as tarefas
referentes a primeira etapa. Para encerrar as tarefas, a professora dedicou parte
da aula à conclusão, por causa dos erros apresentados e das dificuldades, fez-se
necessário uma parte explicativa ao final da primeira etapa.
No que diz respeito à representação do gráfico de colunas, uma dupla ao terminar
a primeira etapa utilizou legenda, em lugar de colocar as categorias nos eixos.
Ao término, a professora listou os conteúdos envolvidos na resolução das tarefas
dessa etapa na lousa da seguinte forma:
Conhecimentos mobilizados:
- Regra de três simples;
- Gráficos de colunas;
- Leitura de dados em gráfico de setores;
- Representação de dados em um gráfico de colunas; e
- Diferenciação entre amostra e população, validade de uma pesquisa de controle
de qualidade.
“Algumas duplas acharam bom o trabalho até o momento, porém quando
questionadas pela pesquisadora o porquê tinham gostado, a alegação foi a
seguinte: “não teremos aula de Matemática”
Após tentar fazer a correção, a professora optou por deixar de lado, pois os
alunos não demonstraram interesse, embora tivessem realizado as atividades,
185
apresentaram conceitos errados e, mesmo assim, não se dispuseram a aprender
de forma correta.
Data 21/05/2010 Número de alunos presentes: 19
Segunda etapa: Atividade 1 Tempo de duração: uma aula de 45 minutos
A professora iniciou a aula fazendo uma leitura compartilhada da situação, fez
toda a explicação sobre as variáveis apresentadas na tabela.
Indagava o tempo todo, percebemos que apenas um dos alunos não realizava a
tarefa. Ao ser questionada, várias vezes sobre o significado de variável, explicou
novamente o termo.
A professora iniciou a tabela, reforçando a contagem da variável gênero. Nesse
momento, demonstrou impaciência e propôs-se a fazer a primeira tabela com
eles.
Duas duplas questionaram “porque 100%, o que significa?”. A professora
justificou como sendo o número total de pesquisados.
Quando questionada sobre o significado de variável qualitativa, a professora
respondeu com exemplos. No entanto, não conseguiu explicar a contento o
significado para os alunos, pois se confundiu tanto que chamou o círculo de
“trigonométrico”, corrigindo o equivoco em seguida.
“Talvez seja necessário um texto explicativo, ou seja, apresentar algo que
explique o significado da palavra variável e distinções”. (comentário de P1 no
decorrer da aula)
Ao construir o gráfico para dar o exemplo ao aluno, a professora não se
preocupou em construí-lo, utilizando os instrumentos necessários de Geometria.
Apesar das dificuldades, P1 procurou dar atenção a todos individualmente,
esclareceu dúvidas. Os alunos pareceram mais motivados, demonstraram maior
interesse para desenvolver as atividades.
186
A professora: “Incrível, dou aula desde 1996 e nunca trabalhei com Estatística,
pois nunca dá tempo.” (comentário feito para a pesquisadora neste dia, na sala
dos professores).
Data 24/05/2010 Número de alunos presentes: 24
Segunda etapa: Atividade 1 Tempo de duração: uma aula de 45 minutos
Apesar das dificuldades, P1 tentava explicar os objetivos da tarefa aos alunos que
faltaram à etapa iniciada na aula anterior.
Nem os gravadores pareciam intimidar um grupo de alunos que insistia em falar
sobre suas intimidades. A professora disse: “O certo seria trabalhar com os
melhores alunos de cada turma”, comentário este apesar do fato de apenas
quatro alunos não demonstrarem interesse pelas atividades, pois foi notória a
mudança da turma que demonstrou interesse a cada dia pela resolução das
atividades propostas.
Os termos como EF I e EF II foram motivos de dúvidas. Assim, contrariando o que
foi dito pela professora, antes de iniciar o desenvolvimento da THA, foi visível o
interesse crescente dos alunos em seu desenvolvimento.
A hipótese da professora de que os alunos não teriam dúvidas sobre a construção
do gráfico de setores foi descartada, pois a dúvida foi geral, levando-a por várias
vezes à lousa para explicar a construção.
Ao final da aula, partimos do pressuposto que deveríamos mostrar como a
tecnologia pode ser um instrumento facilitador na construção desses gráficos,
apesar de não termos computadores, a professora cogitou a utilização do kit
multimídia da escola e o notebook da pesquisadora. No entanto, esta proposta
não foi aceita pela direção da escola, pois a mesma alegou que não tinha
chegado este kit à escola.
Data 27/05/2010 Número de alunos presentes: 26
187
Segunda etapa: Atividade 2 Tempo de duração: duas aulas de 45 minutos
O aluno disse: “Nossa! Que interessante! Aprendemos sem saber, o que estamos
aprendendo, vai ser útil para o ENEM.”.
A professora continuou interagindo, esclarecendo as dúvidas o tempo todo,
questionou e acompanhou o desenvolvimento dos alunos. Mostrou-se surpresa
com o crescente interesse da turma, trabalho que se iniciou em duplas, tornou-se
em grupo de 4/5, eles dialogavam a respeito das tarefas enquanto as realizavam.
Pergunta de uma da aluna: “Professora, os graus transformados podem ser
arredondados? Porque o total deu 358 e deveria ser 360º”
De repente, a pergunta: “O que é transferidor?”
P1: “Nunca mais vão esquecer regra de três. Estão gostando das atividades.”
A aluna disse: “Nossa que legal! Desse jeito, é mais fácil aprender!”
Data 28/05/2010 Número de alunos presentes: 14
Segunda etapa: Atividade 1 Tempo de duração: uma aula de 45 minutos
Neste dia, os alunos não demonstraram dificuldades para resolver as tarefas,
muitos faltaram, o que impossibilitou o término da atividade 1 da segunda etapa.
A professora manteve a postura de sempre, ia de carteira em carteira
perguntando se havia dúvidas.
Data 02/06/2010 Número de alunos presentes: 17
Segunda etapa: Atividade 1 Tempo de duração: uma aula de 45 minutos
Neste dia, apesar de haver poucos alunos na sala de aula, a professora continuou
a desenvolver as atividades, mantendo o mesmo comportamento, visitando as
mesas para retirar possíveis dúvidas.
188
Data 10/06/2010 Número de alunos presentes: 20
Segunda etapa: Atividade 1 Tempo de duração: duas aula de 45 minutos
Neste dia, a turma estava bem ativa, porém ainda demonstrou ser muito
dependente da professora.
A moda foi motivo de dúvidas, mesmo com perguntas direcionando sobre a idade
que mais aparecia. A atividade, segundo eles, foi interessante, o que motivou sua
realização.
A professora passava pelos grupos tirando dúvidas sobre as tarefas, sempre
questionando a resposta correta, mas ainda era notória a relação de dependência
dos alunos. Apenas três alunos não solicitavam muito a presença da professora,
talvez por serem oriundos de outras escolas e não terem estabelecido maiores
vínculos com ela ainda. “O rol foi o maior problema, parece que a organização
não é ponto forte desta turma”. Pela sua impaciência, a professora deu inicio ao
rol na lousa, pedindo para que os alunos dessem continuidade.
“O rol foi o maior problema, parece que organização não é ponto forte desta
turma!”
Data 17/06/2010 Número de alunos presentes: 24
Segunda etapa: Atividade 1 Tempo de duração: duas aulas de 45 minutos
Estas aulas foram destinadas ao término da segunda etapa, tendo em vista a
grande rotatividade dos alunos e as dificuldades apresentadas, pois são muito
heterogêneos com vários graus de dificuldades.
Data 18/06/2010 Número de alunos presentes: 13
Terceira etapa: Atividade 1 Tempo de duração: uma aula de 45 minutos
189
O número reduzido de alunos foi obstáculo para a professora iniciar a terceira
etapa.
Data 24/06/2010 Número de alunos presentes: 24
Terceira etapa: Atividade 1 Tempo de duração: duas aulas de 45 minutos
Nesta etapa, a professora resolveu iniciar a tabela agrupando os dados, para que
os alunos dessem continuidade, pois alegou que o tempo seria pouco para a
conclusão da mesma em razão da chegada do recesso escolar. Verificamos que,
apesar da professora tentar explicar, a maioria dos alunos continuou com
conversas paralelas e a professora não se deu nem ao trabalho de pedir atenção.
Por alguns momentos ainda, continuaram dispersos; neste dia, os alunos
mostraram-se dispersos e muito falantes, porém foi possível verificar que tinham
dificuldades para lidar com a contagem dos números por apresentarem valores
decimais e números inteiros.
A professora procedeu passando de grupo em grupo buscando ajudá-los e
intervindo sempre que necessário. A esta altura, os alunos já demonstravam mais
segurança para utilizar a calculadora de forma a facilitar os cálculos.
“O que realmente atrasou a turma, além das dificuldades foi a conversa, pois a
professora preparou a aula com antecedência para prever possíveis dúvidas e
intervir diretamente na resolução da tarefa”.
Data 29/06/2010 Número de alunos presentes: 25
Terceira etapa Tempo de duração: uma aula de 50 minutos
Esta aula foi destinada ao término da terceira etapa, talvez se P1 fosse mais
exigente e cobrasse uma postura mais adequada deles, eles se saíriam melhor.
Combinou que sua participação e o desenvolvimento das tarefas seriam partes da
190
nota bimestral, alguns ainda não demonstravam muito interesse; apesar de,
inicialmente apenas quatro se dispuseram a trabalhar e, neste momento, apenas
três não estavam realizando as tarefas.
Foi possível verificar que mesmo já tendo construído alguns diagramas, P3 ainda
precisava explicar a alguns como deveriam fazer, assim foi à lousa novamente e
iniciou o diagrama, não tinha paciência para deixá-los tentar fazer sozinhos.
“No ponto que eles estão, podemos inferir que apesar de estarem
empolgados em realizar as tarefas, demonstram certo desinteresse pela
disciplina de Matemática, o que nos conduz ao questionamento: Que fatores
podem ter influenciado para contribuírem com esta falta de interesse?”
Por algumas vezes, surgiam falas como: Não sei fazer...... Sou muito burro......
Nem vou tentar, sei que não vou conseguir mesmo...... Professora, me ajuda....
Professora, o que é histograma?
P1 pedia aos alunos que, quando construíssem o histograma, não deveriam
esquecer de pôr a escala, pois eles têm realizado os gráficos de qualquer jeito.
Um comentário errôneo da professora foi em relação ao dado com 0%, disse que
este não precisaria aparecer, porém, após conversar com a pesquisadora falou
que tinha se enganado, e o que o mesmo deveria aparecer na escala dos eixos.
Data 30/06/2010 Número de alunos presentes: 19
Terceira e Quarta etapas Tempo de duração: duas aulas de 45 minutos
A aula deu inicio com os alunos já organizados, pois estavam ansiosos pelo
recesso. P1 fez um acordo com eles, se terminassem as tarefas naquela aula,
não precisariam, mais vir para suas aulas, e que as quinta e sexta etapas ficariam
para o inicio do 3º bimestre. Como sempre, a professora foi de grupo em grupo,
ajudando-os a realizar as tarefas, sempre tirando dúvidas e/ou dando a resposta
dependendo do grupo.
Data 05/08/2010 Número de alunos presentes: 19
191
Quinta etapa Tempo de duração: duas aulas de 45 minutos
Esta etapa foi desenvolvida, conforme combinado com P2, porém ainda a
professora iniciou o trabalho com os alunos em duplas, pois justificou que estes
não tinham maturidade para trabalhar em grupos maiores em razão das
conversas paralelas.
Apesar de ter baixa expectativa quanto à participação e envolvimento de sua
turma, foi possível verificar que estavam bem envolvidos e que houve um
aumento no interesse pela realização das tarefas. Os alunos foram direcionados
de tal forma a contemplar as questões de interesse da professora, que tinha
optado pelas mesmas escolhidas pelos alunos de P2.
Inicialmente, os alunos selecionaram as questões que apresentariam o perfil da
sala, P1 direcionou a escolha das questões de tal forma que ficassem, conforme
estava definido na 2ª tarefa da segunda etapa.
Após a escolha, a professora foi à lousa e anotou os dados. Neste momento, ficou
acertado com eles que, após a conclusão, seria montado um painel que seria
exposto para apresentar o perfil deles aos outros alunos e professores da escola,
assim como os da turma de P2. Foi possível verificar pela atitude dos alunos que
eles acharam a atividade interessante.
O tratamento dos dados deu-se de forma rápida, acredito que pela familiaridade
que estes já tinham com o conteúdo. Conforme foi sugerido pela pesquisadora, a
professora pediu, para que elaborassem também na tabela, relacionando o gosto
pela Matemática e o gênero.
Ao término da aula, a professora avisou aos alunos que tiraria um xerox da tabela
contendo os dados brutos para entregar aos que faltaram, pois, apesar de não
participarem diretamente da coleta dos dados, também deveriam participar da
análise e organização
Data 19/08/2010 Número de alunos presentes: 28
Quinta etapa: continuidade Tempo de duração: duas aulas de 45 minutos
192
Este foi um dia atípico, pois estavam quase todos os alunos presentes. Assim
como ficou combinado na aula anterior, P1 entregou as tabelas aos que faltaram
e explicou o que deveria ser feito, as tarefas foram desenvolvidas sem maiores
dificuldades.
Notei que apenas quatro alunos não se interessavam pelas tarefas, confirmando o
que já havíamos constatado anteriormente, ou seja, havia interesse nas tarefas,
porém o fator tempo era decisivo. A turma em razão do pouco ou nenhum
conhecimento prévio exigia uma disponibilidade maior de tempo para atingir os
objetivos de uma aprendizagem significativa.
Pudemos inferir ainda que a turma era composta basicamente por meninas, e
contrario, às expectativas da professora, almejam fazer um curso de graduação
apesar das limitações e dificuldades da aprendizagem.Neste caso, surgiu a
seguinte questão: Será que a falta de estimulo por parte dos professores, que
fizeram parte de sua trajetória escolar ocasionou este desinteresse na vida
escolar desta turma?
Quando tiveram de construir a tabela, relacionando gosto pela Matemática e
gênero, apresentaram muita dificuldade e, como sempre demonstrando
impaciência, a professora foi à lousa e montou a tabela, impossibilitando-os de
pensar ou mesmo de tentar antes, assim como o gráfico foi ela quem também fez,
para que eles apenas copiassem. Assim, também ocorreu com a representação
gráfica.
Data 10/08/2010 Número de alunos presentes: 24
Quinta etapa: término Tempo de duração: uma aula de 45 minutos
Esta aula foi dedicada ao término da etapa, apesar das dificuldades e do pouco
tempo que tiveram para sua conclusão, verifiquei que os alunos dispuseram-se a
realizá-la, porém um dos maiores problemas foi redigir o texto, explicando o perfil
da turma com base nos dados e em sua representação.
193
Os textos foram muito repetitivos e continham muitos erros em relação à escrita,
assim como às demais turmas, estes apresentavam erros graves de português e
muita dificuldade para se expressarem textualmente.
Data 12/08/2010 Número de alunos presentes: 26
Sexta etapa Tempo de duração: duas aulas de 45 minutos
Esta etapa foi desenvolvida como atividade, porém diferente das outras, a
professora pediu que fosse individual, ela utilizou-a como avaliação do conteúdo.
A sala foi organizada com os alunos enfileirados, o que dificultou um pouco a
observação, pois como não houve troca entre eles, decidi por analisar apenas as
resoluções apresentadas nos documentos escritos.
Aparentemente, não houve dificuldades para realizar as tarefas contempladas na
etapa, pois já era hábito deles serem organizados dessa forma nos dias de
avaliação.
Apesar da turma ter apresentado muita dificuldade durante a realização das
tarefas, verifiquei que se empenhou na resolução, podemos ainda inferir que esta
necessitaria de um tempo maior na construção da aprendizagem em razão da
falta de hábito de estudo e compromisso com a escola, pois faltavam em demasia
às aulas.
Segundo a professora na conversa que tivemos, após o encerramento das
tarefas, disse ter gostado muito da experiência, embora tenha ficado apreensiva
no início. Ressaltou ainda, que este tipo de trabalho deveria ocorrer com mais
frequência, pois aprendeu demais e ainda que este tipo de projeto auxilia
realmente o professor, ou seja, possibilitou-lhe aprender muita coisa e ainda
diversificar sua aula, tornando-a interessante e mais produtiva.
- Professor 2 -
Data 24/05/2010 Número de alunos presentes: 30
194
Primeira etapa: Atividade 1 Tempo de duração: duas aulas de 45 minutos
Como já ficou esclarecido anteriormente, P2 era eventual e substituia a
professora que estava de licença. A professora iniciava a leitura compartilhada,
mesmo antes do término, alguns alunos perguntavam sobre o que se tratava e se
era difícil. A maioria dos alunos aparentemente prestava atenção.
Durante a leitura, a professora utilizou o termo descoberta, deu exemplos de
pesquisas reais e viabilizou a possibilidade de mediação no caso do não
entendimento por parte dos alunos.
A professora instigou os alunos a se questionarem sobre a validade ou não da
pesquisa, de acordo com a seleção das amostras. Os alunos foram
disponibilizados em duplas para realização das tarefas.
Antes mesmo de iniciarem, a professora disse: “Acredito no potencial de vocês!
Apesar da previsão desta fase ser de 3 dias, sei que vocês vão terminar hoje, pois
teremos duas aulas.”
Um dos alunos mesmo trabalhando sozinho demonstrou facilidade com os
cálculos, fato este observado, pois completou primeiro a tabela. Alguns alunos
questionaram o fato de que a amostra poderia ser de dez pessoas por período,
pois eram cinco alunos por chapa. “pesquisador - informação demais induziu ao
erro”.
A experiência de vida da aluna foi fator determinante para a resolução da
segunda questão. Apesar da professora ter demonstrado pouca habilidade para
lidar com os alunos, estes se mantiveram nos lugares trabalhando e, neste caso,
a professora só interferiu quando foi acionada. O que era raro.
Observação: “Se a atividade for bem direcionada, os alunos conseguem resolver,
neste caso, a introdução de um texto explicativo sobre o significado de amostra e
população seria fundamental para esta turma”
Antes de sair da sala, a professora teceu um comentário infeliz, já que este
poderia desmotivar os alunos. “Poderíamos resolver só a metade, né? É muito
longa.”
A primeira etapa foi desenvolvida em apenas 2 horas.
195
Sugestão do aluno: “Professora, no lugar de 38, posso colocar 38,4, pois vai dar
56 e não 60 minutos, os resultados têm uma casa depois da vírgula e está dando
muita diferença”.
Data 26/05/2010 Número de alunos presentes: 27
Segunda etapa: Atividade 1 Tempo de duração: duas aulas de 45 minutos
A professora iniciou realizando a leitura compartilhada. Apareceram dúvidas entre
as variáveis qualitativas e quantitativas, que a professora esclareceu, comentando
ainda sobre a variável quantitativa discreta.
Sugestão do aluno: “Deveria ter uma coluna com variável quantitativa discreta”.
Os alunos discutiam e tentavam resolver as atividades, a professora não
intervinha. Os alunos dialogavam o tempo todo, tirando dúvidas. Em alguns
momentos, reclamavam que a atividade era muito longa.
Surgiu um obstáculo, a maioria tinha dúvidas quanto à utilização do transferidor.
Neste momento, a professora pesquisadora precisou intervir e explicar, pois a
professora também não sabia.
Data 28/05/2010 Número de alunos presentes: 14
Segunda etapa: Atividade 1 Tempo de duração: uma aula de 45 minutos
Aparentemente, os alunos seguiram com a resolução das tarefas sem maiores
dificuldades. Muitos faltaram nesse dia, o que impossibilitou o término da
atividade 1 da segunda etapa.
Apesar das dificuldades de aceitação da professora por parte dos alunos, esta
procurava ir de carteira em carteira, observando se havia dúvidas.
Data 2/06/2010 Número de alunos presentes: 17
196
Segunda etapa: Atividade 1 Tempo de duração: duas aulas de 45 minutos
Todos os alunos trabalhando sem maiores problema apresentaram dificuldades
para colocar os nomes nos eixos e o uso do transferidor.
Aluno perguntou se: “O gráfico pode ficar fora de ordem ou tenho que fazer um
atrás do outro, como está na tabela”.
Data 09/06/2010 Número de alunos presentes: 23
Segunda etapa: Atividade 1 Tempo de duração: duas aulas de 45 minutos
Alguns alunos reclamavam que a tarefa estava muito extensa, eram muitas
atividades de 1 a 10, tem muitos gráficos e tabelas.
A aluna ao ser questionada pela colega sobre qual gráfico dava para ver melhor
as informações, ressaltou que “é de pizza, pois tem mais impacto, ao olhar dá
para ver tudo, parece ser mais exato”.
O legal seria fazer misturado, separar, fazer duas variáveis de colunas e duas de
setores... “É, mais não daria pra fazer a comparação”, ressaltou um dos
componentes do grupo.
“Na segunda tabela referente à tarefa de número 2, pedir para que escolham
entre os dois”.
Ao montar o rol, alguns alunos demonstraram dificuldades, que logo foram
esclarecidas. A turma parece ser mais independente, apesar das dificuldades,
procurava realizar as tarefas sem solicitar muito a ajuda da professora, por alegar
que a mesma explicava tudo errado.
Para determinar a mediana, houve dificuldades pelo fato da amostra ter um
número impar de participantes.
Data 10/06/2010 Número de alunos presentes: 25
Segunda etapa: Atividade 1 Tempo de duração: uma aula de 45 minutos
197
Neste dia, os alunos realizaram as tarefas sem maiores problemas e o fato inédito
foi o que fazer com os sujeitos com 20 anos que não tinha nenhum. Pelo jeito, até
a professora se enrolou, pois mandou excluir este valor do eixo do gráfico. Neste
momento, tive de intervir, pois os alunos iriam construir um conceito errôneo.
Outro fator que observei foi o quanto eles gostavam de legenda, pois faziam até
mesmo onde não era necessário.
Apenas um grupo questionou quanto à tarefa 2.7, se a média era para as duas
idades?
Data 11/06/2010 Número de alunos presentes: 23
Segunda etapa: Atividade 1 Tempo de duração: uma aula de 45 minutos
Neste dia, a maioria dos alunos terminou a primeira tarefa da segunda etapa, e a
professora resolveu esperar os retardatários.
Data 16/06/2010 Número de alunos presentes: 24
Segunda etapa: Atividade 1 Tempo de duração: duas aulas de 45 minutos
Neste dia, iniciou-se a terceira etapa, tendo em vista que a professora decidiu
anular a atividade 2 da segunda etapa, justificando que o tempo estava restrito e
que eles teriam a mesma atividade na quinta etapa, esta decisão foi tomada em
conjunto com P1, pois temiam pela escassez dos alunos em julho (recesso
escolar).
Apesar da quantidade de tabelas elaboradas na segunda etapa, alguns alunos
insistiam em fazer errado ou, em especial, um criou uma relação de dependência
tão grande com a professora que esta se sentava do lado dele e acabava fazendo
quase toda a tarefa para ele.
Alguns alunos ainda reclamavam que: “A professora não sabia nada”.
198
“Para a segunda versão, podemos retirar a segunda atividade da segunda etapa,
bastava tomar o cuidado de direcionar a realização da tabela de dupla entrada
para comparar o gosto pela Matemática e gênero”.
Um dos grupos de inicio já associou a ideia de agrupamentos em classe para a
primeira atividade, o que foi uma bela jogada, pois acabou por passar aos demais
alunos com quem tinham maior intimidade.
“O tempo deve ser adequado, segundo Coll et al. (2009), o fator tempo também é
decisivo para que uma situação de ensino tenha sucesso”.
Data 17/06/2010 Número de alunos presentes: 27
Terceira etapa: Atividade 1 Tempo de duração: uma aula de 45 minutos
Neste dia, todos os presentes estavam concentrados em resolver a tarefa,
interagiram e quase não solicitavam ajuda da professora, quase não
apresentavam dúvidas apenas alguns questionavam sobre o que fazer, pois as
porcentagens estavam apresentando dizímas periódicas.
Data 18/06/2010 Número de alunos presentes: 27
Continuação da terceira etapa Tempo de duração: 1aula de 45 minutos
Neste dia, apareceu uma dúvida em relação a dados com 0%, os alunos não
sabiam como representar no gráfico, ou mesmo, se precisavam aparecer. No
entanto, a professora também não sabia responder e perguntou à pesquisadora-
observadora para posteriormente, explicar aos alunos.
Data 22/06/2010 Número de alunos presentes: 25
Continuação da terceira etapa Tempo de duração: duas aulas de 45 minutos
199
A aula seguiu sem maiores novidades; nesse dia, a professora faltou e deixou as
atividades para serem desenvolvidas por um eventual. Neste momento, foi
possível confirmar algumas de nossas suspeitas, pois mesmo sem sua presença
os alunos continuaram a desenvolver as tarefas interagindo, o que facilitou, pois
alguns já estavam mais adiantados e puderam explicar aos outros que estavam
mais atrasados.
O que começou em dupla, foram formados grandes grupos, pois eles foram se
organizando com o objetivo de organizar a contagem. ”Jonny, o que tenho que
fazer agora com esses números”?
Resposta: “Ué, organizar! Pois está uma bagunça isso em relação à atividade 4
da terceira etapa.” Apesar de não conhecerem o termo rol, captaram a mensagem
quanto à organização. Neste dia, o trabalho mostrou-se bem eficiente, pois
pudemos contemplar a interação entre os alunos.
As principais dificuldades foram:
- Organizar grandes números;
- Atenção para contagem;
- Representar o 0% no gráfico;
- Enxergar mediana como valor que divide o conjunto de dados em duas partes
iguais.
- O diagrama de ramos e folhas foi uma representação dos dados que facilitou a
localização das medidas;
- O hábito de separar tabelas por linhas e colunas; e
- Contar duas vezes o mesmo valor nos dados agrupados;
Data 23/06/2010 Número de alunos presentes: 27
Quarta etapa: Atividades 1 e 2 Tempo de duração: duas aulas de 45 minutos
A aula seguiu tranquila, alguns alunos, ainda apresentavam dúvidas a respeito de
média e mediana.
200
Data 29/06/2010 Número de alunos presentes: 32
Quinta etapa Tempo de duração: duas aulas de 45 minutos
Inicialmente, os alunos selecionaram as questões que apresentariam o perfil da
sala, P3 inferiu de tal forma que direcionou a escolha das questões, conforme
estava definido na 2ª tarefa da segunda etapa.
Após a escolha, a professora pediu para que uma aluna fosse à lousa e anotasse
os dados. Neste momento, ficou acertado com eles que, após a conclusão, seria
montado um painel que seria exposto para apresentar o perfil deles aos outros
alunos e professores da escola. Foi possível verificar que acharam legal esta
atividade, apesar de já estarem cansados. O tratamento dos dados ocorreu de
forma rápida, acredito que pela familiaridade que já tinham com o conteúdo,
conforme foi sugerido pela pesquisadora à professora, esta pediu para que
elaborassem também uma tabela, relacionando o gosto pela Matemática e o
gênero.
Data 30/06/2010 Número de alunos presentes: 25
Quinta etapa: término Tempo de duração: duas aulas de 45 minutos
Todos os alunos trabalharam tranquilamente, discutiam e desenvolviam as
atividades. No entanto, quanto à questão da elaboração da tabela de dupla
entrada e sua representação gráfica, a pesquisadora precisou intervir, pois P3
não sabia como fazer. Ao final da aula, os alunos foram comunicados que a
professora titular das aulas voltaria na aula seguinte e terminaria o
desenvolvimento das tarefas com eles.
201
Encontros com P3
1º encontro – 07/05/2010 (Coordenação / Direção), com o objetivo de encontrar
uma professora disposta a participar da pesquisa, neste dia, foi sugerido pela
coordenadora uma professora do período matutino, pois, segundo a mesma a
professora era organizada e responsável.
1º encontro – 17/05/2010 (P3), apresentação da THA, objetivos da pesquisa e do
questionário para caracterização da professora colaboradora. A professora
mostrou-se um pouco desinteressada, alegou que não daria tempo de terminar o
conteúdo programático para o bimestre. Neste momento, a coordenadora
precisou intervir dizendo que o trabalho seria interessante para o SARESP, e o
conteúdo seria apenas antecipado do 4º bimestre para o 2º bimestre. Deixei a
THA com a professora, para que se inteirasse do assunto e tomasse a decisão se
iria ou não colaborar. Nesse momento, ela cogitou em participar, mas só iniciaria
o trabalho no dia 28 de junho.
2º encontro – 21/05/2010 (P3), nesse dia, a professora já trouxe o inicio da THA
resolvida e informou que gostou muito e, provavelmente, daria início com os
alunos no dia 2 de junho, para tanto iria mudar o plano bimestral para colocar
Estatística no 2º bimestre. Vale ressaltar que P3, inicialmente, não sugeriu
nenhuma alteração para a THA, justificando ainda que os alunos provavelmente
não teriam dificuldades para resolver as tarefas, apesar da grande dificuldade que
vêm apresentando nas aulas de Matemática , pois estavam trabalhando com
gráficos em DAC (Desenvolvimento de Apoio Curricular), desde o inicio do ano
letivo.
Observações das aulas de P3 - Resolução da THA em sala de aula
Data 02/06/2010 Número de alunos presentes: 27
Primeira etapa: Atividade 1 Tempo de duração: uma aula de 50 minutos
202
A sala de aula é bem ampla.
Apresentação da proposta aos alunos, apesar do barulho, o clima entre
professor/aluno foi amistoso. Nesta turma, desde o inicio P3 decidiu trabalhar em
grupo, diferente das outras duas professoras colaboradoras. Foi o primeiro
contato do pesquisador com os alunos.
Nesse dia, a sala tinha 31 alunos, mas apenas 27 trabalhavam, pois por motivo
de faltas anteriores quatro destes estavam realizando avaliação.
A professora entregou a folha de questões e pediu, que respondessem na própria
folha. Nesta turma, existe o hábito da discussão e interação entre os alunos.
Algo semelhante às aulas de P1 ocorreu também nesta turma, fato verificado por
esta pergunta: “É para pôr um x”, apesar dos alunos estarem em grupo, ficou
evidente que não liam.
No desenvolvimento da aula, a primeira impressão demonstrou que P3 era,
dedicada e muito responsável. Os alunos realizavam as tarefas da primeira etapa
sem maiores problemas, porém foi facilmente verificado que eram dependentes
um do outro, mas o grupo funcionava. No entanto, se faltasse alguém do grupo,
parecia que eles ficavam meio perdidos.
P3 foi de grupo em grupo, buscando intervir e verificar quem trabalhava, pois foi
acordado entre eles que a realização das tarefas seria parte da avaliação
bimestral.
Na tarefa 1, ocorreu também a interpretação errônea por parte da turma, como
apresentado pelos alunos de P1 e P2. Possíveis causas: muita informação.
O clima predominante foi de interesse, pois todos trabalhavam. Incrível os alunos
tinham o hábito de efetuar os cálculos até onde não havia necessidade.
Data 03/06/2010 Número de alunos presentes: 31
Primeira etapa Tempo de duração: duas aulas de 50 minutos
Ao completar a tabela, um dos grupos, sem se dar conta chegou à conclusão que
29% eram um tempo maior que 64%. “Grupo considerado bom pela P3”. “Um
203
grupo solicitou P3 para explicar, como se calcula porcentagem”. Fator este que
seria desnecessário, segundo a mesma por considerar que os alunos não teriam
dificuldades com a regra de três.
Mesmo com a tabela começada, percebia-se que os alunos, em sua maioria, não
conseguiam aferir que a totalidade correspondia a 100%.
A calculadora era um instrumento utilizado para facilitar os cálculos, porém eles
não sabiam nem por onde começar para calcular porcentagem.
“Talvez para esta turma, o ideal seria totalizar a coluna de minutos”. Tendo em
vista que eles não conseguiam visualizar que uma hora só tem 60 minutos.
Apesar de todas as dificuldades apresentadas, verificamos que o clima dominante
na sala era de interesse e participação.
P3 mostrou um comportamento bem diferente de P1, pois não circulava muito
pelos grupos, apenas quando solicitada. “O que segundo Coll et al. (2008) é
caracterizado que P3, questiona, tira dúvidas, sempre perguntando, o que não
demonstra muita dependência, procura deixá-los mais soltos para que
descubram.”
Inicialmente, verificamos que o trabalho em grupo funcionava bem, aprendiam
mutuamente, eram colaborativos e participativos. Verificou-se também que os
alunos apresentavam problemas para determinar escalas e nomear os eixos dos
gráficos.
O grupo dos meninos estava bem atrasado, talvez pelo fato da professora deixá-
los muito à vontade, causasse um pouco de dispersão.
O conceito que o professor tinha desses alunos, sobre o pouco ou nenhum
conhecimento em relação ao tema era visível, e eles sabiam. No entanto,
contrariando o que ela pensava, três grupos avançavam bem nas atividades.
Ao passarmos observando os grupos trabalhando, inferimos que seria ideal que a
professora explicasse, como eles deveriam colocar as categorias nos eixos, pois
aparentemente todos tinham apresentado o mesmo erro.
204
Data 04/06/2010 Número de alunos presentes: 30
Segunda etapa Tempo de duração: uma aula de 50 minutos
“O tempo é fator determinante, simplesmente é necessário tempo disponível para
a realização da aprendizagem significativa”.
Neste dia, verificamos que apesar da construção de gráficos já ter sido
trabalhada, os alunos demonstraram interpretação errônea sobre a nomeação dos
eixos, praticamente, todos os grupos construíram um tipo de gráfico que nunca foi
visto nem pela professora.
Alguns reclamaram que as tarefas eram longas, porém esta foi realizada nesta
aula. A professora tentando acalmá-los disse que: “É fácil, basta prestar atenção
e ler com calma”. A professora ainda comentou ao sair da sala: “Nossa! Todos
estão cometendo o mesmo erro, e este assunto já foi trabalhado nas aulas de
DAC”.
Data 11/06/2010 Número de alunos presentes: 15
Segunda etapa Tempo de duração: uma aula de 50 minutos
Nesse dia, não foi possível observar nada, pois a maioria dos alunos faltou por
causa do projeto Copa do Mundo.
Data 14/06/2010 Número de alunos presentes: 31
Segunda etapa Tempo de duração: duas aulas de 50 minutos
Nesse dia, P3 iniciou a aula com correção da primeira etapa. Correção
comentada.
O grupo composto por cinco meninos mal ouvia o que P3 falava, pois não parava
de falar para ouvir. A professora comentava os erros e o porquê desses erros.
P3 partia pela origem da palavra, e o comparativo quem era maior que quem, a
população ou a amostra, o que falaram mais que depressa que a população era
205
maior, lógico, pois a amostra é uma pequena parte. Durante toda a correção, fazia
perguntas que induziam as respostas.
O maior enfoque durante a correção foi dado à elaboração das tabelas e ao
gráfico, tendo em vista a dificuldade apresentada pelo aluno.
“A importância do somatório é para confirmar a totalidade em porcentagem (%)
dos dados de pesquisa, e enfocar o fato da pesquisa ser realizada em 1 hora.”
Para esta turma, o item (e) referente à tarefa 3 desta etapa continou com a
concepção errada por parte da maioria, pois até mesmo P3 teve dificuldade para
fazer a interpretação dos dados, por mais que um aluno de determinado grupo
falasse que era a internet e justificasse. Nem a professora nem os outros alunos
prestavam muita atenção.
A professora reforçava o tempo dado que o gráfico era uma representação da
tabela, logo o mesmo deveria conter as mesmas informações.
Data 16/06/2010 Número de alunos presentes: 31
Segunda etapa Tempo de duração: uma aula de 50 minutos
Alunos dispostos em grupo.
A professora determinou que iria dispor de quatro aulas para o término da
segunda etapa.
Inicialmente, foi avisado sobre a importância do uso da folha de atividades, todas
as anotações deveriam ser feitas na própria folha.
A atividade 1 da segunda etapa parecia ter levantado algumas questões em
relação ao consumo de álcool, ao que tudo indicava, alguns alunos estavam
habituados a beber constantemente. Logo, veriicamos que realmente esta
situação fazia parte de seu cotidiano.
206
Grupo 1: a tarefa de contagem foi dividida para agilizar o processo – “eu conto
masculino, e você conta feminino”. Os alunos demonstravam dificuldades para
enxergar as variáveis separadamente.
O direcionamento era importante, pois podemos observar que, nesta etapa, os
alunos cobravam muita atenção da professora. No entanto, esta mesmo vendo os
erros parecia não enxergar, o que nos levou a inferir que a disposição das tabelas
em Estatística era nova para ela também.
Inicialmente, os alunos montaram uma única tabela envolvendo todas as
variáveis, e a professora não se preocupou em corrigi-los no momento, deixou
que tentassem mesmo estando errados.
“Pude verificar que a elaboração de tabelas não é um hábito constante, tendo em
vista os erros apresentados”.
Apenas um grupo começou certo, analisando uma variável de cada vez e antes
de montar as tabelas fez a contagem separadamente.
Data 18/06/2010 Número de alunos presentes: 33
Segunda etapa Tempo de duração: uma aula de 50 minutos
A aula foi dedicada apenas à elaboração das tabelas. Neste momento, os alunos
demonstraram muitas dificuldades, segundo a professora, alguns grupos não
sabiam o que fazer com dados, ou seja, não sabiam nem como separá-los e
misturavam todos em uma única tabela.
Um grupo fez todas as tabelas com as mesmas informações, em todas
representavam a variável gênero.
Data 21/06/2010 Número de alunos presentes: 35
Segunda etapa Tempo de duração: duas aulas de 50 minutos
Nesse dia, a professora já iniciou a aula propondo metas quanto ao tempo de
realização de alguns itens. A professora tinha o material em uma caixa que levava
207
para a aula: transferidor, régua, compasso e calculadora, diferente das outras,
esta já ia à sala com o material, assim como a aula devidamente preparada.
Apareceram dificuldades na construção dos gráficos, como por exemplo, quantos
graus têm uma circunferência; como encontrar cada grau correspondente a cada
porcentagem a ser representada. No entanto, para um determinado grupo o maior
problema foi a concentração, no que mais se atrasou.
Apesar das dificuldades, realizavam as tarefas, pareciam bem comprometidos. A
professora passava por todos os grupos disponibilizando ajuda, sempre
perguntando e indagando quanto às resoluções, mas não oferecia a resposta,
apenas direcionava.
Alguns alunos iniciaram a elaboração dos gráficos, utilizando a frequência
absoluta e outros, a relativa, fato inusitado nesta turma, pois nenhuma das outras
teve esta ideia. Realizaram o cálculo de graus, utilizando a frequência absoluta.
Data 23/06/2010 Número de alunos presentes: 26
Segunda etapa: continuidade Tempo de duração: uma aula de 50 minutos
Ao iniciar a aula, a professora pediu que os alunos agilizassem o processo e
aproveitassem a disponibilidade em grupo para dividir as tarefas.
As dificuldades apresentadas: “Eu não sei usar o transferidor inteiro, só a
metade”.
Erros frequentes, alguns alunos insistiam em construir o gráfico de setores sem
critérios de separação de ângulos, utilizando apenas régua graduada para dividir
o ângulo.
Apesar de estarem em grupo, pouco interagiam, neste dia, mas com a professora.
Data 28/06/2010 Número de alunos presentes: 23
Segunda etapa Tempo de duração: duas aulas de 50 minutos
208
A aula seguiu tranquila, todos os alunos realizando as tarefas, surgiram dúvidas
apenas quanto à organização do rol.
Data 30/06/2010 Número de alunos presentes: 35
Segunda etapa Tempo de duração: três aulas de 50 minutos
Foi um dia atípico, pois a maioria dos professores estava fechando a média do
bimestre, sendo assim alegavam que já terminaram o conteúdo programático e
cederam duas aulas para P3 dar continuidade ao desenvolvimento da THA.
Nessa aula, P3 estipulou as metas, pois orientou os alunos sobre o ponto que
todos deveriam chegar na resolução das tarefas, comunicou aos alunos que pediu
aula aos colegas com o objetivo de fechar a tarefa 1 da primeira etapa, pois
estava preocupada com a ausência dos alunos, antes do início do recesso.
A resolução das tarefas segue, conforme o combinado os alunos encerram a
tarefa.
Data 05/07/2010 Número de alunos presentes: 26
Segunda etapa Tempo de duração: duas aulas de 50 minutos
Esse dia foi dedicado à correção e esclarecimento de dúvidas com relação à
tarefa. Verifiquei que para realizar a avaliação do desenvolvimento desta tarefa,
P3 pediu aos alunos uma autoavaliação, pois os componentes do grupo foram
chamados a sua mesa, e ela fazia algumas perguntas sobre sua participação e
quanto a nota na escala de 1 a 10 que eles mereciam.
Foi verificado que os alunos se autoavaliaram de forma critica, pois as notas
variaram de 5 a 8, justificando faltas e/ou conversas paralelas durante a
realização da tarefa. P3 justificou o atraso na realização da tarefa ao pouco
conhecimento dos alunos e à falta de prática do uso do material manipulativo.
209
Nessa aula em conversa com a pesquisadora, P3 sugeriu que a tarefa fosse
dividida em duas partes separadamente, dividindo as variáveis quantitativas das
qualitativas.
Data 04/08/2010 Número de alunos presentes: 32
Terceira etapa Tempo de duração: uma aula de 50 minutos
Os alunos iniciaram as tarefas em grupo como o habitual, interagindo e
demonstrando muito interesse, porém ainda apresentavam muitas dúvidas. A
professora visitava os grupos, auxiliando-os quando necessário, porém sempre
tomando o cuidado em não lhes oferecer as respostas, apenas direcionando-os,
de tal forma que relembrassem as trajetórias realizadas para concretizar as
tarefas anteriores, em razão do tempo que ficaram em recesso, esqueceram
alguns detalhes das tarefas já realizadas.
Após verificar que as dúvidas estavam impedindo o bom andamento da aula,
chamei a professora de canto e a orientei quanto a necessidade de retomar
alguns conteúdos já vistos anteriormente com a finalidade de esclarecer as
dúvidas gerais, para o bom andamento das tarefas e evitar que esta se
deslocasse muito em razão de seu estado. A professora aceitou a sugestão,
salientando que na próxima aula iniciaria retomando alguns conteúdos.
Após as orientações gerais, foi possível verificar que a aula caminhou sem
maiores problemas. Vale ressaltar ainda que P3 salientou a necessidade dos
alunos agilizarem o desenvolvimento das tarefas e evitarem as conversas
paralelas, pois ela sairia de licença e gostaria de encerrar as tarefas da THA.
Data 06/08/2010 Número de alunos presentes: 32
Terceira etapa Tempo de duração: uma aula de 50 minutos
A professora iniciou as aulas fazendo uma revisão geral dos conteúdos vistos nas
tarefas anteriores. Após as orientações gerais, foi possível verificar que a aula
210
caminhou sem maiores problemas. Vale ressaltar ainda que P3 salientou a
necessidade dos alunos agilizarem o desenvolvimento das tarefas e evitarem as
conversas paralelas, pois ela sairia de licença e gostaria de terminar o
desenvolvimento das tarefas da THA.
Data 09/08/2010 Número de alunos presentes: 32
Terceira etapa Tempo de duração: duas aulas de 50 minutos
Nessas aulas, os alunos concluíram esta etapa Durante seu desenvolvimento,
vinham mais à mesa da professora, pois ela estava em dias de ganhar bebê. Os
grupos questionavam quanto à representação do zero por cento. Diferente das
demais, P3 dava às instruções corretas para sua representação, em suma, ela ia
direcionando os alunos, porém, agora estes já estavam mais autoconfiantes e não
solicitavam tanto a professora, como inicialmente.
A etapa foi muito corrida, em razão do tempo estipulado pela professora, o que
nos levou a pressupor ter interferido negativamente quanto ao fato da
aprendizagem significativa. Outro fator que considerei ponto negativo foi a
socialização ser realizada sempre, após o término de todas as tarefas da THA.
Ao término da aula durante uma conversa, a professora ressaltava que os alunos
estavam mais autônomos, trabalhando mais individualmente e discutindo mais as
dúvidas entre eles.
Data 11/08/2010 Número de alunos presentes: 31
Terceira etapa Tempo de duração: uma aula de 50 minutos
A professora realizou a resolução comentada das tarefas com a finalidade de
socializar o conhecimento e esclarecer as dúvidas. Durante as aulas, verifiquei
que era hábito da professora corrigir todas as tarefas realizadas pelos alunos em
sala de aula. Vale ressaltar que também talvez seja habitual determinar tempo
para o término das tarefas de um modo geral.
211
Ao verificar as tarefas, a professora comentava um erro comum no agrupamemto
dos dados e dava uma explicação mais detalhada. Então, realizava a organização
na lousa em ordem crescente em dias seguidos de meses e anos. Outro ponto de
dificuldades foi a representação do zero, que diferente das demais, ela sociabiliza
e ressalta a importância deste aparecer em sua representação, tanto gráfica como
nas tabelas.
A professora fazia um resumo de todos os pontos cruciais, nos quais os alunos
tiveram dúvidas durante a realização das tarefas e/ou após a análise que ela fazia
das tarefas entregues, sendo estas referentes à: média exemplificando com a
resolução correta, mediana tanto para amostra com números ímpares e pares de
dados e moda, intervalos e agrupamento por rol e ainda o diagrama de ramos e
folhas.
Dentre as dificuldades apresentadas pelos alunos, ressaltamos:
Construção das tabelas utilizando intervalos;
Representação do diagrama de ramos e folhas, quando os dados a serem
representados contemplavam números decimais; e
Construção do histograma com representação do zero por cento. Cálculo de
média, moda e mediana.
Nessa aula, a professora inicou a quarta etapa, entregou o material aos alunos,
ressaltando que a etapa era mais curta e, portanto, deveriam resolver em apenas
uma aula, pois não dispunha de muito tempo. No entanto, os alunos tiveram
tempo apenas de ler e se apropriar do que seria necessário para a realização das
tarefas contempladas. Nessa etapa, a resolução propriamente dita ficou para a
aula seguinte.
Data 13/08/2010 Número de alunos presentes: 32
Quarta etapa Tempo de duração: uma aula de 50 minutos
A aula iniciou-se com o término dessa etapa, na realização das tarefas, os alunos
não apresentaram muitas dúvidas ou quase nenhuma a não ser quanto à escolha
212
das medidas média ou mediana que melhor representariam a amostra das idades
e dos salários apresentados nas tarefas, mas a professora fez a seguinte
observação, então, é conveniente dizer que a média salarial é 1.500 reais,
quando tenho mais pessoas recebendo 560 e apenas dois, recebendo 3.500
reais. A resposta foi unânime, não prô, então, com certeza, a mediana representa
melhor. Neste caso, para a idade também, pois, tenho só uma pessoa bem maior
que as outras.
A principal dificuldade desta turma foi redigir o texto, diferenciando média de
mediana. O fato deu-se, provavelmente, pela falta de hábito da justificativa dos
resultados encontrados para as tarefas, pois pressuponho que não faz parte do
cotidiano da maioria dos alunos. Podemos ressaltar que a realização da etapa foi
a mais tranquila e bem mais rápida.
Data 16/08/2010 Número de alunos presentes: 30
Quinta etapa Tempo de duração: duas aulas de 50 minutos
A professora iniciou a aula questionando quanto à elaboração do instrumento
para a coleta de dados quanto às questões que este deveria ter para
apresentação do perfil da turma. No entanto, vale ressaltar que foram induzidos a
selecionar questões que a professora achava apropriadas, contemplando apenas
as questões fechadas, pois não dispunha de muito tempo em razão de seu
estado.
A professora foi à lousa, após a seleção das questões e anotou os resultados em
uma tabela, apresentando os dados brutos, perguntando a cada um diretamente.
Esta parte da tarefa seguiu de forma muito descontraída, pois os alunos
demonstravam empolgação e interesse, por vezes, dando risada da idade ou do
gosto pela Matemática de cada um.
Ao finalizar as anotações, reforçava que não deviam esquecer que estavam se
apresentando para outros que não os conheciam, fazia necessário um cuidado
muito especial na elaboração das tabelas e dos gráficos, ou seja, estes devem
213
conter informações cruciais, para quem os veja consiga descrevê-los com clareza
e precisão.
Diferente das demais, P3 orientava os alunos quanto à redação do texto
ressaltando que este deveria ser claro e para tomarem cuidado com a redação,
pois irão ler, esclarecendo que, para tanto, é interessante que calculem também a
média a moda e a mediana, pois facilitarão na hora da redação.
Data 18/08/2010 Número de alunos presentes: 32
Quinta etapa Tempo de duração: uma aula de 50 minutos
Nesse dia, a professora iniciou a aula situando os alunos que faltaram na anterior
quanto à tarefa que estava sendo desenvolvida e que deveriam se localizar nos
grupos e apropriar-se das tabelas; no entanto, ficariam de fora, pois não haveria
tempo para incluir seus dados na tabela.
Na concepção da professora, a etapa estava sendo muito tranquila, pois os
alunos estavam desenvolvendo praticamente sozinhos, de fato, ela quase não
precisava intervir, pois todos estavam demonstrando muito empenho e interesse
na realização das tarefas, representando os dados com muito cuidado nas tabelas
e gráficos.
Para sua realização, a única dúvida que surgiu foi quanto à questão envolvendo
cursos extracurriculares, ao verificar que alguns responderam que possuiam mais
de um curso, simplesmente ignoraram a informação e optaram por representar
apenas um erro corrigido imediatamente pela professora.
O dia foi diferente dos demais, assim que a professora verificou que as dúvidas
eram comuns, imediatamente, foi à lousa para socializar e orientar os alunos. O
fato deu-se, porque ela não teria tempo de dar a devolutiva das tarefas que
considerava de suma importância.
A aula seguiu tranquila até o final e, realmente, foi possível verificar que a turma
havia se tornado mais autônoma.
214
Data 20/08/2010 Número de alunos presentes: 32
Quinta etapa Tempo de duração: uma aula de 50 minutos
A aula foi dedicada ao término da etapa e esclarecimento de pequenas dúvidas.
Foi o último dia de P3 com eles, demonstrando um clima muito amistoso, os
alunos dedicaram-se ao trabalho e, ao final, a professora informou que eles
deveriam realizar a sexta etapa com a professora responsável pela aula de DAC
de Matemática, o que não pareceu muito bom para os alunos que tiveram uma
reação negativa, alegando que ela não sabia explicar.
Mas, a professora disse-lhes que não precisavam se preocupar, pois a etapa
apenas contemplaria leitura e interpretação de gráficos e tabelas e a aplicação
das medidas: média, moda e mediana que, não precisavam se preocupar, pois
ela tinha certeza que eles iriam conseguir realizá-la com sucesso.
Vale ressaltar que, em razão dos protestos dos alunos, a professora acordou com
eles que pediria então, para que um professor eventual ficasse com eles na
próxima aula e desenvolvesse as tarefas da etapa.
Erros e dificuldades apresentadas pela visão da pesquisadora, enquanto realizava
as observações:
Foi possível verificar que os dois grupos trocaram a frequência relativa pela
absoluta, possivelmente, ainda tinham o conceito errado, mas ainda persistiam
em tratar as variáveis quantitativas continuas como discretas na hora de
representar o gráfico.
Outro fato preocupante foi quanto ao uso da calculadora, que apesar de ter sido
liberada pela professora, alguns não faziam uso ou usavam escondido, como se
fosse errado ou considerado crime.
Quanto à redação dos textos, estes ainda o faziam de forma tímida. Talvez seria
necessário um trabalho mais intenso neste ponto, pedindo que os alunos se
justifiquem mais por escrito, quando solucionam uma situação-problema, que
descrevam e expressem mais suas trajetórias na solução de uma tarefa.
Durante uma conversa com a professora, ela relatou-me os seguintes fatos:
215
Os alunos gostaram muito do projeto, pois alegaram que aprenderam muito e o
quanto estavam se desenvolvendo, trabalhando em grupo, pediram até que os
demais professores deixassem que trabalhassem em grupo.
Ainda durante nossa conversa, ela disse que:
Confesso que, no começo, fiquei apreensiva para trabalhar com a THA, mas no
decorrer das aulas, isso mudou, pois gostei muito da experiência, tanto que para
o próximo ano procurarei trabalhar com este material e vou buscar os outros
relativos a outros conteúdos.
Data 23/08/2010 Número de alunos presentes: 22
Sexta etapa Tempo de duração: duas aulas de 50 minutos
Foi desenvolvida, conforme combinado com a professora pelo professor eventual,
os alunos permaneceram nos grupos que iniciaram as tarefas.
O professor entregou as instruções, assim como a professora também não fez
nenhuma leitura inicial com eles. Nesse dia, verificamos que mesmo sem a
presença da professora todos os presentes se dispuseram a resolver as tarefas,
assim como foi combinado com ela.
Durante as observações, percebi que estavam muito concentrados, pude verificar
que o conceito de média, moda e mediana ficou claro, para os que se propuseram
a participar das tarefas referentes à etapa, pois, pela primeira vez faltaram, muitos
alunos, talvez pelo fato da professora ter se afastado.
No entanto, os mais interessados apareceram e demonstraram muita facilidade
para resolver as questões envolvendo média, moda e mediana, assim como a
leitura dos gráficos mais simples, porém as questões envolvendo dados temporais
apresentaram mais dificuldades.
A turma mostrou muita dificuldade em relação à mobilização de conhecimentos
prévios, mas vale ressaltar que o interesse em aprender se fez presente em todas
as etapas da THA. Inferimos que o fato deu-se pelo incentivo recebido pela
216
professora em todos os momentos e ainda pelo clima amistoso no ambiente de
sala de aula que sempre esteve presente.
A turma se fez presente o tempo todo, quase não faltava e apesar da socialização
do conteúdo ser realizada sempre ao final de cada tarefa, foi possível constatar
que gostaram muito da THA.
Segunda Versão da THA
Primeira etapa: Tarefas referentes à diferenciação entre amostragem e
população para coleta e validade dos dados de uma pesquisa.
A seguir, a situação foi elaborada com dados fictícios.
1. Em uma escola de periferia, estudam cerca de 1.800 alunos distribuídos
em três períodos, na qual foi realizada uma pesquisa com a finalidade de
prever o resultado da votação para a chapa do grêmio estudantil. Sabe-
se ainda que as chapas são compostas por alunos dos três períodos.
Com base nestas informações, responda:
c) De que modo poderíamos selecionar uma amostra, contendo 60
eleitores para determinar as intenções de voto?
d) Se os entrevistados forem apenas de um dos períodos, a pesquisa
terá validade? Justifique sua resposta.
2. A seguir, a tabela apresenta como os alunos de uma escola estão
distribuídos nos períodos de aula.
Período da Manhã Período da Tarde Período Noturno
800 alunos 600 alunos 400 alunos
Com base nos dados, responda:
a) Qual é a população?
217
b) Durante uma disputa eleitoral para compor o grêmio estudantil, de que
modo pode ser selecionada uma amostra de 72 alunos para investigar
as intenções de voto, sabendo que haverá participantes dos três
períodos?
c) Os alunos decidem distribuir questionários para realizar a previsão das
intenções de votos da seguinte maneira: 32 para o período da manhã,
24 para o período da tarde e 16 para o período noturno. Está é uma boa
amostra? Justifique.
d) Se fossem distribuídos 24 questionários por período, a amostra teria
validade? Justifique.
3. Duas indústrias dispõem de cinco máquinas: A, B, C, D e E e lotes de
borracha diferentes para confecção de pneus. Uma montadora pretende
comprar pneus de uma das duas. Mas, exige que lhes enviem uma
amostra para teste. Com base nas exigências, Gustavo, funcionário da
empresa X, enviou 100 pneus retirados de uma única máquina; já
Roberto, que trabalha na indústria Y, pediu o prazo de uma semana para
selecionar as amostras das cinco máquinas e dos diferentes lotes de
borracha. Com base nas informações, responda:
a) Qual dos dois fez a melhor escolha? Justifique.
b) Quais as vantagens e desvantagens nas escolhas feitas por Roberto
e Gustavo?
c) Você poderia descrever outra solução para a retirada das amostras?
Qual?
4. (Adaptada do Projeto Escola e Cidadania Ed do Brasil 2000) Foram
entrevistadas 500 crianças de 8 a 13 anos nas cidades de São Paulo,
Porto Alegre, Recife e Belo Horizonte, cujo objetivo foi apurar como cada
criança gasta seu tempo quando utiliza o computador, fazendo trabalhos
escolares, navegando na internet, jogando, etc.
218
Figura 33: Gráfico de distribuição de frequência das formas de tempo gasto na utilização do computador.
Com base na representação gráfica dos dados colhidos, responda:
a) Qual a população e a amostra desta pesquisa?
b) As crianças de 8 a13 anos que moram nessas capitais, utilizam muito ou
pouco a internet?
c) Se você fabricasse jogos de computador, investiria no mercado
consumidor formado por estas crianças? Por quê?
d) Segundo a pesquisa que porcentagem do tempo de utilização do
computador é destinada a trabalhos escolares?
e) Observe que, a cada 1 hora de uso do computador, 64%, que
correspondem a, aproximadamente, 38,4 minutos, são gastos jogando;
29% do tempo são gastos para realização de trabalhos escolares; 2%
com a internet e 5%, outros. Com base nestas informações, complete a
tabela de distribuição de frequência e represente os dados em um
gráfico de colunas.
219
Tabela de distribuição de frequência quanto ao tempo gasto na utilização do computador
Categorias Tempo em
(min.)
Porcentagem
(%)
Jogos 38,4 64
Trabalhos escolares
Internet
Outros
Total 100
Segunda etapa: Tarefas envolvendo planilhas com dados brutos,
contendo variáveis estatísticas diversas: variáveis contínuas e discretas.
1. Ao verificar que alguns alunos tinham frequentemente apresentado
sintomas de embriaguez durante o período de aula, os alunos do 3º
ano do Ensino Médio realizaram uma pesquisa, envolvendo uma
amostra com 50 sujeitos da região. Com o objetivo de diagnosticar e
apresentar possíveis propostas de soluções ao problema relacionado
ao consumo de bebidas alcoólicas foi gerado o seguinte banco de
dados:
Gênero Idade Quantidade de pessoas
na residência
Grau de escolaridade
Idade que iniciaram a
consumo de álcool
Sensação ao consumir o
álcool
Motivos que o levaram a consumir
Masculino 22 6 EF II Completo 13 Euforia Amigos
Masculino 16 4 EM Incompleto 12 Euforia Diversão
Feminino 15 6 EF II Completo 12 Euforia Amigos
Masculino 15 8 EM Incompleto 14 Poder Amigos
Masculino 16 5 EM Incompleto 16 Euforia Diversão
Masculino 18 7 EF II Completo 14 Euforia Balada
Feminino 16 4 EF II Completo 12 Euforia Diversão
Masculino 32 6 EF II Incompleto 14 Euforia Amigos
Feminino 21 4 EM Completo 15 Euforia Balada
Masculino 27 3 EM Completo 21 Euforia Outros
Masculino 22 5 EM Incompleto 16 Euforia Diversão
Masculino 28 4 EF II Completo 14 Euforia Outros
Masculino 42 9 EF I Completo 14 Euforia Amigos
Masculino 22 4 EM Incompleto 14 Poder Amigos
220
Masculino 17 8 EM Incompleto 15 Outros Diversão
Feminino 45 4 EM Completo 14 Euforia Curiosidade
Feminino 23 4 EM Completo 18 Euforia Diversão
Feminino 34 5 EM Incompleto 13 Euforia Amigos
Masculino 48 3 EM Incompleto 19 Euforia Outros
Masculino 18 4 EM Completo 13 Outros Balada
Masculino 29 3 EM Completo 17 Euforia Diversão
Masculino 17 3 EM Incompleto 14 Outros Amigos
Masculino 24 5 EF II Completo 16 Euforia Curiosidade
Masculino 39 6 EF I Completo 13 Desinibido Outros
Feminino 17 4 EM Incompleto 16 Euforia Balada
Feminino 20 2 EM Completo 14 Depressivo Balada
Feminino 38 5 EM Incompleto 15 Poder Outros
Masculino 16 3 EM Incompleto 14 Euforia Amigos
Masculino 21 4 EF II Completo 12 Euforia Amigos
Masculino 31 2 EM Completo 15 Euforia Diversão
Masculino 19 5 EM Incompleto 14 Outros Balada
Feminino 22 6 EF II Completo 15 Euforia Balada
Feminino 49 5 EF I Completo 14 Depressivo Outros
Feminino 23 4 EM Completo 18 Euforia Amigos
Masculino 16 3 EM Incompleto 14 Euforia Amigos
Masculino 18 6 EM Incompleto 17 Outros Curiosidade
Masculino 26 5 EF II Completo 13 Euforia Curiosidade
Masculino 48 4 EF II Incompleto 16 Desinibido Outros
Feminino 15 6 EM Incompleto 14 Euforia Amigos
Masculino 23 5 EM Completo 17 Euforia Amigos
Masculino 19 8 EF II Incompleto 13 Euforia Balada
Feminino 15 4 EM Incompleto 15 Outros Amigos
Feminino 16 6 EM Incompleto 16 Euforia Diversão
Feminino 37 3 ES 18 Euforia Diversão
Masculino 15 5 EF II Completo 12 Euforia Amigos
Masculino 33 4 ES 21 Euforia Balada
Feminino 36 5 EM Completo 14 Poder Outros
Feminino 16 7 EF II Incompleto 15 Euforia Balada
Masculino 35 8 EF I Completo 13 Euforia Amigos
Masculino 27 4 EF II Incompleto 14 Euforia Curiosidade
Total:
* EF I - Ensino Fundamental I
* EF II - Ensino Fundamental II
* EM - Ensino Médio
* ES - Ensino Superior
221
Pautado nos dados apresentados, faça uma análise, utilizando uma coluna
de cada vez, ou seja, uma variável por vez:
1.1 Observe as colunas com variáveis qualitativas.
a) Organize uma tabela de distribuição de frequência para as variáveis
qualitativas (gênero, nível de escolaridade, quantidade de pessoas
por residência, sensação e motivo), contendo três colunas; a
primeira, continha a categoria; a segunda, o número de observação
(frequência absoluta) e a terceira, a taxa percentual (frequência
relativa);
b) Construa um gráfico circular ou de setores para cada variável
qualitativa. Se não lembrar, siga os passos a seguir:
Com o compasso, desenhe um círculo;
Calcule o número de graus correspondente a cada categoria
representada, como por exemplo, para M (masculino) e F
(feminino). Para tal, utilize a regra de três simples;
Com o transferidor, meça os ângulos correspondentes aos graus
encontrados.
c) Construa um gráfico de barras ou colunas para cada variável
qualitativa. Lembrando-se que: no eixo horizontal das abscissas
devem estar localizadas as categorias, como por exemplo, M
(masculino) e F (feminino); no eixo vertical das ordenadas, a
frequência relativa. Cuidado com a escala (utilize um centímetro
para cada 5 unidades)
d) Redija algumas linhas para explicar as variáveis baseadas nos
gráficos e tabelas construídas.
e) A partir da representação gráfica, você pode observar qual delas
representa melhor cada variável. No caso do grau de escolaridade,
que tipo de gráfico fica mais fácil a visualização?
222
1.2 Organize os dados referentes às variáveis quantitativas contínuas:
idade e idade de iniciação do consumo de álcool, em ordem crescente
separadamente.
Com base nos dados apresentados, determine as medidas de
tendência central, ou seja, que descrevem a posição central dos dados
para cada uma das variáveis.
a. Média – Somatório de todas as idades, dividido pela quantidade de
entrevistados.
b. Moda – O valor que se repete com maior frequência.
c. Mediana – O valor que divide o conjunto de dados em duas partes
de mesmo tamanho (ou mesma quantidade de observações).
d. Quais são a idade mínima e a idade máxima dos dados
apresentados?
Uma boa maneira para determinar medidas de tendência central, valor
máximo e mínimo, é a representação de dados em um diagrama de
ramo e folhas. Portanto, vamos construir um.
Ao verificar que as idades variam de 15 a 49 anos, as dezenas
representam o ramo, e as unidades, as folhas. A vantagem em se
trabalhar com esta representação é não se perder nenhuma
informação, sendo possível saber exatamente quantos alunos têm 16
anos, o que não ocorre com a tabela de distribuição de frequência,
quando se trabalha com intervalo de classes.
1.3 Com base nas informações, continue o diagrama de ramo e folhas
relativo à idade do sujeito de pesquisa. Construa um para a idade com
que iniciaram o consumo de bebidas alcoólicas.
1 5 5 5 5 5 6 6
2
3
4
5
223
a) Qual posição indica a mediana em cada diagrama? Lembre-se, este
valor encontra-se no meio dos dados.
b) Quantos alunos têm 16 anos? E 33 anos?
c) Qual a idade que mais aparece em cada diagrama, ou seja, a moda?
d) Elabore a tabela de distribuição de frequência para as duas variáveis
quantitativas discretas, agrupando a idade em classe de 5 anos.
Como por exemplo, de 15 a 20 anos, qual é a frequência? Neste
caso, é importante observar que 20 anos não entram na contagem,
pois fará parte da classe de 20 a 25 anos e, assim por diante.
e) Construa um histograma para representar os dados agrupados na
tabela de frequência. Este gráfico é formado por retângulos
congruentes “colados” uns aos outros. No eixo das abscissas,
escreva o intervalo das idades (base do retângulo) e, no eixo das
ordenadas, a frequência (altura do retângulo).
f) Redija algumas linhas explicativas, para as variáveis apresentadas
nos gráficos e tabelas.
g) Com base na situação apresentada, após a análise dos dados, o que
se pode concluir? O que pode ser feito para amenizar o problema?
h) Existe alguma relação entre o gênero e o grau de escolaridade?
Para tal análise, complete a tabela abaixo.
Tabela: Relação entre o grau de escolaridade e o gênero
Grau de escolaridade Masculino Feminino Total
Nº % Nº %
EF I Completo 3 9,4 0 0 9,4
EF I Incompleto
EF II Completo
EF II Incompleto
EM Completo
EM Incompleto
ES
Total
224
i) Construa um gráfico de colunas, representando as informações da
tabela do item anterior.
j) Após a representação, faça uma análise da situação e redija um
texto de três linhas, no máximo, explicando se existe relação entre
as variáveis.
2. A seguir, a planilha apresentada descreve alguns dados relativos ao
perfil de alguns alunos de um 7º ano do ensino fundamental, recolhidos
durante a aula de Matemática. Com base nestes dados, vamos estudar
alguns conceitos relativos ao tratamento e à organização dos dados.
Nome do Aluno
Gênero Idade
(em anos)
Quantidade de pessoas
por residência
Gosto pela Matemática
Horas de estudo
extra classe
Esporte Preferido
Airton M 12 9 Muito 3 Futebol
Alessandro M 13 4 Regular 1 Vôlei
Aline F 12 6 Pouco 0,5 Basquete
André M 14 3 Pouco 1,5 Natação
Bruno M 12 2 Muito 4 Futebol
Daniel M 14 4 Regular 2 Basquete
Diego M 15 6 Pouco 0,5 Futebol
Eduardo M 13 2 Não 0 Futebol
Erick M 12 9 Não 0,5 Basquete
Fabiana F 12 8 Regular 1 Futebol
Gabriel M 11 3 Pouco 2 Vôlei
Gabriela F 13 2 Regular 1 Natação
Grazielle F 12 2 Regular 0,5 Vôlei
Guilherme M 14 4 Pouco 2 Vôlei
Henrique M 15 6 Muito 4 Futebol
Jaqueline F 12 5 Pouco 1,5 Futebol
Jéferson M 11 6 Não 0 Natação
John M 14 8 Não 0 Futebol
Jonatas M 13 4 Pouco 1 Vôlei
Jucivania F 12 2 Muito 3 Futebol
Kauê M 12 2 Não 0,5 Natação
Luana F 12 4 Muito 4 Vôlei
Lucélia F 13 5 Pouco 1 Vôlei
Luiz M 12 5 Muito 3 Basquete
Maria F 13 9 Não 0 Vôlei
Mayara F 12 4 Regular 1,5 Natação
225
Mike M 12 3 Regular 2,5 Natação
Natália F 13 5 Pouco 0,5 Futebol
Pedro M 14 6 Muito 3,5 Futebol
Raisa F 12 3 Regular 1,5 Vôlei
Roger M 12 5 Não 0 Futebol
Tatiane F 13 4 Não 0 Natação
Vinícius M 12 6 Muito 2 Vôlei
2.1. Realize agora uma análise unidimensional, ou seja, estude uma
coluna de cada vez para cada opção da variável observada. Anote o
número de vezes que cada opção aparece.
a) Na coluna da variável “gosto pela Matemática”, quantas vezes
aparece a opção muito? E a regular? Cada opção está associada a
um valor, que recebe o nome de distribuição de frequências.
b) Quantas vezes podemos observar o “M”? E o “F”?
c) Elabore uma tabela de distribuição de frequência para cada uma
das variáveis observadas na tabela.
d) Construa um gráfico de setores ou de colunas para as seguintes
variáveis: gênero, quantidade de pessoas por residência, gosto
pela Matemática e esporte preferido.
e) Construa um histograma para a variável idade e tempo gasto com
estudos extraclasse. Este tipo de variável é contínua, pois seu
valor pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo real.
f) Para as variáveis, idade e hora de estudo extraclasse, organize os
dados em ordem crescente, construa o diagrama de ramos e
folhas e determine a mediana e a moda.
g) Em média, são gastas quantas horas por dia com estudos
extraclasse?
h) Qual é a idade média destes alunos?
i) Como você classifica o gosto desta turma pela disciplina de
Matemática? Existe alguma relação entre o gosto pela Matemática
e o gênero? Para tal análise, complete a tabela abaixo.
226
Tabela 3. Tabela: Relação entre o gosto pela Matemática e o Gênero
Gosto pela Matemática Masculino Feminino Total
Nº % Nº %
Não 6 30 2 20 50
Pouco
Regular
Muito
Total
j) Construa um gráfico de colunas representando as informações da
tabela do item anterior.
k) Após a representação, faça uma análise da situação e redija um
texto de três linhas, no mínimo, no qual esteja descrito o perfil dos
alunos desta turma.
Terceira etapa: Tarefas envolvendo amostras para o cálculo de medidas
de tendência central e escolha de instrumentos adequados para sua
representação.
1. (Situação adaptada Novaes, Coutinho – 2008): Uma pesquisa
realizada com uma amostra do diâmetro de 60 eixos produzidos por
uma máquina, que tinha por objetivo verificar a variabilidade existente
apresentou os seguintes resultados:
83,2 81,5 83 82,4 85,2 80,7 80,2 83,5 82,8 83
93,1 84 83,7 84,1 85,8 84 84,5 83,9 83,2 84,1
82,7 95,9 82,8 83,4 84 80,2 81,1 82,9 83,5 82,5
82,3 82,4 82,1 83,1 82,5 83,4 85,7 85,6 81,9 82,6
84,1 84,4 83,6 83 85 82 84,1 83,9 83,4 82,5
81,1 82,3 84,7 81,3 82,4 82,9 82,8 82,3 82,4 82,1
a. Agrupe os dados em uma tabela de frequência.
b. Construa o diagrama de ramos e folhas.
c. A partir do diagrama, determine a média, a mediana, a moda, as
medidas mínima e máxima.
d. Construa o histograma.
e. Redija algumas linhas explicando a distribuição representada.
227
2. Todos os dias, em uma Unidade de Saúde são registradas, as idades
das pessoas que recebem atendimento, com a finalidade de propor
melhorias, tendo em vista que idades diferentes requerem tratamento
diferenciado. Vamos supor que em um determinado dia da semana
deram entrada nessa unidade de Saúde 56 pessoas, cujas referidas
idades estão dispostas a seguir:
2 meses 23 dias 3 anos 35 anos 1 ano 23 anos 20 anos
23 anos 48 anos 5 anos 37 anos 2 ano 38 anos 27 anos
22 dias 24 anos 2 anos 7 anos 6 meses 71 anos 47 anos
35 anos 13 anos 2 meses 6 meses 7 anos 8 anos 5 meses
45 anos 24 dias 34 anos 8 anos 4 meses 73anos 9 meses
77 anos 12 anos 17 anos 5 anos 7 meses 23 anos 4 anos
28 dias 13 dias 23 anos 4 anos 2 meses 56 anos 9 anos
3 meses 68 anos 39 anos 30 anos 10 anos 9 meses 36 anos
a) Do jeito que os dados estão dispostos, fica difícil relatar a
incidência das idades. Com base neste fato, organize estes dados
da maneira que sua leitura seja mais fácil;
b) Construa uma tabela de frequências;
c) Qual a idade mínima e a idade máxima dos pacientes que foram
atendidos neste dia?
d) Qual é a moda (idade que mais aparece)?
e) A idade é que tipo de variável?
g) Qual é o gráfico que melhor representa essa variável? Construa.
Quarta etapa: Tarefas envolvendo cálculo de medidas de tendência
central e decisão de escolha da medida que melhor representa os dados
apresentados.
1. (Situação adaptada Carzola, Santana – 2006) Calcular a altura média
e mediana de um grupo de alunos, cujas alturas estão definidas
abaixo.
228
Joana 149cm.
Bruna 140cm.
José 155cm.
Ana 160cm.
João 148cm.
Beatriz 153cm.
a) Ordene os dados em ordem crescente;
b) Calcule a média das estaturas; e
c) Qual o valor da mediana?
d) Este é Pedro, ele possui 175 cm de altura. Suponha que ele faça
parte do grupo, no lugar da Beatriz. Agora
determine a média e a mediana, utilizando esta
informação. Qual medida representou a melhor
altura do grupo?
2. Em um escritório de advocacia, trabalham 10 funcionários, cujos
salários estão informados a seguir:
Maria / Paula /Jacinto – R$ 560,00 João – R$ 850,00
Pedro / Joaquim – R$ 1.235,00 Mariana – R$ 656,00
229
Luiz / Pedro – R$ 3.875,00
a) Ordene os dados;
b) Determine a moda, a média e a mediana; e
c) Com base nos dados, quem representa melhor os salários dos
funcionários dessa empresa, a média ou a mediana? Justifique.
Quinta etapa: Tarefas envolvendo a participação dos alunos em todas as
etapas de uma pesquisa estatística.
Parte 1
Elabore o instrumento para coleta dos dados:
Com a participação dos alunos, elabore questões para apresentação do
perfil da turma da sala (em média 6 questões), selecionando as questões de
modo que contenham variáveis qualitativas e quantitativas contínuas e discretas.
Parte 2
a) Organize os dados em tabelas de distribuição de freqências;
b) Represente graficamente os dados; e
c) Redija um texto descrevendo as características de sua turma, de
acordo com os dados observados.
Sexta etapa: Tarefas envolvendo a resolução de situações-problema
retiradas de fatos ligados à realidade, envolvendo a leitura de gráficos de
séries temporais.
230
Leia o texto abaixo:
Foi publicado no portal de notícias da Globo.com que o Índice Nacional
de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), considerado "inflação oficial" do País,
registrou variação de 0,01% em julho, segundo a informação do Instituto Brasileiro
de Geografia e Estatística (IBGE).
O resultado é praticamente igual ao de junho, quando o IPCA não
registrou variação. Em julho do ano passado, o índice havia sido de 0,24%. O
IPCA é usado, como referência pelo Banco Central para estabelecer metas de
variação de preços no País.
No ano, o índice acumula alta de 3,10%, acima dos 2,81% referente ao
mesmo período do ano passado. Nos últimos 12 meses, o IPCA ficou em 4,60%,
abaixo do acumulado nos 12 meses anteriores (4,84%), segundo o IBGE.
1. Destacando que esta variação é mensal com base no texto, foi
elaborado o gráfico a seguir:
Figura 34: Evolução do IPCA nos últimos 12 meses (Foto: Editoria de Arte/G1) Fonte: http://g1.globo.com/economia-e-negocios/noticia/2010/08/inflacao-oficial-varia-001-em-julho-diz-
ibge.html
Com base nas informações, responda à questão 1:
231
De agosto a dezembro de 2009, em que mês o índice foi mais alto?
a) Em que mês, no primeiro semestre de 2010, houve o menor índice?
b) Qual foi o índice alcançado em fevereiro de 2010?
c) É possível obter, a partir do gráfico, a informação contida no texto: “No
ano, o índice acumula alta de 3,10%”? Em caso afirmativo, como?
d) Qual foi o índice acumulado de agosto a dezembro de 2009?
2. O gráfico de linhas indica as variações percentuais do índice de custo de
vida dos primeiros 4 meses de 2010 de três itens (alimentação,
habitação, saúde) escolhidos para pesquisa.
Figura 35: Gráfico do índice do custo de vida. Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html
Façam uma análise do gráfico e respondam:
a) Que item foi o “vilão” do aumento do custo de vida no mês de janeiro?
b) A afirmação “Por 2 meses consecutivos, observa-se queda do custo de
vida no item Habitação” está correta?
c) Em que mês, a população brasileira teve de gastar mais dinheiro para
“colocar comida na mesa”?
232
3. O gráfico mostra os percentuais do investimento público na Educação
Infantil, no Ensino Fundamental Final e no Ensino Médio, no período de
2005 a 2007.
Figura 36: Gráfico investimento público na Educação. Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html
Com base nas informações contidas no gráfico, responda:
a) Qual o percentual do investimento nos três níveis de ensino em 2005?
b) De 2005 a 2007, que percentual foi investido no Ensino Fundamental
Final?
c) Em que ano, o investimento foi maior?
4. Neste gráfico de barras, está representada a evolução da população
residente em Portugal ao longo dos anos, segundo os dados estatísticos
obtidos nos recenseamentos.
233
Figura 37: Gráfico da evolução da população residente em Portugal. Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm24/probexerc.htm
a) Qual o valor aproximado da população residente em Portugal no ano de
1989?
b) Qual ou quais o(s) ano(s) em que a população residente em Portugal foi
igual a 10 milhões?
c) A partir de que ano, os portugueses residentes passam a ser mais de 10
milhões?
Sétima etapa: Aplicar os conceitos aprendidos nas atividades anteriores
na resolução de questões que aparecem em avaliações externas do
SARESP e do ENEM.
1. (ENEM, 2009) Cinco equipes A, B, C, D e E disputaram uma prova de
gincana na qual as pontuações recebidas podiam ser 0, 1, 2 ou 3. A
média das cinco equipes foi de 2 pontos.
As notas das equipes foram colocadas no gráfico a seguir, entretanto,
esqueceram de representar as notas da equipe E.
Mesmo sem aparecer as notas
das equipes D e E, pode-se
concluir que os valores da
234
moda e da mediana são,
respectivamente:
a) 1,5 e 2,0.
b) 2,0 e 1,5.
c) 2,0 e 2,0.
d) 2,0 e 3,0.
e) 3,0 e 2,0.
2. (ENEM, 2008) Considere que as médias finais dos alunos de um
curso foram representadas no gráfico a seguir. Sabendo que a média
para a aprovação nesse curso era maior ou igual a 6,0, qual foi a
porcentagem de alunos aprovados?
Gráfico para as questões 3 e 4.
a) 18%.
b) 21%.
c) 36%.
d) 50%.
e) 72%.
(ENEM, 2008) No gráfico a seguir, estão especificados a produção
brasileira de café, em toneladas; a área plantada, em hectares (ha); e o
rendimento médio do plantio, em kg/h, no período de 2001 a 2008.
235
3. A análise dos dados mostrados no gráfico revela que:
a) A produção em 2003 foi superior a 2.100.000 toneladas de grãos.
b) A produção brasileira foi crescente ao longo de todo período
observado.
c) A área plantada decresceu a cada ano no período de 2001 a 2008.
d) Os aumentos na produção correspondem a aumentos no rendimento
médio do plantio.
e) A área plantada em 2007 foi maior que a de 2001.
4. Se a tendência de rendimento observado no gráfico, no período de 2001
a 2008, for mantida nos próximos anos, então, o rendimento médio do
plantio do café, em 2012, será aproximadamente de:
a) 500 kg/h
b) 750 kg/h
c) 850 kg/h
d) 950 kg/h
e) 1250 kg/h
Texto utilizado para as questões 5 e 6.
(ENEM, 2006) Nos últimos anos, ocorreu redução gradativa da taxa de
crescimento populacional em quase todos os continentes. A seguir, são
236
apresentados dados relativos aos países mais populosos em 2000 e
também as projeções para 2050.
5. Com base nas informações acima, é correto afirmar que, no período de
2000 a 2050:
a) A taxa de crescimento populacional da China será negativa.
b) A população do Brasil duplicará.
c) A taxa de crescimento da população da Indonésia será menor que a
dos EUA.
d) A população do Paquistão crescerá mais de 100%.
e) A China será o país com maior taxa de crescimento populacional do
mundo.
6. Com base nas informações dos gráficos mostrados, suponha que, no
período 2050-2100, a taxa de crescimento populacional da Índia seja a
237
mesma projetada para o período 2000-2050. Sendo assim, no início do
século XXII, a população da Índia, em bilhões de habitantes, será:
a) Inferior a 2,0.
b) Superior a 2,0 e inferior a 2,1.
c) Superior a 2,1 e inferior a 2,2.
d) Superior a 2,2 e inferior a 2,3.
e) Superior a 2,3.
7. (ENEM, 2006) Uma cooperativa de radiotáxis tem como meta atender,
em no máximo 15 minutos, a pelo menos 95% das chamadas que
recebe. O controle dessa meta é feito ininterruptamente por um
funcionário que utiliza um equipamento de rádio para monitoramento. A
cada 100 chamadas, ele registra o número acumulado de chamadas que
não foram atendidas em 15 minutos. Ao final de um dia, a cooperativa
apresentou o seguinte desempenho:
Total acumulado de chamadas 100 200 300 400 482
Número acumulado de camadas não atendidas 6 11 17 21 24
Esse desempenho mostra que, nesse dia, a meta estabelecida foi
atingida:
a) Nas primeiras 100 chamadas.
b) Nas primeiras 200 chamadas.
c) Nas primeiras 300 chamadas.
d) Nas primeiras 400 chamadas.
e) No final do dia.
8. (SARESP, 2007) Numa determinada cidade, pesquisou-se durante um
ano a ocorrência do número de casos de certa doença, encontrando-se
os dados apresentados no gráfico abaixo.
238
É verdade que:
a) O total de casos registrados no 2ºsemestre foi de 4.000.
b) A maior variação entre dois meses consecutivos ocorreu de agosto e
setembro.
c) No último trimestre, o número de casos registrados foi de 2.500.
d) Os períodos de crescimento e os períodos de decrescimento do
número de casos registrados foram sempre crescentes.
9. (SARESP, 2007) Os vendedores de uma grande loja de
eletrodomésticos venderam, no segundo bimestre de 2007, uma
quantidade de geladeiras especificada na tabela ao lado.
Nessa loja, a venda bimestral
por vendedor foi, em média, de:
a) 12 geladeiras.
b) 10 geladeiras.
c) 8 geladeiras.
d) 6 geladeiras.
239
10. (SARESP, 2007) Num determinado dia do mês de setembro, o Centro
de Gerenciamento de Emergência da Prefeitura de São Paulo registrou
umidade do ar nas quatro regiões da capital.
O índice médio da umidade do ar nesse dia foi de:
a) 20%.
b) 19%.
c) 18%.
d) 17%.
11. (SARESP, 2007) Na tabela seguinte, foram registradas as qualidades
de livros vendidos por uma livraria nos três primeiros meses deste ano,
e também os livros vendidos na primeira quinzena de abril.
Para que a média de livros vendidos nos três primeiros meses seja
mantida durante o mês de abril, quantos livros ainda precisam ser
vendidos na 2ª quinzena deste mês?
a) 110.
b) 170.
c) 210.
d) 250.