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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

UN ALGORITMO LUCIÉRNAGA DISCRETO APLICADO A LA OPTIMIZACIÓN ESTRUCTURAL

DE LA ARMADURA DE UN PUENTE

Nayar Cuitláhuac Gutiérrez Astudillo*1, David Vargas del Rio

1, Gil Humberto Ochoa González

1 y

Luis Raúl Sánchez Sandoval2

RESUMEN

En este artículo se explora la aplicación de un algoritmo de optimización de nueva generación. Estos algoritmos se

basan en técnicas heurísticas que simulan comportamientos en la naturaleza y permiten búsquedas en espacios

grandes con infinidad de soluciones posibles. Por ejemplo el algoritmo luciérnaga simula como estos insectos

emplean la luz de sus cuerpos para atraer a sus congéneres con fines reproductivos o de alimentación. Este enfoque

permite con algunas luciérnagas encontrar tanto óptimos locales como globales de una manera rápida y efectiva. Se

presenta aquí una versión modificada del algoritmo luciérnaga (AL) aplicado a la optimización de armaduras y su

desempeño se compara contra los algoritmos: Big-Bang Big-Crush, Programación Genética y el Algoritmo Genético

de Cruzamiento Natural. Se encontró que el AL es rápido y efectivo encontrando topologías óptimas junto con su

geometría en casos de estudio como el problema de la armadura de 10 barras y la armadura de 70 m de claro para un

puente. En la optimización completa que incluye geometría, topología y secciones transversales, el AL probó ser

efectivo en una variante compleja del caso de la armadura del puente. Las contribuciones en esta investigación

fueron establecer los límites iniciales, parámetros y operaciones especiales para ligar la velocidad de convergencia y

calidad de la solución en la corrida en una variante discreta del AL. Se buscó la forma de generar un mínimo de

ajustes iniciales en la corrida, sin embargo le queda al usuario definir el número de individuos y generaciones. Se

aplican operaciones particulares en las armaduras, como mover un nodo, generar una memoria de esfuerzos para

hacer cambios de secciones generalizados según la demanda de cargas.

ABSTRACT

In this paper we explore the application of an optimization algorithm of new generation. These algorithms are based

on heuristics that simulate behavior in nature and allow the search large spaces with many possible solutions. For

example, the firefly algorithm simulates how these insects use light from their bodies to attract mates for breeding or

feeding purposes. This approach allows some fireflies find both local and global optimum quickly and effectively.

Presented here is a modified version of Firefly algorithm (FA) applied to the optimization of truss structures and its

performance is compared against algorithms: Big Bang-Big Crush, Genetic Programming and Genetic Algorithm

with Natural Crossing. We found that the AL is quick and effective finding optimal topologies along with their

1 Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente, Departamento del Habitad y Desarrollo Urbano. Tlaquepaque,

Jalisco, México, Periférico Sur Manuel Gómez Morín # 8585 cp. 45604, Tlaquepaque, Jalisco, México. Tel: +52(33)36693434 ext.

3199. *Autor responsable: [email protected]

2 Instituto Tecnológico de Tepic, Departamento de Ciencias de la Tierra, Tepic, Nayarit, México

mailto:[email protected]

XIX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2014

geometry as case studies the problem of the 10 bars truss structure and the 70 m span bridge truss structure. In full

optimization that includes geometry, topology and cross sections, the AL proved to be effective in a complex case

variant of bridge truss. The contributions in this research were to establish the initial boundaries, parameters and

special operations to link the convergence speed and solution quality on the run in a discrete variant of the AL. How

to generate a minimum of initial settings on the run was sought, however it was left to the user to define the number

of individuals and generations. Particular operations are applied to trusses, such as moving a node; generate a

memory of stresses to make widespread changes sections on demand loads.

1. INTRODUCCIÓN

1.1 ANTECEDENTES

El algoritmo luciérnaga (AL) surgió como una herramienta confiable para encontrar soluciones de diseño en

problemas de gran escala en ingeniería. El AL es un enfoque de optimización que imita el uso de la bioluminiscencia

de las luciérnagas para la comunicación, la caza y el apareamiento. Se puede encontrar en la literatura que el AL ha

sido probado en problemas de optimización estructural con variables mixtas continuas / discretas que generan

dominios de búsqueda de gran escala (Hossein et al, 2011) y los ALs encuentran de manera eficiente soluciones

óptimas en varios problemas. Es un hecho de que no hay ninguna metaheurística que garantiza encontrar el óptimo

global, sin embargo, en comparación con otras metaheurísticas como Optimización de cumulo de partículas (PSO)

(Kennedy y Ebarhart, 1995), Algoritmos Genéticos (GA) (Goldberg, 1989), Recocido simulado (SA) (Kirkpatrick et

al, 1983) y Búsqueda armónica (AS) (Geem et al, 2001); el AL resultó ser más eficiente en acercarse al óptimo

global.

En esta investigación se comparó el desempeño de un AL contra el Big Bang-Big Crunch (Camp, 2007), la

Programación Genética (GP) (Yang y Soh, 2002) y Natural-Crossover Algoritmo Genético (NCGA) (Gutiérrez et al,

2013) en el rendimiento de un caso de referencia de optimización estructural de un puente, que tiene varias variantes

en un dominio de diseño mixto continuo / discreto. Este problema ha demostrado ser difícil ya que se han encontrado

las mejores soluciones de las versiones más simples y más difícil después de 100.000 y 350.000 iteraciones,

respectivamente.

1.2 ENFOQUE Y PROBLEMÁTICA

El problema de la optimización de la armadura de un puente fue propuesto originalmente con dos variantes en la

altura del espacio de búsqueda. Las variables continuas son las posibles coordenadas nodales y la geometría,

mientras que las variables discretas son la topología y las secciones transversales. Los resultados de estos problemas

se han mejorado por GP y Estrategias evolutivas (ES) enfoques que también introdujeron una simetría topológica

para simplificar los cálculos. Otra variación se hizo, en un entorno GA, cambiando las condiciones de apoyo.

Finalmente, los enfoques NCGA y AL se utilizan para resolver las variantes y sus combinaciones en menos

iteraciones y con soluciones más ligeras que los resultados de la literatura. Es importante tener en cuenta que ninguna

de estas variantes se puede considerar cómo las soluciones globales óptimas.

El NCGA es una metodología de optimización que combina cruzamientos discretos y continuos utilizados con una

representación de adyacencia que realiza un seguimiento de los esfuerzos que se producen durante la fase de carga.

Los complementos del enfoque NCGA son operadores genéticos especiales que generan cambios estructurales

orientados. El AL utiliza las operaciones especiales del NCGA así como su representación de adyacencia y ambos

requieren algunos ajustes de parámetros comunes (población y generaciones por ejemplo) cuando se utiliza en todas

las variantes del puente.

3


2. ALGORITMO LUCIERNAGA

2.1 PROCEDIMIENTO GENERAL

Las luciérnagas tienen una forma particular de comunicación que consiste en el uso de la luz para el apareamiento y

la caza, entre otros usos que luciérnaga pueden dar a la luz intermitente (Yang, 2008). Sin embargo, debido a la

posición se circunstancia la efectividad de la comunicación ya que la luz obedece a la ley del cuadrado inverso de la

distancia. Es decir que la intensidad de la luz I disminuye a medida que la distancia r de la fuente aumenta en

términos de I = Is / r2; donde Is es la intensidad de la fuente.

Si utilizamos un modelo abstracto de la conducta de la luciérnaga que se puede derivar en tres reglas principales para

describirlo:

1. Todas las luciérnagas se sentirían atraídas por la luz, independientemente de su sexo.

2. Lo atractivo es proporcional al brillo de la luciérnaga más cercana, por tanto, las luciérnagas menos

brillantes se moverán hacia las más brillantes. Si no hay una más brillante que todas las luciérnagas estas se

mueven al azar.

3. El brillo de la luciérnaga es determinado por su capacidad para adaptarse a su paisaje circundante.

En términos de un algoritmo de optimización la luciérnaga representa una solución en un procedimiento de

minimización o maximización. El paisaje se define por la función objetivo y sus limitaciones. La Is es la medida de

la adaptación al paisaje. La distancia r es la distancia cartesiana de las diferencias de variables de entre dos

soluciones.

El algoritmo de luciérnaga para la optimización estructural de armaduras (FFA-TSO) consistió en la reducción de la

masa de la estructura con el cumplimiento de los desplazamientos, las tensiones del material, esbeltez y limitaciones

longitudinales. El procedimiento general de optimización se presenta en el pseudo código en la Figura 1.


Figura 1 Pseudo codigo del ffa-tso

• Inicio

– Función objetivo f(x)=min(Xi

)

• X1

, variables geométricas (span= 70

m, max-height= 10 m)

• X2

, variables secciones(30 W shapes

from W14x22 to W14x426 )

• X3

, material propiedades (: E=

2.039432x10

10

kg/m

2

, fy

= 2.537054

x10

7

kg/m

2

, ρ= 7851.03 kg/m

3

)

• X4

, variables topológicas (max node

number=3 0, max number of bars per

node=8 )

– Población inicial de luciérnagas generadas

aleatoriamente Xi

(i=1,2,…,n)

– Evaluación de la función objetivo (Is

)

– Definición de coeficiente de absorción de luz γ

– While (generation<Maxgeneration)

• for i=1:n all n fireflies

– for j=1:d loop over all d

dimensions

» if (Ij

>Ii

),

Mover

luciérnaga a j;

end if

» La atracción

varia según r

según la exp(- γ r)

» Evaluar

nuevas

soluciones y actualizar la Is

– end for j

• end for i

• Ordena las luciérnagas y encuentra el

mejor de la generación

– end while

– procesa resultados y visualiza

• end

5


2.1.1 Representación

La matriz de adyacencia se utiliza generalmente como un medio para representar los vértices de un gráfico que son

adyacentes a otros vértices. Sid et al. (2007).Ellos utilizaron la matriz adyacente para la codificación de la

información estructural en la optimización continua. Utilizan un concepto de vecindad, que permite el uso de grupos

de nodos en lugar de un solo nodo. Esta vecindad de nodos se gestiona como una célula que determina cómo un nodo

está conectado en un espacio continuo y se utiliza para la configuración óptima de la célula en lugar de

configuraciones de nodos óptimos.

En la representación propuesta consideramos un enfoque en el que la matriz de adyacencia se divide en grupos de

nodos que comparten una propiedad común, además de estar en la misma vecindad. Este enfoque se denomina la

matriz de adyacencia modificada (MAM). Por lo tanto, para un problema de dos dimensiones, la MAM tiene N + 2

columnas y N filas, donde N es el número máximo de nodos permitidos en el problema. En los problemas resueltos

en este documento, la matriz de adyacencia se divide en 6 sub-matrices para separar los nodos fijos (m) de los nodos

de libre disposición o libres (n), con n = m + n (Figura 2).

Figura 2 Representación de la matriz en bloque de la matriz modificada de adyacencia

En la representación anterior, la matriz A tiene la referencia coordenadas de los nodos fijos, mientras que los nodos

libres hacen referencia en la matriz B. Al mismo tiempo, los miembros fijos conectados se indican en la matriz C,

mientras que el resto son designados en las matrices D y E, dependiendo de si corresponden a los nodos fijos o

libres. La matriz adyacente modificada tiene las siguientes propiedades

Elementos de la diagonal principal de las matrices C y E son iguales a cero.

Matrices C y E son simétricas.

Matriz D representa el enlace entre los nodos fijos y nodos libres.

Matriz E representa el enlace entre los nodos libres.

Los elementos no-cero en las matrices C, D o E representan nodos vinculados con un elemento estructural

barra.

El parámetro aij es el área de sección transversal del elemento correspondiente.

Con esta representación, el análisis estructural y las operaciones para la búsqueda de espacio se simplifican. La

simplificación se debe a la reunión de barras con características similares en sub-matrices de barras con longitudes

parecidas, secciones transversales y orden topológico. Las barras se reunieron en forma que tienen propiedades

mecánicas similares en fuerza o tensiones. La disposición sub-matriz contiene información para los nodos similares,

pero las barras pueden "naturalmente" organizarse de acuerdo con la tensión real. Por tanto, es posible mantener la

memoria de las configuraciones de dominio últimos en una forma implícita-explícita. Está implícito debido a que la

representación elegida nos permite poner en práctica los conocimientos de dominio durante toda la corrida del

algoritmo porque divide el problema principal en sub-problemas dentro de su representación. Es explícito debido a

que se puede inicializar de acuerdo con cualquier solución deseada y cualquier operación genética o penalización se

puedan implementar sobre él. La sección de evaluación explica cómo se añade una memoria a la MAM.

ED

D C

B

AT

))(())((

))(())((

)()(

)()(

)()(

)()(

,

,(

,

,

nmnmmnm

nmmmm

mnmnm

mmm

nmmmm

nmm

mmm

m

nmnm

mm

mm

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

yx

yx

yx

yx

1

111

1

111

1

111

1

111

11

11


2.1.2 Población inicial

La población inicial se genera "al azar". La generación de los individuos se basa en el llenado de las diagonales de

las sub-matrices de la codificación para generar rápidamente individuos sin formar una estructura de armadura con

mecanismo. Esta operación se lleva a cabo mediante el uso de las sub-matrices de la representación, que tienen las

siguientes propiedades

• Matriz C tiene el mismo tamaño para todos los individuos.

• Matriz C debe tener valores distintos de cero en su segunda diagonal principal. Para los diseños estudiados

en este documento, todos los demás valores en C son iguales a cero para evitar la superposición de las

barras. Esta matriz es estrictamente cuadrada (mxm) y simétrica.

• Matriz D no es ni estrictamente cuadrada ni simétrica (mxn). Diagonales de valor cero aparecen

comúnmente en su cuadrante superior derecho debido a la restricción longitud de la barra.

• Matriz E es estrictamente cuadrada y simétrica (nxn). Diagonales de valor cero aparecen comúnmente en

su cuadrante superior derecho debido a la restricción de longitud de la barra.

Su tendencia natural a formar conjuntos de diagonales implica que los operadores genéticos se orientan a trabajar con

tales diagonales. La primera propiedad expresada anteriormente nos permite simplificar las operaciones genéticas a

pesar de las topologías y tamaños de codificación de los individuos en la pareja son diferentes.

2.1.3 Evaluación

Los individuos son analizados por el método de elementos finitos; el uso de código completo para este análisis se

puede encontrar en (Ferreira, 2009). Este análisis produce el desplazamiento del nodo de la estructura de armadura y

los esfuerzos (tensión o compresión) en sus barras.

2.2 DISTANCIA CASOS, EL ATRACTIVO Y LÍMITE

2.2.1 Ajustes

El problema principal en la aplicación de la FFA-TSO fue determinar cómo definir una distancia r entre luciérnagas.

Las luciérnagas son definidas por sus coordenadas de nodo, el número de miembros y la sección transversal de cada

miembro. La definición se vuelve más complicada si se comparan 2 luciérnagas con diferente número de nodos y

miembros.

Cuando se obtiene la distancia con los individuos del mismo tamaño de la distancia se calcula como una distancia

cartesiana:

2

11 12 1 21 22 2

1

( , ,..., ) ( , ,..., )n

n n

i

r x x x x x x

(1)

Cuando la distancia tiene que ser obtenido en individuos de diferentes tamaños en un centro de gravedad Xi se

calcula entre dos luciérnagas utilizando las secciones transversales de las barras como la masa unida a los nodos:

1 1

/

(1,2)

n n

k k i i

i i

X x W W

k

(2)

7


Entonces la distancia cartesiana es calculada entre los centros de gravedad.

3. MANIPULACIÓN DE RESTRICCIONES

De la evaluación, se derivó un conjunto de penalizaciones, que se aplican mediante la adición de masa a la masa total

de la estructura como un peso necesario para soportar las demandas estructurales. Se aplica este conjunto de

penalizaciones en una forma lineal, es decir, cuando se supera una restricción; el valor de la penalización se aplica en

la misma proporción que el valor de restricción es superada. Por ejemplo, si un individuo presenta un desplazamiento

de 140 mm en uno de sus nodos, que supera el desplazamiento permisible por un factor de dos, por lo que si el

individuo tiene una masa de 100 000 kg de la masa penalizado será de 200,000 kg.

En penalizaciones generales son aplicadas por las siguientes ecuaciones:

donde

pi = masa penalizado del individuo i-ésimo

wj = factor de penalización j

x = número de restricciones superadas,

Mi (Ai, Li, ri) = i-ésima masa individual en función de sus bares de secciones transversales, longitud y peso

volumétrico del material empleado,

ϕi = calificación final del individuo i-ésimo

Por lo tanto wj representa la cantidad de material que tiene que ser añadido a una barra o individuo para cumplir con

una restricción. Los factores obtenidos a partir de estos medios son una medida del desempeño estructural para las

condiciones de carga impuestas. Después de que todos los individuos se ponen a prueba se ordenan de acuerdo con

sus pesos penalizados del más ligero al más pesado.

El siguiente paso es añadir el valor de eficiencia de las secciones transversales de matriz de adyacencia del individuo.

Este valor es el recuerdo de cómo la barra se comportó durante la etapa de carga. Se obtiene para cada barra

individual y se añade a la codificación de barras, que en este caso es un número entero. El valor de eficiencia, dij, se

obtiene dividiendo la relación de tensión / fuerza por un gran número, 100.000 en este estudio, y se obtiene para cada

barra en el individuo. La matriz de adyacencia se puede definir como.

[G]=[aij]

donde G es la matriz de adyacencia y aij es el número entero que representa las secciones transversales: Entonces la

matriz de eficiencia se obtiene

1

* ( , , )

(1 )* ( , , )

x

i j i i i i

j

i i i i i i

p w M A L

p x M A L

(3)

(4)


[Gm]=[aij+dij] (5)

donde Gm es la matriz de adyacencia con la memoria de los valores de la eficiencia y la dij son los valores de la

eficiencia. La matriz de Gm se llama la matriz de adyacencia modificada (MAM).

4 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN ESTRUCTURALES

4.1 ARMADURA DE 10 BARRAS

El problema de referencia armadura de diez barras se utilizó para investigar la eficacia de FFA-TSO en una

optimización de la sección transversal. Un estudio reciente de este problema fue hecho por Camp (Camp, 2007)

utilizando el método de optimización del Big-Bang Big-Crunch.

Figura 3 Configuración de la armadura de diez barras, altura 360” y dos tramos de 360”.

Las secciones transversales discretas fueron elegidas entre un conjunto de 41 (1.62, 1.80, 1.99, 2.13, 2.38, 2.62, 2.88,

2.93, 3.09, 3.13, 3.38, 3.47,3.55, 3.63, 3.84, 3.87, 3.88, 4.18, 4.22, 4.49, 4.59, 4.80, 4.97, 5.12, 5.74, 7.22, 7.97, 11.5,

13.5, 13.9, 14.2, 15.5, 16.0, 16.9, 18.8, 19.9, 22.0, 22.9, 26.5, 30.0 y 33.5 pulg2). El esfuerzo máximo permisible en

cualquier barra de la armadura debe ser superior a -25 ksi y menor de 25 ksi, y la deflexión máxima nodal (vertical y

horizontalmente) es de + 2,0”. El módulo de elasticidad del material se considera de 107 psi y su densidad es de 0,1

lb/in3.

9


Figura 4: Evolución de la mejor ejecución utilizando 25 luciérnagas y 390 iteraciones, 9.750 evaluaciones en

total, mejor encontró luciérnaga en movimiento 140.

La mejor solución se encontró en 3500 iteraciones. Los límites del algoritmo eran entre el peso generado por la

sección más pesada 33.5 in2 utilizado en todas los barras la solución y la sección más ligera (1.62 in2) usada en

todos los barras.

Tabla 1. Comparación de resultados en el caso discreta de la armadura de 10 barras.

|

Superficie de secciones transversales (in.2)

BB-BC FFA-TSO

# Elemento Camp 2007 2013

1 22.9 22.9

2 14.5 14.2

3 1.62 1.62

4 1.62 1.62

5 33.5 33.5

6 1.62 1.62

7 22.9 22.9

8 7.97 7.97

9 1.62 1.62

10 22 22

Mejor peso lb 5490.4 5485.808

Mejora lb 0 4.592

Desviación estándar lb 12.42 75

promedio lb

5485.808

Tiempo de ejecución s

30

Nota: 1 in.2=6.452 cm2; 1 lb=4.45 N.


4.2 OPTIMIZACIÓN DE LA GEOMETRÍA Y SECCIONES TRANSVERSALES DE LA ARMADURA DEL

PUENTE DE 70 M DE CLARO

Otro ejemplo utilizado para evaluar la eficacia de la matriz de adyacencia modificada para una optimización

completa es una estructura de armadura de puente con un claro de 70 metros. Shresta y Ghaboussi (1998propusieron

este problema en particular con el uso de dos dominios de altura de 10 y 35 metros y lo resolvieron que utilizan

GA’s. Más tarde, Yang y Soh (2002) (Yang, 2008) encontraron una mejor solución para el problema 10 metros de

altura utilizando programación genética. Para este mismo problema y usando un algoritmo de 3 pasos con la

interacción del usuario, Agarwal (2005) ha reportado la solución más ligera hasta ahora, cambió las condiciones del

apoyo. Hasançebi (2007) en un estudio más reciente, estudia un dominio de 35 metros de altura y lo resuelve

utilizando estrategias evolutivas y las condiciones de contorno en los nodos de soporte como se indica por (Shrestha

y Ghaboussi, 1998)

Los esfuerzos obtenidos se revisan utilizando las disposiciones de la AISC Construction Manual (TEA, 1989)

(AISC, 1989). Hay algunas restricciones establecidas inicialmente por (Shrestha y Ghaboussi, 1998), la serie

completa de las restricciones utilizadas se reproduce aquí

• El desplazamiento máximo es igual a 1/1000 de la luz, es decir, 70 mm.

La relación de esbeltez en compresión limitada a 200 y 300 en tensión para todas las barras de la estructura.

• La tensión de tracción máxima limitada a 0.6fy y el esfuerzo de compresión permisible se calcula con

arreglo a las siguientes consideraciones de pandeo:

• Si > C, hay pandeo elástico,

•

• Si <C, hay pandeo inelástico,

•

• donde = Li / ri,

• C =

• y Li y ri son la longitud y los radios de giro de la sección transversal del miembro de i-esimo

respectivamente. La longitud máxima de una barra se limita a 35 metros y la longitud mínima se limita

a 5 m.

b

i

i

2

2

12

23

b

i

i

E

i

2

2

3

3

(1 )2

35

3 8 8

i

yb

i

i i

fC

C C

i

2 / yE f

(6)

(7)

(8)

11


Figura 5 Evolución de la carrera en la geometría y cruzar -Secciones optimización con 70 luciérnagas y 100

iteraciones, 7000 evaluaciones.

Figura 6 Mejor solución encontrada con 7000 iteraciones, peso 44.165 kg.

La geometría de la figura 6 se encontró con 4 luciérnagas como límites, dos de ellas con todos los nodos libres con

una altura de 10 metros y los otros dos con una altura de 3 m. Así, los cuatro luciérnagas fueron: uno con una altura

de 10 m y todos los miembros con sección transversal más ligero, uno con una altura de 10 m y todos miembros con

más pesada sección transversal, uno con una altura de 3 m y todos los miembros con sección transversal más ligera y

uno con una altura de 3 m y todos los miembros con sección transversal más pesada.


4.3 OPTIMIZACIÓN COMPLETA EN LA ESTRUCTURA DEL PUENTE DE 70 M

En esta sección se estudia el comportamiento de la aplicación FFA-TSO en el entorno de optimización de diseño de

la estructura del puente de 70 m de luz. Una altura de 10 m se utiliza junto con las mismas variables que en el

problema anterior.

Figura 7: La mejor solución encontrada con 100.000 iteraciones, peso 45, 430 kg.

La mejor solución se encontró en el paso 792; 50 luciérnagas se utilizaron en 2000 movimientos dando un total de

100.000 iteraciones que son menos 100.000 movimientos que los realizado por Yang y Soh 2002. La desviación

estándar fue de 15.732 kg en 20 corridas.

Tabla2. Coordenadas de los nodos en la

configuración final

Nodos X Y

1 0 0

2 10 0

3 20 0

4 30 0

5 40 0

6 50 0

7 60 0

8 70 0

9 4.2143 5.421

10 14.7031 8.4147

11 23.5012 9.879

12 35 10

13 46.4988 9.879

14 55.2969 8.4147

15 65.7857 5.421

13


Tabla 3. Coordenadas de los nodos en la

configuración final

Nodos X Y

1 0 0

2 10 0

3 20 0

4 30 0

5 40 0

6 50 0

7 60 0

8 70 0

9 8.5439 7.25329

10 21.4773 10

11 35 10

12 48.5227 10

13 61.4561 7.25329

Tabla 4 Representación adyacente del mejor individuo en la optimización completa de la armadura del puente

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 0 W14X82 0 0 0 0 0 W14X159 0 0 0

2

0 W14X99 0 0 0 0 W14X68 0 0 0

3

0 W14X120 0 0 0 W14X48 W14X34 0 0 0

4

0 W14X233 0 0 0 W14X53 W14X43

0

5

0 W14X120 0 0 0 W14X43 W14X53

6

0 W14X99 0 0 0 W14X34 W14X48

7

0 W14X82 0 0 0 0 W14X68

8

0 0 0 0 0 W14X159

9

0 W14X233 0 0

10

Symmetric

0 W14X257

0

11

0 W14X257

12

0 W14X233

13 0


Figura 8: Evolución en mejor corrida, mejor solución encontrada en el paso 792.

5 DISCUSION Y CONCLUSIONES

El concepto de limite en esta investigación se tomó como la solución extrema máxima que involucra a las secciones

transversales más pesadas y generadas por el máximo número de barras y la solución extrema mínima que se genera

mediante la sección transversal más ligera y el mínimo de barras. Se observó durante la prueba que cuando no se

fijaron límites definidos el algoritmo no converge en cualquiera de los caso. Además, así como la complejidad del

caso crece los límites que se fijarán deben crecer también. En el problema de las 10 barras los límites establecidos

son la sección transversal más grande de todas las barras y las secciones más pequeñas para todas las barras, 2 límites

en total. Cuando el objetivo era optimizar la geometría y secciones transversales había la necesidad de establecer 4

límites, 2 con la altura como mínimo permisible y las otras 2 usando la mayor altura; uno con la sección transversal

más pesada y el otro con el más ligero. Sin embargo, la complejidad del problema de optimización de armaduras no

crece en un orden de 2n. Esto se observó al tratar de establecer los límites para el caso de la optimización de diseño

completo, donde 8 límites pudieron haber funcionaran pero no lo funcionaron. No funcionaron debido a que el

algoritmo no encontró buenas soluciones óptimas en las iteraciones esperadas. Una explicación puede ser que los

límites de una optimización de la topología pudieran están en el orden de 24 o más. Por lo tanto, estos límites hacen

que el algoritmo se ejecute en un entorno dirigido debido a que el FFA-TSO utiliza pocas luciérnagas por

movimiento (25-75, recomendado por Yang, 2008). Estos límites de luciérnagas se fijaron para evitar costo de mover

cada luciérnaga con respecto a todas las demás y está estrategia fue adecuada.

La velocidad de la FFA-TSO demostró que los límites así establecidos definen una búsqueda rápida y eficaz.

Además la forma de tomar las distancias entre los individuos fue otro aporte de la metodología planteada ya que se

tomó a partir de los centros de masa de las soluciones en lugar de tomarla con respecto a todos los puntos en cada

solución. Sin embargo hay la necesidad de investigar la forma en que el algoritmo sea consistente en encontrar

buenas soluciones ya que no estás soluciones variaban de una corrida a otra y con una desviación estándar alta.

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AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen la asistencia del Dr. Yang XS y el Dr. L. Lamberti

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un algoritmo luciÉrnaga discreto … · en un dominio de diseño mixto continuo / discreto. ... el...

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