una aplicaciÓn del grado topolÓgico a ecuaciones...

UNA APLICACIÓN DEL GRADO TOPOLÓGICO A

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

YESID FERNANDO PATIÑO NARANJO

Universidad Distrital Francisco José de CaldasBogotá D.C.

2015

A mi familia y amigos.

Agradecimientos

Quiero iniciar agradeciendo al profesor Arturo Sanjuán por su apoyo, dedicación, pa-ciencia y esfuerzos en la elaboración de este trabajo. También por su amistad y enseñan-zas para la vida profesional y personal.

Quiero agradecer a la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, al proyecto curri-cular de matemáticas y su planta docente por lo brindado a lo largo de estos años.

A mi madre Concepcion Naranjo, mi Padre Rafael Patiño y mi hermano Ruben Patiñopor su apoyo incondicional y por ceder su tiempo, para permitir cumplir una de lasmetas mas importantes de mi vida.

Por último agradecer a todos mis amigos ya que cada uno ha aportado algo importantea mi vida profesional y personal.

I

Índice general

Agradecimientos I

Introducción III

1. Método de Picard 1

1.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Teorema Fundamental de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias . . . . . 5

1.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Grado topológico 15

2.1. Grado topológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Ejemplos y aplicaciones del grado topológico. . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3. Conclusiones 49

Apéndices 50

Referecias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

II

Introducción

En este trabajo se mostrara una aplicación de la teoría de grado a ecuaciones diferencia-les ordinarias. A problemas de valor inicial de la forma x′(t) = f (t, x) con x(t0) = y0.Específicamente a soluciones periódicas.

En el primer capítulo exponemos algunos teoremas fundamentales de Ecuaciones Dife-renciales Ordinarias con el objeto de garantizar la existencia y unicidad de las solucio-nes, desarrollando toda la construcción analítica.

En el segundo capítulo desarrollamos toda la construcción axiomática y teórica del gra-do topologíco, necesaria para resolver este problema y garantizar las soluciones perió-dicas.

III

CAPÍTULO 1

Método de Picard

En este primer capítulo se analizará el método que garantiza la existencia y la unicidadde soluciones para ecuaciones diferenciales ordinarias, conocido como el método dePicard.

A lo largo del capítulo veremos que este método se basa fundamentalmente en la cons-trucción de una sucesión de funciones que converge a una función límite continua, quesatisface un problema de valor inicial propuesto.

En la siguiente sección enunciaremos los elementos del análisis matemático necesariospara la implementación del método.

1.1. Preliminares

Veamos todos los conceptos fundamentales que nos permitirán entender y comprenderel Teorema de Picard. Estos conceptos están relacionados con Teorema de ConvergenciaUniforme de Cauchy, funciones de Lipschitz y continuidad, entre otros.

1

Método de Picard

Este primer resultado analítico es importante en esta sección, ya que en el Teorema dePicard construiremos una sucesión de funciones y usaremos este teorema para garanti-zar la convergencia uniforme.

Teorema 1.1. La sucesión de funciones fn(x) converge uniformemente sobre E si y solo sipara cada ε > 0 existe N0(ε) ∈ N tal que | fn(x)− fm(x)| < ε para todo m, n > N0 y todox ∈ E. Este teorema y su demostración esta basada en [2, pág 270].

Demostración. Primero supongamos que la sucesión fn(x) converge uniformemente.Indica que para cada ε > 0 existe N0(ε) ∈ N tal que si n > N0(ε), se tiene que | fn(x)−f (x)| < ε

2 . Tomemos m > N0(ε). Por la misma convergencia uniforme se tiene que| fm(x)− f (x)| < ε

2 , tenemos

| fn(x)− fm(x)| ≤ | fn(x)− f (x)| − | fm(x)− f (x)| ≤ ε2 +

ε2 = ε.

Recíprocamente, supongamos que nuestra sucesión satisface la condición de Cauchy.Como es una sucesión de funciones de Cauchy uniforme en Rn nuestra sucesión con-verge y además lo hace a una función continua. Ahora tomemos f (x) = lım

n→∞fn(x). De-

bemos ver que la convergencia se esta dando uniformemente. En efecto sea ε > 0, elija-mos N(ε) conveniente tal que n > N(ε) implique | fn(x)− fn+k(x)| < ε

2 para k = 1, 2, ...y cada x ∈ E. Ya que es de Cauchy, se tiene que.

lımK→∞

| fn(x)− fn+k(x)| = | lımk→∞

fn(x)− lımk→∞

fn+k(x)|

= | fn(x)− f (x)| ≤ ε

2< ε

esto se tiene para cada n, con n ≥ N(ε) y todo x ∈ E.

El teorema anterior y el próximo teorema son claves en esta sección ya que en el Teoremade Picard la sucesión de funciones que iremos construyendo es de funciones continuas,y por este teorema garantizaremos que converge a una función continua. Que es lo quenecesitaremos en su momento.

Teorema 1.2. [1, pág 36] El límite de una sucesión de funciones continuas que converge uni-formemente es continua.

2

Método de Picard

En varios de los teoremas necesitaremos garantizar que la continuidad se mantiene encomposición con la norma y en otros aspectos donde necesitamos que la norma sea unafunción continua.

Teorema 1.3. La aplicación norma es una función continua.

Demostración. Está demostración toma como base los argumentos de [7, pág 60].

En efecto.

||x|| = ||x− y + y|| ≤ ||x− y||+ ||y||

indica

||x|| − ||y|| ≤ ||x− y||

de otra parte tenemos que

||y|| = ||y− x + x|| ≤ ||y− x||+ ||x||

indica

||y|| − ||x|| ≤ ||x− y||

es decir ∣∣∣||x|| − ||y||∣∣∣ ≤ ||x− y||

Esto indica que la función norma es una función continua.

Algo más fuerte que continuidad y que continuidad uniforme es el siguiente concepto.

Definición. Sea f : W → E, W un subconjunto de un espacio vectorial normado E, sedice que es f es Lipschitz sobre W si existe constante K tal que

| f (y)− f (x)| ≤ K|y− x|

para todo x, y en W, se llama a K la constante de Lipschitz.

3

Método de Picard

El siguiente teorema, relaciona las funciones de clase C1 la propiedad de Lispschitz.

Teorema 1.4. Sea la función f : W → E, donde f es de clase C1, entonces f es localmenteLipschitz.

Demostración. Sea f : W→ E, donde f es de clase C1, y sean x0 ∈ W y b > 0 el radio talque se tiene Bb ⊂W. Es decir

Bb(x0) =

x ∈ E : |x− x0| ≤ b⊂W.

Hagamos W0 = Bb(x0). Sea K una cota superior de ||D f (x)|| sobre el conjunto W0. Estacota la podemos garantizar ya que D f es de clase C1 y W0 es compacto.

Tenemos que el conjunto W0 es convexo. Por lo tanto para y, z ∈W0 y para u = z− y, setiene que y + su ∈W0 para 0 ≤ s ≤ 1

y + s(z− 1) = (1− s)y + sz ∈W0

Definamos la función φ(s) = f (y + su). Esto es φ[0, 1) → E. Es claro que se tiene la

composición de dos funciones que van de [0, 1)g−→ W0

f−→ E, donde la función g envía as en y + su y donde y, z ∈W0. Por la regla de la cadena se tiene que

φ′(s) = D f (y + su)u

y por el Teorema Fundamental del Cálculo se tiene que

f (z)− f (y) = φ(1)− φ(0).

En efecto, ya que

φ(s) = f (y + us) = f (y− sy + zs) si s = 1 f (z) = φ(1)

si s = 0 f (y) = φ(0)

por lo tanto

f (z)− f (y) = φ(1)− φ(0) =∫ 1

0φ′(s)ds

=∫ 1

0D f (u + su)uds

4

Método de Picard

de donde se tiene que

| f (z)− f (y)| = |∫ 1

0D f (y + su)uds|

≤∫ 1

0|D f (y + su)u|ds

≤∫ 1

0||D f (y + su)|||u|ds

≤∫ 1

0K|u|ds

= K|u|= K|z− y|

Es decir, f es localmente Lipschitz.

Con ayuda de los objetos matemáticos desarrollados anteriormente, podemos abordarlo que se ha llamado el teorema central del capitulo o método de Picard.

1.2. Teorema Fundamental de las Ecuaciones Diferencia-les Ordinarias

Este método es fundamental a lo largo de nuestro trabajo, y su importancia radica enque garantiza existencia y unicidad de soluciones a ecucaciones diferenciales.

Teorema 1.5. Sea W⊂ E, un subconjunto abierto de un espacio vectorial normado, f : W → Euna función de clase C1, y x0 ∈W. Entonces se tiene algún a > 0 y una única solución

x : (−a, a)→W

de la ecuación diferencial

x′ = f (x)

satisfaciendo la condición inicial x(0) = x0. Para el análisis de este teorema y su demostraciónnos basamos en [5, pág 164].

5

Método de Picard

Demostración. Sea x0 ∈ W, tomemos W0 =

x ∈ W : |x− x0| ≤ b

y supongamos J unintervalo abierto que contiene al cero, además sea la función x, tal que.

x : J →W satisface

x′(t) = f (x(t))

y x(0) = x0. Se obtiene por integración que.∫ t

0x′(s)ds =

∫ t

0f (x(s))ds

de donde

x(t)− x(0) =∫ t

0f (x(s))ds

x(t) = x0 +∫ t

0f (x(s))ds. (1.1)

Inversamente si x : J →W satisface (1.1) se tiene que x(0) = x0 y

∂

∂tx(t) =

∂

∂t

∫ t

0f (x(s))ds

= f (x(t)). (1.2)

Esto indica que (1.1) equivale a (1.2) como una ecuación para x : J →W.

Por como se ha elegido a W0 tenemos una constante K de Lipschitz, que se garantizapor el teorema 1.4. Esta constante es válida en W0. Ahora como | · | es continua, f escontinua, composición de continuas es continua y además W0 es compacto. Tenemosque | f (x)| esta acotado para todo x ∈W0. Llamemos a está cota M.

Sea a > 0 que satisface a < mın

bM , 1

K

y definamos J = [−a, a]. Recordemos que b es

el radio de la bola W0. Definamos la siguiente sucesión de funciones. Como sigue, sea

u0(t) = x0

u1(t) = x0 +∫ t

0f (u0(s))ds

asumiendo que uk(t) ha sido definida y que

6

Método de Picard

Para algún ε > 0, tomando N lo suficientemente grande. Por el Teorema 1.1. Se pruebaque la sucesión de funciones u0, u1, · · · converge uniformemente, y esta convergenciase da a una función continua por el teorema 1.2. De x : J → E. De la función identidadtenemos que

uk+1(t) = x0 +∫ t

0f (uk(s))ds.

Hallando límite en ambos lados se tiene

lımk→∞

uk+1(t) = lımk→∞

x0 + lımk→∞

∫ t

0f (uk(s))ds

x(t) = x0 + lımk→∞

∫ t

0f (uk(s))ds

= x0 +∫ t

0[ lımk→∞

f (uk(s))]ds

= x0 +∫ t

0f (x(s))

Por lo tanto x : J →W0 cumple (1.1) y además es solución de (1.2).

La construcción anterior prueba la existencia de las soluciones, falta ver que es única.En efecto. Sea x : J → W y y : J → W dos soluciones a nuestra ecuación x′ = f (x)que satisface x(0) = y(0) = x0 y donde podemos tomar J como un intervalo cerradoJ = [−a, a]. Donde la idea es probar que las dos soluciones son iguales para todo t en J.

Sea Q = maxt∈J |x(t)− y(t)|, donde este valor Q es obtenido para algún punto t1 ∈ J.

9

Método de Picard

Tenemos entonces que:

0 < Q = |x(t1)− y(t1)| =∣∣∣ ∫ t1

0x′(s)− y′(s)ds

∣∣∣≤∫ t1

0|x′(s)− y′(s)|ds

=∫ t1

0| f (x(s))− f (y(s))|ds

≤∫ t1

0K|x(s)− y(s)|ds

≤∫ t1

0KQds

= KQt1

≤ KaQ < Q

Lo anterior ya que aK < 1, lo que indica que la desigualdad es imposible, por lo tantose tiene que Q = 0. Es decir que x(t) = y(t).

Como se describió a lo largo del trabajo, el método de Picard es de gran importancia.Para el trabajo que se desarrolla posteriormente usaremos este mismo teorema pero in-cluyendo la variable temporal y su demostración es análoga pero se debe ser cuidadosoen el uso de esta nueva variable y se enuncia de la siguiente manera.

Teorema 1.6. [5, pág 297] Sea E un espacio vectorial normado; W ⊂ R × E un conjuntoabierto, y f : W → E una función continua. Sea (t0, y0) ∈W una solución al problema de valorinicial

x′(t) = f (t, x)x(t0) = y0

Es una curva diferénciale, x(t) en E definida para t en algún intervalo J,teniendo en cuenta lassiguientes propiedades.

t0 ∈ J, x(t0) = y0

(t, x(t)) ∈W, x′(t) = f (t, x(t))

10

Método de Picard

para todo t ∈ J.

Ahora veamos como es el comportamiento de las soluciones en compactos. El siguienteteorema nos dice que si el extremo superior del intervalo maximal es finito, las solucio-nes salen de compactos.

Teorema 1.7. Sea W ⊂ E un conjunto abierto, sea f : W → E una función de clase C1. Seay(t) una solución sobre un intervalo abierto maximal J = [α, β] ⊂ R con β < ∞. Entoncesdado algún conjunto compacto K ⊂W hay algún t ∈ (α, β) con y(t) 6∈ K.

Demostración. Extendemos la demostración de [5, pág 172]. Supongamos que y(t) ∈ Kpara todo t ∈ (α, β). Además f es continua y existe M > 0 tal que | f (x)| ≤ M si x ∈ K.

Sea γ ∈ (α, β) y veamos que y se extiende a una función continua y : [γ, β] → E. Paraesto es suficiente probar que y : J → E es continua uniformemente. Para t0 < t1 se tieneque

|y(t0)− y(t1)| =∣∣∣ ∫ t1

t0

y′(s)ds∣∣∣

≤∫ t1

t0

| f (y(s))|ds

≤ (t1 − t0)M

Ahora veamos que la curva extendida y : [α, β]→ E es diferénciale en β. En efecto

y(β) = y(γ) + lımt→β

∫ t

γy′(s)ds

= y(γ) + lımt→β

∫ t

γf (y(s))

= y(γ) +∫ β

γf (y(s))ds

Por lo tanto se tiene que

y(t) = y(γ) +∫ t

γf (y(s))ds

11

Método de Picard

Para todo t entre γ y β. Por lo tanto y es diferénciale en β y claramente y′(β) = f (y(β)).

Por lo tanto y es una solución sobre [γ, β]. Además hay una solución sobre un intervalo[β, δ) con δ > β al igual podemos extender la solución y al intervalo (α, δ) por lo tanto(α, β) no puede ser un dominio máximal de una solución.

Ahora la siguiente proposición nos permite deducir un resultado bastante importanteque es el que usaremos posteriormente en el trabajo ya que nos habla de la soluciónque pertenece a un intervalo de no acotado.Y además es la contrarecíproca del teoremaanterior.

Proposición 1.1. [5, pág 172]Sea A un subconjunto compacto de un conjunto abierto W ⊂ Ey sea f : W → E de clase C1. Sea y0 ∈ A y supongamos que cada curva solución de la forma

y : [0, β]→W con y(0) = y0

Está totalmente contenida A. Entonces existe una solución

y : [0, ∞)→W, y(0) = y0 y y(t) ∈ A

para todo t ≥ 0.

1.3. Ejemplos

Veamos algunos ejemplos del Teorema Fundamental de las Ecuaciones Diferencialesdonde destacamos el potencial de este método involucrando la construcción de las su-cesiones de funciones.

Ejemplo 1. Encontrar una solución por el método de Picard al problema

x′ = x + 2; x(0) = 2.

12

Método de Picard

Solución:

Tenemos que f (x) = x + 2, siguiendo el método de Picard se tiene que.

u0(t) = 2

u1(t) = 2 +∫ t

0f (u0(s))ds = 2 +

∫ t

04ds = 2 + 4t

= 4(1 + t)− 2

u2(t) = 2 +∫ t

0f (u1(s))ds = 2 +

∫ t

0(4 + 4s)ds = 2 + 4t + 2t2

= 4(1 + t +t2

2)− 2

u3(t) = 2 +∫ t

0f (u2(s))ds = 2 +

∫ t

0

(2 + 4t + 2t2 +

2t3

3

)= 4(1 + t +

t2

2+

t3

6)− 2

u4(t) = 2 +∫ t

0f (u3(s))ds = 2 +

∫ t

0

(2 + 4t + 2t2 +

2t3

3

)= 4

(1 + t +

t2

2+

t3

6+

t4

24

)− 2

Siguiendo la misma secuencia, vemos una generalización para un(t) de la siguiente ma-nera

un(t) = 4[

1 + t +t2

2+ · · ·+ tn

n!

]por lo tanto se tiene que.

un(t) = 4n

∑i=0

ti

i!− 2

haciendo que n tienda a infinito se tiene que

lımn→∞

un(t) = lımn→∞

4n

∑i=0

ti

i!− 2

= 4et − 2

13

Método de Picard

Ejemplo 2. Sea A una matriz de n× n, usar el método de Picard para demostrar que el sistemax′ = Ax con x(0) = u da la solución etAu.

Solución:

Tenemos que x′ = Ax, x(0) = u, es decir x = Ax

u0(t) = u

u1(t) = u +∫ t

0f (u0(s))ds = u +

∫ t

0Auds

= u + Aut

u2(t) = u +∫ t

0f (u1(s))ds =

∫ t

0f (u + Aut)ds

= u + Aut +A2t2

2u

u3(t) = u +∫ t

0f (u2(s))ds =

∫ t

0f(

u + Aut +A2t2

2u)

= u + Aut +A2t2

2u +

A3t3

6u

u4(t) = u +∫ t

0f (u3(s))ds =

∫ t

0f(

u + Aut +A2t2

2u +

A3t3

6u)

= u + Aut +A2t2

2u +

A3t3

6u +

A4t4

24Generalizando para uk(t) se tiene lo siguiente

uk(t) = u + Aut +A2t2

2u +

A3t3

6u +

A4t4

24+ · · ·+ Aktk

k!u

es decir

uk(t) =k

∑i=0

Aiti

i!u

haciendo que k→ ∞ se tiene que

lımk→∞

uk(t) = lımk→∞

k

∑i=0

Aiti

i!u

= eAtu

que es lo que se deseaba probar por el método de Picard.

14

CAPÍTULO 2

Grado topológico

2.1. Grado topológico

En este capítulo introducimos axiomáticamente el concepto de grado topológico y fina-lizamos con algunos ejemplos y aplicaciones.

Definición. [4, pág 5] Sea

d : ( f , Ω, y) : Ω ⊂ Rn un subconjunto abierto, f : Ω→ Rn continua,y ∈ Rn\ f (∂Ω) → Z

Donde la función d satisface

d(id, Ω, y) = 1 para cada y ∈ Ω

d( f , Ω, y) = d( f , Ω1, y) + d( f , Ω2, y) para cualesquiera Ω1, Ω2 subconjuntos dis-juntos de Ω tal que y 6∈ f (Ω\(Ω1 ∪Ω2)).

15

Grado Topológico

d(h(t, ·), Ω, y(t)) es independiente de t ∈ J = [0, 1] siempre que h : J × Ω seacontinua, y : J → Rn continua y y(t) 6∈ h(t, ∂Ω) para todo t ∈ J

En la definición anterior se basará el resto del trabajo, y permitirá obtener resultadosimportantes que poco a poco se irá construyendo.

Nota: Llamemos J f (x0) = det f ′(x0) (Jacobiano en x0). Si J f (x0) = 0, es llamado unpunto critico. Además tomemos el conjunto S f (Ω) = x ∈ Ω : J f (x0) = 0. Un puntoes llamado valor regular de f : Ω→ Rn si f−1(y) ∩ S f (Ω) = ∅, y singular en otro caso.

Definición. [4, pág 6] Ck(Ω) es el conjunto de funciones que son k veces continuamentediferenciales en Ω y Ck(Ω) = Ck(Ω) ∩ C(Ω), también C∞(Ω) =

⋂k≥1

Ck(Ω).

Los siguientes resultados permitirán entender una proposición de bastante importancia,para el cálculo del grado de una función.

Corolario 2.1. Sean f (x) y g(x) funciones continuas. Entonces la función max f (x), g(x))es una función continua.

Demostración. Tenemos que la función max f (x), g(x) = f (x) + g(x) + | f (x) + g(x)|2

que viene siendo suma y producto de funciones continuas. Por lo tanto la funciónmax f (x), g(x) es continua.

Teorema 2.8. Sea X un conjunto numerable, entonces X × X es numerable y mas generalXn = X× X · · · × X es numerable.

Corolario 2.2. El conjunto Q de los números racionales es un conjunto numerable. [2, pág 52].

Demostración. Para cada entero n ≥ 1 fijo, sea Sn el conjunto de números racionales dela forma z

n , donde z ∈ Z. Se tiene que cada conjunto Sn es equipotente a Z, por lo tantoSn es numerable y se tiene que

Q =∞⋃

i=1

Sn.

Como la unión numerable de conjuntos numerables es numerable se tiene, que el con-junto Q es numerable.

16

Grado Topológico

Los anteriores resultados y los siguientes teoremas hacen parte fundamental de las he-rramientas para entender la proposición 1 y esta proposición junto con la proposición 2toman fuerza en la teoría de grado, para aproximar funciones y verificar que su gradocoincide.

Teorema 2.9. Si A es un subconjunto compacto de Rn entonces A es separable.

Demostración. La primera parte de la demostración es basada [7, pág 30]. Sea B = x ∈A : x ∈ Qn, efectivamente B es numerable.Veamos ahora que B es denso. En efecto. sea x ∈ B, se tienen dos opciones x ∈ o x 6∈ B.si x ∈ B es claro que x ∈ B.

Si x 6∈ B, x es un punto de acumulación de B.Por tanto, para cada n = 1, 2 · · · se tieneque B(x, 1

n ) contiene xn y xn → x, tenemos que xn ∈ B ⊂ A y x ∈ A ya que A es cerrado.De aquí se tiene que B ⊂ A.

Recíprocamente. Sea x ∈ A, como B ⊂ A se tienen dos opciones x ∈ B o x 6∈ B. Si x ∈ Bentonces x ∈ B. Ahora si x 6∈ B se tiene que para cada ε > 0, B(x, ε) contiene puntos deB. Por lo tanto x ∈ B. De aquí se tiene que A ⊂ B.

Teorema 2.10 (Criterio de M-Weierstraß). Sea Mn una sucesión de números no negativostal que

0 ≤ | fn(x)| ≤ Mn, para n = 1, 2 · · · y cada x ∈ A

entonces ∑n≥1

fn(x) converge uniformemente en A si ∑n≥1

Mn converge.

Demostración. Está prueba se desarrollo bajo los argumentos establecidos en [2, pág271]. Supongamos que la serie ∑

n≥1Mn es convergente, por lo tanto esta serie satisfa-

ce la condición de Cauchy para series esto es, para cada ε > 0 existe un N(ε) ∈ N talque n > N(ε) y m > N(ε) implica que, n > m > N(ε)∣∣∣ n

∑k=1

Mk −m

∑k=1

Mk

∣∣∣ = ∣∣∣ n

∑k=m+1

Mk

∣∣∣ = n

∑k=m+1

Mk < ε

17

Grado Topológico

lo anterior ya que es una serie de términos no negativos, tenemos que para todo x ∈ Ase verifica que. ∣∣∣ n

∑k=1

fk(x)−m

∑k=1

fk(x)∣∣∣ = ∣∣∣ n

∑k=m+1

fk(x)∣∣∣

≤n

∑k=m+1

| fk(x)|

≤n

∑k=m+1

Mk < ε.

Aplicando la condición de Cauchy para la convergencia uniforme de series. La serie∣∣∣ n

∑k=m+1

fk(x)∣∣∣ < ε

por lo tanto tenemos que la serie ∑n≥1

fn(x) converge uniformemente en A.

Recordemos la siguiente definición.

Definición. Sea A ⊂ Rn, la distancia de un punto x ∈ Rn a el conjunto A viene dadapor ρ(x, A) = ınf|x− a| : a ∈ A.

Como se describió anteriormente la importancia de las siguientes proposiciones esta endemostrar que el grado de una función f ∈ C(Ω) coincide con el grado de funcionesg ∈ C∞(Ω).

Proposición 2.2. Sea A ⊂ Rn un conjunto compacto, y f : A → Rn una función continua.Entonces f puede extenderse continuamente a Rn.

Demostración. Para esta prueba seguimos algunos hechos establecidos en [4, pág 6].

Como A es un subconjunto compacto de Rn, existe un subconjuntoB = b1, b2 · · · ⊂ A tal que B es denso y numerable. Tomemos ρ(x, A) = ınf|x− a| :a ∈ A y

φi(x) = max

2− |x− bi|ρ(x, a)

, 0

para x 6∈ A.

18

Grado Topológico

Entonces la función

f (x) =

f (x) para x ∈ A(

∑i≥1

2−iφi(x))−1

∑i≥1

2−iφi(x) f (bi) para x 6∈ A.(2.1)

Se encuentra definida para todo x ∈ Rn y es continua. En efecto. Si x ∈ A, es claramentecontinua en x. Si x 6∈ A se tiene que

∑i≥1

2−iφi(x) =φ1(x)

2+

φ2(x)22 + · · ·+ φn(x)

2n · · ·

= max

2− |x− a1|ρ(x, A)

, 0+ · · ·+ max

2− |x− an|

ρ(x, A), 0+ · · ·

≤

∣∣∣2− |x−a1

ρ(x,A)

∣∣∣2

+ · · ·+

∣∣∣2− |x−an

ρ(x,A)

∣∣∣2n + · · ·

≤ 12+ · · ·+ 1

2n + · · ·

Por el criterio M-Weierstraß ∑i≥1

2−iφi(x) converge uniformemente.

Veamos ahora que la serie ∑i≥1

φ(x) 6= 0. Supongamos que ∑i≥1

φ(x) = 0. Esto es, existe

x0 6∈ A tal que ∑i≥1

2−iφi(x0) = 0. Por lo tanto, todos los términos de la serie son cero.

Esto indica que si φi(x) = 0, entonces 2− x−ai

ρ(x0,A)≥ 0. Es decir que ρ(x0, A) < x0−ai

2 .Entonces existe b0 ∈ A tal que para todo i ∈N

|x0 − b0| ≤x0 − ai

2

≤ ınfi |xo − ai|2

=|x0 − b0|

2,

que es una contradicción. Por lo tanto ∑i≥1

2−iφi(x) 6= 0. Queda ver que ∑i≥1

2−iφi(x) f (ai)

19

Grado Topológico

converge uniformemente. En efecto

∑i≥1

2−iφi(x) f (ai) =φ1(x) f (a1)

2+ · · ·+ φn(x) f (an)

2n · · ·

= max

2− |x− a1|ρ(x, A)

, 0

f (a1) + · · ·+ max

2− |x− an|ρ(x, A)

, 0

f (an) + · · ·

≤

∣∣∣2− |x−a1

ρ(x,A)

∣∣∣ f (a1)

2+ · · ·+

∣∣∣2− |x−an

ρ(x,A)

∣∣∣ f (an)

2n + · · ·

≤ 12

f (a1) + · · ·+ 12n f (an) + · · ·

≤ 12

M + · · ·+ 12n M + · · ·

= M(12+ · · ·+ 1

2n + · · · ).

Los dos últimos pasos se tienen ya que A es un subconjunto compacto entonces f (ai) ≤M para algún M. Y nuevamente por el criterio M-Weierstraß la serie converge unifor-memente. Ahora hemos visto que f es una función continua ya que es producto defunciones continuas cuando x 6∈ A, y además es una extención de f . Que es lo que sequería probar.

Para comprender la siguiente proposición debemos incluir el concepto de los molli f iers.Esto permitirá abordar con mas claridad la aproximación de la función de clase c1 poruna de clase c∞.

Definición. sea ρ ∈ C∞(Rn) dado por

ρ1(x) =

ce1

1−|x|2 si |x| > 1

0 si |x| ≤ 1

Donde la constante C > 0 es adecuada y tal que∫

Rnρdx = 1, y también para cada ε > 0

el conjunto.

ρα(x) :=1

αn ρ(xα)

20

Grado Topológico

Figura 2.1: mollifiers

Se le llama a ρ el molli f ier estándar, además se tiene que ρα es de clase C∞ y satisface

que∫

Rnρdx = 1.

Proposición 2.3. Sea A ⊂ Rn un conjunto compacto, f ∈ C(A) y ε > 0. entoncesexiste una función g ∈ C∞(Rn) tal que | f (x)− g(x)| ≤ ε en A.

Dada f ∈ C1(Ω), ε > 0 y δ > 0 tal que Ωδ = x ∈ Ω : ρ(x, ∂Ω) ≥ δ 6= ∅, hay unafunción g ∈ C∞(Rn) tal que | f − g|∞ + maxΩδ

| f (x)− g(x)| ≤ ε.

Demostración. Tomada de [3, pág 109]. Sea fα = ( f ? ρα)(x) y ρα como se ha defi-nido en los molli f iers ya que A es un conjunto compacto dado y fijo, se tiene quedado ε > 0 existe δ > 0 (donde δ depende de K y ε) tal que | f (x− y)− f (x)| < ε

para todo x ∈ A y todo y ∈ B(0, δ), se tiene que

( f ? ρα)(x)− f (x) =∫

Rnf (ξ − x)ρα(ξ)dξ − f (x)

=∫

Rnf (ξ − x)ρα(ξ)dξ − f (x)

∫Rn

ρα(ξ)dξ

=∫

B(0, 1N )( f (ξ − x)− f (x))ρα(ξ)dξ (2.2)

21

Grado Topológico

para N > 1δ y x ∈ K se obtiene que

|( f ? ρα)(x)− f (x)| =∣∣∣ ∫

B(0, 1N )[ f (ξ − x)− f (x)]ρα(ξ)dξ

∣∣∣≤∫

B(0, 1N )

∣∣∣[ f (ξ − x)− f (x)]ραdξ∣∣∣

≤ ε∣∣∣ ∫

B(0, 1N )

ρα(ξ)dξ∣∣∣

= ε.

Esto indica que para ε > 0 fα = ρα ? f para x ∈ Rn se tiene que fα(x) → f (x)conforme α→ 0 uniformemente sobre A, haciendo g = fα y α pequeño demuestrala parte 1 del corolario.

Lo interesante de los resultados obtenidos anteriormente es que si f ∈ C(Ω) y y 6∈f (∂Ω), se tiene que α = ρ(y, f (∂Ω)) > 0 podemos encontrar una función g ∈ C∞(Ω)

tal que | f − g|∞ < α. Ahora usando la función homotopía h[0, 1]× Ω → Rn que vienedefinida de la forma h(t, x) = (1− t) f (x) + tg(x), que claramente es continua y ademáspermite deducir que

|h(t, x)− y| =|(1− t) f (x) + tg(x)− y|=| f (x)− t f (x) + tg(x)− y|≥| f (x)− y| − |t f (x)− tg(x)|=| f (x)− y| − |t|| f (x)− g(x)|≥| f (x)− y| − | f (x)− g(x)|≥| f (x)− y| − | f − g|∞ > 0

lo anterior sobre ∂Ω y la condición homotópica de la definición de grado. Esto garantizaque el grado de las dos funciones coincide, que es lo que se quería ver.

La siguiente gráfica representa la función

sin(4x)− 15

cos(2x) · x2

y la homotopía con la función(f (b)− f (a)

b− a

)(x− a) + f (a)

22

Grado Topológico

(a) Homotopía

en el intervalo (-1.6,4.34).

Un caso particular del teorema de Sard, es bastante útil junto con el teorema de la fun-ción inversa para analizar las soluciones de nuestra ecuación, como veremos más ade-lante.

Antes de esto debemos ver unos resultados importantes que nos acercan al Teorema dela Función Inversa.

Este teorema se presenta con el objetivo de garantizar una inversa en la demostracióndel teorema de la función inversa.

Teorema 2.11. [9, pág 224]. Sea A ∈ Ω el conjunto de todos los operadores lineales invertiblesen Rn si

Si A ∈ Ω, B ∈ L(Rn) y ||B− A|| · ||A−1|| < 1. Entonces B ∈ Ω

Ω es un subconjunto abierto de L(Rn), y la aplicación A− A−1 es continua en Ω.

Debemos usar algunos conceptos de diferenciabilidad entre los que esta el siguienteresultado. Su uso se resalta en la demostración del Teorema de la Función Inversa, paraestablecer algunas desigualdades convenientes.

Teorema 2.12. [9, pág 235]. Supóngase que f es una función que envía un conjunto abiertoconvexo E ⊂ Rn en Rm, f es diferenciable en E, y hay un número real M tal que

23

Grado Topológico

|| f ′(x)|| ≤ M

para cada x ∈ E. Entonces

| f (b)− f (a)| ≤ M|b− a|

para todo a, b ∈ E.

La siguiente definición y teorema son de bastante utilidad en matemáticas, en nuestrocaso su utilidad recae en la demostración del Teorema de la Función Inversa. La si-guiente definición nos aproxima al Teorema del Punto Fijo de Banach, donde este nosgarantiza la existencia de un punto fijo o puede ser la existencia de soluciones.

Definición (Contracción). [9, pág 238] Sea X un espacio métrico, con métrica d. Si φ

envía X en X y hay un número c < 1 tal que

d(φ(x), φ(y)) ≤ cd(x, y).

Teorema 2.13 (Teorema del Punto Fijo de Banach). Si X es un espacio métrico completo, ysi φ es una contracción de X en X, existe un y solo un x ∈ X tal que φ(x) = x.

Demostración. Los argumentos de está demostración fueron basados en [9, pág 238].

Tomemos un x0 arbitrario en X y definamos xn de manera recurrente haciendo

xn+1 = φ(xn) n = 0, 1, 2 · · ·

Elijamos c < 1 tal que cumple que

d(φ(x), φ(y)) ≤ cd(x, y).

Entonces se tiene que para n ≥ 1

d(xn+1, xn) = d(φ(xn), φ(xn−1)) ≤ cd(xn, xn−1)

por inducción se tiene que

24

Grado Topológico

d(xn+1, xn) ≤ cnd(x1, x0) n = 0, 1, 2 · · ·

Ahora sea n < m, se tiene que

d(xn+1,xn) ≤m

∑i=n+1

d(xi, xi−1)

≤ (cn + cn+1 + · · ·+ cm−1)d(x1, x0)

≤ [(1− c)−1d(x1, x0)]cn

Entonces xn es una sucesión de Cauchy, como X es completo, lımn→∞

xn = x para algúnx ∈ X.

Debido a que φ es una contracción, φ es continua sobre X, por consiguiente

φ(x) = lımn→∞

φ(xn) = lımn→∞

xn+1 = x.

Ahora habiendo desarrollado las definiciones y teoremas anteriores podemos entrar alteorema de la función inversa y ver el uso que podemos darle en la teoría de grado.

Teorema 2.14 (Teorema de la Función Inversa). Supongamos que f es una función C1 de unconjunto abierto E ⊂ Rn en Rn y que f ′(a) es invertible para algún a ∈ E, y que b = f (a)entonces.

Existen conjuntos abiertos U y V en Rn tal que a ∈ U, b ∈ V, f es uno-uno en U yf (U) = V.

Si g es la inversa de f (que existe por el enunciado anterior), definida en V por g( f (x)) =x, entonces g ∈ C1(V)

Demostración. El teorema de la función inversa es uno de los teoremas de mayor impor-tancia en matemáticas y su demostración fue basada en [9, pág 239].

Haciendo f ′(a) = A, y eligiendo un λ de manera que 2λ||A|| = 1. Como f ′ escontinua en a, hay una bola abierta U ⊂ E con centro en a, tal que

25

Grado Topológico

|| f ′(x)− A|| < λ para (x ∈ U).

Asóciese a cada y ∈ Rn una función φ definida como sigue

φ(x) = x + A−1(y− f (x)) con x ∈ E.

Es claro ver que f (x) = y si y solo si x es un punto fijo de φ. Esto por queφ(x) = x + A−1(y− f (x)) = x. Esto indica que A−1(y− f (x)) = 0 y como A−1 estransformación lineal se tiene que y− f (x) = 0. Esto si y solo si y = f (x). Ahoraya que

φ(x) = x + A−1(y− f (x))

φ′(x) = I + A−1( f ′(x))

= A−1(A + f ′(x))

de lo anterior se tiene que

||φ′(x)|| = ||A−1(A + f ′(x))||

≤ ||A−1|||A + f ′(x)||| < 12λ

λ =12

.

Por el Teorema 2.12 se tiene que

|φ(x1)− φ(x2))| ≤12|x1 − x2| (2.3)

Se deduce que φ tiene a lo más un punto fijo en U. Asi que f (x) = y a lo más paraun x ∈ U y esta es la razón de que φ sea 1-1.Tomemos V = f (U) y elijamos y0 ∈ V. Entonces para algún y0 = f (x0) paraalgún x0 ∈ U. Sea B una bola abierta con centro en x0 y radio r > 0 tan pequeñoque su cerradura B esta en U. La idea radica en mostrar que para y ∈ V siempre ycuando |y− y0| < λr esto demuestra que V es abierto.Si se fija y, |y− y0| < λr y tomamos φ como lo definimos anteriormente

|φ(x0)− x0| = |A−1(y− y0)| < ||A−1||λr = r2

26

Grado Topológico

si x ∈ B de (2.3) se deduce que

|φ(x)− x0| ≤ |φ(x)− φ(x0)|+ |φ(x0)− x0|

<12|x− x0|+

r2≤ r.

En consecuencia φ(x) ∈ B. Se ve que (2.3) se cumple si x1, x2 ∈ B.

Entonces φ es contracción de B en B, siendo un subconjunto cerrado de Rn por lotanto es completo. Por el Teorema del Punto fijo de Banach, implica que φ tiene unpunto fijo x ∈ B, para este x, f (x) = y de aquí que y ∈ B ⊂ f (U) = V. Y estodemuestra la primera parte del teorema de la Función Inversa.

Para demostrar esta parte tomemos un y ∈ V tal que y + k ∈ V entonces existex ∈ U tal que x + h ∈ U. De tal manera que y = f (x), y + k = f (x + h) conφ(x) = x + A−1(y− f (x)) se tiene que

φ(x + h)− φ(x) = x + h + A−1(y− f (x + h))− x− A−1(y− f (x))

= h + A−1( f (x)− f (x + h))

= h− A−1K

por (2.3) se tiene que.

|h− A−1K| ≤ 12 |h|

de donde

|h| − |A−1K| ≤ 12 |h|

y

−|A−1K| ≤ 12 |h| − |h| = −

|h|2

de la última desigualdad se deduce que |A−1K| ≥ |h|2 . Es decir que

|h| ≤ 2||A−1|||K| = λ−1k (2.4)

tenemos que 2λ||A−1|| = 1 y | f ′(x)− A| < λ. Se puede ver que

27

Grado Topológico

|| f ′(x)− A|||A−1||| < λ 12λ = 1

2 < 1.

Por (2.11) f ′(x) tiene inversa. Llamémosla T como

g(y + k)− g(y)− tk = g( f (x + h))− g( f (x))

= x− x + h− TK

= h− TK

= h− T[ f (x + h)− f (x)]

= −T[ f (x + h)− f (x) + Ah].

Implica que

|g(y + k)− g(y)− TK||K| ≤ |T|

λ

| f (x + h)− f (x)− f ′(x)h||h|

cuando k→ 0, de (2.4) se ve que h→ 0. Por lo tanto la parte derecha tiende a ceroy lo mismo la parte izquierda. Esto indica que g′(y) = T. Por la elección de T, elinverso de f ′(x) = f ′(g(y)), entonces g′(y) = f ′(g(y))−1 para y ∈ V.Véase que g es una función continua de V sobre U en el conjunto Ω de todos loselementos invertibles de L(Rn) y la inversión es una función continua de Ω sobreΩ, debido al teorema 4 y lo combinamos con con g′(y) = f ′(g(y))−1, se ve queg ∈ C1(V), que termina la demostración del teorema de la Función inversa.

La siguiente proposición es de gran importancia en la matemática y nos permite exten-der los puntos para encontrar las soluciones.

Proposición 2.4. (Caso especial Lema de Sard) Sea Ω ⊂ Rn un conjunto abierto y f ∈ C1(Ω).Entonces µ( f (S f )) = 0, donde µn denota la medida n-dimensional de Lebesgue.

Demostración. Esta prueba uso los pasos seguidos por [4, pág 8].

Sabemos que la unión contable de conjuntos de medida cero tiene medida cero. Ademásun conjunto abierto Ω en Rn puede ser escrito como unión contable de cubos, es decir

Ω =∞⋃

i=1

Qi. Por lo tanto es suficiente demostrar que µn( f (S f (Q))) = 0 para algún cubo

Q ⊂ Ω. Además se tiene que

28

Grado Topológico

f (S f (Ω)) = f (S f (⋃i≥1

Qi)) =⋃i≥1

f (s f (Qi)).

Tomemos a ρ como la longitud lateral de Q y por la continuidad uniforme de f ′ sobreQ. Se tiene que para dado ε > 0, se puede encontrar m ∈ N tal que | f ′(x)− f ′(x)| ≤ ε

para todo x, x ∈ Q con |x− x| ≤ δ =√

n ρm y con ayuda del Teorema Fundamental del

Cálculo se tiene que

| f (x)− f (x)− f ′(x)(x− x)| =∣∣∣ ∫ 1

0[ f ′(x + t(x− x))− f ′(x)](x− x)

∣∣∣≤∫ 1

0| f ′(x + t(x− x))− f ′(x)||x− x|

≤∫ 1

0ε|x− x|dt = ε|x− x|

Para algún x, x, se debe descomponer Q en r cubos Qk de diámetro δ. Se tiene que lalongitud de cada lateral viene dada de la forma δ√

n y además se tiene que r = mn.Gracias a la derivada de Frechet se tiene que

f (x) = f (x) + f ′(x)(x− x) + R(x− x) con |R(x, x)| ≤ εδ para x, x ∈ Qk

Es decir que R(x, x) = f (x)− f (x)− f ′(x)(x− x).Ahora supongamos que Qk ∩ S f 6= ∅, elijamos x ∈ Qk ∩ S f , y sea A = f ′(x) y g(y) =f (x + y)− x para y ∈ Qk = Qk − x. Entonces se tiene que para x = x + y

R(x + y, x) = f (x + y)− f (x)− f ′(x + y)(y)

luego

g(y) = f (x + y)− f (x)− f ′(x + y)(y) + f ′(x + y)(y)

= A(y) + R(y) con |R(y)| = |R(x + y, x)| ≤ εδ sobre Qk

Ahora como det A = 0. Por el Teorema de la Dimensión tenemos que A(Qk) esta con-tenido en un n − 1 subespacio de Rn. Por lo tanto hay un b1 ∈ Rn con |b1| = 1 yb1 = (b1

1, b12, · · · , b1

n). Sabemos que el el producto interior viene dado por la forma

〈x, b1〉 =n

∑i=1

xib1i = 0 para todo x ∈ A(Qk). Dando a b1 una extensión a una base

ortonormal b1, b2, · · · , bn de Rn. Tenemos que

29

Grado Topológico

g(y) =n

∑i=1〈g(y), bi〉bi y además cumple lo siguiente

|〈g(y), b1〉| = |Ayb1 + R(y)b1|= |〈R(y), b1〉|≤ |R(y)||b1|≤ εδ

y

|〈g(y), bi〉| = |Aybi + R(y)bi| ≤ |Aybi|+ |Rbi|≤ |Ay||bi|+ |R(y)||bi|= |Ay|+ | ˜R(y)|≤ ||A||∞|y|+ εδ

≤ ||A||∞δ + εδ para i = 2 · · · , n

donde |A| = |(ai,j)| =(

n

∑i,j=1

a2i,j

) 12

. Tenemos que f (Qk) = f (x) + g(Qk), y está conteni-

do en un intervalo Jk al rededor de f (x). Que satisface lo siguiente

µn(Jk) = [2(|A|δ + εδ)]n−12εδ

= 2n(|A|+ ε)n−1εδn.

Como f ′ es acotado a lo largo del cubo Q, se tiene | f ′(x)| ≤ c, para algún c. Por como se

había definido f ′, se tiene que |A| ≤ c. Por lo tanto f (S f (Q)) ⊂n⋃

k=1

Jk con

n

∑k=1

µn(Jk) ≤ r2n(c + ε)n−1δn

= 2n(c + ε)n−1(√

nρ)nε

Por el trabajo realizado se puede ver que f (S f (Q)) tiene medida cero ya que ε > 0 esarbitrario.

30

Grado Topológico

El Teorema de la Función Inversa garantiza que el conjunto solución en un valor regulares finito, y el Lema de Sard garantiza que el conjunto de valores regulares es denso.

Es decir, sea f ∈ C∞(Ω) y y 6∈ f (∂Ω), si y es un valor regular de f entonces f (x) = ytiene a lo mas finitas soluciones. En efecto. Si y es un valor regular entonces, J f (x) 6= 0para cualquier f (x) = y. El Teorema de la Función Inversa implica que las solucionesson aisladas, es decir que para x0 ∈ f−1(y) existe U(x0) tal que f−1(y) ∩U(x0) = x0.Consecuentemente el conjunto solución f−1(y) debe ser finito. Para ver esto. Suponga-mos que el conjunto solución f−1(y) es infinito, entonces existe un punto de acumu-lación x0 ∈ Ω, ( f−1(y) ⊂ Ω), esto por la compacidad de Ω. Como f es una funcióncontinua y f (x0) = y y tenemos que x0 es una solución aislada. Lo que resulta ser unacontradicción ya que es un punto de acumulación. por lo tanto el conjunto soluciónf−1(y) es finito.

Ahora veamos el uso que se le da al Lema de Sard.

Si y0 es algún punto tal que y0 6∈ f (∂Ω) . Entonces Bα(y0) ∪ f (∂Ω) = ∅ para α =

ρ(y0, f (∂Ω)). Por tanto de la definición homotópica que se encuentra inmersa en la de-finición de grado tenemos que si h(t, x) = f (x), y(t) = ty0 + (1 − t)y y y ∈ Bα(y0)

implica que

d( f , Ω, y) = d( f , Ω, y0) para cada y ∈ Bα(y0).

Ahora por el lema de Sard podemos garantizar garantiza que.

Proposición 2.5. Si f ∈ C1(Ω) el conjunto de valores regulares es denso en f (Ω)

Demostración. Supongamos que el conjunto de valores regulares no es denso en f (Ω).Es decir existe y ∈ f (Ω) y Vy tal que Vy ⊂ f (S f ). Por lo tanto µ( f (S f )) > 0. Lo quecontradice el lema de Sard. Es decir el conjunto de valores regulares es denso en f (Ω).

Esto es importante ya que para cualquier punto y0 existe una vecindad que posee valo-res regulares, y como se describió anteriormente el grado coincide.

Para la siguiente nota y su deducción los argumentos se basaron en [4, pág 9].

31

Grado Topológico

Nota: Un paso fundamental de la teoría que se está construyendo es ver como se vaa calcular el grado de una función, debemos garantizar un método de cálculo, para loque hemos definido como el grado. Debemos ver que a las funciones de clase C∞ sepueden llevar a funciones lineales. Consideremos que f ∈ C∞ y y 6∈ f (∂Ω ∪ S f ). Paraesto tomemos dos casos.

Primero, supongamos que f−1(y) = ∅, en la parte 2 de la definición de grado. Siusamos Ω1 = Ω y Ω2 = ∅ se deduce que d( f , ∅, y) = 0, y por lo tanto d( f , Ω, y) =d( f , Ω1, y), donde Ω1 es cualquier subconjunto abierto de Ω tal que y 6∈ f (Ω\Ω1).Por lo tanto si f−1(y) = ∅ implica que d( f , Ω, y) = d( f , ∅, y) = 0

Ahora supongamos que f−1(y) = x1, · · · , xn. Se eligen vecindades disyuntasUi de xi y por la condición dos de la definición de grado se tiene que

d( f , Ω, y) =n

∑i=1

d( f , ui, y).

Para calcular d( f , Ui, y). Tomemos A = f ′(xi) y de la derivada de Frechet se tieneque f (x) = y + A(x− xi) + σ(|x− xi|) donde |x− xi| tiende a cero.Tenemos que det A 6= 0, esto indica que A−1 existe por ser una matriz no singular.Por lo tanto|z| = |A−1Az| ≤ |A−1||Az| es decir |Az| ≥ c|z| sobre Rn para algúnc>0.Por medio de esta estimación, se ve que y(t) = ty y h(t, x) = t f (x) + (1− t)A(x−xi) satisfaciendo que.

|h(t, x)− y(t)| = |t f (x) + (1− t)A(x− xi)− ty|= |ty + tA(x− xi) + tσ(|x− xi|) + A(x− xi)− t(A(x− xi))− ty|= |tσ(|x− xi|) + A(x− xi)|= |A(x− xi)− tσ(|x− xi|)|≥ |A(x− xi)| − |t|σ(|x− xi|)≥ c|x− xi| − σ(|x− xi|) > 0

para todo t ∈ [0, 1] previsto que |x − xi| ≤ δ con δ > 0 y lo suficientementepequeño. Por lo tanto.

32

Grado Topológico

d( f , Bδ(x), y) = d(A− Axi, Bδ(xi), 0).

Ahora teniendo en cuenta que y(t) = ty y h(y, t) = t f (x)+ (1− t)A(x− xi) dondet ∈ [0, 1], en base de la condición homotópica que posee el grado (que deformauna función en otra). Se tiene que para t ∈ [0, 1], y(0) = 0 y h(0, x) = A(x− xi) dedonde

d( f , Ui, y) = d( f , Bδ(xi), 0)

como f (x) 6= y en U − Bδ(xi) se tiene que

d( f , Ui, y) = d( f , Bδ(xi), y).

Por lo tanto

d( f , Ui, y) = d(A− Axi, Bδ(xi), 0),

como xi es la única solución de Ax − Axi de la condición dos del grado se tieneque.

d(A− Axi, Bδ(xi), 0) = d(A− Axi, Br(0), 0).

Para Bδ(xi) ⊂ Br(0) y A(x− txi) 6= 0, sobre. [0, 1]× ∂Br(0) Se concluye que

d( f , Ui, y) = d( f ′(xi), Br(0), 0).

esto por la condición homotópica del grado.

Ahora el punto a analizar es r > 0 arbitrario, para esto al igual que a lo largo del trabajose usaran varias herramientas tanto algebraicas como analíticas. Donde basándonos enlo que hemos construido y basándonos que d(A, Br(0), 0) está determinado únicamentesi A es lineal, det A 6= 0 y la función grado d(A, Ω, 0) = sgn det A.

Para poder realizar esta prueba se usara en gran medida la siguiente proposición.

33

Grado Topológico

Proposición 2.6. Sea A una matriz real de n× n con det A 6= 0, y sea λ1 · · · λm los valorespropios negativos de A y α1, · · · αm sus multiplicidades como ceros det(A− λid), previsto queA tiene todos sus valores propios. Entonces Rn es la suma directa de dos subespacios N y M,Rn = N ⊕M, tal que

a) N y M son invariantes bajo A.

b) A∣∣

N tiene únicamente los valores propios λ1, · · · , λm y A|M tiene valores propios no nega-tivos.

c) dim N = ∑mk=1 αk.

Demostración. Esta demostración se basa en varios resultados algebraicos seguidos de[6, pág 219][8, pág 256][5, pág 126]. Sea P el polinomio característico de A dado de lasiguiente manera.

P(x) = (x− γ1)β1 · · · (x− γm)βn .

Podemos expresar P como producto de dos otros dos polinomios de la siguiente ma-nera. P(x) = P1(x)P2(x). Donde P1(x)es el polinomio que contiene los valores propiosnegativos y sus respectivas multiplicidades, y P2(x) contiene los valores propios no ne-gativos y sus respectivas multiplicidades. Es decir

P1(x) = (x− λ1)α1 · · · (x− λm)αm y P2(x) = (x− µ1)

β1 · · · (x− µm)βk

Por el teorema de la descomposición primaria [8, pág 256], si asumimos que P(A) = 0.Sea N =ker P1(A) y M =Ker P2(A) entonces Rn por el mismo teorema de descompo-sición primaria N y M son invariantes bajo A que prueba a). Ahora por como se hanelegido P1(x) y P2(x) tenemos que a N pertenecen únicamente los valores propios nega-tivos y a M los valores propios no negativos que demuestra la parte b). Ahora podemosllevar nuestra matriz A a una representación en la forma Canónica de Jordán.[5, pág126]. Que restringida al espacio N, queda en término de sus multiplicidades, y por la

misma forma Canónica de Jordán tenemos que dim N =m

∑i=1

αi. Que termina la demos-

tración.

34

Grado Topológico

Por la argumentos similares a como se hizo la demostración anterior, que en su mayoríase basan en la forma Canónica de Jordán, tenemos que.

det(A− λid) = (−1)nm

∏k=1

(λ− λk)αk

n

∏j=m+1

(λ− µj)β j .

Por lo tanto se puede deducir que.

det(A) = (−1)αm

∏k=1|λk|αk

n

∏j=m+1

µβ jj con α =

m

∑k=1

αk = dim N.

Ahora si desarrollamos el trabajo pertinente al cálculo del grado y es como se había con-textualizado anteriormente, el de verificar que el grado dado sobre una transformaciónlineal coincide con el signo del determinante. Esta parte del trabajo basa su esfuerzo en[4, pág 10].

Si A no tiene valores propios negativos, entonces det(tA + (1− t)id) 6= 0. Lo anteriorya que

det[tA + (1− t)id] = det[

t(

A− (t− 1)idt

)]= tn det

(A− (t− 1)

tid)

= tn(−1)nn

∏i=1

(t− 1

t− µj

)

yt− 1

t− µj < 0. Por lo tanto det(tA + (1− t)id) 6= 0, para t en [0, 1]. Por lo tanto, por

medio de la homotópia tenemos que.

d(A, Br(0), 0) = d(id, Br(0), 0) = 1 = sgn(det A)

Ahora consideremos el caso en el cual, A posee valores propios negativos y notemosΩ = Br(0). Desarrollemos esta demostración por pasos.

Paso 1. Supongamos que α = dim N es par. Como Rn = N ⊕M, Para cada x ∈ Rn hayuna única representación. x = P1x + P2x, Con P1x ∈ N y P2x ∈ M. Así tenemos definidala proyección lineal.

35

Grado Topológico

P1 : Rn → N y P2 = id− P1 : Rn → M.

Entonces A = AP1 + AP2, es una descomposición directa de A. Se tiene que A(N) ⊂ Ny A(M) ⊂ M por ser invariantes. También tenemos que AP1 tiene solo valores propiosnegativos y AP2 tiene valores propios no negativos por la parte b) de la proposiciónanterior, es claro ver que A es homotópica a −P1 + P2. Podemos afirmar que

h(t, x) = tAx + (1− t)(−P1x + P2x) 6= 0 Sobre [0, 1]× ∂Ω

Esto se da por lo siguiente. Supongamos que h(0, x) = 0. Esto implica que h(0, x) =

−P1x + P2x = 0. Por lo tanto P1x = P2x. De donde P1x = P2x ∈ N ∩M = 0, entoncesx=0. Y no puede ser igual a cero ya que cero no esta en ∂Ω.

Ahora, h(t, x) = 0 con t 6= 0 se tiene que.

h(t, x) = tAx + (1− t)(−P1x + P2x) = 0

= tAx + (−P1x + P2x) + P1xt− P2xt = 0

Escribamos A = AP1 + AP2 Reemplazando en la ecuación anterior se tiene tAP1x +

tAP2x− P1x + P2x + P1xt− P2xt = 0

De lo anterior tenemos que si

tAP1x− P1x + tP1(x) = 0 −→ aP1x = (P1x− tP1x)t−1

= λ(p1x)

y también se tiene

tAP2x + P2x− tP2(x) = 0 −→ AP2x = (tP2x− P2x)t−1

= −λ(p2x)

Donde λ = (1− t)t−1. Lo cual es posible únicamente si P1x = P2x = 0. Esto ya que setenia que en N estaban los valores propios negativos y en M los no negativos. Por lotanto h(t, x) 6= 0. Ahora por la condición 2 y 3 que se ha dado en la definición de gradose tiene que.

d(A, Ω, 0) = d(−P1 + P2, Ω, 0).

36

Grado Topológico

Ahora como α es de la forma 2P para algún P ≥ 1 encontramos una matriz B, tal que

B2 = −id∣∣

N. Ciertamente, para P = 1, se puede elegir una rotación deπ

2. Es decir[

0 1−1 0

]

y de forma general p se puede arreglar en bloques P tal que dichos bloques están sobrela diagonal principal. Es decir,

b2j−1,2j = 1 = −b2j,2j−1 Para j = 1, ..., p y bj,k = 0

Es decir si la dimensión del espacio fuese 4, la matriz sería la siguiente0 1 0 0−1 0 0 00 0 0 10 0 −1 0

Ahora como B tiene únicamente valores propios complejos, debemos encontrar una ho-motopía de −P1 + P2 a BP1 + P2 y de BP1 + P2 a id = P1 + P2.

Describamos estas homotopías de la siguiente manera. Para la primera que se propone.Sea tBP1 − (1− t)P1 + P2 cuando t = 0 se tiene −P1 + P2 y si t = 1 se tiene BP1 + P2

que es la deformación que buscábamos. Ahora para la segunda que se propone, descri-bámosla como sigue. Sea tBP1 + (1− t)P1 + P2 cuando t = 0 se tiene P1 + P2 y si t = 1se tiene BP1 + P2 que era la deformación requerida. Por lo tanto se tiene que

d(A, Ω, 0) = d(−P1 + P2, Ω, 0) = d(id, Ω, 0) = 1

= (−1)2p

= sgn det A

Que es lo que se quería probar.

Paso 2. Asumamos que α = dim N = 2p + 1 para algún p ≥ 0. Claramente podemosrealizar una descomposición de N, es decir N = N1 ⊕ N2, donde la dim N1 = 1 ydim N2 = 2p, lo cual produce proyecciones Q1 : N → N1 y Q2 = id|N − Q1 : N →

37

Grado Topológico

N2. Entonces se tiene que P1 = Q1P1 + Q2P1. Como se desarrollo en pasos anterioresdebemos encontrar homotopías de A→ −P1 + P2 → −Q1P1 + BQ2P1 + P2 → −Q1P1 +

Q2P1 + P2.

De P1 + P2 → −Q1P1 + BQ2P1 + P2. Viene dada por la homotopía.

h(t, ·) = −Q1P1 + P2 + (1− t)BQ2P1 − tQ2P1

para t ∈ [0, 1]

Ahora Q1P1 + BQ2P1 + P2 → −Q1P1 + Q2P1 + P2. Viene dada por la siguiente homoto-pía.

h(t, ·) = −Q1P1 + P2 + (1− t)Q2P1 + tBQ2P1.

El trabajo realizado anteriormente indica que d(A, Ω, 0) = d(−Q1 +Q2, Ω, 0). Con Q1 =

Q1P1 y Q2 = Q2P1 + P2.

Se puede observar que Q1 y Q2 = id−Q1 son proyecciones de la descomposición Rn =

N1 ⊕ N2 ⊕M. Como x = 0 es el cero de −Q1 + Q2, se puede remplazar Ω = Br(0) paraalgún conjunto abierto que contiene a x = 0. Se puede ver que se esta trabajando ahora,en una situción unidimensional.

Ciertamente dado Ω ⊂ N1 abierto y acotado y g : Ω→ N1 una función que es continuacon 0 6∈ g(∂Ω), sea d(g, Ω, 0) = d(g Q1 + Q2, Ω + Br(0), 0), y gracias a esto pode-mos calcular d = (−id|N1 , Ω, 0) = d(−Q1 + Q2, Ω + Br(0), 0) Donde Ω ⊂ N es algúnconjunto abierto y acotado con 0 ∈ Ω. Es de esperar que d = (−id|N1 , Ω, 0) = −1 =

(−1)2p+1 = sgn det A

Para probar esto último, debemos tener en cuenta que dim N1 = 1, por lo tanto tomemosN1 = λe : λ ∈ R para algún e ∈ Rn, con |e| = 1. Consideremos Ω = λe : λ ∈(−2, 2), Ω1 = λe : λ ∈ (−2, 0) y Ω2 = λe : λ ∈ (0, 2). Definamos f (λe) =

(|λ| − 1)e. Es claro ver que f (0) = −e 6= 0 al igual que es claro ver que h(t, λe) =

t(|λ| − 2)e + e 6= 0 sobre [0, 1]× ∂Ω se puede deducir que

0 = d(e, Ω, 0) = d( f , Ω1, 0) + d( f , Ω2, 0) (2.5)

38

Grado Topológico

esto pro las condiciones (2) y (3) establecidas para el grado topológico. ahora vemos quef |Ω1(λe) = −(λ + 1)e esta función tiene como cero únicamente a λ = −e ∈ Ω1 ⊂ Ω.Por lo tanto

d( f , Ω1, 0) = d(−id|N1 − e, Ω, 0)

= d(−d|N1 , Ω, 0)

Claramente se puede apreciar que −λe − te 6= 0 sobre [0, 1] × ∂Ω por el mismo argu-mento anterior se puede ver que d( f , Ω1, 0) = d(id|N1 , Ω, 0) = 1 por la definición degrado. Y reempzando en (2.5) nos damos cuenta que d(−id|N1 − e, Ω, 0) = −1 que es loque se buscaba demostrar.

A continuación haremos la definición de grado usual trabajo, que se aborda desde lacontextualización del grado.

Definición (Grado Topológico). Sea Ω ⊂ Rn un conjunto abierto y acotado, f ∈ C1(Ω)

y y ∈ Rn\ f (∂Ω ∪ S f ). Definimos

d( f , Ω, y) = ∑x∈ f−1(y)

sgn J f (x). (2.6)

Definición. Sea Ω ⊂ Rn un abierto y acotado, f ∈ C2(Ω) y y 6∈ f (∂Ω). Entonces sedefine d( f , Ω, y) = d( f , Ω, y1), donde y1 es un valor regular de f . Tal que |y − y1| <ρ(y, f (∂Ω)) y d( f Ω, y1) es dado por la definición de grado.

Definición. sea f ∈ C(Ω) y y ∈ Rn\ f (∂Ω). Entonces se define d( f , Ω, y) = d(g, Ω, y)donde g ∈ C2 es alguna función tal que |g− f |0 < ρ(y, f (∂Ω)) y d(g, Ω, y) es dado porla definición anterior.

Partiendo de las definiciones anteriores, que hablan respecto al grado topológico, sepresentan las siguientes propiedades importantes de este

Teorema 2.15. Sea M = ( f , Ω, y) : Ω ⊂ Rn abierto y acotado, f ∈ C(Ω) y y 6∈ f (∂Ω) yd : M → Z el grado topológico definido anteriormente. Entonces d tiene las siguientes propie-dades.

a) d(·, Ω, y) y d( f , Ω, ·) son contantes sobre g ∈ C(Ω) : |g − f |0 < r y Br(y) ⊂ Rn,respectivamente, donde r = ρ(y, f (∂Ω)). Por otra parte, d( f , Ω, ·) sobre cada componenteconexa de Rn\ f (∂Ω).

39

Grado Topológico

b) d(g, Ω, y) = d( f , Ω, y) siempre que g|∂Ω = f |∂Ω.

Ahora veamos el caso donde debemos dar soluciones a ecuaciones del tipo f (x) = x.sabemos que x es llamado punto fijo. Para esto trabajaremos desde el conocido teoremadel Punto Fijo de Brouwer.

Teorema 2.16 (Punto Fijo de Brouwer). Sea D ⊂ Rn un conjunto compacto convexo no vacíoy f : D → D continua. Entonces f tiene un punto fijo.

Demostración. Lo esencial de esta demostración fue usado de [4, pág 17].

Supongamos primero que D = Br(0). Asumamos que f (x) 6= x sobre ∂D de lo contrarioya se tendría.

Sea h(t, x) = x − t f (x).Esto define una función continua tal que 0 6∈ h([0, 1] × ∂D).Además por hipótesis se tiene que

|h(t, x)| = |x− t f (x)| ≥ |x| − |t f (x)|= |x| − |t|| f (x)|≥ |x| − t|x|= (1− t)r > 0

en [0, 1]× ∂D y f (x) 6= x y para |x| = r.

Por lo tanto d(id − f , D, 0) = d(id, Br(0), 0) = 1, esto prueba la existencia de un x ∈Br(0) tal que x − f (x) = 0 ya que como probamos anteriormente que si f−1(y) = ∅implica que d( f , Ω, y) = 0.

Por último el siguiente teorema que a futuro podría usarse para aplicaciones en la teoríade grado.

Teorema 2.17. [4, pág 20] Sea Ω ⊂ Rn abierto y acotado con 0 ∈ Ω y sea f : ∂Ω → Rn\0continua. Supóngase que además que la dimensión del espacio n es impar. Entonces existe x ∈∂Ω y λ 6= 0 tal que f (x) = λx.

40

Grado Topológico

Demostración. Asumamos sin perdida de generalidad que f ∈ C(Ω). Como n es impartenemos que d(−id, Ω, 0) = −1. Si d( f , Ω, 0) 6= −1. Entonces h(t, x) = (1− t) f (x)− txdebe tener un cero (t0, x0) ∈ (0, 1)× ∂Ω.

Por lo tanto

h(t0, x0) = (1− t0) f (x0)− t(x0) = 0

Es decir f (x0) = [t0(1− t0)−1]x0.

Sin embargo, si d = ( f , Ω, 0) = −1 usamos la homotopia h(t, x) = (1− t) f (x) + tx.Donde usando el mismo argumento anterior tenemos que hay un cero (t0, x0) ∈ (0, 1)×∂Ω.Por lo tanto

h(t0, x0) = (1− t0) f (x0) + t(x0) = 0

Es decir f (x0) = [−t0(1− t0)−1]x0. Es decir existe un λ 6= 0 tal que f (x) = λx.

2.2. Ejemplos y aplicaciones del grado topológico.

Veamos algunos ejemplos y aplicaciones de la teoría desarrollada a lo largo del capí-tulo. Finalizamos con una de las aplicaciones mas importantes de este método que seencuentra en la ecuaciones diferenciales.

Ejemplo 3. Sea Ω ⊂ R un intervalo abierto con 0 ∈ Ω y sea f (x) = αxk con α 6= 0.Entonces d( f , Ω, 0) = 0 si k es par y d( f , Ω, 0) = sgn α si k es impar.

Demostración. Si nos damos una aproximación de lo que se debe hacer, tenemos laopción de que K sea par o impar y α puede ser mayor o menor a cero. veamos unaaproximación gráfica, en el intervalo (-2.2,4.3).(ver figura 2.2)

Recordemos que d( f , Ω, s) = ∑x∈ f−1(s)

sgn J f (x). Para poder aplicar se debe verifi-

car que f es de clase C1 en Ω, f es continua en Ω y por último se debe tener ques 6∈ f (∂Ω).

41

Grado Topológico

(a) K par α < 0 (b) K par α > 0

(c) K impar α > 0 (d) K impar α < 0

Figura 2.3

Claramente Ω = (a, b) y f es de clase C1 sobre este intervalo y continua sobre Ω.la frontera ∂Ω = a, b con a < 0 y b > 0. De donde f (a) y f (b) son distintos acero. Por lo tanto 0 6∈ f (∂Ω). Como f−1(0) = 0 se deduce que 0 es un valorsingular.

La pregunta sería, ¿Que tan cerca debe estar el valor regular, a este valor singularpara que el grado coincida?. Tomando α = ρ(y0, f (∂Ω)) y y0 un valor regular, loque buscamos es que y ∈ Bα(y0) entonces d( f , Ω, y0) = d( f , Ω, y).

Si y0 ∈ f (a, b), tomemos |y0| < 12 mın| f (a)|, | f (b)| y sabemos que α = mın|y0−

f (a)|, |y0 − f (b)|. Por lo tanto si 0 ∈ Bα(y0) se tendría que.

|y0 − 0| < mın|y0 − f (a)|, |y0 − f (b)|

42

Grado Topológico

Suponiendo que el mínimo es |y0 − f (a)| se deduce

|y0 − f (a)| ≥∣∣∣|y0| − | f (a)|

∣∣∣= | f (a)| − |y0|> 2|y0| − |y0|= |y0|

Por lo tanto 0 no se encuentra en la bola indicada y podemos proceder con nuestrocálculo.

Si k = 2p para p ∈ Z+. Se tiene que f (x) = αx2p = y0. Entonces x = ±(y0

α

) 12p .

De donde

|x| =∣∣∣y0

α

∣∣∣ 12p

<1

|α|1

2p

1

21

2pmın| f (b)|, | f (a)|

12p

<1

|α|1

2p

1

21

2p|α|

12p mın|b|, |a|

12p

< mın|b|, |a|

Por lo tanto(y0

α

) 12p ∈ (a, b). Y también se tiene

f−1(y0) =

( y0α

) 12p ,−

( y0α

) 12p

Y ádemas el jacobiano es J f (x) = 2pαx2p−1 = det[ f (x)], Por lo tanto

d( f , Ω, 0) = sgn

[2pα

((y0

α

) 12p)2p−1]

+ sgn

[2pα

((−y0

α

) 12p)2p−1]

= sgn(α) + sgn(−α)

= 0

Que demuestra la primera parte.

Ahora si k = 2p + 1 con p ∈ N. Se tiene que f ′(x) = (2p + 1)αx2p y f−1(y0) =

x ∈ Ω : f (x) = y0. Analogo al caso anterior tenemos que f (x) = αx2p+1 = y0

entonces x =(y0

α

). Por lo tanto

43

Grado Topológico

f−1(y0) =

(y0

α

) 12p+1

de donde se deduce que

d( f , Ω, 0) = sgn

[(2p + 1)α

[(y0

α

) 12p+1]2p]

= sgn α

Sea g(x) = f (x) +k−1

∑t=0

αixi para x ∈ R, con f como se definió en el ítem anterior.

Entonces d(g, (−r, r), 0) = d( f , (−r, r), 0) para r lo suficientemente grande.

Demostración. Tomemos la homotopía

(f (x) +

k−1

∑i=0

αixi

)(1 − t) + f (x)t. Por lo

tanto se tiene que.∣∣∣∣∣( f (x) +k−1

∑i=0

αixi)(1− t) + f (x)t

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣ f (x) + (1− t)

k−1

∑i=0

αixi

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣ f (x + sk−1

∑i=0

αixi)

∣∣∣∣∣≥ | f (x)| − |s|

∣∣∣∣∣k−1

∑i=0

αixi

∣∣∣∣∣≥ | f (x)| −

∣∣∣∣∣k−1

∑i=0

αixi

∣∣∣∣∣≥ | f (x)| −

k−1

∑i=0|αi||xi|

= |α||x|k −k−1

∑i=0

αi||xi|

> 0

con s = (t− 1) y |x| grande.

44

Grado Topológico

Ejemplo 4. Sea f : R2 → R2 definido por f1(x, y) = x3 − 3xy2 y f2(x, y) = −y3 + 3x2y, ysea a = (0, 1). Entonces d( f , B2(0), a) = 3

Demostración. Tenemos que la matriz Jacobiana tiene la forma(3x2 − 3y2 −6yx

6xy −3y2 + 3x2

)

y su jacobiano es 9(x2 + y2)2=9 al evaluarlo en el punto (1, 0). Calculemos f−1(1, 0). Enefecto, Tenemos el sistema x3 − 3xy2 = 1, −y3 + 3x2y = 0. Solucionando el sistema setiene que hay solución para y = 0, y =

√3

2 , x = 12 . Por lo tanto

f−1(1, 0) = (12 , 0), (1

2 ,√

32 ), (1

2 , −√

32 )

Entonces

d( f , B2(0), a) = ∑x∈ f−1(1,0)

sgn J f (x)

= sgn(9(14)2) + sgn(9) + sgn(9)

= 3

Que es lo que se deseaba mostrar.

Ejemplo 5. Sea Ω un abierto y acotado, f ∈ C(Ω), g ∈ C(Ω) y |g(x)| < | f (x)| sobre ∂Ω.Entonces d( f + g, Ω, 0) = d( f , Ω, 0).

Demostración. Tomemos la homotopia natural ( f (x) + g(x))t + (1− t) f (x) de donde setiene que

|( f (x) + g(x))t + (1− t) f (x)| = |g(x)t + f (x)|≥ ||g(x)t| − | f (x)||≥ | f (x)| − |g(x)|> 0

Para x ∈ ∂Ω y t ∈ [0, 1]. Por lo tanto se concluye que d( f + g, Ω, 0) = d( f , Ω, 0)

45

Grado Topológico

Ejemplo 6. El sistema 2x + y + sin(x + y) = 0, x− 2y + cos(x + y) = 0 tiene una soluciónen Br(0) ⊂ R2, donde r > 1

Demostración. Usemos el teorema de punto fijo de Brouwer. Del sistema de ecuacio-

nes tomemos y =x + cos(x + y)

2y x =

y + sin(x + y)−2

. De donde tomamos la función

G(x, y) =(

y + sin(x + y)2

,x + cos(x + y)

2

).

Sea (x, y) ∈ D entonces.

∣∣∣∣(y + sin(x + y)2

,x + cos(x + y)

2

)∣∣∣∣ =√(

(y + sin(x + y))2

4

)=

√y2 + x2 + 2y sin(x + y) + 2x cos(x + y)

2≤ r

De donde se tiene que

|y2 + x2 + 2y sin(x + y) + 2x cos(x + y)| ≤|y2 + x2|+ 1 + |2y cos(x + y) + 2x cos(x + y)|≤|y2 + x2|+ 1 + 2|(x, y) · (cos(x + y), sin(x + y))|

≤|y2 + x2|+ 1 + 2|x2 + y2| 12

≤4r2

De donde se tiene que r2 + 1 + 2r ≤ 4r2 es decir 0 < 3r2 − 2r− 1

Por lo tanto r > 1, solucionando la cuadrática y tomando la parte que nos interesa quees la parte positiva.

Esto indica que el sistema tiene solución para r > 1 que es lo que se quería mostrar.

Ejemplo 7. Sea Ω = B1(0) ⊂ R2m+1 y f : ∂Ω → ∂Ω continua. entonces existe un x ∈ ∂Ωtal que se tiene x = − f (x) o x = f (x).

Demostración. Por el Teorema (2.17) se tiene que x ∈ ∂Ω y λ 6= 0 tal que f (x) = λx.Como f esta definida sobre ∂Ω y el radio de la bola es 1, λ puede tomar solo dos valores1 o -1, por lo tanto x = f (x) o x = − f (x).

46

Grado Topológico

Este ejemplo se destaca en el trabajo ya que es una aplicación de la teoría de gradoa las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, cuyo objetivo es la búsqueda de solucionesperiódicas. En trabajos posteriores queda el garantizar la existencia de estas solucionesperiódicas y otras tantas cosas, usando los métodos analíticos de la teoría de gradotopológico.

Ejemplo 8. Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias u′ = f (t, u), dondeu′ = du

dt y f : R×Rn → Rn es w periódica en t es decir f (t + w, x) = f (t, x) para todo(t, x) ∈ R×Rn. por lo tanto es natural buscar soluciones w-periódicas.

Demostración. Supongamos que f es continua y también que hay un bola Br(0) tal quelos problemas de valor inicial

u′ = f (t, u), u(0) = x ∈ Br(0) (2.7)

y si observamos con cuidado y vemos que efectivamente se cumplen las condicionesde la proposición (1.1) y los teoremas de existencia y unicidad del capitulo anteriorpodemos concluir que se tiene una única solución u(t, x) sobre [0, ∞).

Ahora tomemos Ptx = u(t; x) y supongamos que f satisface las condiciones de frontera

〈 f (t, x), x〉 =n

∑i=1

fi(t, x)xi < 0 para t ∈ [0, w] y |x| = r. Entonces se tiene que Pt :

Br(0)→ Br(0) para cada t ∈ R+ y como

ddt|u(t)|2 =

ddt|u(t) · u(t)|

= |u′(t) · u(t) + u(t) · u′(t)|= 2|u(t) · u′(t)|= 2〈u′(t), u(t)〉= 2〈 f (t, u(t)), u(t)〉< 0.

Lo anterior sucede únicamente si la solución u de (2.6) toma valores en ∂Br(0) en eltiempo t. Por lo tanto Pt es continua, esto se sigue del hecho que (2.6) tiene una únicasolución. Ahora se puede usar el Teorema del Punto Fijo de Brouwer, esto es Pk tiene

47

Grado Topológico

un punto fijo xk ∈ Br(0) esto es u′ = f (t, u) tiene una única solución tal que u(0, xw) =

xw = u(w, xw).

Ahora se puede ver que V : [0, ∞) → Rn definida por v(t) = u(t − kw, xw) sobre[kw, (k + 1)w] es una solución periódica de u′ = f (t, u), u(0) = x ∈ Br(0). La funciónPw es llamada comúnmente como el operador de Poincare de u′ = f (t, u).

48

CAPÍTULO 3

Conclusiones

El estudio del problema x′(t) = f (t, x) x(t0) = y0 involucra las siguientes aspec-tos: la existencia de la solución, la unicidad o el número de soluciones, los conjun-tos donde habitan las soluciones y las propiedades heredadas de la solución porla función f .

El problema no lineal de resolver x′(t) = f (t, x) x(t0) = y0 se redujo en granparte a usar métodos lineales, para garantizar que existian soluciones al problemaplanteado.

Estos aspectos tienen métodos análiticos estándar para su solución. No obstante,vimos la utilidad de la Teoría del Grado para garantizar que la solución hereda laperdiocidad en el tiempo de la función f .

También vemos que la Teoría de Grado es una herramienta poderosa para garan-tizar la existencia de solución a ecuaciónes y sistemas de ecuaciones en Rn, nonecesariamente lineales.

49

Bibliografía

[1] L.V. Ahlfors. Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions of onecomplex variable. International series in pure and applied mathematics. McGraw-Hill, 1979.

[2] T.M. Apostol. Mathematical Analysis. Addison-Wesley, 1974.

[3] H. Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Sprin-ger Verlag, 2010.

[4] K. Deimling. Nonlinear functional analysis. Springer-Verlag, 1985.

[5] Morris W. Hirsh and Stephen Smale. Differential Equation, Dynamical System, andLinear algebra. Academic Press, inc, 1974.

[6] Kennet Hoffman and Ray Kunze. Algebra lineal. Prentice Hall, 1973.

[7] E. Kreyszig. Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley and Sons,1989.

[8] Serge Lang. Linear Algebra. Springer, 2000.

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REFERENCIAS

[9] W. Rudin. Principles of Mathematical Analysis. Mc Graw-Hill International Edtiions,3 edition, 1976.

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una aplicaciÓn del grado topolÓgico a ecuaciones...

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