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UNA MIRADA DIDÁCTICA A LOS
PROCESOS DE ARTICULACIÓN DE LOS
REGISTROS GRÁFICO CARTESIANO Y
SIMBÓLICO ALGEBRAICO: EL CASO DE
LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
WILLIAM HENRY QUIÑONES ORTIZ
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Posgrados de Ingeniería y Administración
Maestría En Enseñanza De Las Ciencias Exactas Y Naturales
Palmira.
2017
UNA MIRADA DIDÁCTICA A LOS
PROCESOS DE ARTICULACIÓN DE LOS
REGISTROS GRÁFICO CARTESIANO Y
SIMBÓLICO ALGEBRAICO: EL CASO DE
LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
WILLIAM HENRY QUIÑONES ORTIZ
Informe final de indagación presentado como requisito parcial para optar al título
de:
Magíster en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales.
Director (a):
Ph. D. Teresa Pontón Ladino
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Posgrados de Ingeniería y Administración
Maestría En Enseñanza De Las Ciencias Exactas Y Naturales
Palmira.
2017
Dedicatoria
A mi difunto padre Wilfrido Guillermo
Quiñones, por enseñarme la perseverancia e
impartir los valores y disciplina necesaria para
prosperar.
A mi madre Edita Ortiz por ser mi mejor fan,
por la devoción y porque siempre estar ahí
para levantarme cuando estoy por desfallecer.
Agradecimientos
A la universidad Nacional de Colombia por permitirme cursar el programa de Maestría en
Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales tan necesario para la comprensión de mi
papel como maestro y la transformación de mis prácticas en el aula.
A mi directora la Doctora Teresa Pontón Ladino, por ser una excelente profesional y ser la
persona con más paciencia del mundo, por enriquecer mi práctica docente al guiarme en
todo el trascurrir del programa de maestría y por compartir conmigo sus vastos
conocimientos en el área de las matemáticas.
A mis compañeros y amigos de la maestría Iván, Hans y Javier con quienes compartí
muchas alegrías y frustraciones, me ayudaron con correcciones y aportaron en la
elaboración de este trabajo.
A las directivas y estudiantes de grado 9-1 de la institución educativa Alberto Carvajal
Borrero, por su disposición y permitirme los espacios para el desarrollo de este trabajo.
A mi familia por el apoyo y buen consejo que me ayudaron a seguir adelante.
VIII Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
FICHA DE PRESENTACIÓN DE TRABAJO DE INDAGACIÓN
TÍTULO DEL TRABAJO DE GRADO:
Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Apellidos y Nombres del Autor: William Henry Quiñones Ortiz
Correo Electrónico: [email protected]
Tipo de Modalidad: Profundización
Énfasis: Matemáticas
Grupo de Investigación al cual se encuentra adscrito la directora del trabajo: GIIPLyM
(Grupo de Investigación Interdisciplinaria en Pedagogía del Lenguaje y las Matemáticas)
Directora del Trabajo de Grado: Ph. D. Teresa Pontón Ladino
Tiempo estimado para el desarrollo del proyecto de indagación (en meses): 14 meses
Palabras claves: Representaciones gráfica cartesiana y algebraica, Transformaciones entre
representaciones semióticas, Registro semiótico, Situación didáctica, Función cuadrática.
Resumen y Abstract IX
Resumen
En este documento se presentan los resultados y el proceso de un trabajo de indagación realizado en el marco de la maestría en ciencias exactas y naturales, en el cual se plantea una alternativa para la enseñanza y caracterización de la función cuadrática a través de la articulación de los registros semióticos de representación gráfico cartesiano y simbólico algebraico (expresiones canónicas y polinómicas). Este trabajo de indagación se realiza para presentar una solución al problema del desarrollo de pensamiento variacional detectado en los estudiantes del grado 9° de la institución educativa Alberto Carvajal borrero, los cuales presentan bajo desempeño en las pruebas nacionales e internas en cuanto a la interpretación de graficas cartesianas y manipulación de las expresiones algebraicas. Para desarrollar esta propuesta se tendrá como referencia el marco teórico de la teoría semiótica cognitiva desarrollada por Duval (1988a, 1998b, 1999, 2004, 2006) y Pontón (2008, 2011), los cuales plantean que ningún objeto matemático puede ser enseñado por fuera de los registros semióticos de representación y las transformaciones que se puedan realizar entre ellos. Desde esta perspectiva es posible evidenciar el potencial de los registros semióticos en la movilización del objeto matemático: las funciones cuadráticas, a partir de una estrategia de enseñanza multirregistro, es decir se consideraron los elementos teóricos cognitivos y semióticos planteados por Duval (1988, 1999).
Desde la perspectiva semiótico cognitiva se plantea la identificación de las variables visuales que ayuden al estudiante a una interpretación global de las gráficas cartesianas y a la correlación con las variables categoriales (constantes en las expresiones simbólicas algebraicas). La interpretación global facilitó el aprendizaje y el acercamiento a una objetivación de la función cuadrática, desde la articulación entre sus registros semióticos de representación, para este caso la representación gráfico cartesiano y simbólico algebraico de la función cuadrática.
Con el fin de repensar la enseñanza de la función cuadrática desde unas variables
semióticas y cognitivas, se realizó una secuencia didáctica, organizada en tres situaciones de aula que se diseñaron, aplicaron y analizaron de acuerdo con algunos elementos de la teoría de situaciones didácticas propuestas por Brousseau (1983, 1986, 1998, 2000) y el marco teórico semiótico cognitivo. Para el análisis de los resultados Se implementó el enfoque cualitativo de tipo descriptivo e interpretativo planteado Vasilachis (2006). Con esta secuencia de tareas se obtuvieron buenos, al conseguir que 22 de los 26 estudiantes realizaron los procesos de conversión entre las representaciones grafico cartesianas y simbólicas algebraicas y viceversa para el caso de la función cuadrática. Resultados que contribuyen a el acercamiento al aprendizaje del concepto de función cuadrática de los estudiantes del grado 9-1 de la institución educativa Alberto Carvajal borrero de Cali. Se logró que los estudiantes realizaran diferentes trasformaciones necesarias para articular los registros gráfico cartesiano y simbólico algebraico. En la aplicación de las situaciones didácticas, se pudo observar cómo la variación de las variables didácticas de diseño,
X Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
consideradas en las tareas, permitió a los estudiantes ir construyendo un acercamiento al concepto de función cuadrática a partir de las representaciones semióticas y al estudio de las características particulares de cada sistema de representación.
Palabras claves: Representaciones gráfica cartesiana y simbólica algebraica,
Transformaciones entre representaciones semióticas, Registro semiótico, Situación
didáctica, Función cuadrática, objetivación, variables visuales y variables categoriales.
Contenido XI
Abstract
This paper presents the results and the process of a research work carried out within the
framework of mastery in exact and natural sciences, in which an alternative is proposed for
the teaching and characterization of the quadratic function through the articulation of the
semiotic registers of Cartesian and symbolic algebraic representation (canonical and
polynomial expressions). This work of inquiry is made to present a solution to the problem
of the development of variational thinking detected in the students of grade 9 of the
educational institution Alberto Carvajal, who have low performance in national and internal
tests in the interpretation of Cartesian graphs and manipulation of algebraic expressions.
In order to develop this proposal, the theoretical framework of the cognitive semiotic theory
developed by Duval (1988a, 1998b, 1999, 2004, 2006) and Pontón (2008, 2011) will be
taken as a reference, which states that no mathematical object can be taught externally of
the semiotic registers of representation and the transformations that can be made between
them. From this perspective it is possible to highlight the potential of semiotic registers in
the mobilization of the mathematical object: the quadratic functions, based on a
multiregistered teaching strategy, that is, the cognitive and semiotic theoretical elements
proposed by Duval (1988, 1999) .
From the cognitive semiotic perspective, the identification of the visual variables that help
the student to a global interpretation of the Cartesian graphs and to the correlation with the
categorial variables (constants in the algebraic symbolic expressions) is proposed. The
global interpretation facilitated the learning and approach to an objectivation of the
quadratic function, from the articulation between its semiotic registers of representation, in
this case the Cartesian and symbolic algebraic graphic representation of the quadratic
function.
XII Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
In order to rethink the teaching of the quadratic function from semiotic and cognitive
variables, a didactic sequence was organized, organized in three classroom situations that
were designed, applied and analyzed according to some elements of the theory of didactic
situations proposed by Brousseau (1983, 1986, 1998, 2000) and the cognitive semiotic
theoretical framework. For the analysis of the results The qualitative approach of
descriptive and interpretative type was implemented Vasilachis (2006). With this sequence
of tasks, 22 of the 26 students carried out the conversion processes between the Cartesian
and symbolic algebraic graphical representations and vice versa for the case of the
quadratic function. Results that contribute to the approach to learning the concept of
quadratic function of the students of grade 9-1 of the educational institution Alberto Carvajal
borrero de Cali. Students were able to perform different transformations necessary to
articulate the Cartesian and symbolic algebraic charts. In the application of the didactic
situations, it was observed how the variation of didactic design variables, considered in the
tasks, allowed the students to construct an approach to the concept of quadratic function
from the semiotic representations and the study of the characteristics of each
representation system.
Keywords: Graphical representations Cartesian and symbolic algebraic,
Transformations between semiotic representations, Semiotic record, Didactic
situation, Quadratic function, objectivation, visual variables and categorial
variables.
Contenido XIII
Contenido
Pág.
VIII
Resumen ........................................................................................................................ IX
Lista de figuras ............................................................................................................. XV
Lista de tablas ........................................................................................................... XVIII
Introducción .................................................................................................................. 21
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INDAGACIÓN ........................................ 25 Planteamiento del problema .......................................................................... 25 Justificación ................................................................................................... 28 Objetivos........................................................................................................ 31
Objetivo General ................................................................................. 31 Objetivos Específicos .......................................................................... 31
Metodología de trabajo .................................................................................. 32 Situaciones didácticas ......................................................................... 33 Metodología de la indagación .............................................................. 35 Población de estudio ........................................................................... 37 Metodología de la aplicación de las situaciones didácticas ................. 41
2. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA ........................................... 43 Registros de representación .......................................................................... 43 La complejidad cognitiva de la conversión ..................................................... 49
Representaciones semióticas de gráficas cartesianas ........................ 58 Análisis matemático del Concepto de Función de dominio real ........... 64 Dominio e imagen ............................................................................... 65 Clasificación de las funciones desde representación algebraica ......... 67
Funciones cuadráticas de dominio Real ........................................................ 77
3. DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS ...................................................... 87 Análisis a priori de la Situación 1. .................................................................. 87
Análisis Tarea 1- situación 1. (T1/S1) .................................................. 88 Análisis tarea 2 – situación 1. (T2/S1) ................................................. 91 Análisis Tarea 3 – situación 1. (T3/S1) ................................................ 94 Análisis tarea 4 - situación 1. (T4/S1) .................................................. 97
Análisis a priori de situación 2. ..................................................................... 100 Análisis tarea 1 – situación 2. (T1/S2) ............................................... 100 Análisis tarea 2 – situación 2. (T2/S2) ............................................... 103
XIV Título de la tesis o trabajo de investigación
Análisis tarea 3 – Situación 2. (T3/S2) .............................................. 106 Análisis a priori de la situación 3. ................................................................ 109
Análisis tarea 1 – situación 3. (T1/S3) ............................................... 109 Análisis tarea 2 – situación 3. (T2/S3) ............................................... 112
Rejilla de análisis de las situaciones didácticas. .......................................... 115
4. ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS ...................... 117 Categoría 1. Análisis descriptivo de los resultados de la aplicación de las
situaciones ............................................................................................................. 118 Análisis descriptivo de las respuestas de la Situación 1. (S1) ........... 118 Análisis situación 2. (S2) ................................................................... 133 Análisis situación 3. (S3) ................................................................... 141
Categoría 2. Análisis de las variables visuales de la representación gráfica cartesiana de la función cuadrática. ....................................................................... 145
Análisis de la variable visual Concavidad .......................................... 145 Análisis de la variable visual Vértice ................................................. 153 Análisis de la variable visual Abertura ............................................... 162 Análisis de la variable visual Cortes con el eje � ............................... 165
Categoría 3. Análisis de las diferentes transformaciones necesarias para la objetivación de la función cuadrática...................................................................... 167
Expresar en lenguaje natural el comportamiento de una gráfica. ...... 167 Tratamientos realizados para transformar una expresión canónica a
una expresión polinómica ............................................................................... 168 Tratamientos realizados para transformar una expresión polinómica a
una expresión canónica .................................................................................. 168 Conversión entre la representación algebraica y la representación
gráfica cartesiana. ........................................................................................... 169 Conversión entre la representación gráfica cartesiana y la
representación algebraica. .............................................................................. 169 ANÁLISIS GENERAL .................................................................................. 169
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES DEL TRABAJO DE INDAGACIÓN . 173 ¿Qué implica el diseño de situaciones didácticas? ...................................... 173 Los referentes en la construcción de la función cuadrática desde una mirada
multirregistro .......................................................................................................... 175 Sugerencias y recomendaciones finales...................................................... 183
A. Anexo A: Situaciones didácticas ........................................................................ 185
B. Anexo B. Ejemplo de Respuestas de las situaciones. ...................................... 207
Bibliografía .................................................................................................................. 227
Contenido XV
Lista de figuras Pág.
Figura 1: Porcentaje de estudiantes según niveles de desempeño en matemáticas,
grado 9º 2014 Institución Educativa Alberto Carvajal Borrero. ........................................ 29
Figura 2: Características visuales de un gráfico tomado de Duval (2006, P.151) .......... 52
Figura 3: Tarea de comparación para analizar los vínculos entre las posibles variaciones
del contenido de la representación de dos registros, tomada de Duval (2006, p. 161). .. 57
Figura 4: Posibles transformaciones del Registro gráfico, tomada de (Duval 1988b, p. 6).
....................................................................................................................................... 63
Figura 5: Ejemplos de representaciones gráficas cartesianas y simbólicas algebraicas
de Funciones Polinomiales. ............................................................................................ 67
Figura 6: Ejemplos de representaciones gráficas cartesianas y simbólicas algebraicas
de Funciones Racionales. .............................................................................................. 69
Figura 7: Ejemplo de la representación gráfica cartesiana y simbólico algebraico de una
función Irracional. ........................................................................................................... 70
Figura 8: Ejemplos de representaciones gráficas cartesianas y simbólicas algebraicas
de Funciones Trigonométricas. ...................................................................................... 71
Figura 9: Ejemplos de representaciones gráficas cartesianas y simbólicas algebraicas de
Funciones Trigonométricas inversas. ............................................................................. 72
Figura 10: Ejemplo de representación gráfica cartesiana y simbólico algebraico de una
Función Exponencial de dominio real. ............................................................................ 73
Figura 11: Ejemplo de representación gráfica cartesiana y simbólico algebraico de una
Función Logarítmica en base 10. ................................................................................... 74
Figura 12: Ejemplo de representación gráfica cartesiana y simbólico algebraico de
funciones creciente y decreciente................................................................................... 75
Figura 13: Ejemplos de representaciones gráficas cartesianas y simbólicas algebraicas
de Funciones simétrica ................................................................................................... 76
Figura 14: Ejemplo de representación gráfica cartesiana y simbólico algebraico de
funciones Par e Impar. ................................................................................................... 76
Figura 15: Ejemplo de representación gráfica cartesiana y simbólico algebraico de una
función periódica. ........................................................................................................... 77
Figura 16: Representación Gráfica cartesiana de una Función cuadrática de dominio
real. ................................................................................................................................ 79
Figura 17: Representación gráfica cartesiana de función cuadrática la cual es cóncava
hacia abajo y se la ha variado la abertura. ..................................................................... 80
XVI Título de la tesis o trabajo de investigación
Figura 18: Representación gráfica cartesiana de función cuadrática la cual es cóncava
hacia arriba y se la ha variado la abertura. ...................................................................... 80
Figura 19. Gráficos de la tarea 1, situación 1. ................................................................ 89
Figura 20: Gráficas de la tarea 2, situación 1. ................................................................ 92
Figura 21. Gráficas de la tarea 3, situación 1. ................................................................ 95
Figura 22: Gráfica de la tarea 4, situación 1. .................................................................. 98
Figura 23: Gráficas de la tarea 1, situación 2. .............................................................. 101
Figura 24: Gráficas de la tarea 2, situación 2. .............................................................. 104
Figura 25: Gráficas de la tarea 3, situación 2. .............................................................. 107
Figura 26: Gráficas de la tarea 1, situación 3. .............................................................. 110
Figura 27. Gráficas de la tarea 2, situación 3. .............................................................. 113
Figura 28: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de la figura 1, (T1/S1). ............. 119
Figura 29: Ejemplo de Repuesta del estudiante de la figura 2, (T1/S1). ....................... 120
Figura 30: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de la figura 3, (T1/S1). ............. 121
Figura 31. Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de la figura 4, (T1/S1). ............. 122
Figura 32. Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de la figura 5, (T1/S1). ............. 123
Figura 33: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de la figura 6, (T1/S1). ............. 124
Figura 34. Ejemplo de la Repuesta de un estudiante de la figura 7, (T1/S1). ............... 125
Figura 35: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de la figura 8, (T1/S1). ............. 126
Figura 36: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 2. Situación 1. ................ 129
Figura 37: Repuestas de los estudiantes Tarea 3. Situación 1. .................................... 130
Figura 38: Repuestas de los estudiantes Tarea 4. Situación 1. .................................... 133
Figura 39. Repuestas de los estudiantes Tarea 1. Situación 2. .................................... 135
Figura 40: Repuestas de los estudiantes Tarea 2. Situación 2. .................................... 138
Figura 41: Repuestas de los estudiantes Tarea 3. Situación 2. .................................... 140
Figura 42: Repuestas de los estudiantes Tarea 1. Situación 3. .................................... 142
Figura 43: Repuestas de los estudiantes Tarea 2. Situación 3. .................................... 144
Figura 44: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de las figuras 1 y 2, (T1/S1). ... 146
Figura 45: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de las figuras 4 y 5, (T1/S1). ... 147
Figura 46. Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de las figuras 7 y 8, (T1/S1). ... 147
Figura 47: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de las figuras 1 y 3, (T2/S1). ... 148
Figura 48: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de las figuras 3 y 6, (T3/S1). ... 149
Figura 49: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes del cálculo de los coeficientes b y
c (T4/S1) ....................................................................................................................... 150
Figura 50: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 1 – Situación 2. ............. 151
Figura 51: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes tarea 2 – Situación 2. .............. 152
Figura 52: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes tarea 3 – Situación 2. .............. 153
Figura 53: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes figuras 1, 2 y 3 (T1/S1). .......... 154
Figura 54: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes figuras 4 y 5 (T1/S1). .............. 155
Figura 55: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes figuras 6 y 7 (T1/S1). .............. 156
Figura 56. Ejemplos de Repuestas de los estudiantes figura 8 (T1/S1). ...................... 156
Figura 57: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 2 – Situación 1. ............. 157
Figura 58: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 3 – Situación 1. ............. 158
Figura 59: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 1 – Situación 2. ............. 159
Contenido XVII
Figura 60. Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 2 – Situación 2. .............160
Figura 61: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 3 – Situación 2. .............161
Figura 62: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 4 – Situación 1. .............163
Figura 63. Ejemplo de las Repuestas de los estudiantes Tarea 1 – Situación 3. .........163
Figura 64. Ejemplo de las Repuestas de los estudiantes Tarea 2 – Situación 3. .........164
Figura 65. Ejemplo de las Repuestas de los estudiantes Tarea 3 – Situación 2. .........165
Figura 66. Ejemplo de las Repuestas de los estudiantes Tarea 1 – Situación 3. .........166
Figura 67: Ejemplo de las Repuestas de los estudiantes Tarea 2 – Situación 3. .........167
Contenido XVIII
Lista de tablas Pág.
Tabla 1: Ejemplos de trasformaciones (conversión y tratamiento) .................................. 47
Tabla 2: Conversión entre escritura algebraica de relaciones y gráficas cartesianas.
Tomada de Duval (1999, P. 56). ..................................................................................... 48
Tabla 3: Registro de representaciones semióticas de la función cuadrática. .................. 58
Tabla 4: Tres maneras de ver los gráficos cartesianos tomada de Duval (2004, p. 67) .. 59
Tabla 5: Variaciones visuales de la recta tomada de Duval (2004, p. 72) ....................... 61
Tabla 6: Ejemplos de gráficos cartesianos de relaciones entre variables. ....................... 65
Tabla 7: Diferentes representaciones de una función cuadrática de Dominio Real ......... 66
Tabla 8: Variaciones visuales de la función cuadrática con concavidad positiva ............. 83
Tabla 9: Variaciones visuales de la función cuadrática con concavidad negativa. .......... 84
Tabla 10: Posibles respuestas que pueden plantear los estudiantes para la tarea 1-
situación 1. ...................................................................................................................... 90
Tabla 11: Correspondencias esperadas por los estudiantes para la tarea 2- situación 1.94
Tabla 12: Posibles respuestas que pueden plantear los estudiantes para la tarea 3-
situación 1. ...................................................................................................................... 97
Tabla 13: Posibles respuestas que pueden plantear los estudiantes para la tarea 4 -
situación 1. ...................................................................................................................... 99
Tabla 14: Posibles respuestas que pueden plantear los estudiantes para la tarea 1 -
situación 2. .................................................................................................................... 102
Tabla 15: Posibles respuestas que pueden plantear los estudiantes para la tarea 2 -
situación 2. .................................................................................................................... 105
Tabla 16: Posibles respuestas que pueden plantear los estudiantes para la tarea 3 -
situación 2. .................................................................................................................... 108
Tabla 17: Posibles respuestas que pueden plantear los estudiantes para la tarea 1 -
situación 3. .................................................................................................................... 110
Tabla 18: Posibles respuestas que pueden plantear los estudiantes para la tarea 2 -
situación 3. .................................................................................................................... 114
Tabla 19. Rejilla de análisis de las situaciones didácticas. ........................................... 115
Tabla 20. Análisis de la figura 1, (T1/S1). ..................................................................... 119
Tabla 21: Análisis de la figura 2, (T1/S1). ..................................................................... 120
Tabla 22: Análisis de la figura 3, (T1/ S1). .................................................................... 121
Tabla 23: Análisis de la figura 4, (T1/S1). ..................................................................... 122
Tabla 24: Análisis de la figura 5, (T1/S1). ..................................................................... 123
Contenido XIX
Tabla 25: Análisis de la figura 6, (T1/S1). ......................................................................124
Tabla 26: Análisis de la figura 7, (T1/S1). ......................................................................125
Tabla 27: Análisis de la figura 8, (T1/S1). ......................................................................126
Tabla 28: Análisis de la Tarea 2, situación 1. ................................................................128
Tabla 29: Análisis de la Tarea 3, situación 1. ................................................................130
Tabla 30: Análisis de la Tarea 4, situación 1. ................................................................132
Tabla 31: Análisis de la Tarea 1, situación 2. ................................................................135
Tabla 32: Análisis de la Tarea 2, situación 2. ................................................................137
Tabla 33: Análisis de la Tarea 3, Situación 2. ...............................................................139
Tabla 34: Análisis de la Tarea 1, situación 3. ................................................................141
Tabla 35. Análisis de la Tarea 2, situación 3. ................................................................144
Introducción Por medio de este trabajo de indagación se buscó desarrollar una propuesta para la
enseñanza del concepto de función cuadrática, la cual parte del diseño de una secuencia
de tareas, su análisis a priori y a posteriori. Este trabajo tiene como finalidad replantear la
enseñanza de las funciones en la institución educativa Alberto Carvajal Borrero desde una
mirada multiregistro. Esta indagación surge desde la preocupación frente a los bajos
desempeños alcanzados por los estudiantes en las pruebas saber 9° y las pruebas internas
de la institución así como en las tareas y actividades realizadas en el aula, donde se hizo
evidente las dificultades de los estudiantes al enfrentarse a tareas que involucren gráficos
cartesianos y la articulación con expresiones simbólico algebraicas.
Estas tareas permitieron abordar la construcción del concepto de función cuadrática en el
grado noveno desde el enfoque semiótico cognitivo desarrollado por Duval (1988a, 1988b,
1999, 2004, 2006) y Pontón (2008, 2011). El diseño de las tareas se realizó con la finalidad
de brindar una alternativa a la enseñanza multirregistro de las representaciones gráfico
cartesiano y simbólico algebraico de las funciones, por medio de una estrategia
multirregistro la cual les permitirá a los estudiantes visualizar y analizar sobre el
comportamiento de la función cuadráticas en distintos sistemas de representación
(específicamente se consideró en este trabajo los registros gráfico cartesiano y simbólico
algebraico).
Para el desarrollo de este trabajo de indagación en el aula se identificaron las variables
visuales y variables categoriales distintivas de las representaciones gráfica cartesiana y
simbólico algebraica función cuadrática, de acuerdo con los requerimientos descritos por
Duval (1988b). Duval (1988a, 1988b, 1999) plantea las exigencias cognitivas que debe
tener un diseño didáctico para permitir a los estudiantes aprender a “ver” y “razonar”
diferentes representaciones desde lo que Duval denomino aprehensión global cualitativa.
Esta aprehensión hace énfasis en la importancia que tiene el cambio de registros de
22 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
representación semiótica (conversión) el cual es necesario para la construcción
significativa del conocimiento de los estudiantes de los objetos matemáticos.
En el desarrollo de este trabajo de indagación se consideraron los planteamientos teóricos
desarrollados por Duval (1988a, 1988b, 1999, 2004, 2006, 2016), con el fin de encontrar
una alternativa diferente para que el docente pueda movilizar los conceptos relacionados
con la enseñanza - aprendizaje de la función cuadrática. Este marco teórico se consideró
en el diseño de la situación didáctica (análisis a priori y a posteriori), así como se tuvo en
cuenta elementos teóricos sobre el diseño de unas situaciones didácticas planteado por
Brousseau (1983, 1986, 1998, 2000). Desde el marco teórico semiótico-cognitivo se
definieron variables visuales y variables categoriales de las representaciones
semióticas -descritas por Duval (1999, p. 27) como “un sistema de signos: el lenguaje,
la escritura algebraica o los gráficos cartesianos que pueden ser convertidas en
representaciones “equivalentes” en otro sistema semiótico”-, gráficas cartesianas y
simbólicas algebraicas. Estas variables permitieron llegar a una interpretación de los
cambios en las diferentes representaciones y entre representaciones, analizando los
elementos fundamentales de la función cuadrática lo que posibilitó un mejor entendimiento
del tema por parte de los estudiantes.
Este trabajo de indagación de desarrolla bajo un enfoque cualitativo de tipo descriptivo e
interpretativo planteado por Vasilachis (2006), la recolección de los datos se realizó por
medio de guías individuales en las cuales cada estudiante planteo las respuestas a las
tareas y la justificación de los procedimientos.
De acuerdo a las producciones de los estudiantes se pudo encontrar que la mayoría de
ellos 22 de 26 consiguieron realizar los procesos de conversión de entre las
representaciones semióticas gráficas cartesianas y simbólicas algebraicas y viceversa, de
lo que se pudo concluir que las tareas son pertinentes para la movilización del objeto
matemático (función cuadrática). La discriminación de las variables visuales y
categoriales de la función cuadrática permitió no solo la caracterización de la función
cuadrática, también realizar los tratamientos en los sistemas gráfico cartesiano y simbólico
algebraico, desde los procesos de conversión entre estos registros de representación.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INDAGACIÓN 23
Con base en lo planteado por Duval (2004) se diseñó, aplicó y analizó una situación
didáctica para la enseñanza de la función cuadrática, desde variables didácticas de orden
semióticas y cognitivas.
Este informe final del trabajo de indagación se ha dividido en 5 capítulos los cuales se
describen a continuación:
Capítulo 1: En este capítulo se realiza el planteamiento y la contextualización del
problema, se plantea las interrogantes a resolver con el trabajo de indagación, los objetivos
que orientan el proceso de indagación y la caracterización de los estudiantes que
participaron en el trabajo indagativo.
Capítulo 2: En este capítulo se plantean los fundamentos de la teoría semiótica cognitiva
desarrollada por Duval (1988a, 1988b, 1999, 2004, 2006) y Pontón (2008, 2011), sobre la
cual se centra las bases teóricas del trabajo de indagación. También se establecen las
variables visuales y categoriales particulares de los registros de representación
semióticos gráfico cartesiano y simbólico algebraico de la función cuadrática.
Capítulo 3: En este capítulo se presentan la secuencia de tareas diseñadas para la
situación didáctica las cuales se implementaron durante el trabajo de indagación. También
se presentan las posibles soluciones esperadas en las tareas y se realiza un análisis de
los propósitos didácticos de cada una de ellas. Además, en este capítulo se especifican
las variables de diseño que se tuvieron en cuentas para la realización de esta secuencia
de tareas. Por último, se muestra la rejilla de análisis que se tuvo en cuenta para el análisis
de los resultados.
Capítulo 4: En este capítulo se presentan los resultados de las producciones de los
estudiantes, desde el análisis de los mismos a partir de la rejilla de análisis construida.
Desde la rejilla se definieron las siguientes categorías de análisis: Análisis descriptivo de
las producciones de los estudiantes, análisis de la aproximación o ¨comprensión¨ las
diversas variables visuales y variables categoriales y el análisis de las diferentes
trasformaciones (tratamientos-conversiones).
24 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Capítulo 5: Se presentan las conclusiones del trabajo de indagación, con base en lo
desarrollado en el capítulo 4 y en la experiencia de aula durante el proceso de recolección
de los datos y su análisis desde los elementos del marco teórico seleccionado.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INDAGACIÓN 25
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INDAGACIÓN
Este capítulo busca contextualizar al lector con los aspectos generales del trabajo de
indagación, planteamiento del problema, justificación, antecedentes, objetivos y
metodología de trabajo.
Planteamiento del problema
En el desarrollo del pensamiento variacional una de las herramientas más potentes, pero
menos utilizada, es la representación gráfica cartesiana de las funciones. Entendiendo esto
no como el hecho que no se realicen gráficas en la escolaridad sino como lo plantea Duval
(1988a), el cómo al limitar el trabajo de aula únicamente a una ubicación puntos en el plano
cartesiano y al trazado de un grafo con regla, se restringe el uso de las representaciones
gráficas a una aprehensión icónica que no trasciende y por ende no consigue que los
estudiantes visualicen en la gráfica las características de lo que representa.
Por medio de las gráficas cartesianas se pueden modelar muchas situaciones cotidianas,
por esta razón son usadas en áreas de conocimiento como por ejemplo en la física para
analizar la modelación de situaciones donde involucran lanzamiento de proyectiles o
movimientos acelerados. Con este trabajo de indagación se pretende lograr que los
estudiantes aprendan a visualizar las diferentes características de una función en la
representación gráfico cartesiana y como se articular las variables visuales de las
representaciones gráficas cartesianas con las variaciones que se presentan en la escritura
simbólica algebraica. Es decir, analizar cómo cambia una variable, visual o categorial, con
respecto a otra, visualizando la relación entre las dos variables, y la relación con las
trasformaciones que se presentan en las representaciones gráficas cartesianas y las
26 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
representaciones simbólicas algebraicas.
Se tiene como hipótesis del trabajo indagativo que con la implementación, interpretación y
análisis del cambio de las variables visuales de un sistema gráfico cartesiano, puede
ayudar a desarrollar en los estudiantes un pensamiento variacional, articulando con un
registro simbólico algebraico (variables categoriales) permitirá una comprensión del
objeto matemático.
Duval (2006, p. 150) afirma que cuando los estudiantes se enfrentan con un tipo de tarea
de reconocimiento cualitativo, para la mayoría de ellos se presenta una dificulta al intentar
resolver la discriminación de un valor categorial o visual que se les pide, utilizando la
práctica habitual del trazado y lectura de los valores numéricos de las gráficas. Esto se
puede constatar una vez que se han enseñado las funciones y se les pide relacionar una
expresión simbólica algebraica y su gráfica cartesiana, debido a que los estudiantes no
cuentan con las herramientas para articular estas dos representaciones. En estas
condiciones el autor nos propone la siguiente interrogante, ¿qué poder de visualización o
qué soporte intuitivo tienen las gráficas cartesianas para la mayoría de estudiantes? Según
Duval (2006), estas representaciones no tienen ningún valor didáctico si no se reconocen
las características visuales de las curvas notables en matemáticas, más allá de la lectura
de pares ordenados de números e identificación aislada de puntos.
De acuerdo con lo planteado anteriormente y a lo descrito por Duval (2006), se diseñó una
serie de tareas las cuales permitieron contestar la pregunta planteada por Duval 2006:
¿cómo llevar a los estudiantes a la discriminación de las características visuales de la
gráfica que son matemáticamente importantes para la conversión, es decir cómo hacer
explícitas las trasformaciones entre la representación gráfico cartesiano y la
representación simbólica algebraica y viceversa? En otras palabras, “¿cómo ver las
características semánticas de una expresión simbólica algebraica a través de las
características visuales cualitativas de una gráfica cartesiana dibujada y viceversa? Para
solucionar este problema debemos tener en cuenta la forma que el sistema semiótico de
representación gráfico cartesiano puede representar objetos matemáticos (las relaciones
y no sólo las funciones)” Duval (2006, p. 151).
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INDAGACIÓN 27
Teniendo en cuenta la ley básica de funcionamiento semiótico: “Nada puede funcionar
como una representación fuera del sistema semiótico en el cual su significado toma
valor en oposición a otra representación dentro del sistema” Duval (2006, p. 151), y
contextualizando esta ley en el proceso de aprendizaje de función cuadrática, se hace
necesario que los estudiantes puedan identificar, con base en las variables categoriales
constantes de las expresiones simbólicas algebraicas, características visuales en el
sistema de representación gráfico cartesiano como: la concavidad, el vértice, el eje de
simetría entre otras.
La enseñanza del álgebra en el ámbito escolar puede estar acompañada de algunas
dificultades que presentan los estudiantes tanto en el entendimiento de las combinaciones
alfanuméricas como en entender lo que ellas representan; debido a que muchos
consideran que es difícil entender el cambio de los números por letras y que por tanto solo
es suficiente con operarlas aritméticamente, situación que no les permite ver y comprender
el lenguaje algebraico, como un elemento dinamizador del lenguaje de las matemáticas, lo
cual conlleva a no comprender ni contextualizar el verdadero significado de una variable,
de las expresiones equivalentes y de las operaciones con expresiones equivalentes. Como
consecuencia de estas prácticas docentes, los estudiantes son limitados a mecanizar
procesos sin comprender su significado ni establecer relaciones entre ellos, como lo
plantea Ballén (2012).
El MEN (1998) en los Lineamientos Curriculares establece que se debe proponer el
desarrollo del pensamiento variacional como uno de los logros para alcanzar en la
educación básica, lo cual presupone superar la enseñanza de contenidos matemáticos
fragmentados y compartimentalizados, para ubicarse en el dominio de un campo
conceptual, que involucra conceptos y procedimientos interestructurados y vinculados que
permitan analizar, organizar y modelar matemáticamente situaciones o problemas de
palabras, tanto de la actividad práctica del hombre, como de las ciencias y las propiamente
matemáticas donde la variación se encuentre como sustrato de ellas. Por lo tanto, por
medio de esta indagación nos proponemos articular los registros simbólicos algebraicos
con los registros gráficos cartesianos con el fin que el estudio de las variables visuales y
categoriales nos permitan tener un panorama más claro del comportamiento de la función
cuadrática y lo que requiere su aprendizaje.
28 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
El objeto de estudiar las representaciones de las gráficas cartesianas de la función
cuadrática y su articulación con el sistema de representación simbólica algebraica radica,
en que como plantea Duval (1988, p. 7), “la implementación de representaciones gráficas
como de todas las figuras permiten visualizar aquello que se estudia, y por tanto, posibilitan
tratamientos más “intuitivos”, más rápidos y más accesibles a quienes dominan menos los
registros de la escritura simbólica”. De acuerdo con esto se puede afirmar que uno de los
objetivos de este trabajo es identificar las características visuales distintivas de la función
cuadrática que permiten convertir una representación gráfica cartesiana a simbólica
algebraica y viceversa.
Con lo descrito anteriormente se puede plantear la siguiente pregunta para que se dé
respuesta con este trabajo de indagación.
¿Cuál es una secuencia didáctica diseñada para que los estudiantes de 9° de la institución
Alberto Carvajal Borrero de la ciudad de Cali, puedan identificar las características visuales
y categoriales las representaciones gráfica cartesiana y simbólica algebraica de la función
cuadrática y a partir de éstas realizar las trasformaciones (tratamientos y conversiones)?
Justificación
Debido a los bajos rendimientos de las pruebas saber 2014 obtenidos por los estudiantes
del grado 9º de la institución educativa Alberto Carvajal Borrero (ALCABO) en el área de
matemáticas, en el componente variacional y geométrica, ver figura 1, se hace imperioso
buscar formas alternativas de enseñanza de este componente con el fin de obtener un
mejor desempeño en las mismas.
Al efectuar una revisión de las preguntas realizadas en la prueba saber 9°(2014) en el área
de matemáticas y de acuerdo a el análisis de los docentes del área, se pudo concluir que
el rendimiento de los estudiantes puede mejorar si aprehenden a realizarán procesos de
visualización e interpretación de figuras y gráficas cartesianas. Por este motivo mediante
este trabajo se buscó diseñar e implementar una secuencia didáctica que permitiera a los
estudiantes desarrollar la capacidad de visualizar e interpretar una representación gráfica
cartesiana de la función cuadrática y a partir de ahí obtener sus características visuales.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INDAGACIÓN 29
Con base en estas características visuales y categoriales, la secuencia construye el
aprendizaje de las transformaciones de un registro simbólico algebraico a una
representación gráfica cartesiana y viceversa, esto se realiza para el caso de la función
cuadrática lo que Duval (1999) llama conversión.
Figura 1: Porcentaje de estudiantes según niveles de desempeño en matemáticas, grado 9º 2014 Institución Educativa Alberto Carvajal Borrero.
Sobre la información presentada en la figura 1, la IE Alberto Carvajal en comparación con
los establecimientos educativos con puntajes promedio similares en el área y grado, el
establecimiento es, relativamente:
Fuerte en el componente Numérico
Muy débil en el componente Geométrico-métrico, representación y modelación
Muy fuerte en el componente Aleatorio
De acuerdo con la lectura de estos resultados presentados en la figura 1, donde el 75% de
los estudiantes del grado noveno obtuvieron un desempeño insuficiente o mínimo, la mayor
debilidad presentada por los estudiantes se encuentra en el análisis de la representación
cartesiana y algebraica y modelación de situaciones lineales y cuadráticas. En la reunión
de profesores del área de matemáticas (2014), se hizo evidente que los estudiantes del
grado 9º tienen un problema para ver e interpretar gráficos cartesianos y por lo tanto para
30 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
modelar situaciones con estos gráficos. Se podría decir, que se hace necesario replantear
la forma como se está llevando al aula de clases estos conocimientos, dado que se
considera como lo afirma Duval (1999): “la enseñanza de las matemáticas radica en la
enseñanza del contenido y no en la forma de representación”. Con base en esto se revisó
el currículo de la institución Alberto Carvajal Borrero se pudo notar que la enseñanza de
las funciones se ha limitado a la enseñanza de una serie de tratamientos de símbolos
algebraicos (en su mayoría mecánico y sin mucho sentido para los estudiantes) sin que
los estudiantes comprendan que son estas representaciones, por lo tanto no llegan a
comprender la interpretación de las diferentes representaciones gráficas cartesianas y
cómo relacionar estas representaciones gráficas cartesianas con los símbolos algebraicos
que están acostumbrados a tratar.
Lo anterior ratifica que el tema de la caracterización de las representaciones gráficas
cartesianas es de mucha importancia, debido a que aprender a ver las representaciones
gráficas cartesianas permite hacer una mejor interpretación de las mismas y por tanto
poder acceder de forma más fácil a la información que las gráficas contienen y a la
articulación con las expresiones gráficas cartesianas. Duval (1988b) y García (2011)
encontraron a través de sus estudios que la mayoría de los estudiantes no sobrepasan lo
que Duval (2006) llama aprehensión local por punteo y muy pocos consiguen llegar a la
aprehensión icónica y menos acceder por ellos mismos a una manera de aprehensión
global cualitativa correspondiente a la visualización matemática (ver tabla 4). Lo que
conlleva a que los estudiantes se limiten a la aplicación de una simple tarea de codificación,
la cual en su mayoría los estudiantes del grado 9° de la institución Alberto Carvajal Borrero
realizan mal, debido a que sumado a sus deficiencias para poder leer y decodificar una
representación gráfica cartesiana, presentan dificultades en la realización de los
tratamientos numéricos, por ejemplo:
El cálculo de un binomio cuadrado, donde elevan al cuadrado los dos
términos sin tener en cuenta la solución de productos notables.
Al resolver operaciones en las cuales se tiene un signo de agrupación, donde
no se aplica bien la propiedad distributiva.
En la aplicación de la potenciación donde multiplican la base por el
exponente.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INDAGACIÓN 31
y otros errores de orden algebraico que se han podido identificar a partir de
evaluaciones del área de matemáticas.
Debido a estas dificultades presentadas por los estudiantes se considera necesario
replantear la enseñanza de la función de tal manera que se pueda disminuir este tipo de
errores y significar las transformaciones entre representaciones aplicando las propiedades
que lo permiten. Para ello se utilizará el marco teórico planteado por Duval (1988a, 1988b,
1999, 2004, 2006, 2016) puesto que se considera que es necesario articular los registros
gráficos cartesianos de la función cuadrática con los registros simbólicos algebraicos, con
el fin de darles a los estudiantes herramientas para aprendan a observar los cambio de las
variables visuales de la gráfica cartesiana, al razonar sobre los cambios que producen
en las variables categoriales de las expresiones simbólicas algebraicas de la función
cuadrática. De esta manera, construir una comprensión del comportamiento variacional en
varios registros logrando que los estudiantes interioricen el concepto matemático, con lo
cual se espera reducir los errores en los cuales incurren los estudiantes.
Objetivos
Los objetivos planteados para el trabajo de indagación son los siguientes:
Objetivo General
Identificar, analizar y caracterizar la enseñanza de la función cuadrática a partir de sus
posibles transformaciones entre las representaciones semióticas gráficas cartesianas y las
simbólicas algebraicas.
Objetivos Específicos
1. Identificar el papel que juegan las trasformaciones: la conversión y el tratamiento de
representaciones semióticas en el aprendizaje de la función cuadrática.
2. Identificar las características visuales distintivas de la representación gráfica
cartesiana de la función cuadrática que permiten convertir en una representación
simbólica algebraica y viceversa.
32 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
3. Diseñar, aplicar y analizar una situación didáctica que permita describir
sistemáticamente las variables visuales y categoriales a tomar en cuenta para la
interpretación global de funciones cuadráticas.
4. Identificar las reglas de correspondencia semiótica entre el registro de la
representación gráfica cartesiana y la representación simbólica algebraica para la
construcción de las funciones cuadráticas.
Metodología de trabajo
Esta propuesta de indagación, está pensada desde el marco teórico semiótico cognitivo
desarrollado por Duval (1988a, 1988b, 1999, 2004, 2006, 2016), y se consideró en la
metodología elementos de la teoría de situaciones didácticas planteada por Brousseau
(1983, 1986, 1998, 1999, 2000, 2003) en la cual se tiene que la conceptualización de la
estructura didáctica está conformada por tres elementos en constante interacción: alumno,
maestro y saber. Este estudio se hará a través del diseño de una situación didáctica, la
cual será el resultado de un trabajo conceptual, centrada en el análisis de las variables
visuales y categoriales que deben tenerse en cuenta en el proceso de enseñanza del
concepto de función cuadrática.
Brousseau (2003, p.2) plantea que las condiciones de una de las utilizaciones particulares
de un conocimiento matemático se consideran como partes constitutivas de un sistema
llamado “situación”. De acuerdo con el autor “una situación es: por una parte, un juego
hipotético (que puede ser definido matemáticamente) y que puede manifestarse por las
decisiones (respecto) a los efectos observables (de las acciones) de un actuante sobre un
medio. Por otra parte, está destinado a interpretar la parte de las decisiones
observables de un sujeto real que están incluidas en su relación con un conocimiento
matemático determinado... Una situación es caracterizada en una institución por un
conjunto de relaciones y papeles recíprocos de uno o de varios sujeto(s) (alumno, profesor,
etc.) con un medio, apuntando a la transformación de este medio según un proyecto. La
situación permite «comprender» las decisiones del profesor y los alumnos, erronas o
convenientes”
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INDAGACIÓN 33
Situaciones didácticas
La teoría de situaciones didácticas planteada por Brousseau (1983, 1986, 1998, 1999,
2000, 2003) nos indica que las tareas que van a ser llevadas al aula pueden ser de dos
tipos:
Las Situaciones a-didácticas están definidas por Brousseau (2003, p.3) como:
“De acción: Es una situación donde el conocimiento del sujeto se manifiesta
solamente por decisiones, por acciones regulares y eficaces sobre el medio y donde
es insignificante para la evolución de las interacciones con el medio que el actuante
pueda o no identificar, aclarar o explicar el conocimiento necesario”
“De Formulación: Es una situación que pone en relación al menos dos actuantes
con un medio. Su éxito común exige que uno formule el conocimiento en cuestión
(bajo una forma cualquiera) con la intención del otro que lo necesita para convertirlo
en decisión eficaz sobre el medio. La formulación consiste para esta pareja de
actuantes en utilizar un repertorio conocido para formular un mensaje original, pero
la situación puede conducir a modificar este repertorio. Podemos deducir
teóricamente y verificar experimentalmente que una formulación «espontánea» de
conocimiento exige que este conocimiento exista previamente como modelo implícito
de acción en los dos actuantes”.
“De validación: Una situación de validación es una situación cuya solución exige
que los actuantes establezcan conjuntamente la validez del conocimiento
característico de esta situación. Su realización efectiva depende pues también de la
capacidad de los protagonistas de establecer juntos explícitamente esta validez. Ésta
se apoya en el reconocimiento por todos de una conformidad con una norma, de una
constructibilidad formal en un cierto repertorio de reglas o de teoremas conocidos,
de una pertinencia para describir elementos de una situación, y\o de una adecuación
verificada para resolverla. Implica que los protagonistas confronten sus opiniones
sobre la evolución del medio y se pongan de acuerdo según las reglas del debate
científico.
34 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Las Situaciones didácticas están definidas por Brousseau (2003, p.2) como:
“«Una situación modela lo que está en juego y las posibilidades de decisión de un
actuante en un determinado medio. Se elige de tal manera que la estrategia de
resolución no pueda aplicarse sino gracias a un determinado conocimiento
matemático, la aparición de esta decisión sin el uso por el actuante del conocimiento
contemplado es altamente improbable. El método que consiste en definir un objeto
matemático por un conjunto de relaciones que él es el único en satisfacer es clásico.
La única diferencia aquí es que el conjunto de las relaciones es un «juego» en sentido
matemático. La determinación de un conocimiento matemático por un problema
donde este conocimiento es la solución es un método tan antiguo como las
matemáticas. El TSDM es un teorización simplemente de este método. Existen
numerosas situaciones relativas a un mismo conocimiento. Del mismo modo,
numerosos conocimientos pueden intervenir en una única decisión. Uno de los
objetos de la teoría de las situaciones didácticas en matemáticas (T.S.D.M) es
clasificar las situaciones y por consiguiente los conocimientos en función de sus
relaciones y posibilidades de aprendizaje y enseñanza que ofrecen.»”
De acuerdo con lo planteado anteriormente el trabajo de indagación cubre los aspectos de
una situación didáctica (a didáctica) debido a que este se centra en la construcción del
conocimientos a partir de una serie de tareas las cuales requieren del conocimiento previo,
donde intervienen varios actores (alumnos, maestros) y sobretodo la actividad de
interpretar desde las decisiones observables de los estudiantes que están incluidas en su
relación con un conocimiento matemático determinado desde diferentes sistemas de
representaciones.
Para el diseño de las tareas, se tuvo presente elementos que plantea Brousseau (1986)
sobre el diseño didáctico. De acuerdo con esto se diseñaron tareas que permitieron
emerger el conocimiento en ámbitos escolares, considerando las relaciones, las
transformaciones y las reorganizaciones de las variables didácticas, lo cual permitió validar
desde el marco teórico la aceptación y construcción del conocimiento matemático.
Además, se concibe los espacios de clase de la indagación como ámbitos de producción
y de tomas de posición con relación al aprendizaje, a la enseñanza, al saber y todo lo que
la escuela permite producir. La secuencia consideró incorporar sólo una variable didáctica
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INDAGACIÓN 35
por tarea, con el fin de ir avanzando en la apropiación y congruencia entre los dos sistemas
de representación en los que se propone el inicio de la construcción de la función
cuadrática.
A la vez, Brousseau (1998) postula que para todo conocimiento matemático es posible
construir una situación didáctica, que puede comunicarse sin apelar a dicho conocimiento
y para la cual se puede determinar estrategias didácticas óptimas para el aprendizaje.
Además, el autor plantea que la concepción de la matemática como producto de la cultura
permite concebir la diferencia entre el conocimiento que se produce en una situación
particular y el saber estructurado y organizado a partir de sucesivas interpretaciones,
generalizaciones, puestas en discusión, interrelaciones y descontextualizaciones de las
elaboraciones que son producto de situaciones específicas. Resulta entonces que no se
puede acceder al saber matemático si no se dispone de diseño didácticos que involucren
adecuadas variables didácticas, en una construcción teórica que abarque dichas
relaciones entre las variables, en términos de Brousseau: “un medio sin interacciones
didácticas es claramente insuficiente para inducir en el alumno todos los conocimientos
culturales que se desea que él adquiera” (1986, p.20).
Se implementó un enfoque cualitativo de tipo descriptivo e interpretativo como lo plantea
(Vasilachis, 2006, p. 21):
“En un análisis cualitativo es fundamentalmente necesario dar cuenta de cada uno
de los pasos del proceso de investigación: tanto de la selección como de la
recolección de los datos, de su transcripción como de su análisis, de las decisiones
como de las justificaciones del muestreo, de la codificación como de las relaciones
entre conceptos, de la adaptación y/o modificación como de la creación de teoría”
Metodología de la indagación
De acuerdo con lo descrito Vasilachis (2006), este trabajo de indagación centra el análisis
en de los procesos presentados en las producciones de los estudiantes y la interpretación
de estas producciones de acuerdo al marco teórico seleccionado. Se describe como
emergen y se desarrollan los conceptos matemáticos a parir de la situación didáctica
planteada, desde la perspectiva semiótica cognitiva. Se utilizan tablas para cuantificar las
36 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
justificaciones o respuestas similares, con el fin visualizar patrones comunes que faciliten
la descripción de los procesos utilizados por los estudiantes y poder explicar las
características de los datos suministrados.
En el trabajo se centrará el análisis de las producciones en los procesos y no en la
cuantificación de los resultados, lo que permitirá verificar las hipótesis planteadas en este
trabajo de indagación. La descripción detallada de los procesos utilizados por los
estudiantes posibilitará identificar los elementos semióticos y cognitivos que se tendrán en
cuenta para la enseñanza de las funciones cuadráticas a partir de la articulación entre
diferentes representaciones semióticas.
Se consideró algunos elementos de la Teoría de las Situaciones didáctica TSD de
Brousseau (2000), en donde se realizó la indagación en el aula de los procesos cognitivos
– semióticos que permitieron la comprensión de las representaciones cartesiana y
simbólica de las funciones cuadráticas. En esta metodología se distinguieron durante la
ejecución del trabajo dentro y fuera del aula de clases las siguientes etapas:
Primera Etapa
Se puede denominar de revisión bibliográfica, la cual tiene como propósito establecer los
elementos teóricos generales y los conocimientos didácticos relativos al tema en estudio,
que deben ser atendidos para la construcción de la situación didáctica. En este caso, se
consideraron principalmente los trabajos de Duval (1998a, 1988b, 1999, 2016), Pontón
(2008, 2011), Brousseau (1983, 1986, 1998), considerando:
Revisión bibliográfica en torno a la naturaleza del concepto de la función cuadrática
(representación gráfica cartesiana y representación simbólica algebraica).
Diseñar y aplicar una prueba exploratoria para identificar las dificultades que
presentan los estudiantes para identificar e interpretar representaciones gráficas
cartesianas de la función cuadrática.
Realizar una revisión de textos escolares para tener una noción de cuál es la
propuesta de enseñanza que realiza los textos del tema función cuadrática.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INDAGACIÓN 37
Indagación en trabajos realizados sobre funciones cuadráticas: Representaciones,
con el fin de identificar los diferentes errores que surgen en la enseñanza del objeto
matemático
Indagación sobre las representaciones del concepto de funciones cuadráticas
desde sus organizaciones semióticas (visuales y categoriales)
Segunda Etapa
En esta etapa se diseñó y aplicó una situación didáctica.
Identificación y elección de las variables iniciales de comando, que permiten el
diseño de la situación, orientándola de tal manera, que permita la evolución en el
aprendizaje de los estudiantes. Es decir, la identificación de las variables visuales
y categoriales de las representaciones cartesiana y simbólica de la función
cuadráticas
Diseño de la situación didáctica: tareas y consignas para cada una desde las
variables definidas.
Trabajo de Campo en las aulas. Aplicación y toma de registros de la situación
didáctica diseñada.
Tercera Etapa
En esta etapa se organizó y sistematizó el conjunto de datos recolectados a lo largo de la
experimentación, es decir, en las observaciones realizadas al implementar la situación
didáctica, para lo cual se establecieron las categorías de análisis, se agruparon las
repuestas por similitud y se realizó el análisis de los resultados.
Población de estudio
Esta indagación se realizó en la institución educativa Alberto Carvajal Borrero de la ciudad
de Cali, con 26 estudiantes del grado noveno de educación básica. La población de la
indagación se presentará con detalle en la siguiente caracterización de estudiantes 9-1.
38 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Caracterización de la Institución Educativa Alberto Carvajal Borrero. (I.E.
ALCABO)
A continuación, se presentan los datos de la población de estudio empezando por una
breve reseña de la institución educativa hasta el grado donde se aplicaron los instrumentos
de recolección delos datos de la indagación.
Reseña histórica
La institución educativa Alberto Carvajal Borrero se creó mediante resolución número 1703
del 3 de septiembre del 2002, aclarada parcialmente por la resolución 2355 del 22 de
noviembre del 2002 emanadas de la secretaria de educación departamental del Valle del
Cauca, mediante la cual se ordena la fusión del Colegio Departamental “Alberto Carvajal
Borrero” con las Sedes de Primaria “Abraham Domínguez Vásquez” y “Cacique de
Guatavita”.
Su sede central de Bachillerato se encuentra en la Carrera 14 No. 58-00 de la actual
nomenclatura urbana de Cali, en el Barrio “El trébol” de la Comuna 8 de esta ciudad.
(Datos tomados de la secretaria de la Institución Educativa Alberto Carvajal Borrero, 2016)
Misión
La Institución Educativa “Alberto Carvajal Borrero”, de carácter oficial, ofrece a sus
estudiantes desde preescolar hasta la educación media, una formación Socio crítica y
técnica, directamente o mediante convenios interinstitucionales de formación, que les
permita desempeñarse en el ámbito laboral y académico a nivel superior, siendo agente
de cambio de su vida y de su entorno social. (Manual de convivencia Institución Educativa
Alberto Carvajal Borrero, 2016)
Caracterización de los Estudiantes.
La institución cuenta con estudiantes desde los cinco años en transición hasta estudiantes
con 19 años en la media técnica, el 54% de nuestros estudiantes son mujeres y el 46%
son hombres, aunque en la sede Cacique de Guatavita se brinda la educación inicial a
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INDAGACIÓN 39
estudiantes de tres y cuatro años (primera infancia), a través del convenio con la fundación
para el desarrollo de la educación (FUNDAPRE).
Un 50% de los estudiantes residen en la comuna ocho, donde se encuentra ubicada la
institución, el 20% residen en la comuna 13, y el 15% residen en la comuna 7 y el resto de
otras comunas con porcentajes muy bajos. (Datos tomados de la secretaría de la I. E.
Alberto Carvajal Borrero, a partir de las fichas de seguimiento de los estudiantes, (2016)).
Aproximadamente un 60% de los estudiantes tienen un grupo familiar compuesto por dos
a cuatro miembros, un 30% de los estudiantes cuentan en su núcleo familiar por cuatro a
seis miembros, y solo un 10% viven en un núcleo familiar compuesto por más de siete
personas.
En lo relacionado con el parentesco de las personas que viven es de notar que existe
también una cantidad considerable de familias mono parentales con madres, abuelas y
tías cabezas de familia.
En lo relacionado con el nivel de escolaridad de los integrantes del núcleo familiar un 70%
de los padres (papá y mamá) realizaron la secundaria completa.
También se tienen estudiantes oriundos de otros departamentos del país como del Cauca,
Nariño, eje cafetero, Chocó etc.
En lo relacionado con los servicios de salud, un 80% poseen afiliación a una Entidad
Promotora de Salud (EPS) o pertenecen al Sistema de Identificación de Potenciales
Beneficiarios de Programas Sociales (SISBÉN), pero hay un 15 % que no tienen ninguna
cobertura en salud y de un 5 % que se desconoce si tiene servicio de salud.
De acuerdo con los datos recolectados en las reuniones de padres de familia por los
directores de grupo, se puede percibir que el ambiente hogareño es poco agradable para
muchos de los jóvenes, debido a que sus padres discuten y pelean con frecuencia entre
ellos o en otras ocasiones las dificultades están entre hermanos, ambiente que riñe con
las necesidades de privacidad del adolescente y favorece comportamientos, aislamiento y
disminución del nivel de cohesión en las familias. Para muchos los amigos son un escape
y para otros su objetivo primordial ya que desean pertenecer y ser aceptados por un grupo.
40 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Entre los principales riesgos a los que se encuentran sometidos los estudiantes de la
Institución se tienen: (de acuerdo con los datos de la secretaria de la I. E. Alberto Carvajal
Borrero, 2016)
• Desintegración familiar y alto nivel de violencia intrafamiliar.
• Falta de tolerancia en la comunidad educativa.
• Inseguridad en las zonas cercanas a la institución.
• Proliferación de pandillas juveniles con nexos al interior de la institución.
• Alto riesgo de incurrir en consumo y distribución de sustancias psicoactivas.
Caracterización de los estudiantes Grado 9-1
Los estudiantes del grado 9-1 de la institución educativa Alberto Carvajal Borrero tienen
edades entre 14-19 años. De acuerdo a las reuniones de profesores de los grados 8 y 9
(datos tomados de actas de reunión agosto y noviembre de 2016) se reporta que un
porcentaje alto de los estudiantes presentan problemas de atención, lo cual se evidencia
en la realización de actividades, la disposición para realizar de manera concentrada las
actividades propuestas en las clases y las relaciones con sus compañeros. Los estudiantes
muestran poca capacidad de escucha, lo cual se evidencia en la falta de respeto a las
intervenciones de sus compañeros y a la poca de atención en clase.
De igual manera, los maestros reportan que un alto porcentaje de estudiantes presentan
apatía al trabajo realizado en clase y poca responsabilidad y compromiso frente al trabajo
que deben realizar en sus casas. Lo anterior, se refleja en los bajos promedios de
desempeño académico especialmente en las áreas de matemáticas, ciencias naturales e
inglés, que se presentan a través de los informes presentados por los docentes del área
de matemáticas al final de cada periodo (agosto y noviembre 2016).
La mayoría de los estudiantes pertenecen a familias disfuncionales, los padres de familia
en un gran porcentaje, no tienen estabilidad laboral, viven de la informalidad por lo cual
algunos de los estudiantes carecen de seguridad social, ya sea porque los padres no tienen
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INDAGACIÓN 41
un trabajo fijo o porque las entidades encargadas no les han asignado la afiliación al
SISBEN. (Datos tomados de la secretaría de la I. E. Alberto Carvajal Borrero, a partir de
las fichas de seguimiento de los estudiantes, (2016)).
Es creciente el consumo de sustancias psicoactivas (SPA), lo cual se presenta cada vez a
más temprana edad (12-13 años), lo cual puede ser un factor determinante en el
incremento de la violencia escolar, la apatía para las actividades académicas, deterioro de
la salud mental y física, pérdida de la autoestima y la ausencia de un proyecto de vida.
Metodología de la aplicación de las situaciones didácticas
La aplicación de las situaciones se realizó de manera individual con lo cual se buscaba
conocer la forma de afrontar cada estudiante las diferentes tareas, para la realización de
las tareas se utilizaron 6 sesiones de 2 horas de clases (4 horas de clase por cada
situación didáctica). En un segundo momento se organizaron parejas (grupos de trabajo)
para socializar y discutir las producciones individuales.
Para aplicar cada una de las situaciones se utilizó la siguiente metodología:
Los estudiantes se ubicaron en parejas con el propósito que realicen un trabajo
colaborativo.
Se realizó la lectura individual de la tarea a desarrollar
Los estudiantes resolvieron la tarea de acuerdo al ejemplo que se presenta al inicio
de la tarea.
En caso de que el enunciado no fuese entendido por los estudiantes, el docente
realizó una lectura del enunciado y despejaron las dudas con referencia al mismo.
El docente realizó intervenciones individuales y explica lo que requiere la tarea y
ejemplifica si es necesario.
El docente indagador recolectó las producciones de los estudiantes y realizó los
tratamientos de datos recolectados haciendo una agrupación y análisis de
respuestas similares.
42 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Se realizó el análisis de los datos recolectados desde el marco teórico de la teoría
semiótica cognitiva desarrollada por Duval (1988a, 1988b, 1999, 2004, 2006, 2016) y se
realiza el informe final con el reporte de los de resultados.
2. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA
Registros de representación
La semiótica o semiología es considerada una ciencia que trata de los sistemas de
comunicación dentro de las sociedades humanas y que se ocupa del estudio de los signos;
entendiendo por signo todo aquello que representa a otra cosa (Pontón, 2011). Desde el
punto de vista de las ciencias cognitivas (Duval, 1999), las representaciones son
consideradas como cualquier noción, signo o conjunto de símbolos (externos o internos)
que significan algo del mundo exterior o de nuestro mundo interior, según Álvarez (2012,
P. 15).
“Es posible representar en nuestra mente algo que percibimos con nuestros sentidos,
algo que vemos, olemos o sentimos, como también algo que nos imaginamos, Estas
representaciones, son construidas tanto por científicos (teoría científica) como por
cualquier otro sujeto (teoría intuitiva acerca del mundo)”.
Con respecto a lo anterior, Duval (1999, p. 15) argumenta que las representaciones
mentales y las representaciones semióticas no pueden oponerse como dominios
totalmente diferentes, dado que el desarrollo de las representaciones mentales se efectúa
como una interiorización de las representaciones semióticas, de la misma manera que las
representaciones mentales son una interiorización de las representaciones semióticas.
De acuerdo a lo planteado por Duval (1999, p 14), la semiosis es la aprensión o la
producción de una representación semiótica, y noesis los actos cognitivos para la
aprehensión conceptual de un objeto. De igual manera, el autor afirma que las
44 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
representaciones no solo son indispensables para fines de comunicación, sino que son
necesarias para el desarrollo de la actividad matemática, esto debido a que posibilitan
efectuar transformaciones sobre los objetos matemáticos. Dichas transformaciones
dependen directamente del sistema de representación utilizado. Duval (1999, p 15) plantea
que no hay noesis sin semiosis; debido a que es la semiosis la que determina las
condiciones de posibilidad y ejercicio de la noesis.
Hoy en día se considera que no es posible estudiar los fenómenos relacionados con el
conocimiento sin recurrir a la noción de representación: “las transformaciones matemáticas
no pueden efectuarse independientemente de un sistema semiótico de representación,
además esta función de transformación solo la pueden cumplir las representaciones
semióticas y no las representaciones mentales; por lo tanto, la utilización de
representaciones semióticas es primordial para la actividad matemática y parece serle
intrínseca” (Duval 1999, p 14). De acuerdo con esto se puede afirmar que la pluralidad de
sistemas semióticos de representaciones permite diversificar las representaciones de un
mismo objeto y de esta forma, amplía las capacidades cognitivas de los sujetos y por tanto,
sus representaciones mentales.
Duval (1999) nos plantea que para que exista comprensión en las matemáticas se debe
hacer distinción entre el objeto de estudio y su representación; por ejemplo, en los números
racionales, es muy común que los estudiantes los asocien con su representación numérico
fraccionaria y se deja de lado otras representaciones como la representación decimal o la
mixta, tomando éstas como un sistema de numeración diferente. Desde la perspectiva
semiótica cognitiva es esencial no confundir los objetos matemáticos; -los números, las
funciones, las rectas etc.-, con sus representaciones, -las representaciones decimales o
fraccionarias, los símbolos, los gráficos cartesianos y los trazados de las figuras-. Se debe
tener en cuenta que un mismo objeto matemático puede darse a través de
representaciones muy diferentes. Por tanto, es el objeto representado lo que lo importa y
no sus diversas representaciones aisladas, sin articular o coordinar (Deledicq et al, 1979,
citado por Duval, 1999).
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA 45
Toda confusión entre el objeto y su representación provoca, en un plazo más o menos
amplio, una pérdida en la comprensión: los conocimientos adquiridos se hacen
rápidamente inutilizables fuera de su contexto de aprendizaje, sea por no recordarlos, o
por que permanecen como representaciones “inertes” que no sugieren ninguna
transformación (Duval 1999, p 13). Dentro del proceso de enseñanza de los temas:
polinomios de grado 2 y función cuadrática en los grados 8 y 9 de educación básica, es
muy común observar que los estudiantes no relacionen la función cuadrática con su
representación algebraica (expresión polinómica) asumiendo que son dos temas distintos
e inconexos; por lo tanto, se denota que no hay un proceso de objetivación que le permita
a los estudiantes correlacionar las dos representaciones, como un mismo objeto de
estudio.
Muchos autores coinciden en afirmar que el problema de la distinción necesaria, entre un
objeto de estudio y su representación es un problema, dado que es muy común que los
estudiantes confundan el objeto matemático con alguna de sus representaciones y tomen
las otras como sistemas aislados e inconexos. García (2011) hace referencia a este
problema al mencionar que la confusión entre un objeto de estudio y su representación
conduce a una especie de aprisionamiento del objeto por el registro donde se ha producido
su representación y difícilmente podrá aplicarse fuera del contexto donde ha sido
generado, esto trae consecuencias graves para el ejercicio de las matemáticas porque la
fuerza de esta ciencia radica en la amplia aplicabilidad de sus conceptos.
Los registros representación semiótica definidos por Duval (1999, p. 29) deben cumplir las
tres actividades cognitivas inherentes a toda representación las cuales son:
“En primer lugar, construir una marca o conjunto de marcas perceptibles que sean
identificables como una representación de alguna cosa en un sistema determinado,
luego, trasformar las representaciones de acuerdo con las únicas reglas propias al
sistema, de modo que se obtengan otras representaciones que puedan construir una
ganancia de conocimiento en comparación con las representaciones iniciales. Por
último, convertir las representaciones producidas en un sistema de representaciones
46 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
en otro sistema, de manera tal que éstas últimas permitan explicar otras
significaciones relativas a aquello representado”.
En este sentido, para Duval (2004) la originalidad y la potencia del pensamiento
matemático vienen de aquellas interacciones entre la variedad de los registros semióticos
y sobre las posibilidades específicas de transformación que son propias a cada sistema o
las que son propias a cada pareja de sistemas. Desde los planteamientos del autor, las
transformaciones posibles de una representación semiótica son de dos tipos: tratamientos
y conversiones.
Un tratamiento T: es una transformación realizada a una representación semiótica
(RS) únicamente interna en un mismo registro semiótico de representación RSR,
usando solamente las reglas propias de funcionamiento representacional del
registro semiótico de representación. Un tratamiento T sería una transformación
interna al sistema o al registro: una transformación intrasistémica o intrarregistro;
pero T no se aplica propiamente al RSR de partida sino a cada RS de ese registro
y produce otra RS, que también es producida por el mismo RSR. Pontón (2011, p.
71).
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA 47
Tabla 1: Ejemplos de trasformaciones (conversión y tratamiento) Conversión: Lenguaje
natural –representación
simbólica algebraica
Conversión: representación simbólica algebraica-
representación gráfica cartesiana
Tratamiento
Si se lanza una pelota hacia arriba con una
velocidad inicial de 96 pies/segundo, entonces su altura después de t
segundos es: � = 96� − 16�� (Pies).
Determine la altura máxima que alcanza la
pelota.
� = 96� − 16��
En la representación gráfica se pueden observar que la altura máxima de la pelota corresponde al vértice de la parábola con coordenadas:
V = (3,144)
� = 96� − 16�� si completamos cuadrados
se obtiene la expresión canónica en la cual se
puede observar el vértice de la parábola
� = −16(�� − 6�) � = −16(�� − 6� + 3�−3�) � = −16(� − 3)� + 144
donde el vértice será:
V = (3,144)
La conversión C: es una transformación externa de un sistema o registro a otro,
es decir una transformación interregistro o trans-registro. C no se aplica
propiamente al RSR de partida, sino que convierte a una representación semiótica
RS de un objeto en otra representación semiótica RS del mismo objeto pero en un
registro semiótico diferente. En este caso, algunas propiedades del objeto que
pueden ser explícitas en una representación pueden no serlo en la otra, es decir,
el contenido de cada representación cambia en tanto cambie el sistema en el que
se produce. Pontón (2011, p 71).
x
y
48 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
y
x
x
y
Tabla 2: Conversión entre escritura algebraica de relaciones y gráficas
cartesianas. Tomada de Duval (1999, P. 56).
I II III I III
Sombrear
III II Escoger la expresión
1. El conjunto de puntos tiene una abscisa positiva
� > 0
67% 51%
2. Que tiene una ordenada negativa
� < 0
67% 61%
3. Cuya abscisa y ordenada son del mismo signo
�� ≥ 0
57% 25%
4. Cuya abscisa y ordenada son de signos contrarios
�� ≤ 0
35%
5. Cuya abscisa es superior a la abscisa (estando trazada la recta y=x)
� > �
38% 35%
y
y
x
x
y
x
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA 49
x
x
x
y
6. Cuya abscisa es superior a la abscisa (sin estar trazada la recta y=x)
� > �
19% 25%
7. Cuya ordenada es igual a la abscisa
� = �
% 35%
8. Cuya ordenada es opuesta a la abscisa
� = −�
% 35%
Mediante la tabla 2, Duval (1999, P. 56) muestra los resultados obtenidos en la indagación
realizada en 1988 con estudiantes del grado décimo. Los estudiantes debían realizar la
tarea de conversión, que consistía en escoger entre varias expresiones algebraicas
(� = �,� > �,� > 0,� = −�,�� ≤ 0… ) la que correspondiera al área sombreada en el
gráfico cartesiano. Con relación a esta tarea el autor concluye que este tipo de conversión
de registros genera en los estudiantes una serie de problemas “causados por la no-
congruencia de la conversión, lo que puede agravarse por el desconocimiento de alguno
de los registros de representación” Duval (1999, p57), de acuerdo con esto se hace
necesario abordar estas dificultades con el fin de poder identificarlas y plantear una
secuencia de tareas que permitan a los estudiantes superarlas.
La complejidad cognitiva de la conversión
Cuando se realiza un cambio en las representaciones de objetos matemáticos muchos
autores coinciden en afirmar que se presenta un salto cognitivo, tal y como nos lo explica
Duval (2007, p. 10).
y
y
50 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
“la palabra "conversión" respeta la complejidad cognoscitiva de este paso: no
reversibilidad, ausencia de reglas de codificación, variación de la "distancia
cognoscitiva" con arreglo a la naturaleza de ambos registros de representación entre
los cuales el paso se efectúa. Estas características cognoscitivas explican la
irreductibilidad, para enterándose de él (ella), de la diversidad de los registros de
representaciones utilizados en los pasos matemáticas”
Debido a la complejidad cognitiva para realizar dicho cambio de registros semióticos, y a
la ausencia de reglas de codificación, como si existen para realizar los tratamientos, esto
se debe a que cada registro de representación tiene sus propias reglas internas de
correspondencia.
La conversión no se reduce a una codificación. Si se considera la regla cartesiana de
codificación sería natural e inmediato trazar cualquier representación gráfica cartesiana a
partir de una expresión algebraica de una función o las soluciones de una ecuación o una
inecuación, lo cual cognitivamente no es un asunto de codificación, por lo tanto, no es ni
natural ni inmediato. Se puede observar que esta regla asocia puntos y pares de números,
lo que permite sólo una percepción numérica selectiva (puntual), y permite “leer” una
representación gráfica. Duval (2006) plantea que Sin embargo, usar esta regla para trazar
cualquier representación gráfica cartesiana, no lleva a visualizar las características
visuales que corresponden a las características categoriales de la expresión simbólica
algebraica convertida, porque estas características visuales son cualitativas y globales, y
no numéricas y locales, como si lo es la ubicación de puntos sin realizar una interpretación
global de la representación gráfica cartesiana: “Para poner en evidencia esta laguna
cognitiva basta con proponer una tarea de elección en la cual la habitual dirección de
conversión, que se enfoca sobre los aspectos numéricos mediante el trazo y la lectura, se
invierte”. Duval ((1996), citado por Duval (2006, p. 150)).
Para Duval (2006, p. 157) la actividad matemática debe satisfacer dos requisitos que
entran en conflicto:
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA 51
I. Los objetos de conocimiento (los números, las funciones y sus
propiedades...) no son accesibles físicamente, a través de evidencias
sensoriales directas o mediante el uso de instrumentos. La única forma de
acceder y
trabajar con ellos es a través de signos y representaciones semióticas. Sin
embargo, la necesidad de signos no se limita a esto, pues su principal papel
no es representar objetos matemáticos sino trabajar en ellos y con ellos,
sustituyendo unos signos por otros.
II. Los objetos matemáticos representados nunca deben confundirse con el
contenido de las representaciones semióticas utilizadas.
En estos dos requisitos conflictivos yace la paradoja cognitiva planteada por Duval (1993,
p. 38) con la que se tropieza la mayoría de estudiantes la cual indica que:
“Por una parte, el aprendizaje de los objetos matemáticos no puede ser más que un
aprendizaje conceptual y, por otra, es sólo por medio de representaciones semióticas
que es posible un actividad sobre los objetos matemáticos. Esta paradoja puede
constituir un verdadero círculo vicioso para el aprendizaje. ¿Cómo sujetos en fase
de aprendizaje no podrían confundir los objetos matemáticos con sus
representaciones semióticas si ellos no pueden más que tener relación solo con
dichas representaciones? La imposibilidad de un acceso directo a los objetos
matemáticos, fuera de toda representación semiótica, vuelve la confusión casi
inevitable. Y, al contrario, ¿cómo podrían ellos adquirir el dominio de los tratamientos
matemáticos, necesariamente ligados a las representaciones semióticas, si no tienen
ya un aprendizaje conceptual de los objetos representados? Esta paradoja es aún
más fuerte si se identifica actividad matemática con actividad conceptual y si se
consideran las representaciones semióticas como secundarias o extrínsecas”.
Esta paradoja suscita un profundo problema de comprensión que es específico del
aprendizaje de las matemáticas. La mayor dificultad para la comprensión es la posibilidad
52 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
de transferir lo que se ha aprendido a nuevos y diferentes contextos, dentro y fuera de las
matemáticas, y esto siempre implica la actividad cognitiva de la conversión de
representaciones semióticas. Sea cual sea la orientación de la enseñanza de las
matemáticas, a los problemas de la vida real o la enseñanza de conceptos y
trasformaciones de representaciones, la mayoría de estudiantes se detienen en este
umbral de conversión de representación. Para ellos hay tantos objetos diferentes
representados como contenidos de representación usados. (Duval 2006, p. 158).
Figura 2: Características visuales de un gráfico tomado de Duval (2006, P.151)
En la figura 2 Duval (2006, p. 151), plantea que para poder hacer visible una característica
visual en la representación gráfica de una función se debe realizar una comparación por
oposición de dos gráficas cartesianas, en las cuales se varíe dicha característica con el
objetivo que los estudiantes puedan ver como se produce un cambio en la representación
gráfica cartesiana al realizar un cambio en la variable categorial de la expresión algebraica
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA 53
(por ejemplo, el valor de “�” de la expresión polinómica o canónica). La figura 2 muestra
cómo cambia la representación gráfica cartesiana de la línea recta cuando se varía la
pendiente y luego como cambia la representación gráfica de la línea recta cuando se
traslada, es decir cuando no pasa por el punto (0,0).
“El isomorfismo matemático entre dos representaciones nunca involucra su isomorfismo
cognitivo, y a fortiori no puede ser reconocido por los estudiantes” (Duval 2006, p. 158).
Frente a la aproximación dualista donde la necesaria mediación semiótica es externa y
posterior a la comprensión conceptual, las representaciones semióticas se deben tomar en
consideración en el análisis del pensamiento matemático (Duval p. 158).
La comprensión no significa dar un salto desde el contenido de una representación hasta
el concepto puramente matemático representado, sino en relacionar diversos contenidos
en las representaciones del mismo concepto. No existe una “mediación semiótica”
homogénea sino varias que tienen poco o nada en común. Y como se puede ver en la
figura 2 los contenidos de representación dependen no sólo de lo que es representado sino
también de los sistemas de representación usados. Por eso la comprensión matemática
requiere una coordinación interna entre los diversos sistemas de representación
semióticos posibles que se pueden elegir y usar (Duval, 1999). Por tanto, sin desarrollar
esta coordinación interna los estudiantes no pueden llegar a la conversión de
representaciones semióticas.
La habilidad para movilizar diversas representaciones conjuntamente de manera
interactiva, o en paralelo, depende del desarrollo de la coordinación entre registros de
representación y la comprensión conceptual surge del desarrollo de dicha coordinación.
En otras palabras, lo que afirma Duval (2006), es que lo más importante para la enseñanza
de las matemáticas no es la elección del mejor sistema de representación sino lograr que
los estudiantes sean capaces de relacionar diferentes maneras de representar los
contenidos matemáticos. De acuerdo con esto, se podría afirmar que las representaciones
de un objeto matemático posibilitan ver dicho objeto desde varios registros de
representación y así poder visualizar de una mejor manera su comportamiento y facilitar
54 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
su aplicación o asociación a un contexto; por ejemplo, si se conocen las representaciones
en diferentes registros semióticos de la función cuadrática es más fácil asociar estas
representaciones en los problemas de aplicación, por ejemplo en física cuando se estudia
movimiento parabólico.
¿Cómo hacer que los estudiantes entren en el complejo y amplio funcionamiento de
la conversión de representación?
Desde la experiencia en el aula se ha podido constatar que es importante que los
estudiantes usen tanto representaciones simbólicas algebraicas como representaciones
gráficas cartesianas, representen modelos espaciales y numéricos e identifiquen el mismo
patrón en diferentes representaciones, demostraciones y contextos. Pero el tema principal
como profesores y para fines indagativos es, como mencionan Duval (2006) y Pontón
(2008), saber cuáles son los tipos de tareas y actividades para lograr que los estudiantes
realicen la conversión entre los sistemas de representación semiótica simbólica algebraica
y gráfica cartesiana y viceversa.
Desde la perspectiva semiótica cognitiva en las tareas se debe exponer varias posibles
representaciones del mismo objeto de estudio y generar trasformaciones entre ellas. En el
caso de lo numérico no sólo centrar el trabajo en el aula en lo numérico, sino también
representaciones figurativas, representación en la recta numérica, representación
numérica en porcentajes, numérico fraccionaria, numérica mixta (números poligonales); en
el caso de las funciones su representación simbólica algebraica y su representación gráfica
cartesiana (exposición visual de las correspondientes líneas, curvas, superficies...), las
tareas deberían presentarse de tal manera que se pueda relacionar palabras con
imágenes.
Pero desde un punto de vista didáctico, en el aula de clase la mayoría de las tareas
planteadas se centran en un sólo tipo de representación (numérico) desconociendo otro
tipo de representaciones, lo que no posibilita que se realiza un contraste entre las
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA 55
representaciones de un mismo objeto, lo que no permite realizar algún tipo de conversiones
en el objeto de estudio. En este sentido, se polariza el proceso de aprendizaje, el cual es
limitado a una mecanización de procesos aritméticos o algebraicos.
Toda representación comporta dos dimensiones semánticas: la del contenido que
representa, que es intrínseca al registro semiótico de representación movilizado, y la del
objeto que representa, que es independiente del registro semiótico de representación
movilizado. Así, el contenido de una representación gráfica cartesiana puede ser una recta,
una parábola, un círculo, etc. Son tres contenidos visualmente, es decir gestálticamente,
muy diferentes. Representan tres objetos matemáticos: dos funciones de categorías
diferentes (lineal y cuadrática respectivamente) y una relación que no es una función pero
que caracteriza un objeto geométrico. En este ejemplo se puede ver entonces que la
yuxtaposición de dos representaciones de un mismo objeto en dos registros semióticos de
representación diferentes no puede resolver el problema cognitivo del reconocimiento del
mismo objeto representado, porque las diferencias de contenido de las representaciones
varían independientemente de los objetos representados.
Ante lo anterior Duval (2006, p. 159-160) plantea que aparecen dos situaciones opuestas
de reconocimiento del objeto de estudio:
1. Reconocer el mismo objeto en dos representaciones cuyos contenidos son muy
diferentes porque corresponden a dos registros semióticos de representación
diferentes (una representación algebraica polinómica de primer grado y el grafo de
una recta; una representación algebraica polinómica de segundo grado y el grafo
de una parábola, etc.). Aquí una simple asociación como la que relaciona palabras
con imágenes puede ser suficiente, a condición de limitarse a casos simples y
estandarizados.
2. Reconocer dos objetos diferentes en dos representaciones cuyos contenidos
parecen semejantes porque corresponden al mismo registro semiótico de
representación, como por ejemplo, dos grafos que son visualmente rectas o
parábolas, o entre dos enunciados de problemas que utilizan las mismas palabras
56 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
y describen la misma situación real (como por ejemplo los problemas aditivos o los
problemas de proporcionalidad, etc.). En este caso para convertir una u otra de
estas dos representaciones es necesario hacer una doble discriminación. Por una
parte, ser capaz de ver diferencias entre dos representaciones que parecen
globalmente semejantes y, por otra parte, ser capaz de distinguir en las
representaciones de un registro las características del significante que son
matemáticamente pertinentes, para relacionarlas con una representación en otro
registro, y las características significativas en un registro semiótico que no lo son
para la conversión en el otro registro semiótico.
La capacidad para convertir en la situación de reconocimiento 1 (Reconocer el mismo
objeto en dos representaciones) depende totalmente de la capacidad para convertir en la
situación 2 (Reconocer dos objetos diferentes), y no a la inversa. Las respuestas correctas
de los estudiantes basados únicamente en el mecanismo de la asociación son ocasionales
y no significativas para la comprensión y la adquisición, porque el mecanismo de asociar
no permite ninguna transferencia o, si se prefiere un término menos psicológico, ninguna
aplicación, cuando las variaciones de contenido se alejan de las presentaciones
estandarizadas. Se entiende entonces la limitación que tienen las actividades didácticas
que se apoyan en una yuxtaposición simultánea de varias representaciones de un mismo
objeto (sin buscar la coordinación entre representaciones), se limitan a un reconocimiento
mediante asociaciones que son particulares en cada caso.
La estructura de la tarea cognitiva que subyace en estas actividades no ofrece las
condiciones que permiten tomar conciencia de esta doble discriminación necesaria para la
conversión de las representaciones. En las tareas de reconocimiento por asociación, las
variaciones de representación están consideradas según una de las dos dimensiones
semánticas constitutivas de toda representación semiótica, la del objeto representado,
dado que siempre se introducen o requieren en contextos de problemas en los que se
quiere variar el contenido numérico y se limitan al cálculo mecánico de las constantes
propias de la representación simbólica algebraica.
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA 57
En este tipo de tareas se excluye por tanto el análisis de las variaciones de contenido entre
varias representaciones de un mismo registro. Entonces, ¿cómo los alumnos, podrían
entender que tres variaciones visuales diferentes distinguen matemáticamente las dos
gráficas? ¿Cómo pueden los estudiantes a partir de ese tipo de tareas construir una red
cognitiva de oposiciones que permitan diferenciar las gráficas entre sí? Para que puedan
comprender esto, Duval (2006), propone diseñar tareas que tengan dos dimensiones
semánticas tomando como variable independiente la variación del contenido visual del
registro inicial. De acuerdo con lo anterior Duval en la figura 3, presenta una tarea de
comparación para determinar las variaciones del contenido de la representación semiótica
de dos registros y su correspondencia.
Figura 3: Tarea de comparación para analizar los vínculos entre las posibles variaciones del contenido de la representación de dos registros, tomada de Duval (2006, p. 161).
58 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Representaciones semióticas de gráficas cartesianas
Las representaciones gráficas cartesianas son representaciones semióticas en la misma
medida en que lo son las representaciones geométricas, la escritura algebraica o la lengua
natural. Esto quiere decir que la representación visual (para las representaciones gráficas:
trazos rectos o curvos, trazos sobre un plano marcado) tiene leyes de organización que le
son propias, que le permiten representar alguna cosa (funciones u otros objetos
matemáticos). Estas representaciones semióticas tienen dos aspectos: su forma (o lo
representante) y su contenido (o lo representado). La forma cambia según el sistema
semiótico utilizado: hay varios registros posibles de representación para un mismo objeto,
y cada uno corresponde a un tipo de tratamiento cognitivo, entre los cuales están el registro
gráfico cartesiano, el registro de representación de escritura simbólica (algebraica) y el
registro de representación lingüística, estos registros de representación semiótica se
muestran en la tabla 3 para la función cuadrática.
Tabla 3: Registro de representaciones semióticas de la función cuadrática.
Registro de representación gráfica
Registro de Representación de escritura simbólica
algebraica
Registro de representación
lingüística / escritura simbólica algebraica
� = ��
�(�)= ��
Función cuadrática
La función para calcular el ingreso por las ventas de n pilas está determinado por la función: �(�)= −0,02�� + 10� Determine el ingreso máximo.
Duval (2004) plantea que los gráficos cartesianos se utilizan siempre en articulación con
otros registros de representación semiótica y además deben permitir tratamientos
cualitativos propios a ese modo de visualización: interpolación y extrapolación, las
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA 59
representaciones gráficas se pueden ver de tres maneras: una puntual que da la
indicación de un valor en un momento determinado, una icónica que evoca lo alto y lo
bajo, las subidas suaves o abruptas a partir del nivel base. Y una tercera la cual Duval
(2004, p. 67), llama de “aprehensión global cualitativa” (ver tabla 4). Esta aprehensión
es muy diferente de la aprehensión icónica que se limita a una interpretación analógica con
la experiencia de los desplazamientos Reales en una ciudad; en la tabla 4, Duval (2004,
p.67) indica las características que se deben identificar en una representación gráfica
cartesiana de acuerdo al tipo de visualización que se realice.
Tabla 4: Tres maneras de ver los gráficos cartesianos tomada de Duval (2004, p. 67)
Tres maneras de VER Lo que es OBSERVADO Lo que es IDENTIFICADO
I. Aprehensión LOCAL POR PUNTEO (solo se retienen
puntos considerados aisladamente)
Asociaciones (puntos, parejas de números)
Una asociación entre dos valores numéricos la regla de la
construcción es una regla de codificación: un punto de
intersección sobre un plano según dos ejes graduados (la
figura fondo) corresponde a una pareja de números.
II. Aprehensión ICÓNICA (la
imagen de una “tendencia”)
Desplazamientos de subida o bajada en relación con un nivel
horizontal
Una analogía con cambios de posición en el espacio físico real
(estar más alto, más bajo), relieve…
III. Aprehensión GLOBAL
CUALITATIVA (se trata de poder discriminar las características de lo grafos de la misma forma o no)
Formas D1 (rectas, curvas) o D2 (zonas) que tienen características figúrales intrínsecas y características extrínsecas: orientación en relación con los dos ejes, y posición (intersección) en relación a los ejes. Un grafo es la figura que se destaca de la figura fondo de los ejes.
Una relación entre dos variables definidas sobre dos conjuntos de
valores.
El punto importante de la comparación de estas tres maneras de ver un gráfico cartesiano
está en el hecho en que no se basan en la discriminación de las mismas unidades visuales
como nos muestra la tabla 4 y más particularmente en que la discriminación de las
características figurales intrínsecas, las variables visuales cualitativas, no es lo que
ocurre al primer golpe de ojo; es decir, se refiere a razonar en la figura (Pontón, 2008).
Entonces legítimamente se puede plantear la siguiente pregunta ¿un alumno puede de
manera más o menos espontánea pasar I a III, (ver tabla 4), (de la aprehensión local
puntual a la aprehensión global cualitativa) lo que implica que neutralice la aprehensión
60 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
icónica? Duval a través de numerosas observaciones ha mostrado que dos tercios de los
estudiantes durante todos sus estudios no han pasado de I a III y que es I la interpretación
dominante (ver tabla 4).
De acuerdo con las maneras de ver los gráficos cartesianos descritas en la tabla 4, Duval
(2004, p. 69) plantea la siguiente pregunta ¿con cuál dispositivo de observación se puede
recoger datos que permitan determinar si los estudiantes han accedido o no a la tercera
manera de ver los gráficos cartesianos?, y a este interrogante Duval (2004, p. 60) plantea
que un dispositivo consta de tres exigencias:
1. La aprehensión global cualitativa se requiere en una tarea de conversión gráfica-
escritura simbólica de relaciones, pues la aprehensión local por punteo siempre
permite la conversión inversa.
2. La tarea debe ser de reconocimiento, pues este refleja lo que ha sido automatizado,
interiorizado o integrado, y sobre todo, condiciona la iniciación de todos los
tratamientos conscientes que puede proponer un sujeto.
3. Las tareas de conversión deben permitir barrer el conjunto de variaciones de
representación cualitativamente discernibles a la vista. En efecto en el gráfico
cartesiano se pueden hacer muchas variaciones sobre los valores numéricos que
no provocan ninguna variación visualmente discernible, o cualitativamente
significativa.
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA 61
Tabla 5: Variaciones visuales de la recta tomada de Duval (2004, p. 72)
Variaciones visuales o
cualitativas
Sentidos de inclinación con algo de anclaje de la estructura
Participación del cuadrantes con anclaje en el ángulo que tiene de lado
el eje horizontal
Posición sobre el eje vertical
Resultados 1989 al inicio de 10º
Valores visuales
subiendo
bajando
Simétrica
Más pequeñ
a
Más grand
e
origen
Por encim
a
Por debaj
o
Conversión en escritura simbólica
a > 0 a < 0 ( a = 1) a < 1 a < 1 +b -b
sí sí sí 39%
60%
sí sí sí 49%
70%
Los dos 33% 46%
sí sí sí 16%
25%
sí (sí) sí 26%
28%
Los dos 8%
11%
Las representaciones gráficas cartesianas son más complejas que la simple
representación “geométrica” de una recta numérica graduada, esto se puede argumentar
debido a que por medio de las representaciones gráficas cartesianas podemos obtener
información sobre el comportamiento y las características del objeto representado, como
se muestra en la tabla 5, donde Duval (2004) plantea cómo varían las características
visuales de un gráfico cartesiano, al variar las variables categoriales de la escritura
simbólica algebraica, pudiendo observar que la conversión no se hace sólo a la escritura
62 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
decimal o fraccionaria de números sino a la escritura algebraica de relaciones. Para
realizar la caracterización e interpretación de los gráficos cartesianos Duval (1988b) en el
esquema que se presenta en la figura 4, muestra el funcionamiento semiótico de las
representaciones gráficas cartesianas, “este funcionamiento se basa en la relación de dos
figuras la figura-fondo y la figura-forma. Relación que está definida por una regla de
codificación. Se ve entonces que el registro de representaciones permite tres tipos de
tratamientos”. Duval (1988b, p. 5):
1. Una localización de posiciones por selección de puntos en los que la figura-forma
coincide con los puntos de intersección del campo cuadriculado. Esto permite una
lectura de duplas de números.
2. Una aprehensión global de los valores visuales de la figura-forma (trazo recto,
trazo curvo, inflexión, entre otros). Es esta aprehensión perceptiva global lo que da
a la representación gráfica su poder intuitivo o heurístico. Este tipo de tratamiento
es esencialmente cualitativo.
3. Una modificación de la figura-forma que cambia la aprehensión global de los
valores visuales, jugando con los grados de libertad que da la figura-fondo. Se
puede modificar la figura –forma no tomando, por ejemplo, la misma unidad de
graduación en los ejes igualmente se puede modificar la figura forma efectuando
un “zoom” sobre una de sus partes.
Estos tres tipos de tratamientos según Duval (1988b, p. 6), son propios al registro gráfico
y no deben confundirse con las operaciones de conversión entre operaciones producidas
en diferentes registros semióticos, trasformación que consiste por ejemplo en pasar de una
expresión simbólica algebraica (igualdad o de una desigualdad) a una figura-forma, o en
efectuar el pasaje inverso.
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA 63
Figura 4: Posibles transformaciones del Registro gráfico, tomada de (Duval 1988b, p. 6).
En la figura 4, Duval (1988b, p. 6) presenta un esquema de las trasformaciones que se
presentan entre los registros gráfico cartesiano y simbólico algebraico para las funciones
y cuáles son las interacciones que deben tenerse en cuenta para conseguir una aprensión
global de una función estudiada bajo el marco teórico semiótico cognitivo planteado por el
autor, para lo cual se plantea la localización de los valores categoriales de la función, los
cuales el autor recalca que deben ser enseñados y a partir de estos establecer la
correspondencia entre los valores de la figura fondo y la figura forma de tal manera que se
puedan identificar las variables visuales características de cada función y su
correspondencia con los valores categoriales de las expresiones simbólicas algebraicas.
Correspondencia entre
puntos marcados en el
campo cuadriculado y
parejas de números
Cálculo para
encontrar la ecuación
partir de valores
numéricos. A. Localización de las posiciones
correspondientes a los valores
categoriales obtenidos a partir
de una ecuación.
Figura-fondo: campo cuadriculado (material
o virtualmente) determinada por orientación
bi-dimensional y por la escogencia de una
unidad de graduación.
REGISTRÓ GRÁFICO
Figura-Forma:
Trazo(s) reto(s),
trazo(s) curvo(s). B. Aprehensión global de los
variables visuales o
posicionales y de los valores
categoriales correspondientes
en la escritura simbólica
Escritura simbólica
algebraica de una
relación
REGISTRO SIMBÓLICO
64 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Análisis matemático del Concepto de Función de dominio real
Los conceptos que se van a desarrollar a continuación fueron tomados de los libros de
cálculo de Edwards y Penney (1997) y, Gil y Díaz (2013).
Una función real � = �(�) definida en un conjunto D de números Reales, es una relación
que asigna a cada número � ∈ � exactamente un número real, denotado con �(�),
perteneciente al rango. Edwards y Penney. (1997, p. 5).
El conjunto D de todos los números Reales para los que �(�) está definida es el dominio.
La expresión �(�), que se lee “� �� �” , es el valor de la función real en el número (o punto
cartesiano) �. El conjunto de los valores � = �(�) es el rango de llegada de �(�). Edwards
y Penney. (1997, p. 5).
{�: � = �(�),∀� ∈ �������}
Una función es una relación entre variables (x, y) de tal manera que a x (variable
independiente), le corresponde uno y solo uno de los valores de y (variable dependiente)
Gil y Díaz (2013, p. 49)
En la tabla 6, las representaciones gráficas cartesianas a y b corresponden a las
representaciones gráficas cartesianas de dos funciones de dominio y rango definido para
todo número real, mientras que las gráficas c y d no corresponden a funciones de dominio
real sino solo relaciones entre variables, porque para algunos valores de la variable
independiente "�" (dominio) le corresponde más de un valor en la variable dependiente "�"
(rango). Por ejemplo, para la representación gráfica c. Para � = 4 , tendrá dos valores �(�)
que son:�(4)= −2 y �(4)= 2, algo similar ocurre para la representación gráfica d, al tomar
el valor de � = 4 tendrá dos valores �(�) que son: �(3)= −4 y �(3)= −4.
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA 65
Tabla 6: Ejemplos de gráficos cartesianos de relaciones entre variables.
Dominio e imagen
Dominio: es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente de la
relación o correspondencia, que usualmente se designa como "�". Gil y Díaz (2013, p. 51)
Rango (Imagen): es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, que
usualmente se designa como "�", una vez asignados los valores a la variable
independiente. Gil y Díaz (2013, p. 51)
66 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Existen comúnmente cuatro maneras de representar e identificar las funciones Reales:
analítica (simbólica algebraica), registro en lengua natural, tabular y gráficamente. Cada
una expresa la manera en que se pueden visualizar situaciones utilizando símbolos, en
contexto real o matemático datos ordenados o gráficos, con el fin de poder comprender y
analizar mejor la relación entre dos magnitudes de un problema.
a. Analíticamente: representa el lenguaje simbólico algebraico a través de
símbolos y números que se expresan mediante una fórmula matemática,
ecuaciones.
b. Tabularmente: Es una tabla en la que se organizan filas con el valor de “�”
en consideración y su valor correspondiente: � = �(�)
c. Gráficamente: a través del dibujo de los pares ordenados en el plano cartesiano
o en cualquier otro sistema de coordenadas
d. Registro en lengua natural: representa la forma discursiva en la cual se
plantean los problemas de aplicación.
Tabla 7: Diferentes representaciones de una función cuadrática de Dominio Real
Lengua natural Analítica Tabla Gráfica cartesiana
Considere el área
de un rectángulo,
cuya longitud es
� + 3 y cuyo ancho
es 5− �.
Determine la
expresión para
calcular el área,
�(�).
Representación
simbólica algebraica
expresión polinómica
�(�) = (� + 3)(5− �)
�(�)= −�� + 2� + 15
Expresión canónica
�(�)= −(� − 1)� + 16
� � -1 12 0 15 1 16 2 15 3 12
x
y
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA 67
Clasificación de las funciones desde representación algebraica
Las funciones de dominio Real pueden clasificarse, en dos grandes grupos:
Desde las representaciones simbólicas algebraicas de pueden subdividir en:
Funciones Polinomiales de dominio real: su representación simbólica algebraica
corresponde a un polinomio, donde el grado del polinomio lo determina el mayor
exponente de la variable. Dicho exponente debe ser entero no negativo (Gil y Díaz
(2013, p. 59), Zill y Dewar (2012, p. 266)). Algunas funciones de este tipo son:
Figura 5: Ejemplos de representaciones gráficas cartesianas y simbólicas algebraicas de Funciones Polinomiales.
Funciones polinómicas lineales.
x
y
x
y
� = −2� + 3 � = 3� − 5
68 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Funciones polinómicas cuadráticas.
Funciones polinómicas cúbicas
Funciones polinómicas de grado mayor que 3
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
� = −�� + 1
� = �� − 1
� = �� + �
� = �� − 3�� − � + 1 � = �� − 5�� − � + 1
� = �� − 3� + 3
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA 69
Función Racional de dominio real: este tipo de función tiene la forma �(�)=�(�)
�(�)
en donde ℎ(�) � �(�) son polinomios y �(�)≠ 0. El domino de una función racional
serán todos valores Reales, con la condición de que al evaluar �(�) ésta sea
diferente de cero, debido a que en este punto la función no está definida y habrá
una asíntota o un hueco (como se muestra en los ejemplos de la figura 6 (Gil y Díaz
(2013, p. 67), Zill y Dewar (2012, p. 300)).
Figura 6: Ejemplos de representaciones gráficas cartesianas y simbólicas algebraicas de Funciones Racionales.
�(�)=�� + 2� − 8
�� − 4
Dom: {� ∈ � / � ∈ � − {−2,2} )}
Ran: �� ∈ � / � ∈ � − {1}�
�(�)= 2�
9 − ��
Dom: {� ∈ � / � ∈ � − {−3,3} )} Ran: {� ∈ � }
Funciones Irracionales de dominio real: cuando además de las 4 operaciones:
suma resta, producto (y caso particular la potenciación) y cociente, aparecen las raíces
se tiene una expresión irracional, y su representación simbólica algebraica �(�) será
de la siguiente manera �(�)= ��(�)� . Donde �(�) es un polinomio. Para tener
valores Reales el dominio de la función estará dado por los valores de x tal que �(�)
70 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
sea mayor o igual a cero, para la raíz cubica la función está definida para todos los
Reales (Gil y Díaz (2013, p. 68) y SADOSKY Y GUBER 2010.
Dom: {� ∈ �/� ∈ [0,∞ �)} Ran: {� ∈ �/� ∈ [0,∞ �)}
Figura 7: Ejemplo de la representación gráfica cartesiana y simbólico algebraico de una función Irracional.
Funciones trascendentes: es una función que trasciende al álgebra en el sentido
que no puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones
algebraicas de suma, resta y raíces. Corresponden a aquellos casos en los que la
función no se puede definir por sus operaciones aritméticas Gil y Díaz (2013, p. 58 ),
como son:
Funciones trigonométricas: son aquellas funciones que se definen con referencia a
la circunferencia unitaria con centro en el origen de un sistema de coordenadas. Las
razones trigonométricas se definen como una aplicación particular de las funciones
trigonométricas a triángulos rectángulos. Gil y Díaz (2013).
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA 71
Figura 8: Ejemplos de representaciones gráficas cartesianas y simbólicas algebraicas de Funciones Trigonométricas.
� = sen� Dom: {� ∈ �} Ran: {� ∈ �/� ∈ [1,−1]}
� = cos� Dom: {� ∈ �} Ran: {� ∈ �/� ∈ [1,−1]}
Funciones Trigonométricas inversas:
Las seis funciones trigonométricas básicas no son inyectivas (sus valores se repiten de
manera periódica). Sin embargo, podemos restringir sus dominios a intervalos en los que
sean inyectivas. La función seno aumenta desde –1 en � = −�
� hasta 1 en � =
�
�. Al
restringir su dominio al intervalo ���
� ,�
� � la hacemos inyectiva (Thomas, J., George, B.
2006 p. 517).
x
y
x
y
72 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Figura 9: Ejemplos de representaciones gráficas cartesianas y simbólicas algebraicas de Funciones Trigonométricas inversas.
� = sen�� �
Dom: �� ∈�
�∈ [−1,1] �
Ran: �� ∈ �/� ∈ �− �
�,�
���
� = cos�� �
Dom: �� ∈�
�∈ [−1,1] �
Ran: �� ∈ �/� ∈ �0,�
���
Funciones exponenciales de dominio real: su representación simbólica algebraica
es � = �� donde “�” es la base de la función y es una constante positiva, con � ≠ 1.
Los conceptos más importantes de las funciones exponenciales son: la representación
gráfica cartesiana de toda función exponencial pasa por el punto cartesiano (0,1) Gil y Díaz
(2013, p. 78).
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA 73
Figura 10: Ejemplo de representación gráfica cartesiana y simbólico algebraico de una Función Exponencial de dominio real.
Dom:{� ∈ �} Ran: {� ∈ �/ [0,∞ �)}
Funciones Logarítmicas de dominio real: su representación simbólica algebraica
es � = log � �, donde “�” es la base de la función y � ≠ 1 siendo una constante
positiva. Los conceptos más importantes de las funciones logarítmicas son: la
representación gráfica cartesiana de toda función exponencial para por el punto
cartesiano (1,0) Gil y Díaz (2013, p. 78).
74 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Figura 11: Ejemplo de representación gráfica cartesiana y simbólico algebraico de una Función Logarítmica en base 10.
Dom: {� ∈ �/� ∈ (0,∞ �)} Ran: {� ∈ �}
Función con intervalos crecientes o decrecientes: una función es creciente en
un intervalo si para cualquier par de números �� y �� del intervalo, se cumple que:
Si �� < �� → �(��)< �(��) ó �� > �� → �(��)> �(��) .
Una función es decreciente en un intervalo si para cualquier par de números �� y �� del
intervalo, se cumple que: Si �� > �� → �(��)< �(��). Gil y Díaz (2013, p. 90).
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA 75
Figura 12: Ejemplo de representación gráfica cartesiana y simbólico algebraico de funciones creciente y decreciente.
Función creciente en todo su
dominio
Función decreciente en todo su
dominio
Función simétrica y tipos de simetría:
En geometría y en algunas otras ramas de las matemáticas, las figuras se reflejan en un
punto, en un eje o en un plano. Gil y Díaz (2013, p. 78), de acuerdo con esto se describe
la simetría de una gráfica respecto al eje y, al eje x y al origen. De esos tres tipos de
simetrías, la gráfica de una función puede ser simétrica respecto al eje y o al origen, pero
la gráfica de una función distinta de cero no puede ser simétrica respecto al eje x. Si la
gráfica de una función es simétrica respecto al eje y entonces, como sabemos, los puntos
(x, y) y (-x, y) están incluidos en la gráfica de �(�). Del mismo modo, si la gráfica de una
función es simétrica respecto al origen, los puntos (x, y) y (-x, -y) aparecen en la gráfica
(Zill y Dewar, 2012, p. 300).
x
y
x
y
� = −√� − 2 + 3 � = 2� + 4
76 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Figura 13: Ejemplos de representaciones gráficas cartesianas y simbólicas algebraicas de Funciones simétrica
Función simétrica con respecto al eje
y
Función simétrica con respecto al
origen
Función par e impar: Suponga que por cada � en el dominio de una función �(�),
−� también está incluida en su dominio Zill y Dewar (2012, p. 301). Estas funciones
cumplen que:
Una función f es par si �(−�) = �(�).
Una función f es impar si �(−�)= −�(�).
Figura 14: Ejemplo de representación gráfica cartesiana y simbólico algebraico de funciones Par e Impar.
Función par Función impar
x
y
� = �� � =1
�
� = �� � = ��
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA 77
Función periódica. Una función periódica es aquella cuyo comportamiento se repite
para cada determinado intervalo (periodo). Una función �(�) es periódica si existe
un número positivo � tal que �(� + �)= �(�) para todo valor de �. El menor de los
posibles valores de � es el periodo de �(�) (Thomas, J., George, B. 2006, p. 52).
Figura 15: Ejemplo de representación gráfica cartesiana y simbólico algebraico de una función periódica.
Funciones cuadráticas de dominio Real
Las funciones cuadráticas de dominio real son funciones polinómicas utilizadas para
describir o modelizar diversos fenómenos tales como: el movimiento de objetos como el
tiro parabólico o de proyectil entre muchas otras modelaciones como el movimiento
generado por una bala, el lanzamiento de un cohete, el tiro de una pelota de básquetbol,
de fútbol, de fútbol americano y, en general, de cualquier pelota y de cualquier objeto que
sea lanzado. Todo objeto que es lanzado con un ángulo de inclinación �, (0°< � < 90°)
con respecto a la horizontal, puede seguir una trayectoria parabólica debido a los efectos
de la gravedad.
78 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
La función Polinomial de segundo grado es aquella cuya expresión simbólica polinómica
es de la forma � = ��� + �� + � donde �, � y � son números Reales con � ≠ 0, se conoce
con el nombre de Función Cuadrática, su dominio son todos los números Reales; es
decir, no tiene restricción alguna. (Por tanto, todo valor de x tendrá una imagen y).
Su gráfica es una parábola que abre hacia arriba o hacia abajo (ver la figura 16). Si el signo
de la variable categorial “�” en la expresión polinómica es positivo entonces la parábola es
cóncava hacia arriba. Si el signo de la variable categorial “�” en la expresión polinómica en
negativo la parábola es cóncava hacia abajo. Su representación gráfica cartesiana está
determinada por el máximo o el mínimo de la función, el cual se puede obtener a partir del
vértice.
Si el valor absoluto del coeficiente “a” que acompaña la variable independiente elevada al
cuadrado está entre 0 y 1 (1 > |�|> 0), la parábola estará más expandida con respecto al
eje de simetría, Si el valor absoluto del coeficiente “�” que acompaña la variable
independiente elevada al cuadrado es mayor que 1 (|�|> 1), la parábola estará más
estrecha con respecto al eje de simetría.
Eje de simetría: Es la recta que pasa por el vértice de la parábola y es paralela al eje y
recibe este nombre porque al doblar el plano por esta recta los dos brazos de la parábola
coinciden en todos sus puntos (Zill y Dewar, 2012, p. 219).
Las intersecciones con el eje � son los ceros de la expresión simbólica algebraica. El
vértice (máximo o mínimo) de la parábola está dado por el punto (ℎ,�). La función
cuadrática de dominio real se pude representar de manera simbólica algebraica por medio
de dos expresiones: la polinómica y la canónica.
�(�)= ��� + �� + �,con � ≠ �
� = �(� − ℎ)� + �,con � ≠ �
Donde ℎ y � son las coordenadas del vértice que corresponde al punto máximo o mínimo
que toma el rango de la función cuadrática � ∈ (∞ ,�] ó � ∈ [�,∞ ).
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA 79
Figura 16: Representación Gráfica cartesiana de una Función cuadrática de dominio real.
La gráfica de �(�)= ���, con |�|> 0, es la gráfica de � = ��, estirada
verticalmente cuando a > 1 y ampliada horizontalmente cuando 0 < |�|< 1, ver
figura 17, lo cuál se puede expresar como: a medida que el valor absoluto de “a”
crece, el crecimiento o decrecimiento de �(�) es mayor.
La gráfica de �(�)= ���, |�|> 0, es la gráfica de � = ���, |�|< 0, reflejada en
el eje x como se puede ver en las figuras 17 y 18.
80 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Figura 17: Representación gráfica cartesiana de función cuadrática la cual es cóncava hacia abajo y se la ha variado la abertura.
Figura 18: Representación gráfica cartesiana de función cuadrática la cual es cóncava hacia arriba y se la ha variado la abertura.
Tratamiento para transformar una expresión simbólica polinómica a una
Expresión simbólica canónica de una función cuadrática
Una función cuadrática cuya expresión simbólica algebraica polinómica corresponde a:
�(�)= ��� + �� + �,con � ≠ � puede representarse como una expresión simbólica
algebraica forma canónica.
�(�)= �(� − ℎ)� + �
Para lo cual se realiza un tratamiento conocido como completando el cuadrado, éste
tratamiento se fundamenta en las propiedades de la estructura algebraica de los números
Reales. La representación gráfica cartesiana de �(�) es una parábola con vértice (h, k);
Aplicando la propiedad asociativa, se agrupa en un paréntesis los términos que
contengan la variable independiente (�).
�(�)= (��� + ��)+ �
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA 81
Se saca factor común el “�” de los términos del paréntesis
�(�)= � ��� +�
���+ �
El número que se debe sumar y restar (aplicando la propiedad modulativa de la suma � +
(−�)= 0) para completar el cuadrado es ��
����. Para encontrar este número se toma el
coeficiente de la variable que se encuentra elevada a la 1, ��
��, y lo se divide entre 2 (es
decir, se halla la mitad) esto es porque el coeficiente de la variable elevada a la 1 es el
resultado de sumar los términos semejantes en la solución de un binomio al cuadrado
perfecto, esto nos da como resultado ��
���, este resultado se eleva al cuadrado y se obtiene
���
����.
Se completa el cuadrado de una adición dentro del paréntesis, para lo cual
aplicamos las propiedades del inverso aditivo y modulativa, se suma y se resta el
mismo término para no alterar expresión simbólica algebraica
�(�)= � ��� +�
�� +
��
4��−
��
4��� + �
Se saca el término negativo del paréntesis, se debe aplicar la propiedad asociativa
y luego la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma de los
números Reales, para eso lo se debe multiplicar por la constante a de la siguiente
forma: � ���
���� = �
��
���
�(�)= � ��� +�
�� +
��
4��� + �−
��
4�
Factorizando se obtiene el siguiente producto notable:
�(�)= � �� +�
2���
+ �−��
4�
82 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Tratamiento para transformar una expresión simbólica canónica a una
Expresión simbólica polinómica de una función cuadrática
Se debe realizar el siguiente tratamiento denominado completación del binomio.
Si se tiene la expresión simbólica canónica.
�(�)= �(� − ℎ)� + �
Al resolver el binomio se tiene la expresión simbólica algebraica equivalente:
�(�)= �(�� − 2�ℎ + ℎ�)+ �
Y al aplicar la propiedad distributiva da la equivalencia:
�(�)= ��� − 2��ℎ + �ℎ��
Las tablas 7 y 8 muestran como al variar uno o varios de las variables categoriales
de la expresión simbólica polinómica �(�)= ��� + �� + � se evidencia un cambio en la
gráfica.
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA 83
Tabla 8: Variaciones visuales de la función cuadrática con concavidad positiva
Fórmula
general Valor de a
Valor de
b
Valor de
c
Ejemplo
representación
algebraica
Ejemplo
representación
canónica
Ejemplo
representación
gráfica
�(�)= �� � + �� + �
a>0 b=0 c=0 � = 3�� � = 3(� + 0)� + 0
�(�)= �� � + �� + �
a>0 b=0 c>0 � = 3�� + 1 � = 3(� − 0)� + 1
�(�)= �� � + �� + �
a>0 b=0 c<0 � = 3�� − 1 � = 3(� − 0)� − 1
�(�)= �� � + �� + �
a>0 b>0 c=0 � = 3�� + 6� � = 3(� + 1)� − 3
�(�)= �� � + �� + �
a>0 b<0 c=0 � = 3�� − 6� � = 3(� − 1)� − 3
�(�)= �� � + �� + �
a>0 b>0 c>0 � = 3�� + 6� + 1 � = 3(� + 1)� − 2
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
84 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
�(�)= �� � + �� + �
a>0 b>0 c<0 � = 3�� + 6� − 1 � = 3(� + 1)� − 4
�(�)= �� � + �� + �
a>0 b<0 c>0 � = 3�� − 6� + 1 � = 3(� − 1)� − 2
�(�)= �� � + �� + �
a>0 b<0 c<0 � = 3�� − 6� − 1 � = 3(� − 1)� − 4
Tabla 9: Variaciones visuales de la función cuadrática con concavidad negativa.
Fórmula
general
Valor de
a
Valor de
b
Valor de
c
Ejemplo
representación
algebraica
Ejemplo
representación
canónica
Ejemplo
representación
gráfica
�(�)= �� � + �� + �
a<0 b=0 c=0 � = −3�� � = −3(� − 0)� + 0
�(�)= �� � + �� + �
a<0 b=0 c>0 � = −3�� + 1 � = −3(� − 0)� + 1
�(�)= �� � + �� + �
a<0 b=0 c<0 � = −3�� − 1 � = −3(� − 0)� − 1
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA 85
�(�)= �� � + �� + �
a<0 b>0 c=0 � = −3�� + 6� � = −3(� − 1)� + 3
�(�)= �� � + �� + �
a<0 b<0 c=0 � = −3�� − 6� � = −3(� + 1)� + 3
�(�)= �� � + �� + �
a<0 b>0 c>0 � = −3�� + 6� + 1 � = −3(� − 1)� + 4
�(�)= �� � + �� + �
a<0 b>0 c<0 � = −3�� + 6� − 1 � = −3(� − 1)� + 2
�(�)= �� � + �� + �
a<0 b<0 c>0 � = −3�� − 6� + 1 � = −3(� + 1)� + 4
�(�)= �� � + �� + �
a<0 b<0 c<0 � = −3�� − 6� − 1 � = −3(� + 1)� + 2
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
3. DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS
En el desarrollo de este capítulo se presenta el análisis de las variables que se tuvieron en
cuenta para el diseño de las situaciones para la indagación en el aula de clases, también
se explica el propósito de cada una de las tareas que conforman las tres situaciones, y las
respuestas esperadas, de acuerdo a las variables didácticas determinadas en este
análisis, por parte de los estudiantes en el desarrollo de las mismas.
Análisis a priori de la Situación 1.
Mediante el diseño de la situación didáctica se pretende que los estudiantes identifiquen
las distintas variables visuales y categoriales que caracterizan la representación gráfica
cartesiana y simbólica algebraica de la función cuadrática. Las variables de visuales son
de gran importancia tanto para la interpretación de las gráficas cartesianas, como para la
conversión de una representación gráfica cartesiana a una representación simbólica
algebraica. Las variables de visuales de una función cuadrática (ver tablas 8 y 9), de
acuerdo con lo planteado por Duval (1988), son todas las modificaciones a la
representación gráfica cartesiana que generan una modificación en la escritura simbólica
o expresión algebraica. Se parte de las tres características específicas estrechamente
conectadas, las cuales son resaltadas por Duval (2016), cuando se tiene como propósito
analizar la actividad matemática desde un punto de vista cognitivo:
1. Transcurre a través de una transformación de representaciones semióticas que
involucra el uso de algún sistema semiótico.
2. Para llevar a cabo esta transformación, se pueden usar registros diferentes de
representaciones semióticas
88 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
3. Los objetos matemáticos nunca se deben confundir con las representaciones
semióticas utilizadas, aun si no hay acceso a ellos, diferente del uso de una
representación semiótica (Duval, 2016, p.89)
Con el objetivo que los estudiantes identifiquen y aprendan a razonar a partir de las
variables visuales de la representación gráfica cartesiana y las variables categoriales
de las representaciones simbólicas algebraicas de la función cuadrática (vértice,
concavidad, abertura) se plantearon las siguientes tareas:
Análisis Tarea 1- situación 1. (T1/S1)
Con esta tarea se busca que el estudiante identifique las representaciones gráficas
cartesianas correspondientes a la función cuadrática, de acuerdo con a las variables
visuales que caracterizan la representación gráfica cartesiana de la función cuadrática, la
cual es una parábola que puede ser cóncava hacia arriba o hacia abajo, y cuyo eje de
simetría (ver p. 63) es una recta paralela al eje y. Se propone identificar las
representaciones gráficas cartesianas que corresponden a funciones cuadráticas de un
conjunto de representaciones gráficas cartesianas de funciones y relaciones cuadráticas y
no cuadráticas. Se espera que los estudiantes logren plantear justificaciones desde las
variables visuales que caracterizan la función cuadrática.
TAREA 1- Situación 1. Identifique cuál de las siguientes gráficas cartesianas corresponde
a la representación gráfica cartesiana de una función cuadrática, justifique de manera
completa su respuesta en las líneas.
DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 89
Figura 19. Gráficos de la tarea 1, situación 1.
Figura 1. _____________________________ Figura 2. _____________________________
Figura 3. _____________________________ Figura 4. _____________________________
Figura 5. _____________________________
Figura 6. _____________________________
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
90 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Figura 7. _____________________________ Figura 8. _____________________________
Tabla 10: Posibles respuestas que pueden plantear los estudiantes para la tarea 1-
situación 1.
Figura representa o no una función
cuadrática Justificación
1 No representa Porque tiene dos cambios de concavidad y en la gráfica de la función cuadrática sólo hay una y pose tres cortes con el eje x.
2 Si representa Porque es una parábola que abre hacia arriba (cóncava hacia arriba), tiene vértice en el origen y tiene un corte con el eje x. Además tiene un eje de simetría.
3 No representa
Porque la representación gráfica no corresponde a una función, porque a excepción del punto (0,0), para un mismo valor de x del dominio existe más de un valor en el rango.
4 Si representa Porque es una parábola que abre hacia abajo (cóncava hacia abajo), tiene vértice en el origen y tiene un corte con el eje x. Además tiene un eje de simetría.
5 Si representa Porque es una parábola que abre hacia abajo (cóncava hacia abajo) con vértice en el punto (0,5) y tiene dos cortes con el eje x. Además tiene un eje de simetría.
6 No representa Porque la figura es la representación gráfica de una línea recta, no tiene concavidad, ni vértice cartesiano.
7 No representa
Porque es una función creciente en todo su dominio, y en la gráfica de la función cuadrática hay un intervalo donde crece y otro donde decrece, tampoco cuenta con un vértice o un eje de simetría vertical.
8 Si representa
Porque es una parábola que abre hacia arriba (cóncava hacia arriba), tiene vértice en el punto (3,-1) y tiene dos cortes con el eje x. Además tiene un eje de simetría.
En esta tarea se esperaba que los estudiantes reconocieran algunas características
visuales de la representación gráfica cartesiana de la función cuadrática, como son la
x
y
x
y
DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 91
concavidad, el vértice y el eje de simetría entre otros (ver tabla 10), con la socialización al
final de la tarea, el docente debe mediar entre el alumno y la caracterización de las
variables visuales de la representación gráfica cartesiana de la función cuadrática.
Análisis tarea 2 – situación 1. (T2/S1)
Por medio de esta tarea se pretende introducir la primera variable visual de la
representación gráfica de la función cuadrática, la cual es la concavidad. Para esto se
realizará la presentación de las dos representaciones gráficas básicas de la función
cuadrática � = �� y � = −��, las cuales tienen vértice en el punto (0,0) y el valor absoluto
del coeficiente “�” siempre se tomará en esta tarea como |�|= 1. Mediante una ilustración
se muestran estas dos representaciones gráficas de la función cuadrática, esta es una
tarea de conversión de unidades significativas del lenguaje natural en unidades visuales
de la representación gráfica cartesiana (parábola) y de las operaciones de traslación sobre
las “funciones básicas” que se expresan en los enunciados.
Para esto se pide al estudiante pueda identificar las unidades que se traslada la
representación gráfica cartesiana de la función cuadrática básica desde el origen (0,0),
asociando cada representación gráfica cartesiana con un enunciado en lengua natural que
explica los traslados de las gráficas cartesianas de las funciones básicas � = �� y
� = −��.
TAREA 2 – situación 1. Escriba debajo de cada gráfica cuál es el numeral del enunciado
correspondiente, teniendo en cuenta los traslados que tienen cada una de las gráficas en
el plano cartesiano con respecto a las representaciones gráficas cartesianas de las
funciones básicas � = �� y � = −�� .
a. La parábola cuya concavidad es hacia arriba y esta trasladada 6 unidades hacia
abajo.
b. La parábola cuya concavidad es hacia abajo y esta trasladada 4/3 unidades hacia
arriba.
c. La parábola cuya concavidad es hacia abajo y esta trasladada 2 unidades hacia la izquierda y 1 unidad haca abajo.
d. La parábola cuya concavidad es hacia arriba y esta trasladada 2 unidades hacia la derecha y 3 unidad hacia arriba.
92 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
e. La parábola cuya concavidad es hacia arriba, los ceros son 4 y 2, y esta desplazada3 unidades a la derecha y una hacia abajo.
Figura 20: Gráficas de la tarea 2, situación 1.
Figura 1. _____________________________
Figura 2. _____________________________
Figura 3. _____________________________
Figura 4. _____________________________
x
y
x
y
xy
x
y
DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 93
Figura 5. _____________________________
Figura 6. _____________________________
Figura 7. _____________________________
Figura 8. _____________________________
En esta tarea existen 5 numerales los cuales los estudiantes deben correlacionar con su
respectiva gráfica cartesiana, para las tres gráficas cartesianas que no les corresponde
ningún numeral* (figura 1, 4 y 6) se espera que los estudiantes construyan los enunciados
que describan los traslados del vértice.
x
y
x
y
x
y
x
y
94 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Tabla 11: Correspondencias esperadas por los estudiantes para la tarea 2- situación 1.
Figura Numeral � Sentido de la concavidad
Desplazamiento
1 No tiene* � = 1
Hacia arriba Se trasladó 5 unidades hacia abajo, vértice (0,-5)
2 a � = 1 Hacia arriba Se trasladó 6 unidades hacia abajo, vértice (0,-6)
3 c � = −1 Hacia abajo Se trasladó 2 unidades a la izquierda y 1 unidad hacia abajo, vértice (-2,-1)
4 No tiene* � = −1
Hacia abajo Se trasladó 2/3 unidades hacia arriba, vértice (0,2/3)
5 d � = 1
Hacia arriba Se trasladó 2 unidades a la derecha y 3 unidades hacia arriba, vértice (2,3)
6 No tiene* � = 1
Hacia arriba Se trasladó 3 unidades a la derecha y 1 unidad hacia abajo, vértice (3,-1)
7 b � = −1 Hacia abajo Se trasladó 5/4 unidades hacia arriba , vértice (0,5/4)
8 e � = 1 Hacia arriba
Se trasladó 3 unidades a la derecha y 1 unidad hacia abajo, vértice (3,-1) y tiene cortes en los puntos (2,0) y (4,0)
En esta tarea, el estudiante continua con la familiarización de los términos como vértice,
concavidad, simetría, etc. y además, el estudiante puede observar que las gráficas
cartesianas de las funciones cuadráticas pueden presentarse en distintas posiciones sobre
el plano cartesiano, con lo cual el estudiante comienza su trabajo de visualización con la
figura fondo (cuadrícula) al identificar los traslados sobre los ejes coordenados del vértice.
Análisis Tarea 3 – situación 1. (T3/S1)
Por medio de esta tarea se busca que el estudiante identifique dos variables visuales de
la función cuadrática, la primera es la concavidad donde se pretende que el estudiante
asocie la dirección hacia donde abre la curva de la representación gráfica cartesiana de la
función cuadrática, con el signo del coeficiente del término de la variable independiente
elevada al cuadrado en la expresión polinómica de la función cuadrática es decir “�” y la
segunda variable visual que debe identificar es el vértice de la representación gráfica
cartesiana de la función cuadrática, recordando que el vértice es el punto donde la
representación gráfica de la función cambia de crecer a decrecer ó de decrecer a crecer.
DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 95
Si el coeficiente del término x� es positivo, el vértice será el menor (mínimo) valor del rango
de la función. Si el coeficiente del término x� es negativo, el vértice será el mayor (máximo)
valor del rango de la función, se tomará en esta tarea el valor absoluto de “�” como
|�|= 1.
TAREA 3 – situación 1. De acuerdo con las figuras A y B identifique y explicite para cada
una de las otras representaciones graficas cartesianas, cuál de las dos (figuras A o B) da
origen a la parábola y cuántas unidades se traslada la parábola sobre el eje horizontal y
sobre el eje vertical (es decir, cuántas unidades se trasladó el vértice ubicado inicialmente
en el punto (0, 0)).
Figura 21. Gráficas de la tarea 3, situación 1.
Figura A.
Figura B.
Figura 1. _____________________
Figura 2. _____________________
x
y
x
y
x
y
x
y
� = �� � = −��
a = 1 a = -
1
96 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Figura 3. _____________________ Figura 4. _____________________
Figura 5. ____________________ Figura 6. _____________________
Figura 7. _____________________________ Figura 8. ____________________________
x
y
xy
x
y
x
y
x
y
x
y
DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 97
Tabla 12: Posibles respuestas que pueden plantear los estudiantes para la tarea 3-
situación 1.
Figura Función básica
� Desplazamiento Vértice
1 � = �� � = 1 Se trasladó 2 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia abajo.
(-2,-2)
2 � = −�� � = −1 Se trasladó 3 unidades hacia la derecha y 5 unidades hacia arriba.
(3,5)
3 � = �� � = 1 Se trasladó 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo.
(3,-2)
4 � = −�� � = −1 Se trasladó 4 unidades hacia la izquierda y 1 unidad hacia abajo.
(-4,-1)
5 � = �� � = 1 Se trasladó 3 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba.
(-3,2)
6 � = −�� � = −1 Se trasladó 2 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo.
(2,-4)
7 � = �� � = 1 Se trasladó 4 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba.
(4,1)
8 � = −�� � = −1 Se trasladó 5 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia abajo.
(-5,-3)
Se espera que los estudiantes ya hayan adquirido las suficientes herramientas discursivas
para poder expresar los traslados de las representaciones gráficas cartesianas de la
función cuadrática e identifiquen con base en el moviendo del vértice las unidades que la
parábola resultante de cada función básica se trasladó con respecto a los ejes
coordenados.
Análisis tarea 4 - situación 1. (T4/S1)
En esta tarea se introduce la tercera variable visual de la función cuadrática, la cual es la
abertura (variación del valor absoluto de “�”) de la parábola que se forma al graficar la
función cuadrática. Por medio de esta tarea se buscaba que el estudiante comprenda como
se cierra o se abre (con respecto a la función básica con |�|= 1) la parábola
correspondiente a la representación gráfica cartesiana de la función cuadrática, de acuerdo
con el marco teórico, cuando el valor absoluto del coeficiente de la variable independiente
que se encuentra al cuadrado es mayor que uno |�|> 1 (la parábola se cierra), o cuando
el valor absoluto del coeficiente “�”, 0 < |�|< 1 (la parábola es más abierta). Una de las
gráficas dadas en la figura 22, corresponde a la función cuadrática básica cóncava hacia
abajo, cuya representación simbólica algebraica es: � = −��. Estos criterios fueron
98 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
establecidos para el diseño de esta tarea, se espera que los estudiantes se acerquen a la
comprensión de este comportamiento y realicen una abstracción de la incidencia de esta
variable visual de la representación gráfica en la representación simbólica algebraica de
una misma función cuadrática.
Tarea 4 – situación 1. Halla los valores del coeficiente de la variable independiente
(x) elevada al cuadrado, “�” para cada una de las siguientes representaciones gráficas
de la función cuadrática, para ello utiliza un punto de cada una de las gráficas.
Figura 22: Gráfica de la tarea 4, situación 1.
a. Coeficiente b b. Coeficiente c
c. Coeficiente g d. Coeficiente d
e. Coeficiente a
xy
DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 99
Para realizar el cálculo del coeficiente “�” se espera que los estudiantes ubiquen un punto
de la representación gráfica cartesiana en el cual coincidan la figura fondo (cuadricula) y
la figura forma (parábola) y sabiendo que el vértice de las funciones básicas (� = �� y � =
−��) está ubicado en el punto (0,0), remplacen el vértice y el punto seleccionado en la
expresión canónica de la función cuadrática � = �(� − ℎ)� + �. Luego procedan a
despejar el coeficiente “�”, en la expresión canónica, cuyo valor es la abertura de la
parábola. Los posibles tratamientos que puede realizar el estudiante para hallar cada uno
de los coeficientes, se presenta en la tabla 12. Es necesario tener en cuenta que una de
las gráficas cartesianas dadas en la figura 22 es la representación de la función básica
(� = −��).
Tabla 13: Posibles respuestas que pueden plantear los estudiantes para la tarea 4 -
situación 1.
Coeficiente Ejemplo de Punto
a remplazar Tratamiento
a (1,-3) � = �(�)� remplazando el punto (-3,-3) tenemos −3 =�(−1)� por tanto � = −3
b (-3,-3)
� = �(�)� remplazando el punto (-3,-3) tenemos −3 =
�(−3)� calculando −3 = 9�, por tanto � = −�
� ,
simplificando � = −�
�
c (2,-1) � = �(�)� remplazando el punto (2,-1) tenemos −1 =
�(−2)� calculando −1 = 4�, por tanto � = −�
�
d (2,-2)
� = �(�)� remplazando el punto (2,-2) tenemos −2 =
�(2)� calculando −2 = 4�, por tanto � = −�
� ,
simplificando � = −�
�
g (1,-4) � = �(�)� remplazando el punto (1,-4) tenemos −4 =�(1)� calculando −4 = 1�, por tanto � = −4
En la tabla 13, se da un ejemplo del punto que se puede remplazar, en el cual coincide la
figura fondo y la figura forma, pero el estudiante podía remplazar el punto que el considere
como la interceptación entre a la figura fondo y la figura forma de acuerdo a su
interpretación de la gráfica cartesiana.
100 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
En esta tarea no se les pidió a los estudiantes analizar el comportamiento de la abertura,
con el fin de poder identificar si estos pudieran razonar sobre este comportamiento y
verificar si consiguieron entender el comportamiento de esta variable visual o solo se
realizó un proceso mecánico.
Análisis a priori de situación 2.
En esta situación se busca que el estudiante se familiarice con los tratamientos necesarios
para realizar la conversión entre la representación gráfica cartesiana y la representación
simbólica algebraica de la función cuadrática en su expresión canónica. Se utiliza esta
expresión simbólica algebraica para ver de una manera más asequible el vértice de la
parábola, y porque es posible encontrar la expresión algebraica polinómica por medio del
tratamiento de desarrollar el binomio cuadrado.
Con la secuencia de tareas planteadas en la situación 2, se busca seguir aportando a la
comprensión e identificación de las variables visuales desarrolladas en la situación 1, las
cuales aportan al estudiante las herramientas necesarias que le permitan hacer un cambio
entre registros de representación semiótica para que el estudiante tenga una aprehensión
del concepto de función cuadrática y tal como menciona Duval (1999), se puede decir que
un objeto matemático ha sido comprendido si el sujeto es capaz de reconocer dicho objeto
y realizar trasformaciones en varios sistemas de representación.
Así, cuando estudiamos la variedad de los tipos de representaciones semióticas
utilizadas en matemáticas, nos referimos siempre a los objetos matemáticos y no a
los conceptos; estos, por lo demás, con frecuencia se consideran como una
representación mental asemiótica. Para comprender la actividad matemática, la
noción de objeto es tan fundamental, sino más, que la de concepto. No se trabaja
sobre los conceptos; se trabaja sobre los objetos que tienen propiedades (números,
funciones...). En otros términos, lo importante es la dupla {signo, objeto} o
{representación semiótica, objeto}. Duval (1999, p.6)
Análisis tarea 1 – situación 2. (T1/S2)
En esta tarea se introduce la representación algebraica de la función cuadrática (expresión
canónica), con esto se busca que el estudiante comience a relacionar las variables
categoriales de la expresión simbólica algebraica canónica, con las variables visuales
DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 101
de la representación gráfica cartesiana de la función cuadrática, que se trabajaron en la
situación 1 (proceso de conversión inverso de la tarea 2 situación 2), para tal fin la tarea
presenta a los estudiantes varías expresiones simbólicas algebraicas canónicas de la
función cuadrática y sus respectivas gráficas cartesianas. El estudiante debe a partir de
las variables categoriales (�,ℎ � �) identificar cual expresión simbólica algebraica
canónica corresponde a cada una de las gráficas cartesianas y transformar la expresión
canónica en una expresión polinómica equivalente.
TAREA 1 – situación 2. Relacione cada una de las siguientes ecuaciones canónicas con
su respectiva representación gráfica, justificando su respuesta. Además, en cada una
encuentre la expresión en su forma polinómica equivalente.
a. � = (� + 3)� − 6
b. � = −�
�(� − 4)�
c. � = −2(� − 3)� − 3
d. � = 4(� − 2)� − 4
e. � = −(� + 1)� + 3
f. � = −�
�(� − 4)� + 5
Figura 23: Gráficas de la tarea 1, situación 2.
Figura 1. Figura 2. Figura 3
Figura 4 Figura 5. Figura 6.
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
102 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Se espera que los estudiantes relacionen las expresiones canónicas de la función
cuadrática con su respectiva representación gráfica cartesiana, y puedan justificar su
elección con el vértice, la abertura y la concavidad, tal y como se muestra en la tabla 14.
Para comprobar la abertura se utilizará el vértice y un punto en el cual coinciden la figura
forma (parábola) y la figura fondo (cuadrícula) tal y como se realizó en la tarea 4 de la
situación 1.
Tabla 14: Posibles respuestas que pueden plantear los estudiantes para la tarea 1 - situación 2.
Expresión canónica Vértice Abertura Concavidad Expresión polinómica Figura
c. � = −2(� − 3)� − 3 (3/2,-3) |�|= 2 Hacia abajo � = −2�� + 12� − 21 1
d. � = 4(� − 2)� − 4 (2,-4) |�|=4 Hacia arriba � = 4�� − 16� + 12 2
b. � = −�
�(� − 4)� (4,0) |�|=1/2 Hacia abajo
� = −1
2�� + 4� − 8 3
e. � = −(� + 1)� + 3 (-1,3) |�|=1 Hacia abajo � = −�� − 2� + 2 4
a. � = (� + 3)� − 6 (-3,-6) |�|=1 Hacia arriba � = �� + 6� + 3 5
f. � = −�
�(� − 4)� + 5 (4,5) |�|=3/2 Hacia abajo
� = −2
3�� +
16
3� −
17
3 6
a. Ejemplo: figura 1, expresión canónica � = −2(� − 3)� − 3
Para encontrar la expresión polinómica se resuelve el binomio de la expresión cuadrática:
� = �(� − 3)� − 3 entonces aplicando productos notables � = −2(�� − 6� + 9)− 3
aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma de los
números Reales y efectuamos los productos tenemos � = −2�� + 12� − 18− 3, por tanto,
la expresión algebraica polinómica será: � = −2�� + 12� − 21
b. Ejemplo: figura 2, expresión canónica � = 4(� − 2)� − 4
Para encontrar la expresión polinómica se resuelve el binomio de la expresión cuadrática:
� = �(� − 2)� − 4 entonces aplicando productos notables � = 4(�� − 4� + 4)− 4
aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma de los
números Reales y efectuamos los productos tenemos � = 4�� − 16� + 16 − 4 por tanto la
DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 103
expresión algebraica polinómica será � = 4�� − 16� + 21. En el desarrollo de la situación
se espera que los estudiantes expliciten las propiedades en la estructura de los números
Reales que permiten estos tratamientos en el registro simbólico algebraico. El papel del
maestro como mediador es fundamental para recordar y significar dichas propiedades.
Se asume en este trabajo indagativo como mediación el papel del maestro (o un compañero
más capaz o con más estrategias) de ayudar en el desarrollo potencial de los estudiantes.
El nivel evolutivo potencial está determinado por los procesos que el estudiante está en
vías de dominar e incorporar y que, para ser llevados a cabo, requiere de la asistencia o
ayuda de un adulto o de un niño más capaz. La relación entre ambos genera lo que Vigotsky
(1979) denominó zona de desarrollo inmediato y que definió así: “no es otra cosa que la
distancia entre el nivel real de desarrollo, determinado por la capacidad de resolver
independientemente un problema, y el nivel de desarrollo potencial, determinado a través
de la resolución de un problema bajo la guía de un adulto o en colaboración con otro
compañero más capaz” (Vigotsky, 1979, p. 133).
Análisis tarea 2 – situación 2. (T2/S2)
En esta tarea se busca que el estudiante relacione una gráfica cartesiana con su respectiva
representación algebraica la cual se encuentra como una expresión canónica y al igual que
en la tarea anterior, el estudiante debe hallar su expresión polinómica equivalente. Con esto
se busca que el estudiante aprenda a realizar la conversión entre una representación
gráfica cartesiana y la representación algebraica teniendo en cuenta que la puede presentar
como una expresión canónica o expresión polinómica equivalente.
Tarea 2 – situación 2. Para cada una de las siguientes representaciones gráficas
cartesianas de funciones cuadráticas encuentre la representación simbólica algebraica de
la función cuadrática representada por la gráfica para lo cual debería tener en cuenta las
variables visuales (concavidad abertura y vértice), justificando su respuesta. Las
representaciones simbólicas algebraicas se presentan en forma canónica, pero debe
encontrar la respectiva expresión polinómica equivalente correspondiente a la que fue
relacionada.
104 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Figura 24: Gráficas de la tarea 2, situación 2.
a.
a. � = (� + �)�
b. � = �� + �
c. � = (� − �)� + �
d. � = (� + �)� + �
e. � = (� − �)� + �
b.
a. � = (� + �)� + �
b. � = (� − �)� + �
c. � = (� + �)� − �
d. � = (� + �)�
�. � = (� + �)� − �
c.
a. � = �(� + �)� + �
b. � = −�(� − �)� − �
c. � = �(� + �)� + �
d. � = −�(� + �)� + �
e. � = −�(� − �)� + �
x
y
x
y
x
y
DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 105
d.
a. � = �(� + �)� + �
b. � = −�(� − �)� − �
c. � = �(� − �)� + �
d. � = −�(� + �)� + �
e. � =�
�(� − �)� + �
Se espera que los estudiantes identifiquen en de la representación gráfica de la función
cuadrática, las variables visuales (concavidad y vértice) y calculen la abertura, como se
realizó en la tarea 1 de la situación 2, con estos datos encuentren la expresión canónica de
cada una de las representaciones gráficas cartesianas y con la expresión canónica realicen
el tratamiento de resolver el binomio al cuadrado utilizando las propiedades de los números
Reales, para encontrar la expresión polinómica equivalente, los resultados que se
esperaban de los estudiantes se encuentran consignados en la tabla 15.
Tabla 15: Posibles respuestas que pueden plantear los estudiantes para la tarea 2 -
situación 2.
Figura Expresión canónica Vértice Abertura Concavidad Expresión polinómica
a c. � = (� − 3)� + 1 (3,1) 1 Hacia arriba � = �� − 6� + 10
b e. � = (� + 2)� − 2 (-2,-2) 1 Hacia arriba � = �� + 4� + 2
c b. � = −2(� − 3)� − 4 (3,-4) -2 Hacia abajo � = −2�� + 12� − 22
d d. � = −3(� + 2)� + 6 (-2,6) -3 Hacia abajo � = −3�� − 12� − 6
x
y
106 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Ejemplo: figura b,
Se identifica la expresión simbólica canónica que en este caso corresponde al
literal e. � = (� + 2)� − 2 porque, es una parábola cóncava hacia arriba, con el
vértice en el punto cartesiano (-2,-2).
Para encontrar la expresión polinómica equivalente se resuelve el binomio de la
expresión canónica: � = (� + 2)� − 2 entonces aplicando productos notables � =
(�� + 4� + 4)− 2 aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con
respecto a la suma los números Reales efectuamos los productos � = �� + 4� +
4− 2 por tanto, la expresión algebraica polinómica será � = �� + 4� + 2
Ejemplo: figura d.
Se identifica la expresión simbólica canónica que en este caso corresponde al
literal d. � = −3(� + 2)� + 6 porque es una parábola cóncava hacia abajo, con el
vértice en el punto cartesiano (2,6).
Para encontrar la expresión polinómica equivalente se resuelve el binomio de la
expresión cuadrática: � = −3(� + 2)� + 6 entonces aplicando productos notables
� = −3(�� + 4� + 4)+ 6 aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación
con respecto a la suma de los números Reales efectuamos los productos � =
−3�� − 12� − 12 + 6 por tanto la expresión algebraica polinómica será � =
−3�� − 12� − 6
Análisis tarea 3 – Situación 2. (T3/S2)
En esta tarea se busca que el estudiante relacione la expresión simbólica polinómica de la
función cuadrática con su respectiva representación gráfica cartesiana. Con esto se busca
que el estudiante aprenda a realizar la conversión entre una representación simbólica
algebraica (expresión polinómica) y la representación gráfica cartesiana, teniendo en
cuenta que la representación algebraica se puede presentar como una expresión canónica
o como su equivalencia en una expresión polinómica.
DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 107
Tarea 3 – situación 2. Teniendo en cuenta las variables categoriales de las expresiones
algébricas dadas, asocie cada una de las expresiones simbólicas algebraicas con su
respectiva representación gráfica cartesiana, justifique su respuesta. Sugerencia:
encuentre la expresión simbólica algebraica canónica apoyándose en la gráfica y después
halle la equivalencia en polinómica para escoger la respuesta.
a. � = −�� − 6� − 9
b. � = �� + 2� + 6
c. � = 2�� + 2� + 6
d. � = −3�� − 7�
Figura 25: Gráficas de la tarea 3, situación 2.
Figura 1. Figura 2.
Figura 3.
Figura 4. Figura 5. Figura 6.
Se espera que los estudiantes puedan relacionar la expresión polinómica de la función
cuadrática con su respectiva gráfica cartesiana, para lo cual el estudiante debe transformar
la expresión polinómica en una expresión canónica �(�) = �(� + ℎ)� + �, en la que se
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
108 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
identifican las variables categoriales y se les hace corresponder con las variables
visuales correspondientes para elegir la gráfica que corresponde a la expresión polinómica.
Tabla 16: Posibles respuestas que pueden plantear los estudiantes para la tarea 3 - situación 2.
Figura Expresión polinómica
Vértice Abertura Concavidad Expresión canónica
3 a. � = −�� − 6� − 9 (-3,0) -1 Hacia abajo � = −1(� + 3)�
2 b. � = �� + 2� + 6 (-1,5) 1 Hacia arriba � = (� + 1)� + 5
5 c. � = 2�� + 2� + 6 (-1/2,11/2) 2 Hacia abajo � = 2�� +1
2��
+11
2
4 d. � = −3�� − 7� (-7/6,49/12) -3 Hacia abajo � = −3�� +7
6��
+49
12
Ejemplo de posibles tratamientos para la pregunta a (T3/S2)
a. −�� − 6� − 9
Si se tiene la expresión simbólica polinómica � = −�� − 6� − 9
Si se aplica la propiedad asociativa se puede agrupar en un paréntesis los términos
que contengan la variable independiente (�).
� = (−�� − 6�)− 9
Se saca factor común de los términos del paréntesis.
� = −1(�� + 6�)− 9
Se completa el cuadrado de una adición dentro del paréntesis, para lo cual
aplicamos las propiedades del opuesto aditivo y el número neutro, se suma y se
resta el mismo término para no alterar la expresión simbólica algebraica.
� = −1(�� + 6� + 3� − 3�)− 9
Se reagrupa, se debe aplicar la propiedad asociativa y luego la propiedad
distributiva de los números Reales y realiza la suma de los términos que están por
fuera del paréntesis.
� = −1(�� + 6� + 9)+ 9 − 9
DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 109
Se realiza la operación en 9 − 9 = 0 y se obtiene la expresión canónica.
� = −1(� + 3)�
De acuerdo con lo anterior se afirma que la expresión simbólica polinómica
� = −�� − 6� − 9 corresponde a la figura 3, porque es una parábola que es cóncava hacia
abajo con vértice en el punto (-3,0).
Análisis a priori de la situación 3.
La tercera situación plantea las tareas necesarias para verificar que el estudiante ha
conseguido realizar las trasformaciones de la función cuadrática, desde aprehensiones
globales cualitativas de las variables visuales. Para esto se busca que el estudiante
consiga realizar de manera más autónoma los tratamientos en un registro y de igual manera
también pueda realizar la conversión entre registro gráfico cartesiano y registro algebraico
y viceversa. Con el fin de verificar que se ha producido por parte del estudiante una
objetivación de los sistemas de representación de la función cuadrática como objeto de
estudio.
Análisis tarea 1 – situación 3. (T1/S3)
En esta tarea se busca que los estudiantes realicen la representación gráfica de cada uno
de las funciones cuadráticas partiendo de la expresión simbólica polinómica, para eso se
recomienda realizar los tratamientos necesarios para hallar la expresión simbólica canónica
de cada función cuadrática, esto debido a que en la expresión canónica se puede visualizar
de una forma explícita la concavidad y el vértice de la función. Para realizar el cambio entre
la expresión polinómica a la expresión canónica se le sugiere y se les enseñará a los
estudiantes realizar el tratamiento algebraico denominando completar cuadrados, a partir
del cual también se les puede enseñar un tratamiento para encontrar los ceros del polinomio
cuando se tiene la expresión canónica de la función cuadrática.
Tarea 1 – situación 3. Graficar las siguientes funciones cuadráticas las cuales se
encuentran en su expresión polinómica y determinar el dominio, el rango (el cual depende
del valor máximo o mínimo del y). Explique si el vértice es un punto máximo o mínimo del
rango, el eje de simetría y los cortes con los dos ejes cartesianos si existen, para conseguir
110 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
visualizar el vértice de la representación gráfica cartesiana debe pasar a la expresión
polinómica a expresión canónica por medio del tratamiento de completar cuadrados.
Figura 26: Gráficas de la tarea 1, situación 3.
a. � = �� − 2� + 2
b. � = −�� + 9
c. � = −�� + � −
�
�
d. � = �� − 5� + 6
Tabla 17: Posibles respuestas que pueden plantear los estudiantes para la tarea 1
- situación 3.
Figura Expresión polinómica
Vértice Ceros del
polinomio
Concavida
d
Expresión
canónica
a � = �� − 2� + 2 (1,1) No existen Hacia arriba � = (� − 1)� + 1
b � = −�� + 9 (0,9) x=3 y x=-3 Hacia abajo � = −(� + 0)� + 9
c � = −�� + � −1
4 (1/2,0) x=1/2 Hacia abajo � = −�� −
1
2��
d � = �� − 5� + 6 (5/2,-1/4)
x=3 y x=2 Hacia arriba � = �� −5
2��
−1
4
x
y
x
y
x
y
x
y
DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 111
Ejemplo de posibles tratamientos para la pregunta a (T1/S3)
�. � = �� − 2� + 2
Si se tiene la expresión simbólica algebraica. � = �� − 2� + 2
Si se aplica la propiedad asociativa se puede agrupar en un paréntesis los términos
que contengan la variable independiente (�).
� = (�� − 2�)+ 2
Se completa el cuadrado de una adición dentro del paréntesis, para lo cual
aplicamos las propiedades del inverso aditivo y la propiedad modulativa, se suma y
se resta el mismo término para no alterar la expresión simbólica algebraica.
� = (�� − 2� + 1� − 1�)+ 2
Se reagrupa, se debe aplicar la propiedad asociativa y luego la propiedad
distributiva de la multiplicación con respecto a la suma de los números Reales y
realizamos la suma de los términos que están por fuera del paréntesis.
� = 1(�� − 2� + 1)− 1 + 2
Se realiza la operación en −1 + 2 = 1 y se obtiene la expresión canónica.
� = (� − 1)� + 1
Para encontrar los cortes con el eje x
Primero se iguala la expresión simbólica canónica a cero
0 = (� − 1)� + 1
Se despeja aplicando la propiedad del opuesto aditivo el término cuadrado en la ecuación.
(� − 1)� = −1
Cuando se aplica la raíz cuadrada se evidencia que la representación gráfica de la función
no tiene cortes con los ejes porque la raíz cuadrada de un número negativo no está definida
en el conjunto de los números Reales, que corresponde al dominio de la función.
Por tanto, la gráfica será:
112 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Gráfica del literal a. de la Tarea1 – Situación 3
Análisis tarea 2 – situación 3. (T2/S3)
En esta tarea se busca que a partir de la identificación de las variables visuales de la
gráfica de la función cuadrática los estudiantes sean capaces llegar a la expresión
polinómica, la finalidad de esta tarea consiste en verificar si los estudiantes han conseguido
realizar al aprensión global de la gráfica cartesiana Duval (1999), mediante la identificación
de las variables visuales y la realización de los procesos de conversión y tratamientos
necesarios, para que, a partir de la representación gráfica cartesiana de la función
cuadrática, obtengan la expresión polinómica asociada a dicha representación gráfica
cartesiana.
Tarea 2 – situación 3. Las siguientes parábolas son originadas por funciones cuadráticas
de la forma � = �(� − ℎ)� + �, siendo a R-{0}, escriba en cada caso la representación
algebraica en su expresión canónica y la expresión polinómica correspondiente, además
halle los cortes con el eje x y con el eje y.
DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 113
Figura 27. Gráficas de la tarea 2, situación 3.
Se espera que los estudiantes identifiquen en la representación gráfica el punto
correspondiente al vértice y un punto en el cual coincida la figura fondo (cuadrícula) y la
figura forma (parábola), para calcular el coeficiente de la variable independiente elevada al
cuadrado (abertura) tal como se realiza en la tarea 4 de la situación 1.
Al tener la abertura y el vértice el estudiante puede plantear la expresión canónica de la
función cuadrática y a partir de ella con el tratamiento de resolver el binomio al cuadrado
hallar la expresión polinómica.
114 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Tabla 18: Posibles respuestas que pueden plantear los estudiantes para la tarea 2 - situación 3.
Figura Vértice Abertura Expresión canónica
Expresión polinómica
Ceros del polinomio
1 (-3,-2) -1 � = −1(� + 3)� − 2 � = −�� − 6� − 11 No existen
2 (5,2) -1 � = −1(� − 5)� + 2 � = −�� + 10� − 23 x=3,6 y x=6,4
3 (4,5) 2 � = 2(� − 4)� + 5 � = 2�� − 16� + 37 No existen
4 (2,-2) 3 � = 3(� − 2)� − 2 � = 3�� − 12� + 10 x=2,8 y x=1,2
Ejemplo:
Figura 1 de la Tarea 2 - Situación 3 (T2/S3).
Con los dos puntos identificados es la representación gráfica cartesiana se halla la abertura
de la parábola con la expresión canónica de la siguiente manera:
Remplazando el vértice se tiene � = �(� − (−3))� + (−2)
Si se remplaza el punto de coincidencia tenemos −3 = �(−2+ 3)� − 2
Si se despeja tenemos que � = −1
Con la abertura y el vértice se plantea la expresión canónica:
� = −1(� + 3)� − 2
DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 115
Con la expresión canónica se calcula la expresión polinómica.
Resolviendo el binomio: � = −1(� + 3)� − 2 entonces aplicando productos notables
� = −1(�� + 6� + 9)− 2 aplicando la propiedad distributiva de los números Reales
efectuamos los productos: � = −�� − 6� − 9 − 2
Sumamos los términos independientes y tenemos que la expresión polinómica de la
función cuadrática será:
� = −�� − 6� − 11
Rejilla de análisis de las situaciones didácticas.
Tabla 19. Rejilla de análisis de las situaciones didácticas.
Interpretación global
Conversión de sistemas de representación
Caracterización
de la función
Representación gráfica
cartesiana -
Representación
algebraica
Representación
algebraica -
representación gráfica
cartesiana
Variables
visuales
Concavidad S1(T1,T2,T3) S1, (T4), S2(T2, S3) S2(T1,T2,T3), S3(T1,T2)
Vértice S1(T1,T2,T3,T4) S1(T4), (S2, S3) S2(T1,T2,T3), S3(T1,T2)
Cortes con el eje x S1(T2) S2(T3), S3(T1,T2) S2(T1,T2,T3), S3(T1,T2)
Abertura de la
parábola S1(T4) S1(T4), S3(T1,T2) S2(T1,T2,T3), S3(T1,T2)
Representación
gráfica
Figura fondo S1(T2,T3,T4)
S1(T4), S2(T1,T2,T3),
S3(T1,T2) S2(T1,T2,T3), S3(T1,T2)
Figura forma S1(T1,T2,T3,T4)
S1(T4), S2(T1,T2,T3),
S3(T1,T2) S2(T1,T2,T3), S3(T1,T2)
Representación
algebraica
Expresión canónica S2(T1,T2,T3), S3(T1,T2) S2(T1,T2,T3), S3(T1,T2)
Expresión
polinómica S2(T1,T2,T3), S3(T1,T2) S2(T1,T2,T3), S3(T1,T2)
116 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Las variables que se tuvieron en cuenta para el diseño de las situaciones didácticas se
sintetizan en la tabla 19, titulada rejilla de análisis. Esta rejilla se tomará como referencia
para la recolección y análisis de los datos resultantes del trabajo de indagación.
En la realización de esta rejilla se tuvieron en cuenta las variables que intervienen en el
proceso de objetivación de una función cuadrática desde sus representaciones semióticas
simbólica algebraica y cartesiana, considerando: el papel de las variable visuales en el
proceso de interpretación global de las funciones, las diferentes representaciones en las
cuales se puede encontrar las funciones polinómicas, específicamente en este trabajo de
indagación se consideraron la gráfica cartesiana y la expresión simbólica algebraica
(polinómica y canónica) y las trasformaciones necesarias (conversiones y tratamientos)
para el cambio de registro.
4. ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS
En el desarrollo de este capítulo se realizará el reporte y análisis de las producciones
escritas de los estudiantes, recolectadas durante la aplicación de las tres situaciones
didácticas diseñadas y planteadas, en este trabajo de indagación, como una alternativa
para la enseñanza de la función cuadrática. Teniendo como eje orientador el objetivo
general de identificar, analizar y caracterizar la función cuadrática a partir de las
trasformaciones entre las representaciones semióticas (gráfica cartesiana y simbólica
algebraica).
Las situaciones didácticas se aplicaron a 26 estudiantes del grado 9-1 de la institución
educativa Alberto Carvajal Borrero de la ciudad de Cali. Para el análisis de los datos
recolectados se tuvo en cuenta la interpretación de las variables visuales que emergieron
en el desarrollo de las tareas por parte de los estudiantes, para justificar las repuestas
seleccionadas y las trasformaciones (tratamientos y conversiones). Para el análisis de los
datos recolectados se definieron las siguientes categorías.
Categorías de análisis
Categoría 1. Análisis descriptivo de las producciones de los estudiantes obtenidos
en la aplicación de las situaciones.
Categoría 2. Análisis de la aproximación o acercamiento a la comprensión de las
diversas variables visuales de la función cuadrática.
Categoría 3. Análisis de las diferentes trasformaciones (tratamientos-conversiones)
necesarias para la objetivación de la función cuadrática.
118 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Categoría 1. Análisis descriptivo de los resultados de la aplicación de las situaciones
En este análisis se presenta la descripción de los resultados obtenido mediante la
implementación de las situaciones didácticas. En la redacción de este capítulo
denominaremos a las tareas con la letra T y a las situaciones con la letra S.
Análisis descriptivo de las respuestas de la Situación 1. (S1)
Esta situación tenía como objetivo familiarizar al estudiante con las diferentes variables
visuales que se deben tener en cuenta en el proceso de enseñanza aprendizaje de la
función cuadrática, como son: la concavidad, el vértice y la abertura en los registros
gráfico cartesiano y simbólico algebraico. A continuación, se presentan los resultados de
la aplicación de cada una de las tareas planteadas en esta situación didáctica y algunos
ejemplos de las producciones de los alumnos.
Análisis Tarea1 - situación 1. (T1/S1)
Esta tarea buscaba que el estudiante se familiarizara con la representación gráfica
cartesiana de la función cuadrática, para lo cual se presentó dicha representación entre
otras representaciones gráficas de funciones y relaciones. En las producciones se puede
evidenciar que la mayoría de los estudiantes identifican las gráficas correspondientes a la
representación gráfica de la función cuadrática, aunque en la mayoría de los casos los
estudiantes no utilizaron los términos propios del objeto de estudio (vértice, concavidad,
etc.) para explicar o justificar por qué la gráfica representa una función cuadrática.
Con el fin de facilitar la explicación de los resultados de la tarea1 – situación 1, se realizó
una tabla para cada una de las figuras de las que consta la tarea, en cada tabla se
condensaron las respuestas de los estudiantes, además para una mejor ilustración de lo
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 119
encontrado en las producciones de los estudiantes se presentaron dos ejemplos
representativos de las producciones de la muestra. En estas producciones se pudieron
evidenciar los argumentos dados por los estudiantes para explicar porqué la gráfica
correspondía a la representación de una función cuadrática o no representaba una función
cuadrática.
Tabla 20. Análisis de la figura 1, (T1/S1).
Análisis de la figura 1, (T1/S1). Respuesta de los estudiantes N° estudiantes
Reconocen que la representación gráfica que no corresponde a una representación de una función cuadrática.
26
Reconocen que no es una representación de una función cuadrática pero no pueden plantear una expansión discursiva dando cuenta del porqué.
5
Argumentan que no es una representación función cuadrática porque tiene dos vértices.
17
Argumentan que no es una representación de una función cuadrática porque abre hacia arriba y hacia abajo en una misma gráfica.
4
Total 26
Figura 28: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de la figura 1, (T1/S1).
120 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Como se nuestra en la tabla 20, todos los estudiantes afirman que la figura 1, (T1/S1), no corresponde a la representación cartesiana de la función cuadrática, 17 estudiantes afirman que la figura 1, (T1/S1), no corresponde a la representación gráfica de la función cuadrática porque la gráfica de la función cuadrática solo tiene un vértice y la figura 1, (T1/S1), tiene dos vértices. Mientras 4 estudiantes afirman que la figura 1, (T1/S1), no corresponde a la representación gráfica cartesiana de una función cuadrática y, para argumentar, su respuesta afirman que “no tiene un solo punto de referencia (vértice), y abre hacia arriba y hacia abajo” es decir que la gráfica abre en dos direcciones mientras que la gráfica de la función cuadrática solo abre hacia arriba o hacia abajo, como se puede ver en la figura 28.
Tabla 21: Análisis de la figura 2, (T1/S1).
Análisis de la figura 2, (T1/S1). Respuesta de los estudiantes N° estudiantes
Argumentan que es una representación de una función cuadrática porque tiene un vértice y es una parábola que abre hacia arriba
5
Reconocen que es representación de una función cuadrática pero no pueden explicar el porqué
16
Es una representación gráfica de una función cuadrática porque tiene un vértice y abre hacia arriba
5
Total 26
Figura 29: Ejemplo de Repuesta del estudiante de la figura 2, (T1/S1).
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 121
Como se muestra en la tabla 21, y en el ejemplo presentado en la figura 29, de la figura 2,
(T1/S1), todos los estudiantes fueron capaces de identificar que la figura 2, (T1/S1),
correspondía a la representación gráfica de la función cuadrática, 5 estudiantes
argumentan que la gráfica corresponde a una parábola que abre hacia arriba como se
muestra en la figura 29, aunque ninguno de ellos utilizó la palabra concavidad para referirse
a dicha dirección de la abertura. 16 de los estudiantes no justificaron por qué afirmaban
que la figura 2, (T1/S1), correspondía a una representación gráfica de la función cuadrática
y los 5 estudiantes restantes justifican su respuesta al afirmar que ¨la gráfica posee un
vértice definido y abre hacia arriba¨.
Tabla 22: Análisis de la figura 3, (T1/ S1).
Análisis de la figura 3, (T1/S1).
Respuesta de los estudiantes N° estudiantes Argumenta que No es una representación de la función cuadrática porque se abre hacia un lado (hacia la derecha)
16
Argumenta que No es una representación de una función cuadrática porque la función cuadrática sólo abre hacia arriba o hacia abajo
10
Total 26
Figura 30: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de la figura 3, (T1/S1).
.
Como se muestra en la tabla 22, todos los estudiantes identificaron que la figura 3, (T1/S1),
no corresponde a la representación gráfica de una función cuadrática, en la figura 30 se
puede observar dos de las repuestas presentadas por los estudiantes para la figura 3,
(T1/S1), de estas dos respuestas 16 de los estudiantes justificaron su respuesta al afirmar
122 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
que la figura 3, (T1/S1), no correspondía a la representación gráfica de una función
cuadrática porque la figura 3, (T1/S1), abre hacia un lado y los 10 estudiantes restantes
afirman que no corresponde a la representación gráfica de una función cuadrática porque
no abre hacia arriba o hacia abajo.
Tabla 23: Análisis de la figura 4, (T1/S1).
Análisis de la figura 4, (T1/S1).
Respuesta de los estudiantes N° estudiantes Aseguran que es una representación de función cuadrática porque tiene un vértice y es una parábola que abre hacia abajo.
6
Reconocen que es una función cuadrática pero no poseen las expansiones discursivas para explicar porqué.
14
Aseguran que es función cuadrática porque tiene un vértice y abre hacia abajo.
6
Total 26
Figura 31. Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de la figura 4, (T1/S1).
Como se muestra en la tabla 23, y en los ejemplos presentados en la figura 31 todos los
estudiantes fueron capaces de identificar que la gráfica correspondía a la representación
gráfica de la función cuadrática, pero sólo 6 de ellos fueron capaces de decir que la figura
4, (T1/S1), tenía un vértice y correspondía a una parábola, aunque al igual que en la figura
2 (T1/S1), ninguno de ellos utilizó la palabra concavidad para referirse a dicha dirección de
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 123
la abertura, 14 de los estudiantes afirman que la figura 4, (T1/S1), corresponde a la
representación gráfica de la función cuadrática pero no explican por qué, los 6 estudiantes
restantes justifican su respuesta al afirmar que la figura 4, (T1/S1)corresponde a la
representación gráfica de una función cuadrática porque posee un vértice al cual algunos
de ellos llamaron ¨punto de partida¨ definido y abre hacia abajo.
Tabla 24: Análisis de la figura 5, (T1/S1).
Análisis de la figura 5, (T1/S1). Respuesta de los estudiantes N° estudiantes
Es una representación de una función cuadrática porque tiene un vértice y es una parábola que abre hacia abajo.
7
Reconocen que es una representación de una función cuadrática pero no poseen las expansiones discursivas para explicar porqué.
12
Es una representación de una función cuadrática porque tiene un vértice y abre hacia abajo.
7
Total 26
Figura 32. Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de la figura 5, (T1/S1).
Como se muestra en la tabla 24, todos los estudiantes identificaron que la figura 5, (T1/S1),
correspondía a la representación gráfica de la función cuadrática esto puede tener
explicación en que ese tema lo acababan de ver en la clase anterior y la mayoría de ellos
se acordaban del tema, 7 estudiantes justificaron su respuesta al afirmar que la gráfica
correspondía a una parábola que abre hacia abajo ejemplo de esto se muestra en figura
124 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
32, 12 de los estudiantes afirman que la figura 5, (T1/S1), correspondía a la representación
gráfica de la función cuadrática pero no explicaron el porqué de su respuesta. Los 7
estudiantes restantes justifican su respuesta al afirmar que la figura 5, (T1/S1), posee un
vértice definido y abre hacia arriba. En esta gráfica ya se pude notar el esfuerzo de algunos
estudiantes por identificar el punto correspondiente al vértice de la parábola, al decir que
¨la gráfica abre en el punto 5¨ ver figura 32. En las explicaciones o discusiones en clase se
les enfatizó que cuando se va a definir un punto en el plano cartesiano se debe colocar la
coordenada correcta, por tanto, el vértice estaría en el punto (0,5).
Tabla 25: Análisis de la figura 6, (T1/S1).
Análisis de la figura 6, (T1/S1).
Respuesta de los estudiantes N° estudiantes No es una representación de una función cuadrática. 26 Reconocen que no es una representación de una función cuadrática pero no poseen las expansiones discursivas para explicar porqué.
7
No es una representación de una función cuadrática porque no es una parábola.
5
No es una representación de una función cuadrática porque es una línea recta.
14
Total 26
Figura 33: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de la figura 6, (T1/S1).
Como se muestra en la tabla 25, Todos los estudiantes fueron capaces de identificar que
la gráfica no corresponde a la gráfica de la función cuadrática. 14 estudiantes afirman que
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 125
la figura 6, (T1/S1), no corresponde a la representación gráfica de una función cuadrática
y argumentan que la figura 6, (T1/S1), corresponde a la representación gráfica de una
función lineal para lo cual afirman que ¨la gráfica corresponde a una línea recta; 7 de los
estudiantes afirman que no es la representación gráfica de una función cuadrática pero no
justifican su respuesta y los 5 estudiantes restantes afirman que no corresponde a la
representación gráfica de una función cuadrática porque no es una parábola y otros
afirman que no es porque ¨no abre hacia ningún lado¨ como se muestra en la figura 33.
Tabla 26: Análisis de la figura 7, (T1/S1).
Análisis de la figura 7, (T1/S1).
Respuesta de los estudiantes N° estudiantes
No es una representación de una función cuadrática 26
Reconocen que no es una representación de una función cuadrática pero no pueden explicar el porqué
10
Argumentan que no es una representación de una función cuadrática porque no es una parábola
4
Argumentan que no es una representación de una función porque ambos lados deben abrirse hacia el mismo sentido
12
Total 26
Figura 34. Ejemplo de la Repuesta de un estudiante de la figura 7, (T1/S1).
126 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Como se muestra en la tabla 26, por un lado, la respuesta de todos los estudiantes
concuerda en que la figura 7, (T1/S1), no corresponde a la representación gráfica de la
función cuadrática, en el ejemplo presentado en la figura 34, el estudiante afirma que la
figura 7, (T1/S1), no es una parábola y complementa su respuesta diciendo los lados abren
hacia arriba y hacia abajo. Por otro lado, 4 estudiantes justifican su respuesta al afirmar
que la figura 7, (T1/S1), no corresponde a una parábola, 10 estudiantes afirman que no es
la representación gráfica de una función cuadrática pero no justifican su respuesta, los 12
estudiantes restantes afirman que no es la representación gráfica de una función
cuadrática porque ¨no existe una abertura¨ (concavidad) o que ¨no es una curva en V¨.
Tabla 27: Análisis de la figura 8, (T1/S1).
Análisis de la figura 8, (T1/S1).
Respuesta de los estudiantes N° estudiantes Es una representación de una función cuadrática porque tiene un vértice y es una parábola que abre hacia arriba
5
Reconocen que es una representación de una función cuadrática pero no pueden explicar el porqué
14
Es una representación de una función cuadrática porque tiene un vértice y abre hacia arriba
7
Total 26
Figura 35: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de la figura 8, (T1/S1).
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 127
Como se muestra en la tabla 27 todos los estudiantes fueron capaces de identificar que la
figura 8, (T1/S1), correspondía a la representación gráfica de la función cuadrática, 5 de
los estudiantes afirman que la figura 8, (T1/S1), corresponde a una parábola que abre hacia
arriba, ver figura 35, aunque ninguno de ellos utilizó la palabra concavidad para referirse a
dicha dirección de la abertura, 14 de los estudiantes afirman que la figura 8, (T1/S1),
corresponde a la representación gráfica de la función cuadrática, pero no explicaron el
porqué de esta afirmación lo que denota una limitación desde las expansiones discursivas
de los estudiantes para realizar la explicación de un proceso. Los 7 estudiantes restantes
justifican su respuesta al afirmar que la figura 8, (T1/S1) si corresponde a la representación
gráfica de la función cuadrática afirmando que “posee un vértice definido y abre hacia
arriba”.
De los resultados obtenidos en la tarea 1 de la situación 1, se puede afirmar que si bien
los estudiantes consiguieron identificar las representaciones gráficas cartesianas
correspondientes la función cuadrática entre distintas representaciones gráficas
cartesianas de distintas funciones (cuadráticas y no cuadráticas) y aquellas gráficas que
no representaban funciones, las cuales se les presentaron en esta tarea, se puede
observar como el número de estudiantes que no argumentaron su respuesta fue
disminuyendo desde 16 para la figura 2, (T1/S1), hasta 7 la figura 6, (T1/S1), con lo cual
podríamos decir que los estudiantes fueron adquiriendo las herramientas discursivas para
explicar las respuestas a medida que realizaban la tarea.
Para explicar las respuestas los estudiantes recurren a llamar a las variables visuales de
distinta manera: al vértice como “punto de giro, punto de salida, punto de partida o punto
de referencia”; para referirse a la concavidad dicen: que “la parábola abre hacia abajo o
hacia arriba”. También son pocos los que utilizan la palabra parábola para referirse a la
representación gráfica cartesiana de la función cuadrática y solo se limitan a decir que la
figura abre hacia arriba o hacia abajo. Lo cual se puede considerar normal en el proceso
de aprendizaje de las designaciones características de la función cuadrática.
Análisis Tarea 2- Situación 1. (T2/S1)
Por medio de esta tarea se buscaba que los estudiantes fueran capaces de relacionar un
enunciado escrito en lenguaje natural, con las representaciones gráficas cartesianas de
128 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
las funciones cuadráticas, esto con el fin de que se familiarizaran y utilizarán el lenguaje
especifico de la función, observaran cómo se puede presentar la gráfica de la función
cuadrática en el plano cartesiano (posiciones en las que se puede encontrar la parábola)
e identificarán la concavidad, los interceptos con el eje de abscisas, el vértice y las
direcciones de los desplazamientos de la gráfica, como variables visuales de la
representación gráfica cartesiana de la función cuadrática.
Aunque los estudiantes relacionaron de forma correcta los enunciados escritos en lenguaje
natural con las representaciones gráficas cartesianas de la función cuadrática y 18
estudiantes completaron los enunciados faltantes de forma acertada, se puede evidenciar
en sus respuestas la falta de uso del lenguaje especializado para designar la característica
de la función que se está estudiando. De los 18 estudiantes que completaron
correctamente los enunciados faltantes, 8 hacen referencia a la abertura de la parábola
como concavidad, 5 estudiantes afirman que la parábola abre hacia arriba o hacia abajo
según sea el caso, y 3 estudiantes mencionan ¨hacia arriba o hacia abajo¨ para designar
hacia a donde es la concavidad de la parábola como se puede ver en los ejemplos
presentados en la figura 36.
Tabla 28: Análisis de la Tarea 2, situación 1.
Análisis de la tarea 2- situación 1
Respuesta de los estudiantes N° estudiantes
El estudiante relaciona los textos con las gráficas, aunque no completaron los textos faltantes
8
El estudiante relaciona los textos con las gráficas y completaron los textos faltantes
18
Total 26
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 129
Figura 36: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 2. Situación 1.
Análisis Tarea 3 – Situación 1. (T3/S1)
En esta tarea se introduce la representación simbólica algebraica de la función cuadrática
y se busca que el estudiante a partir de las representaciones gráficas cartesianas
correspondientes a las parábolas básicas, � = ��; � = –��, identifique cuál de estas
expresiones simbólicas canónicas da origen a la representación gráfica cartesiana.
La mayoría de los estudiantes, 22 de 26, identificaron cuál fue la figura que dio origen a
cada una de las parábolas, así como las unidades que cada una de las parábolas se
trasladaron sobre cada uno de los ejes cartesianos. 10 de los estudiantes utilizaron la
expresión ¨la gráfica se corrió cierta cantidad de unidades a la derecha y corrió cierta
cantidad de unidades hacia arriba¨, para designar el traslado de la parábola; los 4
estudiantes que no identifican la figura que da origen a la parábola, o no identifican en la
cuadrícula (figura fondo), el punto donde está ubicado el vértice; los 12 estudiantes
restantes identificaron de forma correcta el respectivo vértice para cada una de las
parábolas, además utilizaron el lenguaje adecuado no solo para mencionar la gráfica como
una parábola sino también para enunciar los movimientos en los ejes como traslados del
vértice.
130 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Tabla 29: Análisis de la Tarea 3, situación 1.
Análisis de la tarea 3, situación 1
Respuesta de los estudiantes N° estudiantes El estudiante identifica cual figura dio origen a la parábola, así como las unidades que se trasladó en cada uno de los ejes.
22
El estudiante no identifica cual figura dio origen a la parábola o cuántas unidades se trasladó.
4
Total 26
Figura 37: Repuestas de los estudiantes Tarea 3. Situación 1.
En esta tarea se pudo constatar que los estudiantes realizaron de forma correcta la
aprehensión local por punteo, cuando 22 de 26 de ellos identificaron los desplazamientos
de cada una de las representaciones gráficas cartesianas en el plano.
Análisis Tarea 4 – Situación 1. (T4/S1)
En esta tarea se introduce la tercera variable visual de la función cuadrática (la abertura),
se buscaba que el estudiante realizara los procesos de conversión entre una
representación gráfica cartesiana y la representación algebraica canónica de la función
cuadrática. Para lo cual el estudiante debía hallar la abertura de la gráfica de la función
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 131
cuadrática, el coeficiente “�” de la expresión canónica ( � = �(� − ℎ)� + � ��� � ≠ 0 )
donde ℎ y � son las coordenadas del vértice. Además, el estudiante debe relacionar este
resultado con el coeficiente “�” de la variable independiente que se encuentra elevada al
cuadrado en la expresión polinómica de la función cuadrática.
Es de resaltar que en esta tarea no se pidió explícitamente a los estudiantes razonar sobre
el comportamiento de la abertura de la parábola, pero siempre es la intención de la
situación, llevar a que los estudiantes relacionen la concavidad con el comportamiento de
la abertura de la parábola de acuerdo con valor absoluto del coeficiente “�”. Consiguiendo
generalizar hasta llegar a comprender que cuando el valor absoluto del coeficiente de la
variable independiente que se encuentra al cuadrado es mayor que uno |�|> 1 (la
parábola se cierra), o cuando el valor absoluto del coeficiente “a”, 0 < |�|< 1 (la parábola
se abre) y que puede ser cóncava hacia arriba o hacia abajo con la misma abertura.
La mayoría de los estudiantes, 23 de 26, consiguieron realizar el tratamiento de calcular el
coeficiente que acompaña la variable al cuadrado, para lo cual identificaron en la gráfica
de la función cuadrática el punto correspondiente al vértice de la parábola (0,0) y lo
remplazaron en la expresión canónica de la función cuadrática la cual es de la forma � =
�(� − ℎ)� + �, donde ℎ y � son las coordenadas del vértice de la parábola. Después
identificaron un punto en el cual se intersecan la cuadrícula de la figura fondo con la gráfica
de la parábola (figura forma), el cual fue tomado como los valores de las variables “x” y “y”,
al remplazar este punto procedieron a despejar y calcular el coeficiente.
En la tarea 4 de la situación 1 17 estudiantes realizaron de forma correcta la identificación
de punto en la gráfica en el cual se intersecaran la figura fondo (cuadrícula) y la figura
fondo (parábola), y realizaron de forma acertada los tratamientos aritméticos para
encontrar el valor de cada uno de los coeficiente ejemplo de esto se puede ver en la figura
38.
En esta tarea 6 estudiantes cometieron más de un error en el signo al realizar el cálculo
del coeficiente, ante lo cual se podría afirmar que estos estudiantes no tienen claro lo que
representa el signo del coeficiente de la variable elevada al cuadrado en la expresión
algebraica y su conversión en la gráfica de la función cuadrática (sentido de la concavidad),
132 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
puesto que si lo tuviesen claro sabrían que siempre que la gráfica es cóncava hacia abajo
el coeficiente debe ser negativo. Algo significativo es que solo 3 estudiantes no
consiguieron identificar un punto en el cual se intersecaran la parábola y la cuadrícula, el
cual les permitiera calcular el coeficiente.
Tabla 30: Análisis de la Tarea 4, situación 1.
Análisis de la tarea 4
Respuesta de los estudiantes N°
estudiantes Identifican un punto, remplazan y realizan de forma correcta los tratamientos aritméticos para encontrar el valor del coeficiente. 17
Identifican un punto, remplazan y realizan los tratamientos aritméticos para encontrar el valor del coeficiente, pero tiene más de un fallo en el signo del resultado. 6
No identificaron un punto en la gráfica y por ende no realizaron los tratamientos para encontrar el coeficiente. 3
Total 26
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 133
Figura 38: Repuestas de los estudiantes Tarea 4. Situación 1.
Los estudiantes identifican en la figura fondo los puntos de intersección de ésta con la
figura forma, aunque algunos tienen dificultades en la manipulación de las tratamientos
aritméticos para el cálculo del coeficiente “a”, ante lo cual se realiza intervención por parte
del docente con el fin de explicar y aclarar las dudas sobre los tratamientos con los signos
de agrupación, para reducir estos errores.
Análisis situación 2. (S2)
Esta situación buscaba que el estudiante pudiera aplicar los variables visuales,
reconocidas en la situación 1, para relacionar las representaciones gráficas cartesianas de
la función cuadrática con su representación algebraica canónica; para eso, el estudiante
debía tener en cuenta las variables visuales como: la concavidad, la abertura y el
vértice. Para encontrar la expresión canónica de la función cuadrática, una vez
identificadas las variables visuales, deberían realizar el tratamiento algebraico (resolver
134 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
el binomio al cuadrado) para transformar la expresión canónica a la expresión polinómica
de la función cuadrática.
Análisis Tarea 1 – Situación 2. (T1/S2)
En esta tarea los estudiantes debían a partir de estas variables categoriales relacionar la
expresión simbólica algebraica canónica de las funciones cuadráticas con su respectiva
representación gráfica cartesiana, cabe resaltar que los estudiantes también podrían haber
realizado el proceso inverso, lo que quiere decir que al identificar las variables visuales
pudieran relacionar la representación gráfica cartesiana con su respectiva expresión
canónica. Una vez hecho esto el estudiante debería aplicar el tratamiento de resolver el
binomio al cuadrado, para transformar la expresión canónica a una expresión polinómica
equivalente.
Los estudiantes relacionaron de forma correcta las representaciones simbólicas
algebraicas de la función cuadrática que se encontraban en la expresión canónica con su
respectiva representación gráfica cartesiana, aunque todos cometieron el mismo error al
realizar el cambio de la expresión canónica a la expresión polinómica para el punto c, el
cual consistió en que al multiplicar el coeficiente “�” de la expresión simbólica canónica
que estaba afuera del paréntesis por el trinomio que se encontraba dentro de los mismos,
solo multiplicaron por el coeficiente de variable al cuadrado y no por el resto de los
componentes del trinomio como se muestra en la figura 39, lo que ocasionó que obtuvieran
como respuesta la expresión: � = −2�� + 6� + 6 y no la expresión � = −2�� + 12� − 21 la
cual era la respuesta correcta, Este error confirma que los estudiantes proceden utilizando
la memoria conocimiento figurativo en lugar de la aplicación consciente de las propiedades
de los números Reales conocimiento operativo.
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 135
Tabla 31: Análisis de la Tarea 1, situación 2.
Análisis de la tarea 1
Respuesta de los estudiantes N°
estudiantes Estudiantes con un error (no multiplicar el coeficiente “�” por el binomio en la pregunta c) 6 Estudiantes con dos errores (no multiplicar el coeficiente “�” por el binomio en la pregunta c y e) 16 Estudiantes con tres errores (no multiplicar el coeficiente “�” por el binomio en la pregunta c, e y f) 4
Total 26
Figura 39. Repuestas de los estudiantes Tarea 1. Situación 2.
136 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Los estudiantes presentaron dificultades para encontrar la expresión simbólica polinómica
cuando el coeficiente “�”, era un número negativo, o un número fraccionario, al no realizar
de forma correcta la multiplicación entre el coeficiente y el trinomio que se encontraba
dentro del paréntesis, la mayoría de estudiantes multiplicó el valor del coeficiente “�”, solo
por el primer término del trinomio o no multiplicaron el signo del coeficiente cómo se puede
ver en la figura 39, por tanto no encontraron la expresión simbólica polinómica correcta.
Análisis Tarea 2 – situación 2. (T2/S2)
En esta tarea los estudiantes debían relacionar la representación gráfica de la función
cuadrática con la expresión algebraica canónica, con la ayuda de las de las variables
visuales (concavidad, vértice, abertura, corte con el eje de las abscisas y desplazamientos
de la parábola) los estudiantes debían elegir la expresión canónica representa la gráfica
cartesiana y una vez elegida la expresión canónica que considerara correcta, el estudiante
debía realizar los tratamientos para transformar la expresión canónica en la expresión
polinómica.
Los estudiantes relacionaron de forma correcta cada una de las representaciones gráficas
cartesianas de la función cuadrática con su respectiva expresión simbólica algebraica, pero
sólo 8 de ellos realizaron los tratamientos (resolver el binomio), necesario para encontrar
la expresión polinómica de las correspondientes repuestas ver figura 40. Este porcentaje
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 137
pequeño permite concluir que la mayoría de los estudiantes no tienen un grado de
consciencia de las propiedades de los Reales que permiten hacer las transformaciones.
Como maestros se debe considerar que esto no se construye en un solo año escolar sino
que es un proceso que requiere muchos años desde la educación básica. Es importante
señalar que estos 8 estudiantes al justificar las repuestas incluyeron las palabras como
concavidad y el vértice de la parábola, con lo que se puede afirmar que algunos estudiantes
adquirieron los términos especializados necesarios para justificar sus respuestas a partir
de los conceptos propios del objeto de estudio.
Cabe resaltar que la mayoría de los estudiantes al escribir el punto correspondiente al
vértice de la parábola invirtieron los valores correspondientes a las coordenadas del
vértice, por ejemplo, el vértice de la primera figura que es el punto (3,1), los estudiantes lo
escribieron como el punto (1,3), lo que fue señalado y explicado por el docente en la
intervención realizada al final de la aplicación de la tarea. Esta dificultad se dá quizás
porque las reglas de conformación de los gráficos cartesianos no han sido objetos de
enseñanza en los grados anteriores, en algunos casos se considera que es natural este
acercamiento al registro gráfico cartesiano.
Tabla 32: Análisis de la Tarea 2, situación 2.
Análisis de la tarea 2
Respuesta de los estudiantes N°
estudiantes Estudiantes que relacionan de forma correcta la expresión simbólica algebraica y la gráfica, además realizan el tratamiento para pasar de expresión simbólica algebraica canónica a expresión simbólica algebraica polinómica
8
Estudiantes que relacionan de forma correcta la expresión simbólica algebraica y la gráfica cartesiana, pero no realizaron el tratamiento para encontrar la expresión polinómica
17
Total 25
138 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Figura 40: Repuestas de los estudiantes Tarea 2. Situación 2.
En esta tarea se pudieron notar la dificultades que tienen los estudiantes para trabajar con
productos notables, al no comprender que su solución es una abreviación de la aplicación
la propiedad distributiva de los números Reales para dos binomios, debido a que de los
17 estudiantes no realizaron el tratamiento para resolver el binomio al cuadrado, no sabían
qué hacer con el exponente y otros porque tenían problemas con los signos de agrupación.
Esto nuevamente nos está ratificando el poco acercamiento que tienen los estudiantes con
la estructura de los Reales, es decir de las propiedades que constituyen las reglas de
transformación al interior de un registro numérico o algebraico. Esto es recurrente en las
tareas planteadas en clases, donde se ha podido constatar que muchos estudiantes no
realizaron las tareas cuando en éstas interviene algún signo de agrupación, como se puede
ver en la figura 40. Cuando fuera de los paréntesis no hay ningún número los estudiantes
realizan las operaciones de forma correcta, pero en el numeral “d” cuando afuera hay un
número, la mayoría multiplicó ese número sólo por el primer término del trinomio, lo que
ocasionó que no encontraran la expresión polinómica correcta.
Análisis Tarea 3 – Situación 2.
En esta tarea se buscaba que los estudiantes relacionaran la expresión polinómica de la
función cuadrática con sus respectivas representaciones gráficas cartesianas, para lo cual
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 139
los estudiantes podían encontrar la expresión simbólica canónica equivalente de las
expresiones simbólicas polinómicas o podían a partir de las variables visuales de la
representación gráfica cartesiana encontrar la expresión canónica y posteriormente desde
las propiedades de los números Reales realizar los tratamientos para encontrar las
expresión polinómica equivalente.
De acuerdo con lo plasmado en la tabla 33 La mayoría de los estudiantes, 15 de 26, fueron
capaces de relacionar cada una de las expresiones simbólicas polinómicas con su
respectiva representación gráfica cartesiana, para lo cual utilizaron el método de completar
cuadrados con el fin de transformar la expresión simbólica algebraica que se encontraba
como una expresión polinómica a la expresión canónica y así poder identificar de una
forma más fácil el vértice de la función. El tratamiento realizado por los estudiantes se
puede evidenciar en la figura 41.
Tabla 33: Análisis de la Tarea 3, Situación 2.
Análisis de la tarea 3, situación 2
Respuesta de los estudiantes N°
estudiantes Estudiantes que relacionaron todas las expresiones polinómicas con sus respectivas gráficas cartesianas 15 Estudiantes que relacionaron 3 de las expresiones polinómicas con sus respectivas gráficas cartesianas 2 Estudiantes que relacionaron 2 de las expresiones polinómicas con sus respectivas gráficas cartesianas 4 Estudiantes que no relacionaron las expresiones polinómicas con sus respectivas gráficas cartesianas 5
Total 26
140 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Figura 41: Repuestas de los estudiantes Tarea 3. Situación 2.
Como se puede apreciar en la figura 41, la mayoría de los estudiantes, 15 de 26, de
acuerdo con la tabla 32, implementaron el tratamiento de completar cuadrados para
encontrar la expresión simbólica canónica y con la cual identificaron el vértice de la
representación gráfica cartesiana, con esta variable visual y la concavidad asociaron la
expresión simbólica polinómica a su respectiva representación gráfica cartesiana.
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 141
Análisis situación 3. (S3)
Mediante esta situación se buscaba que los estudiantes realizaran los procesos de
conversión entre las distintas representaciones de la función cuadrática (representación
gráfica cartesiana y representación simbólica algebraica polinómica), así como los
tratamientos que se podían realizar el registro algebraico con el fin de visualizar algunas
variables que les facilitaran a los estudiantes la realización de los procesos de conversión.
Análisis Tarea 1 – Situación 3. (T1/S3)
En esta tarea los estudiantes debían realizar los tratamientos necesarios para, a partir de
la expresión polinómica de la función cuadrática, llegar a la representación gráfica
cartesiana, para lo cual se recomendó a los estudiantes utilizar los tratamientos vistos
anteriormente para transformar la expresión polinómica a una expresión canónica, en la
cual pudieran identificar el vértice de la función, para tal fin, se explica por medio de un
ejemplo cómo se debe realizar el tratamiento para completar cuadrados y cómo encontrar
los cortes con el eje �.
Tabla 34: Análisis de la Tarea 1, situación 3.
Análisis de la Tarea 1, Situación 3
Respuesta de los estudiantes N°
estudiantes Estudiantes que realizaron la representación gráfica cartesiana de todas las expresiones simbólicas algebraicas de la función cuadrática. 11 Estudiantes que realizaron la representación gráfica
cartesiana correspondiente a 3 de las expresiones
simbólicas algebraicas cuadráticas. 8
Estudiantes que realizaron la representación gráfica
cartesiana correspondiente a 2 de la expresión simbólica
algebraica de la función cuadrática. 2
Estudiantes que realizaron la representación gráfica
cartesiana correspondiente a 1 de las expresiones
simbólicas algebraicas de la función cuadrática. 5
Total 26
142 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Figura 42: Repuestas de los estudiantes Tarea 1. Situación 3.
En la primera expresión simbólica algebraica de esta tarea 11 estudiantes no consiguieron
encontrar el vértice de la parábola, entre los cuales 5 de ellos realizaron mal el tratamiento
para completar cuadrados y los otros 6 estudiantes recurrieron a la ecuación planteada por
algunos textos para hallar el vértice de la representación gráfica cartesiana de la función
cuadrática y fallaron al realizar una aplicación, lo cual se cree que puede ser una de las
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 143
consecuencias de la mecanización de operaciones, las cuales se repiten sin ningún tipo
de análisis por parte del estudiante.
Los estudiantes restantes aplicaron de forma correcta el procedimiento para completar los
cuadrados y a partir de éste identificaron el vértice de la parábola como se muestra en la
figura 42, algunos de ellos utilizaron la explicación para encontrar que no había ceros en
el polinomio y 2 de ellos utilizaron el discriminante llegando a la conclusión que no había
ceros porque el discriminante es menor que 0, otros estudiantes aunque no escribieron su
respuesta argumentaron que no existían cortes con el eje x, porque ¨abre hacia arriba y
donde es la ubicación del vértice.
En la segunda expresión simbólica algebraica de esta tarea todos los estudiantes
realizaron de forma correcta la gráfica aunque sólo 10 de ellos continuaron el tratamiento
indicado para encontrar los cortes con el eje �. En la expresión simbólica algebraica 3 de
los estudiantes cometieron el mismo error el cual consistió en no multiplicar 1/4 que se
encontraba dentro del paréntesis por el signo de la concavidad y esto ocasionó que el
resultado les diera la coordenada del eje � del vértice 1/8 en vez de darles cero, sólo 5
estudiantes identificaron que la coordenada del eje � del vértice coincidía con el corte en
el eje �. Este comportamiento se puede explicar como que la mayoría de los
estudiantes se limitan a realizar los tratamientos que se les pide en la tarea (en
algunos casos con errores por la falta de manejo de la estructura algebraica de los
números Reales), sin conseguir una interpretación de los resultados obtenido y
establecer una generalización de los comportamientos del objeto de estudio.
Análisis Tarea 2 –Situación 3. (T2/S3)
En esta tarea los estudiantes debían a partir de las variables visuales de la representación
gráfica cartesiana de la función cuadrática (figura forma) y, utilizando la cuadricula (figura
fondo), identificar el vértice y al remplazar en la expresión canónica de la función cuadrática
realizar los tratamientos vistos en las tareas anteriores para encontrar la expresión
canónica y posteriormente la expresión polinómica de la función cuadrática.
144 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Tabla 35. Análisis de la Tarea 2, situación 3.
Análisis de la tarea 2, situación 3
Respuesta de los estudiantes N°
estudiantes Estudiantes que realizaron la conversión entre la representación gráfica cartesiana y la representación algebraica polinómica de todas las gráficas cartesianas. 2 Estudiantes que realizaron la conversión entre la representación gráfica cartesiana y la representación algebraica polinómica de 3 de las gráficas cartesianas. 22 Estudiantes que realizaron la conversión entre la
representación gráfica cartesiana y la representación
algebraica polinómica de 2 de todas las gráficas
cartesianas. 2
Total 26
Figura 43: Repuestas de los estudiantes Tarea 2. Situación 3.
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 145
En esta tarea los estudiantes recurrieron a lo aprendido en la tarea 4 de la situación 1 para
calcular la abertura de la parábola, lo cual consistió en ubicar el vértice de la parábola y un
punto que considera con la cuadrícula de la figura fondo, al remplazar estos dos puntos
en la expresión simbólica algebraica canónica de la función cuadrática pudieron despejar
y encontrar el valor de la abertura de la parábola (ver figura 43), una vez realizaron esto
reemplazaron el valor recientemente hallado de la abertura y el vértice de la parábola en
la expresión simbólica algebraica canónica y al solucionar el binomio al cuadrado
encontraron la expresión polinómica, también recurrieron el procedimiento explicado en la
tarea anterior para hallar los cortes con el eje �.
Como se muestra en la Tabla 35, 22 estudiantes cometieron un error en la segunda
pregunta el cual consistió en el tratamiento para calcular la abertura después de remplazar
el vértice (5,2), en la expresión canónica. Al remplazar el punto de la gráfica en el cual
coincidían la figura fondo y la figura forma el cual la mayoría tomo como el punto (4,1),
cambiaron el 5 de la coordenada en x del vértice por el número 2, lo que ocasionó que la
abertura les diera un valor de ¼ en vez de -1 (ver figura 43), ante esto se podía afirmar
que algunos estudiantes no realizaron el procedimiento de forma adecuada porque
algunos no están familiarizados con las reglas de conformación del registro gráfico
cartesiano y algunos por la falta de manejo de las propiedades de los Reales.
Categoría 2. Análisis de las variables visuales de la representación gráfica cartesiana de la función cuadrática.
En esta categoría se realizará el análisis de los resultados, con base en cómo se
movilizaron cada una las variables visuales de la representación gráfica cartesiana de la
función cuadrática en el transcurso de las tareas de las 3 situaciones didácticas aplicadas.
Análisis de la variable visual Concavidad
En el siguiente apartado se verá como la variable visual concavidad está presente desde
la primera tarea de la situación 1, donde mayoría de estudiantes recurrieron a esta variable
visual para justificar cuándo las distintas gráficas pertenecían o no a la representación
gráfica de la función cuadrática, cabe resaltar que, aunque ninguno de ellos utiliza la
146 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
palabra concavidad si se refieren a ésta con frases “cómo abre hacia arriba o abre hacia
abajo”
Análisis de concavidad en la Tarea 1 – Situación 1. (T1/S1)
En esta tarea los estudiantes utilizaron la concavidad para justificar cuando la figura
corresponde a la representación gráfica de la función cuadrática, en la figura 1, (T1/ S1), 4
estudiantes mencionan que la gráfica abre dos veces al decir que “abre hacia arriba y abre
hacia abajo” (es decir hay un cambio de concavidad) (ver figura 44) y la función cuadrática
una sola vez. En la figura 2, (T1/S1), 10 estudiantes utilizan la concavidad para justificar el
hecho que la gráfica pertenece a la representación de una función cuadrática al mencionar
que es una curva o parábola que abre hacia arriba (ver figura 44).
Figura 44: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de las figuras 1 y 2, (T1/S1).
En la figura 4, (T1/S1), 12 estudiantes utilizan la concavidad para justificar el hecho que
la gráfica es una representación de una función cuadrática al mencionar que es una curva
o parábola que abre hacia abajo (ver figura 45). En la figura 5, (T1/S1), 14 estudiantes
utilizan la concavidad para justificar el hecho que la gráfica pertenece a la representación
de la función cuadrática al mencionar que es una curva o parábola que abre hacia abajo
(ver figura 45).
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 147
Figura 45: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de las figuras 4 y 5, (T1/S1).
En la figura 7, (T1/S1), los estudiantes afirman que la gráfica no corresponde a una
cuadrática al decir que ambos lados deben abrir hacia el mismo sentido, En la figura 8,
(T1/S1), al igual que en las anteriores gráficas donde la figura corresponde a la gráfica de
la función cuadrática los estudiantes dicen que es una parábola que abre hacia arriba.
Figura 46. Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de las figuras 7 y 8, (T1/S1).
Como se puede observar en las producciones de los estudiantes el sentido de la abertura
de la parábola es decir la concavidad, es una de las variables visuales a la que más
recurren los estudiantes debido a que es una de las características más notoria en la
148 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
representación gráfica cartesiana, debido a que esta nos muestra hacia donde abre la
parábola.
Análisis de concavidad en la Tarea 2 – Situación 1. (T2/S1)
En esta tarea se introduce de manera formal el concepto de concavidad y se les pidió a
los estudiantes identificar la concavidad y el desplazamiento. En esta tarea 18 de los 26
estudiantes relacionaron correctamente la concavidad de la parábola al escribir los
enunciados faltantes y comenzar a utilizar el término adecuado.
Figura 47: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de las figuras 1 y 3, (T2/S1).
Por medio de las producciones presentadas en esta tarea se puede notar la adopción del
término concavidad por los estudiantes, lo que se observa en la identificación del sentido
de la abertura de la parábola en cada representación gráfica de la función la función
cuadrática, en la figura 47 las producciones presentadas por los estudiantes nos muestran
cómo identifican la concavidad y expresan de forma correcta la variación de esta categoría
visual.
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 149
Análisis de concavidad en la Tarea 3 – Situación 1. (T3/S1)
En esta tarea se asocia la concavidad con el signo del coeficiente que acompaña la
variable independiente al cuadrado, para lo que se les pidió a los estudiantes que asociaran
las diferentes gráficas cartesianas con las curvas de origen correspondientes a (� = ��;
� = −��), a lo cual la mayoría de los estudiantes (22 de 26) identificaron cual es la
representación gráfica cartesiana que daba origen a cada una de las figuras.
Figura 48: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de las figuras 3 y 6, (T3/S1).
Al revisar las producciones de los estudiantes y de acuerdo con los ejemplos plasmados
en la figura 48, en la cual se puede observar como los estudiantes identificaron la
representación gráfica cartesiana básica, que da origen a cada una de las gráficas
cartesianas y sus traslados en el plano cartesiano, en la tabla 29 se puede ver como la
mayoría de los estudiantes 22 de 26 consiguieron realizar esta tarea.
Análisis de concavidad en la Tarea 4 – situación 1. (T4/S1)
En esta tarea, aunque la concavidad no era la variable visual que se buscaba movilizar de
forma directa, dado que en esta tarea se buscaba que el estudiante aprendiera a calcular
la abertura de la parábola, se pudo observar que al calcular el coeficiente “�” de la variable
al cuadrado para establecer la abertura de la parábola 6 estudiantes cometieron el mismo
error al realizar los tratamientos aritméticos y el signo del coeficiente les dio un resultado
positivo (ver figura 49), ante lo cual se puede decir que los estudiantes no tienen totalmente
150 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
claro la relación entre la concavidad y el signo del coeficiente “�” establecida en la tarea
anterior.
Figura 49: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes del cálculo de los coeficientes b y c (T4/S1)
A partir de la detección de la dificultad descrita anteriormente y presentada en el ejemplo
de la figura 49, el profesor en su papel de mediador enseñó a visualizar y razonar, el signo
del coeficiente de la variable independiente al cuadrado (-), con la concavidad de la
representación gráfica cartesiana de la función cuadrática, cóncava hacia abajo.
Análisis de concavidad en la Tarea 1 – Situación 2. (T1/S2)
En esta tarea los estudiantes utilizaron la concavidad y el vértice para asociar la
representación simbólica canónica de la función cuadrática con su respectiva
representación gráfica cartesiana. Se observó que el 100% de los estudiantes asociaron
de forma correcta estas dos representaciones semióticas de la función cuadrática.
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 151
Figura 50: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 1 – Situación 2.
Como podemos observar en la figura 50 los estudiantes a partir de la identificación del
vértice y el sentido de la concavidad, identificaron la gráfica correspondiente a cada una
de las representaciones simbólicas canónicas de la función cuadrática, aunque no lo
escribieron los estudiantes al ser consulados por su respuesta argumentaron de forma
verbal que “la gráfica corresponde porque tiene vértice en el punto (-3,-6) y abre hacia
arriba”.
Análisis de concavidad en la Tarea 2 – Situación 2. (T2/S2)
En esta tarea, 4 de los estudiantes utilizaron la concavidad para justificar la elección de la
expresión simbólica algebraica canónica correspondiente a la respectiva representación
gráfica cartesiana para cada expresión, aunque siguen haciendo referencia a la
concavidad como “abre hacia arriba o abre hacia abajo”.
152 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Figura 51: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes tarea 2 – Situación 2.
En esta tarea como se puede ver en la figura 51, los estudiantes recurrieron a la concavidad
como variable visual principal para justificar la selección de la repuesta de cada una de las
preguntas.
Análisis de concavidad en la Tarea 3 – Situación 2. (T3/S2)
En esta tarea se puede notar que 15 de 26 estudiantes lograron relacionar de forma
acertada la expresión polinómica de la función cuadrática con las respectivas
representaciones gráficas cartesianas, al realizar el procedimiento de completar
cuadrados, con el fin de identificar las coordenadas del vértice, no cometieron el error de
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 153
la tarea 4 de la situación 1 y escribieron de forma correcta el signo del coeficiente de la
variable al cuadrado. Con lo cual se puede afirmar que la mayoría de los estudiantes fueron
capaces de relacionar de forma acertada el signo del coeficiente de la variable
independiente al cuadrado con el sentido la concavidad de la representación gráfica
cartesiana.
Figura 52: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes tarea 3 – Situación 2.
Análisis de la variable visual Vértice
Esta variable visual al igual que la concavidad está en todas las tareas porque el vértice
fue empleado por los estudiantes como la referencia para justificar que la gráfica
correspondía a la función cuadrática y en las tareas posteriores para realizar las
conversiones de un sistema de representación a otro. Bien sea como punto de referencia
de la gráfica cartesiana o como coordenada en la expresión simbólica algebraica canónica,
aquí es donde se hace importante la mediación del docente para resaltar la importancia de
la variable visual y no permitir que se convierta solo en la mecanización de tratamientos
para hallar un punto cartesiano.
154 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Análisis del vértice en Tarea 1 – Situación 1. (T1/S1)
En esta tarea los estudiantes utilizaron el vértice para justificar cuándo la gráfica es la
representación gráfica cartesiana de la función cuadrática, en la figura 1, (T1/S1), 4
estudiantes justifican el hecho que la gráfica cartesiana no es función cuadrática al
mencionar que la gráfica tiene dos vértices y la gráfica de la función cuadrática sólo tiene
uno y otro al mencionar que solo debe haber un punto de referencia (vértice). En la figura
2, 10 estudiantes utilizan la concavidad y el vértice para justificar el hecho que la gráfica
pertenece a la representación de la función cuadrática al mencionar que es una curva o
parábola que abre hacia arriba y tiene un vértice en el punto (0,0) como se muestra en la
figura 53. En la figura 3 los estudiantes afirman que no es la gráfica de una cuadrática
porque, aunque tiene un vértice la figura abre hacia un lado (hacia la derecha) y la
representación gráfica cartesiana de la función cuadrática solo abre hacia arriba o abre
hacia abajo.
Figura 53: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes figuras 1, 2 y 3 (T1/S1).
En la figura 4, 12 estudiantes utilizan la concavidad y el vértice para justificar el hecho que
la gráfica pertenece a la representación de la función cuadrática al mencionar que es una
curva o parábola que abre hacia abajo y tiene un vértice. Aunque algunos de ellos llaman
al vértice punto de partida, referencia o salida, 2 estudiantes identificaron el vértice en el
punto (0,0) ver figura 54. En la figura 5, 14 estudiantes utilizaron la concavidad y el vértice
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 155
para justificar el hecho que la gráfica pertenece a la representación de la función cuadrática
al mencionar que es una curva o parábola que abre hacia abajo y tiene un vértice. Al igual
que en la representación gráfica cartesiana anterior algunos de los estudiantes llaman el
vértice punto de partida, referencia o salida, 2 estudiantes identificaron el vértice en el
punto (0,5).
Figura 54: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes figuras 4 y 5 (T1/S1).
En la figura 6, 4 estudiantes justificaron su repuesta al decir ¨no es función cuadrática
porque no tiene vértice¨ o que la representación gráfica cartesiana no corresponde a la
representación gráfica cartesiana de una función cuadrática porque no abre para ningún
lado ni tiene un punto de referencia (vértice), En la figura 7, los estudiantes afirman que la
gráfica no corresponde a una cuadrática al decir que aunque la gráfica tiene un vértice
ambos lados deben abrir hacia el mismo sentido cosa que no ocurre en esta gráfica
cartesiana, otros afirman que “no es función cuadrática porque aunque la gráfica tiene un
vértice la parábola no está definida”.
156 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Figura 55: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes figuras 6 y 7 (T1/S1).
En la figura 8, al igual que en las anteriores gráficas donde la figura corresponde a la gráfica
de la función cuadrática, los estudiantes utilizan la concavidad y el vértice para justificar el
hecho que la gráfica pertenece a la representación de la función cuadrática al mencionar
que es una curva o parábola que abre hacia arriba y tiene un vértice. Aunque al igual que
en las gráficas 4 y 5 algunos de ellos llaman al vértice punto de partida, referencia o salida;
2 estudiantes identificaron el vértice en el punto (3,-1).
Figura 56. Ejemplos de Repuestas de los estudiantes figura 8 (T1/S1).
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 157
Mediante las producciones de los estudiantes se pudo constatar que esta variable visual
es de gran importancia debido a que, como lo mencionan algunos de ellos, este es el punto
de referencia en el cual hay un cambio en la dirección de la representación gráfica
cartesiana. De acuerdo con esto se puede ver en sus repuestas cómo el vértice y la
concavidad se utilizan para justificar las repuestas sobre si la representación gráfica
cartesiana representa o no una función cuadrática. Por ejemplo; en la figura 56, para la
figura 8 (T1/S1), la estudiante asegura que es una función cuadrática porque “tiene vértice
en el punto (3,-1) y abre hacia arriba”, lo que denomina que es una parábola positiva.
Análisis del vértice Tarea 2 – situación 1. (T2/S1)
En esta tarea los estudiantes consiguieron relacionar los enunciados escritos en lenguaje
natural con las representaciones gráficas de la función cuadrática y los desplazamientos
que el vértice realizaba en el plano. 18 estudiantes no solo identificaron las nuevas
coordenadas del vértice, es decir las unidades que se trasladó desde el origen, sino que
también describieron de forma adecuada su desplazamiento en el plano cartesiano.
Figura 57: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 2 – Situación 1.
158 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
En esta tarea los estudiantes, 18 de 26, consiguieron identificar las coordenadas que se
desplazó el vértice desde el origen, lo que permitió que los estudiantes fueran adquiriendo
los términos correspondientes a la función cuadrática como (parábola, vértice y
concavidad), lo que se pudo evidenciar al revisar los textos faltantes.
Análisis del vértice Tarea 3 – Situación 1. (T3/S1)
En esta tarea se asocia la concavidad con el signo del coeficiente que acompaña la
variable al cuadrado, para lo que se les pidió a los estudiantes que asociaran las diferentes
gráficas cartesianas con las curvas de origen correspondientes a (� = ��; � = −��), a lo
cual la mayoría de los estudiantes (22 de 26) fueron capaces de identificar la gráfica que
dio origen a cada una de las figuras y cuántas unidades se desplazó el vértice en cada uno
de los ejes coordenados.
Figura 58: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 3 – Situación 1.
En esta tarea se pudo constatar cómo los 22 de 26 estudiantes adquirieron la habilidad de
identificar los desplazamientos del vértice, es decir, las diferentes posiciones que puede
tener la representación gráfica cartesiana en el plano cartesiano. Cuando se les varió la
posición del vértice y la dirección de la concavidad.
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 159
Análisis del vértice Tarea 1 – Situación 2. (T1/S2)
En esta tarea los estudiantes utilizaron la concavidad y la coordenada del vértice para
relacionar la expresión simbólica canónica de la función cuadrática con su respectiva
representación gráfica cartesiana. Se obtuvo que el 100% de los estudiantes consiguieron
relacionar estas dos representaciones de la función cuadrática. Atendieron a la explicación
dada por el docente el cual indicó que en la expresión simbólica canónica, el vértice se
puede ver de forma explícita.
Figura 59: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 1 – Situación 2.
Como se puede observar en el ejemplo presentado en la figura 59 los estudiantes para
asociar las representaciones simbólicas algebraicas, expresión canónica con sus
respectivas representaciones gráficas cartesianas, utilizaron el vértice aunque algunos de
ellos como se mencionó anteriormente y se puede ver en la figura 59, invierten el orden de
las coordenadas.
160 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Análisis del vértice Tarea 2 – Situación 2. (T2/S2)
En esta tarea, 4 estudiantes utilizaron el vértice como herramienta para seleccionar la
repuesta correcta, pero al justificar dicha elección de la expresión simbólica algebraica
canónica correspondiente a la respectiva gráfica de cada pregunta, los estudiantes
cambiaron o invirtieron las posiciones de las coordenadas asignándole a la coordenada en
“�” el valor de “�” y a la coordenada en “�” el valor de “�”.
Figura 60. Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 2 – Situación 2.
En la figura 60 se puede observar el mismo error por parte los estudiantes de cambiar el
orden en las coordenadas del vértice, ante lo que el profesor realizó una intervención con
el fin de intentar que los estudiantes superaran esta dificultad en la lectura de las
coordenadas del vértice. Se sugiere que en los cursos previos debe realizarse un trabajo
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 161
de ubicación de puntos y figuras geométricas en el plano cartesiano para conseguir que
los estudiantes se familiaricen con este tipo de representación semiótica.
Análisis del vértice Tarea 3 – Situación 2. (T3/S2)
En esta tarea, 15 de los 26, estudiantes realizaron el procedimiento de completar
cuadrados con el fin de llevar la expresión polinómica de la función cuadrática, a la
expresión canónica para identificar las coordenadas del vértice y utilizarlas para
seleccionar la respuesta correcta, se puede afirmar que los estudiantes fueron capaces de
identificar con cual expresión algebraica es más fácil determinar cada variable visual que
se desee relacionar entre dos sistemas de representación.
Figura 61: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 3 – Situación 2.
Se pudo observar que la intervención realizada por el profesor en la tarea anterior con
respecto a la lectura del vértice fue eficaz, debido a que en los resultados presentados por
los estudiantes en esta tarea, cometieron menos errores en la identificación del vértice de
la representación gráfica cartesiana, con lo cual se podría afirmar que la mayoría de los
estudiantes superaron esta dificultad en la lectura puntual del vértice, lo cual se puede
constatar en la producción presentada en la figura 61, con esto podemos afirmar que los
estudiantes han comprendido como identificar el vértice de las parábolas y como escribir
de forma correcta las coordenadas a partir de identificar que el punto (�,�), “�” siempre
162 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
es la abscisa y “�” es la ordenada. No se limita a una simple memorización sino un trabajo
de razonamiento en el registro grafio cartesiano y el registro simbólico algebraico, desde
los procesos de conversión.
Análisis de la variable visual Abertura
Esta variable visual es introducida en las situaciones didácticas a partir de la tarea 2 de la
situación 1, tomando como referencia las funciones elementales de la función cuadrática
� = ��� ; � = −���, donde el valor absoluto del coeficiente “�” (|�|) es la abertura de la
parábola, entendiendo que la gráfica será más abierta cuando el valor absoluto del
coeficiente esté entre 0 y 1 (0 < |�|< 1), y más estrecha cuando el valor absoluto del
coeficiente sea mayor que 1 (|�|> 1). Después de realizar un recorrido por las repuestas
de los estudiantes se pudo determinar que las tareas en las cuales se utilizó el cálculo de
la abertura de la parábola para justificar las respuestas fueron: la tarea 4 de la situación 1,
la tarea 1 y 2 de la situación 3. De acuerdo con esto se presenta a continuación el análisis
de los resultados de la aplicación de los tratamientos necesarios para encontrar la abertura
de cada parábola en dichas tareas.
Análisis de abertura Tarea 4 – Situación 1. (T4/S1)
En esta tarea los estudiantes debían utilizar la cuadrícula (figura - fondo), para identificar
un punto en el cual coincidiera esta con la figura forma y a partir de éste poder calcular el
valor del coeficiente “�” para cada una de las representaciones gráficas cartesianas.
En esta tarea, 17 de los estudiantes identificaron el punto de coincidencia entre la figura
fondo (cuadrícula) y la figura forma (parábola) y realizaron los tratamientos necesarios para
encontrar el valor absoluto del coeficiente “�” (abertura) de la parábola, 6 de los
estudiantes, aunque identificaron de forma correcta el punto de coincidencia entre las
figuras fondo y forma, cometieron uno o dos errores al despejar el coeficiente y cambiaron
el signo del resultado e invirtieron la dirección de la concavidad (ver figura 62).
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 163
Figura 62: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 4 – Situación 1.
En la figura 62, se puede observar cómo los estudiantes realizaron el tratamiento
recomendado para calcular la abertura de la parábola, y los errores comunes cometidos
en el cálculo de este coeficiente “�” relacionados anteriormente.
Análisis de abertura Tarea 1 – Situación 3. (T1/S3)
En esta tarea los estudiantes utilizaron la abertura como una de las variables más
importantes para realizar el proceso de conversión entre el registro simbólico algebraico y
gráfico cartesiano, debido a que consideraron que este valor es necesario para plantear la
expresión simbólica canónica.
Figura 63. Ejemplo de las Repuestas de los estudiantes Tarea 1 – Situación 3.
164 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
En la figura 63 se puede observar como el estudiante identifica que la abertura es igual a
-1 al agrupar los términos que contienen variables “�”, y también le sirve para identificar
que la parábola es cóncava hacia abajo.
Análisis de abertura Tarea 2 – Situación 3. (T2/S3)
En esta tarea los estudiantes utilizaron el procedimiento implementado en la tarea 4 de la
situación 1, aunque la mayoría de ellos cometió el mismo error en el cálculo de la abertura
al reemplazar el punto en el cual se encuentra la figura fondo y la figura forma (ver figura
64 correspondiente a la figura 2 (T2/S3).
Figura 64. Ejemplo de las Repuestas de los estudiantes Tarea 2 – Situación 3.
En esta tarea 22 de los estudiantes consiguieron realizar los tratamientos para el cálculo
del abertura, como se explicó en la tarea 4 dela situación 1, ante lo cual se puede decir
que los estudiantes identificaron de forma correcta el tratamiento que debía realizar para
calcular la abertura de una parábola, lo que quiere decir que los estudiantes conocen cuál
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 165
es el procedimiento necesario para realizar el cambio de registros de representación entre
una gráfica cartesiana y el registro simbólico algebraico en el caso dela función cuadrática,
ejemplos de los tratamientos realizados se pueden observar en la figura 64.
Análisis de la variable visual Cortes con el eje �
Esta variable visual es introducida en las situaciones didácticas a partir de la tarea 3 de la
situación 2, la mayoría de los estudiantes no realizaron el cálculo de los cortes con el eje
x, o no identificaron de forma visual que en la gráfica no se presentaba cortes con el eje x.
Análisis de cortes con el eje x en Tarea 3 – Situación 2. (T3/S2)
En esta tarea los estudiantes no calcularon los cortes con el eje x, aunque algunos de ellos
de forma verbal argumentaron que, de acuerdo a la posición del vértice y la concavidad, la
representación gráfica cartesiana no presentaba cortes con el eje �, como se muestra en
la figura 65.
Figura 65. Ejemplo de las Repuestas de los estudiantes Tarea 3 – Situación 2.
Ejemplo de lo descrito anteriormente es la figura 65 donde, por la ubicación del vértice en
el punto (-1,5) y como la es una parábola cóncava hacia arriba, esta representación gráfica
cartesiana no presenta cortes con el eje �, tal como lo expresaron algunos estudiantes.
166 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Análisis de cortes con el eje � en Tarea 1– Situación 3. (T1/S3)
En esta tarea 5 estudiantes realizaron el procedimiento indicado para encontrar los cortes
con el eje �, cabe resaltar que, de forma verbal, algunos estudiantes aseguraron que en la
gráfica del literal d, no hay corte con los ejes debido a la posición del vértice y a la
concavidad.
Figura 66. Ejemplo de las Repuestas de los estudiantes Tarea 1 – Situación 3.
En la figura 66, se puede observar el procedimiento seguido por los estudiantes en el
tratamiento de la ecuación canónica para encontrar los cortes con el eje “�”, para la figura
b (T2/S3).
Análisis de cortes con el eje � en situación 3 – Tarea 2. (T2/S3)
En esta tarea 20 estudiantes encontraron los cortes con el eje �, en la figura 2 y 4
ver (figura 67). Además, la mitad de ellos determinaron que en las figuras 1 y 3 no existen
cortes con el eje �.
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 167
Figura 67: Ejemplo de las Repuestas de los estudiantes Tarea 2 – Situación 3.
Categoría 3. Análisis de las diferentes transformaciones necesarias para la objetivación de la función cuadrática.
Expresar en lenguaje natural el comportamiento de una gráfica.
Por medio de las tareas de la situación 1, el estudiante no sólo identificó las variables
visuales de la función cuadrática, sino que puede expresar en lenguaje natural lo que
observaba en la gráfica cartesiana. En estas tareas se pudo notar que, si bien los
estudiantes identificaron las variables visuales de las representaciones gráfica cartesiana
y las variables categoriales de la representación simbólica algebraica de la función
cuadrática, no poseían las herramientas lingüísticas para expresar de forma correcta los
tipos de función y los diferentes desplazamientos que puede tener la función cuadrática.
168 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Tratamientos realizados para transformar una expresión canónica a una expresión polinómica
La mayoría de los estudiantes fueron capaces de realizar los tratamientos necesarios para
transformar una expresión simbólica algebraica que se encontraba como una expresión
canónica a una expresión polinómica. Se puede notar que los estudiantes pudieron superar
las dificultades presentes en la tarea 1 de la situación 2, donde varios de los estudiantes
cometieron por lo menos un error de tratamiento algebraico al realizar la transformación de
la expresión simbólica canónica en una expresión simbólica polinómica. En la cuál
multiplicaron de forma errada el coeficiente con el trinomio dentro de los paréntesis. Esta
dificultad se superó en el desarrollo de la tarea 2 de la situación 2, debido a que en esta
tarea casi todos los estudiantes realizaron de manera correcta el tratamiento en los dos
registros simbólicos algebraicos.
Tratamientos realizados para transformar una expresión polinómica a una expresión canónica
La mayoría 19 de 26 de los estudiantes consiguieron realizar los tratamientos necesarios
para transformar una expresión simbólica algebraica que se encontraba como una
expresión polinómica a una expresión canónica, esto con el fin de identificar el vértice de
la parábola y poder así hallar la correspondiente representación gráfica cartesiana. Se
puede notar que los estudiantes pudieron superar las dificultades presentes en la tarea 3,
de la situación 2, donde 5 de los estudiantes no completaron por lo menos uno de los
tratamientos de las expresiones simbólicas algebraicas y por tanto no asociaron ninguna
de las representaciones gráficas cartesianas con las expresiones simbólicas algebraicas
polinómicas, mientras que en la tarea 1 de la situación 3 todos los estudiantes completaron
por lo menos uno de los tratamientos por medio de los cuales se consigue transformar una
expresión polinómica a expresión canónica, completando los cuadrados.
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 169
Conversión entre la representación algebraica y la representación gráfica cartesiana.
En la tarea 1 de la situación 3, 11 de los estudiantes realizaron correctamente el proceso
de completar cuadrados para llevar una expresión polinómica a una expresión canónica.
A partir de ahí realizaron la gráfica cartesiana correspondiente a cada expresión simbólica
algebraica. 8 de los estudiantes restantes solo cometieron un error algebraico, el cual se
mencionó con detalle en el análisis descriptivo de la tarea, al realizar el paso de la
expresión polinómica a la expresión canónica. Cabe resaltar, solo 2 estudiantes intentaron
realizar la gráfica de la función cuadrática tabulando.
Conversión entre la representación gráfica cartesiana y la representación algebraica.
En la tarea 2 de la situación 3, se puede observar que la mayoría 22 de 26 de los
estudiantes, intentaron realizar el cambio de la representación gráfica cartesiana a
representación algebraica utilizando las variables visuales de la función cuadrática, por
lo que se podría decir que los estudiantes en general consiguieron realizar una
aprehensión global de las características visuales de la función cuadrática.
ANÁLISIS GENERAL
Las variables visuales y categoriales son de gran importancia en la enseñanza de las
funciones cuadráticas de dominio real, dentro de las propuestas multirregistro, esto de
acuerdo con lo planteado por Duval (1999, p. 130).
“una representación explicita y sistemática de las variaciones visuales significativas
no solo centra la atención sobre la correspondencia entre la representación gráfica
cartesiana y la escritura simbólica algebraica, sino que permite encontrar
directamente la expresión simbólica algebraica de propiedades geométricas”.
Esto se pudo corroborar en este trabajo de indagación, debido a que la identificación de
las variables visuales de la función cuadrática permitió no sólo caracterizar la función sino
170 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
que también ayudo a los estudiantes a realizar un acercamiento a la comprensión de los
tratamientos de cada sistema de representación y la conversión entre ellos.
Es de resaltar que la comprensión requiere tiempo y un trabajo continuo, es decir, la
comprensión implica una toma de conciencia entre las variables observables de los dos
registros, su articulación o coordinación y una abstracción de las propiedades de los
Reales que regulan los tratamientos en cada uno de ellos. En este trabajo de indagación
el éxito en la tarea de conversión es el resultado de razonar en cada una de las
asociaciones que resultan de coordinaciones entre los registros y los observables de las
acciones.
Al conseguir que los estudiantes entiendan cómo cambia cada una de las variables
categoriales constantes de las expresiones algebraicas (canónica y polinómica) cuando
cambia una de las variables visuales, se logra corroborar lo planteado por Duval (1999, p.
131) cuando plantea que:
“no puede haber utilización de las representaciones gráficas cartesianas sin
discriminación explicita de las variables visuales pertinentes y sin una
correspondencia sistemáticamente establecida entre los valores de estas variables
y las unidades significativas de la escritura simbólica algebraica”
Se puede afirmar que las tareas planteadas en este trabajo de indagación son pertinentes
para ser consideradas en una aproximación al concepto de función cuadrática desde una
propuesta multirregistro de acuerdo con la teoría semiótica cognitiva desarrollado por
Duval (199) debido a que se consiguió no quedarse solo en una percepción numérica
puntual. La cual de acuerdo con el autor nos permite visualizar las características visuales
de la representación gráfica cartesiana y su correspondencia con las variables
categoriales constantes de las expresiones simbólicas algebraicas, debido a que estas
características son cualitativas y globales y no numéricas y locales como lo son la
concavidad, el vértice y la abertura, entre otras, para la función cuadrática.
Cuando se consigue una caracterización de las variables visuales de las
representaciones gráficas es más fácil la conversión entre registros semióticos de
representación, debido a que los estudiantes al ver el comportamiento de las
ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 171
variables y su correspondencia les permite un acto de toma de conciencia de los
invariantes de cada sistema de representación y su relación, de tal manera que se
presenta una abstracción del conocimiento, la cual da lugar a nuevos estados de
los observables (desde las variables visuales o categoriales) y a la coordinación
de nuevas acciones sobre los sistemas de representación.
Ver las diferentes trasformaciones y hacer una abstracción del que pueden presentarse
en un objeto de estudio y mediante éstas acercarse al concepto de dicho objeto
matemático.
Por medio de las producciones de los estudiantes se puede decir que mediante esta
indagación se consiguió un acercamiento a la aprehensión global cualitativa de la función
cuadrática de acuerdo a lo planteado por Duval (2004, p. 70).
“la aprehensión global cualitativa se requiere en la tarea de conversión gráfica
cartesiana a escritura simbólica algebraica de relaciones, pues la aprehensión global
por punteo siempre permite la conversión inversa”. Esta afirmación se pudo
corroborar con las producciones presentadas por los estudiantes debido a que la
mayoría 22 de 26 de los estudiantes, consiguió realizar la actividad de conversión
planteada en la tarea 2 de la situación 3 y, con este cambio de registro, se verificó
que las variables visuales de la función cuadrática fueron movilizadas
positivamente en los estudiantes y por tanto, se consiguió realizar un acercamiento
a la aprehensión global cualitativa por parte de los estudiantes del grado 9-1 de la
institución Alberto Carvajal Borrero.
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES DEL TRABAJO DE INDAGACIÓN
A continuación, se presentan las conclusiones a las cuales se ha llegado después de del
proceso de diseño e implementación de una situación didáctica, implementación y el
análisis de las producciones de los estudiantes como repuesta a la secuencia de tareas.
Las conclusiones presentadas en este capítulo dan cuenta a los objetivos propuestos en
este trabajo de indagación en el aula.
La propuesta de una secuencia de tareas se organizó en 3 situaciones de aula para la
enseñanza de la función cuadrática desde una perspectiva multirregistro, este diseño
permitió identificar las variables visuales (concavidad, vértice, abertura entre otras) y
categoriales (�,� �,ℎ y �) características de las representaciones semióticas de la función
cuadrática. Además, permitió enseñar los tratamientos que se pueden presentar en los
registros gráfico cartesiano y simbólico algebraico (expresiones canónicas y polinómica) y
las reglas de correspondencia que se deben tener en cuenta en la conversión entre estos
dos registros semióticos de representación de la función cuadrática. Con base en esto se
plantearon las siguientes categorías para la presentación de estas conclusiones:
¿Qué implica el diseño de situaciones didácticas?
Con referencia a al objetivo n° 3. El diseño de situaciones didáctica implica conocer
el objeto de estudio y sus diferentes representaciones semióticas, para poder
establecer el tipo de tareas que se necesitan para movilizar cada una de sus
características particulares y los diferentes tratamientos que se puedan realizar en
cada uno de los registros. De igual forma, elegir las consignas y representaciones
iniciales que conformarán la secuencia de las tareas que se van a implementar.
174 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Desde el diseño y las apropiaciones logradas en los estudiantes se reafirmó lo que
Duval (2016, p.69) plantea:
“El papel de las representaciones semióticas no se reduce a designar objetos,
a ponerse en lugar de algo, o a ser ellas mismas consideradas como objetos. Su
uso está determinado por la posibilidad del procesamiento matemático que
permiten. Cualesquiera sean las representaciones semióticas usadas, se pueden
cambiar por otras representaciones semióticas sin el apoyo de nuevos datos u
observaciones empíricas”.
Debido a que la secuencia de tareas permitió a los estudiantes entender la
diferencia entre las representaciones y la necesaria articulación entre ellas.
Con referencia al objetivo n° 3. Es importante resaltar que esta secuencia de tareas
también permitió observar las falencias en los aprendizajes de los estudiantes de
grado 9° al justificar o realizar los tratamientos en el registro simbólico algebraico.
En particular, se pone en evidencia que los tratamientos están débilmente
fundamentados en la toma de conciencia de las propiedades de la estructura de
los números Reales y en algunos casos se apoyan en la aplicación mecánica de
“recetas” que en algunos son exitosas pero que si se varían ciertos aspectos de la
situación conducen al fracaso.
Con referencia a al objetivo n° 2. Esta propuesta permitió plantear una estrategia
para el aprendizaje de la función cuadrática por medio de una secuencia de tareas
que permitieron identificar cada una de las variables visuales (concavidad, vértice,
abertura y cortes con los ejes) en la representación gráfica cartesiana, en
coordinación con las variables categoriales (�,ℎ y �) de las representaciones
simbólicas algebraicas (canónica y polinómica) y un adecuado orden en el diseño
de las consignas y los registros de partida y de llegada. Además, la aplicación de
las tareas le permitió al estudiante ir adquiriendo de forma secuencial las
herramientas semióticas y cognitivas para poder hacer un acercamiento a la
objetivación del concepto de función cuadrática, desde las trasformaciones entre el
registro gráfico cartesiano y la representación simbólica algebraica que son
indispensables en cada tarea.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES DEL TRABAJO DE INDAGACIÓN 175
Con referencia a al objetivo n° 3. El diseño permitió ratificar desde la mirada de un
maestro en ejercicio que la enseñanza de las matemáticas se puede pensar o
coincidir desde un lugar diferente a lo tradicional usualmente llamado “magistral”.
Se puede empezar a concebir los procesos de pensamiento en matemáticas, los
cuales se basan en dos tipos diferentes de transformaciones de representaciones:
tratamiento y conversiones. Tal como afirma Duval (2016, p.92) la actividad
matemática debe involucrar la movilización simultánea de por lo menos dos
registros de representación, o la posibilidad de cambiar en cualquier momento de
un registro al otro. Es decir, desde la mirada del autor de este trabajo de
indagación, como maestro de secundaria, este trabajo permite entender que la
comprensión conceptual de las matemáticas incluye articulación de dos registros y
algunas veces la articulación de tres registros. En ese sentido, este trabajo conlleva
a un maestro a empezar a entender y asumir el verdadero reto de la educación
matemática, planteado por Duval (2016,) y ratificados en los estudios doctorales de
Pontón (2011) el cual es desarrollar primero la capacidad de cambiar el registro de
representación en la construcción del saber matemático.
Los referentes en la construcción de la función cuadrática desde una mirada multirregistro
a. Las variables visuales de la representación gráfica cartesiana y
variables categoriales de las expresión simbólica algebraicas
Con referencia a al objetivo n° 2. Los estudiantes del grado 9-1 reconocieron las
variables visuales (vértice, abertura, concavidad e interceptos con los ejes) y
variables categoriales (�,ℎ y �), de las representaciones (gráfica cartesiana y
simbólica algebraica) de la función cuadrática, las cuales Duval (1988, p.237) define
como:
“variables categoriales. Estos son los términos que se usan para denominar
las imágenes que representan el objeto en el conjunto trazado/ejes cartesianos
y constituyen variables visuales relevantes en la interpretación del gráfico, en
la medida en que cualquier modificación de ellas implica «una modificación en
176 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
la escritura de la expresión algebraica correspondiente. Por lo tanto, es
importante identificar todas las modificaciones pertinentes posibles de esta
imagen, es decir ver las modificaciones conjuntas de la imagen y de la forma
de su escritura algebraica.” (Duval, 1988, p, 237)
Lo que les permitió a los estudiantes familiarizarse y apropiarse de las
características de los registros gráfico cartesiano y simbólico algebraico y permitió
realizar los tratamientos propios de cada registro de representación y la conversión
entre los registros. Se consiguió desde la secuencia de tareas una iniciación a la
objetivación del concepto de la función cuadrática, debido a que el estudiante, al
reconocer las variables visuales de la representación gráfica cartesiana y su
correspondencia con las variables categoriales de las expresiones simbólicas
algebraicas, realizaron las trasformaciones pertinentes para el cambio entre los
registros semióticos de representación tal como lo plantea Duval (1999).
Con referencia a al objetivo n° 2. La identificación de las variables visuales como
concavidad, vértice y abertura, les permitió a los estudiantes la conversión de los
sistemas de representación gráfico cartesiano y simbólico algebraico, mediante el
planteamiento de la expresión canónica de la función cuadrática, debido a que en
esta expresión algebraica se encuentran de forma explícita las variables
categoriales como (�,ℎ y �), Por ejemplo el coeficiente “a” de la expresión
polinómica cuando es positivo se asocia con la concavidad hacia arriba, cuando es
negativo con la concavidad hacia abajo, si |�|> 1, se estrecha y si 0 < |�|< 1 se
abre, que se asocian con las variables visuales. Siendo un registro potente y
altamente congruente con el registro simbólico polinómico. Lo cual se evidenció
cuando los estudiantes plantearon la expresión canónica para pasar del registro
gráfico cartesiano al registro simbólico algebraico y cuando realizaron el
tratamiento de completar cuadrados para pasar de la expresión polinómica del
registro simbólico algebraico a la representación gráfica cartesiana.
Con referencia a al objetivo n° 3. Un diseño de situación didáctica en esta
perspectiva debe considerar y explicitar cada una de las variables visuales y
variables categoriales de la representación tomada como inicial y final, y debe
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES DEL TRABAJO DE INDAGACIÓN 177
permitir la coordinación entre ellas de manera que la conversión sea objeto de
enseñanza en las aulas escolares. Esto se afirma, porque en las producciones de
los estudiantes se fue evidenciando como se apropiaban de estas variables y cómo
esta les permitía cobrar significado en las variables explícitas de la representación
de llegada.
b. Las reglas de correspondencia semiótica entre los registros de
representación gráfico cartesiano y simbólico algebraico (expresión
polinómica y canónica).
Con referencia a al objetivo n° 4. En la aplicación de las situaciones didácticas, se
pudo observar cómo la variación de las variables didácticas de diseño,
consideradas en las tareas, permitió a los estudiantes ir construyendo un
acercamiento al concepto de función cuadrática a partir de las representaciones
semióticas y al estudio de las características particulares de cada sistema de
representación. Permitiéndoles a los estudiantes encontrar la correspondencia
entre las variables visuales y las variables categoriales de las expresiones
simbólicas algebraicas (canónica y polinómica).
Con referencia a al objetivo n° 4. Las respuestas de los estudiantes permitieron
corroborar que las tareas diseñadas son lo suficientemente potentes para movilizar
cada una de las variables que son particulares de las representaciones gráfica
cartesiana y simbólica algebraica de los sistemas de representación de la función
cuadrática. Además, se corroboró que estas tareas generaron en los estudiantes el
aprendizaje de las reglas de correspondencia entre las representaciones que se
deben tener en cuenta desde la perspectiva semiótica cognitiva para el aprendizaje
de las trasformaciones entre los registros: gráfico cartesiano y simbólico algebraico
(expresiones canónicas y polinómicas) de la función cuadrática.
178 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
c. Desde las trasformaciones que se pueden realizar en la función
cuadrática: conversión (cambio de registro semiótico de representación)
y tratamientos (procesos en el mismo registro semiótico de
representación).
Con referencia a al objetivo n° 1. En las producciones de los estudiantes se pudo
evidenciar cómo fueron adquiriendo las herramientas para realizar los tratamientos
en cada uno de los registros que están involucrados en el aprendizaje de la función
cuadrática desde los sistemas de representación gráfico cartesiano y simbólico
algebraico -en las producciones de los estudiantes no se puede constatar si el
resultado es los tratamientos es referente a la toma de conciencia sobre la
aplicación de las propiedades de los números Reales que posibilitan los mismos
(expresiones canónica y polinómica) e identificar cuáles transformaciones debe ser
utilizadas de acuerdo con cada situación particular y al sistema de representación
en la cual se encuentre.
En este sentido, se corrobora que la comprensión y el aprendizaje de las
matemáticas no deben olvidar la importancia del carácter semiótico de las
representaciones, en tanto a la forma y a la diversidad de representaciones que
existe. Se requiere el conocimiento de la organización semiótica de estas
representaciones para una propuesta de aula desde esta perspectiva.
Con referencia a al objetivo n° 1. El aprendizaje de las variables visuales de las
representaciones gráficas cartesianas posibilitó en los estudiantes aprender a
visualizar y razonar sobre las características de una función, lo que facilita que
emerjan en ellos tratamientos intuitivos más accesibles, lo cual les permite darle un
significado las expresiones simbólicas algebraicas. Desde lo planteado por Duval
(1988b, p. 8): “los valores visuales significantes, o pertinentes, de la representación
no son dados por separado como una escritura, sino que están integrados y
fusionados en una sola forma percibida”, ante esto se puede afirmar que la
comprensión y aprendizaje de las representaciones gráficas cartesiana son
necesarias para la coordinación de registros de representación en funciones.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES DEL TRABAJO DE INDAGACIÓN 179
Una labor que tienen los docentes en el diseño y preparación de las clases, desde
esta perspectiva, es seleccionar cuidadosamente las operaciones de tratamiento
que posibiliten pasar a otro registro de otros sistemas de representación, es decir
que sea objeto de enseñanza los procesos de posibiliten la conversión.
Con referencia a al objetivo n° 3. De la situación didáctica diseñada (con sus tres
situaciones) se puede afirmar que la organización semiótica posibilitó en los
estudiantes los tratamientos en el registro cartesiano (por ejemplo, mover el vértice,
variar la concavidad, variar la amplitud, entre otras), así como sacar los datos
numéricos que proporciona la gráfica cartesiana (por ejemplo, vértice, cortes con
los ejes cartesiano, análisis de crecimiento entre otros) y plantear hipótesis de los
datos categoriales de las representaciones simbólicas algebraicas y en algunos
casos hallarlos (por ejemplo, hallar los valores de “�” o “�” o “ℎ”, entre otros).
Además, permitió la conversión a representaciones simbólicas algebraicas. Se
ratifica lo planteado por Duval (1988b, p. 16):
“En realidad, un aprendizaje de las representaciones graficas efectuadas en la
perspectiva de una coordinación de registros de representación, debe estar
centrada en las operaciones de conversión con sus variables cognitivas y no
en las de tratamiento. Una tal aproximación sobrepasa el simple dominio de las
representaciones gráficas; más allá de esto, concierne la comprensión de los
desarrollos matemáticos y, más generalmente, de los procedimientos
intelectuales. Esta comprensión exige no solo que no se confunda un objeto
con su representación, sino que pueda cambiar fácilmente de registro de
representación”
Con referencia a al objetivo n° 1. La secuencia didáctica, con sus respectivas
tareas, presentada en este trabajo de indagación, permitió a los estudiantes
acercarse al concepto de función cuadrática desde los sistemas de representación
gráfico cartesiano y simbólico algebraico (expresiones canónica y polinómica), sin
olvidar que existen otros sistemas de representación, muy importantes en la
construcción de las funciones cuadráticas, como la lengua natural (problemas de
aplicación en contexto Reales- ej. Áreas o perímetros de terrenos, minimización de
180 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
costos, maximización de ganancias, entre otro y matemáticos). El registro de la
lengua natural no fue tenido en cuenta en este proceso indagativo, por decisiones
propias del proceso indagativo especialmente el tiempo. Las producciones de los
estudiantes frente a las transformaciones generadas en el diseño, evidenció un
aporte a la comprensión del concepto de función cuadrática desde los cambios de
registros, debido a que la mayoría, 22 de 26 de los estudiantes, realizaron la
conversión entre los sistemas de representación gráfico cartesiano y simbólico
algebraico (expresiones canónicas y polinómica) dándole significado a las
características visuales y las categoriales de los registros de representación
semiótica involucrados.
Con referencia a al objetivo n° 3. El diseño de las tareas en este trabajo de
indagación permitió corroborar el hecho que, los profesores en ejercicio, deben
asumir la responsabilidad sobre el tipo de tareas que se llevan al aula de clases,
para tal fin se deben realizar un análisis del componente matemático y su
transposición en el aula, y su rigurosidad en el en el estudio de las diferentes formas
de representación; es decir, la organización semántica que tiene este objeto
matemático desde sus representaciones y los sistemas semióticos que las permiten
producir. Esto con el objetivo que los estudiantes amplíen el campo de visión de los
objetos de estudio matemático y puedan tener un panorama más claro de los
significados que introducen cada uno desde sus diferentes representaciones.
Con referencia a al objetivo n° 3. Los profesores deben retomar el papel como
mediadores entre el saber institucional y el alumno, entender que no sólo es diseñar
buenas tareas, debido a que las tareas por sí solas no cumplen la función de
movilizar el conocimiento a aprender. Es donde la presencia del docente resulta
relevante en cualquier diseño llevado al aula, no solo para aplicar y explicar las
tareas sino para ayudar a superar los obstáculos cognitivos o semióticos que se
puedan presentar en la ejecución de las tareas, esto por medio de una intervención
o mediación oportuna en el aula y entender que las tareas son herramienta para el
aprendizaje y no como el fin mismo de la enseñanza.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES DEL TRABAJO DE INDAGACIÓN 181
Con referencia a al objetivo n° 3. Los docentes deben salir de la cotidianidad, y
quizás de nuestra “zona de comodidad”; es decir, de los procesos repetitivos, la
misma selección de los ejercicios de los textos escolares sin criterios de selección
y de la repetición de las mismas prácticas, en las cuales en la mayoría de veces se
consigue una mecanización de los tratamientos en una representación de los
objetos matemáticos (por ejemplo, una mirada puntual de las representaciones
cartesianas hallando solo puntos, es decir centrado en la tabulación de muchos
puntos, sin que haya necesidad de estos puntos o que estos puntos no permitan
ver el comportamiento o la variación de la función). Una forma de hacerlo es poder
presentar lo objetos matemáticos desde todos sus sistemas de representación,
viendo esto no como un trabajo más, sino como una herramienta cognitiva, que
permite mostrarle a los estudiantes las múltiples dimensiones que puede tener un
objeto matemático y cómo cada una de las representaciones construidas en
sistemas semióticos diferentes. De esta forma, no solo se amplía la visión de los
objetos de estudio en sí, sino que también se les enseña de forma explícita que
todas las cosas tienen múltiples formas de verse sin dejar de ser el mismo objeto.
Esto concuerda con lo planteado por Duval (1988b, p.3) “tomando en cuenta
simultáneamente dos registros de representación, y no cada uno de manera
aislada, es como se puede analizar la importancia de las representaciones
semióticas en la actividad cognitiva matemática. Dicho de otra manera, es en el
pasaje de un registro de representación a otro que se puede observar la
importancia de las representaciones semióticas”
Aunque este trabajo de indagación centra su atención en los procesos de
conversión entre los registros gráficos cartesianos y simbólicos algebraicos,
entendemos la necesidad del aprendizaje de las propiedades de los números
Reales como soporte de las reglas de conformación de las expresiones
algebraicas. Estas propiedades de la estructura de los números Reales son las que
permiten realizar los tratamientos en el sistema de representación tanto numérico
como algebraico. Es importante resaltar que muchos de los estudiantes presentan
desconocimiento de las reglas de conformación del sistema de los números Reales,
esto se debe a que en la secundaria la enseñanza de estos objetos matemáticos,
se presentan como temas aislados y no se articulan con los nuevos conocimientos
182 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
En algunos casos se hacen tratamientos sin explicitar ninguna propiedad
matemática que lo justifique. Por ejemplo:
Si tenemos la suma:
−3 + 5− 8 + 2
Es muy común que se realice esta suma de enteros, agrupando los números positivos y
negativos sin saber que signo colocar al resultado o realizar un producto entre ellos y entre
sus signos, sin aplicar las propiedades. Es decir, hay dificultades en reconocer la operación
y las propiedades de dicha operación.
Propiedad asociativa
(−3− 8)+ (5 + 2)
Propiedad clausurativa
−13 + 7 = −6
Cuando se enseñan operaciones con expresiones algebraicas, por ejemplo
3� − 4� + 7� − 5�
Es muy común decir que se agrupen los términos semejantes y se suman entre ellos
obteniendo
10� − 9�
Cuando debería explicitarse las propiedades de los números Reales que hacen posible
estos tratamientos para el ejemplo: primero se debe aplicar la propiedad asociativa para
agrupar los términos semejantes
(3� + 7�)+ (−4�− 5�)
Después aplicamos la propiedad clausurativa
10� − 9�
Cuando se enseñan las propiedades de los números Reales no se articulan estas con los
saberes previos como los números enteros o los racionales, lo que muchas veces ocasiona
que los estudiantes vean estos temas como aislados e inconexos. Para evitar esto, se
considera que la enseñanza debería ser más rigurosa en el discurso tanto escrito como
oral que utilizan los docentes, de tal forma que la enseñanza de las matemáticas deje de
ser enseñada u organizada por temas y sea por objetos matemáticos y por lo tanto, la
enseñanza de las representaciones (tratamientos y conversiones). De esta forma, se vería
la extensión de los conjuntos numéricos y sus estructuras desde los enteros positivos hasta
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES DEL TRABAJO DE INDAGACIÓN 183
los Reales. Es decir, en diferentes grados ver cómo se va realizando la construcción de
elementos matemáticos fundamentales para entender y tener consciencia de la estructura
de los Reales durante toda la escolaridad.
Sugerencias y recomendaciones finales
Finalmente, este proceso indagativo orientado a la contribución para el mejoramiento de
las prácticas de aula desde el campo de las matemáticas, relaciona algunas sugerencias
y recomendaciones que se deben tener en cuenta por parte de los profesores en el
momento de llevar este tipo de estrategias al aula de clase.
Se debe consolidar en las prácticas de aula una propuesta que permita la articulación entre
diferentes tipos de registros de representación, debido a que de acuerdo con Duval (1999,
2016), es a partir de esta coordinación entre registros semiótico de representación que se
inicia los procesos de objetivación de los saberes matemáticos, para lo cual el docente
debe tomar una posición desde los marcos teóricos de referencia con respecto a cómo
considera que los estudiantes aprenden matemáticas.
Los maestros en ejercicio, cada vez deben prepararse mejor para el diseño de tareas en
los cuales se involucren diferentes tipos de representación semiótica. Un trabajo que queda
pendiente de esta indagación es tomar como registro de partida el registro de la lengua
natural, es decir problemas de palabras, con los cuales los estudiantes puedan aprender
la conversión y los tratamientos desde este registro, tan importante para la construcción
de cualquier objeto matemático (Pontón, 2011). De esta manera, se debe seguir
ahondando en las variables didácticas identificadas en este trabajo de indagación y su
coordinación con otros registros como la lengua natural que permitan encontrar las
soluciones de dichos problemas de la vida real o del contexto matemático.
Se recomienda tener en cuenta para el diseño de tareas, la permanencia en el tiempo de
los conceptos aprendidos, es decir no enseñar para presentar o pasar un examen, sino
para que los estudiantes aprendan a razonar el porqué, para qué y cómo las variables
184 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
visuales y categoriales lo permiten, además de su aplicabilidad en otras áreas del
conocimiento, para poder comparar las metodologías desde otros contextos.
Los resultados que se evidencian en este trabajo de indagación pueden aportar en la
construcción de currículos o propuestas de situaciones de aula que consideren la
importancia de la enseñanza de la articulación de los registros de representación
semiótica. Para finalizar, estos resultados pueden contribuir en la toma de conciencia, por
parte de todos los profesores de matemáticas y de aquellos que se encuentran en proceso
de formación, de la naturaleza semiótica de los objetos matemáticos y de ciertos aspectos
semióticos y cognitivos que se presentan en el aula de clase, que al tenerse en cuenta
estos aspectos los maestros contarían con elementos suficientes para entender cómo se
puede contribuir a la construcción significativa de los objetos matemáticos.
El diseño de las tareas debe propiciar la justificación de los tratamientos que en ellas
intervienen desde las normas de correspondencia de cada registro, para nuestro estudio
se hace necesario la justificación de los tratamientos desde las propiedades de los
números Reales, debido a esto no se pude identificar en muchas de las producciones de
los estudiantes si los aciertos son producto de as abstracción del conocimiento o si por el
contrario son el resultado de un proceso de mecanización.
A. Anexo A: Situaciones didácticas
Nombre: _____________________ Años: ________ Fecha: _________________
SITUACIÓN 1.
Una función real � = �(�) definida en un conjunto D de números Reales es una regla que
asigna a cada número � en D exactamente un número real, denotado con �(�).
La función Polinomial de segundo grado es aquella de la forma � = ��� + �� + � donde a,
b y c son números Reales con � ≠ 0, se conoce con el nombre de Función Cuadrática,
su dominio son todos los números Reales; es decir, no tiene restricción alguna. Su gráfica
es una parábola (vea la figura 25). Si � > 0 entonces la parábola es cóncava hacia arriba.
Si � < 0 la parábola es cóncava hacia abajo.
Tarea 1.
Identifique cuál de las siguientes gráficas cartesianas corresponde a la representación
gráfica cartesiana de una función cuadrática, justifique de manera completa su respuesta
en las líneas.
186 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Figura 1. ________________________ Figura 2. _________________________
_________________________________ _________________________________ _________________________________
_________________________________ _________________________________ _________________________________
Figura 3. ________________________ Figura 4. ________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
x
y
x
y
x
y
x
y
Anexo A. Situaciones didácticas 187
Figura 5. _________________________ Figura 6. _________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________ ________________________________
Figura 7. _________________________ Figura 8. ________________________
________________________________ ________________________________ ________________________________
________________________________ ________________________________ ________________________________
x
y
x
y
x
y
x
y
188 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Tarea 2.
La gráfica de la función cuadrática cuya expresión canónica es de la forma � = �(� − ℎ)� +
�;ℎ,� ∈ �, y con a ≠ 0, corresponde a la gráfica de la parábola � = ���, con vértice el
origen (0,0). En la cual el vértice ha sido trasladado h unidades a en sentido horizontal
sobre el eje x y k unidades en sentido vertical sobre el eje y.
Si: la concavidad es hacia arriba Si: la concavidad es hacia abajo
Figura 1. Figura 2.
x
y
x
y
� = ��
� = −��
Anexo A. Situaciones didácticas 189
Ejemplo:
Figura 3. Parábola cuya concavidad es hacia arriba y esta trasladada 1 unidad hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba.
Figura 4. Parábola cuya concavidad es hacia abajo y esta trasladada 1 unidad hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba.
De al ejemplo anterior, si tenemos como ecuaciones básicas � = �� y � = −��, las cuales correspondes a parábolas cuyo vértice está en el punto (0,0), escriba debajo de cada gráfica cuál es el numeral del enunciado correspondiente, teniendo en cuenta los traslados que tienen cada una de las gráficas en el plano cartesiano con respecto a las representaciones gráficas cartesianas de las funciones básicas y = x� y y = −x� .
a. La parábola cuya concavidad es hacia arriba y esta trasladada 6 unidades hacia
abajo.
b. La parábola cuya concavidad es hacia abajo y esta trasladada 4/3 unidades hacia
arriba.
c. La parábola cuya concavidad es hacia abajo y esta trasladada 2 unidades hacia la izquierda y 1 unidad haca abajo.
d. La parábola cuya concavidad es hacia arriba y esta trasladada 2 unidades hacia la derecha y 3 unidad hacia arriba.
e. La parábola cuya concavidad es hacia arriba, los ceros son 4 y 2, y esta desplazada 3 unidades a la derecha y una hacia abajo.
x
y
x
y
190 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Figura 1. _________________________ Figura 2. __________________________
_________________________________ _________________________________
Figura 3. _________________________ Figura 4. _________________________
_________________________________ _________________________________ _________________________________
_________________________________ _________________________________ _________________________________
x
y
x
y
xy
x
y
Anexo A. Situaciones didácticas 191
Figura 5. _________________________ Figura 6. _________________________
_________________________________ _________________________________ _________________________________
_________________________________ _________________________________ _________________________________
Figura 7. _________________________ Figura 8. _________________________
_________________________________ _________________________________
_________________________________ _________________________________
Tarea 3.
Las siguientes representaciones gráficas de funciones cuadráticas han sido originadas por
las funciones cuadráticas � = ��� y � = −��� las cuales se muestran la figuras 1 y 2. En
cada una de las parábolas se presenta un trasladado de “�” unidades en sentido horizontal,
y “�” unidades en sentido vertical. De acuerdo con las figuras A y B identifique y explicite
para cada una de las otras representaciones graficas cartesianas, cuál de las dos (figuras
x
y
x
y
x
y
x
y
192 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
A o B) dió origen a la parábola y cuántas unidades se trasladó la parábola sobre el eje
horizontal y sobre el eje vertical (es decir, cuántas unidades se trasladó el vértice ubicado
inicialmente en el punto (0, 0)).
Figura A. Figura B.
Figura 1. _________________________ Figura 2. _________________________
_________________________________ _________________________________ _________________________________
_________________________________ _________________________________ _________________________________
x
y
x
y
x
y
x
y
� = ��
� = −��
a = 1
a = -1
Anexo A. Situaciones didácticas 193
Figura 3. _________________________ Figura 4. _________________________
_________________________________ _________________________________
_________________________________ ________________________________
Figura 5. _________________________ Figura 6. _________________________
_________________________________ _________________________________
_________________________________ _________________________________
x
y
xy
x
y
x
y
194 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
� =1
2��
� = 2��
� = ��
� = −1
2��
� = −2�� � = −��
Figura 7. _________________________ Figura 8. _________________________
_________________________________ _________________________________
_________________________________ _________________________________
Tarea 4.
En la gráfica de la función cuadrática el coeficiente de la variable al cuadrado nos describe
como es la apertura de la parábola de tal forma que si tomamos como referencia las
parábolas � = ��� y � = −���, donde los coeficientes de la variable al cuadrado son 1 y -
1. Se puede afirmar que cuando el valor numérico de la constante “�” está entre 0 y 1, la
abertura de la parábola es mayor, y cuando el valor numérico de � > 1 la abertura de la
parábola es menor.
Figura 1. Figura2
x
y
x
y
x
y
xy
Anexo A. Situaciones didácticas 195
� = ���
� = ���
� = ���
� = ���
� = ��� � = −1��
Como se puede observar en la figura 1 a medida que el valor de “a” se acerca a cero la
abertura de la parábola es más amplia. De acuerdo con el enunciado anterior determine si
los coeficientes de las siguientes parábolas están entre cero y menos uno, o son menores
que menos uno.
Halla los valores del coeficiente de la variable independiente (x) elevada al cuadrado, “�”
para cada una de las siguientes representaciones gráficas de la función cuadrática, para
ello utiliza un punto de cada una de las gráficas.
g. Coeficiente b
h. Coeficiente c
i. Coeficiente g
j. Coeficiente d
k. Coeficiente a
xy
196 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
SITUACIÓN 2
La función cuadrática se puede representar algébricamente de dos formas:
La ecuación canónica donde: � = �(� − ℎ)� + �;ℎ,� ∈ �, con a ≠ 0
La ecuación polinómica donde: � = ��� + �� + � ; con a, b y c ∈ � y con a ≠ 0
En la ecuación canónica los valores numéricos de las constantes h y k representan el vértice
de la parábola y la constante a representa la apertura de la parábola y la concavidad como
hemos visto en las tareas anteriores.
Tarea 1.
Relacione cada una de las siguientes expresiones canónicas con su respectiva
representación gráfica cartesiana, justificando su respuesta. Además en cada una
encuentre la expresión en su forma polinómica equivalente.
a. � = (� + 3)� − 6
b. � = −�
�(� − 4)�
c. � = −2(� − 3)� − 3
d. � = 4(� − 2)� − 4
e. � = −(� + 1)� + 3
f. � = −�
�(� − 4)� + 5
Anexo A. Situaciones didácticas 197
Figura 1. Figura 2. Figura 3.
Figura 4. Figura 5. Figura 6
Tarea 2.
Para cada una de las siguientes representaciones gráficas cartesianas de funciones
cuadráticas encuentre la representación simbólica algebraica de la función cuadrática
representada por la gráfica, para lo cual debería tener en cuenta las variables visuales
(concavidad, abertura y vértice), justificando su respuesta. Las representaciones simbólicas
algebraicas se presentan en forma canónica, pero debe encontrar la respectiva expresión
polinómica equivalente correspondiente a la que fue relacionada.
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
198 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
x
y
x
y
a. � = (� + 3)�
b. � = �� + 1
c. � = (� − 3)� + 1
d. � = (� + 1)� + 3
e. � = (� − 1)� + 3
a.
a. � = (� + 2)� + 2
b. � = (� − 2)� + 2
c. � = (� + 2)� − 2
d. � = (� + 2)�
e. � = (� + 2)� − 2
b.
Anexo A. Situaciones didácticas 199
Tarea 3.
Teniendo en cuenta las variables categoriales de las expresiones algébricas dadas,
asocie cada una de las expresiones simbólicas algebraicas con su respectiva
representación gráfica cartesiana, justifique su respuesta. Sugerencia: encuentre la
expresión simbólica algebraica canónica apoyándose en la gráfica y después halle la
equivalencia en polinómica para escoger la respuesta.
a. � = −�� − 6� − 9
b. � = �� + 2� + 6
c. � = 2�� + 2� + 6
x
y
x
y
a. � = 2(� + 3)� + 4
b. � = −2(� − 3)� + 4
c. � = 2(� + 4)� + 3
d. � = −2(� + 3)� + 4
e. � = −2(� − 4)� + 3
c.
a. � = 3(� + 2)� + 6
b. � = −3(� − 2)� − 6
c. � = 3(� − 2)� + 6
d. � = −3(� + 2)� + 6
e. � =�
�(� − 3)� + 6
d.
200 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
d. � = −3�� − 7�
Figura 1. Figura 2. Figura 3.
Figura 4. Figura 5. Figura 6.
SITUACIÓN 3
Cuando una ecuación se encuentra en su forma polinómica, esta se puede trasformar a
una expresión canónica mediante el procedimiento denominado en método de completar
cuadrados.
Para ejecutar este medo se deben seguir los siguientes pasos:
Agrupamos e un paréntesis los términos que contengan la variable.
Sacamos factor común de los términos del paréntesis
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
Anexo A. Situaciones didácticas 201
Completamos el cuadrado de una adición dentro del paréntesis, para lo cual
sumamos y restamos el mismo término para no alterar la ecuación.
Reagrupamos y realizamos la suma de los términos que están por fuera del
paréntesis.
Ejemplo
Si tenemos la ecuación � = 2�� − 5� + 3
Agrupamos e un paréntesis los términos que contengan la variable.
� = (2�� − 5�)+ 3
Sacamos factor común de los términos del paréntesis.
� = 2��� −5
2��+ 3
El número por el cual debemos sumar y restar para completar el cuadrado es ��
��, para
encontrar este número tomamos el coeficiente de la variable que se encuentra elevado a 1
��
��, y lo dividimos entre 2, esto nos da como resultado �
�
��, este resultado lo elevamos al
cuadrado y obtenemos ��
��.
Completamos el cuadrado de una adición dentro del paréntesis, para lo cual
sumamos y restamos el mismo término para no alterar la ecuación.
� = 2��� −5
2� +
25
16−25
16�+ 3
Reagrupamos y realizamos la suma de los términos que están por fuera del
paréntesis.
� = 2��� −5
2� +
25
16�−
25
8+ 3
Para reagrupar sacamos el termino negativo el paréntesis recordando que en un cuadrado
perfecto el primer y tercer término siempre son positivos, este término debe multiplicarse
por el factor (2) ya que este afecta a todos los números que están dentro del paréntesis y
el resultado de esta operación es ��
�.
202 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Realizamos la operación en −��
�+ 3 = −
�
� y obtenemos la expresión canónica.
� = 2�� −5
4��
−1
8
Para encontrar los ceros
Primero igualamos la ecuación canónica a cero
0 = 2�� −5
4��
−1
8
Despegamos el término cuadrado
�� −5
4��
=1
16
Para despejar el cuadrado se deben tener en cuenta tanto el resultado positivo como el
negativo recordando que un número que este elevado a un exponente par siempre es
positivo.
De tal forma que obtendremos la siguiente expresión.
� −5
4= ±�
1
16= ±
1
4
A partir de esta expresión encontramos los valores de los ceros del polinomio calculando
para el valor positivo y el negativo.
�� =5
4+
1
4=6
4=3
2
�� =3
2
�� =5
4−1
4=4
4= 1
�� = 1
Las soluciones o ceros del polinomio son: �� =�
� y �� = 1
El vértice de la parábola será: ��
�,−
�
��
Anexo A. Situaciones didácticas 203
Por tanto la gráfica será
Tarea 1.
Graficar las siguientes funciones cuadráticas las cuales se encuentran en su expresión
polinómica y determinar el dominio, el rango (el cual depende del valor máximo o mínimo
del y). Explique si el vértice es un punto máximo o mínimo del rango, el eje de simetría y
los cortes con los dos ejes cartesianos si existen, para conseguir visualizar el vértice de la
representación gráfica cartesiana debe pasar al expresión polinómica a expresión canónica
por medio del tratamiento de completar cuadrados.
a. � = �� − 2� + 2
x
y
x
y
204 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
b. � = −�� + 9
c. � = −�� + � −�
�
d. � = �� − 5� + 6
x
y
x
y
x
y
Anexo A. Situaciones didácticas 205
Tarea 2.
Las siguientes parábolas son originadas por funciones cuadráticas de la forma � =
�(� − ℎ)� + �, siendo a R-{0}, escriba en cada caso la representación algebraica en su
expresión canónica y la expresión polinómica correspondiente, además halle los cortes con
el eje x y con el eje y.
Figura 1.
Figura 2.
Figura 3.
x
y
x
y
x
y
206 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Figura 4.
Figura 5.
x
y
xy
Anexo B. Ejemplo de Respuestas de las situaciones 207
B. Anexo B. Ejemplo de Respuestas de las situaciones.
208 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Anexo B. Ejemplo de Respuestas de las situaciones 209
210 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Anexo B. Ejemplo de Respuestas de las situaciones 211
212 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Anexo B. Ejemplo de Respuestas de las situaciones 213
214 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Anexo B. Ejemplo de Respuestas de las situaciones 215
216 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Anexo B. Ejemplo de Respuestas de las situaciones 217
218 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Anexo B. Ejemplo de Respuestas de las situaciones 219
220 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Respuestas de la situación 3.
Anexo B. Ejemplo de Respuestas de las situaciones 221
222 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Anexo B. Ejemplo de Respuestas de las situaciones 223
224 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Anexo B. Ejemplo de Respuestas de las situaciones 225
Bibliografía
Álvarez, R. (2012). Incidencia de las mediaciones pedagógicas en los procesos de
enseñanza y aprendizaje del concepto de función cuadrática. Manizales: Tesis de
Maestría, Universidad Nacional de Colombia.
Ballén, J. (2012). El álgebra geométrica como recurso didáctico para la
factorización de polinomios de segundo grado.
Brousseau, G. (2000). Educación y Didáctica de las Matemáticas. Educación
Matemática Mexico, Vol. 12,, 5 - 39.
Brousseau, G. (1983). Los obstáculos epistemológicos y los problemas en
matemáticas. Cali: Traducción Cesar Delgado, Universidad del Valle.
Brousseau, G. (1986). Fondaments et méthodes de la didactique des
mathématiques. En Recherches en Didactique de mathématiques Vol. 7 No. 2 (ps.
33 - 115). Burdeos : Universidad de Burdeos .
Brousseau, G. (1998). Théorie des Situations Didactiques. Grenoble, La pensée:
sauvage.
Brousseau, G. (1999). Educación y Didáctica de las Matemáticas . Educación
matemática, México Vol 11.
Brousseau, G. (2000). Educación y Didáctica de las Matemáticas. Educación
Matemática Mexico, Vol. 12,, 5 - 39.
Brousseau, G. (2003). Glossaire de quelques concepts de la théorie des situations didactiques en mathématiques. En: http://pagesperso-orange.fr/daest/guy-brousseau/textes/Glossaire_Brousseau.pdf. Traducción al castellano: Glosario de algunos conceptos de la teoría de las situaciones didácticas en matemáticas. Delgado, C. Universidad del Valle. Cali, Colombia.
228 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Chavarría, J. (2006). Teoría de las situaciones didácticas, cuadernos de
investigación y formación en educación matemática 2006, Año 1, Número 2.
Duval, R. (1988a). Graphiques et Equations: l'articulation de deux registres, in
Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, n°1, 235-255.
Duval, R. (1988b) Las representaciones gráficas: funcionamiento y condiciones de
su aprendizaje traducido por Miriam Vega Restrepo. Cali: Universidad del Valle.
Duval, R. (1993). Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif
de la pensée. Annales de Didactique et de Sciences cognitives, 5, 37-65.
Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano: Registros semióticos y
aprendizajes intelectuales (M. Vega, Trad.). Cali: Universidad del Valle. (Obra
original publicada en francés: Sémiosis et pensée humaine. Registres sémiotiques
et apprentissages intellectuels. Bern: Peter Lang/Éditions Scientifiques
Européennes, 1995).
Duval, R. (2004). Los problemas fundamentales en el aprendizaje de las
matemáticas y las formas superiores del desarrollo cognitivo. Lille, Francia.
Duval, R. (2006a). Un tema crucial en la educación matemática: La Habilidad para
cambiar el registro de representación. La gaceta de la RSME, 143-168.
Duval, R. ( 2007) La conversion des représentations : un des deux processus
fondamentaux de la pensée. Du mot au concept Conversion. Le Séminaire. Presses
universitaires de Grenoble. Grenoble, pp. 9-45.
Duval, R. (2016). Un análisis cognitivo de problemas de comprensión en el
aprendizaje de las matemáticas. En R. Duval, & A. Sáenz-Ludlow, Comprensión y
aprendizaje en matemáticas: perspectivas semióticas seleccionadas (pág. 264).
Bogotá.
Edwards, C. y Penney, D., (1997). Cálculo diferencial, Cuarta edición.
Gil, J. y Díaz, R. (2013). Cálculo diferencial para cursos con enfoque por
competencias Primera edición.
Bibliografía 229
García, J. (2011) Dificultades para articular los registros gráficos, algebraicos y
tabulares: el caso de la función lineal.
García, L., Vázquez, A., e Hinojosa, M. (2004). Dificultades en el aprendizaje del
concepto de función en estudiantes de ingeniería. Revista Ingenierías 7(24), 27-34
INSTITUCIÓN EDUCATIVA ALBERTO CARVAJAL BORRERO. (2016).
Proyecto Educativo Institucional PEI. Cali, Colombia
INSTITUCIÓN EDUCATIVA ALBERTO CARVAJAL BORRERO. (2016).
Manual de convivencia. Cali, Colombia
MEN. (1998). Matemáticas: Lineamientos Curriculares. Bogotá: MEN.
MEN. (2006). Estándares Básicos de Competencias en Lenguaje,
Matemáticas, Ciencias y Ciudadanas M. d. E. Nacional (Ed.). Bogotá: MEN
Pontón, T. (2008). Una propuesta multiregistro para la conceptualización
incial de las fracciones. Cali: Tesis de Maestría, Universidad del Valle.
Pontón, T. (2011). La comprensión de problemas en la enseñanza y aprendizaje
inicial de los Números Racionales. Cali: Tesis Doctoral, Universidad del Valle.
Thomas, J. y George, B. (2006). Cálculo una variable, Undécima edición, Pearson
Educación, México, 2006
Vasilachis, I. (2006). Estrategias de investigación cualitativa. Barcelona: Gedisa.
230 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico
cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática
Vigotsky, L. (1979). Interacción entre aprendizaje y desarrollo. En L. Vigotsky
(Ed.), El desarrollo de los procesos psíquicos superiores (pp. 123-140).
Barcelona: Editorial Crítica.
Zill, d. y Dewar, J. (2012) Álgebra, trigonometría y geometría analítica. McGraw-
Hill/Interamericana Editores. México , D.