8/18/2019 Unidad 1 2 3 Natalia

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1. TEORÍA PRIMAL DUAL

TEORIA DE LA DUALIDADCada problema de programación lineal tiene un segundo problema asociado con el.Uno sedenomina primal y el otro dual. Los 2 poseen propiedades muy relacionadas de tal manera !uelasolución óptima a un problema proporciona in"ormación completa sobre la solución óptima parael otro.Lasrelaciones entre el primal y el dual se utili#an para reducir el es"uer#o de cómputo en ciertosproblemas ypara obtener in"ormación adicional sobre las $ariaciones en la solución óptimadebidas a ciertos cambios en

los coe%cientes y en la "ormulación del problema. Esto se conocecomo an&lisis de sensibilidad o post'optimidad.(ara poder elaborar el problema dual a partir del primal este se debe presentar en su"ormacanon)ca de la siguiente "orma*+a,imi#ar-u eto a*/eneralidades de la teor)a DualEl teorema de la Dualidad establece !ue e,iste un e!uilibrio entre el con unto de acti$idades y elcon unto deprecios en donde el costo de producción +)nimo es igual a la /anancia +&,ima.0Ley de O"erta y Demanda1 Algunas (ropiedades

. (ropiedad de dualidad d3bil.Cual!uier solución "actible en el primal tiene un $alor menor o igual !uecual!uier solución "actibleen el dual.2. (ropiedad de dualidad "uerte.En el óptimo ambas soluciones soniguales.4. (ropiedad de simetr)a(ara cual!uier problema el dual del dual es el primal.Utilidad de la teor)a Dual

. -i el problema de (L tienen n $ariables y m restricciones su problema dual tiene m $ariables ynrestricciones. A $eces es m&s "&cil resol$er un problema !ue otro.

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FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DUAL(Teoría de Dualidad)

Hemos visto como la programación lineal puede ser usada para resolver una extensavariedad de problemas propios de los negocios, ya sea para maximizar utilidades ominimizar costos. Las variables de decisión en tales problemas fueron, por ejemplo, elnúmero de productos a producir, la cantidad de pesos a emplear, etc. En cada caso lasolución óptima no explicó cómo podrían ser asignados los recursos ejemplo! materiaprima, capacidad de las m"#uinas, el dinero, etc.$ para obtener un objetivoestablecido.

En este capítulo veremos #ue a cada problema de programación lineal se le asocia otroproblema de programación lineal, llamado el problema de programación dual. Lasolución óptima del problema de programación dual, proporciona la siguienteinformación respecto del problema de programación original!

%. La solución óptima del problema dual proporciona los precios en el mercado o

los beneficios de los recursos escasos asignados en el problema original.

&. La solución óptima del problema dual aporta la solución óptima del problemaoriginal y viceversa.

RELACIONES PRIMAL-DUAL

Asociado a cada problema lineal e,iste otro problema de programación lineal

denominado problema dual !ue posee importantes propiedades y relaciones notables

con respecto al problema lineal original problema !ue para di"erencia del dual se

denomina entonces como problema primal 0((1.

Las relaciones las podemos enumerar como siguen*

a1 El problema dual tiene tantas $ariables como restricciones tiene el programa primal.

b1 El problema dual tiene tantas restricciones como $ariables tiene el programa primal

c1 Los coe%cientes de la "unción ob eti$o del problema dual son los t3rminos

independientes de las restricciones o R5- del programa primal.

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d1 Los t3rminos independientes de las restricciones o R5- del dual son los coe%cientes

de la "unción ob eti$o del problema primal.

e1 La matri# de coe%cientes t3cnicos del problema dual es la traspuesta de la matri#

t3cnica del problema primal.

"1 El sentido de las desigualdades de las restricciones del problema dual y el signo de

las $ariables del mismo problema dependen de la "orma de !ue tenga el signo de las

$ariables del problema primal y del sentido de las restricciones del mismo problema.

METODO DUAL SIMPLEX. Este método se aplica a problemas óptimos pero infactibles. En este caso, las restricciones seexpresan en forma canónica (restricciones ). La función objetivo puede estar en la forma de maximización o de minimización. Después deagregar las variables de olgura ! de poner el problema en la tabla, si alg"n elemento de la partederec a es negativo ! si la condición de optimidad est# satisfec a, el problema puede resolversepor el método dual simplex. $ote %ue un elemento negativo en el lado derec o significa %ue elproblema comienza óptimo pero infactible como se re%uiere en el método dual simplex. En laiteración donde la solución b#sica llega a ser factible esta ser# la solución óptima del problema. CONDICION DE FACTIBILIDAD. La variable %ue sale es la variable b#sica %ue tiene el valor m#s negativo (los empates se rompenarbitrariamente si todas las variables b#sicas son no negativas, el proceso termina ! esta "ltima

tabla es la solución óptima factible). CONDICION DE OPTIMIDAD. La variable %ue entra se elige entre las variables no b#sicas como sigue. &ome los cocientes de loscoeficientes de la función objetivo entre los coeficientes correspondientes a la ecuación asociada ala variable %ue sale. 'gnore los cocientes asociados a denominadores positivos o cero. La variable %ue entra es a%uella con el cociente m#s pe%ue o si el problema es de minimizar o elvalor absoluto m#s pe%ue o si el problema es de maximización (rompa los empatesarbitrariamente). i los denominadores son ceros o positivos el problema no tiene ninguna solución

factible.

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es importante llevar a cabo un análisis de sensibilidad, para investigar el efecto %ue tendr*asobre la solución óptima proporcionada por el método s*mplex el ec o de %ue los par#metrostomaran otros valores posibles. En general, abr# algunos par#metros a los %ue se les puedaasignar cual%uier valor razonable sin %ue afecten la optimalidad de la solución. in embargo,también existir#n par#metros con valores probables %ue nos lleven a una nueva soluciónóptima. Esta situación es particularmente preocupante, si la solución original ad%uiere valoressustancialmente inferiores en la función objetivo, +o tal vez no factibles

-or lo tanto, el objetivo fundamental del an#lisis de sensibilidad es identificar los pa á!e" #ssensibles, (por ejemplo, los par#metros cu!os valores no pueden cambiar sin %ue cambie lasolución óptima ). -ara ciertos par#metros %ue no est#n clasificados como sensibles, tambiénpuede resultar de gran utilidad determinar el in"e $al# de $al# es del par#metro para el %uela solución óptima no cambia. (Este intervalo de valores se conoce como intervalo permisiblepara permanecer óptimo). En algunos casos, cambiar el valor de un par#metro puede afectarla %a&"ibilidad de la solución / óptima. -ara tales par#metros, es "til determinar el intervalode valores para el %ue la solución / óptima (con los valores ajustados de las variablesb#sicas) seguir# siendo factible. (Este intervalo recibe el nombre de intervalo permisible para

permanecer factible).La información de este tipo es invaluable en dos sentidos. -rimero, identifica los par#metrosm#s importantes, con lo %ue se puede poner un cuidado especial al acer sus estimaciones !al seleccionar una solución %ue tenga un buen desempe o para la ma!or*a de los valoresposibles. egundo, identifica los par#metros %ue ser# necesario controlar de cerca cuando elestudio se lleve a la pr#ctica. i se descubre %ue el valor real de un par#metro se encuentrafuera de su intervalo de valores permisibles, ésta es una se al de %ue es necesario cambiar lasolución.

En esencia, la idea fundamental revela de inmediato la forma en %ue los cambios al modelooriginal alterar*an los n"meros de la tabla s*mplex final (si se supone %ue se duplica la misma secuencia de operaciones algebraicas %ue realizó el método s*mplex la primera vez). -or lotanto, después de acer unos cuantos c#lculos para actualizar esta tabla s*mplex, se puedeverificar con facilidad si la solución / óptima original a ora es no óptima (o no factible). i esas*, esta solución se usar# como solución b#sica inicial para comenzar de nuevo el métodos*mplex (o el s*mplex dual ) para encontrar una nueva solución óptima, si se desea. i loscambios realizados en el modelo no son cambios ma!ores, sólo se re%uerir#n unas cuantasiteraciones para obtener la nueva solución óptima a partir de esta solución b#sica inicial0avanzada0.