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UNIDAD 13
LA CIRCUNFERENCIA Y LA PARÁBOLA
Objetivo general.
Al terminar esta Unidad aplicarás las definiciones y los
elementos que caracterizan a la circunferencia y a la
parábola en las soluciones de ejercicios y problemas.
Objetivos específicos:
1. Recordarás cuáles son las curvas cónicas y porqué se les da ese nombre; la
ecuación general de segundo grado y las condiciones para que una ecuación
cuadrática represente a cada sección cónica.
2. Recordarás y aplicarás la definición de la circunferencia como un lugar
geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general.
3. Recordarás las características de los coeficientes de una ecuación de segundo
grado que representa a una circunferencia y la necesidad de conocer tres
constantes independientes para determinar la ecuación de esta curva. Utilizarás
estos conceptos para resolver problemas.
4. Recordarás y aplicarás la definición de la parábola como un lugar geométrico y
su ecuación en la forma canónica y en la forma general.
5. Recordarás y aplicarás las características de los coeficientes de una ecuación de
segundo grado que representa a una parábola, y la necesidad de tres condiciones
para determinar su ecuación.
13.2
Objetivo 1. Recordarás cuáles son las curvas cónicas y porqué se les da ese nombre, la
ecuación general de segundo grado y las condiciones para que una
ecuación cuadrática represente a cada sección cónica.
El geómetra y astrónomo griego Apolonio de Pérgamo que vivió del año 262 aC al 180 aC,
en su obra “Las Cónicas” describió las curvas que se obtienen al seccionar un cono con un
plano.
Como puede observarse en la Figura 1.1, la intersección de un cono doble infinito por un
plano, determina diferentes curvas según la inclinación del plano con respecto al eje del
cono. Así,
Fig. 1.1
a) Si el plano es perpendicular al eje del cono, la intersección determina una
circunferencia.
b) Si el plano no es perpendicular al eje del cono y su inclinación es tal que divide al
cono en dos partes, se determina una elipse.
13.3
c) Si el plano forma un ángulo dado con el eje del cono y es paralelo a un plano
tangente al cono, la curva que determina es una parábola.
d) Si el plano es paralelo al eje de ambos conos, las intersecciones son las dos ramas
de la curva llamada hipérbola.
Debido a esta característica, se les llama curvas cónicas, secciones cónicas, o simplemente
cónicas. Aun cuando las cuatro curvas mencionadas: circunferencia, elipse, parábola e
hipérbola se obtienen a partir del cono, en realidad la circunferencia puede considerarse un
caso especial de la elipse cuando los ejes mayor y menor tienen la misma longitud.
Igual que en el caso de la recta, todas las curvas se definen como el lugar geométrico de un
punto que se mueve cumpliendo ciertas condiciones.
En la unidad anterior se vio que toda ecuación de primer grado representa una recta; en esta
unidad se revisarán las cuatro curvas cónicas, cuya representación algebraica está dada por
una ecuación de segundo grado.
Conviene recordar que la forma general de una ecuación de segundo grado en dos variables
x y y es:
022 FEyDxCyBxyAx
donde todos los coeficientes son constantes y al menos uno de los tres primeros, A, B ó C,
es diferente de cero. El indicador o discriminante de una ecuación cuadrática definido
como
ACBI 42
permite determinar qué clase de curva representa la ecuación. Una ecuación cuadrática
representa:
1. Una parábola, si 042 ACB
2. Una elipse, si 042 ACB
3. Una hipérbola, si 042 ACB
13.4
Objetivo 2. Recordarás y aplicarás la definición de la circunferencia como un lugar
geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general.
Definición. La circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano
de manera que se encuentra siempre a la misma distancia de un punto fijo.
El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio de
la circunferencia.
Figura 2.1
Si C(h, k) es el punto fijo, r la distancia constante y P(x, y) el punto que se mueve
manteniéndose siempre a una distancia r del punto C, la expresión algebraica de la
definición es:
rdCP
rkyhx 22
222 rkyhx
13.5
Esta es la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r. A esta
expresión se le llama forma canónica de la ecuación de la circunferencia.
Cuando el centro de una circunferencia está en el origen del sistema cartesiano, es decir
C(0, 0), la ecuación se transforma en:
222 00 ryx 222 ryx
Ejemplos:
1.) Para escribir la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio igual a
13 la respuesta es inmediata aplicando la fórmula anterior, en la que se sustituye en
el segundo miembro el valor del radio: 222 ryx
222 13 yx
16922 yx
2.) Para encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa
por el punto P(3, 4), como el centro de la circunferencia está en el origen y se
conoce un punto por el que pasa, es posible determinar el valor del radio y , con
estos tres datos: h, k y r, escribir la ecuación.
r = 22 4030 CPd
25169 CPd = 5
r = 5
Por lo tanto la ecuación es
2522 yx
13.6
3.) Para encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, –4) y tangente al
eje y, al graficar las condiciones del problema se observa que por ser tangente al eje
y, la circunferencia pasa por el punto P(0, –4).
Figura E 2.1
Luego se determina el valor del radio, que es la distancia del centro al punto de
tangencia:
12 xxr = 20 = 2
Como la circunferencia tiene su centro fuera del origen, la formula que debe
emplearse es
222 rkyhx
222 242 yx
442 22 yx
13.7
4.) Para determinar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje x, y
pasa por los puntos A(1, 3) y B(4, 6), como ya se conoce la ordenada del centro de
la circunferencia, que es cero por estar sobre el eje x, se debe determinar la abscisa.
Por tanto se formula que el centro está en C(h, 0), con h desconocida.
Puesto que todos los puntos de la circunferencia equidistan del centro,
CBCA dd
2222 064031 hh
36491 22 hh
36816921 22 hhhh
hh 852210
426 h
7h
Entonces, el centro es el punto C(7, 0).
Para determinar la ecuación se necesita el valor del radio, que es la distancia de un
punto al centro:
CAdr = 22 0371
45936 r
La ecuación de la circunferencia con centro en (7, 0) y radio 45 es
4507 22 yx
457 22 yx
13.8
Figura E 2.2
Dada la ecuación de una circunferencia en la forma canónica, es posible expresarla en la
forma general al desarrollar los binomios cuadrados, reducir términos semejantes e igualar
a cero la ecuación.
Ejemplos:
Obtención de la forma general de las ecuaciones de las circunferencias correspondientes
a los ejemplos 1 al 4 anteriores:
5.) 16922 yx
En este caso no hay binomios por desarrollar, así que la forma general se
obtiene al igualar a cero el segundo miembro:
016922 yx
6.) 2522 yx
Como en el caso anterior, la forma general se obtiene al igualar a cero el
segundo miembro:
02522 yx
13.9
7.) 442 22 yx
Se desarrollan los binomios cuadrados:
416844 22 yyxx
Se suman algebraicamente los términos constantes, igualando a cero el
segundo miembro y ordenando por grado los términos de la ecuación:
0168422 yxyx
8.) 457 22 yx
Se desarrolla el único binomio que aparece y se iguala a cero:
0454914 22 yxx
La ecuación es
041422 xyx
9.) Para obtener la ecuación, en forma general, de la circunferencia que pasa por
los puntos A(–8, 3) y B(4, –5) y cuyo centro está sobre la recta
01432 yx es muy conveniente representar primero la figura a partir de
las condiciones dadas.
Figura E 2.3a
13.10
El centro de la circunferencia se encuentra sobre la bisectriz del segmento AB (la recta
perpendicular en el punto medio del segmento) y está en la intersección de esa
bisectriz con la recta dada; por lo tanto, se debe encontrar la ecuación de la bisectriz de
AB y la intersección de ambas rectas para conocer las coordenadas del centro. Con
este punto y cualquiera de los puntos A o B, se determina su distancia, que es el radio
de la circunferencia.
Figura E 2.3b
La bisectriz del segmento AB pasa por el punto medio del segmento y su pendiente
es reciproca y de signo contrario a la de AB :
Punto medio de AB : 2
21 xxx =
284 = 2
2
21 yyy =
235 = 1
Pendiente del segmento AB:
12
12
xxyymAB
= 84
35 =
32
128
13.11
Pendiente de la bisectriz de AB : ABm1
=
32
1 = 23
Ecuación de la bisectriz de AB :
)( 11 xxmyy
2231 xy
6322 xy
0423 yx
Intersección de las rectas 0423 yx y 01432 yx
Se despeja una variable de la primera ecuación:
0423 yx
342
yx
Se sustituye en la segunda ecuación:
01433
422
yy
042984 yy
505 y
10y
Se sustituye este valor en la expresión para x:
3
4102 x = 8
324
La intersección es el punto (–8, –10), que es el centro de la circunferencia.
13.12
Figura E 2.3c
Radio de la circunferencia:
r = 22 31088 CAd
r 131690
La circunferencia que pasa por los puntos A(–8, 3) y B(4, –5) y cuyo centro está
sobre la recta 01432 yx , tiene su centro en C(–8, –10) y su radio es 13, por lo
que su ecuación en la forma canónica es:
169108 22 yx
y, en la forma general:
0169100206416 22 yyxx
05201622 yxyx
Objetivo 3. Recordarás las características de los coeficientes de una ecuación de
segundo grado que representa a una circunferencia y la necesidad de
conocer tres constantes independientes para determinar la ecuación de esta
curva. Utilizarás estos conceptos para resolver problemas.
13.13
La forma general de la ecuación de la circunferencia con centro en C(h, k) y radio r es:
222 rkyhx
022 22222 rkkyyhhxx
022 22222 rkhkyhxyx
Si se compara esta expresión con la forma general de la ecuación cuadrática,
022 FEyDxCyBxyAx
y, dado que h, k y r son constantes, la forma general de la ecuación de la circunferencia
puede reescribirse como
022 FEyDxyx
donde la relación entre los coeficientes de la forma cuadrática y los de la ecuación de la
circunferencia es tal que:
A = C = +1
B = 0
D = –2h ; 2Dh
E = –2k; 2Ek
F = h2 + k2– r 2; 4
4222 FEDr
La expresión para r2 se obtiene al sustituir h y k por sus igualdades correspondientes en
términos de D y E. Conviene observar que el numerador ( FED 422 ) puede ser
positivo, cero o negativo y, puesto que su raíz cuadrada es el valor del radio de la
circunferencia:
a) Si 0422 FED , la ecuación representa una circunferencia con centro en el
punto
2,
2ED y radio igual a FED 4
21 22
13.14
b) Si 0422 FED , se dice que la ecuación representa un círculo punto o nulo, si
bien geométricamente representa sólo un punto de coordenadas
2,
2ED
c) Si 0422 FED , se dice que representa un círculo imaginario, aunque en
geometría real, no representa un lugar geométrico.
En la ecuación de una circunferencia hay tres constantes que son arbitrarias e
independientes. En la forma canónica son h, k y r, y en la forma general son D, E y F; por
ello para determinar la ecuación de cualquier circunferencia se requiere conocer los valores
de tres constantes. Analíticamente esto significa que la ecuación de una circunferencia se
determina completamente por tres condiciones independientes.
A diferencia de la ecuación de una recta, que está determinada por dos condiciones (por
ejemplo dos puntos), para encontrar la ecuación de una circunferencia, si se trata de puntos,
se deben conocer tres puntos por los que pase.
Ejemplos:
1.) A partir de la ecuación 01561022 22 yxyx , para obtener la forma canónica
se procede en forma inversa a como se hizo en el objetivo anterior, es decir, se deben
obtener los términos 2hx y 2ky , y pasar al segundo miembro el término
independiente que resulte.
En este ejemplo la ecuación se divide por 2 para obtener coeficientes unitarios en las
variables x, y,
2153522 yxyx
Luego, las cantidades que se agregan en el primer miembro para completar el desarrollo
de los binomios cuadrados, se deben agregar también en el segundo para obtener una
ecuación equivalente:
13.15
49
425
215
493
4255 22 yyxx
1623
25 22
yx
Por lo tanto, la ecuación representa a una circunferencia con centro en
23,
25 y radio
igual a 4.
Otra manera de resolver este problema consiste en aplicar las expresiones en términos
de D, E y F para determinar las coordenadas del centro y el valor del radio. En éste, y
en cualquier caso, siempre será necesario que los coeficientes de x2 y y2 sean unitarios
y positivos, de modo que lo primero que debe hacerse es dividir por 2 la ecuación:
02
153522 yxyx
Ahora D = –5, E = 3, F = 2
15
Coordenadas del centro:
2,
2ED =
23,
25 = 5 3,
2 2
Radio: r = FED 421 22 =
215435
21 22
= 3092521
= 428
2.) Para encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (–1, 1), (3, 5),
(5, –3) se utiliza la ecuación en la forma general
022 FEyDxyx
En este caso se deben conocer los valores D, E y F. Como la circunferencia pasa por los
puntos dados, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación anterior:
Para el punto (–1, 1): 011 FED
13.16
Para el punto (3, 5): 053259 FED
Para el punto (5,–3): 035925 FED
Se tiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: D, E y F, que se resuelve con
alguno de los métodos conocidos. Utilizando el método de determinantes:
2 FED 3453 FED
3435 FED
13515311113341534112
D = 5
3240
256
13515311113451343121
E 58
4064
13515311134353453211
F 5
3440
272
Al sustituir estos valores en la forma general se obtiene:
05
3458
53222 yxyx
Si se quiere expresar la ecuación con coeficientes enteros, se multiplica por 5:
13.17
03483255 22 yxyx
3.) Para determinar el centro y el radio de la circunferencia del ejemplo anterior se toma la
ecuación con los coeficientes de x2 y y2 unitarios. Luego se pueden completar los
trinomios cuadrados o utilizar las expresiones con D, E y F. Siguiendo este último
procedimiento:
532
D , 58
E , 5
34F
Centro:
2,
2ED =
258
,25
32
=
54,
516
Radio: r = FED 421 22 =
5344
58
532
21 22
= 25
176821 =
254424
21
r = 5442
Objetivo 4. Recordarás y aplicarás la definición de la parábola como un lugar
geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general.
Definición. La parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal
manera que siempre está a la misma distancia de una recta fija, llamada directriz, y de un
punto fijo llamado foco que no pertenece a la recta. Ambos (directriz y foco) situados en el
mismo plano de la parábola.
Los principales elementos de la parábola y su nomenclatura se señalan en la figura 4.1:
13.18
Figura 4.1
Donde
V: Vértice de la parábola
F: Foco de la parábola
d: Directriz de la parábola
a: Eje de la parábola: Recta que pasa por F y es perpendicular a d
LR: Lado recto de la parábola: Cuerda focal perpendicular a su eje
p: Distancia del vértice al foco y también del vértice a la directriz
Se define también un concepto llamado excentricidad, como la razón de las longitudes de
los segmentos de un punto P(x, y) de la parábola, a la directriz y al foco:
PdFPe
Como por la definición del lugar geométrico de la curva las distancias son iguales, la
excentricidad de una parábola es igual a 1:
PdFPe = 1
13.19
La parábola siempre es simétrica con respecto a su eje, y la posición de éste determina la
posición de la curva en el plano cartesiano: el eje será horizontal si es paralelo al eje x (Fig.
4.2), vertical si es paralelo al eje y (Fig. 4.3), o inclinado si tiene esta posición respecto a
los ejes (Fig. 4.4). En esta Guía no se trata el último caso, que se resuelve mediante la
rotación de los ejes coordenados.
Figura 4.2
Figura 4.3
13.20
Figura 4.4.
Si el eje de la parábola es horizontal, la curva puede abrir hacia la derecha o hacia la
izquierda; si su eje es vertical puede abrir hacia arriba o hacia abajo. En cualquier caso,
siempre “envuelve” a su foco.
Para obtener la ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje de la parábola el eje x,
se considera un punto P(x, y) de la curva, el foco localizado en el punto F(p, 0) y un punto
de la directriz, de coordenadas A(–p, y), que cumple con la definición. Estos elementos se
representan en la figura 4.5:
Figura 4.5
13.21
Aplicando la definición del lugar geométrico de la curva, la distancia del foco F al punto P
es igual a la distancia de P al punto A de la directriz:
PAFP
donde
22 0 ypxFP y pxPA
Al sustituir en la primera expresión se obtiene la ecuación:
22 ypx = px
222 pxypx 22222 22 ppxxyppxx
pxy 42
Ésta es la ecuación de una parábola con V(0, 0), F(p, 0) y eje el eje x.
La ecuación de la directriz es x = – p . Si p > 0 la parábola abre hacia la derecha; si p < 0
abre hacia la izquierda.
Si la parábola tiene el vértice en el origen pero su eje es el eje y, las coordenadas del foco
son (0, p) y su ecuación es:
PAFP
220 pyxFP
ypPA
220 pyx yp
222 2 ppyyx = 22 2 ypyp
pyx 42
13.22
La ecuación de la directriz para esta curva es py . Si p > 0, la parábola abre hacia
arriba; si p < 0, abre hacia abajo.
En ambos casos, la longitud del lado recto es el valor absoluto del coeficiente del término
de primer grado:
pLR 4
Las ecuaciones
pxy 42 y pyx 42
se conocen, cada una, como forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice en
el origen.
Ejemplos:
1.) El procedimiento para encontrar la ecuación de la parábola, las coordenadas del
foco, la ecuación de la directriz, la longitud del lado recto y su representación en el
plano, si la parábola tiene su vértice en el origen, pasa por el punto P(4, –2) y su eje
coincide con el eje y, es el siguiente:
Como el eje coincide con el eje de las ordenadas, la ecuación es de la forma
pyx 42
y las coordenadas de P(4, –2) deben satisfacer a esta ecuación, es decir:
244 2 p
p816
2p
Por lo tanto, la ecuación de la parábola es
pyx 42 ; yx 82
Las coordenadas del foco resultan:
F(0, p) = (0, –2)
La ecuación de la directriz es:
13.23
py
2)2( y
La longitud del lado recto queda como:
84 pLR
Figura E 4.1
2.) Para encontrar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco y la longitud del
lado recto, si la parábola tiene el vértice en el origen y su directriz es la recta
05 x , se procede así:
De la ecuación de la directriz
05 x
5x
se sabe que esta recta se encuentra 5 unidades a la izquierda del eje y, paralela a él
y por la ubicación de la directriz se deduce que el foco está 5 unidades a la derecha
del origen sobre el eje x, por lo tanto F(5, 0)
13.24
Entonces la parábola tiene su eje sobre el eje x, y puesto que p = 5 > 0, abre hacia
la derecha.
La ecuación es de la forma
pxy 42
xy 542
xy 202
20LR
Para localizarla en el plano se encuentran algunos puntos:
Para x = y =
1 20 ± 4.47
1.8 36 ± 6
3.2 64 ± 84
4 80 ± 8.94
Figura E 4.2
13.25
3.) Si una cuerda de la parábola xy 42 se encuentra sobre la recta 032 yx , se
puede determinar su longitud al recordar que, por definición, se llama cuerda al
segmento de recta que une dos puntos de la curva. Por tanto, ambos puntos deben
satisfacer la ecuación de la curva y también la ecuación de la recta, puesto que se
encuentran sobre ella.
Para resolver las ecuaciones en forma simultánea, se puede despejar a x de la
ecuación de la recta y sustituirla en la de la parábola:
32 yx
3242 yy
01282 yy
Al aplicar la fórmula para resolver una ecuación de segundo grado:
12
1214648 y
2168
y
61 y
22 y
y los valores de x se obtienen sustituyendo cada valor de y en la ecuación
32 yx :
Para 61 y , 362 x = 9; un extremo de la cuerda es el punto (9, 6)
Para 22 y , 322 x = 1; el otro extremo es (1, 2)
La longitud de la cuerda es la distancia entre los dos extremos:
22 2619 d = 1664 = 80 = 54 .
13.26
En tanto que el origen es sólo un punto del plano, es más común que el vértice de una
parábola se encuentre en cualquier otro punto. Las fórmulas que se obtienen enseguida
corresponden a la forma canónica de una parábola que tiene su vértice en un punto del
plano de coordenadas (h, k), y su eje paralelo -no necesariamente coincidente- a uno de los
ejes coordenados.
Figura 4.6a
Figura 4.6b
13.27
En las figuras 4.6a y 4.6b se observa que si se traslada el origen del plano al punto (h, k), y
a los nuevos ejes cartesianos se les denota como x’ y y’, las ecuaciones de las parábolas
con vértice en el “nuevo origen” son:
a) eje paralelo al eje x:
'4'2 pxy .......... (1)
b) eje paralelo al eje y:
'4'2 pyx ........... (2)
Puesto que la relación entre las coordenadas del sistema original y las del sistema
trasladado es:
kyyhxx''
entonces
kyyhxx
''
Al sustituir estas expresiones en la ecuación (1) se obtiene:
hxpky 42
Que es la ecuación de una parábola con
vértice en (h, k)
eje paralelo al eje x
foco en (h + p, k)
ecuación de la directriz: phx
longitud del lado recto: 4p
Si p > 0, la parábola abre hacia la derecha; si p < 0 la parábola abre hacia la izquierda.
Sustituyendo en la ecuación (2), se obtiene:
kyphx 42
Que es la ecuación de una parábola con
vértice en (h, k)
13.28
eje paralelo al eje y
foco en (h, k + p)
ecuación de la directriz: pky
longitud del lado recto: 4p.
Si p > 0, la parábola abre hacia arriba; si p < 0, abre hacia abajo:
Ejemplos:
4.) Para encontrar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (–4, 3)
y (–1, 3), respectivamente, al representarlas en el plano se observa que:
el eje de la parábola es paralelo al eje x, luego su ecuación es del tipo
hxpky 42
de las coordenadas del vértice y del foco se determina que k = 3; h = –4 y
h + p = –1, por lo que
3411
php
Como p > 0, la parábola abre hacia la derecha.
Figura E 4.3
13.29
Sustituyendo los valores obtenidos se determina la ecuación de la parábola:
4343 2 xy
4123 2 xy
La ecuación de su directriz es
07734
xx
phx
La ecuación de su eje, que es la recta donde se encuentran el foco y el vértice,
resulta:
033
yy
5.) La directriz de una parábola es la recta 01y y su foco es el punto (4, –3).
Por la ecuación de la directriz se sabe que la parábola tiene su eje paralelo al eje
y, por lo que su ecuación será de la forma: kyphx 42
También se sabe que la ecuación de la directriz es del tipo pky , por lo
tanto 01y implica que 1y , luego 1 pk
Las coordenadas del foco son (h, k + p), de ahí que h = 4, k + p = –3
Estas dos ecuaciones con dos incógnitas: k y p, se resuelven como un sistema de
ecuaciones simultáneas y se obtiene:
pk 1
31 pp
42 p
2p
21 k
1k
La ecuación de la parábola es
kyphx 42
13.30
1244 2 yx
184 2 yx
Como p < 0, la parábola abre hacia abajo.
Figura E 4.4
6.) Dada la parábola 1165 2 xy se pueden encontrar todos sus elementos de
la siguiente manera:
En el binomio cuadrado está la variable y, por lo tanto la parábola tiene su eje
paralelo al eje x; las coordenadas del vértice son h = 1 y k = –5, y también aparece
que
44
16164
p
p
Su foco se localiza en el punto (h + p, k), es decir en 5,41 = 5,3
La ecuación de su directriz, phx , es 41 x ; 05 x
La longitud del lado recto: p4 es 1616 LR
y, como p < 0, la parábola abre hacia la izquierda.
13.31
Figura E 4.5
Una parábola está representada por una ecuación cuadrática pero, a diferencia de las otras
cónicas, únicamente tiene un término cuadrático: el término en x si su eje es vertical, o el
término en y si su eje es horizontal.
La forma general de la ecuación de la parábola se obtiene efectuando las operaciones
indicadas, sumando los términos semejantes e igualando a cero el segundo miembro.
Ejemplos:
Obtención de la forma general de la ecuación de las parábolas de los tres ejemplos
anteriores:
7.) 4123 2 xy
Se desarrollan el binomio cuadrado y el producto que aparece en el segundo
miembro:
4812962 xyy
Se pasan todos los términos al primer miembro, se suman los términos
independientes y se ordenan como ocurre en la ecuación general de segundo grado:
13.32
0396122 yxy
8.) 184 2 yx
Se siguen los mismos pasos: efectuar las operaciones indicadas en ambos miembros
881682 yxx
Sumar términos semejantes, ordenar e igualar a cero:
024882 yxx
9.) 1165 2 xy
161625102 xyy
0910162 yxy
10.) Para determinar las coordenadas del vértice y del foco, la longitud del lado recto y la
ecuación de la directriz, de la parábola cuya ecuación es 02593 2 yxx ,
como la ecuación de la curva está en la forma general debe encontrarse la forma
canónica.
El procedimiento es inverso a lo hecho en los ejemplos anteriores. Ahora hay que
completar el trinomio y factorizar tanto el binomio cuadrado del primer miembro
como el binomio del segundo miembro; así se obtendrán las coordenadas del vértice
y el valor de p.
Como en la forma canónica el coeficiente de la variable elevada al cuadrado es
unitario, la ecuación se divide entre 3:
2 5 23 03 3
x x y
Se reacomodan los términos dejando en el primer miembro los que se factorizarán
en el binomio cuadrado, y se agrega en el segundo el término que se sumó en el
primero para completar el trinomio:
13.33
49
32
35
4932 yxx 5 35
3 12y
Se factorizan el trinomio y el binomio para obtener las coordenadas (h, k) del
vértice y el valor de 4p:
47
35
23 2
yx
De aquí se obtiene: 23
h y 47
k
354 p ;
125
p
47,
23V
125
47,
23, pkhF =
34,
23
354 pLR
Directriz: pky ; 125
47y ;
613
y ; 06
13y
11.) La ecuación de la parábola cuyo lado recto es el segmento que une los puntos (3, 5)
y (3, –3) se encuentra de la siguiente manera:
Por los puntos (3, 5) y (3, –3) se sabe que el eje de la parábola es paralelo al eje x, y
su ecuación es del tipo hxpky 42
El lado recto es la longitud del segmento
22 3533 LR = 864
Como pLR 4 , entonces
84 p → 84 p 248
p
13.34
El doble signo es porque no se sabe si la parábola abre hacia la derecha o hacia la
izquierda.
Como el foco de la parábola se encuentra en el punto medio del lado recto, sus
coordenadas son:
221 xxx
= 32
33
; 122
253
y F(3, 1)
a) Si la curva abre a la derecha p es positiva. Entonces p = +2, y el vértice se
encuentra a 2 unidades a la izquierda del foco. Sus coordenadas son:
V(h – p, k) = (3 – 2, 1) = (1, 1)
En este caso la ecuación de la parábola es:
181 2 xy
y en la forma general:
09822 xyy
La directriz es: phx y al sustituir los valores de h y de p resulta:
121 x
01 x
b) Si la curva abre a la izquierda p es negativa, p = –2, y el vértice estará a 2
unidades a la derecha del foco; en tal caso
V(h – p, k) = [3– (–2), 1] = (5, 1)
La parábola tiene por ecuación
581 2 xy
y en la forma general
039822 xyy
La directriz es: phx :
725 x
07 x
13.35
La gráfica de las dos curvas se muestra en la siguiente figura.
Figura E 4.6
RESUMEN DE FÓRMULAS
FÓRMULA ELEMENTOS
pxy 42
eje coincidente con el eje x
vértice en (0, 0)
foco en (p, 0)
ecuación de la directriz: x = – p
longitud del lado recto: 4p
p > 0 → abre hacia la derecha
p < 0 → abre hacia la izquierda
pyx 42
eje coincidente con el eje y
vértice en (0, 0)
foco son (0, p)
ecuación de la directriz: py
longitud del lado recto: 4p
13.36
p > 0 → abre hacia arriba
p < 0 → abre hacia abajo
hxpky 42
eje paralelo al eje x
vértice en (h, k)
foco en (h + p, k)
ecuación de la directriz: phx
longitud del lado recto: 4p
p > 0 → abre hacia la derecha
p < 0 → abre hacia la izquierda.
kyphx 42
eje paralelo al eje y
vértice en (h, k)
foco en (h, k + p)
ecuación de la directriz: pky
longitud del lado recto: 4p
p > 0 → abre hacia arriba
p < 0 → abre hacia abajo.
Objetivo 5. Recordarás y aplicarás las características de los coeficientes de una
ecuación de segundo grado que representa a una parábola, y la necesidad
de tres condiciones para determinar su ecuación.
Dada la forma general de una ecuación de segundo grado que no contenga el término en xy:
022 FEyDxCyAx
1. Si A = 0, C ≠ 0 y D ≠ 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a
(o coincide con) el eje x.
13.37
Sin embargo, si A = 0, C ≠ 0 pero D = 0, la ecuación no representa una parábola.
En este caso si las raíces de la ecuación 02 FEyCy son
a) reales y diferentes, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje x
b) reales e iguales, representa dos rectas coincidentes paralelas al eje x
c) complejas, no representa lugar geométrico alguno.
2. Si A ≠ 0, C = 0 y E ≠ 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a
(o coincide con) el eje y.
Pero si A ≠ 0, C = 0 y E = 0, la ecuación no representa una parábola. Como en el
caso anterior, si las raíces de la ecuación 02 FDxAx son
a) reales y diferentes, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje y
b) reales e iguales, representa dos rectas coincidentes paralelas al eje y
c) complejas, no representa lugar geométrico alguno.
Ejemplos:
1.) Para determinar el lugar geométrico que representa la ecuación
09724204 2 yxx , se observa que en esta ecuación de segundo grado A ≠ 0, C
= 0, E ≠ 0. Por tanto, representa una parábola con su eje paralelo al eje y.
2.) Para determinar el lugar geométrico que define la ecuación 14242 2 xxy
se efectúan las operaciones indicadas para poder analizar la estructura de la ecuación:
14242 2 xxy
1484442 xxyy
0144442 xxyy
0342 yy
Esta ecuación cuadrática corresponde al caso en que A = 0, C ≠ 0 pero D = 0, por lo
que no representa a una parábola.
13.38
Si se aplica la fórmula para resolver una ecuación de segundo grado donde a = 1, b = 4,
c = –3:
aacbby
242
=
12314164
y = 2
284 = 2
29.54
645.0229.1
1 y → 0645.01 y
645.4229.9
2 y → 0645.42 y
Cada una de estas expresiones representa una recta paralela al eje x: la primera a una
distancia de 0.645 unidades arriba del eje, y la segunda a 4.645 unidades abajo del eje.
En forma similar a lo que ocurre con la circunferencia, en la ecuación de la parábola existen
tres constantes arbitrarias independientes o parámetros: h, k y p. Por ello, la ecuación de
cualquier parábola, cuyo eje sea paralelo a uno de los ejes coordenados, puede determinarse
a partir de tres condiciones independientes.
Ejemplo:
3.) Para encontrar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje x y pasa por los
puntos
1,
23 , (0, 5) y (–6, –7), como el eje de la parábola es paralelo al de las
abscisas, en la ecuación que se busca el término que aparece al cuadrado es el de y
Para resolver este problema es conveniente utilizar la forma general de la ecuación de la
parábola:
02 FEyDxCy
Como C debe ser diferente de cero, se divide la ecuación por C:
02 CFy
CEx
CDy
13.39
Si se cambia de nombre a las variables, para simplificar la expresión:CDD ' ,
CEE ' ,
CFF ' , la ecuación queda como:
0'''2 FyExDy
De manera que para encontrar la ecuación de la parábola, deberán determinarse las tres
constantes D’, E’ y F’, a partir de los tres puntos por los que pasa la curva.
Sustituyendo las coordenadas de cada punto en la ecuación anterior, se tienen tres
ecuaciones con tres incógnitas que se resolverán como ecuaciones simultáneas
.
Para
1,
23 : 0'''
231 FED
Para (0, 5) : 25 + 0''5 FE
Para (–6, –7): 0''7'649 FED
El sistema puede escribirse como:
1'''23
FED .................. (1)
25''5 FE .................... (2)
49''7'6 FED ................ (3)
De (2) se despeja a F’: '525' EF
Se sustituye F’ en (1): 1'525''23
EED
24'6'23
ED
48'12'3 ED ......... (4)
Se sustituye en (3): 49'525'7'6 EED
24'12'6 ED
12'6'3 ED ........... (5)
13.40
Restando (4) – (5): 48'12'3 ED
12'6'3 ED
36'18 E
21836' E
Sustituyendo en (4): 48'12'3 ED
48212'3 D
83
2448'
D
Sustituyendo en F’: '525' EF
152525' F
Se sustituyen estos valores en la ecuación: 0'''2 FyExDy y se obtiene la
ecuación de la parábola que pasa por los puntos dados y su eje es paralelo al eje x:
015282 yxy