unidad 3. transformada de la laplace y series de fourier

Ecuaciones diferenciales

Unidad 3. Transformada de Laplace y series de Fourier

Ciencias de la Salud, Biolgicas y Ambientales | Tecnologa Ambiental 1

Ingeniera en Tecnologa Ambiental

7 cuatrimestre



Universidad Abierta y a Distancia de Mxico




ndice

Unidad 3. Transformada de Laplace y series de Fourier .................................................... 3

Presentacin de la unidad ................................................................................................. 3

Propsitos de la unidad ..................................................................................................... 3

Competencia especfica ..................................................................................................... 3

3.1. Transformada de Laplace ........................................................................................... 4

3.1.1. Definicin de transformada de Laplace .................................................................... 4

3.1.2. Definicin de la transformada inversa ...................................................................... 5

3.1.3. Linealidad y otras propiedades .............................................................................. 10

3.1.4. Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace ................ 14

3.1.5. Transformada de Laplace de funciones bsicas .................................................... 16

3.1.6. Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos ................................ 22

3.1.7. Clculo de la transformada inversa para funciones ................................................ 26

3.1.8. Derivacin de la transformada ............................................................................... 29

3.1.9. Integracin de la transformada ............................................................................... 32

Actividad 1. Solucin de ecuaciones con la transformada de Laplace ............................. 34

3.1.10. Aplicaciones de la transformada de Laplace en fenmenos fsicos ...................... 35

3.2. Series de Fourier ...................................................................................................... 38

3.2.1. Definicin de las series de Fourier ......................................................................... 39

3.2.2. Series trigonomtricas y funciones con periodicidad .............................................. 43

3.2.3. Frmulas de Euler .................................................................................................. 48

3.2.4. Convergencia de series ......................................................................................... 54

3.2.5. Funciones no peridicas en series ......................................................................... 62

3.2.6. Aplicaciones de las series de Fourier en fenmenos fsicos ................................... 68

Actividad 2. Series de Fourier .......................................................................................... 72

Actividad 3. Transformadas de Laplace y series de Fourier ............................................. 72

Evidencia de aprendizaje. Transformadas de Laplace y series de Fourier aplicadas ....... 73

Cierre de la unidad .......................................................................................................... 74

Para saber ms ............................................................................................................... 75

Fuentes de consulta ........................................................................................................ 75





Presentacin de la unidad

En esta tercera unidad sern cubiertos conceptos que se utilizarn para modelar y

resolver matemticamente de una forma adecuada problemas existentes en fenmenos

fsicos que encuentran relacin con las ecuaciones diferenciales. Para ello, se tratarn los

temas de la transformada de Laplace y las series de Fourier definiendo ambas,

aprendiendo a calcular la transformada inversa, facilitando el reconocer las propiedades

de linealidad y traslacin, identificando las condiciones suficientes de existencia para la

aplicacin de stas, y aprendiendo a calcular la transformada y series para funciones

bsicas y definidas por tramos. Sern mostrados los fundamentos que permiten hacer uso

de estas dos herramientas matemticas, detallando las frmulas de Euler, la forma de las

series trigonomtricas y funciones con periodicidad, as como el tratamiento de aquellas

funciones no peridicas por medio de series. Se estudiarn casos particulares y la

aplicacin de la transformada de Laplace y series de Fourier para resolver problemas

asociados con fenmenos fsicos presentes en problemas ambientales.

El objetivo de esta y de las dems unidades es proporcionar las herramientas necesarias

para modelar matemticamente sistemas cambiantes en el tiempo, facilitando su

aplicacin en el desarrollo, anlisis, operacin y control de sistemas de energa renovable.

Bienvenido(a) a esta tercera y ltima unidad del curso.

Propsitos de la unidad

El propsito de la unidad es comprender la transformada de Laplace, sus propiedades,

sus condiciones, y utilizarla de forma correcta sobre ecuaciones y funciones, facilitando su

clculo. Una vez que hayas mecanizado las habilidades para solucionar problemas

haciendo uso de la transformada de Laplace, el propsito es que la apliques para resolver

modelos similares que encuentres en problemas ambientales. Por otro lado, esta unidad

tiene como propsito permitirte identificar las series de Fourier y su aplicacin en el

tratamiento de problemas que puedan involucrarlas dentro de fenmenos fsicos.

Competencia especfica Aplicar ecuaciones diferenciales para solucionar matemticamente problemas que

involucran fenmenos fsicos encontrados en problemticas ambientales, utilizando la

transformada de Laplace y series de Fourier.

juaneduardoResaltado





3.1. Transformada de Laplace

La transformada de Laplace es un recurso matemtico que ser de gran utilidad dentro

del clculo de ecuaciones diferenciales asociadas con fenmenos fsicos, ya que permitir

cambiar problemas de clculo por problemas aritmticos, facilitando su resolucin y

permitiendo interpretar su realidad desde otro marco de referencia.

3.1.1. Definicin de transformada de Laplace

La transformada de Laplace, de acuerdo a Zill (1997), se establece como

donde es funcin definida en todo mayor o igual a cero.

Para distinguir una funcin previa a ser transformada de una que ya lo ha sido, algunos

autores en sus libros hacen uso de letras minsculas al escribirlas, y una vez ya

transformada de maysculas.

Un ejemplo muy bsico de ello sera el querer obtener la transformada de Laplace para

una funcin representada por un nmero constante. Se propone

En este caso, .




Como y (recuerda que por definicin ),

Entonces

para .

sta ltima condicin se debe a que si el exponente de , , ser positivo, y si

tiende a infinito en el lmite, hace que la integral no exista, a lo que se le nombra como

divergencia. En otras palabras, cuando el lmite no existe, tampoco lo hace la integral.

Caso contrario, si el lmite existe hay convergencia en la integral, que es otra forma de

decir que existe.

Como ha sido mostrado, cuando la integral tiene convergencia, resulta de esta una

funcin de , esto es, .

Para ver ms clculos de la transformada de Laplace para funciones bsicas consulta el

subtema 3.1.5. Transformada de Laplace de funciones bsicas de esta unidad 3.

Se ha visto que la transformada de Laplace permite cambiar una funcin en otra para

facilitar y aplicar las operaciones necesarias en su resolucin, pero al final lo que se tiene

es el resultado en unidades diferentes, lo que an dejara sin tener la solucin del

problema original. Se debe entonces encontrar la manera de regresar a las formas previas

a la transformacin para poder dar respuesta a las preguntas inicialmente planteadas en

los problemas, sin dejar soluciones inconclusas.

3.1.2. Definicin de la transformada inversa Para resolver el planteamiento final del subtema anterior, en donde, se estableci la

necesidad de regresar, una vez aplicada la transformada de Laplace, a las variables

iniciales del problema en un afn de no dejar la solucin inconclusa, se tratara de

completar el algoritmo de resolucin.






Para resolver problemas haciendo uso de la transformada, lo que sea inferido que se

puede hacer hasta el momento es:

1 Modelar por medio de ecuaciones los problemas presentados, 2 Calcular la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuacin resultante, y 3 Despejar la transformada de Laplace de la funcin correspondiente a la incgnita

del problema original.

Atendiendo a la necesidad de solucionar la incgnita original, el ltimo paso de nuestro

algoritmo deber ser:

4 Buscar una funcin que resulte en la transformada de Laplace despejada.

En ste ltimo paso lo que se har ser aplicar aquello a lo que se le conoce como

transformada inversa.

La transformada inversa de Laplace se escribe como , lo que significa que

siempre y cuando

Observa un ejemplo de cmo se aplicara la transformada inversa de Laplace.

Supn que se tiene una funcin en el dominio de

Entonces

Para resolverla se puede realizar todo el proceso de manera invertida al llevado a cabo en

el subtema 3.1.1. Definicin de transformada de Laplace, completando la equidad para

agregar los trminos que se sabe que tiene la definicin de la transformada de Laplace,







para al final tener una expresin similar a

que se podra entonces convertir a

Al ver la expresin, se podra inferir que si se tiene

y como la transformada de Laplace, por definicin, se expresa como

entonces se tiene ya completa, para un . Se habr encontrado la transformada

inversa de Laplace para

.

Puedes observar que se requiere mucha habilidad y prctica para poder encontrar

transformadas inversas por medio de ir completando las expresiones provistas hasta

llegar a la que se necesita. Es por eso que se basar, para facilitar su correcta aplicacin,

en transformadas de Laplace que se calcular en temas posteriores y otras ya calculadas,

para poder encontrar rpidamente la transformada inversa al reescribir las expresiones

dadas como otras ya conocidas haciendo uso de distintas propiedades que vers en los

temas 3.1.3 y 3.1.5 de esta unidad.

Un ejemplo de a qu se refiere:

Como en el tema 3.1.1 se encuentra que la transformada de Laplace de




queda calculada como

Entonces se sabe que la transformada inversa de Laplace para

es

Para poder facilitar llegara una expresin conocida como transformada de una funcin, se

recomienda convertir primero el denominador a una forma reconocida y posteriormente el

numerador. Algunas formas de manipular denominadores pueden ser, entre otras, el

mtodo de completar la expresin cuadrtica y el mtodo de fracciones parciales.

Bronson, R., (2003, p. 58-59) presenta esos dos mtodos de la siguiente manera:

Mtodo 1

Si se tiene una expresin cuadrtica polinomial , para convertirla en una suma

de cuadrados (dado que la tabla de transformadas provista en temas posteriores contiene

muchas de ellas con denominadores de esa forma) se hara lo siguiente,

en donde

y

, por lo que




Mtodo 2

Si se tiene una expresin de la forma

en donde tanto como son polinomios, el

mtodo de las fracciones parciales la convierte en la suma de otras fracciones en donde

el denominador de cada nueva fraccin es uno de primer grado o cuadrtico elevado a

alguna potencia. Para poder utilizarlo se requiere que el grado de sea menor al de , y

que sea factorizable en el producto de polinomios lineales y cuadrticos elevados a

varias potencias.

El mtodo dice que para cada factor de del tipo debe de asignarse una suma

de fracciones de la forma

Para cada factor de del tipo debe de asignarse una suma de fracciones

de la forma

Las constantes , y (donde y ) se sacarn de la

siguiente manera. Se deber igualar la fraccin original,

, a la suma de las nuevas

fracciones construidas, resolviendo el sistema de ecuaciones lineales para despejar todas

las , y .

Reproduce el siguiente video para ver un ejemplo de cmo usar este segundo mtodo:

http://www.youtube.com/watch?v=19ErKVbteX0 y que tambin pueden encontrar en los

materiales con el nombre Descomposicin en fracciones parciales.mp4

Ms adelante, en los temas 3.1.7 y 3.1.10 de esta unidad, se presentar su aplicacin en

los clculos de la transformada.

Para manipular el numerador se hace uso de simple lgebra. Por ejemplo, si se tiene en

el numerador una expresin del tipo podra ser reescrita como , y si

se tuviera una constante en el numerador que requiriera completarse se podra

multiplicar todo por la unidad creada por

, para tener un resultante de la forma

.




Estas formas de trabajar con el numerador y denominador, aunque pudieran parecer

obvias, tendrn mucha relevancia al unirse a las propiedades de la transformada y

transformada inversa de Laplace, como lo es la linealidad. Esta y otras propiedades se

cubriran en el siguiente subtema, 3.1.3. Linealidad y otras propiedades.

Como una pequea introduccin al tema 3.1.3, y a manera de cierre de ste 3.1.2 en que

se ha tratado a la transformada inversa, una vez que la has determinado posiblemente te

preguntes cmo saber que se ha seleccionado a la funcin correcta para regresar, en el

paso 4 de nuestro algoritmo, a la solucin de nuestra incgnita original. Blanchard, P.,

Devaney, R. L. y Hall, G. R. (1999, p.505-506) hablan de una propiedad de la

transformada inversa llamada unicidad. Esta propiedad dice que si es funcin continua

con transformada de Laplace , ser la nica funcin (de ah lo de

unicidad) que tendr por transformada a . Por eso se dice la transformada

inversa de en lugar de una transformada inversa de , ya que ser la nica.

Para ver ms clculos de la transformada inversa de Laplace para funciones bsicas

puedes consultar el subtema 3.1.7 de esta unidad 3.

3.1.3. Linealidad y otras propiedades

La linealidad es una propiedad que se encuentra presente en operaciones como la

integracin (tanto definida como indefinida) y diferenciacin, significando que, mientras

existan cada derivada e integral, para cualquier constante y lo siguiente se cumple

(Zill, 1997):





Al estar definida la transformada de Laplace como una integral

la propiedad de linealidad es inherente a ella.

Esto significa que

si convergen (existen) ambas integrales resultantes.

Expresado de otra forma, la linealidad de la transformada de Laplace dice que

Al ser la transformada inversa, vista en el tema 3.1.2, resultado de las mismas

operaciones pero revertidas, tambin es un operador lineal.

Blanchard, P. et al (1999) enfatizan la importancia de esto ltimo, dado que facilitar el

determinar la transformada inversa de operaciones a primera vista complicadas por medio

de calcular para cada trmino linealmente simplificable.

La transformada de Laplace, hablando de sus otras propiedades, tiene una caracterstica

que la hace exitosa en su aplicacin para resolver ecuaciones diferenciales, y esto se

puede ver al aplicarla a derivadas.

La transformada de una funcin expresable como

supone la existencia de una

funcin con transformada , esto es,





La caracterstica de la que se habla se encuentra en la solucin de esta transformada,

que resulta ser

Para comprobarlo, se utilizar la verificacin hecha por Blanchard, P., Devaney, R. L. y

Hall, G. R. (1999):

La definicin de la transformada de Laplace dice que

por lo tanto, para comprobar la caracterstica mencionada, se resolver la transformada

para la funcin

dada

Integrando por partes, haciendo el cambio de variable

y

se puede calcular y , obteniendo

y

Se resuelve la integral por partes agregando los cambios hechos




Observa que el segundo trmino es muy similar a la definicin de la transformada de

Laplace, por lo que, se puede reescribir el resultado as:

o lo que es lo mismo

As se prueba la afirmacin de que

Esta caracterstica es la que facilita cambiar elementos diferenciales en por operaciones

algebraicas, transformando problemas de clculo en problemas de lgebra, y permitiendo

la realizacin de muchas operaciones al tener como parte de sus propiedades la

linealidad ya mencionada (Blanchard, 1999).

Otra propiedad es la de la translacin en , que ilustra el impacto en la transformada de

multiplicar una por . Esta propiedad dice que si existe

en , para toda . Para comprobarlo se calcula la transformada.

Cuatro propiedades ms, expuestas por Bronson, R. (2003), son las siguientes:

1 Si entonces para cualquier entero positivo




2 Si y si el

existe, entonces

3 Si entonces

4 Por ltimo, si es una funcin peridica con un periodo , esto es, entonces

Tal como se ha presentado, la transformada de Laplace y sus propiedades, es importante

saber cundo puede existir. Se han establecido y expuesto por distintos autores las

condiciones suficientes de existencia. En el siguiente subtema se presenta cules son y

un ejemplo de comprobacin.

3.1.4. Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace

Zill (1997) establece que las condiciones suficientes para que exista la transformada de

Laplace se definen por el siguiente teorema, si es continua por tramos en el intervalo

y de orden exponencial para , entonces existe para .

Tal vez te preguntes a qu se refiere cuando se habla de la continuidad por tramos de

. Nagle, K., Saff, E. B. y Snider, A. D (2005) lo explican de esta forma: Si es

continua en cada punto de un intervalo finito pero no lo es en una cantidad finita de

puntos donde presenta discontinuidad o saltos, entonces se dice que es una funcin

continua por partes. Ampliando la definicin, establecen que la funcin es continua por

partes en si es continua por partes para cualquier en .





Zill (1997), demuestra su teorema de la siguiente manera:

Se tiene la siguiente transformada aplicada sobre que puede partirse en dos tramos

Se sabe que puede ser expresada como una adicin de integrales en intervalos donde

tiene continuidad.

Para se tiene lo siguiente,

Esto ocurre para para que la integral converja (exista). Recordemos que .

Si entonces , para valuado en , nos dara , haciendo que la integral

diverja (no exista). Si entonces , para valuado en , nos dara en

donde es un nmero positivo, resultando en , haciendo de nuevo que la integral

diverja.

De esta forma se prueba que para existe la integral

y como por definicin as se establece la transformada de Laplace , entonces

tambin existe sta.

Al respecto, Nagle, K., Saff, E. B., Snider, A. D. (2005) presentan su teorema de

condiciones para existencia de una forma an ms corta, pero haciendo la demostracin

de la misma manera, variando slo las letras usadas para las constantes. Dicen que Si

es continua por partes en y de orden exponencial , entonces existe

para . No hay que dejarse llevar por la extensin de una definicin para determinar

cul utilizar, se recuerda que, despus de todo, muchos de los libros que se estn

referenciando son traducciones al espaol de un idioma extranjero, por lo que mientras se

encuentren completas y entendibles las formas de expresar un concepto la que sea que

se utilice ser vlida.




3.1.5. Transformada de Laplace de funciones bsicas

Utilizando lo ya aprendido en los temas 3.1.1. y 3.1.4. se calcularn algunas de las

transformadas de Laplace para funciones bsicas, facilitando de sta manera que puedas

entender de donde surgen y proporcionando al final una tabla que podrs utilizar cuando

lo requieras.

Retomando la definicin ya provista

Se inicia con el clculo de la transformada de una constante, que parte del ejemplo bsico

utilizado en el subtema 3.1.1.

Se haba visto que si ,

Por tanto

para .

Se generaliza un poco ms.

Si se desear calcular la transformada de Laplace de una constante real, slo se tendra

que seguir los mismos pasos.

Esto es, si , en donde es una constate real

Por tanto

para .




La transformada de una variable se calculara como sigue.

Si ,

Esta es una integral que puede ser resuelta por partes, obteniendo

Por lo que se sabe, se puede observar que el primer trmino es igual a .

Para saber cmo resolver la indeterminacin resultante de multiplicar cero por infinito por

medio de la regla de LHopital, reproduce el siguiente video.

http://www.youtube.com/watch?v=REpjTjqRVRw y que tambin pueden encontrar en los

materiales con el nombre Clculo por regla de LHopital.mp4.

Esto deja nicamente el segundo trmino.

Por tanto

para .

Seguramente has notado que en ste ltimo ejemplo, a manera de abreviar nuestra

escritura se ha empezado a escribir solamente como

. ste es un

recurso utilizado ampliamente por autores de libros que incluyen la transformada de

Laplace para agilizar su escritura y lectura.

De la misma manera, la transformada de una variable elevada al cuadrado se calculara

as,




Si ,

Esta es una integral que se resuelve por partes. Una vez resuelta (se empieza a obviar

pasos o tcnicas que han sido mecanizadas en cursos previos) da

=

Por tanto

para .

Un ltimo ejemplo de la variable elevada a un exponente entero positivo. Si ,

Esta es otra integral que tambin se resuelve por partes. Puedes basarte en los ejemplos

anteriores para acelerar el proceso de clculo. Al final queda como resultado

considerando que los otros trminos tendrn el mismo fin que los de los clculos de

transformadas previas, al tener multiplicando a (haciendo uso de la regla de

LHopital), entonces

para .

Se puede detectar cierto comportamiento de la transformada con todos los clculos

anteriores de funciones bsicas: Al transformar una constante queda sta dividida entre ,

y al hacerlo con la variable elevada a un exponente entero positivo queda




Para calcular la transformada de ,

Si ,

o lo que es lo mismo

Resolviendo por partes quedara

Por tanto

para (recuerda la explicacin hecha en el tema 3.1.4. al

respecto).

Puedes calcular, tomando como base lo anterior, transformadas de Laplace para distintas

funciones.

Para complementar las transformadas que se ha calculado, lee el tema llamado

transformadas de Laplace del seno y del coseno en el libro de Blanchard, P., Devaney, R

y Hall, G. (1998, p. 519-521). Una vez que lo hagas podrs saber cmo calcular la

transformada para las funciones mencionadas.

A continuacin, se provee con una tabla basada en la presentada por Nagle, K., Saff, E.

B., y Snider, A. D. (2005), que incluye las transformadas que ya se ha calculado y otras

nuevas:

Condicin para

siendo una constante




, siendo un entero positivo

, siendo un entero positivo

Las dictadas por i y individualmente

Para la ltima fila de la tabla, recuerda que ya ha sido establecido en el subtema 3.1.3.

que la transformada de Laplace tiene, al ser una integral, la propiedad de linealidad, por lo

que puedes hacer uso de esa caracterstica con las transformadas provistas y las que

calcules.

Un ejemplo de la aplicacin de la transformada de Laplace para la resolucin parcial de

ecuaciones diferenciales en problemas de valor inicial (recuerda que para tener la

solucin completa en los trminos deseados har falta encontrar la transformada inversa)

podra ser el siguiente (Blanchard, P. et al, 1999,):

Se tiene

en donde han dicho que para el valor de .

Retomando el algoritmo visto en el 3.1.2, observa que la primer parte, que es la de

modelar el fenmeno en ecuaciones diferenciales, ha sido cumplida.

Siguiendo con el paso 2, aplica la transformada en ambos lados de la ecuacin,

obteniendo lo siguiente




Aplicando las propiedades ya vistas (como la de linealidad) se tiene que

Se ha dicho que , por lo que, sustituyendo

En la tabla localizada justo antes de este ejemplo se busca, para ahorrar tiempo, la

transformada de y observa que es

Utilizando sta transformacin en la ecuacin, viendo que

Reacomodando un poco los trminos para cubrir el paso 3 del algoritmo

As, queda que

Repite, para tener la solucin completa en los trminos deseados har falta encontrar la

transformada inversa (subtema 3.1.2.), ya que no se quiere , sino la solucin .

Continua con el ejercicio en el subtema 3.1.7, clculo de la transformada inversa para

funciones.




En los materiales de la asignatura se ha puesto a tu disposicin la tabla de transformadas

de Laplace que Bronson, R. (2003) colocada como apndice de su libro. Para tener mayor

informacin de este libro visita la seccin correspondiente a las Fuentes de consulta.

A manera de repaso, reproduce el siguiente video para ver una sntesis de la definicin

de la transformada de Laplace y el clculo de la transformada de la segunda funcin

bsica vista en este tema.

http://www.youtube.com/watch?v=c3TwyoLS_98 y que tambin pueden encontrar en los

materiales con el nombre Repaso definicin y clculo de la transformada.mp4

Realiza ahora los ejercicios 7.1 del nmero 1 al 66 del libro de Carmona & Filio (2011, p. 347-351) y corrobora tus respuestas comparndolas con las de los autores. Una vez que lo hagas, habrs comprobado tu aprendizaje de la forma de calcular la transformada de Laplace para funciones diversas.

3.1.6. Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos

Al momento de estar trabajando en fenmenos fsicos, de forma natural empiezan a surgir

funciones continuas por tramos. La llegada de nuevos elementos a un sistema qumico o

biolgico, un apagn, el encendido de un interruptor, la apertura de una puerta que

cambia la forma en que se comporta la temperatura de un cuarto o frigorfico son

ejemplos de situaciones que provocan discontinuidad en un sistema. Para stas, la

transformada de Laplace facilita su tratamiento, que en ocasiones puede ser difcil de

analizar sin el uso de sta herramienta.

Para poder ver la forma en que se presentan las transformadas de Laplace de funciones

definidas por tramos recuerda la definicin de Nagle, K., Saff, E. B. y Snider, A. D (2005)

que se utiliz en el subtema 3.1.4: Para que una funcin sea continua por tramos en un

intervalo finito sta debe de ser continua en cada punto del intervalo, con excepcin

de una cantidad finita de puntos donde la funcin tiene discontinuidad. Esta funcin es

continua por tramos en el intervalo si es continua por partes para en .

Para completar, debe de existir el lmite de desde el interior de cada tramo hasta

cualquier extremo de ste.

Un ejemplo grfico de una funcin continua por tramos es el siguiente:





siendo la funcin representada por

Existe la transformada de Laplace de una continua por tramos siempre que crezca

ms lento que una exponencial. Nagle, K., et al (2005) profundizan en ello con la siguiente

definicin: Se dice que una funcin es de orden exponencial si existen constantes

positivas y tales que , para toda .

Carmona, I. y Filio, E. (2011) sintetizan an ms dejando la definicin slo como es

funcin de orden exponencial Existen tales que: .

Ejemplo de ello es . Esta funcin es de orden exponencial con y

dado que se cumple la definicin al tener que .

Una funcin que no sera de orden exponencial es , ya que crece ms rpido que .

Para explicar cmo resolver este tipo de funciones se pondr el ejemplo de una funcin

escaln unitario.

Una funcin escaln unitario tiene la siguiente forma





En el diagrama el escaln inicia en , haciendo que la funcin salte de a .

Supn, para generalizar, que no se sabe en donde se encuentra el salto, por lo que se

establece que se da en un tiempo desconocido . Nuestra funcin quedara entonces

modelada as

La transformada de Laplace, por su definicin (subtema 3.1.1), sera

o en ste caso,

De esta manera, se separa en dos partes su clculo basndose en la definicin de su

modelo

Al ver la expresin se detecta que el primer trmino es igual a debido a que

para todo




Como para todo ,

As, se ha calculado la transformada de Laplace para la funcin escaln unitario

Si se aplicar la transformada inversa, haciendo uso de su definicin y de las

propiedades, se vera que la funcin

es la transformada de 1, lo cual, no es de

sorprender, ya que la funcin original en el dominio de indicaba eso para . La parte de la transformada de Laplace obtenida para la funcin escaln unitario, que indica que a

partir de es donde es igual a es debida a la propiedad de traslacin en , y

es dada por .

La propiedad de traslacin en Edwards, (2009) dice que si la transformada de la funcin

existe para se tiene que

Esto genera entonces que la transformada inversa se presente de la siguiente manera

en .






De igual forma, al igual que las funciones continuas por tramos y como una extensin de

ellas, existen las funciones peridicas, que no son sino funciones que se repiten. stas se

definen tomando en cuenta que es peridica si se encuentra un nmero en el

que , siendo el periodo de , y encontrndose como el mnimo valor en que

se cumple la igualdad presentada.

Para calcular la transformada de Laplace para ste tipo de funciones, Edwards, (2009)

mencionan que si es funcin peridica con periodo continua por tramos en , su

transformada existe en y se determina por

Lee ahora el captulo 7.5 del libro de Edwards y Penney de la pgina 482 a 488 para ver

ejemplos de lo anterior, la demostracin y aplicacin de los conceptos en funciones

peridicas. Una vez que lo hayas revisado, debers ser capaz de entender la forma en

que se puede aplicar el contenido de este tema en el clculo de la transformada de

Laplace para funciones continuas por tramos y peridicas. Para mayor informacin del

libro visita la seccin Fuentes de consulta.

3.1.7. Clculo de la transformada inversa para funciones

Como ya fue mencionado en el subtema 3.1.2, el clculo de la transformada inversa es de

suma importancia para tener una solucin completa una vez que se ha regresado a

expresar el resultado en trminos de la incgnita original. Se ha planteado ya un ejemplo

de la forma de aplicar la transformada inversa, pero es necesario ver utilizadas las

propiedades como la linealidad junto con las soluciones establecidas en el 3.1.5 para que

sepas como integrar los conocimientos adquiridos hasta el momento para resolver

sistemas de mayor complejidad.

Blanchard, P. (1999) presenta el siguiente ejemplo.

Retoma primeramente el ltimo ejercicio del 3.1.5, aqul que se dej inconcluso por no

haber aplicado la transformada inversa para obtener la solucin .

Recordando, se tena que

y haban dicho que para el valor de .





La transformada de Laplace que se obtuvo fue

Como se quiere la solucin se aplica la transformada inversa en ambos lados de la

ecuacin.

Si se hace uso de la propiedad de linealidad vista en el subtema 3.1.3, se puede separar

la expresin as

Observa que el primer trmino es la transformada de una funcin que ya aparece en

la tabla provista en el 3.1.5, pero el segundo trmino tendr que descomponerlo an ms

para que quede expresado como una combinacin de transformadas ya conocidas. Un

recurso muy utilizado es hacer uso del mtodo de fracciones parciales.

De esta forma

Despejando y tendras entonces que

, .

Sustituyendo los valores de las constantes temporales en la expresin

Esta nueva expresin puede reconocerse en cada uno de sus miembros como la

transformada de una funcin ya escrita en nuestra tabla, para ser exactos, de una

exponencial.




Entonces

En tabla se tiene que

lo que lleva a

La solucin del ejercicio

con la condicin inicial ya completa

(habiendo aplicado el paso 4 del algoritmo) sera

Si se desear construir una tabla para facilitar el clculo de transformadas inversas se

podra basar en aquella que se construy para el clculo de transformadas, utilizando las

funciones calculadas en para encontrar las de . Ejemplificando esto se coloca la

siguiente tabla, agregando adems un par de funciones en adicionales.




Para ver otros ejercicios, en donde uno incluye el uso de fracciones parciales, revisa los

ejemplos 1, 2 y 3 del libro de Zill, D. G. y Cullen, M. R. (2009, p. 263-265). Al hacerlo,

habrs reforzado los conocimientos de cmo calcular la transformada inversa de

funciones.

Ms adelante, en el subtema 3.1.10., se presenta una aplicacin en fenmenos fsicos de

lo aprendido hasta ahora.

Resuelve los ejercicios 7.4 del 1 al 32 en el libro de Nagle, Saff & Snider y compara tus

resultados con los provistos por los autores para los nmeros impares (p. 374-375, B-16).

Ya que lo hagas, habrs corroborado lo que aprendiste del clculo de la transformada

inversa y la aplicacin del desarrollo en fracciones parciales.

3.1.8. Derivacin de la transformada

La derivacin de la transformada de Laplace encuentra su solucin como sigue:

De acuerdo a Carmona & Filio (2011, p. 375), si se tiene una transformada para una

funcin tal que




entonces

Para comprobarlo, se har uso de la definicin de la transformada de Laplace.

Se tiene que

Derivando con respecto a ambos lados

Despejando queda

As se comprueba el teorema.

Siguiendo los mismos pasos para la segunda y tercera derivadas, se encuentra que existe

la siguiente secuencia




Generalizando, se puede decir que la derivada de una transformada puede ser calculada

como

La aplicacin que se podra encontrar en esto es para facilitar y resolver transformadas

por medio de la identificacin de formas conocidas.

Por ejemplo, si se observa una funcin de la forma de la cual se requiere calcular

la transformada de Laplace, al ver el trmino precediendo la parte con el coseno se sabe

que se puede expresar su transformada como una derivada.

La tabla conformada en el tema 3.1.5 dice que la transformada de es igual a

,

por lo que uniendo el concepto de la derivada con la transformada ya conocida para el

coseno quedara

No hay que perder de vista los signos, ya que al ser la primera derivada, dada la

generalizacin hecha, se debe despejar la expresin para que quede como

o

segn lo necesite.

Si en lugar de se hubiera tenido precediendo a la funcin coseno se sabra que se

puede aplicar una segunda derivada en la transformada, y de haber sido la tercera.

Otra forma de expresarlo la encontrars en el tema derivadas de una transformada de Zill,

D. G. y Cullen, M. R. (2009, p. 282-284). Revisa en ella los ejemplos 1 y 2, adems de

dar lectura al tema convolucin y el ejemplo 3. Ya que lo hagas descubrirs que entre

diferentes autores existen diversas formas de presentar y aplicar un mismo concepto. Al

final del tema 3.1.9., dars lectura a otro material que te permitir reforzar lo anterior.




Es posible que te preguntes si as como hay una forma de identificar rpidamente

expresiones que facilitan el clculo de una transformada por medio de su derivacin,

exista algo similar pero haciendo uso de la integracin. En el siguiente tema veremos

cmo hacerlo, adems de que resolvers ejercicios para practicar lo aprendido de la

derivacin de la transformada.

3.1.9. Integracin de la transformada

La integracin de la transformada de Laplace se encuentra sujeta a que la funcin

satisfaga las condiciones de existencia, a que el lmite cuando de

exista y a que

la transformada de sea .

Si se cumple lo anterior, Carmona & Filio (2011) puntualizan en su teorema que se puede

establecer que

Para comprobarlo, siguen el procedimiento que se presenta a continuacin:

Se har que sea igual a la funcin que se desea transformar.

Despejando,

.

Si se utiliza la transformada en los dos lados

Se puede distinguir una propiedad ya conocida del lado izquierdo, que es la

correspondiente a la forma en que se ve una derivada de transformada por estar

multiplicado por .

Haciendo uso de lo visto en el tema anterior,




Si , se tiene que

y que

Despejando e integrando

Entonces,

La aplicacin que se le puede dar a esta propiedad es muy similar a la que se encontr en

la derivacin de transformadas: facilita resolverlas por medio de la identificacin de formas

conocidas.

Por ejemplo, si se observa una funcin de la forma

de la cual se quiere calcular la

transformada de Laplace, al ver el trmino

como parte factorizable de la funcin se sabe

que se puede expresar su transformada como una integral.

La tabla de transformadas de Bronson, R. (2003) que coloca como apndice de su libro y

provista como parte de los materiales del curso (referenciada al final del tema 3.1.5) dice

que la transformada de es igual a

, por lo que uniendo el concepto de la integral

con la transformada ya conocida para el seno quedara que, dado




para

Una vez que has visto el efecto que tiene la derivacin e integracin de la transformada

de Laplace como parte de sus propiedades, podrs hacer uso de stas herramientas para

facilitar su clculo al tratar de resolver problemas relacionados con fenmenos fsicos en

donde veas que puede ser utilizada.

Como se mencion en el tema previo, distintos autores muestran el mismo concepto de

formas diferentes. Lee al tema 7.4, Derivadas, integrales y productos de las

transformadas en el libro de Edwards y Penney (2009, p. 474-481, 781) resolviendo los

ejercicios del 1 al 38, as como tambin los ejercicios 7.2 del 1 al 17 y del 23 al 28 del libro

de Carmona & Filio (2011, p. 359-363) comparando tus resultados con los de los autores.

Una vez que lo hagas habrs reforzado los conceptos de convolucin de dos funciones,

derivacin e integracin de transformadas, evaluando tu aprendizaje de ello.

Actividad 1. Solucin de ecuaciones con la transformada de Laplace

Instrucciones

Esta actividad tiene el propsito de que apliques los conocimientos obtenidos en el primer tema de la unidad 3 para resolver ejercicios haciendo uso de la transformada de Laplace, mecanizando tus habilidades por repeticin.

1. Descarga el documento que tu Facilitador(a) te enviar.

2. Revisa la informacin que se proporciona en cada inciso.

3. Resuelve los ejercicios presentados.

4. Escribe el ejercicio, el procedimiento paso a paso y la solucin en un

documento.

Enva el documento a tu Facilitador(a), nombrndolo TEDI_U3_A1_XXYZ.




3.1.10. Aplicaciones de la transformada de Laplace en fenmenos fsicos

El uso de la transformada para el clculo de variables involucradas en fenmenos fsicos

no es sino la aplicacin de todos los conocimientos adquiridos hasta el momento sobre

modelos matemticos expresables por ecuaciones diferenciales que encuentren una

facilidad de resolucin al utilizar la transformada de Laplace.

Problemas que pueden ser resueltos suelen incluir de circuitos elctricos, osciladores

armnicos forzados, con forzamiento discontinuo, deflexin de vigas, pndulos, entre

otros.

Blanchard, P. et al (1999) presentan el siguiente ejemplo:

Imagina que tienes este circuito RC

en el que es el voltaje del capacitor, el proporcionado por la fuente, la

capacitancia y la resistencia.

Supn que el problema radica en que se necesita saber el voltaje existente en el capacitor

en cierto momento del tiempo para poder tomar acciones concretas sobre algn elemento

presente dentro de un problema ambiental.

Se sabe, por los estudios realizados sobre circuitos elctricos (material de otros cursos),

que el sistema puede modelarse como

Observa en el diagrama que existe una condicin inicial que indica que .




Introduciendo los valores conocidos, se tiene que para las condiciones establecidas

Con

Si se quisiera representar la variacin que tiene el voltaje en el capacitor con respecto al

tiempo, despejando queda

Resolver haciendo uso de la transformada de Laplace.

Sustituyendo

por lo ya visto en el 3.1.3

Se tiene que

y si se introduce la condicin inicial provista

Despejando la variable que se desea conocer y resolviendo la transformada de , dado

que ya la conoces,




Usando fracciones parciales para descomponer el primer trmino, ya que resulta

demasiado complejo como para identificar alguna transformada conocida que se le

parezca

Despejando y obteniendo los valores de las constantes temporales y para sustituir,

posteriormente, en la expresin original, queda

Regresando para incorporar la sustitucin que se obtiene despus de aplicar fracciones

parciales

Utilizando la transformada inversa y la propiedad de linealidad, ya que no requiere obtener

la solucin sino , tienes

que resultan ser expresiones de forma conocida, ya que son transformadas de funciones

para las que ya las has calculado.




en donde

.

Queda entonces

De esta forma se ha encontrado una solucin al problema de saber qu voltaje tendr el

capacitor durante cierto momento en el tiempo, facilitando de sta manera tomar

decisiones respecto de algn problema ambiental.

Para ver la aplicacin de la transformada de Laplace en un problema que involucra un

oscilador armnico forzado y uno con forzamiento discontinuo, consulta en el captulo 6

de Blanchard, P., Devaney, R. L. y Hall, G. R. (1999) las pginas 522 a 526; revisa

tambin los ejemplos 1 al 3 de Carmona & Filio del final del captulo 7 (2011, p. 414-417).

Por ltimo, lee los ejemplos 5 al 8 de Zill, D. (1997, p. 336-342). Una vez que lo hagas

debers poder resolver ejercicios similares aplicando los conceptos vistos a lo largo de

todo el tema 3.1.

3.2. Series de Fourier

En ocasiones ser necesario que para solucionar problemas relacionados con la

tecnologa ambiental debas resolver problemas modelables con ecuaciones diferenciales

del tipo siendo dada y donde se encuentra entre y un lmite , tal que .

Para resolverlas pudieras aplicar las tcnicas ya estudiadas a lo largo de las unidades y

temas previos, buscando la solucin general de la parte homognea ,

calculando la solucin particular de la parte no homognea, y obteniendo las

constantes y para que sea vlida para las condiciones dadas

.

Otra forma de hacerlo es extendiendo la forma en que se define en el intervalo y a

toda la recta, por medio del uso de ciertas condiciones que tienen que ver con la manera

en que se repite la funcin en el intervalo, dado que si la funcin tiene continuidad por

tramos, entonces puede ser representada por series o componentes peridicos.

Para algunas funciones se representan por medio de series, su tratamiento suele ser ms

adecuado.




Dentro de los fenmenos fsicos existen, entre muchos otros, sistemas elctricos y

mecnicos que suelen incluir componentes peridicos de fuerza que van ms all de ser

tan slo combinaciones lineales de cosenos y de senos. An con esto, pueden ser

representados como series infinitas de elementos trigonomtricos, extendindose esta

caracterstica a cualquier funcin con periodicidad adecuada, permitiendo resolver

ecuaciones por medio de superponer trminos trigonomtricos reemplazando sumas

finitas por series infinitas (Edwards & Penney, 2009).

Como ya haba sido visto en el tema 3.1., una funcin peridica es aquella en que existe

un nmero positivo que permite cumplir

siendo conocido como el periodo de .

Algo importante de recalcar es que si es periodo de una funcin tambin lo es , ,

y as de forma sucesiva, por lo que el periodo no es nico para una .

Si se llega a encontrar un periodo, siendo ste el ms pequeo nmero positivo que

permite periodicidad para una , se le conoce como el periodo de la funcin o periodo

fundamental. Un ejemplo de ello son las funciones seno y coseno, que tienen periodo de

. Si se hiciera una combinacin lineal (cualquiera que esta fuera) de esas funciones el

periodo seguira siendo . Se debe sealar que la funcin que modela una seal

cuadrada no podra ser expresada as, ya que las combinaciones presentadas son

continuas. Otro ejemplo es la funcin tangente, con periodo fundamental (Nagle, Saff &

Snider, 2005).

3.2.1. Definicin de las series de Fourier

En 1822, Jean Baptiste Joseph Fourier, cientfico de Francia, present en su escrito, la

teora analtica del calor, una teora sobre su conduccin, haciendo uso de series

trigonomtricas con coeficientes que determin de manera ingeniosa (Carmona & Filio,

2011). l afirmaba que cualquier funcin que tuviera como periodo poda ser

representada con series trigonomtricas de tipo infinito, que tuvieran la siguiente forma

A las series que presenten la forma anterior les llamaremos series de Fourier (Edwards &

Penney, 2009).




Autores como Zill, D. G. (1997) presentan pequeas variaciones en sta definicin,

declarando que para una funcin que est definida en su serie de Fourier es

en donde

A stos ltimos, se les conoce como coeficientes de Fourier de la funcin.

Para conocer cmo se obtienen los coeficientes de Fourier, lee el tema 10.2 del libro de

Zill, D. G. (1997, p. 444-445), series de Fourier. Una vez ledo, deber resultar ms clara

la forma en que fueron calculados. En el tema 3.2.3, se profundiza en ello.

Un ejemplo de la aplicacin de estos coeficientes, presentado por el mismo autor, es el

siguiente (Zill, 1997):

Supn que se tiene el diagrama

el cual puede ser modelado como




Si se desear desarrollar el comportamiento de la funcin anterior en una serie de Fourier

se tendra que dejarlo representado para que quedara en la forma de

Se puede notar que para el periodo , utilizando las ecuaciones para el clculo de los

coeficientes de Fourier de la funcin, se tiene que

Esto es debido a que

Por ltimo,

Sustituyendo los coeficientes obtenidos en la forma de la serie de Fourier




Como se mencion que el periodo es ,

Revisa los ejemplos 1 y 2 del captulo 9.1 del libro de Edwards & Penney (2009, p.585-

587). Para el primero necesitars la siguiente figura y funcin para una seal cuadrada.

Una vez que lo hagas estars listo para realizar los ejercicios que ms adelante se te

indicar.

Funcin de onda cuadrada. Fuente: tomado de Edwards & Penney, (2009).

La funcin que modela el diagrama anterior y dada por los autores se representa por

(20)

Estas series sern frecuentemente aplicadas en fenmenos peridicos, como corrientes,

vibraciones, oscilaciones, movimientos telricos, resonancias, y muchos otros ms.

Representar funciones haciendo uso de stas es uno de los mtodos ms usados para

solucionar ecuaciones diferenciales parciales.

Realiza los ejercicios 10.2 del captulo 10 de Zill, D. G. (1997, p. 448), del ejercicio 1 al

16, y ya que los termines consulta las respuestas correctas para los ejercicios impares en




la pgina R-24 del apndice de respuestas. Una vez que lo hagas, podrs valorar los

conocimientos que adquiriste en este primer tema.

Ahora que se ha visto la definicin de las series de Fourier, y para entender el fundamento

que tienen, se estudiar lo que son las series trigonomtricas y las funciones peridicas,

ya que Fourier las necesit para crear la propia.

3.2.2. Series trigonomtricas y funciones con periodicidad

Se ha visto al inicio del tema 3.2. que una funcin peridica es en la que existe un nmero

positivo que hace que se cumpla

siendo conocido como el periodo de . Observa que al nmero positivo mnimo que

pudiera ocupar para que esto se cumpliera era conocido como el periodo o periodo

fundamental de la funcin.

Un ejemplo de esto es la funcin seno, que como ya se haba mencionado, tiene periodo

. Esto significa que se repite en , por lo que

. Esta propiedad servir para probar algunos teoremas que se expresarn

ms adelante.

En ocasiones se requiere calcular el mnimo periodo, el cual va a encontrarse as

esto es, el coeficiente del ngulo es (Carmona & Filio, 2011).

Algunos autores suelen utilizar otras letras para denominar al periodo, por ejemplo, la letra

.

Esto servir para entender y tratar las series trigonomtricas.

Una serie trigonomtrica tendr una forma como esta




siendo y coeficientes constituidos por nmeros constantes reales. Es comn que el

periodo de estas series sea pero puede ser utilizada la parte terica para resolver

cualquier periodo.

Carmona, I. y Filio, E., (2011) presentan tres teoremas que sern de utilidad:

1 Supn que y son funciones peridicas con periodo , entonces, si

donde tanto como pertenecen a los nmeros reales, tambin es funcin peridica con periodo .

2 Si tiene como periodo a , entonces es periodo tambin, donde es

nmero entero.

3

y

, para todo entero positivo , son funciones que satisfacen en

las propiedades de ortogonalidad mostradas a continuacin

a

Para dar certeza a las afirmaciones hechas, se comprueban los teoremas.

Para el primero, como es funcin peridica con un periodo tal que , y es funcin peridica a la vez con periodo tal que , se tiene que

Comprobando el segundo, si tiene como periodo a tal que y debido a que es peridica en , entonces




Para comprobar el tercer teorema, se resuelve la integral del inciso a) para ver que

su resultado sea primero si y si . Las integrales del inciso b) y c)

tienen una comprobacin similar, nicamente cambiando las identidades

utilizadas, por lo que no se resolvern.

En el primer caso

Se sabe que , por lo que se puede reescribir como

En el segundo caso, ,

Se sabe que

, por lo que se puede reescribir como




Para que veas la utilidad de incluso lo ms bsico, como pudiera ser el clculo del periodo

mnimo, se pondra par de ejemplos de su aplicacin.

Supn que deseas saber el periodo fundamental de la funcin . Se sabe que el periodo de la funcin seno se encuentra en 2, por lo que, aplicando la

frmula para encontrar el mnimo periodo,

El periodo natural es 2, y el coeficiente del ngulo en es , por lo que,

sustituyendo




Por lo tanto, en .

Para hacer las cosas un poco ms interesantes.

Trata de encontrar el periodo fundamental de

Se tiene que

Sustituyendo en la frmula los valores conocidos

Entonces,

en

.

Para comprobar que los conceptos te hayan quedado claros, resuelve los ejercicios 8.1

nmeros 1, 2, 16, 27 y 28, del captulo 8 de Carmona & Filio (2011, p. 434-436) y compara

tus resultados con los de los autores (para los ltimos dos ejercicios las respuestas se

encuentran en la p. 438). Ya que lo hagas, habrs valorado el aprendizaje obtenido de los

periodos de una funcin.

A continuacin, se presenta una tabla de integrales que son utilizadas comnmente al

solucionar problemas relacionados:




Esto plantea algunas de las bases para la serie de Fourier, pero an existen elementos

que no se han descifrado, por ejemplo, de donde surgen los coeficientes de la serie, por

qu vara la forma de escribirla entre distintos autores, y por qu las frmulas para los

coeficientes son diferentes en alguno de ellos dependiendo del libro que se elija. Para

responder a stas preguntas se debera ver las frmulas de Euler y su aplicacin, siendo

stas tratadas en el siguiente subtema.

3.2.3. Frmulas de Euler

Como seguramente ya habrs notado, para esta parte de la Unidad 3 se ha estado

desplazando de lo general a lo particular, de la definicin de las series de Fourier a los

fundamentos matemticos que le dan soporte y permiten justificar su uso.

Recordars que al inicio, en el 3.2.1, se habl de los coeficientes de Fourier e incluso se

utilizaron haciendo ejercicios para poder sustituirlos en la serie por los valores que la

resolvieran, de acuerdo a clculos efectuados sobre su modelo matemtico, pero no se

profundiz en cmo se obtuvieron ni el porqu de su forma.

Su origen puede centrarse en las frmulas de Euler.

Retomando lo visto en el 3.2.1, Fourier deca que las funciones con periodo podan

representarse con series infinitas de la forma




y se dice que algunos autores generalizaban an ms la forma, representndola como

Observars, ahora que conoces la teora detrs del uso de los periodos, que la segunda

forma es igual a la primera si las funciones tienen periodo . Esto es, si , entonces

Al ver diferentes libros de clculo que incluyan el tema de las series de Fourier, podrs

notar que la frmula, dependiendo de los autores, puede ser escrita ligeramente diferente,

llegando a encontrarla de la siguiente manera

En esta forma ya no se encuentra dividida entre .

Entonces, cul de las dos formas es la correcta? Si ambas representan a , entonces

deberan ser iguales entre ellas, y al desaparecer indiscriminadamente el divisor crean

una incongruencia, no es as?




.

La respuesta a la incgnita es que ambas son correctas.

Se debe recordar que, a final de cuentas, son modelos matemticos los que se

encuentran representados por el conjunto de caracteres que permiten formularlos, siendo

ms importante que estos el concepto detrs de ellos.

Algunos autores, como lo indican Zill, (2009), eligen por conveniencia escribir el primer

coeficiente como

en lugar de para que la frmula de vista en el 3.2.1 coincida para

, ya que de no hacerlo as, podra causar confusin entre algunos al verlo como un

coeficiente calculable de forma distinta a la del resto pero que comparte su notacin.

Como ahora ests al tanto de esto, se utilizar la siguiente forma, ya que deber ser

indistinto para ti hacer los clculos con cualquiera de las dos siempre y cuando recuerdes

cmo definiste la serie y al coeficiente con su subndice.

Si es peridica, con , se calcularn los valores de los coeficientes para todo

que sea entero positivo.

Se empieza calculando . Para hacerlo, se debe integrar la funcin desde hasta , que es su periodo.

para




Como lo que deseas encontrar es el coeficiente , se despeja

Si se compara con lo que se haba dicho en el tema 3.2.1, para reforzar el entendimiento

del porqu algunos autores por conveniencia escriben en la serie el coeficiente como

o

Observa que el coeficiente que se acaba de obtener se parece, para , pero faltara

completar multiplicando ambos lados por

para que quedaran iguales ambas

expresiones, tal que

Ahora s, tanto la expresin mostrada en el lado derecho para el coeficiente que se acaba

de calcular como la del 3.2.1 son iguales, pero observa que el lado izquierdo es diferente. Dependiendo de la forma que se utiliza para expresar la serie de Fourier ser la forma de

expresar el primer coeficiente, .

Si se expresa como

entonces




En cambio, si se expresa como

entonces

La diferencia entre ambas es que en una el coeficiente ya incluye a la divisin entre 2

en su definicin.

Con esto se espera que ya sea claro el por qu podrs encontrar escrita de manera

diferente la serie de Fourier, dependiendo de cmo definas al coeficiente .

Contina ahora calculado el coeficiente .

Para hacerlo, se debe multiplicar por ambos lados de la funcin e integrarlos en el

periodo, esto es, de a .

para




Recuerda que se haba multiplicado al principio ambos lados de la ecuacin por

Como lo que se desea es encontrar es el coeficiente , se despeja

Si se quiere generalizar para un periodo

que es la frmula que se haba presentado en el 3.2.1.

Por ltimo, para obtener el coeficiente se seguir un procedimiento parecido al llevado

a cabo para obtener .

Se debe multiplicar por ambos lados de la funcin e integrarlos en el periodo, esto

es, de a .

para




Recuerda que se haba multiplicado al principio ambos lados de la ecuacin por

Como lo que se desea encontrar es el coeficiente , se despeja

Si se quiere generalizar para un periodo

que es la frmula que se haba presentado en el 3.2.1.

Ahora ya sabes de donde salen los coeficientes de la serie de Fourier, tambin conocidos

como coeficientes de Fourier.

Revisa los ejemplos 1 al 4 del captulo 8 de Carmona & Filio (2011, p. 442-449). Ya que lo

hagas, habrs entendido la forma de aplicar los conocimientos adquiridos para encontrar

la serie de Fourier de funciones.

3.2.4. Convergencia de series

Al utilizar la serie de Fourier para modelar alguna funcin peridica se desea tener las

condiciones necesarias para tener la certeza de que converja cuando menos en los

valores de en los que la funcin tiene continuidad.

Recuerda, una funcin se dice que es continua por tramos en mientras existan

segmentos finitos del intervalo con extremos en los que la

funcin tenga continuidad para cada segmento y en cada extremo el lmite desde el

interior del sub intervalo exista y sea finito (Edwards & Penney, 2009).

Zill (2009) especifican en un teorema las condiciones suficientes de convergencia puntual

para una serie de Fourier, en el que dicen que si y presentan continuidad en un

intervalo por tramos, o lo que es lo mismo, son discontinuas en una cantidad finita

de puntos en el intervalo, entonces la serie de la funcin converge a en un punto de

continuidad, y en un punto de discontinuidad converge hacia el promedio de




en el que representa el lmite de en por la derecha y el lmite por la izquierda.

Nagle, Saff y Snider (2005) los definen con la siguiente notacin,

, y

Carmona & Filio (2011) agregan a las definiciones anteriores la caracterstica ya muy

particular de que sea peridica con , y que y son continuas por tramos en

convergiendo la serie a para el caso en que sea un punto de continuidad, o si

es punto de discontinuidad a

Las tres diferentes formas de decirlo significan lo mismo, y establecen las condiciones de

convergencia en un punto.

Para comprobarlo se basar en la ltima forma, y se va a suponer para ello que la funcin

tiene continuidad en su primera y segunda derivadas.

Si se toma la definicin del coeficiente de Fourier

Resuelve la integral

Haciendo de nuevo la integracin

Observa que la segunda vez que se resolvi la integral, debido al periodo de el primer

trmino se anula, como ocurri durante la primera ocasin.

Al tener continuidad en el intervalo entonces , siendo constante

apropiada.




Tambin se tiene que , por lo que

Resolviendo para el coeficiente se tendra que

Esto lleva a que cada elemento, en su valor absoluto, de la serie de Fourier de es,

cuando mucho, igual al de la serie convergente

por lo que se podra decir, entonces que la serie de Fourier tambin es convergente.

Para que puedas entender por medio de un ejercicio prctico el concepto, un ejemplo

sencillo de convergencia que Nagle, Saff & Snider (2005, p.600) presentan es el que se

encuentra a continuacin:

Si se desear saber a qu funcin tiene convergencia la serie de Fourier de definida

como

lo resolveras de la siguiente forma.

Por el teorema de convergencia, se sabe que la serie de Fourier converge a una funcin

con .

Se sabe tambin, por la descripcin del problema, que esa funcin a la que converge

se encuentra descrita por




Una forma de graficar sera

De esta manera conoces ahora la funcin a la que se converge y su forma.

Es importante que sepas que las series de Fourier pueden derivarse e integrarse.

Observa ahora lo que dicen los teoremas respectivos (Nagle, Saff & Snider, 2005).

Para derivar una serie de Fourier se supondr que tanto como tienen

continuidad en tramos para . La serie de puede ser calculada haciendo uso de

la serie de derivando trmino por trmino. Esto es, si se tiene

entonces

Esto aplica para peridica y continua en el intervalo con




Para integrar una serie de Fourier se supondr que tiene continuidad por tramos para

y que su serie es

entonces

funcionando para cualquier en .

Haciendo uso de lo que se sabe ya de los coeficientes de Fourier, de la periodicidad, y

habiendo entendido la convergencia de las series, se observaran las series de senos y

cosenos de Fourier (Nagle, Saff & Snider, 2005).

Si tiene continuidad por tramos en , la serie de cosenos de Fourier para en el

intervalo resulta ser

con el coeficiente modelado como

para

Si tiene continuidad por tramos en , la serie de senos de Fourier para en el

intervalo resulta ser




con el coeficiente modelado como

para

Lee el tema 10.4 del libro de Nagle, Saff & Snider (2005), series de senos y cosenos de

Fourier, Cuando termines, habrs reforzado tus conocimientos del tema y sers capaz de

entender sus bases.

Como puedes observar, la forma en que se presentan las series de senos y cosenos de

Fourier es sencilla, gracias a los conocimientos adquiridos hasta el momento, pero falta

de revisar una ltima caracterstica que te permitir adems aplicarla en el siguiente tema.

Esta caracterstica es la de la paridad de las funciones y sus respectivas series.

Se dice que una funcin es par en s y slo s se cumple que para toda dentro del intervalo.

Caso contrario, se dice que una funcin es impar en s y slo s se

cumple que para toda dentro del intervalo.

Observa un par de ejemplos.

a Supn que se tiene una funcin tal que

, por tanto, se

puede decir que la funcin es impar.

b Supn ahora que se tiene una funcin tal que

, por tanto, se puede

decir que la funcin es par.

c Si se quisiera saber si es par o impar para , slo se tendra que desarrollar de acuerdo a los criterios definidos.




Las funciones no tienen por qu caer forzosamente en alguna de las dos categoras. Si

alguna funcin no cumple con ninguno de los criterios para poder ser clasificada como par

o impar, se puede decir que la funcin no es par ni impar. Este es el caso de la funcin

, que con lo que has visto en los ejemplos podrs comprobar por ti mismo. El

que una funcin sea par significa que es simtrica con respecto al eje de , y que sea

impar significa que la simetra estar con respecto al origen.

Carmona & Filio (2011) presentan un conjunto de 7 teoremas al respecto de las funciones

pares e impares.

1 Si y son funciones pares, entonces el resultado de ser una funcin par.

2 Si y son funciones impares, entonces el resultado de ser una funcin impar.

3 Si y son funciones pares, entonces el resultado de ser una funcin par.

4 Si y son funciones impares, entonces el resultado de ser una

funcin par.

5 Si es par y es impar, entonces el resultado de ser una funcin

impar.

6 La transformada de Fourier de una funcin peridica par con se

representa en serie de Fourier de cosenos, esto es

y sus coeficientes sern

,

.




7 La transformada de Fourier de una funcin peridica impar con se

representa en serie de Fourier de senos, esto es


,

,

.

Una de las propiedades de las funciones simtricas es que, si una funcin continua

por partes en el intervalo es par,

Recuerda que la integral es el rea bajo la curva, por lo que grficamente es entendible

esta caracterstica, ejemplificando con el siguiente diagrama.

Este representa la funcin en el intervalo indicado.




Ahora, si la funcin continua por partes en el intervalo es impar,

Grficamente puede ejemplificarse con el siguiente diagrama.

Este representa la funcin en el intervalo indicado.

Lee los ejemplos 1 al 6 del captulo 8 de Carmona & Filio (2011) y, una vez hecho esto,

realiza los ejercicios 8.2 del nmero 1 al 8 (p. 451-457). Cuando termines, habrs

clarificado la forma de aplicar los conocimientos adquiridos para encontrar la serie de

Fourier de funciones descritas, ya sea por medio de diagramas o por modelos

matemticos por tramos.

Has aprendido a calcular las series de Fourier para funciones peridicas, incluyendo

aquellas continuas por tramos, pero pueden ser desarrolladas funciones no peridicas en

series de Fourier. En el siguiente subtema se revisar cmo hacerlo.

3.2.5. Funciones no peridicas en series

Para poder desarrollar en series a funciones no peridicas, se har uso especialmente de

lo aprendido en el ltimo tema.

Una funcin no peridica puede ser tomada como peridica para un tramo en el que

presenta continuidad. Para saber cmo conseguirlo aplicando los conocimientos de la




unidad en su tema 3.2 hasta el momento, se har uso de un par de ejemplos basados en

los de Carmona & Filio (2011).

Supn que se tiene una funcin . Esta funcin podra ser desarrollada como una

serie de Fourier de cosenos o de senos, significando esto que se considerara como

par o impar, para el primer y segundo casos respectivamente.

A continuacin, se define la funcin de las dos formas para que puedas ver cmo se

comportara.

Se define primero de forma completa acotndola en

en donde

esto es, es impar.

Su grfica sera

Ahora, si se toma como peridica solamente para un tramo, en ste caso el derecho,

representndola como funcin par se tendra

en donde




esto es, es par.

Su grfica sera

Expandiendo la funcin impar se tiene una grfica como la que sigue

Si en cambio se expande la funcin par, quedar una grfica as




En cualquiera de los dos casos, se puede ya realizar un desarrollo en series de Fourier de

senos o cosenos, dependiendo de si se elige la primera o la segunda grfica.

Un segundo ejemplo puesto por los autores es el de desarrollar en serie de senos y de cosenos la funcin

Para hacerlo, si se expande la funcin de forma impar (cosenos) se tendra que

lo que puede graficarse como

Recuerda que en el tema anterior la transformada de Fourier de una funcin peridica

impar con representada en serie de Fourier de senos es




con coeficientes ,

,

.

esto es,

por lo que sustituyendo los coeficientes se tiene que la serie desarrollada en senos para la

funcin dada es

Para desarrollarla en cosenos el procedimiento es idntico, solamente haciendo uso de la

definicin de la serie par.

Se tiene, de esta manera, que

la cual puede graficarse como




Tomando tambin del tema anterior la definicin de la transformada de Fourier de una

funcin peridica par con que se representa en serie de Fourier de cosenos,

se tiene que


,

,

.

esto es,

Sustituyendo los coeficientes se tiene que la serie desarrollada en cosenos para la funcin

dada es

Con estos ejemplos has visto como una funcin no peridica puede ser tomada como

peridica para un tramo en el que presenta continuidad, facilitando su desarrollo en

series.

Realiza ahora los ejercicios 8.6 del nmero 1 al 15 del libro de Carmona & Filio (2011, p.

485-486), comparando tus resultados con los de los autores. Una vez que lo hayas hecho

habrs practicado y comprobado tu aprendizaje respecto de cmo desarrollar funciones

en series senoidales y cosenoidales.




3.2.6. Aplicaciones de las series de Fourier en fenmenos fsicos

Las series de Fourier hacen uso de desarrollos en series trigonomtricas, y esto permite

que puedan ser utilizadas para expresar funciones presentes en distintos fenmenos

fsicos.

Fenmenos que requieren dentro de su anlisis expresar funciones en forma de series

trigonomtricas son los que presentan flujo de calor, cuerdas que vibran, movimientos de

masas, fuerzas peridicas, resonancias y oscilaciones amortiguadas, entre muchos otros.

Edwards & Penney (2009) muestran ejemplos en donde se aplican las series de Fourier

de los cuales se presentarn algunos de forma general, agregando al final un par de

lecturas que debers hacer para observar cmo se hace uso de estas abstracciones una

vez que se introducen valores.

Supn la existencia de un sistema, con una masa situada en el extremo de un resorte

con constante de Hooke que se encuentra con la influencia de , siendo sta una

fuerza externa peridica, en donde el movimiento de la masa es del tipo no amortiguado.

El sistema puede representarse grficamente de la siguiente forma

La distancia que se mueve desde el punto en donde se encuentra en equilibrio cumple

con la ecuacin que seguramente viste en tus cursos de fsica,

cuya solucin general tiene una forma como




La frecuencia natural, como puede observarse, es , el cual es igual a

, y los

coeficientes pueden ser determinados por los valores iniciales, siendo una solucin

particular.

Se puede hacer uso de la serie de Fourier para hallar una solucin particular peridica de

. A sta solucin se le conoce como peridica estacionaria, y ser

representada por .

Se considera que la fuerza externa es funcin impar con , por lo que podr ser

representada como una serie de senos de Fourier.

Si la frecuencia de la funcin seno no es igual a la natural, o lo que es lo

unidad 3. transformada de la laplace y series de fourier

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