CAPITULO 4. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO. El flujo gradualmente variado se refiere a un flujo permanente cuya profundidad vara gradualmente en la direccin del canal, de tal manera que las lneas de corriente son rectas y prcticamente paralelas y por lo mismo, la distribucin hidrosttica de presiones prevalece en cada seccin. Debido a que el flujo gradualmente variado involucra cambios pequeos de profundidad, este flujo esta relacionado con longitudes grandes del canal. El flujo variado puede ser clasificado como rpidamente variado o gradualmente variado. En el primer caso (rpidamente variado) el tirante del flujo cambia abruptamente en una distancia corta, por ejemplo el salto hidrulico. En el otro caso, se requiere distancias mayores para que alcancen a desarrollarse los perfiles de flujo gradualmente variado. En un canal con flujo permanente uniforme pueden existir causas que retardan o aceleran la corriente de forma que pasa a condiciones variadas que se manifiestan por un aumento o disminucin de la profundidad del flujo, respectivamente. Flujo variado retardado. Se presenta cuando la velocidad del flujo disminuye, y por ende aumenta el tirante (figura 4.1a) en el sentido de la corriente. Algunas causas que retardan el flujo son: disminucin brusca de la pendiente del canal; interposicin de obstculos en el lecho del canal como vertedores, presas, compuertas de control. Para condiciones inciales de flujo uniforme lento, se tendr flujo gradualmente variado; para flujo uniforme rpido se presentara un salto hidrulico al pasar a condiciones de remanso.

Flujo variado acelerado. Se presenta cuando la velocidad del flujo aumenta, y por ende el tirante del agua disminuye (fig.4.1b), en sentido de la corriente, ocurre cuando la pendiente del canal aumenta bruscamente o cuando existe una cada vertical.

Para su anlisis se tendrn en cuenta las siguientes hiptesis: 1. La prdida de energa en una seccin del canal es igual que la de un flujo uniforme con las mismas caractersticas de velocidad, radio hidrulico y el coeficiente de rugosidad de la propia seccin es constante.2. La pendiente de la plantilla del canal es uniforme y pequea (< 10 %). Esto quiere decir que la profundidad del flujo puede medirse verticalmente o perpendicularmente al fondo del canal y no se requiere hacer correccin por la presin ni por arrastre del aire. 3. El canal es prismtico.4. Los coeficientes de distribucin de velocidad y el de rugosidad son constantes en el tramo considerado. 4.1 CLASIFICACIN DE PERFILES. La clasificacin de los perfiles de flujo variado esta basada en la pendiente del canal y en la zona en que se localiza el perfil, como se muestra en la figura 4.5 en el caso de pendientes positivas (el fondo del canal desciende en la direccin del flujo), se puede establecer un flujo uniforme de tirante dn, por lo cual dicha pendiente podra ser: Suave si dn > dc, perfil tipo MCrtica si dn = dc, perfil tipo CPronunciada si dc > dn, perfil tipo S En el caso de pendiente cero (perfil tipo H), o negativa (perfil tipo A), no existe posibilidad de flujo uniforme. 4.1.1 ECUACIN DINMICA. Consideremos el perfil de flujo gradualmente variado en la longitud elemental dx de un canal abierto indicado en la figura 4.2, la altura total de energa por encima del plano horizontal de referencia en la seccin 1 aguas arriba es:

Donde H es la altura total de energa en m; Z es la distancia vertical o carga de posicin del fondo del canal con respecto al plano horizontal de referencia, en m, d es el tirante del agua en la seccin aguas arriba o energa potencial, en m y v2/2g es la carga de velocidad, en m/seg. Derivando la ecuacin (4.1) con respecto a la longitud x se obtiene la siguiente ecuacin:

Obsrvese que la pendiente Sf es la pendiente de la lnea de energa o gradiente hidrulico y se supone que es positiva si desciende en la direccin del flujo y negativa si asciende. por consiguiente la pendiente de energa es , es la pendiente del fondo del canal y vale y Sf es la pendiente de la superficie del agua y se expresa , sustituyendo estas expresiones en la ecuacin( 4.2) y resolviendo para o se tiene:

La ecuacin (4.4) representa la pendiente de la superficie libre del agua con respecto al fondo del canal y se conoce como la Ecuacin dinmica del flujo gradualmente variado. La solucin de esta ecuacin nos permite resolver el flujo gradualmente variado. Hasta ahora se ha considerado el flujo normal permanente en canales prismticos, donde se tuvieron en cuenta la friccin y la turbulencia. Recurdese que la profundidad es constante para estos flujos. Luego se consideraron flujos permanentes en canales rectangulares no prismticos sobre distancias cortas. En ese caso, se ignoraron completamente la friccin y la turbulencia. Ahora se considera el flujo permanente en canales no prismticos a lo largo de distancias grandes. Debido a estas distancias grandes deben tenerse en cuenta la friccin y la turbulencia, como se hizo para el flujo en tuberas largas, ya que estos dos factores afectan definitivamente el flujo. El estudio se restringe a los casos donde la pendiente del lecho, la rugosidad y el rea de la seccin transversal cambian muy lentamente a lo largo del canal. Por esta razn, estos flujos se conocen como flujos gradualmente variados. De acuerdo con lo anterior, en la figura 4.2a se considera un volumen de control infinitesimal en un flujo no uniforme permanente. Se expresa la primera ley de la termodinmica para un flujo unidimensional permanente en este volumen de control. Al utilizar presiones manomtricas y la ecuacin (4.1) para calcular la altura total HD, se tiene:

Figura 4.2a. Volumen de control infinitesimal para un flujo gradualmente variado. Donde H1 es la prdida de altura dada por:

Cancelando trminos en la ecuacin, se obtiene:

Ntese que dd0 puede expresarse como . Adems, la prdida en altura total HD es la disminucin en la elevacin de la lnea de energa total (vase la figura 4.2b), de manera que dH1 puede remplazarse por S dx, donde S es la pendiente de la lnea de energa total. Al remplazar ddQ por dH1 como se indic, y luego de dividir por dx, en la ecuacin anterior se obtiene:

Ahora se considera la ecuacin de continuidad para el volumen de control (figura 4.2a). Notando que se tiene un flujo permanente, puede decirse que:

La expresin dA puede remplazarse por b*dy, donde b es el ancho de la superficie libre. Al despejar dV/dx, se tiene:

Por consiguiente, para el primer trmino de la ecuacin (4.5a) puede decirse que:

Donde para este ltimo paso se ha utilizado la ecuacin 4.5a. Ahora, utilizando este resultado en la ecuacin 4.3 y al despejar dy/dx, se tiene:

La expresin V2b/Ag es adimensional y se considera en el caso de flujo de canales como el cuadrado del nmero de Froude , segn se anoto anteriormente. Por consiguiente, dy/dx puede darse como:

Otra forma de expresar la ecuacin dinmica del flujo gradualmente variado, en funcin de Froude. La ecuacin (4.4a) es til para establecer el signo de la pendiente de la superficie libre. Claramente depende del nmero de Froude (es decir, si es subcrtico o supercrtico) donde S0 es la pendiente del canal que depende de la topografa del terreno y Sf es la pendiente hidrulica de la lnea de energa total. Por otra parte .Para la ecuacin del flujo gradualmente variado, se pueden presentar tres situaciones:

ANLISIS DE LOS PERFILES. Los valores positivos de dd/dx = + indican profundidades crecientes y los valores negativos dd/dx = - profundidades decrecientes.El trmino de altura de velocidad puede desarrollarse de la siguiente manera:

Como , el smbolo Z simplemente representa el valor numrico de tanto elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuacin se tiene:

Al suponer que un flujo crtico con gasto igual a Q ocurre en la seccin, , elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuacin y despejando el factor de seccin se tiene: Sustituyendo este valor en la ecuacin (4.6a) se tiene.

La pendiente hidrulica Sf para flujo gradualmente variado es igual a la pendiente de hidrulica del flujo uniforme (So) que tiene la velocidad y el radio hidrulico de la seccin. Cuando se aplica la ecuacin de manning, la pendiente hidrulica es:

En una forma general, expresando en trminos de la conductividad K, la pendiente hidrulica de la ecuacin Q = K , elevando al cuadrado los dos miembros de la ecuacin, se tiene: por lo tanto:

Suponiendo que un flujo uniforme con gasto igual a Q ocurre en la seccin. La pendiente de energa seria igual a la pendiente del fondo del canal, por lo tanto:

Donde Kn es la conductividad para flujo uniforme con una profundidad dn. Est Kn debe distinguirse de K en la ecuacin (4.9). La notacin K representa el valor numrico de la conductividad correspondiente a un tirante d del flujo gradualmente variado. Al dividir la ecuacin (4.9a) entre la ecuacin (4.10):

Al sustituir las ecuaciones (4.10) y (4.11) en la ecuacin (4.4), se tiene:

Donde S0 = es la pendiente del canal que depende de la topografa del terreno; y Sf=pendiente hidrulica. Otra forma de la ecuacin dinmica del flujo gradualmente variado.Otra forma de la ecuacin del flujo gradualmente variado en funcin del gasto es:

Donde Q es el gasto determinado para el flujo gradualmente variado con el tirante real y Qn es el gasto normal con un tirante normal y Qc es el gasto crtico correspondiente al tirante crtico. Para canales rectangulares anchos. 1. Cuando se utiliza la ecuacin de Manning es:

2. Cuando se utiliza la ecuacin de Chezy:

Caractersticas de la prdida de flujo. Consideramos que los valores de K y Z varan en forma directamente proporcional al tirante d. Esto es cierto para todas las secciones de canales abiertos con excepcin de conductos circulares. El perfil del flujo para una curva de remanso, es positiva, luego la ecuacin (4.12) da dos casos posibles:

Como los valores de K y Z se incrementan o disminuyen continuamente con la profundidad del tirante d, el primer caso indica que d > dn y d > dc , como d > dc, el flujo debe ser subcrtico. Si d > dn > dc, el flujo subcrtico debe ocurrir en un canal suave( es decir, un canal con pendiente subcrtica). Por otro lado, si d > dc > dn , el flujo subcrtico debe ocurrir en un canal empinado ( es decir, un canal con pendiente supercrtica).De igual manera el segundo caso indica que d < dn y d dc > d y en un canal empinado si dc > dn < d.

Para el caso 2, indica que d < dn y d < dc. El flujo resultante debe ser supercrtico. Para el primer caso, cuando ambos son positivos, esto es: La fraccin debe ser menor que 1, por lo tanto que K>Kn; as d>dn el flujo es subcrtico. En forma similar al caso anterior se tiene que d > dc, pudiendo presentar dos situaciones:si el flujo es subcritico tipo M, por otro ladosi el flujo es subcritico tipo S, debe ocurrir en un canal empinado (Es decir un canal con pendiente supercrtica).Para el segundo caso tenemos: la fraccin debe ser mayor que 1 por lo que K < Kn; as dn > d el flujo es supercrtico. en forma anloga, se tiene que dc > d se presentaran dos situaciones:

Para el caso de el flujo es supercrtico y la pendiente es suave (el tipo de perfil es M) ya que por lo que la Para el caso el flujo es supercrtico la pendiente es pronunciada y el perfil del flujo es tipo S, tenemos , puesto que Para una curva de cadas: para la ecuacin dinmica del flujo gradualmente variado, cuando la variacin de d con respecto a x es negativo, esto es, se debe cumplir que:

Para el primer caso:

Por lo que slo puede establecerse una relacin: el flujo es supercrtico, la pendiente es pronunciada y el perfil del flujo es (tipo S).Para el segundo caso:

Solo tiene que establecerse una relacin: El flujo es subcrtico, la pendiente es suave el perfil es tipo M. Cuando la superficie libre del agua es paralela al fondo del canal dd/dx=0, y la ecuacin (4.12) Da , esto implica que d=dn , por lo que se tuene flujo uniforme. El flujo es uniforme crtico si d = dn = dc, uniforme subcrtico si d = dn > dc y uniforme supercrtico si dc > dn = d. Si , cuando esto sucede se presenta una indeterminacin de la ecuacin dinmica del flujo gradualmente variado. El diagrama siguiente de la ecuacin dinmica del flujo gradualmente variado es un resumen general para una mayor comprensin de las posibilidades que tiene la ecuacin.

POSIBILIDADES EN LA ECUACION DINAMICA DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO.

Tipos de pendientes: Los tipos de pendientes que se presentan en el flujo gradualmente variado son: a) Positivos: Critico (C) Suave (M) Pronunciado (S) b) Horizontales (H)c) Adversa (A)

b) Pendiente horizontal (H): S0=0, y el tirante d tiende a infinito y la conductividad es:

Puesto que dn tiende a infinito, el tirante crece infinitamente, por lo que se pueden presentar dos situaciones:

c) Pendiente adversa (A): El valor del factor de conductividad (K) tendr valores imaginarios, por lo que no se puede presentar el flujo normal as, se tendrn dos casos:

En este caso, se presentar el flujo normal con el tirante crtico; por lo tanto:

4.1.2 TIPOS DE PERFILES. Los perfiles de flujo se clasifican con base en dos criterios bsicos: 1.- Segn su profundidad 2.- Segn la pendiente del canal. El primer criterio divide la profundidad del canal en varias zonas. Zona 1. El espacio por encima de la lnea superior; se presenta el flujo subcrtico tirante normal (dn) y el perfil del flujo. Flujo supercrtico: el tirante critico (dc) y perfil de flujo (fig.4.3). Zona 2. El espacio entre las dos lneas, se presenta el flujo subcrtico, tirante crtico (dc) y tirante normal (dn), se presenta tambin el flujo supercrtico; tirante normal (dn) y tirante crtico (dn) (fig.4.3). Zona 3. El espacio por debajo de la lnea inferior, se presenta el flujo subcrtico: plantilla el canal y tirante crtico, supercrtico; plantilla del canal y tirante normal.

Luego los perfiles de flujo se clasifican en trece tipos diferentes de acuerdo con la naturaleza de la pendiente del canal y la zona en la cual se encuentra la superficie libre del agua. Los tipos de perfiles se designan como: H2, H3; M1, M2, M3; C1, C2, C3; S1, S2, S3; y A2 y A3, la letra describe la pendiente; H para horizontal, M para subcrtica, C para crtica, S para supercrtica y A para pendiente adversa, y el numero representa el numero de la zona en que se localiza. De los trece tipos de perfiles de flujo, doce son para flujo gradualmente variado, y uno, C2, es para flujo uniforme. Las caractersticas generales de estos perfiles de flujo se dan en la tabla 4.1 y figura 4.4.

El siguiente anlisis permite deducir los diferentes tipos de perfiles de flujo: a) Anlisis para Perfiles tipo M. Canal de pendiente suave o subcrtica, perfil tipo M.

En la ecuacin tanto el numerador como el denominador son positivos y por consiguientes dd/dx >0, se forma remanso, el agua tiende a subir, perfil M1.

En la ecuacin , el numerador es negativo y el denominador es positivo y por consiguiente dd/dx < 0, se forma cada, perfil M2.

En la ecuacin , tanto el numerador como el denominador son negativos y por consiguiente dd/dx > 0, se forma remanso, el agua tiende a subir, perfil M3. Teniendo establecido el comportamiento de los perfiles de flujo, a subir o bajar en el sentido de la corriente, se puede establecer fcilmente el comportamiento en las fronteras. Frontera cuando d tiende a (infinito) Cuando d , Sf y 0. Por lo que dd/dx SO, y el perfil de agua tiende a ser asinttico con relacin a una lnea horizontal. Es el caso del agua aproximndose a una presa, un vertedor o una compuerta. Frontera cuando d tiende a dn.Cuando d dn, SO sf y dd/dx 0, el perfil de agua tiende a ser asinttico con la lnea de la profundidad normal. Es el caso cuando el flujo tiende a ser uniforme. Frontera cuando d tiende a dc. Cuando d dc; 1, Y dd/dx . Este resultado no es razonable porque bajo ninguna circunstancia la superficie del agua formar un ngulo recto con una superficie. El perfil del agua cae y ste sera el caso de una canal que termina en una cada recta, o que de pendiente suave pasa a pendiente fuerte. Frontera cuando d tiende a 0. Cuando d0, sf y dd/dx Este resultado indica que dd/dx tiende a un lmite ms infinito dependiendo de la seccin del canal en anlisis. Puede ser el caso de una compuerta situada aguas arriba. Si existe una cada es posible que el agua que pasa por ejemplo debajo de una compuerta, no alcance a llegar a la profundidad crtica sino que sigue con flujo supercrtico hasta caer; pero si el canal sigue con pendiente subcrtica por una gran distancia hacia aguas abajo se presentara un salto hidrulico haciendo un cambio brusco de un perfil M3 a la lnea de flujo uniforme (perfil M2) o a un perfil M1. El perfil M1 se presenta en las estructuras de control tales como vertedores y compuertas y representa una curva de remanso. Es el ms importante de todos los perfiles de flujo desde el punto de vista prctico. Este tipo de perfil se ubica en la zona 1. Ejemplos comunes del perfil M1 son el perfil del agua por detrs de una presa en un rio natural (fig.4.5a). El perfil M2 se presenta donde la profundidad es reducida, es decir en un ensanchamiento de seccin o al aproximarse a una cada o cascada (fig.4.5c y d).El perfil M3 puede encontrarse aguas abajo del lugar donde la pendiente cambia de pronunciada a suave, o a la salida de una compuerta deslizante (fig.4.5e y f). b) Anlisis para Perfiles tipo S. Canal de pendiente fuerte o supercrtica, perfiles tipo S.

En la ecuacin , el numerador como el denominador son positivos y por consiguientes dd/dx >0, se forma remanso, el agua tiende a subir, perfil S1.

En la ecuacin , el numerador es positivo y el denominador es negativo y por consiguiente dd/dx < 0, se forma cada, perfil S2.

En la ecuacin , tanto el numerador como el denominador son negativos y por consiguientes dd/dx > 0, se forma remanso, el agua tiende a subir, perfil S3. Teniendo establecido el comportamiento de los perfiles de flujo, a subir o bajar en el sentido de la corriente, se puede establecer fcilmente el comportamiento en las fronteras.