EVENTOS ALEATORIOS Y METODOS DE CONTEO.

ALUMNO: Luis Eduardo Barco Aranda.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO.

Cuando se calculan probabilidades , algunas veces se necesita determinar el número de resultados en un espacio muestral. En esta sección se describirán diversos métodos con diferentes propósitos.

La regla básica que se conoce principio fundamental de conteo, se presenta por medio de ejemplo:

EJEMPLO:

Cierto tipo de automóvil se encuentra disponible en tres colores: rojo, azul, verde y puede tener un motor grande o uno pequeño.¿De cuantas maneras puede un comprador elegir un automóvil ?

SOLUCION:

Hay tres opciones de color y dos opciones e motor. Una lista completa de las de las opciones se muestra en la siguiente tabla:El número total de opciones es ¿3? ¿2? = 6

Color Rojo. Color Azul. Color Verde.

Rojo Grande Azul Grande Verde Grande

Rojo Pequeño Azul Pequeño Verde PequeñoAuto grande.

Auto pequeño.

PRICIPIO MULTIPLICATIVO.

El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto , uno tras otro.

Supongamos que un evento E puede ocurrir en m formas e independientemente de este evento un evento F puede ocurrir en n formas. Entonces las combinaciones de los eventos EyF pueden ocurrir en mn formas.

Ejemplo:

• Una persona que desead construir su casa, para la cual considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto ó block de cemento) mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo , el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿ Cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?

• Solución:• Considerando que r = 4 pasos• N1= maneras de hacer cimientos = 2• N2= maneras de construir paredes =3• N3= maneras de hacer techos = 2• N4= maneras de hacer acabados = 1 N1*N2*N3*N4 = 2*3*2*1 = 12 Maneras de construir la casa.

COMBINACIONES.• Una permutación es un arreglo de objetos distintos. Una permutación

difiere de otra si el orden del arreglo o el contenido difieren para ilustrar lo anterior, supongamos otra vez que consideramos cuatro chips distintos denominados A,B, C y el D.

• Deseamos considerar todas las permutaciones de estos chips tomados uno a la vez estas serian:

.A

.B

.C

.D

Si consideramos todas las permutaciones tomadas a la vez estas serian: .AB .BC.BA .CB.AC .BD.CA .DB.AD .CD

.DA .DC

Ejemplo:

• ¿ De cuantas formas pueden 10 personas estar sentadas en un banco con capacidad para 4 personas?

SOLUCIÓN:La primera plaza puede ocuparse con cualquiera de las 10 personas y cuando esto se ha hecho, haya formas para ocupar la segunda plaza, 8 para llenar la tercera y 7 para llenar la cuarta.

• Por tanto.

• Número de ordenaciones de 10 personas tomadas de 4 en 4 = 10*9*8*7 = 5040

DIAGRAMA DE ÁRBOL.

• Un proceso estático de experimentos en donde cada experimento tiene un número finito de resultados con probabilidades dadas de una forma conveniente de describir este proceso es mediante un diagrama de árbol.

• Un diagrama llamado por su aspecto diagrama de árbol suele emplearse como representación gráfica del principio fundamental del conteo ya descrito

EJEMPLO:Si un hombre tiene 2 camisas y 4 corbatas entonces tiene 2*4 = 8 maneras diferentes de elegir una camisa y una corbata.

Representando las camisas S1,S2 y las corbatas T1, T2, T3, T4, en el diagrama de árbol se indican las diversas maneras de elegir una camisa y una corbata.

S1

S2

1

2

3

4

5

6

7

8

T1T2

T3

T4

T1

T2T3

T4

ESPACIO MUESTRAL.• El espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, Ω o

U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio.

• EJEMPLO:Si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, llamándose a los sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}.

• Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento o fenómeno aleatorio.

• EJEMPLO:

LANZAR UN DADO.

También otro ejemplo sería el experimento de arrojar un dado y ver qué sale. En este caso, el espacio muetral es:

• EJEMPLO:Lanzar dos dados.El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es:

GRACIAS POR SU ATENCION.