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Unidad II Cálculo diferencial M.C. Ángel León Rubio

1

f

UNIDAD II - Funciones 2.1. Conceptos Con frecuencia en las aplicaciones prácticas el valor de una cantidad depende del valor de alguna otra, por ejemplo, el salario de una persona puede depender del número de horas que trabaje; la cantidad de piezas producidas en una fábrica puede depender del número de máquinas que estén operando. La relación o dependencia entre estos tipos de cantidades suele expresarse mediante una función. Una función pude considerarse como una correspondencia entre un conjunto X cuyos elementos son cualquier número real x con un conjunto Y cuyos elementos son cualquier número real y.

Figura 2.1. Función de X a Y

Una relación entre dos conjuntos X y Y es un conjunto de pares ordenados de la forma ,x y donde x X y

y Y . Una función de X a Y es una relación entre X y Y con la propiedad de que si dos pares ordenados

tienen el mismo valor de x, entonces deberán tener el mismo valor de y. El conjunto de todos los números reales que pertenecen a X se le conoce como dominio de la función mientras que a todos los valores resultantes de Y se le denomina rango, contradominio, ámbito o recorrido de la función.

Figura 2.2. Rango y dominio de una función

De manera más práctica, podemos resumir el concepto de función como: Una función es una correspondencia entre un valor de x, al cual le corresponde uno y sólo un valor de y.

f

Función

Rango

Dominio


2

Existen muchas manera de representar a una función, algunos libros las representan con las letras f, g, h, y, etcétera. Sin embargo existe una notación más comúnmente usada establecida por Leonhard Euler en 1734, donde Él empleó el término función para describir cualquier expresión construida con una variable y varias constantes, y determinó su notación como:

( )y f x

Para esta notación tenemos dos conceptos más, la variable independiente es aquella que puede tomar cualquier valor dentro del conjunto de los números reales, y la variable dependiente es aquella que tendrá un valor de acuerdo al valor que adquiera la variable independiente.

( )y f x

Para ejemplificar esto, consideremos a la ecuación

3y x

La variable independiente x puede tomar cualquier valor del conjunto comprendidos en el intervalo

, . Vamos a evaluar la función y, lo cual implica asignarle valores a x y ver qué valores le corresponden

a la variable dependiente y. Si realizamos una tabulación:

Tabla I. Tabulación de 3y x

Variable independiente

x

Variable dependiente

y

2 6

1 3

0 0

-1 -3

-2 -6

De aquí se forman los pares ordenados 2,6 , 1,3 , 0,0 , 1, 3 , 2, 6 si los ubicamos en el plano xy

como coordenadas rectangulares:

Variable DEPENDIENTE Variable INDEPENDIENTE


3

Figura 2.3. Representación gráfica de los pares ordenados.

Como puede verse en la gráfica, a cada punto de x (eje horizontal) le corresponde uno y sólo un punto en y (eje vertical). Claro está, que si los valores que le dimos a x en la Tabla I están más próximos entre sí, la gráfica tiende a verse como una curva continua.

Figura 2.4. Representación gráfica de los pares ordenados con un incremento menor.

De manera que la función 3y x para un número infinito de valores de x sería:

Figura 2.5. Representación de la función 3y x

Por lo tanto, una función puede usarse para representar una colección de puntos que describen de manera gráfica la dependencia de una variable con respecto a otra.


4

El dominio de una función se puede expresar de dos maneras: explícita e implícitamente. Cuando el dominio de la función se expresa explícitamente se define junto con la función, por ejemplo:

2

1( ) 4 5

4f x x

x

Nos indica que para la función ( )f x , la variable independiente puede tomar cualquier valor comprendido en

el intervalo 4,5 pero no puede tomar algún valor fuera de ese intervalo, ese es el dominio y se definió de

manera explícita. Por otra parte, el dominio de una función expresado de manera implícita se define como todos los números reales para los cuales la función está definida, por ejemplo, la función anterior no está definida para 2x y

tampoco para 2x . El dominio de esta función será el conjunto : 2x x

Figura 2.6. Representación gráfica de 2

1( )

4f x

x

¿Por qué la función 2

1( )

4f x

x

no está definida para 2x ?

Para pensar


5

Determine el dominio y rango de las siguientes funciones:

2.2. Criterio de la línea recta, Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva Como se mencionó anteriormente para una función ( )f x (una función que depende de la variable x) debe

de haber una correspondencia entre la variable independiente y la variable dependiente, es decir, para cada valor del dominio le debe de corresponder uno y sólo un valor en el contra dominio. Con esta idea podemos usar un criterio visual para comprobar si una gráfica corresponde a una función de x, el cual no es más que trazar una línea vertical y observar cuantas veces corta la línea recta a la gráfica. A esto se le conoce como criterio de la línea recta. El criterio de la línea recta sólo puede usarse para verificar si una gráfica proviene de una función donde x es la variable independiente Otro concepto importante respecto a las funciones es función inyectiva, una función es inyectiva si se cumple que a cada valor de y perteneciente al rango le corresponde un solo valor de x perteneciente al dominio, por ejemplo, la siguiente función en inyectiva:

Dominio: ___________________

Rango: _____________________

Dominio: ___________________

Rango: _____________________

Dominio: ___________________

Rango: _____________________

Criterio de la línea recta


6

Figura 2.7. Función inyectiva

Para cada valor del rango le corresponde un único valor del dominio, por lo tanto ésta gráfica es de una función inyectiva, y además, si aplicamos el criterio de la línea recta veremos que la gráfica es una función de x. ¿Cuáles de las siguientes funciones no son inyectivas? Otra característica más de las funciones es cuando el rango de una función se define para todos los números

reales, es decir el conjunto , . Cuando esto sucede se dice que la función es suprayectiva. Algunos

ejemplos de estas funciones son:

Dominio

Ran

go

Dominio

Para pensar

Figura A Figura B Figura C


7

Figura 2.7. Función suprayectiva

Si analizamos la función, podemos ver que la gráfica podría seguir creciendo sin límite en el eje vertical, por

lo cual, el recorrido de esta función es el intervalo , . Otro ejemplo de función suprayectiva sería la

figura C del ejercicio para pensar anterior. Si una función es inyectiva y al mismo tiempo es suprayectiva, entonces la función se dice que es biyectiva. 2.3. Función real y su representación gráfica Una función real no difiere mucho del concepto de función que hasta ahora se ha manejado, simplemente podemos definirla como una función cuyo dominio será exclusivamente el conjunto . Lo más importante de este tema, es ver algunas funciones básicas y su representación gráfica, primeramente empezaremos por evaluar una función realizando una tabulación para, posteriormente ubicar

los pares ordenados ,x y en el plano rectangular.

Representación gráfica de funciones reales Para lograr la correcta representación gráfica de una función debemos evaluarla. Esto consiste en asignarle valores a la variable independiente, sustituirla en la ecuación y obtener un valor para l variable dependiente. Este proceso es idéntico al que usamos en la Tabla I.


8

Para la función 2y x realice su graficación a través de una tabulación

Figura 2.8. Función Ejemplo 22.

Para la función 2 3y x realice su graficación a través de una tabulación

x y

2 1

1.5 1.5

1 2

0.5 2.5

0 3

-0.5 3.5

-1 4

-1.5 4.5

-2 5 Figura 2.9. Función Ejemplo 23.

x y

2 -4

1.5 -2.25

1 -1

0.5 -0.25

0 0

-0.5 -0.25

-1 -1

-1.5 -2.25

-2 -4


9

Para la función 2 5y x realice su graficación a través de una tabulación

x y

2 -9

1.5 -7.25

1 -6

0.5 -5.25

0 -5

-0.5 -5.25

-1 -6

-1.5 -7.25

-2 -9

¿De qué manera afecta el signo negativo del término 2x y la resta y suma de los términos constantes?

Para pensar



10

Para la función 2

1y x realice su graficación a través de una tabulación

x y

10 121

9 100

8 81

7 64

6 49

5 36

4 25

3 16

2 9

1 4

0 1

-1 0

-2 1

-3 4

-4 9

-5 16

-6 25

-7 36

-8 49

-9 64

-10 81



11

Para la función 2

1y x realice su graficación a través de una tabulación

x y

10 81

9 64

8 49

7 36

6 25

5 16

4 9

3 4

2 1

1 0

0 1

-1 4

-2 9

-3 16

-4 25

-5 36

-6 49

-7 64

-8 81

-9 100

-10 121 ¿Qué puede concluir de los ejemplos 25 y 26 cuando se suma o se resta un término constante? De los ejemplos 22 al 26 podemos concluir lo siguiente:

( )f x c

( )f x c

( )f x c

( )f x c

La gráfica ( )f x se mueve c unidades hacia arriba

La gráfica ( )f x se mueve c unidades hacia abajo

La gráfica ( )f x se mueve c unidades hacia la

derecha

Para pensar

Para una gráfica se tiene que:



12

La gráfica ( )f x se mueve c unidades hacia la izquierda

Grafique las siguientes funciones, seleccione el dominio más adecuado para su correcta

representación:

a) 2

( ) 2 3f x x

b) 3( ) 5f x x

c) 2

4 1x

d) 2 2x

De acuerdo al concepto de función que representa la dependencia de una cantidad respecto a otra, su trabajo consistirá en modelar un fenómeno físico, realizar una tabulación con los datos, definir cuál es su variable dependiente y cual su variable independiente, una vez hecho eso, representará gráficamente los datos y definirá el dominio y rango de la función. Realizará un reporte en formato digital el cual entregará al profesor mediante correo electrónico.

TAREA


13

Clasificación de funciones

La mayoría de los fenómenos que suceden en la vida real (intercambio de calor entre dos cuerpos, aceleración de un proyectil, estimación del crecimiento de una población) pueden ser representados a través de funciones elementales. Éstas pueden clasificarse de la siguiente manera: Función polinómica Una función polinómica (algebráica) es aquella que puede expresarse a través de un número finito de sumas, diferencias, productos cocientes y raíces de términos que contengan x. La forma básica de una función polinómica es:

1 2

1 2 1 0...n n

n na x a x a x a x a

Donde el entero positivo n define el grado u orden de la función. Los términos constantes na se llaman

coeficientes de la función, el coeficiente na que acompaña a la variable de mayor orden nx se le llama

coeficiente dominante y al coeficiente 0a es el término constante.

Algunos ejemplos de funciones polinómicas:

Grado u orden Función Tipo

cero ( )f x a Función constante

Uno ( )f x ax b Función lineal

Dos 2( )f x ax bx c Función cuadrática

tres 3 2( )f x ax bx cx d Función cúbica

El valor del coeficiente dominante se puede ver reflejado en el comportamiento de la gráfica. Una función polinómica puede tener varios puntos de inflexión, para cada uno de ellos la función tendrá un comportamiento creciente o decreciente. Para comprender esto veamos las siguientes gráficas:

Funciones elementales

Algebráicas (Polinómicas, radicales, racionales)

Trigonométricas (Seno, coseno, tangente, etcétera)

Exponenciales y logarítmicas

Trascendentes


14

Figura 2.13. Punto de inflexión, función creciente y decreciente.

Defina con sus propias palabras el concepto de punto de inflexión

El coeficiente dominante determinará el comportamiento de la gráfica en un punto de inflexión de la siguiente manera:

0na 0na

De grado par

De grado impar

Dentro de la clasificación de las funciones polinómicas tenemos las funciones racionales, que son el cociente entre dos polinomios, es decir:

Punto de inflexión

Decrece hacia la izquierda

Crece hacia la izquierda

Para pensar


15

( )( ) , ( ) 0

( )

p xf x q x

q x

Función trigonométrica Una función trigonométrica sería el seno, coseno y tangente, el resto de las funciones son derivadas de esas tres funciones trigonométricas elementales. A nosotros nos interesa ver las gráficas de estas funciones, su comportamiento y algunas propiedades de identidad. Una función trigonométrica es periódica, lo cual significa que si seleccionamos un punto arbitrariamente después de una cierta cantidad de tiempo ese valor seleccionado va a repetirse, es decir:

Figura 2.14. Función trigonmétrica y periodo.

El periodo se representa con la letra T. Algunos ejemplos de periodicidad sería: el periodo de pago de un trabajador, su sueldo se entrega cada determinado tiempo y se repite, si le pagan por quincena pues entonces su salario llegará cada quince días. Se puede determinar matemáticamente si una función es periódica o no. Si se cumple con el criterio de periodicidad, el cual se expresa por la siguiente fórmula:

( ) ( )f x f x T

Nos dice que el valor de la función evaluada en x, debe de ser igual a la función evaluada en x desplazada T unidades a la izquierda, por ejemplo:

Para la función coseno considere que su periodo es 2 . Demuestre que la función es periódica.

Si elegimos cualquier valor para x, por ejemplo x la función evaluada en x deberá tener el mismo valor que la función evaluada en 2 3x T , esto es:

Periodo T


16

cos( ) 1

cos( 2 ) cos(3 ) 1

Por lo tanto, la función es periódica, si observamos su gráfica: La graficación de funciones trigonométricas podemos realizarla a través de la tabulación, es decir, le asignamos valores a x, evaluamos la función y el resultado lo asignamos a y, y después ubicamos los pares ordenados en el plano xy. Estos valores por convención, deberemos de asignarlos en radianes y no en grados sexagesimales, recuerde que la conversión de grados a radianes sigue la razón:

180

GradosRad

Ahora, grafiquemos algunas funciones trigonométricas por el método de tabulación.

2 3


17

Para la función sen( )y x grafíquela en el intervalo 0,2

Variable independiente x

Variable dependiente y

0 0

2 1

0

32

-1

2 0

Si unimos los puntos, la función seno es descrita por la curva:

Figura 2.14. Función Seno (Para más información acceda al link).

Para la función cos( )y x grafíquela en el intervalo 0,2

Variable independiente x

Variable dependiente y

0 1

2 0

-1

32

0

2 1

http://mathworld.wolfram.com/Sine.html




18

Uniendo los puntos, la función coseno tiene la forma:

Figura 2.14. Función Coseno (Para más información acceda al link).

Existe otro método de graficación el cuál es llamado método de proyección, el cual consiste en proyectar desde el círculo trigonométrico (un círculo de radio unitario) los valores para diferentes argumentos (diferentes valores de x). Veamos el ejemplo de la graficación de la función sen( )y x a través del método de proyección:

Figura 2.15. Circulo trigonométrico. Graficación por proyección

Aunque este método es útil, depende de las correctas proporciones entre el círculo, los ejes y el intervalo para cada valor. Por ello, el método de tabulación será el que usemos a lo largo de este curso.

http://mathworld.wolfram.com/Cosine.html





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2.6. Funciones definidas por más de una ecuación En ocasiones, una sola función estará definida por dos o más ecuaciones, por ejemplo, la función:

1 si 1

( ) si 11

x xf x

xx

Nos dice que mientras que a variable independiente tenga un valor menor a uno, la función tendrá un comportamiento descrito por la gráfica 1 x pero si la variable toma el valor de uno o cualquier valor mayor

a uno, entonces la gráfica será descrita por la ecuación 1x

Figura 2.16. Función definida por más de una ecuación.

Algunas propiedades de las funciones La mayoría de las funciones tienes las propiedades de intersectar con los ejes x o y en algún punto, es decir, cruzan al eje vertical o al eje horizontal. A estos puntos se les denomina puntos solución o simplemente puntos de intersección. También, algunas funciones pueden tener características geométricas como la simetría, quizá una función sea simétrica con respecto al eje x o quizá respecto al eje y pero nunca respecto a ambos ejes, esto se conoce como simetría de la función. Ambos conceptos son los que describiremos a continuación. Intersección con los ejes La intersección con los ejes, son aquellos puntos donde la coordenada x o y valen cero. Un punto ordenado

de la forma ,0a es una intersección con el eje x. Para determinar los puntos de intersección en x,

igualamos x a cero y despejamos y.

Por otra parte un punto con la forma 0,b es una intersección en el eje y. Para determinar las

intersecciones en y, le asignamos a y el valor de cero y despejamos x de la ecuación resultante.

1 2 3 4x

0.5

1.0

1.5


20

Para la función 3 4y x x determinar las intersecciones en x y en y.

Determinando las intersecciones en x: Igualamos y con cero:

30 4x x

Despejamos y, para lo cual debemos factorizar:

3

2

0 4

0 4

0 2 2

x x

x x

x x x

En este caso la solución será aquella que responda a la pregunta ¿qué valores de x hacen que el lado derecho de la ecuación sea cero? Intersecciones serán: 0,2, 2x

Determinando las intersecciones en y: Igualamos x con cero:

3

0 4 0

0

y

y

Por lo tanto, la intersección en y se da en el punto

0,0

Para comprobarlo, Grafiquemos la función 3 4y x x y veamos en que puntos intersecta con los ejes:

x y

-3 -15

-2 0

-1 3

0 0

1 -3

2 0

3 15

Figura 2.17. Intersecciones de la función.

3 2 1 1 2 3x

15

10

5

5

10

15

y


21

2 1 1 2 3x

3

2

1

1

2y

Intersección entre dos curvas Asi como podemos determinar la intersección de una curva con los ejes, tambien podemos determinar donde dos curvas o gráficas se intersectan.

Veamos la siguiente figura en donde están las funciones 23 x y y la función 1 x y :

Claramente vemos que las dos gráficas se intersectan en los puntos 1, 2 y 2,1 pero, ¿cómo

determinar los puntos de intersección si no conocemos la gráfica? Para ello seguiremos este sencillo procedimiento: Primero, despejar y de ambas ecuaciones:

2 3

1

y x

y x

Segundo, igualar entre si los valores de y obtenidos:

2 3 1x x Tercero, factorizar o despejar x:

2

2

3 1 0

2 0

2 1 0

x x

x x

x x

Ahora, sólo queda determinar qué valores de x hacen cero a la ecuación. Estos valores son:

2, 1x

23y x

1y x


22

Por lo tanto tendremos dos intersecciones en x, para saber la intersección en y sustituimos cada uno de los valores de x en cualquiera de las ecuaciones originales: Vamos a encontrar los valores de y en ambas ecuaciones para demostrar que es indistinto que ecuación seleccionemos para realizar la sustitución:

Sustituyendo 2x en 2 3x y :

2

2

3

(2) 3

1

y x

y

y

Por lo tanto, el punto de intersección es: 2,1

Sustituyendo 1x en 2 3x y :

2

2

3

( 1) 3

2

y x

y

y

Por lo tanto el punto de intersección es: 1, 2

Sustituyendo 2x en 1x y :

1

2 1

1

y x

y

y

Por lo tanto, el punto de intersección es: 2,1

Sustituyendo 1x en 1x y :

1

1 1

2

y x

y

y

Por lo tanto el punto de intersección es: 1, 2

TAREA: Para los siguientes ejercicios, trazar la gráfica de la ecuación y determinar analíticamente todos los puntos de intersección con los ejes x e y. Puede ayudarse de cualquier software de graficación.

a) 3 2y x

b) 2

4xy

c) 21y x

d) 3 2y x

e) 2y x x

f) 3x y

g) 2

3y x

h) 1

yx

i) 2

10

1y

x

j) 6y x


23

2.7. Operaciones con funciones Si tenemos dos o más funciones, es posible combinarlas entre sí para crear nuevas funciones. Por ejemplo, si contamos con las funciones ( )f x y ( )g x podemos crear las siguientes funciones:

a) ( ) ( )f x g x f g x Suma

b) ( ) ( )f x g x f g x Diferencia

c) ( ) ( )f x g x fg x Producto

d) ( )

( )

f x fx

g x g

Cociente

Y se crean a partir de las operaciones algebraicas necesarias. El dominio de estas nuevas funciones será la

intersección de los dominios de f x y g x .

Para las funciones ( ) 2 3f x x y 2( ) 1g x x , obtener la suma, diferencia, producto y

cociente:

Suma: 2 2( ) ( ) 2 3 1 2 2f x g x f g x x x x x

Diferencia: 2 2( ) ( ) 2 3 1 2 4f x g x f g x x x x x

Producto: 2 3 2 3 2( ) ( ) 2 3 1 2 2 3 3 2 3 2 3f x g x fg x x x x x x x x x

Cociente: 2

( ) 2 3

( ) 1

f x f xx

g x g x

Aún existe otra manera de combinar dos funciones, llamada composición de funciones, y la función resultante recibe el nombre de función compuesta. De manera formal podemos definir a una función compuesta como:

Sean f y g dos funciones. La función dada por f g x f g x se llama función compuesta

de f con g . El dominio de f g x es el conjunto de todas las x del dominio de g tales que g x esté en

el dominio de f .

Función compuesta


24

Figura 2.18. Dominio de , , , f

f g f g fgg

Figura 2.19. Dominio de una función compuesta.

¿En que consiste una composición de funciones? Consiste en considerar a la función g como dominio de f y evaluar a f en g, esto es, todas las incógnitas x se sustituyen por la función g. Veamos un ejemplo para obtener una función compuesta:

Considere a la función ( ) 2 3f x x y a la función ( ) cosg x x . Obtener:

a) f g

b) g f

Obteniendo a f g :

( )

( ) 2 3

( ) 2 cos 3

2cos 3

g x

f x x

f x f g x x

f g x x

2 1 0 1 2

2

1

0

1

2

Dominio de g(x)

Dominio de g(x)

Dominio de f(x)

x g(x)

)

f(g(x))

g f


25

Obteniendo a g f :

( )

( ) cos

( ) cos 2 3f x

g x x

g x g f x x

Nota: Obsérvese que f g g f , por lo tanto, la composición de funciones no siempre podrá cumplir con

la propiedad conmutativa. Ejercicios: Calcular , f g g f para las siguientes funciones:

a) 3

( ) 3 2 ( )2 1

xf x x g x

x

b) 1 2 1

( ) ( )2 1 2 1

xf x g x

x x

c) 2

( ) ( )2 1

xf x g x x

x

Transformación de funciones La transformación de una función, son ciertas operaciones o procedimientos que realizamos sobre la función de manera que al operar sobre la curva de la función original, permanezca esencialmente la forma pero que

cambie su orientación, su posición, etcétera. Por ejemplo, consideremos a la función 2( )f x x la cual

describe una gráfica como se muestra a continuación:

Sobre la función ( )f x podemos realizar básicamente tres tipos de transformaciones:

1. Traslación horizontal (ya sea a desplazamiento a la izquierda o derecha)

2. Traslación vertical (ya sea hacia arriba o hacia abajo)

4 2 2 4x

5

10

15

y

4 2 0 2 4 6 8 10x

10

20

30

40

y

x 2 2

x 2 2

x2


26

3. Reflexiones (respecto al eje x o al eje y)

4 2 2 4 6 8 10x

10

20

30

40

y

x2 2

x2 2

x2

4 2 2 4 6 8 10x

40

20

20

40

y

x2

x2

4 2 2 4 6 8 10x

40

20

20

40

y

x

x


27

Ejercicios: Realizar las siguientes transformaciones de funciones:

a) senx Traslación vertical en 2 unidades hacia arriba y 3 unidades hacia abajo b) 2x Traslación horizontal en 4 unidades a la izquierda

c) 2 2x Traslación vertical 5 unidades hacia abajo

d) Si 3( ) 3f x x como expresaría en notación de funciones las siguientes traslaciones:

Traslación vertical en -2 unidades + reflexión + traslación horizontal en -4 unidades

2.8. Función inversa, función logarítmica y funciones trigonométricas inversas Una función, podemos también definirla como una transformación que se realiza tomando un elemento de un conjunto (dominio) para relacionarlo con otro elemento de algún otro conjunto (rango).

Una función inversa, expresada como 1f es aquella función que de alguna manera deshace la

transformación que realizó la función f . Esta característica provoca que si realizamos la composición de f y

g, obtendremos la función identidad x. Una función inversa se define formalmente como: Una función g es la función inversa de la función f si:

f g x x para todo x en el dominio de g

Y

g f x x para todo x en el dominio de f

La función g se denota por 1f y se lee como “inversa de f ”

Algunos ejemplos muy sencillos de funciones inversas son:

Tabla II. Algunas funciones y su inversa.

Función f Función inversa 1f

( )f x x c ( )f x x c

( )f x cx ( ) ; 0

xf x c

c

Función inversa


28

Nótese que estos ejemplos, si a una función ( )f x le sumamos una constante c , la manera de “deshacer”

esa suma es restándole la misma cantidad c . Para demostrar que una función es inversa de otra función, debemos realizar la composición entre ambas, y el resultado deberá de ser la función identidad.

Demostrar que las funciones de la Tabla II, son inversas.

La demostración se realiza a través de la composición de funciones. Hagamos f g x para ( )f x x c y

( )g x x c

f g x f x c x c c x c c x

Lo cual resulta en la función identidad, por lo tanto si es inversa.

Ahora, para ( )f x cx y ( )x

g xc

, la composición resulta en:

( )x x

f g x f c xc c

Por lo tanto, también es inversa. Algunas observaciones respecto a las funciones inversas son:

1. Si g es la función inversa de f , entonces f será la función inversa de g

2. El dominio de 1f es el rango de f y el rango de 1f en el dominio de f

3. Una función puede no tener inversa, pero si llega a tenerla entonces esa función inversa es única.

Demostrar que las funciones siguientes son mutuamente inversas:

3 31

( ) 2 1 ( )2

xf x x g x

Realizando f g x tenemos que:

3

31 1

( ) 2 1 2 12 2

( ) 1 1

x xf g x

f g x x x

Realizando g f x tenemos que:

3 33 33 3

2 1 1 2( ( ))

2 2

x xg f x x x


29

Por lo tanto, las funciones son mutuamente inversas. Existencia de una función inversa Existe un criterio a partir de la gráfica de una función que nos permite saber si esa función tiene o no una función inversa. Este criterio es llamado “criterio de la recta horizontal” y establece que una función f tiene

inversa si y sólo si toda recta horizontal corta a la gráfica de f en un solo punto.

Figura 2.20. Criterio de la recta horizontal. Si una recta corta a f en más de un punto, f no tendrá función inversa

Las condiciones para que una función tenga función inversa son:

1. Una función tiene función inversa si y sólo si es inyectiva. 2. Si f es estrictamente monótona en todo su dominio, entonces ésta es inyectiva y por lo tanto tiene

inversa.

Verificar a través de las gráficas de las funciones, cuál de ellas tendría función inversa:

3 3

1 21 1f x x x f x x x

Las gráficas de las funciones son:

2 1 1 2x

3

2

1

1

2

3

y

2 1 1 2x

1

1

2

3

y

Existencia de la función inversa

2 1 1 2x

2

1

1

2

y

3

1( ) 1f x x x 3

2( ) 1f x x x


30

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0y

La función 1f x es creciente en todo su dominio, por lo pronto, deberá de bastarnos con saber que si la

función se comporta monotónicamente entonces tendrá función inversa.

Por otra parte, la función 2f x tiene un punto de inflexión, en donde pasa de creciente a decreciente y por

lo tanto la función no es monótona así que, dadas las condiciones de existencia de la función inversa 2f x

no tendrá función inversa. Obtención de la función inversa En general, suele ser más fácil demostrar que una función puede tener función inversa, demostrar que dos funciones son mutuamente inversas que encontrar la función inversa porque algebraicamente puede ser que se complique bastante, sin embargo, podemos tratar de seguir un procedimiento que en la mayoría de los casos puede funcionar. Para encontrar la función inversa de una función se sugiere el siguiente procedimiento:

1. A través del criterio de existencia de la función inversa, determinar si la función y f x es posible

que tenga inversa. Si la tiene continuar con el punto dos.

2. Despejar x de la función para tener una función en términos de y , x g y

3. De la ecuación obtenida en el paso dos, intercambiamos todas las x por y . La ecuación que resulte

será 1f x .

4. Definir el dominio de la función inversa como el rango de f .

5. Verificar que la composición 1f f x x y que 1f f x x para asegurarnos que la

función obtenida es la función inversa correcta. Vamos a aplicar el procedimiento anterior para encontrar la función inversa en el siguiente ejemplo:

Obtener la función inversa de la función ( ) 2 3f x x

Primero, necesitamos saber si la función es inyectiva y además si es monótona, de la gráfica de la función:

¿Cómo encontrar una función inversa


31

La función es creciente en todo su recorrido, por lo tanto, el criterio de la línea recta horizontal se cumple y la función admite una función inversa.

Segundo, debemos despejar x de la función y f x

2 3

y f x

y x

Elevamos al cuadrado ambos términos: 2 2 3y x

Despejamos x : 2 3

2

yx

Tercero, intercambiamos las x por y :

2

21

3

2

3

2

xy

xf x

Cuarto, el dominio de 1f será el rango de f . La función f está definida únicamente para valores mayores

o iguales a cero porque existe una raíz cuadrada (y en los números reales no tenemos definidas las raíces de

números negativos) por lo tanto, el rango de f que a su vez es el dominio de 1f es el intervalo 0, .

Quinto, verificamos las composiciones necesarias:

Encontrando 1f f x

21

1 2

1 2

1

32 3

2

3 3

xf f x

f f x x

f f x x

f f x x

Encontrando 1f f x

2

1

1

1

2 3 3

2

2 3 3

2

xf f x

xf f x

f f x x

Por lo tanto, hemos encontrado la función inversa de manera correcta.


32

Ejercicios: Obtener la función inversa de las siguientes funciones, además graficar ambas funciones. Puede auxiliarse de cualquier software de graficación.

a) ( ) 5 1f x x

b) ( ) 3 4f x x

c) 3( )f x x

d) 3( ) 1f x x

e) ( ) 4f x x

f) 2( ) 16 , 0f x x x

g) 1

( )f xx

h) 1

( )1

f xx

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0y

y x

y f 1 x

y f x

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