unidad iii - opencourseware unc
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UNIDAD III
APLICACIONES ALGEBRAICAS
Bocco-Sayago Elementos de Matemática
A. ECUACIONES
Problema 1: En un establecimiento agrícola-ganadero se destinan la tercera parte del total de hectáreas para la siembra de soja, la sexta parte del total para la siembra de maíz y aún quedan 225 hectáreas para ganadería. ¿Cuál es la cantidad total de hectáreas que posee el establecimiento?
Para conocer la cantidad de hectáreas que posee el establecimiento comenzamos ”traduciendo” el enunciado anterior al lenguaje matemático.
Si llamamos con la letra x a la cantidad desconocida de hectáreas totales que posee el establecimiento, podemos escribir:
. . . se utiliza la tercera parte del total para soja → x31
. . . la sexta parte del total para maíz → xx61
31
+
. . . y quedan aún 225 hectáreas → 22561
31
++ xx
La anterior expresión debe ser igual a la cantidad total de hectáreas del establecimiento, es decir
xxx =++ 22561
31
Las expresiones donde aparecen números y letras, en dos miembros que se relacionan a través de una igualdad, son una clase particular de identidades que se denominan ecuaciones.
Definición: Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que relacionan números o letras mediante operaciones.
Las letras, cuyos valores son desconocidos, se llaman incógnitas.
El o los números que pueden tomar las incógnitas y que hacen verdadera la ecuación se llaman soluciones. Resolver la ecuación es encontrar las soluciones, si éstas existen.
El conjunto formado por todas las soluciones de la ecuación se llama conjunto solución.
En una ecuación se llama primer miembro a la expresión que se encuentra antes del signo de igualdad y segundo miembro a la que se encuentra después del signo igual.
ISBN 978-987-1253-35-7
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Ejemplo 1: En la ecuación que representa el Problema 1:
incógnita x→
primer miembro → 22561
31
++ xx
segundo miembro x→
RESOLUCIÓN de una ECUACIÓN de 1º GRADO
PROPIEDADES
Para resolver una ecuación se utilizan las propiedades de la relación de igualdad y las propiedades de los números estudiadas en el capítulo anterior.
Las propiedades que relacionan operaciones e igualdades son:
1) cbcaba +=+⇒= R∈cba ,,
2) cbcaba .. =⇒= R∈cba ,,
Que en palabras se expresan diciendo: “al sumar o multiplicar un mismo número en ambos miembros de una igualdad, la igualdad se mantiene”.
Volvamos al Problema 1:
A partir de la ecuación xxx =++ 22561
31
operando se puede escribir:
xx =+ 22521
y aplicando la Propiedad 1:
)()(22521 xxxx −+=−++
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en lenguaje coloquial en la operación anterior decimos “el término x− pasa al primer miembro con signo contrario”:
entonces:
022521
=+− x
y nuevamente por propiedad 1:
225)225(22521
−=−++− x
operación que en lenguaje coloquial decimos “el término 225 pasa al otro miembro con signo cambiado”:
22521
−=− x
La propiedad 2 permite entonces encontrar o “despejar” la incógnita:
11
21.225
21
21 −−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡− x
( )2.225 −−=x
Entonces la solución es: 450=x hectáreas.
Cada uno de los pasos (operaciones, aplicación de propiedades) que realizamos para resolver la ecuación la fue transformando en otra más sencilla. Formamos así una cadena de ecuaciones, la última de las cuales es la solución.
Observación: Una vez resuelta la ecuación es conveniente comprobar que la solución verifica las condiciones planteadas en el problema.
En este caso el Problema 1 planteaba:
En un establecimiento rural se destinan la tercera parte del total de hectáreas para la siembra de soja:
Tercera parte de 450 hectáreas es: 150 hectáreas sembradas con soja.
La sexta parte del total para la siembra de maíz:
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Sexta parte de 450 hectáreas es: 75 hectáreas sembradas con maíz.
y aún quedan 225 hectáreas para ganadería.
Entonces la cantidad total de hectáreas que posee el establecimiento es:
=++ 22575150 450 hectáreas
¡¡IMPORTANTE!! En la sección 3.d presentamos una metodología para la "Resolución de Problemas" que se utiliza, no sólo en matemática, sino que se puede aplicar a distintas asignaturas o áreas de estudio.
Definición: Una ecuación de primer grado es una ecuación cuya forma general es donde y b son números reales y 0. =+ bxa a 0≠a .
Notemos que el grado de la ecuación está dado por la potencia a la que está elevada
la incógnita x , en el caso de ecuación de primer grado . xx =1
La ecuación que permite resolver el problema de la cantidad de hectáreas del establecimiento rural es una ecuación de primer grado con 2/1−=a y que tiene
una única solución. El conjunto solución de la ecuación es
225=b{ }450=S
Los siguientes ejemplos muestran que no toda ecuación de primer grado tiene solución.
Ejemplo 2: La ecuación xx 353 =+ no tiene solución ya que, aplicando propiedades se reescribe:
533 −=− xx
y así:
¡¡imposible!! 50 −=
La anterior desigualdad (igualdad falsa) indica que no hay ningún x que verifique la ecuación. Entonces el conjunto solución de la ecuación es φ=S
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Ejemplo 3: La ecuación 8213
2352 ++−=−+ xxx tiene infinitas soluciones,
pues aplicando propiedades se reescribe:
00
85321
232
=
+−−=−−
x
xxx
Esta última igualdad se verifica para todo número real de x . El conjunto solución de la ecuación es RS = .
Nota: El grado de las ecuaciones está dado por el mayor exponente al que están elevadas las incógnitas. Así, las ecuaciones de segundo grado, que no son parte de este curso, se escriben de la forma:
02 =++ cxbxa
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B. SISTEMAS de ECUACIONES
SISTEMAS de ECUACIONES de 1º GRADO con DOS VARIABLES
Problema 2: En una semana una agroveterinaria vendió 40 fertilizantes para césped de las marcas A y B. Los de la marca A costaban 4,95 $ cada uno y los de la marca B se vendieron a 7,95 $ cada uno. Las ventas totales en este rubro fueron de 282 $ ¿Cuántos fertilizantes se vendieron de cada tipo?
Para conocer la cantidad de fertilizantes vendidos de cada marca expresaremos el enunciado anterior utilizando ecuaciones. En este problema encontramos dos incógnitas, que llamaremos:
con la letra x a la cantidad desconocida de fertilizantes vendidos de la marca A con la letra y a los fertilizantes vendidos de la marca B
Entonces, traduciendo el enunciado al lenguaje matemático:
. . en una semana una agroveterinaria vendió 40 fertilizantes → 40=+ yx
. . Los de la marca A costaban 4,95 $, entonces por éstos
recibió un total de → x$95,4
. . Los de la marca B costaban 7,95 $, entonces por éstos
recibió un total de → y$95,7
... Las ventas totales en este rubro fueron de 282 $ → $282$95,7$95,4 =+ yx
En este problema tenemos ahora dos ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente, la cantidad vendida y la ganancia obtenida:
⎩⎨⎧
=+=+
28295,795,440
yxyx
lo que constituye un sistema de ecuaciones.
Definición: Un sistema de ecuaciones de primer grado, es un conjunto de ecuaciones de primer grado que se deben satisfacer simultáneamente. El o los pares ordenados de números x e y, denotados por , que verifican todas las ecuaciones del sistema se llaman soluciones.
),( yx
El conjunto formado por todos los pares ordenados que son soluciones del sistema de ecuaciones se llama conjunto solución.
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Representación de un sistema de dos ecuaciones
Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos variables o incógnitas se representa, en su forma general, por:
⎩⎨⎧
=+=+
22221
11211byaxabyaxa
En el sistema así escrito, la letra representa el coeficiente que multiplica a la
primera variable (11a
x ) de la primera ecuación, la letra representa el coeficiente que
multiplica a la segunda variable ( ) de la primera ecuación, y las letras y representan, respectivamente, los coeficientes que multiplican a la primera variable (
12ay 21a 22a
x ) y a la segunda variable ( ) de la segunda ecuación. y
Las letras y representan los términos independientes de la primera y segunda ecuación, respectivamente.
1b 2b
Ejemplo 4: En el problema 2, los valores de las letras de la representación general del sistema son:
28295,795,44011
22221
11211======
baabaa
RESOLUCIÓN de un SISTEMA de DOS ECUACIONES
Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas se pueden utilizar varios métodos o técnicas para encontrar su conjunto solución. Entre los más usados están el método de sustitución, el método de combinaciones lineales, el método de determinantes o Regla de Cramer, etc.
MÉTODO de SUSTITUCIÓN
El Método de Sustitución es una técnica para resolver sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, que consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y reemplazar ésta por su equivalente en la otra ecuación. Realizado el reemplazo la nueva ecuación tendrá una única variable, que se puede resolver como ecuación de primer grado.
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Ejemplo 5: Para resolver el sistema del Problema 2.
⎩⎨⎧
=+=+
28295,795,440
yxyx
De la primera ecuación podemos despejar la variable y:
xyyx −=→=+ 4040
Reemplazando esta variable en la segunda ecuación obtenemos una nueva ecuación en la única variable x:
282)40(95,795,428295,795,4 =−+→=+ xxyx
28295,731895,4 =−+ xx
363 −=− x
12=x
El valor encontrado de la variable x, se reemplaza en la primera ecuación para hallar el valor de la incógnita y:
28124040 =−=−= xy
El resultado es el par ordenado = (12,28). Es decir la agroveterinaria ha vendido 12 fertilizantes de la marca A y 28 fertilizantes de la marca B.
),( yx
El par ordenado (12,28) satisface simultáneamente ambas ecuaciones (lo cual puede comprobarse reemplazando los valores en el sistema inicial), luego el conjunto solución del sistema es:
{ })28,12(=S
Al igual que para una ecuación los siguientes ejemplos muestran que no todo sistema de ecuaciones de primer grado tiene solución única.
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Ejemplo 6: El siguiente sistema de ecuaciones no tiene solución
⎩⎨⎧
=+=+
43642
yxyx
Por el método de sustitución, a partir de la primera ecuación podemos despejar y:
xyyx 2442 −=→=+
por lo cual
461264)24(36 =−+→=−+ xxxx
8012466 −=→−=− xx ¡¡imposible!!
Como , quiere decir que no hay ningún 80 −≠ x que verifique la ecuación, luego es imposible encontrar el valor de la otra variable y, entonces:
El sistema de ecuaciones no tiene solución y el conjunto solución es un conjunto vacío, es decir, { }== φS
Ejemplo 7: El siguiente sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones
⎩⎨⎧
=+=+
123642
yxyx
Por el método de sustitución tenemos:
xyyx 2442 −=→=+
12612612)24(36 =−+→=−+ xxxx
00121266 =→−=− xxx
La última ecuación se verifica para todo número real de x , y por lo tanto se cumplen los dos ecuaciones del sistema también para todo número real y que verifique . xy 24 −=
El sistema de ecuaciones se verifica para todo par ordenado de números reales con y el conjunto solución se escribe de la forma: ),( yx xy 24 −=
{ }RS ∈−= xxx /)24,(
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MÉTODO de COMBINACIONES LINEALES
El método de combinaciones lineales es una técnica que consiste en encontrar una combinación de las ecuaciones del sistema, de modo tal que de una de las ecuaciones se elimine una variable, logrando así una ecuación de una única variable que se puede resolver como ecuación de primer grado con una sola incógnita.
Las combinaciones lineales de las ecuaciones se realizan utilizando dos propiedades de la suma y la multiplicación, que son:
• •
Multiplicar ambos miembros de una ecuación por un número real no nulo. Reemplazar una ecuación por la suma de ésta con la otra ecuación del sistema.
Ejemplo 8: Resolver por el método de combinaciones lineales el sistema de ecuaciones
⎩⎨⎧
=+=+
22621533
yxyx
Si sumamos las ecuaciones no se eliminará ninguna variable. No obstante, si el término , en la primera ecuación, fuese en cambio igual a y3 y6− podríamos eliminar ésta variable, utilizando la segunda propiedad. Para ello multiplicaremos ambos miembros de la primera ecuación por 2− .
⎩⎨⎧
=+=+
22621533
yxyx
→ ⎩⎨⎧
=+−=+−
226215)2()33(2
yxyx
→⎩⎨⎧
=+−=−−
22623066
yxyx
Sumando ambas ecuaciones se obtiene:
22623066
=+−=−−
yxyx
284 =→−=− xx
Sustituyendo el valor de x en cualquiera de las ecuaciones originales se obtiene el valor de la otra incógnita:
32264226)2(22262
==+=+=+
yyyyx
El conjunto solución del sistema es { })3,2(=S , lo cual puede comprobarse siempre reemplazando estos valores en las ecuaciones originales.
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C. INECUACIONES Problema 3: Un productor cuenta con $ 5000 en efectivo. Abona un impuesto de $50 y carga $25 de combustible. Si el precio promedio de un animal en pie es de $220. ¿Cuántos animales podrá comprar?
Para obtener la cantidad de animales que el productor podrá comprar tratemos de expresar el enunciado anterior en lenguaje matemático. Si llamamos con la letra x al número de animales a comprar, expresamos:
( )25505000220 +−≤x
Definición: Cuando dos expresiones algebraicas se relacionan con los signos > , ≥ , < o ≤ decimos que forman una inecuación y los valores de x , si existen, que verifican dicha inecuación reciben el nombre de soluciones. El conjunto formado por todas las soluciones de la ecuación se llama conjunto solución.
Ejemplo 9: son inecuaciones xx >+− 83
99 <x
12
345 ≤
−≤−
x
RESOLUCIÓN de una INECUACIÓN
Veamos las propiedades que relacionan operaciones y desigualdades y que nos permitirán resolver las inecuaciones:
1) cbcaba +≤+⇒≤ R∈cba ,,
2) cbcacyba ..0 <⇒>< R∈cba ,,
3) cbcacyba ..0 >⇒<< R∈cba ,,
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¡IMPORTANTE! Observar que el signo de desigualdad se invierte
al multiplicar por un número negativo.
En palabras:
1) Al sumar el mismo número en ambos miembros de una desigualdad, ésta se mantiene. 2) Al multiplicar ambos miembros de una desigualdad por un mismo número debemos ser
cuidadosos porque ésta se invierte si el factor es negativo.
Volvamos al problema 2:
4925220 ≤x
4925.220220.220 11 −− ≤x
4925.2201220
2201
≤⋅ x
38,22≤x
El productor puede adquirir entre 1 y 22 animales. Es decir el conjunto de soluciones S es
{ }22,21,20,...,5,4,3,2,1=S
Veamos otros ejemplos:
Ejemplo 10: 273 <−x
se convierte en:
72773 +<+−x
93 <x (multiplicando por 1/3)
3<x
Luego, el conjunto solución S de la última desigualdad es el conjunto de todos los números reales que son menores que 3, esto es:
{ } ( )3,3/ ∞−=<∈= xx RS
(recordar, este símbolo se lee: menos infinito) ∞−
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En la recta numérica este conjunto es:
En general decimos S = intervalo abierto de extremos ∞− y a y denotamos . ( )a,∞−
R ) 0 1 2 3
Ejemplo 11: si pretendemos resolver la inecuación:
12
345 ≤−
≤−x
tendremos que x debe verificar simultáneamente:
2
345 x−≤− y 1
234
≤− x
y x3410 −≤− 234 ≤− x
y x3410 −≤−− 423 −≤− x
y x314 −≤− 23 −≤− x
y ( ) x≥−− 3/14 ( 3/2 −−≥x )
¿por qué invertimos la última desigualdad?.
Entonces:
3/23/14 ≥≥ x
o bien 3/143/2 ≤≤ x
La resolución podría ser también realizada en la forma:
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345 ≤−
≤−x
23410 ≤−≤− x
423410 −≤−≤−− x
2314 −≤−≤− x
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32
314
−−
≥≥−− x
32
314
≥≥ x
o bien 3
1432
≤≤ x
Luego
{ }3/143/2/ ≤≤∈= xx RS
Es el conjunto solución, o también
S = intervalo cerrado de extremos 32 y 3
14 que se escribe: ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
314,
32
Gráficamente:
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 R
Definición: Llamamos
1- Intervalo abierto de extremos y b al conjunto a { }bxax <<∈ /R denotado por
, y cuya representación gráfica es: ( ba ,
[ ]
3
)
2- Intervalo cerrado de extremos y al conjunto a b { }bxax ≤≤∈ /R denotado por
, y cuya representación gráfica es: [ ba , ]
3- Intervalos semiabiertos ) { }[ bxaxba <≤∈= /, R y ( ] { }bxaxba ≤<∈= /, R , cuyas representaciones gráficas son, respectivamente:
b R
a [ )
R a b
) (
R a b
] [
b R
a ( ]
2 314
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Observación: En el caso de los intervalos abiertos los extremos, uno o ambos, pueden ser o . Para intervalos semiabiertos, el extremo no incluido puede ser o . ∞+ ∞− ∞+ ∞−
Nota: el conjunto solución de la inecuación: es vacío, ¿por qué? 50 >> x
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Ejercicios y
Problemas de Aplicación
Ejercicio Nº 1: Indicar en cada caso la respuesta correcta: a) Si entonces:
0. =ba
0y0)0y0)0o0)0y0)
=≠≠=====
baivbaiiibaiibai
b) Si 0=ba
entonces:
0y0)0o0)0y0)0y0)
====≠=≠=
baivbaiiiabiibai
c) Si entonces:
22 ba =
babaivbabaiii
baiibai
−==−==
−==
o)y)
))
Ejercicio Nº 2: Indicar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justificar su respuesta.
a) El conjunto solución de la ecuación 2 2 4 3x x+ = − es ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
21
A
b) Si b entonces el conjunto solución de la ecuación 5−= bxbx 3542 +−=− es
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
415
B .
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Ejercicio Nº 3: Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita:
a) 92310 +=+ xx
b) xxx 5)]1(2[3 =−−−
c) 132
1−=+
xx
d) 1451
2=+ x
x
e) 3
144
15 +=
− xx
f) 25
2=+
−x
x
g) 1)4(21
6=+−− x
xx
h) 6
328
112
173 −=
−+
− xxx
i) 6
324
233
1 −−
+=
+ xxx
j) 4
32
341 −
−=−
+xxx
k) xx =−+ )1(211
l) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=+
310
251
2)3(
41
xx
x
m) ( )132)13(
31)3(
342 +−−=−+ xxx
n) )4(612
2xx
−−=−
o) 014
110
12=−
−−
− xx
p) 824
25 +−=−xxxx
q) 154)3(5 +=−− xxx r) 2)1(22 −+= xx s) xxx ++−=− 723
t) 2
9)1(251)2(3 +
+−+−=+−xxxx
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Ejercicio Nº 4: Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 2)3(24-)1-2(3 ++−= xxx
b) 635
65
3=−+ xxx
c) 2y 1con 132 ==+=+ baxaab
d) 83
522
37 +−
=−
−yy
e) 2436
5233
+−
=−+
ww
ww
f) 05
3=
−t Sugerencia: recordar qué verifican el numerador y
denominador de un cociente que es igual a 0.
g) 16
52
13
2+
+=
−−
+ xxx
h) 0)1()2( =+− pp Sugerencia: recordar qué verifican los factores si su producto es igual a 0.
i) Sugerencia: recordar qué verifican los bases si sus cuadrados 22 )4()+5( −= ssson iguales.
j) ( )2112
31 =++ xx
k) ( ) ( )
423
512 −
=− xx
l) ( )xx−−=− 1
211
3
m) 25
51
32
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +− xxx
n) ( ) ( ) ( )33421
3213
31
−+=+−− xxx
o) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=−
35
51
21
31
xx
x
p) ( ) ( )
6413
312 xxx
=+
−+
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Ejercicio Nº 5: Despejar la variable x de las siguientes igualdades y expresarla en su forma más simplificada.
a) x + 4 b = 8 + 3 b b) 3 m – 4 m x + 5 = 2
c) 6 x + a b – 3 x = 1 d) ( )pmxpmx +=−323
34
e) 2
52
4 yxyx=−
+ f) 5 x y + 5 x – 1 = 0
g) 132=−
+mm
x h) 253
=−
−+
xab
xba
i) x
bxa
109
52
54
+= j) 71
3=
+−
xmnm
Ejercicio Nº 6: Las siguientes fórmulas se presentan en distintas asignaturas de la carrera. Despejar en cada caso la variable indicada:
a) tvtge 02
21
+= despejar g = gravedad
b) despejar h = altura hrhRV 22 ππ −=
c) ( 3295
−= FC oo ) despejar Fo = grados Fahrenheit
d) 012
12 w
kkkB−
−= despejar = cte. de digestión 1k
e) 22
30
2 AgvSg
WP += despejar v = velocidad
f) Jg
vvWQ
0
21
22
2`
−+= despejar el valor de la velocidad inicial v 1
g) ( )
VTRw
P273+
= despejar el valor de la temperatura T.
h) prpa
barm vFt
eeFvFN +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+= despejar el tiempo t (Eficiencia de tracción)
i)
2
21
aci
m
vaA
tAW
⋅
⋅= despejar el tiempo en marcar (Melga óptima) mt
j) ( ) .
11
21
xyP
xxxWR xt
d −−
= despejar x1 (Transferencia de carga en el tractor)
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k) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++=
gtxPH
242 despejar g = aceleración de la gravedad
Ejercicio Nº 7: De las siguientes fórmulas Físicas, despejar en cada caso la o las variables indicadas:
a) aR
Rv+
= ε despejar R.
b) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
Rrn
f1111 despejar f , n , r , R.
c) 34
amqe
πω = despejar a.
d) 2
3
4 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=yx
ypVπ
despejar y.
Ejercicio Nº 8: Escriba la ecuación que le permita plantear cada una de las siguientes situaciones:
a) Tres bolsas de maíz cuestan el doble de lo que se pagan cinco bolsas de sorgo. b) Un número k aumentado en ocho unidades es la quinta parte del número j. c) Si a un número b se le restan 15 unidades y esta diferencia se multiplica por 6 se obtiene el
doble del número c. d) Si consideramos la mitad del triplo de la base de un rectángulo, aumentada en 5 unidades,
obtenemos el mismo resultado que calculando la tercera parte del doble de su altura, disminuida en 4 unidades.
e) El cuádruplo de la capacidad de un tanque cilíndrico de R m de radio y 260 cm de altura es igual a H.
Ejercicio Nº 9: En el diario La Voz del Interior se encuentra una noticia que expresa: “Las 23.990 cabezas encerradas entre lunes y miércoles fueron un 17 % menos que las ingresadas en igual período de la semana pasada”. Si x representa el número de cabezas ingresadas la semana anterior, la ecuación que nos permite averiguar dicho x es:
a) xx =10017.23990
b) 2399010017
=−x
c) xx1001723990 −=
d) x=+ 239901001723990
e) 1001723990 −=x
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Ejercicio Nº 10: En el diario La Voz del Interior se encuentra una noticia que expresa: “El promedio del kilo vivo de novillo cerró el miércoles a 8,25 $ un 0,80 por ciento más que en igual día de la semana anterior”. Si p representa el precio del kilo de novillo de la semana anterior, la ecuación que nos permite averiguar dicho p es:
a) p=−100
8,025,8
b) 25,8100
8,0=+ pp
c) p=− 25,8100
8,025,8
d) 25,8100
8,0=+p
e) pp 8,025,8 += Ejercicio Nº 11: Si conocemos que la altura de un rectángulo es 3cm mayor que la base (b) y su perímetro es de 26 cm i) Indicar cuál o cuáles de las siguientes ecuaciones sirven para calcular la longitud de la base y justificar la respuesta.
a) 2 b + 2 ( b+3 ) = 26 b) 2 b + b + 3 = 26 c) b ( b+3 ) = 26 d) 2 b + 3 = 13 e) 2 b . 2 ( b+3 ) = 26
ii) Hallar las medidas de la base y altura del rectángulo. Ejercicio Nº 12: Indique si el conjunto propuesto es solución del sistema de ecuaciones:
a) S⎩⎨⎧
=−=+
13392
yxyx { })2,5(=
b) S⎩⎨⎧
=+=−022235
yxyx { })6,8(=
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Ejercicio Nº 13: a) Indicar si los pares ordenados
i) ii) iii) )3,2( − )5,8( )3,0( − son soluciones de las ecuaciones:
I) 03 =−− yx II) 0933 =++− yx
b) ¿Son las anteriores ecuaciones equivalentes? Ejercicio Nº 14: Los siguientes sistemas de ecuaciones de primer grado son equivalentes, indicar cómo se obtuvo el sistema II) a partir del sistema I)
I) II) ⎩⎨⎧
−=+=+−
42352
yxyx
⎩⎨⎧
−=−=−
1471024
xyx
Ejercicio Nº 15: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones de primer grado, utilizando el método de Gauss y planteando previamente la matriz correspondiente.
a) b) ⎩⎨⎧
=+=+
1332
yxyx
⎩⎨⎧
+==−
1415)(3ba
ba
c) d) ⎩⎨⎧
=−+=
21392
yxyx
⎩⎨⎧
+−=+=−
2)(32)1(3
yxyxyx
e) f) ⎩⎨⎧
−==−
xyyx
2301243
⎩⎨⎧
−−=+−−=−−+
)26()36()2(91)3(3)1(2
yxxyyx
g) h) ⎩⎨⎧
+==−+
1031yx
yx
⎩⎨⎧
=−=−
23452
yxyx
Ejercicio Nº 16: Indicar, en cada caso, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En aquellas verdaderas enunciar la/s propiedades de orden que la justifican, en las falsas indicar la/s propiedades que no se verifican.
a) )5)(4()2)(4(52 −<−−→<− b)
c)
535737 +>+→>
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
>⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
→<−
324
32242
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d) 131636 −−<−−→−<−
e) 35
37
57 >→>
Ejercicio Nº 17: Graficar en la recta real los siguientes intervalos:
a) [ d) ]3,1− ( )2,2− b) [ e) )6,1− ( ]8,∞− c) [ f) )∞+,0 ( ]2,3−
Ejercicio Nº 18: Resolver las siguientes inecuaciones y expresar el resultado, si es posible, en notación de intervalo:
a) b) 32 ≥−t 25 −<− p
c) 5433 −>+ zz d) 65
323
21
+−≤− xx
e) 01
22
<+x
f) 01
32
>+x
g) 023
2>
+p h) 0
124
<−f
i) 31
231
79
>−
>x j) 8532 ≤−≤ m
Ejercicio Nº 19: Escriba la inecuación que le permita plantear cada una de las siguientes situaciones: a) El mayor peso de la carga que transporta el camión A es de 3500 kg. b) La cantidad de ha sembradas con maní no alcanzó al triple de las que se sembraron con soja. c) La cuarta parte del número T supera o a lo sumo alcanza al doble del número R disminuido, este resultado, en 32 unidades. d) Para un experimento se separan unos ratones en los siguientes grupos, según el peso w, de la forma siguiente: hasta 20 gr (no incluidos), de 20 gr a 22 gr, de 22 gr a 24 gr y de 24 gr en adelante.
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D. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
¿Cómo resolver problemas?
La pregunta que nos planteamos es lo que pretendemos abordar en esta clase a fin de contar con mayores herramientas para encarar los temas de Matemática del Ciclo de Conocimientos Iniciales y en general de la carrera de Ingeniería Agronómica
La metodología para la "Resolución de Problemas" que se utiliza en matemática, no se limita tan solo al ámbito de ésta, sino que se puede aplicar a distintas asignaturas o áreas de estudio. En general los problemas son situaciones nuevas, de cualquier área, que requieren para su respuesta combinar conocimientos existentes con procedimientos nuevos, encontrar y desarrollar estrategias para poder llegar a la solución. En nuestra vida cotidiana permanentemente enfrentamos "problemas" y aparecerán continuamente en nuestro quehacer como Ingenieros Agrónomos.
Un problema matemático, al igual que un problema geométrico, es una situación en
la que se encuentran tres elementos: • Un contexto inicial, que plantea la situación misma. • Una situación final u objetivo a alcanzar con la solución del problema. • Restricciones, actividades, tipos de operaciones, etc., que constituyen la base teórica
matemática que ayuda a la resolución. La metodología sobre como resolver problemas más clásica y muy conocida es la que
presentó Polya G. (1945) en su libro “Cómo plantear y resolver problemas”. Propone cuatro etapas esenciales para la resolución de un problema, esta estrategia se constituyó en el punto de partida de la mayoría de los autores que abordan el tema, y la base de la mayoría de estudios e investigaciones posteriores.
Para resolver un problema se distinguen 4 etapas o pasos:
1. Comprender e interpretar el problema 2. Idear o elaborar un plan de resolución 3. Ejecutar el plan 4. Verificar los resultados
Etapa 1: Comprender e interpretar el problema
Esta primera etapa comprende:
Lectura comprensiva del problema, leyendo el enunciado despacio. Reconocer cuáles son los datos ¿qué conocemos?
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Establecer claramente el objetivo del problema, es decir a qué se quiere dar
solución ¿qué buscamos?. Encontrar la relación entre los datos y las incógnitas ¿son suficientes para
determinar la incógnita, o no lo son? Representar el problema de diferentes modos (dibujos, gráficos, esquemas,
etc). Etapa 2: Idear o elaborar un plan de resolución
Un camino posible es siempre tratar de hacer analogía con problemas afines ya resueltos. Para todos los problemas las estrategias a seguir son:
Recordar estructuras análogas. ¿Este problema es parecido a otros que conocemos? ¿Se puede plantear el problema de otra forma?
Simplificar la situación, descomponiendo el problema en partes, según la información.
Pensar si existen fórmulas o definiciones matemáticas conocidas que puedan ser de utilidad en la búsqueda de la solución.
¿He utilizado todos los datos en este plan? ¿Hay datos innecesarios? Etapa 3: Ejecutar el plan
El plan ideado proporciona una línea general sobre los pasos que vamos a seguir, es la hora de “aplicar los conceptos matemáticos”.
Si el problema necesita fórmulas matemáticas o geométricas para su formalización se plantearán éstas y se incorporarán en la misma los datos conocidos.
Si el problema presenta incógnitas se identificará una representación de la/s mismas y en esta etapa se “representan” mediante ecuaciones el esquema realizado, para una formalización matemática del problema.
Ejecutar el plan, implica realizar las operaciones que permitan encontrar la los resultados, efectivizando los cálculos correspondientes.
Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados, se debe volver al principio, reordenar las ideas y probar nuevamente.
Etapa 4: Verificación de los resultados
Esta es una de las estrategias que suele dejarse de lado. Una vez encontrada la solución, existe una tendencia generalizada de darse por satisfechos. Sin embargo, es la etapa más importante en la vida diaria, porque supone la confrontación con contexto del resultado obtenido por el problema que hemos realizado, y su contraste con la realidad que queríamos resolver.
La solución ¿parece lógicamente posible? (unidades, tamaño, características)
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Al comprobar la solución el error puede estar en el cálculo (lo que significa error operatorio) o bien en la selección de las operaciones (falta de comprensión del problema o mal planteo del plan)
¿Se puede hallar alguna otra solución?
Es importante tomar conciencia del proceso seguido para formular y resolver nuevos problemas. La simbolización de un problema es un aprendizaje constructivo, en el cual siempre se aprenden nuevas estrategias.
Otra propuesta para la resolución de problemas, también a partir de los planteamientos de Polya, es la que desarrolla Schoenfeld (1985). Su estrategia de resolución abarca las siguientes tres etapas:
1. Análisis 2. Exploración 3. Comprobación de la solución
Etapa 1: Análisis
Trazar un diagrama o esquema, si es posible. Examinar casos particulares Probar a simplificar el problema
Etapa 2: Exploración
Reconocer problemas equivalentes: sustituir las condiciones por otras equivalentes, recombinar los elementos del problema de modo diferente, replantear el problema.
Examinar problemas ligeramente modificados: descomponer el problema en casos y analizar caso por caso.
Examinar problemas ampliamente modificados: problemas análogos con menos variables, mantener fijas todas las variables menos una para determinar qué efectos tiene esa variable.
Etapa 3: Comprobación de la solución Verificar la solución obtenida siguiendo criterios específicos: utilización de
todos los datos pertinentes, uso de estimaciones o predicciones. Verificar la solución obtenida siguiendo criterios generales: examinar la
posibilidad de obtener la solución por otro método, reducir la solución a resultados conocidos.
Ejemplo 1: Resolvemos el siguiente problema, de acuerdo con las etapas que plantea Polya.
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Pérez y González tenían cada uno la misma cantidad de animales. Ambos productores enviaron para la venta, a un remate feria, durante dos semanas sus animales de la siguiente manera: Durante la primera semana Pérez envió al remate feria la tercera parte del total de animales, durante la segunda semana envió la mitad del total de sus animales y el resto lo conservó para engorde. En cambio, González envió durante la primera semana la cuarta parte de su ganado, y conservó para engorde el doble de los que conservó Pérez. Si conocemos que González conservó 156 animales para engorde, ¿cuántos animales envió González la segunda semana al remate feria?
1) COMPRENSIÓN E INTERPRETACIÓN DEL PROBLEMA ¿Cuáles son los datos que presenta el problema?
• Pérez y González tenían cada uno la misma cantidad de animales • Durante la primera semana Pérez envió al remate feria la tercera parte del total de
animales. • Durante la segunda semana Pérez envió la mitad de sus animales. • Conservó para engorde una cierta cantidad de animales. • González envió durante la primera semana la cuarta parte de su ganado. • No se sabe cuántos animales vendió González la segunda semana. • González conserva, para engorde, el doble de animales de los que conservó Pérez. • González conservó 156 animales para engorde.
¿Que pide el problema? ¿Cuál es la incógnita? • ¿Cuántos animales envió González la segunda semana a la feria?
x = número de animales envió González la segunda semana al remate feria ¿Se puede establecer alguna relación entre datos que ayuden a la resolución del problema?
• Pérez conserva para engorde 78 animales, que representa la mitad de los que conservó González.
Representación esquemática de la relación entre los datos e incógnita de problema. Tabla
Productor/Decisión Envío 1° semana Envío 2° semana Engorde
Pérez 1/3 del total 1/2 del total La mitad que González
González 1/4 del total incógnita 156
O bien se puede representar:
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Gráficamente 1° semana 2° semana Engorde
1° semana 2° semana Engorde
Pérez
González ¿ x ? 156 1/4
1/3 1/2 1/2 de G
¿Qué otro esquema o gráfico puede utilizarse para representar el problema, diferente a la presentada? 2) ELABORACIÓN DE UN PLAN DE RESOLUCIÓN IMPORTANTE: En general existe más de un camino de resolución, aquí presentamos uno a modo de ejemplo:
Podemos simplificar la situación planteada, descomponiendo el problema en partes, según la información.
• Como conocemos que Pérez conservó la mitad de los animales que guardó para engorde González, podríamos averiguar cuántos animales conservó el primero.
• Sabiendo la fracción de animales que vendió Pérez en las dos semanas podemos calcular la fracción de animales que conservó, la cual deberá ser igual al número obtenido en el paso anterior.
• A partir del dato de que el número total de animales de ambos productores es igual podemos obtener los que vende González la primer semana.
• Como conocemos el total de animales que tenía González, de los resultados anteriores encuentro el valor de la incógnita.
3) EJECUCIÓN DEL PLAN De acuerdo a nuestra propuesta planteada Pérez conservó la mitad de los animales que guardó para engorde González, y como éste conservó 156 animales para engorde (dato) entonces:
Pérez conservó para engorde 78 animales.
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Entonces el total de animales que tenía Pérez lo podemos encontrar resolviendo la ecuación.
a
aaa =++ 7821
31
7861
−=− a → a = 468
Luego González tenía entonces 468 animales, por lo cual si planteamos la ecuación:
46815646841
=++ x → x = 195 animales
Respuesta: González envió durante la segunda semana a la feria 195 animales. 4) VERIFICACIÓN Y REVISIÓN Verificar los pasos de la resolución
• ¿Planteamos bien las ecuaciones? • ¿Sumamos correctamente las fracciones?
Verificar el resultado en todas las afirmaciones del problema
Pérez: 468782341567846821468
31
=++=++
González: 46815619511715619546841
=++=++
¿Qué otra estrategia puede utilizarse para resolver el problema, diferente a la presentada? Ejemplo 2: Resolvemos el siguiente problema, de acuerdo con las etapas que plantea Schoenfeld.
Al examen de Introducción a la Matemática en la Comisión 12 asistieron 75 alumnos y aprobaron el mismo el 60% de los presentados. ¿Qué número de alumnos resultaron desaprobados?
1) ANÁLISIS Trazar un diagrama o esquema:
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60% Apr. x Des.
75 alumnos
2) EXPLORACIÓN El enunciado del problema expresa que hay que determinar el número de alumnos
reprobados. Como sabemos que los aprobados y los reprobados representan la totalidad del curso, podemos resolver el problema estableciendo dos subproblemas. Subproblema 1. Transformar el 60% de aprobados en número de alumnos.
75 al. -------- 100% x -------- 60%
x = =%100
%60.75 al45 al.
Respuesta: 45 alumnos aprobaron, los cuales representan el 60% del total de la Comisión 12. Subproblema 2. Transformar el 40% de reprobados en número de alumnos. Este subproblema, que se puede resolver de dos formas, da la solución del problema inicial planteado.
a) En forma inmediata, encontrando la diferencia entre el número total de alumnos del curso y el número de alumnos aprobados. Esto es:
75 - 45 = 30 alumnos desaprobados
b) Calculando el número de alumnos que representa el 40% de desaprobados sobre
el total, ya que éste porcentaje es el complemento del 60% de alumnos aprobados.
75 al. -------- 100% x -------- 40%
x = =%100
%40.75al30 al.
Respuesta: 30 alumnos desaprobaron, los cuales representan el 40% del total de la Comisión.
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30
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3. COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN Sumando los alumnos aprobados y reprobados debemos obtener el total de alumnos del curso. En efecto:
30 alumnos reprobados + 45 alumnos aprobados = 75 alumnos en la Comisión 12. Ejemplo 3: Resolvemos el siguiente problema:
¿Cuántos litros de solución ácida al 35 % y cuántos de solución ácida al 14 % deberán combinar un químico para obtener 50 litros de solución ácida al 22 %?
Se llama soluciones a las mezclas homogéneas de sustancias simples o compuestas. Una solución ácida al x % es aquella en la cual cada 100 ml de solución hay x ml de soluto (ácido). 1) COMPRENSIÓN E INTERPRETACIÓN DEL PROBLEMA ¿Cuáles son los datos que presenta el problema?
• Hay dos soluciones • Hay una cantidad de litros de una solución A que es ácida al 35%. • Hay una cantidad de litros de otra solución B que es ácida al 14%. • Se quiere obtener 50 litros de una nueva solución • Esta nueva solución debe ser ácida al 22%.
¿Que pide el problema? ¿Cuál es la incógnita? • ¿Cuántos litros de la solución A y cuántos de la solución B se deben combinar para
obtener los 50 litros de solución ácida al 22%?
Representación esquemática de la relación entre los datos e incógnita del problema.
Gráficamente:
Solución A Solución B Solución Final
50 l
Ácido Ácido Ácido
35% 14%22%
x y
+ =
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Donde x = cantidad de litros a utilizar de la solución A para formar la solución final y = cantidad de litros a utilizar de la solución B para formar la solución final ¿Qué otro esquema o gráfico puede realizarse para representar el problema? 2) ELABORACIÓN DE UN PLAN DE RESOLUCIÓN
• Podemos saber la cantidad, en litros, de ácido que debe contener la solución final, el 22% de los 50 litros que se quiere obtener.
• La suma de las cantidades que coloquemos de cada una de las soluciones debe dar 50 litros.
• La solución A aporta el 35% de ácido, y la solución B aporta el 14% de ácido. • La cantidad de ácido aportadas por las soluciones A y B debe completar el 22 % de
ácido en la solución final. 3) EJECUCIÓN DEL PLAN
La solución final que se quiere obtener debe ser ácida al 22%, luego en los 50 litros, la cantidad de ácido será de:
ll 1150.10022
=
Con x se representa la cantidad de litros a utilizar de la solución A para formar la solución final, con y la cantidad de litros a utilizar de la solución B. Entonces la primer ecuación será:
lyx 50=+
La cantidad de ácido aportado por las soluciones A y B debe completar los 11 litros de ácido en la solución final. Como de la solución A colocamos x litros, entonces el ácido que aporta será el 35% de dichos x litros y como de la solución B colocamos y litros entonces razonando análogamente, la segunda ecuación será:
lyx 11.10014.
10035
=+
De la primer ecuación podemos despejar la variable y ( xy −= 50 ); reemplazando ésta variable en la segunda ecuación, obtenemos:
lxlx 11)50(.10014.
10035
=−+ → 05,19=x litros
Respuesta: Se deben colocar 19,05 litros de la solución A y por lo tanto 30,95 litros de la solución B ( ). 95,3005,1950 =−=y
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4) VERIFICACIÓN Y REVISIÓN
• Cantidad de litros a formar: solución A + solución B = 19,05 litros + 30,95 litros = 50 litros
• Cantidad de ácido que conforma la solución final:
35% de solución A + 14% de solución B = =+ ll 95,30.1001405,19.
10035 11 litros
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Ejercicios y
Problemas de Aplicación
Ejercicio Nº 1: En un campo del cinturón verde, la mitad de las hectáreas están sembradas con papa, la cuarta parte con batata, la sexta parte con zanahoria y el resto con lechuga. Si el campo tiene 18 hectáreas de papa, ¿cuántas tiene de lechuga? Ejercicio Nº 2: El veterinario recetó para la cura de un animal doméstico un frasco de pastillas e indicó que el animal debe tomar todo el contenido del frasco en 4 días, de la siguiente manera: el primer día, la mitad del total; el segundo día, un tercio de lo que queda; el tercer día, un cuarto de lo que queda y el cuarto día 6 pastillas. ¿Cuántas pastillas contiene el frasco? Ejercicio Nº 3: La cosecha de 15 toneladas de granos se guardó en bolsas de 50 kg cada una. Los gorgojos atacaron la quinta parte de las bolsas, arruinándolas y un octavo de las restantes se humedecieron. Si se necesitan las dos quintas partes de lo que queda para sembrar ¿cuántos kilogramos quedan para el consumo de los animales? Ejercicio Nº 4: Una hormiga camina sobre un segmento verde. Partiendo de un extremo la primera vez llega hasta el final del segmento verde y regresa. En las veces siguientes camina la mitad del segmento recorrido la vez anterior y vuelve. La cuarta vez que llega al punto de partida, recorrió en total 15,75 m. ¿Cuál es la longitud de la línea verde? Ejercicio Nº 5: Una empresa cobra $1800 por un viaje desde la Facultad al Campo Escuela, para 150 alumnos. Si el número de alumnos es mayor que 150, cobra las tres cuartas partes del valor de cada pasaje. El pasado mes de diciembre hubo un único viaje al Campo Escuela de más de 150 alumnos y la empresa cobró, en total, $1800. ¿Cuántos alumnos hicieron el viaje? Ejercicio Nº 6: El largo de un lote rectangular es 30 m. mayor que el doble de su ancho. Si el perímetro es de 1200 m. ¿Cuáles son las dimensiones del lote? Ejercicio Nº 7: Obtener el área de una quinta de forma rectangular cuyo ancho es 10 m. menor que su largo, sabiendo que para cercar la misma con 3 vueltas de alambre fue necesario adquirir 300 m del material.
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Ejercicio Nº 8: El precio de la carne de cerdo aumentó el 10 % el último mes. Si ahora se vende a $ 40 el kilogramo ¿Cuál era el precio del kilogramo de cerdo antes del aumento? Ejercicio Nº 9: En un lote de animales, 1/15 de los mismos se vacunaron el día lunes, 2/9 del total de animales se vacunaron el día martes, 1/10 del total el miércoles y 5.445 animales no fueron vacunados.
a) ¿Cuál es el total de animales del lote? b) ¿Qué porcentaje de animales fue vacunado cada uno de los días?
Ejercicio Nº 10: Un grupo de productores compró una maquinaria agrícola y pagó el 40 % al contado en el momento de la entrega. El resto lo financió en cuatro cuotas, de modo tal que cada una era la mitad de la anterior. Calcular el precio de cada cuota, sabiendo que la maquinaria costó $ 130.000. Ejercicio Nº 11: Se debe cortar una viga de madera de 18 m de largo para apuntalar un galpón, en tres trozos de modo tal que el segundo sea la tercera parte del primero y el tercero 8 m menos que el doble del segundo.
a) ¿Cuál será la longitud de cada uno de los trozos de viga? b) ¿Qué porcentaje representa la longitud del primer trozo con respecto al
tercero? Ejercicio Nº 12: El precio de la bolsa de un alimento para mascotas aumentó del año pasado a este un 30 % ¿Cuánto cuesta la bolsa de dicho alimento, sabiendo que este año para comprar cinco bolsas se necesitaron $ 85 más que el año pasado para comprar seis bolsas? Ejercicio Nº 13: La cooperadora tiene un presupuesto fijo para cada mes. Gastan las dos quintas partes del ingreso en combustible para viajes, la sexta parte en insumos para elementos de docencia y 1/18 en pago de administración. El resto del dinero lo ahorran. El año pasado, en 12 meses, ahorraron $ 54.400 ¿Qué parte del ingreso mensual ahorra la cooperadora? ¿Cuál es, aproximadamente, su ingreso mensual? Ejercicio Nº 14: Un tanque cilíndrico tiene una altura de 3 m y un diámetro exterior de 10 m. Sus paredes están hechas de ladrillos que tienen un espesor de 20 cm. Para llenarlo se usan camiones cisternas que transportan 5000 litros de agua. ¿Cuántos camiones se deben utilizar para llenar el tanque? Ejercicio Nº 15: Un alumno va a comprar un pasaje con la libreta universitaria, obtiene así un descuento del 20 %; si olvidó su libreta y el pasaje aumenta en 20 % dentro de una hora y suponiendo que el precio del pasaje, sin aumento, es p ¿Qué le conviene: comprar el pasaje sin descuento en el momento o comprar después del aumento, pero ya trayendo su libreta que le permite obtener el 20 % de descuento?
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Ejercicio Nº 16: De la fiesta de ingreso de los estudiantes de Ciencias Agropecuarias se van 21 chicas y quedan 4 varones para cada mujer. Más tarde se van 110 chicos y quedan 3 mujeres para cada varón. ¿Cuántas chicas y chicos concurrieron a la bienvenida? Ejercicio Nº 17: ¿Cuántos litros de solución ácida al 35 % y cuántos de solución ácida al 14 % deberá combinar un químico para obtener 50 litros de solución ácida al 22 %? Ejercicio Nº 18: Calcular una fracción sabiendo que si aumentamos su numerador en 16 unidades la fracción aumenta en 2 unidades y si restamos al numerador 1 unidad la fracción resultante es equivalente a 1/2. Ejercicio Nº 19: Se compraron 1300 bolsas de trigo y sorgo en total. Si se hubieran comprado 50 bolsas más de trigo, el número de bolsas de trigo hubiera sido el doble del de las bolsas de sorgo. ¿Cuántas bolsas de trigo se compraron? ¿y cuántas de sorgo? Ejercicio Nº 20: Se necesita comprar alimentos para lechones con leche en polvo y harina de pescado. El contenido de proteínas de dichos productos es del 3% y del 18%, respectivamente. ¿Cuántos kilogramos de cada producto se debe mezclar para obtener 500 kg de alimento que contenga 15 % de proteínas? Ejercicio Nº 21: Se compraron 130 latas con herbicida, algunas contienen herbicidas de tipo A y otras de tipo B. Si se hubieran comprado 5 latas más de los herbicidas de tipo A, el número de dichas latas hubiese sido el doble de las que contienen el herbicida tipo B. ¿Cuántas latas se compraron de cada tipo de herbicida? Ejercicio Nº 22: En el tercer mes del año, la factura del teléfono fue un 40% mayor que la del segundo mes. En el segundo mes, la factura del teléfono fue un 10% menor que la del primer mes. La factura del tercer mes fue de $75,60. ¿De cuánto fue la factura del primer mes del año? Ejercicio Nº 23: En una agroveterinaria, por pago al contado, hacen un 8% de descuento sobre el precio de lista. El 6 de agosto, día del Ingeniero Agrónomo, hacen sobre precios de contado mayores que $300, un descuento del 5%. El 6 de agosto, la facultad compró y pagó al contado, una bolsa de semillas y un herbicida. El precio del herbicida era de $160. Si pagó, en total, $2.017,56, ¿cuál es el precio de lista de la bolsa de semillas? Ejercicio Nº 24: Gracias a la revolución tecnológica un agricultor pudo aumentar su cosecha de trigo en un 40 %. Basándose en esta nueva cifra, la siguiente cosecha fue un 15 % menor. ¿Sería el resultado igual si hubiera perdido primero un 15 % y después aumentado su producción en un 40 %? Ejercicio Nº 25: La campaña agrícola 2006/2007 fue una de las mejores de la historia del país, superando los 84,5 millones de toneladas obtenidos en la campaña 2005/2006. El
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Instituto Nacional de Tecnología Agropecuaria (INTA) informó que la 2006/2007 fue un 0,59% superior a la de la campaña anterior. Dentro de esta campaña la producción de la provincia de Córdoba fue de 22,61 millones de toneladas donde la distribución de los cultivos más representativos se produjo de la siguiente manera
Campaña 2006/2007 Cba. en millones de toneladas
trigo; 2.1
maíz; 7.6soja; 11.8
Mientras que para todo el país, la campaña 2006/2007 arrojó los siguientes valores para los mismos cultivos
Cultivo Millones de Tn. trigo 13,8 maíz 21,4 soja 45
Ejercicio Nº 26: Observando los datos informados más arriba responder las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos millones de toneladas se cosecharon en la campaña 2006/2007 a nivel país? b) ¿Qué porcentaje del total nacional representa lo cosechado en la provincia de Córdoba para los cultivos más representativos? c) ¿En qué cultivo la producción de Córdoba tuvo mayor incidencia a nivel nacional? Ejercicio Nº 27: Dos amigos invierten 20.000$ cada uno. Cada uno de ellos divide dicha cifra en tres partes, que llamamos A, B y C. El primero coloca la cantidad A al 4% de interés anual, la cantidad B al 5% de interés anual y el resto al 6% de interés anual. El otro invierte la misma cantidad A al 5% de interés anual, la B al 6% de interés anual y el resto al 4% de interés anual. Determina cuál era el valor de las cantidades A, B y C sabiendo que el primer amigo obtuvo al finalizar el año un interés de 1.050$ y el segundo en cambio sólo de 950$. Ejercicio Nº 28: Se tienen dos balanzas equilibradas: En la primera balanza, un platillo contiene una pesa de 15 gr y una bolsa de arandelas, mientras que en el otro se encuentra una bolsa de tornillos. En la segunda balanza un platillo contiene una pesa de 205 gr y en el otro
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Bocco-Sayago Elementos de Matemática
se encuentran dos bolsas de tornillos y tres bolsas de arandelas. ¿Cuál es el peso de cada bolsa de tornillos y de cada bolsa de arandelas? Ejercicio Nº 29: En un establecimiento ganadero hay cerdos, toros y caballos, sumando en total 64 animales. Sabiendo que el número de toros representa las 1/5 partes del número de cerdos y el de caballos es el doble del número de toros. ¿Cuántos animales de cada clase hay en el establecimiento? Ejercicio Nº 30: La suma de los nuevos terneros de cuatro establecimientos ganaderos es igual a 80. ¿Cuántos terneros tiene cada establecimiento, sabiendo que el establecimiento “Las Marías” tiene 6 veces los que posee el establecimiento “Las Rejas”; “El Escondido” la novena parte de los que posee “Las Marías”; y por último “El Cajón” la cantidad que tienen el establecimiento “Las Marías” menos la diferencia entre los terneros que nacieron en “Las Rejas” y “El Escondido”? Ejercicio Nº 31: Se planea distribuir 178 semillas en tres parcelas de ensayo. ¿Cuántas deben sembrarse en cada parcela, sabiendo que el cociente entre la capacidad de la primera y de la segunda es de 2/5 y el cociente entre la capacidad de la segunda y de la tercera es de 7/8? Ejercicio Nº 32: El área de una corona circular es de 102 π cm2 y los radios de los círculos concéntricos que forman la corona están en razón 3/2. Calcular la longitud de los radios de cada círculo y las áreas de los mismos. Ejercicio Nº 33: ¿Cuáles son los números naturales pares tales que su triple, aumentado en 3, es menor que 54? Ejercicio Nº 34: Tres productores siembran sus campos de la siguiente forma: el tercer productor siembra 70 ha, el primero siembra 50 ha más que el segundo y se conoce que la suma de las ha sembradas por los dos primeros, no alcanza la cantidad de ha sembradas por el tercer productor. Sabiendo que el resultado es un múltiplo de 9. ¿Cuántas ha siembra el segundo productor? Ejercicio Nº 35: Se tienen entre 197 y 205 raciones de alimentos para repartir entre tres animales: el primero recibe 15 raciones más que el segundo y el tercero recibe el doble de lo que recibe el primero. ¿Cuántas raciones de alimento recibe el segundo animal?
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