unidad n°2: lÍmite y continuidad. derivada. diferencial …

UNIDAD N°2: LÍMITE Y CONTINUIDAD.

DERIVADA. DIFERENCIAL Y APLICACIONES DE LA DERIVADA

Nota importante: Este documento es una guía de estudio para indicar los contenidos de la unidad. Por lo tanto el alumno deberá completar dichos contenidos con las clases de los profesores y la bibliografía recomendada.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE LA UNIDAD.

Al finalizar la unidad se espera que el alumno logre:

a) Interpretar el concepto de integral indefinida

b) Interpretar el concepto de límite de una función.

c) Resolver ejercicios sencillos de indeterminaciones.

d) Comprender el concepto de continuidad y ejercitar con funciones continuas.

e) Interpretar el concepto de derivada para representarlo geométricamente.

f) Calcular derivadas sencillas de funciones reales de una variable, aplicando las reglas de derivación.

g) Analizar la variación de las funciones, por la derivada primera y por la derivada segunda.

h) Resolver problemas de optimizacion aplicando derivadas.

i) Obtener las ecuaciones de rectas tangentes y normal.

CONTENIDOS

2.1 Limite de una función. Interpretación gráfica. Limites laterales.

2.2 Función que tiende a infinito. Limites para “x” tendiendo a infinito. Funciones acotadas. Limites Indeterminados.Ejercitación.

2.3 Infinitésimos: Definición. Ejemplos.

2.4 Definición de continuidad. Propiedades de las funciones continuas. Concepto. Ejemplos. Definición de discontinuidad. Tipos: evitable y no evitables. Ejemplos.

2.5 Cociente incremental. Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica. Derivadas laterales. Funciones derivables. Derivabilidad y continuidad. Conceptos. Ejemplo. Nociones de diferencial e interpretación geométrica

2.6 Derivada por definición: de una constante, del producto de una constante por una función y de una suma algebraica.

2.7 Derivada de la función logarítmica. Derivada de una función compuesta. Derivada logarítmica (ln y). Ejemplos.

2.8 Derivadas de las funciones circulares. Derivadas Sucesivas. Ejemplos.

2.9 Ecuaciones de la recta tangente y normal a la curva en un punto. Ejemplos.

2.10 Crecimiento y decrecimiento de una función. Concepto. Ejemplos. Condición necesaria para la existencia de un extremo. Condición suficiente. Análisis de máximos y mínimos mediante la derivada primera y la derivada segunda. Concepto. Aplicaciones. Concavidad. Convexidad. Puntos de Inflexión. Conceptos. Ejemplos.

2.11 Resolucion de problemas de optimización aplicando concepto de derivada.

UNIDAD 2: LÍMITE Y CONTINUIDAD. DERIVADA. DIFERENCIAL Y APLICACIONES DE LA DERIVADA

MATEMÁTICA 2020

CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO

1

CRITERIOS DE EVALUACION

Criterios de Evaluación Cualitativos

Siempre Casi

Siempre A veces

Casi nunca

Nunca

Excelente Muy

Bueno Bueno Regular

Insufi-ciente

Asiste a clase.

Es puntual y respeta el horario de cursado

Participa en clases.

Cumple con las tareas establecidas para cada Unidad

Es buena su actitud y comportamiento con los docentes y/o compañeros.

Asistencia a las clases de consulta.

Presenta en tiempo y forma los TP y ejercitaciones propuestas.

Criterios de Evaluación

Cuantitativos

Siempre Casi

Siempre A veces

Casi nunca

Nunca

10 9-8 7-6 5-4 3-0

Interpreta y define el concepto de limite

Resuelve ejercicios de limite en forma gráfica y analítica

Identifica funciones continuas y discontinuas. Resuelve de manera correcta los ejercicios aplicando los conceptos estudiados

Define derivada, diferencial e interpreta geométricamente.

Resuelve ejercicios de derivada en forma correcta

Resuelve ejercicios de diferencial en forma correcta

Resuelve de manera correcta ejercicios aplicando el método de la derivada primera o segunda

Es prolija, clara y ordenada la resolución de los ejercicios.

Plantean, modelan y resuelven problemas del cálculo diferencial aplicados en situaciones reales a la disciplina.

Define con propiedad y emplea un vocabulario apropiado en las definiciones teóricas.


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2

El Cálculo, básicamente está fundamentado en los límites, por tanto este tema es trascendental para nuestro estudio. Estudiaremos que los dos conceptos principales del Cálculo: la Derivada y la Integral Definida, están basados en límites.

2.1 LIMITE DE UNA FUNCIÓN. INTERPRETACIÓN GRÁFICA. LIMITES LATERALES.

NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Habíamos visto que el dominio de una función racional, xQ

xP (cociente entre dos polinomios), es

el conjunto de valores que no son raíces del denominador. Pero puede suceder que el dominio de tal función, se pueda extender de manera natural a algunos puntos que son raíces del denominador.

Por ejemplo consideremos la función:

(1) 1

12

x

xxf , cuya gráfica es:

Figura 1

Esta función no está definida para x = 1, ya que haciendo la correspondiente sustitución en la

fórmula, obtenemos la expresión sin sentido: 0

0

Pero observemos que también se puede escribir así:

(2) )1(

)1)(1(

x

xxxf

Figura 2

Simplificando el factor (x-1) resulta: )1( xxf

Ahora, esta función sí está definida en x =1, donde toma el valor 2, como puede apreciarse en la fig. 2:

Cuando trabajemos con funciones racionales, supondremos que todo factor lineal que aparezca simultáneamente en numerador y denominador, ha sido simplificado, y el dominio de la función ampliado de acuerdo con estas simplificaciones.

11

11

1

11

1

12

x

x

xx

x

xx

x

x


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3

x tiende a 1 por izquierda x tiende a 1 por derecha

Cualquiera que fuera el valor que sustituimos en lugar de x, la primera y segunda fracción vale igual o bien, están ambas sin definir. En cambio para el tercer miembro se ha simplificado el factor (x-1), válido solamente si éste es distinto de cero, es decir si x no es 1. Tenemos algún derecho para afirmar que:

11

12

x

x

x

Para valores de x diferentes de 1, sí resultan ser la misma función. Pero para x = 1, no. Todo lo que podemos decir es que queremos modificar la definición de la primera función, para que tome el valor 2 en el punto 1, donde antes no estaba definida.

Esta manera de extender la función es natural, mientras que cualquier otra forma de definir el valor de la función en 1 no es natural, ya que si consideramos que el valor de x es distinto de 1, pero muy próximo, los tres miembros son iguales; además se puede precisar rigurosamente que cuanto más próximo tomemos x de 1, el valor común de las tres funciones se acerca más a dos. En efecto, éstas tomarán valores tan próximos a dos como se desee, con tal de tomar números x distintos de 1, pero suficientemente cercanos.

Analizaremos la siguiente tabla de valores:

x 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 1,25 1,5

f 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 ? 2,001 2,01 2,1 2,25 2,5

f(x) tiende a 2 f(x) tiende a 2

Vemos entonces que nuestra manera de extender la definición de f(x) a x=1 es natural, en el sentido que: cuando la variable independiente x “tiende a 1”, el valor de f(x) “tiende a dos”.

Abreviando esta idea escribimos:

2lim1

xfx

→que se lee: límite de f(x) para x tendiendo a 1 es 2

Otra forma de verlo es así: Si realizamos el gráfico de la función (1) obtenemos la curva dibujada en la Figura 1, que se interrumpe en el punto x = 1.

Si hacemos el gráfico de la función (2), obtenemos la Figura 2, que coincide con la gráfica anterior, salvo para el valor x=1, punto (1;2), en el que no presenta interrupción.

Si definiéramos que el valor de f(1) fuese cualquier otro distinto de 2, el gráfico de f(x) se interrumpiría en el punto x = 1.

Nota: Adviértase que el concepto que estamos desarrollando tiene sentido aplicarlo en aquellos puntos donde la gráfica de la función se interrumpe, motivo por el cual el límite se considera en un entorno reducido del punto en estudio.

LIMITE DE UNA FUNCION f(x) cuando x x0

Una función f(x) tiene límite L en un punto x0 , si f(x) se aproxima a tomar el valor L cada vez que

su variable independiente x se aproxima a tomar el valor x0 . Lo que se denota como:

lim𝑋→𝑋0

𝑓(𝑥) = 𝐿→ se lee→ límite de f(x)cuando x tiende a x0

x


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4

Para llegar a una definición formal del concepto de límite se tomara el ejemplo en el que, dada la

función 𝑓(𝑥) =3𝑥2−3

𝑥−1 , con dominio D = {x / x ∈ R ∧ x ≠ 1}, se obtuvo que lim

𝑋→1𝑓(𝑥) = 6

Para profundizar el significado de la expresión f(x) tiende a 6 cuando x tiende a 1, se estudiará el comportamiento de las distancias entre x y 1 y entre f(x) y 6.

Observando las tablas surge que cuando la función f(x) difiere de 6 en ±0,3, x difiere de 1 en ±0,1, y cuando la función difiere de 6 en ±0,003, x difiere de 1 en ±0,001. Esto puede expresarse de otro modo diciendo que los valores de f pueden hacerse tan próximos a 6 como se quiera, tomando x suficientemente próximo a 1. Más precisamente, puede hacerse el valor absoluto de la diferencia − 6)x(f tan pequeño como se quiera, tomando suficientemente pequeño el valor absoluto de la diferencia, − 1x .

Resulta útil visualizar gráficamente esta situación. Para ello, se debe tener en cuenta que, si x ≠ 1, x

− 1 ≠ 0 ⇒ 𝑓(𝑥) =3𝑥2−3

𝑥−1=

3(𝑥−1)(𝑥+1)

𝑥−1 = 3𝑥 + 3

De esta manera, la gráfica de la función 𝑓(𝑥) =3𝑥2−3

𝑥−1 es la recta y = 3x + 3 excluido el punto

(1, 4) pues la función no está definida para x = 1.

Observamos que :

6 – 0,45 < f(x) < 6 + 0,45

cuando→ 1 – 0,15 < x < 1 + 0,15 →siendo x ≠ 1.

La parte de la gráfica encerrada entre las rectas verticales x = 0,85 y x = 1,15 también queda encerrada entre las rectas horizontales y = 5,55 e y= 6,45 .

El procedimiento realizado podría repetirse fijando otros valores para |𝑓(𝑥) − 6|.

A esos valores (positivos) se los llama, en forma genérica, ε (épsilon) y para cada uno de ellos se obtiene un valor δ (delta) también positivo, tal que:

6 – ε < f(x) < 6 + ε siempre que → 1 – δ < x < 1 + δ →siendo x ≠ 1.


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Utilizando notación de distancia: |𝒇(𝒙) − 𝟔| < ε siempre que|𝐱 − 𝟏| < 𝛅 y x ≠ 1 o en forma equivalente: f(x) ∈ (6 − ε, 6 + ε) siempre que x ∈ (1 − δ, 1 + δ), x ≠ 1

El significado geométrico de la expresión lim𝑋→1

𝑓(𝑥) = 6 analizada puede interpretarse de la

siguiente manera:

Dado el par de rectas horizontales y = 6 − ε e y = 6 + ε, siendo ε > 0,

Existe un par de rectas verticales x = 1 − δ y x = 1 + δ, siendo δ > 0, tal que la parte de la gráfica de f que está encerrada entre las rectas verticales también queda encerrada entre las rectas horizontales.

DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE

Examinaremos el caso de la variación de una función cuando la variable x tiende a un valor x0

determinado.

Dada una función y = f(x) definida en determinado entorno del punto x0, esta tiende al límite L

(𝑓(𝑥) → 𝐿) cuando x tiende a x0 (𝑥 → 𝑥0 ), si se verifica que:

Notación simbólica es:

lim𝑋→𝑋0

𝑓(𝑥) = 𝐿 ↔ 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 휀 > 0, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝛿(휀) > 0, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑖 |𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀

Interpretación de la notación simbólica:

La función y = f(x) tiende al límite L (f L), cuando x tiende a x0 (x x0), si para todo número

positivo , por pequeño que sea ( en el eje de las y), es posible hallar un número positivo ( )(en

el eje de las x) en función del elegido, tal que para todos los valores de x, diferentes de x0 , y que

satisfagan la desigualdad : que es un entorno reducido de centro x0 y radio ( )0x('

E ; se verifique

la desigualdad < que es un entorno no reducido de centro L y radio ( )L(E ) ; donde:

2

1min

Nota: En general, el valor de δ que verifica la condición de la definición depende del valor de ε elegido previamente. Esto significa que, para cada ε que se elige, existe un δ que le corresponde.

x

f x L( )


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6

INTERPRETACIÓN GRÁFICA.

Dibujemos dos rectas horizontales cuyo valor sea:

y = L -

y = L +

La definición enunciada afirma que por cercanas que estén estas rectas entre sí, es posible determinar una franja vertical

limitada por las rectas x = x0 - y x = x0 + , tal que todo punto de la gráfica y = f(x) que esté contenido en esta franja, excepto tal vez [x0,f(x0)] estará también contenido en la franja limitada por las dos rectas horizontales.

Como x x0 , puedo acercarme a x0 por izquierda o por derecha, ya que la función puede en x0 no tener ningún valor

Esto quiere decir que sea x0 en un intervalo abierto, y sea f(x) una función definida en todo punto del intervalo, excepto posiblemente en x0,y L un número real. Entonces f(x) puede acercarse a L si x se elige suficientemente cercano a x0 (pero x distinto de x0).


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LIMITES LATERALES

Para que el límite L de una función exista cuando xx0, debe cumplirse que los limites

laterales por izquierda y por derecha, existan y sean iguales.

Una función f(x) puede tener límite cuando x tiende a 𝑥0, tomando valores solo superiores a él. En este caso, se dice que la función tiene límite a la derecha

lim𝑥→𝑥0

+𝑓(𝑥) = 𝐿1

Una función f(x) puede tener límite cuando x tiende a 𝑥0, tomando valores solo inferiores a él. En este caso, se dice que la función tiene límite a la izquierda

lim𝑥→𝑥0

−𝑓(𝑥) = 𝐿2

Cuando los límites laterales coinciden, se dice que existe el límite, ya que es único, sino el límite no existe.

Si L1 = L2 L existe para x = x0

Si L1 L2 L No existe para x = x0

LIMITES LATERALES

L1 L2 L No existe para x = x0

X0

f(x)

f(x)

L 1

L 2

y

x

LÍMITE POR DERECHA

X0

f(x)

L 1

y

x

LÍMITE POR IZQUIERDA

X0

f(x)

L 2

y

x

Ejemplo gráfico: Calcular los límites de la siguiente gráfica en los puntos x0 = -1; x0 = 3 ; x0 = 0

f(x)

y

-1 0 1 2 3 4


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En x=-1

L1 = 0xflím1x

L2 = existeNoxflím11x

Por lo tanto:

existeNoxflím1x

En x=0

1xflímL0x

1

1xflímL0x

2

Por lo tanto:

1xflím0x

ya que L1 = L2

En x=3

0xflímL3x

1

xflímL3x

2

Por lo tanto:

existeNoxflím3x

2.2 LIMITE INFINITO DE UNA FUNCION CUANDO X TIENDE A x0

)(lim0

xfxx

→ El Límite de una función cuando x tiende a x0 es infinito

Daremos la definición formal de límite infinito para una función f(x) cuando x x0,

La función f(x) tiende a + , o sea es infinitamente grande cuando x x0 , si para cualquier número

positivo M perteneciente a los reales, por grande que sea, se puede encontrar un valor

dependiente del M elegido), tal que para todos los valores de xx0 que cumpla : x-x0 , se

verifica que la función en valor absoluto es más grande que M, es decir: f(x) M .

En símbolos:

Analizaremos la gráfica de la función f(x)=1/x2, esta función no está definida en x = 0

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒙𝟎

𝒇(𝒙) = para todo M>0, existe (M)>o tal que x - x0 entonces |𝑓(𝑥)|


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De la figura se ve que cuando x se acerca a 0 por derecha o por izquierda, f(x) crece sin tope. Es decir que si se elige un x suficientemente próximo a 0 hacemos que f(x) crezca tomando valores muy grandes.

11

lim)(lim2

00 xxf

xxx

Ejemplo 𝑓(𝑥) = 1

𝑥 cuando x tiende a 0

La asíntota es vertical

Diremos que el límite de una función en el punto x = x0 es + ∞ ,

xfxox

lim , cuando los valores

de la variable independiente se acercan al valor x = x0, entonces los correspondientes valores de f(x) se hacen cada vez más grandes.


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10

Ejemplo: 2

1

xxf

0x -0.1 -0.01 -0.001 0.001 0.01 0.1

?xf 100 10000 1000000 1000000 10000 100

Por lo tanto: 20

1lim

xx

De forma análoga se define

xfxox

lim cuando los valores de la variable independiente se

acercan al valor x = x0 entonces los valores correspondientes de f(x) se hacen cada vez más grandes en valor absoluto pero negativos.

Ejemplo Analítico: Calcular el siguiente límite

Para calcular este tipo de límites es necesario tener en cuenta que L es un valor que tiene signo y número; por lo que para obtenerlos, sacamos el número con el valor de x0 remplazando en f(x) y el signo se obtiene de reemplazar en f(x) un valor a la derecha o a la izquierda, según sea L1 o L2 respectivamente.

Para obtener el número resultante reemplazo x =1 en f(x) =x1

1

0

1

11

1límflím

1x)x(

1x

Para obtener los signos:

Tomamos un valor a la derecha de x = 1 ; por ejemplo 1,00...1 y reemplazamos en el límite :

1...0.0

1

1..00,11

1límflím

1x)x(

1x

Tomamos un valor a la izquierda de x = 1 ; por ejemplo 0,99...9 y reemplazamos en el límite :

1...00,0

1

9..99,01

1límflím

1x)x(

1x

Así tenemos que:

L1 =

)x(

1x

flím

L2 =

)x(

1x

flím Por lo tanto, como L1 L2 L No existe para x0 = 1

LÍMITE FINITO DE UNA FUNCIÓN CUANDO X TIENDE A ∞

𝐥𝐢𝐦𝒙→∞

𝒇(𝒙) = L para todo ε>0, existe N (ε)>0, tal que para todo x >N entonces |𝑓(𝑥) − 𝐿| <ε

xlímLx

1

1

1


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11

Interpretación: La función tiende al límite L cuando x ,si para todo nº positivo (por pequeño

que sea) se puede encontrar un nº positivo N (dependiente del elegido), tal que para todos los

valores de x N, se cumple la siguiente desigualdad : f (x) - L

Ejemplo 𝑓(𝑥) = 1

𝑥 cuando x tiende a ∞

Diremos que el límite de la función f(x) cuando x tiende a +infinito es L, Lxfx

lim , si cuando

los valores de la variable independiente x se están haciendo cada vez mayores entonces los correspondientes valores de f(x) se acercan al valor L. De manera análoga se definen:

Lxfx

lim

lim𝑥→∞

f (𝑥) = 𝐿

La función tiende a L cuando los valores de x decrecen indefinidamente

lim𝑥→∞

f (𝑥) = 𝐿

La función tiende a L cuando los valores de x crecen indefinidamente.


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12

Ejemplo x

xxf

1

x 1 10 100 1000 10000 100000

?xf 2 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001

1lim

xfx

De igual forma cuando x tiende a menos infinito la función tendrá un comportamiento similar.

Grafique la función para visualizar el comportamiento.-

LÍMITE INFINITO DE UNA FUNCIÓN CUANDO X TIENDE A ∞

x

lim (𝑥) = ∞ ↔ 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑀 > 0, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 (𝑀) > 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 > 𝑁 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 |𝑓(𝑥)| > M

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = ∞

Indica que la función decrece indefinidamente cuando la variable crece indefinidamente

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = ∞

Indica que la función crece indefinidamente cuando la variable decrece indefinidamente

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = ∞

Indica que la función decrece indefinidamente cuando la variable decrece indefinidamente

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = ∞

Indica que la función crece indefinidamente cuando la variable crece indefinidamente

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

-El límite de una constante (C) es igual a la constante(C)

lim𝑥→𝑎

𝐶 = 𝐶

Ejemplo: lim𝑥→3

2 = 2


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13

El límite de una constante (C) por una función es igual a la constante(C) por el límite de la función

lim𝑥→𝑎

𝐶. 𝑓(𝑥) = 𝐶. lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

Ejemplo: lim𝑥→3

2𝑥 = 2. lim𝑥→3

𝑥

2. 3 = 2.3

El límite de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de los límites

lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

Ejemplo

lim𝑥→4

[𝑥2 + 𝑥 − 3] = lim𝑥→4

𝑥2 + lim𝑥→4

𝑥 − lim𝑥→4

3

lim𝑥→4

[𝑥2 + 𝑥 − 3] = 42 + 4 − 3 = 9

El límite de un producto de funciones es igual al producto de los límites

lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥). lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

Ejemplo

lim𝑥→

𝜋2

[𝑐𝑜𝑠(𝑥). 𝑠𝑒𝑛(𝑥)] = lim𝑥→

𝜋2

𝑐𝑜𝑠(𝑥). lim𝑥→

𝜋2

𝑠𝑒𝑛(𝑥)

= 𝑐𝑜𝑠 (𝜋

2) . 𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

2) = 0 . 1 = 0

El límite de un cociente funciones es igual al cociente de los límites siempre que el límite del denominador sea no nulo:

lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)] =

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) silim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) ≠ 0

Ejemplo

lim𝑥→𝜋

[𝑥

cos (𝑥)] =

lim𝑥→𝜋

𝑥

lim𝑥→𝜋

𝑐𝑜𝑠(𝑥)=

𝜋

−1= −𝜋

LÍMITES NOTABLES:

Ciertos límites particulares que se presentan frecuentemente se dan a continuación

Siendo la constante 𝑐 ≠ 0

lim𝑥→0

(𝑐

𝑥) = ∞

lim𝑥→∞

(𝑐𝑥) = ∞

lim𝑥→∞

( 𝑥

𝑐 ) = ∞

0lim x

c

x


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14

OPERACIONES CON INFINITOS E INFINITÉSIMOS.

En el cálculo directo de límites aparecen expresiones que tienden a infinito y otras que tienden a cero (infinitésimos). Al operar con ellas es posible que pueda obtenerse el resultado o que no pueda saberse de forma inmediata y haya que realizar cierto número de operaciones para ello (INDETERMINACIÓN).

Podemos resumirlo en el siguiente cuadro:

LIMITES INDETERMINADOS

Son 7 los casos de límites indeterminados que se presentan en la práctica:

Caso 1: -

Caso 2: 0 .

Caso 3: 0/0

Caso 4: /

Caso 5: 00

Caso 6: 0

Caso 7:

1

En estos casos se debe “salvar” la indeterminación. Estas indeterminaciones surgen al reemplazar los valores de la variable x en la función como por ejemplo:

L = lim (x2 – 1)/(x-1) = 0/0 ó L = lim (x2+1)/x = /

x 1 x

No pueden establecerse criterios generales para asegurar el resultado del límite en cada caso, pero ciertas reglas del álgebra como factoreo, simplificaciones, racionalización, factor común, pueden ser útiles para salvar la indeterminación.

INDETERMINACIÓN 𝟎

𝟎

Para salvar indeterminaciones de este tipo es posible reducir el cociente planteado a otro cuyo denominador no sea 0, factorizando el numerador y/o el denominador, cancelando luego los factores comunes.


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15

En otras ocasiones es posible crear un factor común multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada que se presenta en uno de ellos

Ejemplo: Resuelva el siguiente límite, aplicando reglas del algebra para salvar la indeterminación.

1

1lim

2

1

x

x

x

Como se vio en el párrafo precedente la indeterminación es del tipo 0

0. Aplicaremos algunas reglas

que nos permitan salvar la indeterminación.

Se puede factorizar el denominador como una diferencia de cuadrados )1)(1(12 xxx

1

)1)(1(lim

1

1lim

1

2

1

x

xx

x

x

xx= )1(lim

1

x

x= 2

INDETERMINACIÓN ∞

∞

Se analizará el límite en el infinito de funciones racionales, es decir, del cociente de dos funciones polinomiales en el que la variable crece o decrece indefinidamente.

Aplicaremos algunas reglas que nos permitan salvar la indeterminación. Se puede dividir cada uno de los términos por un monomio Mónico cuyo grado sea igual al del mayor grado entre las razones, en este caso.

Veremos tres casos distintos de resolver este tipo de indeterminaciones:

Caso 1: Cuando el grado del polinomio en el numerador y denominador son del mismo grado. Su resultado da siempre un número finito.

lim𝑥→∞

𝑥2−3𝑥+3

2𝑥2−3 =

∞

∞

lim𝑥→∞

(𝑥2

𝑥2−3𝑥

𝑥2+3

𝑥2)

(2𝑥2

𝑥2 −3

𝑥2)

lim𝑥→∞

(1−3𝑥

+3

𝑥2)

(2−3

𝑥2)

lim𝑥→∞

(1−3∞

+3

∞2)

(2−3

∞2)

lim𝑥→∞

(1−0+0)(2−0)

= 1

2

Caso 2: Cuando el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del

denominador. Su resultado da siempre ∞

lim𝑥→∞

𝑥3+3

𝑥2+2 =

∞

∞

lim𝑥→∞

(𝑥3

𝑥3+3

𝑥3)

(𝑥2

𝑥3+2

𝑥3)

→ simplificamos


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16

lim𝑥→∞

(1+3

𝑥3)

(1𝑥

+2

𝑥3)

lim𝑥→∞

(1+3∞

+3

∞2)

(1∞

+2

∞3)

lim𝑥→∞

(1+0)(0+0)

= 1

0 = ∞

Caso 3: Cuando el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del denominador. Su resultado da siempre 0.

lim𝑥→∞

𝑥2+2

𝑥3+3 =

∞

∞

lim𝑥→∞

(𝑥2

𝑥3+2

𝑥3)

(𝑥3

𝑥3+3

𝑥3)

→ simplificamos

lim𝑥→∞

(1𝑥

+2

𝑥3)

(1+3

𝑥3)

lim𝑥→∞

(1∞

+2

∞3)

(1+3

∞3)

lim𝑥→∞

(0+0)(1+0)

=0

2.3 INFINITÉSIMOS

Se llama infinitésimo a una variable que tiene límite cero

L = 0limLo0lim xx

xax

Ejemplos:

Sen(x) es infinitésimo cuando x→0, lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 0

(x-1)2 es infinitésimo cuando x→1, lim𝑥→1

(𝑥 − 1)2 = 0

Observación: no existen números infinitésimos, sino funciones infinitésimas en un valor, o bien variables infinitésimas.

Cociente de Infinitésimos particulares

Se puede demostrar que x

senx

x 0lim


MATEMÁTICA 2020


17

Al evaluar el numerador y el denominador en x = 0, se obtiene la indeterminación𝟎

𝟎. Para

resolverlo, no pueden utilizarse las técnicas vistas anteriormente, pero sin embargo,

el x

senx

x 0lim

existe y vale 1.

Sea un ángulo cuya medida en radianes sea x, 0 < x < 𝜋

2.

Observando la gráfica resulta:

sen x < x < tg x

Como sen x ¹ 0, dividiendo por sen x se obtiene:

senx

tgx

senx

x

senx

senx

Dado que ,x

senxx

senx

senx

tgx

cos

1:

cos

resulta: xsenx

x

cos

11

Por lo tanto: xx

senxcos1 o 1cos

x

senxx

Si se hace tender x a cero, 1coscoslim0

xx

y al estar x

senx comprendido entre dos expresiones

que tienden a 1 cuando x--> 0, también deberá tender a 1.

Por lo tanto: x

senx

x 0lim

=1

Para que esta demostración pueda generalizarse falta analizar qué es lo que ocurre para valores negativos de x.

LIMITES ESPECIALES

También se puede demostrar, teniendo en cuenta que como sen x x tg x , el límite del cociente entre cualquiera de ellas cuando x0 , es igual a 1 .

1 x

xtg lim

0x

1 xtg

xsen lim

0x

1 xsen

x lim

0x


MATEMÁTICA 2020


18

2.4 CONTINUIDAD DE FUNCIONES.

Intuitivamente la idea de que una función continua en un punto x = x0 es cuando se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel al pasar por ese punto, o cuando es una función que no presenta saltos ni agujeros en ese punto. Estas primeras aproximaciones pueden aclarar ideas y facilitar la decisión sobre si una función cumple o no esta propiedad, pero es preciso definir de forma matemática el concepto de continuidad.

Una función y = f(x) es continua en x = x0, si se verifica:

- La función está definida en x = x0, existe f(x0)

- Existe el límite de la función en el punto x = x0, es decir→ Lflím xxx

)(0

- Ambos valores son iguales, es decir→ )()( 00

xxxx

fLflím

Una función es continua en el intervalo (a, b) cuando lo es en cada uno de sus puntos y es continua

en el intervalo [a, b] cuando lo es en (a, b) y además es continua por la derecha en x = a y continua

por la izquierda en x = b

Cuando una función no es continua en un punto diremos que es discontinua en ese punto, y

podemos distinguir distintos tipos de discontinuidad.

Ejemplo 1:

Dada f(x) =10x3x

2x2

en el intervalo -2<x<5

Es continua o discontinua en x0 = -1?

Basándonos en la definición de continuidad veremos que:

a) La función está definida en x0 = -1 y dentro del intervalo propuesto f(x0) = f (-1) = - 1/6 (existe)

b) El límite existe en x0 = -1

L1 = )(1

xx

flím

= -1/6

L2 = )(1

xx

flím

= - 1/6

L1=L2 => L = -1/6 (existe)

c) Dicho límite es igual al valor de la función en dicho punto ; es decir : f (x0) = f(-1) = - 1/6 = L1= L2= L

Por lo tanto la función es CONTINUA en el punto x0 = -1, como así también en todo el intervalo (-2, 5)

FUNCIONES DISCONTINUAS.

La función y = f(x) es discontinua en el punto x0 (que pertenece al dominio de la función), si en ese punto no se verifica, al menos alguna de las condiciones de la definición de continuidad.


MATEMÁTICA 2020


19

CLASIFICACIÓN DE LAS DISCONTINUIDADES:

DISCONTINUIDAD EVITABLE (L = Existe)

Una función y = f(x) es discontinua evitable en x = x0, si:

- La función no está definida en x = x0, por lo tanto la función no existe f(x0)

- Existe el límite de la función en el punto x = x0, es decir→ Lflím xxx

)(0

- Existe el límite pero no es igual a la función en el punto x0→ )()( 00

xxxx

fLflím

.

Lflímflím )x(

0xx

)x(

0xx

(Son iguales los límites laterales L1=L2)

Ejemplo de una función donde el límite existe pero la función no existe en x=x0

Sea f(x) = 1x

1x2

Encontrar el punto de discontinuidad y clasificarlo. Si x = 1, para este valor f(1) =0

0

11

112

La función no está definida en ese punto y por lo tanto No cumple la primera condición de la definición de continuidad.

Para clasificar la discontinuidad hay que calcular los límites de la función f(x) = 1x

1x2

Para determinar el valor del límite cuando x1 se debe factorizar esta expresión algebraica. Se ve

que el denominador es una diferencia de cuadrados:

L1 =

2)1x(lím1x

)1x(1xlím

1x1x

L2 =

2)1x(lím1x

)1x(1xlím

1x1x

Como L1 = L 2 = 2

La función tiene límite L en x0 = -1 por lo tanto tiene una DISCONTINUIDAD EVITABLE.

La discontinuidad es evitable y se puede redefinir la función para que sea continua de la siguiente manera:

1xsi2

1six1x

1xf

2

)x(

FUNCIÓN DISCONTINUA

EVITABLE

NO EVITABLE

DE PRIMERA ESPECIE

DE SALTO FINITO

DE SALTO INFINITO

DE SEGUNDA ESPECIE


MATEMÁTICA 2020


20

Podemos resumir que:

f(1)= ∄ lim

𝑥→1+𝑓(𝑥) = 2

lim 𝑥→1−

𝑓(𝑥) = 2} lim

𝑥→1𝑓(𝑥) = 2

𝑓(1) ≠ lim𝑥→1

𝑓(𝑥)

Redefino la función

f(x){𝑥2−1

𝑥−1𝑠𝑖 𝑥 ≠ 1

𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 = 1

DISCONTINUIDAD NO EVITABLE (L = No existe)

Se dice que una función presenta una discontinuidad no evitable cuando se produce algunas de las

siguientes situaciones:

De Primera Especie (existen los dos límites laterales pero son distintos)

1)x(

xx

Lflím

0

2)x(

xx

Lflím

0

donde L1 L2 con salto infinito o finito

De salto finito

Existen los límites laterales por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no

son iguales.

21 limlim LxfxfLaxax

En este caso se llama salto de la función a |L1 – L2|.

Si los dos límites laterales son finitos se dice que es una discontinuidad de salto finito, y si alguno de ellos es infinito, se dice que es una discontinuidad de salto infinito.

Ej:

13

12

xsix

xsixxf


MATEMÁTICA 2020


21

f(1)= 1

lim𝑥→1+

𝑓(𝑥) = 1

lim 𝑥→1−

𝑓(𝑥) = 4} lim

𝑥→1

𝑓(𝑥) = ∄

𝑓(1) ≠ lim

𝑥→1𝑓(𝑥)

De salto infinito

Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el

de la derecha infinito

Ejemplos:

Si uno de los limites laterales es infinito

Si los dos límites laterales de la función en el punto x = a son infinitos:


MATEMÁTICA 2020


22

De Segunda Especie

Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los límites

laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda

especie en ese punto.

Es decir, cuando en al menos de uno de los lados del punto, la función no existe o no tiene límite.

L1 no existe y/o L2 no existe.

Ej:

00

01

xsi

xsix

senxf

Ejemplo

2.5 LA FUNCIÓN DERIVADA INTRODUCCIÓN

En los siglos III y II a. C, los griegos trataban de resolver el problema de trazar una recta tangente a una curva, en un punto cualquiera de esta. Hubo soluciones particulares.

Recién en el siglo XVII, Gotfried Wilhelm Leibnitz, halló un método sistemático de validez general para solucionar el problema.

En forma independiente, hacia la misma época, Isaac Newton aplicó un método similar para el estudio de la velocidad instantánea de un móvil.

Ambos a fines de siglo, presentan por separado tangenciales descubrimientos, que marcan el inicio del

“Cálculo infinitesimal” (diferencial).

Las técnicas ideadas por ellos, son hoy elementos básicos para el desarrollo de la ciencia y la tecnología. Así gracias al problema de la tangente, surgen los conceptos de Límite y Derivada, conceptos que permiten estudiar:


MATEMÁTICA 2020


23

El movimiento instantáneo.

Las órbitas planetarias y satelitales.

La descomposición de una sustancia radiactiva.

El avance de las enfermedades infecciosas.

En estructuras, el momento flector.

Problemas de optimización

La curvatura de figuras planas: circunferencia, etc.

Sea entonces, la curva continua C, de esta función f(x) y supongamos que se desea trazar una recta tg a dicha curva en un punto P0 de coordenadas (x0 , y0).

Consideramos una recta P0 P1 secante a la curva C, donde P0 y P1 son los puntos de intersección

Cuando el punto P1 se mueve acercándose a P0 sobre la curva, también se mueve la secante girando alrededor de P0. Se advierte que a medida que P1 se aproxima a P0 , la recta secante se acerca a una posición límite, y esta se transforma en tangente a la curva en P0.

y

)( 0 xxf y=f(x)

Recta Tangente a la curva

Y0 = )( 0xf

0x

)( 0 xx

α

P1

P0

y Recta Secante a la curva

)( 0 xxf y=f(x)

Y0 = )( 0xf

0x

)( 0 xx

P1

P0

x

y


MATEMÁTICA 2020


24

La pendiente de la secante es:

tg =x

)x(f)xx(f

x

y 00

En el gráfico observamos que: tgtg PoP1PoP1

limlim

Entonces, la pendiente de la recta tangente en x0 será:

tg = PoP1

tglim

=0x

limx

)x(f)xx(f

00

Siempre que tal limite exista, dicha pendiente se llama derivada de la f(x) en x = x0 y denotamos f´(x0),


MATEMÁTICA 2020


25

DEFINICIÓN DE DERIVADA DE F(X) EN UN PUNTO

Se define f´(x0)= 0x

lim x

xfxxf

)()( 00= y´

f´(x0) es la derivada de f(x) en x = x0, y se calcula como el límite cuando delta x tiende a cero

( 0x ) de la razón incremental de la función ( )()( 00xfxxfy ) dividido en el

incremento de la variable independiente x ( x ).

Geométricamente representa la pendiente de la recta tg a la curva representativa de f(x) en (x0 , y0), siendo y0 = f(x0).

Si y = f(x) tiene derivada en cada punto de su dominio y hacemos corresponder a cada valor de x del dominio, la derivada de f(x), obtenemos una nueva función, llamada función derivada y la designamos por f´(x) o bien y’(x).

0xlim x

xfxxf

)()( 00= y´=f´(x)

En el triángulo P0QP1:

1) La razón incremental es Δ𝑦

Δ𝑥= 𝑡𝑔𝜑 (tangente trigonométrica); es la pendiente de la recta

secante.

2) Cuando P0 →P1 lo más próximo que puede acercarse ( tomamos límite cuando Δ𝑥 → 0); es

decir: 0x

lim x

y

= 𝑡𝑔𝜑

3) Y además 0x

lim x

y

= 𝑦´ = 𝑓´(𝑥) = 𝑡𝑔𝛼


MATEMÁTICA 2020


26

FUNCIONES DERIVABLES. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD

Derivadas laterales: A veces, el cociente incremental x

y

tiene límites laterales distintos, según x

tienda a cero por derecha o por izquierda. Ejemplo:

Lo cual se pude verificar la calculando el ángulo de inclinación de las semirrectas de cada una de las partes de la función y en el punto P (0,0)

11

11352

0

º

x

tgtgx

ylim

11

1451

0

º

x

tgtgx

ylim

Como tg1 tg2 No Existe la derivada en x 0

Por lo tanto se puede concluir que:

“Una función derivable siempre es continua” Ej.: y = 2x

“Una función continua no es siempre derivable” Ej.: y= x

Una función es derivable si:

a) Matemáticamente: si las derivadas laterales son iguales.

b) Geométricamente; si existe tangente única”.

Nota: Si y = f(x) tiene derivada en cada punto de un intervalo (a;b) es derivable en (a;b).

Se enuncia el siguiente teorema muy importante sin que se infiera en la demostración.

TEOREMA:

Hipótesis: Si y = f(x) es derivable en 0xx implica que:

Tesis: f(x) es continua en 0xx

Para calcular derivadas de funciones elementales por definición, debes seguir los siguientes pasos:

1) Se incrementa x en x , obteniéndose )( xxf .

2) Se calcula )()( xfxxfy .

3) Se forma la razón incremental x

xfxxf

x

y

)()(

4) Se aplica límite cuando 0x

xy

Y α1=45° α1=45° α2=135°

(-)∆x (+)∆x -1 X0=0 1


MATEMÁTICA 2020


27

x

xfxxf

x

yxfy

xx

)()(limlim)(

00

''

Derivada de una constante

1) Si y =f(x) =c cxxf )( .

2) 0)()( ccxfxxfy .

3) 00

xx

y.

4) 00limlim00

'

xx x

yy .

Graficando

Y Y = f(x)=C )()( xxfxf f(x) )( xxf

0 x xx X

CONCLUSIÓN: Si 0)()( '' xfyCxfy

Derivada del producto de una constante por una función

Sea y =C . f(x), donde C = constante

1) )(. xxfCyy .

2) )()()(.)(· xfxxfCxfCxxfCy

3)

x

xfxxfC

x

y

)()(·

4)

x

xfxxfC

x

xfxxfC

x

yy

xxx

)()(lim·

)()(lim·lim

000

'

)x(f '

CONCLUSIÓN: Si )(·)(. '' xfCyxfCy

Derivada de la suma algebraica de un número finito de funciones.

Sea y= u(x) v(x) ………………. w(x), donde u, v, w son funciones derivables.

Aplicando el mismo procedimiento llegaremos a que: “La derivada de la suma algebraica de un número finito de funciones derivables, es igual a la suma algebraica de las derivadas de cada una de las funciones”. (Lo postulado se demostrará en clase); o sea:

CONCLUSIÓN:

Si )x(w..........)x(v)x(uy)x(w..........)x(v)x(uy ''''


MATEMÁTICA 2020


28

Derivada de la función identidad: y=x

1) Si y =f(x) =x xxxxf )( .

2) xxxxxfxxfy )()( .

3) 1

x

x

x

y.

4) 11limlim00

'

xx x

yy .

CONCLUSIÓN: Si f(x) = 1' yxy

5.3 Derivada de una función compuesta (o función de función)

Sea la función compuesta )x(hf)x(fy donde y=f(u) siendo u=h(x), resulta

)x(h)·u(f)x(fy '''' , viene a ser la regla o fórmula para derivar una función compuesta.

Análogamente si: y= f(u) siendo u= h(v) y v= g(x), se tendrá:

)x(v)·v(u)·u(f)x(fy ''''' “Regla del corrimiento o de la cadena”.

Ejemplo: 33 lnln xx , donde )u(fuy 3,siendo )x(hxlnu . Entonces aplicando

)()·()( '''' xhufxfy , resulta x

·u)x·(ln)u(y ''' 13 23

Finalmente x

·)x·(lny ' 13 2

Derivada de la función logarítmica: ln x.

Sea y= f(x)= ln x; se puede probar que x

y1'

Generalizando: Si y =ln u(x), donde u(x) es una función derivable: )x(u·)ux

y '' 1

Ejemplo:

xxyxy

12·

2

1)2ln( '

Derivada de un producto de dos funciones

Ejemplo: 53·ln xxy

2524

5

352' 5·ln35·1

··ln3 xxxxx

xxxy

Derivada de un cociente de dos funciones

Ejemplo: 2

5

ln

4

x

xy

22

2524

'

ln

2·1·4·ln20

x

xx

xxxy


MATEMÁTICA 2020


29

Derivada de la función potencial

Ejemplo: 2

3

43'5335 x3·x

1·)x(ln5y)x(lnxlny

Derivada de las funciones circulares. Ejemplo:

3·3cos3 ' xyxseny

Ejemplo:

xy5

1cos , entonces

5

1·

5

1' xseny

NOTA: La derivada de las restantes funciones trigonométricas tg x, cot x, sec x, cosec x, se obtienen en base a la derivada de sen x y cos x.

?' yxtgy

x

xsentgxy

cos (Se deriva como cociente)

x

xsenxsenxxy

cos

)·(·coscos'

xx

xsenxy

22

22'

cos

1

cos

cos

xy 2' sec

xecyxy 2' coscot

xtgxyxy ·secsec '

xecxyxecy ·coscotcos '

Derivadas sucesivas

Supongamos que y=f(x) es derivable en ba; ; o sea )(' xf también es una función de x.

Si derivamos )(' xf , obtendremos la derivada segunda de f(x). Es decir que la derivada de la

primera, se llama derivada segunda:

)()( '''' xfxy

La cual se lee “derivada segunda, respecto a x dos veces.” A su vez la )('' xf es una función de x

que en general puede derivarse nuevamente, obteniéndose así la derivada tercera que se denota:

)()( '''''' xfxy

En general: La derivada de la función de orden a se llama derivada enésima de la función f(x) y se denota por:

)()( )()( xfxy nn

Ejemplo:

Si 21

22 )1(1 xxy ¿Cuál es ''y ?

2·)1(2

12

2·)1(

4

12·)1(

2

12

12

12

1

2''21

2'

xx

xxyxxy

u v u' u v'


MATEMÁTICA 2020


30

TABLA DE DERIVADAS

FUNCIÓN DERIVADA

Constante

Cxfy )(

0)('' xfy

Producto de una constante por una función

)(. xfCy

)(. '' xfCy

Suma de una función y una constante

Cxfy )(

0)('' xfy

Función potencial ( a = número real) a

xuxfy )()(

Caso particulares:

a) y=√𝑢(𝑥)= 𝑢(𝑥)1

2

b) 𝑦 =1

𝑢(𝑥)= 𝑢(𝑥)−1

)(.. '1

)(

' xuuaya

x

a) 𝑦´ =1

2. 𝑢(𝑥)1/2−1

b) 𝑦´ = −1

𝑢(𝑥)2. 𝑢´(𝑥)

Función exponencial

)(xuay

)(··ln ')(' xuaay xu

Función potencial exponencial )x(V)x(uy

)(·)()·()()·(·ln)( '1)(')(' xuxuxvxvxuxuy xvxv

Función Logarítmica

)(ln xuy )´(.

)(

1' xuxu

y

Función compuesta

)x(hf)x(fy )()·()( '

)(''' xhhfxfy x

Suma algebraica de funciones

y= u(x)+v(x)……+z(x)

y´=u´(x)+v´(x)…….+z´(x)

Producto de dos funciones

y =u(x) · v(x)

)()·()()·( ''' xvxuxvxuy

Cociente de dos funciones

)x(v

)x(uy 2

'''

)(

)()·()()·(

xv

xvxuxvxuy

Funciones trigonométricas principales

senxy ; )(xuseny

xy cos ; )(cos xuy

xtgy ; )(xutgy ;

xy cos' ; '

)('

)(·cos

xuuy x

xseny ';

')()(

' . xx uuseny

xy 2' sec ; '

)()(2' .sec xx uuy


MATEMÁTICA 2020


31

2.9 ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA PLANA EN UN PUNTO.

Dada una curva de ecuación y = f(x), derivable en el punto 1P de abscisa

1x se trata de escribir

la ecuación de la recta tangente a la curva en dicho punto.

La ecuación de una recta cualquiera que pasa por el punto 1P (x1, y1) , es como sabemos por

geometría analítica: y –y1 = m (x - x1) (1)

Obteniéndose una recta para cada valor que se asigna a “m”. Pero “m” es la pendiente o coeficiente angular de la recta; entonces vemos que para que ésta coincida con la tangente, debe ser:

tg α = m = f´(x1)

Esto es el coeficiente angular de la recta(1) y según lo visto en la interpretación geométrica de derivada debe ser igual a la derivada de la función en

1x . En ese caso queda:

Ecuación de la recta tangente(1)

Nota: Cuando la derivada es infinita en 1x la tangente es paralela el eje “y”. En ese caso la

ecuación de la tg es: x = x1

Ejemplo 1:

Determinar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = f(x) = x2 en el punto de la abscisa x1 = 4 .

Se tiene y1 = f (x1) = f (4) = 16, de modo que el punto es P1(x1, y1) = P1(4,16).

Como la función derivada es f´(x) = 2x, tenemos m = f´(4) = 2.4 = 8 ; luego la ecuación de la tangente será: y – 16 = 8 (x-4), o bien y = 8x – 16

ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL A UNA CURVA PLANA EN UN PUNTO Definición: Se define normal a la curva en un punto “P1“, a la recta que pasando por éste es perpendicular a la tangente trazada por el punto “P1”.

)( 1'

)1(1 xxfyy x

α


MATEMÁTICA 2020


32

Como la normal pasa por P1 (x1,y1), y tiene una ecuación de forma: y – y1 = 1m (x – x1), y como la

condición de perpendicularidad de dos rectas, es que sus pendientes sean recíprocas y de signos

contrarios, tenemos : '

)(2

1

11

xfmm . Por lo tanto (siempre que f´(x1) ≠ 0) :

Ecuación de la recta normal(2) Si f´(x) = 0 no se puede aplicar (2), pero en este caso la tangente es paralela al eje “x”. Entonces la normal será paralela al eje “y”; y su ecuación vendrá dada por x = x1

Ejemplo1: Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva de la ecuación y= x3-1, en el punto de la abscisa x = x0= 2.

Solución:

a) Calculamos f(x0) x0= 2 f

yf

)7,2(

712 03

)2(

b) Calculamos )xx(f 0

)x(f 2 = )2( x 3 -1 = 7126 23 xxx

c) Hallamos la diferencia: )xx(f 0

- f(x0) )x(f 2 - f(2) = xxx 126 23

d) Determinamos el cociente: x

)x(f)xx(f

00 = x

xx

126x 23

Distribuyendo el denominador se obtiene: x

x

x

x

x

12 6 x 23

;

Simplificando términos: 126x 2 x

e) Calculamos0x

limx

)x(f)xx(f

00 = )126x(lim2

0

xx

= 12= f´(2)

f) Reemplazando los valores encontrados en la ecuación de la recta por un punto y pendiente conocida:

Recordar la ecuación de la recta por un punto y pendiente conocida es )( 0'

)(0 0xxfyy x

y - 7 = 12 (x-2) y = 12x – 24 + 7 y= 12x - 17 Ecuación de la recta tangente a la curva por P (2,7) Si queremos trazar una recta normal por el mismo punto, recordar que la pendiente de la recta

normal (m2) debe cumplir la siguiente condición: m1 = 2m

1, y la ecuación de la recta normal es: y= -

1/12 . x+ 43/6 Gráfica de la función y=x3-1, Recta normal y tangente al punto (2;7)

1'

)(

1

1

1xx

fyy

X


MATEMÁTICA 2020


33

Ejemplo:

Determinar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = f(x) = x2 en el punto de la abscisa x1 = 4.

Se tiene y1 = f (x1) = f (4) = 16, de modo que el punto es P1(x1, y1) = P1(4,16).

Como la función derivada es f´(x) = 2x, tenemos m = f´(4) = 2.4 = 8 ; luego la ecuación de la tangente será: y – 16 = 8 (x-4), o bien y = 8x – 16

Hallar la ecuación de la normal a la parábola y = x2 en el punto x1 = 4

En el ejemplo 1, se obtuvo la ecuación de la recta tangente: y – 16 = 8 (x –4); donde la pendiente

8'

)(1 1 xfm , reemplazando en la ecuación de la recta normal a una curva, se tiene:

)4(8

116 xy que es la ecuación de la recta normal a la curva en el punto P(4,16)

CONCEPTO DE DIFERENCIAL

Representación geométrica de la diferencial Si analizamos la figura 1 y figura 2 y

y + y = f(x0 + x)

>0

T y =dy+ y0 = f(x0) P dy

∆x M

x0 x0+ x x Figura 1

Recta Normal

Recta Tangente


MATEMÁTICA 2020


34

T y

<0 y0 =f(x0) P dy

x M

x0 x0+ x x Figura 2

En el triángulo rectángulo PMT: tg α = MT = MT

MP x

MT = x · tg α

Pero→ tg α = f ´(x0) →MT = f ´( x0) · x Y como el segundo miembro es la diferencial dy tenemos: dy = MT Se interpreta entonces, que la diferencial de una función es el incremento de la recta tangente

cuando se pasa de un valor x0 a un valor x0+ x

OBSERVACIÓN: dependiendo de la función, el error puede ser positivo o negativo (ver fig. 1 y fig.2) Definición de diferencial Se lo define como diferencial de la función f (x)

xxfdy ).´(

Recordar la diferencia entre ∆ y y dy

∆ y = f (x + x) – f (x)

dy = f ´(x) · x = f ´(x) · dx

Como ydy (cuando 0x ) xffxxf xx ).()( ´)(

Esta última expresión, se utiliza para calcular el valor numérico aproximado de una función ( en base al concepto de diferencial)

Ejemplo: Verificaremos que ydy (para Δx pequeños)

Dada la función y = f (x) = x2 - 3

Calcular el incremento Δy para x0 = 1 y x = 0,5

y=dy+


MATEMÁTICA 2020


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Δy = f (x0 + x) – f (x0 )

Δy = (x0 + x)2 – 3 – x02

Δy = x02 + 2 x0 . x + ( x)2 - 3 – x0

2

Δy = 2 x0 . x + ( x)2 → reemplazo

Δy = 2 · 1 · 0,5 + (0,5) 2

Δy = 1 + 0,25

Δy = 1,25

Calculo el diferencial dy

dy = f ´( x0) · dx = 2x · x =

dy = 2 · 1 · 0,5

dy = 1

El error en este caso es:

= y - dy

δ= 1,25 – 1

δ= 0,25

Además analizaremos la ecuación de la recta tangente a f(x0)= x2-3→ en x0=1

Se tiene →y0= f(x0)= f(1)= -2

Por lo tanto las coordenadas del punto serán P (1, -2)

Como la función derivada es f´(x0)= m

f´(x0)= 2x

f´(1) = 2

f´(1) = 2= m

Luego, la ecuación de la recta tangente será:

y – y0 = m (x – x0)

y + 2 = 2 (x - 1)

y = 2x - 4

APLICACIONES DE LA DERIVADA CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION En la Unidad Nº 1 se analizaron conceptos como crecimiento, decrecimiento y monotonía de una función, sin embargo, estas y otras particularidades no se puede determinar calculando el valor de la función en puntos aislados. La finalidad de este tema es establecer un método general para analizar funciones.

Recordemos que:

Una función f(x) es creciente en el punto P0 ),( 00 yx cuando→ hxfxfhxf 000 . Por lo

tanto la pendiente de la recta tangente m = lim∆𝑥→0

Δ𝑦

Δ𝑥 es positiva en el intervalo creciente de la función.


MATEMÁTICA 2020


36

Por lo tanto una función es creciente en P0 ),( 00 yx 00 ')x(f

De igual manera:

Una función f(x) es decreciente en el punto P0 ),( 00 yx cuando→ hxfxfhxf 000 . Por lo

tanto la pendiente de la recta tangente m = lim∆𝑥→0

Δ𝑦

Δ𝑥 es negativa en el intervalo decreciente de la

función.

Por lo tanto una función es decreciente en P0 00 ')x(f

Resumiendo lo expuesto anteriormente se tendrá que si la función es creciente en un punto, su derivada en ese punto es positiva f´(x0 )>0, y si la función es decreciente en un punto su derivada en ese punto es negativa f¨(x0 )<0.

CRITERIOS PARA DETERMINAR INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Este concepto de crecimiento y decrecimiento expuesto en el párrafo anterior para un punto, también puede generalizarse para un intervalo usando el concepto de derivada. Sea f(x) continua en ba, , y derivable en el intervalo (a,b) ocurre que:

baervaloelendecreceff

baervaloelencreceff

xx

xx

,int0

,int0

'

'


MATEMÁTICA 2020


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Ejemplo:

Dada la función f(x)= x4, determinar su dominio de crecimiento y decrecimiento.

Derivo la función f(x)= x4 , quedando f´(x) = 4x3

La función está definida en todo punto de conjunto real

Para x ‹ 0 se cumple f´(x) ‹ 0 en el intervalo )0,( ; por lo tanto la f(x) = x4 decrece en dicho

intervalo

Para x › 0 se cumple f´(x) › 0 en el intervalo ),0( ; por lo tanto la f(x) = x4 crece en dicho intervalo

Para x = 0 se cumple f´(x) = 0, la tangente a la curva se mantiene paralela al eje de las x; entonces en x = 0 la f(x) no crece ni decrece.

Verificación: Si x = -1; f´(x) = 4.(-1) = -4 ‹ 0

Si x = 1 ; f´(x) = 4.1 = 4 › 0

Si x = 0 ; f´(x) = 0 (punto crítico)

y F(x) = x4 y´ f´(x) = 4x3 º º x ‹ 0 x › 0 x ‹ 0 x › 0 MAXIMOS, MINIMOS Y PUNTOS DE INFLEXIÓN a) MÁXIMO Y MINIMO ABSOLUTO Los conceptos de Máximos y Mínimos absolutos, se refieren a condiciones del dominio o campo de existencia de la función. El Máximo y Mínimo absoluto de una función, es el valor más grande y el más chico respectivamente en todo el campo de existencia de la función y no son superados por ningún otro valor. Es decir:

La función xf tiene en x0 un máximo absoluto (Ma) si el valor de Maf x 0

, es mayor que el

valor de xf para todo x del dominio de la función.

La función xf tiene en x0 un mínimo absoluto (ma) si el valor de maf x 1

, es menor que el

valor de xf para todo x del dominio de la función.

b) MÁXIMO Y MINIMO RELATIVO Los conceptos de Máximos y Mínimos relativos, se refieren a condiciones locales de la función extendidas sobre un entorno suficientemente pequeño del punto considerado


MATEMÁTICA 2020


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Definiremos máximo y mínimo relativo

La función xf tiene en x0 un máximo relativo(Mr) si el valor de Mrf x 2

, es mayor que el valor

de xf para todo x de un entorno reducido de x0

La función xf tiene en x0 un mínimo relativo(mr) si el valor de mrf x 3

, es menor que el valor

de xf para todo x de un entorno reducido de x0.

Los máximos y mínimos de una función se llaman también extremos. En el caso de funciones derivables se podrá relacionar los extremos relativos con la derivada en el punto, si la función alcanza en x0 un máximo o un mínimo entonces su derivada en x0 debe anularse, lo que implica que la recta tangente a la curva en el punto de extremo relativo es horizontal y Máximo absoluto Máximo relativo

mínimo relativo mínimo absoluto º x2 x1 x0 x3 x CONDICIONES PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS

Condición necesaria: 0'

0xf ó

'

0xf no existe. En este caso el punto P0(x 0,y0) , se denomina Punto

Crítico

Condición suficiente: se pueden tener distintos criterios, pero enunciaremos solo dos

a) Criterio de la derivada primera:

Si la 'xf es positiva a la izquierda del punto critico P0(x0,y0) y negativa a la derecha , es decir

la recta tangente pasa de valores positivos a valores negativos, entonces en el punto critico de ordenada x0 se encuentra un MÁXIMO.

Y

y0 f´(x)>0 f´(x) <0 f(x0) f´(x) › 0 si x ‹ x0 y0 = f (x0) = MÁXIMO f´(x) ‹ 0 si x › x0 Punto Crítico P0(x0,y0) x<x0 x0 x>x0 x

maf x 1

mrf x 3

Maf x 0

Mrf x 2


MATEMÁTICA 2020


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Si la 'xf es negativa a la izquierda del punto crítico P(x0,y0) y positiva a la derecha , entonces

en el punto crítico de ordenada x0 se encuentra un MINIMO y f´(x) ‹ 0 si x ‹ x0 y0 = f (x0) = MÍNIMO f´(x) ‹ 0 si x › x0 f´(x) <0 f´(x)>0 Punto Crítico P0(x0, y0) y0 f(x0) x x<x0 x0 x>x0

Ejemplo

Dada la función y = f(x) =x2+ 4x+ 6, analizar máximo y mínimo por el criterio de la derivada primera

Derivando la función queda:

y´ = f´(x) = 2x + 4

Por la condición necesaria para la existencia de extremos, se sabe que:

0'

0xf

f´(x) = 2x + 4 = 0 → x0 = - 2 (abscisa)

Es decir que para este valor x0 = -2, la f´(x0) = 0 .

Se remplaza f´(x0) = 2.(-2) + 4 = 0.Se debe verificar que en x0 = -2 , se encuentra un punto crítico.

Se analizara el signo de la derivada primera alrededor de este punto( x0 = -2).

Intervalos Signo de la f´(x) Comportamiento de la función

(-∞; −2) f´(-3) = 2. (-3) + 4 = -2

f´(x) ‹ 0 tiene signo negativo Decrece

(-2; +∞) f´(1) = 2. (-1) + 4 = 2

f´(x) › 0 tiene signo positivo Crece

Conclusión:

Como f´(x) pasa de valores negativos a positivos en x0 = -2 , entonces existe un MÍNIMO

Se reemplaza éste valor crítico ( x0 = -2), en y = f(x) = x2 +4 x + 6, quedando

y = f(-2) = (-2)2 + 4 . (-2) + 6 = 2

Por lo tanto el punto crítico en el plano es P0 (-2,2) , y en él existe un mínimo de valor y = 2

2− ∞ + ∞

Hay un mínimo en

el punto Pc (-2;2)


MATEMÁTICA 2020


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y f(x)= = x2 + 4x + 6 y0 = 2

x0 = -2 x

b) Criterio de la derivada segunda: La condición necesaria y suficiente:

Si ''

0xf ‹ 0 existe un máximo en x0

Si ''

0xf › 0 existe un mínimo en x0

Este criterio no puede aplicarse cuando ''

0xf = 0; en ese caso se vuelve al análisis por medio del

concepto de la derivada primera Ejemplo: Encontrar los máximos y mínimos de la siguiente función , usando el criterio de la derivada segunda: y = x3 / 3 – 9x + 6 a- Derivo y’ = f’(x) = x2 – 9

b- Condición necesaria para que exista extremo: y’ = 0'

0xf

y’ = f’(x) = x2 – 9 = 0 x1 = 3 Serán las abscisas de los puntos críticos x2 = -3 P1(3;-12) y P2(-3;24)

c- Derivo nuevamente(segunda derivada) y’’ = f’’(x) = 2x

d- A esta nueva función le aplico por separado el valor numérico de los puntos críticos(abscisas) f’’(3) = 2 . 3 = 6 › 0 → existe un mínimo en x1 = 3 donde m = f(3) = 27/3 -27+ 6 = -12

f’’(-3) = 2 . (-3) = -6 ) ‹ 0 → existe un máximo en x2 = -3 donde M = f(-3) = -27/3+27+6 = 24

e- Grafíquelo usted..... CONCAVIDA Y CONVEXIDAD Partiendo de una idea intuitiva se puede decir que es cóncava la figura que retiene el agua, mientras que una forma es convexa cuando nos derrama el agua. cóncavo convexo


MATEMÁTICA 2020


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Función Convexa: Diremos que la curva gira su convexidad hacia el semieje positivo de las “y” en el (a,b), si en dicho intervalo se verifica para todo x, que la TANGENTE se mantiene por arriba de la curva.

En símbolos: f(x) – T(x) ‹ 0 ; donde T(x) es el valor de la ordenada sobre la recta tangente, en este caso la curva es CONVEXA en el intervalo (a,b)

Función Cóncava: Diremos que la curva gira su convexidad hacia el eje negativo de las “y” en el (b,c), si en dicho intervalo se verifica para todo x, que la TANGENTE se mantiene por debajo de la curva.

En símbolos: f(x) –T(x) › 0 ; en este caso la curva es CÓNCAVA en el intervalo (b,c).

y Tg por arriba de f(x) Tg por debajo de f(x) f(x) T(x) f(x) T(x) a x b x c Teorema: Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto(a,b):

Si f ’’(x0) › 0 para todo x en (a,b) → la f(x) es CÓNCAVA en (a,b) Si f ’’(x0) ‹ 0 para todo x en (a,b) → la f(x) es CONVEXA en (a,b)

PUNTO DE INFLEXIÓN:

Sea xf una función cuya gráfica tiene recta tg en (xi ; f(xi) ). Se dice que el punto Pi (xi ; f(xi) )

es un punto de inflexión si la curva cambia de cóncava a convexa (o viceversa) en ese punto.

Teorema: Sea xf la función cuya gráfica está dada por la ecuación y = f(x). Si “xi” es un punto

perteneciente al dominio de xf tal que ''xif =0; ó

''xif no existe; y además

''xf cambia de signo al

pasar de la izquierda de “xi” a la derecha, entonces diremos que en el punto de la curva con abscisa igual “xi”, es un punto de inflexión. Ejemplo: Determinar los intervalos de convexidad y concavidad de la curva cuya ecuación es y = f(x) = x3

'xf = 3x2

''xf = 6x .

Analizando el signo se tiene: ''xf > 0 para toda x › 0 , y

''xf ‹ 0 para los valores negativos de x,

es decir que en )0;( la curva es convexa; en );0( la curva es cóncava, pues la derivada segunda

es positiva. También podemos afirmar que en xi = 0 existe un punto de inflexión, porque en él la derivada segunda es cero y a la izquierda y derecha los signos de la derivada segunda son distintos.

Punto de

inflexión


MATEMÁTICA 2020


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Ejemplo: Dada la función y = f(x) = - x3+ 3x2 -2, analizar concavidad, convexidad y punto de inflexión.

Derivando la función queda:

y´ = f´(x) = -3x2+6x

Encuentro la derivada segunda de la función.

y´´ = f´´(x) = -6x+6

Igualo a 0 la derivada segunda para obtener el punto de inflexión.

f´´(x0) = 0

-6x + 6 = 0

x= -6

-6

x=1

Reemplazo el valor obtenido en la función original para encontrar el punto de inflexión

y = - x3+ 3x2 -2

y= - ( 1 )3+ 3( 1 )2 -2

y= -1 + 3 -2

y= 0

Punto de inflexión → Pi (1, 0 )

Elaboro los intervalos de concavidad y convexidad con el valor de x obtenido en el punto anterior.

Intervalos Signo de la f´´(x)= -6x+6 Comportamiento de la función

(-∞; 1) f´´(0) = - 6. (0) + 6 = 6→ f´´(x)>0 Cóncavo

(1; +∞) f´´(2) = - 6. (2) + 6 = - 6→ f´´(x)< 0 Convexo

Conclusión:

La función tiene un punto de inflexión en Pi (1, 0) y pasa de ser cóncava a convexa en dicho punto.

Intervalo de concavidad (0,+ )

Intervalo de convexidad )0;(

Punto de Inflexión Pi (xi ; f(xi) ) Pi(0,0)

Pi (0,1)

cóncavo

convexo

Punto de inflexión


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PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN USANDO DERIVADAS

Para resolver los problemas de máximo o mínimo se deberán cumplir los siguientes pasos:

1. Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.

2. Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.

3. Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable.

4. Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.

5. Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

Ejemplo:

Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50

cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja.

Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo.

Resolución del Ejercicio Nº 2

xxxV )250)(280(

Desarrollando la ecuación anterior se obtiene

xxxV 40002604 23

400052012 2 xxV

Aplicando la condición necesaria que es ´la derivada primera igual a 0 se obtiene dos valores de x del que se debe descartar 1 de ellos ya que es incompatible con el problema planteado. x=10 y x=33,3 (No es válida ya que (50-2x<0).

Calculando la segunda derivada del volumen se obtiene

052010.241052024 VxV

Luego para x=10 hay un máximo. Y el volumen será V=60.30.10=18000 cm3

x

unidad n°2: lÍmite y continuidad. derivada. diferencial …

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