unidad - transformaciones de esfuerzos y deformaciones
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8/13/2019 Unidad - Transformaciones de Esfuerzos y Deformaciones
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MECANICA DEMATERIALES
CICLO 2013 - I
CAPITULO
Transformacin de
Ing. Ivn D. Sipin Muoz.
esfuerzos ydeformaciones
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8/13/2019 Unidad - Transformaciones de Esfuerzos y Deformaciones
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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaTransformacin de esfuerzos y deformaciones
Introduccin
Transformacin de esfuerzo plano
Esfuerzos principales
Esfuerzo cortante mximo
Ejemplo 01
Ejemplo 02
Circulo de Mohr ara esfuerzo lano
Ing. Ivn D. Sipin Muoz 7 - 2
Ejemplo 03
Ejemplo 04
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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaIntroduccin
El estado general de esfuerzos en un punto
puede ser representado por 6 componentes:
),,:(NotacortanteEsfuerzo,,
normalEsfuerzo,,
xzzxzyyzyxxy
zxyzxy
zyx
===
Si los ejes se hacen girar, el mismo estado de
Ing. Ivn D. Sipin Muoz 7 - 3
diferente de componentes.
-
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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaIntroduccin
Para el anlisis de transformacin de esfuerzos se
tratara el esfuerzo plano en el que dos caras del
elemento cbico estn libres de esfuerzo. Para el
ejemplo ilustrado, el estado de esfuerzo se define
por
.0y,, xy === zyzxzyx
Ing. Ivn D. Sipin Muoz 7 - 4
sometida a fuerzas que actan en su plano medio
El esfuerzo plano tambin ocurre en la superficie
libre de un elemento estructural o elemento de
maquina.
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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaTransformacin de Esfuerzo Plano
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
sinsincossin
coscossincos0
cossinsinsin
sincoscoscos0
AA
AAAF
AA
AAAF
xyy
xyxyxy
xyy
xyxxx
+
+==
==
Considere las condiciones de equilibrio de un
elemento prismtico con caras respectivamente
perpendiculares a los ejesx,y,x.
Ing. Ivn D. Sipin Muoz 7 - 5
2cos2sin2
2sin2cos22
2sin2cos22
xy
yx
yx
xy
yxyx
y
xy
yxyx
x
+
=
+
=
+
++
=
Las ecuaciones pueden reescribirse en funcin del
esfuerzo como:
-
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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaEsfuerzos Principales
Las ecuaciones obtenidas anteriormente
son las ecuaciones paramtricas de un
circulo:
( )
2
2
222
22
:Donde
xy
yxyx
prom
yxpromx
R
R
+
=
+=
=+
Ing. Ivn D. Sipin Muoz 7 - 6
Los esfuerzos principales ocurren en los
planos principales de esfuerzo, en el cual el
esfuerzo cortante es nulo
o
2
2
minmax,
90endiferidosangulosdosdefine:Nota
22tan
22
yx
xy
p
xy
yxyx
=
+
+
=
-
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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaEsfuerzo cortante mximo
El esfuerzo cortante mximo ocurre :promx =
22tan
2
o
2
2
max
xy
yx
s
xy
yxR
=
+
==
Ing. Ivn D. Sipin Muoz 7 - 7
2
45endedesplazado
o
yx
prom
p
+==
-
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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaEjemplo 01:
SOLUCION:
Calculamos el ngulo de inclinacin para los
planos principales:
yxxyp
=
22tan
Determinamos el esfuerzo principal:
2
Ing. Ivn D. Sipin Muoz 7 - 8
Para el estado tensional mostrado
determine: (a) los planos
principales, (b) los esfuerzos
principales, (c) el esfuerzo cortante
mximo y el esfuerzo normalcorrespondiente.
minmax, 22 xy
yxyx
+
=
Calculamos los mximos esfuerzos a partir
de:2
2
max 2 xy
yx
+
=
2
yx
+=
-
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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaEjemplo 01:
SOLUCION:
Reemplazando valores obtenemos:
( )
( )
=
=
+
==
1.233,1.532
333.11050
4022
2tan
p
yx
xyp
= 6.116,6.26
Ing. Ivn D. Sipin Muoz 7 - 9
Los esfuerzos principales son:
( ) ( )22
22
minmax,
403020
22
+=
+
+= xy
yxyx
MPa30
MPa70
min
max
=
=
MPa10
MPa40MPa50
=
+=+=
x
xyx
-
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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaEjemplo 01:
Calculamos el esfuerzo cortante maximo
( ) ( )22
22
max
4030
2
+=
+
= xy
yx
MPa50max =
Ing. Ivn D. Sipin Muoz 7 - 10
MPa10
MPa40MPa50
=
+=+=
x
xyx
2
1050
2
=
+== yx
prom
El esfuerzo normal correspondiente:
MPa20=
45=
ps = 6.71,4.18s
-
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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaEjemplo 02:
SOLUCION:
Se reemplaza la fuerza P por un sistema
equivalente de par fuerza en el centro
de las seccin transversal que contienea H.
Evaluar los esfuerzos normal y cortante
Ing. Ivn D. Sipin Muoz 7 - 11
Una fuerza horizontal P de 150 lb es
aplicada en el extremo D de la palanca
ABD. Determine (a) los esfuerzo normaly cortante en un elemento situado en el
puntoHcon lados paralelos a los ejes x-
y, (b) Los planos principales y los
esfuerzos principales en el punto H
en el puntoH.
Determinar los planos y esfuerzos
principales.
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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaEjemplo 02:
SOLUCION:
Clculo de l sistema de par de fuerzas
equivalente:
( )( )
( )( ) inkip5.1in10lb150
inkip7.2in18lb150
lb150
==
==
=
M
T
P
Ing. Ivn D. Sipin Muoz 7 - 12
Clculo de esfuerzos en el puntoH.
( )( )
( )
( )( )
( )421
4
41
in6.0
in6.0inkip7.2
in6.0
in6.0inkip5.1
+=+=
+=+=
J
Tc
I
Mc
xy
y
ksi96.7ksi84.80 +=+== yyx
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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaEjemplo 02:
Determinacin de inclinacin de los
planos y esfuerzos principales:
( )
=
=
=
=
119,0.612
8.1
84.80
96.7222tan
p
yx
xyp
= 5.59,5.30p
Ing. Ivn D. Sipin Muoz 7 - 13
( )22
22minmax,
96.72
84.80
2
84.80
22
+
+=
+
+= xy
yxyx
ksi68.4
ksi52.13
min
max
=
+=
-
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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaCirculo de Mohr para Esfuerzo Plano
Con el significado fsico del crculo de Mohr
para el plano de esfuerzos establecido, basados
en consideraciones geomtricas simples, los
valores crticos se estiman o calculan
grficamente. Para un estado conocido del esfuerzo plano
dibujamos los puntos X y Y
y construimos un circulo con centro en C.xyyx ,,
Ing. Ivn D. Sipin Muoz 7 - 14
2
2
22 xy
yxyx
prom R
+
=
+=
Los esfuerzos principales obtenidosA yB.
yx
xy
p
prom R
=
=
22tan
minmax,
La direccin de rotacin de Ox hacia
Oa es el mismo que CXhacia CA.
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8/13/2019 Unidad - Transformaciones de Esfuerzos y Deformaciones
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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaCirculo de Mohr para Esfuerzo Plano
Como el crculo de Mohr esta definido en
forma nica, el mismo circulo puede
obtenerse en otros planos de orientacin.
Para el estado de esfuerzo y el ngulo
respecto a los ejes axialesxy , se construye un
nuevo dimetroXY y un ngulo 2 respecto
Ing. Ivn D. Sipin Muoz 7 - 15
a XY.
Los esfuerzos normal y cortante se
obtienen de los nuevos ejesXY.
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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaCirculo de Mohr para Esfuerzo Plano
Circulo de Mohr para carga axial concntrica:
0, === xyyxA
P
A
Pxyyx
2===
Ing. Ivn D. Sipin Muoz 7 - 16
Circulo de Mohr para torsin:
J
Tcxyyx === 0 0=== xyyx
J
Tc
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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaEjemplo 03:
Ing. Ivn D. Sipin Muoz 7 - 17
Para el estado de esfuerzo plano
mostrado, (a) Construya el circulo de
Mohr (b) Determine el plano
principal, (c) Determine los esfuerzos
principales, (d) el maximo esfuerzocortante y el esfuerzo normal
correspondiente
SOLUCION:
Construccin del circulo de Mohr
( ) ( )
( ) ( ) MPa504030
MPa40MPa302050
MPa202
1050
2
22=+==
===
=+
=+
=
CXR
FXCF
yx
prom
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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaEjemplo 03:
Ing. Ivn D. Sipin Muoz 7 - 19
Esfuerzos normal y cortante maximos:
+= 45ps
= 6.71s
R=max
MPa50max =
prom =
MPa20=
-
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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaEjemplo 04:
Ing. Ivn D. Sipin Muoz 7 - 20
Para el estado de esfuerzo mostradodetermine: (a) Los planos y
esfuerzos principales, (b) las
componentes del esfuerzo ejercidas
sobre el elemnto obtenido rotando
30 en sentido opuesto a las agujasdel reloj.
SOLUCION:
Construccin del circulo de Mohr:
( ) ( ) ( ) ( ) MPa524820
MPa802
60100
2
2222=+=+=
=+
=+
=
FXCFR
yx
prom
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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaEjemplo 04:
Ing. Ivn D. Sipin Muoz 7 - 21
Planos y esfuerzos principales
=
===
4.672
4.220
482tan
p
pCF
XF
)(7.33 horariop =
5280
max
+=
+== CAOCOA
5280
min
=
= BCOC
MPa132max += MPa28min +=
t
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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaEjemplo 04:
Ing. Ivn D. Sipin Muoz 7 - 22
==
+=+==
===
==
6.52sin52
6.52cos5280
6.52cos5280
6.524.6760180
XK
CLOCOL
KCOCOK
yx
y
x
Los componentes de los esfuerzos
despues de la rotacion de 30o:
Los puntos X - Y en el circulo seobtiene girando el planoXYen el
sentido antihorario un angulo =602
MPa3.41
MPa6.111
MPa4.48
=
+=
+=
yx
y
x