unidade f limites -...
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171
Unidade F
Limites
Débora Bastos IFRS – CAMPUS RIO GRANDE FURG
172
28. Noção de limites
Quando queremos saber a ordenada do ponto em uma função, cuja lei é y= f(x), em
que x = a, basta calcularmos f(a). O ponto (a,f(a)) pertencerá ao gráfico de f.
Agora é muito diferente querer investigar qual a tendência das ordenadas da
função quando x se aproximam cada vez mais de um determinado valor a. O primeiro
implica que a pertença ao domínio da função, o segundo não.
Exemplo1: Seja f: ℝ ℝ, cuja lei é
3x,1
3x,3x
9x6²x
)x(f .
Tem-se f(3) =1, agora quando x se aproxima cada vez mais de 3, o que acontece
com os f(x)? Acompanharemos o raciocínio completando a tabela abaixo.
x 1 2 2,5 2,9 2,99 2,999 x 3-
f(x)
x 5 4 3,5 3,1 3,01 3,001 x 3+
f(x)
Isso tudo nos dá a ideia ou intuição de que cada vez que nos aproximamos mais do
x = 3, mais os f(x) se aproximam de ______.
Notação:
)x(flim3x
Observação: 1)Esse processo não nos dá garantias do resultado do limite, pois
para ter essa certeza deveríamos testar todas as formas de nos aproximarmos de
x = 3. E quantas formas existem de fazer isso? Infinitas. Por isso, para o cálculo
dos limites vamos nos basear em teoremas
que nos garantam certos resultados.
2)O gráfico desta função está ao lado. Com
o gráfico pronto conseguimos associar o
comportamento do gráfico com o limite. Os
f(x) tendem a zero quando x tende a 3, mas
f(3)=1.
3) Vemos também a noção de limites
laterais. Se analisarmos a tendência dos
f(x) quando x se aproximam de a, mas por
valores menores que a, definem o limite
lateral a esquerda. Denotamos por )x(flimax
.
Se analisarmos a tendência dos f(x) quando x se aproximam de a, mas por valores
maiores que a, definem o limite lateral a direita. Denotamos por )x(flimax
.
Exemplo2: Seja f: ℝ ℝ, cuja lei é
2x,1x
2x,1²x)x(f .
Tem-se f(2) = 3, agora quando x se aproxima cada vez mais de 2, o que acontece
com os f(x)? Acompanharemos o raciocínio completando a tabela abaixo.
x 1 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999 x 2-
f(x)
x 3 2,5 2,1 2,01 2,001 2,0001 x 2+
f(x)
Isso tudo nos dá a ideia ou intuição de que se nos aproximamos de x = 2, não há
um comportamento único dos f(x), assim não há limite.
Notação: )x(flim2x
173
Note como faz diferença nos aproximarmos de 2
pela esquerda oou pela direita.
Proposição 1: Se o limite de uma função existe, então ele é único.
Isso significa que, se ao nos aproximarmos de um certo valor de x de maneiras
diferentes e os f(x) se aproximarem de valores distintos o limite não existe.
Essa proposição é importante para provarmos quando um limite não existe.
Corolário 2: )x(flimL)x(flimL)x(flimaxaxax
Qualquer maneira que nos aproximemos de a, ou por valores maiores que a, ou
valores menores que a, se o limite existe (e é único) o resultado deve ser o
mesmo.
Exemplo 3: Seja f: ℝ ℝ, cuja lei é
0x,3
0x,x
senx
)x(f .
Tem-se f(0) = 3, agora quando x se aproxima de 0, o que acontece com os f(x).
Acompanharemos o raciocínio completando a tabela abaixo. Observação, como
dependemos da função seno, x deve ser em radianos.
x 1 0,5 0,1 0,01 0,001 0,0001 x 0+
f(x)
x -1 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 x 0-
f(x)
Isso tudo nos dá a ideia ou intuição de que cada vez que nos aproximamos mais do
x = 0, mais os f(x) se aproximam de ______.
Notação:
)x(flim0x
Exemplo 4: Seja f: ℝ ℝ, cuja lei é f(x) = x². Investigaremos o limite quando x -1. Tem-se f(-1) = 1, agora quando x se aproxima de -1, o que acontece com
os f(x). Acompanharemos o raciocínio completando a tabela abaixo.
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x -2 -1,5 -1,1 -1,01 -1,001 -1,0001 x -1-
f(x)
x 0 -0,5 -0,9 -0,99 -0,999 -0,9999 x -1+
f(x)
Isso tudo nos dá a ideia ou intuição de que cada vez que nos aproximamos mais do
x = -1, mais os f(x) se aproximam de ______.
)x(flim1x
=
Podemos observar que a tendência dos f(x) é a mesma
que f(-1).
Observação: A diferença do exemplo 4 para os
anteriores é que esta função é continua em x = -1,
onde o limite é investigado. O que isso significa?
Vejamos alguns conceitos.
29. Noção de função continua
Todas esses gráficos são de funções de domínio real. Analisando seu domínio o
gráfico das três primeiras são formadas pelo conjunto de duas ou mais linhas. Já
o quarto, formado de uma linha só. Isso dá a ideia que as três primeiras são
descontínuas e a quarta é contínua. Isso por si só não constitui a definição de
continuidade porque pode haver caso que a função tenha alguma restrição no domínio
175
e consequentemente terá seu gráfico formado
por mais de uma linha. Por exemplo, a função:
f: ℝ* ℝ*, cuja lei é x
1)x(f .
Não há divisão por zero, logo x = 0 não está
definido para esta função. Não há gráfico em
x = 0 (eixo oy). Assim obrigatoriamente o
gráfico da função será formado por duas
linhas. Uma para x < 0 e outra para x > 0.
Em cada parte do seu domínio a função é
contínua. Formada por uma linha, assim a
função no seu domínio é contínua.
Só há sentido em definir continuidade dentro
do domínio da função. Não há sentido analisar
a continuidade de x = 0 na função citada
acima. Já sabemos que, considerando todos os
reais, ela “falha” porque não existe divisão
por zero. Não há dúvida sobre isso. Analisar
a continuidade é verificar DENTRO DO DOMÍNIO
da validade da função, se há a característica de partes desconexas do gráfico.
Definição 3: Dizemos que uma função é contínua em x = a se, e somente se:
)a(f)x(flimax
.
Isso nos dá uma vantagem automática. Conhecendo o gráfico de uma função, se
quisermos investigar o limite em um certo x = a, em que a D(f), sabemos o resultado do limite, é f(a). Então no caso de funções contínuas, sabemos CALCULAR
LIMITES E NÃO APENAS A NOÇÃO de que valor os f(x) se aproximam quando x se
aproxima de um a.
Exemplo: Calcule:
a)
²)x3(lim1x
b)
)x(senlim
2x
c)
x
3x
5lim
d)
)xln(lim0x
30 Noção de limite infinito e no infinito
Limites no infinito são investigações sobre o comportamento dos f(x) quando x
aumenta sem limitação e assim dizemos que x + , ou quando x diminui sem
limitação e assim dizemos que x - . Inicialmente para termos a ideia,
voltaremos às tabelas. Já podemos dizer que o resultado do limite é , se os
f(x) aumentarem sem limitação f(x) + , ou diminuírem sem limitação
f(x) - .
176
Exemplo 1: Seja a função f: ℝ ℝ cuja lei é f(x) = 2x. Já sabemos qual é o comportamento dessa função, pois estudamos o seu gráfico.
Sabemos que o gráfico é crescente (a>1), cresce
muito a medida que x cresce. O eixo ox é assíntota
do gráfico, pois os valores de y se aproximam de
zero quanto menor o x (negativos).
Nessas duas características do gráfico podemos
observar o que constataremos nas tabelas.
x 10 15 20 50 100 x + f(x)
x -10 -15 -20 -50 -100 x - f(x)
Há a ideia que quando x - , f(x) 0 e quando x + , f(x) + .
Exemplo 2: Seja a função f: ℝ ℝ definida pela lei f(x) =
0x,3
0x,x
1x3
.
Investigaremos o limite quando x 0. Não sabemos se essa função é contínua,
então não podemos calcular seu limite.
x 1 0,5 0,1 0,01 0,001 x 0+
f(x)
x -1 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 x 0-
f(x)
a) Noção de
)x(flim0x
b) Noção de
)x(flim0x
c)
)x(flim0x
x 10 15 20 50 100 x + f(x)
x -10 -15 -20 -50 -100 x - f(x)
d) Noção de
)x(flimx
e) Noção de
)x(flimx
f) Gráfico: Considerando que as intuições estão certas podemos ter a ideia de
como é o gráfico da função e já sabemos que é descontínua no x = 0.
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Observação: Reforçando: preencher tabelas não nos garante o resultado do limite.
Nos dá apenas uma ideia. A única vantagem é quando o limite não existe, pois se
temos maneiras diferentes de nos aproximarmos de um mesmo valor, tendências
distintas seriam impossíveis se houvesse o limite.
Exemplo 3: Seja a função f: ℝ ℝ definida pela lei f(x) =
0x,0
0x,x
sen
.
Investigaremos o limite quando x 0
x 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 x 0+
x
f(x)
x -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 x 0-
x
f(x)
Noção de
)x(flim0x
x 2/3 2/31 2/303 2/3003 2/30003 x 0+
x
f(x)
x -2/3 -2/31 -2/303 -2/3003 -2/30003 x 0-
x
f(x)
Ou seja, )x(flim0x
178
31 Definição e cálculo de limites
Por isso temos que ver resultados que nos possibilitem calcular limites. A
definição demanda conhecimento básico matemático muito maior. Mostraremos em
nível de curiosidade.
Definição 4:
L)x(flimax
Existe tal que |x – a| < implique |f(x)– L| < ,
para tão pequeno quanto se queira.
Proposição 5: axlimax
Demonstração: Basta tomar = , pois | x – a| = |f(x) – L|.
Considerando |x – a| < , temos |x- a| = |f(x) – L| < = , logo implica que
|f(x) – L| < e assim axlimax
.
Observação: Para resolvermos um limite por definição temos que ter um candidato
a solução o que não ajuda no seu cálculo. Assim, veremos alguns resultados e
toma-los como base.
Proposição 6: kklimx
A função f: ℝ ℝ, cuja lei é f(x) = k é uma função contínua, pois é uma função afim, cujo gráfico é uma reta paralela ao eixo ox. Assim, k)(flim)x(flim
xx
.
Os limites podem ser até no infinito, o resultado é o mesmo.
Proposição 7: (i) xlim
x
(ii) xlim
x
Proposição 8:
0)x(f,
0)x(f,
)x(f
1lim0)x(flimxx
Exemplos: Calcule os limites abaixo:
a) x
1lim
0x
b) x
1lim
0x
c) x
1lim
0x
d) x
1limx
e) x
1limx
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Gráfico da função f: ℝ* ℝ*, cuja lei é f(x) = x
1 é:
Teorema 9: Álgebra dos limites. Se L)x(flimax
; M)x(glimax
e c ℝ, então:
(a) ML)x(g)x(flimax
(b) ML)x(g)x(flimax
(c) M
L
)x(g
)x(flim
ax
desde que g(x) e M 0
(d) cL)x(cflimax
Exemplo:
a)
5xlim3x
b)
²xlim5x
c)
x
senxlim
2x
Proposição 10: Se p é polinômio qualquer, para todo a ℝ:
)a(p)x(plimax
Exemplo: Calcule os limites abaixo:
(a) x²x7xlim4
2
1x
(b)
x7²x6x9x3
x8²x5x2lim
34
3
0x
180
(c)
3x
9²xlim
3x
Proposição 11: Teorema da raiz: Se p(x) é um polinômio e a é uma raiz deste
polinômio, ou seja, p(a)=o, então p(x) é divisível por x - a.
Exemplo: p(x)= x³ - 2x +1
No que isso pode ajudar a calcular limites? Ajuda nos casos de
indeterminação 0
0.
Exemplos:
(a)
1²x
1x2³xlim
1x
(b)
1³x
3
1x
1lim
1x
181
(c)
1x
1xlim
1x
Proposição 12: Considere k um número inteiro maior que 1, L um número real.
(a) Se k for ímpar e L)x(flimax
, então kk
ax
L)x(flim
.
(b) Se k for par e L)x(flimax
, então kk
ax
L)x(flim
para L > 0.
(c) Se k for par e 0)x(flimax
, então 0)x(flim k
ax
para f(x) > 0.
Proposição 13: Considere L um número real. Se L)x(flimax
, então L)x(flimax
.
Exemplo: Calcules os limites abaixo:
(a) 4²xlim1x
(b) 4²xlim3x
(c)
1x
4
1x 2
1xloglim
Observação: A função logarítmica é contínua no seu domínio ℝ+∗ .
32 Limites Laterais, continuidade e mais alguns resultados de limites finitos
Se no exemplo (c) anterior, o limite lateral não fosse definido, não
determinaríamos o resultado do limite com tanta facilidade, ou ainda, o limite
poderia não existir se os laterais fossem diferentes. Nos casos que não é tão
fácil saber o resultado de um limite lateral podemos usar o velho recurso de
troca de variável.
Considere h 0, sempre com h > 0.
Limite lateral à esquerda: Trocar x por a – h, então:
)ha(flim)x(flim0hax
Observação: Se h 0+ e x = a – h, então x a-
Limite lateral à direita: Trocar x por a + h, então:
)ha(flim)x(flim0hax
Observação: Se h 0+ e x = a + h, então x a+
182
Exemplo 1: Calcule os limites indicados fazendo a troca de variáveis
correspondente.
(a.1) 2xlim2x
(a.2) 2xlim2x
(a.3) 2xlim2x
(b.1) ²x9lim3x
(b.2) ²x9lim3x
(b.3) ²x9lim3x
Exemplo 2: Calcule os limites laterais indicados e conclua se a função é contínua.
(a) Em relação a f: ℝ ℝ, cuja lei é f(x) =
0x,x
x
0x,0
(a.1) x
xlim
0x
(a.2) x
xlim
0x
(a.3) É contínua em x = 0?
183
(a.4) Esboce seu gráfico:
(b) Considere f(x)=
1x,1²x
1x,1x, calcule os limites laterais:
(b.1) )x(flim1x
(b.2) )x(flim1x
(b.3) A função é contínua em x = 1?
Atenção: Funções definidas apenas por uma sentença são sempre contínuas no seu
domínio. Há perigo de uma função ser descontínua se for definida por mais de uma
sentença. Nesse caso os pontos suspeitos são os pontos em que há a mudança na
lei de formação.
Exemplos: Verifique a continuidade das funções abaixo em seu domínio.
(a)
2x²,x
2x,1x2)x(f
184
(b)
1x,1²x2
1x,2x)x(f
Proposição 14: Se L)x(flimx
e n uma constante natural, então nn
x
L)x(flim
Exemplos: a)
5
x x
1lim
b) xsenlim2
3x
Proposição 15: Se L)x(flimx
e M)x(glimx
, então M)x(g
x
L)x(flim
, desde que L e M
não sejam nulos ao mesmo tempo (indeterminação 00) ou L = 0 e M < 0 (proposição 8).
Exemplos: a) x2x
1xlim
b) xcos
3x
senxlim
c) xlog
2x
21x2lim
Observação: O limite lateral a direita do exemplo c não existe, pois o domínio
da função é D=],1[]1,2[.
33 Limites infinitos e no infinito
Já trabalhamos com a noção de limites infinitos e no infinito e alguns resultados.
Agora trabalharemos algumas proposições em decorrência do que estudamos e sabemos
de funções e a importante álgebra dos limites infinitos.
185
Proposição 16: São verdadeiras, em decorrência das funções exponencial e
logarítmicas estudadas:
(a)
0alim
x
x
e
xloglima
0x
se a > 1
(b)
x
x
alim e
xloglima
x
se a > 1
(c)
x
x
alim e
xloglima
0x
se 0 < a < 1
(d)
0alim
x
x
e
xloglima
x
se 0 < a < 1
Proposição 17: Álgebra dos limites infinitos: Se
)x(flimx
;
)x(glimx
; c e
d constantes reais em que c > 0 e d < 0, então:
(a)
)x(flimx
(b)
)x(g)x(flimx
(c)
)x(cflimx
(d)
)x(dflimx
(e)
)x(g)x(flimx
(f)
)x(flimc
x
Proposição 18: Álgebra dos limites infinitos: Se
)x(flimx
;
)x(glimx
; c e
d constantes reais em que c > 0 e d < 0, então:
(a)
)x(flimx
(b)
)x(g)x(flimx
(c)
)x(cflimx
(d)
)x(dflimx
(e)
)x(g)x(flimx
Observação: Descrever todas as combinações possíveis de limites infinitos com
constantes e limites finitos geraria uma lista muito longa. Podemos deduzir o
resultado desde que não caíamos numa indeterminação:
, - , 0, 0, 1, 0.
ou 0
0. Aqui, quando se fala em 0 ou em 1 está subentendido que são funções que
possuem este limite, não o próprio número 0 ou o próprio número 1, neste caso
não há indeterminação.
Exemplos:
a) x4
x
x 2
3lim
b) ²xlogxloglim22
0x
c) )x²x(limx
186
d) )x²x(limx
e) )3x8²x³x3(limx
f)
27x9x2x
14x2x3xlim
24
34
x
g)
2070xx22x
13x6x3xlim
23
35
x
²x4
h)
13x1x2x
13x6x2xlim
456
67
x 4
x4 3
187
i)
13x1x2x
13x6x2xlim
456
34
x 4
x4 2
j)
6x3
2²x
xlim
k) 6 5
3
1x
xxloglim
l) xx
x
x2lim
34. Limites Fundamentais
Os limites fundamentais resolvem algumas indeterminações importantes, que não
teríamos artifícios para chegar nos mesmos resultados, então tomamos como
verdades. Aproveitamos para trabalhar outras indeterminações:
0
0,
,
1 , 0 ,
0 ,
188
Antes de passar ao estudo dos limites fundamentais, veremos mais dois resultados
de limites que nos ajudarão a compreender mais os limites assim como os
fundamentais.
Teorema 19: Teorema do Confronto: Se f(x), g(x) e h(x) são funções tais que
f(x) < g(x) < h(x) para todo x e L)x(hlim)x(flimxx
, então L)x(glimx
.
Exemplo: x
senxlim
0x
Proposição 20: Se f(x) é uma função limitada, ou seja, para todo x D(f), tem-
se |f(x)| < k, sendo k uma constante positiva, e:
(a) 0)x(glimx
, então 0)x(g)x(flimx
.
(b)
)x(glimx
, então
)x(g)x(flimx
.
Exemplos:
a)x
senxlimx
b) xcos²xlimx
189
Proposição 21: 1x
senxlim
0x
Indeterminação 0
0.
Exemplos:
a) x
x3senlim
0x
b) x5sen
x3senlim
0x
c)
xsenx
xcos1lim
0x
d)
x
)x(senlimx
Proposição 22: k
x
x
ex
k1lim
Indeterminação 1.
Exemplos:
a)
x
x x
21lim
b)
x
x x3
21lim
c)
xln)1xln(xlimx
d)
x
x 3x2
1x2lim
190
Proposição 23: kx
1
0x
ekx1lim
Indeterminação 1.
Exemplos:
a)
x2
1
0x
x31lim
b)
senx
1
0x
senx41lim
c)
3
0x x1
x1ln
x
2lim
Proposição 24: alnkx
1alim
kx
0x
Indeterminação
0
0.
Exemplos: 1. Calcule os limites abaixo:
a)
x
1alim
x3
0x
b)
x
balim
xx
0x
c)
ax
1elim
ax
ax
191
2. Verifique a continuidade da função:
x,x
1e
x,)x(sen
x
)x(fx
35. Exercícios.
Calcule os limites abaixo:
9x7xlim45
0x
1- x1lim0x
2-
3- 34
1x
x2xlim
2x
4xlim
2
2x
4-
²2x3xlim2
4x
5-
1²x
1x2xlim
3
2x
6-
1²x
1x3³x3xlim
3
1x
7-
16²x
2
4x
5lim
4x8-
3x
9xlim
9x
9-
8x6
5x3limx
10-
5³x2
x²x4limx
11- x31x5²x9lim
x
12-
xsecxtanlim
2x
13-
10x3
2²xlimx
14-
²x
1
x
1lim
0x
15- x
24xlim
0x
16-
x
x2tanlim
0x17- )xcotansenx(lim
2x
18-
192
x
xcos1lim
0x
19-
x
x x
3xlim
20-
1x
x 7x5
4x5lim
21-
2x
110lim
2x
2x
22-
3x
82lim
x
3x
23-
senbxsenax
eelim
bxax
0x
24-
Calcule os limites laterais das funções abaixo; nos valores indicados. Determine se o
limite para a tendência indicada existe.
25-
0x,1
0x,1)x(f ,para x 0
2x
1)x(g
26- , para x 2
²x
1)x(h 27- , para x 0
1²x
1x)x(f
28- , para x 1
)²1x(x
1x)x(g
29- , para x 1
Examine a continuidade das funções com domínio ℝ, nos pontos indicados:
2x,3
2x,)²2x(
1
)x(f30-
0x,0
0x,x
x
)x(g31-
1x,1x
1x,3x)x(h32-
2x,3
2x,2x
1
)x(f33-
0x,x2
1e
0x,1
0x,x
senx
)x(g
x2
34- 35-
2x,
2xsen
2x,
2x
1sen
2x
)x(h
2
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
36. Taxa de Variação.
Muitos conceitos e fenômenos físicos, econômicos, biológicos, etc. estão
relacionados com taxa de variação.
Definição 25: Taxa de variação média. Considere x variável independente e y
variável dependente. Taxa de variação média de A(x1,y1) para B(x2,y2) é calculada
por:
tvm = 12
12
xx
yy
x
y
O coeficiente angular de uma reta é uma taxa de variação, velocidade e
aceleração de um móvel são taxas de variação. Se quisermos estudar a variação da
variável dependente quando a independente varia, temos uma taxa de variação.
Definição 26: Taxa de variação Instantânea. Considere x variável independente e
y variável dependente. Taxa de variação instantânea em A(x0,y0) para B(x,y) é a
variação da variável dependente quando a variação da variável independente tende
a zero, para medir-se a taxa de variação no instante x = x0.
tvi = 0
0
xx0z xx
yylim
x
ylim
0
Se quisermos a taxa de variação instantânea numa função dada, tem-se y=f(x) e y0
= f(x0), e:
tvi = 0
0
xx xx
)x(f)x(flim
0
ou tvi =
h
)x(f)hx(flim
00
0h
Exemplo: A tabela abaixo representa a altura de uma bola em relação ao solo t
segundos após seu lançamento.
t(seg) 0 0,5 1 1,5 2
h(m) 2 6,25 8 7,25 4
Calcule as seguintes velocidades médias:
a) de t = 0,5 para t = 1 b) de t = 1 para t = 1,5
Nesse caso não teríamos como calcular a velocidade instantânea em t = 1, pois
não temos a lei da função que relaciona a altura da bola com o tempo decorrido.
Exemplo: Considere que altura da bola é descrita pela função:
h(t) = -5t² + 11t + 2
Determine a velocidade instantânea da bola em t = 1s.
204
37. Derivada
Definição 27: A derivada de uma função, cuja lei é y = f(x), num ponto em que x
= x0 é:
0
0
xx0
xx
)x(f)x(flim)x('f
0
ou f’(x0) =
h
)x(f)hx(flim
00
0h
Se o limite existir a função é dita derivável em x = x0. Se o limite não existir,
assim, a função não é derivável em x = x = x0.
Notações: f’(x0), y’(x0), )x(dx
dy0, )x(
dx
df0
Veremos adiante, que a derivada pode não existir, pois a definição é a partir de
limite e o limite pode não existir, ou ser infinito.
Observação muito importante: A derivada de uma função num ponto é definida como
a taxa de variação instantânea dessa função nesse ponto e ainda é o coeficiente
angular da reta tangente à função no mesmo ponto.
Exemplo:1. Calcule a derivada da função, cuja lei é f(x) = x² - 9 nos pontos:
a) x = 1
b) x = 2
2. Calcule a derivada da função f(x) = senx no ponto x = 0.
Em vez de calcularmos n vezes limites muito semelhantes, podemos definir a
função derivada f’(x) e se precisarmos calcular em pontos específicos apenas
substituir valores de x.
38. Interpretação geométrica da derivada
Nos gráficos abaixo constam o gráfico da função real f(x); os pontos
P(x0,f(x0)) e Q(x,f(x)); a reta s que passa por P e Q e o triângulo retângulo
PAQ, que define o coeficiente angular da reta s. Deste modo, o coeficiente angular
da reta s é dado por a = tan = x
y
. Ou seja, o coeficiente angular da reta
secante é a taxa de variação média da função entre P e Q.
205
x = 1 x = 0,6
x = 0,4 x = 0,2
A medida que diminuímos x, ou melhor, fazemos x 0, observamos que Q P e
assim, no limite, a reta secante é a reta tangente1 à função no ponto P.
Observação: A derivada de uma função num ponto, ou seja, a taxa de variação
instantânea no ponto x = x0 é o coeficiente angular da reta tangente à curva no
ponto P(x0,f(x0)).
Equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto P(x0,f(x0))
y – y0 = f’(x0)(x-x0)
Também podemos definir a reta normal a uma curva, já que esta é perpendicular à
reta tangente.
Equação da reta normal à curva y = f(x) no ponto P(x0,f(x0))
y – y0 = )x('f
1
0
(x-x0)
Exemplo: Determine a equação da reta tangente e normal ao gráfico da
função f(x) = -2x²+ 4x + 2 no ponto em que x = 0.
1 Por definição reta tangente a uma curva e a curva interseccionam-se em apenas
um ponto.
206
39. Derivada de uma função
Definição 28: Função derivada. Se f é derivável para todo ponto de seu domínio,
f é dita derivável e a função derivada f’ é a função resultante do seguinte
limite:
f’(x) = h
)x(f)hx(flim
0h
Exemplo: Calcule as funções derivadas das funções, cujas leis são:
a) f(x) = 2
b) f(x) = 3x + 8
c) f(x) = x²
Na medida que resolvermos a função derivada para funções básicas, temos como
aplicar para toda função do mesmo tipo, dando origem a uma espécie de formulário.
Por exemplo, a derivada da função f(x) = 2 é f’(x) = 0, e se f(x) = 3, f(x) =
-1, ou melhor, se f(x) = k, k ℝ?
40. Funções derivadas de funções básicas:
Proposição 29: f(x) = k , k ℝ
dx
kd 0
Demonstração:
Sendo f(x) = k, então f(x+h) = k. Usando a definição de função derivada.
0h
0lim
h
kklim
h
)x(f)hx(flim
dx
)x(df
0h0h0h
CQD
Exemplo: y =
Proposição 30: f(x) = x
dx
xd 1
Demonstração:
Sendo f(x) = x, então f(x+h) = x + h. Usando a definição de função derivada.
1h
hlim
h
xhxlim
h
)x(f)hx(flim
dx
)x(df
0h0h0h
207
Proposição 31: g(x)= af(x) dx
)x(dfa
dx
))x(af(d
Demonstração:
Sendo g(x) = af(x), então g(x+h) = af(x+h). Usando a definição de função derivada.
h
)x(f)hx(falim
h
)x(af)hx(aflim
h
)x(g)hx(glim
dx
)x(dg
0h0h0h
= dx
)x(dfa
h
)x(f)hx(flima
0h
CQD
Exemplo: y = ax
Proposição 32: u(x)= f(x) + g(x) dx
)x(dg
dx
)x(df
dx
))x(g)x(f(d
Demonstração:
Sendo u(x) = f(x) + g(x), então u(x+h) = f(x+h)+g(x+h). Usando a definição de
função derivada.
h
)x(g)x(f)hx(g)hx(flim
h
)x(g)x(f)hx(g)hx(flim
dx
)x(du
0h0h
dx
)x(dg
dx
)x(df
h
)x(g)hx(glim
h
)x(f)hx(flim
h
)x(g)hx(g)x(f)hx(flim
0h0h0h
CQD
Exemplo: f(x) = ax + b
Proposição 33: f(x) = xn
dx
xdn
nxn-1
Demonstração: Considere o binômio de Newton:
bba1-n
n...ba
3
nba
2
n+ ba
1
n + a=b)+(a
n1-n33-n22-n1-nnn
e
n1n
n
1
n
, números binomiais que
Sendo f(x) = xn, então f(x+h) = (x+h)n E por sua vez
(x+h)n= hhxn...hx3
nhx
2
n+ hxn + x
n1-n33-n22-n1-nn
Usando a definição de função derivada.
h
)x(f)hx(flim
dx
)x(df
0h
=
h
x-hhxn...hx3
nhx
2
n+ hxn + x
lim
nn1-n33-n22-n1-nn
0h
=
h
hhxn...hx3
nhx
2
n+ hxn
lim
n1-n33-n22-n1-n
0h
=
1n2-n23-n2-n1-n
0h
hhxn...hx3
nhx
2
n+ nxlim nxn-1 CQD
208
Exemplo: f(x) = 4x³ - 3x + 5
Proposição 34: u(x) = f(x).g(x) dx
)x(df)x(g
dx
)x(dg)x(f
dx
))x(g)x(f(d
Demonstração:
Sendo u(x) = f(x).g(x), então u(x+h) = f(x+h).g(x+h). Usando a definição de
função derivada.
h
)x(g)x(f)hx(g)hx(flim
dx
)x(du
0h
=
h
)x(g)x(f)x(g)hx(f)x(g)hx(f)hx(g)hx(flim
0h
=
h
)x(f)hx(f)x(g)x(g)hx(g)hx(flim
0h
=
h
)x(f)hx(f)x(glim
h
)x(g)hx(g)hx(flim
0h0h
=
dx
)x(df)x(g
dx
)x(dg)x(f
h
)x(f)hx(flim)x(g
h
)x(g)hx(glim)x(f
0h0h
. CQD
Exemplo: f(x) = (ax + b)2
g(x)=(x³-1)6.(ax + b)3
Proposição 35: f(x) = senx xcosdx
)senx(d
Demonstração:
Sendo f(x) = senx, então f(x+h) = sen(x+h) = sen(x)cos(h)+sen(h)cos(x). Usando
a definição de função derivada.
h
)x(f)hx(flim
dx
)x(df
0h
=
h
)xcos()h(sen)x(sen)hcos()x(senlim
h
)x(sen)xcos()h(sen)hcos()x(senlim
0h0h
h
)h(senlim)xcos(
h
1)hcos(lim)x(sen
h
)xcos()h(senlim
h
1)hcos()x(senlim
0h0h0h0h
=
=
)xcos(
1)hcos(h
1)h(coslim)x(sen1)xcos(
1)hcos(
1)hcos(
h
1)hcos(lim)x(sen
2
0h0h
Somar ZERO
Colocar f(x+h) em evidência Colocar g(x) em evidência
Fundamental
do seno!!!
209
=
)xcos(
1)hcos(h
)h(sen)h(senlim)x(sen)xcos(
1)hcos(h
)h(senlim)x(sen
0h
2
0h
=
)xcos(
1)hcos(
)h(sen
h
)h(senlim)x(sen
0h
xcosxcos1)hcos(
)h(senlim)x(sen
0h
CQD
0
Proposição 36: f(x) = cosx senxdx
)x(cosd
Demonstração:
Sendo f(x) = cosx, então f(x+h) = cos(x+h) = cos(x)cos(h)-sen(x)sen(h). Usando
a definição de função derivada.
h
)x(f)hx(flim
dx
)x(df
0h
=
h
)h(sen)x(sen)xcos()hcos()xcos(lim
h
)xcos()h(sen)x(sen)hcos()xcos(lim
0h0h
h
)h(senlim)x(sen
h
1)hcos(lim)xcos(
h
)h(sen)x(senlim
h
1)hcos()xcos(lim
0h0h0h0h
=
0 (já resolvemos)
= )x(sen1)x(sen0)xcos( CQD
Proposição 37: f(x) = ax alnadx
)a(d x
x
Demonstração:
Sendo f(x) = ax, então f(x+h) = ax+h. Usando a definição de função derivada.
h
aaalim
h
aalim
h
)x(f)hx(flim
dx
)x(dfxhx
0h
xhx
0h0h
=
aln.ah
1alima
h
1aalim
x
h
0h
x
hx
0h
CQD
Exemplo: Derive a função f(x) = 1x .
Corolário 38: f(x) = ex x
x
edx
)e(d
Demonstração:
Sendo f(x) = ex, basta aplicar a proposição 31, com a = e.
xxx
x
e1eelnedx
)e(d
Proposição 39: Regra da cadeia Suponhamos que sejam deriváveis a função f(x)
e g(x) em relação à variável x, sendo elas f’(x) e g’(x), então:
dx
)x(gd)x(g
dx
df
dx
)x(fogd
Observação: )x(gdx
df significa a derivada
dx
)x(df composta com a g(x).
Fundamental
do seno!!!
Fundamental
do seno!!!
Proposição 24!!!
210
Demonstração:
fog’(x)=h
))x(g(f))hx(g(flim
0h
=
)x(g)hx(g
)x(g)hx(g.
h
))x(g(f))hx(g(flim
0h
h
)x(g)hx(g.
)x(g)hx(g
))x(g(f))hx(g(flim
0h h
)x(g)hx(glim.
)x(g)hx(g
))x(g(f))hx(g(flim
0h0h
(1)
Sabemos que h
)x(g)hx(glim
0h
= g’(x). Precisamos resolver:
)x(g)hx(g
))x(g(f))hx(g(flim
0h
Faremos uma troca de variáveis: t = g(x+h) – g(x). Com h 0, teremos t 0.
Isolando g(x+h) = g(x) + t. Substituindo isso no limite:
))x(g('ft
))x(g(f)t)x(g(flim
)x(gt)x(g
))x(g(f)t)x(g(flim
0t0t
.
Voltando a (1):
dx
)x(fogd
h
)x(g)hx(glim.
)x(g)hx(g
))x(g(f))hx(g(flim
0h0h
=
dx
)x(gd)x(g
dx
df CQD
Observação: 1. Sabendo as derivadas f’(x) e g’(x), a derivada da composta é o
produto de derivada de f, substituindo x por g(x), )x(gdx
df, por g’(x).
2. Toda essa demonstração NÃO É PARA ESQUECERES A MULTIPLICAÇÃO POR g’(x). Ela
é fundamental, sem ela a derivada ESTÁ TOTALMENTE ERRADA.
Exemplo: Derive as funções abaixo:
a) f(x) = )x5(sen
b) g(x) = )5(senx
c) h(x) = )5(senxcos
d) u(x) = )5(senxcos2
Corolário 40: Seja f(x) e g(x)=xn, considerando a função g(x) derivável, ou seja,
g’(x) existe, então a derivada da função gof(x) = g(f(x)) = f(x)n é dada por:
dx
)x(fd)x(nf
dx
)x(fd 1n
n
211
Demonstração: Aplicando a regra da cadeia: Usando a versão gof(x):
dx
)x(fd)x(f
dx
dg
dx
)x(gofd
Considere g(x) = xn e f(x) qualquer função de x. gof(x) =f(x)n. A derivada de
g(x) é : dx
)x(dg= nxn-1, então 1n
)x(nf)x(fdx
dg . Substituindo na regra da cadeia:
dx
)x(fd)x(nf
dx
)x(fd 1n
n
. CQD
Exemplo: Determine as funções derivadas das funções abaixo:
a) f(x)= (x2 + 1)100
b) g(x)= 3²x4
c) h(x)= 22
x3x
1
Proposição 41: u(x) = )x(g
)x(f
)²x(g
dx
)x(gd)x(f
dx
)x(fd)x(g
)x(g
)x(f
dx
d
Demonstração: Podemos demonstrar a derivada da divisão de duas funções
considerando que dividir equivale a multiplicar pelo inverso.
A proposição 28 nos diz que dx
)x(df)x(g
dx
)x(dg)x(f
dx
))x(g)x(f(d
. Nela, faremos a
seguinte adaptação: 1)x(g)x(f
)x(g
)x(f . Assim substituindo na proposição 28:
dx
)x(df)x(g
dx
)x(gd)x(f
dx
))x(g)x(f(d
)x(g
)x(f
dx
d 1
11
. (1)
Conhecemos f(x) e g(x), também suas derivadas, mas ainda não sabemos quem é a
derivada de [g(x)]-1 = )x(g
1.2
Agora, usando o corolário 35, temos que
dx
)x(gd)x(g
dx
)x(gd)x(g1
dx
)x(gd 211
1
.
Precisamos voltar para a equação (1):
2 Não podemos confundir [g(x)]-1 com g-1(x). Como por exemplo, se g(x) = ax, então
[g(x)]-1 = a-x e g-1(x)=logax. Uma é O inverso, e a outra é A inversa. Conceitos
matemáticos totalmente diferentes.
212
)x(g
)x(f
dx
d
dx
)x(df)x(g
dx
)x(gd)x(g).x(f
12 =
dx
)x(df
)x(g
1
dx
)x(gd
)x(g
)x(f2
.
Neste ponto do desenvolvimento para chegar na resposta, só precisamos manipular
algebricamente a expressão.
)x(g
)x(f
dx
d
222)x(g
dx
)x(gd)x(f
dx
)x(fd)x(g
)x(g
dx
)x(gd)x(f
)x(g
dx
)x(fd
dx
)x(gd
)x(g
)x(f
dx
)x(fd
)x(g
1
. CQD
Exemplo: Determine as funções derivadas das funções abaixo:
a) f(x)= x³ - 2x +1
b) g(x)= (x + 3)(4x² - 3)
c) h(x) = x43
1x2
d) f(x)= (x³ - 2x +1)²
e) h(x)= tanx
213
f) g(x)= 32x-1 .cos(2x)
g) f(x)= x
e
)x4tan(
41. Derivada da Função Inversa
Temos como calcular a derivada de uma função conhecendo a derivada de sua
inversa. Por exemplo, f(x) = x2 em ]0,+[ e g(x) = x em ]0,+[ são funções inversas. Vejamos:
f’(x) = 2x e g’(x)= x2
1
Reescreveremos da seguinte maneira, considerando que y = f-1(x)= x
g’(x)= y2
1=
)y('f
1
Teorema 42: Teorema da função inversa Seja f: I ℝ uma função derivável e
crescente (ou decrescente) em um intervalo não trivial I. Se f’(x) 0 para
todo x I, então f-1 é derivável em f(I) e (f-1)’(f(x))= )x('f
1.
Exemplo: Determine as derivadas das funções abaixo, pelo teorema da função
inversa.
a) f(x) = logax
214
b) g(x)= lnx
c) g(x) = ln(x2-1)
d) f(x)=sen(ln(2x+1))
e) h(x) = arcsenx
f) g(x) = 1²xarcsen
215
g) y = arctanx
42. Derivadas Sucessivas
O princípio é simples. Dizemos que derivada segunda de uma função é a
derivada da função derivada. A derivada terceira é a derivada da derivada
segunda e assim por diante.
Notação: Para derivada segunda (derivada da derivada) "y"fdx
fd
2
2
Para derivada terceira (derivada da derivada segunda) 3
3
dx
fd= f”’ = y”’
Observações:1. Nada podemos garantir sobre a derivabilidade de uma função n
vezes. Existem funções que são infinitamente deriváveis e outras não existe se
quer a derivada de ordem 2. Podemos relacionar este fato com a continuidade das
funções. 3. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em função do tempo.
Por sua vez, velocidade é a taxa de variação do deslocamento em função do tempo,
ou seja, a aceleração é a derivada segunda do deslocamento em relação ao tempo.
Exemplo: Determine as derivadas indicadas:
a) Derivada segunda de f(x)= (x2 + 1)100
216
b) Derivada quinta de f(x)= arcsen(cos(5x))
43. Alguns exercícios
Atenção: Os exercícios aqui indicados são apenas uma amostra. RECOMENDAMOS
EXPRESSAMENTE que busques fontes bibliográficos para complementar teu estudo.
Em relação às funções abaixo, calcule as derivadas nos pontos indicados se
existirem:
1- f(x) = x³ determine f’(1)
2- f(x) = x²+x
1 determine f’(1)
3- f(x) = x2 determine f’(2)
4- f(x) = 1²x
1
determine f’(0)Determine a equação da reta tangente às funções
abaixo, nos pontos indicados:
5- f(x) = x²- 3x – 4 no ponto em que x = -1
6- f(x) = x
1 no ponto em que x = 1
7- f(x) = 1x no ponto em que x = 5
8- Um projétil é lançado de um penhasco de 122,5 metros de altura. O
deslocamento s, em metros, do projétil em função do tempo t, em segundos, é
descrito pela função s(t)=4,9t², determine a velocidade e a aceleração do
projétil nos instantes:
(a) t = 0 s (b) t = 1 s (c) t = 3 s (d) Em que atinge o solo.
Determine as funções derivadas das funções abaixo:
9- f(x) = 3x(8x³-2)
10- g(x) = 3²x
1x
11- h(x) = 3 2x7²x6
12- f(x) = e(x³+2)³
217
13- g(x) = )1x2ln(
1x2
14- h(x) = 1x
ex
15- f(x) =
4
x21
1x3
16- g(x) = x11
17- h(x) = cos(4x²-1)
18- f(x)=
2
9x4²sen
19- g(x)=ln(cos(5x))
20- h(x) = tan(x)
21- f(x) =
x4²x3
senxln
22- g(x) =
2
xe
²x9ln
23- h(x) = (3x²+5)4x+1
24- f(x) = )x5(tan12
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227