1

中国数学会均匀设计分会

沐浴在改革开发的阳光下，神州大地生机盎然，新生事物层出不穷。在科教兴国建设四化的过程中，人们熟悉的那些传统的试验设计方法，已不能充分满足快节奏高效率的要求。新时期呼唤新思维 ¸ 新方法。

中国科学家巧妙的将“数论方法”和“统计试验设计”相结合，发明了一种全新的试验设计方法，这就是均匀设计法。

均匀设计法诞生於１９７８年。由中国著名数学家方开泰教授和王元院士合作共同发明。

前言

2

3华罗庚 王元

4

均匀设计是一种试验设计 方法。它可以用较少的试验次数，安排多因素、多水平的析因试 验，是在均匀性的度量下最好的析因试验设计方法。均匀设计也是仿真试验设计和稳健设计的重要方法。

5

入門(PPT)

Introduction to

6

策划 : 方开泰 执笔 : 王柱

- 1 -

7

使用方法

我们通过制药工业中的一个实例 , 来看均匀设计表的使用方法。

例 1.1 : 阿魏酸的制备

8

这就是说以阿魏酸的产量作为目标 Y。

阿魏酸是某些药品的主要成分，在制备过程中，我们想增加其产量。

全面交叉试验要 N=73=343 次 , 太多了。

建议使用均匀设计。

有现成的均匀设计表，提供使用。参见 : 　　

9

经过分析研究，挑选出因素和试验区域，为原料配比 :1.0---3.4吡啶总量 :10----28反应时间 :0.5---3.5确定了每个因素相应的水平数为 7 。如何安排试验呢 ?

经过分析研究，挑选出因素和试验区域，为原料配比 :1.0---3.4吡啶总量 :10----28反应时间 :0.5---3.5确定了每个因素相应的水平数为 7 。如何安排试验呢 ?

“ 方开泰 , 均匀设计与均匀设计表 , 科学出版社 (1994).” 之附表 1

网络地址 :http://www.math.hkbu.edu.hk/UniformDesing

也可以浏览如下网页

因素x1

原料配比x2

吡碇总量(ml)

x3

反应时间(hr)

1.0 10 0.5

水 1.4 13 1.01.8 16 1.52.2 19 2.0

平 2.6 22 2.53.0 25 3.03.4 28 3.5

第 1 步 : 将试验因素的水平列成下表：第 1 步 : 将试验因素的水平列成下表：

表 1.1.1:

10

第 2 步 : 选择相应的均匀设计表 .第 2 步 : 选择相应的均匀设计表 .

每个均匀设计表有一个记号，它有如下的含义 :

Un(qs)

均匀设计

试验次数 水平数

因素的最大数

11

例如 :

)7( 47U

No. 1 2 3 4

1 1 2 3 6

2 2 4 6 5

3 3 6 2 4

4 4 1 5 3

5 5 3 1 2

6 6 5 4 1

7 7 7 7 7

)9( 49U

No. 1 2 3 41 1 2 1 32 2 5 4 53 3 9 8 74 4 3 6 95 5 4 7 16 6 7 2 67 7 1 9 48 8 6 3 89 9 8 5 2

表 1.1.2:

表 1.1.3:

12

每个表还有一个使用表，将建议我们如何选择适当的列。其中‘偏差’为均匀性的度量值，数值小的设计表示均匀性好。例如 U7 (74) 的使用表为 ,

因素数 列号 偏差2 1, 3 0.23983 1, 2, 3 0.37214 1, 2, 3, 4 0.4760

No. 1 2 3 41 1 2 3 62 2 4 6 53 3 6 2 44 4 1 5 35 5 3 1 26 6 5 4 17 7 7 7 7

No. 1 2 31 1 2 32 2 4 63 3 6 24 4 1 55 5 3 16 6 5 47 7 7 7

)47(7U 表 1.1.4:表 1.1.2:

13

第 3 步 : 应用选择的 UD- 表 , 做出试验安排。第 3 步 : 应用选择的 UD- 表 , 做出试验安排。

No. 1 2 31 1 2 32 2 4 63 3 6 24 4 1 55 5 3 16 6 5 47 7 7 7

1. 将 x1, x2 和 x3放入列 1,２和 3.x1 x2 x3 2．用 x1 的７个水平替代第一列的 1 到 7.

1.01.41.82.22.63.03.4

3. 对第二列，第三列做同样　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　的替代 .

13 1.519 3.025 1.010 2.516 0.522 2.028 3.5

4. 完成该设计对应的试验，得到７个结果，将其放入最后一列 .

y0.3300.3660.2940.4760.2090.4510.482

表 1.1.5:

14

第 4 步 : 用回归模型匹配数据第 4 步 : 用回归模型匹配数据

首先，考虑线性回归模型 :

这个结果与人们的经验不符。

)1.1.1(3322110 xxxy

使用回归分析中变量筛选的方法，比如‘向后法’，得到推荐的模型为：

)2.1.1(0792.02142.0ˆ 3xy

15

然后，我们尝试用二次回归模型来匹配这些数据：

使用‘向前’的变量选择法，我们发现适宜的模型：

(1.1.3)322331132112

2333

2222

21113322110

xxxxxx

xxxxxxy

)4.1.1(0235.006.025.006232.0ˆ 31233 xxxxy

16

来源 df SS MS F p

回归 3 0.062190 0.020730 43.88 0.006

误差 3 0.014170 0.000472

总和 6 0.063608

表 1.1.6: 方差分析（ ANOVA ） 表

的示意图残差与y

状态是正常的，所以模型 (1.1.4) 是可接受的。

图 1.1.1:

y

yy ˆ

17

.88.4,64.5,41.6

,02174.0,978.0

31233

2

xxxx ttt

sR具有

模型 )4.1.1(0235.006.025.006232.0ˆ 31233 xxxxy

中的三项，在 5% 的水平下都是显著的。

图 1.1.2a 匹配图 图 1.1.2b 正态 Q-Q 图

图 1.1.2c 偏回归图

18

第 5 步 : 优化 -- 寻找最佳的因素水平组合第 5 步 : 优化 -- 寻找最佳的因素水平组合

表 1.1.5 的设计是 73=343 个全面试验的部分实施 , 其中最好的试验点是值为 Y= 48.2% 的 #7 。它不一定是全局最好的。人们想找到满足下式的 x1

* 和 x3* :

),(ˆmax),(ˆ31

*3

*1 xxYxxY

这里求取max 的区域为：

5.35.0,4.31 31 xx

3123331 0235.006.025.006232.0),(ˆ xxxxxxY 且

19

x1x3 的回归系数是正的， x3 的回归系数也是正的 , x1* = 3.4.

2333 06.03309.006232.0),4.3(ˆ xxxY

在 x3* = 2.7575达到最大值 。

图 1.1.3

等值线图 (x1*,x3

*

)

在 x1* = 3.4 和 x3

* = 2.7575处估计响应的最大值是 51.85% 。它比７个试验点的最好值 48.2% 还大。

20

讨论 :

因素 x2 没有给响应 Y 予显著的贡献，我们可以选　 x2 为其中点　 x2 = 19 ml.

求出的 x1* = 3.4 在边界上 , 我们需要扩大　 x1 的试验上限。

在 x1 = 3.4 和 x3 = 2.7575 的邻域 , 追加一些试验是必要的。

21

在第５步，一些优化算法是很有用的。

混合型水平的均匀设计

试验中各因素若有不同水平数，比如，其水平数分别为 q1 …， ， qk。

22

这时应使用相应的均匀设计表。见

“ 方开泰 , 均匀设计与均匀设计表 , 科学出版 (1994).”

之附表 2

每个混合水平表有一个记号，含义为：每个混合水平表有一个记号，含义为：

Un(q1 × … × qk )

均匀设计

试验次数 各定量因素之水平数

定量因素的最大数

23

下表是一个混合水平均匀设计表 :24

它的试验数ｎ为 12 。可以安排水平数为６、４、３的因素各一个。

1 2 31 1 2 32 1 3 23 2 5 14 2 6 45 3 1 26 3 3 17 4 4 48 4 6 39 5 1 1

10 5 2 411 6 4 312 6 5 2

U12(624)

此表也是混合水平均匀设计表。

25

它的试验数ｎ为 12 。可以安排二个 6 水平因素和一个4 水平因素的设计。

- 2 -

26

使用方法

考虑 4 个因素： 平均施肥量 X ，分为 12 个水平 (70,74,78,82,86,90,94,98,102,106,110,114)。

种子播种前浸种时间 T ，分为 6个水平 (1,2,3,4,5,6)。 土壤类型 B ，分 4种 B1， B2， B3， B4。 种子品种 A ，分 3个 A1， A2， A3。

对某农作物产量的影响 ,前两个为定量因素，后两个为定性因素。

27

例 2 .1: 在农业试验中

如何安排试验，引出了下面的内容。

混合型因素混合型水平的均匀设计

一般情况下试验中既有定量型连续变化因素，又有定性型状态变化因素。假设有 k个定量因素 X1,…,Xk；这 k个因素可化为 k个连续变量， 其

水平数分别为 q1 …， ， qk。又有 t个定性因素 G1,…,Gt，这 t个定性因素分别有 d1 …， ， dt个状态。

28

人们使用“拟水平法”，或用优化方法计算，求出相应的均匀设计表。

这种混合因素混合水平表有如下的记号和含义：这种混合因素混合水平表有如下的记号和含义：

Un(q1 × … × qk × d1 × …× dt )

均匀设计

试验次数各定性因素

之水平数

定性因素的最大数

各定量因素之水平数

定量因素的最大数

29

U12(12×6×4×3 ２ ×2 ２ ) 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 2 3 1 2 2 2 2 2 3 2 2 1 3 3 3 3 2 1 1 2 4 4 4 4 3 1 2 1 5 5 5 1 1 2 2 2 6 6 6 2 3 2 1 1 7 7 1 3 1 1 1 1 8 8 2 4 3 3 2 1 9 9 3 1 1 3 2 2 10 10 4 2 2 2 1 2 11 11 5 3 1 1 1 1 12 12 6 4 2 3 2 2

30

例：

１２次试验。

可以安排２个

水平数为 12 和

6 的定量因素，

以及总数为５的一个水平

为 4 、两个水

平为 3 和两个

水平为 2 的定

性因素的设计。

U12(12×6×4×3 )

31

表 2.1.1

2461212

1351111

2241010

11399

34288

13177

32666

11555

34444

23333

32222

21111

4321

我们选均匀设计表 2.1.1 安排此试验

第一列安排平均施肥量 X ，分为 12 个水平

第二列安排种子播种前浸种时间 T ，分为 6个水平

第三列安排土壤类型B ，分 4种B1， B2， B3，B4。

第四列安排种子品种A ，分 3个A1， A2， A3。

9746114

10625110

12204106

11873102

1069298

1053194

1271690

1111586

927482

899378

901274

771170

24

13

22

11

34

13

32

11

34

23

32

21

AB

AB

AB

AB

AB

AB

AB

AB

AB

AB

AB

AB

ABTX 值

试验的安排及结果如表 2.1.2

32

为了进行分析，我们引进 5 个‘伪变量’。它们的记号和取值如下：

33

它们和 Ｘ、Ｔ 一起进行回归分析。

B 因素的 )000100010001(31 z

)001000100010(32 z

)010001000100(33 z

)010101010000(41 z

)101000000101(42 z

A 因素的

回归方程如下 :

0000061141

1110051101

0001041061

1100131021

000002981

011001941

000106901

010015861

000004821

101003781

000102741

100011701

974

1062

1220

1187

1069

1053

1271

1111

927

899

901

771

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

7

6

5

4

3

2

1

0

42 7 41 6 33 5 32 4 31 3 2 1 0Z Z Z Z Z T X y

+=

34

84.1

8753.0

875.168ˆ50.124ˆ45.144ˆ98.208ˆ09.231ˆ625.12ˆ54.8ˆ96.158ˆ

7

6

5

4

3

2

1

0

F

R

不显著。需进一步考虑高阶回归项。 若我们考虑除主效应外，再多考虑一个 2 次效

应和一个交互效应。这时回归方程化为

35

解得回归系数的最小二乘估计及其Ｒ和Ｆ值为：

0114

0110

4106

0102

098

094

690

086

082

078

274

070

0000061141

1110051101

0001041061

1100131021

000002981

011001941

000106901

010015861

000004821

101003781

000102741

100011701

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

974

1062

1220

1187

1069

1053

1271

1111

927

899

901

771

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

) (32 92

8 42 7 41 6 33 5 32 4 31 3 2 1 0Z T X Z Z Z Z Z T X y

+=

36

解得

5883.14170

0000.1

0600.11ˆ4937.0ˆ6920.41ˆ3200.91ˆ6902.101ˆ7927.144ˆ9875.199ˆ8600.9ˆ8649.98ˆ3642.3898ˆ

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

F

R

非常显著

37

回归系数的最小二乘估计及其Ｒ和Ｆ值为：

) (32 92

8 42 7 41 6 33 5 32 4 31 3 2 1 0Z t X Z Z Z Z Z t X y38 5883.14170

0000.1

0600.11ˆ4937.0ˆ6920.41ˆ3200.91ˆ6902.101ˆ7927.144ˆ9875.199ˆ8600.9ˆ8649.98ˆ3642.3898ˆ

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

F

R

方程为 :

其中1. 含变量 x 的两项与其它是分离的（即可加的），最大值点在 x=100.127 。2. 含变量 z41 z42 的两项与其它是分离的，最大值点在 z41=0 z42=0 ，即品种3 为好。3. 含变量 Ｔ z31 z32 z33 的四项与其它是分离的，最大值点可能在

z31=1 z32=0 z33=0 类型为 1 ，Ｔ =6

或 z31=0 z32=1 z33=0 类型为 2 ，Ｔ=6

比较后知道为后者。

所以得到最佳状态组合为施肥量 X=100.127，

浸种时间 T=6，

土壤类型B 取 2 ，种子品种A 取 3 ，

此 时 最 大 值 估 计 为

4515.1321

7929.144692.203642.3898

127.1008619.98127.1004937.0ˆ 2

my

39

一、表的选择 , 因素及水平的安排 若试验中有 k个定量因素和 t个定性因素时，我们从混合型均匀设计表中选出带有 s=k+t 列的Un(q1×…×qk×d1×…×dt) 表。

这里要求 n≥k+d+1, 其中 d=(d1+…+dt -t). 为了给误差留下自由度，其中的 n最好不取等号。

表中前 k列对应 k个连续变量， 表中后 t列可安排定性因素。 安排 n个试验，得到n个结果 y1， y2 …， ， yn。

40

下面综述应注意的事项：

为了分析，首先要将定性因素之状态，依照伪变量法， 将第 i个因素分别化成 (di-1) 个相对独立的 n维伪变量 Zi1,Zi2,…， Zi(di-1)。

将这总共 d=(d1+…dt-t) 个伪变量与相应的 k个连续变量 X1 …， ， Xk一起进行建模分析。

为了保证主效应不蜕化，要对混合型均匀设计表进行挑选。

41

二、试验结果的回归建模分析

如果不理想 ,则

42

ij

t

i

di

jij

k

jjj ZXy

1

1

110

首先考察它们的一阶回归模型：

再考虑一些交互效应，和一些连续变量的高次效应。显然最多可考虑的附加效应数为m个，这里 m≤n-(k+d-2)

值得指出的是，由于 Zij *Zij=Zij , 因此无需考虑伪变量的高阶效应 ,只考虑连续变量的高次效应即可 .

又因为 Zij1*Zij2=0,j1≠j2 时 , 因此也无需考虑同一状态因素内的伪变量间的交互效应。

只有 i1≠i2 时 ,才有可能使 Zi1j1*Zi2j2≠0 ，即不同状态因素间的交互效应可能要考虑 . 。

此外，不要忘记考虑连续变量与伪变量的交互效应。

至于 三个以上的状态因素间 的交互效应项Zi1j1*Zi2j2*Zi3j3≠0 的可能性就更少了。

43

- 3 -

44

使用方法

许多产品都是混合多种成分在一起形成的。

面粉水糖

蔬菜汁 椰子汁 盐

发酵粉乳酸

钙 咖啡粉香料

色素

咖啡面包怎样确定各种成分的比例呢？

经验 试验混料试验

混料配方均匀设计

45

有 s 个因素 : X1, , Xs 满足

Xi 0, i = 1, , s 和 X1 + + Xs = 1.

试验区域为单纯形

Ts = {(x1, , xs): xi 0, i = 1, , s , x1 + + xs = 1. }

单纯形格子点设计 (Scheffe, 1958).

单纯形重心设计 (Scheffe, 1963).

轴设计 (Cornell, 1975)

人们提出了许多混料设计方法，如

46

例如 , 成分数 s = 3

单纯形格子点设计 单纯形重心设计

d

轴设计

这些设计的全面评价请参考：Cornell, J. A. (1990). Experiments with Mixtures: Designs, Models and the Analysis of Mixture Data. Wiley, New York.

47

混料均匀设计

上述设计的弱点：　　　　许多点在 Ts 的边界上；　　　　给用户设计的选择不多。

　　　　混料均匀设计是要寻找在 Ts上均匀散布的试验点。

　问题 : 怎样设计这些试验点呢？

变换方法

48

给定 s-1 维单位立方体 C s-1上的均匀设计，且用

{Ck = (ck1, ,ck,s-1), k = 1, ,n}

表示。则进行下列必要的 变换：

(3.1.1)

1

1

1

1

1

11

1

s

jkjks

i

jkjkiki

js

jsis

cx

ccx

{xk = (xk1, ,xks), k = 1, ,n} 是 Ts.上的均匀设计。

49 变换方法

例 3.1 构造 T3 上带有 11 个 ( 配方 )试验点的均匀设计。 假设我们选用 U11(112) 和相关的 Ck, k = 1, ,11:

,

511

1010

29

88

67

36

115

14

73

92

41

)11( 211

U11

5.0 kk ;

4091.09545.0

8636.08636.0

1364.07727.0

6818.06818.0

5000.05909.0

2273.05000.0

9545.04091.0

0455.03182.0

5909.02273.0

7727.01364.0

3182.00455.0

c

50

变换公式 (4.1) 现在成为 :

(3.1.2).

);1(

;1

213

212

11

kkk

kkk

kk

ccx

ccx

cx

.

3997.05773.00230.0

8026.01267.00707.0

1199.07592.01210.0

5630.02627.01743.0

3844.03844.02313.0

1607.05464.02929.0

6105.00291.03604.0

0256.05384.04359.0

2817.01950.05233.0

2853.00839.06307.0

0678.01454.07868.0

),,( 321

kkk xxxx

用这个变换公式 , 正方形 [0,1]2上的均匀设计 Ck = (ck1, ck2), k = 1,

,11 导出 T3上的均匀设计 Xk = (xk1, xk2, xk3), k = 1, ,11 如下 :

51

区域 T3 是一个边长为 的等边三角形 , 用 V2 表示。2

1

11

T3

x1 x2

x3

T3

可以证明： V2 上的任何点 (z1, z2) 到 V2 的三条边之距离　 d1, d2

和 d3, 满足 d1+d2+d3 = 1.

d1 d2

d3

因此， V2 上任何点 (z1, z2) 都对应一个 T3 上的点 (x1, x2, x3)， 如果我们像这样在 V2上建立一个新坐标系统的话。

x1 x2

x3

52

给定点 (x1, x2, x3) ，计算点 (z1, z2) 的公式是：

12

231 3)(2

xz

xxz

图 3.1.2a

c1

c2

图 3.1 .2b

53

- 4-

54

介绍

均匀设计软件均匀设计软件有中、英文两个版本。该软件中列举了许多较均匀的设计表，并给出了数据分析方法。

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57

程序设计者杜明亮和方法指导者方开泰教授在一起

58

均匀设计软件可用于

* 与试验设计相关的大学本科或研究生课程 *自然科学研究的试验设计

* 工业试验和国防科研

*系统工程、仿真试验

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（一）设计

•均匀设计表

- 用好格子点法生成 - 用拉丁方生成 - 用优化方法生成

•带拟水平的均匀设计表

•带约束的配方设计

•无约束的配方设计

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（二）数据分析

•建模 -简单线性模型 -二次模型 -自选模型

•选择变量 - 前进法 -逐步回归法 - 最优子集法 -自选变量

•统计诊断 -残差点图、正态 Q-Q点图 - 偏回归点图 -拟合比较图 -等高线图 -三维图

•综合分析 - 多响应模型分析 -优化 -预报 - 相关系数 -各类诊断点图

小结

我们介绍了有关均匀设计的一些知识：均匀设计表的构造和用法；介绍了有关均匀设计软件的一些内容。

我们强调的是正确使用均匀设计表。即：能确定试验目标，能找出影响因素及其变化范围，合理确定水平数及其值，正确安排试验，对试验结果进行适当的分析，得出恰当的认识。幸好，均匀设计分会研制的“均匀设计软件Ｖ 3.0” 可以帮助你完成这些工作。

61

想了解原理者请接看下面的附录。

主要参考文献

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,PPT， kaitai,Fang

含有定性因素的均匀设计 ,PPT, 王柱

均匀设计八讲，拷贝，方开泰

均匀设计与均匀设计表，书，方开泰

均匀设计与正交设计的关联和比较，文章，方开泰，马长兴含有定性因素均匀设计均匀性的度量，文章 , 王柱，方开泰均匀设计理论及其应用研讨会，论文集均匀设计论文选，第一集

均匀设计Ｖ３ .0 ，软件，方开泰，杜明亮　　

均匀设计论文选，第二集