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Universal Gravity型空間経済モデルのポテンシャル・ゲーム表現

第60回土木計画学研究発表会・秋大会

2019年11月30日@富山大学

山口 修平，赤松 隆

（東北大学 大学院情報科学研究科）

研究の背景

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❖Universal gravity型空間経済モデル[以降，UGモデル]

幅広いクラスの国際・地域間空間経済モデルが共通の数理的構造を持つ (Allen et al.(2019))

•例： Allen and Arkolakis (2014), Krugman (1991)

❖均衡解の理論的特性の把握，数値計算：一般には容易ではない

短期均衡 (市場均衡； 財取引量，財価格の決定)：

•不動点問題に帰着

長期均衡 (空間均衡； 立地パターンの決定)：

•複数均衡が生じ得る

本研究の目的

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❖目的： Universal Gravity型空間経済モデルをポテンシャル・ゲームとして表現するための理論的枠組みを構築

UGモデルは共通の枠組みで分析可能

短期均衡を最適化問題の形式で表現

❖ポテンシャル・ゲーム・アプローチ

均衡問題を等価なポテンシャル最大化問題として表現

•解の理論的特性の把握や数値計算が容易に

❖空間：

離散的な 箇所の立地点

❖経済主体

消費者(CES型効用関数)，企業（消費者の労働が生産要素）

❖分析対象：経済学的仮定の異なる4つのモデル

UG空間経済モデルの基本設定

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モデル 市場技術的外部性

賃金方程式の解析解

国際貿易モデル

Armington (1969) 完全競争 × ×

Allen-Arkolakis (2014) 完全競争 ○ ×

NEGモデル

Krugman (1991) 独占競争 × ×

Forslid-Ottaviano (2003) 独占競争 × ○

短期均衡： Universal Gravity として表現

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❖地点 間の財交易額 地点 で生産される財の地点 における価格，需要量

❖Universal gravity モデル共通の構造：

シェア・モデル型

例1：Allen-Arkolakis

❖短期均衡条件

利潤ゼロ条件（賃金方程式）

予算制約

地点 j の消費者の総賃金

地点 j の消費者支出のうち地点 iの財購入が占める割合

例2：Forslid-Ottaviano

i, j 間の輸送費用

（氷塊型）

消費者数

賃金パラメータ

効用最大化，利潤最大化の結果

c

ポテンシャル・ゲーム表現(1)社会厚生最大化

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❖[命題1] UGモデルの短期均衡は以下の社会厚生関数の最大化問題と等価

厚生加重は“所得限界効用の逆数”（＝価格指数）と一致

根岸定理の応用例として解釈可能• 根岸定理(1960)：完全競争市場では，すべての消費者の効用関数を加重して集計した社会厚生関数の最大解と市場均衡状態が一致

厚生加重 消費者数×間接効用

上位問題：厚生加重の決定

下位問題：社会厚生関数の最大化価格指数

ポテンシャル・ゲーム表現(2)エントロピー最大化

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❖ はシェア・モデル型．変数変換によりロジット型に．

そのままでは積分不可能→2段階の問題へ

❖[命題2] UGモデルの短期均衡は以下のエントロピー最大化問題と等価

双対問題

上位問題：“総支出額（予算）”の決定

下位問題：“支出の配分”の決定（確率的利用者均衡配分と対応）

2地点間輸送費用

消費者数

賃金 に対応

下位では“総支出額”を固定

短期均衡の特殊ケース： FOモデル

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❖賃金方程式を解析的に解けるモデル(Forslid-Ottavianoモデル)

1段階のエントロピー最大化問題に帰着• 変動需要型 確率的配分（片側制約のOD交通量推計）と対応

シェアを表す項に が入らない

逆需要関数（ を“総需要”と捉える）

おわりに

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❖Universal Gravity モデルの短期均衡は共通の構造を持つことを明らかにした

社会厚生最大化

エントロピー最大化

•解の理論的特性(e.g., 解の存在・一意性)の把握が容易

•数値計算，パラメータ推定の実行：効率性・収束性が保証されたアルゴリズムを利用可能

❖今後の課題

長期均衡をポテンシャル・ゲームとして表現できるための条件を明らかにする

Multi-scale 空間経済モデルへの展開

2段階最適化問題として表現

参考文献

• Akamatsu, T., Fujishima, S. and Takayama, Y.: Discrete-space Agglomeration Models with Social Interactions:

Multiplicity, Stability, and Continuous Limit of Equilibria, Journal of Mathematical Economics, Vol.69, pp.22-37, 2017.

• Allen, T., Arkolakis, C. and Takahashi, Y.: Universal Gravity, Journal of Political Economy, in press, 2019.

• Allen, T., and Arkolakis, C.: Trade and the topography of the spatial economy, The Quarterly Journal of Economics,

pp.1085-1139, 2014.

• Allen, T.: Modern Spatial Economics, lecture note, 2014.

• Armington, P. S.: A Theory of Demand for Products Distinguished by Place of Production, International Monetary

Fund Staff Papers, Vol.16, pp.159-178, 1969.

• Beckmann, M. J.: Spatial equilibrium in the dispersed city, in Papageorgiou, Y. Y. ed., Mathematical Land Use Theory,

Lexington Book, 1976.

• Forslid, R. and Ottaviano, G. I. P.: An analytically solvable core-periphery model, Journal of Economic Geography, Vol.

33, No. 3, pp. 229–240, 2003.

• Fujita, M., Ogawa, H. : Multiple equilibria and structural transition of non-monocentric urban configurations, Regional

science and urban economics, Vol.12, No.2, pp.161-196, 1982.

• Krugman, P.: Increasing Returns and Economic Geography, The Journal of Political Economy, Vol.99, No.3, pp.483-

499, 1991.

• Pflüger, M.: A simple, analytically solvable, chamberlinian agglomeration model, Regional Science and Urban

Economics, Vol. 34, No. 5, pp. 565–573, 2004.

• Sandholm, W. H.: Population games and evolutionary dynamics, MIT press, 2010.

• 山口修平，赤松隆：複数都心形成モデルの確率安定性解析―線分都市vs.円周都市―，土木学会論文集D3(土木計画学),

Vol.75, No.2, pp.109-127, 2019.

• 山口修平，赤松隆：土地・労働市場均衡を内生化した空間経済モデルのポテンシャル・ゲーム表現，土木計画学研究・講演集(CD-ROM), Vol.58, 2018.

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付録：Universal Gravity として表現

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❖Armington

❖Allen-Arkolakis

❖Krugman

❖Forslid-Ottaviano

i, j 地点間距離

消費者数賃金

パラメータ

企業の生産性（パラメータ）