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UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE MINAS

METODOLOGÍA DE PLANIFICACIÓN DE CORTO PLAZO INTEGRANDO RESTRICCIONES GEOMETALÚRGICAS

MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL DE MINAS

TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE MAGÍSTER EN MINERÍA

CAMILO IGNACIO MORALES MOLDENHAUER

PROFESOR GUÍA: ENRIQUE RUBIO ESQUIVEL

MIEMBROS DE LA COMISIÓN:

ANDRÉS WEINTRAUB POHORILLE JULIÁN ORTIZ CABRERA CARLOS ÁVILA URRUTIA

SANTIAGO DE CHILE OCTUBRE 2009

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Resumen

La explotación masiva de minas a cielo abierto es diseñada y planificada sin integrar la variabilidad espacial de mineralogía presente en el depósito. En general, estas operaciones se planifican con un modelo de recursos sobre el millón de bloques de mineral lo cual requiere realizar agregaciones de varios cientos de bloques para realizar la planificación de la mina. Esta agregación de bloques induce discrepancias entre la planificación de largo y corto plazo, puesto que tanto en el diseño de la mina como en la planificación de largo plazo, no se consideró la mezcla que se debe realizar para cumplir con las restricciones impuestas por el procesamiento. El objetivo de este trabajo es desarrollar un modelo de programación matemática para soportar la planificación minera de corto plazo en una mina a cielo abierto, integrando mezclas de minerales con diferentes propiedades mineralógicas. Como producto del modelo se genera una guía para la planificación minera de corto plazo para realizar la secuencia de extracción óptima de bloques desde la mina, en este caso, incorporando restricciones geometalúrgicas sobre el mineral de alimentación a la planta de chancado que afectan la producción y mantenimiento de la operación. El presente trabajo de tesis fue apoyado por BHP Billiton, con los datos de Compañía Minera Spence S.A. El modelo considera la maximización de cobre fino sujeto a una serie de restricciones operacionales como las capacidades de movimiento de material desde la mina y de chancado, precedencias de bloques para generar geometrías mineras construibles, campañas y stock, restricciones geométricas como el radio de búsqueda de bloques por periodo y restricciones geometalúrgicas relacionadas con la mezcla del mineral de alimentación a planta. Los resultados indican que el modelo es útil como una guía para la planificación minera de corto plazo de una mina a cielo abierto, incrementando la producción de cobre fino en un 11%, en comparación con la convencional aproximación de prueba y error. De esta comparación, se desprende también una reducción del remanejo de mineral en aproximadamente un 80%, lo cual se traduce en una disminución en los costos, los cuales son mayores si el mineral de alimentación al chancado proviene de los stocks. Los tiempos de planificación se reducen debido al conocimiento relativo previo de cuáles bloques deben ser extraídos en cada periodo del horizonte de tiempo en estudio. Al utilizar los resultados del modelo como guía y a pesar de siempre encontrarse bajo las restricciones operacionales impuestas, las características geometalúrgicas presentan una mayor variabilidad que en el caso de la planificación tradicional. Además, los resultados obtenidos muestran que el radio de búsqueda, cuyo fin es limitar el área de bloques disponibles por periodo, es un parámetro relevante y del cual depende la calidad de los resultados gráficos y la conexidad del secuenciamiento de extracción de bloques. Por lo tanto, se recomienda la utilización de radios de búsqueda no sólo por periodo, sino también por banco, puesto que aquellos cuya explotación sucede en periodos posteriores, presentan una mayor tendencia a resultados poco conexos. Se recomienda utilizar los resultados de este trabajo como guía para la planificación minera de corto plazo, considerando una redefinición de los parámetros de entrada del modelo, si se desea su utilización para otros modelos de bloques u otros horizontes de tiempo acorde a los resultados que se espera obtener. Además, es importante resaltar que el modelo entrega un secuenciamiento óptimo de extracción de bloques el cual no es operacional y la planificación realizada dependerá de la experiencia y habilidad del planificador que lo utilice como herramienta de apoyo. Finalmente, el modelo posee una considerable utilidad como una herramienta de generación de opciones de explotación, es decir, hoy el plan es único y no posee opciones frente a eventuales problemas operacionales. El contar con una serie de opciones permite operar la mejor de ellas, pero también contar con el resto para simplificar el proceso de planificación.

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Agradecimientos

En primer lugar quisiera agradecer a mi familia que es un pilar fundamental en mi vida. A pesar de que durante mi estadía universitaria no tuve el privilegio de tener cerca a mis padres, pues siendo muy joven tuve que alejarme del hogar para venir a estudiar a Santiago, jamás dejé de sentir su apoyo, preocupación y cariño incondicional; sin ello muchas veces no podría haber salido adelante. Ha sido un camino muy largo con momentos malos y buenos pero al fin y al cabo ellos siempre han tenido la palabra o la acción justa para levantarme cada vez que fue necesario. Quiero también darle las gracias a mi hermano que siempre hizo que mis días en Santiago fueran más que gratos, desde que me fui del lado de mis padres. Muchísimas gracias hermano por permitirme compartir un hogar contigo por tantos años, por siempre preocuparte de que todo funcione bien y por estar presente en los momentos que más lo necesité. Todo el apoyo de ustedes siempre hizo que este camino fuese más sencillo, sinceramente se los agradezco. A mi polola, amiga, compañera y confidente Camila que en este más de año y medio juntos ha sido parte de todo mi recorrido académico en el Magíster. Gracias por la tranquilidad, estabilidad y apoyo incondicional que me has entregado y que siempre ha hecho que todo se vuelva mucho más fácil. Gracias por cada una de las palabras en todo este proceso que siempre las escuché y me sirvieron muchísimo para estar en el punto en que estoy ahora. Te convertiste en mi otro pilar fundamental y siempre has estado presente cada vez que te he necesitado, muchísimas gracias por todo. A Enrique Rubio, mi profesor guía, por darme la oportunidad de trabajar a su lado en una serie de proyectos desde el año 2006 hasta el día de hoy. Gracias por todo el apoyo brindado en el desarrollo de este trabajo y en general, por cada uno de los proyectos que hemos realizado juntos en los cuales he podido crecer y desarrollarme profesionalmente. También quisiera agradecer al Laboratorio de Planificación Minera Delphos de la Universidad de Chile por la contribución en el desarrollo y publicación del estudio realizado, y en particular a Nelson Morales, pues su participación y profesionalismo fue indispensable para ello. A Compañía Minera Spence S.A. y BHP Billiton Base Metals por contribuir con la base de datos y su experiencia para implementar el modelo de programación matemática. Finalmente quisiera agradecer a mis viejos amigos de Coyhaique, con los que tuve la suerte de compartir instantes agradables en esta ciudad durante toda mi vida universitaria, haciendo que la distancia de mi hogar no fuese tan extrema. A mis compañeros de carrera con los cuales compartí por tantos años y estoy seguro que lo seguiré haciendo por muchos años más dentro de este mundo minero que es tan pequeño, les agradezco cada uno de los buenos momentos que vivimos tanto en la Universidad como fuera de ella; estudios, carretes, terrazas, fondas, bautizos y Congresos son momentos que jamás se olvidarán.

3

Índice de contenidos

Resumen .................................................................................................................................... 1

Agradecimientos ......................................................................................................................... 2

Índice de contenidos ................................................................................................................... 3

Índice de figuras ......................................................................................................................... 7

Índice de tablas ......................................................................................................................... 10

1 Introducción ...................................................................................................................... 13

1.1. Objetivos .................................................................................................................... 14

Objetivo general ................................................................................................................ 14

Objetivos específicos ........................................................................................................ 14

1.2. Alcances ..................................................................................................................... 15

1.3. Organización del trabajo ............................................................................................. 15

2 Análisis bibliográfico .......................................................................................................... 16

2.1. Planificación Minera .................................................................................................... 16

2.2. Métodos de optimización de secuenciamiento de bloques .......................................... 20

2.2.1. Algoritmos para la determinación del pit final ....................................................... 20

2.2.2. Secuenciamiento de pits ...................................................................................... 21

2.2.3. Enfoque integral del secuenciamiento de bloques ............................................... 22

2.2.4. Softwares ............................................................................................................ 25

2.3. Evolución de CPLEX .................................................................................................. 28

3 Modelo de programación matemática para soportar la planificación minera de corto plazo

31

3.1. Definición general del modelo matemático ................................................................. 32

3.2. Descripción minera de las restricciones ...................................................................... 34

3.3. Modelo de Programación Matemática ......................................................................... 36

Parámetros de los bloques ................................................................................................ 36

Parámetros de la operación .............................................................................................. 37

4

Parámetros de los stocks .................................................................................................. 37

Parámetros geométricos ................................................................................................... 38

Variables de decisión ........................................................................................................ 38

Función Objetivo ............................................................................................................... 39

Restricciones .................................................................................................................... 39

3.4. Criterios de resolución ................................................................................................ 42

4 Estudio de caso ................................................................................................................ 44

4.1. Características generales ........................................................................................... 44

4.2. Definición del modelo de bloques ............................................................................... 45

4.3. Definición de parámetros de resolución ...................................................................... 46

4.4. Criterios de resolución ................................................................................................ 49

5 Análisis de resultados ....................................................................................................... 50

5.1. Determinación de radios de búsqueda ........................................................................ 50

RPS = 10 metros y MAR = 10 metros ............................................................................... 52








5.2. Manejo de stockpiles .................................................................................................. 79

5.2.1. Caso base ........................................................................................................... 79

5.2.2. Caso stocks vacíos .............................................................................................. 81

5.2.3. Mineral de stocks versus mineral de la mina........................................................ 84

5.3. Modelo de planificación trimestral Spence .................................................................. 87

5.3.1. Resultados numéricos ......................................................................................... 87

5.3.2. Resultados gráficos ............................................................................................. 92

5

5.4. Comparación de Planes de Producción ...................................................................... 96

5.4.1. Planificación trimestral manual sin guía ............................................................... 96

5.4.2. Planificación trimestral manual con guía .............................................................. 99

6 Conclusiones y Recomendaciones ................................................................................. 104

7 Trabajos futuros .............................................................................................................. 107

8 Referencias bibliográficas ............................................................................................... 108

9 Anexos ............................................................................................................................ 111

9.1. Anexo 1 .................................................................................................................... 111

9.2. Anexo 2 .................................................................................................................... 111

9.3. Anexo 3 .................................................................................................................... 111

9.4. Anexo 4 .................................................................................................................... 111

9.5. Anexo 5 .................................................................................................................... 112

9.6. Anexo 6 .................................................................................................................... 112

9.7. Anexo 7 .................................................................................................................... 112

9.8. Anexo 8 .................................................................................................................... 112

9.9. Anexo 9 .................................................................................................................... 113

9.10. Anexo 10 ............................................................................................................... 113

9.11. Anexo 11 ............................................................................................................... 114

9.12. Anexo 12 ............................................................................................................... 115

9.13. Anexo 13 ............................................................................................................... 115

9.14. Anexo 14 ............................................................................................................... 116

9.15. Anexo 15 ............................................................................................................... 118

9.16. Anexo 16 ............................................................................................................... 118

9.17. Anexo 17 ............................................................................................................... 118

9.18. Anexo 18: Paper presentado en APCOM 2009 Vancouver, Canadá ..................... 119

Development of a mathematical programming model to support the planning of short-term

mining ..................................................................................................................................... 119

Abstract .................................................................................................................................. 119

6

1. Introduction ..................................................................................................................... 120

2. Mine planning .................................................................................................................. 121

3. Mathematical programming model .................................................................................. 123

3.1. Considerations .......................................................................................................... 123

3.2. General description ................................................................................................... 123

3.3. Block parameters ...................................................................................................... 123

3.4. Operative parameters ............................................................................................... 124

3.5. Stocks parameters .................................................................................................... 124

3.6. Geometric parameters .............................................................................................. 125

3.7. Decision variables..................................................................................................... 125

3.8. Constraints ............................................................................................................... 125

3.7. Objective function ..................................................................................................... 128

4. Case study ...................................................................................................................... 128

5. Results ............................................................................................................................ 131

5.1. Numeric results ......................................................................................................... 131

5.2. Geometric results...................................................................................................... 134

6. Conclusions .................................................................................................................... 136

7. Acknowledgments ........................................................................................................... 136

8. References...................................................................................................................... 137

7

Índice de figuras

Figura 1: Componentes del modelo de programación matemática ............................................ 31

Figura 2: Flowsheet de operaciones de Mina Spence ............................................................... 44

Figura 3: Tonelaje de alimentación de mineral a la planta de procesamiento para el caso RPS =

10 metros y MAR = 10 metros .................................................................................................. 53

Figura 4: Vista en planta del secuenciamiento de bloques del banco 1580 para el caso RPS =














Figura 11: Tonelaje de alimentación de mineral a la planta de procesamiento para el caso RPS

= 10 metros y MAR = 50 metros ............................................................................................... 66













8



Figura 19: Tonelaje de alimentación de mineral a la planta de procesamiento para el caso base

................................................................................................................................................. 79


sin stocks .................................................................................................................................. 82


= 70 metros y MAR = 30 metros sin stocks ............................................................................... 83


= 80 metros y MAR = 30 metros sin stocks ............................................................................... 83


= 80 metros y MAR = 30 metros con stocks .............................................................................. 85

Figura 24: Tonelaje de cobre fino por periodo para planificación trimestral de Spence ............. 88

Figura 25: Curva tonelaje-ley del movimiento de material (mineral + estéril) desde la mina para

la planificación trimestral de Spence ......................................................................................... 88

Figura 26: Curva tonelaje-ley del mineral de alimentación a planta para la planificación trimestral

de Spence ................................................................................................................................ 89

Figura 27: Restricciones geometalúrgicas de Clacid (izquierda) y CO3 (derecha) para la

planificación trimestral de Spence ............................................................................................. 89

Figura 28: Restricciones geometalúrgicas de F_geomet (izquierda) y mezcla (derecha) para la

planificación trimestral de Spence ............................................................................................. 90

Figura 29: Distancia máxima a accesos por banco en cada periodo de los bloques explotados

para la planificación trimestral de Spence ................................................................................. 91

Figura 30: Secuenciamiento de bloques del banco 1580 de la fase 02 para la planificación

trimestral de Spence ................................................................................................................. 94







Figura 34: Planificación trimestral manual sin guía de mina Spence ......................................... 97

Figura 35: Tonelaje de finos de cobre según planificación trimestral manual sin guía de mina

Spence ..................................................................................................................................... 97

9

Figura 36: Restricciones geometalúrgicas de Clacid (izquierda) y CO3 (derecha) según

planificación trimestral manual sin guía de mina Spence .......................................................... 98

Figura 37: Restricciones geometalúrgicas de F_geomet (izquierda) y Mezcla (derecha) según

planificación trimestral manual sin guía de mina Spence .......................................................... 98

Figura 38: Secuenciamiento de bloques de los bancos 1580 (izquierda) y 1565 (derecha) de la

fase 02 según planificación trimestral mediante el método tradicional ...................................... 99

Figura 39: Secuenciamiento de bloques del banco 1625 de la fase 03 según planificación

trimestral mediante el método tradicional .................................................................................. 99

Figura 40: Planificación trimestral manual con guía de mina Spence ...................................... 100

Figura 41: Tonelaje de finos de cobre según planificación trimestral manual con guía de mina

Spence ................................................................................................................................... 100

Figura 42: Restricciones geometalúrgicas de Clacid (izquierda) y CO3 (derecha) según

planificación trimestral manual con guía de mina Spence ....................................................... 101

Figura 43: Restricciones geometalúrgicas de F_geomet (izquierda) y Mezcla (derecha) según

planificación trimestral manual con guía de mina Spence ....................................................... 101

Figura 44: Secuenciamiento de bloques de los bancos 1580 (izquierda) y 1565 (derecha) de la

fase 02 según planificación trimestral con guía ....................................................................... 102

Figura 45: Secuenciamiento de bloques del banco 1625 de la fase 03 según planificación

trimestral con guía .................................................................................................................. 102

Figura 46: Contribución en tonelaje y porcentaje de cada una de las fuentes a la alimentación

de mineral a la planta de procesamiento para el caso RPS = 60 metros y MAR = 30 metros . 112

10

Índice de tablas

Tabla 1: Comparación entre las metodologías de los softwares Whittle y NPV Scheduler ____ 25

Tabla 2: Tiempos de resolución del modelo PDS-30 ________________________________ 30

Tabla 3: Criterios de definición del tipo de material para cada uno de los bloques del modelo 45

Tabla 4: Bancos a explotar por periodo según la planificación de largo plazo _____________ 45

Tabla 5: Estadísticas básicas del modelo de bloques Julio a Septiembre de 2008 _________ 46

Tabla 6: Definición de periodos y sus características ________________________________ 46

Tabla 7: Características de los stocks bases ______________________________________ 47

Tabla 8: Coordenadas de los bloques que representan los accesos a cada banco _________ 48

Tabla 9: Radios de búsqueda desde los accesos a los bancos para cada periodo _________ 48

Tabla 10: Combinaciones de RPS y MAR para encontrar el radio de búsqueda adecuado ___ 52

Tabla 11: Leyenda de colores para el secuenciamiento de bloques _____________________ 52

Tabla 12: Radios de búsqueda por periodo para el caso RPS = 10 metros y MAR = 10 metros 53

Tabla 13: Relación de bloques minados y procesados por periodo para el caso RPS = 10

metros y MAR = 10 metros ____________________________________________________ 54

Tabla 14: Utilización de stocks para el caso de RPS = 10 metros y MAR = 10 metros ______ 55


















11












Tabla 36: Resultados de la determinación de los radios de búsqueda ___________________ 78

Tabla 37: Relación de bloques minados y procesados por periodo para el caso base en

campaña de súlfuros _________________________________________________________ 80

Tabla 38: Relación de bloques minados y procesados por periodo para el caso base en

campaña de óxidos __________________________________________________________ 81


Tabla 40: Relación de bloques minados y procesados en los periodos 1 y 2 para el caso RPS =

80 metros y MAR = 30 metros __________________________________________________ 86

Tabla 41: Planificación trimestral de extracción de bancos de Spence según modelo de

programación matemática _____________________________________________________ 92

Tabla 42: Planificación trimestral de extracción de bancos para alimentación de la planta de

procesamiento de minerales de Spence según modelo de programación matemática ______ 93

Tabla 43: Contribución en tonelaje y porcentaje de cada una de las fuentes a la alimentación de

mineral a la planta de procesamiento para el caso RPS = 10 metros y MAR = 10 metros ___ 111











12




mineral a la planta de procesamiento para el caso base ____________________________ 113

Tabla 51: Bloques que son minados en el periodo 1 pero que no son procesados para el caso

base _____________________________________________________________________ 113


base _____________________________________________________________________ 114

Tabla 53: Tonelaje de alimentación de mineral a la planta de procesamiento para el caso base

sin stocks _________________________________________________________________ 114

Tabla 54: Tonelaje de alimentación de mineral a la planta de procesamiento para el caso RPS =

70 metros y MAR = 30 metros sin stocks ________________________________________ 115

Tabla 55: Tonelaje de alimentación de mineral a la planta de procesamiento para el caso RPS =

80 metros y MAR = 30 metros sin stocks ________________________________________ 115


mineral a la planta de procesamiento para el caso RPS = 80 metros y MAR = 30 metros con

stocks____________________________________________________________________ 115


RPS = 80 metros y MAR = 30 metros con stocks __________________________________ 116


RPS = 80 metros y MAR = 30 metros con stocks __________________________________ 117

Tabla 59: Estadísticas básicas del banco 1670 de la fase 05 del modelo de bloques de Spence

correspondientes a los meses de julio, agosto y septiembre de 2008 __________________ 118

Tabla 60: Planificación trimestral manual sin guía de mina Spence ____________________ 118

Tabla 61: Planificación trimestral manual con guía de mina Spence ___________________ 118

13

1 Introducción

En la actualidad, la planificación minera se lleva a cabo en diferentes horizontes de tiempo para

soportar el proceso de llevar un proyecto de una etapa de concepción a operación. En las

primeras etapas de definición del pit final, secuenciamiento y construcción del programa de

producción, se utilizan modelos de recursos que en general consideran las características

básicas del yacimiento como leyes y tipos de roca. En función de esta información se construye

el modelo de planificación minera. Una vez que la mina comienza a operar, aparecen una serie

de eventos metalúrgicos, como por ejemplo cambios en el tipo de mineralización, que obligan a

complementar el modelo de recursos con mineralogías, contaminantes y fragmentación, las

cuales son variables de operación que obligan a incorporar mezclas de minerales para entregar

un producto aceptable al proceso metalúrgico. Actualmente, poder conciliar el plan de largo

plazo, que define por ejemplo, el secuenciamiento del pit con la operación de mezcla, es una

tarea de planificación que consume una cantidad importante de recursos humanos y las

soluciones obtenidas son sub-óptimas.

La planificación minera considera diferentes horizontes de tiempo los cuales apoyan diferentes

tipos de decisiones. Es así como la planificación de largo plazo se encarga de la definición del

tamaño y de la vida de la mina, de la que se desprende la inversión y los costos asociados a

ella. La planificación de mediano plazo, se encarga de adaptar la definición de negocios de la

mina mediante reemplazo de infraestructura, reconocimiento de recursos y proyectos de

contingencia. Finalmente la planificación de corto plazo se encarga de analizar los recursos

utilizados en la operación de la mina de forma de soportar el presupuesto de operaciones de la

mina.

En muchos casos, minas a cielo abierto son diseñadas para soportar una operación masiva,

con grandes equipos, en un cuerpo mineralizado muy selectivo que posiblemente presente gran

variabilidad mineralógica. Esto produce una discrepancia entre la planificación de largo y corto

plazo, puesto que tanto en el diseño de la mina, como en la planificación de largo plazo nunca

se consideró la mezcla que es necesaria para proveer al chancador en la planta de

procesamiento. Por lo tanto esta discrepancia entre el diseño de la mina a largo plazo, la

planificación y los rendimientos operativos, tienden a poner en peligro la utilización de equipos e

infraestructura de la mina, produciendo un alto incremento en los costos de operación. Las

principales dificultades de esta discrepancia, se reflejan en el ejercicio de la planificación de

corto plazo (periodos de un mes a un año), en donde el programa de producción tiene que

14

reflejar la verdadera variabilidad mineralógica, en una mina que fue diseñada sin considerar las

características intrínsecas del cuerpo mineralizado.

Generalmente, los planes de producción son diseñados con modelos de cálculo que consideran

los depósitos de forma uniforme, sin considerar en ellos, la variabilidad del mineral, lo cual

provoca, al menos, los siguientes problemas:

• Variabilidad de costos: Se producen diferencias entre el diseño de la mina a largo plazo,

el plan de producción y el rendimiento operativo de esta, lo cual podría traducirse en

incrementos en los costos, tanto de explotación como de procesamiento del mineral.

• Variabilidad en la producción de metal: Las minas a cielo abierto son diseñadas para

soportar una operación del tipo masiva, por lo cual, cualquier cambio en el tipo de

mineral, y por lo tanto, en la mineralogía de éste que cambien sus formas y/o

condiciones de procesamiento, provoca diferencias en la producción de metal entre un

periodo y otro.

Actualmente, no existe ninguna herramienta de software que permita construir la planificación

de corto plazo y que considere una mezcla in situ dentro del pit, de forma tal de considerar la

variabilidad mineralógica existente. Este proceso, es realizado mediante una aproximación

manual de prueba y error e incorporando gran cantidad de mineral de remanejo desde los

stocks.

1.1. Objetivos

Objetivo general

Desarrollar una metodología para soportar la planificación minera de corto plazo en una mina a

cielo abierto, integrando en el proceso de planificación, mezclas de minerales con diferentes

propiedades mineralógicas.

Objetivos específicos

• Integrar las restricciones geometalúrgicas en un modelo de programación matemática

para la planificación de corto plazo.

• Análisis de factibilidad de las soluciones para diferentes radios de búsqueda.

15

• Introducir los stockpiles en el programa de extracción.

• Realizar un análisis de secuenciamiento de bloques alternativo.

1.2. Alcances

• Planificación minera de corto plazo.

• Estudio de caso corresponde a Compañía Minera Spence S.A. para un horizonte de

tiempo de 3 meses.

• Equipos con capacidad de movimiento mina de 220,000 toneladas por día.

• Planta de chancado con capacidad de 50,000 toneladas por día.

• Restricciones geometalúrgicas del mineral de alimentación a la planta de chancado

correspondientes a cloro, carbonato, material particulado fino y argílico.

1.3. Organización del trabajo

El presente trabajo está organizado en siete capítulos. En el capítulo 1, se presenta una

introducción al tema desarrollado, la cual incluye una descripción de la problemática, los

objetivos y los alcances del trabajo. En el capítulo 2 se desarrolla un análisis bibliográfico

acerca de las herramientas utilizadas para realizar la planificación minera en sus diferentes

horizontes, así como de la evolución que ha tenido el desarrollo de modelos de programación

matemáticos, que permiten resolver problemas en esta área. En el capítulo 3 se presenta el

modelo de programación matemática con sus ecuaciones respectivas, el respaldo minero detrás

de ellas y los criterios de resolución del modelo. En el capítulo 4 se presenta el estudio de caso

con la definición de todos los parámetros necesarios para el correcto desarrollo del trabajo. En

el capítulo 5 se procede a analizar los resultados, realizando estudios según los objetivos

específicos planteados para este trabajo. En el capítulo 6 se presentan los trabajos a futuro

recomendados para desarrollar mejoras en el modelo. Y finalmente, en el capítulo 7 se exponen

una serie de conclusiones y recomendaciones obtenidas de los resultados del trabajo.

16

2 Análisis bibliográfico

2.1. Planificación Minera

La planificación minera se define como el proceso de Ingeniería de Minas que transforma el

recurso mineral en el mejor negocio productivo para el dueño (Rubio, 2006), definiendo una

promesa productiva y convirtiéndose en un documento bancable para los inversionistas, de

forma tal de maximizar la renta del negocio minero, activando cada una de sus fuentes e

integrando las restricciones impuestas por el recurso mineral, el mercado y el entorno. Las

razones por las cuales se debe realizar planificación minera son las siguientes (Smith, 1776;

Camus, 2000):

• La minería como negocio es uno de los que involucra la mayor cantidad de capital y

posee los más altos niveles de incertidumbre.

• La minería es uno de los negocios que ha llevado a la banca rota la mayor cantidad de

inversionistas.

• Típicamente los proyectos mineros en vez de pagar el capital, lo consumen en conjunto

con las utilidades.

Lo planteado anteriormente denota lo riesgoso del negocio minero, lo cual desencadena que a

no ser por la cantidad de dinero involucrada, no existirían inversionistas para un negocio de

estas características, por lo que la planificación minera toma un papel fundamental para

disminuir los niveles de incertidumbre y de este modo transformar a la minería en un negocio

rentable.

La planificación minera debe ser coherente (acorde con los objetivos estratégicos de la

empresa), sistémica (incluye diferentes áreas de la ingeniería, además de otras disciplinas

como geología, geofísica, etc.), y dinámica (analiza el comportamiento operacional en las

labores y luego es modificada de acuerdo a este análisis).

La planificación minera, se puede clasificar en:

• Planificación estratégica: tiene como objetivo sincronizar el mercado con los recursos

disponibles y los objetivos de los inversionistas. Sus principales funciones son el

17

reconocimiento constante del recurso mineral, la definición de los métodos y ritmos de

explotación, de la secuencia de producción y de las leyes de corte.

• Planificación conceptual: es el proceso que delinea los recursos existentes para conducir

a la meta productiva definida por la planificación estratégica, enmarcándose en un

ámbito de proyecto. Sus principales funciones son establecer la envolvente económica,

el programa de producción y el diseño del proceso, evaluar los recursos a utilizar,

realizar un estudio de costeo y valoración, y establecer los indicadores de desarrollo

sustentable. Todo lo anterior conduce a la obtención del plan minero, que corresponde a

la definición de qué, cuándo y cómo se extraerán los recursos en cada uno de los

periodos del negocio minero, representando el plan de negocios de la compañía.

• Planificación operativa: en esta etapa se produce una retroalimentación hacia la

planificación conceptual de modo de redefinir algunos conceptos y generar los proyectos

que permitan alinearse con el plan minero, lo que permite la definición de los indicadores

operacionales.

Otro aspecto relevante dentro de la planificación minera, es el de los horizontes de planificación,

que corresponden a una herramienta para tratar la incertidumbre del proceso minero. Smith

(1998), dice que mientras la planificación de largo plazo típicamente se encarga de maximizar el

valor del proyecto, la planificación de corto plazo está comúnmente asociada a un objetivo

basado en las metas de producción con límites máximos o mínimos de ciertos constituyentes

químicos críticos, como por ejemplo en minería de carbón con altos contenidos de súlfuros, el

maximizar la producción de estos súlfuros. De este modo, se definen los siguientes horizontes:

• Planificación de largo plazo: se encarga de la definición del tamaño y vida de la mina,

como de las reservas de ella. Para ello, en este horizonte se define la envolvente

económica, el método, ritmo y secuencia de explotación, el perfil de leyes de corte y

principalmente la inversión y los costos de forma tal de entregar la mayor información

posible a los inversionistas, incorporando proyectos con diferentes niveles de riesgo.

• Planificación de mediano plazo: se encarga de adaptar los modelos que sustentan la

planificación de largo plazo, produciendo planes de producción que conduzcan a la

operación a las metas de producción definidas. El resultado obtenido en este horizonte,

permite adaptar la definición de negocios de la mina mediante el reemplazo de

infraestructura, reconocimiento de nuevos recursos, proyectos de contingencia, etc.

18

• Planificación de corto plazo: se encarga de la recopilación y utilización de la información

operacional de modo de retroalimentar la planificación de mediano plazo. Además, se

analizan los recursos utilizados en la operación de la mina y se definen indicadores de

modo de corregir los modelos que sustentan la planificación de modo de soportar el

presupuesto de operaciones de la mina.

Por su parte el proceso de planificación minera involucra los siguientes pasos:

• Modelación de recursos: Realizar interpretación en 3D de los sondajes realizados,

llevándolos a un modelo de bloques. Debido al costo de los sondajes o a las limitaciones

de longitud de ellos, es posible que un yacimiento pueda ser sólo estudiado hasta cierta

profundidad, por lo cual no se puede apreciar una variabilidad mineralógica importante,

lo que lleva a realizar diseños mineros limitados según las características iniciales de

yacimiento, los cuales no están preparados para soportar ni sustentar esta variabilidad.

• Diseño minero: Determinar según las características físicas y geológicas del yacimiento

el método de explotación a utilizar y todos los procesos necesarios para la obtención del

producto que se desea comercializar. Lo anterior estará delimitado por la interpretación

geológica anterior, puesto que una mala interpretación del yacimiento, puede provocar

que en el futuro, frente a cambios de mineralización, se deban realizar también

importantes cambios de infraestructura y procesos para continuar con la producción.

• Plan de producción: En el caso de una mina a cielo abierto, se debe definir el pit final, el

secuenciamiento en fases, realizar una discretización en unidades de reserva (fase

banco, bloques) y definir en qué periodo de tiempo se extrae cada una de ellas. Si no se

considera la variabilidad de la mineralización en el yacimiento, los planes de producción

definidos para el largo plazo, presentarán importantes diferencias con los planes de

corto plazo.

Particularmente, la planificación de minas a cielo abierto tradicionalmente se ha realizado en

forma secuencial y realizando optimizaciones en cada uno de sus procesos. Estos procesos son

los siguientes:

• Obtención del modelo de bloques.

• Valorización de los bloques del modelo.

• Aplicar la metodología de Lerchs y Grossmann.

• Obtención de pit anidados.

19

• Definición de fases.

• Definición de leyes de corte.

• Construcción del plan de producción.

• Diseño de rampas y accesos.

• Suavizamiento del plan de producción.

Actualmente, la planificación minera de corto plazo en una mina a cielo abierto se realiza

mediante una metodología manual de prueba y error, en la cual el planificador realiza cortes en

la fase-banco en explotación (dada por la planificación de largo plazo) los cuales deben cumplir

con la capacidad de movimiento mina dada por los equipos de carguío y transporte, con la

capacidad de alimentación de mineral a la planta de chancado y con ciertas características

mineralógicas y geometalúrgicas de este mineral de alimentación. Una vez realizado un corte,

se analizan las variables involucradas y en el caso de cumplir se acepta dicho corte y en caso

contrario se debe probar con otro. Esta forma de realizar la planificación una serie de problemas

los cuales se señalan a continuación:

• La planificación realizada depende principalmente de la mano del planificador y de la

experiencia de éste, lo cual se traduce en los tiempos involucrados en realizarla.

• El realizar cortes en una fase-banco determinada no asegura el cumplimiento de las

restricciones geometalúrgicas, puesto que la fase-banco cumple con dichas restricciones

en forma global según la planificación de largo plazo, pero al realizar cortes individuales

dentro de ella, éstos no necesariamente lo van a hacer.

• El diseño y la planificación minera de largo plazo se realiza sin considerar mezclas.

• Esta metodología manual de planificación se realiza sin visión en el tiempo, es decir,

sólo se trata de cumplir con los requerimientos actuales, sin considerar lo que se dejará

para explotar en el futuro.

• Los equipos utilizados para realizar la extracción de estos cortes fueron planificados

según el largo plazo para una operación con características masivas y a la hora de

realizar esta tarea se encuentran con una operación mayormente selectiva lo que trae

como consecuencia una reducción en la productividad de los equipos involucrados.

Es por lo mencionado anteriormente que la propuesta hoy es la de generar un modelo de

planificación integrado que a través de la técnica de “Block Sequencing”, que utiliza la

programación entera mixta, pueda resolver conjuntamente la problemática de la definición de la

envolvente económica (pit final), el secuenciamiento de bloques y la definición de las leyes de

20

corte. Además, el modelo debe considerar el plan de producción integrado como lo propuso

Johnson (1969).

2.2. Métodos de optimización de secuenciamiento de bloques

La problemática del secuenciamiento de bloques presenta dos enfoques en la literatura tal cual

son descritos por Gaupp (2008), de donde se tienen gran parte de las referencias con respecto

a los métodos de optimización existentes: obtención del secuenciamiento de bloques a partir de

la obtención del pit final, y determinar el límite económico de los bloques a partir de la secuencia

de extracción, sin considerar la problemática de la definición del pit final.

Para poder abordar estos dos enfoques, primero es necesario enfrentar la problemática de la

determinación del pit final y la descripción de los algoritmos utilizados para ello. Posteriormente

se exponen los dos enfoques ya mencionados, para finalmente describir los softwares utilizados

en la industria para la determinación del pit final, leyes de corte, el plan minero y/o el programa

de producción, dependiendo del horizonte de tiempo que se considere, es decir, largo, mediano

o corto plazo.

2.2.1. Algoritmos para la determinación del pit final

El algoritmo más conocido y utilizado en la actualidad es el algoritmo de grafos de Lerchs y

Grossmann (1965), el cual busca maximizar el beneficio total de un pit, basado en el beneficio

neto y ubicación espacial de cada bloque de la mina. La ubicación espacial de los bloques

juega un rol fundamental, puesto que para extraer bloques de niveles inferiores, es necesario

extraer los bloques superiores. Por su parte el beneficio neto de un bloque es la diferencia entre

el valor total de extraer un bloque y los costos asociados a la extracción y procesamiento de él.

Finalmente, el límite del pit final representa un límite estático de bloques que maximiza el valor

no descontado del mineral en el cuerpo mineralizado y el problema principal de esta

metodología es que no entrega las capacidades de mina y planta en la determinación del pit

final.

Para la definición del pit final también existe el llamado algoritmo de Korobov (1974), quien trata

de mejorar el algoritmo original propuesto por Pana (1965) denominado conos flotantes. La

técnica consiste en una rutina que pregunta por la conveniencia de extraer un bloque y su

respectiva sobrecarga. Para esto el algoritmo tradicional se posiciona sobre cada bloque de

valor económico positivo y genera un cono invertido, donde la superficie lateral del cono

21

representa el ángulo de talud. Si el beneficio neto del cono es mayor o igual que un beneficio

deseado, dicho cono se extrae, de lo contrario se deja en su lugar. El supuesto de que cada

cono en el pit final es rentable es incorrecto, puesto que un pit óptimo podría estar compuesto

por una colección de conos donde ninguno tiene un valor positivo individualmente.

Posteriormente Dowd y Onur (1992) corrigen el algoritmo, obteniendo soluciones en menor

tiempo que el algoritmo de Lerchs y Grossmann.

2.2.2. Secuenciamiento de pits

Esta aproximación sirvió como un puente entre el problema de la definición del pit final y el

secuenciamiento de bloques. Este último corresponde a una técnica que permite obtener un pit

final, una secuencia de explotación del pit final o un perfil de leyes de corte del mismo.

Gershon (1982) propone una respuesta al secuenciamiento describiendo una aplicación de

programación lineal que optimiza la programación de las operaciones mineras. Usa un modelo

matemático para determinar el mejor esquema de operaciones mineras de la mina a la planta y

de la planta al mercado. El modelo permite calcular planes de producción en horizontes de

corto, mediano y largo plazo, tomando en cuenta, la interfase mina-planta-mercado y la

optimización de operaciones a lo largo de la vida la mina. Determina los límites del pit final

sujeto a la disponibilidad de equipos, requerimientos de planta y condiciones de mercado,

creando intrínsecamente un programa de extracción que define los límites del pit final.

Gershon (1987) desarrolló una programación heurística de minas basada en el peso posicional

de un bloque. El peso posicional de un bloque determina la conveniencia de removerlo en un

periodo de tiempo particular (pesos posicionales más altos, son más convenientes). Bloques

accesibles con ranking alto son extraídos, y luego todo el proceso, comenzando con determinar

el peso posicional de los bloques remanentes del pit final, lo que lleva a que todos los bloques

de éste, deben ser removidos.

Dowd y Onur (1992) usaron programación dinámica para programar la secuencia de extracción

de bloques desde el pit final. Notar que este método sufre de crecimiento de tiempo

exponencial, relacionado con el incremento en el número de bloques, ellos señalan que muchas

secuencias de extracción de bloques pueden ser eliminadas porque son infactibles, reduciendo

así el espacio de búsqueda. Ellos admiten sin embargo, que eliminar secuencias infactibles de

extracción de bloques, sólo ayuda a incrementar el problema y que la programación dinámica

es aún impracticable para grandes minas.

22

Tolwinski y Underwood (1992) usaron programación dinámica para determinar el programa de

producción óptimo para una mina a cielo abierto que satisface tanto las restricciones

económicas como las geométricas. Ellos modelaron la evolución de la mina como un problema

de optimización secuencial, generando una secuencia de pits los cuales parten con un pit inicial

o superficie no minada y continuar a través de los pits incrementalmente más grandes hasta

que el pit final es creado.

Dagdelen (2005) muestra cómo el problema de secuenciamiento dentro del pit final involucra la

determinación de una ley de corte, que a su vez se utiliza para decidir si un determinado bloque

debería ser minado o no, y cuándo debería ser minado, y por último, una vez minado, cómo el

mineral debería ser procesado. Él describe la relación circular entre las capacidades físicas de

las operaciones mineras (las que tomando los costos de producción, determinan el pit final), y el

diseño de fases (las que basadas en la ley de corte, son usadas actualmente en el programa de

extracción de bloques).

2.2.3. Enfoque integral del secuenciamiento de bloques

Este enfoque, usa un proceso de una etapa para determinar simultáneamente el pit final, las

fases, y la secuencia de extracción de bloques. Esta moderna aproximación es la más popular

para resolver a futuro el problema de planificación de minas a cielo abierto.

El trabajo original con respecto a este tema corresponde a Johnson (1969), quien propone

utilizar programación entera mixta para resolver el problema de la planificación mineral multi-

periodo de una mina a cielo abierto. Para ello desarrolla un algoritmo multi-periodo dividiéndolo

en etapas y usando las propiedades del problema de cada periodo. Este tratamiento permite la

optimización del sistema completo mina-concentración-refinación en todo el horizonte de

planificación y permite que el sistema determine cómo y cuándo procesar un bloque de material.

Denby y Schofield (1994) usó algoritmos genéticos para resolver simultáneamente la

determinación del pit final y el programa de extracción del cuerpo mineralizado. Usaron el valor

presente neto del programa de extracción para evaluar la optimalidad del programa. Su método

desarrolló simultáneamente la definición del pit final y el programa de extracción de la mina,

evitando así la sub-optimalidad vista en los casos en que se define el secuenciamiento de

bloques en base a la definición del pit final. Aunque la verdadera optimalidad puede no ser

encontrada, este algoritmo genético puede encontrar una buen secuenciamiento de bloques

sub-óptimo.

23

Sevim y Lei (1998) describen la naturaleza simultánea del programa de extracción de una mina

a cielo abierto. Ellos muestran que la planificación de la producción de largo plazo en minas a

cielo abierto envuelve la resolución simultánea de los siguientes temas:

• La tasa de producción, es decir, la cantidad de bloques a ser minados por año.

• El grupo específico de bloques que pueden ser minados en un año determinado.

• La ley de corte que va a ser usada para determinar los bloques de mineral y estéril.

• La determinación del pit final.

Ellos representan estos cuatro temas interactuando circularmente, y proponen un proceso que

se encarga simultáneamente de ellos. Finalmente, su metodología de resolución genera una

serie de pits anidados, de los cuales la secuencia con el mayor valor presente neto es elegida.

Hoerger et al. (1999) describen la extracción minera a largo plazo y el programa de

procesamiento para las operaciones de Newmont Nevada. Este complejo modelo incorpora

datos de más de 30 minas, que alimentan sobre 60 posibles instalaciones de procesamiento

durante 20 periodos de tiempo. Esta herramienta emplea programación lineal para maximizar el

VAN cuadrándose con la ley e incrementos de tipo metalúrgico para plantas de procesamiento

óptimas, o el tema de los stockpiles a producción, y las restricciones de capacidad de proceso y

mezcla requeridos. Adicionalmente, usan programación entera para secuenciar la extracción

actual de bloques de varias minas y para manejar los modelos de costos fijos.

Por su parte, la relajación lagrangeana es una técnica usada para remover restricciones de la

programación entera mixta y hacer el modelo posible de resolver. Es así como Akaike y

Dagdelen (1999) usan relajación lagrangeana para convertir su formulación de programación

entera en una basada en redes. Su formulación del problema tiene una estructura de red de

flujo con un lado de restricciones en la forma de una restricción de capacidad de producción.

Ellos integraron esta restricción de capacidad de producción dentro de la función objetivo,

creando un problema de programación de producción de largo plazo que tiene las mismas

características que las del problema de diseño del pit final. Este problema relajado luego es

resuelto bajo la misma teoría de grafos que Lerchs y Grossmann usan en su trabajo original con

el problema de definición del pit final tridimensional. Ellos usaron un proceso iterativo que altera

los valores de los multiplicadores de Lagrange hasta encontrar la solución del problema relajado

conociendo las restricciones originales de capacidad. Su modelo no contiene ningún

24

procesamiento o restricción de leyes medias, por lo tanto, las restricciones de capacidad de

producción se convierten en una formulación estructurada de redes más tratable.

Cai (2001) también utilizó relajación lagrangeana incorporando restricciones de

secuenciamiento dentro del cálculo del valor neto del bloque mediante multiplicadores que

penalizan las violaciones de estas restricciones. Sin embargo, señala que la utilización de

multiplicadores de Lagrange no da lugar a que el valor de la función objetivo converja a una

solución aceptable para todas las instancias del problema, debido a la complejidad del problema

y la existencia de diferencias entre los pits anidados. Es por ello que puede ser imposible

producir un secuenciamiento multi-periodo usando el método de relajación lagrangeana.

Cacceta y Hill (2003) desarrollaron un modelo de programación entera mixta con una estrategia

de Branch & Cut para la planificación minera. Esta estrategia consiste en una combinación de la

primera mejor búsqueda y la primera búsqueda profunda. Ellos usaron su propia caracterización

del problema para elegir qué variable fijar y el modo de cruzar el espacio completo de

soluciones. Además, implementaron programación lineal heurística para obtener un mejor límite

inferior.

Ramazan y Dimitrakipoulos (2004a) presentan una descripción general de la formulación

eficiente de un problema de programación entera mixta para el problema de planificación de

minas a cielo abierto. Ellos apuntan a maximizar el VAN descontado del mineral de las minas,

sujeto a las limitaciones de los requerimientos de ángulo de pared, requerimientos de mezcla de

leyes, producción de mineral, y capacidad de la mina. Ellos también proponen reducir el número

de variables binarias, separando los bloques evaluados positivamente (llamados bloques de

mineral), de los bloques evaluados negativamente (llamados bloques de estéril). Sólo los

bloques de mineral son definidos como binarios, mientras que los bloques de estéril se

mantienen continuos, con el objetivo de seguir una excavación parcial. Sus análisis muestran

que cada uno de los esquemas puede reducir los tiempos de resolución significativamente.

Ramazan y Dimitrakipoulos (2004b) en otro paper, muestran que la formulaciones de la

programación entera mixta están limitadas por la factibilidad de generar soluciones óptimas con

planes mineros prácticos y una inhabilidad de tratar con la variabilidad in-situ de los cuerpos

mineralizados. Ellos proponen una alternativa en la formulación de la programación entera mixta

que considera la probabilidad de que los bloques sean planificados en un periodo de tiempo

dado, de este modo tratar con la variabilidad in-situ y otras características prácticas del modelo

25

de planificación. Ellos muestran como su metodología es especialmente aplicable a depósitos

polimetálicos, donde la incertidumbre del cuerpo mineralizado es usualmente una característica

significante.

Esfandiari et al. (2004), hicieron un intento de obtener la programación de la producción tanto

de largo como de corto plazo con el objetivo de lograr un mayor beneficio en un tiempo

determinado y bajo consideraciones técnico-económicas, mediante la utilización de un modelo

multi-criterios de toma de decisiones y un modelo binario no lineal de programación.

2.2.4. Softwares

Whittle y NPV Scheduler

Ambos programas están orientados a entregar respuestas a la planificación de largo plazo,

tanto para la optimización de envolventes económicas (Lerchs y Grossmann), como para

generar planes de producción. A continuación se presenta un cuadro comparativo acerca de la

metodología utilizada por cada uno de estos programas:

Pasos Whittle NPV Scheduler

1 Importación del modelo de

bloques

Importación del modelo de

bloques

2 Valorización económica de

bloques

Construcción de arcos

(ángulos de talud)

Implementación del modelo

económico

3 Generación de pits anidados Secuenciamiento y selección

del pit final

4 Escenario económico Construcción de fases

5 Definición de fases y plan de

producción

Programa de producción

Tabla 1: Comparación entre las metodologías de los softwares Whittle y NPV Scheduler

Las diferencias en las envolventes económicas generadas bajo parámetros económicos

idénticos en cada software disminuyen conforme aumenta el precio efectivo de evaluación,

tanto para la cubicación de material total, mineral y estéril dentro de la envolvente. Si bien estas

diferencias pueden deberse a las inconsistencias encontradas en NPV Scheduler, se

recomienda analizar el impacto del error en la generación de las precedencias de cada bloque

26

para un determinado ángulo de talud, dado que impacta directamente en el volumen contenido

de la envolvente.

Respecto a la generación de fases, no son comparables entre softwares dado que para Whittle

se realiza un proceso manual y la selección de fases de NPV Scheduler es automática. Sin

embargo, respecto a esto último, cabe mencionar que el proceso de selección de fases en NPV

Scheduler es anterior e independiente del proceso de construcción del programa de producción.

Blasor

Menabde et al. (2007) explican la metodología utilizada por el software Blasor de BHP Billiton, el

cual es una herramienta de planificación utilizada tanto para el largo como para el mediano

plazo. No es precisamente un planificador, se trata de un optimizador de la planificación. La

herramienta utiliza MILP para determinar cuál material debe ser minado y cuál debiese ser su

destino para maximizar el beneficio.

El objetivo de este software es proveer al planificador de una herramienta intuitiva y flexible para

poder optimizar planes de producción sin la necesidad de recurrir a especialistas. A

continuación se presenta la metodología utilizada por este software:

• Determinación del pit final óptimo.

• Agregación de los bloques.

• Determinación de la secuencia óptima de extracción.

• Diseño de fases mineras.

• Cálculo y valorización del panel óptimo de secuencia de extracción.

• Asignación de destino a cada uno de los bloques (leyes de corte).

La metodología considera una serie de restricciones orientadas principalmente a las

capacidades de cada proceso, pero no considera restricciones de tipo geometalúrgicas. A pesar

que la principal fuerza del software radica en la planificación de largo plazo, para periodos más

cortos sirve indiscutiblemente como una guía para el planificador.

27

Chronos

Es un software desarrollado por la empresa Maptek orientado tanto a la planificación de largo

como de corto plazo. Este software presenta tres modalidades:

• Planificación manual: Estas pueden ser de largo o corto plazo. La planificación es hecha

interactivamente seleccionando las triangulaciones en pantalla o usando la convención

de nombres de los bloques de reserva.

• IDS (Diseño Interactivo de Planificación): Este módulo es generalmente para

planificaciones de corto plazo. Permite al usuario digitalizar un polígono en el aire para

crear bloques de reservas y planificar los bloques interactivamente. El polígono puede

entonces ser modificado y re-planificado con el fin de que tenga un particular valor de

tonelaje, ley, o de diversas variables las cuales se puedes adicionar.

• Planificación optimizada: Esta planificación es generalmente hecha para soluciones de

planificación de largo plazo. Todos los bloques de reserva y condiciones de la

planificación son dados a la máquina de optimización (CPLEX) y la solución óptima es

calculada. Se puede maximizar el valor presente neto, o cualquier otro parámetro en

particular.

Además de los softwares mencionados anteriormente, es posible encontrar distintos módulos

dentro de variados softwares llamados “contadores de piedras”, los cuales cubican y ordenan

los sólidos a extraer siempre dirigido por el planificador, lo cual resulta en una planificación

manual, la cual no optimiza. Algunos ejemplos son los siguientes:

MineSched

Es un programa que puede ser utilizado en cualquier horizonte de tiempo. En una sola

programación la longitud del período puede cambiar, permitiendo que se comience a programar

con períodos más cortos y que progrese a períodos más largos en el futuro dentro de la misma

línea de programación. Las longitudes de período se pueden definir al segundo más cercano.

La programación permite que el usuario fije objetivos múltiples, dadas la prioridades el

programa elegirá que bloques minar para resolver el mejor caso posible buscando el objetivo,

dentro de las restricciones dadas por el planificador. El programa incluye la funcionalidad de

“blending” (mezclamiento), sería importante determinar si este software puede optimizar

28

mezclas pero asociadas a litología y no a leyes de la especie de valor. Además, este programa

genera informes con tonelaje de producción y leyes que pueden ser obtenidas.

Mine 2 4D

Se trata de un sistema automatizado para planificación y control de minas subterráneas que

promete producir mejoras de costos y tiempos a través de una eficiente administración y

actualización de la información. Este software genera una integración entre las planificaciones

de largo plazo y corto plazo. Sería interesante contar con el código de este software para la

planificación en minas a cielo abierto.

La planificación es generalmente un proceso interactivo, en donde el ingeniero deberá repetir

muchos pasos del proceso de planificación, integrar la información de las reservas actualizadas

tal como está ocurriendo en la mina. Cambios en las reservas, tasas de explotación, precios de

los metales y otros factores implican una actualización de la planificación, por lo tanto todas las

actividades a planificar deben estar basadas en la estimación más realista de los datos. La

información de reservas actualizadas juega un rol realmente importante si se piensa que existen

una serie de faenas mineras que presentan restricciones geometalurgicas determinantes y

limitantes para la continuidad del proceso.

De lo señalado anteriormente, se extrae que existe una escasez de herramientas de

planificación de corto plazo que consideren mezclas de minerales con diferentes propiedades

mineralógicas. Para el desarrollo de la presente investigación, se utilizaron técnicas parecidas a

las de Johnson (1969) agregando restricciones como extracción ordenada de bloques,

capacidad de equipos mineros, capacidad de planta de chancado, leyes de alimentación a

planta, y restricciones físicas, operacionales, legales y políticas.

2.3. Evolución de CPLEX

Como una manera de respaldar la decisión de utilizar CPLEX para la resolución del problema

de programación entera mixta planteado en el presente estudio, resulta interesante apreciar la

evolución de CPLEX en la historia según Bixby et al. (2000).

Por muchos años, la técnica principal de solución usada en la práctica de programación entera

mixta, apenas ha cambiado: programación lineal basada en Branch & Bound, introducida por

Land y Doig (1960). Esto, a pesar de que ha habido avances significativos en la teoría de la

29

programación entera, y en el estrechamente relacionado campo de la optimización

combinatorial. Muchas de las ideas desarrolladas recibieron extensos testeos computacionales,

pero hasta hace poco, relativamente pocos de estos trabajos se habían convertido en códigos

comerciales utilizados por profesionales, situación que en la actualidad ha cambiado. Muchos

de esos códigos, entre ellos LINGO, OSL, y XPRESS-MP, así como el código CPLEX ahora

incluyen capacidades de cortar planos (heurísticas), así como otras ideas de la teoría

acumulada, reduciendo la brecha entre la teoría con el objetivo de que los modelos converjan y

encuentren solución en un espacio de tiempo razonable.

El poder del paradigma de la modelación entera mixta fue reconocido casi inmediatamente, lo

cual se remonta a los años 50 y 60, donde numerosos intentos fueron realizados para ser

aplicada. Desafortunadamente, mientras el paradigma del modelamiento fue fuerte, la

disponibilidad de software y computadores para resolver los modelos no lo fue. Los resultados

fueron desilusionantes, algunos de los cuales persisten hasta hoy. Muchos profesionales aún

creen que la programación entera mixta resulta un tema interesante de hablar, pero tiene una

aplicabilidad práctica limitada. Esta situación ha cambiado radicalmente en el último tiempo,

puesto que ahora es posible resolver muchos modelos enteros mixtos difíciles, interesantes y

prácticos usando una plataforma de software.

A continuación se presentará una breve comparación de diferentes versiones de CPLEX

resolviendo un problema de programación lineal. La razón para mostrar los resultados sobre

programación lineal, es porque se trata de una tecnología disponible para resolver

programación entera mixta, y porque en 1999 se vieron notables e inesperadas mejoras en el

método Simplex, el cual permite resolver problemas de programación lineal como herramienta

para resolver mediante Branch & Bound programación entera mixta.

La comparación se basó en resolver el modelo PDS-30 (Patient Distribution System), el cual es

una clase de modelo introducido por Carolan et al. (1990), bien conocido en el mundo de la

programación lineal. El modelo consta de 49,944 filas, 177,628 columnas y 393,657 nonzeros, y

fue corrido en una estación de trabajo de 296 MHz Sun UltraSparc. De este modo los tiempos

de resolución se muestran a continuación:

30

Software Año Tiempo [seg] CPLEX 1.0 1988 57,840 CPLEX 3.0 1994 4,555 CPLEX 5.0 1996 3,835 CPLEX 6.5 1999 165

Tabla 2: Tiempos de resolución del modelo PDS-30

Si se toma en consideración que los resultados presentados anteriormente corresponden al año

1999, es decir, hace 10 años, además de que en el presente estudio la resolución del modelo

se realiza con CPLEX 10.2, en computadores más potentes que el utilizado para la resolución

del modelo PDS-30, se puede esperar muy buenos resultados como consecuencia de utilizar

este software para la resolución de una problemática minera. El desarrollo de los computadores

y de los softwares es indispensable para resolver el problema de planificación de una mina a

cielo abierto con respecto a la definición del pit final, de las fases y de las leyes de corte

mediante la técnica de “Block Sequencing” para generar un programa de producción que

optimice el VAN sujeto a restricciones de capacidad, de precedencia de bloques y de

alimentación a planta.

31

3 Modelo de programación matemática para soportar la

planificación minera de corto plazo

Las componentes del modelo de programación matemática se pueden dividir de la manera

siguiente:

Figura 1: Componentes del modelo de programación matemática

Con respecto a los parámetros, existen de distintos tipos:

• Parámetros de la operación: son aquellos que caracterizan la explotación y

procesamiento de bloques de la mina, y que definen las características y límites

necesarios para el minado de un bloque, y posteriormente para su procesamiento. Por

ejemplo, la capacidad de movimiento de material en la mina, la capacidad de la planta,

las restricciones geometalúrgicas para el mineral que alimenta la planta de tratamiento,

etc.

• Parámetros de los bloques: corresponden a todas aquellas características entregadas

por el modelo de bloques de cada uno de ellos que facilitan su identificación y

clasificación. Por ejemplo, la ubicación espacial de un bloque, su ley de cobre, su

densidad, su cantidad de carbonato, etc.

• Parámetros de los stocks: corresponden a las características que definen a los bloques

pertenecientes a un tipo determinado de stock. Por ejemplo, el tonelaje del stock, su ley

media de cobre, su densidad media, etc.

Modelo

Parámetros

Variables

Restricciones

Función Objetivo

32

• Parámetros geométricos: son aquellos que permiten controlar la solución geométrica de

secuenciamiento de bloques de forma tal de que la solución pueda cumplir su objetivo

de servir como guía para la planificación minera de corto plazo en una mina a cielo

abierto. Por ejemplo, definir un radio de búsqueda de bloques candidatos a ser

explotados por periodo para obtener un secuenciamiento conexo en la solución.

Con respecto a las variables de decisión del modelo, son aquellas sobre las cuales el modelo

puede trabajar y variar para poder cumplir con la optimización de la función objetivo. Por

ejemplo, el hecho de minar o no un bloque de la mina, y en el caso de hacerlo, la decisión de

procesarlo o no, son variables de decisión dentro del modelo.

Por su parte, como todo modelo de optimización, también nos encontramos con restricciones.

Estas restricciones permiten en gran medida definir el problema minero, y pueden variar desde

restricciones muy simples y lógicas como por ejemplo que un bloque puede ser minado o

procesado sólo una vez, a restricciones más complejas como es el caso de la definición de

precedencias banco a banco, es decir, que para explotar un bloque de un banco de la mina,

deben explotarse antes una cierta cantidad de bloques del banco superior, de tal forma de

despejar el bloque y tener acceso a éste. Cabe destacar que las restricciones impuestas en

este modelo permiten tener control sobre la geometría del secuenciamiento de bloques

obtenido, control sobre la forma de acceder a un bloque, control sobre las características del

mineral que alimenta la planta de procesamiento, y control sobre todas las limitaciones

existentes en las operaciones (planta, stocks, etc.).

Finalmente, se define la función objetivo del modelo, que en este caso corresponde a maximizar

la cantidad de finos de cobre procesados en el horizonte de tiempo en estudio. La maximización

de los finos involucra intrínsecamente el aumento de los beneficios obtenidos debido a la mayor

cantidad de cobre producido, lo cual concuerda con el objetivo de la planificación de largo plazo

de maximizar el VAN, puesto que la cantidad de cobre es el centro del negocio.

3.1. Definición general del modelo matemático

De manera general, a continuación se presentan los tipos de variables, atributos y límites con

los cuales se ha escrito el modelo. Para ello, si consideramos un bloque u perteneciente al

conjunto B de bloques y t un periodo perteneciente a 1…T, se tiene:

33

��,� : Bloque u es minado en los periodos 1…t.

��,� : Bloque u es procesado en los periodos 1…t.

��,� : Valor del parámetro a para el bloque u (por ejemplo, ley de cobre del bloque u).

��,� , ��,� : Límites superior e inferior para el parámetro a en el periodo t.

��,� : Número de bloques del stock tipo m procesados en el periodo t (m: óxido o

súlfuro).

��,� : Valor inicial del atributo a para los bloques del stock tipo m.

� : Número total de bloques disponibles en el stock de tipo m.

A partir de las definiciones expresadas anteriormente, se pueden establecer las restricciones

del modelo matemático, las cuales se presentan a continuación. Para t ≥ 1, se tiene:

��,� ≥ ��,�� : El bloque u sólo puede ser explotado una vez.

��,� ≥ ��,�� : El bloque u sólo puede ser procesado una vez.

��,� ≤ ��,� : Sólo se pueden procesar bloques que ya han sido explotados.

∑ ��,�� ≤ � : El número de bloques del stock tipo m que han sido procesados no puede ser

mayor que el número total de bloques disponibles en el stock de tipo m.

El objetivo del modelo es maximizar la cantidad de finos de cobre luego del proceso, por lo cual,

la función objetivo es la siguiente:

�� ∗�,�

��,�� + � �� ∗�,�

��,�

Donde �� corresponde a la cantidad de cobre en toneladas del bloque u, y �� corresponde a

la cantidad de cobre en toneladas de un bloque del stock de tipo m.

Considerando que ��,�� = ��,� − ��,�� es una variable binaria que toma el valor 1 si el bloque es

explotado en el periodo t y 0 en otro caso, se tiene que la expresión que representa la

capacidad de movimiento de material de la mina (estéril + mineral) es la siguiente:

��,� ≤ � ��,��

∗ ��,�� ≤ ��,�

34

Por su parte, considerando que ��,�� = ��,� − ��,�� es una variable binaria que toma el valor 1 si

el bloque es procesado en el periodo t y 0 en otro caso, se tiene que la expresión que

representa la capacidad de procesamiento de la planta es la siguiente:

��,� ≤ � ��,��

∗ ��,�� + � ��,� ∗ ��,��

≤ ��,�

3.2. Descripción minera de las restricciones

En las siguientes líneas se procederá a dar una explicación minera de cada una de las

restricciones involucradas en el modelo, las cuales se van a ir definiendo de forma general, y

explicar el objetivo de la utilización de cada una de ellas.

• Un bloque no puede ser explotado ni procesado más de una vez: esta restricción resulta

lógica considerando que un bloque es la unidad básica de explotación del modelo, y

como tal no puede ser sometida dos o más veces a un mismo proceso.

• Capacidad de planta: la operación está diseñada para alimentar una planta de

procesamiento de mineral, la cual fue dimensionada para tratar un flujo de alimentación

constante que está determinado por esta restricción.

• Capacidad de movimiento de roca desde la mina: esta restricción está dada por el

tamaño de la operación, en la cual se considera la cantidad y capacidad de los equipos

de carguío y transporte que se usan en la mina para la explotación del mineral. Cabe

destacar que el modelo en su intento de maximizar la cantidad de cobre fino, extraerá la

capacidad de planta desde la mina y todo el margen restante corresponde al desarrollo

de la mina (movimiento de estéril).

• Los stocks son limitados: en operaciones, se suelen tener 1 o más stockpiles de mineral

para alimentar la planta de procesamiento en el caso de una emergencia que no permita

enviar mineral desde la mina, o por necesidad de mezclar mineral para no superar

restricciones geometalúrgicas en la alimentación a la planta. Estos stocks tienen un

tamaño determinado, con cierto tonelaje de mineral, lo cual limita su utilización.

• No se puede procesar un bloque de un tipo de stock si se está en una campaña

diferente: en la planificación de largo plazo están definidas dos tipos de campañas,

súlfuros y óxidos, de igual forma que están definidos dos tipos de stocks. Es por ello que

si nos encontramos en campaña de súlfuros, la planta de procesamiento debe ser

alimentada con mineral de tipo súlfuro, por lo que si se utilizan los stocks, sólo debe ser

35

mineral del stock de súlfuros. En el caso de campaña de óxidos ocurre lo mismo. Es

importante señalar que esta restricción corresponde a una característica particular del

estudio de caso y que requiere de una predefinición del destino del bloque, la cual se

encuentra considerada en el modelo.

• No se puede procesar un bloque no extraído desde la mina: para que un bloque pueda

ser procesado es necesario que haya sido extraído desde la mina.

• Precedencias verticales: esta restricción tiene que ver con el hecho de poder generar el

acceso a un bloque en profundidad. Para ello se define que para extraer un bloque de

un banco de la mina, se deben extraer los 9 bloques que se encuentran sobre él, lo cual

corresponde a un área de 900 m2, la cual se considera suficiente para la operación de

equipos mineros como por ejemplo un cargador frontal. Lo anterior corresponde a utilizar

un ángulo de talud que va a estar determinado por el tamaño de los bloques, por

ejemplo, se tendrá un ángulo de talud de 45° en el caso de bloques de n x n x n.

• No se puede procesar un bloque de un tipo de mineral en una campaña distinta: al igual

que en el caso de los stocks, en campaña de súlfuros la alimentación a la planta debe

ser exclusivamente con mineral de tipo súlfuro, y en campaña de óxidos, la alimentación

debe ser con mineral de tipo óxido o mixto. Cabe destacar que esta restricción

corresponde a una característica particular del estudio de caso.

• Bloques de estéril no se procesan: la idea es poder alimentar la planta de tratamiento

sólo con mineral, de forma de obtener la mayor cantidad de finos de cobre, y no

procesar bloques que casi no contienen cobre.

• Bloques de ROM siempre se procesan: se considera que los bloques de mineral tipo

ROM (run of mine) siempre se procesan, pero no se cuentan dentro del procesamiento

en la planta, sino que se asume que tienen un tratamiento paralelo, el cual se hace a

través de lixiviación directa de la roca, sin necesidad de chancado previo.

• Restricciones geometalúrgicas: corresponden a todas aquellas restricciones del mineral

de alimentación a la planta de procesamiento, que permiten para esta mina, optimizar el

proceso de recuperación de cobre. Para el caso de estudio presentado posteriormente

son cuatro las restricciones de este tipo utilizadas: clacid, que corresponde a la cantidad

de cloro en cada uno de los bloques del modelo cuyo efecto es que mata las bacterias

de la lixiviación bacteriana del mineral de tipo súlfuros, co3, que corresponde a la

cantidad de carbonato que contienen cada bloque, que resulta importante puesto que

produce un aumento en el consumo de ácido en la lixiviación del mineral, f_geomet, que

corresponde a la cantidad de material fino particulado que contiene cada bloque que

36

afecta directamente a la molienda del mineral, y finalmente la característica de mezcla,

que corresponde a la presencia de argílico en cada uno de los bloques.

• Relación entre bloques explotados y procesados en un mismo periodo: en general en las

minas, una gran parte del mineral que se explota se lleva a proceso en la planta

inmediatamente. La idea de esta restricción es asegurar que al menos una mínima

cantidad de los bloques extraídos en un cierto periodo van a ser enviados a proceso

durante el transcurso del mismo periodo.

• Avance radial desde los accesos a los bancos: generalmente a los bancos se tiene

acceso mediante rampas desde las cuales se comienza la explotación del banco. Es por

ello que se definió esta restricción de forma tal de darle conexidad al secuenciamiento

de bloques a partir de los accesos a los bancos, y que la explotación de estos no sea de

forma diseminada.

3.3. Modelo de Programación Matemática

Parámetros de los bloques

• X i,j,k: coordenada este del centroide del bloque.

• Y i,j,k: coordenada norte del centroide del bloque.

• Z i,j,k: cota del centroide del bloque.

• Xacc i,j,k: coordenada este del centroide del bloque correspondiente al acceso del banco.

• Yacc i,j,k: coordenada norte del centroide del bloque correspondiente al acceso del

banco.

• Dest i,j,k: definición preliminar del tipo de material al que corresponde el bloque (1:

súlfuro, 2: óxido, 3: mixto, 4: estéril o 5: ROM).

• Ton i,j,k: tonelaje correspondiente a cada uno de los bloques.

• Fgeo i,j,k: corresponde a la cantidad de material particulado fino en porcentaje presente

en cada bloque.

• CO3 i,j,k: ley de carbonato presente en el bloque medida en porcentaje.

• Clacid i,j,k: ley de cloro presente en el bloque medida en kg/t.

• Mez i,j,k: corresponde a la presencia o no de argílico en el bloque. Presenta el valor 1 si

presenta y 0 en el caso contrario.

• Finos i,j,k: Tonelaje de cobre fino presente en un bloque.

• Dist_max_acc i,j,k: es la distancia que hay entre el centroide del bloque y el centroide del

bloque que define el acceso al banco. Su cálculo se realiza como la distancia entre dos

37

puntos (x1, y1) y (x2, y2) de un plano (el plano es definido por un banco que presenta la

misma cota) definida del siguiente modo:

�� _max _�� = &(() − (�)) + (�) − ��))

Parámetros de la operación

• CapPlan t: capacidad de procesamiento de mineral de la planta medida en tonelaje para

el periodo t.

• CapMina t: capacidad de movimiento de material desde la mina medida en tonelaje para

el periodo t.

• Camp t: corresponde al tipo de campaña (1: súlfuro o 2: óxido) que se desarrolla en el

periodo t.

• Max_Fgeo t: límite máximo de Fino_geomet en el periodo t.

• Max_Clacid t: límite máximo de Clacid en el periodo t.

• Max_CO3 t: límite máximo de CO3 en el periodo t.

• Max_Mez t: límite máximo de argílico en el periodo t.

• %MinPlan: corresponde a un porcentaje mínimo de bloques que se deben procesar en el

mismo periodo del total de bloques extraídos en el mismo.

• TACUM t: corresponde al tiempo acumulado en semanas.

Parámetros de los stocks

• TSO: tonelaje de cada uno de los bloques del stock de óxidos.

• TSS: tonelaje de cada uno de los bloques del stock de súlfuros.

• CuSO: ley de cobre medida en procentaje de cada uno de los bloques del stock de

óxidos. Considera la ley media del stock como ley de cobre de cada bloque del stock.

• CuSS: ley de cobre medida en procentaje de cada uno de los bloques del stock de

súlfuros. Considera la ley media del stock como ley de cobre de cada bloque del stock.

• BSO: número de bloques que pertenecen al stock de óxidos.

• BSS: número de bloques que pertenecen al stock de súlfuros.

• Fgeo_SO: cantidad de material particulado fino de cada uno de los bloques del stock de

óxidos.

• Fgeo_SS: cantidad de material particulado fino de cada uno de los bloques del stock de

súlfuros.

38

• CO3_SO: ley de carbonato medida en porcentaje presente en cada uno de los bloques

del stock de óxidos.

• CO3_SS: ley de carbonato medida en porcentaje presente en cada uno de los bloques

del stock de súlfuros.

• Clacid_SO: ley de cloro medida en kg/t presente en cada uno de los bloques del stock

de óxidos.

• Clacid _SS: ley de cloro medida en kg/t presente en cada uno de los bloques del stock

de súlfuros.

• Mez_SO: corresponde al porcentaje de argílico presente en el stock de óxidos.

• Mez _SS: corresponde al porcentaje de argílico presente en el stock de súlfuros.

• TBSO: Tonelaje de un bloque del stock de óxidos.

• TBSS: Tonelaje de un bloque del stock de súlfuros.

Parámetros geométricos

• RPS: corresponde al radio de búsqueda desde el acceso para el primer periodo definido

para el modelo.

• MAR: corresponde a los metros de avance radial por periodo definidos para el radio de

búsqueda de extracción.

Variables de decisión

• Minar i,j,k,t: variable binaria que toma el valor 1 si el bloque es minado en el horizonte de

tiempo 1…t, y 0 en el caso contrario.

• Proc i,j,k,t: variable binaria que toma el valor 1 si el bloque es procesado en el horizonte

de tiempo 1…t, y 0 en el caso contrario.

• NO t: variable entera que corresponde al número de bloques procesados desde el stock

de óxidos.

• NS t: variable entera que corresponde al número de bloques procesados desde el stock

de súlfuros.

39

Función Objetivo

• Para t ≥1 y Dest i,j,k ≠ 5:

�� {,��-�.,/,0 ∗.,/,0,�

(12-�.,/,0,� − 12-�.,/,0,��)} + �{ 4� ∗ 5674 ∗ �874100 +

� 7� ∗ 5677 ∗ �877

100 }

Restricciones

• Un bloque solo puede ser extraído una vez desde la mina (para t ≥ 1)

Minar i,j,k,t ≥ Minar i,j,k,t-1

• Un bloque solo puede ser procesado una vez (para t ≥ 1)

Proc i,j,k,t ≥ Proci,j,k,t-1

• Capacidad de planta (para t ≥ 1 si Dest i,j,k ≠ 5)

�{5-�.,/,0 ∗ (12-�.,/,0,�.,/,0

− 12-�.,/,0,��)} + 4� ∗ 5674 + 7� ∗ 5677 ≤ ��1;��

• Capacidad de movimiento mina (para t ≥ 1)

�{5-�.,/,0 ∗ (��2.,/,0,�.,/,0

− ��2.,/,0,��)} ≤ ��

• Los stocks son limitados

� 4��

≤ 674

� 7��

≤ 677

40

• No se puede procesar un bloque de un stock si se está en campaña diferente (para t ≥

1)

7� ��<�� ≠ 1 → 4� = 0

7� ��<�� ≠ 2 → 7� = 0

• No se puede procesar un bloque no extraído desde la mina (para t ≥ 1)

Proc i,j,k,t ≤ Minar i,j,k,t

• No se puede extraer un bloque si no se han extraído los 9 superiores en algún periodo

previo o en el mismo (para t ≥ 1)

<��2.,/,0,� ≤ <��2.�,/�,0�,�

<��2.,/,0,� ≤ <��2.�,/,0�,�

<��2.,/,0,� ≤ <��2.�,/�,0�,�

<��2.,/,0,� ≤ <��2.,/�,0�,�

<��2.,/,0,� ≤ <��2.,/,0�,�

<��2.,/,0,� ≤ <��2.,/�,0�,�

<��2.,/,0,� ≤ <��2.�,/�,0�,�

<��2.,/,0,� ≤ <��2.�,/,0�,�

<��2.,/,0,� ≤ <��2.�,/�,0�,�

41

• No se puede procesar un bloque de un tipo determinado en una campaña contraria

(para t ≥ 1)

7� �� .,/,0 = 2 - 3 ( ��<�� = 1 → 12-�.,/,0,� − 12-�.,/,0,�� ≤ 0

7� �� .,/,0 = 1 ( ��<�� = 2 → 12-�.,/,0,� − 12-�.,/,0,�� ≤ 0

• Bloques de estéril no se procesan (para t ≥ 1)

7� �� .,/,0 = 4 → 12-�.,/,0,� = 0

• Bloques de ROM al ser explotados desde la mina siempre se procesan pero no son

contabilizados como alimentación a la planta de chancado puesto que son llevados a un

stock donde son lixiviados in situ (para t ≥ 1)

7� �� .,/,0 = 5 → 12-�.,/,0,� = ��2.,/,0,�

• Restricciones geometalúrgicas (para t ≥ 1 si Dest i,j,k ≠ 5)

�{(12-�.,/,0,�.,/,0

− 12-�.,/,0,��) ∗ (,C�-.,/,0 − ��_,C�-�)} + { 4� ∗ (,C�-_74 − ��_,C�-�)}

+ { 7� ∗ (,C�-_77 − ��_,C�-�)} ≤ 0

�{(12-�.,/,0,�.,/,0

− 12-�.,/,0,��) ∗ (�43.,/,0 − ��_�43�)} + { 4� ∗ (�43_74 − ��_�43�)} + { 7�

∗ (�43_77 − ��_�43�)} ≤ 0

�{(12-�.,/,0,�.,/,0

− 12-�.,/,0,��) ∗ (�;��D.,/,0 − ��_�;��D�)} + { 4� ∗ (�;��D_74 − ��_�;��D�)}

+ { 7� ∗ (�;��D_77 − ��_�;��D�)} ≤ 0

�{(12-�.,/,0,�.,/,0

− 12-�.,/,0,��) ∗ (��E.,/,0 − ��_��E�)} + { 4� ∗ (��E_74 − ��_��E�)} + { 7�

∗ (��E_77 − ��_��E�)} ≤ 0

42

• Relación entre bloques procesados y explotados en un mismo periodo (para t ≥ 1)

�F12-�.,/,0,� − 12-�.,/,0,��G ≥ %��1;�� ∗.,/,0

�(.,/,0

��2.,/,0,� − ��2.,/,0,��)

Considerando sólo los bloques minados de súlfuros, óxidos y mixtos.

• Avance radial desde accesos a los bancos (para t ≥ 1)

7� I17 + 5�� ∗ ��I < �� _max _��.,/,0 → ��2.,/,0,� = 0

3.4. Criterios de resolución

La problemática a resolver descrita en el presente estudio se realizó mediante un modelo de

programación matemática, el cual corresponde a un programa lineal binario, en el cual el

número de variables es O(N*T), donde N es el número total de bloques y T es el número de

periodos considerados, es decir, el número de variables es lineal en el número N de bloques y

en el horizonte T de tiempo. Por su parte el número de restricciones es O(N2*T2).

La resolución del modelo se lleva a cabo mediante el método clásico de bifurcación y

acotamiento (Branch & Bound), el cual se basa en relajar la condición de integralidad de las

variables binarias. Este es un algoritmo de enumeración de soluciones, que busca reducir el

número de soluciones generadas al descartar zonas del espacio factible cuyas soluciones

contenidas sean de menor calidad que las calculadas hasta la iteración correspondiente. Para

esto, Branch & Bound mantiene, en cada iteración para el caso de un problema de

maximización, un valor máximo factible (obtenido a partir de la relajación), y el valor de la mejor

solución entera conocida hasta ahora.

Dependiendo del resultado de la relajación, el algoritmo de Branch & Bound puede continuar

con las siguientes alternativas:

• Descubre nuevas soluciones enteras factibles (eventualmente actualizando la mejor

conocida).

43

• Subdivide el espacio factible según el valor de una variable cuyo valor resultara

fraccionario (lo cual genera sub problemas a resolver en el futuro, uno para cada región

resultante de la subdivisión).

• Elimina cierta zona del espacio factible al mostrar que cualquier solución en ésta es

inferior en calidad a alguna ya conocida.

Algunos parámetros relevantes para la resolución del modelo mediante CPLEX son los

siguientes:

• El GAP o “tolerancia”, que define el criterio de parada del algoritmo cuando éste ha

encontrado una solución entera factible, que es a lo más un cierto porcentaje (el GAP)

peor que la óptima, que resulta desconocida.

• El énfasis en la búsqueda, el cual determina si CPLEX debe concentrarse en buscar

soluciones factibles, o bien en demostrar su optimalidad, o refinar el GAP.

Así, una solución de valor 100 con gap del 5% implica que, si bien pueden existir soluciones

mejores que ésta, ninguna tiene un valor mayor a 105.

Respecto del énfasis de la búsqueda, una constante que se observa en las corridas es que

mientras el valor máximo factible cambia poco, el valor de soluciones factibles conocidas parte

muy distante de este último y es el que se desplaza mayormente hasta obtener la convergencia,

lo cual puede ser visto en la siguiente gráfica esquemática, en donde la línea roja representa el

valor máximo factible de la función objetivo y las líneas negras el valor de las soluciones

factibles que va encontrando en el tiempo:

< GAP � final

Tiempo

Valor función objetivo

Bound

Branching

44

4 Estudio de caso

4.1. Características generales

Para la realización del presente proyecto, se utilizaron los datos correspondientes a mina

Spence (BHP Billiton). Esta mina está ubicada a unos 50 km. al suroeste de Calama en la

Región de Antofagasta, Chile. Corresponde a un depósito de tipo supérgeno enriquecido y

parcialmente oxidado de cobre porfírico de la edad paleocénica (57 millones de años) cubierto

por gravas. La profundidad de la mineralización varía entre 80 y 100 metros y está compuesta

por atacamita en el caso del mineral oxidado y calcosina para el caso del mineral sulfurado. La

explotación del yacimiento se realiza mediante una mina a cielo abierto con una producción de

200,000 toneladas de cátodos de cobre al año. Por su parte, presenta una capacidad de

movimiento de material desde la mina (estéril + mineral) de 220,000 tpd, y una capacidad de

chancado de 50,000 tpd. A continuación se presenta un flowsheet de las principales

operaciones de la mina:

Figura 2: Flowsheet de operaciones de Mina Spence

Desde la mina se extraen 5 tipos de materiales los cuales son: súlfuros, óxidos, mixtos, ROM y

estéril. Para otorgarles estas categorías a cada uno de los bloques del modelo, se utiliza una

característica geológica llamada minty derivada del inglés “mineral type”, es decir, tipo de

mineral según su mineralogía, además de la ley de cobre y la solubilidad. Es así, como en el

cuadro siguiente se presentan los criterios necesarios para definir el tipo de material que posee

cada uno de los bloques:

45

Tipo de roca Minty Ley de cobre

[%] Solubilidad Indicador Súlfuros 20, 30, 40 ≥ 0.3 ≤ 0.2 1 Óxidos 20 ≥ 0.3 ≥ 0.72 2 Mixtos 20 ≥ 0.3 >0.2 & < 0.72 3

ROM 10, 50 ≥ 0.1 - 5

20, 30, 40 ≥ 0.1 & < 0.3 - Estéril - < 0.1 - 4

Tabla 3: Criterios de definición del tipo de material para cada uno de los bloques del modelo Cabe destacar, que en conjunto con lo anterior fue necesario tomar las siguientes

consideraciones:

• Los bloques con atributo minty = 60, fueron considerados como estéril, puesto que se

trata de mineralización hipógena con material primario que no se puede procesar.

• Todos los bloques con atributo minty = 30 y con ley de cobre Cut >= 0.3, se

consideraron como súlfuros sin importar su solubilidad.

• Los bloques con atributo minty = -99, fueron considerados como estéril por tratarse de

material de sobrecarga.

• Finalmente, los bloques con atributo minty = 24, se les asignó el tipo de material

considerando sus características de ley de cobre y de solubilidad.

Esta pre-clasificación inicial de los bloques tiene como objetivo reducir el tamaño del problema

desde el punto de vista de su resolución computacional.

4.2. Definición del modelo de bloques

Debido a que el número de bloques del modelo es muy grande, y el horizonte de tiempo a

estudiar es de sólo 3 meses (Julio a Septiembre de 2008), se tomó la determinación de utilizar

sólo los bloques de aquellos bancos del modelo que según la planificación de largo plazo de la

mina serán los explotados en ese periodo. La planificación se presenta en el siguiente cuadro:

F02 F03 F04 F05 Julio_08 1580 - 1670 1685

Agosto_a_08 1565 - 1655 1670 Agosto_b_08 1550 - - 1670

Septiembre_08 - 1625 - 1670 Tabla 4: Bancos a explotar por periodo según la planificación de largo plazo

46

Es así, como se puede apreciar que los bloques a utilizar son los correspondientes a los bancos

1550, 1565, 1580, 1625, 1655, 1670 y 1685, de las fases 2, 3, 4 y 5.

Una vez realizada la tarea anterior, se cuenta con un modelo de bloques representativo del

periodo de estudio de 9,976 bloques de tamaño 10 x 10 x 15 metros. A continuación se

presentan las estadísticas básicas de este nuevo modelo de bloques:

Tabla 5: Estadísticas básicas del modelo de bloques Julio a Septiembre de 2008

4.3. Definición de parámetros de resolución

En la producción de la mina Spence, existen dos campañas de alimentación a la planta de

procesamiento, una de súlfuros y otra de óxidos, las cuales están definidas en los planes de

producción. Cabe destacar, que en la campaña de óxidos, se envían a la planta de

procesamiento bloques de tipo óxido y mixto. Es así como se extrajo de esa información, las

campañas correspondientes al periodo de estudio. Por su parte, el modelo a grandes rasgos

será dividido en periodos de 2 semanas, con ciertas excepciones, como es el caso cuando

existe un cambio de campaña o que en la última semana los días sean menos. A continuación,

se presentan las semanas involucradas, sus respectivas campañas, los periodos definidos para

la resolución del modelo y las restricciones operacionales:

Tabla 6: Definición de periodos y sus características

Tonelaje Tonelaje Cu Ley de cobre Densidad Clacid CO3 F_geomet Mezcla

[t] [t] [%] [t/m3] [kg/t] [%] [%] [%]Súlfuro 1,497 5,628,335 120,118 2.13 2.51 0.45 0.19 19.9 11.5Óxido 953 3,441,893 37,479 1.09 2.41 2.66 0.27 17.5 14.9Mixto 376 1,371,891 15,795 1.15 2.43 1.24 0.27 18.1 11.0ROM 560 1,999,032 8,051 0.40 2.39 0.72 0.17 19.8 8.3Estéril 6,590 19,733,088 4,715 0.02 2.02 0.49 0.15 22.5 0.4Total 9,976 32,174,238 186,157 0.58 2.19 0.76 0.17 21.1 4.9

Tipo de roca # bloques

Periodo Días Campaña Mina Planta Clacid CO3 F_geomet Mezcla[t] [t] [kg/t] [%] [%] [%]

1 14 Sulphides 3,080,000 700,000 0.8 1.2 20 252 14 Sulphides 3,080,000 700,000 0.8 1.2 20 253 14 Sulphides 3,080,000 700,000 0.8 1.2 20 254 14 Sulphides 3,080,000 700,000 0.8 1.2 20 255 14 Sulphides 3,080,000 700,000 0.8 1.2 20 256 7 Sulphides 1,540,000 350,000 0.8 1.2 20 257 14 Oxides 3,080,000 700,000 - 1.2 20 258 1 Oxides 220,000 50,000 - 1.2 20 25

Límites

47

Cabe destacar, que los límites impuestos para las restricciones geometalúrgicas son superiores

a las medias de ellas en el modelo de bloques por lo cual se podría esperar no tener problemas

con las características del mineral de alimentación al chancado, pero las estadísticas

presentadas son a nivel global y no necesariamente en un corte correspondiente a la

planificación de corto plazo estas condiciones se verán reflejadas, puesto que la distribución de

estas propiedades geometalúrgicas en el yacimiento no son uniformes y pueden existir sectores

con condiciones muy favorables y otros muy desfavorables.

Además, el modelo de programación matemática considera la utilización de dos stocks bases

de súlfuros y óxidos respectivamente, cuyas características se presentan a continuación:

Tabla 7: Características de los stocks bases

Con respecto a las características de los stocks bases de súlfuro y óxidos, se tomaron las

siguientes consideraciones:

• El tonelaje y la ley de cobre de cada uno de los stocks, corresponden a datos del

inventario de stocks de mina Spence de noviembre de 2007. Estos datos tienen relación

al total de los stocks de la mina.

• No se contaba con los datos de las restricciones geometalúrgicas del stock de súlfuros,

por lo cual se tomó la determinación de utilizar los promedios ponderados con el tonelaje

del modelo de bloques de julio a septiembre de 2008, de aquellos bloques

correspondientes a súlfuros.

• Tampoco se contaba con los datos de las restricciones geometalúrgicas del stock de

óxidos, por lo cual se tomó la determinación de utilizar los promedios ponderados con el

tonelaje del modelo de bloques de julio a septiembre de 2008, de aquellos bloques

correspondientes a óxidos y mixtos.

• Para calcular la cantidad de bloques aproximados existentes en cada uno de los stocks,

se utilizaron los tonelajes totales de estos, el tamaño de un bloque del modelo (10 x 10 x

15 metros), y la densidad promedio ponderada por el tonelaje de los bloques de súlfuros

del modelo y de los bloques de óxidos y mixtos respectivamente.

Tonelaje Ley de cobre Clacid CO3 F_geomet Mezcla[t] [%] [kg/t] [%] [%] [%]

Súlfuros 438 1,668,112 1.06 0.45 0.19 19.9 11.5Óxidos 2,300 8,349,565 1.03 2.25 0.27 17.7 13.8

Stock # bloques

48

Finalmente, se le debe entregar al modelo las coordenadas del bloque que representa el acceso

a cada uno de los bancos involucrados, las cuales se muestran en la siguiente tabla:

Fase Banco X [m] Y [m] Z [m] 2 1,550 74,955 480,095 1,557.5 2 1,565 74,775 480,115 1,572.5 2 1,580 74,645 480,045 1,587.5 3 1,625 74,365 479,395 1,632.5 4 1,655 73,575 479,255 1,662.5 4 1,670 73,565 479,405 1,677.5 5 1,670 74,015 479,935 1,677.5 5 1,685 73,845 479,985 1,692.5

Tabla 8: Coordenadas de los bloques que representan los accesos a cada banco

A pesar de que en este estudio no ocurre, el modelo es capaz de ser alimentado con más de un

acceso por banco.

Cabe señalar también, que se consideró un radio de la primera semana (RPS) de 60 metros,

para un posterior avance radial (MAR) de 30 metros, además de un porcentaje mínimo de

procesamiento de los bloques explotados en un periodo determinado (%MinPlan) de 80%. Es

así, como en la siguiente tabla se muestran los radios de búsqueda por periodo desde los

bloques representativos de los accesos en cada uno de los bancos:

Periodo Duración Duración Acum Radio [Semanas] [Semanas] [m]

1 2 2 120 2 2 4 180 3 2 6 240 4 2 8 300 5 2 10 360 6 1 11 390 7 2 13 450 8 1 14 480

Tabla 9: Radios de búsqueda desde los accesos a los bancos para cada periodo Es importante señalar que esta restricción no comienza en el periodo de apertura del banco

sino que según los periodos generales definidos para la explotación.

49

4.4. Criterios de resolución

La problemática expuesta en el presente estudio fue resuelta mediante un modelo de

programación lineal entera mixta, cuya implementación fue realizada mediante el lenguaje de

programación AMPL, y cuya resolución fue hecha mediante el software comercial ILOG CPLEX

en su versión 10.2, en computadores con 4 u 8 procesadores Intel®Xeon® CPU 1.6 GHz y con

4 Gb de memoria RAM.

Otro punto importante a destacar, es que el valor del GAP empleado fue de 5%, lo que significa

que si bien las soluciones encontradas podrían no ser óptimas desde el punto de vista de la

función objetivo (total de finos de cobre procesados), no existe ninguna solución factible para el

modelo que la supere en más que el valor de GAP. Además, se fijó el parámetro de énfasis de

manera que CPLEX privilegiara la búsqueda de soluciones factibles y no la mejora de la cota

global.

50

5 Análisis de resultados

5.1. Determinación de radios de búsqueda

Tal cual fue mencionado con anterioridad, una de las características que presenta el modelo de

programación matemática, es la de asignarle preliminarmente dos parámetros necesarios para

regular la geometría de las soluciones y la conexidad de la extracción de roca desde la mina, de

forma tal de que los resultados obtenidos puedan ser utilizados como una guía para el

planificador de corto plazo. Estos dos parámetros de control corresponden al radio de la primera

semana, y al avance radial en metros de los siguientes periodos, lo cual permite definir el radio

de búsqueda de mineral en la mina desde los accesos para cada periodo definido en el modelo,

con el objetivo de alcanzar la alimentación deseada para la planta de procesamiento en estos

periodos.

Es importante recordar que la forma de calcular el radio de búsqueda para una semana t, es la

siguiente:

7� I17 + 5�� ∗ ��I < �� _max _��.,/,0 → ��2.,/,0,� = 0

De forma sencilla, la ecuación planteada anteriormente quiere decir, que no se puede extraer

ningún bloque desde un banco de la mina, cuya distancia al bloque representativo como acceso

del banco sea mayor que el radio de búsqueda definido para un periodo determinado. Por

ejemplo, si nos encontramos en el periodo 1 definido en el modelo (consideremos que el

periodo 1 corresponde a 2 semanas), y el radio de la primera semana (RPS) es 60 metros, y el

avance radial (MAR) es de 30 metros, el radio de búsqueda definido para este periodo es de

120 metros, por lo cual, cualquier bloque del banco que se encuentre a más de 120 metros

desde el bloque de acceso al banco, no puede ser extraído. Cabe destacar que el radio de

búsqueda es invariante a la apertura del banco y comienza su incremento desde el primer

periodo de explotación de la mina.

Para realizar este análisis, es importante destacar que no se utilizó todo el modelo de bloques

correspondiente a los 3 meses en estudio, sino que sólo las fases 02 y 03, por un asunto de

reducir los tiempos, puesto que se analizaron varias combinaciones posibles de RPS y MAR,

por lo cual lo mejor era realizarlo con un modelo de bloques que permitiera un fácil manejo del

tiempo. Además esta determinación se tomó puesto que los bancos de la fase 02 están

51

constituidos principalmente por mineral de tipo súlfuro, y el banco de la fase 03 por mineral de

tipo óxido, lo cual permitía cumplir con el requerimiento de las campañas involucradas, y a esto

se le suma el hecho de que los bancos de las fases 04 y 05 están conformados principalmente

por estéril, por lo cual, para el objetivo de este estudio no resultan tan trascendentes.

Finalmente, es importante destacar que todo el resto de la información y parámetros utilizados

para este análisis son los mismos que los presentados en el estudio de caso.

El análisis presentado a continuación se centra principalmente en encontrar los parámetros de

control de geometría de la solución, con el objetivo de disponer del mineral necesario para

mantener saturada la alimentación a la planta de procesamiento. Sobre esto es importante

señalar que en campaña de súlfuros la capacidad máxima de la mina es de aproximadamente

93 bloques por semana, y en campaña de óxidos es de 96 bloques. En conjunto con lo

señalado anteriormente, también resulta relevante, que estos parámetros encontrados, permitan

tener acceso a los bloques más alejados de un banco, lo cual se evaluará con el

secuenciamiento de bloques obtenido para el banco 1580 de la fase 02 (banco superior de los 3

correspondientes a esta fase).

La metodología a utilizar, corresponde a fijar el valor del radio de la primera semana y el avance

radial en 10 metros y posteriormente se aumentó el avance radial en 10 metros hasta cuando

se alcanzó la capacidad de la planta de procesamiento en todos los periodos en estudio.

Posteriormente, se utilizó la información obtenida de este estudio, fijando el avance radial en

aquel valor donde la planta permanecía saturada desde el periodo 2, y se fue aumentando el

radio de la primera semana, hasta alcanzar la capacidad máxima de la planta en el primer

periodo. Finalmente se toma la determinación de seleccionar aquella combinación que sature la

alimentación a planta en todos los periodos en estudio, que entregue la mejor selección gráfica

entre las opciones disponibles, y que tome el menor tiempo de resolución del modelo.

De este modo las opciones evaluadas se muestran en la siguiente tabla:

52

Radio de la primera semana Metros de avance radial RPS [m] MAR [m]

10 10 10 20 10 30 10 40 10 50 30 30 50 30 60 30

Tabla 10: Combinaciones de RPS y MAR para encontrar el radio de búsqueda adecuado

Finalmente es importante señalar no tan sólo para el presente análisis, sino para la

presentación de todos los resultados gráficos del modelo, que la leyenda de colores que se

utilizó para definir el secuenciamiento de bloques en cada uno de los bancos de la mina en los 8

periodos en estudio fue la siguiente:

Periodo Color 1 2 3 4 5 6 7 8

Tabla 11: Leyenda de colores para el secuenciamiento de bloques

RPS = 10 metros y MAR = 10 metros

Para comenzar es importante mostrar el significado de estos dos parámetros en los radios de

búsqueda de cada uno de los periodos en estudio, es por ello que en la siguiente tabla se

muestran los radios de búsqueda que tiene el modelo desde los accesos a los bancos de la

mina en cada uno de los periodos:

53

Periodo Duración Duración Acum Radio

[semanas] [semanas] [m] 1 2 2 30 2 2 4 50 3 2 6 70 4 2 8 90 5 2 10 110 6 1 11 120 7 2 13 140 8 1 14 150

Tabla 12: Radios de búsqueda por periodo para el caso RPS = 10 metros y MAR = 10 metros

Con la utilización de estos parámetros, a continuación se presenta un gráfico en el que se

muestra el tonelaje de alimentación de mineral a la planta de procesamiento, y la contribución

de cada una de las fuentes en ella (mina, stock de súlfuros, stock de óxidos). La tabla de

contribución en cuanto a tonelaje y porcentaje de cada una de las fuentes de alimentación de la

planta que da origen a este gráfico se puede encontrar en el Anexo 1:

Figura 3: Tonelaje de alimentación de mineral a la planta de procesamiento para el caso RPS = 10 metros y

MAR = 10 metros

Se puede apreciar claramente que en los dos primeros periodos en estudio no existe

alimentación de mineral de ningún tipo a la planta de procesamiento. Además, la alimentación

de mineral en el periodo 3 no se alcanza al 100%, y proviene completamente de bloques

pertenecientes al stock de súlfuros, al igual que gran parte de los bloques que alimentan la

planta en los periodos 4 y 5. En los periodos 6 y 8, la alimentación está dada íntegramente por

bloques explotados en la mina, y en el periodo 7 el 41% de la alimentación tiene como fuente la

mina. Con respecto a este mismo tema, es importante analizar si los radios de búsqueda

definidos entregaban áreas suficientes en cada uno de los periodos para extraer los bloques

necesarios. Para ello a continuación se muestra una tabla de los bloques minados en cada uno

0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

800,000

1 2 3 4 5 6 7 8

Ton

ela

je [

t]

Periodo

Mina Stock Súlfuros Stock Óxidos Capacidad Planta

54

de los periodos y cuántos de ellos alimentan la planta de procesamiento. En conjunto con ello,

se muestra una imagen en planta del banco 1580 de la fase 02, y el secuenciamiento de

bloques obtenido como resultado del modelo:

# bloques

Minados Procesados

Per

iod

o

1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 1 1 5 12 10 6 93 93 7 56 77

8 14 13 Tabla 13: Relación de bloques minados y procesados por periodo para el caso RPS = 10 metros y MAR = 10

metros

Figura 4: Vista en planta del secuenciamiento de bloques del banco 1580 para el caso RPS = 10 metros y

MAR = 10 metros

Cabe destacar que sólo en los periodos 6 y 8 se explotan desde la mina suficientes bloques

para saturar la alimentación de mineral a la planta de procesamiento (recordar que el periodo 8

corresponde a tan sólo un día), lo cual también se ve reflejado en la figura anterior, en donde es

claro que con los parámetros estudiados no se alcanza la explotación de todo el banco, sino

que de una proporción menor de él.

Otro tema relevante es que del modelo se esperaría que utilizara los stocks para suplir la falta

de mineral desde la mina para la alimentación de la planta, y sólo los utiliza en los periodos 3, 4,

y 5 en campaña de súlfuros, y en el periodo 7 en campaña de óxidos. Esto tiene una explicación

55

basada en que los stocks son limitados, y en el caso del stock de súlfuros éste sólo cuenta con

438 bloques, y en la siguiente tabla se puede apreciar que se utilizó completamente:

# bloques

Periodo stock súlfuros stock óxidos 1 0 0 2 0 0 3 83 0 4 182 0 5 173 0 6 0 0 7 0 114 8 0 0

Total 438 114 Tabla 14: Utilización de stocks para el caso de RPS = 10 metros y MAR = 10 metros

Finalmente se puede concluir que con estos radios de búsqueda para cada uno de los periodos

en estudio no se pueden obtener los resultados deseados por los siguientes motivos:

• Sólo se obtienen 32,474 toneladas de cobre fino, lo que en el caso de trabajar con la

capacidad máxima de tratamiento de mineral en la planta en todos los periodos, equivale

a una ley media de alimentación de 0,71% de cobre, lo cual es bajo comparado con las

leyes de cobre promedio que presenta el modelo de bloques.

• Se tienen periodos sin mineral para alimentar la planta.

• Se utiliza completamente el stock de súlfuros después del periodo 5 (semana 10).

• No todos los bloques del banco 1580 de la fase 02 se encuentran disponibles y resultan

ser alternativa para ser explotados.






56










MAR = 20 metros

En el gráfico presentado se puede apreciar que se alcanza la capacidad de alimentación de

mineral máxima de la planta de procesamiento en todos los periodos. Además, se puede ver

que en los primeros 2 periodos la alimentación de mineral viene dada casi en un 100% por

bloques del stock de súlfuros, al igual que el 45% de la alimentación del periodo 3. Ya a partir

del periodo 4, la alimentación viene dada en un 100% por mineral explotado desde la mina. Con

respecto a este mismo tema, es importante analizar si los radios de búsqueda definidos

entregaban áreas suficientes en cada uno de los periodos para extraer los bloques necesarios.

Para ello a continuación se muestra una tabla de los bloques minados en cada uno de los

periodos y cuántos de ellos alimentan la planta de procesamiento. En conjunto con ello, se

0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

800,000

1 2 3 4 5 6 7 8

Ton

ela

je [

t]

Periodo


57

muestra una imagen en planta del banco 1580 de la fase 02, y el secuenciamiento de bloques

obtenido como resultado del modelo:

# bloques

Minados Procesados

Per

iod

o

1 2 2 2 10 8 3 107 104 4 198 190 5 190 185 6 99 94 7 176 193


metros


MAR = 20 metros

Cabe destacar que a partir del periodo 4 se explotan desde la mina suficientes bloques para

saturar la alimentación de mineral a la planta de procesamiento, lo cual también se ve reflejado

en la figura anterior, en donde es claro ver que con los parámetros estudiados no se alcanza la

explotación de todo el banco.

Otro punto importante a destacar tiene relación con la utilización de stocks, que se vuelven

indispensables para poder alcanzar la alimentación de mineral deseada en los primeros tres

periodos. Para ello fue necesario utilizar completamente el stock de súlfuros en estos periodos

como se muestra en la siguiente tabla:

58

# bloques




en estudio no se pueden obtener los resultados deseados por los siguientes motivos:

• Sólo se obtienen 74,912 toneladas de cobre fino, lo que en el caso de trabajar con la

capacidad máxima de tratamiento de mineral en la planta en todos los periodos, equivale

a una ley media de alimentación de 1.63% de cobre, lo cual es bajo comparado con las

leyes de cobre promedio que presenta el modelo de bloques.

• No existe stock de súlfuros disponible desde el periodo 4 (semana 7), por lo que el

modelo sólo debe alimentar con mineral proveniente de la mina sin poder mejorar la

producción de finos con la alternativa de mezclar la alimentación con bloques del stock.








59










MAR = 30 metros

Preliminarmente los resultados son muy similares a los del caso anterior. En el gráfico

presentado se puede apreciar que se alcanza la capacidad de alimentación de mineral máxima

de la planta de procesamiento en todos los periodos. Además, se puede ver que en los

primeros 2 periodos la alimentación de mineral viene dada casi en un 100% por bloques del

stock de súlfuros, al igual que el 42% de la alimentación del periodo 3. Ya a partir del periodo 4,

la alimentación viene dada en un 100% por mineral explotado desde la mina. Con respecto a

este mismo tema, es importante analizar si los radios de búsqueda definidos entregaban áreas

suficientes en cada uno de los periodos para extraer los bloques necesarios. Para ello a

continuación se muestra una tabla de los bloques minados en cada uno de los periodos y

0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

800,000

1 2 3 4 5 6 7 8

Ton

ela

je [

t]

Periodo


60

cuántos de ellos alimentan la planta de procesamiento. En conjunto con ello, se muestra una

imagen en planta del banco 1580 de la fase 02, y el secuenciamiento de bloques obtenido como

resultado del modelo:

#bloques

Minados Procesados

Per

iod

o

1 1 1 2 7 6 3 124 108 4 220 188 5 231 187 6 113 94 7 183 193


metros


MAR = 30 metros

Cabe destacar que a partir del periodo 4 se explotan desde la mina suficientes bloques para

saturar la alimentación de mineral a la planta de procesamiento, lo cual también se ve reflejado

en la figura anterior, en donde es claro ver que con los parámetros estudiados no se alcanza la

explotación de todo el banco. También se puede apreciar, que a pesar de obtener resultados

similares con el caso anterior con respecto a la alimentación de mineral a la planta de

procesamiento, los resultados del minado de bloques son distintos, puesto que en este caso, se

dispone de un número mayor de bloques por periodo a partir del periodo 4 disponibles para ser

seleccionados por el modelo para ser enviados a planta, lo cual explica que el área cubierta por

el secuenciamiento de bloques del banco 1580 de la fase 02 es mayor que en el caso anterior,

a pesar de que aún no se alcanzan los bloques más lejanos.

61

Además se aprecia que existe una mayor dispersión en la solución (picoteo), sobre todo en los

bloques minados en los periodos 7 y 8, lo cual no ocurría en los casos anteriores. Esto se debe

principalmente a que los radios de búsqueda y por lo tanto las áreas de búsqueda para cada

uno de los periodos en este caso son mayores y suficientes para satisfacer la demanda de

bloques por la planta de chancado, por lo cual pueden existir bloques dentro de las áreas

correspondientes a los primeros periodos que no sean explotados, y se encuentran disponibles

para ser minados en los periodos finales del horizonte de estudio.


indispensables para poder alcanzar la alimentación de mineral deseada en los primeros tres

periodos al igual que en el caso anterior. Para ello fue necesario utilizar completamente el stock

de súlfuros en estos periodos como se muestra en la siguiente tabla:

# bloques



Finalmente, como resultado del modelo se obtienen 102,645 toneladas de finos de cobre, lo

cual se acerca bastante a lo que se espera del modelo. A pesar de ello se puede concluir que

con estos radios de búsqueda para cada uno de los periodos en estudio no se pueden obtener

los resultados deseados por los siguientes motivos:

• No existe stock de súlfuros disponible desde el periodo 4 (semana 7), por lo que el

modelo sólo debe alimentar con mineral proveniente de la mina sin poder mejorar la

producción de finos con la alternativa de mezclar la alimentación con bloques del stock.



62

• Aparece picoteo en la explotación de los bloques en los últimos periodos del horizonte

de tiempo en estudio.















MAR = 40 metros

0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

800,000

1 2 3 4 5 6 7 8

Ton

ela

je [

t]

Periodo


63


mineral máxima de la planta de procesamiento en todos los periodos. Sólo en el periodo 1, la

fuente de alimentación de mineral para la planta proviene mayormente del stock de súlfuros, y

ya a partir del periodo 2 casi todo el mineral procesado viene de la mina. Con respecto a este

mismo tema, es importante analizar si los radios de búsqueda definidos entregaban áreas






# bloques

Minados Procesados

Per

iod

o

1 12 12 2 199 180 3 230 187 4 231 186 5 227 186 6 115 93 7 193 192


metros


MAR = 40 metros

64

A partir del periodo 2 se explotan desde la mina suficientes bloques para saturar la alimentación

de mineral a la planta de procesamiento, lo cual se ve reflejado en la figura anterior, ya que con

los radios de búsqueda utilizados se tienen disponibles todos los bloques del banco en estudio.

Al igual que en el caso anterior, se aprecia una mayor cantidad de picoteo, pero ahora no sólo

en los últimos dos periodos, sino que a partir del periodo 6 e incluso en el periodo 5 pero en

menor medida, lo cual se explica del mismo modo que en el caso anterior, es decir, el aumento

en los radios de búsqueda provoca un aumento en las áreas de búsqueda y también en la

cantidad de bloques disponibles en cada una ellas, los cuales no son explotados en su totalidad

quedando disponibles para ser minados en periodos posteriores, que es lo que en

definitivamente ocurre. En resumen, el fenómeno del picoteo se debe a que la explotación de

los bloques presenta un límite superior por periodo dado por los radios de búsqueda, pero no

presenta un límite superior, lo que le permite al modelo explotar en periodos posteriores bloques

disponibles que se encuentran cercanos al acceso al banco.


indispensables para poder alcanzar la alimentación de mineral deseada en el primer periodo.

Esta vez no fue necesaria la utilización completa del stock de súlfuros, ya que sólo fue utilizado

en gran cantidad en el periodo 1, lo cual contribuye a que el modelo tenga la posibilidad de

seleccionar entre la opción de procesar un bloque proveniente de la mina o uno del stock de

súlfuros a partir del segundo periodo, lo cual le entrega mayor flexibilidad al modelo. La

utilización de los stocks se muestra en la tabla siguiente:

# bloques



65


en estudio ya se pueden obtener mejores resultados que en los casos anteriores, dentro de los

que destaca que se obtienen 112,795 toneladas de finos de cobre, pero aún así la alimentación

a planta de mineral proveniente de la mina en el periodo 1 resulta muy baja y se aumenta el

picoteo de bloques en la explotación del banco.














66


MAR = 50 metros

Al igual que en el caso anterior, en el gráfico presentado se puede apreciar que se alcanza la

capacidad de alimentación de mineral máxima de la planta de procesamiento en todos los

periodos. La diferencia radica que la mina ya está aportando con un 24% de la alimentación

total de mineral a la planta en el periodo 1, lo cual se debe principalmente a que presenta una

mayor área de búsqueda en el este periodo, que le permite explotar una mayor cantidad de

bloques desde la mina. Esto se puede apreciar de mejor forma en la siguiente tabla, en donde

se muestran los bloques minados en cada uno de los periodos y cuántos de ellos alimentan la

planta de procesamiento. En conjunto con ello, se muestra una imagen en planta del banco

1580 de la fase 02, y el secuenciamiento de bloques obtenido como resultado del modelo:

# bloques

Minados Procesados

Per

iod

o

1 44 44 2 225 188 3 231 188 4 223 187 5 215 184 6 107 92 7 227 192


metros

0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

800,000

1 2 3 4 5 6 7 8

Ton

ela

je [

t]Periodo


67


MAR = 50 metros

A partir del periodo 2 se explotan desde la mina suficientes bloques para saturar la alimentación

de mineral a la planta de procesamiento, lo cual se ve reflejado en la figura anterior, ya que con

los radios de búsqueda utilizados se tienen disponibles todos los bloques del banco en estudio.

Se puede apreciar que en este caso, al seguir aumentando los radios de búsqueda, el picoteo a

partir del periodo 4 se vuelve aún mayor, por las mismas razones mencionadas en los dos

casos anteriores.


indispensables para poder alcanzar la alimentación de mineral deseada en el primer periodo.

Esta vez no fue necesaria la utilización completa del stock de súlfuros al igual que en el caso

anterior, ya que sólo fue utilizado en gran cantidad en el periodo 1, lo cual contribuye a que el

modelo tenga la posibilidad de seleccionar entre la opción de procesar un bloque proveniente

de la mina o uno del stock de súlfuros a partir del segundo periodo, lo cual le entrega mayor

flexibilidad al modelo. La utilización de los stocks se muestra en la tabla siguiente:

# bloques



68


en estudio ya se pueden obtener mejores resultados que en los casos anteriores, dentro de los

que destaca que se obtienen 115,877 toneladas de finos de cobre, pero aún así la alimentación

a planta de mineral proveniente de la mina en el periodo 1 resulta muy baja y se aumenta más

aún el picoteo en la explotación del banco con respecto a los casos estudiados anteriormente.

Luego de haber analizado estas 5 alternativas con un radio de la primera semana de 10 metros,

se tomó la determinación de fijar el avance radial en un valor y probar con distintos radios de

primera semana. El avance radial se fijó en 30 metros, puesto que con este valor ya se obtenían

más de 100,000 toneladas de cobre fino, además que se abarcaba gran parte del área del

banco 1580, y al aumentar el radio de la primera semana, se podrá tener acceso a los bloques

más alejados del acceso en este banco. Además se pudo apreciar que a partir del avance radial

de 30 metros (40 y 50 metros), se pueden obtener una mayor cantidad de finos, pero la solución

gráfica se vuelve más dispersa con lo cual se pierde el objetivo principal de que ésta sea una

herramienta de guía para la planificación de corto plazo. Finalmente, cabe destacar que con el

avance radial de 30 metros, se mantenía trabajando a la planta de chancado de mineral al

100% en todos los periodos, y desde el periodo 4 con aporte 100% de mineral explotado en la

mina.









69


muestra el tonelaje de alimentación de mineral a la planta de chancado, y la contribución de

cada una de las fuentes en ella (mina, stock de súlfuros, stock de óxidos). La tabla de




MAR = 30 metros


mineral máxima de la planta de chancado en todos los periodos. Además, se puede ver que en

el primer periodo la alimentación de mineral viene dada casi en un 100% por bloques del stock

de súlfuros, al igual que el 41% de la alimentación del periodo 2. Ya a partir del periodo 3, la

alimentación viene dada en un 100% por mineral explotado desde la mina. Con respecto a este

mismo tema, es importante analizar si los radios de búsqueda definidos entregaban áreas






0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

800,000

1 2 3 4 5 6 7 8

To

ne

laje

[t]

Periodo


70

# bloques

Minados Procesados

Per

iod

o

1 13 13 2 117 113 3 220 178 4 225 186 5 233 187 6 114 94 7 199 192


metros


MAR = 30 metros

A partir del periodo 3, se explotan desde la mina una cantidad suficiente de bloques para

mantener la planta de chancado de mineral alimentada a su máxima capacidad. En los dos

primeros periodos, el mineral explotado en la mina no es suficiente para alimentar

completamente la planta, por lo cual es necesaria la utilización de bloques del stock de súlfuros.

Se puede apreciar también, que no se alcanza la explotación completa del banco, es decir, los

bloques más alejados del acceso al banco no se encuentran dentro del área de bloques

disponibles a ser explotados, por lo que estos radios de búsqueda para los diferentes periodos

del horizonte de tiempo en estudio resultan insuficientes.

Al igual que en el caso en que el radio de la primera semana es de 10 metros y el avance radial

es de 30 metros, se aprecia picoteo en la explotación del banco lo cual se explica del mismo

modo planteado en los casos anteriores.


indispensables para poder alcanzar la alimentación de mineral deseada en los primeros dos

71

periodos. Para ello fue necesario utilizar aproximadamente un 56% del stock de súlfuros en

estos periodos como se muestra en la siguiente tabla:

# bloques

Periodo stock

súlfuros stock

óxidos 1 170 0 2 75 0 3 9 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0



cual se acerca bastante a lo que se espera del modelo. A pesar de ello se puede concluir que

con estos radios de búsqueda para cada uno de los periodos en estudio no se pueden obtener

los resultados deseados por los siguientes motivos:

• Se utiliza alrededor de un 60% del stock de súlfuros en los primeros tres periodos, por lo

que la posibilidad de mejorar la producción de finos con la alternativa de mezclar la

alimentación con bloques del stock baja para el resto de los periodos en estudio.



• Presencia de picoteo de bloques en la explotación del banco en los últimos periodos.


Es importante, al igual que en los casos anteriores, mostrar el significado de estos dos

parámetros en los radios de búsqueda de cada uno de los periodos en estudio, es por ello que

en la siguiente tabla se muestran los radios de búsqueda que tiene el modelo desde los

accesos a los bancos de la mina en cada uno de los periodos:

72










MAR = 30 metros



los periodos 1 y 2, la utilización de bloques desde el stock de súlfuros baja en comparación al

caso anterior, aunque siguen siendo parte importante del mineral de alimentación en el periodo

1. Ya a partir del periodo 3, la alimentación viene dada en un 100% por mineral explotado desde

la mina. Con respecto a este mismo tema, es importante analizar si los radios de búsqueda

definidos entregaban áreas suficientes en cada uno de los periodos para extraer los bloques

necesarios. Para ello a continuación se muestra una tabla de los bloques minados en cada uno

de los periodos y cuántos de ellos alimentan la planta de procesamiento. En conjunto con ello,

0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

800,000

1 2 3 4 5 6 7 8

Ton

ela

je [

t]

Periodo


73

se muestra una imagen en planta del banco 1580 de la fase 02, y el secuenciamiento de

bloques obtenido como resultado del modelo:

# bloques

Minados Procesados

Per

iod

o

1 33 32 2 169 153 3 228 185 4 234 188 5 230 186 6 115 92 7 204 191


metros


MAR = 30 metros

Al igual que en el caso anterior, sólo a partir del periodo 3 se explotan desde la mina una

cantidad suficiente de bloques para mantener la planta de chancado de mineral alimentada a su

máxima capacidad. En los dos primeros periodos, el mineral explotado en la mina no es

suficiente para alimentar completamente la planta, por lo cual es necesaria la utilización de

bloques del stock de súlfuros. Se puede apreciar también, que se tiene disponibilidad de casi la

totalidad de los bloques del banco, incluso de aquellos que se encuentran más alejados de los

accesos, salvo por una pequeña cantidad de bloques del extremo, lo cual indica que los

parámetros utilizados para definir los radios de búsqueda se están acercando a los valores

necesarios para la disponibilidad del banco completo.

74

Al igual que en el caso presentando anteriormente, se aprecia picoteo en la explotación de los

bloques del banco en los últimos periodos, lo cual se debe a la misma razón expuesta en los

casos anteriores, es decir, los bloques disponibles por periodo según los radios de búsqueda no

son explotados en su totalidad, con lo cual quedan bloques que pueden ser minados en

periodos posteriores.


indispensables para poder alcanzar la alimentación de mineral deseada en los primeros dos

periodos, por la falta de bloques de mineral provenientes desde la mina para cumplir con esa

tarea. Para ello fue necesario utilizar aproximadamente un 43% del stock de súlfuros en estos

periodos como se muestra en la siguiente tabla, lo cual es alrededor de un 13% inferior al caso

anterior:

# bloques

Periodo stock

súlfuros stock

óxidos 1 152 0 2 36 0 3 2 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 1 8 0 0



cual se comienza a acercar al tonelaje de finos máximo alcanzado con un radio de la primera

semana de 10 metros y avance radial de 50 metros, pero con la diferencia que el radio de

búsqueda en el periodo 8 en ese caso era de 710 metros, y en este caso es de sólo 470 metros,

lo cual hace que el secuenciamiento de bloques entregado por el modelo sea más conexo y

ordenado. A pesar de ello se puede concluir que con estos radios de búsqueda para cada uno

de los periodos en estudio aún no se pueden obtener los resultados deseados por los

siguientes motivos:

75

• A partir del tercer periodo de estudio sólo se tiene un poco más de la mitad del stock de

súlfuros disponible inicialmente, por lo que la posibilidad de mejorar la producción de

finos con la alternativa de mezclar la alimentación con bloques del stock baja para el

resto de los periodos en estudio.

• A pesar de que se tiene acceso a la gran mayoría de los bloques del banco, aún no

todos los bloques del banco 1580 de la fase 02 se encuentran disponibles y resultan ser

alternativa para ser explotados.

• Se presenta picoteo en la explotación del banco en los últimos periodos.


Es importante, al igual que en los casos anteriores, mostrar el significado de estos dos

parámetros en los radios de búsqueda de cada uno de los periodos en estudio, es por ello que

en la siguiente tabla se muestran los radios de búsqueda que tiene el modelo desde los

accesos a los bancos de la mina en cada uno de los periodos:









76


MAR = 30 metros



los periodos 1 y 2, la utilización de bloques desde el stock de súlfuros baja en comparación al

caso anterior, siendo casi el 100% de la alimentación de mineral del periodo 2 proveniente de la

mina. Ya a partir del periodo 3, la alimentación viene dada en un 100% por mineral explotado

desde la mina. Con respecto a este mismo tema, es importante analizar si los radios de

búsqueda definidos entregaban áreas suficientes en cada uno de los periodos para extraer los

bloques necesarios. Para ello a continuación se muestra una tabla de los bloques minados en

cada uno de los periodos y cuántos de ellos alimentan la planta de procesamiento. En conjunto

con ello, se muestra una imagen en planta del banco 1580 de la fase 02, y el secuenciamiento

de bloques obtenido como resultado del modelo:

# bloques

Minados Procesados

Per

iod

o

1 48 48 2 199 173 3 230 187 4 229 187 5 229 186 6 115 92 7 195 191


metros

0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

800,000

1 2 3 4 5 6 7 8

Ton

ela

je [

t]Periodo


77


MAR = 30 metros

En este caso, ya a partir del periodo 2 se explotan desde la mina una cantidad suficiente de

bloques para mantener la planta de chancado de mineral alimentada a su máxima capacidad.

Sólo en el primer periodo, el mineral explotado en la mina no es suficiente para alimentar

completamente la planta, por lo cual es necesaria la utilización de bloques del stock de súlfuros.

Se puede apreciar también, que se tiene disponibilidad de la totalidad de los bloques del banco,

incluso de aquellos que se encuentran más alejados de los accesos, lo cual indica que los

parámetros utilizados para definir los radios de búsqueda son los adecuados para la

disponibilidad del banco completo.

Cabe destacar que a pesar de que se presenta picoteo en la explotación de los bloques del

banco en los últimos periodos, éste es menor en comparación con el caso que permitía la

explotación completa del banco al mantener el radio de la primera semana fijo (RPS = 10

metros y MAR = 50 metros).


indispensables para poder alcanzar la alimentación de mineral deseada en el primer periodo,

por la falta de bloques de mineral provenientes desde la mina para cumplir con esa tarea. Pero

esta vez, sólo fue necesaria la utilización de aproximadamente un 32% de stock de súlfuros en

el primer periodo como se muestra en la siguiente tabla:

78

# bloques

Periodo stock

súlfuros stock

óxidos 1 136 0 2 16 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 1 8 0 0


Finalmente, como resultado del modelo se obtienen 112,817 toneladas de cobre fino, lo cual es

muy cercano al tonelaje de finos máximo alcanzado con un radio de la primera semana de 10

metros y avance radial de 50 metros, pero con la diferencia que el radio de búsqueda en el

periodo 8 en ese caso era de 710 metros, y en este caso es de sólo 480 metros, lo cual hace

que el secuenciamiento de bloques entregado por el modelo sea más conexo y ordenado.

Sumado a lo anterior, ambas soluciones fueron obtenidas corriendo el modelo con los distintos

parámetros en el mismo computador, y los tiempos de resolución son considerablemente más

bajos en este último caso presentado (RPS = 60 metros y MAR = 30 metros). Mientras en el

caso de radio de primera semana de 10 metros y avance radial de 50 metros el tiempo de

resolución fue de 35,050 segundos (aproximadamente 9.7 horas), en este caso la resolución fue

realizada en un tiempo de 2,970 segundos (50 minutos). Es por estas razones que se decidió

considerar los parámetros de radio de primera semana de 60 metros y avance radial de 30

metros como parte del caso base. A continuación se muestra una tabla comparativa de las

distintas alternativas estudiadas y de los resultados obtenidos:

Tabla 36: Resultados de la determinación de los radios de búsqueda

Radio de la primera semana Metros de avance radial Función Objetivo Tiempo Resolución GAPRPS [m] MAR [m] Cobre Fino [t] [seg] [%]

10 10 32,474 1 0.3010 20 74,912 2 0.3510 30 102,645 1,620 2.3510 40 112,795 6,024 0.7310 50 115,877 35,050 0.8930 30 107,372 647 0.8550 30 110,817 933 0.9060 30 112,817 2,970 0.81

79

5.2. Manejo de stockpiles

Para el análisis de la utilización de bloques tanto del stock de súlfuros como de óxidos, se

estudiaron los resultados obtenidos del modelo para el caso base, es decir, para un horizonte

de tiempo de 3 meses, dividido en 8 periodos, y con las características iniciales de stock

definidas anteriormente. Posteriormente, se estudió la opción de contar con los stocks

completamente vacíos y los efectos que producía encontrarse en esa situación.

5.2.1. Caso base De los resultados obtenidos en el caso base, a continuación se presenta un gráfico en el que se

muestra el tonelaje de alimentación de mineral a la planta de procesamiento de minerales, y la

contribución de cada una de las posibles fuentes (mina, stock de súlfuros o stock de óxidos). La

tabla de contribución en cuanto a tonelaje y porcentaje de cada una de las fuentes de

alimentación de la planta que da origen a este gráfico se puede encontrar en el Anexo 9:


Se puede apreciar, que en cada uno de los periodos se mantiene saturada la alimentación de

mineral a planta, y que la fuente principal de alimentación corresponde a la mina. Por su parte,

no existe presencia de bloques provenientes del stock de óxidos para los periodos 7 y 8 que

corresponden a la campaña de óxidos, pero sí se procesan bloques provenientes del stock de

súlfuros en los periodos 1 y 2 de la campaña de súlfuros. En el periodo 1, el stock de súlfuros

aporta con el 61% de la alimentación y en el periodo 2 sólo lo hace con el 12%, lo cual se

produce puesto que a medida que se avanza en los periodos, los radios de búsqueda aumentan

y se tiene una mayor cantidad de bloques disponibles en la mina para ser extraídos.

0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

800,000

1 2 3 4 5 6 7 8

Ton

ela

je [

t]

Periodo

Mina Stock Súlfuros Stock Óxidos Cap Planta

80

Recordemos que la capacidad máxima de alimentación a planta es de 350,000 toneladas por

semana, lo cual corresponde a 93 bloques de súlfuros del modelo aproximadamente. En la

siguiente tabla, se muestran la cantidad de bloques de súlfuros que son minados en los

periodos 1 al 6, que corresponden a la campaña de súlfuros, y la cantidad de ellos que se

procesan:

Minados Procesados

Per

iod

o

1 78 73 2 194 167

3 229 187 4 232 187 5 229 186

6 113 92 Tabla 37: Relación de bloques minados y procesados por periodo para el caso base en campaña de súlfuros

Es importante recordar que los periodos del 1 al 5 son bisemanales, por lo cual la capacidad

máxima de alimentación a planta es de aproximadamente 186 bloques, y sólo el periodo 6

corresponde a una semana. Es claro apreciar, que la cantidad de bloques minados en el

periodo 1, no alcanza para saturar la alimentación a planta. Además si se considera que los

bloques procesados provenientes de la mina en los periodos 1 y 2 son aún menores (73 y 167

bloques respectivamente), es imposible alcanzar la alimentación deseada. A partir de esto es

importante deducir que el modelo de programación matemática, está utilizando bloques del

stock de súlfuros en los periodos 1 y 2 por necesidad, para así poder mantener constante la

alimentación semanal a planta. Esto se debe a la naturaleza radial de la restricción impuesta de

radio de búsqueda por periodo, con la cual la cantidad de bloques de la mina disponibles se

limita, y el modelo en su objetivo final de maximizar finos, y por lo tanto de mantener la planta

de procesamiento trabajando a su máxima capacidad, utiliza bloques del stock, que es lo que

ocurre precisamente en el periodo 1. Una manera de solucionar la baja cantidad de bloques

disponibles, es considerar dos accesos al banco, lo cual aumentaría las posibilidades

disponibles y mejoraría esta condición.

Además es importante analizar el motivo por el cual en los periodos 1 y 2, existen 5 y 27

bloques de súlfuros que son minados pero no procesados, estando en la campaña

correspondiente y sin tener los bloques necesarios para alimentar la planta. Para ello, el estudio

se debe centrar en las leyes de estos bloques que no son procesados en comparación con las

leyes de los bloques de stock de súlfuros. En el Anexo 10, se pueden encontrar las leyes de los

81

bloques minados en los periodos 1 y 2, pero que no son procesados, y se pudo apreciar que las

leyes de cobre de cada uno de estos bloques es menor a 1.06%, que corresponde a la ley de

cobre de cada uno de los bloques del stock de súlfuros, lo cual es el motivo de que a pesar de

no tener bloques disponibles suficientes en la mina para alimentar la planta de procesamiento,

el modelo es capaz de discriminar entre la mina y la disponibilidad de stocks para maximizar la

cantidad de finos de cobre como resultado global del modelo.

Finalmente es importante también analizar los dos últimos periodos, que corresponden a la

campaña de óxidos. La capacidad máxima de alimentación a planta es de 700,000 toneladas

para el periodo 7 (2 semanas) y 50,000 toneladas para el periodo 8 (1 día), lo cual corresponde

a aproximadamente 192 y 14 bloques de óxidos del modelo respectivamente. A continuación,

se muestra la relación entre los bloques de óxidos minados y procesados en los periodos en

estudio:

Tabla 38: Relación de bloques minados y procesados por periodo para el caso base en campaña de óxidos

Se puede apreciar, que con los bloques explotados desde la mina es suficiente para saturar la

alimentación de la planta. Además cabe destacar que la ley mínima de cobre de un bloque

procesado en el periodo 7 es de 1.56%, y en el periodo 8 existen dos bloques con valores que

son mayores que la ley de cobre de los bloques del stock de óxidos que es de 1.03%, lo cual se

explica porque la resolución del modelo está hecha con un GAP de 5%, lo que quiere decir que

puede haber una solución mejor que la expuesta, pero esta no es superior a un 5% en valor a la

obtenida, con lo que estos dos bloques con leyes de cobre superiores a las del stock no hacen

la diferencia en aumentar considerablemente el tonelaje de finos de cobre obtenidos como

resultado del modelo.

Finalmente, otro punto importante a destacar de la utilización de stocks, es que se obtienen

como resultado del modelo 112,231 toneladas de cobre fino, las cuales serán utilizadas para

comparar con los siguientes casos expuestos.

5.2.2. Caso stocks vacíos

En el caso de no considerar la existencia de stocks, o considerar que estos se encuentran

vacíos, existen cambios relevantes en los resultados, que tienen que ver con la definición inicial

Minados Procesados7 196 1928 14 14

Periodo

82

de los atributos geométricos necesarios para la correcta resolución del modelo. A continuación

se presenta un gráfico que muestra el tonelaje de alimentación de mineral a la planta de

procesamiento en el horizonte de tiempo en estudio. La tabla correspondiente a este gráfico se

encuentra en el Anexo 11:

Figura 20: Tonelaje de alimentación de mineral a la planta de procesamiento para el caso base sin stocks

Como era de esperarse según los resultados analizados de lo obtenido para los stocks bases,

en el periodo 1 no se alcanza la capacidad de alimentación de mineral a planta, puesto que sólo

se extraen de la mina 106 bloques de súlfuros, que equivalen a un 57% de la capacidad total de

la planta, lo cual resulta insuficiente para alcanzar las 700,000 toneladas requeridas por el

periodo. El fenómeno anterior se debe a que al tener el stock de súlfuros vacío, no existe una

alternativa para suplir la falta de mineral dada por el bajo radio de búsqueda del primer periodo,

por lo cual, el radio necesario para el caso en que se cuenta con stocks resulta distinto que el

de este caso. Aún así, como resultado del modelo se obtienen 108,919 toneladas de cobre fino,

que corresponden a un 97% de lo obtenido en el caso base con stocks.

Por lo descrito anteriormente es necesario encontrar el radio de búsqueda adecuado para este

caso, para lo cual se aumentó el radio de la primera semana (RPS) desde los 60 metros

actuales hasta donde sea necesario, en intervalos de 10 metros.

De esta forma, se analizaron las opciones de radio de la primera semana de 70 y 80 metros, y

los resultados obtenidos con respecto al tonelaje de alimentación de mineral a la planta de

procesamiento son los siguientes. Las tablas correspondientes a estos gráficos se encuentran

en el Anexo 12:

0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

800,000

1 2 3 4 5 6 7 8

To

ne

laje

[t]

Periodo

Mina Cap Planta

83


MAR = 30 metros sin stocks


MAR = 30 metros sin stocks

En los gráficos anteriores, se aprecia que para un radio de la primera semana de 70 metros, lo

que implica un radio de búsqueda de 130 metros en el periodo 1, se alcanza un 79% de la

capacidad total de alimentación de mineral planta. Por su parte, si se aumenta el radio de la

primera semana a 80 metros, lo que aumenta a 140 metros el radio de búsqueda del primer

periodo definido para el modelo, se consigue alcanzar el tonelaje necesario para saturar la

alimentación de mineral tanto en este periodo, como en los 7 siguientes. Además, para el caso

en que RPS = 70 metros, se obtuvo un total de 111,554 toneladas de cobre fino que

corresponde a un 99% del caso base, y para el caso en que RPS = 80 metros se obtuvo un total

de 114,490 toneladas de cobre fino que corresponde a un 102% del caso base. Este aumento

en las toneladas de fino para el último caso estudiado se debe principalmente a que las leyes

de cobre de la mina son mayores que las leyes de los stocks, por lo cual presenta una ventaja

el realizar la explotación completamente desde la mina desde este punto de vista, puesto que

también es una desventaja para la operación el no contar con bloques disponibles en los stocks

0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

800,000

1 2 3 4 5 6 7 8T

on

ela

je [

t]Periodo

Mina Cap Planta

0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

800,000

1 2 3 4 5 6 7 8

To

ne

laje

[t]

Periodo

Mina Cap Planta

84

que permitan suplir una falta de mineral para alimentar la planta que puede ser provocada por

ejemplo, por fallas operacionales producidas en la mina. Cabe destacar eso sí, que el resultado

de la función objetivo no se encuentra alejado

Es importante observar, que el radio de la primera semana de 60 metros y el avance radial

posterior de 30 metros utilizados para el caso base de estudio, sólo son eficaces cuando existe

un stock de súlfuros con un mínimo de 108 bloques, los cuales resultan suficientes para poder

completar el tonelaje de alimentación de mineral a la planta de procesamiento. Ante la

posibilidad de que el stock inicial de súlfuros se encuentre vacío, es necesario aumentar el radio

de la primera semana a 80 metros, de forma tal de aumentar el radio de búsqueda del primer

periodo definido para el estudio de 120 a 140 metros, con lo cual se alcanza el área suficiente

en la mina para explotar la cantidad de bloques de súlfuros necesaria para saturar la

alimentación de mineral a planta, y de esta forma, buscar el objetivo final del modelo, que es la

maximización de los finos de cobre. A partir de esto, es conveniente analizar qué pasa con la

utilización de stocks, cuando el modelo tiene radio de búsqueda suficiente para alimentar la

planta de procesamiento con mineral proveniente de la mina, y si los resultados obtenidos de

este análisis resultan satisfactorios con respecto a lo esperado.

5.2.3. Mineral de stocks versus mineral de la mina

El objetivo de esta comparación, es la de establecer el comportamiento del modelo de

programación matemática ante la decisión de utilizar mineral proveniente de la mina o mineral

proveniente de los stocks para la alimentación de la planta de procesamiento, en igualdad de

condiciones, es decir, que la utilización de stocks no se deba a una necesidad del modelo por

completar la alimentación requerida, sino que se trate de dos opciones viables para hacerlo. En

este sentido, el análisis se realizó derivado del estudio de trabajar con stocks vacíos, para lo

cual fue necesario aumentar el radio de búsqueda del primer periodo en 20 metros (de 120 a

140 metros).

Es por lo señalado anteriormente, que este estudio fue desarrollado considerando un radio de la

primera semana (RPS) de 80 metros y un posterior avance radial (MAR) de 30 metros, lo cual

permite tener el tonelaje de mineral de la mina suficiente para alimentar la planta de

procesamiento a su máxima capacidad en cada uno de los periodos. A continuación se

presentan los radios de búsqueda para cada uno de los periodos, que derivan de los

parámetros mencionados anteriormente:

85




A continuación se muestra el tonelaje de alimentación de mineral a la planta de procesamiento

por periodo, y el aporte de cada una de las posibles fuentes de mineral. La tabla de contribución

en cuanto a tonelaje y porcentaje de cada una de las fuentes de alimentación de la planta que

da origen a este gráfico se puede encontrar en el Anexo 13:


MAR = 30 metros con stocks

Se puede apreciar que en el periodo 1 la alimentación de mineral a la planta de procesamiento

proviene de la mina y del stock de súlfuros con una contribución de aproximadamente 50%

cada una, con lo cual el modelo dice que a pesar de tener área suficiente para alimentar

completamente la planta en el periodo 1 con mineral proveniente de la mina, es necesario

procesar bloques del stock de súlfuros para poder cumplir con el objetivo de maximizar el

tonelaje de finos de cobre. El resultado obtenido del modelo para este caso es de 114,143

toneladas de cobre fino, las cuales son aproximadamente 350 toneladas menos que en el caso

sin stocks, lo cual nos lleva a preguntarnos ¿por qué el modelo procesa bloques del stock si

obtiene mayor cantidad de fino no haciéndolo? La respuesta a esta interrogante se basa en que

los modelos son resueltos con un GAP de 5%, lo que quiere decir que si existe una solución

0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

800,000

1 2 3 4 5 6 7 8

To

ne

laje

[t]

Periodo

Mina Stock Súlfuros Stock Óxidos Cap Planta

86

mejor, esta no es mayor a un 5% en valor que la planteada. En este caso en particular, puede

existir una solución mejor que 114,143 toneladas de cobre fino, pero esta no puede ser mayor a

119,850 toneladas, rango en la que se encuentra la solución del mismo caso pero sin la

utilización de stocks. Esto quiere decir, que si se reduce el GAP en el caso en que se utilizan los

stocks, la utilización de éstos será en menor grado, puesto que si existe una solución mejor que

la obtenida, no puede ser mejor que la del caso sin stocks, por ser éste, un caso particular del

problema con presencia de stocks. Todo lo anterior se explica como una topología matemática

del modelo en que sacar un bloque de la mina implica un costo y sacarlo desde el stock es libre.

Otro punto importante a observar de estos resultados tiene que ver con la utilización de bloques

provenientes del stock de súlfuros en los periodos 1 y 2, en desmedro de bloques explotados de

la mina. En este sentido, en la tabla siguiente se muestra la relación de bloques de mineral tipo

súlfuros que fueron explotados desde la mina y la cantidad de ellos que se procesaron para los

dos primeros periodos. Además en el Anexo 14 se pueden encontrar aquellos bloques de

súlfuros que fueron explotados desde la mina en los periodos 1 y 2 pero que no fueron

procesados, con sus leyes de cobre respectivas:

Periodo

1 2 # Bloques minados 102 218

# Bloques procesados 100 178 Tabla 40: Relación de bloques minados y procesados en los periodos 1 y 2 para el caso RPS = 80 metros y

MAR = 30 metros

De los dos bloques que no fueron procesados en el periodo 1, ninguno de ellos presentaba una

ley mayor que la de un bloque del stock de súlfuros (1.06% de cobre), por lo cual el modelo

para maximizar finos toma la determinación de procesar bloques del stock en desmedro de

estos bloques provenientes de la mina. Por su parte en el periodo 2, de los 40 bloques que no

se procesan existen seis que presentan leyes mayores que los bloques del stock, lo cual se

debe al mismo tema del GAP de 5% mencionado anteriormente, en la cual pueden existir

soluciones mejores, que en este caso corresponderían a procesar estos bloques provenientes

de la mina, pero aún haciéndolo, la solución no mejora más allá de un 5%.

Con respecto a la utilización de un bloque del stock de óxidos en el periodo 7 para la

alimentación de la planta de tratamiento de mineral, cabe destacar que no todos lo bloques que

son explotados de la mina y no son procesados en este periodo presentan ley de cobre menor a

la del stock, en concreto, de los 38 bloques en esta situación, 11 presentan una ley mayor a

87

1.03% de cobre, y aún así no fueron procesados y si fue procesado uno del stock con ley

menor. La explicación de esto, al igual que en el caso anterior tiene que ver con el GAP de 5%

utilizado para la resolución del modelo.

Dado que los resultados obtenidos son similares para los casos en que se utilizan o no los

stocks disponibles, es recomendable utilizarlos, puesto que permiten dar flexibilidad a la

operación en caso de fallas operacionales en la alimentación de la planta de procesamiento, o

por cualquier emergencia que pueda surgir que provoque no lograr el objetivo final de

maximizar el tonelaje de finos de cobre.

5.3. Modelo de planificación trimestral Spence

A continuación se mostrarán los resultados obtenidos del modelo de programación matemática

para el horizonte de planificación de 3 meses (julio, agosto y septiembre de 2008) utilizando

todas aquellas características expuestas en el estudio de caso. Además, se utilizó como

parámetros de control de la geometría de la solución gráfica los obtenidos de los estudios

presentados anteriormente, es decir, un radio de primera semana (RPS) de 80 metros y un

avance radial (MAR) de 30 metros, con lo cual se obtienen los radios de búsqueda desde los

accesos a los bancos de la mina por periodo que aparecen en la Tabla 39.

Los resultados obtenidos serán divididos en dos tipos: el primero de ellos de tipo numérico, en

donde se mostrarán los resultados de la función objetivo y el cumplimiento de las restricciones

impuestas al modelo. Por su parte, el segundo tipo de resultados serán gráficos, en los cuales

se mostrará el secuenciamiento de bloques para cada uno de los bancos estudiados de la mina

en el horizonte de tiempo planteado.

5.3.1. Resultados numéricos

El resultado más importante a presentar en esta etapa, corresponde a la optimización de la

función objetivo del modelo de programación matemática, cuyo objetivo era la maximización del

tonelaje de finos de cobre del mineral procesado. De este modo, a continuación se presenta un

gráfico en el que se muestra el tonelaje de finos de cobre para cada uno de los 8 periodos en

estudio:

88

Figura 24: Tonelaje de cobre fino por periodo para planificación trimestral de Spence

El total de tonelaje de cobre fino obtenido es de 114.143 toneladas. Las bajas considerables

que se aprecian en la gráfica en los periodos 6 y 8 se deben exclusivamente a la duración de

estos que es de 7 y 1 días respectivamente, que difieren con los 14 días de duración que

poseen el resto de los periodos.

Para entender de mejor forma los resultados obtenidos con respecto al tonelaje de finos de

cobre, es preciso dirigirse a la raíz de la operación, es decir, realizar el análisis del material que

fue explotado de la mina en estos periodos, y del mineral que fue procesado en la planta de

tratamiento. Para ello se presentan a continuación las curvas tonelaje-ley tanto para el

movimiento mina como para el mineral procesado en la planta:

Figura 25: Curva tonelaje-ley del movimiento de material (mineral + estéril) desde la mina para la planificación

trimestral de Spence

0

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

1 [14 d] 2 [14 d] 3 [14 d] 4 [14 d] 5 [14 d] 6 [7 d] 7 [14 d] 8 [1 d]T

on

ela

je [

t]

Periodo

0.00%

0.50%

1.00%

1.50%

2.00%

2.50%

3.00%

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

1 2 3 4 5 6 7 8

Le

y d

e c

ob

re [

%]

To

ne

laje

[M

t]

Periodo

Modelo Capacidad Mina Ley de cobre

89

Figura 26: Curva tonelaje-ley del mineral de alimentación a planta para la planificación trimestral de Spence

Como ya fue mencionado anteriormente, la baja de finos de cobre en los periodos 6 y 8 está

dada por una menor capacidad de la planta de procesamiento en esos periodos. Se puede

apreciar también que el ramp-up de finos en los primeros periodos, se debe a que las leyes de

cabeza en los primeros periodos son inferiores y presentan una tendencia a la alza a medida

que avanzan los periodos, al igual que las leyes del material explotado desde la mina. También

resulta importante observar, que en su objetivo de maximizar la producción de finos de cobre, el

modelo mantiene trabajando a su máxima capacidad la planta de procesamiento de minerales,

no así el caso de la capacidad de movimiento mina, la cual según el modelo está muy por

debajo del límite permitido según los equipos disponibles que es de 220,000 tpd, llegando a

utilizar tan sólo un tercio de esta capacidad.

Otro aspecto importante a evaluar en la resolución del modelo, es el cumplimiento de las

restricciones geometalúrgicas impuestas al mineral de alimentación a la planta. En los

siguientes gráficos, se muestran estas restricciones y se observa también que son cumplidas a

cabalidad en todos los periodos que abarca el estudio:

Figura 27: Restricciones geometalúrgicas de Clacid (izquierda) y CO3 (derecha) para la planificación trimestral de Spence

0.00%

0.50%

1.00%

1.50%

2.00%

2.50%

3.00%

3.50%

0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

800,000

1 2 3 4 5 6 7 8

Le

y d

e c

ob

re [

%]

To

ne

laje

[t]

Periodo

Modelo Capacidad Planta Ley de cobre

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

1 2 3 4 5 6 7 8

Cla

cid

[kg

/t]

Periodo

Modelo Límite Clacid

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1 2 3 4 5 6 7 8

CO

3 [

%]

Periodo

Modelo Límite CO3

Súlfuros

Óxidos

90

Figura 28: Restricciones geometalúrgicas de F_geomet (izquierda) y mezcla (derecha) para la planificación trimestral de Spence

Como ya se había anticipado, la cantidad de cloro en el mineral de alimentación a planta en

campaña de súlfuros es menor a 0.8 kg/t, la ley de carbonato en todos los periodos es menor a

1.2%, la cantidad de material particulado fino es menor a un 20%, y la presencia de argílico en

la alimentación es menor a un 25% en todos los periodos.

Otro tema de importancia a la hora de realizar el análisis de los resultados obtenidos tiene

relación con la utilización de stocks. Este tema ya fue tratado en detalle en el análisis de stocks

realizado anteriormente para este caso (Sección 5.2.3). Sobre aquello se puede recalcar que se

utilizan 94 bloques del stock de súlfuros en los primero dos periodos (86 de ellos en el periodo

1) y sólo un bloque del stock de óxidos en el periodo 7, lo cual representa el 26% de la

alimentación en los periodos 1 y 2, y el 1% en el periodo 7. Con respecto a la utilización de los

stocks bases, se utilizó un 21% de los bloques disponibles en el stock base de súlfuros y un

0.04% del stock base de óxidos. Además se destaca el hecho de que la restricción

correspondiente a que los stocks son limitados, fue respetada a cabalidad.

Finalmente, es importante analizar si los radios de búsqueda desde los accesos a los bancos de

la mina fueron respetados por el modelo. Es por ello que en la gráfica que se muestra a

continuación, se presentan los radios máximos alcanzados desde los accesos en cada uno de

los bancos del modelo y en cada uno de los periodos para la explotación de un bloque, y se

comparan con el límite máximo permitido:

16.00

17.00

18.00

19.00

20.00

21.00

1 2 3 4 5 6 7 8

F_ge

om

et

[%]

Periodo

Modelo Límite F_geomet

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

1 2 3 4 5 6 7 8

Me

zcla

[%

]

Periodo

Modelo Límite Mezcla

91

Figura 29: Distancia máxima a accesos por banco en cada periodo de los bloques explotados para la

planificación trimestral de Spence

De la gráfica anterior cabe destacar que en ningún periodo ni en ningún banco de la mina, se

explotó un bloque cuya distancia al bloque de acceso al banco fuese mayor que la restricción

impuesta de radio de búsqueda por periodo dada (línea negra en la Figura 29). Se puede

apreciar también que en general la distancia máxima desde el acceso de cada uno de los

bancos hasta el bloque más lejano explotado es creciente con respecto al tiempo. La única

salvedad se ve reflejada en los últimos periodos, dado que se trata de una menor cantidad de

bloques explotados, y al tener un radio de búsqueda que parte desde cero para cada periodo, el

modelo decide extraer estos bloques que no se encuentran tan alejados desde los accesos.

Además se puede ver que no todos los bancos disponibles en la mina fueron abiertos y

explotados, sino sólo los bancos de la fase 02 y 03 respectivamente, lo cual respalda la decisión

tomada para el estudio de los radios de búsqueda de disminuir el tamaño del modelo de

bloques utilizando sólo aquellos pertenecientes a estas fases.

El banco 1685 de la fase 05 y los bancos 1670 y 1655 de la fase 04 están compuestos

completamente por bloques de estéril, por lo cual resulta lógico pensar que el modelo no

accede a estos bancos puesto que no presentan mineral para poder maximizar el tonelaje de

finos de cobre. Por su parte el banco 1670 de la fase 05 sí presenta mineralización, por lo cual

se podría esperar que se explotara el banco superior (F05_1685) para así tener acceso a estos

bloques, pero tal como se ve en las estadísticas básicas del banco en estudio que se presentan

en el Anexo 15, se trata de tan sólo 7 bloques entre óxidos y mixtos y nula presencia de mineral

de tipo súlfuros, por lo que al considerar sólo estos bancos (modelo de bloques trimestral) es

innecesario para el modelo acceder a estos cuatro bancos, si se considera además que el

banco 1625 de la fase 03 está disponible y con una buena cantidad de bloque de óxidos y

mixtos para alimentar en la campaña de óxidos.

0

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8

Ra

dio

[m

]

Periodo

F02_1550 F02_1565 F02_1580

F03_1625 F04_1655 F04_1670

F05_1670 F05_1685 Radio búsqueda límite

92

5.3.2. Resultados gráficos

Además de los resultados numéricos obtenidos, es de suma importancia ver los resultados

gráficos del secuenciamiento de bloques en cada uno de los bancos de la mina, de forma tal de

apreciar si el resultado puede ser utilizado como guía para realizar la planificación de corto

plazo.

Como ya fue mencionado anteriormente, el modelo sólo explotó bloques pertenecientes a los

bancos de las fases 02 y 03, puesto que los bancos de las fases 04 y 05 estaban compuestos

casi en un 100% por estéril, por lo que eran innecesarios para el modelo en su objetivo final de

maximizar la producción de cobre fino. Es por ello que a continuación se presenta la

planificación obtenida de los resultados del modelo para cada uno de los periodos definidos, en

cuanto a los bancos que se estaban explotando en cada uno de ellos:

Periodo F02_1580 F02_1565 F02_1550 F03_1625 1 2 3 4 5 6 7 8

Tabla 41: Planificación trimestral de extracción de bancos de Spence según modelo de programación matemática

Se puede apreciar que en gran parte de los periodos se están explotando bloques de los 4

bancos y que los bancos 1580 y 1565 se explotan durante todo el horizonte de tiempo en

estudio. En este sentido es importante también realizar el análisis acerca de cuáles bancos en

cada uno de los periodos son los que alimentan de mineral la planta de procesamiento, lo cual

se muestra a continuación:

93

Periodo F02_1580 F02_1565 F02_1550 F03_1625 1 2 3 4 5 6 7 8

Tabla 42: Planificación trimestral de extracción de bancos para alimentación de la planta de procesamiento de minerales de Spence según modelo de programación matemática

Se aprecian diferencias considerables sobre todo en el banco 1625 de la fase 03. Estas

diferencias tienen que ver principalmente a que el modelo no explota desde la mina el mineral

justo y necesario para alimentar la planta, sino que tiene la capacidad de explotar más bloques

para poder abrir camino en los bancos para extraer los bloques que lo ayuden a maximizar la

producción de finos de cobre. Con respecto a este tema cabe destacar que a pesar de que el

modelo considera un límite máximo de capacidad de movimiento de material desde la mina, lo

que implica poder utilizar los equipos a su máxima capacidad, la cantidad de bloques

considerados en el estudio dado el horizonte de tiempo es baja, lo que hace que el modelo no

utilice esta máxima capacidad para despejar estéril con el objetivo de exponer mineral y

alimentar ya sea la planta de chancado como los stocks, a pesar de considerarlo como una

opción.

Una vez definida la estrategia de extracción de bloques entregada por el modelo, es importante

ver como se despliega gráficamente esta, en cada uno de los bancos. Para ello se muestran a

continuación vistas en planta de estos bancos con el secuenciamiento de bloques obtenido

como resultado de la resolución del modelo de programación matemática:

94

Figura 30: Secuenciamiento de bloques del banco 1580 de la fase 02 para la planificación trimestral de

Spence


Spence


Spence

Periodo Color

12345678

Periodo Color

12345678

Periodo Color

12345678

95


Spence

En las figuras presentadas anteriormente se puede apreciar que el modelo está resolviendo

según lo esperado y está entregando una solución que preliminarmente permite ser utilizada

como guía para la planificación minera de corto plazo. Se puede apreciar que los bancos de la

fase 02, que principalmente poseen mineral de tipo súlfuros son explotados desde los primeros

periodos, y que el banco 1580, por ser el superior es casi completamente explotado para tener

accesibilidad a los bancos inferiores. Los bloques que no son explotados, que se encuentran en

zonas centrales de los bancos, son resultado de la necesidad del modelo de maximizar finos y

el horizonte limitado de tiempo. Por su parte, el banco 1625 de la fase 03, es un banco

principalmente de óxidos que se explotan en los últimos periodos, y su secuenciamiento resulta

más disperso, debido a que en esos periodos el modelo ya tiene radios de búsqueda suficientes

desde el acceso al banco que le permite discriminar según las mejores leyes con el objetivo

final de maximizar el fino total de cobre extraído. Dado lo anterior, es necesario operativizar la

solución, es decir, realizar la planificación utilizando como guía esta solución obtenida y

cuantificar la pérdida de beneficio como resultado de este suavizamiento tal cual será expuesto

en el capítulo siguiente.

También es importante señalar que se dice que el modelo preliminarmente puede servir como

guía para la planificación de corto plazo, puesto que funciona relativamente bien para los

primeros periodos definidos, pero no así para los periodos posteriores. Esto se debe

principalmente a que los radios de búsqueda van aumentando a medida que se avanza en el

tiempo, al igual que la explotación de los bancos. El mejor ejemplo en este caso corresponde al

banco 1625 de la fase 03, en donde el secuenciamiento de bloques se ve bastante más

diseminado que en los otros bancos, y eso es porque se trata de un banco principalmente con

mineralización de tipo óxido cuya explotación se centra principalmente en los últimos periodos

Periodo Color

12345678

96

del horizonte de tiempo, puesto que son los que corresponden a la campaña de óxidos, y los

radios de búsqueda son lo suficientemente grandes para que el modelo busque los bloques con

las mejores leyes de cobre del banco. Es así como esta condición de conexidad basada en los

radios máximos parece insuficiente, por lo cual puede resultar de suma utilidad considerar los

estos radios según el periodo en el cual se comienza la explotación de cada uno de los bancos

para obtener modelo aún más prácticos.

5.4. Comparación de Planes de Producción

Como ya fue mencionado anteriormente, el objetivo del presente estudio es entregar una guía

para desarrollar la planificación de corto plazo. Para saber si es posible utilizar este modelo de

programación matemática como guía de planificación de corto plazo en la mina Spence, un

planificador de dicha compañía realizó dos planificaciones manuales: la primera de ellas de la

manera habitual, es decir mediante prueba y error, y la segunda, de manera manual al igual que

la primera, pero utilizando los resultados obtenidos del modelo de programación como guía para

desarrollar la planificación. Para ello se utilizaron los resultados obtenidos de la planificación

trimestral de mina Spence expuestos anteriormente. Finalmente, se realiza una comparación de

estas dos planificaciones con el objetivo de validar los resultados obtenidos por el modelo.

5.4.1. Planificación trimestral manual sin guía

Según esta planificación, a continuación se muestra un gráfico en el que se presenta el tonelaje

de mineral extraído desde la mina en cada uno de los periodos en estudio, la cantidad de este

mineral que es enviado a la planta de chancado y a los stocks, y finalmente, la cantidad de

mineral que es utilizado desde los stocks para la alimentación de la planta (remanejo). En el

Anexo 16 se puede encontrar la tabla que contiene los datos que dan origen al siguiente

gráfico:

97

Figura 34: Planificación trimestral manual sin guía de mina Spence

Por su parte, debemos recordar que la función objetivo del modelo es la maximización de la

producción de finos de cobre, por lo cual en la siguiente gráfica se muestra el tonelaje de finos

de cobre por periodo según esta planificación:

Figura 35: Tonelaje de finos de cobre según planificación trimestral manual sin guía de mina Spence

Según esta planificación, se obtiene un total de 87,779 toneladas de cobre fino.

Otro punto importante a evaluar en esta comparación, tiene que ver con las restricciones

geometalúrgicas sobre el mineral de alimentación a la planta de chancado, lo cual se muestra a

continuación:

-400,000

-200,000

0

200,000

400,000

600,000

800,000

1 2 3 4 5 6 7 8

To

ne

laje

[t]

Periodo

Mina Remanejo Mineral a stocks Capacidad Planta

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

18,000

20,000

1 [14 d] 2 [14 d] 3 [14 d] 4 [14 d] 5 [14 d] 6 [7 d] 7 [14 d] 8 [1 d]

Ton

ela

je [

t]

Periodo

98

Figura 36: Restricciones geometalúrgicas de Clacid (izquierda) y CO3 (derecha) según planificación trimestral manual sin guía de mina Spence

Figura 37: Restricciones geometalúrgicas de F_geomet (izquierda) y Mezcla (derecha) según planificación trimestral manual sin guía de mina Spence

Se puede apreciar que las restricciones geometalúrgicas se cumplen en casi todos los periodos,

salvo en el periodo 3, en donde la mezcla (presencia de argílico) es un poco mayor al 25%

(25.7%), pero para efectos de la alimentación de mineral a la planta de chancado se considera

aceptable en la planificación de corto plazo que se realiza en mina Spence.

Finalmente es importante considerar en la presente comparación la secuencia con la cual serán

explotados los bancos en estudio, de forma tal de establecer las diferencias que existen entre la

solución reportada por el modelo matemático, la planificación realizada según la metodología

tradicional y la planificación utilizando el resultado del modelo matemático como guía. Es así

como la secuencia de explotación se presenta a continuación para cada uno de los bancos

considerados:

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1 2 3 4 5 6 7 8

Cla

cid

[k

g/

t]

Periodo

Clacid Límite Clacid

0.0%

0.2%

0.4%

0.6%

0.8%

1.0%

1.2%

1.4%

1 2 3 4 5 6 7 8

CO

3 [

%]

Periodo

CO3 Límite CO3

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1 2 3 4 5 6 7 8

F_

ge

om

et

[%]

Periodo

F_geomet Límite F_geomet

0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

30.0%

1 2 3 4 5 6 7 8

Me

zcla

[%

]

Periodo

Mezcla Límite Mezcla

99

Figura 38: Secuenciamiento de bloques de los bancos 1580 (izquierda) y 1565 (derecha) de la fase 02 según

planificación trimestral mediante el método tradicional

Figura 39: Secuenciamiento de bloques del banco 1625 de la fase 03 según planificación trimestral mediante

el método tradicional Se puede apreciar que las diferencias más relevantes encontradas entre este secuenciamiento

de bloques y el obtenido como resultado del modelo matemático, corresponde a que la

explotación de la fase 02 sólo se limita a los bancos 1580 y 1565, sin considerar el banco 1550

y además que según el modelo matemático la forma de realizar la explotación es avanzando

utilizando todo el ancho del banco, al contrario de la planificación manual, en que el avance se

hace utilizando aproximadamente la mitad del ancho del banco desde la bajada de la rampa,

para luego de llegar al límite del banco retornar hacia el inicio nuevamente.

5.4.2. Planificación trimestral manual con guía

Según esta planificación, a continuación se muestra un gráfico en el que se presenta el tonelaje

de mineral extraído desde la mina en cada uno de los periodos en estudio, la cantidad de este

mineral que es enviado a la planta de chancado y a los stocks, y finalmente, la cantidad de

mineral que es utilizado desde los stocks para la alimentación de la planta (remanejo). En el

1

2

3

45

5

6

78

100

Anexo 17 se puede encontrar la tabla que contiene los datos que dan origen al siguiente

gráfico:

Figura 40: Planificación trimestral manual con guía de mina Spence

Al igual que en la presentación de la planificación anterior, es necesario mostrar la producción

de finos de cobre, por lo cual en la siguiente gráfica se muestra el tonelaje de finos de cobre por

periodo según esta planificación:

Figura 41: Tonelaje de finos de cobre según planificación trimestral manual con guía de mina Spence

Según esta planificación, se obtiene un total de 99,877 toneladas de cobre fino, lo que

corresponde a un aumento en aproximadamente un 11% en comparación al resultado obtenido

de la planificación realizada mediante el método tradicional sin considerar guía alguna.

Para poder realizar la comparación también es importante evaluar en esta comparación, las

restricciones geometalúrgicas sobre el mineral de alimentación a la planta de chancado, lo cual

se muestra a continuación:

-200,000

-100,000

0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

800,000

1 2 3 4 5 6 7 8

To

ne

laje

[t]

Periodo

Mina Remanejo Mineral a stocks Capacidad Planta

0

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

1 [14 d] 2 [14 d] 3 [14 d] 4 [14 d] 5 [14 d] 6 [7 d] 7 [14 d] 8 [1 d]

To

ne

laje

[t]

Periodo

101

Figura 42: Restricciones geometalúrgicas de Clacid (izquierda) y CO3 (derecha) según planificación

trimestral manual con guía de mina Spence

Figura 43: Restricciones geometalúrgicas de F_geomet (izquierda) y Mezcla (derecha) según planificación

trimestral manual con guía de mina Spence

Se puede apreciar que las restricciones geometalúrgicas se cumplen en casi todos los periodos,

salvo en el periodo 1, en donde el clacid (presencia de cloro) es ligeramente mayor a 0.8 kg/t

(0.85 kg/t), y f_geoemt (presencia de material particulado fino) también es un poco mayor a 20%

(20.1%), al igual que en el periodo 5, pero para efectos de la alimentación de mineral a la planta

de chancado se consideran aceptables en la planificación de corto plazo que se realiza en mina

Spence.

A continuación se presenta el secuenciamiento de bloques obtenido al utilizar el resultado del

modelo de optimización como guía para realizar la planificación minera de corto plazo de mina

Spence:

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1 2 3 4 5 6 7 8

Cla

cid

[k

g/

t]

Periodo

Clacid Límite Clacid

0.0%

0.2%

0.4%

0.6%

0.8%

1.0%

1.2%

1.4%

1 2 3 4 5 6 7 8

CO

3 [

%]

Periodo

CO3 Límite CO3

0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

1 2 3 4 5 6 7 8

F_

ge

om

et

[%]

Periodo

F_geomet Límite F_geomet

0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

30.0%

1 2 3 4 5 6 7 8

Me

zcla

[%

]

Periodo

Mezcla Límite Mezcla

102

Figura 44: Secuenciamiento de bloques de los bancos 1580 (izquierda) y 1565 (derecha) de la fase 02 según

planificación trimestral con guía

Figura 45: Secuenciamiento de bloques del banco 1625 de la fase 03 según planificación trimestral con guía

Ahora que ya se presentaron los resultados de ambas planificaciones, se puede realizar la

comparación. Se puede apreciar que utilizando los resultados obtenidos del modelo de

programación matemática, se aumenta la producción de finos de cobre en aproximadamente

12,000 toneladas, y considerando que la solución óptima entregada por el modelo es de

114,143 toneladas de finos de cobre, la planificación sin guía sólo recupera el 77% de esa

cantidad, en cambio, la planificación realizada utilizando los resultados del modelo como guía,

recupera un 88% del valor óptimo. Otro punto importante a destacar, es que el experto de mina

Spence que realizó estas planificaciones, pudo utilizar los resultados gráficos del modelo como

guía, lo que sumado a lo anterior, nos dice que se cumplió el objetivo de entregar una guía para

la planificación de corto plazo.

Además se puede apreciar que al realizar la planificación sin guía, las características

geometalúrgicas del mineral de alimentación a la planta de chanchado mantienen una

103

tendencia relativamente constante en el tiempo, cosa que no ocurre así al utilizar los resultados

del modelo como guía, lo cual se aprecia notoriamente en el clacid y en la mezcla. Siempre

resulta conveniente mantener dentro de ciertos márgenes los atributos limitantes del mineral de

alimentación, por lo cual se podría pensar en limitar estas características geometalúrgicas

dentro de un rango de valores aceptables como parte del modelo.

Otro punto importante es la distribución del tonelaje de finos de cobre en el tiempo, que el caso

de la planificación sin guía llega a su máximo en el periodo 2 y luego comienza a descender

periodo a periodo, en cambio, en la planificación guiada, la producción de finos de cobre es

creciente en los primero cuatro periodos, alcanzando su máximo, para posteriormente

descender hasta el final del horizonte de tiempo en estudio.

Existe un menor remanejo y menor alimentación de mineral a stocks, ya que el modelo mezcla

de manera in situ en mina los argílicos de alta ley que en el caso de la planificación manual sin

guía son enviados a stock. En la planificación manual con guían estos bloques se mezclan con

mineral de menor ley, el cual es utilizado como diluyente de argílico.

Se debe cambiar el diseño de perforación y tronadura para generar el concepto de tronadura

“on demand” en función del plan de producción y no de la necesidad de quebrar roca.

Finalmente, con respecto al secuenciamiento de bloques se puede apreciar que la solución

obtenida en este caso se asemeja bastante a la obtenida en el resultado directo del modelo

matemático, con la salvedad de que al realizar este suavizamiento, no se explota el banco 1550

de la fase 02 y la explotación periodo a periodo se hace en todo el ancho del banco en el caso

del banco 1580, explotando la totalidad de los bloques y obviando aquellos bloques que según

el modelo matemático deben ser explotados en periodos posteriores encontrándose entre

periodos preliminares.

104

6 Conclusiones y Recomendaciones

Se logró desarrollar un modelo de programación matemática para soportar la planificación

minera de corto plazo en una mina a cielo abierto integrando mezclas de minerales con

diferentes propiedades mineralógicas, en donde se fue capaz de integrar las restricciones

geometalúrgicas para el mineral de alimentación de la planta de chancado que son utilizadas en

la actualidad en una faena minera a cielo abierto, como es el caso de mina Spence. Además

los resultados obtenidos lograron ser utilizados como una guía para el planificador, para realizar

la planificación minera de corto plazo, aumentando la producción de tonelaje de finos de cobre

en aproximadamente un 11%, obteniendo así 99,877 toneladas de cobre fino, que

corresponden a un 88% del valor óptimo encontrado por el modelo de programación

matemática.

La pre-definición realizada para asignar el tipo de material a cada uno de los bloques del

modelo, permitió reducir el tamaño del problema dado que intrínsecamente se le asigna un

destino al bloque lo que reduce la toma de decisiones del modelo y eso conlleva a una

reducción de los tiempos de resolución del problema.

Con respecto al análisis realizado a los resultados a diferentes parámetros que delimitaban los

radios de búsqueda por periodo, se pudo determinar que estos varían enormemente de un

periodo a otro cuando el valor que se cambia es el del avance radial (MAR) y el radio de la

primera semana (RPS) se deja fijo, lo cual viene dado por la forma en que esta descrito el radio

de búsqueda por periodo. Además, se obtienen mejores secuenciamientos de extracción de

bloques al variar el radio de la primera semana periodo a periodo, puesto que de esta forma los

radios de búsqueda no se incrementan en gran medida al cambiar de periodo, lo que hace que

las áreas disponibles se encuentren más acotadas, y baje la probabilidad de obtener resultados

en que el secuenciamiento es disperso, poco conexo, y que finalmente se traduce en un

resultado de ir seleccionando bloque a bloque para su extracción, lo cual operacionalmente es

imposible porque los equipos disponibles para dichas tareas son limitados, y están diseñados

para operaciones masivas y no excesivamente selectivas. Lo anterior se traduce en que al

trabajar con radios mayores baja el nivel de operatividad puesto que el modelo entrega

secuenciamientos de bloques dispersos los cuales presentan una baja probabilidad de ser

reproducidos en la realidad y el resultado se aleja del objetivo de servir como guía para la

planificación de corto plazo.

105

Utilizar los resultados obtenidos del modelo de programación matemática, permitieron aumentar

la producción de finos de cobre como ya fue mencionado anteriormente, pero se pierde cierta

homogeneidad en el tiempo de las características geometalúrgicas del mineral que está

alimentando la planta de chancado, sobre todo lo que respecta a la cantidad de cloro y de

argílico, lo cual se vio reflejado en que al realizar la planificación de la forma tradicional, es

decir, mediante una aproximación manual de prueba y error, se pudo mantener relativamente

constantes las características geometalúrgicas del mineral, en cambio, cuando se realizó la

planificación utilizando los resultados del modelo como guía, se perdió cierta flexibilidad, y tanto

la cantidad de cloro como de argílico se muestran con una mayor variabilidad en el tiempo. Lo

que es importante rescatar, es que a pesar de esta variabilidad en el tiempo, se siguen

cumpliendo las restricciones impuestas para el mineral de alimentación a la planta de chancado.

Esta variabilidad de las restricciones geometalúrgicas puede ser resuelta en la optimización

mediante técnicas de estimación y simulación geoestadística aplicadas a ellas, de forma tal de

predecir su variabilidad en el mineral de alimentación a planta, de forma similar como lo realiza

Yarmuch (2007) para estimar la variabilidad en la ley de alimentación en un horizonte de tiempo

de corto plazo.

Otra ventaja de utilizar los resultados del modelo como guía para realizar la planificación minera

corresponde a que se produce un menor remanejo y menor alimentación de mineral a stocks,

ya que el modelo mezcla de manera in situ en la mina los bloques de alta ley de cobre pero con

alto contenido de argílico que en el caso de la planificación manual sin guía son enviados a

stock. En la planificación manual con guían estos bloques se mezclan con mineral de menor ley,

el cual es utilizado como diluyente de argílico. Cabe destacar también que la reducción del

remanejo disminuye los costos operacionales de la mina, puesto que es más económico

producir mineral desde la mina que desde los stocks.

Por su parte, el hecho de contar con una herramienta que sirva como guía para la planificación

de corto plazo, facilita el trabajo en esta área, puesto que se pasa de una aproximación manual

de prueba y error que puede tomar una cantidad de tiempo no despreciable, a una planificación

manual pero guiada, que permite relativamente saber que bloques se deben atacar en cada uno

de los periodos, y reducir los tiempos de planificación, puesto que el margen de error se reduce

considerablemente, lo que sumado a lo expresado anteriormente, convierten a este modelo de

programación matemática en una buena herramienta para soportar la planificación minera de

corto plazo en una mina a cielo abierto.

106

Con respecto a la utilización de bloques provenientes de los stocks, esta resulta relevante en

los resultados, puesto que el modelo además de tener la capacidad de completar el tonelaje de

alimentación de mineral a la planta de chancado en el caso de ser necesario, es capaz de

discriminar entre bloques provenientes desde la mina y desde los stocks según sus atributos ya

sea de ley, o de características geometalúrgicas que le permitan cumplir al modelo su objetivo

final de maximizar la producción de finos de cobre.

También se recomienda analizar el modelo para estudiar la planificación minera de corto plazo

en otros periodos, es decir, utilizar otros meses de planificación como input para el modelo y ver

la consistencia de los resultados. Es importante también testear el modelo de programación

matemática para horizontes de tiempo más extensos y para modelos de bloques de otras minas

que presenten las características necesarias envueltas en los alcances del presente trabajo. El

trabajar con otros modelos de bloques significa reproducir las condiciones de otras minas por lo

cual será necesaria realizar una serie de modificaciones en el modelo para alcanzar los

resultados deseados, pero sólo se tratan de modificaciones en los parámetros de entrada de

éste y no en su programación, lo que hace que sean más sencillas de aplicar.

Finalmente, el modelo puede ser utilizado como una herramienta que automatiza el cálculo de

planes de producción, realizando la planificación en torno a una serie de planes pre-calculados

entregados por el modelo para distintos escenarios.

107

7 Trabajos futuros

• Buscar mayor conexidad de la solución en bancos que entran en operaciones en

periodos posteriores al primero, definiendo la entrada al banco en el tiempo, y hacer que

el radio de búsqueda de bloques candidatos a explotar sea relativa a este periodo en

particular, de forma tal de que no ocurra por ejemplo, lo del banco 1625 de la fase 03,

que presenta una gama de posibilidades amplia, dada la tardía explotación de éste.

• Utilizar el modelo para resolver en un horizonte de tiempo de un año, de forma tal de

que éste no tenga prioridad de sacar bloques de mejor ley en los periodos finales, dada

su limitación en el tiempo.

• Realizar más pruebas con otros intervalos de tiempo y otros modelos de bloques, de

forma tal de demostrar que el modelo no está resolviendo para un caso particular en

ciertas condiciones dadas, si no que es capaz de hacerlo para distintos horizontes de

tiempo y distintas características de yacimientos polimetálicos. Para ello, se puede

trabajar con horizontes de tiempos más actuales, y recrear las condiciones actuales de

la mina.

• Incluir los costos involucrados en la extracción y procesamiento de un bloque, y los

respectivos descuentos en el tiempo. Esto puede incluir una valoración de la función

objetivo, como también puede incluir costos asociados a ciertas violaciones de las

restricciones geometalúrgicas dentro de márgenes relativamente aceptables.

108

8 Referencias bibliográficas

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Universidad de Chile.

111

9 Anexos

9.1. Anexo 1

Tabla 43: Contribución en tonelaje y porcentaje de cada una de las fuentes a la alimentación de mineral a la planta de procesamiento para el caso RPS = 10 metros y MAR = 10 metros

9.2. Anexo 2


9.3. Anexo 3


9.4. Anexo 4


Periodo Mina [t] Stock Súlfuros [t] Stock Óxidos [t] Alimentación planta [t] Mina [%] Stock Súlfuros [%] Stock Óxidos [%]

1 0 0 0 0 0% 0% 0%

2 0 0 0 0 0% 0% 0%3 0 316,103 0 316,103 0% 100% 0%4 3,839 693,143 0 696,981 1% 99% 0%5 38,190 658,866 0 697,056 5% 95% 0%6 348,054 0 0 348,054 100% 0% 0%

7 283,662 0 413,848 697,510 41% 0% 59%8 47,738 0 0 47,738 100% 0% 0%


1 7,673 689,334 0 697,007 1% 99% 0%2 30,513 666,483 0 696,996 4% 96% 0%3 386,127 312,295 0 698,422 55% 45% 0%4 699,161 0 0 699,161 100% 0% 0%5 696,980 0 0 696,980 100% 0% 0%6 349,959 0 0 349,959 100% 0% 0%7 697,956 0 0 697,956 100% 0% 0%8 47,355 0 0 47,355 100% 0% 0%


1 3,809 693,143 0 696,951 1% 99% 0%2 21,624 677,909 0 699,533 3% 97% 0%3 402,533 297,061 0 699,594 58% 42% 0%4 699,267 0 0 699,267 100% 0% 0%5 699,533 0 0 699,533 100% 0% 0%6 349,904 0 0 349,904 100% 0% 0%7 699,872 0 0 699,872 100% 0% 0%8 48,137 0 0 48,137 100% 0% 0%


1 46,029 651,249 0 697,278 7% 93% 0%2 661,454 38,085 0 699,538 95% 5% 0%3 697,059 0 0 697,059 100% 0% 0%4 698,681 0 0 698,681 100% 0% 0%5 699,830 0 0 699,830 100% 0% 0%6 347,504 0 0 347,504 100% 0% 0%7 697,845 0 0 697,845 100% 0% 0%8 46,803 0 0 46,803 100% 0% 0%

112

9.5. Anexo 5


9.6. Anexo 6


9.7. Anexo 7


9.8. Anexo 8

Figura 46: Contribución en tonelaje y porcentaje de cada una de las fuentes a la alimentación de mineral a la planta de procesamiento para el caso RPS = 60 metros y MAR = 30 metros


1 166,097 533,187 0 699,283 24% 76% 0%2 698,546 0 0 698,546 100% 0% 0%3 699,968 0 0 699,968 100% 0% 0%4 699,908 0 0 699,908 100% 0% 0%5 696,995 0 0 696,995 100% 0% 0%6 347,846 0 0 347,846 100% 0% 0%7 697,923 0 0 697,923 100% 0% 0%8 49,719 0 0 49,719 100% 0% 0%


1 49,833 647,441 0 697,274 7% 93% 0%2 413,450 285,636 0 699,085 59% 41% 0%3 665,684 34,276 0 699,960 95% 5% 0%4 697,805 0 0 697,805 100% 0% 0%5 698,894 0 0 698,894 100% 0% 0%6 349,862 0 0 349,862 100% 0% 0%7 697,157 0 0 697,157 100% 0% 0%8 47,859 0 0 47,859 100% 0% 0%


1 121,109 578,888 0 699,997 17% 83% 0%2 562,413 137,105 0 699,518 80% 20% 0%3 691,365 7,617 0 698,982 99% 1% 0%4 699,819 0 0 699,819 100% 0% 0%5 697,626 0 0 697,626 100% 0% 0%6 347,934 0 0 347,934 100% 0% 0%7 695,379 0 3,630 699,009 99% 0% 1%8 46,862 0 0 46,862 100% 0% 0%


1 179,310 517,953 0 697,263 26% 74% 0%2 638,427 60,936 0 699,363 91% 9% 0%3 699,183 0 0 699,183 100% 0% 0%4 698,231 0 0 698,231 100% 0% 0%5 698,594 0 0 698,594 100% 0% 0%6 348,530 0 0 348,530 100% 0% 0%7 695,814 0 3,630 699,444 99% 0% 1%8 49,898 0 0 49,898 100% 0% 0%

113

9.9. Anexo 9

Tabla 50: Contribución en tonelaje y porcentaje de cada una de las fuentes a la alimentación de mineral a la planta de procesamiento para el caso base

9.10. Anexo 10

X [m] Y [m] Z [m] Ley de cobre [%] 74,725 480,105 1,587.5 0.66 74,735 480,105 1,587.5 0.43 74,745 480,085 1,587.5 0.85 74,755 480,085 1,587.5 0.71 74,755 480,075 1,587.5 0.96

Tabla 51: Bloques que son minados en el periodo 1 pero que no son procesados para el caso base


1 273,485 422,741 0 696,225 39% 61% 0%2 615,512 83,786 0 699,298 88% 12% 0%3 699,195 0 0 699,195 100% 0% 0%4 699,297 0 0 699,297 100% 0% 0%5 697,266 0 0 697,266 100% 0% 0%6 348,116 0 0 348,116 100% 0% 0%7 699,267 0 0 699,267 100% 0% 0%8 49,860 0 0 49,860 100% 0% 0%

114

X [m] Y [m] Z [m] Ley de cobre [%] 74,785 480,135 1,587.5 0.51 74,805 480,125 1,587.5 0.76 74,805 480,115 1,587.5 0.91 74,745 480,105 1,587.5 0.61 74,795 480,105 1,587.5 0.73 74,735 480,095 1,587.5 0.69 74,745 480,095 1,587.5 0.58 74,765 480,095 1,587.5 0.56 74,775 480,095 1,587.5 0.96 74,785 480,095 1,587.5 0.77 74,795 480,095 1,587.5 0.57 74,705 480,085 1,587.5 0.67 74,765 480,085 1,587.5 0.66 74,775 480,085 1,587.5 1.00 74,705 480,055 1,587.5 0.72 74,765 480,045 1,587.5 0.84 74,765 480,035 1,587.5 0.91 74,775 480,035 1,587.5 0.99 74,765 480,025 1,587.5 0.98 74,775 480,005 1,587.5 0.65 74,785 480,005 1,587.5 0.88 74,775 479,995 1,587.5 0.83 74,725 480,085 1,572.5 1.05 74,735 480,085 1,572.5 1.06 74,755 480,025 1,572.5 0.88 74,785 479,995 1,572.5 1.02 74,765 479,965 1,572.5 0.56

Tabla 52: Bloques que son minados en el periodo 2 pero que no son procesados para el caso base

9.11. Anexo 11

Periodo Mina [t] Stock Súlfuros

[t] Stock Óxidos

[t] Alimentación planta

[t] 1 397,835 0 0 397,835 2 695,697 0 0 695,697 3 699,590 0 0 699,590 4 697,827 0 0 697,827 5 698,100 0 0 698,100 6 347,544 0 0 347,544 7 698,606 0 0 698,606 8 47,198 0 0 47,198

Tabla 53: Tonelaje de alimentación de mineral a la planta de procesamiento para el caso base sin stocks

115

9.12. Anexo 12


[t] Stock Óxidos


[t] 1 551,342 0 0 551,342 2 694,569 0 0 694,569 3 699,987 0 0 699,987 4 699,831 0 0 699,831 5 699,539 0 0 699,539 6 349,970 0 0 349,970 7 699,155 0 0 699,155 8 47,187 0 0 47,187

Tabla 54: Tonelaje de alimentación de mineral a la planta de procesamiento para el caso RPS = 70 metros y MAR = 30 metros sin stocks


[t] Stock Óxidos


[t] 1 696,797 0 0 696,797 2 699,453 0 0 699,453 3 697,421 0 0 697,421 4 697,842 0 0 697,842 5 699,726 0 0 699,726 6 348,183 0 0 348,183 7 699,930 0 0 699,930 8 49,529 0 0 49,529

Tabla 55: Tonelaje de alimentación de mineral a la planta de procesamiento para el caso RPS = 80 metros y MAR = 30 metros sin stocks

9.13. Anexo 13

Tabla 56: Contribución en tonelaje y porcentaje de cada una de las fuentes a la alimentación de mineral a la planta de procesamiento para el caso RPS = 80 metros y MAR = 30 metros con stocks


1 370,040 327,529 0 697,568 53% 47% 0%2 666,795 30,468 0 697,263 96% 4% 0%3 699,969 0 0 699,969 100% 0% 0%4 699,867 0 0 699,867 100% 0% 0%5 698,351 0 0 698,351 100% 0% 0%6 349,941 0 0 349,941 100% 0% 0%7 695,207 0 3,630 698,837 99% 0% 1%8 49,860 0 0 49,860 100% 0% 0%

116

9.14. Anexo 14

X [m] Y [m] Z [m] Ley de cobre [%] 74,755 480,085 1,587.5 0.71 74,765 480,085 1,587.5 0.66

Tabla 57: Bloques que son minados en el periodo 1 pero que no son procesados para el caso RPS = 80 metros y MAR = 30 metros con stocks

117

X [m] Y [m] Z [m] Ley de cobre [%] 74,795 480,125 1,587.5 0.54 74,815 480,125 1,587.5 0.99 74,755 480,115 1,587.5 0.46 74,765 480,115 1,587.5 0.66 74,805 480,115 1,587.5 0.91 74,735 480,105 1,587.5 0.43 74,745 480,105 1,587.5 0.61 74,755 480,105 1,587.5 0.59 74,765 480,105 1,587.5 0.64 74,775 480,105 1,587.5 0.84 74,785 480,105 1,587.5 0.74 74,795 480,105 1,587.5 0.73 74,725 480,095 1,587.5 0.93 74,735 480,095 1,587.5 0.69 74,765 480,095 1,587.5 0.56 74,775 480,095 1,587.5 0.96 74,785 480,095 1,587.5 0.77 74,795 480,095 1,587.5 0.57 74,745 480,085 1,587.5 0.85 74,715 480,075 1,587.5 0.82 74,745 480,075 1,587.5 0.92 74,695 480,065 1,587.5 0.90 74,725 480,065 1,587.5 0.92 74,745 480,065 1,587.5 0.75 74,765 480,045 1,587.5 0.84 74,785 480,045 1,587.5 1.28 74,775 480,035 1,587.5 0.99 74,785 480,035 1,587.5 1.10 74,795 480,035 1,587.5 1.08 74,775 480,025 1,587.5 0.90 74,785 480,015 1,587.5 0.67 74,795 480,015 1,587.5 1.09 74,775 480,005 1,587.5 0.65 74,785 480,005 1,587.5 0.88 74,775 479,995 1,587.5 0.83 74,835 479,995 1,587.5 2.97 74,775 480,085 1,572.5 0.86 74,785 480,005 1,572.5 0.78 74,785 479,995 1,572.5 1.02 74,745 479,955 1,572.5 1.19

Tabla 58: Bloques que son minados en el periodo 2 pero que no son procesados para el caso RPS = 80 metros y MAR = 30 metros con stocks

118

9.15. Anexo 15

Tabla 59: Estadísticas básicas del banco 1670 de la fase 05 del modelo de bloques de Spence correspondientes a los meses de julio, agosto y septiembre de 2008

9.16. Anexo 16

Periodo Mina [t] Remanejo [t] Mineral a stocks [t] Alimentación planta [t] 1 700,000 - - 700,000 2 700,000 - - 700,000 3 681,950 230,760 -230,760 681,950 4 699,315 119,412 -119,412 699,315 5 700,596 77,852 -77,852 700,596 6 349,999 38,500 -38,500 349,999 7 697,754 - - 697,754 8 50,000 - - 50,000

Tabla 60: Planificación trimestral manual sin guía de mina Spence

9.17. Anexo 17

Periodo Mina [t] Remanejo [t] Mineral a stocks [t] Alimentación planta [t] 1 654,488 45,512 - 700,000 2 700,069 - - 700,069 3 700,826 - - 700,826 4 716,982 48,000 -65,000 699,982 5 701,203 - - 701,203 6 350,000 - - 350,000 7 700,000 - - 700,000 8 50,000 - - 50,000

Tabla 61: Planificación trimestral manual con guía de mina Spence

Tonelaje Ley de cobre Finos de cobre Clacid CO3 F_geomet Mezcla[t] [%] [t] [kg/t] [%] [%] [%]

Súlfuro 0 0 0.00 0 0.00 0.00 0.0 0.00Óxido 5 16,818 0.36 60 1.47 0.29 15.5 0.00Mixto 2 6,921 0.32 22 1.32 0.29 15.5 0.00ROM 110 367,076 0.15 552 0.62 0.12 22.0 0.00

Estéril 1,771 5,129,505 0.01 583 0.49 0.14 22.5 0.11

Destino # bloques

119

9.18. Anexo 18: Paper presentado en APCOM 2009 Vancouver, Canadá

Development of a mathematical programming model to support the planning of

short-term mining

Camilo I. Morales Universidad de Chile

Enrique A. Rubio Universidad de Chile

Abstract At present, many open pit mines are designed to operate and feed a processing plant with ore

characteristics that were defined in the design of the mining business, which are not necessarily

the same as those found during the operation. This is the case of Spence Mine, whose design

was conceived considering the extraction of primary iron sulphides, however, with the extraction

of such minerals, it was necessary to mine and process minerals with secondary enrichment.

Then it is necessary to work with a greater selectivity degree in the operation, however the

capacities of the mine and operational resources were not designed for this. Thus, the changes

in the general conditions of the operation should be considered as a series of geometallurgical

restrictions to achieve production schedules.

The above facts impacts directly in the short-term planning, whose task is to achieve the goals

proposed in productive long-term planning because the company does not have the tools

necessary to plan with the degree of selectivity required, so it should be done by hand,

discretizating and scheduling the production polygons. Naturally, this manual process in the

short term planning deviate sharply from the areas in operation, opening new fronts and

benches that result in a significant increase in costs and a loss of the value of the mineral

resource to miss the exploitation sequence. The research presented in this paper is related to

the development of a mathematical programming model to support the short-term planning, so

as to integrate the challenge of selective mining with geometallurgy restrictions, to provide the

planner a guide to construction of the polygon of exploitation, guiding the fines production to

achieve the goals of the proposed production plan.

120

1. Introduction Actually, mine planning is done considering different time horizons to conduct a project from its

conception to operation. In the first stages of final pit definition, sequencing and production

schedule construction, usually are considered mineral resources models that only reflect some

basic characteristics of the deposit, like grades and rock types. This information is the basis to

generate the mine planning model. Once the mine starts its operation, appear several

metallurgical issues that force to complement the original mine planning model with additional

variables like mineralogies, pollutants, fragmentation among others whose force ore blending in

order to deliver an acceptable product for the metallurgical process. In this way, to conciliate

long term production schedules is a task that consumes important amounts of time and effort,

generating solution which are not optimal.

In many cases, open pit mines are designed to support a massive extraction (because of the

consideration of basic characteristics of the deposit) in a deposit that during its extraction must

consider a high grade of selectivity to fulfill geometallurgical constraints, due to its high

mineralogical variability. This generates big differences between long term and short term

planning, due to long term never considered the imperative blending requirements that short

term has to face. These differences normally are translated in higher costs and important

deviations between the required and the produced metal, at the end of the year.

Actually, there is no software tools that allows to build short term schedules considering a

dynamic blending inside the pit in order to face the intrinsic mineralogic variability, considering

operative geometric constraints that short term must considering in its productive programs. So

the industry normally considered a trial an error methodology that do not ensure the fulfillment of

geometallurgical constraints in all periods of the schedule nor the commitment of the productive

goals (in terms of produced metal) that were defined in the long term.

This paper present a mathematical programming model to support open pit short term planning,

considering ore blending and geometric constraints that could guide the mine planner in the

generation of a production schedule.

121

2. Mine planning Mine planning is defined as the process of Mining Engineering which transforms the ore

resource in the best productive business (Rubio, 2006), defining a productive promise and to

become in a bankable document for investors, so as to maximize income mining business,

enabling each of its sources and incorporating the constraints imposed by the ore resource,

market, and environment. Mine planning must be done because:

• The mining business is one that involves the largest amount of capital and has highest

levels of uncertainty.

• Mining is one of the businesses that led to the bankruptcy of the largest investors.

• Typically mining projects instead of paying the capital, use it in conjunction with the

utilities.

The existing literature about the construction of the mine planning model focuses on the long

term, which is responsible for defining the size and life of mine, and the reserves of her. To this

end, in this horizon is defined the economic envelop, the method, rate and sequence of

production, and the profile of cut off grade, so as to deliver as much information as possible to

investors, including projects with different risk levels. Thus the ultimate pit limits, and the

provision of sequencing are using as a guide for short-term planning, resulting in a discrepancy

between both, in the design of the mine, in the long-term planning, was never considered the

mixture is necessary for the crusher feeding. The resolution of this problem has been focused in

two ways: the first is the ultimate pit limits based approaches to block sequencing, and the

second is a comprehensive approach to block sequencing.

Using the ultimate pit limits based approaches to block sequencing, Gershon (1982) use a

mathematical model to determine the most profitable mine operation scheme from pit to plant to

market. By accounting for pit-plant-market interfaces and optimizing operations over the entire

life of the mine, this model is able to calculate long, intermediate, and short-range mine plans.

Gershon (1987) develops a mine scheduling heuristic based on a block's positional weight to

determine when a block should be mined. The positional weight of a block determines the

desirability of removing that block at a particular point in time; higher positional weights are more

desirable. Dowd y Onur (1992) uses dynamic programming to schedule the extraction sequence

of blocks in the ultimate pit. Tolwinski y Underwood (1992) use dynamic programming to

determine the optimal production schedule for an open pit mine that satisfies both physical and

economic constraint. Dagdelen (2005) shows how the block sequencing problem involves the

122

determination of a cutoff grade, which in turn is used to decide whether or not a given block

should be mined and when it should be mined, and then lastly, once mined, how the ore should

be processed.

Using the comprehensive approaches to block sequencing, Denby y Schofield (1994) use

genetic algorithms to simultaneously solve for the ultimate pit limits and the ore body’s extraction

schedule. Sevim y Lei (1998) describes the simultaneous nature of open pit mine scheduling.

They show that long term production planning in open pit mines involves the simultaneous

resolution of four issues: the production rate (number of blocks to be mined each year), the

specific group of blocks that should be mined in a given year, the cutoff grade to be used to

determine ore and waste blocks, and the ultimate pit limits. Hoerger, Bachmann, Criss y

Shortridge (1999) Their tool employs linear programming to maximize NPV by matching grade

and metallurgical type increments to optimum processing plants or stockpiles subject to

production and processing capacity constraints and blending requirements, for the Newmont’s

Nevada Operations. Lagrangian relaxation is a tactic used to remove complicating side

constraints from a mixed integer program and transform the problem into a more tractable

formulation. Akaike y Dagdelen (1999). Cai (2001) also uses Lagrangian relaxation by

incorporating schedule constraints into the block's net value calculation via multipliers to

penalize violations of these constraints. Caccetta y Hill (2003) developed a mixed integer

programming for mine planning through a model with Branch & Cut strategy. Ramazan y

Dimitrakipoulos (2004) present a general description of an efficient mixed integer programming

problem formulation for the open pit mine scheduling problem. In another paper Ramazan y

Dimitrakipoulos (2004) show that mixed integer programming formulations are limited by the

feasibility in generating optimal solutions with practical mining schedules and an inability to deal

with in-situ variability of ore bodies. Finally, Esfandiari et al. (2004) make an attempt using a

model with multiple criteria decision making and a binary nonlinear programming model, whose

goal was to get the production Schedule for long and short term.

From the above, there is a shortage of short-term planning tools that consider mixtures of ores

with different mineralogical properties. For the development of this research, we used

techniques similar to those of Johnson (1969) adds constraints as orderly removal of blocks, the

mining equipment capacities, crushing plant capacity, grades of plant feeding, and physical,

operational, laws, and policies constraints.

123

3. Mathematical programming model 3.1. Considerations • Material types: there are 5 types of material, defined by its geologic and mineralogical

characteristics (sulphides, oxides, mixed, ROM and waste).

• Campaigns: materials are processed in 2 different campaigns: oxides and sulphides. Oxides

cannot be processed in sulphides campaign and vice versa.

• Mixed material: Mixed material is processed as oxide.

• Stocks utilization: there are 2 stocks: oxides and sulphides, with known initial attributes.

• Vertical geometry extraction: for the extraction of one block, the immediately 9 above blocks

must be extracted.

• Geometallurgical constraints: there were considered from case study.

• Time scale: 3 month time horizon, 2 weeks periods.

• ROM material is always processed as oxides but not considered as plant feeding material

since is not crushed.

• Problem was solved in a 4 processors machine (1 x Intel®Xeon® dual core CPU 1,86 GHz, 4

GB RAM.

• Maximum acceptable gap for solution is 5%.

3.2. General description The objective function of the model is to maximize the produced copper fines (from sulphide,

oxide and mixed material) in the considered time horizon.

The main constraints for the model are the mine capacity, processing plant capacity and the

geometry of the extraction. Also there are considered extraction campaigns and a set of

geometallurgical constraints from case study.

3.3. Block parameters • Xi,j,k: east coordinate of the centroid of each block.

• Yi,j,k: north coordinate of the centroid of each block.

• Zi,j,k: level of the centroid of each block..

• Xacci,j,k: east coordiante of the centroid of the block which is the access to bench Z.

• Yacci,j,k: north coordiante of the centroid of the block which is the access to bench Z.

• Desti,j,k: type of material of each block (1: sulphide, 2: oxide, 3: mixed, 4: waste, 5: ROM).

124

• Toni,j,k: tonnage of each block.

• Fgeoi,j,k: proportion of fine particulated material in each.

• CO3i,j,k: carbonate concentration in each block (%).

• Clacidi,j,k: chlorine content in each block (kg/t).

• Mezi,j,k: presence of argilic alteration in each block (binary).

• Cuti,j,k: copper grade in each block (%).

• Finosi,j,k: copper fines in each block (t).

• Dist_max_acci,j,k: distance between each block and the access to the bench.

3.4. Operative parameters • CapPlant: plant capacity in period t.

• CapMinat: mine capacity in period t.

• Campt: extraction campaign in period t (1: sulphides o 2: oxides).

• Max_Fgeot: fine particulated material upper limit in period t (for material sent to processing

plant).

• Max_Clacidt: chlorine upper limit in period t (for material sent to processing plant).

• Max_CO3t: carbonate upper limit in period t (for material sent to processing plant).

• Max_Mezt: argilic upper limit in period t (for material sent to processing plant).

• %MinPlan: minimum number of blocks that must be processed in the same period.

• TACUMt: cumulative time in weeks. 3.5. Stocks parameters • TSO: tonnage of the oxide stock.

• TSS: tonnage of the suphide stock.

• CuSO: average copper grade in each block of oxide stock.

• CuSS: average copper grade in each block of sulphide stock.

• BSO: number of block in oxide stock.

• BSS: number of block in sulphide stock.

• Fgeo_SO: proportion of fine particulated material in each block of oxide stock.

• Fgeo_SS: proportion of fine particulated material in each block of sulphide stock.

• CO3_SO: carbonate average grade for each block of oxide stock.

• CO3_SS: carbonate average grade for each block of sulphide stock.

• Clacid_SO: chlorine average grade for each block of oxide stock.

• Clacid _SS: chlorine average grade for each block of sulphide stock.

125

• Mez_SO: argilic content in oxide stock.

• Mez _SS: argilic content in sulphide stock.

• TBSO: tonnage of each block of the oxide stock.

• TBSS: tonnage of each block of the suphide stock.

3.6. Geometric parameters • RPP: searching radius from the Access to benches, for first period.

• MAR: radial progress for searching radius for each period.

3.7. Decision variables • Minari,j,k,t: binary variable, 1 if block i,j,k is mined in period t, 0 otherwise.

• Proci,j,k,t: variable, 1 if block i,j,k is processed in period t, 0 otherwise.

• NOt: integer variable, number of blocks processed from oxide stock.

• NSt: integer variable, number of blocks processed from sulfide stock.

3.8. Constraints • Blocks can be mined only once (for t ≥ 1)

<��2.,/,0,� ≥ <��2.,/�,0�,�� [1]

• Blocks can be processed only once (for t ≥ 1)

12-�.,/,0,� ≥ 12-�.,/�,0�,�� [2]

• Plant capacity (for t ≥ 1 if Desti,j,k ≠ 5)

�{5-�.,/,0 ∗ (12-�.,/,0,�.,/,0

− 12-�.,/,0,��)} + 4� ∗ 5674 + 7� ∗ 5677 ≤ ��1;�� [3]

• Mine capacity (for t ≥ 1)

�{5-�.,/,0 ∗ (��2.,/,0,�.,/,0

− ��2.,/,0,��)} ≤ �� [4]

126

• Stocks are limited

� 4��

≤ 674 [5]

� 7��

≤ 677 [6]

• A block from sulfide stock cannot be processed in oxides campaign and vice versa (for t ≥ 1)

KL ��<�� ≠ 1 → 4� = 0 [7]

KL ��<�� ≠ 2 → 7� = 0 [8]

• Blocks must be mined before processed (for t ≥ 1)

12-�.,/,0,� ≤ <��2.,/,0,� [9]

• Vertical precedence (9 upper blocks, for t ≥ 1)

<��2.,/,0,� ≤ <��2.�,/�,0�,� [10]

<��2.,/,0,� ≤ <��2.�,/,0�,� [11]

<��2.,/,0,� ≤ <��2.�,/�,0�,� [12]

<��2.,/,0,� ≤ <��2.,/�,0�,� [13]

<��2.,/,0,� ≤ <��2.,/,0�,� [14]

<��2.,/,0,� ≤ <��2.,/�,0�,� [15]

<��2.,/,0,� ≤ <��2.�,/�,0�,� [16]

127

<��2.,/,0,� ≤ <��2.�,/,0�,� [17]

<��2.,/,0,� ≤ <��2.�,/�,0�,� [18]

• A sulfide block cannot be processed in oxides campaign and vice versa (for t ≥ 1)

KL �� .,/,0 = 2 - 3 ( ��<�� = 1 → 12-�.,/,0,� − 12-�.,/,0,�� ≤ 0 [19]

KL �� .,/,0 = 1 ( ��<�� = 2 → 12-�.,/,0,� − 12-�.,/,0,�� ≤ 0 [20]

• Waste blocks are not processed (for t ≥ 1)

KL �� .,/,0 = 4 → 12-�.,/,0,� = 0 [21]

• Bloques de ROM siempre se procesan (para t ≥ 1)

KL �� .,/,0 = 5 → 12-�.,/,0,� = ��2.,/,0,� [22]

• Geometallurgical constraints (for t ≥ 1 if Desti,j,k ≠ 5)

�{(12-�.,/,0,�.,/,0

− 12-�.,/,0,��) ∗ (,C�-.,/,0 − ��_,C�-�)} + { 4� ∗ (,C�-_74

− ��_,C�-�)} + { 7� ∗ (,C�-_77 − ��_,C�-�)} ≤ 0

[23]

�{(12-�.,/,0,�.,/,0

− 12-�.,/,0,��) ∗ (�43.,/,0 − ��_�43�)} + { 4� ∗ (�43_74 − ��_�43�)}

+ { 7� ∗ (�43_77 − ��_�43�)} ≤ 0

[24]

�{(12-�.,/,0,�.,/,0

− 12-�.,/,0,��) ∗ (�;��D.,/,0 − ��_�;��D�)} + { 4� ∗ (�;��D_74

− ��_�;��D�)} + { 7� ∗ (�;��D_77 − ��_�;��D�)} ≤ 0

[25]

128

�{(12-�.,/,0,�.,/,0

− 12-�.,/,0,��) ∗ (��E.,/,0 − ��_��E�)} + { 4� ∗ (��E_74 − ��_��E�)}

+ { 7� ∗ (��E_77 − ��_��E�)} ≤ 0

[26]

• Relation between processed and mined blocks in the same period (for t ≥ 1)

�F12-�.,/,0,� − 12-�.,/,0,��G ≥ %��1;�� ∗.,/,0

�(.,/,0

��2.,/,0,� − ��2.,/,0,��) [27]

Considering only sulfide, oxide and mixed blocks.

• Radial progress from benches access (for t ≥ 1)

KL I11 + 5�� ∗ ��I < �� _max _��.,/,0 → ��2.,/,0,� = 0 [28]

3.7. Objective function

• For t ≥1 and Desti,j,k ≠ 5:

� {,��-�.,/,0 ∗.,/,0,�

(12-�.,/,0,� − 12-�.,/,0,��)} + �{ 4� ∗ 5674 ∗ �874100 +

� 7� ∗ 5677 ∗ �877

100 } [29]

4. Case study For the realization of this Project, we used data from Spence mine (BHP Billiton). This mine is

located about 50 km. southwest of Calama in the Antofagasta region, Chile. Corresponds to an

enriched supergene deposit and partially oxidized of copper porphyritic of Paleocene age (57

million years) covered by gravel. The depth of mineralization ranges from 80 to 100 meters and

is composed of atacamite in the case of oxides ore y calcosine in the case of sulphide ore. The

mined of the deposit is made by an open pit mine with a production of 200,000 tons of copper

cathodes per year. In this way, has an ability to move material from the mine (waste + ore) of

22,000 tpd., and a crushing plant capacity of 50,000 tpd.

From the mine are mined 5 kinds of materials which are: sulphides, oxides, mixed, ROM, and

waste. To give these categories to each block of the model using a geological feature called

129

minty, in addition to the grade of copper and the solubility. Thus as in the following table shows

the criteria necessary to define the kind of material that has each of the blocks:

Table 1: Criteria for definition of the kind of material for each block of the model

Rock Type Minty Grade Cu [%] Solubility Indicator Sulphide 20, 30, 40 ≥ 0.3 ≤ 0.2 1

Oxide 20 ≥ 0.3 ≥ 0.72 2 Mixed 20 ≥ 0.3 >0.2 & < 0.72 3

ROM 10, 50 ≥ 0.1 -

5 20, 30, 40 ≥ 0.1 & < 0.3 -

Waste - < 0.1 - 4 It should be noted that in conjunction with the above was necessary to take the following

considerations:

• Blocks with attribute minty = 60 were regarded as waste because it is hypogene mineralization

whit primary material that cannot be processed.

• All blocks with attribute minty = 30 and with grade of copper >= 0.3 were considered as

sulphides regardless of their solubility.

• Blocks with attribute minty = -99 were regarded as waste because are overload material.

• Finally, blocks with attribute minty = 24 were assigned considering the grade of copper and

solubility.

Due to the number of the blocks of the model is very large, and the horizon time to consider is

only 3 months (July to September 2008), took the decision to use only those blocks of the

benches that will be mined in this period according to the long-term planning. Planning is shown

in the following table:

Table 2: Benches to be mined according long-term planning

F02 F03 F04 F05 July_08 1580 - 1670 1685

August_a_08 1565 - 1655 1670 August_b_08 1550 - - 1670

September_08 - 1625 - 1670 Thus, the blocks to be used are the corresponding to the benches: 1550, 1565, 1580, 1625,

1655, 1670 y 1685 of the phases 2, 3, 4 and 5.

After the previous task, there is a block model representative of the study period of 9,976 blocks

of size 10 x 10 x 15 meters. Here are the basic statistics for this new block model:

130

Table 3: Basic statistics of block model from July to September 2008 Rock Type

# blocks Tonnage

Tonnage Cu

Grade Cu Density Clacid CO3 F_geomet Mix

[t] [t] [%] [t/m3] [kg/t] [%] [%] [%] Sulphide 1497 5,628,335 120,118 2.13 2.51 0.45 0.19 19.88 11.5

Oxide 953 3,441,893 37,479 1.09 2.41 2.66 0.27 17.47 14.9 Mixed 376 1,371,891 15,795 1.15 2.43 1.24 0.27 18.09 11.0 ROM 560 1,999,032 8,051 0.40 2.39 0.72 0.17 19.76 8.3

Waste 6590 19,733,088 4,715 0.02 2.02 0.49 0.15 22.49 0.4 Total 9976 32,174,238 186,157 0.58 2.19 0.76 0.17 21.14 4.9

It should also be noted that in the production of Spence mine, there are 2 campaigns of plant

feeding, one of sulphides another of oxides which defined in production Schedule. In this way,

the model will be broadly divided into periods of 2 weeks, with certain exceptions, such as when

there is change of campaign or in the last period the days are less. Here are the weeks involved,

their respective campaign, the periods defined for solve the model, and operational constraints:

Table 4: Definition of periods and their characteristics

Limits

Period Days Campaign Mine Plant Clacid CO3 F_geomet Mix [t] [t] [kg/t] [%] [%] [%] 1 14 Sulphides 3,080,000 700,000 0.8 1.2 20 25 2 14 Sulphides 3,080,000 700,000 0.8 1.2 20 25 3 14 Sulphides 3,080,000 700,000 0.8 1.2 20 25 4 14 Sulphides 3,080,000 700,000 0.8 1.2 20 25 5 14 Sulphides 3,080,000 700,000 0.8 1.2 20 25 6 7 Sulphides 1,540,000 350,000 0.8 1.2 20 25 7 14 Oxides 3,080,000 700,000 - 1.2 20 25 8 1 Oxides 220,000 50,000 - 1.2 20 25

Also the mathematical programming model considered the use of 2 initial stocks, one of

sulphides and another of oxides respectively, whose characteristics are described below:

Table 5: Initial stocks characteristics

Stock #

blocks Tonnage Grade

Cu Clacid CO3 F_geomet Mix [t] [%] [kg/t] [%] [%] [%]

Sulphide 438 1,668,112 1.06 1.00 1.00 20 20 Oxide 2,300 8,349,565 1.03 1.10 1.50 20 20

Finally, we must deliver to the model the block coordinates that represents access to each

benches involved, which are shown in the following table:

131

Table 6: Blocks coordinates that represent the access to each bench

Phases Bench X [m] Y [m] Z [m] 2 1,550 74,955 480,095 1,557.5 2 1,565 74,775 480,115 1,572.5 2 1,580 74,645 480,045 1,587.5 3 1,625 74,365 479,395 1,632.5 4 1,655 73,575 479,255 1,662.5 4 1,670 73,565 479,405 1,677.5 5 1,670 74,015 479,935 1,677.5 5 1,685 73,845 479,985 1,692.5

It should also be noted that was considered a first period radius (RPP) of 60 meters, for a further

radial progress (MAR) of 30 meters, plus a minimum percentage processing (%MinPlan) of the

blocks mined in a given period of 80%. Thus, as in the following table shows the searching

radius from the access to the bench for each period:

Table 7: Searching radius from the access to the benches for each period.

Period Duration Duration

Acum Radius [Weeks] [Weeks] [m] 1 2 2 120 2 2 4 180 3 2 6 240 4 2 8 300 5 2 10 360 6 1 11 390 7 2 13 450 8 1 14 480

5. Results The results of the mathematical programming model are divided into two types: numeric, which

outlines the results of the objective function and compliance of constraints. The second are the

geometric results, which show how to exploit each of the benches in the study.

5.1. Numeric results Below is a chart which shows the tonnage of fines of copper from the process. This tonnage

corresponds to the copper content of the plan feeding:

132

Figure 1: Tonnage of fines of copper as a result of the mathematical programming model.

A total of 113,123 [ton] of copper fine was obtained, which corresponds to approximately 65% of

the total copper fine available in the benches under study (considering only the copper fine from

sulphide, oxide and mixed ore type). You can see also that there are considerable lows in

periods 6 and 8, which can be explained by the duration of these periods (14 and 1 days

respectively).

In this way, the operation of the benches under study of the mine, and the plant feeding are

shown in the figure below:

Figure 2: Movement of material from the mine (left), and plant feeding (right).

It can be seen that the tonnage of material mined is well below to the mine capacity (around

30% of the limit). Also the charts show the same low tonnage in periods 6 and 8, which is

explained in the same way. Also, one can see that the processing plant remains satured during

the time horizon under consideration, which is satisfactory from the standpoint of solving the

model and the search for the optimization of the objective function. In this way, falls tonnage

during periods 6 and 8 due to the same reasons given above.

0

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

1 2 3 4 5 6 7 8

Ton

na

ge

[t]

Period

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

1 2 3 4 5 6 7 8

To

nn

ag

e [

Mt]

Period

Model Mine Capacity

0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

800,000

1 2 3 4 5 6 7 8

To

nn

ag

e [

t]

Period

Model Plant Capacity

133

Another important aspect in solving the model is compliance of geometallurgical constraints in

plant feeding. The following figure show the graphs of these constraints, which can be seen that

they are fully met for each type of constraint and in all periods covered by this study:

Figure 3: Geometalurgycal constraints. F_geomet (top-left), CO3 (top-right), Clacid (bottom-left), Mix (bottom-right)

Finally, it is important to appreciate the use the initial stocks for plant feeding in each of the

periods under study. Thus, the following is a chart which shows the contribution of the stocks in

each period:

Figure 4: Use of the initial stocks for plant feeding.

16.00

17.00

18.00

19.00

20.00

21.00

1 2 3 4 5 6 7 8

F_

ge

om

et

[%]

Period

Model F_geomet Limit

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1 2 3 4 5 6 7 8

CO

3 [

%]

Period

Model CO3 Limit

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

1 2 3 4 5 6 7 8

Cla

cid

[k

g/

t]

Period

Model Clacid Limit

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

1 2 3 4 5 6 7 8

Mix

[%

]

Period

Model Mix Limit

-

50,000

100,000

150,000

200,000

250,000

300,000

350,000

400,000

1 2 3 4 5 6 7 8

To

nn

ag

e [

t]

Period

Oxide stock Sulphide Stock

134

Shows that using only blocks of sulphide stocks during periods 1 and 2, which explains that

these are teh periods in which the searching radius are the smallest, so the stock was used to

saturate the plant feeding, and thus achieve a greater production of copper fines.

5.2. Geometric results It is extremely important to see the geometrical results for the mined of blocks in each of the

benches so as to assess whether the result can be used as a guide for short-term planning.

Below are plan views of block sequencing from each the benches which are presented in a gray

scale color where the lighter correspond to the first periods, the darker represent to the last

periods, and the unfilled blocks should not be mined according to the model. Importantly, the

model only mined the benches 1580, 1565, and 1550 of the phase 02, and the bench 1625 of

the phase 03. In addition to a better understanding of the block sequencing, is attached a table

which shows the period involved in the operation of each bench:

Table 8: Benches mined in each period according to the model

F02_1580 F02_1565 F02_1550 F03_1625

Per

iod

1 2 3 4 5 6 7 8

Figure 5: Block sequencing. Bench F02_1580 (top-left), bench F02_1565 (top-right), bench F02_1550 (bottom –

left), bench F03-1625 (bottom-right).

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100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100105 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 7 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 7 100 100 100 100 100106 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 7 7 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100107 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 7 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100108 100 100 100 100 100 100 100 100 8 7 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100109 100 100 7 7 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 7 100 100 100 100 100 100 100 7 100 100 100 100 100110 100 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 7 100 7 7 100 100 100111 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 7 6 100 100 100112 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 7 7 7 100 100 100 100113 7 100 100 100 100 100 7 100 100 100 100 100 7 100 7 100 100 100 100 100 100 7 7 7 7 100 100 100 100 100 100 100 100114 7 7 7 100 100 100 7 7 7 7 7 7 100 7 7 100 7 100 7 7 100 100 100 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100115 7 100 100 7 7 100 100 7 7 100 7 100 7 7 7 7 7 7 7 7 7 100 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 7 100 100116 100 100 7 100 7 100 100 100 100 100 8 7 7 7 7 7 7 7 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100117 100 100 7 100 100 100 100 100 100 100 100 7 7 7 7 7 7 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100118 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 7 100 100 7 7 7 7 100 8 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100119 100 100 100 100 100 100 7 7 100 100 100 100 7 7 7 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100120 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 7 7 7 7 100 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 7121 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 7 7 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100122 100 100 100 100 100 100 100 100 100 7 100 7 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100123 100 100 100 100 100 100 100 100 7 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100124 100 100 100 100 100 7 100 7 100 7 100 100 100 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100125 100 100 100 100 100 100 100 7 7 100 100 100 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100126 100 100 100 100 100 100 100 100 100 8 100 100 7 7 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100127 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 7 7 7 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100128 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 7 7 7 100 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 7 100 100129 100 100 100 100 100 100 100 7 7 7 7 7 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100130 100 100 100 7 7 7 7 7 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100131 100 7 7 7 7 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100132 100 100 100 7 100 8 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100133 100 100 7 100 100 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100134 100 100 100 100 100 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100135 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100136 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100137 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100138 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100139 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100140 100 100 100 6 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100141 100 7 7 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100142 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100143 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100144 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100145 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100146 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100147 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100148 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100149 100 100 100 100 100 100 100 100 100150 100 100 100 100 100 100 100 100 100151 100 100 100 100 100 100 100152 100 100 100 100153 100 100 100154 100 100155 100 100156 100157 100158

135

In the figures presented above can be seen that the model is solving as expected and is

delivering a solution that allows to be used primarily as a guide for short-term mine planning.

You can see that the benches of phase 02 which have mainly sulphide ore are mined from the

earliest periods, and the bench 1580, as the top is almost completely mined to be having access

to benches below. The blocks that are not mined, that are in central areas of the benches, are

the result of the need to maximize fines and the limited horizon time. In this way, the bench 1625

of phase 03, is a bench primarily of oxides that are mined in latest periods, and their sequencing

is more dispersed, because in these periods has enough searching radius from access to bench

it allows us as the best laws with the ultimate goal of maximizing the total copper fine mined.

Following is a chart which sets out the maximum effective searching radius that were reached in

each period by the benches on the model:

Figure 6: Effective searching radius in each period and bench according to the model.

I can be seen that in general the maximum distance between the access to each bench and the

farther mined block is growing over time. The only exception is reflected in the latest periods

because this is a smaller number of blocks mined, and having a searching radius from zero for

each period, the model decided to remove these blocks that are not so far away from access. It

is also important to note that the radius used as input parameters of the model are appropiate,

because allow access to all the blocks available in the bench 1580, where starts operating, and

appears to be the largest in terms of area of the phase 02, which can be seen in Figure 5.

.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

1 2 3 4 5 6 7 8

Ra

diu

s [m

]

Period

F02_1580 F02_1565 F02_1550 F03_1625

136

6. Conclusions Naturally, a completely operative short term schedule must consider several conditions that this

model does not take into account, as ramps generation to access benches and drilling patterns,

among others. Nevertheless, it is important to note that the solution of the model could be used

as a guide to support the short term planning in a open pit mine, since the shape of the

generated cuts for each period are smooth enough, ensuring a better approach to an optimal

solution than trial and error planning methodologies.

Geometallurgical constraints are satisfied in each period of the schedule ensuring a maximum

copper fines throughput. In this sense, it is relevant to note that plant saturation is a

consequence of objective function and geometallurgical constraints and not a requirement, since

the available materials have certain characteristics, it is important to consider the economic

tradeoff between to saturate the plant and the effect on recovery of overpass certain constraints,

when no feasible solutions can be found.

Part of future works associated to this research, in order to look for better and more applicable

solutions are the following:

• To improve the conexity of the solution in periods different than first, reducing the

“randomness” of the extraction.

• Solve the model considering a larger time horizon (1 year), to support annual budgets. Solution

times become relevant when the total available block for one year are considered.

• To include economic parameters for extraction and processing.

7. Acknowledgments To the University of Chile and Delphos Mine Planning Laboratory, to support the publication of

the results associated to the research presented in this paper.

To Compañía Minera Spence S.A. and BHP Billiton Base Metals, to contribute with their

production data and expertise to implement the mathematical programming model.

137

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